‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫פרק ‪ – 1‬מבוא לאלגברה בוליאנית ‪ -‬נספח‬ ‫תחשיב הפסוקים – תקפות טיעונים וכללי היסק‬ ‫מונחים בסיסיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫טיעון – סדרה של טענות‪ ,‬אשר כולן פרט לאחרונה נקראות‪ :‬הנחות (או‬ ‫הקדמות) והאחרונה נקראת‪ :‬מסקנה‬ ‫דוגמאות – צורות סימון וייצוג‪:‬‬ ‫יהיו ‪ p‬ו‪ q -‬פסוקים כלשהם (טענות)‪.‬‬ ‫‪)1 o‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫אם יורד גשם‪ ,‬אז הכביש רטוב‪.‬‬ ‫יורד גשם‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬הכביש רטוב‪.‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪p  q , p | q‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪p  q  p  q‬‬ ‫הערה‪ :‬אנו נייצג טיעונים בעיקר בצורת הסימון האחרונה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תקפות של טיעון – טיעון בו המסקנה נובעת מצירוף ההנחות נקרא‪ :‬טיעון תקף‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ :‬טיעון הוא תקף אם"ם נכונות צירוף ההנחות בו גוררת את נכונות‬ ‫המסקנה (לא יתכן מצב בו צירוף ההנחות הוא ‪ T‬בעוד המסקנה היא ‪.)F‬‬ ‫נוכיח‪ ,‬למשל‪ ,‬את תקפות הטיעון‪  p  q   p  q :‬עפ"י הגדרה זו‪.‬‬ ‫נעזר לשם כך בטבלת אמת‪:‬‬ ‫‪p  q  p‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪p ‬פ ‪q‬‬ ‫‪q/q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫נשים לב כי כל אימת וצירוף ההנחות ( ‪ )  p  q   p‬הוא ‪ ,T‬גם המסקנה (‪ )q‬היא ‪.T‬‬ ‫השורה הרלבנטית היחידה בטבלת האמת לבדיקת תקפות הטיעון היא‪ ,‬על‪-‬כן‪,‬‬ ‫השורה הראשונה (רק בה צירוף ההנחות הוא ‪.)T‬‬ ‫‪11‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫הערה‪ :‬שימו לב להבדל בין המושגים‪ :‬טענה – פסוק‪ ,‬טיעון – סדרה של פסוקים‬ ‫(הנחה אחת או יותר ומסקנה)‪ .‬טענה מקבלת ערך אמת ‪ T‬הוא ‪ .F‬טיעון יכול להיות‬ ‫תקף או בלתי (לא) תקף‪.‬‬ ‫‪ ‬גרירה טאוטולוגית (לוגית) – אומרים כי פסוק ‪ p‬גורר טאוטולוגית (לוגית)‬ ‫פסוק ‪ ,q‬אם"ם לכל השמה בה ערך האמת של הפסוק ‪ p‬הוא ‪ ,T‬גם ערך האמת של‬ ‫הפסוק ‪ q‬הוא ‪.T‬‬ ‫סימון‪ p |= q :‬או‪p  q :‬‬ ‫מסקנה‪ :‬טיעון הוא תקף אם"ם צירוף ההנחות בו גוררות טאוטולוגית (לוגית) את‬ ‫המסקנה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬שימו לב להבדל בין הסימנים‪ .  ,  :‬הסימן‪  :‬מייצג קשר לוגי ‪ -‬קשר‬ ‫הגרירה‪ ,‬בעוד שהסימן‪  :‬אינו מייצג קשר לוגי‪ ,‬כי אם תכונה של טיעון – תקפות‬ ‫(היותו תקף) ‪ -‬המסקנה בו נובעת מצירוף ההנחות‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ p  q ,‬הוא טיעון (ולא פסוק)‪ ,‬ולכן איננו מתעניינים כלל בהקשר זה‬ ‫בהשמות בהן ‪( p  F‬כי אם רק בהשמות בהן ‪ .)p=T‬להבדיל‪ p  q ,‬הוא פסוק אשר‬ ‫ערך האמת שלו הוא ‪ T‬או ‪ ,F‬ולכן השמות בהן ‪ p  F‬בהחלט מעניינות אותנו (כמו כל‬ ‫שאר ההשמות האפשריות)‪.‬‬ ‫המשפט הבא קושר בין הסימנים‪.  ,  :‬‬ ‫משפט‪ p  q :‬אם"ם‪ . p  q  T :‬במילים‪ p :‬גורר טאוטולוגית (לוגית) את ‪ q‬אם"ם‬ ‫הפסוק‪ p  q :‬הוא טאוטולוגיה‪( .‬הוכחה – תרגיל‪).‬‬ ‫נשתמש במשפט האחרון כדי לבדוק את תקפותו‪/‬אי‪-‬תקפותו של הטיעון הבא‪:‬‬ ‫‪ .  p  q   p  q‬עפ"י המשפט הנ"ל‪ ,‬מספיק להוכיח כי‪.  p  q   p  q  T :‬‬ ‫נבדוק זאת באמצעות טבלת אמת‪:‬‬ ‫‪ p  q   p  p  q   p   q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p ‬פ ‪q‬‬ ‫‪q/q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪T T T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T F F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F T T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F F T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫קיבלנו כי הפסוק‪  p  q   p  q :‬אינו טאוטולוגיה‪ ,‬ולכן הטיעון‪:‬‬ ‫‪  p  q   p  q‬אינו תקף‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫שקילות טאוטולוגית (לוגית) ‪ -‬יהיו ‪ p‬ו‪ q -‬שני פסוקים כלשהם; נאמר כי‬ ‫הפסוקים ‪ p‬ו‪ q -‬שקולים טאוטולוגית (לוגית) זה לזה ונסמן‪ p  q :‬אם"ם ‪ p‬גורר‬ ‫טאוטולוגית (לוגית) את ‪ q‬ו‪ q -‬גורר טאוטולוגית (לוגית) את ‪.p‬‬ ‫בסימונים הנ"ל‪ ,‬נאמר כי‪ p  q :‬אם"ם ‪ p  q‬וגם ‪. q  p‬‬ ‫מסקנה‪ p  q :‬אם"ם ‪. p  q‬‬ ‫‪12‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫‪‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫כלל היסק – טיעון תקף יסודי‪ ,‬באמצעותו ניתן להסיק פסוק‪ ,‬על‪-‬סמך קבוצה‬ ‫סופית של פסוקים; (תורת ההיסק עוסקת בפורמליזציה של הוכחות‪ .‬בהוכחה‬ ‫מתמטית מתחילים מהצגה של הפסוקים הנתונים‪ ,‬ותוך שימוש בכללי היסק‪ ,‬שלב‬ ‫אחר שלב‪ ,‬מגיעים לפסוק אותו מעוניינים להוכיח – למסקנה‪).‬‬ ‫נציג להלן מספר כללי היסק נפוצים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫שם כלל ההיסק‬ ‫)‪Modus Ponens (M.P‬‬ ‫כלל ההיסק‬ ‫‪p  q  p  q‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫)‪Modus Tollens (M.T‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫)‪Hypothetical Syllogism (H.S‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫)‪Disjunctive Syllogism (D.S‬‬ ‫‪ p  q   q  p‬‬ ‫‪ p  q  q  r   p  r‬‬ ‫‪ p  q   p  q‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪Addition‬‬ ‫‪Simplification‬‬ ‫‪Resolution‬‬ ‫‪p  pq‬‬ ‫‪pq  p‬‬ ‫‪ p  q    p  r   q  r‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ )1‬כל כללי ההיסק שבטבלה לעיל‪ ,‬למעט כלל ‪ ,5‬נקראים‪ :‬כללי היסק בינאריים‪,‬‬ ‫בהיותם מכילים שתי הנחות (כל אחד)‪ .‬כלל ‪ 5‬נקרא‪ :‬כלל היסק אונארי‪ ,‬בהיותו‬ ‫מכיל הנחה אחת בלבד‪.‬‬ ‫‪ )2‬לאור המסקנה האחרונה (בעמוד הקודם)‪ p  q :‬אם"ם ‪ , p  q‬ניתן "לייצר" מכל‬ ‫זהות לוגית כלל היסק בכוון אחד או יותר‪ .‬חשוב לזכור כי כל כלל היסק הוא‬ ‫ביסודו טיעון (תקף)‪ ,‬ולכן הוא מכיל הנחה אחת או יותר ומסקנה אחת‪ .‬למשל‪:‬‬ ‫א) ניתן "לייצר" מתוך זהות דה‪-‬מורגן‪   p  q   p  q :‬את שני כללי ההיסק‬ ‫הבאים‪. p  q    p  q  ,   p  q   p  q :‬‬ ‫ב) ניתן "לייצר" מתוך הזהות‪ p  q  q  p :‬בעלת השם‪ Contrapositive :‬את‬ ‫שני כללי ההיסק הבאים‪. q  p  p  q , p  q  q  p :‬‬ ‫כמובן‪ ,‬כשם שניתן להוכיח זהויות לוגיות מסוימות על בסיס זהויות לוגיות יסודיות‬ ‫(כדוגמת אלו שבטבלה בעמוד ‪ 6‬לעיל)‪ ,‬כך ניתן להוכיח תקפותם של טיעונים על סמך‬ ‫כללי היסק‪.‬‬ ‫נבדוק‪ ,‬למשל‪ ,‬בדרך האחרונה את תקפות הטיעון הבא‪" :‬אם לא נלך לסרט‪ ,‬נזמין‬ ‫חברים‪ .‬אם תשודר תכנית ריאליטי בערוץ הבנאלי‪ ,‬לא נזמין חברים‪ .‬משודרת תכנית‬ ‫ריאליטי בערוץ הבנאלי ולכן נלך לסרט‪".‬‬ ‫בשלב הראשון נבצע הצרנה ‪ -‬נסמן את הפסוקים האטומיים שבטיעון זה‪:‬‬ ‫‪ – p‬נלך לסרט ‪ – q ,‬נזמין חברים ‪ - r ,‬משודרת תכנית ריאליטי בערוץ הבנאלי‬ ‫נצרין את הטיעון ונקבל‪.  p  q    r  q   r  p :‬‬ ‫‪13‬‬ ‫רפאל ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬ ‫הוכחת תקפות הטיעון ללא שימוש בטבלת אמת‪:‬‬ ‫‪ p  q    r  q   r  rqrq , M.P   p  q   q pqqp , M.T   p  pp p‬‬ ‫רזולוציה (‪" – )resolution‬כלל היסק בשירות מדעי המחשב"‬ ‫במהלך השנים פותחו אלגוריתמים (ותוכנות) המאפשרים לבצע אוטומטיזציה של‬ ‫תהליכי ההסקה וההוכחה של משפטים‪ .‬רבים מאלגוריתמים אלה מבוססים על כלל‬ ‫ההיסק רזולוציה (‪ ,)resolution‬המופיע בתחתית טבלת כללי ההיסק בעמוד הקודם‪:‬‬ ‫‪ .  p  q    p  r   q  r‬לרזולוציה גם תפקיד חשוב בשפות תכנות המבוססות על‬ ‫חוקי הלוגיקה‪ ,‬כדוגמת שפת פרולוג‪.‬‬ ‫קיימים אלגוריתמים המוכיחים תקפות של טיעון על סמך רזולוציה בלבד‪ .‬לשם כך‪ ,‬יש‬ ‫לבטא את צירוף ההנחות כמו גם את המסקנה שבטיעון בצורת ‪( CNF‬לא בהכרח‬ ‫שלמה)‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬ההנחות‪   p  q  , p   q  r  :‬תבוטאנה באופנים השקולים‬ ‫הבאים בהתאמה‪ p  q ,  p  q    p  r  :‬כצורות ה‪( CNF -‬הלא שלמות) שלהן‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬נוכיח על בסיס רזולוציה כי‪.  p  q  r    r  s   p  s :‬‬ ‫‪ p  q   r    r  s  ‬‬ ‫‪ p  r   q  r    r  s  ‬‬ ‫‪   p  r    q  r     r  s  ‬‬ ‫‪  p  r    r  s     q  r  ‬‬ ‫‪r s r  s‬‬ ‫אכן‪:‬‬ ‫‪resolution‬‬ ‫‪distributivity‬‬ ‫‪commoutativity and‬‬ ‫‪associativity of ‬‬ ‫‪  p  s    q  r  simplification p  s‬‬ ‫‪14‬‬