אלגברה ליניארית 1
אלגברה ליניארית 1
סוכם ע"י נריה אור
ע"פ הרצאות של אלכס לובוצקי
)אין המרצה קשור לסיכום זה בשום דרך או ערב לנכונותו!(
זהו סיכום לא מלא )חסרות כמה טענות ודוגמאות( ,ואין ערבות לנכונות הדברים שבו ־ ייתכנו טעויות בסיכום.
גירסא סופית־ב' ־ לא בהכרח שלמה .מה לעשות ,המבחן הגיע.
1
תוכן עניינים
1
חבורות ,שדות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
מציין של שדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
מרחבים וקטוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1
טענות חשובות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
צירופים ליניאריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
בסיסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
טרנספורמציות ליניאריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1
2
3
3.1
4
מטריצות 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מערכות משוואות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.1
ייצוג ע"י טרנספורמציות ליניאריות 20 . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
ישריה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5
מרחב ההעתקות הליניאריות ) . . . . . . . . . . . . . . . . . Hom(V, W
24
6
המרחב הדואלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7
6.1
הבסיס הדואלי 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
מאפסים 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הדטרמיננטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
7.1
תמורות 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
פונק' מולטי ליניאריות 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
השפעת פעולות אלמנטריות על Φ : Mn (F ) → F :מולטי ליניארית
+חילופית 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
מסקנות לגבי מט' הפיכות 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
הדטרמיננטה עצמה 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1
חבורות ,שדות
הגדרה 1.1חבורה.
חבורה זו קבוצה Gעם פעולה בינארית עליה.
כלומר ,לכל a, b ∈ Gמוגדר איבר יחיד .a + b ∈ Gוקיים ב־ Gאיבר מיוחד שנקרא לו 0
ומתקיים:
.1אסוציאטיביות )קיבוץ( ∀a, b, c ∈ G :מתקיים(a + b) + c = a + (b + c) :
.2איבר יחידה \ איבר ניטרלי ∀a ∈ G :מתקייםa + 0 = 0 + a = a :
.3איבר נגדי\הופכי ∀a ∈ G :קיים איבר a0 ∈ Gכך שa + a0 = a0 + a = 0 :
.4חבורה ) (G, +, 0נקראת חבורה קומוטטיבית\חילופית\אבלית אם ∀a, b ∈ Gמתקיים:
.a + b = b + a
הגדרה 1.2שדה.
שדה זו מערכת ) (F, +, ·, 0, 1כך ש F :קבוצה +, · ,הן פעולות בינריות על 0, 1 ,Fהם
איברים מסוימים של (0 6= 1) Fכך ש:
(F, +, 0) .1חבורה חילופית
(F \{0}, ·, 1) .2חבורה חילופית
.3חוק הפילוג )דיסטריביוטיביות( ∀a, b, c ∈ F :מתקיים.a · (b + c) = a · b + a · c :
טענה 1.3אם ) (G, +, 0חבורה ,אז האיבר הנגדי הוא יחיד.
הוכחה :יהיו a0 , a00 ∈ Gכך ש־ a + a00 = 0וגם a + a0 = 0אזי:
a0 = a0 + 0 = a0 + (a + a00 ) = (a0 + a) + a00 = 0 + a00 = a00
טענה 1.4לכל a ∈ Fמתקיים.a · 0 = 0 · a = 0 :
הוכחהa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 :
נחבר בשני הצדדים את )−(a · 0
0 = (−(a · 0) + a · 0) + a · 0
0 = a·0
3
1.1מציין של שדה
הגדרה F 1.5שדה Z ,קב' המספרים השלמים .נגדיר:
a + ... + a (n times) , n > 0
n.a = 0F
, n = 0Z
)−F ((−Z n).a
, n<0
טענה 1.6אם ,0 < n ∈ Zואם n = k · lאזי )n.1 = (k · l).1 = (k.1) · (l.1
הוכחה:
(k · l).1 = n.1
= (1 + ... + 1) · 1
·1 + ...+
)(1 + ... + 1
= )(1 + ... + 1
·)(1 + ... + 1
kפעמים
lפעמים
kפעמים
kפעמים
הגדרה 1.7יהא Fשדה .נגדיר את המציין של שדה:
1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...
מסתכלים ב־
1.1 , 2.1 , 3.1 , ...
.
אם יש שני איברים במקומות שונים בסדרה :נאמר k.1ו־, l.1
כאשר k, l ∈ Nונניח 0 < k < lכך ש־,k.1 = l.1
אזי (l − k).1 = 0 :כלומר יש מס' חיובי שלם r = l − kכך ש־. r.1 = 0
לשלם החיובי הקטן ביותר המקיים זאת קוראים המציין של השדה.
אם אין כזה ,נאמר שהמציין של השדה הוא .0
סימון.char(F) = r :
משפט 1.8אם Fשדה אזי ) char(Fהוא או 0או מספר ראשוני.
הוכחה :הוכחה :אם char(F) = 0גמרנו.
אם לא ,קיים nראשון כך ש־.n.1F = 0
) n = char(Fוצ"ל ש־ nראשוני.
נניח שלא ,אזי n = k · lכאשר .k, l < n
ואז) 0 = n.1F = (k · l).1 = (k.1F ) · (l.1F ) ,נעזרנו בטענה הקודמת(.
וכעת ,אם מכפלת שני איברים בשדה היא ,0אז לפחות אחד מהם הוא .0
ולכן או k.1 = 0או l.1 = 0וזו סתירה כי nהוא הקטן ביותר!
4
= )(k.1) · (l.1
2
מרחבים וקטוריים
הגדרה 2.1מרחב וקטורי.
מרחב וקטורי Vמעל :Fקבוצה Vעם איבר 0ופעולת חיבור ,+
וכן לכל c ∈ Fו־ α ∈ Vמוגדר cα ∈ V :יחיד ומתקיים:
לכל :c, d ∈ F , α, β, γ ∈ V
α + 0 = 0 + α = α .1
α + (β + γ) = (α + β) + γ .2
.3לכל α ∈ Vקיים −α ∈ Vכך ש־α + (−α) = 0
α + β = β + α .4
)כלומר ־ חבורה אבלית ביחס לחיבור ו־.(0
(1 ∈ F) 1α = α .5
c(dα) = (cd)α .6
c(α + β) = cα + cβ .7
(c + d)α = cα + dα .8
הגדרה 2.2תת־מרחב וקטורי )תמ"ו(.
Fשדה V ,מ"ו מעל U ⊆ V ,Fתת קבוצה תקרא תת־מרחב אם:
U 6= ∅ .1
.2לכל α, β ∈ Uגם α + β ∈ U
.3לכל c ∈ Fולכל α ∈ Uגם cα ∈ U
כלומר קבוצה לא ריקה ,סגורה לחיבור ולכפל בסקלר.
הערה :תת מרחב הוא עצמו מ"ו.
5
2.1
טענות חשובות
טענה 2.3יהיו b1 , ..., bn ∈ F ,V = F nסקלרים.
וגם,U = {(x1 , ..., xn ) ∈ F n |b1 x1 + ... + bn xn = 0} :
אזי Uהוא תת־מרחב) .זהו מרחב הפתרונות של משוואה הומוגנית בודדת(.
הוכחה :נתבונן:
(0, ..., 0) ∈ U (1ולכן ∅ =U 6
(2נניח (y1 , ..., yn ), (x1 , .., xn ) ∈ Uונוכיח שסכומם גם ב־ :U
b1 (x1 +x2 )+...+bn (xn +yn ) = (b1 x1 +...+bn xn )+(b1 y1 +...+bn yn ) = 0+0 = 0
(3אם (x1 , ..., xn ) ∈ Uו־ c ∈ Fנראה שגם :c(x1 , ..., xn ) ∈ U
) c(x1 , ..., xn ) = (cx1 , ..., cxnונבדוק:
b1 (cx1 ) + ... + bn (cxn ) = c(b1 x1 + ... + bn xn ) = c · 0 = 0
טענה 2.4חיתוך של תת־מרחבים הוא תת־מרחב.
Vמ"ו מעל {Ut |t ∈ I} ,Fאוסף של תתי מרחבים של I) .Vקבוצת אינדקס(.
אזיUt = W :
t∈I
T
הוא תת־מרחב.
הוכחה W 6= ∅ (1 :כי ~0 ∈ Utלכל tולכן הוא גם בחיתוך של כולם.
(2בנוסף ,נניח α, β ∈ Wונוכיח :α + β ∈ W
מכיוון ש α, β ∈ Wז"א α, β ∈ Utלכל ,tומאחר שכל Utהוא תת מרחב,
אזי גם α + β ∈ Utלכל tולכן נמצאים בכל החיתוכים ,דהיינו ב־ .W
(3וגם ,אם α ∈ Wו־ c ∈ Fאז נוכיח ש־ :cα ∈ W
מאותה סיבה כמו ההוכחה לחיבור :כל תמ"ו סגור לכפל בסקלר ולכן זה נובע.
6
הגדרה 2.5סכום של תתי מרחבים
אם Vמ"ֹו מעל שדה U1 , U2 ≤ F ,Fתתי מרחבים ,נגדיר:
} U1 + U2 = {α + β|α ∈ U1 , β ∈ U2
הערה :גם U1וגם U2נמצאים ב־ .U1 + U2
כי אם α ∈ U1אזי α = α + 0 ∈ U1 + U2וכנ"ל הפוך.
זה מפני ש־ 0 ∈ Uלכל תמ"ו .U
טענה U1 + U2 2.6הוא תת־מרחב ,וזה התמ"ו הקטן ביותר המכיל גם את U1וגם את .U2
הוכחה U1 + U2 :הוא תמ"ו כי:
0 + 0 = 0 ∈ U1 + U2 (1ולכן ∅ =.U1 + U2 6
(2אם α0 + β 0 ∈ U1 + U2 ,α + β ∈ U1 + U2כאשר β, β 0 ∈ U2 ,α, α0 ∈ U1
אזי ,(α + β) + (α0 + β 0 ) = (α + α0 ) + (β + β 0 ) ∈ U1 + U2
כי U1 , U2תמ"ו־ים ולכן סגורים לחיבור.
(3אם β ∈ U2 ,α ∈ U1 ,α + β ∈ U1 + U2ו־ c ∈ Fאזי
c(α + β) = (cα) + (cβ) ∈ U1 + U2
כי U1 , U2תמ"ו־ים ולכן סגורים לכפל בסקלר.
ולכן U1 + U2תת מרחב.
נוכיח שהוא התמ"ו הקטן ביותר המכיל את U1ואת :U2
נניח Wתמ"ו המכיל את U1ואת .U2אזי ,לכל ,β ∈ U2 ,α ∈ U1
גם α ∈ Wוגם .β ∈ W
מכיוון ש־ Wתמ"ו ,הוא סגור לחיבור ואז גם ,α + β ∈ W
ולכל כל איבר של U1 + U2נמצא ב־ .W
7
2.2צירופים ליניאריים
הגדרה 2.7צירוף ליניארי
FשדהV ,מ"ו מעל .A = {α1 , ..., αn } ⊆ V ,F
נאמר שוקטור βהוא צירוף ליניארי )להלן :צ"ל( של Aאם
קיימים a1 , ..., an ∈ Fסקלרים ,כך ש־ .β = a1 α1 + ... + an αn
נסמן :אוסף כל הצ"ל של איברי ,span(A) = Aייקרא המרחב הנפרש ע"י .A
טענה span(A) 2.8הוא תת־מרחב של V
הוכחה :נראה שמתקיימות שלושת הדרישות:
0 = 0α1 + ... + 0αn ∈ span(A) (1
(2אם,b1 α1 + ... + bn αn ∈ span(A) ,a1 α1 + ... + an αn ∈ span(A) :
אזי )(a1 + b1 )α1 + ... + (an + bn )αn ∈ span(A
(3אם ,a1 α1 + ... + an αn ∈ span(A) :אזי
c(a1 α1 + ... + an αn ) = (ca1 )α1 + ... + (can )αn ∈ span(A),
משפט 2.9תנאים לתלות ליניארית) .ללא הוכחה(...
יהי Fשדה V ,מ"ו .A = {α1 , ..., αk } ⊆ V ,אזי התנאים הבאים שקולים:
(1קיימים ,a1 , ..., ak ∈ Fלא כולם ,0כך ש־.a1 α1 + ... + ak αk = 0
(2אחד מה־ αi־ים הוא צ"ל של האחרים.
(3קיים 1 ≤ i ≤ k, iכך ש־ αiהוא צ"ל של ,α1 , ..., αi−1
כלומר אחד מהוקטורים הוא צ"ל של קודמיו.
)ללא הוכחה ,אין זמן!!!(
הגדרה 2.10נאמר ש־} A = {α1 , ..., αkתלויה ליניארית,
אם מקיימת את אחד )ולכן את כל( התנאים הנ"ל.
להלן :תלויה ליניארית = ת"ל ,בלתי תלויה ליניארית = בת"ל.
מסקנה A = {α1 , ..., αk } 2.11היא בת"ל ⇔ מקיימת ש:
אם a1 α1 + ... + ak αk = 0אזי .a1 = ... = ak = 0
מסקנה 2.12קבוצה המכילה את הוקטור ~0היא תמיד תלויה ליניארית.
8
2.3בסיסים
הגדרה 2.13בסיס
Fשדה V ,מ"ֹ A = {α1 , ..., αn } ⊆ V ,תיקרא בסיס ל־ Vאם:
A (1בת"ל
span(A) = V (2
משפט 2.14כתיבה באופן יחיד של וקטור ע"י הבסיס:
A = {α1 , ..., αn } ⊆ Vאזי Aבסיס של Vאם"ם
כל וקטור β ∈ Vניתן לכתיבה באופן יחיד. β = c1 α1 + ... + cn αn :
הוכחה :כיוון ראשון :נניח ש־ Aבסיס .יהא .β ∈ V
מאחר ש־ Aפורשת ,הרי ניתן לכתוב את βכ־ .β = c1 α1 + ... + cn αn
נניח שגם מתקיים .(ci , c0i ∈ F ) β = c01 α1 + ... + c0n αn
אז ניקח.β − β = ~0 = (c1 − c01 )α1 + ... + (cn − c0n )αn :
ומכיוון ש־ Aבת"ל ,אזי ci − c0i = 0לכל ,iכלומר ci = c0iלכל .i
כיוון שני :נניח שכל וקטור β ∈ Vניתן לכתיבה באופן יחיד.β = c1 α1 + ... + cn αn :
מיידית נובע ש־) V = span(Aכלומר Aפורשת.
כמו כן נובע שאת ~0ניתן לכתוב כצ"ל באופן יחיד והוא,~0 = 0α1 + ... + 0αn :
וזה בדיוק אומר שהם בת"ל.
משפט 2.15למת ההחלפה
נניח ש־ } B = {β1 , ..., βr−1 , βrקב' וקטורים בת"ל ב־ .V
ונניח ש־ } A = {α1 , ..., αsקב' וקטורים כלשהי ב־ .V
} ) U = sp{β1 , ..., βr−1 , α1 , ..., αsנשים לב :ללא .(βr
ונניח ש־ βr ∈ Uכלומר הוא צ"ל של איברי ) .Uחשוב לשים לב!!(
U = sp{β1 , ..., βr−1 , βr , α1 , ..., α
אזי ,קיים 1 ≤ j ≤ sכך ש־ } ˆj , ..., αs
αמסמל את הקבוצה ,ללא .(αj
)כאשר ˆ j
9
הוכחה :מהנתון ש־ βr ∈ Uנובע שקיימים סקלרים bi , aiכך ש־
F .βr = b1 β1 + ... + br−1 βr−1 + a1 α1 + ... + as αs
לא ייתכן שכל ה־ ai־ים הם ,0כי אז βrהיה צ"ל של β1 , ..., βr−1בניגוד להנחה.
יהא 1 ≤ j ≤ sכך ש .aj 6= 0
אז נכתוב את Fכך:
−aj αj = b1 β1 + ... + br−1βr−1 − βr + a1 α1 + ... + aj−1 αj−1 + aj+1 αj+1 + ... + asαs
וכעת קיים הופכי ל־ −ajכי אמרנו ,aj 6= 0אז נכפיל בו:
)as αs
−1
blah blah... + ... + (−aj
αj = (−a−1
j )b1 β1 + ... + ...blah
.αj ∈ sp{β1 , ..., βr−1 , βr , α1 , ..., α
וקיבלנוˆj , ..., αs } = W :
אם כך,
מתקיים β1 , ..., βr−1 , α1 , ..., αj , ...αs ∈ Wולכן .U ⊆ W
כמו כן,
ניזכר ש־} ,U = sp{β1 , ..., βr−1 , α1 , ..., αs
ומכך שהנחנו ש־ ,br ∈ Uאזי:
β1 , ..., βr−1 , βr , α1 , ..., α
ˆj , ...αn ∈ U
ולכן .W ⊆ U
ובסה"כ .U = W
טענה ) 2.16מס' האיברים בקבוצה בת"ל ב־ Vקטן או שווה למס' האיברים בקבוצה הפורשת
את .(V
אם A = {α1 , ..., αm } ⊆ Vכך ש־)) V = sp(Aכלומר Aפורשת(,
וגם B = {β1 , ..., βk } :קב' בת"ל ב־ ,V
אזי .k ≤ m
10
הוכחה :נסמן .B 0 = {β1 } ,r = 1זו קבוצה בת"ל .ואז ∅ = } .{β1 , ..., βr−1
נסמן.U = sp{α1 , ..., αm } = V :
.V = U = sp{β1 , α1 , ..., α
לפי למת ההחלפה ,קיים 1 ≤ j ≤ mכך ש־} ˆ j , ..., αm
.A = {α1 , ..., α
עכשיו נסמן } ˆ j , .., αm } ,B 0 = {β1 , β2
כעת נשתמש בלמת ההחלפה עם :r = 2
) U = sp{β1 , α1 , ..., αזה נכון מהצעד הקודם(.
נסמן ˆ j , ..., αm } = V
ולכן β2 ∈ U = Vולכן שוב עפ"י למת ההחלפה קיים j 6= j 0 ,1 ≤ j 0 ≤ m
.sp{β1 , β2 , α1 , ..., α
ˆ j , ..., α
כך שˆj 0 , ..., αm } = U = V :
,sp{β1 , β2 , α1 , ..., α
ˆ j , ..., α
בצעד הבא נסתכל ב־ ˆ j 0 , ..., αm } = V
וכו' ,ואחרי kצעדים ,נקבל קבוצה פורשת:
.β1 , ..., βk , αi1 , ..., αit
ובפרט ,כש־ .k ≤ m
משפט 2.17אם } B = {β1 , ..., βk } ,A = {α1 , ..., αmהם 2בסיסים של מ"ו Vמעל ,F
אזי .k = m
הוכחה :לפי הטענה הקודמת k ≤ m ,וגם m ≤ kולכן . k = m
הגדרה 2.18מימד
הגודל המשותף של כל הבסיסים )הסופיים ,אם קיימים( נקרא
המימד של Vמעל ,Fויסומן.dimF V = dimV :
אם אין בסיס סופי ,נאמר ש־∞ = .dimV
משפט 2.19משפט המימדים I
Vמ"ו ממימד סופי U, W ⊆ V ,תת־מרחבים ,אזי:
) dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W
)לאלו מאיתנו שלומדים דיסקרטית :זהו עיקרון ההכלה וההדחה!(
11
הוכחה :נסמן .Y = U ∩ W :יהא α1 , ..., αrבסיס ל־ .Y
α1 , ..., αrהיא קבוצה בת"ל ב־ Uולכן ניתן להמשיכה לבסיס של .α1 , ..., αr , β1 , .., βl :U
באותו אופן נמשיך ונקבל בסיס ל־ .α1 , ..., αr , γ1 , .., γk :W
ולכן.dimU = r + l , dimW = r + k :
נטען ש α1 , ..., αr , β1 , .., βl , γ1 , ..., γk :בסיס של .U + W
ואז יינבע dim(U + W ) = r + l + k :ויתקיים:
.dimU + dimW − dim(U ∩ W ) = (r + l) + (r + k) − (r) = r + l + k
נוכיח את הטענה:
פרישה :יהא ,γ ∈ U + Wאזי γ = α + βכאשר β ∈ W
,
.α ∈ U
ולכן קיימים סקלרים ב־ c1 , ..., ck , b1 , ..., bl , a1 , ..., ar , a01 , ..., a0r :Fכך ש:
α = a1 α1 + ... + ar αr + b1 β1 + ... + bl βl
β = a01 α1 + ... + a0r αr + c1 γ1 + ... + ck γkולכן:
γ = α + β = (a1 + a01 )α1 + ... + (ar + a0r )αr + b1 β1 + ... + bl βl + c1 γ1 + ... + ck γ
וזה מוכיח פרישה.
אי תלות:
נניח ש־ .a1 α1 + ... + ar αr + b1 β1 + ... + bl βl + c1 γ1 + ... + ck γ = ~0
צריך להוכיח שכל המקדמים הם .0נעביר אגף) :אפשר כי זה שדה(...
a1 α1 + ... + ar αr + b1 β1 + ... + bl βl = −c1 γ1 − ... − ck γk
ונשים לב :האגף השמאלי שייך ל־ Uוהימני שייך ל־ .W
ולכן.−c1 γ1 − ... − ck γk ∈ U ∩ W ,
ולכן נייצג אותו עם איברי הבסיס של :U ∩ W
−c1 γ1 − ... − ck γk = a01 α1 + ... + a0r αr
כלומר0 = a01 α1 + ... + a0r αr + c1 γ1 + ... + ck γk :
אבל הקבוצה } {α1 , ..., αr , γ1 , .., γkבת"ל כי היא בסיס ל־ ,Wולכן
12
.a01 = ... = a0r = c1 = ... = ck = 0
נחזור למשוואה מקודם ונציב זאת:
a1 α1 + ... + ar αr + b1 β1 + ... + bl βl = ~0
אבל } {α1 , ..., αr , β1 , .., βlבסיס ל־ ,Uולכן בת"ל ,ולכן
a1 = ... = ar = b1 = ... = bl = 0וסיימנו!
3טרנספורמציות ליניאריות
או :העתקות ליניאריות .להלן :ט"ל או ה"ל.
הגדרה 3.1טרנספורמציה ליניארית
Fשדה V, W ,מ"ו מעל .F
העתקה T : V → W :תיקרא טרנספורמציה ליניארית אם מקיימת:
(1לכל T (α + β) = T (α) + T (β) :α, β ∈ V
(2לכל T (cα) = cT (α) :α ∈ V ,c ∈ F
תנאי שקול ,הוא אם לכל :a, b ∈ F ,α, β ∈ V
)T (aα + bβ) = aT (α) + bT (β
טענה 3.2אם T : V → Wט"ל אזי .T (~0V ) = ~0W
הוכחהT (~0v ) = T (~0v + ~0v ) = T (~0v ) + T (~0v ) :
ולכן ) ~0W = T (~0v
משפט 3.3שתי ט"ל שוות אם הן שוות על איברי בסיס
נניח ש־ T, S : V → Wשתי ט"ל .ונניח A = {α1 , ..., αn } :בסיס ל־ .V
ונניח שלכל .T (αi ) = S(αi ) ,i = 1...n
אזי S = T ,כלומר לכל .S(β) = T (β) ,β ∈ V
13
הוכחה :יהא β ∈ Vאז קיימים b1 , ..., bn ∈ Fכך ש־ .β = b1 α1 + ... + bn αnואז:
) S(β) = S(b1 α1 + ... + bn αn ) = b1 S(α1 ) + ... + bn S(αn
)= b1 T (α1 ) + ... + bn T (αn ) = T (b1 α1 + ... + bn αn ) = T (β
טענה ) 3.4ניתן להגדיר ט"ל יחידה כך ש־ T (αi ) = γiכאשר αiבסיס ל־ ,Vו־ .(γi ∈ W
אם } A = {α1 , ..., αnבסיס של ,Vויהיו γ1 , ..., γnוקטורים ב־ ,W
אזי קיימת ט"ל Tיחידה T : V → W :המקיימת T (αi ) = γi :לכל .i = 1...n
הוכחה :לפי הטענה הקודמת יש לכל היותר Tאחת המקיימת זאת.
כדי להוכיח שיש Tכזאת ,פשוט נגדיר אותה:
יהא β ∈ Vוקטור כלשהו ,אזי קיימים b1 , ..., bnיחידים כך ש.β = b1 α1 + ... + bn αn :
נגדיר.T (β) = b1 γ1 + ... + bn γn :
ראשית αi = 0α1 + ... + 1αi + ... + 0αn ,ולכן T (αi ) = 0γ1 + ... + 1γi + ... + 0γn
כנדרש.
נראה ש־ Tט"ל .יהיו .β, β 0 ∈ V
=,β
Pn
Pn
) = T (β) + T (β 0
Pn
i=1 bi αi
0
i=1 bi αi
= β 0אזי נראה חיבוריות:
Pn
Pn
Pn
) T (β + β 0 ) = T ( i=1 bi αi + i=1 b0i αi ) = T ( i=1 (bi + b0i )αi
0
i=1 bi γi
כמו כן נראה כפליות:
+
Pn
i=1 bi γi
= + b0i )γi
Pn
i=1 (bi
=
P
P
P
)T (cβ) = T ( ni=1 (cbi )αi ) = ni=1 (cbi )γi = c ni=1 bi γi = cT (β
הגדרה 3.5גרעין ,תמונה.
תהי T : V → Wט"ל .נגדיר:
} Ker(T ) = {α ∈ V |T (α) = ~0Wהגרעין של T
}T (α) = β
,
Im(T ) = {β ∈ W |∃α ∈ Vהתמונה של .T
טענה Ker(T ) 3.6הוא תמ"ו של ,Vו־) Im(Tהוא תמ"ו של .W
14
הוכחה :א(
כמובן .0 ∈ Ker(T ) ,ואם ) a, b ∈ F ,α, β ∈ Ker(Tאזי:
T (aα + bβ) = aT (α) + bT (β) = a · 0W + b · 0W = 0W
ולכן גם ) aα + bβ ∈ Ker(Tוגמרנו.
ב(
) .~0 ∈ Im(Tנניח ש־) .a, b ∈ F ,γ1 , γ2 ∈ Im(Tונראה שגם.aγ1 + bγ2 ∈ Im(T ) :
מכיוון ששניהם בתמונה ,אזי קיימים α, β ∈ Vכך ש־ .T (β) = γ2 , T (α) = γ1
נחשבT (aα + bβ) = aT (α) + bT (β) = aγ1 + bγ2 :
ולכן ) aγ1 + bγ2 ∈ Im(Tכנדרש.
טענה T : V → W 3.7חח"ע ⇔ } .Ker(T ) = {0V
הוכחה :כיוון ראשון :נניח Tחח"ע ,ונוכיח }.Ker(T ) = {0
יהא ) .α ∈ Ker(Tאזי ) )α = 0V ⇐ T (α) = 0W = T (0Vמחח"ע .(T
ולכן }.Ker(T ) = {0
כיוון שני :נניח } Ker(T ) = {0ונוכיח Tחח"ע ,כלומר :אם ) T (α1 ) = T (α2אז .α1 = α2
ואכן ,אם ) T (α1 ) = T (α2אזי ,T (α1 − α2 ) = T (α1 ) − T (α2 ) = 0
ולכן ) α1 − α2 ∈ Ker(Tכלומר α1 − α2 = 0V ,כלומר .α1 = α2
משפט 3.8משפט המימדים II
יהי Vמ"ו ממימד סופי מעל שדה ,Fויהי Wמ"ו מעל .Fתהי T : V → Wט"ל.
אזי,
) .dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(Vהוכחה Ker(T ) :תמ"ו של .Vנבחר בסיס
α1 , ..., αkשל ) .Ker(T
) Im(Tתמ"ו של .Wנבחר בסיס γ1 , ..., γmשל ) .Im(T
נראה שקיים בסיס של Vבגודל :k + m
15
מכיוון ש) γ1 , ..., γm ∈ Im(Tאזי קיימים β1 , ..., βm ∈ Vכך ש T (βi ) = γiלכל .i
נטען α1 , ..., αk , β1 , ..., βm :בסיס של .V
א( α1 , ..., αk , β1 , ..., βmבת"ל:
נניח שקיימים סקלרים ai bi ∈ Fכך ש:
=0F
=0
Pm
ai αi +
i=1 bi βi
Pm
) i=1 bi T (βi
Pk
i=1
ai T (αi ) +
ונפעיל את Tעל שני האגפים:
Pk
i=1
אבל ) αi ∈ Ker(Tולכן המחובר השמאלי הוא .0
Pm
כמו כן= 0 ,
i=1 bi γi
=
Pm
) i=1 bi T (βi
וכעת γ1 , ..., γm ,בסיס ל־) Im(Tובפרט ,בת"ל ,ולכן .b1 = ... = bm = 0
Pk
נציב זאת ב־. i=1 ai αi = 0 :F
וכעת α1 , ..., αk ,בסיס ל־) Ker(Tובפרט ,בת"ל ,ולכן .a1 = ... = ak = 0
ולכן הראינו ש־ α1 , ..., αk , β1 , ..., βmבת"ל.
ב( α1 , ..., αk , β1 , ..., βmפורשים את :V
יהי .v ∈ Vאזי ) .T (v) ∈ Im(T
γ1 , ..., γmבסיס ל־) ,Im(Tולכן קיימים סקלרים ciכך ש־
Pm
ולכן= T ( i=1 ci βi ) :
Pm
) i=1 ci T (βi
ומליניאריות:
=0
Pm
) i=1 ci βi
=
Pm
i=1 ci γi
T (α −כלומר ) ∈ Ker(T
i=1 ci βi
.α −
α1 , ..., αkבסיס ל־) ,Ker(Tולכן קיימים סקלרים ai
כך ש־ ai αi
Pm
i=1 ci βi
Pk
i=1
=
ai αi +
Pm
i=1 ci βi
Pk
i=1
.α −נעביר אגפים ונקבל:
=α
ולכן α1 , ..., αk , β1 , ..., βmפורשים את .V
16
i=1 ci γi
= )T (v
Pm
Pm
= ).T (v
3.1
מטריצות
הגדרה 3.9המטריצה של ה"ל
יהיו V, Wמ"ו מעל שדה T : V → W ,Fה"ל.
נבחר בסיסים {α1 , ..., αn } :ל־ {β1 , ..., βm } ,Vל־ .W
T (α1 ) ∈ Wאז,
T (α1 ) = a11 β1 + a21 β2 + ... + am1 βm
T (α2 ) ∈ Wאז,
T (α1 ) = a12 β1 + a22 β2 + ... + am2 βm
.
.
.
T (αn ) ∈ Wאז,
T (αn ) = a1n β1 + a2n β2 + ... + amn βm
נגדיר מטריצה:
. . . . . . a1n
. . . . . . a2n
.
.
.
.
.
.
amn
a12
a22
.
.
.
.
.
.
am2
a11
a21
..
A = (aij ) =
.
.
..
am1
המטריצה שבנינו נקראת המטריצה המייצגת את הה"ל ,T : V → W
ביחס לבסיסים ) (αiשל Vו־ ) (βiשל .W
) (α
מסמנים.A = [T ](βji ) :
העמודה ה־ jבמטריצה מורכבת מהמקדמים של ) T (αjבפיתוח לפי הבסיס .β1 , ..., βm
למה 3.10המטריצה המייצגת הרכבת ה"ל
יהיו V, U, Wמ"ו מעל ,Fויהיו
} {α1 , ..., αnבסיס ל־ {β1 , ..., βm } ,Vבסיס ל־ {γ1 , ..., γl } ,Uבסיס ל־ .W
17
ויהיו T, Sט"ל:
W
→
S
γ1 , ..., γl
→
U
T
β1 , ..., βm
V
α1 , ..., αn
תהי ) A = (aij ) ∈ Mm×n (Fהמטריצה המייצגת את Tביחס לבסיסים ) .(βi ), (αi
תהי ) B = (bij ) ∈ Ml×m (Fהמטריצה המייצגת את Tביחס לבסיסים ) .(γi ), (βi
) (β
) (α
).A = [T ](βii) , B = [S](γii
נשאל :מהי המטריצה המייצגת את S ◦ Tביחס לבסיסים.(γi ), (αi ) :
Pm
Pm
= ) (ST )(αk ) = S(T (αk )) = S( j=1 ajk βj ) = j=1 ajk S(βj
P
P
P
ajk ( li=1 bij γi ) = li=1 ( m
j=1 bij ajk )γi
Pm
j=1
כאשר המעבר האחרון הוא שינוי סדר הסכימה.
=
)כל "סיגמא" כאן היא למעשה ייצוג של עמודה במט' המייצגת את הט"ל .(S, T
נסמן:C ∈ Ml×n :
Pm
j=1 bij ajk
= Cik
אזי המטריצה המייצגת את S ◦ Tביחס לבסיסים (γi ), (αi ) :היא בדיוק .C
הגדרה 3.11כפל מטריצות
המטריצה Cהמוגדרת ע"י
Pm
j=1 bij ajk
= Cikשווה למכפלת המטריצות .BA
טענה 3.12כפל מטריצות הוא אסוציאטיבי ודיסטריביוטיבי.
כלומר,(AB)C = A(BC) :
וגם (A + B)C = AC + BCוגם .D(E + F ) = DE + DF
)כאשר החיבור והכפל מוגדרים(.
4מערכות משוואות
טענה 4.1ייצוג של פעולות אלמנטריות על מטריצה באמצעות מטריצות אלמנטריות
נבטא כ"א מהפעולות האלמנטריות על השורות ע"י כפל משמאל במטריצה אלמנטרית.
)מט' אלמנטרית :מטריצה המתקבלת ממט' היחידה ע"י פיולה אלמנטרית(
18
0 0
א( החלפת שתי שורות זו בזו .Li ↔ Ljלדוגמא :החלפת 0 1 :L2 ↔ L3
1 0
1
0
0
0
ב( כפל שורה בסקלר Li ← cLi :c 6= 0לדוגמא0 :L2 ← −6L2 :
1
ג( הוספת כפולה cשל שורה jלשורה Li ← Li + cLj :(i 6= j) i
0
לדוגמא0 :L3 ← L3 − 4L1 :
1
הגדרה 4.2מטריצה הפיכה:
1 0
0 −6
0 0
1 0
0 1
−4 0
מטריצה B m × mריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה B 0כך ש .BB 0 = B 0 B − I
טענה 4.3המטריצות האלמנטריות הן מטריצות הפיכות ,וההופכיות להן גם כן אלמנטריות.
הוכחה :כ"א מהפעולות האלמנטריות על השורות הן פעולות הפיכות.
כלומר ניתן לחזור אל המערכת המקורית ע"י ביצוע פעולות אלמנטריות.
ולכן המטריצות המייצגות אותן הפיכות.
)אם כפלנו ב־ cאז נכפול ב־ 1cכדי להפוך ,וכו'(.
)ניתן לרשום זאת בדרך יותר רשמית(.
מסקנה 4.4כל מכפלה של מט' אלמנטריות היא הפיכה.
הוכחה :יהיו E1 , ..., Esמט' אלמנטריות .ראינו שהן הפיכות.
נגדיר B = Es−1 · ... · E1−1 ,A = E1 · ... · Es :ונראה ש־ Bהופכית ל־:A
AB = (E1 · ... · Es )(Es−1 · ... · E1−1 ) = I
זה נכון בגלל האסוציאטיביות ־ נכפול "מבפנים החוצה":
קודם Es Es−1 = Iוכו'.
למה 4.5יהיו B, Cמטריצות הפיכות .אזי BCהפיכה ,ו־ ) .(BC)−1 = (C −1 B −1
19
הוכחה(C −1 B −1 )(BC) = C −1 (B −1 B)C = C −1 IC = C −1 C = I :
(BC)(C −1 B −1 ) = B(CC −1 )B −1 = BIB −1 = BB −1 = I
למה 4.6אם היא קיימת ,המטריצה ההופכית היא יחידה.
הוכחה :תהי Aמט' הפיכה .נניח B, Cהופכיות לה.
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
טענה 4.7תהי ) A ∈ Mn (Fו־ .b ∈ F nאזי למערכת Ax = bיש פתרון יחיד ⇔ A
הפיכה.
הוכחה :כיוון ראשון :נניח Aהפיכה .נטען ש־ α = A−1 bהוא פתרון יחיד.
זהו פתרון.A(A−1 b) = (AA−1 )b = Ib = b :
הוא יחיד :נניח β ∈ F nפתרון .ז"א .Aβ = bנכפיל את שני האגפים משמאל ב־ :A−1
A−1 Aβ = A−1 b ⇒ β = A−1 b
כיוון שני :נניח שיש למערכת פתרון יחיד.
ולכן בפתרון מערכת המשוואות הגענו ע"י פעולות אלמנטריות למטריצת היחידה.
ממשפט שלמדנו )וכנראה לא בסיכום זה ,(...אם ניתן להגיע מ־ Aלמט' היחידה אזי Aהפיכה.
4.1ייצוג ע"י טרנספורמציות ליניאריות
טענה 4.8ההעתקה " :"TA
תהא ) .A ∈ Mm×n (Fההעתקה TA : F n → F mהמוגדרת ע"י:
TA (α) = Aαעבור α ∈ F nהיא ט"ל.
הוכחה :עקב דיסטריביוטיביות כפל מטריצות:
) T (α1 + α2 ) = A(α1 + α2 ) = Aα1 + Aα2 = T (α1 ) + T (α2
וגםT (cα) = A(cα) = cA(α) = cT (α) :
20
מסקנה 4.9בהינתן מערכת משוואות אי הומוגנית,A~x = ~b ,
אנו למעשה מחפשים את כל הוקטורים α ∈ F nכך ש־ .TA (α) = ~b
0
0
מקרה פרטי ~b = . :ואז הפתרונות של המערכת הם בדיוק ) ,Ker(TA
..
0
שהוא תת־מרחב.
כלומר:
מימד מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית = )) dim(Ker(TA
= מספר המשתנים החופשיים = n − r
)כאשר nהוא מס' המשתנים,
rהיא דרגת השורות של = Aמימד המרחב הנפרש ע"י השורות של .(A
טענה 4.10דרגת השורות של Im(TA ) = r =A
עקב הסבר לא מובן ,ידוע ש־) Im(TAשווה גם לדרגת העמודות של .A
)נחוץ הסבר ,זה קטע שלא הבנתי(.
הוכחה :לפי משפט המימדים:
dim(Im(TA )) = dim(F n ) − dim(Ker(TA )) = n − (n − r) = r
הגדרה 4.11ט"ל הפיכה:
Fשדה V, W ,מ"ו מעל .Fט"ל T : V → Wתקרא הפיכה
אם קיימת T 0 : W → Vט"ל כך ש T 0 ◦ T = IdV :וגם .T ◦ T 0 = IdW
למה 4.12אם T : V → Wט"ל שהיא חח"ע ועל ,אזי קיימת ט"ל הופכית ,T 0 : W → V
יחידה ,כך ש T 0 ◦ T = IdV :וגם .T ◦ T 0 = IdW
21
הוכחה :ידוע מתורת הפונקציות הכללית שקיימת העתקה יחידה כזאת.
מה שצריך להוכיח זה שהיא אכן ליניארית.
נבדוק:
(1אם β1 , β2 ∈ Wאזי ) .T 0 (β1 + β2 ) = T 0 (β1 ) + T 0 (β2
מאחר ו־ Tחח"ע ,מספיק להוכיח ש־)) T (T 0 (β1 + β2 ) = T (T 0 (β1 ) + T 0 (β2
וכעתT (T 0(β1 + β2 )) = (T ◦ T 0 )(β1 + β2 ) = Id(β1 + β2 ) = β1 + β2 :
ומצד שני,
= )) T (T 0 (β1 ) + T 0 (β2 )) = T (T 0 (β1 )) + T (T 0(β2
= (T ◦ T 0 )(β1 ) + (T ◦ T 0 )(β2 ) = Id(β1 ) + Id(β2 ) = β1 + β2
(2לכל :T 0 (cβ) = cT 0 (β) ,c ∈ F ,β ∈ W
שוב מספיק להראות ש )) T (T 0 (cβ)) = T (cT 0 (βכי Tחח"ׂע.
T (cT 0 (β)) = cT (T 0 (β)) = c(Idβ) = cβ
ומצד שני.T (T 0 (cβ)) = (T ◦ T 0 )(cβ) = Id(cβ) = cβ ,
4.2ישריה
הגדרה 4.13ישריה
יהא Vמ"ו מעל U ⊆ V ,Fתת־מרחב .ויהי .α0 ∈ V
הקבוצה α0 + U = {α0 + β|β ∈ U } :נקראת ישריה.
נאמר שישריה זו מקבילה לתת־המרחב .U
נגדיר :מימד הישריה שווה למימד של .U
משפט 4.14ישריה היא אוסף פתרונות של מע' משוואות:
תהא A~x = ~bמערכת משוואות(b ∈ F m ,x ∈ F n ,A ∈ Mm×n (F )) .
נסמן ב־ Uאת אוסף הפתרונות של המע' ההומוגנית .A~x = ~0
זהו תת־מרחב.
יהא α0 ∈ F nפתרון כלשהו של ) .A~x = ~bאזהרה :אולי הוא לא קיים!(
אזי ,אוסף הפתרונות של A~x = ~bהוא בדיוק הישריה .α0 + U
22
הוכחה :נסמן=Z :קב' הפתרונות של המערכת ,A~x = ~bז"א δ ∈ Zאם"ם .Aδ = ~b
צריך להוכיח:
α0 + U ⊆ Z (1
α0 + U ⊇ Z (2
נוכיח:
(1
A(α0 + u) = Aα0 + Au = ~b + ~0 = ~bולכן ) α0 + u ∈ Zעבור (u ∈ U
(2
נניח δ ∈ Zכלומר Aδ = ~bוצריך להוכיח שקיים u ∈ Uכך ש־.δ = α0 + u
A(δ − α0 ) = Aδ − Aα0 = ~b − ~b = ~0
ולכן ) δ − α0 ∈ Uכי הוא פתרון להומוגנית(.
כעת נקרא לו uוקיבלנו.δ = α0 + (δ − α0 ) = α0 + u ∈ α0 + U ,
טענה 4.15אם Uתמ"ו α0 ∈ V ,ו־ γ ∈ α0 + Uאזי α0 + U = γ + U
הוכחה :צריך להוכיח:
α0 + U ⊆ γ + U (1וגםα0 + U ⊇ γ + U (2 :
(1יהא β ∈ α0 + Uאזי β = α0 + u0כאשר .u0 ∈ U
וגם γ = α0 + u1 :לאיזשהו .u1 ∈ U
אז:
β − γ = (α0 + u0 ) − (α0 + u1 ) = u0 − u1
ומכיוון ש Uתמ"ו ,הוא מקיים סגירות לחיבור ולכן .u0 − u1 ∈ U
נסמנו .u0 − u1 = u2
ולכן.β = γ + (β − γ) = γ + u2 ∈ γ + U ,
(2נניח ש β = γ + u0כאשר ,u0 ∈ Uוצ"ל ש־ .β ∈ α0 + U
כאמור γ = α0 + u1 :ולכן,
β = γ + u0 = α0 + u1 + u0 = α0 + (u1 + u0 ) ∈ α0 + U
)המעבר האחרון עוד פעם מסגירות לחיבור של .(U
23
טענה 4.16אם U1 , U2תת־מרחבים של α1 , α2 ∈ V ,Vכך ש α1 + U1 = α2 + U2 :אזי
.U1 = U2
הוכחה :צריך להוכיח
U1 ⊆ U2 (1וגם .U1 ⊇ U2 (2
(1נשים לב ש־ α2 = α2 + 0 = α2 + U2 = α1 + U1
)כי 0נמצא בכל תמ"ו ,ומהנתון(.
כעת לפי הטענה הקודמת.α2 + U1 = α1 + U1 ,
)כי נסמן α1 = α0 ,α2 = γואז.(α1 + U1 = α2 + U2 ⇐ α2 ∈ α1 + U1 :
אבל ראינו גם שמתקיים שזה שווה ל־
α2 + U1 = α1 + U1 = α2 + U2
ולכן α2 + U1 = α2 + U2
כעת יהיה β1 ∈ U1אזי :
α2 + β1 ∈ α2 + U1 = α2 + U2
כלומר קיים β ∈ U2כך ש:
α2 + β1 = α2 + β2
ולכן β1 = β2כלומר .β1 ∈ U2
(2ומשיקולי סימטריה ,גם .U2 ⊆ U1
5
מרחב ההעתקות הליניאריות ) Hom(V, W
הגדרה 5.1יהיו V, Wמ"ו מעל שדה .Fנסמן Hom(V, W ) :את אוסף כל הה"ל מ־ V
ל־ .W
24
משפט Hom(V, W )ׁ 5.2הוא מ"ו מעל השדה ,F
כאשר החיבור מוגדר(S + T )(α) = S(α) + T (α) :
והכפל בסקלר מוגדר(cS)(α) = c · S(α) :
)עבור .(c ∈ F ,α ∈ V ,S, T : V → W
ההוכחה פשוטה אך ארוכה ולכן לא כאן.
משפט 5.3אם V, Wממימד סופי מעל ,F
אזי .dim(Hom(V, W )) = dimV · dimW
הוכחה :נניח .dimV = n , dimW = m
יהיו } {α1 , ..., αnבסיס ל־ {β1 , ..., βm } ,Vבסיס ל־ .W
נבנה בסיס ל־) Hom(V, Wהמכיל m · nאיברים:
לכל 1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ l ≤ mנגדיר ):Ekl ∈ Hom(V, W
i=k
i 6= k
if
if
βl
0
(
= ) Ekl (αi
)או בקיצור Ekl (αi ) = δik βlכאשר δikהיא הדלתא של קרונקר(.
כעת Ekl ,היא ט"ל כי היא הוגדרה על איברי הבסיס של .V
1≤k≤n
{Ekl }1≤l≤mבת"ל ב־) :Hom(V, W
(1נראה ש:
Pn Pm
1≤k≤n
{akl }1≤l≤mב־ Fכך ש־ . k=1 l=1 akl Ekl = 0
נניח שקיימים סקלרים
נציב את αiבשיויון ונשים לב שהמון איברים נעלמים:
ail βl
Pm
l=1
= ) akl Ekl (αi
Pm
l=1
Pn
k=1
=0
וכעת β1 , ..., βm ,בסיס ל־ ,Wובפרט בת"ל ,ולכן .ai1 = ... = aim = 0
מהצבת αiלכל 1 ≤ i ≤ mנקבל שכל המקדמים בצ"ל הם .0
ולכן } {Eklבת"ל.
(2נראה ש־} {Eklפורשים את ) :Hom(V, W
25
תהי ) .T ∈ Hom(V, Wלכל T (αj ) ∈ W ,1 ≤ j ≤ nולכן נציגו כצ"ל של הבסיס
β1 , ..., βmשל :W
aij βi
Pm
i=1
= ) .T (αj
כעת נראה ש־ akl Ekl
Pm
l=1
Pn
k=1
= T
ומכאן נסיק ש־} {Eklפורש את ) :Hom(V, W
מאחר ובשני האגפים יש ה"ל ,כדי להראות שויון שלהן די לבדוק שויון על איברי הבסיס של
.V
) ali βl = T (αi
Pm
l=1
= ) alk Ekl (αi
Pm
l=1
Pn
k=1
1≤k≤n
{Ekl }1≤l≤mבסיס ל־) .Hom(V, W
ולכן הראינו את כל הנדרש ,ו־
טענה 5.4יהי Vממימד nמעל שדה ,Fויהי } {α1 , ..., αnבסיס ל־ .V
ויהי Wממימד mמעל שדה ,Fויהי } {β1 , ..., βmבסיס ל־ .W
אזי ההתאמה ) µ : Hom(V, W ) → Mm×n (Fהמתאימה לכל ה"ל T : V → W
את המטריצה המייצגת אותה ביחס לבסיסים ) (αiו־) :(βi
} {α ,...,α
} µ(T ) = [T ]{β11,...,βmn
היא איזומורפיזם של המרחב ) Hom(V, Wעל ) .Mm×n (F
כלומר שומרת על כפל בסקלר וחיבור ,ובנוסף חח"ע ועל.
הוכחה µ (1 :חיבורית:
נראה שלכל ) :µ(T + S) = µ(T ) + µ(S) ,T, S ∈ Hom(V, W
נסמןµ(S) = B = (bij ) , µ(T ) = A = (aij ) :
כלומרaij βi ,
Pm
i=1
= ) , T (αj
Pm
i=1 bij βi
= ) S(αj
נחשב המטריצה המייצגת את T + Sביחס לבסיסים ) (αiו־) :(βj
=
Pm
i=1 bij βi
+ B)ij βi
aij βi +
Pm
i=1 (A
Pm
i=1
= ) (T + S)(αj ) = T (αj ) + S(αj
= + bij )βi
Pm
i=1 (aij
=
ולכן המטריצה המייצגת את T + Sביחס לבסיסים ) (αiו־) (βjהיא המטריצה :A + B
26
)µ(T + S) = A + B = µ(T ) + µ(S
µ (2שומרת על כפל בסקלר:
יהיו ) .c ∈ F , S ∈ Hom(V, W
נסמן µ(S) = A = (aij ) :כלומר aij βi
Pm
i=1
= ) .S(αj
נחשב את המטריצה המייצגת את cSביחס לבסיסים ) (αiו־) :(βi
Pm
i=1 (cA)ij βi
= · aij )βi
Pm
i=1 (c
= aij βi
Pm
i=1
· (cS)(αj ) = c · S(αj ) = c
ולכן המטריצה המייצגת את cSביחס לבסיסים הנ"ל היא .cA
)µ(cS) = cA = cµ(S
⇐⇐ולכן µהיא ט"ל מ־) Hom(V, Wל־ ) .Mm×n (F
(3נראה ש־ µחח"ע:
מכך שהיא ט"ל ,מספיק לראות ש־}.Ker(µ) = {0
יהי ) .T ∈ Ker(µזאת אומרת.µ(T ) = 0m×n ,
0 · βi = 0
Pm
i=1
= ) T (αj
קיבלנו ש־ Tמתאפסת על כל הבסיס ,ולכן ) T = 0העתקת האפס(.
µ (4על:
כמסקנה ממשפט המימדים:
dim(Im(Hom(V, W ))) = dim(Mm×n (F )) + 0 = mn
ולכן ,ה"ל שהיא חח"ע מ־) Hom(V, Wל־) Mm×n (Fהיא גם על.
6
המרחב הדואלי
הגדרה 6.1פונקציונל ליניארי
Fשדה V ,מ"ו מעל .F
העתקה ליניארית ϕ : V → Fתיקרא פונקציונל ליניארי על .V
27
הגדרה 6.2המרחב הדואלי
}אוסף כל הפונק' הליניאריים על V ∗ = Hom(V, F ) ={V
ייקרא המרחב הדואלי ל־ .V
משפט 6.3המימד של ∗ V
נניח dimF V = nמימד סופי .ונזכור ש־∗ Vבעצמו מ"ו.
אזיdim(Hom(V, F )) = (dimV ) · (dimF ) = n · 1 = n ,
הגדרה V ∗ ∗ = (V ∗)∗ = Hom(V ∗, F ) 6.4
טענה 6.5דוגמא לאיבר ב־∗ ∗ :V
α
יהא α ∈ Vוקטור כלשהו .נסמןˆ : V ∗ → F :
α
∗ ˆ (ϕ) = ϕ(α) , ϕ ∈ V
αאכן פונק' ליניארי על ∗ :V
נטען ש ˆ
הוכחה :יהיו ∗ :c ∈ F ,ϕ, ϕ1 , ϕ2 ∈ V
α
ˆ (ϕ1 + ϕ2 ) = (ϕ1 + ϕ2 )(α) = ϕ1 (α) + ϕ2 (α) = α(ϕ
ˆ 1 ) + α(ϕ
)ˆ 2
)α(cϕ
ˆ
ˆ= (cϕ)(α) = cϕ(α) = c
)α(ϕ
טענה 6.6למעשה ,הגדרנו העתקה ∗ ∗ ,M : V → V
.α ∈ V , M (α) = α
ˆ
נטען ש־ Mהיא ט"ל.
הוכחה :ראשית נבדוק האם מתקיים:M (α + β) = M (α) + M (β) :
צריך להוכיח שלכל ∗ ,ϕ ∈ V
)(M (α + β))(ϕ) =? (M (α))(ϕ) + (M (β))(ϕ
כלומר:
\
ˆ
(α
+ β)(ϕ) =? α
)ˆ (ϕ) + β(ϕ
)ϕ(α + β) =? ϕ(α) + ϕ(β
28
התשובה ל־" ?=" האחרון היא כן ,כי ϕפונק' ליניארי.
צריך גם לבדוק:
)M (cα) =? cM (α
כלומר צ"ל שלכל ∗ :ϕ ∈ V
)(M (cα))(ϕ) =? (cM (α))(ϕ
)cα(ϕ
ˆ
ˆ=? c
)α(ϕ
)ϕ(cα) =? c · ϕ(α
שוב פעם התשובה היא כן כי ϕהיא פונק' ליניארי.
M (α) = αהיא
משפט 6.7אם ∞ < dimV = nאזי ההעתקהˆ ,M : V → V ∗ ∗ :
איזומורפיזם.
)טענת עזר :אם ,dimV = nו־ 0 6= α ∈ Vאזי קיים פונק' ליניארי על ,ϕ ,Vכך ש־
.ϕ(α) 6= 0
הוכחת הטענה :נשלים את αלבסיס {α1 , ..., αn } :של ) .Vתמיד אפשר(.
ועכשיו ,יש פונק' ליניארי ϕ : V → Fכך ש ϕ(α1 ) = 1 :ו־ ϕ(αi ) = 0לכל (.i = 2, ..., n
הוכחה) :למשפט עצמו(:
כזכור,n = dimV = dimV ∗ = dimV ∗ ∗ ,
ו־ Mט"ל ,ולכן מספיק להוכיח ש־ } Ker(M ) = {0כי אז Mחח"ע ואז:
dim(Im(M ) = n − dim(Ker(M )) = n − 0 = n
כלומר ∗ ∗ Im(M ) = Vוהיא גם על.
ואכן Mחח"ע ,כי אם ) ,α ∈ Ker(M
ˆ.
αהוא פונקציונל האפס ,כלומר לכל ∗ α(ϕ) = 0 ,ϕ ∈ V
אזי ˆ
ז"א ϕ(α) = 0 ,לכל ∗ .ϕ ∈ V
וע"פ טענת העזר α = 0 ,ולכן }.Ker(M ) = {0
29
6.1הבסיס הדואלי
הגדרה 6.8בסיס דואלי:
.dimV = nיהא } B = {α1 , ..., αnבסיס של .V
לכל i = 1...nקיים ∗ ϕi ∈ Vיחיד כך ש:
=j
6 i
j=i
,
,
0
1
(
= ) ϕi (αj
נסמן ,B∗ = {ϕ1 , ..., ϕn } :מהווה בסיס ל־∗ ,Vוייקרא הבסיס הדואלי ל־.B
נוכיח שזהו באמת בסיס:
הוכחה {ϕ1,...,ϕn } :קבוצה בת"ל:
P
נניח ,a1 , ..., an ∈ Fושמתקיים, ni=1 ai ϕi = 0 :
אזי לכל וקטור ,α ∈ V
ai ϕi (α) = 0
Pn
i=1
ובפרט לכל ) αj ∈ Bכלומר בבסיס של ,(V
ai ϕi (αj ) = 0
Pn
i=1
= aj = aj · 1
ולכן a1 = ... = an = 0ולכן } {ϕ1 , ..., ϕnבת"ל.
נראה ש־∗ Bפורשת את ∗ :V
יהא ∗ .ϕ ∈ V
נניח .i = 1, ..., n , ϕ(αi ) = ai ∈ F
ונטען ש־ ai ϕi
Pn
i=1
= .ϕ
כדי להוכיח זאת מספיק שנבדוק ששני הצדדים מתלכדים על הבסיס )כי אלו פונק' ליניאריים(.
Pn
Pn
aj = ϕ(αj ) =? ( i=1 ai ϕi )(αj ) = i=1 ai ϕi (αj ) = aj · 1 = aj
{α
ˆ 1 , ..., α
טענה ˆ n } = B ∗ ∗ = (B∗)∗ ⊂ V ∗ ∗ 6.9
30
i=j
הוכחה:
i 6= j
,
,
1
0
(
α
= ˆ i (ϕj ) = ϕj (αi ) = δji
וזה בדיוק מקיים את הגדרת הבסיס הדואלי.
,M (α) = α
מסקנה 6.10בעצם ראינו שהה"ל ∗ ∗ M : V → Vשהגדרנו קודםˆ :
לוקחת את הבסיס Bלבסיס ∗ ∗ ,Bולכן זוהי הוכחה נוספת לכך ש־ Mאיזומורפיזם.
טענה T : V → W 6.11היא איזומורפיזם אם"ם לוקחת בסיס של Vלבסיס של ) .Wללא
הוכחה(?...
6.2מאפסים
הגדרה 6.12מאפסים:
Vמ"ו מעל A ⊆ V ,Fתת־קבוצה .נסמן:
}=A0 = {ϕ ∈ V ∗ |ϕ(α) = 0 , ∀α ∈ Aהמאפס של .A
טענה A0 6.13הוא תת־מרחב של ∗ .V
הוכחה :ראשית ,פונקציונל ה־ 0נמצא ב־ A0ולכן היא לא ריקה.
כעת ,אם ,ϕ1 , ϕ2 ∈ A0ו־ ,c1 , c2 ∈ Fצריך להוכיח.c1 ϕ1 + c2 ϕ2 ∈ A0 :
ואכן ,אם :α ∈ A
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 )(α) = c1 ϕ1 (α) + c2 ϕ2 (α) = c1 · 0 + c2 · 0 = 0
טענה A0 = (sp(A))0 6.14
הוכחה :מכיוון ש־),A ⊆ sp(A
אזי כל פונקציונל שמתאפס על ) sp(Aוודאי מתאפס גם על .A
ולכן .(sp(A))0 ⊆ A0
נוכיח את כיוון ההכלה השני:
נניח ϕ ∈ A0וצריך להוכיח.ϕ ∈ (sp(A))0 :
31
אז יהא ) ,β ∈ sp(Aכלומר קיימים α1 , ..., αr ∈ Aוסקלרים ci
כך ש־ .β = c1 α1 + ... + cr αrנבדוק שמתקיים :ϕ(β) = 0
ϕ(β) = ϕ(c1 α1 + ... + cr αr ) = c1 ϕ(α1 ) + ... + cr ϕ(αr ) = c1 · 0 + ... + cr · 0 = 0
טענה 6.15יהא Vמ"ו ממימד nמעל ,Fו־ Aתת מרחב ממימד .r
אזי.dim(A0 ) = n − r ,
כלומר ).dim(A0 ) = dim(V ) − dim(A
הוכחה :יהא } {α1 , ..., αrבסיס ל־ .Aנמשיך אותו לבסיס של .{α1 , ..., αr , ..., αn } :V
יהא } {ϕ1 , ..., ϕr , ..., ϕnהבסיס הדואלי )כלומר זה שמקיים .(ϕi (αj ) = δij
נטען ש־} ,A0 = sp{ϕr+1 , ..., ϕnוזה יוכיח את טענתינו!
)זה מפני ש־} {ϕr+1 , ..., ϕnקבוצה בת"ל כחלק מבסיס ,וגודלה n−rוזה מה שאנו מחפשים(.
ברור ש־ ,{ϕr+1 , ..., ϕn } ∈ A0כי
לכל , r + 1 ≤ j ≤ nו־ :1 ≤ i ≤ rמתקיים .ϕj (αi ) = 0
ידוע שהקבוצה הזו היא בת"ל ולכן נותר להראות פרישה:
יהא .ϕ ∈ A0וצריך להוכיח ש־ ϕצ"ל של .ϕr+1 , ..., ϕn
ידוע לנו כבר ש־ .ϕ = c1 ϕ1 + ... + cr ϕr + cr+1 ϕr+1 ... + cn ϕn
נראה שכל ϕ1≤i≤rלא משפיע על הצ"ל ,כלומר מקדמו הוא :0
נחשב עבור :1 ≤ i ≤ r
= ) 0 = ϕ(αi
= ) = c1 ϕ1 (αi ) + ... + cr ϕr (αi ) + cr+1 ϕr+1 (αi )... + cn ϕn (αi
= ci · 1 = ci
כאשר שיויון האפס בצד שמאל נובע מכך ש־ ,ϕ ∈ A0
והשיויון ל־ ciנובע מהגדרת העתקות הבסיס הנ"ל.
כלומר ci = 0לכל .1 ≤ i ≤ r
32
טענה 6.16אם U ≤ Vתת־מרחב ,אזי ) U 00 = Uתחת הזיהוי בין Vל־∗ ∗ .(V
הוכחה :נראה ש־ :U ⊆ U 00
אם ,ϕ ∈ U 0 ,α ∈ Uאזי:
)α(ϕ
ˆ
= ϕ(α) = 0
כאשר השיויון השמאלי הוא לפי ההגדרה ,והימני הוא כי .ϕ ∈ U 0
כעת נחשב מימדים:
= .dim(U 00 ) = dim(U 0 )0
ועקב הטענה הקודמת) :כאשר ∗ (U 0 ⊆ V
= ) = dim(V ∗) − dim(U 0
ועוד פעם הטענה הקודמת:
) dim(V ) − [dim(V ) − dim(U )] = dim(U
ובשל שיויון המימדים +הכלה ,נקבל .U 00 = U
הגדרה ) 6.17לא בדיוק הגדרה( ־ מהו ?U 00
= } U 00 = (U 0 )0 = {Ψ ∈ (V ∗) ∗ |Ψ(ϕ) = 0 , ∀ϕ ∈ U 0
ˆ| = {α ∈ V
= } α(ϕ) = 0 , ∀ϕ ∈ U 0
} = {α ∈ V |ϕ(α) = 0 , ∀ϕ ∈ U 0
משפט U, W ≤ V 6.18תתי מרחבים .אזי:
(U + W )0 = U 0 ∩ W 0 (1
(U ∩ W )0 = U 0 + W 0 (2
הוכחה (1 :נוכיח(U + W )0 = U 0 ∩ W 0 :
ראשית ,מכיוון ש־ U + Wמכיל גם את Uוגם את ,W
אזי (U + W )0מוכל גם ב־ U 0וגם ב־ W 0ולכן בחיתוך ,ולכן:
(*) .(W + U )0 ⊆ U 0 ∩ W 0
33
כעת,
U ∩W ⊆ U
ולכן (U ∩ W )0 ,מכיל גם את U 0וגם את .W 0
מתקיים גם:
U ∩W ⊆ W
ומאחר ש־ (U + W )0תת־מרחב ,הוא מכיל גם את סכומם:
(**) .U 0 + W 0 ⊆ (U ∩ W )0
וכעת נתבונן:
U 00 + W 00 = U + W
⊇ (U 0 ∩ W 0 )0
↑לפי )**(
⊇
((U + W )0 )0
= (U + W )00
↑לפי )*(,וכמו כן המאפסים הופכים הכלה
= U +W
↑טענה קודמת
לכן ,יש שיויון בין הקצה השמאלי והימני ולכן לאורך כל הדרך.
ובפרט((U + W )0 )0 = (U 0 ∩ W 0 )0 :
ולכן .(U + W )0 = U 0 ∩ W 0
.הוכחה (2 :נוכיח(U ∩ W )0 = U 0 + W 0 :
U 00 ∩ W 00 = U ∩ W
= (U 0 + W 0 )0
↑לפי ההוכחה הקודמת )(1
⊆
((U ∩ W )0 )0
= (U ∩ W )00
↑לפי )**(,וכמו כן המאפסים הופכים הכלה
= U ∩W
↑טענה קודמת
לכן ,יש שיויון בין הקצה השמאלי והימני ולכן לאורך כל הדרך.
ובפרט((U ∩ W )0 )0 = (U 0 + W 0 )0 :
ולכן (U ∩ W )0 = U 0 + W 0
7הדטרמיננטה
7.1
תמורות
הגדרה 7.1תמורה
הגדרה 7.2תמורה על } {1, ..., nזו פונקציה } σ : {1, ..., n} → {1, ..., nחח"ע ועל.
1
2
3
...
n
=σ
נסמן בד"כ:
)σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n
34
הגדרה 7.3הסימן של תמורה σעל } {1, ..., nהוא:
)σ(j)−σ(i
j−i
1≤i<j≤n
Q
= |})sg(σ) = (−1)|{(i,j)| , 1≤i<j≤n and σ(i)>σ(j
נאמר שתמורה עם sg = 1היא זוגית ,ותמורה עם sg = −1היא אי זוגית.
טענה 7.4אם σ, πתמורות ב־ Snאזי )sg(σ ◦ π) = sg(σ) · sg(π
הוכחה= :
)(σ◦π)(j)−(σ◦π)(i
j−i
Q
1≤i<j≤n
)Q σ(π(j))−σ(π(i)) Q π(j)−π(i
·
)π(j)−π(i
j−i
=
= )sg(σ ◦ π
)π(j)−π(i
)
j−i
)( (σ◦π)(j)−(σ◦π)(i
·
)π(j)−π(i
והביטוי האחרון שווה ל־
Q
=
)sg(σ) · sg(π
7.2
פונק' מולטי ליניאריות
הגדרה 7.5פונקציה מולטי ליניארית:
Vמ"ו מעל .Fפונק' n) Φ : V × V × ... × V → Fפעמים "מכפלה"(
תקרא מולטי ליניארית אם:
• לכל α1 , ..., αn , β ∈ Vולכל :1 ≤ i ≤ n
) Φ(α1 , ..., αi + β, ..., αn ) = Φ(α1 , ..., αi , ..., αn ) + Φ(α1 , ..., β, ..., αn
• לכל :c ∈ F
) Φ(α1 , ..., cαi , ..., αn ) = c · Φ(α1 , ..., αi , ..., αn
מסקנה 7.6לכל פונק' מולטי ליניארית:
• Φ(α1 , ..., αi−1 , ~0, ..., αn ) = 0
• ) Φ(cα1 , ..., αi , ..., αn ) = Φ(α1 , ..., cαi , ..., αnוכו'.
הגדרה 7.7פונקציה חילופית
Φ : V × ... × V → Fתיקרא חילופית ) (alternatingאם מקיימת:
לכל ,α1 , ..., αn ∈ Vאם יש 1 ≤ i 6= j ≤ nכך ש αi = αj :אזי:
Φ(α1 , ..., αn ) = 0
35
טענה 7.8אם Φ : V ×...×V → Fפונק' מולטי ליניארית וחילופית ,אזי לכל 1 ≤ i 6= j ≤ n
:
) Φ(α1 , ..., αi , ..., αj , ..., αn ) = −Φ(α1 , ..., αj , ..., αi , ..., αn
הוכחה :עקב זה שהיא חילופית ,מתקיים:
= ) 0 = Φ(α1 , ..., (αi + αj ), ..., (αi + αj ), ..., αn
= ) = Φ(α1 , ..., αi , ..., αi + αj , ..., αn ) + Φ(α1 , ..., αj , ..., αi + αj , ..., αn
= Φ(α1 , ..., αi , ..., αi , ..., αn ) + Φ(α1 , ..., αi , ..., αj , ..., αn )+
) +Φ(α1 , ..., αj , ..., αj , ..., αn ) + Φ(α1 , ..., αj , ..., αi , ..., αn
וכמובן ששני האיברים שבהם יש שני αעם אינדקבים שווים מתאפסים) ,אלה שלא מודגשים(,
וכשמעבירים אגף התוצאה נובעת.
משפט 7.9תהינה 2 Φ, Φ0 : Mn (F ) → Fפונק' מולטי ליניאריות וחילופיות,
)כאשר חושבים עליהן כפונק' על nהשורות של ) ,(Mn (F
ונניח ש־ Φלא זהותית .0
אזי ,קיים סקלר c ∈ Fכך ש־Φ0 = cΦ
הוכחה :ההוכחה תנבע מהטענות הבאות:
7.3השפעת פעולות אלמנטריות על Φ : Mn (F ) → F :מולטי ליניארית +
חילופית
יהיו ) .A, B ∈ Mn (F
• החלפת שורות:
אם Bמתקבלת מ־ Aע"י החלפת שורות,
אזי )Φ(B) = −Φ(A
• הכפלת שורה iבסקלר :c 6= 0
אם Bמתקבלת מ־ Aע"י הכפלת שורה iבסקלר ,c 6= 0
אזי )Φ(B) = cΦ(A
36
• הוספת cפעמים שורה iלשורה :(i 6= j) j
אם Bמתקבלת מ־ Aע"י הוספת cפעמים שורה iלשורה j
אזי ).Φ(b) = Φ(A
α1
α1
α1
.
..
..
.
.
.
.
αi
αi
αi
..
..
.
.
=
Φ
+
Φ
כי = :
.
.
.
αj + cαi
αj
cαi
.
.
.
.
..
..
.
αn
αn
αn
α1
..
.
αi
)= Φ(A) + cΦ ... = Φ(A) + c · 0 = Φ(A
αi
.
..
αn
Φ(b) = Φ
7.4מסקנות לגבי מט' הפיכות
מסקנה 7.10פעולות אלמנטריות יכולות לשנות את ,Φאבל אם היתה 0על ,Aתישאר .0
ואם היתה שונה מ־ 0על ,Aתישאר שונה מ־.0
מסקנה 7.11נזכיר שאם Aמט' n × nמעל שדה ,אזי יש 2אפשרויות:
• Aלא הפיכה ,ופעולות אלמנטריות מביאות אותה למטריצה מדורגת n × n
Dכך שהשורה האחרונה ב־ Dהיא .0ולכן Φ(D) = 0ולכן גם .Φ(A) = 0
כלומר אם Aלא הפיכה ,אזי .Φ(A) = 0
)כאשר Φמולטי ליניארית +חילופית(A ∈ Mn (F ) ,
• Aהפיכה ,ובמקרה זה ,הפעולות האלמנטריות מביאות אותנו למט' היחידה .In
אז יש שתי אפשרויות:
אם Φ(I) = 0אזי גם Φ(A) = 0וזה כך לכל Aהפיכה ,ולכן Φ ≡ 0לכל מטריצה
כלומר מעין העתקת האפס.
37
אם לא ,נניח .t 6= 0 ,Φ(I) = t ∈ F
ונניח .Φ0 (I) = c ∈ F
טענה 7.12בתנאים הנ"ל ,לכל ) :A ∈ Mn (Fמתקיים ).Φ0 (A) = ct Φ(A
הוכחה :זה נכון עבור .I
כמו כן לכל Aלא הפיכה זה נכון ,כי אז ) .Φ0 (A) = Φ(A) = 0נשכח מחלוקה באפס(...
ואם Aהפיכה:
אזי ניתן להגיע ממנה למט' היחידה ע"י כפל במט' אלמנטריות המייצגות פעולות.Ei :
וכל פעולה אלמנטרית כזאת כופלת את Φב־ ) iכלומר c ,−1או 1בהתאם לסוג הפעולה(
ולכן:
)t = Φ(I) = r · ... · 1 · Φ(A
)c = Φ0 (I) = r · ... · 1 · Φ0 (A
c
t
=
)r ·...·1 ·Φ0 (A
)r ·...·1 ·Φ(A
=
(
ולכן נחלק זו בזו וקיבלנו:
)Φ0 (A
)Φ(A
מסקנה 7.13יש לכל היותר פונק' מולטי ליניארית וחילופית אחת ΦהמקיימתΦ(I) = 1 :
עובדה :יש אחת ויחידה כזו וקוראים לה !!!Φ = det
מסקנה ) 7.14נוספת( :אם Φ : Mn (F ) → Fמולטי ליניארית +חילופית,
ו־ Φ(In ) = c ∈ Fאזי ) Φ(A) = c · det(Aלכל .A
7.5
הדטרמיננטה עצמה
P
הגדרה = σ∈Sn sg(σ) · a1σ(1) · ... · anσ(n) 7.15
a1n
...
.
.
.
. . . ann
a11
.
.
.
an1
det
טענה 7.16ראינו ש detהיא מולטי ליניארית על שורות המט' .A
נטען שהיא חילופית :כלומר אם יש ב־ Aשתי שורות שוות אז .det(A) = 0
38
הוכחה :ראשית נזכור שהסימן של תמורת חילוף )כלומר שמחליפים רק שני איברים( הוא
.−1
כעת נניח שהשורות s, tשוות atr = asr :לכל .1 ≤ r ≤ n
נסתכל בתמורה τשמחליפה את s, tולא מזיזה אף איבר אחר.
לכל תמורה σ ∈ Snנתאים בת זוג .σ 0 = σ ◦ τ
ומתקייםsg(σ 0 ) = sg(σ ◦ τ ) = sg(σ) · sg(τ ) = sg(σ) · (−1) = −sg(σ) :
ונזכור שיש ! nתמורות) .דיסקרטית ,מישהו(?...
ולכן ,יהיו ! σ1 , ..., σ nכך ש־ } !Sn = {σ1 , σ10 , ..., σ n! , σ 0n
2
2
2
ואז:
0
)0 (1) ·...·anσ 0 (n
sg(σm
)·a1σm
m
P n!2
m=1
sg(σm )·a1σm (1) ·...·anσm (n) +
וכמובן הם נגדיים אחד לשני ולכן סכומם הוא .0
!P n
2
m=1
משפט 7.17אם ) A, B ∈ Mn (Fאזיdet(AB) = det(A) · det(B) :
הוכחה :נקבע את .Bונגדיר Φ : Mn (F ) → F :ע"י:
).Φ(A) = det(AB
ברור שמתקיים ).Φ(I) = det(B
לפי המסקנה הקודמת )שלפני הטענה וההגדרה(,
אם נוכיח ש־ Φהיא מולטי ליניארית וחילופית ,אזי נקבל:
)בהצבת )det(AB) = Φ(A) = det(A) · c = det(A)det(B) :(c = det(B
כעת נוכיח זאת:
Φ (1היא מולטי ליניארית:
α1
אם ) A = ... כאשר αiמייצגים שורות(,
αn
אז
α1 B
.
.
.
αn B
AB =
39
= )det(A
α1
.
.
.
אזיA = αi + α0i
.
.
.
αn
α1
.
.
.
0
α
+
)נכון עקב דיסט' של כפלΦ(A) = det(
i αi
.
.
.
αn
אם,וכעת
α1 B
.
.
.
B) = det( αi B + α0 B
i
.
.
.
αn B
)
('מט
: היא מולטי ליניאריתdetומכיוון ש־
α1 B
..
.
= det(
αi B
..
.
αn B
) + det(
α1 B
.
.
.
α1
α1
..
..
.
.
0
0
αi B ) = det( αi B) + det(
αi B)
.
.
.
.
..
..
.
αn B
αn
αn
α1
α1
..
..
.
.
0
= Φ αi + Φ
αi
.
.
..
..
αn
αn
.ולכן הוכחנו את המולטי ליניאריות לחיבור
.( )ההוכחה דומה.כמו כן להכפלת שורה בסקלר
: אזי, שוותt, s אם שורות:נראה חילופיות
α1
α1
α1 B
..
..
..
.
.
.
αs
αs B
αs
Φ ... = det( ... B) = det( ... ) = 0
αt
αt B
αt
.
.
.
..
..
..
αn
αn
αn B
40
מטריצה משוחלפת7.18 הגדרה
.Bij = Aji : כך שn×m היא מטריצהB = AT : נסמןA ∈ Mm×n (F ) אם
.AT ∈ Mn×n (F ) אז גםA ∈ Mn×n (F ) אם,בפרט
.det(AT ) = det(A) אזי,A ∈ Mn (F ) 7.19 משפט
.(bij ) = B = AT נסמן:הוכחה
det(B) =
=
P
=
=
P
P
P
σ∈Sn
sg(σ) · b1σ(1) · ... · bnσ(n) =
σ∈Sn
sg(σ) · aσ(1)1 · ... · aσ(n)n =
σ∈Sn
σ∈Sn
sg(σ) · a1σ−1 (1) · ... · anσ−1 (n) =
: אזsg(σ) = sg(σ −1 ) ,וכעת
sg(σ −1 ) · a1σ−1 (1) · ... · anσ−1 (n) =
ולכן,־ות לא משנהσאבל סדר הריצה על ה־
= det(A)
?sg(σ) = sg(σ −1 ) למה7.20 למה
ולכןσ ◦ σ −1 = Id כי
1 = sg(Id) = sg(σ ◦ σ −1 ) = sg(σ) · sg(σ −1 )
.−1 או שניהם1 ולכן או שניהם
היא פונק' מולטי ליניארית וחילופית גם על העמודות שלdet : Mn (F ) → F 7.21 מסקנה
.A
T
β1
..
.
det( β1 · · · · · · βn ) = det( β1 · · · · · · βn T ) = det
..
.
βnT
41
© Copyright 2024