‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪7‬‬ ‫חיים שרגא רוזנר‬ ‫י"ב באייר תשע"ד‬ ‫תקציר‬ ‫אקסיומות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ZFC‬‬ ‫)לא כולל אקסיומת הבחירה(‪.‬‬ ‫מערכת אקסיומות‬ ‫‪ZFC‬‬ ‫אנו מציגים מערכת אקסיומות‪ ,‬ובעזרתן מגדירים את המושג קבוצה‪ .‬אם הצלחנו לתאר אובייקט כלשהו‬ ‫שאיננו מקיים את אחת האקסיומות האלו‪ ,‬הרי שנאמר שאובייקט זה איננו קבוצה‪.‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫אקסיומת‬ ‫הקבוצה הריקה‬ ‫אקסיומת ההיקפיות‬ ‫סכמת אקסיומות‬ ‫ההפרדה‬ ‫אקסיומת הקבוצה הריקה‪ ,‬אקסיומת ההיקפיות וסכמת ההפרדה‬ ‫אקסיומה קיימת קבוצה ריקה‪.‬‬ ‫אקסיומה קבוצות נקבעות על ידי איבריהן‪ .‬לשון אחר‪ x = y :‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ .‬לכל ‪ z‬מתקיים ‪.z ∈ x ↔ z ∈ y‬‬ ‫סכמת אקסיומות אם ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ו־‪ ϕ‬תכונה‪ ,‬אזי אוסף האיברים ב־‪ A‬המקיימים את התכונה ‪ ϕ‬הוא‬ ‫קבוצה‪ .‬לשון אחר‪ :‬תהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה )אולי עם עוד פרמטרים( ותהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף‬ ‫})‪ {x ∈ A: ϕ (x, A‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.1‬הקבוצה הריקה ∅ היא יחידה‪.‬‬ ‫‪.A ∩ B = {x: x ∈ A‬‬ ‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪x ∈ B} :‬‬ ‫‪or‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫תרגיל תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה‪/ B} :‬‬ ‫‪and‬‬ ‫‪.A \ B = {x: x ∈ A‬‬ ‫תרגיל נסמן על ידי ‪ V‬את מחלקת כל הקבוצות‪ .‬הוכיחו כי ‪ V‬איננה קבוצה‪.‬‬ ‫פתרון )הפרדוקס של ראסל( נניח בשלילה כי קיימת הקבוצה ‪ ,V‬קבוצת כל הקבוצות‪ .‬נסמן נוסחה‬ ‫∈ ‪ .ϕ (x) = [x‬אזי לפי סכמת ההפרדה קיימת הקבוצה })‪ .B = {x ∈ V : ϕ (x‬כעת נבדוק‬ ‫]‪/ x‬‬ ‫האם ‪ B ∈ B‬או לא‪ B .‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן היא שייכת לקבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬לפיכך מתקיים‬ ‫‪ .B ∈ V‬כל שנותר לבדוק הוא האם )‪ ϕ (B‬או לא‪ .‬ראשית נניח כי )‪ .ϕ (B‬במקרה כזה‪B ,‬‬ ‫∈ ‪.ϕ (B) = [B‬‬ ‫מקיימת את כל התנאים כדי להיכלל ב־‪ ,B‬ולכן ‪ ,B ∈ B‬ובסתירה להנחה ]‪/ B‬‬ ‫∈ ‪,B‬‬ ‫לכן ההנחה כי )‪ ϕ (B‬איננה נכונה‪ .‬כעת נניח כי )‪ .¬ϕ (B‬במקרה כזה ברור שמתקיים ‪/ B‬‬ ‫כי ‪ B‬איננה מקיימת את הדרישה שלפיה הגדרנו את הקבוצה ‪ .B‬אלא שפירוש הנוסחא )‪¬ϕ (B‬‬ ‫הוא הפוך‪ ,‬שהרי הוא קובע ‪ .B ∈ B‬ולכן גם הנחה זו מביאה לסתירה‪ .‬אם כן‪ ,‬הגענו כאן לכך‬ ‫שכל אפשרות בשאלה האם ‪ B ∈ B‬מביאה אותנו לסתירה‪ ,‬ולכן אין אפשרות נכונה‪ .‬לפיכך‬ ‫ההנחה שהנחנו בשלילה מובילה לסתירה ואינה נכונה‪ ,‬ו־ ‪ V‬איננה קבוצה‪ .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל מצאו את הסתירה בדרך ההוכחה הבאה‪ ,‬הוכחה שכל הקבוצות הקיימות הן ריקות‪.‬‬ ‫∈ ‪.B = {x ∈ A: x‬‬ ‫תהי ∅ =‪ A 6‬קבוצה‪ ,‬ונגדיר תת־קבוצה ‪ B‬של ‪ A‬על ידי }‪/ B‬‬ ‫קבוצה זו הוגדרה בעזרת סכמת ההפרדה‪ ,‬כאשר הנוסחא ‪ ϕ‬היא ‪ .¬x ∈ B‬מכיוון ש־‪A‬‬ ‫לא ריקה‪ ,‬ניתן לבחור ‪ x ∈ A‬כלשהו‪ .‬נבדוק האם ‪ x ∈ B‬או לא‪ .‬נניח ‪ .x ∈ B‬אזי‬ ‫∈ ‪ x‬אז ‪ x‬מקיים את הדרוש‬ ‫∈ ‪ ,x‬וזו סתירה‪ .‬מנגד‪ ,‬אם ‪/ B‬‬ ‫מהגדרת ‪ B‬אנו יודעים כי ‪/ B‬‬ ‫מאיברי ‪ ,B‬ולכן ‪ ,x ∈ B‬וגם זו סתירה‪ .‬מצאנו‪ ,‬אם כן כי כל האפשרויות לענות לשאלה‬ ‫"האם ‪ x‬הוא איבר של ‪ "?B‬אינן נכונות‪ ,‬וכך מצאנו סתירה להנחה בשלילה כי קיימת‬ ‫∅ =‪ .A 6‬המסקנה העולה היא כי כל קבוצה היא ריקה‪ .‬לפי אקסיומת ההיקפיות ניתן‬ ‫לקבוע כי יש רק קבוצה אחת‪ ,‬והיא הקבוצה הריקה‪.‬‬ ‫תרגיל תהי ‪ A‬קבוצה ותהי )‪ ϕ (x‬נוסחא‪ .‬הוכיחו את קיום הקבוצות‬ ‫})‪{x ∈ A: ϕ (x‬‬ ‫=‬ ‫‪A1‬‬ ‫})‪{x ∈ A: ¬ϕ (x‬‬ ‫=‬ ‫‪A2‬‬ ‫הראו כי לכל איבר ‪ a‬ב־‪ A‬מתקיים בדיוק אחד מהשניים‪:‬‬ ‫• ‪a ∈ A1‬‬ ‫• ‪.a ∈ A2‬‬ ‫הסיקו כי על ידי ההפרדה ניתן להפריד את ‪ A‬לשתי קבוצות זרות‪ ,‬זו שמקיימת את ‪ ϕ‬וזו שאינה‬ ‫מקיימת את ‪.ϕ‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫אקסיומת הזוגות‬ ‫אקסיומות בנייה‪ :‬הזוגות‪ ,‬האיחוד‪ ,‬ההחלפה‪ ,‬החזקה‪.‬‬ ‫אקסיומה תהיינה ‪ x, y‬קבוצות‪ .‬אזי האוסף }‪ {x, y‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 1.2‬זוג סדור ‪ ha, bi‬הוא הקבוצה }}‪ .ha, bi = {a, {a, b‬לזוג זה התכונה ‪ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬‬ ‫א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪ .b1 = b2‬הזוג הסדור מוגדר בעזרת שימוש חוזר באקסיומת הזוגות‪.‬‬ ‫אקסיומת האיחוד‬ ‫תרגיל נביט בנסיון אחר להגדיר את הזוג הסדור‪ .‬ננסה להגדיר }}‪ .ha, bi = {a, {b‬בעזרת הגדרה‬ ‫נסיונית זו‪ ,‬מצאו דוגמא נגדית לתכונה ‪ ha1 , b1 i = ha2 , b2 i‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ a1 = a2 .‬וכן ‪.b1 = b2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫אקסיומה תהי ‪ F‬קבוצה‪ .‬אזי }‪ F = {x: ∃y, x ∈ y ∧ y ∈ F‬היא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 3‬איברים‪.‬‬ ‫פתרון דרך ההיסק נתונה בטבלה‪ .‬אנו משתמשים כאן חזור והשתמש באקסיומת הזוגות‪ ,‬וכן במסקנה‬ ‫‪ 1.1‬ובאקסיומת האיחוד‪.‬‬ ‫מספר צעד‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תוצאה‬ ‫∅‬ ‫}∅{‬ ‫}}∅{{‬ ‫}}}∅{{{‬ ‫}}∅{ ‪{∅,‬‬ ‫}}}∅{ ‪{{{{∅}}} , {∅,‬‬ ‫}}∅{ ‪{{{∅}} , ∅,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נימוק‬ ‫מסקנה ‪1.1‬‬ ‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.1‬‬ ‫זיווג של ‪ 2‬עם ‪.2‬‬ ‫זיווג של ‪ 3‬עם ‪.3‬‬ ‫זיווג של ‪ 1‬עם ‪.2‬‬ ‫זיווג של ‪ 4‬עם ‪.5‬‬ ‫איחוד של ‪.6‬‬ ‫מצאנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬כי קיימת הקבוצה }}∅{ ‪ .{{{∅}} , ∅,‬בקבוצה זו יש שלושה איברים שונים‪ ,‬כנדרש‪.‬‬ ‫‬ ‫תרגיל בנו קבוצה בת ‪ 4‬איברים‪ .‬מומלץ להמשיך את המספור מהשאלה הקודמת‪.‬‬ ‫סכמת אקסיומות‬ ‫ההחלפה‬ ‫סכמת אקסיומות תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ותהי )‪ ϕ (x, y‬נוסחה‪ ,‬אשר היא כלל התאמה חד־ערכי על איברי ‪.A‬‬ ‫לשון אחר‪ ,‬לכל ‪ x ∈ A‬קיים ויחיד ‪ y‬כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬אזי תמונת ‪ ,ϕ‬האוסף })‪,{y: ∃x ∈ A, ϕ (x, y‬‬ ‫הוא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל נניח כי )‪ ϕ (x, y‬היא נוסחא המקיימת‪ :‬לכל ‪ x‬קיים לכל היותר ‪ y‬אחד כך ש־)‪ .ϕ (x, y‬לשון‬ ‫אחר‪:‬‬ ‫)‪∀x∀y∀z (ϕ (x, y) ∧ ϕ (x, z) → y = z‬‬ ‫הוכיחו כי לכל קבוצה ‪ A‬קיימת הקבוצה ‪ B‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬אם קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ϕ (x, y‬‬ ‫אזי קיים ‪ y ∈ A‬כך ש־)‪ ϕ (x, y‬וגם ‪.y ∈ B‬‬ ‫אקסיומת קבוצת‬ ‫החזקה‬ ‫אקסיומה תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬אזי האוסף }‪ P (A) = {x: x ⊆ A‬הוא קבוצה‪.‬‬ ‫תרגיל בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה בת ‪ 128‬איברים‪ .‬בנו‪ ,‬בדרך מהירה ככל האפשר‪ ,‬קבוצה‬ ‫בת ‪ 127‬איברים‪.‬‬ ‫תרגיל הראנו בכיתה כי לכל ‪ .P (X) * X ,X‬הסיקו כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪.V‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫אקסיומות נוספות‬ ‫בסעיף זה נביא אקסיומות שהן פחות אינטואיטיביות‪ .‬חלקן מוגדרות בעזרת מושגים מהאקסיומות‬ ‫הקודמות‪.‬‬ ‫אקסיומת האינסוף‬ ‫אקסיומה קיימת קבוצה ‪ I‬כך ש־‪ ∅ ∈ I‬וכן לכל ‪ a ∈ I‬גם ‪.S (a) = a ∪ {a} ∈ I‬‬ ‫מסקנה ‪ 1.3‬בעזרת הפרדה מקבוצה זו‪ ,‬ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסודרים הטבעיים ‪.ω‬‬ ‫אקסיומת היסוד‬ ‫אקסיומה לכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר מינימלי ליחס השייכות‪.‬‬ ‫לשון אחר‪ :‬בכל קבוצה לא ריקה ‪ A‬קיים איבר ‪ a ∈ A‬כך שאין איבר ‪ b ∈ A‬המקיים ‪.b ∈ a‬‬ ‫בניסוח פורמלי‪:‬‬ ‫∈ ‪∀A [A = ∅ ∨ ∃a ∈ A∀b ∈ A (b‬‬ ‫])‪/ a‬‬ ‫אקסיומת היסוד נועדה למנוע מצבים מוזרים ומקרים פתולוגיים‪.‬‬ ‫תרגיל הראו‪ ,‬לכל אחת מהקבוצות הבאות‪ ,‬כי הן מקיימות את אקסיומת היסוד‪:‬‬ ‫‪.∅ .1‬‬ ‫‪.{∅} .2‬‬ ‫‪.{{∅} , {∅, {∅}}} .3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שימו לב! נתבקשתם להוכיח כי האקסיומה מתקיימת עבור הקבוצות האלו‪ ,‬אין צורך להראות‬ ‫כי כל האיברים מקיימים את האקסיומה‪.‬‬ ‫תרגיל האם תיתכן הקבוצה }‪ A = {A0 , A1 , A2 , . . . , Ai , . . . : i ∈ ω‬כך שלכל ‪ i ∈ ω‬מתקיים ∈ ‪Ai+1‬‬ ‫‪?Ai‬‬ ‫תרגיל הוכיחו‪ ,‬בעזרת אקסיומת היסוד‪ ,‬כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות ‪ .V‬שימו לב להבדל בין‬ ‫הוכחה זו לבין הפרדוקס של ראסל והתרגיל לפי קבוצת החזקה‪.‬‬ ‫תרגיל האם קיימות קבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪?A ∈ B ∈ A‬‬ ‫הדרכה השתמשו באקסיומת הזוגות‪.‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫אקסיומה ‪S‬לכל קבוצה ‪ F‬של קבוצות לא ריקות‪ ,‬יש פונקציית בחירה על ‪ ,F‬כלומר פונקציה → ‪f : F‬‬ ‫‪ F‬המקיימת‪ :‬לכל ‪.f (A) ∈ A ,A ∈ F‬‬ ‫‪4‬‬