מועד א` פתור
בחינת הבגרות במתמטיקה ,קיץ תשע"א ,מועד א 5יחידות לימוד ,שאלון ,000שאלות ופתרונות הפתרונות נכתבו בהשתתפות עפר לוין 1 פרק ראשון – אלגברה ( 33נקודות) 3 ענה על אחת השאלות 2-1 .1 במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים. פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים. 1 מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו, לו פועל ותיק היה עובד 3 1 מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו, ופועל חדש היה עובד 3 13 מעבודה זו. אז יחד הם היו מבצעים 18 פועל ותיק מבצע לבד את העבודה במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש. א .מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד את העבודה, ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה. נסמן ב x -את הזמן שלוקח לפועל ותיק לסיים לבדו את העבודה נסמן ב y -את הזמן שלוקח לפועל חדש לסיים לבדו את העבודה נתון כי x y y יש למצוא את המנה x ,כאשר . .y>x פועל זמן (שעות) ותיק x חדש y ותיק חדש y 3 x 3 הספק לשעה (מ"ק) 1 x 1 y 1 x 1 y חלקי עבודה 1 1 y 3x x 3y y x 13 העבודה שנעשתה ע"י שני הפועלים היא 3x 3 y 18 t 1 13 y לאחר סימון היחס ב t -מתקבלת המשוואה 6t 2 13t 6 0 3 3t 18 x y 3 y 2 למשוואה שני פתרונות , t2 : x 2 x 3 . t1 y 3 y מכיוון ש , 1הפתרון המתאים לתנאי הבעייה הוא x 2 x כלומר פועל חדש יבצע את העבודה בזמן הגדול פי 1.5מפועל ותיק. ב .נתון כי פועל ותיק מרכיב 9מחשבונים בשעה. ( )1כמה מחשבונים בשעה מרכיב פועל חדש? ( )2מקימים שני צוותי עבודה: בצוות Iיש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים; בצוות IIיש פועל אחד ותיק ושני פועלים חדשים. כל צוות מרכיב אותו מספר מחשבונים. צוות Iעבד שעה אחת פחות מאשר צוות .II מצא כמה שעות עבד צוות .II (כל הפועלים הוותיקים עובדים באותו קצב ,וכל הפועלים החדשים עובדים באותו קצב) ( )1בשעה אחת מרכיב פועל ותיק 9מחשבונים .לפי מה שחישבנו ,אותה עבודה דורשת מפועל חדש 9 זמן גדול פי ,1.5כלומר שעה וחצי .לכן פועל חדש מרכיב בשעה 6 מחשבונים. 1.5 ( )2צוות ן מרכיב בשעה 6 2 9 24מחשבונים וצוות IIמרכיב בשעה 9 2 6 21 מחשבונים .נסמן את מספר שעות העבודה של צוות IIב . t -לכן ,מספר שעות העב ודה של צוות I הוא . t 1השוואה של מה שהספיקו שני הצוותים נותנת את המשוואה 21t הוא 8 .2 )1 24(tשפתרונה . tלכן צוות IIעבד 8שעות. א .הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת ,כי לכל nטבעי גדול מ 1-מתקיים: (*) 2n1 (2n 3n ) 5n בדיקה: 2(22 32 ) 26 25 : n 2 הנחה: נניח ש אי ה שוויון (*) נכון עבור n kטבעי כלשהו הגדול מ 1-כלומר2k 1 (2k 3k ) 5k , יש להוכיח על סמך ההנחה ש אי ה שוויון (*) נכון עבור n k 1כלומר2k (2k 1 3k 1 ) 5k 1 , ) 2k (2k 1 3k 1 וזה שקול ל - 5 5k הוכחה: k 1 k 1 ) 3 על סמך ההנחה ) 5k 2k 1 (2k 3kדי להוכיח כי 5 k k k 1 k 1 נכפול את אי ה שוויון ב 5-ונחלק ב ( 2k 1 -חיובי לכל ) kנותר ל הוכיח כי ) 5(2 3 ) 2(2 3 k 2 (2 2k 1 (2k 3k ) חישוב פשוט מעביר מאי שוויון זה לאי השוויון 2k 3kשהוא ט ריוויאלי ( 2קטן מ 3-והמעריך הוא מספר טבעי). משפט סיום: בדקנו כי אי ה שוויון (*) נכון עבור , n 2הנחנו את נכונותו עבור n kטבעי כלשהו הגדול מ 1- והוכחנו ש הוא נכון גם עבור . n k 1לכן על סמך האינדוקציה המתמטית ,אי ה שוויון (*) נכון לכל n טבעי הגדול מ .1- הוכחה חלופית. בביטוי ) (2n 3nהמופיע באגף שמאל של אי -השיוויון (*) המחובר הגדל יותר כאשר nגדל הוא . 3n לכן ננסה להסתדר בלי המחובר השני ולהוכיח את אי השוויון . 2n13n 5n 6n אגף שמאל של אי שיוויון זה הוא 2 2n n 3 2 ולכן הוא שקול לאי השיוויון 6n 5n 2 (**) נחפש מספר nהמקיים את (**) ,ונסמנו ב .t-כל nהגדול מ t-שווה ל t+k -כאשר kהוא לפחות .1 ל n-כזה אי השוויון (**) .הוא 5n 6t k 6 2 5t 5k ואי שוויון זה מתקבל מהכפלת אגפי אי השיוויונים 5t כך הוכחנו את (**) ,ולכן גם את (*) ,לכל t 6t k 2 6t 2 6n 2 ו5k - .n חישוב ישיר מראה ש )**(-נכון ל ,n=4 -ולכן (**) וגם (*) נכונים לכל 4 מוכחת ע"י חישוב ישיר.. 6kזה בזה. . nנכונות (*) עבור n = 2 , 3 ב .בהסתמך על סעיף א הוכח: (2101 3101) 55150 (22 32 ) (23 33 ) 100 212 על סמך סעיף א' ניתן לכתוב את 111אי ה שוויונות הבאים: 21 (22 32 ) 52 22 (23 33 ) 53 23 (24 34 ) 54 2100 (2101 3101 ) 5101 נכפול את כל האגפים השמאליים ואת כל האגפים הימניים 5101 (2101 3101 ) 52 53 2100 (22 32 )(23 33 ) 21 22 שימוש ב חוקי חזקות (באגף שמאל) ושימוש בחוקי חז קות ובסכום סדרה חשבונית (2101 3101) 55150 (22 32 ) (23 33 ) 100 212 2 פרק שני -חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ,טריגונומטריה ( 66נקודות) 3 1 ענה על שתים מבין השאלות ( 5-3לכל שאלה 33 -נקודות ) 3 .3 . ( )1למציאת תחום ההגדרה של הפונקציה יש לפתור את אי ה שוויוןx a, x a x2 a 2 0 : ( )2אסימפטוטות אופקיות :לx 0 - a a2 x2 ) f (x וכאשר xשואף לאינסוף a2/x2שואף ל,1- 1 והביטוי תחת השורש ,ולכן גם השורש ,שואפים ל ,1-ולכן ) f(xשואף ל .a-והישר a אופקית. כאשר x<0קיים a a2 x2 yהוא אסימפטוטה ) f (xוממשיכים כמו קודם ומקבלים ש f(x) -שואף ל ,-a-והישר a y 1 הוא אסימפטוטה אופקית. אסימפטוטות אנכיות : ax x2 a2 , lim xa ax x2 a2 lim x a מכאן ,לפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות x a a3 f ( x) ( ) 3למציאת תחומי עליה וירידה יש לגזור את הפונקציה ) x2 a2 ( x2 a2 מכיוון ש a 0 :והמכנה חיובי לכל xבתחום ההגדרה f ( x) 0 ,ולכן הפונקציה יורדת. אפשר להוכיח שהפונקציה יורדת גם בלי לגזור ,כך. a ) x2 f (xהיא פונקציה עולה של xלכן a2/x2היא פונקציה יורדת ל x>0 -נצא מ - a2 1 x2 . של , xומה שיש בשורש ,והשורש עצמו ,הן פונקציות עולות של xו f(x)-היא יורדת. ל x<0 -נצא מ- a ) x2 . f (xהיא פונקציה יורדת של xלכן a2/x2היא פונקציה עולה של ,x 2 a x2 ומה שיש בשורש ,והשורש עצמו ,הן פונקציות יורדות של xו f(x)-היא יורדת. 1 ( ) 4גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה y-כי הפונקציה אינה מוגדרת ב ,1-ואינו חותך את ציר ה x-כי המונה שונה מ 1-בתחום ההגדרה . ( )1גרף הפונקציה עבור a 0 ב )2( .גרף הפונקציה עבור a 0 ג .נתונה הפונקציה a 0 , g ( x) f ( x) a הפונקציה ) g ( xמתקבלת על ידי הזזת הפונקציה ) f ( xמטה לאורך ציר ה y -ב a -יחידות לכן האסימפטוטות האנכיות של ) g ( xאינן משתנות האסימפטוטות האופקיות של ) g ( xהןy 0, y 2a : ( ) 1ברור כי כמו ) f(xגם ) g(xהיא פונקציה יורדת בכל תחומה .ל x>0 -יש ל g(x)-אסימפטוטה אנכית x=0 בכוון למעלה ,וימינה היא יורדת לאסימפטוטה האופקית ,y=0לכן ) g(xמקבלת עבור ערכי ה x- החיוביים בתחומה את כל הערכים החיוביים .ל x<0-יש ל g(x)-אסימפטוטה אנכית x=0בכוון למטה, ובצד שמאל היא יורדת מן האסימפטוטה האופקית 2a , yלכן ) g(xמקבלת עבור ערכי ה x- השליליים בתחומה את כל הערכים הקטנים מ . 2a - א .למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון יש לפתור את המשוואהf ( x) (2 x 2)sin( x2 2 x) 0 : הנגזרת מתאפסת כאשר x 1וכאשר , x2 2 x k k 0, 1, 2, למציאת הפתרונות הנוספים על x 1יש לפתור את המשוואה . x2 2 x k 0פתרונות משוואה זאת הם . 1 1 kערכי kהנותנים פתרונות הנמצאים בתוך התחום הם הערכים המקיימים 1 5 . 2 1 1 k 2הערך היחיד של kהמקיים אי שוויונות אלו הוא .,k=0ועבורו . x 0, x 2 טבלת הערכים בנקודות החשודות היא 2.5 2 1 1 -0.5 x 1.32 1 0.54 1 1.32 )f(x מינימום מקסימום מינימום מקסימום מינימום כאשר השורה התחתונה נובעת מן השורות שמעליה. ב .גרף הפונקציה בתחום 0.5 x 2.5 ג .פונקציית הנגזרת מתאפסת בנקודות . x 0, x 1, x 2 בתחום f ( x) 0 , 0 x 1ובתחום f ( x) 0 , 1 x 2 לכן השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת וציר ה x- 2 1 1 0 הוא f ( x)dx f ( x)dx f (1) f (0) f (2) f (1) 0.92 : לפי משפט הסינוסים ,במשולש חסום ע"י מעגל ברדיוס rאורך הצלע הנמצאת מול זווית , 2r sinלכן אם בשני משולשים שונים נמצאת אותה זווית הוא אז יחס הצלעות הנמצאות מול הזווית שווה ליחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים של שני המשולשים .במקרה הנוכחי הזווית המשותפת היא APB CPDולכן אם rהוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש APBאז 4.5/r=PD/PB=3/2ולכן .r=3 ( BPD שימוש במשפט :זווית בין משיק למיתר בכל אחד משני המעגלים) ( BP 6sin , DP 9sin משפט סינוסים במשולשים CPDו ) APB - ) ( BD 36sin 2 81sin 2 108sin sin cos( משפט קוסינוסים במשולש ) BPD PD 3 אם BD 117sin 2 108sin 2 cos 2 PB 2 ( BD 3sin 1 24sin 2 שימוש בזהות לזווית כפולה ו ב הוצאת כופל מחוץ לשורש)
© Copyright 2024