תורת הקבוצות — תרגיל בית 7

‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪7‬‬
‫חיים שרגא רוזנר‬
‫י"ב באייר תשע"ד‬
‫תקציר‬
‫אקסיומות‬
‫‪1‬‬
‫‪ZFC‬‬
‫)לא כולל אקסיומת הבחירה(‪.‬‬
‫מערכת אקסיומות‬
‫‪ZFC‬‬
‫אנו מציגים מערכת אקסיומות‪ ,‬ובעזרתן מגדירים את המושג קבוצה‪ .‬אם הצלחנו לתאר אובייקט כלשהו‬
‫שאיננו מקיים את אחת האקסיומות האלו‪ ,‬הרי שנאמר שאובייקט זה איננו קבוצה‪.‬‬
‫‪1.1‬‬
‫אקסיומת‬
‫הקבוצה הריקה‬
‫אקסיומת ההיקפיות‬
‫סכמת אקסיומות‬
‫ההפרדה‬
‫אקסיומת הקבוצה הריקה‪ ,‬אקסיומת ההיקפיות וסכמת ההפרדה‬
‫אקסיומה קיימת קבוצה ריקה‪.‬‬
‫אקסיומה קבוצות נקבעות על ידי איבריהן‪ .‬לשון אחר‪ x = y :‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ .‬לכל ‪ z‬מתקיים ‪.z ∈ x ↔ z ∈ y‬‬
‫סכמת אקסיומות אם ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ו־‪ ϕ‬תכונה‪ ,‬אזי אוסף האיברים ב־‪ A‬המקיימים את התכונה ‪ ϕ‬הוא‬
‫קבוצה‪ .‬לשון אחר‪ :‬תהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה )אולי עם עוד פרמטרים( ותהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף‬
‫})‪ {x ∈ A: ϕ (x, A‬הוא קבוצה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 1.1‬הקבוצה הריקה ∅ היא יחידה‪.‬‬
‫‪.A ∩ B = {x: x ∈ A‬‬
‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪x ∈ B} :‬‬
‫‪or‬‬
‫∈‪x‬‬
‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪/ B} :‬‬
‫‪and‬‬
‫‪.A \ B = {x: x ∈ A‬‬
‫תרגיל נסמן על ידי ‪ V‬את מחלקת כל הקבוצות‪ .‬הוכיחו כי ‪ V‬איננה קבוצה‪.‬‬
‫פתרון )הפרדוקס של ראסל( נניח בשלילה כי קיימת הקבוצה ‪ ,V‬קבוצת כל הקבוצות‪ .‬נסמן נוסחה‬
‫∈ ‪ .ϕ (x) = [x‬אזי לפי סכמת ההפרדה קיימת הקבוצה })‪ .B = {x ∈ V : ϕ (x‬כעת נבדוק‬
‫]‪/ x‬‬
‫האם ‪ B ∈ B‬או לא‪ B .‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן היא שייכת לקבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬לפיכך מתקיים‬
‫‪ .B ∈ V‬כל שנותר לבדוק הוא האם )‪ ϕ (B‬או לא‪ .‬ראשית נניח כי )‪ .ϕ (B‬במקרה כזה‪B ,‬‬
‫∈ ‪.ϕ (B) = [B‬‬
‫מקיימת את כל התנאים כדי להיכלל ב־‪ ,B‬ולכן ‪ ,B ∈ B‬ובסתירה להנחה ]‪/ B‬‬
‫∈ ‪,B‬‬
‫לכן ההנחה כי )‪ ϕ (B‬איננה נכונה‪ .‬כעת נניח כי )‪ .¬ϕ (B‬במקרה כזה ברור שמתקיים ‪/ B‬‬
‫כי ‪ B‬איננה מקיימת את הדרישה שלפיה הגדרנו את הקבוצה ‪ .B‬אלא שפירוש הנוסחא )‪¬ϕ (B‬‬
‫הוא הפוך‪ ,‬שהרי הוא קובע ‪ .B ∈ B‬ולכן גם הנחה זו מביאה לסתירה‪ .‬אם כן‪ ,‬הגענו כאן לכך‬
‫שכל אפשרות בשאלה האם ‪ B ∈ B‬מביאה אותנו לסתירה‪ ,‬ולכן אין אפשרות נכונה‪ .‬לפיכך‬
‫ההנחה שהנחנו בשלילה מובילה לסתירה ואינה נכונה‪ ,‬ו־ ‪ V‬איננה קבוצה‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל מצאו את הסתירה בדרך ההוכחה הבאה‪ ,‬הוכחה שכל הקבוצות הקיימות הן ריקות‪.‬‬
‫∈ ‪.B = {x ∈ A: x‬‬
‫תהי ∅ =‪ A 6‬קבוצה‪ ,‬ונגדיר תת־קבוצה ‪ B‬של ‪ A‬על ידי }‪/ B‬‬
‫קבוצה זו הוגדרה בעזרת סכמת ההפרדה‪ ,‬כאשר הנוסחא ‪ ϕ‬היא ‪ .¬x ∈ B‬מכיוון ש־‪A‬‬
‫לא ריקה‪ ,‬ניתן לבחור ‪ x ∈ A‬כלשהו‪ .‬נבדוק האם ‪ x ∈ B‬או לא‪ .‬נניח ‪ .x ∈ B‬אזי‬
‫∈ ‪ x‬אז ‪ x‬מקיים את הדרוש‬
‫∈ ‪ ,x‬וזו סתירה‪ .‬מנגד‪ ,‬אם ‪/ B‬‬
‫מהגדרת ‪ B‬אנו יודעים כי ‪/ B‬‬
‫מאיברי ‪ ,B‬ולכן ‪ ,x ∈ B‬וגם זו סתירה‪ .‬מצאנו‪ ,‬אם כן כי כל האפשרויות לענות לשאלה‬
‫"האם ‪ x‬הוא איבר של ‪ "?B‬אינן נכונות‪ ,‬וכך מצאנו סתירה להנחה בשלילה כי קיימת‬
‫∅ =‪ .A 6‬המסקנה העולה היא כי כל קבוצה היא ריקה‪ .‬לפי אקסיומת ההיקפיות ניתן‬
‫לקבוע כי יש רק קבוצה אחת‪ ,‬והיא הקבוצה הריקה‪.‬‬
‫תרגיל תהי ‪ A‬קבוצה ותהי )‪ ϕ (x‬נוסחא‪ .‬הוכיחו את קיום הקבוצות‬
‫})‪{x ∈ A: ϕ (x‬‬
‫=‬
‫‪A1‬‬
‫})‪{x ∈ A: ¬ϕ (x‬‬
‫=‬
‫‪A2‬‬
‫הראו כי לכל איבר ‪ a‬ב־‪ A‬מתקיים בדיוק אחד מהשניים‪:‬‬
‫• ‪a ∈ A1‬‬
‫• ‪.a ∈ A2‬‬
‫הסיקו כי על ידי ההפרדה ניתן להפריד את ‪ A‬לשתי קבוצות זרות‪ ,‬זו שמקיימת את ‪ ϕ‬וזו שאינה‬
‫מקיימת את ‪.ϕ‬‬
‫‪1.2‬‬
‫אקסיומת הזוגות‬
‫אקסיומות בנייה‪ :‬הזוגות‪ ,‬האיחוד‪ ,‬ההחלפה‪ ,‬החזקה‪.‬‬
‫אקסיומה תהיינה ‪ x, y‬קבוצות‪ .‬אזי האוסף }‪ {x, y‬הוא קבוצה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2‬זוג סדור ‪ ha, bi‬הוא הקבוצה }}‪ .ha, bi = {a, {a, b‬לזוג זה התכונה ‪ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬‬
‫א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪ .b1 = b2‬הזוג הסדור מוגדר בעזרת שימוש חוזר באקסיומת הזוגות‪.‬‬
‫אקסיומת האיחוד‬
‫תרגיל נביט בנסיון אחר להגדיר את הזוג הסדור‪ .‬ננסה להגדיר }}‪ .ha, bi = {a, {b‬בעזרת הגדרה‬
‫נסיונית זו‪ ,‬מצאו דוגמא נגדית לתכונה ‪ ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪.b1 = b2‬‬
‫‪S‬‬
‫אקסיומה תהי ‪ F‬קבוצה‪ .‬אזי }‪ F = {x: ∃y, x ∈ y ∧ y ∈ F‬היא קבוצה‪.‬‬
‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 3‬איברים‪.‬‬
‫פתרון דרך ההיסק נתונה בטבלה‪ .‬אנו משתמשים כאן חזור והשתמש באקסיומת הזוגות‪ ,‬וכן במסקנה‬
‫‪ 1.1‬ובאקסיומת האיחוד‪.‬‬
‫מספר צעד‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫תוצאה‬
‫∅‬
‫}∅{‬
‫}}∅{{‬
‫}}}∅{{{‬
‫}}∅{ ‪{∅,‬‬
‫}}}∅{ ‪{{{{∅}}} , {∅,‬‬
‫}}∅{ ‪{{{∅}} , ∅,‬‬
‫‪2‬‬
‫נימוק‬
‫מסקנה ‪1.1‬‬
‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.1‬‬
‫זיווג של ‪ 2‬עם ‪.2‬‬
‫זיווג של ‪ 3‬עם ‪.3‬‬
‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.2‬‬
‫זיווג של ‪ 4‬עם ‪.5‬‬
‫איחוד של ‪.6‬‬
‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי קיימת הקבוצה }}∅{ ‪ .{{{∅}} , ∅,‬בקבוצה זו יש שלושה איברים שונים‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‬
‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 4‬איברים‪ .‬מומלץ להמשיך את המספור מהשאלה הקודמת‪.‬‬
‫סכמת אקסיומות‬
‫ההחלפה‬
‫סכמת אקסיומות תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ותהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה‪ ,‬אשר היא כלל התאמה חד־ערכי על איברי ‪.A‬‬
‫לשון אחר‪ ,‬לכל ‪ x ∈ A‬קיים ויחיד ‪ y‬כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬אזי תמונת ‪ ,ϕ‬האוסף })‪,{y: ∃x ∈ A, ϕ (x, y‬‬
‫הוא קבוצה‪.‬‬
‫תרגיל נניח כי )‪ ϕ (x, y‬היא נוסחא המקיימת‪ :‬לכל ‪ x‬קיים לכל היותר ‪ y‬אחד כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬לשון‬
‫אחר‪:‬‬
‫)‪∀x∀y∀z (ϕ (x, y) ∧ ϕ (x, z) → y = z‬‬
‫הוכיחו כי לכל קבוצה ‪ A‬קיימת הקבוצה ‪ B‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬אם קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ϕ (x, y‬‬
‫אזי קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ ϕ (x, y‬וגם ‪.y ∈ B‬‬
‫אקסיומת קבוצת‬
‫החזקה‬
‫אקסיומה תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף }‪ P (A) = {x: x ⊆ A‬הוא קבוצה‪.‬‬
‫תרגיל בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה בת ‪ 128‬איברים‪ .‬בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה‬
‫בת ‪ 127‬איברים‪.‬‬
‫תרגיל הראנו בכיתה כי לכל ‪ .P (X) * X ,X‬הסיקו כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪.V‬‬
‫‪1.3‬‬
‫אקסיומות נוספות‬
‫בסעיף זה נביא אקסיומות שהן פחות אינטואיטיביות‪ .‬חלקן מוגדרות בעזרת מושגים מהאקסיומות‬
‫הקודמות‪.‬‬
‫אקסיומת האינסוף‬
‫אקסיומה קיימת קבוצה ‪ I‬כך ש־‪ ∅ ∈ I‬וכן לכל ‪ a ∈ I‬גם ‪.S (a) = a ∪ {a} ∈ I‬‬
‫מסקנה ‪ 1.3‬בעזרת הפרדה מקבוצה זו‪ ,‬ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסודרים הטבעיים ‪.ω‬‬
‫אקסיומת היסוד‬
‫אקסיומה לכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר מינימלי ליחס השייכות‪.‬‬
‫לשון אחר‪ :‬בכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר ‪ a ∈ A‬כך שאין איבר ‪ b ∈ A‬המקיים ‪.b ∈ a‬‬
‫בניסוח פורמלי‪:‬‬
‫∈ ‪∀A [A = ∅ ∨ ∃a ∈ A∀b ∈ A (b‬‬
‫])‪/ a‬‬
‫אקסיומת היסוד נועדה למנוע מצבים מוזרים ומקרים פתולוגיים‪.‬‬
‫תרגיל הראו‪ ,‬לכל אחת מהקבוצות הבאות‪ ,‬כי הן מקיימות את אקסיומת היסוד‪:‬‬
‫‪.∅ .1‬‬
‫‪.{∅} .2‬‬
‫‪.{{∅} , {∅, {∅}}} .3‬‬
‫‪3‬‬
‫שימו לב! נתבקשתם להוכיח כי האקסיומה מתקיימת עבור הקבוצות האלו‪ ,‬אין צורך להראות‬
‫כי כל האיברים מקיימים את האקסיומה‪.‬‬
‫תרגיל האם תיתכן הקבוצה }‪ A = {A0 , A1 , A2 , . . . , Ai , . . . : i ∈ ω‬כך שלכל ‪ i ∈ ω‬מתקיים ∈ ‪Ai+1‬‬
‫‪?Ai‬‬
‫תרגיל הוכיחו‪ ,‬בעזרת אקסיומת היסוד‪ ,‬כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬שימו לב להבדל בין‬
‫הוכחה זו לבין הפרדוקס של ראסל והתרגיל לפי קבוצת החזקה‪.‬‬
‫תרגיל האם קיימות קבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪?A ∈ B ∈ A‬‬
‫הדרכה השתמשו באקסיומת הזוגות‪.‬‬
‫אקסיומת הבחירה‬
‫אקסיומה ‪S‬לכל קבוצה ‪ F‬של קבוצות לא ריקות‪ ,‬יש פונקציית בחירה על ‪ ,F‬כלומר פונקציה → ‪f : F‬‬
‫‪ F‬המקיימת‪ :‬לכל ‪.f (A) ∈ A ,A ∈ F‬‬
‫‪4‬‬