‫דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון ‪408‬‬ ‫כללים למציאת נגזרת של פונקציה‪:‬‬ ‫‪ , y  x n .1‬הנגזרת ‪. y '  n  x n 1‬‬ ‫א‪ .‬נכפול בחזקה (נרשום אותה משמאל ל‪.) x -‬‬ ‫ב‪ .‬נחסר אחד מהחזקה‪.‬‬ ‫דוגמה‪. y  x 7 :‬‬ ‫כאשר גוזרים כופלים בחזקה ‪ , 7‬כלומר נרשום אותה משמאל ל‪ , x -‬ובחזקה של ה‪ x -‬נוריד אחד‬ ‫מהחזקה‪ .‬בחזקה הופיע ‪ , 7‬ולכן לאחר ההורדה נקבל בחזקה ‪ . 6‬נקבל שהנגזרת היא‪. y'  7  x 6 :‬‬ ‫‪ .0‬אם נקבל חיבור או חיסור בין ביטויים נגזור כל ביטוי בנפרד ונשאיר את סימני החיבור והחיסור‪.‬‬ ‫דוגמה‪ . y  x 8  x 3  x 6 :‬הנגזרת‪. y'  8x 7  3x 2  6x 5 :‬‬ ‫‪ .3‬אם נקבל מספר כפול ביטוי‪ ,‬נכפול את המספר ונעשה נגזרת לביטוי‪ ,‬כלומר נכפול את המספר בחזקה‬ ‫ונוריד אחד מהחזקה‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫דוגמה‪ . y  3x  4x 3  5x 6 :‬הנגזרת‪. y'  24x 12x  30x :‬‬ ‫‪ .8‬אם נקבל ‪  x‬מספר ‪ ,‬אז בנגזרת יישאר רק המספר‪.‬‬ ‫דוגמה‪ , y  12x :‬הנגזרת ‪. y '  12‬‬ ‫‪ .5‬נגזרת של מספר שווה ל‪.2-‬‬ ‫דוגמה‪ , y  4 :‬הנגזרת ‪. y '  0‬‬ ‫ביטוי‬ ‫נעשה נגזרת לביטוי ונשאיר את המספר (כמו בסעיף מספר ‪.)3‬‬ ‫‪ .6‬אם נקבל‬ ‫מספר‬ ‫‪5x 4 9x 8‬‬ ‫‪x5 x9‬‬ ‫‪. y' ‬‬ ‫‪ . y ‬הנגזרת‪:‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .7‬במידה ויש סוגריים בתרגיל נבצע פתיחת סוגריים לפני הגזירה‪.‬‬ ‫דוגמה‪. y  (x 2  1)(3x  4) :‬‬ ‫כאשר יש סוגריים בתרגיל נפתח סוגריים בשלב ראשון ונקבל‪. y  3x 3  4x 2  3x  4 :‬‬ ‫נגזור לפי הכללים הקודמים‪ .‬נקבל‪. y  9x 2  8x  3 :‬‬ ‫נגזרת של מכפלה‬ ‫הגדרה של מכפלה‪ :‬ביטוי עם ‪ x‬ביטוי עם ‪  x‬מכפלה‬ ‫נוסחה לנגזרת של מכפלה‪:‬‬ ‫‪y  uv‬‬ ‫'‪v‬‬ ‫'‪u‬‬ ‫הנוסחה‪y '  u ' v  v ' u :‬‬ ‫הנוסחה מילולית‪ :‬ראשון ‪' ‬שני ‪ ‬שני ‪ ' ‬ראשון ‪y' ‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪. y  (x 2  1)(3x  4) :‬‬ ‫)‪y  (x 2  1)(3x  4‬‬ ‫‪ .‬נציב בנוסחה של נגזרת מכפלה‬ ‫נעשה עבודת הכנה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ראשון ‪' ‬שני ‪ ‬שני ‪ ' ‬ראשון ‪ . y' ‬נקבל‪ , y '  2x(3x  4)  3(x  1) :‬נפתח סוגריים‬ ‫‪ , y '  6x 2  8x  3x 2  3‬נכנס איברים דומים ונקבל‪. y '  9x 2  8x  3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נגזרת של מנה‬ ‫הגדרה של מנה‪ :‬ביטוי שיש בו ‪- x‬ים במכנה‪.‬‬ ‫נוסחה לנגזרת של מנה‪:‬‬ ‫'‪u‬‬ ‫'‪v‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪u ' v  v ' u‬‬ ‫הנוסחה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫‪y' ‬‬ ‫מונה ‪' ‬מכנה ‪ ‬מכנה ‪' ‬מונה‬ ‫הנוסחה מילולית‪:‬‬ ‫‪2‬מכנה‪‬‬ ‫‪y' ‬‬ ‫‪2x  1‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫‪3x 2  4x‬‬ ‫‪2x  1‬‬ ‫‪ . y  2‬בפונקציה יש ‪- x‬ים במכנה ולכן נגזור לפי נגזרת מנה‪.‬‬ ‫נסתכל על הפונקציה‬ ‫‪3x  4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x  1‬‬ ‫‪ . y  2‬נציב בנוסחת נגזרת של מנה‪:‬‬ ‫נעשה עבודת הכנה‪:‬‬ ‫‪3x  4x 6x  4‬‬ ‫‪.y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3x 2  4x   6x  4  2x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫במונה‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ , y ' ‬נשאיר את המכנה בצורת‬ ‫‪‬‬ ‫‪6x 2  8x  12x 2  6x  8x  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4x‬‬ ‫המתקדמת ביותר בתרגיל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3x‬‬ ‫‪6x 2  6x  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3x‬‬ ‫‪, y' ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ונתחיל לפתוח סוגריים‬ ‫‪6x 2  8x  12x 2  6x  8x  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ ,‬זוהי הנגזרת‬ ‫‪. y' ‬‬ ‫נגזרת של פונקציה מורכבת‪:‬‬ ‫שלבים בגזירת הפונקציה המורכבת‪:‬‬ ‫‪ ‬נגזור כרגיל‪:‬‬ ‫‪ ‬נכפול את הסוגריים בחזקה כמו שהיא‪.‬‬ ‫‪ ‬נרשום את הסוגריים‪.‬‬ ‫‪ ‬החזקה שתופיע מימין לסוגריים תהיה קטנה באחד מהחזקה המקורית‪.‬‬ ‫‪ ‬נכפול את הסוגריים בנגזרת של הביטוי שנמצא בתוך הסוגריים‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬גזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫נגזור את‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. y  x 2  6x  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  x 2  6x  8‬כמו שגוזרים ‪( y  x 9‬כי לשניהם יש חזקת ‪ .)2‬בשלב ראשון נעתיק את‬ ‫ה‪ 2-‬משמאל לסוגריים‪ ,‬נרשום את הסוגריים ונוריד אחד מהחזקה‪ ,‬כלומר החזקה תהיה ‪ .4‬נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . y '  9 x 2  6x  8‬כעת יש לכפול בנגזרת של הביטוי שרשום בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר נכפול ב‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .  2x  6 ‬נקבל‪. y '  9 x 2  6x  8   2x  6  :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נגזרת של פונקצית שורש ריבועי‪:‬‬ ‫פונקציה‪:‬‬ ‫ביטוי ‪y ‬‬ ‫נגזרת‪:‬‬ ‫נגזרת הביטוי‬ ‫‪y' ‬‬ ‫ביטוי ‪2‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪y  2x 2  3x  9‬‬ ‫‪4x  3‬‬ ‫‪2 2x 2  3x  9‬‬ ‫‪y' ‬‬ ‫נגזרות של פונקציות טריגונומטריות‪:‬‬ ‫הפונקציה ‪ ‬ביטוי‪y  sin‬‬ ‫‪ ‬ביטוי‪y  cos‬‬ ‫הנגזרת‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'  cos‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪y  sin 3x‬‬ ‫‪y  cos 6x‬‬ ‫‪y '  cos3x   3‬‬ ‫‪y '  3cos3x‬‬ ‫‪y '   sin 6x   6 ‬‬ ‫‪y '  6sin 6x‬‬ ‫ביטוי‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  tan ‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'   sin‬נגזרת הביטוי‬ ‫‪cos ‬‬ ‫ביטוי‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y  tan 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y' ‬‬ ‫‪cos2 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כללים לפעולת האינטגרל‪:‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫אינטגרל רגיל‪ x dx  n  1  c :‬‬ ‫דוגמה‪ .  x dx :‬לפנינו אינטגרל רגיל‪ .‬יש להוסיף אחד לחזקה (החזקה תהפוך להיות מ‪5-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫ל‪ ,)6-‬יש לחלק בחזקה החדשה ‪ ,6‬ולרשום מימין ‪ . c‬כלומר‪ c :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .0‬אם נקבל מספר מחוברים וביניהם חיבור או חיסור נעשה אינטגרל לכל מחובר ונשמור על סימני‬ ‫החיבור והחיסור‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמה‪.   x 3  x 2  x 5  x  x 2  x 3  dx :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ x dx ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪.    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוצאת האינטגרל‪ c :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪2 2 1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬אם נקבל מספר כפול ביטוי נשמור את המספר ונעשה אינטגרל לביטוי‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמה‪ 6  x dx :‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫תוצאת האינטגרל‪ c :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  x .8‬מספר ‪ dx ‬מספר ‪. ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ , 6 ‬ניתן לצמצם ולקבל ‪. 2x 3  c‬‬ ‫דוגמה‪.  8dx :‬‬ ‫לפנינו אינטגרל של מספר‪ ,‬ולכן נרשום את המספר ולידו ‪ , x‬כלומר‪. 8x  c :‬‬ ‫‪ .5‬אם נקבל‬ ‫ביטוי‬ ‫מספר ‪‬‬ ‫(שבר שבמכנה יש מספר)‪ ,‬נעשה אינטגרל לביטוי שבמונה ואת המספר‬ ‫שבמכנה נשאיר אותו דבר‪.‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫דוגמה‪.  dx :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תוצאת האינטגרל‪ c , 4  c , 4  c :‬‬ ‫‪c ,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .6‬אם נקבל קו שבר שבמונה מספר מחוברים ובמכנה מספר אחד בלבד‪ ,‬נפצל את המונה‪ ,‬נקבל‬ ‫מספר שברים שלכל אחד מהם נעשה אינטגרל לחוד‪.‬‬ ‫‪ x 3  4x 2  9 ‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫דוגמה‪ dx :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 3 4x 2 9 ‬‬ ‫בשלב ראשון נפצל למספר קווי שבר‪  dx :‬‬ ‫‪ ,   ‬וכעת נבצע את פעולת‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪4x 3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x 4 4x 3 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫האינטגרל רגיל‪ , 4  3  x  c :‬ונקבל‪ x  c :‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪20 15 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ .7‬אינטגרל זו פעולה מוגבלת ביותר‪ .‬בעוד שאפשר לגזור כל פונקציה בעולם‪ ,‬אי אפשר לעשות‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪ ‬או למכפלה‪ :‬אי אפשר ‪.  x 2  13x  7dx ‬‬ ‫אינטגרל למנה‪ :‬אי אפשר ‪dx ‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫לכן כאשר נקבל אינטגרל של מכפלה‪ ,‬נפתח סוגריים ורק אז נעשה אינטגרל‪.‬‬ ‫דוגמה‪.   x 2  1 3x  7  dx :‬‬ ‫לפנינו אינטגרל של מכפלת סוגריים‪ .‬נפתח סוגריים‪.   3x 3  7x 2  3x  7  dx :‬‬ ‫‪3x 4 7x 3 3x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כעת נעשה אינטגרל לכל ביטוי בנפרד‪ 7x  c :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מספר‬ ‫‪ .4‬אינטגרל של‬ ‫חזקה‬ ‫‪x‬‬ ‫מספר‬ ‫‪ ,‬לכאורה אי אפשר לעשות‬ ‫כאשר נקבל אינטגרל של מנה ( ‪- x‬ים במכנה) מהצורה של‬ ‫חזקה‬ ‫‪x‬‬ ‫אינטגרל למנה לפי כלל מספר ‪ .6‬לכן נתחכם לתרגיל ונעלה את החזקה השלילית שנמצאת‬ ‫מספר‬ ‫‪1‬‬ ‫במכנה למונה באמצעות חוק החזקות‪ n  x  n :‬או בצורתו המורחבת‪  x n :‬מספר ‪. n ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בשלב זה כל החזקות נמצאות במונה (על אף שחלקן שליליות)‪ ,‬נעשה אינטגרל רגיל ובסוף‬ ‫התרגיל ניתן להשתעשע ולשאיר תשובה סופית באמצעות חזקות חיוביות בלבד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמה‪.  5 dx :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מספר‬ ‫לפנינו מצב של ‪ . n‬יש להיעזר בחוק החזקות כדי להיפטר מהמכנה בתרגיל‪ .‬נקבל‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪ .‬ניתן להשתעשע אלגברית ובמקום להשאיר‬ ‫‪ .  2  x 5dx‬כעת נבצע אינטגרל רגיל‪ c :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חזקה שלילית‪ ,‬להוריד אותה למכנה ולהפוך אותה להיות חזקה חיובית‪ .‬נקבל‪ c :‬‬ ‫‪4x 4‬‬ ‫מספר‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .9‬אינטגרל של‬ ‫‪x‬‬ ‫מספר‬ ‫הנוסחה‪:‬‬ ‫מספר ‪ 2 x  x ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מספר ‪‬‬ ‫עבור פונקציה מורכבת‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמה ‪dx :1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מספר‬ ‫לפנינו מצב של‬ ‫‪ ‬מספר ‪b x a‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ax  b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .‬כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה ‪ 2‬במכנה‪ ,‬ולכן נכפול גם‬ ‫גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב‪ , 2 -‬נקבל‪dx :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל‪4 x  c :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫דוגמה ‪dx :0‬‬ ‫‪3x  3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מספר‬ ‫לפנינו מצב של‬ ‫‪ax  b‬‬ ‫‪ .‬כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה ‪ 2‬במכנה‪ ,‬ולכן נכפול‬ ‫‪2‬‬ ‫גם גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב‪ , 2 -‬נקבל‪dx :‬‬ ‫‪2 3x  3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2 3x  3‬‬ ‫כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל‪ c :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .00‬אינטגרל של פונקציה מורכבת‪:‬‬ ‫קיימת נוסחה לאינטגרל של פונקציה מורכבת בתנאי שהביטוי בתוך הסוגריים הוא ממעלה‬ ‫‪ ax  b ‬‬ ‫‪.   ax  b  dx ‬‬ ‫‪ n  1  a‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ראשונה‪:‬‬ ‫הסבר של הנוסחה‪ :‬עושים אינטגרל רגיל‪ ,‬כלומר מוסיפים אחד לחזקה ומחלקים בחזקה החדשה‪.‬‬ ‫בנוסף נרשום במכנה את הנגזרת הפנימית של הביטוי שהופיע בתוך סוגריים‪.‬‬ ‫דוגמה‪.   5x  2  dx :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה‪ .‬נוסיף אחד‬ ‫לחזקה‪ ,‬כך שבחזקה יהיה רשום ‪ , 3‬נחלק בחזקה החדשה ‪ 3‬ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 5x  2‬שהופיע בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר ‪ . 5‬נקבל‪ c :‬‬ ‫דוגמה‪dx :‬‬ ‫‪ 5x  2 ‬‬ ‫‪ ,‬נסדר‪ c :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 5x  2 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 5x  7 ‬‬ ‫לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה‪ .‬צריך לשים‬ ‫לב שהסוגריים עם החזקה נמצאים במכנה ולכן בשלב ראשון נעלה אותם למונה כאשר נשנה את סימן‬ ‫החזקה‪ .‬נקבל‪ .   5x  7  dx :‬כעת נעשה אינטגרל לפונקציה מורכבת‪ :‬נוסיף אחד לחזקה‪ ,‬כך‬ ‫‪2‬‬ ‫שבחזקה יהיה רשום ‪ , 1‬נחלק בחזקה החדשה ‪ 1‬ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5x  7‬שהופיע בתוך הסוגריים‪ ,‬כלומר ‪ . 5‬נקבל‪ c :‬‬ ‫‪ 5x  7 ‬‬ ‫‪ ,‬נסדר‪:‬‬ ‫‪1  5‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ 5x  7 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .00‬אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית‪:‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫נוסחת הנגזרת‬ ‫אינטגרל‪:‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪ ‬ביטוי‪y  sin‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'  cos‬‬ ‫‪ ‬ביטוי‪ cos‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  dx  ‬ביטוי‪ sin‬‬ ‫‪ cos 5x‬‬ ‫‪ sin 5x dx  5  c‬‬ ‫‪ ‬ביטוי‪y  cos‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  ‬ביטוי‪y'   sin‬‬ ‫‪ ‬ביטוי‪sin ‬‬ ‫‪ ‬נגזרת הביטוי‪  dx  ‬ביטוי‪ cos‬‬ ‫‪sin 3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪ cos 3x dx ‬‬ ‫‪7‬‬