פרק 1 – מבוא ללוגיקה מתמטית - Or-Alfa

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 1‬מבוא לאלגברה בוליאנית ‪ -‬נספח‬
‫תחשיב הפסוקים – תקפות טיעונים וכללי היסק‬
‫מונחים בסיסיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫טיעון – סדרה של טענות‪ ,‬אשר כולן פרט לאחרונה נקראות‪ :‬הנחות (או‬
‫הקדמות) והאחרונה נקראת‪ :‬מסקנה‬
‫דוגמאות – צורות סימון וייצוג‪:‬‬
‫יהיו ‪ p‬ו‪ q -‬פסוקים כלשהם (טענות)‪.‬‬
‫‪)1 o‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫אם יורד גשם‪ ,‬אז הכביש רטוב‪.‬‬
‫יורד גשם‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬הכביש רטוב‪.‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪o‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪o‬‬
‫‪p  q , p | q‬‬
‫‪o‬‬
‫‪p  q  p  q‬‬
‫הערה‪ :‬אנו נייצג טיעונים בעיקר בצורת הסימון האחרונה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תקפות של טיעון – טיעון בו המסקנה נובעת מצירוף ההנחות נקרא‪ :‬טיעון תקף‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ :‬טיעון הוא תקף אם"ם נכונות צירוף ההנחות בו גוררת את נכונות‬
‫המסקנה (לא יתכן מצב בו צירוף ההנחות הוא ‪ T‬בעוד המסקנה היא ‪.)F‬‬
‫נוכיח‪ ,‬למשל‪ ,‬את תקפות הטיעון‪  p  q   p  q :‬עפ"י הגדרה זו‪.‬‬
‫נעזר לשם כך בטבלת אמת‪:‬‬
‫‪p  q  p‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪p ‬פ ‪q‬‬
‫‪q/q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫נשים לב כי כל אימת וצירוף ההנחות ( ‪ )  p  q   p‬הוא ‪ ,T‬גם המסקנה (‪ )q‬היא ‪.T‬‬
‫השורה הרלבנטית היחידה בטבלת האמת לבדיקת תקפות הטיעון היא‪ ,‬על‪-‬כן‪,‬‬
‫השורה הראשונה (רק בה צירוף ההנחות הוא ‪.)T‬‬
‫‪11‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫הערה‪ :‬שימו לב להבדל בין המושגים‪ :‬טענה – פסוק‪ ,‬טיעון – סדרה של פסוקים‬
‫(הנחה אחת או יותר ומסקנה)‪ .‬טענה מקבלת ערך אמת ‪ T‬הוא ‪ .F‬טיעון יכול להיות‬
‫תקף או בלתי (לא) תקף‪.‬‬
‫‪ ‬גרירה טאוטולוגית (לוגית) – אומרים כי פסוק ‪ p‬גורר טאוטולוגית (לוגית)‬
‫פסוק ‪ ,q‬אם"ם לכל השמה בה ערך האמת של הפסוק ‪ p‬הוא ‪ ,T‬גם ערך האמת של‬
‫הפסוק ‪ q‬הוא ‪.T‬‬
‫סימון‪ p |= q :‬או‪p  q :‬‬
‫מסקנה‪ :‬טיעון הוא תקף אם"ם צירוף ההנחות בו גוררות טאוטולוגית (לוגית) את‬
‫המסקנה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬שימו לב להבדל בין הסימנים‪ .  ,  :‬הסימן‪  :‬מייצג קשר לוגי ‪ -‬קשר‬
‫הגרירה‪ ,‬בעוד שהסימן‪  :‬אינו מייצג קשר לוגי‪ ,‬כי אם תכונה של טיעון – תקפות‬
‫(היותו תקף) ‪ -‬המסקנה בו נובעת מצירוף ההנחות‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ p  q ,‬הוא טיעון (ולא פסוק)‪ ,‬ולכן איננו מתעניינים כלל בהקשר זה‬
‫בהשמות בהן ‪( p  F‬כי אם רק בהשמות בהן ‪ .)p=T‬להבדיל‪ p  q ,‬הוא פסוק אשר‬
‫ערך האמת שלו הוא ‪ T‬או ‪ ,F‬ולכן השמות בהן ‪ p  F‬בהחלט מעניינות אותנו (כמו כל‬
‫שאר ההשמות האפשריות)‪.‬‬
‫המשפט הבא קושר בין הסימנים‪.  ,  :‬‬
‫משפט‪ p  q :‬אם"ם‪ . p  q  T :‬במילים‪ p :‬גורר טאוטולוגית (לוגית) את ‪ q‬אם"ם‬
‫הפסוק‪ p  q :‬הוא טאוטולוגיה‪( .‬הוכחה – תרגיל‪).‬‬
‫נשתמש במשפט האחרון כדי לבדוק את תקפותו‪/‬אי‪-‬תקפותו של הטיעון הבא‪:‬‬
‫‪ .  p  q   p  q‬עפ"י המשפט הנ"ל‪ ,‬מספיק להוכיח כי‪.  p  q   p  q  T :‬‬
‫נבדוק זאת באמצעות טבלת אמת‪:‬‬
‫‪ p  q   p  p  q   p   q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p ‬פ ‪q‬‬
‫‪q/q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪T T T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T F F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F T T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F F T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫קיבלנו כי הפסוק‪  p  q   p  q :‬אינו טאוטולוגיה‪ ,‬ולכן הטיעון‪:‬‬
‫‪  p  q   p  q‬אינו תקף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫שקילות טאוטולוגית (לוגית) ‪ -‬יהיו ‪ p‬ו‪ q -‬שני פסוקים כלשהם; נאמר כי‬
‫הפסוקים ‪ p‬ו‪ q -‬שקולים טאוטולוגית (לוגית) זה לזה ונסמן‪ p  q :‬אם"ם ‪ p‬גורר‬
‫טאוטולוגית (לוגית) את ‪ q‬ו‪ q -‬גורר טאוטולוגית (לוגית) את ‪.p‬‬
‫בסימונים הנ"ל‪ ,‬נאמר כי‪ p  q :‬אם"ם ‪ p  q‬וגם ‪. q  p‬‬
‫מסקנה‪ p  q :‬אם"ם ‪. p  q‬‬
‫‪12‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫כלל היסק – טיעון תקף יסודי‪ ,‬באמצעותו ניתן להסיק פסוק‪ ,‬על‪-‬סמך קבוצה‬
‫סופית של פסוקים; (תורת ההיסק עוסקת בפורמליזציה של הוכחות‪ .‬בהוכחה‬
‫מתמטית מתחילים מהצגה של הפסוקים הנתונים‪ ,‬ותוך שימוש בכללי היסק‪ ,‬שלב‬
‫אחר שלב‪ ,‬מגיעים לפסוק אותו מעוניינים להוכיח – למסקנה‪).‬‬
‫נציג להלן מספר כללי היסק נפוצים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫שם כלל ההיסק‬
‫)‪Modus Ponens (M.P‬‬
‫כלל ההיסק‬
‫‪p  q  p  q‬‬
‫‪.2‬‬
‫)‪Modus Tollens (M.T‬‬
‫‪.3‬‬
‫)‪Hypothetical Syllogism (H.S‬‬
‫‪.4‬‬
‫)‪Disjunctive Syllogism (D.S‬‬
‫‪ p  q   q  p‬‬
‫‪ p  q  q  r   p  r‬‬
‫‪ p  q   p  q‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪Addition‬‬
‫‪Simplification‬‬
‫‪Resolution‬‬
‫‪p  pq‬‬
‫‪pq  p‬‬
‫‪ p  q    p  r   q  r‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ )1‬כל כללי ההיסק שבטבלה לעיל‪ ,‬למעט כלל ‪ ,5‬נקראים‪ :‬כללי היסק בינאריים‪,‬‬
‫בהיותם מכילים שתי הנחות (כל אחד)‪ .‬כלל ‪ 5‬נקרא‪ :‬כלל היסק אונארי‪ ,‬בהיותו‬
‫מכיל הנחה אחת בלבד‪.‬‬
‫‪ )2‬לאור המסקנה האחרונה (בעמוד הקודם)‪ p  q :‬אם"ם ‪ , p  q‬ניתן "לייצר" מכל‬
‫זהות לוגית כלל היסק בכוון אחד או יותר‪ .‬חשוב לזכור כי כל כלל היסק הוא‬
‫ביסודו טיעון (תקף)‪ ,‬ולכן הוא מכיל הנחה אחת או יותר ומסקנה אחת‪ .‬למשל‪:‬‬
‫א) ניתן "לייצר" מתוך זהות דה‪-‬מורגן‪   p  q   p  q :‬את שני כללי ההיסק‬
‫הבאים‪. p  q    p  q  ,   p  q   p  q :‬‬
‫ב) ניתן "לייצר" מתוך הזהות‪ p  q  q  p :‬בעלת השם‪ Contrapositive :‬את‬
‫שני כללי ההיסק הבאים‪. q  p  p  q , p  q  q  p :‬‬
‫כמובן‪ ,‬כשם שניתן להוכיח זהויות לוגיות מסוימות על בסיס זהויות לוגיות יסודיות‬
‫(כדוגמת אלו שבטבלה בעמוד ‪ 6‬לעיל)‪ ,‬כך ניתן להוכיח תקפותם של טיעונים על סמך‬
‫כללי היסק‪.‬‬
‫נבדוק‪ ,‬למשל‪ ,‬בדרך האחרונה את תקפות הטיעון הבא‪" :‬אם לא נלך לסרט‪ ,‬נזמין‬
‫חברים‪ .‬אם תשודר תכנית ריאליטי בערוץ הבנאלי‪ ,‬לא נזמין חברים‪ .‬משודרת תכנית‬
‫ריאליטי בערוץ הבנאלי ולכן נלך לסרט‪".‬‬
‫בשלב הראשון נבצע הצרנה ‪ -‬נסמן את הפסוקים האטומיים שבטיעון זה‪:‬‬
‫‪ – p‬נלך לסרט ‪ – q ,‬נזמין חברים ‪ - r ,‬משודרת תכנית ריאליטי בערוץ הבנאלי‬
‫נצרין את הטיעון ונקבל‪.  p  q    r  q   r  p :‬‬
‫‪13‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫הוכחת תקפות הטיעון ללא שימוש בטבלת אמת‪:‬‬
‫‪ p  q    r  q   r  rqrq , M.P   p  q   q pqqp , M.T   p  pp p‬‬
‫רזולוציה (‪" – )resolution‬כלל היסק בשירות מדעי המחשב"‬
‫במהלך השנים פותחו אלגוריתמים (ותוכנות) המאפשרים לבצע אוטומטיזציה של‬
‫תהליכי ההסקה וההוכחה של משפטים‪ .‬רבים מאלגוריתמים אלה מבוססים על כלל‬
‫ההיסק רזולוציה (‪ ,)resolution‬המופיע בתחתית טבלת כללי ההיסק בעמוד הקודם‪:‬‬
‫‪ .  p  q    p  r   q  r‬לרזולוציה גם תפקיד חשוב בשפות תכנות המבוססות על‬
‫חוקי הלוגיקה‪ ,‬כדוגמת שפת פרולוג‪.‬‬
‫קיימים אלגוריתמים המוכיחים תקפות של טיעון על סמך רזולוציה בלבד‪ .‬לשם כך‪ ,‬יש‬
‫לבטא את צירוף ההנחות כמו גם את המסקנה שבטיעון בצורת ‪( CNF‬לא בהכרח‬
‫שלמה)‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬ההנחות‪   p  q  , p   q  r  :‬תבוטאנה באופנים השקולים‬
‫הבאים בהתאמה‪ p  q ,  p  q    p  r  :‬כצורות ה‪( CNF -‬הלא שלמות) שלהן‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬נוכיח על בסיס רזולוציה כי‪.  p  q  r    r  s   p  s :‬‬
‫‪ p  q   r    r  s  ‬‬
‫‪ p  r   q  r    r  s  ‬‬
‫‪   p  r    q  r     r  s  ‬‬
‫‪  p  r    r  s     q  r  ‬‬
‫‪r s r  s‬‬
‫אכן‪:‬‬
‫‪resolution‬‬
‫‪distributivity‬‬
‫‪commoutativity and‬‬
‫‪associativity of ‬‬
‫‪  p  s    q  r  simplification p  s‬‬
‫‪14‬‬