1. No category

‫כדי לפתור בעיה קשה בגיאומטריה אנליטית אנו נדרשים ללוגיקה מפותחת‪ .‬אחת‬
‫המטרות של שיטת ההוראה שפותחה על ידי המחבר‪ ,‬היא פיתוח הלוגיקה אצל תלמידים‪.‬‬
‫כמו הספר שקדם לו‪" ,‬שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪ ,‬אשר יצא לאור ב‪ ,2007-‬גם‬
‫ספר זה נכתב בסגנון נעים לקריאה ומעניין‪ ,‬והוא מיועד לתלמידי תיכון‪ ,‬למורים ולכל מי‬
‫שאוהב או רוצה להתאהב במתמטיקה‪.‬‬
‫חלק ממחקריו של המחבר במתמטיקה מודרנית פורסמו בספרים הבאים‪:‬‬
‫‪A. Antonevich, M. Belousov and A. Lebedev. "Functional differential‬‬
‫‪equations: II. C*-applications. Part 1: Equations with continuous‬‬
‫‪coefficients". Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied‬‬
‫)‪Mathematics 94, Longman, 1998, 385 pp. (English‬‬
‫‪A. Antonevich, M. Belousov and A. Lebedev. "Functional differential‬‬
‫‪equations: II. C*-applications. Part 2: Equations with discontinuous‬‬
‫‪coefficients and boundary value problems". Pitman Monographs‬‬
‫‪and Surveys in Pure and Applied Mathematics 95, Longman, 1998,‬‬
‫)‪415 pp. (English‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית )‪ 5‬יחידות לימוד(‬
‫בעיות רבות בגיאומטריה אנליטית‪ ,‬ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד‪ ,‬נחשבות בעיני תלמידים‬
‫ומורים רבים כבעיות קשות מאוד‪ .‬הספר מציע טכניקות אשר מאפשרות לפתור בעיות אלו‬
‫בקלות יחסית‪ .‬בין היתר‪ ,‬בספר הוסבר במפורט והודגם בפרקים רבים‪ ,‬כיצד צריך לחשוב‬
‫ואילו פעולות צריך לבצע כדי לפתור בעיות העוסקות במציאת המשוואות של מקומות‬
‫גיאומטריים‪.‬‬
‫מיכאל בלאוסוב‬
‫שיטות חשיבה‬
‫בגיאומטריה אנליטית‬
‫)‪ 5‬יחידות לימוד(‬
‫מיכאל בלאוסוב‬
‫סוב‬
‫לאו ֹ‬
‫מיכאל ֶּב‬
‫ּ‬
‫שיטות חשיבה‬
‫בגיאומטריה אנליטית‬
‫)‪ 5‬יחידות לימוד(‬
‫הוצאת מרחבים חדשים‬
‫‪Thinking Methods and Techniques in Plane Analytic Geometry‬‬
‫)‪(for 5 point high-school students‬‬
‫‪Mikhail Belousov‬‬
‫‪Copyright2011 by Mikhail Belousov‬‬
‫‪All rights reserved‬‬
‫‪Printed in Israel‬‬
‫‪ 2011‬כל הזכויות שמורות למחבר‬
‫הוצאת מרחבים חדשים טלפון‪050-7498516 :‬‬
‫‪www.mikbel.com‬‬
‫עריכת לשון‪ :‬תמר בנאי‪ ,‬ציפי לוי‬
‫אין לשכפל‪ ,‬להעתיק‪ ,‬לצלם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לתרגם‪ ,‬לאחסן במאגר מידע‪ ,‬לשדר או לקלוט בכל‬
‫דרך או בכל אמצעי אלקטרוני‪ ,‬אופטי או מכני או אחר – כל חלק שהוא מהחומר שבספר‬
‫זה ללא רשות מפורשת בכתב מהמחבר‪ ,‬אלא לשם ציטוט קטעים קצרים בציון שם‬
‫המחבר‪ .‬שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט‪ ,‬אלא‬
‫ברשות מפורשת בכתב מהמחבר‪.‬‬
‫מסת"ב‪ISBN: 978-965-91146-1-0 :‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪3‬‬
‫ביוון העתיקה על אחד הסלעים נחקק‪:‬‬
‫אתה רוצה להיות חזק? ‪ ...‬רוץ!‬
‫אתה רוצה להיות יפה? ‪ ...‬רוץ!‬
‫אתה רוצה להיות חכם? ‪ ...‬רוץ!‬
‫ואם רצת‪ ,‬רצת ‪ ...‬אך בכל זאת קשה לך לפתור בעיות בגיאומטריה אנליטית ברמה של‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד – מה תעשה?‬
‫קרא ספר זה!‬
‫ואם אף על פי שאתה מצליח לפתור בעיה בגיאומטריה אנליטית בכל רמת קושי‪ ,‬כי‬
‫כבר ראית בעבר את הפתרון המלא של בעיה דומה‪ ,‬תתקל בעתיד בבעיה לא מוכרת –‬
‫מה תעשה?‬
‫קרא ספר זה!‬
‫וגם אם אתה פותר בקלות כל בעיה ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד – מומלץ שתקרא את‬
‫הספר! גם לך מצפות הפתעות רבות‪ .‬הספר יקנה לך כלים חדשים שיועילו לך בעתיד‪.‬‬
‫אולי דווקא אתה תמצא בספר את מה שאחרים לא הצליחו לראות‪.‬‬
‫‪A jest's prosperity lies in the ear‬‬
‫‪Of him that hears it, never in the tongue‬‬
‫‪Of him that makes it.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪William Shakespeare, Love's Labour's Lost.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪5‬‬
‫באחד הספרים של המתמטיקאי הדגול בן זמננו‪ ,‬ולדימיר ארנולד‪ ,‬קראתי סיפור שכתב‪,‬‬
‫כפי ששמע אותו מפיו של חתן פרס נובל לפיזיקה יגור תם‪.‬‬
‫אקדים ואתאר את הרקע ההיסטורי לסיפור‪ ,‬כדי שתובהר כל התמונה‪ .‬במלחמת‬
‫האזרחים שהתרחשה ברוסיה בשנים ‪ ,1923-1917‬לחמו כוחות צבא שונים ביניהם גם צבא‬
‫ההתקוממות האוקראיני המהפכני‪ ,‬שנשא דגל שחור אשר סימל את האנרכיה‪ .‬חייליו של‬
‫צבא זה נקראו "מאכנוביסטים"‪ ,‬על שמו של נסטור מאכנו שעמד בראש הצבא‪ .‬רוב‬
‫ה"מאכנוביסטים" היו איכרים אוקראינים‪.‬‬
‫ומה לחתן פרס נובל יגור תם ולסיפור זה? בזמן מלחמת האזרחים נפל תם‪ ,‬אז איש צעיר‪,‬‬
‫בשבי ה"מאכנוביסטים"‪ .‬כשחקרו אותו שוביו סיפר שלמד בפקולטה למתמטיקה‬
‫ולפיזיקה‪ ,‬וכדי לבדוק אם הוא דובר אמת‪ ,‬ביקשו ממנו לפתור בעיה מתורת הטורים‪ .‬תם‬
‫פתר את הבעיה וכך ניצלו חייו‪.‬‬
‫כשסיימתי לקרוא את הסיפור שאלתי את עצמי‪ :‬כמה מבוגרי האוניברסיטאות של היום‬
‫היו נשארים בחיים אילו היו נופלים בשבי של צבא איכרים אנרכיסטים אוקראינים‪ ,‬והיו‬
‫מספרים בחקירה שיש להם תואר אקדמי זה או אחר? ובכלל זה‪ ,‬הס מלהזכיר‪ ,‬את בוגרי‬
‫התיכון אשר הצליחו במבחני הבגרות וקיבלו את הציון ‪ ,100‬בעיקר בשל אפשרויות‬
‫הבחירה שהיו במבחן ולא משום שפתרו בעיות קשות‪ .‬במבחן שעמד בו תם הצעיר הייתה‬
‫רק בעיה אחת – לא הייתה בו שום בחירה! ה"ציונים" היחידים שיכל לקבל היו מוטים על‬
‫כף המאזניים – ל"חיים" או "למוות"‪.‬‬
‫כולי תקווה שהקריאה בספר תעזור לכם‪ ,‬קוראיי הנכבדים‪ ,‬להצליח לא רק במבחנים‬
‫במתמטיקה‪ ,‬אלא גם בכל מבחן אחר הדורש יכולת חשיבה מפותחת‪.‬‬
‫קריאה מהנה‪,‬‬
‫ד"ר מיכאל בלאוסוב‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪7‬‬
‫תוכן העניינים‬
‫הקדמה ‪.....................................................................................................‬‬
‫‪9‬‬
‫ֶח ָכּם ‪13 – 268 ....................................‬‬
‫הוֹל ְך ֶאת‪ֲ -‬ח ָכ ִמים י ְ‬
‫חלק א'‪ֵ :‬‬
‫‪ .1‬שאלות שעשויות לעזור למצוא את הדרך מתוך הספר "שיטות חשיבה בהנדסת‬
‫המישור" ‪14 .................................................................................................‬‬
‫‪ .2‬דרך ישרה ‪17 ..............................................................................................‬‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה ‪30 ......................................................................................‬‬
‫‪ .4‬באמצע הדרך ‪38 .........................................................................................‬‬
‫‪ .5‬אחת הדרכים להרכבת משוואות ‪44 .............................................................‬‬
‫‪ .6‬שבע מנות ‪50 ..............................................................................................‬‬
‫‪ .7‬היא בפנים ‪80 .............................................................................................‬‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה? ‪87 ...............................................‬‬
‫‪ .9‬ויהי אור ‪96 ................................................................................................‬‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית ‪101 .......................................................................................‬‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות ‪109 .....................................................................................‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים ‪120 ............................................................‬‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט ‪134 ..................................................................................‬‬
‫‪ .14‬צועדים במעגלים ‪142 ..................................................................................‬‬
‫‪ .15‬לגעת במעגל ‪152 .........................................................................................‬‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום ‪157 ............................................................................‬‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח ‪169 .....................................................................................‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪8‬‬
‫תוכן העניינים‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה ‪183 ....................................................................‬‬
‫‪ .19‬כבוד האליפסה ‪195 ......................................................................................‬‬
‫‪ .20‬פגישה שנייה עם האליפסה ‪198 .....................................................................‬‬
‫‪ .21‬פגישה שלישית עם האליפסה ‪203 ..................................................................‬‬
‫דוּאט של אליפסה והיפרבולה ‪207 .................................................................‬‬
‫‪ֶ .22‬‬
‫‪ .23‬סיפורן של שתי אסימפטוטות ‪211 .................................................................‬‬
‫‪ .24‬כמו שירו של רועה צאן ‪217 ...........................................................................‬‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי ‪220 ...........................................‬‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה ‪230 ......................................................................‬‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה ‪240 ...................................................................‬‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך ‪249 ........................................................................‬‬
‫‪ .29‬במרחבים רב‪-‬ממדיים )יוצאים מן המישור( ‪258 ..............................................‬‬
‫‪ .30‬שינויים בכביש ‪262 ......................................................................................‬‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים ‪269 – 307 .........................................‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪9‬‬
‫הקדמה‬
‫באחד ממשלי ה ֶזן בודהיזם מסופר על תלמיד שבא אל מורה זן ושאל‪:‬‬
‫"למה לדעתך‪ ,‬אדוני המורה‪ ,‬קיימים אנשים יפים וגם אנשים מכוערים‪ ,‬אנשים חכמים וגם‬
‫אנשים כסילים? למה ה' ברא חלק מהאנשים יפים וחלק מהאנשים מכוערים? הרי אין זה‬
‫בגלל מה שהם עשו בחייהם הקודמים‪ .‬כיצד אפוא נוצר הבדל זה עוד בשחר ההיסטוריה‪,‬‬
‫כאשר עוד לא היה עבר?"‬
‫המורה הביא את התלמיד לגן ואמר‪:‬‬
‫"הנה עץ גדול ולידו עץ קטן‪ .‬בעבר ישבתי זמן רב מתחת לעצים אלו וחשבתי‪ ,‬למה אחד‬
‫מהם גדול והשני קטן? אך כאשר 'זרקתי' את השכל‪ ,‬נעלמה השאלה‪ .‬כעת אני יודע שזה עץ‬
‫גדול וזה – קטן‪ .‬ואין שום בעיה!"‬
‫אם אחת ממטרותיו של תלמיד הזן היא ללמוד להשתיק ולנטרל את השכל שלא יפריע לו‬
‫לשקוע בעצמו‪ ,‬אזי על התלמיד הלומד מתמטיקה לפתח את שכלו וללמוד להפעיל אותו‬
‫באופן היעיל ביותר לפתרון בעיות‪.‬‬
‫ממשל זה למדים שאם השכל לא עובד – אין שאלות! מה לדעתכם קורה בראשו של‬
‫תלמיד שלא שואל שאלות?‬
‫כידוע‪ ,‬קיים קשר הפוך בין תופעות רבות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬כאשר אתה רגוע נשימתך אטית‬
‫ואילו כאשר אתה מתרגש נשימתך נעשית מהירה; אם אתה מודאג ורוצה להירגע‪ ,‬פעל‬
‫בהתאם לקשר ההפוך שבין מצב הרוח למהירות הנשימה‪ :‬התחל לנשום לאט‪ .‬אני ממליץ‬
‫לתלמידים להיעזר בטריק זה בזמן מבחן‪ ,‬כאשר אינם מסוגלים להתרכז מרוב התרגשות‪.‬‬
‫כאשר השכל מתאמץ לפתור בעיה מורכבת כלשהי אזי מתעוררות שאלות‪ ,‬ואילו כאשר‬
‫שואלים שאלה‪ ,‬מאלצים את השכל למצוא את התשובה עליה‪.‬‬
‫כדי שהשכל יפעל בכיוון הנכון צריך לשאול את השאלה הנכונה‪ .‬אילו שאלות יכולות‬
‫לעזור לפתור בעיות בגיאומטריה אנליטית‪ ,‬ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד?‬
‫כדי לקבל תשובה לשאלה זו – עליכם לקרוא את הספר! יש לציין שהשאלות‬
‫המומלצות לשואל‪ ,‬כדי לפתור בעיות בגיאומטריה אנליטית‪ ,‬דומות במידה רבה לשאלות‬
‫שהמלצתי עליהן בספרי "שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪ .‬כך למשל בשני הספרים‪ ,‬גם‬
‫בספרי הקודם הנ"ל וגם בספר נוכחי‪ ,‬נשאלת לעתים קרובות השאלה‪" :‬מה ניתן לומר על‬
‫‪ "?...‬ובחלק ניכר מן השאלות שאלתי כיצד מבצעים פעולה מסוג מסוים‪ .‬שימוש בשאלות‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫הקדמה‬
‫‪10‬‬
‫אלו הופך את פתרון הבעיה המתמטית למשחק של ניגודים בין "הפרטי" ל"כללי"‪ .‬לנוחות‬
‫הקוראים צירפתי לספר הנוכחי את הפרק "שאלות שעשויות לעזור למצוא את הדרך"‬
‫מספרי "שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪.‬‬
‫לאחר ששואלים כיצד מבצעים פעולה מסוג מסוים כלשהו‪ ,‬למשל לאחר ששואלים‪:‬‬
‫"כיצד מוכיחים ששני קטעים מסוימים שווים זה לזה?" או "כיצד מוצאים את השיעורים‬
‫של נקודה מסוימת?" יש להיזכר בתשובות הקיימות לשאלות אלו‪ ,‬ולבחור מביניהן את‬
‫התשובה המתאימה לפתרון הבעיה‪ .‬התשובות האפשריות לשאלות מסוג זה‪ ,‬הקשורות‬
‫להנדסת המישור‪ ,‬תוכלו למצוא בספרי "שיטות החשיבה בהנדסת המישור"‪ ,‬ואת‬
‫התשובות האפשריות לשאלות הקשורות לגיאומטריה אנליטית‪ ,‬תמצאו בספר הנוכחי‪.‬‬
‫מי שידע להיעזר נכונה בשאלות שלעיל ובתשובות האפשריות עליהן‪ ,‬תקל עליו הדרך‬
‫למציאת פתרון לבעיה לא מוכרת‪ ,‬שכן הוא יעבור שלבים שונים שיהיו מוכרים לו היטב –‬
‫ומכאן קצרה הדרך לפתרון‪ .‬כך גם לגבי מי שישאל את השאלה‪" :‬מה זה ‪ "? ...‬בספרי‬
‫"שיטת חשיבה בהנדסת המישור" כתבתי‪" :‬לעתים‪ ,‬כאשר חושבים על השאלה‪' :‬מה זה?'‬
‫מקבלים תשובה גם לשאלה‪' :‬כיצד‪"'?...‬‬
‫בנוסף לשאלות אשר צריך לשאול כדי להגיע אל הפתרון‪ ,‬ובנוסף לתשובות האפשריות על‬
‫חלק ניכר מהן‪ ,‬המופיעות בספר "שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪ ,‬הוצעו לקוראים מספר‬
‫שיטות נוספות המאפשרות למצוא בקלות פתרונות לבעיות בהנדסת המישור ברמה של ‪5‬‬
‫יחידות לימוד‪ .‬בעצם מטרת הספר הייתה להציע טכניקות המאפשרות לפתור מספר רב‬
‫בעיות כאלו‪.‬‬
‫מטרת הספר הנוכחי היא להציע טכניקות שבאמצעותן אפשר יהיה לפתור מספר רב של‬
‫בעיות ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד בגיאומטריה אנליטית‪ .‬שימוש בטכניקה משמעו חזרה על‬
‫אותן פעולות לעתים קרובות‪ .‬זו הסיבה לכך שגם בספרי הקודם וגם בספר זה מופיעים‬
‫במקומות רבים אותם ביטויים‪.‬‬
‫בספרי זה‪ ,‬כמו גם בקודמו ‪" -‬שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪ ,‬אפשר למצוא לא רק את‬
‫השאלות שצריכות להישאל כדי לפתור בעיה ואת התשובות האפשריות להן‪ ,‬אלא גם‬
‫שיטות נוספות לפתרון בעיות‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אציג כאן שיטה המאפשרת לפתור בקלות יחסית‬
‫בעיות רבות למציאת מקומות גיאומטריים‪ ,‬אשר בקרב תלמידים נחשבות לבעיות קשות‪.‬‬
‫יש לציין שלא כל הטכניקות המוצעות בספר הן פרי מחשבתי‪ .‬חלק מהן מבוססות על‬
‫מחקריו הנפלאים של המתמטיקאי והמורה הדגול ג'ורג' פוליה )‪ ,(George Polya‬ואת‬
‫חלקן מלמדים זה זמן רב בבתי ספר תיכוניים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪11‬‬
‫הספר מורכב משני חלקים‪ .‬חלקו הראשון כולל ‪ 30‬פרקים‪ ,‬ובו יוסברו בפירוט דרכי‬
‫החשיבה המובילות לפתרון בעיות בגיאומטריה אנליטית ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד תוך‬
‫כדי פתרונן‪ .‬כל הפתרונות שיובאו בחלקו הראשון של הספר מלאים )לעתים קרובות יובאו‬
‫כמה דרכים לפתרון( ואסביר בו בפירוט כיצד להגיע לכל שלב ושלב בפתרון הבעיה‪ .‬בחלקו‬
‫השני אסביר עבור ‪ 22‬בעיות אילו פעולות יש לבצע ואתן גם את התשובות הסופיות‪ .‬יתרה‬
‫מזאת‪ ,‬עבור רוב בעיות בחלק זה ניתנו גם תוצאות ביניים אשר יש לקבל ו‪/‬או חלקים של‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫תודתי ליפעת פרידמן אשר העניקה לספרי זה את אחת הבעיות המופיעות בחלק ב'‬
‫ולעמי גלעדי אשר מעולם לא אכזב אותי כשביקשתי ממנו להבהיר לי את דברי התנ"ך‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫ֶח ָכּם‬
‫הוֹל ְך ֶאת‪ֲ -‬ח ָכ ִמים י ְ‬
‫חלק א'‪ֵ :‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1‬‬
‫לדבריו של ההיסטוריון והפילוסוף היווני פלוטארכוס‪ ,‬כשהחליט פעם‬
‫אחת פיליפוס‪ ,‬מלך מקדון‪ ,‬לעצור ולנוח במקום יפה‪ ,‬התברר לו שאין‬
‫במקום זה דשא המתאים לחמור‪" .‬אלו החיים שלנו‪ ",‬אמר פיליפוס‪" ,‬אנחנו‬
‫חיים לפי טעמו של חמור"‪.‬‬
‫איני מוכן להתפשר‪ ,‬כתבתי את הספר רק לאלו שיש לי אתם )או שיהיה‬
‫לנו בעתיד( טעם דומה בדברים חשובים‪" .‬לא עבור חירשים אנו שרים‪ ,‬ענו‬
‫על כל מילה היערות‪ ",‬כתב המשורר הרומי פובליוס ורגיליוס מארו‪.‬‬
‫ֶח ָכּם("‪.‬‬
‫הוֹל ְך( ֶאת‪ֲ -‬ח ָכ ִמים וחכם )י ְ‬
‫‪ 1‬משלי‪ ,‬פרק יג "הלוך ) ֵ‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .1‬שאלות שעשויות לעזור למצוא את הדרך‬
‫‪14‬‬
‫‪ .1‬שאלות שעשויות לעזור למצוא את הדרך‬
‫מתוך הספר "שיטות חשיבה בהנדסת‬
‫המישור"‬
‫כוונתנו היא לפתור בעיות בעזרת שאלות שנשאל את עצמנו; אנחנו נשאל ונענה לעצמנו ‪-‬‬
‫שירות עצמי מלא‪ .‬למזלנו‪ ,‬את התשובות לשאלות העיקריות ניתן לשאוב מתוך מאגר‬
‫מוגבל של תשובות‪ ,‬שבו נדון בספר זה‪.‬‬
‫חלק מהשאלות מתבססות על המלצות המופיעות בספר הנודע "?‪ ,"How to solve it‬מאת‬
‫המתמטיקאי הדגול ‪ .George Polya‬הספר תורגם לעברית‪ ,‬וניתן למצוא אותו בספריות‬
‫האוניברסיטאות‪ ,‬תחת השם "כיצד פותרין?" מאת ג' פויה )התרגום יצא לאור בשנת ‪, 1961‬‬
‫בעברית ארכאית‪ .‬שמו של המחבר תורגם לעברית מהונגרית(‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬השאלות הראשונות אותן יש לשאול על פי פויה‪ ,‬הן‪ :‬מהו הנעלם? מהו המבוקש? מה‬
‫נדרש להוכיח? מהם הנתונים? ומהו התנאי? אגב‪ ,‬במקום לשאול על 'הנתונים' ו'התנאי'‪,‬‬
‫אנחנו נשאל פשוט "מה נתון בבעיה?"‪.‬‬
‫פויה המליץ לשאול גם‪ :‬האם אתה מכיר בעיה דומה לזו? אם כן‪ ,‬התוכל להיעזר בה?‬
‫התוכל להיעזר בשיטת הפתרון לבעיה זו או בתוצאה שלה? וכן‪ :‬האם עליך להוסיף גורם‬
‫עזר כלשהו? האם אתה מכיר משפט שעשוי להביא לך תועלת? האם תוכל לנסח את הבעיה‬
‫בדרך אחרת? האם יש בכוחך לפתור בעיה כללית יותר או פרטית יותר? התוכל לפתור חלק‬
‫מהבעיה? במהלך חיפוש הפתרון‪ ,‬המליץ פויה לשאול‪ :‬האם השתמשת בכל הנתונים?‬
‫לאחר שפותרים בעיה‪ ,‬יש לשאול‪ ,‬על פי פויה‪ ,‬את השאלות הבאות‪ :‬האם תוכל לבדוק את‬
‫התוצאה? האם תוכל לבדוק את ההנמקה? התוכל להשתמש בתוצאה או ַבּשיטה ביחס‬
‫לפתרון בעיה אחרת?‬
‫אין זו הרשימה המלאה של שאלות אותן המליץ פויה לשאול‪ .‬בספר זה נשתמש רק בחלק‬
‫מהשאלות הללו )לא בהכרח בניסוח הניתן לעיל(‪ .‬לא נשאל‪ ,‬למשל‪ ,‬שאלות המיועדות‬
‫להישאל לאחר פתרון בעיה‪ .‬אתם תשאלו שאלות כאלו בעצמכם‪ ,‬לאחר שתקראו את‬
‫הפתרונות המופיעים בספר זה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬במהלך חיפוש הפתרון ניעזר לעתים קרובות‬
‫בשאלה "האם השתמשנו בכל מה שנתון בבעיה?"‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪15‬‬
‫להלן נעסוק בשלוש שאלות אחרות‪ ,‬שהראשונה מביניהן הינה שאלת עזר‪ ,‬המסייעת לנסח‬
‫את השאלה השניה‪ .‬שתי השאלות האחרות הן‪ ,‬לדעתי‪ ,‬שאלות מפתח בהוכחת טענות‬
‫רבות‪ .‬ליתר דיוק‪ ,‬לא מדובר כאן בשתי שאלות שונות‪ ,‬אלא בשני סוגים של שאלות‪ ,‬וזאת‬
‫אסביר בהמשך; כפי שנאמר בקֹהלת‪" ,‬לכל דבר זמן ועת לכל חפץ"‪...‬‬
‫ברוב המקרים‪ ,‬הוכחת טענה מסוימת מתקדמת משלב לשלב‪ ,‬בעזרת שיטות כלליות‬
‫המאפשרות לפתור קבוצה גדולה של בעיות‪ .‬מה עליכם לעשות כדי למצוא שיטה מתאימה?‬
‫ראשית‪ ,‬יש להבין לאיזו קבוצת טענות משתייכת הטענה אותה יש להוכיח‪ ,‬ובהתאם‪,‬‬
‫לנסות להיזכר בשיטות הוכחה של טענות מסוג זה‪ .‬למטרה זו‪ ,‬עשויה להועיל שאלת‬
‫הבאה‪" :‬כיצד ניתן לנסח את הנאמר בטענה במלים כלליות?"‪ .‬קל יותר למצוא שיטה‬
‫כללית‪ ,‬כשמשתמשים בביטויים כלליים; התשובה לשאלה ששאלנו‪ ,‬יכולה להיות‪" :‬בטענה‬
‫נאמר‪ ,‬ששתי זוויות מסוימות שוות זו לזו"‪ ,‬או "ששני קטעים מסוימים שווים זה לזה" או‬
‫"ששני ישרים מסוימים מקבילים זה לזה" וכדומה‪ .‬אם התשובה שנתתם לשאלה‬
‫הראשונה‪ ,‬היתה "בטענה נאמר ששתי זוויות מסוימות שוות זו לזו"‪ ,‬שאלו את השאלה‬
‫הבאה‪" :‬כיצד מוכיחים ששתי זוויות שוות זו לזו?"‪ .‬אם התשובה שנתתם לשאלה‬
‫הראשונה‪ ,‬היתה "בטענה נאמר ששני קטעים מסוימים שווים זה לזה"‪ ,‬שאלו‪" :‬כיצד‬
‫מוכיחים ששני קטעים שווים זה לזה?"‪.‬כעת יהיה עליכם להיזכר בשיטות המאפשרות‬
‫להוכיח ששתי זוויות שוות זו לזו‪ ,‬ולבחור מביניהן את השיטה המתאימה למקרה הפרטי‬
‫שבו אתם עוסקים‪ .‬ייתכן שהשיטה הראשונה שבה נזכרתם‪ ,‬תביא אתכם לפתרון‪ ,‬אך אין‬
‫זה בטוח; אם לא הצלחתם לפתור את הבעיה ַבּשיטה שבחרתם‪ִ ,‬בּדקו שיטה נוספת‪ .‬אפילו‬
‫אם הצלחתם לפתור את הבעיה בעזרת השיטה הראשונה‪ ,‬לא יזיק לבדוק שיטה נוספת‪.‬‬
‫ייתכן שתמצאו פתרון קצר בהרבה‪ .‬עליכם לזכור כי עבור רוב סוגי הטענות‪ ,‬קיימות שיטות‬
‫כלליות רבות להוכחה‪ .‬בנוסף‪ ,‬טענה מסוימת עשויה להשתייך בו בזמן לסוגים שונים של‬
‫טענות‪ .‬כאשר מתייחסים לטענה כשייכת לסוג אחד של טענות‪ ,‬בוחרים שיטת הוכחה מבין‬
‫השיטות המתאימות לסוג זה‪ ,‬ואילו כאשר מתייחסים לטענה כשייכת לסוג אחר של‬
‫טענות‪ ,‬בוחרים שיטת הוכחה מבין השיטות המתאימות לסוג האחר‪..‬‬
‫השאלות "כיצד מוכיחים טענות מסוג זה?"‪" ,‬האם קיים משפט בעזרתו ניתן לקבל את‬
‫הטענה?"‪ ,‬ו"האם קיימת שיטה להוכחת טענות מסוג זה?"‪ ,‬עשויות לסמן את הכיוון הנכון‬
‫שעליו יש לחשוב‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .1‬שאלות שעשויות לעזור למצוא את הדרך‬
‫‪16‬‬
‫באמצעות השאלות הבאות תוכלו לצמצם את רשימת השיטות‪ ,‬שביניהן תמצאו את זו‬
‫שאתם זקוקים לה‪" :‬מה ניתן לומר על הרכיבים שאותם יש להוכיח?"‪" ,‬מה ניתן לומר על‬
‫הזוויות בשוויון אותו עלינו להוכיח?"‪" ,‬מה ניתן לומר על הקטעים בשוויון אותו עלינו‬
‫להוכיח?" וכדומה‪ .‬שאלות כאלו יכריחו אתכם להתמקד בפרטים‪ ,‬שיעזרו לכם לבחור את‬
‫שיטת ההוכחה המתאימה לטענה הנדרשת‪ ,‬בבחינת "לבחור חליפה על פי גִ זרה"; אם‬
‫תצליחו לענות על השאלה "מה ניתן לומר על הזוויות בשוויון אותו עלינו להוכיח?"‪,‬‬
‫במילים שיאפשרו לכם להבין באיזה סוג )איזו תת‪-‬קבוצה( של זוויות מדובר‪ ,‬הרי שזה‬
‫יעזור לכם לפתור את הבעיה‪ .‬אם‪ ,‬לדוגמא‪ :‬לשאלה "מה ניתן לומר על הזוויות בשוויון‬
‫אותו עלינו להוכיח?"‪ ,‬תשיבו כי "הזוויות בשוויון הן זוויות היקפיות"‪ ,‬יהיה עליכם לשאול‬
‫את עצמכם "כיצד מוכיחים ששתי זוויות היקפיות שוות זו לזו?"‪ .‬לאחר שתשאלו שאלה‬
‫זו‪ ,‬יש סיכוי רב שתגיעו לפתרון‪.‬‬
‫לעתים‪ ,‬צורת החשיבה היא הפוכה‪ :‬במקום להתמקד בפרטים‪ ,‬בעזרת שאלות כגון אלה‬
‫שהצגנו קודם‪ ,‬משתמשים בשיטות כלליות יותר;‪ :‬לדוגמא‪ :‬אם תצליחו להביע את גודלן‬
‫של שתי זוויות – לא חשוב מה סוגן – באמצעות אותם פרמטרים‪ ,‬ובשני המקרים תקבלו‬
‫אותו ביטוי‪ ,‬אזי הזוויות שוות זו לזו‪ .‬בשיטה זו ניתן להוכיח שוויונים בין אורכי קטעים‪,‬‬
‫גדלים אחרים‪ .‬שיטה כללית זו להוכחת שוויונים‪ ,‬היא מקרה פרטי של‬
‫בין שטחים ובין ָ‬
‫שיטה כללית יותר‪ ,‬לפיה מוכיחים שוויונים בעזרת כלל המעבר "אם ‪ a = b‬ו‪ , b = c -‬אז‬
‫‪." a = c‬‬
‫לעתים‪ ,‬השאלות "האם אתה מכיר בעיה דומה לזו?"‪" ,‬התוכל להיעזר בה?"‪" ,‬התוכל‬
‫להיעזר בשיטת הפתרון שלה?"‪ ,‬ו"התוכל להיעזר בתוצאה שלה?" )על פי הספר הנ"ל של‬
‫פויה(‪ ,‬משפיעות על הנשאלים באותו אופן כמו השאלה "כיצד מוכיחים ‪ ."?...‬זכרו כי כל‬
‫שאלה שתשאלו‪ ,‬תכוון את מחשבותיכם בכיוון מסוים‪ .‬לכן חשוב מה שואלים‪ ,‬מתי‬
‫שואלים‪ ,‬ו‪...‬מתי לא שואלים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪17‬‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪…and with its feet cuts through the path it follows.‬‬
‫)‪(Rig Veda 1, tr. by Ralph T.H. Griffith‬‬
‫בעיה‬
‫נתון מרובע ‪) ABCD‬ראו ציור(‪ .‬משוואות הצלעות‪ 2‬של המרובע הן ‪, 8 x − 3 y + 8 = 0‬‬
‫‪ 8 x + 15 y − 100 = 0 , 8 x − 3 y − 18 = 0‬ו‪. 4 x − 3 y + 16 = 0 -‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ . BC‬מצאו את שיעורי הנקודה ‪. E‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של נקודה ‪ . E‬על פי הנתון הנקודה היא אמצע הצלע ‪BC‬‬
‫במרובע ‪. ABCD‬‬
‫כיצד מוצאים את השיעורים של אמצע קטע?‬
‫לפתרון בעיות מסוג זה נעזרים במשפט שלפיו‪ :‬אם נקודה ) ‪ M ( xM , yM‬היא אמצע‬
‫הקטע המחבר את הנקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ , ( x2 , y2 ) -‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪ 1‬אוסף של המנונים הודיים עתיקים‪.‬‬
‫‪ 2‬מכאן ואילך כאשר נאמר "משוואת הצלע של מצולע" הכוונה ל"משוואת הישר שעליו נמצאת הצלע של‬
‫המצולע"‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪18‬‬
‫‪y1 + y2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫‪x1 + x2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫לפי משפט זה מתקיים‬
‫)‪(1‬‬
‫‪xB + xC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, xE‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪yB + yC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪. yE‬‬
‫אם נצליח למצוא את השיעורים של נקודות ‪ B‬ו‪ , C -‬נוכל לקבל בעזרת שני השוויונים‬
‫האחרונים גם את השיעורים של נקודה ‪. E‬‬
‫בניסיון למצוא את השיעורים של נקודה ‪ B‬נשאל את עצמנו‪ :‬מה אפשר לומר על נקודה‬
‫זו?‬
‫הנקודה היא נקודת החיתוך של הישרים ‪ AB‬ו‪. BC -‬‬
‫כיצד מוצאים את השיעורים של נקודת החיתוך של שני ישרים במישור? ובכלל‪ :‬כיצד‬
‫מוצאים את הנקודות המשותפות לשני קווים במישור?‬
‫את הנקודות המשותפות לשני קווים מוצאים כך‪ :‬מוצאים את משוואות הקווים )אם הן‬
‫לא ידועות(‪ ,‬ופותרים את מערכת המשוואות המורכבת מהן‪.‬‬
‫כדי להסביר למה פתרונות של מערכת המשוואות הם זוגות השיעורים של נקודות‬
‫משותפות לשני הקווים עלינו להבהיר קודם מהי משוואה של קו‪.‬‬
‫משוואה של קו ‪ ℓ‬במישור היא משוואה עם הנעלמים ‪ x‬ו‪ y -‬המקיימת את שני‬
‫התנאים הבאים‪:‬‬
‫)א( השיעורים של כל נקודה המונחת על הקו ‪ ℓ‬מקיימים את המשוואה‪,‬‬
‫)ב( השיעורים של כל נקודה שאינה מונחת על הקו ‪ ℓ‬לא מקיימים את המשוואה‪.‬‬
‫את הטענה "משוואה ‪ F ( x, y ) = 0‬היא משוואה של הקו ‪ " ℓ‬אפשר לנסח גם במילים‬
‫הבאות‪" :‬המשווה ‪ F ( x, y ) = 0‬מייצגת את הקו ‪ ." ℓ‬את הביטוי‪ ℓ " :‬הוא קו המיוצג על‬
‫ידי המשוואה ‪ 3" F ( x, y ) = 0‬אפשר לרשום כך‪:‬‬
‫‪ 3‬במקרים רבים במקום ביטוי זה משתמשים בביטוי " ‪ ℓ‬הוא מקום גיאומטרי של נקודות המקיימות את‬
‫המשוואה ‪." F ( x, y ) = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪19‬‬
‫‪ℓ : F ( x, y ) = 0‬‬
‫לעתים קרובות במקום לומר‪" :‬הקו המיוצג על ידי המשוואה ‪ ," F ( x, y ) = 0‬אומרים‬
‫פשוט‪" :‬הקו ‪." F ( x, y ) = 0‬‬
‫כעת‪ ,‬כאשר אנו יודעים מה היא משוואה של קו‪ ,‬אפשר להבהיר את הנאמר לעיל על‬
‫נקודות משותפות לשני ישרים‪ .‬נעשה זאת בדוגמה הבאה‪ :‬נחפש את השיעורים של נקודת‬
‫החיתוך של הישרים הבאים‪ , ℓ1 : 2 x − 3 y − 5 = 0 :‬ו‪. ℓ 2 : 3 x + 2 y − 1 = 0 -‬‬
‫נקודה ) ‪ N ( xN , y N‬היא נקודת החיתוך של הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬אם‪ ,‬ורק אם‪ ,‬היא מונחת‬
‫על כל אחד מישרים אלו‪ .‬כלומר – אם‪ ,‬ורק אם‪ ,‬שיעוריה מקיימים את המשוואה‬
‫‪ 2 x − 3 y − 5 = 0‬של הקו ‪ ℓ1‬וגם את המשוואה ‪ 3x + 2 y − 1 = 0‬של הקו ‪ . ℓ 2‬כלומר‬
‫נקודה ) ‪ N ( xN , y N‬היא נקודת החיתוך של ישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬אם‪ ,‬ורק אם‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪2 xN − 3 y N − 5 = 0‬‬
‫וכמו כן מתקיים‪:‬‬
‫‪3 xN + 2 y N − 1 = 0‬‬
‫וכיצד נקרא זוג המספרים הסדור ) ‪ ( xN , yN‬המקיים את המשוואה ‪2 x − 3 y − 5 = 0‬‬
‫וגם את המשוואה ‪? 3x + 2 y − 1 = 0‬‬
‫זוג המספרים הסדור המקיים את המשוואה ‪ 2 x − 3 y − 5 = 0‬וגם את המשוואה‬
‫‪ 3x + 2 y − 1 = 0‬נקרא פתרון מערכת המשוואות‬
‫‪2 x − 3 y − 5 = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x + 2 y − 1 = 0‬‬
‫פתרו את מערכת המשוואות האחרונה בעצמכם בתור תרגיל‪ .‬עליכם לקבל את התשובה‪:‬‬
‫)‪ . (1, −1‬מכאן‪. N (1, −1) :‬‬
‫נחזור לבעיה שעלינו לפתור בפרק זה‪ .‬אמרנו קודם לכן שאם נצליח למצוא את‬
‫השיעורים של הקודקודים ‪ B‬ו‪ C -‬של המרובע ‪ , ABCD‬נוכל לקבל את השיעורים של‬
‫נקודה ‪ E‬בעזרת השוויונים )‪ (1‬ו‪.(2)-‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪20‬‬
‫אמרנו גם כי הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הישרים ‪ AB‬ו‪. BC -‬‬
‫על פי הנתון משוואות הישרים שעליהם נמצאות צלעות המרובע ‪ ABCD‬הן‬
‫)‪ 8 x + 15 y − 100 = 0 , 8 x − 3 y − 18 = 0 , 8 x − 3 y + 8 = 0 (3‬ו‪4 x − 3 y + 16 = 0 -‬‬
‫אם נדע איזו ממשוואות אלו היא משוואה של הישר ‪ AB‬ואיזו היא של הישר ‪ , BC‬אז כדי‬
‫למצוא את השיעורים של נקודה ‪ B‬נצטרך רק לפתור את מערכת המשוואות המורכבת‬
‫ממשוואות הישרים ‪ AB‬ו‪ . BC -‬בנוסף אם נדע גם איזו מהמשוואות בשורה )‪ (3‬היא‬
‫משוואת הישר ‪ , CD‬אז כדי למצוא את השיעורים של הנקודה ‪ C‬יהיה עלינו לפתור את‬
‫מערכת המשוואות המורכבת ממשוואות הישרים ‪ BC‬ו‪ , CD -‬מכיוון שהנקודה ‪ C‬היא‬
‫נקודת החיתוך של ישרים אלו‪.‬‬
‫נתבונן במשוואות הצלעות של המרובע ‪ . ABCD‬כולן מן הצורה‪. ax + bx + c = 0 :‬‬
‫משוואה ‪ ax + bx + c = 0‬שבה לפחות אחד המקדמים ‪ a‬ו‪ b -‬שונה מאפס נקראת‬
‫משוואה כללית של קו ישר‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר פותרים בעיות בגיאומטריה אנליטית לעתים קרובות ישנו צורך למצוא משוואה‬
‫כללית של קו ישר זה או אחר‪ ,‬אך לפתרון הבעיה נוכחית נצטרך למצוא משוואות מפורשות‬
‫של צלעות המרובע ‪. ABCD‬‬
‫מהי משוואה מפורשת של קו ישר?‬
‫המשוואה המפורשת של קו ישר היא משוואה של הקו אשר נכתבת כך‪:‬‬
‫‪y = mx + n‬‬
‫)‪(4‬‬
‫משוואה מן הצורה הזו קיימת עבור כל ישר שאינו מאונך לציר ה‪ . x -‬גם ההפך הוא נכון‪:‬‬
‫כל משוואה מן הצורה )‪ (4‬מייצגת קו ישר שאינו מאונך לציר ה‪. x -‬‬
‫כדי שנוכל לפתור את הבעיה‪ ,‬עלינו לדעת מהי המשמעות של מקדם ‪ m‬ומהי המשמעות‬
‫של האיבר החופשי ‪ n‬במשוואה זו‪.‬‬
‫האיבר החופשי ‪ n‬במשוואה )‪ (4‬שווה לשיעור ה‪ y -‬של נקודת החיתוך של הישר ‪ℓ‬‬
‫המיוצג ידי משוואה זו עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 4‬במקום לכתוב‪ " :‬לפחות אחד מהמקדמים ‪ a‬ו‪ b -‬שונה מאפס" אפשר לכתוב‪a 2 + b 2 ≠ 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪21‬‬
‫ומה ידוע על מקדם ‪ m‬של ‪ x‬במשוואה )‪? (4‬‬
‫ידוע שעבור כל שתי נקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ ( x2 , y2 ) -‬המונחות על ישר ‪ ℓ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫=‪m‬‬
‫נסמן ב‪ α -‬את הזווית הקטנה ביותר שבה צריך לסובב את ציר ה‪ x -‬או ישר מקביל לו‬
‫בכיוון נגדי לכיוון שבו נעים מחוגי השעון עד שיתלכד עם הישר ‪ ℓ‬הנ"ל‪ .‬הזווית נקראת‬
‫הזווית בין הישר ‪ ℓ‬לכיוון החיובי של ציר ה‪ . x -‬על סמך שוויון )‪ (5‬אפשר להסיק‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫‪m = tan α‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪( x2 , y2‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪= tan α‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫=‪m‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫) ‪( x1 , y1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫לכן למקדם ‪ m‬של ‪ x‬במשוואה )‪ (4‬קוראים שיפוע של הקו הישר ‪) ℓ‬בספרים רבים‬
‫מגדירים קודם את השיפוע של קו ישר בעזרת נוסחה )‪ (6‬ורק לאחר מכן מוכיחים את‬
‫שוויון )‪ (5‬וכי משוואה )‪ (4‬מייצגת את הקו הישר(‪.‬‬
‫על סמך שוויון )‪ (5‬אפשר גם להסיק כי השיפוע של קו ישר הוא המהירות שבה משתנה‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודה המונחת על הישר כאשר שיעור ה‪ x -‬שלה משתנה‪ .‬אם נניע נקודה‬
‫שרירותית המונחת על הישר לאורכו משמאל לימין‪ ,‬בכל פעם ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה‬
‫‪ 5‬אם נציב במשוואה האחרונה את ‪ , x = 0‬נקבל ‪. y = n‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪22‬‬
‫‪6‬‬
‫יגדל ביחידה אחת‪ ,‬ישתנה שיעור ה‪ y -‬שלה ב‪ m -‬יחידות ; עם זאת‪ ,‬במקרה ששיפוע‬
‫הישר חיובי ) ‪ ,( m > 0‬יגדל שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ב‪ m -‬יחידות‪ ,‬ואילו במקרה ששיפוע‬
‫הישר שלילי ) ‪ ,( m < 0‬יקטן שיעור ה‪ y -‬שלה ב‪ | m |= −m -‬יחידות‪.‬‬
‫אם ‪ , m = 0‬שיעור ה‪ y -‬של הנקודה המונחת על הישר לא ישתנה‪ ,‬לא חשוב כיצד נשנה‬
‫את שיעור ה‪ x -‬שלה‪ .‬כדי לפתור בעיות רבות צריך לדעת שאם שיפוע שווה ל‪ , 0 -‬אז‬
‫הישר מקביל לציר ה‪ x -‬או מתלכד עמו‪ ,‬ולהפך‪ :‬אם ישר מקביל לציר ה‪ x -‬או מתלכד‬
‫עמו‪ ,‬אז השיפוע של הישר שווה ל‪. 0 -‬‬
‫‪m>0‬‬
‫‪m<0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪( x1 + 1, y1 + m‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪( x1 , y1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪( x1 , y1‬‬
‫)‪( x1 + 1, y1 + m‬‬
‫משוויון )‪ (6‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪m > 0 ⇔ 0° < α < 90°‬‬
‫‪m < 0 ⇔ 90° < α < 180°‬‬
‫כעת נוכל להסיק מסקנות ראשונות על אודות הישרים המיוצגים על ידי משוואות‬
‫‪ 8 x + 15 y − 100 = 0 , 8 x − 3 y − 18 = 0 , 8 x − 3 y + 8 = 0‬ו‪4 x − 3 y + 16 = 0 -‬‬
‫‪ 6‬על סמך שוויון )‪ (5‬מסיקים שאם עבור הנקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ ( x2 , y2 ) -‬הנ"ל מתקיים‪ , x2 − x1 = 1 :‬אז‬
‫מתקיים‪. y2 − y1 = m :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪23‬‬
‫)משוואות אלה הופיעו בשורה )‪ (3‬לעיל(‪ .‬נמצא קודם את המשוואות המפורשות של ישרים‬
‫אלה‪ .‬לשם כך‪ ,‬בכל אחת מארבע המשוואות האחרונות נבודד את ה‪ . y -‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪y = x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x−6‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪y=−‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(10‬‬
‫=‪y‬‬
‫כעת נתבונן בצלעות המרובע ‪ , ABCD‬וליתר דיוק‪ ,‬בישרים שעליהם הצלעות מונחות‪ .‬כל‬
‫אחד מהישרים ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬יוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ . x -‬רק‬
‫הישר ‪ AD‬יוצר זווית קהה עם כיוון זה‪ .‬לכן רק השיפוע של הישר ‪ AD‬קטן מ‪ . 0 -‬שיפועי‬
‫הישרים ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬גדולים מ‪. 0 -‬‬
‫נחזור למשוואות המפורשות של הישרים שעליהם נמצאות צלעות המרובע ‪ . ABCD‬רק‬
‫השיפוע של הישר שמשוואתו )‪ (9‬קטן מ‪ . 0 -‬שיפועי הישרים שמשוואותיהם )‪ (8) ,(7‬ו‪(10)-‬‬
‫גדולים מ‪. 0 -‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x+‬‬
‫המשוואה המפורשת של הישר ‪ AD‬היא‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.y=−‬‬
‫נסכים שבמקרה שיהיה צורך להדגיש שמדובר בישר ‪) AD‬לדוגמה( ולא בקטע ‪, AD‬‬
‫נסמן את הישר ב‪ . ℓ AD -‬כעת נוכל לרשום את המסקנה שהסקנו בנוגע לישר ‪ AD‬בצורה‬
‫זו‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ℓ AD : y = −‬‬
‫עלינו עוד לקבוע איזו מן המשוואות )‪ (8) ,(7‬ו‪ (10)-‬מייצגת איזה מן הישרים ‪BC , AB‬‬
‫ו‪. CD -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪24‬‬
‫מה אפשר לומר על משוואות )‪ (7‬ו‪?(8)-‬‬
‫המקדמים של ‪ x‬במשוואות אלה שווים זה לה‪ .‬במילים אחרות‪:‬‬
‫השיפוע של הישר שמשוואתו )‪ (7‬שווה לשיפוע של הישר שמשוואתו )‪.(8‬‬
‫)‪(11‬‬
‫ועוד אפשר להבחין כי‬
‫האיבר החופשי במשוואה )‪ (7‬גדול מהאיבר החופשי במשוואה )‪.(8‬‬
‫)‪(12‬‬
‫מה ידוע על ישרים ששיפועיהם שווים זה לזה?‬
‫ידוע ש‪-‬‬
‫)‪(13‬‬
‫אם שיפוע ‪ m1‬של הישר ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬שווה לשיפוע ‪ m2‬של הישר‬
‫‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2‬ומתקיים ‪ , n1 ≠ n2‬אז הישרים מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫גם ההפך נכון‪:‬‬
‫)‪(14‬‬
‫אם ישרים ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬ו‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2 -‬מקבילים זה לזה‪ ,‬אז‬
‫‪ m1 = m2‬ו‪n1 ≠ n2 -‬‬
‫הציור להלן הוא איור לדרך שבה מוכיחים את טענות )‪ (13‬ו‪.(14)-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ℓ2‬‬
‫‪ℓ1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n1 ≠ n2‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α1 = α 2 ⇔ tan α1 = tan α 2 ⇔ m1 = m2‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪25‬‬
‫נציין כי טענה )‪ (13‬שקולה לטענה הבאה‪:‬‬
‫)‪(15‬‬
‫אם השיפוע ‪ m1‬של הישר ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬לא שווה לשיפוע ‪ m2‬של‬
‫הישר ‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2‬או ‪ , n1 = n2‬אז הישרים לא מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫למי שמתקשה להבין למה טענה )‪ (15‬שקולה לטענה )‪) (13‬כלומר למה )‪ (13) ⇒ (15‬ו‪(13)-‬‬
‫⇒ )‪ ((15‬מומלץ לקרוא את פרק ‪ 19‬בספרי "שיטות חשיבה בהנדסת המישור"‪ .‬הפרק‪,‬‬
‫שנקרא "לא ולא"‪ ,‬מוקדש לכמה חוקים של לוגיקה מתמטית‪ .‬נבהיר רק שאם מתקיים‪:‬‬
‫‪ m1 = m2‬וגם ‪ , n1 = n2‬אז הישרים ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬ו‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2 -‬מתלכדים זה‬
‫עם זה‪ ,‬ואילו אם מתקיים ‪ , m1 ≠ m2‬הישרים נחתכים‪.‬‬
‫כעת נוכל להסיק מסקנות מטענות )‪ (11‬ו‪ .(12)-‬מטענות אלו נובע כי‬
‫ישר)‪ (7‬מקביל לישר)‪.(8‬‬
‫)‪(16‬‬
‫ויתרה מזאת‪,‬‬
‫ישר)‪ (7‬נמצא כולו מעל ישר)‪.(8‬‬
‫)‪(17‬‬
‫הרי האיבר החופשי במשוואה מפורשת של קו ישר שווה לשיעור ה‪ y -‬של נקודת החיתוך‬
‫של הישר עם ציר ה‪ ; y -‬לכן מטענה )‪ (12‬נובע כי נקודת החיתוך של ישר )‪ (7‬עם ציר ה‪y -‬‬
‫מונחת על הציר האחרון גבוה יותר מאשר נקודת החיתוך של ישר )‪ (8‬עם ציר זה‪.‬‬
‫כעת הוכיחו בעצמכם כי‬
‫)‪(18‬‬
‫הישרים )‪ (7‬ו‪ (10)-‬נחתכים‪.‬‬
‫וגם‬
‫)‪(19‬‬
‫הישרים )‪ (8‬ו‪ (10)-‬נחתכים‪.‬‬
‫הבה נתבונן בישרים ‪ BC , AB‬ו‪ . CD -‬משוואות )‪ (8) ,(7‬ו‪ (10)-‬הן משוואות של ישרים‬
‫אלה‪ ,‬אך עדיין לא ידוע איזו משוואה מייצגת איזה ישר‪.‬‬
‫על סמך הטענות )‪ (18) ,(16‬ו‪ (19)-‬מסיקים כי רק זוג אחד של ישרים מבין הישרים ‪, AB‬‬
‫‪ BC‬ו‪ CD -‬הוא זוג של ישרים המקבילים זה לזה‪ .‬כל זוג אחר שנבחר משלישיית הישרים‬
‫‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬הוא זוג של ישרים נחתכים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪26‬‬
‫אילו מן הישרים ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬מקבילים זה לזה?‬
‫לרשותנו שלוש אפשרויות‪:‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪, AB || BC‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪, BC || CD‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪AB || CD‬‬
‫לישרים ‪ AB‬ו‪ BC -‬יש נקודה משותפת – הנקודה ‪ . B‬גם לישרים ‪ BC‬ו‪ CD -‬יש נקודה‬
‫משותפת – הנקודה ‪ . C‬לכן‬
‫הישרים ‪ AB‬ו‪ BC -‬נחתכים‬
‫)‪(23‬‬
‫וגם‬
‫הישרים ‪ BC‬ו‪ CD -‬נחתכים‪.‬‬
‫)‪(24‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫טענות )‪ (20‬ו‪ (21)-‬לא מתקיימות‪.‬‬
‫נותרה אפשרות אחת‬
‫טענה )‪ (22‬מתקיימת‪.‬‬
‫נציין כי שיטת החשיבה שבאמצעותה הסקנו כי ‪ AB || CD‬נקראת שיטת ההשמטה‪.‬‬
‫קיבלנו לעיל כי בין הישרים המיוצגים על ידי משוואות )‪ (8) ,(7‬ו‪ (10)-‬יש זוג אחד ויחיד‬
‫של ישרים מקבילים זה לזה‪ :‬ישרים )‪ (7‬ו‪ .(8)-‬מכאן ומטענות )‪ (23) ,(22‬ו‪ (24)-‬נובע כי‬
‫)‪(25‬‬
‫משוואת אחד הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬היא משוואה )‪ ,(7‬ומשוואת‬
‫הישר השני היא משוואה )‪.(8‬‬
‫נתבונן בציור המרובע ‪) ABCD‬עמוד ‪ .(17‬לפי הציור‬
‫)‪(26‬‬
‫הישר ‪ AB‬נמצא מעל הישר ‪CD‬‬
‫מטענות )‪ (25) ,(17‬ו‪ (26)-‬נובע כי‬
‫משוואה )‪ (7‬היא משוואת הישר ‪, AB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪27‬‬
‫ואילו‬
‫משוואה )‪ (8‬היא משוואת הישר ‪. CD‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪, ℓ AB : y = x +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(27‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x−6‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. ℓ CD : y‬‬
‫הבה ניזכר‪ ,‬קיבלנו קודם כי המשוואות המפורשות של צלעות המרובע ‪ ABCD‬הן‬
‫משוואות )‪ (7‬עד )‪ .7(10‬לאחר מכן קיבלנו כי משוואה )‪ (9‬היא משוואה של הישר ‪, AD‬‬
‫וכעת קיבלנו כי משוואה )‪ (7‬היא משוואת הישר ‪ AB‬ומשוואה )‪ (8‬היא משוואת הישר‬
‫‪. CD‬‬
‫ובכן‪ ,‬איזו מהמשוואות )‪ (7‬עד )‪ (10‬היא המשוואה של הישר ‪? BC‬‬
‫לא נותר אלא להסיק כי‬
‫משוואה )‪ (10‬היא משוואת הישר ‪. BC‬‬
‫כלומר‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(28‬‬
‫= ‪ℓ BC : y‬‬
‫השתמשנו שוב בשיטת ההשמטה‪ .‬מצאנו בעזרתה את המשוואה המפורשת של הישר ‪. BC‬‬
‫נפתור את המערכת‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(29‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪y‬‬
‫‪‬‬
‫המורכבת ממשוואה )‪ (7‬של הישר ‪ AB‬וממשוואה )‪ (10‬של הישר ‪ . BC‬פתרונה הוא זוג‬
‫השיעורים של נקודה ‪. B‬‬
‫‪ 7‬כלומר משוואות )‪ (9) ,(8) ,(7‬ו‪.(10) -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .2‬דרך ישרה‬
‫‪28‬‬
‫מערכת המשוואות האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪16 8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 3 x + 3 = 3 x + 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 4 x + 16‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(30‬‬
‫נפתור את המשוואה הראשונה במערכת האחרונה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16 8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪= x + ⇔ 4 x + 16 = 8 x + 8 ⇔ −4 x = −8 ⇔ x = 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב את ‪ x = 2‬במשוואה השנייה של מערכת )‪ ,(30‬ונקבל‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪24‬‬
‫‪⋅2+‬‬
‫=‪⇔y‬‬
‫‪⇔ y=8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫זוג המספרים הסדור )‪ (2,8‬הוא הפתרון )פתרון יחיד( של מערכת המשוואות )‪ .(29‬מכאן‬
‫)‪. B(2,8‬‬
‫)‪(31‬‬
‫נפתור את המערכת‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x−6‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(32‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪y‬‬
‫‪‬‬
‫המורכבת ממשוואה )‪ (10‬של הישר ‪ BC‬וממשוואה )‪ (8‬של הישר ‪ . CD‬פתרונה הוא זוג‬
‫השיעורים של נקודה ‪. C‬‬
‫מערכת המשוואות האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫)‪(33‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 3 x + 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 x + 16 = 8 x − 6‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫נפתור את המשוואה השנייה במערכת המשוואות האחרונה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪29‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16 8‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪= x − 6 ⇔ 4 x + 16 = 8 x − 18 ⇔ − 4 x = −32 ⇔ x = 8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫נציב את ‪ x = 8‬במשוואה הראשונה של מערכת )‪ ,(33‬ונקבל‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪32 16‬‬
‫‪48‬‬
‫‪⋅8 +‬‬
‫=‪⇔ y‬‬
‫‪+‬‬
‫=‪⇔ y‬‬
‫‪⇔ y = 16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫זוג המספרים הסדור )‪ (8,16‬הוא הפתרון )פתרון יחיד( של מערכת משוואות )‪ .(32‬מכאן‬
‫)‪. C (8,16‬‬
‫)‪(34‬‬
‫נציב בשוויונים )‪ (1‬ו‪ (2)-‬על פי השורות )‪ (31‬ו‪ ,(34)-‬ונקבל‬
‫‪2+8‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, xE‬‬
‫‪8 + 16‬‬
‫‪= 12‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, yE‬‬
‫כלומר )‪ . E (5,12‬מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה‬
‫‪30‬‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה‬
‫משפט‪ .‬כל תנין ארוך יותר מאשר הוא רחב‪.‬‬
‫משפט העזר הראשון‪ .‬כל תנין ארוך יותר מאשר הוא ירוק‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כל תנין ארוך מלמעלה ומלמטה‪ ,‬אך ירוק הוא רק מלמעלה‪ .‬לכן הוא יותר ארוך מאשר הוא‬
‫ירוק‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫משפט העזר השני‪ .‬כל תנין ירוק יותר מאשר הוא רחב‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כל תנין ירוק לאורך ולרוחב‪ ,‬אך רחב הוא רק לרוחב‪ .‬לכן הוא ירוק יותר מאשר הוא רחב‪.‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫כעת כדי להוכיח שכל תנין ארוך יותר מאשר הוא רחב נותר רק להיעזר בשני משפטי העזר ובכלל‬
‫המעבר עבור אי‪-‬שוויונים‪ ,‬ולפיו‪ :‬אם ‪ a > b‬ו‪ , b > c -‬אז ‪. a > c‬‬
‫)פולקלור סטודנטים(‪.‬‬
‫אני מקווה שבדיחה זו גרמה לכם לצחוק‪ ,‬או לפחות לחייך‪ ,‬אך כאשר מישהו מנסח‬
‫ומוכיח במלוא הרצינות טענה כלשהי באופן שמזכיר לי את הבדיחה לעיל ‪ -‬אינני יודע אם‬
‫לצחוק או לבכות‪ .‬מעציב אותי לחשוב שהוא בטוח שפעל לפי כל הכללים ושנימוקיו ללא‬
‫רבב‪ .‬אינני מדבר רק על תלמידים‪ .‬צורך בהבנה ובבנייה של שרשרת נימוקים קיים לא רק‬
‫כאשר לומדים במוסד כלשהו להשכלה‪ ,‬הוא קיים לאורך כל החיים‪.‬‬
‫בנוגע לתלמידים הלומדים מתמטיקה ברמת בגרות של ‪ 5‬יח"ל‪ ,‬להם צריכה להיות יכולת‬
‫לבנות שרשרת נימוקים ארוכה‪ .‬לא נולדים עם יכולת זו‪ ,‬רוכשים אותה‪ .‬כיצד?‬
‫הוֹל ְך( ֶאת‪ֲ -‬ח ָכ ִמים וחכם‬
‫התשובה לשאלה ששאלנו היא דבריו שלמה המלך‪" :‬הלוך ) ֵ‬
‫ֶח ָכּם("‪ .‬לומדים לחשוב מן הטובים בכך‪ ,‬לא רק מן הטובים שבינינו אלא גם מן הטובים‬
‫)י ְ‬
‫שחיו פעם‪ :‬קוראים את ספריהם‪ ,‬וכשנתקלים בשרשרת נימוקים ארוכה לא מדלגים עליה‪,‬‬
‫לומדים ממנה‪ ,‬וגם מתרגלים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪31‬‬
‫בעיה‬
‫נתון מרובע ‪) ABCD‬ראו ציור(‪ .‬משוואות הצלעות של המרובע הן ‪, 8 x − 3 y + 8 = 0‬‬
‫‪ 8 x + 15 y − 100 = 0 , 3x − y − 8 = 0‬ו‪. 4 x − 3 y + 16 = 0 -‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪. BC‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫מצאו את שיעורי הנקודה ‪. E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‬
‫האם יש הבדל כלשהו בין הבעיה אשר פתרנו בפרק הקודם לבין הבעיה שיש לפתור בפרק‬
‫הנוכחי? ואם ישנו הבדל ‪ -‬מהו?‬
‫כן‪ ,‬יש הבדל‪ .‬אחת ממשוואות הישרים אשר היו נתונות בבעיה הקודמת‪ ,‬המשוואה‬
‫‪ , 8 x − 3 y − 18 = 0‬הוחלפה בפרק זה במשוואה ‪. 3x − y − 8 = 0‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬אם נתבונן היטב בציור המרובע ‪ ABCD‬בפרק זה נוכל להבחין כי צלעותיו‬
‫‪ AB‬ו‪ CD -‬אינן נראות כעת מקבילות זו לזו‪ .‬אבל אולי זה רק נדמה? נברר בהמשך‪.‬‬
‫כמו בבעיה הקודמת‪ ,‬נבודד את ה‪ y -‬בכל אחת מהמשוואות הנתונות‪ .‬נקבל את‬
‫המשוואות המפורשות הבאות של הישרים שעליהם נמצאות צלעות המרובע ‪: ABCD‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪y = x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y = 3x − 8‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y=−‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה‬
‫‪32‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫=‪y‬‬
‫המקדמים של ה‪ x -‬במשוואות שקיבלנו שונים זה מזה‪ .‬כלומר שיפועי הישרים ‪, AB‬‬
‫‪ CD , BC‬ו‪ AD -‬שונים זה מזה‪ .‬מכאן אין בין הישרים אף זוג של ישרים מקבילים זה‬
‫לזה‪.‬‬
‫כעת אנו בטוחים שבבעיה הנוכחית הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬לא מקבילים זה לזה‪ .‬לכן‬
‫הנימוקים בפתרון הבעיה נוכחית יהיו שונים במידה רבה מהנימוקים בפתרון הבעיה‬
‫הקודמת‪.‬‬
‫בינתיים נוכל לבחון את הדברים הבאים בדומה לדרך החשיבה בפרק הקודם‪ :‬כמו קודם‬
‫נשים לב כי רק שיפוע הישר המיוצג על ידי משוואה )‪ (3‬קטן מ‪ 0 -‬ואילו שיפועי הישרים‬
‫המיוצגים על ידי משוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬גדולים מ‪ ; 0 -‬נתבונן בציור לעיל ונבחין כי רק‬
‫הישר ‪ AD‬יוצר זווית קהה עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ , x -‬ואילו הישרים ‪ BC , AB‬ו‪-‬‬
‫‪ CD‬יוצרים זוויות חדות עם כיוון זה‪ .‬מכאן נסיק כי‬
‫משוואה )‪ (3‬מייצגת את הישר ‪AD‬‬
‫ואילו‬
‫)‪(5‬‬
‫משוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬מייצגות את הישרים ‪ BC , AB‬ו‪) CD -‬אך עדיין‬
‫לא ידוע איזו מהמשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬מייצגת איזה מהישרים(‪.‬‬
‫כעת עלינו לקבוע איזו מהמשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬מייצגת איזה מהישרים ‪ BC , AB‬ו‪-‬‬
‫‪. CD‬‬
‫לא נוכל לפתור את הבעיה האחרונה בדרך שבה פתרנו בעיה דומה בפרק הקודם‪ .‬ובכל‬
‫זאת‪ ,‬אם אי אפשר להשיג את המבוקש בדרך אחת‪ ,‬אין משמעו שאי אפשר להשיגו בדרך‬
‫אחרת או אפילו בכמה דרכים שונות‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מה הם שיפועי הישרים המיוצגים על ידי המשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪?(4)-‬‬
‫שיפועי הישרים המיוצגים על ידי המשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬שווים‬
‫)‪(6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫בהתאמה ל‪ , -‬ל‪ 3 -‬ול‪. -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪33‬‬
‫עבור שלושת המספרים האחרונים מתקיים‪:‬‬
‫‪8 4‬‬
‫>‬
‫‪3 3‬‬
‫)‪(7‬‬
‫>‪3‬‬
‫נסמן ב‪ mBC , mAB -‬ו‪ mCD -‬את שיפועי הישרים ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫מטענות )‪ (5‬ו‪ (6)-‬נובע כי‬
‫‪8‬‬
‫אחד המספרים ‪ mBC , mAB‬ו‪ mCD -‬שווה ל‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪) .‬אך עדיין איננו יודעים איזה מהמספרים ‪, mAB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫לאיזה מהמספרים ‪ 3 ,‬ו‪(. -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ,‬שני ל‪ 3 -‬ושלישי ל‪-‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪ mBC‬ו‪ mCD -‬שווה‬
‫אם מבין כל שניים מהמספרים ‪ mBC , mAB‬ו‪ mCD -‬נצליח לקבוע לפי ציור המרובע‬
‫‪ ABCD‬איזה מהם גדול יותר‪ ,‬אז בהסתמך על טענות )‪ (7‬ו‪ (8)-‬נוכל למצוא את שיפועי‬
‫הישרים ‪ BC , AB‬ו‪ . CD -‬לאחר מכן נוכל לקבוע איזו מהמשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬מייצגת‬
‫איזה מהישרים ‪ BC , AB‬ו‪. CD -‬‬
‫כיצד אפשר להבחין לפי ציור איזה שיפוע מבין שיפועיהם של שני ישרים שאינם מאונכים‬
‫לציר ה‪ x -‬ואינם מקבילים זה לזה הוא גדול יותר?‬
‫בפרק הקודם למדנו ששיפוע של ישר היוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה‪x -‬‬
‫גדול מ‪ 0 -‬ואילו שיפוע של ישר היוצר זווית קהה עם כיוון החיובי של ציר ה‪ x -‬קטן מ‪. 0 -‬‬
‫מכאן‬
‫שיפוע של ישר היוצר זווית חדה עם כיוון החיובי של ציר ה‪ x -‬גדול משיפוע‬
‫של ישר היוצר זווית קהה עם כיוון זה‪.‬‬
‫וכיצד אפשר לקבוע לפי ציור איזה שיפוע מבין שיפועיהם של שני ישרים שאינם מאונכים‬
‫לציר ה‪ x -‬ואינם מקבילים זה לזה גדול יותר במקרה שהזוויות אשר יוצרים שני הישרים‬
‫עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ x -‬שתיהן חדות או שתיהן קהות?‬
‫אם הזוויות אשר יוצרים שני ישרים עם הכיוון החיובי של ציר ה‪x -‬‬
‫)‪(9‬‬
‫שתיהן חדות או שתיהן קהות‪ ,‬אז השיפוע של הישר היוצר עם כיוון‬
‫החיובי של ציר ה‪ x -‬זווית גדולה יותר – גדול יותר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה‬
‫‪34‬‬
‫אכן‪ ,‬אם הישרים ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬ו‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2 -‬יוצרים עם הכיוון החיובי של‬
‫ציר ה‪ x -‬את הזוויות ‪ α1‬ו‪ α 2 -‬בהתאמה ומתקיים ‪ 0° < α1 < α 2 < 90°‬או‬
‫‪ , 90° < α1 < α 2 < 180°‬אז ‪ . tan α1 < tan α 2‬מכאן ומהשוויונים ‪ m1 = tan α1‬ו‪-‬‬
‫‪ m2 = tan α 2‬נובע כי ‪. m1 < m2‬‬
‫‪ℓ2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ℓ1‬‬
‫‪m1 < m2‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪ℓ2‬‬
‫‪ℓ1‬‬
‫כעת‪ ,‬כשידוע לנו כיצד להבחין לפי ציור איזה שיפוע מבין שיפועיהם של שני ישרים שאינם‬
‫מאונכים לציר ה‪ x -‬ואינם מקבילים זה לזה הוא גדול יותר‪ ,‬נוכל לקבוע עבור כל שניים‬
‫מהמספרים ‪ mBC , mAB‬ו‪ mCD -‬איזה מביניהם גדול יותר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אפשר לנמק את טענה )‪ (9‬גם בהסתמך על כך ששיפוע של ישר הוא המהירות שבה משתנה שיעור ה‪ y -‬של‬
‫הנקודה הנמצאת על הישר כאשר שיעור ה‪ x -‬שלה משתנה‪ .‬אם ‪ , 0° < α1 < α 2 < 90°‬אז מספר‬
‫היחידות שבהן גדל שיעור ה‪ y -‬של הנקודה הנמצאת על הישר ‪ ℓ 2‬כאשר שיעור ה‪ x -‬שלה גדל ביחידה אחת‬
‫גדול מזה של הנקודה הנמצאת על הישר ‪ . ℓ1‬מכאן אם ‪ , 0° < α1 < α 2 < 90°‬אז ‪. m1 < m2‬‬
‫אם ‪ , 90° < α1 < α 2 < 180°‬אז מספר היחידות שבהן קטן שיעור ה‪ y -‬של הנקודה הנמצאת על ישר‬
‫‪ ℓ 2‬כאשר שיעור ה‪ x -‬שלה גדל ביחידה אחת‪ ,‬קטן מזה של הנקודה הנמצאת על הישר ‪ . ℓ1‬לכן במקרה‬
‫הזה מתקיים | ‪ . | m1 |>| m2‬מאי‪-‬השוויון האחרון ומאי‪-‬השוויונים ‪ m1 < 0‬ו‪ m2 < 0 -‬נובע כי‬
‫‪ . − m1 > − m2‬מכאן נובע כי ‪. m1 < m2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪35‬‬
‫נסמן ב‪ α1 -‬את הזווית שבין הישר ‪ AB‬לכיוון‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫החיובי של ציר ה‪ , x -‬ב‪ α 2 -‬את הזווית בין הישר‬
‫‪ BC‬לכיוון החיובי של ציר ה‪ , x -‬ונסמן ב‪ α 3 -‬את‬
‫‪B‬‬
‫הזווית שבין הישר ‪ CD‬לכיוון החיובי של‬
‫ציר ה‪. x -‬‬
‫‪D‬‬
‫מה אפשר לומר על זוויות אלה?‬
‫‪α3‬‬
‫לפי הציור‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪90° > α 3 > α1 > α 2 > 0°‬‬
‫מכאן‬
‫‪mCD > mAB > mCD‬‬
‫)‪(10‬‬
‫)ראו טענה )‪.((9‬‬
‫מהטענות )‪ (8) ,(7‬ו‪ (10)-‬נובע כי‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪mCD = 3, mAB = , mBC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫מכאן ומטענות )‪ (5‬ו‪ (6)-‬נובע כי‬
‫משוואה )‪ (2‬מייצגת את הישר ‪, CD‬‬
‫משוואה )‪ (1‬מייצגת את הישר ‪, AB‬‬
‫משוואה )‪ (4‬מייצגת את הישר ‪. BC‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫)‪(11‬‬
‫‪, ℓ CD : y = 3 x − 8‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪, ℓ AB : y = x +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ℓ BC : y‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪A‬‬
‫‪α 2 α1‬‬
‫‪ .3‬דומה‪ ,‬אך שונה‬
‫‪36‬‬
‫יכולנו להגיע אל שלוש הטענות האחרונות בדרך אחרת‪ :‬יכולנו להתמקד באיברים‬
‫החופשיים במשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬ובנקודות החיתוך של הישרים ‪ BC , AB‬ו‪ CD -‬עם‬
‫ציר ה‪ . y -‬הרי בפרק הקודם אמרנו כי האיבר החופשי במשוואה מפורשת שווה לשיעור ה‪-‬‬
‫‪ y‬של נקודת החיתוך של הישר המיוצג על ידי המשוואה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪8‬‬
‫האיברים החופשיים במשוואות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (4)-‬שווים בהתאמה ל‪ , -‬ל‪ −8 -‬ול‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫עבור שלושת המספרים האחרונים מתקיים‪:‬‬
‫‪16 8‬‬
‫‪> > −8‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(14‬‬
‫הישר )‪ (4‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה גבוהה יותר מאשר ישר )‪ ,(1‬וישר‬
‫)‪ (1‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה גבוהה יותר מאשר ישר )‪.(2‬‬
‫לפי הציור האחרון אפשר להסיק כי‬
‫הישר ‪ BC‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה גבוהה יותר מאשר הישר ‪AB‬‬
‫)‪(15‬‬
‫והישר ‪ AB‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה גבוהה יותר מאשר ישר ‪. CD‬‬
‫מטענות )‪ (14) ,(5‬ו‪ (15)-‬נובע כי‬
‫משוואה )‪ (2‬מייצגת את הישר ‪, CD‬‬
‫משוואה )‪ (1‬מייצגת הישר ‪, AB‬‬
‫משוואה )‪ (4‬מייצגת את הישר ‪. BC‬‬
‫הגענו אל הטענות )‪ (12) ,(11‬ו‪ (13)-‬בשתי דרכים שונות‪ .‬עכשיו נוכל למצוא את השיעורים‬
‫של הנקודות ‪ B‬ו‪ . C -‬זוג השיעורים של הנקודה ‪ B‬הוא פתרון של מערכת המשוואות‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪y‬‬
‫‪‬‬
‫המורכבת מהמשוואות של הישרים ‪ AB‬ו‪. BC -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪37‬‬
‫פתרנו את מערכת המשוואות הזו בפרק הקודם‪ .‬קיבלנו כי פתרונה הוא זוג המספרים‬
‫הסדור )‪ . (2,8‬מכאן )‪. B(2,8‬‬
‫זוג השיעורים של נקודה ‪ C‬הוא פתרון של מערכת המשוואות‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = x +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 3x − 8‬‬
‫המורכבת מהמשוואות של הישרים ‪ BC‬ו‪. CD -‬‬
‫פתרון של מערכת המשוואות האחרונה הוא זוג המספרים הסדור )‪ . (8,16‬מכאן‬
‫)‪. C (8,16‬‬
‫מתברר שהשיעורים של נקודות ‪ B‬ו‪ C -‬בבעיה הנוכחית זהים לאלו שבבעיה אשר פתרנו‬
‫בפרק הקודם‪ .‬לכן גם השיעורים של אמצע הקטע ‪ BC‬בבעיה הנוכחית יהיו זהים לאלו‬
‫אשר קיבלנו בפרק הקודם‪ ,‬כלומר )‪. E (5,12‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .4‬באמצע הדרך‬
‫‪38‬‬
‫‪ .4‬באמצע הדרך‬
‫לב חכם שומע חכמה ישבחנה‪ ,‬ועוד יוסיף‪.‬‬
‫ולב נבוב שומע חכמה ישליכנה‪ ,‬ולא יוסיף‪.‬‬
‫)בן סירא‪ ,‬פרק יג(‬
‫בעיה‪ .‬ישר ‪ ℓ‬עובר דרך נקודה )‪ ; P (1, 2‬הוא חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ , A‬את ציר ה‪-‬‬
‫‪ y‬בנקודה ‪ B‬ואת הישר ‪ y = −2 x + 10‬בנקודה ‪ . C‬גם נתון כי נקודה ‪ P‬היא אמצע‬
‫הקטע ‪ . BC‬מצאו את שיעורי נקודה ‪. A‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של נקודה ‪. A‬‬
‫מה אפשר לומר על נקודה זו?‬
‫על פי הנתון בבעיה‪ ,‬הנקודה היא נקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם ציר ה‪ . x -‬המשוואה של‬
‫ציר ה‪ x -‬היא ‪. y = 0‬‬
‫ומה אפשר לומר על הישר ‪? ℓ‬‬
‫על פי הנתון בבעיה‪ ,‬הישר עובר דרך נקודה )‪ , P (1, 2‬וכמו כן נתון כי נקודה ‪ P‬היא‬
‫אמצע הקטע ‪ , BC‬שאחד מקצותיו‪ ,‬נקודה ‪ , B‬הוא נקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם ציר‬
‫ה‪ , y -‬ואילו הקצה השני של הקטע‪ ,‬נקודה ‪ , C‬הוא נקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם הישר‬
‫‪. y = −2 x + 10‬‬
‫אם נצליח למצוא את משוואת הישר ‪ , ℓ‬נוכל למצוא את שיעורי נקודה ‪ . A‬הרי הנקודה‬
‫נמצאת על ציר ה‪ x -‬וגם כן על הישר ‪ , ℓ‬ולכן שיעוריה מקיימים גם את המשוואה ‪y = 0‬‬
‫וגם את המשוואה של הישר ‪ . ℓ‬מכאן הזוג הסדור של שיעורי הנקודה ‪ A‬הוא פתרון של‬
‫מערכת המשוואות המורכבת מהמשוואה ‪ y = 0‬ומהמשוואה של הישר ‪. ℓ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪39‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = −2 x + 10‬‬
‫‪B‬‬
‫וכיצד נמצא את המשוואה של הישר ‪? ℓ‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו את השאלה הבאה‪ :‬כיצד בכלל מוצאים‬
‫משוואות של ישרים?‬
‫אם הישר שאת משוואתו צריך למצוא אינו מאונך לציר ה‪ , x -‬לעתים קרובות מוצאים‬
‫את משוואתו כך‪ :‬מוצאים את השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת מהנקודות הנמצאות על הישר‪,‬‬
‫מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר ולאחר מכן נעזרים בנוסחה הבאה‪:‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫האם הישר ‪ ℓ‬מאונך לציר ה‪? x -‬‬
‫ודאי שלא‪ .‬הרי על פי הנתון הוא חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ B‬ועובר דרך הנקודה‬
‫)‪ , P (1, 2‬שאינה נמצאת עליו‪.‬‬
‫למזלנו‪ ,‬שיעורי אחת מהנקודות הנמצאות על הישר ‪ , ℓ‬שיעורי נקודה ‪ , P‬ידועים לנו לפי‬
‫הנתון בבעיה‪ .‬השיעורים הם‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y1 = 2‬‬
‫‪x1 = 1,‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .4‬באמצע הדרך‬
‫‪40‬‬
‫כדי למצוא את משוואת הישר ‪ ℓ‬נשאר רק למצוא את השיפוע של הישר ולאחר מכן‬
‫להיעזר בנוסחה )‪.(1‬‬
‫כעת עלינו לשאול את עצמנו‪ :‬כיצד מוצאים שיפוע של ישר מסוים?‬
‫בעיות מסוג זה פותרים בדרכים הבאות‪:‬‬
‫א( מוכיחים )או נעזרים בכך שזה נתון בבעיה( שהישר ‪, ℓ1 : y = m1 x + n1‬ששיפועו‬
‫‪ , m1‬צריך להימצא מקביל לישר ‪ , ℓ 2 : y = m2 x + n2‬ששיפועו ידוע‪ ,‬ונעזרים‬
‫בשוויון ‪. m1 = m2‬‬
‫ב( מוצאים את הזווית ‪ α‬בין הישר ‪ , y = mx + n‬שאת שיפועו צריך למצוא‪ ,‬לבין‬
‫הכיוון החיובי של ציר ה‪ , x -‬ונעזרים בשוויון ‪. m = tan α‬‬
‫ג( אם ידועות שתי נקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ ( x2 , y2 ) -‬כלשהן המונחות על הישר‪ ,‬מחשבים‬
‫את השיפוע ‪ m‬של הישר ‪ y = mx + n‬באמצעות הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫)‪(3‬‬
‫=‪m‬‬
‫ד( אם הישרים ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬ו‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2 -‬מאונכים זה לזה והשיפוע‬
‫‪1‬‬
‫‪ m1‬של הישר ‪ ℓ1‬ידוע‪ ,‬מחשבים את השיפוע ‪ m2‬בעזרת הנוסחה‪:‬‬
‫‪m1‬‬
‫ה( נעזרים בנוסחאות‪:‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ‪tan ϕ‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫כאן ‪ α‬היא אחת מהזוויות הצמודות בין הישרים ‪ y = m1 x + n1‬ו‪-‬‬
‫‪ ϕ , y = m2 x + n2‬היא הזווית החדה בין ישרים אלו‪.1‬‬
‫‪ 1‬הנוסחאות האחרונות יוסברו בפרק ‪10‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪. m2 = −‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪41‬‬
‫ו( לפעמים מצליחים למצוא את השיפוע של הישר בעזרת הנוסחה לחישוב מרחק בין‬
‫נקודה לישר‪.‬‬
‫ננסה למצוא את השיפוע ‪ m‬של הישר ‪ ℓ‬הנ"ל בעזרת נוסחה )‪.(3‬‬
‫למה דווקא בעזרת נוסחה זו ולא באחת הדרכים האחרות הנ"ל?‬
‫ראשית‪ ,‬מפני ששיעורי אחת הנקודות הנמצאות על הישר ידועות לנו‪ ,‬ונוסף על כך –‬
‫ברשותנו מצוי מידע מסוים על שתי נקודות נוספות הנמצאות על הישר‪ :‬הנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫אולי נוכל לחשב את השיעורים של לפחות אחת מהנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫נוסף על כך נבחר בדרך זו מפני שאף אחת מהדרכים האחרות לא נראית רלוונטית‬
‫לפתרון הבעיה הנוכחית‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬ננסה למצוא את השיעורים של לפחות אחת מהנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫שוב נשאל את עצמנו‪ :‬מה נתון?‬
‫על פי הנתון נקודה )‪ P (1, 2‬היא אמצע הקטע ‪ . BC‬ידוע שאם נקודה ) ‪ ( xM , yM‬היא‬
‫‪x1 + x2‬‬
‫אמצע הקטע המחבר את נקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ ( x2 , y2 ) -‬כלשהן‪ ,‬אז‬
‫‪2‬‬
‫‪y1 + y2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ xM‬ו‪-‬‬
‫= ‪ . yM‬לכן‬
‫)‪(4‬‬
‫‪xB + xC‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪yB + yC‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫כאן ‪ xB‬הוא השיעור הראשון של הנקודה ‪ xC , B‬הוא השיעור הראשון של הנקודה ‪, C‬‬
‫‪ yB‬הוא השיעור השני של הנקודה ‪ B‬ו‪ yC -‬הוא השיעור השני של הנקודה ‪. C‬‬
‫נוכל להתייחס לזוג השוויונים האחרונים כאל שתי משוואות עם ארבעת הנעלמים‬
‫הבאים‪ yB , xC , xB :‬ו‪ . yC -‬אם נצליח להרכיב עוד שתי משוואת עם נעלמים אלו ולפתור‬
‫את המערכת של ארבע המשוואות עם ארבעת הנעלמים שתתקבל‪ ,‬נוכל למצוא את שיעורי‬
‫נקודה ‪ B‬וגם את שיעורי נקודה ‪. C‬‬
‫כעת עלינו לשאול את עצמנו‪ :‬מה נאמר בבעיה על נקודה ‪? B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .4‬באמצע הדרך‬
‫‪42‬‬
‫הנקודה היא נקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם ציר ה‪ . y -‬מכאן הנקודה נמצאת על ציר ה‪-‬‬
‫‪ . y‬ומכאן‬
‫‪xB = 0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫ומה נאמר בבעיה על נקודה ‪? C‬‬
‫הנקודה ‪ C‬היא נקודת החיתוך של השר ‪ ℓ‬עם הישר ‪ . y = −2 x + 10‬מכאן הנקודה‬
‫נמצאת על הישר ‪ . y = −2 x + 10‬ומכאן‬
‫)‪(7‬‬
‫‪yC = −2 xC + 10‬‬
‫)נקודה מסוימת נמצאת על ישר מסוים אך ורק אם שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת‬
‫הישר(‪.‬‬
‫כעת יש לנו ארבע משוואות עם ארבעת הנעלמים הנ"ל‪ .‬נפתור את מערכת המשוואות‬
‫)‪(8‬‬
‫‪ xB + xC‬‬
‫‪ 2 =1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB + yC = 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = −2 xC + 10‬‬
‫המורכבת מהמשוואות )‪ (6) ,(5) ,(4‬ו‪.(7)-‬‬
‫לאחר שנציב במשוואה הראשונה של מערכת משוואות זו על פי משוואה שלישית ונכפיל‬
‫ב‪ 2 -‬את משוואה אשר תתקבל וגם את המשוואה השנייה של מערכת המשוואות נקבל‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪ xC = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB + yC = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 0‬‬
‫‪ yC = −2 xC + 10‬‬
‫כאשר נציב במשוואה הרביעית של מערכת המשוואות האחרונה על פי המשוואה הראשונה‬
‫שלה נקבל‪:‬‬
‫‪yC = −2 ⋅ 2 + 10‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪43‬‬
‫מכאן‬
‫‪yC = 6‬‬
‫)‪(10‬‬
‫ידועים לנו כבר שני השיעורים של נקודה ‪ , C‬הנמצאת על ‪ . ℓ‬זה יספיק כדי למצוא את‬
‫השיפוע של הישר‪ .‬הרי גם ידוע לנו מה הם השיעורים של נקודה ‪ , P‬שנמצאת גם היא על‬
‫ישר זה‪ .‬בכל זאת‪ ,‬נוסף על שיעורה הראשון של נקודה ‪ , B‬נמצא גם את שיעורה השני‪ .‬הרי‬
‫זו לא טרחה גדולה‪.‬‬
‫כאשר נציב במשוואה השנייה של מערכת המשוואות )‪ (9‬על פי השורה )‪ (10‬נקבל‬
‫‪yB + 6 = 4‬‬
‫מכאן‬
‫‪. y B = −2‬‬
‫כעת ברשותנו השיעורים של שלוש נקודות הנמצאות על הישר ‪ . ℓ‬כאשר ניעזר בנוסחה‬
‫)‪ (3‬ונציב בה את השיעורים של זוג כלשהו משלוש הנקודות‪ ,‬נקבל את השיפוע ‪ m‬של הישר‬
‫‪ . ℓ‬נציב בנוסחה )‪ (3‬את השיעורים של הנקודות ‪ B‬ו‪ , P -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪yP − yB 2 − (−2‬‬
‫=‬
‫‪=4‬‬
‫‪xP − xB‬‬
‫‪1− 0‬‬
‫)‪(11‬‬
‫=‪m‬‬
‫כעת נציב במשוואה )‪ (1‬על פי שורות )‪ (2‬ו‪ ,(11)-‬ונקבל כי משוואת הישר ‪ ℓ‬היא‪:‬‬
‫)‪y − 2 = 4( x − 1‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y = 4x − 2‬‬
‫כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ A‬נשאר רק לפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪y = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 4x − 2‬‬
‫פתרון מערכת המשוואות הוא זוג המספרים הסדור )‪. (0.5, 0‬‬
‫לכן )‪ . A(0.5, 0‬מש''ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .5‬אחת הדרכים להרכבת משוואות‬
‫‪44‬‬
‫‪ .5‬אחת הדרכים להרכבת משוואות‬
‫מה יקרה אם מישהו שמאכיל תינוק בחלב מבקבוק יוריד את הפטמה מהבקבוק ויטה אותו כך שהחלב‬
‫יזרום במהירות? במקרה טוב‪ ,‬אם התינוק ישכב בפה סגור‪ ,‬כל החלב יישפך על פניו‪ ,‬אך קרוב לוודאי‬
‫שהתינוק ייחנק‪.‬‬
‫אף על פי שהם רחוקים מגיל ינקות‪ ,‬דבר דומה קורה לתלמידים כאשר מורה מנסה להעביר חומר לימוד‬
‫רב במהירות ובזמן קצר‪ .‬הבעיה היא שלעתים קרובות לא עומד לרשות המורה די זמן כדי להסביר‬
‫באריכות את כל מה שעליו ללמד לטובת אלה שמתקשים "לשתות" ידע רב במהירות בכל "האכלה"‪.‬‬
‫את פרק זה ואת שאר הפרקים בספר אפשר לקרוא בקצב המתאים לכם‪ ,‬ואף לחזור על כך כמה פעמים‬
‫לפי הצורך‪ .‬עדיף לקרוא את כל הכתוב בלי למהר‪ ,‬אפילו אם יש ביכולתכם לקלוט מהר יותר מרוב‬
‫‪) "Festina‬הזדרז לאט – לטינית(‪ ,‬נהג לומר אוגוסטוס קיסר‪.‬‬
‫האנשים‪Festina lente" .‬‬
‫בעיה‪ .‬שניים מהתיכונים של משולש נמצאים על הישרים ‪ y = 2 x‬ו‪ . 5 y − x = 15 -‬אחד‬
‫מקודקודי המשולש נמצא בנקודה )‪ . (1,8‬מצאו את שני הקודקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה נתון?‬
‫נתון כי שניים מהתיכונים של משולש מסוים מונחים על הישרים ‪ y = 2 x‬ו‪-‬‬
‫‪ , 5 y − x = 15‬ושאחד מקודקודי המשולש נמצא בנקודה )‪ . (1,8‬כלומר‪ ,‬ידועים לנו‬
‫המשוואות של שני תיכונים ושיעורי אחד הקודקודים של המשולש‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של שני הקודקודים האחרים של המשולש‪.‬‬
‫נסמן את הנקודה )‪ (1,8‬ב‪ . A -‬בינתיים לא ידוע לנו אם אחד התיכונים הנ"ל יוצא‬
‫מנקודה ‪ A‬או שמנקודה זו יוצא התיכון השלישי‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪45‬‬
‫התיכון המונח על הישר ‪ y = 2 x‬יוצא מקודקוד ‪ A‬של המשולש הנתון אך ורק אם‬
‫נקודה זו נמצאת על הישר המדובר‪ .‬כדי לבדוק אם נקודה ‪ A‬נמצאת על הישר ‪y = 2 x‬‬
‫נציב את שיעורי נקודה זו )כלומר נציב את ‪ x = 1‬ואת ‪ ( y = 8‬במשוואת הישר ונקבל‪:‬‬
‫‪.8 = 2‬‬
‫השוויון האחרון הוא פסוק שקר‪ .‬לכן הנקודה )‪ A(1,8‬לא נמצאת על הישר ‪. y = 2 x‬‬
‫מכאן תיכון המשולש המונח על הישר ‪ y = 2 x‬יוצא מהקודקוד השונה מנקודה ‪. A‬‬
‫כעת נציב את שיעורי נקודה ‪ A‬במשוואה ‪ 5 y − x = 15‬ונקבל‪:‬‬
‫‪5 ⋅ 8 − 1 = 15‬‬
‫התקיימות של השוויון האחרון שקולה להתקיימות השוויון הבא‪:‬‬
‫‪39 = 15‬‬
‫השוויון האחרון הוא פסוק שקר‪ ,‬ולכן הנקודה ‪ A‬לא נמצאת גם על הישר ‪. 5 y − x = 15‬‬
‫מכאן תיכון המשולש הנמצא על הישר ‪ 5 y − x = 15‬יוצא מהקודקוד השונה מנקודה ‪. A‬‬
‫נסמן ב‪ B -‬את קודקוד המשולש הנתון הנמצא על הישר ‪ , y = 2 x‬וב‪ C -‬את הקודקוד‬
‫הנמצא על הישר ‪ . 5 y − x = 15‬אנו מתבקשים למצוא את השיעורים של שתי נקודות אלו‪.‬‬
‫ננסה להרכיב מערכת של ארבע משוואות שבה השיעורים של הנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬ישמשו‬
‫נעלמים‪.‬‬
‫קודם כל ניעזר בכך ש‪-‬‬
‫)‪(1‬‬
‫הנקודה ) ‪ B( xB , yB‬נמצאת על הישר ‪. y = 2 x‬‬
‫טענה )‪ (1‬מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪yB = 2 xB‬‬
‫קיבלנו את המשוואה הראשונה ממערכת המשוואות אשר אנו מנסים להרכיב‪ .‬כעת ניעזר‬
‫בכך ש‪-‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הנקודה ) ‪ C ( xC , yC‬נמצאת על הישר ‪. 5 y − x = 15‬‬
‫טענה )‪ (3‬מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .5‬אחת הדרכים להרכבת משוואות‬
‫‪46‬‬
‫‪5 yC − xC = 15‬‬
‫)‪(4‬‬
‫יש לנו כבר שתי משוואות עם הנעלמים ‪ xC , yB , xB‬ו‪ : yC -‬המשוואות )‪ (2‬ו‪ .(4)-‬נותר‬
‫רק להרכיב עוד שתי משוואות עם הנעלמים הנ"ל ולפתור את מערכת המשוואות אשר‬
‫תתקבל‪.‬‬
‫כיצד נרכיב את שתי המשוואות הנוספות?‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מרכיבים משוואות בגיאומטריה‬
‫אנליטית?‬
‫אחת הדרכים להרכבת משוואות עם כמה נעלמים בגיאומטריה אנליטית היא להביע‬
‫באמצעות הנעלמים את השיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על קו שמשוואתו ידועה‪,‬‬
‫ולאחר מכן להציב את הביטויים אשר התקבלו עבור שיעורי הנקודה במשוואת הקו שעליו‬
‫הנקודה נמצאת‪.‬‬
‫ברשותנו משוואות של שני תיכונים של המשולש ‪ . ABC‬המשוואה של אחד התיכונים‬
‫היא ‪ , y = 2 x‬והמשוואה של התיכון הנוסף היא ‪ . 5 y − x = 15‬ננסה להביע באמצאות‬
‫שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬את השיעורים של נקודה כלשהי על ישר ‪ , y = 2 x‬וכמו כן את‬
‫השיעורים של נקודה כלשהי על ישר ‪. 5 y − x = 15‬‬
‫נשאל את עצמנו את שתי השאלות הבאות‪ :‬מה אפשר לומר על הישר ‪ ? y = 2 x‬את‬
‫השיעורים של איזו נקודה )שאינה מתלכדת עם נקודה ‪ ( B‬על ישר זה אפשר להביע‬
‫באמצעות שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬ובאמצעות השיעורים הידועים לנו של נקודה ‪? A‬‬
‫הישר ‪ y = 2 x‬עובר דרך נקודה ‪ B‬וחוצה את הקטע ‪ . AC‬מכאן‬
‫)‪(5‬‬
‫אמצע הקטע ‪ AC‬נמצא על הישר ‪. y = 2 x‬‬
‫נסמן את אמצע הקטע ‪ AC‬ב‪ . M -‬לפי הנוסחאות לשיעורי אמצע הקטע‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪x A + xC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪y A + yC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪47‬‬
‫שיעורי נקודה ‪ A‬ידועים לנו‪:‬‬
‫‪yA = 8‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪xA = 1 ,‬‬
‫נציב בשוויונים )‪ (6‬ו‪ (7)-‬על פי שורה )‪ ,(8‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪1 + xC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪8 + yC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫על סמך טענה )‪ (5‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪. yM = 2 xM‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (11‬על פי השוויונים )‪ (9‬ו‪ ,(10)-‬ונקבל את המשוואה הבאה עם הנעלמים‬
‫‪ xC‬ו‪: yC -‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪8 + yC‬‬
‫‪1 + xC‬‬
‫⋅‪= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן ב‪ N -‬את אמצע הקטע ‪ . AB‬עבור שיעורי נקודה זו מתקיימים השוויונים הבאים‪:‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪1 + xB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xN‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪8 + yB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yN‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪5 yN − xN = 15‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (15‬על פי שוויונים )‪ (13‬ו‪ ,(14)-‬ונקבל את המשוואה הבאה עם הנעלמים ‪xB‬‬
‫ו‪: yB -‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪8 + y B 1 + xB‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‪5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .5‬אחת הדרכים להרכבת משוואות‬
‫‪48‬‬
‫כעת ברשותנו ארבע משוואות עם ארבעת הנעלמים הנ"ל‪ :‬משוואות )‪ (12) ,(4) ,(2‬ו‪.(16)-‬‬
‫בשתיים מארבע המשוואות מופיעים רק הנעלמים ‪ xB‬ו‪ , yB -‬ואילו בשתי המשוואות‬
‫האחרות מופיעים רק הנעלמים ‪ xC‬ו‪ . yC -‬לכן במקום לרשום את המערכת של ארבע‬
‫משוואות עם ארבעה הנעלמים‪ ,‬אנו יכולים להרשות לעצמנו לרשום ולפתור שתי מערכות‬
‫קטנות יותר‪ :‬מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים ‪ xB‬ו‪ , yB -‬ומערכת של שתי‬
‫משוואות עם הנעלמים ‪ xC‬ו‪ . yC -‬נעשה זאת‪ ,‬אך לפני כן את נקבל המשוואות השקולות‬
‫למשוואות )‪ (12‬ו‪ (16)-‬אשר יהיו פשוטות יותר‪.‬‬
‫משוואה )‪ (12‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫) ‪8 + yC = 2(1 + xC‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪yC = 2 xC − 6‬‬
‫)‪(17‬‬
‫המשוואות הבאות שקולות אחת לשנייה ולמשוואה )‪:(16‬‬
‫‪5(8 + yB ) − (1 + xB ) = 30‬‬
‫‪40 + 5 yB − 1 − xB = 30‬‬
‫‪xB = 5 y B + 9‬‬
‫)‪(18‬‬
‫נפתור את המערכת‬
‫‪ y B = 2 xB‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 5 y B + 9‬‬
‫)‪(19‬‬
‫המורכבת מהמשוואות )‪ (2‬ו‪ .(18)-‬נציב במשוואה השנייה של מערכת משוואות זו על פי‬
‫המשוואה הראשונה שלה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪xB = 5(2 xB ) + 9‬‬
‫נפתור את המשוואה האחרונה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫)‪(20‬‬
‫‪49‬‬
‫‪xB = 5(2 xB ) + 9 ⇔ xB = 10 xB + 9 ⇔ −9 xB = 9 ⇔ xB = −1‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת המשוואות )‪ (19‬על פי התוצאה אשר קיבלנו בשורה‬
‫)‪ ,(20‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yB = −2‬‬
‫קיבלנו כי הקודקוד ‪ B‬של המשולש המדובר נמצא בנקודה )‪. (−1, −2‬‬
‫לאחר שפותרים את מערכת‬
‫)‪(21‬‬
‫‪5 yC − xC = 15‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 2 xC − 6‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (4‬ו‪ ,(17)-‬מקבלים כי קודקוד ‪ C‬של המשולש נמצא בנקודה )‪. (5, 4‬‬
‫תשובה‪ :‬הקודקודים הם הנקודות )‪ (−1, −2‬ו‪. (5, 4) -‬‬
‫הערה‪ .‬אם נבחן את העניין לעומקו‪ ,‬יתגלה כי קיבלנו ארבע משוואות עם הנעלמים ‪, xB‬‬
‫‪ xC , yB‬ו‪ yC -‬ממערכת של שמונה משוואות עם שמונת הנעלמים הבאים‪, xC , yB , xB :‬‬
‫‪ xN , yM , xM , yC‬ו‪ . y N -‬מערכת זו כללה את שמונה המשוואות הבאות‪ :‬המשוואות )‪,(2‬‬
‫)‪ (14) ,(13) ,(11),(10) ,(9) ,(4‬ו‪ .(15)-‬מערכת המשוואות האחרונה משקפת את כל מה שהיה‬
‫נתון בבעיה‪ .‬היא שקולה למערכת המשוואות המקיימת את התנאים הבאים‪ :‬א( שתי‬
‫המשוואות הראשונות שלה הן המשוואות הרשומות במערכת )‪ ,(19‬ב( שתי המשוואות‬
‫הבאות במערכת זו הן המשוואות הרשומות במערכת )‪ ,(21‬ג( ארבע המשוואות האחרונות‬
‫של המערכת הן משוואות )‪.(14) ,(13) ,(10) ,(9‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪50‬‬
‫‪ .6‬שבע מנות‪.‬‬
‫‪ ...‬הסמל הפטפטן עוד היה ממשיך לנאום זמן רב‪ ,‬אך הנה נדחקו דרך ההמון והתקרבו אליו שני‬
‫קוזקים‪ .‬השניים ניגשו אליו ואמרו לו בתוכחה‪" :‬סמיון ניקיטוביץ'‪ ,‬אל תגיד את כל השטויות בבת אחת‪,‬‬
‫תשמור משהו למחר"‪ ,‬ואז אספו אותו בידיהם והוליכו אותו אל רכבת תובלה‪.‬‬
‫)ארטיום וסיולי(‬
‫לא כל אחד מסוגל לאכול ברווז שלם בבת אחת‪ .‬רוב בני האדם אפילו לא ינסו‪ ,‬ואלה‬
‫שינסו ודאי יחושו ברע לאחר הארוחה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אדם אחד מסוגל לאכול לוויתן שלם‬
‫אם יאכל אותו במנות לא גדולות במשך חודשים רבים‪.‬‬
‫‪ 6.0‬ברווז שלם‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ , CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫א‪ .‬מצאו את משוואת הישר ‪CF‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הישר ‪AE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את השיעורים של נקודה ‪A‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את משוואת הצלע ‪AB‬‬
‫‪D‬‬
‫ה‪ .‬מצאו את השיעורים של נקודה ‪B‬‬
‫ו‪ .‬ענו על השאלה הבאה‪ :‬האם המקבילית ‪ ABCD‬היא מעוין? נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫ז‪ .‬מצאו את היקף המקבילית ‪ ABCD‬ואת שטחה‪.‬‬
‫הפתרון וההסברים הנלווים משתרעים על פני מספר רב של עמודים‪ ,‬ולכן כדי להקל את‬
‫תהליך "עיכול" פתרון הבעיה נחלק אותה לשבע מנות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪51‬‬
‫‪ 6.1‬מנה ראשונה‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ , CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪ .‬מצאו את משוואת‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫הישר ‪. CF‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫בדומה לרוב הבעיות שעמן יש להתמודד בחיי היומיום‪ ,‬בבעיה הנ"ל ישנם נתונים‬
‫מיותרים‪ .‬הפותר בעיה מסוג זה חייב להבדיל בין נתונים מיותרים לבין נתונים הכרחיים‪,‬‬
‫שבלעדיהם אי אפשר לפתור אותה‪ .‬זה מכשול משמעותי‪ ,‬נכון?‬
‫דרך החשיבה ופתרון א'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את משוואת הישר ‪ . CF‬כפי שהסכמנו בפרק ‪ , 2‬נסמן את הישר גם ב‪. ℓ CF -‬‬
‫מה נתון? ְלמה מהנתון בבעיה יש קשר כלשהו לישר ‪? CF‬‬
‫נרשום כעת רק את הנתונים שיש להם קשר כלשהו לישר ‪. CF‬‬
‫ובכן‪ ,‬על פי הנתון‬
‫)‪(1.1‬‬
‫הקטע ‪ CF‬הוא גובה לצלע ‪ AD‬במקבילית ‪ABCD‬‬
‫כמו כן נתונים שיעורי הנקודות ‪ C‬ו‪ M -‬הנמצאות על ישר זה‪:‬‬
‫)‪(1.2‬‬
‫)‪C (6,15‬‬
‫)‪(1.3‬‬
‫)‪M (3, 6‬‬
‫)לפי הנתון הנקודה ‪ M‬היא נקודת המפגש של הקטעים ‪ CF‬ו‪ , BD -‬כלומר היא נמצאת‬
‫על כל אחד מקטעים אלה(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪52‬‬
‫בבעיה שעלינו לפתור כעת טענה )‪ (1.1‬היא נתון מיותר‪ .‬טענות )‪ (1.2‬ו‪ (1.3)-‬הן נתונים‬
‫הכרחיים‪ .‬מי שישאל את עצמו כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים‪ ,‬ואז ייזכר‬
‫לפחות באחת הנוסחאות למשוואת ישר העובר דרך שתי נקודות‪ ,‬יוכל להבחין בקלות‬
‫בהבדלים אלה בין הנתונים‪ .‬נעסוק בנוסחאות אלו‪ ,‬ובשלב מאוחר יותר בסעיף זה ניעזר‬
‫באחת מהן לפתרון הבעיה הנוכחית‪ .‬ראשית נמצא את משוואת הישר ‪ CF‬בלי להיעזר‬
‫באף נוסחה למשוואת ישר העובר דרך שתי נקודות‪.‬‬
‫ניעזר בתשובה אחרת לשאלה "כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?"‪ .‬ניזכר‬
‫שלעתים קרובות מוצאים את משוואתו של ישר בדרך הבאה‪:‬‬
‫מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת הנקודות הנמצאות‬
‫עליו‪ .‬לאחר מכן מציבים את המספרים שנמצאו בנוסחה למשוואה של ישר ששיפועו ‪m‬‬
‫ואשר עובר דרך נקודה ) ‪ . ( x1 , y1‬הנוסחה להלן‪:‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫)‪(1.4‬‬
‫לעתים קרובות‪ ,‬לפני שמנסים למצוא בדרך זו את המשוואה של ישר בודקים אם השיפוע‬
‫של הישר מוגדר‪ .‬אם שיפועו לא מוגדר‪ ,‬כלומר הישר מאונך לציר ה‪) x -‬במילים אחרות‪,‬‬
‫הישר מקביל לציר ה‪ y -‬או מתלכד עמו(‪ ,‬אז כדי למצוא את משוואתו די למצוא את‬
‫השיעור הראשון ‪ x1‬של אחת הנקודות הנמצאות עליו‪ .‬לאחר מכן אפשר לרשום את‬
‫משוואת הישר‪. x = x1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות ‪ C‬ו‪ M -‬שונים זה מזה )ראו את שורות )‪ (1.2‬ו‪ .((1.3)-‬לכן‬
‫הישר ‪ CF‬לא מאונך לציר ה‪ x -‬ושיפעו מוגדר‪.‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מוצאים את השיפוע של ישר?‬
‫במקרה כאשר ידועים השיעורים של שתי נקודות כלשהן המונחות על ישר ניתן לחשב‬
‫את שיפועו ‪ m‬לפי הנוסחה‬
‫)‪(1.5‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫=‪m‬‬
‫‪ 1‬באופן דומה‪ ,‬אם הישר מאונך לציר ה‪ , y -‬כדי למצוא את משוואתו די למצוא את שיעור ‪ y1‬של אחת‬
‫הנקודות הנמצאות עליו‪ .‬לאחר מכן אפשר לרשום את משוואת הישר‪y = y1 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪53‬‬
‫באגף הימני של הנוסחה האחרונה רשומים השיעורים של שתי נקודות‪ ,‬הנקודות ) ‪( x1 , y1‬‬
‫ו‪ , ( x2 , y2 ) -‬הנמצאות על הישר‪.‬‬
‫ברשותנו שיעורים של שתי נקודת הנמצאות על הישר ‪ , CF‬השיעורים של נקודות ‪ C‬ו‪-‬‬
‫‪:M‬‬
‫‪yC = 15‬‬
‫)‪(1.6‬‬
‫‪) xC = 6,‬השיעורים של נקודה ‪) C‬ראו את השורה )‪((1.2‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪yM = 6‬‬
‫)‪(1.7‬‬
‫‪) xM = 3,‬השיעורים של נקודה ‪) M‬ראו את השורה )‪((1.3‬‬
‫כאשר נציב בנוסחה )‪ (1.5‬לפי השוויונים‬
‫‪y1 = yM‬‬
‫)‪(1.8‬‬
‫‪x1 = xM ,‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪y2 = yC‬‬
‫‪x2 = xC ,‬‬
‫נקבל את השוויון הבא עבור השיפוע ‪ mCF‬של הישר ‪: CF‬‬
‫‪yC − yM‬‬
‫‪xC − xM‬‬
‫= ‪mCF‬‬
‫עכשיו נציב בשוויון האחרון על פי שורות )‪ (1.6‬ו‪ (1.7)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪15 − 6 9‬‬
‫‪= =3‬‬
‫‪6−3 3‬‬
‫)‪(1.9‬‬
‫= ‪mCF‬‬
‫כדי לקבל את משוואת הישר ‪ CF‬נציב בנוסחה )‪ (1.4‬לפי השוויון ‪ m = mCF‬ולפי שורה‬
‫)‪ ,(1.8‬ונקבל‪:‬‬
‫) ‪ℓ CF : y − yM = mCF ( x − xM‬‬
‫)‪(1.10‬‬
‫או במקום להציב במשוואה )‪ (1.4‬לפי שורה )‪ (1.8‬נציב בה לפי השוויונים ‪ x1 = xC‬ו‪-‬‬
‫‪ , y1 = yC‬ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪54‬‬
‫) ‪ℓ CF : y − yC = mCF ( x − xC‬‬
‫)‪(1.11‬‬
‫לאחר מכן נציב בנוסחה )‪ (1.10‬לפי שורות )‪ (1.7‬ו‪ ,(1.9)-‬ונקבל את המשוואה הבאה של ישר‬
‫‪: CF‬‬
‫)‪y − 6 = 3( x − 3‬‬
‫או נציב במשוואה )‪ (1.11‬לפי שורות )‪ (1.6‬ו‪ ,(1.9)-‬ונקבל את המשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫)‪y − 15 = 3( x − 6‬‬
‫שתי המשוואות האחרונות שקולות זו לזו ולמשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y = 3x − 3‬‬
‫)‪(1.12‬‬
‫זאת משוואה מפורשת של הישר ‪. CF‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ב'‪.‬‬
‫אם נציב במשוואה )‪ (1.4‬לפי שוויון )‪ (1.5‬נקבל את הנוסחה הבאה למשוואת הישר העובר‬
‫דרך שתי נקודות‪:‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫) ‪( x − x1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫)‪(1.13‬‬
‫= ‪y − y1‬‬
‫אם נוסף על תנאי ‪ x1 ≠ x2‬מתקיים גם התנאי ‪ , y1 ≠ y2‬אז משוואה )‪ (1.13‬שקולה‬
‫למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y − y1‬‬
‫‪x − x1‬‬
‫=‬
‫‪y2 − y1 x2 − x1‬‬
‫)‪(1.14‬‬
‫ולמשוואה הבאה‬
‫)‪(1.15‬‬
‫‪x − x1‬‬
‫‪y − y1‬‬
‫=‬
‫‪x2 − x1 y2 − y1‬‬
‫קל יותר לזכור את נוסחאות )‪ (1.14‬ו‪ (1.15)-‬מאשר את נוסחה )‪ .(1.13‬לנוסחה )‪ (1.15‬יש‬
‫יתרון נוסף על פני נוסחה )‪ :(1.13‬היא נובעת מכך שהנקודה ) ‪ ( x, y‬נמצאת על הישר העובר‬
‫דרך הנקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ ( x2 , y2 ) -‬אם‪ ,‬ורק אם‪ ,‬הווקטור ) ‪ ( x − x1 , y − y1‬תלוי בווקטור‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪55‬‬
‫) ‪. ( x2 − x1 , y2 − y1‬‬
‫נפתור את הבעיה האחרונה בעזרת נוסחה )‪ .(1.15‬נציב בה לפי השוויונים‪:‬‬
‫‪y2 = 15‬‬
‫‪x2 = 6,‬‬
‫‪y1 = 6,‬‬
‫‪x1 = 3,‬‬
‫)ראו שורות )‪ (1.6‬ו‪ .((1.7)-‬נקבל את המשוואה של הישר ‪: CF‬‬
‫‪x−3 y −6‬‬
‫=‬
‫‪6 − 3 15 − 6‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה )‪.(1.12‬‬
‫תשובה‪. y = 3x − 3 :‬‬
‫הערה ‪ .1‬התחלנו לפתור את הבעיה בשאלה כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים‪.‬‬
‫לאחר מכן אמרנו כי אחת הדרכים למציאת משוואת ישר היא למצוא את השיעורים של‬
‫אחת הנקודות הנמצאות על ישר ושל שיפוע הישר; לאחר מכן אפשר להיעזר בנוסחה )‪.(1.4‬‬
‫נציין שאם שיפוע הישר ושיעורי אחת הנקודות הנמצאות עליו ידועים‪ ,‬אז כדי למצוא את‬
‫הגודל של האיבר החופשי ‪ n‬במשוואה המפורשת ‪ y = mx + n‬של הישר אפשר פשוט‬
‫להציב במשוואה זאת את ערך השיפוע ואת השיעורים הידועים של הנקודה הנמצאת על‬
‫הישר‪.‬‬
‫לאחר שמצאנו את משוואת הישר בדרך אחת הצגנו דרך נוספת למציאתה‪ .‬קיבלנו שלוש‬
‫נוסחאות למשוואת הישר העובר דרך שתי נקודות‪ ,‬ונעזרנו באחת מהן כדי למציאת‬
‫משוואת הישר הנדרשת‪.‬‬
‫אילו דרכים נוספות קיימות למציאת משוואת הישר?‬
‫ישנה גם דרך זו‪ :‬מוצאים את השיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על הישר ואת וקטור‬
‫הכיוון ) ‪ u = (u1 , u2‬של הישר )הווקטור ‪ u‬השונה מ‪ 0 = (0, 0) -‬נקרא וקטור הכיוון של‬
‫הישר‪ ,‬אם הוא נמצא על הישר או מקביל לו(; לאחר מכן‪ ,‬אם יתברר כי הישר לא מאונך‬
‫לאף אחד מהצירים‪ ,‬אפשר להיעזר בנוסחה הבאה למציאת משוואת הישר‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪56‬‬
‫‪x − x1 y − y1‬‬
‫=‬
‫‪u1‬‬
‫‪u2‬‬
‫)‪(1.16‬‬
‫)כאן ) ‪ – ( x1 , y1‬נקודה כלשהי הנמצאת על הישר(‪.‬‬
‫המשוואה האחרונה נקראת משוואה קנונית של הישר‪ .‬מקבלים אותה בהסתמך על כך‬
‫שנקודה ) ‪ ( x, y‬נמצאת על הישר אך ורק אם הווקטור ) ‪ ( x − x1 , y − y1‬תלוי ליניארית‬
‫בווקטור הכיוון ) ‪ u = (u1 , u2‬של הישר‪.‬‬
‫בבעיה שפתרנו הווקטור הבא הוא וקטור הכיוון של הישר ‪: CF‬‬
‫‬
‫)‪u = MC = (6 − 3,15 − 6) = (3, 9‬‬
‫)‪(1.17‬‬
‫כאשר נציב בנוסחה )‪ (1.16‬את השיעורים של נקודה ‪) M‬במקום ‪ x1‬ו‪ ( y1 -‬ואת השיעורים‬
‫של וקטור הכיוון של הישר ‪ CF‬הרשומים בשורה )‪ ,(1.17‬נקבל את המשוואה‬
‫‪x−3 y −6‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה )‪.(1.12‬‬
‫שימו לב שנוסחה )‪ (1.15‬נובעת מנוסחה )‪.(1.16‬‬
‫דרך נוספת למציאת משוואת‪ :‬מוצאים את שיעוריהן של אחת הנקודות הנמצאות על‬
‫הישר ואת הווקטור )‪ (a 2 + b 2 ≠ 0) n = (a, b‬הניצב לישר; לאחר מכן אפשר להיעזר‬
‫בנוסחה הבאה למציאת משוואת הישר‪:‬‬
‫‪a ( x − x1 ) + b( y − y1 ) = 0‬‬
‫)‪(1.18‬‬
‫)כאן ) ‪ – ( x1 , y1‬נקודה כלשהי הנמצאת על הישר(‪.‬‬
‫כדי להבין כיצד התקבלה המשוואה האחרונה שימו לב כי באגף השמאלי שלה רשומה‬
‫המכפלה הסקלרית של הווקטור )‪ n = (a, b‬הניצב לישר בווקטור ) ‪. ( x − x1 , y − y1‬‬
‫לאחר פתיחת הסוגריים במשוואה האחרונה נקבל את המשוואה הכללית של הישר‪:‬‬
‫‪, ax + by + c = 0‬‬
‫שבה ‪c = − ax1 − by1‬‬
‫נדגים את השימוש בנוסחה )‪ (1.18‬בסעיף הבא‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪57‬‬
‫אם ידוע כי הישר חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה )‪ , ( p, 0‬את ציר ה‪ y -‬בנקודה ) ‪(0, q‬‬
‫ומתקיים‪ p ≠ 0 :‬וגם ‪ , q ≠ 0‬אז בעזרת נוסחאות )‪ (1.4‬ו‪ (1.5)-‬אפשר להגיע למשוואה‬
‫הבאה של הישר‪:‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪p q‬‬
‫)‪(1.19‬‬
‫המשוואה האחרונה נקראת משוואת הישר בקטעים‪ .‬בעזרת נוסחה )‪ (1.19‬אפשר למצוא‬
‫את משוואת הישר אם הוא לא עובר דרך ראשית מערכת הצירים‪ ,‬לא מקביל לאף אחד‬
‫מצירי השיעורים וידוע באילו נקודת הישר חותך את הצירים‪.‬‬
‫לסיום נציין שאם נשווה כל אחד מהאגפים במשוואה )‪ (1.16‬ל‪ t -‬ונביע את ‪ x‬ואת ‪y‬‬
‫באמצעות ‪ , t‬נקבל‪:‬‬
‫‪ x = x1 + u1t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y1 + u2t‬‬
‫משוואות אלו נקראות משוואות פרמטריות של הישר‪.‬‬
‫הערה ‪ .2‬במקום השאלה "כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?" אפשר לשאול‬
‫"מה עלינו למצוא כדי שנוכל לרשום את משוואת הישר?"‪.‬‬
‫התשובה לשאלה היא‪ :‬ברוב המקרים כדי שנוכל לרשום את משוואת הישר עלינו למצוא‬
‫א( את השיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על הישר ואת השיפוע של הישר )או‬
‫להראות שהשיפוע לא מוגדר(‬
‫או‬
‫ב( את השיעורים של שתי נקודות הנמצאות על הישר‬
‫או‬
‫ג( את השיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על הישר ואת וקטור הכיוון של הישר‬
‫או‬
‫ד( את השיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על הישר ואת הווקטור הניצב לישר‬
‫או‪,‬‬
‫ה( אם הישר לא מקביל לאף אחד מצירי השיעורים ולא עובר דרך ראשית הצירים‪,‬‬
‫יש למצוא את השיעורים של נקודות החיתוך של הישר עם הצירים‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪58‬‬
‫תלמידי תיכון רגילים בדרך כלל למצוא את משוואת הישר במישור בדרך הראשונה‪.‬‬
‫הערה ‪ .3‬אם נכפיל את משוואה )‪ (1.14‬במכנה המשותף שלה‪ ,‬ובמשוואה שתתקבל נעביר‬
‫את הביטוי הרשום באגף הימני לאגף השמאלי עם סימן נגדי‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(1.20‬‬
‫‪( x2 − x1 )( y − y1 ) − ( y2 − y1 )( x − x1 ) = 0‬‬
‫‪a12‬‬
‫מי שיודע כי עבור הדטרמיננטה‬
‫‪a22‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a21‬‬
‫מתקיים )לפי ההגדרה(‪:‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪= a11a22 − a12 a21‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a21‬‬
‫יכול לרשום את משוואה )‪ (1.20‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫)‪(1.21‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪y − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫‪x − x1‬‬
‫מי שמתמצא יותר בדטרמיננטות יכול להראות‪ 2‬כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(1.22‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪y − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫‪x − x1‬‬
‫‪y1 1‬‬
‫‪x1‬‬
‫= ‪y2 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ולקבל את המשוואה הבאה של הישר העובר דרך הנקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪( x2 , y2 ) -‬‬
‫‪y1 1‬‬
‫)‪(1.23‬‬
‫‪y2 1 = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪. x2‬‬
‫‪x‬‬
‫נציין כי בעזרת נוסחאות )‪ (1.21‬ו‪ (1.23)-‬אפשר למצוא גם את משוואות הישרים המקבילים‬
‫לצירים‪.‬‬
‫עוד כמה מילים על דטרמיננטות‪:‬‬
‫‪ 2‬אפשר לקבל את השוויון )‪ (1.22‬בדרך הבאה‪ :‬לחסר מהשורות השנייה והשלישית של הדטרמיננטה‬
‫הרשומה באגף השמאלי של השוויון את השורה הראשונה‪ ,‬ולאחר מכן לפתח את הדטרמיננטה אשר תתקבל‬
‫לפי העמודה השלישית‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪59‬‬
‫משפט ‪ .1‬שטח המקבילית הבנויה על הווקטורים ) ‪ a1 = (a11 , a12‬ו‪a 2 = (a21 , a22 ) -‬‬
‫‪a12‬‬
‫היוצאים מאותה נקודה שווה ל‪-‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 11‬או ל‪-‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a21‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪a21‬‬
‫‪ ; −‬אם כאשר מסובבים את‬
‫הווקטור ‪ a1‬בזווית הקטנה מ‪ 180° -‬עד שכיונו יתלכד עם כיוונו של הווקטור ‪, a 2‬‬
‫הסיבוב מתבצע בניגוד לכיוון מחוגי השעון‪ ,‬אז לפני הדטרמיננטה צריך לרשום את הסימן‬
‫"פלוס"; ואם הסיבוב מתבצע עם כיוון מחוגי השעון‪ ,‬יש לרשום לפני הדטרמיננטה את‬
‫הסימן "מינוס"‪.‬‬
‫ניעזר במשפט זה כדי לקבל נוסחה לשטח המשולש שקודקודיו ) ‪ ( x2 , y2 ) , ( x1 , y1‬ו‪-‬‬
‫) ‪ . ( x3 , y3‬שטח משולש זה שווה למחצית שטח המקבילית הבנויה על הווקטורים‬
‫) ‪ ( x2 − x1 , y2 − y1‬ו‪ . ( x3 − x1 , y3 − y1 ) -‬מכאן וממשפט ‪ 1‬נובע כי שטח המשולש שווה ל‪-‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪y3 − y1‬‬
‫‪1 x2 − x1‬‬
‫‪2 x3 − x1‬‬
‫או ל‪-‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪y3 − y1‬‬
‫‪1 x2 − x1‬‬
‫‪2 x3 − x1‬‬
‫‪ ; −‬אם כאשר מסובבים את הווקטור‬
‫) ‪ ( x2 − x1 , y2 − y1‬בזווית קטנה מ‪ 180° -‬עד שכיוונו יתלכד עם כיוונו של הווקטור‬
‫) ‪ , ( x3 − x1 , y3 − y1‬הסיבוב מתבצע בניגוד לכיוון מחוגי השעון‪ ,‬אז לפני הדטרמיננטה צריך‬
‫לרשום את הסימן "פלוס"; ואם הסיבוב מתבצע עם כיוון מחוגי השעון צריך לרשום לפני‬
‫הדטרמיננטה את הסימן "מינוס"‪.‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל על שטח המשולש ועל סמך שוויון )‪ (1.22‬מסיקים כי מתקיים‬
‫המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪ .2‬שטח המשולש שקודקודיו הם הנקודות ) ‪ ( x2 , y2 ) , ( x1 , y1‬ו‪ ( x3 , y3 ) -‬שווה‬
‫‪y1 1‬‬
‫‪y1 1‬‬
‫ל ‪y2 1 -‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y3 1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x2‬או ל‪1 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y3‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . − x2‬את הסימן "פלוס" לפני הדטרמיננטה יש‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫לרשום כאשר סדר הקודקודים הוא בניגוד לכיוון מחוגי השעון; ואם סדר הקודקודים‬
‫הוא עם כיוון מחוגי השעון יש לרשום סימן "מינוס"‪.‬‬
‫אפשר להיעזר במשפט זה כדי לקבל הוכחה נוספת של נוסחה )‪ (1.23‬למשוואת הישר‬
‫העובר דרך שתי נקודות‪ .‬הנקודות ) ‪ ( x2 , y2 ) , ( x1 , y1‬ו‪ ( x3 , y3 ) -‬נמצאות על אותו ישר אך‬
‫ורק אם שטח ה"משולש" שהן קודקודיו הוא אפס‪ ,‬כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪60‬‬
‫‪y1 1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪y2 1 = 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y3 1‬‬
‫‪x3‬‬
‫אם בשוויון האחרון נחליף את ‪ x3‬ב‪ x -‬ואת ‪ y3‬ב‪ y -‬נקבל את נוסחה )‪.(1.23‬‬
‫‪ 6.2‬מנה שנייה‬
‫בסעיף זה נפתור את הבעיה הבאה‪:‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪ .‬מצאו את משוואת‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫הישר ‪AE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את משוואת הישר ‪. AE‬‬
‫ומה נתון? ְלמה מהנתון בבעיה יש קשר כלשהו לישר ‪? AE‬‬
‫נרשום להלן רק את הנתונים שיש להם קשר כלשהו לישר ‪. AE‬‬
‫ובכן‪ ,‬נתונים השיעורים של נקודה ‪ M‬הנמצאת על ישר זה‪:‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫)‪M (3, 6‬‬
‫כמו כן נתון כי‬
‫)‪(2.2‬‬
‫הקטע ‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ CD‬במקבילית ‪. ABCD‬‬
‫כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪61‬‬
‫בעיות רבות מסוג זה פותרים כך‪:‬‬
‫מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת הנקודות הנמצאות‬
‫עליו; לאחר מכן מציבים את המספרים שנמצאו בנוסחה הבאה למשוואה של ישר עם‬
‫שיפועו ‪ m‬ואשר עובר דרך הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫בהסתמך על נוסחה זו מסיקים כי‬
‫) ‪ℓ AE : y − yM = mAE ( x − xM‬‬
‫)‪(2.3‬‬
‫ברשותנו השוויונים הבאים‪:‬‬
‫)‪(2.4‬‬
‫‪yM = 6‬‬
‫‪) xM = 3,‬ראו שורה )‪((2.1‬‬
‫עלינו למצוא את השיפוע ‪ mAE‬של הישר ‪ . AE‬הבה נתבונן בטענה )‪ .(2.2‬ממנה נובע כי‬
‫הישרים ‪ AE‬ו‪ CD -‬מאונכים זה לזה‪:‬‬
‫‪AE ⊥ CD‬‬
‫לכן אילו היינו יודעים מהו גודלו של השיפוע ‪ mCD‬של הישר ‪ , CD‬היינו יכולים לחשב את‬
‫השיפוע ‪ mAE‬של הישר ‪ AE‬לפי השוויון הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mCD‬‬
‫)‪(2.5‬‬
‫‪mAE = −‬‬
‫לאחר מכן‪ ,‬כדי לקבל את משוואת הישר ‪ AE‬נותר רק להציב את שיפועו ואת שיעורי‬
‫הנקודה ‪ M‬בנוסחה )‪.(2.3‬‬
‫כעת נתמקד בניסיון לחשב את השיפוע של הישר ‪ . CD‬נשאל את עצמנו‪ :‬מה נתון? מה‬
‫מהנתון בבעיה יכול לעזור לנו לחשב את השיפוע ‪ mCD‬של הישר ‪? CD‬‬
‫בין היתר נתונים השיעורים של שתי נקודות הנמצאות על הישר ‪ , CD‬שיעורי הנקודות‬
‫‪ C‬ו‪: D -‬‬
‫)‪(2.6‬‬
‫)‪, C (6,15‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪62‬‬
‫)‪. D (12, −3‬‬
‫)‪(2.7‬‬
‫לכן נוכל למצוא את השיפוע ‪ mCD‬של הישר ‪ CD‬בעזרת השוויון‬
‫‪yD − yC‬‬
‫‪xD − xC‬‬
‫= ‪mCD‬‬
‫)ראו נוסחה )‪ (1.5‬בסעיף הקודם(‪ .‬נציב בשוויון האחרון לפי השוויונים‪:‬‬
‫‪y D = −3‬‬
‫‪yC = 15, xD = 6,‬‬
‫‪) xC = 6,‬ראו את השורות )‪ (2.6‬ו‪((2.7)-‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪(2.8‬‬
‫‪−3 − 15 −18‬‬
‫=‬
‫‪= −3‬‬
‫‪12 − 6‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪mCD‬‬
‫כעת נוכל להציב בשוויון )‪ (2.5‬לפי שורה )‪ ,(2.8‬ולקבל‪:‬‬
‫)‪(2.9‬‬
‫‪1 1‬‬
‫=‬
‫‪−3 3‬‬
‫‪mAE = −‬‬
‫לאחר שנציב בנוסחה )‪ (2.3‬את ערך השיפוע ‪ mAE‬אשר כעת מצאנו ואת שיעורי הנקודה‬
‫‪) M‬ראו שורה )‪ ,((2.4‬נקבל עבור הישר ‪ AE‬את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪y − 6 = ( x − 3‬‬
‫‪3‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה‬
‫)‪(2.10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+5‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫זאת המשוואה המפורשת של הישר ‪. AE‬‬
‫הערה‪ .‬אפשר למצוא את משוואת הישר ‪ AE‬בעזרת נוסחה )‪.(1.18‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪63‬‬
‫‬
‫הווקטור )‪ CD = (12 − 6, −3 − 15) = (6, −18‬מאונך לישר ‪ . AE‬כאשר נציב בנוסחה‬
‫)‪ (1.18‬את השיעורים של ווקטור זה ואת השיעורים של הנקודה )‪) M (3, 6‬את השיעורים‬
‫של נקודה ‪ M‬נציב במקום ‪ x1‬ו‪ ( y1 -‬נקבל עבור הישר ‪ AE‬את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪6( x − 3) − 18( y − 6) = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה )‪.(2.10‬‬
‫‪ 6.3‬מנה שלישית‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ , CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪ .‬מצאו את השיעורים‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫של נקודה ‪. A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫לפני שנתחיל לפתור את בעיה זו נעשה כפי שיוצרים רבים של סדרות טלוויזיה עושים‪:‬‬
‫נסקור את אירועי הפרקים הקודמים‪.‬‬
‫הבה ניזכר שבסעיף ‪ 6.1‬מצאנו את המשוואה המפורשת של הישר ‪ . CF‬המשוואה היא‬
‫)‪(3.1‬‬
‫‪y = 3x − 3‬‬
‫בסעיף ‪ 6.2‬מצאנו את השיפוע של הישר ‪ CD‬ואת המשוואה המפורשת של הישר ‪. AE‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪, mCD = −3‬‬
‫)‪(3.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+5‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ℓ AE : y‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪64‬‬
‫לאחר שרעננו את זיכרוננו‪ ,‬נשאל את עצמנו‪ :‬מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של נקודה ‪. A‬‬
‫כיצד מוצאים את השיעורים של נקודה מסוימת במישור?‬
‫בחלק ניכר מבעיות מסוג זה מוצאים את השיעורים הנדרשים כשיעורים של נקודה‬
‫משותפת לשני קווים במישור‪ .‬כדי למצוא את שיעורי הנקודה בדרך זו מבצעים את‬
‫הפעולות הבאות‪ :‬מוצאים שני קווים העוברים דרך הנקודה ואת משוואות הקווים;‬
‫פותרים את מערכת המשוואות המורכבת ממשוואות קווים אלה‪ .‬הנקודה נמצאת על כל‬
‫אחד משני הקווים העוברים דרכה ולכן שיעוריה מקיימים את המשוואות של כל אחד‬
‫משני הקווים‪ .‬מכאן הזוג הסדור של שיעורי הנקודה הוא פתרון מערכת המשוואות‬
‫המורכבת ממשוואות של שני קווים העוברים דרך הנקודה‪.3‬‬
‫נשאל את עצמנו שתי שאלות‪ :‬אילו קווים עוברים דרך נקודה ‪ ? A‬משוואות של אילו שני‬
‫קווים העוברים דרך הנקודה נמצאים ברשותנו או אפשר למצוא?‬
‫דרך נקודה ‪ A‬עוברים הישרים ‪ AB , AE‬ו‪ . AD -‬את משוואת הישר ‪ AE‬כבר מצאנו‬
‫)ראו שורה )‪ .((3.2‬עלינו למצוא את משוואת הישר ‪ AB‬או את משוואת הישר ‪ . AD‬איזו‬
‫משתי המשוואות עלינו למצוא כעת?‬
‫בינתיים לא ידועים לנו שיעורים של נקודה כלשהי הנמצאת על ישר ‪ . AB‬נראה שלא‬
‫נוכל למצוא את משוואת הישר לפני שנצליח למצוא את השיעורים של נקודה ‪ . A‬לעומת‬
‫זאת‪ ,‬השיעורים של נקודה ‪ , D‬הנמצאת על ישר ‪ , AD‬ידועים לנו‪ .‬לפי הנתון‬
‫)‪D (12, −3‬‬
‫)‪(3.3‬‬
‫אם נצליח למצוא את השיפוע של ישר ‪ , AD‬נוכל גם למצוא את משוואת הישר‪.‬‬
‫מה אפשר לומר על הישר ‪ AD‬ושיעזור למצוא את שיפועו?‬
‫כדי לענות על שאלה זו‪ ,‬נשאל‪ְ :‬למה מהנתון בבעיה וממה שכבר מצאנו יש קשר לישר‬
‫‪? AD‬‬
‫לפי הנתון בבעיה‬
‫הקטע ‪ CF‬הוא גובה לצלע ‪ AD‬במקבילית ‪. ABCD‬‬
‫מכאן הישרים ‪ CF‬ו‪ AD -‬מאונכים זה לזה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫למערכת משוואות זו יכולים להיות פתרונות נוספים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪65‬‬
‫‪CF ⊥ AD‬‬
‫לכן‬
‫)‪(3.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mCF‬‬
‫‪mAD = −‬‬
‫את השיפוע ‪ mCF‬של הישר ‪ CF‬כבר חישבנו‪ .‬קיבלנו כי‬
‫‪mCF = 3‬‬
‫)‪(3.5‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (3.4‬על פי שוויון )‪ ,(3.5‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(3.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪mAD = −‬‬
‫נמצא את משוואת הישר ‪ AD‬לפי הנוסחה‪:‬‬
‫) ‪y − yD = mAD ( x − xD‬‬
‫נציב בנוסחה האחרונה לפי שורות )‪ (3.3‬ו‪ ,(3.6)-‬ונקבל את המשוואה הבאה של הישר‬
‫‪: AD‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪y − (−3) = − ( x − 12‬‬
‫‪3‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(3.7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x +1‬‬
‫‪3‬‬
‫כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ A‬נותר לפתור את מערכת המשוואות‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 3 x + 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = − 1 x +1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫המורכבת ממשוואה )‪ (3.2‬של הישר ‪ AE‬וממשוואה )‪ (3.7‬של הישר ‪. AD‬‬
‫מערכת המשוואות האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪66‬‬
‫)‪(3.8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3 x + 5 = − 3 x + 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = − 1 x +1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫נפתור את המשוואה הראשונה של מערכת משוואות זו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x + 5 = − x + 1 ⋅3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫⇕‬
‫‪x + 15 = − x + 3‬‬
‫⇕‬
‫‪2 x = −12‬‬
‫⇕‬
‫)‪(3.9‬‬
‫‪x = −6‬‬
‫מצאנו את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ . A‬קיבלנו כי‬
‫)‪(3.10‬‬
‫‪x A = −6‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של מערכת משוואות )‪ (3.8‬לפי שורה )‪ ,(3.9‬ונמצא את שיעור ה‪-‬‬
‫‪ y‬של נקודה זו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − ⋅ (−6) + 1‬‬
‫‪3‬‬
‫⇕‬
‫‪y=3‬‬
‫מצאנו את שיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪ . A‬קיבלנו כי‬
‫)‪(3.11‬‬
‫‪yA = 3‬‬
‫כעת ברשותנו שני השיעורים של נקודה ‪ . A‬קיבלנו כי‬
‫)‪. A( −6, 3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪67‬‬
‫‪ 6.4‬מנה רביעית‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ , CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪ .‬מצאו את המשוואה‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫של הצלע ‪. AB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫בשלושת הסעיפים הקודמים קיבלנו כי‬
‫‪, ℓ CF : y = 3 x − 3‬‬
‫‪, mCD = −3‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+5‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ℓ AE : y‬‬
‫ומצאנו את השיעורים של נקודה ‪ . A‬קיבלנו‪:‬‬
‫)‪. A( −6, 3‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫כעת אנחנו מוכנים למשימה חדשה‪.‬‬
‫כרגיל נתחיל בשאלה‪ :‬מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את המשוואה של הישר ‪. AB‬‬
‫כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?‬
‫לעתים קרובות מוצאים את המשוואה של ישר כך‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪68‬‬
‫מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת הנקודות הנמצאות‬
‫עליו; לאחר מכן מציבים את המספרים שנמצאו בנוסחה למשוואה של ישר עם שיפועו ‪m‬‬
‫ואשר עובר דרך הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫) ‪. y − y1 = m( x − x1‬‬
‫את השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות על הישר ‪ , AB‬כלומר את השיעורים של‬
‫נקודה ‪ , A‬כבר מצאנו )ראו את השורה )‪.((4.2‬‬
‫ננסה למצוא את השיפוע ‪ mAB‬של הישר ‪ . AB‬במטרה למצוא את ‪ mAB‬נשאל את עצמנו‪:‬‬
‫במה מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו ?‬
‫‪4‬‬
‫עוד לא השתמשנו בכך שלפי הנתון‬
‫)‪(4.3‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫מכאן‬
‫‪. AB CD‬‬
‫)‪(4.4‬‬
‫שני ישרים במישור )שאינם מתלכדים זה עם זה( מקבילים זה לזה אך ורק אם‬
‫שיפועיהם שווים זה לזה או אם לכל אחד מהישרים שיפוע לא מוגדר‪ .‬לכן מטענה )‪(4.4‬‬
‫נובע כי‬
‫‪. m AB = mCD‬‬
‫)‪(4.5‬‬
‫את השיפוע של הישר ‪ CD‬כבר מצאנו )ראו שורה )‪.((4.1‬‬
‫משוויונים )‪ (4.1‬ו‪ (4.5)-‬נובע )לפי כלל המעבר( כי‬
‫‪. m AB = −3‬‬
‫)‪(4.6‬‬
‫נוכל למצוא את משוואת הישר ‪ AB‬לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫) ‪. y − y A = mAB ( x − x A‬‬
‫‪ 4‬כלומר‪ ,‬לא השתמשנו בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪69‬‬
‫נציב בנוסחה האחרונה את השיעורים של נקודה ‪ A‬ואת גודלו של ‪ mAB‬אשר מצאנו )ראו‬
‫שורות )‪ (4.2‬ו‪ ,((4.6)-‬ונקבל את המשוואה של הישר ‪: AB‬‬
‫)‪y − 3 = −3 ⋅ ( x + 6‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y = −3 x − 15‬‬
‫זאת משוואה מפורשת של הישר ‪. AB‬‬
‫‪ 6.5‬מנה חמישית‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ , CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪ .‬מצאו את השיעורים‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫של נקודה ‪. B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של נקודה ‪. B‬‬
‫אפשר למצוא את שיעורי הנקודה הזאת כשיעורי נקודת החיתוך של הישרים ‪ AB‬ו‪-‬‬
‫‪ , BC‬אך אנחנו נמצא את השיעורים בדרך אחרת‪ ,‬טובה יותר‪.‬‬
‫לפי הנתון‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪70‬‬
‫ברשותנו שיעורים של הקודקודים ‪ C , A‬ו‪ D -‬של המקבילית‪:‬‬
‫)‪(5.1‬‬
‫)‪) A( −6, 3‬קיבלנו בסעיף ‪(6.3‬‬
‫)‪(5.2‬‬
‫)‪) C (6,15‬לפי הנתון( ‪,‬‬
‫)‪(5.3‬‬
‫)‪) D (12, −3‬לפי הנתון(‪.‬‬
‫קיים משפט שלפיו‪ :‬האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה‪ .‬לכן נקודת מפגש‬
‫האלכסונים של המקבילית ‪ ABCD‬היא אמצע של הקטע ‪ AC‬ושל הקטע ‪ . BD‬מכאן‪,‬‬
‫אם נסמן ב‪ N -‬את נקודת המפגש של האלכסונים המדוברים‪ ,‬נקבל כי עבור שיעוריה מצד‬
‫אחד מתקיים‪:‬‬
‫)‪(5.4‬‬
‫‪x A + xC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xN‬‬
‫)‪(5.5‬‬
‫‪y A + yC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yN‬‬
‫ומצד שני מתקיים‪:‬‬
‫)‪(5.6‬‬
‫)‪(5.7‬‬
‫‪xB + x D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yB + yD‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xN‬‬
‫= ‪. yN‬‬
‫כאשר נציב בארבעת השוויונים האחרונים את שיעורי הנקודות ‪ C , A‬ו‪ D -‬הידועים לנו‬
‫)ראו שורות )‪ (5.2) ,(5.1‬ו‪ ((5.3)-‬נקבל את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪−6 + 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 + 15‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪x + 12‬‬
‫‪= B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y −3‬‬
‫‪= B‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪ xN‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yN‬‬
‫‪‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪71‬‬
‫זאת מערכת של ארבע משוואות עם ארבעת הנעלמים הבאים‪ xB , yN , xN :‬ו‪ . yB -‬היא‬
‫שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪=9‬‬
‫‪xB + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y −3‬‬
‫‪= B‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(5.8‬‬
‫=‬
‫‪ xN‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yN‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yN‬‬
‫‪‬‬
‫נציב במשוואה השלישית של המערכת האחרונה לפי המשוואה הראשונה שלה‪ ,‬ונקבל את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪xB + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪0‬‬
‫פתרון המשוואה האחרונה הוא‪:‬‬
‫‪xB = −12‬‬
‫כעת נציב במשוואה הרביעית של מערכת משוואות )‪ (5.8‬לפי המשוואה השנייה שלה‪,‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪yB − 3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪9‬‬
‫פתרון המשוואה האחרונה הוא‪:‬‬
‫‪yB = 21‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫)‪B ( −12, 21‬‬
‫הערה‪ .‬שימו לב‪ ,‬היינו צריכים למצוא את ‪ xB‬ואת ‪ , yB‬אך לא יכולנו למצוא אותם רק‬
‫בעזרת המשוואות‬
‫‪xB + 12‬‬
‫‪y −3‬‬
‫‪, yN = B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xN‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪72‬‬
‫אשר התקבלו על סמך השוויונים )‪ (5.6‬ו‪ .(5.7)-‬היינו צריכים למצוא קודם את ‪ xN‬ואת‬
‫‪ . yN‬כדי למצוא את השיעורים ‪ xN‬ו‪ yN -‬של נקודה ‪ N‬נעזרנו בשוויונים )‪ (5.4‬ו‪.(5.5)-‬‬
‫פתרון זה לבעיה הוא דוגמה לכך שלפעמים כדי למצוא ‪ n‬נעלמים יש לבחון גם ‪ k‬נעלמים‬
‫נוספים‪ ,‬ולהרכיב מערכת של ‪ n + k‬משוואות עם ‪ n + k‬נעלמים‪ .‬נציין שלפעמים אפשר‬
‫למצוא ‪ n‬נעלמים אם מרכיבים מערכת שבה יהיו ‪ n + k‬נעלמים ומספר המשוואות יהיה‬
‫קטן מ‪ . n + k -‬לדוגמה‪ ,‬אם עלינו למצוא ‪ x‬וידוע כי מתקיים ‪ x + 4 y + 6 z = 9‬וגם‬
‫‪ , 2 y + 3z = 4‬אז נוכל לעשות זאת גם בלי לנסות להרכיב את המשוואה השלישית‪.‬‬
‫‪ 6.6‬מנה שישית‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫ענו על השאלה‪ :‬האם המקבילית ‪ ABCD‬היא‬
‫מעוין? נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מה אנו מתבקשים לעשות בבעיה זו?‬
‫עלינו להוכיח כי‬
‫המקבילית ‪ ABCD‬היא מעוין‬
‫או להפריך את הטענה‪.‬‬
‫כיצד בודקים אם מקבילית היא מעוין או לא?‬
‫אחת הדרכים לפתרון בעיות מסוג זה היא לבדוק אם שתי צלעות סמוכות במקבילית‬
‫שוות זו לזו‪ .‬אם אכן שתי צלעות סמוכות במקבילית שוות זו לזו‪ ,‬המקבילית היא מעוין‪.‬‬
‫אם יתברר כי שתי הצלעות לא שוות זו לזו‪ ,‬המקבילית אינה מעוין‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪73‬‬
‫דרך שנייה לפתרון בעיות מסוג זה היא לבדוק אם האלכסונים במקבילית מאונכים זה‬
‫לזה‪ .‬אם אלכסונים במקבילית מאונכים זה לזה‪ ,‬המקבילית היא מעוין‪ .‬אם אלכסונים‬
‫במקבילית לא מאונכים זה לזה‪ ,‬המקבילית אינה מעוין‪.‬‬
‫דרך שלישית לפתרון בעיות מסוג זה היא לבדוק אם האלכסונים במקבילית חוצים את‬
‫זוויותיה‪ .‬אם אלכסונים במקבילית חוצים את זוויותיה‪ ,‬המקבילית היא מעוין‪ .‬אם הם לא‬
‫חוצים את זוויות המקבילית‪ ,‬המקבילית אינה מעוין‪.‬‬
‫נפתור את הבעיה בדרך הראשונה‪ .‬ברשותנו שיעורי כל קודקודי המקבילית ‪: ABCD‬‬
‫)‪) A( −6, 3‬קיבלנו בסעיף ‪(6.3‬‬
‫)‪) B ( −12, 21‬קיבלנו בסעיף ‪(6.5‬‬
‫)‪) C (6,15‬לפי הנתון(‪,‬‬
‫)‪) D (12, −3‬לפי הנתון(‪.‬‬
‫ניעזר רק בשיעורים של שלושה קודקודים של המקבילית‪ :‬בשיעורים של נקודות ‪ B , A‬ו‪-‬‬
‫‪ . D‬נחשב את אורכי הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC -‬בעזרת הנוסחה‪:‬‬
‫‪d = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2‬‬
‫כאן ‪ d‬הוא מרחק בין נקודה ) ‪ ( x1 , y1‬לבין נקודה ) ‪. ( x2 , y2‬‬
‫על סמך הנוסחה האחרונה נקבל‪:‬‬
‫= ‪AD = ( xA − xD ) 2 + ( y A − yD ) 2 = (−6 − 12) 2 + (3 − (−3))2‬‬
‫‪360‬‬
‫יח' = ‪= (−18) 2 + 62‬‬
‫= ‪CD = ( xC − xD ) 2 + ( yC − yD ) 2 = (6 − 12) 2 + (15 − (−3))2‬‬
‫‪360‬‬
‫יח' = ‪= (−6) 2 + 182‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪360‬‬
‫יח' = ‪AD‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪74‬‬
‫וגם‬
‫‪360‬‬
‫יח' = ‪CD‬‬
‫מכאן‬
‫‪AD = CD‬‬
‫לכן‬
‫המקבילית ‪ ABCD‬היא מעוין‪.‬‬
‫תרגיל‪ .‬פתרו בעצמכם את הבעיה בדרך השנייה ובדרך השלישית שלעיל‪.‬‬
‫‪ 6.7‬מנה שביעית‬
‫בעיה‪ .‬נתונה מקבילית ‪ ABCD‬ששניים‬
‫‪B‬‬
‫מקודקודיה הם )‪ C (6,15‬ו‪ . D (12, −3) -‬קטע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לצלע ‪ CD‬וקטע ‪ CF‬הוא גובה‬
‫לצלע ‪ . AD‬הגבהים ‪ CF‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה‬
‫)‪) M (3, 6‬ראו ציור משמאל(‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫מצאו את היקף המקבילית ‪ ABCD‬ואת שטחה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה זו?‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫צריך למצוא את היקף המקבילית ‪ ABCD‬ואת השטח שלה‪.‬‬
‫נמצא קודם את ההיקף ‪ LABCD‬של המקבילית‪.‬‬
‫מהו ההיקף של מקבילית?‬
‫ההיקף של מקבילית הוא סכום אורכי הצלעות של המקבילית‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫היקף של מצולע הוא סכום אורכי הצלעות של המצולע‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪75‬‬
‫בפרק הקודם קיבלנו כי‬
‫המקבילית ‪ ABCD‬היא מעוין שאורך צלעו ‪360‬‬
‫יח' ‪.‬‬
‫במילים אחרות קיבלנו כי‬
‫המקבילית ‪ ABCD‬היא מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו היא ‪360‬‬
‫יח' ‪.‬‬
‫לכן‬
‫‪ 50.596‬יח' ≈ ‪ 16 10‬יח' = ‪LABCD = 4 AD = 4 360 = 4 36 ⋅ 10‬‬
‫כעת נחשב את שטח המקבילית ‪ . ABCD‬מקבילית זו היא מעוין‪ .‬לכן נשאל את עצמנו‪:‬‬
‫כיצד מחשבים שטח של מעוין?‬
‫אחת הדרכים לפתרון בעיות מסוג זה היא להיעזר במשפט‪ :‬השטח של מעוין שווה‬
‫למחצית המכפלה של אלכסוניו‪ .6‬לפי משפט זה מתקיים‪:‬‬
‫‪AC ⋅ BD‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(7.1‬‬
‫= ‪S ABCD‬‬
‫ברשותנו השיעורים של כל קודקודי המעוין ‪: ABCD‬‬
‫)‪) A( −6, 3‬קיבלנו בסעיף ‪(6.3‬‬
‫)‪) B ( −12, 21‬קיבלנו בסעיף ‪(6.5‬‬
‫)‪) C (6,15‬לפי הנתון(‪,‬‬
‫)‪) D (12, −3‬לפי הנתון(‪.‬‬
‫נוכל לחשב את אורכי הקטעים ‪ AC‬ו‪ BD -‬בעזרת הנוסחה‬
‫‪d = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2‬‬
‫כאן ‪ d‬הוא מרחק בין נקודה ) ‪ ( x1 , y1‬לבין נקודה ) ‪. ( x2 , y2‬‬
‫על סמך הנוסחה האחרונה נקבל‪:‬‬
‫‪ 6‬כאשר מדברים על מכפלת אלכסונים של מעוין )או מצולע אחר( מתכוונים למכפלת אורכי האלכסונים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪76‬‬
‫= ‪AC = ( x A − xC ) 2 + ( y A − yC )2 = (−6 − 6) 2 + (3 − 15)2‬‬
‫‪ 12 2‬יח' = ‪= (−12) 2 + 122 = 2 ⋅122‬‬
‫= ‪BD = ( xB − xD )2 + ( yB − yD ) 2 = (−12 − 12) 2 + (21 − (−3))2‬‬
‫‪ 24 2‬יח' = ‪= (−24) 2 + 24 2 = 2 ⋅ 24 2‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪ 12 2‬יח' = ‪, AC‬‬
‫‪ 24 2‬יח' = ‪. BD‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (7.1‬לפי שני השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪(12 2) ⋅ (24 2) 12 ⋅ 24( 2)2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12 ⋅ 24 ⋅ 2‬‬
‫‪ 288‬יח"ר = ‪= 12 ⋅ 24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ABCD‬‬
‫=‬
‫נחשב את שטח המקבילית בדרך אחרת‪ .‬הפעם לא נסתמך על כך שהמקבילית היא מעיון‪.‬‬
‫ניעזר במשפט‪ :‬השטח של מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה המורד לאותה‬
‫צלע‪ .‬לפי משפט זה מתקיים‪:‬‬
‫‪S ABCD = CD ⋅ AE‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫בסעיף הקודם קיבלנו כי‬
‫)‪(7.3‬‬
‫‪360‬‬
‫יח' = ‪CD‬‬
‫כדי שנוכל לחשב את שטח המקבילית בעזרת השוויון )‪ (7.2‬עלינו למצוא את אורך הקטע‬
‫‪ . AE‬אפשר לעשות זאת בדרכים שונות‪ .‬אחת הדרכים היא למצוא את שיעורי נקודה ‪E‬‬
‫ולאחר מכן למצוא את המרחק בין נקודה זו לנקודה ‪ . A‬כדי למצוא את שיעורי נקודה ‪E‬‬
‫צריך למצוא את משוואת הישר ‪ CD‬ולאחר מכן לפתור את מערכת המשוואות המורכבת‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪77‬‬
‫ממשוואות הישרים ‪ CD‬ו‪ . AE -‬את המשוואה המפורשת של הישר ‪ AE‬מצאנו בסעיף‬
‫‪.6.2‬‬
‫נחשב את אורך הקטע ‪ AE‬בדרך אחרת‪ .‬ניעזר בנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר‪:‬‬
‫‪ax1 + by1 + c‬‬
‫)‪(7.4‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫= ) ‪d ( P, ℓ‬‬
‫כאן ‪ a 2 + b 2 ≠ 0‬ו‪ d ( P, ℓ ) -‬הוא מרחק בין נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬לישר ‪. ℓ : ax + by + c = 0‬‬
‫את המרחק בין נקודה לישר מגדירים כאורך האנך המורד מנקודה לישר‪ .‬לכן המרחק בין‬
‫נקודה ‪ A‬לישר ‪ CD‬הוא אורך הקטע ‪ . AE‬אם ברצוננו לחשב את אורך הקטע ‪AE‬‬
‫בעזרת נוסחה )‪ ,(7.4‬עלינו למצוא משוואה כללית של הישר ‪ . CD‬נעשה זאת‪ ,‬אך קודם‬
‫נמצא משוואה של הישר לפי הנוסחה‬
‫) ‪y − yC = mCD ( x − xC‬‬
‫)‪(7.5‬‬
‫לפי הנתון‬
‫‪yC = 15‬‬
‫)‪(7.6‬‬
‫‪xC = 6,‬‬
‫ולפי סעיף ‪ 6.2‬קיבלנו כי‬
‫)‪(7.7‬‬
‫‪mCD = −3‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (7.5‬לפי שורות )‪ (7.6‬ו‪ ,(7.7)-‬ונקבל את המשוואה הבאה של הישר ‪: CD‬‬
‫)‪y − 15 = −3( x − 6‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הכללית של הישר ‪: CD‬‬
‫‪3 x + y − 33 = 0‬‬
‫כדי למצוא את המרחק מנקודה )‪ A( −6, 3‬לישר ‪ CD‬בעזרת נוסחה )‪ (7.4‬נציב בה לפי‬
‫השוויונים‪:‬‬
‫‪. a = 3, b = 1, c = −33, x1 = −6, y1 = 3‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .6‬שבע מנות‬
‫‪78‬‬
‫‪48 48 10‬‬
‫=‬
‫‪ 4.8 10‬יח' =‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫=‬
‫‪3 ⋅ (−6) + 1 ⋅ 3 − 33‬‬
‫‪32 + 12‬‬
‫= ) ‪d ( A, lCD‬‬
‫מכאן‬
‫‪ 4.8 10‬יח' = ‪AE‬‬
‫)‪(7.8‬‬
‫אפשר לקבל את השוויון האחרון גם בעזרת נוסחה לחישוב מרחק בין ישרים מקבילים‪.‬‬
‫מגדירים מרחק בין שני ישרים מקבילים כמרחק בין נקודה שרירותית כלשהי הנמצאת על‬
‫אחד ישרים לישר השני‪ .‬כלומר מרחק בין שני ישרים מקבילים הוא אורך האנך המורד‬
‫מנקודה שרירותית כלשהי הנמצאת על אחד הישרים לישר השני‪ .‬מכאן מרחק בין הישרים‬
‫המקבילים ‪ AB‬ו‪ CD -‬הוא אורך האנך ‪ AE‬המורד לישר ‪ CD‬מנקודה ‪ , A‬הנמצאת על‬
‫ישר ‪. AB‬‬
‫מרחק ) ‪ d (ℓ 1 , ℓ 2‬בין ישרים מקבילים ‪ ℓ1 : ax + by + c1 = 0‬ו‪ℓ 2 : ax + by + c2 = 0 -‬‬
‫אפשר לחשב בעזרת הנוסחה‬
‫‪c1 − c2‬‬
‫)‪(7.9‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫= ) ‪d (ℓ 1 , ℓ 2‬‬
‫בסעיף ‪ 6.2‬קיבלנו את המשוואה של הישר ‪: AB‬‬
‫‪y = −3 x − 15‬‬
‫היא שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪3 x + y + 15 = 0‬‬
‫זאת משוואה כללית של ישר ‪. AB‬‬
‫קיבלנו את המשוואה הכללית הבאה של ישר ‪: CD‬‬
‫‪3 x + y − 33 = 0‬‬
‫כדי לחשב את המרחק בין ישרים מקבילים ‪ AB‬ו‪ CD -‬בעזרת נוסחה )‪ (7.9‬נציב בה‬
‫לפי השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪. a = 3, b = 1, c1 = 15, c2 = −33‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪48 48 10‬‬
‫=‬
‫‪ 4.8 10‬יח' =‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪79‬‬
‫=‬
‫| )‪|15 − (−33‬‬
‫‪32 + 12‬‬
‫= ) ‪d (ℓ AB , ℓ CD‬‬
‫מכאן נובע כי‬
‫‪ 4.8 10‬יח' = ‪) AE‬זהו שוויון )‪ (7.8‬אשר קיבלנו קודם בדרך אחרת(‬
‫כעת אפשר לחשב את שטח המקבילית ‪ ABCD‬בעזרת שוויון )‪ .(7.2‬נציב בשוויון זה לפי‬
‫השוויונים )‪ (7.3‬ו‪ ,(7.8)-‬ונקבל‪:‬‬
‫= )‪S ABCD = ( 360)(4.8 10) = (6 10)(4.8 10‬‬
‫‪ 288‬יח"ר = ‪= (6 ⋅ 4.8)( 10) 2 = 6 ⋅ 4.8 ⋅10 = 6 ⋅ 48‬‬
‫הערה‪ .‬אפשר לחשב את שטח המקבילית ‪ ABCD‬גם בדרך הבאה‪ :‬ראשית למצוא את‬
‫ ‬
‫הווקטורים ‪ AB‬ו‪ , AD -‬ולאחר מכן להיעזר במשפט ‪ 1‬מהערה ‪ 3‬בסעיף ‪.6.2‬‬
‫דרך נוספת לחישוב שטח המקבילית היא לחשב את שטח המשולש ‪ ABC‬בעזרת משפט‬
‫‪ 2‬מהערה ‪ 3‬בסעיף ‪ 6.2‬ולהכפיל אותו ב‪. 2 -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .7‬היא בפנים‬
‫‪80‬‬
‫‪ .7‬היא בפנים‬
‫בסופרמרקט לא התפתיתי מיופיים של הענבים השחורים‪ .‬ידעתי שהם עם גרעינים‪ ,‬ורציתי בלי‪ .‬עברתי‬
‫אל הארגזים עם הענבים הירוקים‪ .‬ליד אחד מהם עמד קונה אשר הכניס לפיו ענב אחר ענב‪ .‬להערכתי‪,‬‬
‫הוא היה בערך כבן שמונים‪.‬‬
‫שאלתי אותו‪" :‬ענבים אלו ללא גרעינים?"‬
‫"הענבים עם הגרעינים נמצאים שם‪ ",‬השיב האיש‪ ,‬תוך שהוא מצביע על הארגזים עם הענבים‬
‫השחורים‪.‬‬
‫"אינני רוצה ענבים עם גרעינים‪ .‬הגד נא לי‪ ,‬האם הענבים שאתה טועם הם ללא גרעינים?"‬
‫פניו של האיש הביעו מבוכה והוא משך בכתפיו‪ .‬קשה להאמין‪ ,‬אך האיש לא ידע האם יש גרעינים‬
‫בענבים שאכל‪ .‬הוא השליך ענב נוסף לפיו‪ .‬שמתי לב שבזמן שלעס את הענב‪ ,‬עיניו הורמו אל התקרה‪.‬‬
‫דומה היה כי הוא שקוע כולו בניסיון למצוא את התשובה לשאלתי‪.‬‬
‫"נו‪ ,‬יש גרעינים בענבים או לא?" שאלתי בסבלנות‪.‬‬
‫ושוב הבעת מבוכה על פניו ומשיכת כתפיים‪ ... .‬ועוד ענב נשלך לפיו ‪...‬‬
‫גם אנוכי טעמתי ענב‪ .‬הוא היה בלי גרעינים‪ .‬שמתי קופסת ענבים בעגלתי והלכתי‪ .‬כאשר התרחקתי‬
‫מעט מהזקן‪ ,‬הסתכלתי עליו‪ .‬הוא המשיך להכניס ענבים לפיו‪ ,‬להרים את עיניו אל התקרה ולמשוך‬
‫בכתפיו‪ .‬כשעזבתי את הסופרמרקט ראיתי שעדיין הזקן מנסה‪ ,‬אך ללא הועיל‪ ,‬לברר האם יש גרעינים‬
‫בענבים‪.‬‬
‫אל תלעגו לאיש‪ ,‬ולו רק בשל גילו המופלג‪ .‬סיבה נוספת‪ ,‬לפני שאתם שופטים אנשים אחרים‪ ,‬כדאי‬
‫שתתבוננו במראה‪ .‬קרוב לוודאי‪ ,‬שלא אחת קרה ש"לעסתם" ו"לעסתם" מבלי שתחושו את ה"גרעין"‪.‬‬
‫במקרה של הזקן הוא לפחות נהנה מה"מחקר"‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונות נקודות )‪ B(14,5) , A(1, 7‬ו‪ . C (16, 4) -‬הוכיחו כי נקודה )‪ D(7, 6‬נמצאת‬
‫בתוך המשולש ‪. ABC‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך להוכיח?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪81‬‬
‫צריך להוכיח כי נקודה )‪ D(7, 6‬נמצאת בתוך המשולש שקודקודיו הם הנקודות‬
‫)‪ B(14,5) , A(1, 7‬ו‪. C (16, 4) -‬‬
‫כיצד אפשר להוכיח כי נקודה מסוימת נמצאת בתוך משולש?‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬מה אפשר לומר על משולשים שיעזור לנו להגיע‬
‫לפתרון? באיזו תכונה של משולשים אפשר להיעזר כדי להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת‬
‫בתוך משולש מסוים?‬
‫כל משולש הוא מצולע קמור‪ .‬מצולע קמור הוא מצולע שעבור כל צלעותיו מתקיים‬
‫התנאי הבא‪ :‬אם נעביר ישר דרך הצלע‪ ,‬יימצא המצולע כולו )פרט לאותה צלע( מצדו האחד‬
‫של הישר‪ .‬אם ידועים שיעורי קודקודיו של המצולע‪ ,‬אז כדי לבדוק אם המצולע קמור די‬
‫לבדוק עבור כל אחת מצלעותיו אם כל קודקודיו )פרט לקצות הצלע( נמצאים מצדו האחד‬
‫של הישר העובר דרך הצלע‪ .‬נוסף על כך נציין כי משולשים‪ ,‬מקביליות‪ ,‬טרפזים ומצולעים‬
‫משוכללים הם כולם מצולעים קמורים‪.‬‬
‫אפשר להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת בתוך מצולע קמור מסוים בדרך הבאה‪ :‬להוכיח‬
‫עבור כל אחת מצלעות המצולע שאותה נקודה וקודקוד כלשהו של המצולע שאינו מתלכד‬
‫עם אף אחד מקצות הצלע ‪ -‬שניהם נמצאים מצדו האחד של הישר העובר דרך הצלע‪.‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל מסיקים כי נקודה ‪ D‬נמצאת בתוך המשולש ‪ ABC‬אך ורק אם‬
‫מתקיימים שלושת התנאים הבאים‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות מצדו האחד של הישר ‪; AB‬‬
‫)‪(2‬‬
‫הנקודות ‪ B‬ו‪ D -‬נמצאות מצדו האחד של הישר ‪; AC‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ D -‬נמצאות מצדו האחד של הישר ‪. BC‬‬
‫כיצד אפשר להוכיח כי שתי נקודות נמצאות מצדו האחד של ישר מסוים?‬
‫אם משוואת הישר היא ‪) x = x1‬הישר מאונך לציר ה‪ , ( x -‬אז שתי נקודות נמצאות מצד‬
‫אחד שלו אך ורק אם שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות שניהם גדולים מ‪ x1 -‬או שניהם קטנים מ‪-‬‬
‫‪ . x1‬אם שיפוע הישר מוגדר‪ ,‬אז שתי נקודות נמצאות מצד אחד שלו אך ורק אם שתיהן‬
‫נמצאות מעל הישר או אם שתיהן נמצאות מתחתיו‪.‬‬
‫וכיצד אפשר לברר אם נקודה מסוימת נמצאת מעל ישר מסוים ששיפועו מוגדר‪ ,‬מתחת‬
‫לישר זה או על הישר?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .7‬היא בפנים‬
‫‪82‬‬
‫כדי לברר אם נקודה מסוימת נמצאת על ישר מסוים מציבים את שיעורי הנקודה‬
‫במשוואת הישר; אם מתקבל פסוק אמת‪ ,‬אז הנקודה נמצאת על הישר‪ ,‬ואם מתקבל פסוק‬
‫שקר‪ ,‬הנקודה לא נמצאת על הישר‪.‬‬
‫אך זו אינה תשובה מלאה לשאלה ששאלנו‪ .‬הרי אם נפעל בדרך זו ונקבל כי הנקודה לא‬
‫מונחת על הישר‪ ,‬עדיין לא נוכל לומר אם היא נמצאת מעליו או מתחתיו‪.‬‬
‫כדי להגיע לתשובה מלאה‪ ,‬נשאל את עצמנו‪ :‬מהו פירוש הביטוי‪" :‬נקודה ) ‪P ( x1 , y1‬‬
‫נמצאת מעל ישר ‪ "( b ≠ 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬ומהו פירוש הביטוי‪" :‬נקודה ) ‪P ( x1 , y1‬‬
‫נמצאת מתחת לישר ‪? "( b ≠ 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬‬
‫כדי להבין את משמעות שני הביטויים עלינו להתבונן בנקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם‬
‫ישר העובר דרך נקודה ‪ P‬ומאונך לציר ה‪ . x -‬נסמן את שיעור ה‪ y -‬של נקודת חיתוך זו ב‪-‬‬
‫‪ . y2‬אם מתקיים‪ , y1 > y2 :‬אז נקודה ‪ P‬נמצאת מעל הישר ‪ , ℓ‬ואילו אם מתקיים‬
‫‪ , y1 < y2‬אז נקודה ‪ P‬נמצאת מתחת הישר ‪) . ℓ‬אם ‪ , y1 = y2‬אז נקודה ‪ P‬נמצאת על‬
‫הישר ‪(. ℓ‬‬
‫משוואת הישר העובר דרך הנקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬ומאונך לציר ה‪ x -‬היא‪:‬‬
‫‪. x = x1‬‬
‫) ‪P ( x1 , y1‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪( x1 , y2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪y2 = − x1 −‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪( x1 , y2‬‬
‫) ‪P ( x1 , y1‬‬
‫‪x = x1‬‬
‫‪x = x1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y1 > y2‬‬
‫‪y1 < y2‬‬
‫המשוואה המפורשת של הישר ‪ ℓ‬היא‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y=−‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪83‬‬
‫לכן‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x1 −‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪y2 = −‬‬
‫מטענה )‪ (4‬ומהנאמר לעיל על מיקומה של נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬ביחס לישר‬
‫‪ ( b ≠ 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬נובע כי‬
‫•‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת מעל הישר ‪ ℓ‬אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x1 −‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(5‬‬
‫•‬
‫‪y1 > −‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת מתחת לישר ‪ ℓ‬אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x1 −‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪y1 < −‬‬
‫אם ‪ , b > 0‬אז אי‪-‬שוויון )‪ (5‬שקול לאי‪-‬שוויון‬
‫‪ax1 + by1 + c > 0‬‬
‫ואי‪-‬שוויון )‪ (6‬שקול לאי‪-‬שוויון‬
‫‪ax1 + by1 + c < 0‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל אפשר להסיק כי‬
‫)‪( 7‬‬
‫)‪(8‬‬
‫)‪(9‬‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת על ישר ‪ ℓ : ax + by + c = 0‬אך ורק אם‬
‫מתקיים‪; ax1 + by1 + c = 0 :‬‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל ישר ‪ ( b > 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬אך‬
‫ורק אם מתקיים‪; ax1 + by1 + c > 0 :‬‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מתחת לישר ‪ ( b > 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬אך‬
‫ורק אם מתקיים‪. ax1 + by1 + c < 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .7‬היא בפנים‬
‫‪84‬‬
‫כעת נוכל להוכיח את טענות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (3)-‬בשתי דרכים‪ :‬אפשר להיעזר בטענות )‪ (8‬ו‪,(9)-‬‬
‫או להסתמך על פירוש הביטוי "נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל ישר ‪ℓ : ax + by + c = 0‬‬
‫) ‪ "( b ≠ 0‬ועל פירוש הביטוי‪ " :‬נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מתחת לישר ‪ℓ : ax + by + c = 0‬‬
‫) ‪."( b ≠ 0‬‬
‫כך או כך‪ ,‬כדי להוכיח את טענה )‪ (1‬צריך למצוא קודם כל את משוואת הישר ‪ ; AB‬כדי‬
‫להוכיח את טענה )‪ (2‬נצטרך למצוא את משוואת הישר ‪ ; AC‬להוכחת טענה )‪ (3‬נזדקק‬
‫למשוואת הישר ‪. BC‬‬
‫נמצא את משוואת הישר ‪ AB‬לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫) ‪y − y A = m AB ( x − x A‬‬
‫לשם כך נחשב את שיפוע הישר ‪: AB‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪5−7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪14 − 1‬‬
‫‪13‬‬
‫= ‪m AB‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (10‬לפי שורה )‪ (11‬ואת השיעורים של נקודה ‪ , A‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( x − 1‬‬
‫‪13‬‬
‫‪y−7 = −‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+7‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪y=−‬‬
‫זו משוואה מפורשת של הישר ‪ . AB‬היא שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪2 x + 13 y − 93 = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה היא משוואה כללית של הישר ‪ . AB‬נזדקק לה להוכחת טענה )‪(1‬‬
‫בהסתמך על טענה )‪ (8‬או על טענה )‪ .(9‬שימו לב כי המקדם של ‪ y‬במשוואה )‪ (13‬הוא מספר‬
‫חיובי‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪85‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודה )‪ C (16, 4‬בביטוי הרשום באגף השמאלי של משוואה )‪(13‬‬
‫ונקבל כי ערך הביטוי בנקודה ‪ C‬הוא ‪ . −9‬לפי טענה )‪ (9‬מכאן נובע כי‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת מתחת לישר ‪AB‬‬
‫)‪(14‬‬
‫כעת נציב את שיעורי הנקודה )‪ D(7, 6‬בביטוי שבאגף השמאלי של משוואה )‪ (13‬ונקבל‬
‫כי ערך הביטוי בנקודה ‪ D‬הוא ‪ . −1‬לפי טענה )‪ (9‬מכאן נובע כי‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת מתחת לישר ‪AB‬‬
‫)‪(15‬‬
‫מטענות )‪ (14‬ו‪ (15)-‬נובע כי טענה )‪ (1‬מתקיימת‪.‬‬
‫כעת נוכיח את טענות )‪ (14‬ו‪ (15)-‬בדרך אחרת ‪ .‬הפעם נסתמך על פירושו של כל אחד‬
‫מהביטויים‪.‬‬
‫נסמן ב‪ E -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם הישר ‪) x = 16‬הישר האחרון עובר דרך‬
‫הנקודה )‪ C (16, 4‬ומאונך לציר ה‪ .( x -‬הזוג הסדור של השיעורים של נקודה ‪ E‬הוא פתרון‬
‫של המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = − x + 7‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x = 16‬‬
‫המשוואה הראשונה במערכת זו היא משוואה מפורשת )‪ (12‬של הישר ‪ . AB‬אם פותרים‬
‫את מערכת המשוואות האחרונה מקבלים כי‬
‫‪9‬‬
‫)‬
‫‪13‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪E (16, 4‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪ C‬קטן משיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪: E‬‬
‫‪yC < yE‬‬
‫מכאן נובע כי טענה )‪ (14‬מתקיימת‪.‬‬
‫כעת נסמן ב‪ F -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם הישר ‪) x = 7‬הישר האחרון‬
‫עובר דרך הנקודה )‪ D(7, 6‬ומאונך לציר ה‪ .( x -‬הזוג הסדור של השיעורים של נקודה ‪F‬‬
‫הוא פתרון של המערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .7‬היא בפנים‬
‫‪86‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = − x + 7‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x = 7‬‬
‫אם פותרים את מערכת המשוואות האחרונה מקבלים כי‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪13‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪F (7, 6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪13‬‬
‫‪9‬‬
‫)‬
‫‪13‬‬
‫‪E (16, 4‬‬
‫‪F (7, 6‬‬
‫)‪A(1, 7‬‬
‫)‪B(14,5‬‬
‫)‪D(7, 6‬‬
‫)‪C (16, 4‬‬
‫‪x = 16‬‬
‫‪x=7‬‬
‫‪x‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪ D‬קטן משיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪: F‬‬
‫‪yD < y F‬‬
‫מכאן נובע כי טענה )‪ (15‬מתקיימת‪.‬‬
‫כפי שכבר אמרנו‪ ,‬מטענות )‪ (14‬ו‪ (15)-‬נובע כי טענה )‪ (1‬מתקיימת‪.‬‬
‫הוכיחו את טענות )‪ (2‬ו‪ (3)-‬בעצמכם בתור תרגיל‪.‬‬
‫מטענות )‪ (2) ,(1‬ו‪ (3)-‬נובע כי נקודה ‪ D‬נמצאת בתוך המשולש ‪. ABC‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪87‬‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה?‬
‫‪What in a name? that which we call a rose‬‬
‫‪By any other name would as sweet.‬‬
‫)‪(William Shakespeare‬‬
‫אני המחבר‪,‬‬
‫איש הקורא לכל דבר בשמו‪,‬‬
‫הגוזל את ריח הפרחים‪.‬‬
‫)אלכסנדר בלוק(‬
‫כותרת זו ודאי מעוררת תימהון – במה מדובר בפרק זה? מדוע הוא נקרא כך? בפרק "מה‬
‫זה אמא? מה זה?" בספרי "שיטות חשיבה בהנדסת המישור" כתבתי‪":‬שימוש בהגדרות‬
‫הוא אחד הכלים החשובים לפתרון בעיות מתמטיות‪ .‬השאלה 'מה זה?'‪ ,‬שילדים קטנים‬
‫נוהגים לשאול את הוריהם‪ ,‬יכולה לכוון את המחשבות בדרך נכונה ולעזור לפתור בעיות‪.‬‬
‫לעתים כאשר חושבים על השאלה 'מה זה?' מקבלים תשובה לשאלה 'כיצד‪ ."'?...‬גם‬
‫בגיאומטריה אנליטית השאלה "מה זה?" עוזרת לפתור בעיות‪ .‬אדגים זאת בפרק הנוכחי‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתון מעגל ‪ , ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬ונתונות נקודות )‪ A(−1, 0‬ו‪. B(5,8) -‬‬
‫הוכיחו כי הקטע ‪ AB‬הוא קוטר במעגל הנתון‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך להוכיח בבעיה?‬
‫צריך להוכיח כי‬
‫)‪(1‬‬
‫הקטע ‪ AB‬המחבר את הנקודות )‪ A(−1, 0‬ו‪ B(5,8) -‬הוא קוטר‬
‫במעגל ‪( x − 2) + ( y − 4) = 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מה זה קוטר של מעגל?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה?‬
‫‪88‬‬
‫קוטר של מעגל הוא מיתר במעגל אשר עובר דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת מובן שעלינו להוכיח את שתי הטענות הבאות‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫הקטע ‪ AB‬המחבר את הנקודות )‪ A(−1, 0‬ו‪ B(5,8) -‬הוא מיתר במעגל‬
‫‪; ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הקטע ‪ AB‬המחבר את הנקודות )‪ A(−1, 0‬ו‪ B(5,8) -‬עובר דרך מרכז‬
‫המעגל ‪. ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫נוכיח קודם את טענה )‪ .(2‬כדי להבין אותה טוב יותר נשאל את עצמנו‪ :‬מה זה מיתר‬
‫במעגל?‬
‫מיתר במעגל הוא קטע המחבר שתי נקודות הנמצאות על המעגל‪ .‬במילים אחרות‪ :‬מיתר‬
‫במעגל הוא קטע שקצותיו נמצאים על המעגל‪ .‬לכן טענה )‪ (2‬מתקיימת אך ורק אם‬
‫)‪(4‬‬
‫הנקודה )‪ A(−1, 0‬נמצאת על המעגל ‪( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫וגם‬
‫)‪(5‬‬
‫הנקודה )‪ B(5,8‬נמצאת על המעגל ‪. ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫כיצד בודקים אם נקודה נמצאת על קו מסוים?‬
‫מציבים את שיעורי הנקודה במשוואה של הקו‪ .‬אם יתקבל פסוק אמת‪ ,‬אז הנקודה‬
‫נמצאת על הקו‪ ,‬ואם יתקבל פסוק שקר‪ ,‬הנקודה לא נמצאת על הקו‪ .‬וזה מפני שלפי‬
‫הגדרה‪ ,‬משוואת הקו היא משוואה שכל הנקודות הנמצאות על הקו מקיימות אותה‪ ,‬ואילו‬
‫כל הנקודות שאינן נמצאות על הקו לא מקיימות אותה‪.‬‬
‫נוכיח את טענה )‪ .(4‬נציב את השיעורים של נקודה ‪ A‬במשוואה של המעגל הנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪(−1 − 2)2 + (0 − 4) 2 = 25‬‬
‫שוויון זה שקול לשוויון‪ 2‬הבא‬
‫‪25 = 25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫גם אורך המיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר המעגל‪.‬‬
‫כאשר אומרים ששוויון אחד שקול לשוויון אחר מתכוונים כי התקיימות השוויון הראשון שקולה‬
‫להתקיימותו של השוויון השני‪ ,‬כלומר כל אחד משני השוויונים מתקיים אך ורק אם השוויון האחר מתקיים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪89‬‬
‫השוויון האחרון הוא פסוק אמת‪ .‬לכן טענה )‪ (4‬מתקיימת‪.‬‬
‫נוכיח את טענה )‪ .(5‬נציב את השיעורים של נקודה ‪ B‬במשוואה של המעגל הנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪(5 − 2) 2 + (8 − 4) 2 = 25‬‬
‫שוויון זה שקול לשוויון הבא‬
‫‪. 25 = 25‬‬
‫השוויון האחרון הוא פסוק אמת‪ .‬לכן טענה )‪ (5‬מתקיימת‪.‬‬
‫מטענות )‪ (4‬ו‪ (5)-‬נובע כי טענה )‪ (2‬מתקיימת‪.‬‬
‫כעת נוכיח את טענה )‪ .(3‬נסמן את מרכז המעגל הנתון ב‪ , M -‬ונשאל את עצמנו‪ :‬מהם‬
‫השיעורים של נקודה ‪? M‬‬
‫כדי לענות על השאלה האחרונה עלינו להיזכר כי הנוסחה למשוואת המעגל שמרכזו‬
‫נקודה )‪ (a, b‬ושהרדיוס שלו ‪ R‬היא‬
‫‪( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2‬‬
‫)‪(6‬‬
‫אם שוכחים את הנוסחה‪ ,‬אפשר להגיע אליה מחדש אם שואלים‪ :‬מה זה מעגל?‬
‫מעגל שמרכזו נקודה )‪ (a, b‬ורדיוסו ‪ R‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ) ‪( x, y‬‬
‫במישור שמרחקן מהנקודה )‪ (a, b‬שווה ל‪ . R -‬מכאן ומהנוסחה‬
‫‪d = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 ) 2‬‬
‫לחישוב מרחק בין שתי נקודות‪ ,‬נובע כי מעגל שמרכזו נקודה )‪ (a, b‬ורדיוסו ‪ R‬הוא‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ) ‪ ( x, y‬במישור המקיימות את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R‬‬
‫כאשר נעלה את שני האגפים של המשוואה האחרונה בריבוע נקבל את משוואה )‪.(6‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬מהי המשוואה של המעגל הנתון?‬
‫משוואת המעגל הנתון היא‬
‫)‪(7‬‬
‫‪( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫באמצעות השוואה של שתי המשוואות האחרונות מגיעים למסקנה כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה?‬
‫‪90‬‬
‫‪a = 2, b = 4‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪xM = 2, yM = 4‬‬
‫)‪(8‬‬
‫נסיים את פתרון הבעיה בשלוש דרכים שונות‪.‬‬
‫המשך פתרון א'‪.‬‬
‫כדי להבין טוב יותר את טענה )‪ (3‬נשאל את עצמנו‪ :‬מהו פירוש הביטוי "הקטע ‪AB‬‬
‫עובר דרך מרכז המעגל"?‬
‫פירוש הביטוי הוא ש"מרכז המעגל נמצא בתוך הקטע ‪ , AB‬כלומר מרכז המעגל נמצא על‬
‫הקטע ‪ , AB‬אך לא מתלכד עם אף אחד מקצותיו"‪.‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד אפשר להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת בתוך קטע מסוים?‬
‫אם ידועים שיעורים של שלוש נקודות ‪ D , C‬ו‪ E -‬כלשהן‪ ,‬וצריך להוכיח שנקודה ‪E‬‬
‫נמצאת בתוך קטע ‪ , CD‬אפשר לעשות זאת בשלבים הבאים‪ :‬ראשית יש להוכיח כי נקודה‬
‫‪ E‬נמצאת על הישר ‪ ; CD‬לאחר שזה הוכח‪ ,‬נשאר רק להראות כי מתקיים‬
‫‪ xC < xE < xD‬או ‪ xD < xE < xC‬או להראות כי מתקיים ‪ yC < yE < yD‬או‬
‫‪. yD < yE < yC‬‬
‫לפי תוכנית פעולה זו עלינו קודם כל להוכיח כי‬
‫)‪(9‬‬
‫נקודה ‪ M‬נמצאת על הישר ‪. AB‬‬
‫כיצד מוכיחים שנקודה מסוימת נמצאת על ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות?‬
‫אפשר להוכיח שנקודה מסוימת )למשל נקודה ‪ ( E‬נמצאת על ישר העובר דרך שתי‬
‫נקודות נתונות )למשל נקודות ‪ C‬ו‪ ( D -‬בשתי הדרכים הבאות‪ :‬א( קודם למצוא את‬
‫המשוואה של הישר ‪ ; CD‬לאחר מכן להראות כי שיעורי הנקודה ‪ E‬מקיימים את‬
‫המשוואה של הישר ‪ , CD‬ולהסיק שהנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪ CD‬ב( להראות‬
‫שהשיפוע ‪ mCD‬של הישר ‪ CD‬שווה לשיפוע ‪ mCE‬של הישר ‪ , CE‬או להראות ששני‬
‫הישרים מאונכים לציר ה‪. x -‬‬
‫נוכיח את טענה )‪ (9‬בדרך הראשונה ולאחר מכן בדרך השנייה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪91‬‬
‫במטרה למצוא את המשוואה של הישר ‪ AB‬נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מוצאים את‬
‫המשוואה של ישר מסוים?‬
‫בעיות מסוג זה פותרים לעתים קרובות בדרך הבאה‪ :‬מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר‬
‫ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת הנקודות הנמצאות עליו; לאחר מכן מציבים את‬
‫המספרים שנמצאו בנוסחה הבאה למשוואה של ישר עם שיפועו ‪ m‬ואשר עובר דרך‬
‫הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫את השיפוע של הישר ‪ AB‬אפשר לחשב לפי הנוסחה‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫נציב בנוסחה זו את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬נקבל‪:‬‬
‫‪8−0‬‬
‫‪8 4‬‬
‫= =‬
‫‪5 − (−1) 6 3‬‬
‫)‪(10‬‬
‫= ‪. mAB‬‬
‫כעת נוכל למצוא את משוואת הישר ‪ AB‬לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫) ‪y − y A = mAB ( x − x A‬‬
‫‪4‬‬
‫נציב בנוסחה זו את‬
‫‪3‬‬
‫של הישר ‪: AB‬‬
‫= ‪ mAB‬ואת השיעורים של נקודה ‪ A‬ונקבל את המשוואה הבאה‬
‫‪4‬‬
‫)‪( x + 1‬‬
‫‪3‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫= ‪y−0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫נציב במשוואה האחרונה את השיעורים של נקודה ‪) M‬ראו שורה )‪ ,((8‬ונקבל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪⋅2 +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה?‬
‫‪92‬‬
‫שוויון זה שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪4=4‬‬
‫השוויון האחרון הוא פסוק אמת‪ .‬מכאן טענה )‪ (9‬מתקיימת‪.‬‬
‫כעת נוכיח את טענה )‪ (9‬בדרך השנייה‪ :‬נוכיח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪mAB = mAM‬‬
‫)‪(11‬‬
‫את השיפוע של הישר ‪ m AB‬כבר מצאנו‪ ,‬קיבלנו כי‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(12‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫)ראו שורה )‪((10‬‬
‫נחשב את השיפוע ‪ m AM‬של הישר ‪: AM‬‬
‫‪yM − y A‬‬
‫‪4−0‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪xM − x A 2 − (−1) 3‬‬
‫)‪(13‬‬
‫= ‪mAM‬‬
‫משוויון )‪ (12‬ומהתוצאה אשר התקבלה בשורה )‪ (13‬נובע כי שוויון )‪ (11‬מתקיים‪ .‬משוויון‬
‫)‪ (11‬נובע כי טענה )‪ (9‬מתקיימת‪.‬‬
‫כעת נעבור לשלב השני‪:‬‬
‫שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬הם‪:‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪x A = −1 , xB = 5 , xM = 2‬‬
‫על סמך שורה )‪ (14‬מסיקים כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪x A < xM < xB‬‬
‫מטענות )‪ (9‬ו‪ (15)-‬נובע כי נקודה ‪ M‬נמצאת על הישר ‪ AB‬בין הנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬מכאן‬
‫נקודה ‪ M‬נמצאת בתוך הקטע ‪ , AB‬כלומר טענה )‪ (3‬מתקיימת‪.‬‬
‫מטענות )‪ (2‬ו‪ (3)-‬נובע כי טענה )‪ (1‬מתקיימת‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪93‬‬
‫המשך פתרון ב'‪.‬‬
‫הוכחנו לעיל את טענה )‪ (3‬בלי להיעזר בכך שלפני כן הוכחנו את טענה )‪ ,(2‬שלפיה‬
‫הקטע ‪ , AB‬המחבר את הנקודות )‪ A(−1, 0‬ו‪ , B(5,8) -‬הוא מיתר‬
‫במעגל ‪; ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫אילו היינו נעזרים בטענה )‪ (2‬היינו יכולים לדלג על שורות )‪ (14‬ו‪ .(15)-‬כלומר‪ ,‬לאחר‬
‫שהוכחנו את טענה )‪ ,(9‬שלפיה‬
‫הנקודה ‪ M‬נמצאת על הישר ‪, AB‬‬
‫יכולנו להיזכר כי הוכחנו את טענה )‪ ,(2‬ולומר את הדברים הבאים‪:‬‬
‫אם נקודה כלשהי נמצאת על הישר ‪ , AB‬אז היא נמצאת בתוך מיתר ‪ AB‬אך ורק אם‬
‫נקודה זו נמצאת בתוך המעגל הנתון‪ .‬נקודה ‪ M‬נמצאת בתוך המעגל‪ ,‬ולכן טענה )‪(3‬‬
‫מתקיימת‪ .‬מטענות )‪ (2‬ו‪ (3)-‬נובע כי טענה )‪ (1‬מתקיימת‪ .‬מש"ל ‪.‬‬
‫להוכחה הראשונה של טענה )‪ (3‬הגענו לאחר ששאלנו את עצמנו‪ :‬כיצד אפשר להוכיח כי‬
‫נקודה מסוימת נמצאת בתוך קטע מסוים? להוכחה השנייה של טענה )‪ (3‬קל יותר להגיע‬
‫אם שואלים לפחות אחת משתי השאלות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫כיצד אפשר להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת בתוך קטע מסוים אם הקטע הוא‬
‫מיתר במעגל מסוים והנקודה היא מרכז המעגל?‬
‫‬
‫כיצד אפשר להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת בתוך קטע מסוים אם הקטע הוא‬
‫מיתר במעגל מסוים והנקודה נמצאת בתוך המעגל?‬
‫המשך פתרון ג'‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד אפשר להוכיח שנקודה מסוימת נמצאת בתוך קטע מסוים אם‬
‫הקטע הוא מיתר במעגל מסוים והנקודה נמצאת בתוך המעגל?‬
‫נניח שכבר הוכחנו את טענה )‪ ,(3‬אילו מסקנות אפשר להסיק בהסתמך על טענה זו?‬
‫בוודאי נוכל לומר שממנה ומטענה )‪ (2‬נובע כי‬
‫קטע ‪ AB‬הוא קוטר במעגל הנתון‬
‫)זו טענה )‪ (1‬בניסוח אחר(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .8‬לא מפסיקים לשאול‪ :‬מה זה אמא? מה זה?‬
‫‪94‬‬
‫ומה נובע מהטענה האחרונה?‬
‫מטענה זו נובע כי‬
‫)‪(16‬‬
‫מרכז המעגל הנתון הוא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫האם מטענה )‪ (16‬נובע כי טענה )‪ (3‬מתקיימת?‬
‫כן‪ .‬אם נקודה מסוימת היא אמצע של קטע מסוים‪ ,‬אז היא נמצאת בתוך הקטע‪.‬‬
‫כיצד מוכיחים כי נקודה מסוימת היא אמצע של קטע מסוים? רשימת שיטות לפתרון‬
‫בעיות מסוג זה בגיאומטריה אוקלידית תוכלו למצוא בפרק ‪ 12‬בספרי "שיטות חשיבה‬
‫בהנדסת המישור"‪ .‬בגיאומטריה אנליטית קיימת דרך נוספת להוכיח כי נקודה מסוימת‬
‫היא אמצע של קטע מסוים‪ .‬היא מבוססת על שימוש בנוסחות המקשרות בין שיעורים של‬
‫קצות הקטע לבין השיעורים של אמצע הקטע‪ .‬לפיהן עבור השיעורים ‪ xmiddle point of AB‬ו‪-‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪ ymiddle point of‬של אמצע הקטע ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x A + xB‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪AB‬‬
‫‪xmiddle point of‬‬
‫‪y A + yB‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪AB‬‬
‫‪ymiddle point of‬‬
‫נציב בשתי נוסחאות אלו את השיעורים של נקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪−1 + 5‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪AB‬‬
‫‪xmiddle point of‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪0+8‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪AB‬‬
‫‪ymiddle point of‬‬
‫בהסתמך על שורות )‪ (17) ,(8‬ו‪ (18)-‬מסיקים כי לנקודה ‪ M‬ולאמצע הקטע ‪ AB‬יש אותם‬
‫שיעורים‪ .‬הנקודות שיש להן אותם שיעורים מתלכדות זו עם זו‪ .‬לכן נקודה ‪ M‬מתלכדת‬
‫עם אמצע הקטע ‪ , AB‬כלומר טענה )‪ (16‬מתקיימת‪.‬‬
‫כפי שאמרנו קודם‪ ,‬מטענה )‪ (16‬נובע כי טענה )‪ (3‬מתקיימת‪ ,‬ומטענות )‪ (2‬ו‪ (3)-‬נובע כי‬
‫טענה )‪ (1‬מתקיימת‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪95‬‬
‫הערה‪ .‬בהוכחה השנייה של טענה )‪ (3‬נעזרנו בטענה הבאה בלי להוכיח אותה‪ :‬אם נקודה‬
‫כלשהי נמצאת על ישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הנמצאות על מעגל ‪ ,‬אז היא נמצאת‬
‫בתוך מיתר ‪ AB‬אך ורק אם נקודה זו נמצאת בתוך המעגל הנתון‪ .‬אף על פי שאולי לא‬
‫שמים לב לכך‪ ,‬נעזרים בטענה זו לעתים קרובות בלי להוכיח אותה בפתרון בעיות‬
‫בגיאומטריה אוקלידית‪ .‬האם את מה שנראה כמובן מאליו לעין המתבוננת בציור‪ ,‬אפשר‬
‫גם לנמק בקלות? בדקו זאת‪ .‬הוכיחו את הטענה בתור תרגיל‪ .‬רמז‪ :‬עליכם להיעזר בכך‬
‫שמעגל שמרכזו נקודה ‪ M‬ורדיוסו ‪ R‬הוא אוסף של כל הנקודות במישור הנמצאות‬
‫במרחק ‪ R‬מהנקודה ‪ ; M‬הנקודה נמצאת בתוך המעגל אך ורק אם המרחק בינה לבין‬
‫מרכז המעגל קטן מרדיוס המעגל; הנקודה נמצאת מחוץ למעגל אך ורק אם המרחק בינה‬
‫לבין מרכז המעגל גדול מרדיוס המעגל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .9‬ויהי אור‬
‫‪96‬‬
‫‪ .9‬ויהי אור‬
‫‪1‬‬
‫ֹאמר‬
‫ְתה תֹהוּ ָובֹהוּ ְוח ֶֹשׁ ְך עַל‪ְ -‬פּנֵי ְתהוֹם ְורוּ ַח ֱאל ִֹהים ְמ ַר ֶח ֶפת ַעל‪ְ -‬פּנֵי ַה ָמּיִם‪ַ .‬ויּ ֶ‬
‫אָרץ ָהי ָ‬
‫‪ְ ...‬ו ָה ֶ‬
‫ַרא ֱאל ִֹהים ֶאת‪ָ -‬האוֹר ִכּי‪-‬טוֹב ‪...‬‬
‫ֱאל ִֹהים ְי ִהי אוֹר ַו ְי ִהי‪-‬אוֹר‪ַ .‬ויּ ְ‬
‫)בראשית‪ ,‬פרק א'(‬
‫בעיה‬
‫נתון משולש ‪ , ABC‬שקודקודו ‪ B‬נמצא בנקודה )‪ , (6,3‬וצלעו ‪ AC‬נמצאת על ישר‬
‫שמשוואתו ‪ . x + y = 5‬מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ D‬במישור‬
‫המקיימות את התנאי הבא‪ :‬שטח המשולש ‪ ADC‬גדול פי שניים משטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪y‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫נשרטט את משולש ‪, ABC‬‬
‫ונתחיל לשאול את עצמנו שאלות‪.‬‬
‫ראשית נשאל‪ :‬מה אנחנו מתבקשים לעשות‬
‫‪A‬‬
‫)‪B(6,3‬‬
‫בבעיה זו?‬
‫אנו מתבקשים למצוא את המקום הגיאומטרי‬
‫‪C‬‬
‫של כל הנקודות ‪ D‬המקיימות את התנאי הבא‪:‬‬
‫שטח המשולש ‪ ADC‬גדול פי שניים משטח‬
‫המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+ y −5 = 0‬‬
‫כדי להבין את השאלה‪ ,‬עלינו לשפוך אור על כל‬
‫המושגים המופיעים בניסוחה‪.‬‬
‫כאשר מנסים לפתור בעיה מתמטית‪ ,‬יש לברר את משמעותו של כל מושג‪ ,‬הן בנתון בבעיה‪,‬‬
‫נז ָכּר בבעיה גודל כלשהו‬
‫הן בטענה שאותה יש להוכיח והן בגודל שאת ערכו יש לחשב‪ .‬אם ְ‬
‫שלחישובו קיימת נוסחה מסוימת‪ ,‬יש לבדוק אם הנוסחה עשויה לעזור לנו לפתור את‬
‫הבעיה‪ .‬לעתים קרובות‪ ,‬כאשר מתרכזים בהבנת המשמעות של מושג כלשהו בניסוח‬
‫‪ 1‬פרק זה הוא הגרסה המותאמת לגיאומטריה אנליטית של פרק בעל שם זהה בספרי "שיטות חשיבה‬
‫בהנדסת המישור"‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בהנדסת המישור‬
‫‪97‬‬
‫הבעיה‪ ,‬בעזרת השאלות "מה זה?" או "מהי הנוסחה לחישוב גודל זה?"‪ ,‬נפתחת הדלת‬
‫לפתרון הבעיה‪.‬‬
‫בבעיה הנוכחית עלינו למצוא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ D‬המקיימות את‬
‫התנאי הבא‪ :‬שטח המשולש ‪ ADC‬גדול פי שניים משטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫נשאל את עצמנו מהו מקום גיאומטרי‪ .‬הרי לא נוכל למצוא מקום גיאומטרי מסוים בלי‬
‫לדעת כלל מהו מקום גיאומטרי‪.‬‬
‫מקום גיאומטרי של נקודות הוא אוסף כל הנקודות אשר הן‪ ,‬ורק הן‪ ,‬מקיימות תנאי‬
‫מסוים או תכונה מסוימת‪.‬‬
‫כעת מובן שאנו מתבקשים למצוא את אוסף כל הנקודות ‪ D‬במישור‪ ,‬אשר הן‪ ,‬ורק הן‬
‫מקיימות את התנאי‪ ,‬שלפיו שטח המשולש ‪ ADC‬גדול פי שניים משטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫כיוון שמדובר בשטחים של משולשים‪ ,‬נשאל את עצמנו מהי הנוסחה לחישוב שטח של‬
‫משולש?‬
‫הצורה המילולית לבטא נוסחה זו היא‪ :‬שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה‬
‫לאותה צלע‪.‬‬
‫ניסוח זה אינו מדויק‪ .‬בנוסחה המדויקת של שטח משולש משתתפים לא צלע וגובה אלא‬
‫אורכיהם‪ .‬הניסוח המדויק ארוך יותר‪ ,‬וקשה יותר להיזכר בו‪ .‬לכן לעתים קרובות כאשר‬
‫אומרים "צלע" מתכוונים לביטוי "אורך הצלע"‪ ,‬אף על פי שזה לא אותו דבר‪ .‬לפעמים‬
‫עושים טעות בכוונה‪ ,‬כדי להקל על מאזין או על קורא‪ .‬בהקשר זה אספר לכם בדיחה‬
‫תלמידי בשיעור‬
‫ַ‬
‫מורי‪ ,‬ואחר כך סיפרתי אותה לכל‬
‫ששמעתי פעם‪ ,‬לפני שנים רבות‪ ,‬מאחד מ ַ‬
‫הראשון‪:‬‬
‫"מורה אחד אמר לתלמידיו‪ :‬אם כתבתי לא נכון ואמרתי נכון‪ ,‬שימו לב למה שאמרתי; אם אמרתי לא‬
‫נכון וכתבתי נכון‪ ,‬שימו לב למה שכתבתי; אם אמרתי לא נכון וכתבתי לא נכון‪ ,‬שימו לב למה‬
‫שהתכוונתי"‪.‬‬
‫הנוסח המדויק של הנוסחה לחישוב שטח משולש הוא‪ :‬שטח משולש שווה למחצית‬
‫מכפלת אורך הצלע באורך הגובה לאותה צלע‪.‬‬
‫אנחנו יודעים מה הקשר בין השטחים ‪ S ∆ABC‬ו‪ S ∆ADC -‬של המשולשים ‪ ABC‬ו‪: ADC -‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪S ∆ADC = 2 S ∆ABC‬‬
‫)לפי הנתון(‪.‬‬
‫כאשר חושבים על הנוסחה לחישוב שטח משולש‪ ,‬מתעוררת השאלה‪ :‬האם קיים קשר‬
‫כלשהו בין לפחות זוג אחד של צלעות במשולשים אלו?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .9‬ויהי אור‬
‫‪98‬‬
‫כן‪ ,‬לשני המשולשים המדוברים יש צלע משותפת‪ :‬הצלע ‪. AC‬‬
‫ומה אפשר לומר על הגבהים לצלע ‪ AC‬במשולשים ‪ ABC‬ו‪? ADC -‬‬
‫נסמן את אורך הצלע ‪ AC‬ב‪ , b -‬את אורך הגובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬ב‪ , h -‬ואת‬
‫אורך הגובה לצלע זו במשולש ‪ ADC‬ב‪. h′ -‬‬
‫לפי הנוסחה לחישוב שטח משולש מתקיים‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪b⋅h‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, S ∆ABC‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪b ⋅ h′‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪. S ∆ADC‬‬
‫כאשר נציב בשוויון )‪ ,(1‬לפי שוויונים )‪ (2‬ו‪ (3) -‬נקבל‪:‬‬
‫‪b ⋅ h′‬‬
‫‪b⋅h‬‬
‫⋅‪= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪.‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪. h′ = 2 h‬‬
‫)‪(5‬‬
‫קיבלנו כי תנאי )‪ – (1‬המגדיר את המקום הגיאומטרי הנדרש – מתקיים אך ורק אם‬
‫אורך הגובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ADC‬גדול פי שניים מאורך הגובה לצלע זו במשולש‬
‫‪. ABC‬‬
‫בכל נוסחה לחישוב גודל כלשהו – הרשום באגף השמאלי של הנוסחה – אפשר להשתמש‬
‫בשני כיוונים‪ .‬אפשר לחשב את ערך הגודל‪ ,‬אם ידועים הערכים של כל הגדלים המופיעים‬
‫באגף הימני של הנוסחה‪ .‬בעזרת הנוסחה‪ ,‬אפשר גם להרכיב משוואות עבור הגדלים‬
‫המופיעים באגף הימני של הנוסחה‪.‬‬
‫גם בהגדרות של מושגים מתמטיים אפשר להשתמש בשני כיוונים‪ .‬אפשר להיעזר בהגדרה‬
‫של מושג מתמטי המופיע בניסוח הבעיה כדי להבין את משמעותו‪ .‬ישנם גם מקרים שבהם‬
‫צריך להבחין בביטוי המגדיר מושג מתמטי ידוע‪ ,‬ולזהות את המושג‪ .‬אם מצליחים להחליף‬
‫את הביטוי במושג שאותו הוא מגדיר‪ ,‬נפתחת אפשרות להיעזר בכל הידוע על מושג זה‪.‬‬
‫על סמך שוויון )‪ ,(5‬אפשר להסיק שכדי לפתור את הבעיה עלינו למצוא את המקום‬
‫הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ D‬במישור שעבורן אורך הגובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪, ADC‬‬
‫יהיה גדול פי שניים מאורך הגובה לאותה צלע במשולש ‪. ABC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בהנדסת המישור‬
‫‪99‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬מהו אורך הגובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ? ADC‬זהו אורך האנך‬
‫המוּרד מנקודה ‪ D‬אל הישר ‪ . AC‬מצד שני‪" ,‬אורך אנך המוּרד מנקודה אל ישר" הוא‬
‫ביטוי שבאמצעותו מגדירים מרחק בין נקודה לישר‪ .‬לכן המקום הגיאומטרי שעלינו‬
‫למצוא‪ ,‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מהישר ‪ AC‬שווה ל‪-‬‬
‫‪. 2h‬‬
‫וכיצד נחשב את הגודל של ‪? h‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד בכלל אפשר לחשב בגיאומטריה אנליטית‬
‫את אורך הגובה לצלע מסוימת במשולש מסוים?‬
‫על סמך הנאמר לעיל אפשר להסיק כי לפתרון בעיות מסוג זה אפשר להיעזר בנוסחה‬
‫הבאה לחישוב מרחק בין נקודה ) ‪ ( x1 , y1‬לישר ‪: ax + by + c = 0‬‬
‫| ‪| ax1 + by1 + c‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫)אפשר לפתור בעיות מסוג זה גם בדרך הבאה‪ :‬למצוא את נקודת החיתוך של הישר שעליו‬
‫נמצאת הצלע עם הישר שמאונך לישר זה ועובר דרך נקודה ‪ ; B‬ולאחר מכן להיעזר‬
‫בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות(‪.‬‬
‫בעזרת נוסחה )‪ (6‬מקבלים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2 2‬יח' =‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫|‪| 6+ 3−5‬‬
‫‪12 + 12‬‬
‫=‪h‬‬
‫)נעזרנו במשוואה ‪ x + y − 5 = 0‬של הישר ‪ AC‬ובשיעורי הנקודה ‪.( B‬‬
‫מכאן ומהנאמר לעיל על המקום הגיאומטרי שעלינו למצוא נובע כי מקום גיאומטרי זה‬
‫הוא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק של ‪ 4 2‬יחידות מן‬
‫הישר ‪ . x + y = 5‬בעזרת נוסחה )‪ (6‬מקבלים כי הנקודה ) ‪ ( x, y‬שייכת למקום הגיאומטרי‬
‫האחרון אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪=4 2‬‬
‫|‪| x + y −5‬‬
‫‪12 + 12‬‬
‫קיבלנו את המשוואה של המקום הגיאומטרי אשר התבקשנו למצוא‪ .‬היא שקולה‬
‫למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪| x + y − 5 |= 8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .9‬ויהי אור‬
‫‪100‬‬
‫נקודה במישור מקיימת את המשוואה האחרונה אך ורק אם היא מקיימת את המשוואה‬
‫‪x+ y −5 =8‬‬
‫)‪(7‬‬
‫או את המשוואה‬
‫‪x + y − 5 = −8‬‬
‫)‪(8‬‬
‫משוואה )‪ (7‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x + y − 13 = 0‬‬
‫)‪(9‬‬
‫ואילו משוואה )‪ (8‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x+ y +3= 0‬‬
‫)‪(10‬‬
‫מכאן המקום הגיאומטרי אשר התבקשנו למצוא הוא האיחוד של הישרים‬
‫‪ ℓ1 : x + y − 13 = 0‬ו‪ . ℓ 2 : x + y + 3 = 0 -‬שני הישרים מקבילים לישר ‪ AC‬ונמצאים‬
‫במרחק של ‪ 4 2‬יחידות ממנו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2h‬‬
‫)‪B(6,3‬‬
‫‪x + y − 13 = 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h=2 2‬‬
‫‪H‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x+ y +3= 0‬‬
‫‪x+ y −5 = 0‬‬
‫‪2h‬‬
‫‪D‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪101‬‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית‬
‫נסעתי עם בני במכונית‪ ,‬כאשר הוא נהג בה‪ .‬כשעשה סיבוב פרסה שמעתי לפתע את החבטה של‬
‫הגלגל האחורי על קצה המדרכה‪" .‬עשיתי את סיבוב הפרסה טוב מדיי‪ ",‬אמר הבן‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונים ישרים ‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬ו‪. ℓ 2 : y = 5 x − 3 -‬‬
‫א( מצאו )עם דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה( את הזווית החדה בין שני הישרים‪.‬‬
‫ב( מצאו )עם דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה( את הזווית בין הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ℓ 2 -‬‬
‫שבתוכה נמצאת הנקודה )‪. A(2, 6‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון לסעיף א'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף א' של הבעיה?‬
‫‪1‬‬
‫צריך למצוא )עם דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה( את הזווית החדה בין הישרים‬
‫‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬ו ‪. ℓ 2 : y = 5 x − 3 -‬‬
‫כיצד מוצאים את הזווית החדה בין שני ישרים מסוימים במישור?‬
‫עבור אחת מהזוויות הצמודות בין הישרים ‪ y = m1 x + n1‬ו‪ y = m2 x + n2 -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪tan α1 − tan α 2‬‬
‫‪m − m2‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪1 + tan α1 ⋅ tan α 2 1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ) ‪tan α = tan(α1 − α 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪α‬‬
‫‪y = m1 x + n1‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪y = m2 x + n2‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫אם שני ישרים נחתכים‪ ,‬הם יוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות‪ .‬זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪ .‬כל זוג‬
‫של זוויות לא קודקודיות מתוך ארבע זוויות אלו הן זוויות צמודות‪ ,‬וסכומן שווה ל‪ . 180° -‬לכן אם שני‬
‫הישרים לא מאונכים זה לזה‪ ,‬הם יוצרים זוג של זוויות חדות ששוות זו לזו וזוג של זוויות קהות ששוות זו‬
‫לזו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית‬
‫‪102‬‬
‫אם‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫‪,‬‬
‫אז זווית ‪ α‬היא זווית חדה )כלומר ‪ ,( 0° < α < 90°‬ואילו אם‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪<0‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫‪,‬‬
‫אז זווית ‪ α‬היא זווית קהה )כלומר ‪ ( 90° < α < 180°‬והזווית ‪ 180° − α‬היא הזווית‬
‫החדה בין שני הישרים‪ .‬עבור הזווית ‪ 180° − α‬מתקיים‪:‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪m − m1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2 1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫‪tan(180° − α ) = − tan α = −‬‬
‫מכאן את הזווית החדה ‪ ϕ‬בין ישרים ‪ y = m1 x + n1‬ו‪ y = m2 x + n2 -‬אפשר לחשב לפי‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ‪tan ϕ‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫נציין שאם ‪ , 1 + m1 ⋅ m2 = 0‬אז הביטוי‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫לא מוגדר ‪ .‬במקרה זה שני הישרים‬
‫מאונכים זה לזה‪ .‬אם ‪ , m1 = m2‬אז הישרים מקבילים זה לזה או מתלכדים זה עם זה‪.‬‬
‫השיפוע ‪ m1‬של הישר ‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬הוא‬
‫)‪(2‬‬
‫‪. m1 = 3‬‬
‫השיפוע ‪ m2‬של הישר ‪ ℓ 2 : y = 5 x − 3‬הוא‬
‫)‪(3‬‬
‫‪m2 = 5‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (1‬לפי שורות )‪ (2‬ו‪ ,(3)-‬ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪103‬‬
‫‪3−5‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1+ 3⋅5 8‬‬
‫= ‪tan ϕ‬‬
‫מכאן הזווית החדה בין הישרים הנתונים היא‬
‫‪ϕ ≈ 7.125°‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון לסעיף ב'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף ב' של הבעיה?‬
‫צריך למצוא )עם דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה( את הזווית בין הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ℓ 2 -‬‬
‫שבתוכה נמצאת נקודה )‪. A(2, 6‬‬
‫כיצד מחשבים זווית מסוימת מבין הזוויות אשר יוצרים ישרים ‪ y = m1 x + n1‬ו‪-‬‬
‫‪? y = m2 x + n2‬‬
‫הבה נסובב את השוק של הזווית הנמצאת על הישר ‪ y = m1 x + n1‬סביב נקודת החיתוך‬
‫של שני הישרים‪ ,‬עד שהיא תתלכד עם השוק השנייה של הזווית‪ .‬ברגעי ביניים‪ ,‬כשהשוק‬
‫המסתובבת לא נמצאת על אף אחד מהישרים המדוברים‪ ,‬היא )פרט לנקודת החיתוך של‬
‫שני הישרים( צריכה להיות בתוך הזווית אשר צריך לחשב‪ .‬אם הסיבוב יתבצע בכיוון סיבוב‬
‫מחוגי השעון‪ ,‬אז עבור הזווית ‪ α‬אשר צריך לחשב מתקיים‪:‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫ואם הסיבוב יתבצע בניגוד לכיוון מחוגי השעון‪ ,‬אז‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪m − m1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2 1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫‪tan α = −‬‬
‫באיזו מנוסחאות אלו עלינו להשתמש לפתרון הבעיה?‬
‫נוכל לענות על שאלה זו אם נדע באיזה כיוון עלינו לסובב את השוק של הזווית המדוברת‬
‫הנמצאת על הישר ‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬סביב נקודת החיתוך של ישר זה עם הישר‬
‫‪ , ℓ 2 : y = 5 x − 3‬עד שהיא תתלכד עם השוק השנייה של אותה זווית )השוק השנייה של‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית‬
‫‪104‬‬
‫הזווית נמצאת על הישר ‪ .( ℓ 2‬כפי שאמרנו‪ ,‬ברגעי ביניים‪ ,‬כשהשוק המסתובבת לא נמצאת‬
‫על אף אחד מהישרים ‪ ℓ1‬ו‪ , ℓ 2 -‬היא )פרט לנקודת החיתוך של שני הישרים( צריכה להיות‬
‫בתוך הזווית אשר צריך לחשב‪.‬‬
‫אוסף של כל הנקודות הנמצאות בתוך אחת מארבע הזוויות אשר יוצרים הישרים‬
‫‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬ו‪ ℓ 2 : y = 5 x − 3 -‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות מעל כל אחד משני הישרים; אוסף של כל הנקודות הנמצאות בתוך הזווית‬
‫השנייה אשר יוצרים הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות מעל הישר ‪ ℓ1‬ומתחת לישר ‪ ; ℓ 2‬אוסף של כל הנקודות הנמצאות בתוך הזווית‬
‫השלישית מתוך ארבע הזוויות המדוברות היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות מתחת לישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ; ℓ 2 -‬אוסף של כל הנקודות הנמצאות בתוך הזווית הרביעית‬
‫מתוך ארבע הזוויות המדוברות היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות‬
‫מתחת לישר ‪ ℓ1‬ומעל לישר ‪ . ℓ 2‬נשאל את עצמנו‪ :‬בתוך איזו מארבע זוויות אלו נמצאת‬
‫נקודה )‪? A(2, 6‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נעביר דרך נקודה )‪ A(2, 6‬את הישר ‪ , ℓ 3‬המקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫משוואה של ישר זה היא ‪ . x = 2‬הוא חותך את הישר ‪ ℓ1‬בנקודה )‪ B(2,5‬ואת הישר ‪ℓ 2‬‬
‫בנקודה )‪. C (2, 7‬‬
‫מהאי‪-‬שוויונים‬
‫‪yB < y A < yC‬‬
‫נובע כי נקודה )‪ A(2, 6‬נמצאת מעל הישר ‪ ℓ1‬ומתחת לישר ‪ . ℓ 2‬לכן‬
‫)‪(4‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת בתוך אותה זווית שאוסף כל הנקודות הנמצאות בתוכה‬
‫הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות מעל הישר ‪ℓ1‬‬
‫ומתחת לישר ‪. ℓ 2‬‬
‫ננסה לקבל מידע נוסף על אודות זווית זו‪ .‬קודם כל נמצא את השיעורים של עוד נקודה‪:‬‬
‫נקודת החיתוך של הישרים ‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬ו‪ . ℓ 2 : y = 5 x − 3 -‬נסמן נקודה זו ב‪. D -‬‬
‫כאשר נפתור את מערכת המשוואות‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪105‬‬
‫‪ y = 3x − 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 5x − 3‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫)‪D(1, 2‬‬
‫מהאי‪-‬שוויון‬
‫‪yB < yC‬‬
‫נובע כי‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת מעל הישר ‪ ℓ1‬ונקודה ‪ B‬נמצאת מתחת לישר ‪. ℓ 2‬‬
‫מכאן‬
‫אוסף של כל הנקודות הנמצאות בתוך הזווית ‪( ∡BDC < 180° ) BDC‬‬
‫)‪(5‬‬
‫הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות מעל הישר ‪ℓ1‬‬
‫ומתחת לישר ‪. ℓ 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ℓ3 : x = 2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ℓ1‬‬
‫‪ℓ2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית‬
‫‪106‬‬
‫מטענות )‪ (4‬ו‪ (5)-‬נובע כי‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת בתוך הזווית ‪.( ∡BDC < 180° ) BDC‬‬
‫לכן‬
‫הזווית אשר אנחנו מתבקשים לחשב בסעיף ב' של הבעיה היא זווית ‪. BDC‬‬
‫כפי שהוכנו לעיל‪ ,‬נקודה ‪ C‬נמצאת מעל הישר ‪ . ℓ1‬מכאן ומהאי‪-‬שוויון‬
‫‪xD < xB‬‬
‫נובע שאם נסובב סביב נקודה ‪ D‬את הקרן ‪ DB‬עד שהיא תתלכד עם הקרן ‪ , DC‬כך‬
‫שברגעי ביניים הקרן המסתובבת )פרט לנקודה ‪ ( D‬תהיה בתוך הזווית ‪ , BDC‬אז הסיבוב‬
‫יתבצע נגד כיוון מחוגי השעון‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪5−3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1+ 3⋅5 8‬‬
‫= ) ‪. tan(∡BDC‬‬
‫מכאן נובע כי הזווית אשר התבקשנו לחשב שווה בערך ל‪. 7.125° -‬‬
‫אפשר לחשב את הזווית ‪ BDC‬בעזרת השוויון‪:‬‬
‫ ‬
‫‪DB ⋅ DC‬‬
‫ = ) ‪cos(∡BDC‬‬
‫| ‪| DB | ⋅ | DC‬‬
‫)‪(6‬‬
‫בהסתמך על השיעורים של הנקודות ‪ C , B‬ו‪ D -‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‬
‫)‪DB = (2 − 1,5 − 2) = (1,3‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‬
‫)‪DC = (2 − 1, 7 − 2) = (1,5‬‬
‫בהסתמך על שוויון )‪ (6‬ועל התוצאות שקיבלנו בשורות )‪ (7‬ו‪ ,(8)-‬נקבל‪:‬‬
‫‪≈ 0.992278‬‬
‫‪16‬‬
‫‪260‬‬
‫=‬
‫‪1⋅1 + 3 ⋅ 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 +3 ⋅ 1 +5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪cos(∡BDC‬‬
‫מכאן‬
‫‪∡BDC ≈ 7.125°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪107‬‬
‫הערה ‪ .1‬אילו היינו מתבקשים למצוא את הזווית בין הישרים ‪ ℓ1 : y = 3 x − 1‬ו‪-‬‬
‫‪ ℓ 2 : y = 5 x − 3‬שבתוכה נמצאת נקודה )‪ E (2,8‬היינו אומרים את הדברים הבאים‪:‬‬
‫מהאי‪-‬שוויונים‬
‫‪yB < yC < yE‬‬
‫נובע כי נקודה ‪ E‬נמצאת מעל הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ . ℓ 2 -‬לכן נקודה ‪ E‬נמצאת בתוך אותה זווית‬
‫שאוסף כל הנקודות הנמצאות בתוכה הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות מעל הישרים ‪ ℓ1‬ו‪. ℓ 2 -‬‬
‫הזווית שאוסף כל הנקודות הנמצאות בתוכה הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫במישור הנמצאות מעל הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬היא זווית צמודה לזווית שאוסף כל הנקודות‬
‫הנמצאות בתוכה הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות מעל הישר ‪ℓ1‬‬
‫ומתחת לישר ‪ , ℓ 2‬כלומר היא צמודה לזווית ‪ . BDC‬מהנאמר לעיל נובע כי בבעיה זו צריך‬
‫לחשב את הזווית ‪ α‬הצמודה לזווית ‪ . BDC‬כדי לחשב את הזווית ‪ α‬היה עלינו לחשב‬
‫קודם את הזווית ‪ , BDC‬כפי שנעשה לעיל‪ ,‬ולאחר מכן היינו משתמשים בשוויון‬
‫‪. α = 180° − ∡BDC‬‬
‫הערה ‪ .2‬אחד מכל זוג זוויות צמודות בין ישרים ‪ L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0‬ו‪-‬‬
‫‪ L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0‬שווה לזווית בין הווקטור ) ‪ n1 = (a1 , b1‬הניצב לישר ‪ L1‬לבין‬
‫הווקטור ) ‪ n 2 = (a2 , b2‬הניצב לישר ‪ . L2‬לכן את הזווית החדה ‪ ϕ‬בין ישרים ‪ L1‬ו‪L2 -‬‬
‫אפשר לחשב בעזרת הנוסחה‬
‫| ‪| a1a2 + b1b2‬‬
‫= ‪cos ϕ‬‬
‫‪a12 + b12 ⋅ a2 2 + b2 2‬‬
‫הערה ‪ .3‬אוסף כל הנקודות שאינן נמצאות על ישר ‪ , L‬אשר מיוצג על ידי משוואה‬
‫‪ , ax + by + c = 0‬הוא איחוד של שני חצאי מישורים‪ .‬עבור כל נקודה באחד מהם מתקיים‬
‫האי‪-‬שוויון ‪ , ax + by + c > 0‬ואילו עבור כל נקודה בחצי המישור השני מתקיים האי‪-‬‬
‫שוויון ‪ . ax + by + c < 0‬חצי המישור הראשון נקרא חצי מישור חיובי ביחס למשוואה‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .10‬מחפשים זווית‬
‫‪108‬‬
‫‪ ax + by + c = 0‬של הישר ‪ , L‬ואילו חצי המישור השני נקרא חצי המישור השלילי ביחס‬
‫לאותה משוואה‪.‬‬
‫אם נכפיל את המשוואה הכללית של הישר במספר שלילי כלשהו‪ ,‬חצי המשור החיובי‬
‫וחצי המישור השלילי יתחלפו במקומותיהם‪.‬‬
‫קיים משפט שלפיו‪ :‬אם נקודת ההתחלה של הווקטור )‪ n = (a, b‬הניצב לישר‬
‫‪ L : ax + by + c = 0‬מונחת על הישר‪ ,‬אז נקודת סוף הווקטור נמצאת בחצי המישור‬
‫החיובי ביחס למשוואה ‪ ax + by + c = 0‬של הישר‪.‬‬
‫בעזרת משפט זה אפשר לפתור את סעיף ב' של הבעיה מהר יותר מאשר פתרנו אותו לעיל‪.‬‬
‫נסו למצוא את הפתרון בעצמכם‪.‬‬
‫חשוב לציין לגבי המשפט האחרון‪ ,‬שהמושג "חצי המישור החיובי" הנזכר בו והמושג‬
‫"חצי המישור השלילי" הנזכר לפני כן מעולם לא היו כלולים בתוכנית הלימודים לתלמידי‬
‫בתי ספר תיכוניים‪ ,‬ולכן אין להשתמש בהם במבחני הבגרות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪109‬‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫אב שואל את בתו הלומדת בבית ספר יסודי‪" :‬להכין לך פיתה שלמה לבית הספר או רק חצי?"‬
‫הבת‪" :‬חצי פיתה‪".‬‬
‫"טוב‪ ",‬אומר האב‪" ,‬אכין לך שני חצאים‪ ,‬אולי מישהו מחברייך יבקש ממך להתחלק עמו ולא יישאר‬
‫לך מה לאכול‪".‬‬
‫הבת‪" :‬אז תכין לי‪ ,‬אבא‪ ,‬עשרים וארבעה חצאי פיתות‪".‬‬
‫"למה רק עשרים וארבעה?" שואל האב וחיוך על פניו‪" ,‬הרי בכיתה שלך יש שלושים ושלושה‬
‫תלמידים‪".‬‬
‫"תשעה תלמידים מהכיתה לא חברים שלי‪".‬‬
‫בעיה‪ .‬נתון משולש ‪ . ABC‬משוואת הישר ‪ AB‬היא ‪ ; y = 2 x − 13‬משוואת הישר ‪AC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫היא ‪x + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ; y‬משוואת חוצה הזווית ‪ ABC‬היא ‪. y = −3x + 22‬‬
‫א‪ .‬מצאו את משוואת המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הישר ‪. BC‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון לסעיף א'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף א' של הבעיה?‬
‫צריך למצוא את משוואת המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫מהי הנוסחה למשוואת המעגל?‬
‫הנוסחה למשוואת המעגל שמרכזו )‪ M (a, b‬ורדיוסו ‪ R‬היא‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪( x − a ) 2 + ( y − b)2 = R 2‬‬
‫מה עלינו למצוא על מנת שנוכל להיעזר בנוסחה זו לפתרון הבעיה?‬
‫עלינו למצוא את השיעורים של מרכז המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬ואת הרדיוס שלו‪.‬‬
‫האם קיים משפט גיאומטרי כלשהו שבו מדובר על מרכז מעגל החסום במשולש?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫‪110‬‬
‫כן‪ .‬קיים משפט שלפיו‪ :‬מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי‬
‫הזוויות של המשולש‪ .‬אם יהיו ברשותנו משוואות של שני חוצי זוויות במשולש הנתון‪ ,‬אז‬
‫נוכל למצוא את השיעורים של מרכז המעגל החסום במשולש זה‪.‬‬
‫מה נתון?‬
‫בין היתר נתונה משוואה של חוצה הזווית ‪ . ABC‬המשוואה היא‬
‫‪. y = −3x + 22‬‬
‫עלינו לנסות למצוא משוואה של עוד אחד מחוצי הזוויות במשולש הנתון‪.‬‬
‫מה עוד נתון בבעיה?‬
‫‪1‬‬
‫נתונות משוואות של שוקי הזווית ‪ . BAC‬לפי הנתון בבעיה‪ ,‬משוואת הישר ‪ AB‬היא‬
‫‪y = 2 x − 13‬‬
‫)‪(2‬‬
‫ומשוואת הישר ‪ AC‬היא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫=‪.y‬‬
‫כיצד מוצאים את המשוואה של חוצה זווית מסוים אם ידועות המשוואות של שוקי‬
‫הזווית?‬
‫באחת הדרכים לפתרון בעיות מסוג זה נעזרים במשפט שלפיו‪ :‬חוצה הזווית הוא המקום‬
‫הגיאומטרי של כל נקודות הנמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית )ומונחות בתוך‬
‫הזווית(‪.‬‬
‫על מנת שנוכל להיעזר במשפט גיאומטרי זה עלינו לדעת לחשב מרחק בין נקודה לישר‪.‬‬
‫כיצד מחשבים מרחק בין נקודה לישר? האם קיימת נוסחה למציאת המרחק בין נקודה‬
‫לישר?‬
‫את המרחק )‪ d ( P, ℓ‬בין נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬לישר ‪ ℓ : ax + by + c = 0‬אפשר לחשב לפי‬
‫הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫| ‪| ax1 + by1 + c‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫= )‪d ( P , ℓ‬‬
‫משוואה )‪ (2‬של הישר ‪ AB‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪ 1‬ליתר דיוק‪ :‬נתונות משוואות של הישרים שעליהם נמצאות שוקי הזווית הזו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪111‬‬
‫‪−2 x + y + 13 = 0‬‬
‫)‪(5‬‬
‫משוואה )‪ (3‬של הישר ‪ AC‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪−x + 2 y − 7 = 0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫לכן אילו היינו מתבקשים למצוא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות במרחקים שווים מהישרים ‪ AB‬ו‪ , AC -‬היינו אומרים קודם כי מרחק בין‬
‫נקודה שרירותית ) ‪ Q( x, y‬במישור נמצאת במרחק‬
‫)‪(7‬‬
‫| ‪| −2 x + y + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫| ‪| −2 x + y + 13‬‬
‫=‬
‫‪(−2) 2 + 12‬‬
‫= ) ‪d (Q, ℓ AB‬‬
‫מהישר ‪ , AB‬ובמרחק‬
‫)‪(8‬‬
‫| ‪| −x + 2 y − 7‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫| ‪| −x + 2 y − 7‬‬
‫‪(−1) 2 + 22‬‬
‫= ) ‪d (Q, ℓ AC‬‬
‫מהישר ‪ . AC‬לאחר מכן היינו אומרים שמשורות )‪ (7‬ו‪ (8)-‬נובע כי השוויון‬
‫) ‪d (Q, ℓ AB ) = d (Q, ℓ AC‬‬
‫מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫| ‪| −x + 2 y − 7‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫| ‪| −2 x + y + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫מכאן נובע כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות במרחקים שווים‬
‫מהישרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬היא איחוד הישרים‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪−x + 2 y − 7‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪−2 x + y + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ℓ1 :‬‬
‫ו‪-‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪−x + 2 y − 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪−2 x + y + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ℓ2 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫‪112‬‬
‫הישרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬יוצרים ארבע זוויות‪ .‬באחת מהן חוצה הזווית עובר מעל הישרים‬
‫‪ AB‬ו‪ , AC -‬בשנייה – מעל הישר ‪ AB‬ומתחת לישר ‪ , AC‬בשלישית – מתחת לישרים‬
‫‪ AB‬ו‪ , AC -‬וברביעית – מעל הישר ‪ AC‬ומתחת לישר ‪ . AB‬ישר )‪ (9‬חוצה שתיים מארבע‬
‫זוויות אלו; ישר )‪ (10‬חוצה את שתי הזוויות האחרות‪ .‬עלינו לברר איזו מארבע הזוויות‬
‫אשר נוצרו על ידי הישרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬היא זווית ‪ BAC‬במשולש ‪ , ABC‬אחרת לא נוכל‬
‫לקבוע על איזה מישרים )‪ (9‬ו‪ (10)-‬נמצא חוצה הזווית ‪. BAC‬‬
‫כיצד נעשה זאת? אולי עלינו פשוט לשרטט את הישרים ‪ AC , AB‬וחוצה הזווית ‪ABC‬‬
‫במערכת הצירים‪ ,‬ולפי השרטוט לקבוע איזו מארבע הזוויות אשר נוצרו על ידי הישרים‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬היא הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪? ABC‬‬
‫חשוב לציין כי מתמטיקאי יכול להיעזר בשרטוט כדי לאייר את תנאי הבעיה או את‬
‫רעיונותיו‪ .‬שרטוט יכול לעזור לו להגיע לרעיון‪ ,‬אך הוא עלול גם להטעות‪ .‬מתמטיקאי אינו‬
‫רשאי לומר כי משרטוט נובע כי טענה זו או אחרת מתקיימת‪.‬‬
‫נקבע איזו מארבע הזוויות אשר נוצרו על ידי הישרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬היא הזווית ‪BAC‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬בלי לאייר את דברינו בציור‪ 2.‬נמצא את שיעוריה של נקודה כלשהי‬
‫שנמצאת בתוך המשולש ‪ . ABC‬לאחר מכן יהיה קל יותר לאתר את הזווית ‪BAC‬‬
‫המדוברת‪.‬‬
‫נסמן ב‪ D -‬את נקודת החיתוך של חוצה הזווית ‪ ABC‬עם הצלע ‪ AC‬של המשולש‬
‫המדובר‪ ,‬וב‪ E -‬את אמצע הקטע ‪. BD‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת בתוך המשולש ‪ . ABC‬אם נמצא את השיעורים של נקודות ‪ B‬ו‪, D -‬‬
‫נוכל למצוא את השיעורים של נקודה ‪ E‬לפי הנוסחאות הבאות‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪xB + xD‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xE‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪y B + yD‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yE‬‬
‫כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ D‬צריך לפתור את המערכת‬
‫‪2‬‬
‫ראו ציור בסוף הפרק‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪113‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = x + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −3x + 22‬‬
‫)‪(13‬‬
‫המורכבת ממשוואות הישרים ‪ AC‬ו‪. BE -‬‬
‫כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ B‬צריך לפתור את המערכת‬
‫‪ y = 2 x − 13‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −3 x + 22‬‬
‫)‪(14‬‬
‫המורכבת ממשוואות הישרים ‪ AB‬ו‪. BE -‬‬
‫לאחר שנפתור את מערכת )‪ (13‬ואת מערכת )‪ (14‬נקבל כי‬
‫‪2 1‬‬
‫)‪D (5 , 6 ) , B (7,1‬‬
‫‪7 7‬‬
‫)‪(15‬‬
‫כאשר נציב את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪ D -‬בשוויונים )‪ (11‬ו‪ ,(12)-‬נקבל‬
‫‪2‬‬
‫‪5 +7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xE = 7‬‬
‫‪=6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 +1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪yE = 7‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬האם נקודה ‪ E‬נמצאת מעל או מתחת לישר ‪? AB‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מבררים אם נקודה מסוימת נמצאת מעל‬
‫או מתחת לישר מסוים?‬
‫כדי לברר אם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל הישר ‪ , ℓ‬שאינו מאונך לציר ה‪ , x -‬או‬
‫מתחתיו‪ ,‬מתבוננים בנקודת החיתוך של הישר ‪ ℓ‬עם הישר העובר דרך נקודה ‪ P‬ומאונך‬
‫לציר ה‪ . x -‬אם שיעור ה‪ y -‬של נקודת חיתוך זו הוא ‪ , y2‬ומתקיים ‪ , y1 > y2‬אז נקודה ‪P‬‬
‫נמצאת מעל הישר ‪ ; ℓ‬אם מתקיים ‪ , y1 < y2‬אז נקודה ‪ P‬נמצאת מתחת לישר ‪. ℓ‬‬
‫אפשר לפתור בעיות מסוג זה בהסתמך על הטענות הבאות‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫‪114‬‬
‫)‪(16‬‬
‫)‪(17‬‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל ישר ‪ ( b > 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬אך‬
‫ורק אם מתקיים‪; ax1 + by1 + c > 0 :‬‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מתחת לישר ‪ ( b > 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬אך‬
‫ורק אם מתקיים‪. ax1 + by1 + c < 0 :‬‬
‫)הוכחנו את הטענות בפרק ‪.(7‬‬
‫‪1 4‬‬
‫כדי לברר אם נקודה ) ‪ E (6 ,3‬נמצאת מעל או מתחת לישר ‪ , AB‬ניעזר במשוואה‬
‫‪7 7‬‬
‫כללית )‪ (5‬של ישר זה‪ .‬נציב את שיעורי נקודה ‪ E‬בביטוי הרשום באגף השמאלי של‬
‫משוואה )‪ ,(5‬ונקבל ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪−2 ⋅  6  + 3 + 13 > 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 7‬‬
‫מכאן נובע )לפי טענה )‪ ((16‬כי‬
‫)‪(18‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת מעל הישר ‪. AB‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬הנקודה ‪ E‬נמצאת מעל או מתחת לישר ‪? AC‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נציב את שיעורי נקודה ‪ E‬בביטוי הרשום באגף השמאלי של‬
‫המשוואה הכללית )‪ (6‬של ישר ‪ , AC‬ונקבל ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪−6 + 2 ⋅  3  − 7 < 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 7‬‬
‫מכאן נובע )לפי טענה )‪ ((17‬כי‬
‫)‪(19‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת מתחת לישר ‪. AC‬‬
‫כל משולש הוא מצולע קמור‪ .‬לכן עבור כל אחת משוקי הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪ABC‬‬
‫מתקיים התנאי הבא‪ :‬חוצה הזווית ‪) BAC‬פרט לנקודה ‪ ( A‬ונקודה ‪ E‬נמצאים מהצד‬
‫האחד של הישר שעליו נמצאת השוק של הזווית ‪ . BAC‬מכאן ומטענות )‪ (18‬ו‪ (19)-‬נובע כי‬
‫)‪(20‬‬
‫חוצה הזווית ‪) BAC‬פרט לנקודה ‪ ( A‬במשולש ‪ ABC‬נמצא מעל הישר‬
‫‪ AB‬ומתחת לישר ‪. AC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪115‬‬
‫כעת נוסיף כמה מילים בנוגע למרחק בין נקודה לישר‪ ,‬אשר יאפשרו לנו להיעזר בטענה‬
‫)‪ (20‬להרכבת משוואה של חוצה הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪ , ABC‬בהסתמך על המשפט‬
‫שלפיו‪ :‬חוצה הזווית הוא המקום הגיאומטרי של כל נקודות הנמצאות במרחקים שווים‬
‫משוקי הזווית )ומונחות בתוך הזווית(‪.‬‬
‫הבה נתבונן שוב בנוסחה )‪ (4‬לחישוב מרחק בין נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬לישר‬
‫‪ ℓ : ax + by + c = 0‬ובטענות )‪ (16‬ו‪ .(17)-‬מה אפשר לומר בהסתמך על טענות )‪ (16‬ו‪(17)-‬‬
‫על הביטוי | ‪ | ax1 + by1 + c‬הרשום באגף הימני של נוסחה )‪?(4‬‬
‫מטענות )‪ (16‬ו‪ (17)-‬נובע שאם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל ישר ‪ℓ : ax + by + c = 0‬‬
‫) ‪ ,( b > 0‬אז ‪ , | ax1 + by1 + c |= ax1 + by1 + c‬ואם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מתחת לישר‬
‫‪ ,( b > 0 ) ℓ : ax + by + c = 0‬אז )‪) . | ax1 + by1 + c |= −(ax1 + by1 + c‬נציין שאם‬
‫נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת על הישר ‪ , ℓ : ax + by + c = 0‬אז ‪ , ax1 + by1 + c = 0‬ולפיכך‬
‫במקרה זה מתקיים‪.( | ax1 + by1 + c |= ±(ax1 + by1 + c) :‬‬
‫לכן‬
‫אם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל הישר ‪) ℓ : ax + by + c = 0‬או על ישר‬
‫)‪(21‬‬
‫זה( ומתקיים‪ , b > 0 :‬אז עבור המרחק )‪ d ( P, ℓ‬בין הנקודה ‪ P‬לישר ‪ℓ‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ax1 + by1 + c‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫= )‪; d ( P, ℓ‬‬
‫אם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מתחת לישר ‪ ℓ : ax + by + c = 0‬ומתקיים‪:‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪ , b > 0‬אז עבור המרחק )‪ d ( P, ℓ‬בין נקודה ‪ P‬לישר ‪ ℓ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ax1 + by1 + c‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫‪d ( P , ℓ) = −‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫‪116‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ , b > 0‬אז‬
‫אם נקודה ) ‪ P ( x1 , y1‬נמצאת מעל הישר ‪ d ( P, ℓ),‬‬
‫‪‬‬
‫‪) ℓ : ax + by + c = 0‬או על ישר זה(‬
‫‪ax1 + by1 + c ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫אם נקודה ) ‪ P ( x , y‬נמצאת מתחת ‪ −d ( P, ℓ),‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪+‬‬
‫‪by‬‬
‫‪+‬‬
‫לישר ‪c = 0‬‬
‫‪‬‬
‫על סמך טענות )‪ (21) ,(20‬ו‪ (22)-‬מסיקים שעבור נקודה שרירותית ) ‪ Q( x, y‬על חוצה‬
‫הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪) ABC‬ויתרה מזאת‪ ,‬עבור כל נקודה שרירותית ) ‪ Q( x, y‬בתוך‬
‫הזווית ‪ ( BAC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪−2 x + y + 13‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪−2 x + y + 13‬‬
‫‪(−2) 2 + 12‬‬
‫= ) ‪d (Q, ℓ AB‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪−x + 2 y − 7‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪5‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪−x + 2 y − 7‬‬
‫‪(−1) 2 + 22‬‬
‫‪d (Q, ℓ AC ) = −‬‬
‫)בשורה )‪ (23‬השתמשנו במשוואה )‪ (5‬של הישר ‪ , AB‬בשורה )‪ (24‬השתמשנו במשוואה )‪(6‬‬
‫של הישר ‪.( AC‬‬
‫כעת ניעזר במשפט שלפיו‪ :‬חוצה הזווית הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫הנמצאות במרחקים שווים משוקי הזווית )ונמצאות בתוך הזווית(‪ .‬בהסתמך על משפט זה‬
‫ועל שורות )‪ (23‬ו‪ (24)-‬מסיקים כי חוצה הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪ ABC‬נמצא על הישר‬
‫‪−x + 2 y − 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪−2 x + y + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪.y = x−2‬‬
‫כעת ברשותנו משוואות של חוצה הזווית ‪ ABC‬וחוצה הזווית ‪ BAC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫אם נפתור את המערכת‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪117‬‬
‫‪ y = −3 x + 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = x − 2‬‬
‫נקבל כי מרכז המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬נמצא בנקודה )‪ . M (6, 4‬רדיוס ‪ R‬של מעגל‬
‫זה שווה למרחק בין נקודה ‪ M‬לישר ‪ . AB‬לכן‬
‫‪5‬‬
‫יח' =‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪−2 ⋅ 6 + 4 + 13‬‬
‫‪5‬‬
‫== ) ‪R = d ( M , ℓ AB‬‬
‫)יכולנו להיעזר בכך ש‪.( R = d ( M , ℓ AC ) -‬‬
‫כעת נוכל להיעזר בנוסחה )‪ ,(1‬ולקבל כי משוואת המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬היא‬
‫‪( x − 6) 2 + ( y − 4)2 = 5‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון לסעיף ב'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף ב' של הבעיה?‬
‫צריך למצוא את משוואת הישר ‪. BC‬‬
‫מה אפשר לומר על הישר ‪? BC‬‬
‫על הישר ‪ BC‬נמצאת אחת השוקיים של הזווית ‪ ; ABC‬השוק השנייה של זווית זו‬
‫נמצאת על הישר‬
‫)‪(25‬‬
‫‪; ℓ AB : y = 2 x − 13‬‬
‫חוצה הזווית ‪ ABC‬נמצא על הישר‬
‫)‪(26‬‬
‫‪ℓ BE : y = −3 x + 22‬‬
‫ברשותנו גם השיעורים של נקודה ‪) B‬ראו שורה )‪ .((15‬אם נצליח למצוא את השיפוע‬
‫‪ mBC‬של הישר‪ ,‬נוכל למצוא את משוואת הישר ‪ BC‬לפי הנוסחה‬
‫)‪(27‬‬
‫) ‪. y − yB = mBC ( x − xB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .11‬בין זוויות שוות‬
‫‪118‬‬
‫נרכיב משוואה שהנעלם בה יהיה השיפוע ‪ mBC‬של הישר ‪ . BC‬נסתמך על כך ש‪-‬‬
‫‪∡CBE = ∡EBA‬‬
‫)‪(28‬‬
‫שתי הזוויות הרשומות בשוויון זה קטנות מ‪ 90° -‬וגדולות מ‪ . 0° -‬מכאן ששוויון )‪(28‬‬
‫מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪tan(∡CBE ) = tan(∡EBA‬‬
‫)‪(29‬‬
‫ניזכר כי עבור זווית ‪ α‬בין ישרים ‪ y = m1 x + n1‬ו‪ y = m2 x + n2 -‬מתקיימת אחת‬
‫מהנוסחאות הבאות‪:‬‬
‫)‪(30‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫או‬
‫)‪(31‬‬
‫‪m1 − m2‬‬
‫‪1 + m1 ⋅ m2‬‬
‫‪tan α = −‬‬
‫כדי להבין איזה משני השוויונים האחרונים מתקיים‪ ,‬מסובבים )בדמיון( את השוק של‬
‫הזווית המונחת על הישר ‪ y = m1 x + n1‬סביב נקודת החיתוך של שני הישרים‪ ,‬עד שהיא‬
‫מתלכדת עם השוק השנייה של הזווית‪ ,‬ועושים זאת כך שברגעי ביניים השוק המסתובבת‬
‫)פרט לנקודת החיתוך של שני הישרים( תישאר בתוך הזווית המדוברת‪ .‬אם הסיבוב מתבצע‬
‫עם כיוון מחוגי השעון‪ ,‬אז עבור הזווית ‪ α‬מתקיים שוויון )‪ ,(30‬ואם הסיבוב מתבצע בניגוד‬
‫לכיוון מחוגי השעון‪ ,‬אז מתקיים שוויון )‪.(31‬‬
‫הסיבוב השוק ‪ BE‬סביב הנקודה ‪ B‬עד שתתלכד עם השוק ‪ BA‬של הזווית ‪ EBA‬צריך‬
‫להתבצע בכיוון ההפוך מזה שיגרום לה להתלכד עם השוק ‪ BC‬של הזווית ‪ . BC‬לכן או‬
‫שמתקיימים שני השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪mBE − mBC‬‬
‫‪m − mBA‬‬
‫‪, tan(∡EBA) = − BE‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBC‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBA‬‬
‫= ) ‪tan(∡CBE‬‬
‫או שלחלופין מתקיימים שני שוויונים אלה‪:‬‬
‫‪mBE − mBC‬‬
‫‪m − mBA‬‬
‫‪, tan(∡EBA) = BE‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBC‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBA‬‬
‫‪tan(∡CBE ) = −‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪119‬‬
‫מכאן ששוויון )‪ (29‬מתקיים אך רק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪mBE − mBC‬‬
‫‪m − mBA‬‬
‫‪= − BE‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBC‬‬
‫‪1 + mBE ⋅ mBA‬‬
‫נציב בשוויון האחרון לפי השוויונים‪:‬‬
‫‪ mBE = −3‬ו‪mBA = 2 -‬‬
‫)ראו שורות )‪ (25‬ו‪ ((26)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪−3 − mBC‬‬
‫‪−3 − 2‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪1 − 3mBC‬‬
‫‪1 + (−3) ⋅ 2‬‬
‫כשפותרים את המשוואה האחרונה מקבלים כי‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. mBC = −‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (27‬את הערך של ‪ mBC‬שזה עתה מצאנו ואת השיעורים של נקודה ‪) B‬ראו‬
‫שורה )‪ ,((15‬ונקבל את המשוואה הבאה של הישר ‪: BC‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪y − 1 = − ( x − 7‬‬
‫‪2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y = −0.5 x + 4.5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫תשובה‪. y = −0.5 x + 4.5 :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫שימוש במשפטים ובנוסחאות מזכיר לי שימוש בצבעים‪ .‬רוב האנשים משאירים אחריהם רק ציורי‬
‫ילדים‪ .‬אך היו אמנים שהשאירו יצירות מופת כה נפלאות שאין לזמן השפעה על קסמן‪ .‬ישנם גם היום‬
‫ועוד יהיו בעתיד אמנים כאלה‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬כשבניי עדיין למדו בבית ספר יסודי‪ ,‬הם חזרו הביתה בתום הלימודים וסיפרו שהיה להם‬
‫שיעור בחינוך מיני‪.‬‬
‫"מה הבנתם מהשיעור?" שאלה אשתי‪.‬‬
‫"הבנתי שמין זה כיף‪ ",‬ענה אחד מהם‪.‬‬
‫אל דאגה‪ ,‬למעט הנאמר אולי בכמה הערות‪ ,‬לא הקדמתי לספר כאן ולא אספר בפרקים הבאים דברים‬
‫שלתלמידי כיתה י"ב‪ ,‬הלומדים מתמטיקה ברמה של ‪ 5‬יחידות לימוד‪ ,‬מוקדם לדעת‪.‬‬
‫בהרבה בעיות מתמטיות )ולא רק מתמטיות( מתבקש הפותר את הבעיה למצוא פרט‬
‫העונה לתיאור מסוים‪ .‬נסמן את הפרט המבוקש ב‪ . X -‬הנעלם ‪ X‬לא חייב להיות מספר‪.‬‬
‫הוא יכול להיות פרט גיאומטרי או משוואה‪ .‬הוא יכול אף להיות מילה שחסרה בתשבץ‪.‬‬
‫כשניגשים לפתור את הבעיה יש להבחין קודם כל באוסף תנאים אשר הנעלם ‪ X‬חייב‬
‫לקיים‪ .‬אוסף התנאים חייב להיות כזה שכל פתרון של הבעיה מקיים את כולם‪ ,‬וכל פרט‬
‫שמקיים את כל התנאים הללו הוא פתרון הבעיה‪ .‬נניח שפותר הבעיה הגיע למסקנה כי‬
‫פתרון הבעיה חייב לקיים את התנאים ‪ , r1 , r2 , ..., rl‬ושכל פרט המקיים את כל אחד מ‪l -‬‬
‫תנאים אלו הוא פתרון הבעיה‪ .‬אם כך‪ ,‬יכול הפותר להיעזר בשיטת החשיבה אשר נקראת‬
‫שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫תיאור השיטה אשר ניתן לעיל מבוסס על הספר "‪ "Mathematical Discovery‬מאת ג' פויה ) ‪George‬‬
‫‪ ;(Polya‬ראוי לציין כי עוד מתמטיקאים של יוון העתיקה השתמשו בשיטה של שני מקומות גיאומטריים‬
‫לעיתים קרובות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪121‬‬
‫על המשתמש בשיטה זו להתבונן ב‪ l -‬הקבוצות הבאות‪ :‬הקבוצה הראשונה )נקרא לה‬
‫המקום הגיאומטרי הראשון( היא אוסף של כל האובייקטים המקיימים את התנאי ‪, r1‬‬
‫הקבוצה השנייה )נקרא לה המקום הגיאומטרי השני( היא אוסף של כל האובייקטים‬
‫המקיימים את התנאי ‪ , ... , r2‬הקבוצה ה‪) l -‬נקרא לה המקום הגיאומטרי ה‪ ( l -‬היא‬
‫אוסף של כל האובייקטים המקיימים את התנאי ‪ . rl‬פתרון הבעיה מקיים את כל אחד‬
‫מהתנאים ‪ . r1 , r2 , ..., rl‬לכן הוא שייך לכל אחד מ‪ l -‬המקומות גיאומטריים הנ"ל‪ .‬מצד‬
‫שני‪ ,‬כל אובייקט הנמצא בה בעת בכל אחד ממקומות גיאומטריים אלו‪ ,‬מקיים את‬
‫התנאים ‪ , r1 , r2 , ..., rl‬ולכן הוא פתרון הבעיה‪ .‬על סמך הנאמר אפשר להסיק כי אוסף של‬
‫כל פתרונות הבעיה הוא החיתוך של ‪ l‬המקומות הגיאומטריים הנ"ל‪.‬‬
‫בפרקים הקודמים מצאנו לעתים קרובות את השיעורים של נקודות כשיעורים של‬
‫נקודות החיתוך של שני ישרים‪ .‬במקרים אלו השתמשנו בשיטה של שני מקומות‬
‫גיאומטריים‪ .‬להלן דוגמה מורכבת יותר לשימוש בשיטה זו‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נקודה ‪ P‬נמצאת על הישר ‪ . ℓ : y = − x‬נתון שמנקודה ‪ P‬רואים את הקטע המחבר‬
‫את נקודות )‪ A(1, −1‬ו‪ B (17,11) -‬בזווית ישרה‪ .‬מצאו את השיעורים של הנקודה ‪. P‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה?‬
‫צריך למצוא את שיעורי הנקודה ‪. P‬‬
‫על אילו דרישות צריכה לענות נקודה זו?‬
‫היא צריכה לקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ ( r1‬נקודה ‪ P‬נמצאת על הישר ‪, ℓ : y = − x‬‬
‫‪. ∡APB = 90° ( r2‬‬
‫הזוג הסדור של השיעורים של כל נקודה המקיימת את שני תנאים אלו הוא פתרון הבעיה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪122‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪? r1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪ r1‬הוא הישר‬
‫‪. ℓ : y = −x‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי‬
‫‪? r2‬‬
‫במטרה לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬האם קיים משפט גיאומטרי כלשהו על‬
‫נקודות שמהן רואים קטע מסוים בזווית ישרה?‬
‫כן‪ ,‬קיים משפט שלפיו‪ :‬כל זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא זווית ישרה‪.‬‬
‫לכן אם נקודה ‪ P‬מקיימת את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬נקודה ‪ P‬לא מתלכדת עם נקודות ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫‪ .2‬נקודה ‪ P‬נמצאת על המעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪,‬‬
‫אז הנקודה גם מקיימת את התנאי ‪. r2‬‬
‫נמצא את משוואת המעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪.‬‬
‫נסמן את מרכז המעגל ב‪ . M -‬הנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪ . AB‬לכן‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x A + xB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y A + yB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫לפי הנתון‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪, A(1, −1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪. B (17,11‬‬
‫נציב בשוויונים )‪ (2‬ו‪ (3)-‬לפי שורות )‪ (4‬ו‪ .(5)-‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪1 + 17‬‬
‫‪=9‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪−1 + 11‬‬
‫‪=5‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪123‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫רדיוס ‪ R‬של המעגל המדובר הוא מרחק בין נקודות ‪ M‬ו‪ . A -‬לכן‬
‫)‪(8‬‬
‫‪ 10‬יח' = ‪R = ( xM − xA ) 2 + ( yM − y A ) 2 = (9 − 1) 2 + (5 + 1) 2‬‬
‫נמצא את משוואת המעגל ‪ M‬לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − xM ) 2 + ( y − yM ) 2 = R 2‬‬
‫נציב בנוסחה זו לפי שורות )‪ (6‬ו‪ .(7)-‬נקבל כי משוואת המעגל ‪ M‬היא‪:‬‬
‫‪( x − 9) 2 + ( y − 5) 2 = 100‬‬
‫נשאל את עצמנו‪:‬‬
‫האם אוסף של כל הנקודות הנמצאות על מעגל ‪ M‬ולא מתלכדות עם‬
‫)‪(9‬‬
‫נקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא המקום הגיאומטרי של נקודות המקיימות את‬
‫התנאי ‪? r2‬‬
‫הוכחנו לעיל רק את הטענה הבאה‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫כל הנקודות הנמצאות על מעגל ‪ M‬ולא מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫מקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫כדי שנוכל להשיב על שאלה )‪ (9‬בחיוב‪ ,‬עלינו עוד להוכיח את הטענה הבאה‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪ , r2‬נמצאות על המעגל ‪ M‬ולא‬
‫מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫ההוכחה של טענה )‪ (11‬תובא בסוף הפרק‪ .‬לעת עתה תוכלו לסמוך על דבריי או להוכיח‬
‫אותה בעצמכם‪ .‬אפשר כמובן גם לדפדף לסוף הפרק במידת הצורך‪ ,‬אך לדעתי עדיף‬
‫שנתרכז כעת בהבהרת השיטה של שני מקומות גיאומטריים‪ ,‬ולא בהוכחת טענה )‪.(11‬‬
‫כאמור‪ ,‬נמשיך בהנחה שהוכחנו את טענה )‪ .(11‬מטענות )‪ (10‬ו‪ (11)-‬נובע כי‬
‫)‪(12‬‬
‫אוסף של כל הנקודות המונחות על מעגל ‪ M‬ולא מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪-‬‬
‫‪ B‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪124‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫מטענות )‪ (1‬ו‪ (12)-‬נובע כי נקודה ‪ P‬היא הנקודה שאת שיעוריה אנחנו מתבקשים למצוא‬
‫בבעיה אך ורק אם היא המקיימת את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נקודה ‪ P‬נמצאת בה בעת על הישר ‪ ℓ : y = − x‬ועל המעגל המיוצג על ידי‬
‫המשוואה ‪, ( x − 9) 2 + ( y − 5) 2 = 100‬‬
‫‪ (2‬נקודה ‪ P‬לא מתלכדת עם נקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫לכן קיימות שלוש אפשרויות‪ :‬א( לבעיה יש שני פתרונות‪ ,‬ב( לבעיה יש פתרון אחד‪,‬‬
‫ג( לבעיה אין אף פתרון‪.‬‬
‫לבעיה יש שני פתרונות אם יתברר כי הישר ‪ ℓ‬חותך את המעגל ‪ M‬בשתי נקודות‬
‫השונות מנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫לבעיה יש פתרון אחד אם יתברר כי מתקיים אחד המקרים הבאים‪ :‬א( הישר ‪ ℓ‬משיק‬
‫למעגל ‪ M‬בנקודה השונה מנקודה ‪ A‬וגם מנקודה ‪ ; B‬ב( הישר ‪ ℓ‬חותך את המעגל ‪M‬‬
‫בשתי נקודות שאחת מהן מתלכדת עם נקודה ‪ A‬או עם נקודה ‪ , B‬ואילו נקודת החיתוך‬
‫השנייה שונה מנקודה ‪ A‬וגם מנקודה ‪. B‬‬
‫לבעיה אין אף פתרון אם יתברר כי מתקיים אחד המקרים הבאים‪ :‬א( לישר ‪ ℓ‬ולמעגל‬
‫‪ M‬אין אף נקודה משותפת; ב( הישר ‪ ℓ‬משיק למעגל ‪ M‬בנקודה ‪ A‬או בנקודה ‪ ; B‬ג(‬
‫הישר ‪ ℓ‬חותך את המעגל בנקודות ‪ A‬ו‪) B -‬במקרה זה הישר ‪ ℓ‬מתלכד עם הישר ‪.( AB‬‬
‫נציין כי ישר משיק למעגל אך רק אם לישר ולמעגל יש נקודה אחת משותפת‪.‬‬
‫נמצא את השיעורים של נקודות המונחות בה בעת על הישר ‪ ℓ : y = − x‬וגם על המעגל‬
‫המיוצג על ידי המשוואה ‪ . ( x − 9) 2 + ( y − 5) 2 = 100‬לשם כך נפתור את מערכת‬
‫המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ y = −x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − 9) + ( y − 5) = 100‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של המערכת האחרונה לפי המשוואה הראשונה שלה‪ ,‬ונקבל את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 9) 2 + ( − x − 5) 2 = 100‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪125‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x2 − 4 x + 3 = 0‬‬
‫למשוואה האחרונה יש שני פתרונות שונים‪:‬‬
‫‪x1 = 1 , x2 = 3‬‬
‫נציב פתרונות אלו במשוואה הראשונה של מערכת המשוואות האחרונה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪y1 = −1 , y2 = −3‬‬
‫קיבלנו כי הישר ‪ ℓ‬חותך את המעגל ‪ M‬בנקודות )‪ P1 (1, −1‬ו‪. P2 (3, −3) -‬‬
‫הנקודה ‪ P1‬מתלכדת עם נקודה ‪ , A‬ואילו הנקודה ‪ P2‬לא מתלכדת עם אף אחת‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪B (17,11‬‬
‫)‪M (9,5‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪P2 (3, −3‬‬
‫)‪A(1, −1‬‬
‫‪y = −x‬‬
‫לכן התשובה לבעיה היא‪. P(3, −3) :‬‬
‫דרך שנייה למציאת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫אם עבור נקודה ‪ P‬כלשהי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪∡APB = 90°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪126‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫‪2‬‬
‫אז לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬
‫‪AB 2 = AP 2 + PB 2‬‬
‫)‪(14‬‬
‫לפי משפט הפוך למשפט פיתגורס‪ ,3‬בכל משולש ‪ APB‬שצלעותיו מקיימות את שוויון‬
‫)‪ ,(14‬מתקיים גם שוויון )‪.(13‬‬
‫מכאן המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪ r2‬הוא אוסף של כל‬
‫הנקודות ‪ P‬המקיימות את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נקודה ‪ P‬לא מתלכדת עם נקודות ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫‪ (2‬נקודה ‪ P‬מקיימת את השוויון )‪.(14‬‬
‫נרכיב את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות ‪ P‬המקיימות את השוויון )‪.(14‬‬
‫ניעזר בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪, AB 2 = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2‬‬
‫‪, AP 2 = ( xP − x A ) 2 + ( yP − y A ) 2‬‬
‫‪. PB 2 = ( xP − xB )2 + ( yP − yB ) 2‬‬
‫מכאן ומשורות )‪ (4‬ו‪ (5)-‬נובע כי‬
‫‪, AB 2 = (17 − 1)2 + (11 + 1)2 = 400‬‬
‫‪, AP 2 = ( xP − 1) 2 + ( yP + 1) 2‬‬
‫‪. PB 2 = ( xP − 17) 2 + ( yP − 11) 2‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (14‬לפי שלושת השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ 2‬אם שוויון )‪ (13‬מתקיים‪ ,‬אז הנקודה ‪ P‬לא נמצאת על הישר ‪ . AB‬ואכן‪ ,‬אם נקודה ‪ P‬מתלכדת עם‬
‫אחת מהנקודות ‪ A‬או ‪ , B‬אז הזווית ‪ APB‬לא מוגדרת; אם נקודה ‪ P‬נמצאת בתוך הקטע ‪ , AB‬אז‬
‫‪ ; ∡APB = 180°‬ואם הנקודה ‪ P‬נמצאת על הישר ‪ , AB‬אך מחוץ לקטע ‪ , AB‬אז ‪. ∡APB = 0°‬‬
‫לכן אם הזווית ‪ APB‬מוגדרת והיא בת ‪ , 90°‬אז אפשר להתבונן במשולש ישר זווית ‪ APB‬ולהיעזר‬
‫במשפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט הפוך למשפט פיתגורס אפשר להוכיח בעזרת משפט הקוסינוסים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪127‬‬
‫‪400 = ( xP − 1) 2 + ( yP + 1) 2 + ( xP − 17) 2 + ( yP − 11) 2‬‬
‫נחליף בשוויון האחרון את ‪ xP‬ב‪ x -‬ואת ‪ yP‬ב‪ . y -‬נקבל את המשוואה הבאה של המקום‬
‫הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ P‬המקיימות את שוויון )‪:(14‬‬
‫‪400 = ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( x − 17) 2 + ( y − 11) 2‬‬
‫לאחר שפותחים סוגריים ומכנסים איברים דומים באגף הימני של משוואה‪ ,‬מקבלים את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪400 = 2 x 2 − 36 x + 2 y 2 − 20 y + 412‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪x 2 − 18 x + y 2 − 10 y = −6‬‬
‫נציין כי‬
‫‪x 2 − 18 x + y 2 − 10 y = −6‬‬
‫⇕‬
‫‪( x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 ) + ( y 2 − 2 ⋅ y ⋅ 5 + 5 2 ) = −6 + 9 2 + 5 2‬‬
‫⇕‬
‫)‪(16‬‬
‫‪( x − 9) 2 + ( y − 5) 2 = 100‬‬
‫על סמך המשוואה האחרונה מסיקים שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ P‬המקיימות‬
‫את השוויון )‪ (14‬הוא מעגל עם מרכז בנקודה )‪ , M (9,5‬רדיוס המעגל שווה ל‪ 10 -‬יח'‪.‬‬
‫אפשר לסיים את הפתרון כמו בשיטה הקודמת‪ ,‬אך נוח יותר לפתור את מערכת המשוואות‬
‫שבה רשומה משוואה )‪ (15‬ולא משוואה )‪.(16‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪128‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫דרך שלישית למציאת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫הזווית ‪ APB‬מוגדרת אך ורק אם נקודה ‪ P‬לא מתלכדת עם אף אחת מהנקודות ‪ A‬ו‪-‬‬
‫‪.B‬‬
‫אם נקודה ‪ P‬לא מתלכדת עם אף אחת מהנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬נוכל להתבונן בישרים ‪AP‬‬
‫ו‪) BP -‬מכיוון שלפי אקסיומת הישר דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר ישר אחד ויחיד(‪.‬‬
‫אם אף אחד מהישרים ‪ AP‬ו‪ BP -‬לא מאונך לציר ה‪ , x -‬אז השיפוע ‪ m AP‬של הישר‬
‫‪ AP‬והשיפוע ‪ mBP‬של הישר ‪ BP‬מוגדרים‪ .‬יתרה מזאת‪ ,‬אם אף אחד מהישרים ‪ AP‬ו‪-‬‬
‫‪ BP‬לא מאונך לציר ה‪ , x -‬אז הטענה‬
‫‪AP ⊥ BP‬‬
‫)‪(17‬‬
‫מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪mAP ⋅ mBP = −1‬‬
‫בהסתמך על נוסחה לשיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות נקבל כי‬
‫)‪(19‬‬
‫‪yP − y A‬‬
‫‪xP − x A‬‬
‫= ‪, mAP‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪yP − yB‬‬
‫‪xP − xB‬‬
‫= ‪. mBP‬‬
‫לפי הנתון‬
‫)‪(21‬‬
‫)‪, A(1, −1‬‬
‫)‪(22‬‬
‫)‪. B (17,11‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (19‬לפי שורה )‪ ,(21‬ובשוויון )‪ (20‬לפי שורה )‪ .(22‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪yP + 1‬‬
‫‪xP − 1‬‬
‫= ‪mAP‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪yP − 11‬‬
‫‪xP − 17‬‬
‫= ‪mBP‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪129‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (18‬לפי שני השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yP + 1 yP − 11‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪xP − 1 xP − 17‬‬
‫)‪(25‬‬
‫נחליף בשורה )‪ (25‬את ‪ xP‬ב‪ x -‬ואת ‪ yP‬ב‪ , y -‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y + 1 y − 11‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪x − 1 x − 17‬‬
‫)‪(26‬‬
‫המשוואה מייצגת את אוסף כל הנקודות ‪ P‬המקיימות את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נקודה ‪ P‬לא נמצאת על הישר ‪ ℓ1 : x = 1‬וגם לא על הישר ‪, ℓ 2 : x = 17‬‬
‫‪. ∡APB = 90° (2‬‬
‫נכפיל את המשוואה )‪ (26‬ב‪ , ( x − 1)( x − 17) -‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪( y + 1)( y − 11) = −( x − 1)( x − 17‬‬
‫)‪(27‬‬
‫הוכיחו בעצמכם בתור תרגיל כי המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 9) 2 + ( y − 5) 2 = 100‬‬
‫)‪(28‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬האם הדרך שבה הגענו אל משוואה )‪ (28‬מאפשרת לנו לומר כי‬
‫אוסף כל הנקודות הנמצאות על מעגל המיוצג על ידי משוואה )‪ (28‬ולא מתלכדות עם‬
‫נקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪? r2‬‬
‫לא‪ ,‬עדיין איננו יכולים להגיע למסקנה זו‪ .‬הרי הגענו למשוואה )‪ (28‬מתוך הנחה שאנו‬
‫מתבוננים בנקודות שאינן נמצאות על הישר ‪ ℓ1 : x = 1‬וגם לא על הישר ‪ . ℓ 2 : x = 17‬עלינו‬
‫עוד להתבונן בנקודות הנמצאות על הישר ‪ ℓ1 : x = 1‬וגם בנקודות הנמצאות על הישר‬
‫‪. ℓ 2 : x = 17‬‬
‫משוואת הישר המאונך לישר ‪ ℓ1 : x = 1‬והעובר דרך הנקודה )‪ B (17,11‬היא ‪. y = 11‬‬
‫נקודת החיתוך של שני הישרים הללו היא הנקודה )‪ . (1,11‬נסמן את הנקודה האחרונה ב‪-‬‬
‫‪ . E‬מנקודה ‪ E‬הנמצאת על הישר ‪ ℓ1 : x = 1‬רואים את הקטע ‪ AB‬בזווית ישרה‪ .‬שיעורי‬
‫נקודה ‪ E‬מקיימים את משוואה )‪ ,(27‬השקולה למשוואה )‪ .(28‬לכן נקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪130‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫מעגל )‪ .(28‬נקודת החיתוך השנייה של הישר ‪ ℓ1 : x = 1‬עם המעגל המדובר היא הנקודה‬
‫)‪ . A(1, −1‬חוץ מהנקודות ‪ E‬ו‪ A -‬אין אף נקודה הנמצאת בה בעת גם על הישר ‪ℓ1 : x = 1‬‬
‫וגם על המעגל הנ"ל‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y = 11‬‬
‫)‪B (17,11‬‬
‫)‪E (1,11‬‬
‫‪x =1‬‬
‫)‪M (9,5‬‬
‫‪x = 17‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F (17, −1‬‬
‫‪y = −1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪A(1, −1‬‬
‫משוואת ישר המאונך לישר ‪ ℓ 2 : x = 17‬והעובר דרך הנקודה )‪ A(1, −1‬היא ‪. y = −1‬‬
‫נקודת החיתוך של שני הישרים הללו היא הנקודה )‪ . (17, −1‬נסמן את הנקודה האחרונה‬
‫ב‪ . F -‬מהנקודה ‪ F‬הנמצאת על הישר ‪ ℓ 2 : x = 17‬רואים את הקטע ‪ AB‬בזווית ישרה‪.‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ F‬מקיימים את המשוואה )‪ ,(27‬השקולה למשוואה )‪ .(28‬לכן נקודה ‪F‬‬
‫נמצאת על מעגל )‪ .(28‬נקודת החיתוך השנייה של הישר ‪ ℓ 2 : x = 17‬עם המעגל המדובר‬
‫היא הנקודה )‪ . B (17,11‬חוץ מנקודות ‪ F‬ו‪ B -‬אין אף נקודה המונחת בה בעת גם על‬
‫הישר ‪ ℓ 2 : x = 17‬וגם על המעגל הנ"ל‪.‬‬
‫כעת יש לנו זכות מלאה לומר כי‬
‫אוסף של כל הנקודות המונחות על מעגל המיוצג על ידי משוואה )‪(28‬‬
‫)‪(29‬‬
‫ולא מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא המקום הגיאומטרי של כל‬
‫הנקודות המקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪131‬‬
‫הערה ‪ .1‬בדרך כלל‪ ,‬כשמוכיחים טענות מהסוג של טענה )‪ (29‬בשיטה השלישית לא‬
‫כותבים הוכחה כה מפורטת‪ :‬לא מבחינים בישרים המאונכים לציר ה‪ x -‬ועוברים דרך‬
‫קצוות הקטע ‪ . AB‬הרי אין במבחן די זמן להסברים מפורטים כל כך‪ .‬ובכל זאת‪ ,‬קיים‬
‫הבדל עצום בין החסרת קטעים מהפתרון למען חיסכון בזמן‪ ,‬ואף ברור אילו קטעים‬
‫הוחסרו‪ ,‬לבין כתיבת אותם שלבים במחשבה שהפתרון מושלם‪ .‬נציין שאילו לא היינו‬
‫קפדניים ולא היינו מבחינים בכך שאם נקודה ‪ P‬מתלכדת עם הנקודה ‪ A‬או עם הנקודה‬
‫‪ , B‬אז הזווית ‪ APB‬לא מוגדרת‪ ,‬היינו מגיעים בטעות למסקנה כי לבעיה יש שני פתרונות‬
‫שונים ולא פתרון אחד‪.‬‬
‫הוכחת טענה )‪.(11‬‬
‫הבה נזכר כיצד הגענו לראשונה למסקנה כי‬
‫אוסף של כל הנקודות הנמצאות על מעגל ‪ M‬ולא מתלכדות עם נקודות ‪A‬‬
‫ו‪ B -‬הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫בהסתמך על אחד מהמשפטים הגיאומטריים קיבלנו כי‬
‫כל הנקודות הנמצאות על מעגל ‪ M‬ולא מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫מקיימות את התנאי ‪. r2‬‬
‫היינו חייבים להוכיח גם את הטענה הבאה )טענה )‪:((11‬‬
‫כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪ , r2‬נמצאות על המעגל ‪ M‬ולא‬
‫מתלכדות עם נקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫הבטחתי שנוכיח את טענה )‪ (11‬בסוף הפרק‪ ,‬וזה הזמן לקיים את ההבטחה‪.‬‬
‫נוכיח בדרך השלילה כי‬
‫)‪(30‬‬
‫כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪ , r2‬נמצאות על המעגל ‪. M‬‬
‫נניח שקיימת נקודה ‪ P‬אשר לא נמצאת על מעגל ‪ M‬ואשר מקיימת את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪∡APB = 90°‬‬
‫)‪(31‬‬
‫על סמך טענה )‪ (31‬אפשר להסיק כי‬
‫)‪(32‬‬
‫הנקודה ‪ P‬לא נמצאת על הישר ‪. AB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪132‬‬
‫‪ .12‬שיטה של ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫לפי אקסיומת הישר‪ ,‬דרך נקודות ‪ A‬ו‪ P -‬אפשר להעביר ישר אחד ויחיד‪ .‬יתרה מזאת‪,‬‬
‫בהסתמך על טענה )‪ (32‬אפשר להסיק כי קיימות אך ורק שתי אפשרויות‪:‬‬
‫‪ .1‬הישר ‪ AP‬משיק למעגל ‪ M‬בנקודה ‪; A‬‬
‫‪ .2‬הישר ‪ AP‬חותך את המעגל ‪ M‬בשתי נקודות‪ :‬בנקודה ‪ A‬ובנקודה שונה‬
‫מנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫הנחנו כי‬
‫)‪(33‬‬
‫קיימת נקודה ‪ P‬אשר לא נמצאת על מעגל ‪ M‬ואשר מקיימת את שוויון )‪,(31‬‬
‫לאחר מכן הגענו למסקנה שאם טענה זו מתקיימת‪ ,‬אז מתקיימת אך ורק אחת משתי‬
‫הטענות הבאות‪:‬‬
‫הישר ‪ AP‬משיק למעגל ‪ M‬בנקודה ‪; A‬‬
‫)‪(34‬‬
‫הישר ‪ AP‬חותך את המעגל ‪ M‬בשתי נקודות‪ :‬בנקודה ‪ A‬ובנקודה שונה‬
‫)‪(35‬‬
‫מנקודה זו‪.‬‬
‫נניח כי נוסף לטענה )‪ (33‬מתקיימת גם טענה )‪ .(34‬מטענה )‪ (34‬נובע כי‬
‫‪∡PAB = 90°‬‬
‫)‪(36‬‬
‫)לפי המשפט‪ :‬הזווית בין משיק לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה שווה ל‪.( 90° -‬‬
‫כעת ניעזר במשפט שלפיו‪ :‬מכל נקודה שנמצאת מחוץ לישר נתון אפשר להוריד לישר אנך‬
‫אחד ויחיד‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫לפי משפט זה שוויונים )‪ (31‬ו‪ (36)-‬לא יכולים להתקיים בו‪-‬זמנית‪ .‬הגענו לידי סתירה‪ .‬לכן‬
‫טענה )‪ (34‬לא מתקיימת‪ .‬מכאן אם טענה )‪ (33‬מתקיימת‪ ,‬אז טענה )‪ (34‬לא מתקיימת‪ .‬לכן‬
‫על סמך ההנחה שטענה )‪ (33‬מתקיימת עלינו להסיק כי טענה )‪ (35‬מתקיימת‪.‬‬
‫נסמן ב‪ C -‬את נקודת החיתוך השונה מנקודה ‪ A‬של הישר ‪ AP‬עם המעגל ‪ . M‬על סמך‬
‫טענה )‪ (32‬מסיקים כי‬
‫)‪(37‬‬
‫נקודה ‪ C‬לא מתלכדת עם נקודה ‪. B‬‬
‫‪ 4‬ישנו גם המשפט הבא‪ :‬במישור‪ ,‬אפשר להעביר דרך כל נקודה שנמצאת על ישר נתון אנך אחד ויחיד לישר‬
‫זה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪133‬‬
‫הזווית ‪ ACB‬היא זווית היקפית במעגל ‪ M‬הנשענת על קוטר ‪ . AB‬קיים משפט‬
‫שלפיו‪ :‬כל זווית היקפית במעגל הנשענת על קוטר היא זווית ישרה‪ .‬לפי משפט זה‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪∡ACB = 90°‬‬
‫)‪(38‬‬
‫שוב ניעזר במשפט שלפיו מנקודה הנמצאת מחוץ לישר אפשר להוריד לישר אנך אחד‬
‫ויחיד‪ .‬לפי משפט זה טענות )‪ (31‬ו‪ (38)-‬לא יכולות להתקיים בו‪-‬זמנית‪ .‬הגענו לידי סתירה‬
‫על סמך ההנחה כי טענה )‪) (33‬טענה הפוכה לטענה )‪ ((30‬מתקיימת‪ .‬לכן טענה )‪ (30‬אכן‬
‫מתקיימת‪.‬‬
‫כפי שאמרנו לעיל‪ ,‬נקודה ‪ P‬המקיימת את התנאי ‪ r2‬לא מתלכדת עם נקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬כי‬
‫אחרת הזווית ‪ APB‬לא מוגדרת‪ .‬מכאן ומטענה )‪ (30‬נובע כי טענה )‪ (11‬מתקיימת‪.‬‬
‫הערה ‪ .2‬נציין שלאחר שמצאנו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את‬
‫התנאי ‪ r2‬בדרך השנייה‪ ,‬גם לאחר שעשינו זאת בדרך השלישית‪ ,‬קיבלנו בה בעת כי טענות‬
‫)‪ (10‬ו‪ (11)-‬מתקיימות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט‬
‫‪134‬‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט‬
‫שאל אותי תלמיד‪" :‬איך זה ייתכן שלבעיה אין אף פתרון?"‬
‫עניתי‪" :‬בעוד מספר שנים תגיע לגיל שבו תרצה להקים משפחה משלך‪ .‬אם למטרה זו תחפש אישה‬
‫מושלמת – לבעיה זו‪ ,‬לא קיים אף פתרון‪.‬‬
‫באמצע המאה ה‪ 19-‬הומצא הצילום הסטריאוסקופי ‪ -‬צילום משתי זוויות ליצירת‬
‫תמונה תלת‪-‬ממדית‪ .‬גם כשפותרים בעיה בשתי שיטות שונות מקבלים תמונה רב‪-‬ממדית‬
‫שלה‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬שניים מקודקודי המשולש ‪ ABC‬הם )‪ A(−1, 2‬ו‪ . B(3,5) -‬הקודקוד השלישי של‬
‫‪1‬‬
‫המשולש נמצא על הישר ‪ . ℓ : y = x‬שטח המשולש הוא ‪ 10‬יח"ר‪ .‬מצאו את הקודקוד‬
‫‪2‬‬
‫השלישי של המשולש‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון א' )שיטה אלגברית(‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של קודקוד ‪ C‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של נקודה ‪ C‬ב‪ , x1 -‬ואת שיעור ה‪ y -‬שלה נסמן ב‪. y1 -‬‬
‫עלינו לפתור בעיה עם שני נעלמים‪ x1 :‬ו‪ . y1 -‬ננסה להרכיב שתי משוואות עם שני נעלמים‬
‫אלו‪.‬‬
‫מה נתון?‬
‫‪1‬‬
‫בין היתר נתון שנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.ℓ: y‬‬
‫נקודה ) ‪ C ( x1 , y1‬נמצאת על ישר ‪ ℓ‬אך ורק אם שיעוריה מקיימים את משוואת הישר‪,‬‬
‫כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪135‬‬
‫כעת ברשותנו משוואה אחת עם הנעלמים ‪ x1‬ו‪ . y1 -‬ננסה להרכיב עוד משוואה עם‬
‫נעלמים אלו‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬במה מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו?‬
‫לא השתמשנו בכך שלפי הנתון קודקוד ‪ A‬של המשולש המדובר נמצא בנקודה )‪, (−1, 2‬‬
‫וקודקוד ‪ B‬נמצא בנקודה )‪ . (3,5‬גם לא השתמשנו בכך שלפי הנתון עבור השטח ‪S ∆ABC‬‬
‫של המשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪ 10‬יח"ר = ‪S ∆ABC‬‬
‫כיצד נוכל להיעזר בשטח המשולש ובשיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪? B -‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬מהי הנוסחה לחישוב שטח של משולש?‬
‫שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לאותה צלע‪.‬‬
‫את אורכה של איזו צלע במשולש ‪ ABC‬אפשר לחשב?‬
‫אפשר לחשב את אורך הצלע ‪ AB‬לפי הנוסחה‬
‫)‪(3‬‬
‫‪AB = ( x A − xB )2 + ( y A − yB ) 2‬‬
‫נציב בנוסחה את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ 5‬יח' = ‪AB = (−1 − 3) 2 + (2 − 5) 2‬‬
‫נסמן ב‪ hAB -‬את הגובה לצלע ‪ AB‬במשולש ‪ . ABC‬ננסה להיעזר בנוסחה‬
‫)‪(5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ AB ⋅ hAB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S ∆ABC‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (5‬לפי שורות )‪ (2‬ו‪ , (4) -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ 5 ⋅ hAB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪10‬‬
‫קיבלנו משוואה עם הנעלם ‪ . hAB‬לאחר שנפתור אותה‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪ 4‬יח' = ‪hAB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט‬
‫‪136‬‬
‫על סמך השוויון האחרון אפשר להסיק כי‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת במרחק ‪ 4‬יח' מהישר ‪AB‬‬
‫)‪(7‬‬
‫בטענה )‪ (7‬מדובר במרחק בין נקודה לישר‪ ,‬לכן נשאל את עצמנו‪ :‬מהי הנוסחה לחישוב‬
‫מרחק בין נקודה לישר?‬
‫את המרחק ‪ d‬בין נקודה ) ‪ ( x0 , y0‬לישר‪ ,‬המיוצג על ידי המשוואה הכללית‬
‫‪ , ax + by + c = 0‬אפשר לחשב לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫| ‪| ax0 + by0 + c‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫כדי שנוכל להיעזר בנוסחה זו לחישוב המרחק בין נקודה ‪ C‬לישר ‪ AB‬עלינו לקבל‬
‫משוואה כללית של הישר ‪ . AB‬מצאו בעצמכם את המשוואה הכללית של הישר ‪. AB‬‬
‫עליכם לקבל את המשוואה הבאה ‪:‬‬
‫‪−3x + 4 y − 11 = 0‬‬
‫)‪(9‬‬
‫או משוואה השקולה לה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫על סמך נוסחה )‪ (8‬ומשוואה )‪ (9‬מקבלים כי עבור המרחק ) ‪ d (C , ℓ AB‬בין נקודה‬
‫) ‪ C ( x1 , y1‬לישר ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬
‫|‪| −3 x1 + 4 y1 − 11‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(10‬‬
‫=‬
‫|‪| −3 x1 + 4 y1 − 11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−3) + 4‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪d (C , ℓ AB‬‬
‫על סמך שורות )‪ (7‬ו‪ (10)-‬מסיקים כי שיעורי הנקודה ) ‪ C ( x1 , y1‬חייבים לקיים את‬
‫המשוואה הבאה‬
‫)‪(11‬‬
‫|‪| −3 x1 + 4 y1 − 11‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1‬המשוואה המפורשת של ישר זה היא‪x + 2 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪.y‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪137‬‬
‫קיבלנו כי שיעורי הנקודה ) ‪ C ( x1 , y1‬מקיימים את תנאים )‪ (1‬ו‪ .(11)-‬יתרה מזאת‪ ,‬על‬
‫סמך הנאמר לעיל אפשר להסיק כי כל זוג סדור ) ‪ ( x1 , y1‬אשר מקיים את תנאים אלו הוא‬
‫פתרון הבעיה‪ .‬מכאן הזוג הסדור של שיעורי נקודה ‪ C‬הוא פתרון המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ | −3 x + 4 y − 11| = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫וכל פתרון של מערכת משוואות זו הוא פתרון הבעיה‪.‬‬
‫אוסף הנקודות במישור המקיימות את המשוואה השנייה של מערכת זו הוא איחוד של‬
‫אוסף הנקודות המקיימות את המשוואה‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫ואוסף של נקודות המקיימות את המשוואה‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪= −4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫במילים אחרות‬
‫|‪| −3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫⇕‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫או‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪= −4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫מכאן‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ | −3 x + 4 y − 11| = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫⇕‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט‬
‫‪138‬‬
‫⇕‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −3 x + 4 y − 11 = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫או‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪= −4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫פתרון של המערכת‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −3 x + 4 y − 11 = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫הוא )‪ , (−31, −15.5‬ואילו פתרון של המערכת‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −3 x + 4 y − 11 = −4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫הוא )‪ . (9, 4.5‬לכן התשובה לבעיה היא )‪ C (−31, −15.5‬או )‪. C (9, 4.5‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ב' )שיטה של שני מקומות גיאומטריים(‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של קודקוד ‪ C‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫כיצד מחפשים שיעורים של נקודה מסוימת?‬
‫אחת הדרכים למציאת שיעורים של נקודה מסוימת היא למצוא את המשוואות של שני‬
‫קוים כלשהם אשר עוברים דרך נקודה זו‪ ,‬ולאחר מכן למצוא את השיעורים של נקודות‬
‫משותפות לשני הקווים‪ .‬שיטה זו היא מקרה פרטי של שיטת ‪ l‬מקומות גיאומטריים‬
‫המתוארת בפרק הקודם‪ .‬לעתים קרובות כדי למצוא את השיעורים של נקודה מסוימת‬
‫מספיק להבחין בשני תנאים אשר הנקודה חייבת לקיים‪ ,‬למצוא עבור כל אחד מהתנאים‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪139‬‬
‫את משוואת המקום גיאומטרי של כל הנקודות המקיימות אותו‪ ,‬ולפתור את המערכת‬
‫המורכבת ממשוואות אלו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ננסה למצוא משוואות של שני מקומות גיאומטריים הכוללים את נקודה ‪ . C‬עלינו‬
‫להבחין בשני תנאים )נקרא להם תנאים ‪ r1‬ו‪ ( r2 -‬אשר נקודה ‪ C‬חייבת לקיים‪.‬‬
‫על סמך הנתון בבעיה מסיקים כי נקודה ‪ C‬חייבת לקיים את תנאי הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( r1‬‬
‫= ‪.ℓ: y‬‬
‫‪1‬‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את תנאי זה הוא הישר ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫בדיוק כמו בפתרון הבעיה בשיטה הקודמת‪ ,‬מסיקים כי נקודה ‪ C‬חייבת גם לקיים את‬
‫= ‪.ℓ: y‬‬
‫התנאי הבא‪:‬‬
‫‪( r2‬‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת במרחק ‪ 4‬יח' מהישר ‪. AB‬‬
‫נציין שכל נקודה אשר מקיימת את התנאים ‪ r1‬ו‪ r2 -‬יכולה לשמש קודקוד ‪ C‬של‬
‫המשולש ‪ ABC‬הנתון בבעיה‪.‬‬
‫מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪? r2‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬מהי הנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר?‬
‫את המרחק ‪ d‬בין נקודה ) ‪ ( x0 , y0‬לישר‪ ,‬המיוצג על ידי המשוואה הכללית‬
‫‪ , ax + by + c = 0‬אפשר לחשב לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫| ‪| ax0 + by0 + c‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫שוב אבקש שתקבלו בעצמכם את המשוואה הכללית של הישר ‪ . AB‬כפי שנאמר לעיל‪,‬‬
‫עליכם לקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪−3x + 4 y − 11 = 0‬‬
‫או משוואה השקולה לה‪.‬‬
‫‪ 2‬קיימות גם בעיות שבהן הנקודה חייבת לקיים יותר משני תנאים‪ .‬לעתים קרובות אפשר לפתור בעיות מסוג‬
‫זה בדרך הבאה‪ :‬ראשית מרכיבים מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים בעזרת שיטה של שני מקומות‬
‫גיאומטריים‪ ,‬פותרים אותה ובודקים אילו מהפתרונות של המערכת מקיימים את שאר התנאים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .13‬שתי נקודות מבט‬
‫‪140‬‬
‫בהסתמך על נוסחה )‪ (12‬ועל המשוואה הכללית של הישר ‪ AB‬מסיקים כי משוואה של‬
‫המקום הגיאומטרי השני )כלומר‪ ,‬של המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את‬
‫התנאי ‪ ( r2‬היא‬
‫|‪| −3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫מכאן המקום הגיאומטרי השני הוא איחוד של ישרים‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪−3 x + 4 y − 11‬‬
‫‪ ℓ 1 :‬ו ‪= −4 -‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. ℓ2 :‬‬
‫שני ישרים אלו מקבילים לישר ‪ AB‬ונמצאים במרחק של ‪ 4‬יח' ממנו‪.‬‬
‫נשים לב כי מתקיימות שתי הטענות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫קודקוד ‪ C‬של המשולש הנתון מקיים את תנאים ‪ r1‬ו‪; r2 -‬‬
‫‬
‫הזוג הסדור של השיעורים של כל נקודה המקיימת את התנאים ‪ r1‬ו‪ r2 -‬הוא‬
‫פתרון של בעיה זו‪.‬‬
‫לכן‬
‫‬
‫קודקוד ‪ C‬של המשולש הנתון שייך לשני המקומות הגיאומטריים הנ"ל;‬
‫‬
‫כל נקודה אשר שייכת בה בעת לשני המקומות הגיאומטריים הנ"ל יכולה לשמש‬
‫קודקוד ‪ C‬של המשולש הנתון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫השיפוע של הישר ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ℓ : y‬לא שווה לשיפוע של הישר ‪ . AB‬לכן הישר ‪ ℓ‬חותך את‬
‫הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬המקבילים לישר ‪ . AB‬מכאן לבעיה יש שני פתרונות‪.‬‬
‫כדי למצוא אחד מפתרונות אלו צריך לפתור את המערכת‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −3 x + 4 y − 11 = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫כדי למצוא את הפתרון השני צריך לפתור את המערכת‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪141‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ −3 x + 4 y − 11 = −4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫לאחר שפותרים את מערכות משוואות אלו מקבלים כי )‪ C (−31, −15.5‬או )‪. C (9, 4.5‬‬
‫הערה ‪ .1‬אילו השיפוע של הישר ‪ ℓ‬היה שווה לשיפוע של הישר ‪ , AB‬היינו יכולים לקבל‬
‫את תשובות הבאות‪ :‬א( אם אף אחד מהישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬לא מתלכד עם הישר ‪ , ℓ‬היינו‬
‫מסיקים כי לבעיה אין אף פתרון; אם אחד מהישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬מתלכד עם הישר ‪ , ℓ‬היינו‬
‫מסיקים כי כל נקודה על ישר זה יכולה להיות קודקוד ‪ C‬של המשולש הנתון )במקרה זה‬
‫לבעיה יש אינסוף פתרונות(‪.‬‬
‫הערה ‪ .2‬גם למי שיעדיף להשתמש בשיטה האלגברית לפתרון בעיה דומה לזו במבחן‬
‫אמליץ לפתור אותה בראש בשיטה של שני מקומות גיאומטריים‪.‬‬
‫הערה ‪ .3‬כשהתחלנו לחפש את השיעורים של נקודה ‪ C‬בדרך השנייה )בשיטה של שני‬
‫מקומות גיאומטריים( שאלנו את עצמנו‪ :‬כיצד מחפשים את השיעורים של נקודה מסוימת?‬
‫התשובה שניתנה לאחר מכן הייתה חלקית‪ .‬אילו עוד דרכים קיימות למציאת השיעורים‬
‫של נקודה מסוימת במישור נוסף על אלו שתוארו מיד לאחר השאלה?‬
‫בעיות מסוג זה פותרים גם בדרכים הבאות‪:‬‬
‫•‬
‫מרכיבים מערכת של שתי משוואות שהנעלמים בהן הם שיעורי הנקודה או מערכת של‬
‫‪ 2 + m‬משוואות עם ‪ 2 + m‬נעלמים )כאן ‪ m‬הוא מספר טבעי(‪ .‬ושניים מהנעלמים‬
‫הם שיעורי הנקודה‪ .‬הדרך הראשונה שבה פתרנו את הבעיה האחרונה הייתה לפי גישה‬
‫זו‪ .‬חשוב לציין כי מי שמנסה למצוא את שיעורי הנקודה כנקודה משותפת לשני‬
‫מקומות גיאומטריים מנסה גם הוא להגיע למערכת של שתי משוואות עם שני‬
‫נעלמים‪ ,‬אך דרך חשיבתו שונה מזו של מי שמנסה להרכיב מערכת משוואות אך לא‬
‫חושב על הנקודה כנקודת החיתוך של שני קווים‪.‬‬
‫•‬
‫נעזרים בנוסחאות המקשרות בין שיעורי קצות הקטע לבין שיעורי הנקודה המחלקת‬
‫את הקטע ביחס נתון‪ .‬בבעיות רבות הנקודה האחרונה היא אמצע הקטע‪) .‬לאמיתו של‬
‫דבר שיטה זו היא מקרה פרטי של השיטה הקודמת‪ .‬חשוב לציין כי לעתים קרובות‬
‫כאשר מנסים לפתור בעיה כלשהי בשיטה הקודמת נעזרים בנוסחאות אלו‪(.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .14‬צועדים במעגל‬
‫‪142‬‬
‫‪ .14‬צועדים במעגלים‬
‫כשאתה זורק אבנים למים‪ ,‬הסתכל על המעגלים שהם יוצרים‪ ,‬אחרת אתה זורק את האבנים לשווא‪.‬‬
‫)קוזמא פרוטקוב(‬
‫בעיה‪ .‬נתון מעגל העובר דרך נקודות )‪ A(−2,3‬ו‪ . B(6,5) -‬מרכז המעגל נמצא על הישר‬
‫‪ . ℓ : y = 4 x + 4‬מצאו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בבעיה?‬
‫צריך למצוא משוואת מעגל המקיים כמה תנאים‪.‬‬
‫מהם התנאים אשר מקיים המעגל המדובר?‬
‫לפני שנענה על השאלה האחרונה נסמן את מרכז המעגל ב‪ . M -‬כעת נוכל לקרוא למעגל‬
‫המדובר מעגל ‪. M‬‬
‫לפי הנתון‬
‫)‪(1‬‬
‫המעגל ‪ M‬עובר דרך נקודה )‪, A(−2,3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫המעגל ‪ M‬עובר דרך נקודה )‪, B(6,5‬‬
‫)‪(3‬‬
‫מרכז ‪ M‬של המעגל המדובר נמצא על הישר ‪. ℓ : y = 4 x + 4‬‬
‫אפשר לשאול‪ :‬מהו מעגל שמרכזו בנקודה ‪? M‬‬
‫מעגל שרדיוסו ‪ R‬ומרכזו בנקודה ‪ M‬הוא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫הנמצאות במרחק ‪ R‬מהנקודה ‪) M‬מידע עשוי לסייע למי שלא זוכר את הנוסחה הבאה‪,‬‬
‫הנוסחה למשוואת מעגל‪ ,‬בתנאי שיזכור את הנוסחה למרחק בין שתי נקודות במישור(‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהי הנוסחה למשוואת המעגל?‬
‫משוואת המעגל שרדיוסו ‪ R‬ומרכזו בנקודה )‪ M (a, b‬היא‬
‫)‪(4‬‬
‫‪( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪143‬‬
‫המשך פתרון א' )שיטה אלגברית(‪.‬‬
‫מה עלינו למצוא כדי לקבל את המשוואה הנדרשת בעזרת נוסחה )‪?(4‬‬
‫עלינו למצוא את הגודל של כל אחד מהפרמטרים ‪ b , a‬ו‪ R -‬בנוסחה‪ .‬זו בעיה עם שלושה‬
‫נעלמים‪ .‬הנעלמים אשר עלינו למצוא הם ‪ b , a‬ו‪ . R -‬ננסה להרכיב שלוש משוואות עם‬
‫שלושת הנעלמים האלו‪.‬‬
‫שוב נשאל את עצמנו‪ :‬מהם התנאים אשר מקיים המעגל המדובר?‬
‫המעגל מקיים את התנאים )‪ (2) ,(1‬ו‪ .(3)-‬ננסה להרכיב שלוש משוואות בהסתמך על‬
‫שלושה תנאים אלו‪.‬‬
‫נקודה נמצאת על קו מסוים אך ורק אם היא מקיימת את המשוואה המייצגת את הקו‪.‬‬
‫לכן‬
‫‪ (1‬תנאי )‪ (1‬מתקיים אם רק שיעורי הנקודה )‪ A(−2,3‬מקיימים את משוואה )‪ ,(4‬כלומר‬
‫אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪(−2 − a )2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪ (2‬תנאי )‪ (2‬מתקיים אם רק שיעורי הנקודה )‪ B(6,5‬מקיימים את משוואה )‪ ,(4‬כלומר‬
‫אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪(6 − a ) 2 + (5 − b)2 = R 2‬‬
‫‪ (3‬תנאי )‪ (3‬מתקיים אם רק שיעורי הנקודה )‪ M (a, b‬מקיימים את המשוואה‬
‫‪ , y = 4 x + 4‬כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪b = 4a + 4‬‬
‫מכאן המשוואה אשר אנחנו מתבקשים למצוא בבעיה היא משוואת המעגל שהשיעורים של‬
‫מרכזו )‪ M (a, b‬ושל רדיוסו ‪ R‬מקיימים את שלושת השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪, (−2 − a )2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪, (6 − a ) 2 + (5 − b)2 = R 2‬‬
‫‪. b = 4a + 4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .14‬צועדים במעגל‬
‫‪144‬‬
‫כדי למצוא את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬ו‪ R -‬המקיימים את שלושת השוויונים הללו‬
‫עלינו להתייחס אל פרמטרים ‪ b , a‬ו‪ R -‬כאל נעלמים‪ ,‬להתייחס אל שלושת השוויונים‬
‫האחרונים כאל משוואות‪ ,‬ולפתור את המערכת הבאה המורכבת ממשוואות אלו‪:‬‬
‫‪(−2 − a ) 2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(6 − a ) + (5 − b) = R‬‬
‫‪b = 4a + 4‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(5‬‬
‫מערכת המשוואות הזו שקולה למערכת המשוואות הבאה‬
‫‪(2 + a ) 2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(6 − a ) + (5 − b) − (2 + a ) − (3 − b) = 0‬‬
‫‪b = 4a + 4‬‬
‫‪‬‬
‫)נעזרנו בשוויון ‪ (−2 − a ) 2 = (2 + a ) 2‬וחיסרנו מהמשוואה השנייה של מערכת )‪ (5‬את‬
‫המשוואה הראשונה(‪.‬‬
‫לאחר שבמשוואה השנייה של מערכת המשוואות האחרונה נפתח סוגריים ונכנס איברים‬
‫דומים‪ ,‬נקבל את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪(2 + a) 2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪−16a − 4b + 48 = 0‬‬
‫‪b = 4a + 4‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת משוואות זו שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪(2 + a) 2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b = −4a + 12‬‬
‫‪b = 4a + 4‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת המשוואות האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪145‬‬
‫‪(2 + a) 2 + (3 − b) 2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b = −4a + 12‬‬
‫‪−4a + 12 = 4a + 4‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(6‬‬
‫נפתור את המשוואה השלישית במערכת המשוואות הזו‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪a =1‬‬
‫)‪(7‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של מערכת משוואות )‪ (6‬לפי שורה )‪ ,(7‬ונקבל‪:‬‬
‫‪b=8‬‬
‫)‪(8‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת המשוואות )‪ (6‬לפי שורות )‪ (7‬ו‪ ,(8)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪(2 + 1) 2 + (3 − 8) 2 = R 2‬‬
‫מכאן‬
‫‪R 2 = 34‬‬
‫)‪(9‬‬
‫לכן‬
‫‪34‬‬
‫יח' = ‪R‬‬
‫למעשה אין לנו צורך בשוויון האחרון‪ .‬ניעזר רק בשוויונים )‪ (8) ,(7‬ו‪ .(9)-‬נציב בנוסחה )‪(4‬‬
‫לפי שלושה שוויונים אלו‪ ,‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 1) 2 + ( y − 8) 2 = 34‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫המשך פתרון ב' )מבוסס על שימוש בשיטה של שני מקומות גיאומטריים(‪.‬‬
‫מה עלינו למצוא כדי שנוכל לקבל את המשוואה הנדרשת בעזרת נוסחה )‪?(4‬‬
‫עלינו למצוא את השיעורים של מרכז המעגל ואת רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ראשית ננסה לפתור את הבעיה הבאה‪:‬‬
‫נתון מעגל העובר דרך נקודות )‪ A(−2,3‬ו‪ . B(6,5) -‬מרכז המעגל נמצא על הישר‬
‫‪ . ℓ : y = 4 x + 4‬מצאו את השיעורים של מרכז המעגל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .14‬צועדים במעגל‬
‫‪146‬‬
‫זו תת‪-‬בעיה של הבעיה אשר התבקשנו לפתור בפרק זה‪.‬‬
‫מרכז המעגל המדובר הוא נקודה‪ .‬לכן נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מחפשים את השיעורים של‬
‫נקודה מסוימת?‬
‫אחת הדרכים למציאת השיעורים של נקודה מסוימת היא למצוא את המשוואות של שני‬
‫קוים כלשהם אשר עוברים דרך נקודה זו‪ ,‬ולאחר מכן למצוא את השיעורים של נקודות‬
‫משותפות לשני הקווים‪.‬‬
‫ננסה למצוא משוואות של שני מקומות גיאומטריים הכוללים את הנקודה ‪) M‬נזכיר כי‬
‫ב‪ M -‬אנחנו מסמנים את מרכז המעגל המדובר(‪ .‬עלינו להבחין בשני תנאים )נקרא להם‬
‫תנאים ‪ r1‬ו‪ ( r2 -‬אשר הנקודה ‪ M‬חייבת לקיים‪.‬‬
‫התנאים ‪ r1‬ו‪ r2 -‬צריכים לענות על הדרישה הבאה‪ :‬המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את התנאי ‪) r1‬נקרא לו המקום הגיאומטרי הראשון( וגם המקום הגיאומטרי‬
‫של כל הנקודות המקיימות את התנאי ‪) r2‬נקרא לו המקום הגיאומטרי השני( ‪ -‬שניהם‬
‫צריכים להיות קווים‪.‬‬
‫אם נצליח להבחין בשני תנאים כאלו ולמצוא את המשוואות של שני המקומות‬
‫הגיאומטריים‪ ,‬נוכל להרכיב מערכת מהמשוואה של המקום הגיאומטרי הראשון‬
‫ומהמשוואה של המקום הגיאומטרי השני‪ .‬הזוג הסדור של שיעורי הנקודה ‪ M‬הוא פתרון‬
‫של מערכת משוואות זו‪.‬‬
‫אם יתברר שנוסף על תנאים ‪ r1‬ו‪ r2 -‬יהיו תנאים נוספים שנקודה ‪ M‬חייבת לקיים‪,‬‬
‫נבדוק עבור כל פתרון של מערכת המשוואות הנ"ל אם הוא מקיים גם את אותם תנאים‬
‫נוספים‪ .‬כל פתרון של מערכת משוואות זו אשר מקיים את כל התנאים אשר שיעורי‬
‫הנקודה ‪ M‬חייבים לקיים הוא פתרון לבעיה זו‪.‬‬
‫זוהי תוכנית כללית לפתרון תת‪-‬הבעיה הנ"ל‪ .‬נתחיל בביצועה‪.‬‬
‫ננסח את תנאי ‪ r1‬כך‪ :‬נקודה ‪ M‬מונחת על הישר ‪. ℓ : y = 4 x + 4‬‬
‫ננסח את תנאי ‪ r2‬כך‪ :‬נקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל העובר דרך נקודות )‪ A(−2,3‬ו‪-‬‬
‫)‪. B(6,5‬‬
‫נשים לב כי מתקיימות שתי הטענות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫מרכז המעגל הנזכר בתת‪-‬הבעיה הנוכחית מקיים את תנאים ‪ r1‬ו‪; r2 -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‬
‫‪147‬‬
‫זוג השיעורים של כל נקודה ‪ M‬המקיימת את התנאים ‪ r1‬ו‪ r2 -‬הוא פתרון של‬
‫תת‪-‬בעיה זו‪.‬‬
‫לכן אוסף של כל הפתרונות של תת‪-‬הבעיה הנוכחית הוא אוסף של כל הפתרונות של‬
‫מערכת המשוואות אשר אנחנו מנסים להרכיב‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ M‬המקיימות את התנאי ‪r1‬‬
‫)המקום הגיאומטרי הראשון(?‬
‫המקום הגיאומטרי הראשון הוא הישר ‪ . ℓ‬משוואתו היא ‪. y = 4 x + 4‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ M‬המקיימות את התנאי ‪r2‬‬
‫)המקום הגיאומטרי השני(? במילים אחרות‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים‬
‫העוברים דרך הנקודות )‪ A(−2,3‬ו‪? B(6,5) -‬‬
‫אם נקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל העובר דרך הנקודות )‪ A(−2,3‬ו‪ , B(6,5) -‬אז היא‬
‫נמצאת במרחקים שווים מנקודות אלו‪ .‬גם ההפך הוא נכון‪ :‬כל נקודה ‪ M‬הנמצאת‬
‫במרחקים שווים מהנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬היא מרכז המעגל העובר דרך נקודות אלו‪ .‬הרדיוס של‬
‫המעגל האחרון שווה למרחק בין נקודות ‪ M‬ו‪. A -‬‬
‫מכאן‬
‫המקום הגיאומטרי השני הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות‬
‫במרחקים שווים מקצות הקטע ‪. AB‬‬
‫קיים משפט גיאומטרי שלפיו‪ :‬האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגיאומטרי של כל‬
‫הנקודות במישור הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע‪ .‬לכן‬
‫המקום הגיאומטרי השני הוא האנך האמצעי לקטע ‪. AB‬‬
‫מתברר שגם המקום הגיאומטרי השני הוא ישר‪ .‬נסמן ישר זה ב‪ , ℓ′ -‬וננסה למצוא את‬
‫משוואתו‪.‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?‬
‫בעיות מסוג זה פותרים לעתים קרובות בדרך הבאה‪ :‬מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר‬
‫ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת הנקודות הנמצאות עליו; לאחר מכן מציבים את‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .14‬צועדים במעגל‬
‫‪148‬‬
‫המספרים שנמצאו בנוסחה הבאה למשוואה של ישר עם שיפועו ‪ m‬ואשר עובר דרך‬
‫הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫במטרה למצוא את השיפוע של הישר ‪ ℓ′‬ואת השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות‬
‫עליו נשאל את עצמנו‪ :‬מהו האנך האמצעי לקטע ‪? AB‬‬
‫האנך האמצעי לקטע ‪ AB‬הוא הישר המאונך לישר ‪ AB‬והעובר דרך אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫נסמן את אמצע הקטע ‪ AB‬ב‪ . N -‬נמצא את השיעורים של הנקודה ‪ N‬לפי הנוסחאות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪x A + xB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, xN‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪y A + yB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yN‬‬
‫לפי הנתון‬
‫)‪(12‬‬
‫)‪, A(−2,3‬‬
‫)‪(13‬‬
‫)‪B(6,5‬‬
‫נציב בנוסחאות )‪ (10‬ו‪ (11)-‬לפי שורות )‪ (12‬ו‪ ,(13)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪−2 + 6‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xN‬‬
‫‪3+5‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yN‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫)‪. N (2, 4‬‬
‫)‪(14‬‬
‫ברשותנו השיעורים של אחת הנקודות הנמצאות על הישר ‪ . ℓ′‬ננסה למצוא את השיפוע‬
‫' ‪ m‬של הישר‪ ,‬בהסתמך על כך ש‪-‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪ℓ′ ⊥ ℓ AB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪149‬‬
‫מטענה )‪ (15‬נובע כי‬
‫‪1‬‬
‫‪mAB‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪m′ = −‬‬
‫אם נצליח לחשב את השיפוע ‪ m AB‬של הישר ‪ , AB‬נוכל לחשב בעזרת שוויון זה את‬
‫השיפוע ' ‪ m‬של הישר ‪. ℓ′‬‬
‫מה אפשר לומר על הישר ‪? AB‬‬
‫הישר עובר דרך הנקודות )‪ A(−2,3‬ו‪ . B(6,5) -‬נוכל לחשב את השיפוע של הישר ‪AB‬‬
‫לפי הנוסחה‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫נציב בנוסחה זו את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪5−3 1‬‬
‫=‬
‫‪6+2 4‬‬
‫= ‪. mAB‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (16‬לפי שורה )‪ ,(17‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪m′ = − 4‬‬
‫נמצא את המשוואה של הישר ‪ ℓ′‬לפי הנוסחה‬
‫) ‪y − yN = m′( x − xN‬‬
‫כאשר נציב בנוסחה זו לפי שורות )‪ (14‬ו‪ ,(18)-‬נקבל את המשוואה הבאה של הישר ‪: ℓ′‬‬
‫)‪y − 4 = −4 ⋅ ( x − 2‬‬
‫מכאן‬
‫‪ℓ′ : y = −4 x + 12‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .14‬צועדים במעגל‬
‫‪150‬‬
‫כעת ברשותנו משוואות של שני ישרים העוברים דרך מרכז המעגל שאת משוואתו‬
‫התבקשנו למצוא בתחילת הפרק‪ .‬אם נפתור את המערכת הבאה המורכבת ממשוואות אלו‬
‫‪ y = 4x + 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −4 x + 12‬‬
‫נקבל כי פתרונה הוא )‪ . (1,8‬לכן מרכז המעגל המדובר הוא‬
‫)‪(19‬‬
‫)‪. M (1,8‬‬
‫כעת נחשב את רדיוס המעגל‪ .‬נשאל את עצמנו‪ :‬מה זה רדיוס של מעגל?‬
‫רדיוס של מעגל הוא אורך הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שרירותית על מעגל‬
‫זה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מכאן הרדיוס ‪ R‬של המעגל המדובר הוא אורך הקטע המחבר את הנקודות ‪ M‬ו‪: A -‬‬
‫‪R = AM‬‬
‫)‪(20‬‬
‫את אורך הקטע ‪ AM‬נוכל לחשב בעזרת הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪AM = ( xA − xM ) 2 + ( y A − yM ) 2‬‬
‫נציב בנוסחה זו את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ , M -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪34‬‬
‫יח' = ‪AM = (−2 − 1) 2 + (3 − 8) 2‬‬
‫משורות )‪ (20‬ו‪ (21)-‬נובע כי‬
‫)‪(22‬‬
‫‪34‬‬
‫יח' = ‪R‬‬
‫כאשר נציב בנוסחה )‪ (4‬לפי שורות )‪ (19‬ו‪ (22)-‬נקבל כי משוואת המעגל המדובר היא‬
‫‪( x − 1) 2 + ( y − 8) 2 = 34‬‬
‫‪ 1‬גם הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שרירותית על מעגל זה נקרא רדיוס המעגל‪ .‬לפעמים יש כמה‬
‫תשובות שונות לאותה שאלה‪ .‬צריך לדעת לבחור בתשובה המתאימה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪151‬‬
‫הערה‪ .‬בפתרון השני לבעיה הנתונה יכולנו לקבל את שוויון )‪ (22‬אחרת‪ :‬לאחר שקיבלנו את‬
‫השיעורים של נקודה ‪ M‬יכולנו להציב אותם בנוסחה )‪ (4‬ולקבל את הנוסחה הבאה‬
‫למשוואת המעגל הנדרשת‪:‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪( x − 1) 2 + ( y − 8) 2 = R 2‬‬
‫המעגל המדובר עובר דרך הנקודה )‪ . A(−2,3‬לכן השיעורים של נקודה זו מקיימים את‬
‫המשוואה האחרונה‪ .‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪(−2 − 1) 2 + (3 − 8) 2 = R 2‬‬
‫מכאן‬
‫‪. R 2 = 34‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .15‬לגעת במעגל‬
‫‪152‬‬
‫‪ .15‬לגעת במעגל‬
‫גם היום‪ ,‬אף על פי שהוא כבר סב‪ ,‬אפשר להבחין שבצעירותו איש זה היה בחור נאה שמשך את‬
‫תשומת לבן של בחורות רבות‪ .‬זמן מה לאחר שפגש את אשתו לעתיד‪ ,‬קבעו השניים לנסוע לחוף אגם‬
‫לשחות ולהשתזף‪.‬‬
‫לאחר שקבעו את הפגישה‪ ,‬חזר האיש הצעיר לביתו והביט בעצמו במראה‪ .‬הוא לא היה מרוצה ממה‬
‫שראה‪ .‬בחירת לבו היתה יפהפיה מהממת מאותו סוג של נשים צעירות שאי אפשר לחשוד בהן שהן‬
‫אנורקטיות‪ ,‬והיא התהדרה בפרופורציות עוצרות נשימה‪ .‬הוא פחד שבבגד ים ייראה לידה כמו דחליל‪.‬‬
‫האיש הצעיר החליט שעליו לנפח שרירים בדחיפות‪ ,‬ועליו להספיק לעשות זאת עד המפגש הקרוב עם‬
‫בחירת לבו‪ .‬אף על פי שגופו כאב‪ ,‬מפני שעבר זמן רב מאז עשה פעילות ספורטיבית‪ ,‬הוא התמיד והרים‬
‫משקולות כבדות במשך שעות ארוכות בכל יום שנותר עד הפגישה‪ .‬ומה הייתה התוצאה? שום שינוי‬
‫מהותי מלבד כאבי הגב אשר קיבל‪ ,‬ואשר מזכירים לו גם היום את אותם ימים‪ .‬הוא למד לקח‪ :‬לא‬
‫מפתחים שרירים בתוך כמה ימים‪ .‬גם יכולת גבוהה של חשיבה מתמטית לא מפתחים במשך שבוע‪-‬‬
‫שבועיים; ומתמטיקה היא כמו אישה קנאית‪ ,‬היא דורשת תשומת לב יום‪-‬יומית‪ ,‬וכשמבקשים את‬
‫ברכתה‪ ,‬מענישה המתמטיקה את כל אלו שזלזלו בה‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתון משולש שווה שוקיים ‪ .( AB = AC ) ABC‬אחד מקודקודי המשולש הוא‬
‫הנקודה )‪ . A(7,14‬משוואת המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬היא‬
‫‪ . ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬מצאו את משוואת הישר ‪. BC‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את משוואת הישר ‪. BC‬‬
‫כיצד מוצאים את המשוואה של ישר מסוים?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪153‬‬
‫בעיות מסוג זה פותרים לעתים קרובות בדרך הבאה‪ :‬מוצאים את השיפוע ‪ m‬של הישר‬
‫ואת השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של אחת מהנקודות הנמצאות עליו; לאחר מכן מציבים את‬
‫המספרים שנמצאו בנוסחה הבאה למשוואה של ישר עם שיפועו ‪ m‬ואשר עובר דרך‬
‫הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫מה נתון?‬
‫נתון כי‬
‫‪. AB = AC‬‬
‫)‪(1‬‬
‫גם נתון כי‬
‫)‪A(7,14‬‬
‫ונתונה משוואת המעגל החסום במשולש ‪ . ABC‬המשוואה היא‪:‬‬
‫‪. ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫על סמך משוואה זו מסיקים כי‬
‫מרכז המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬נמצא בנקודה )‪M (2, 4‬‬
‫ורדיוס ‪ R‬של מעגל זה הוא ‪ 5‬יח'‪:‬‬
‫‪ 5‬יח' = ‪R‬‬
‫את שיעוריה של איזו נקודה על הישר ‪ BC‬נוכל לנסות למצוא?‬
‫במטרה לנסות לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬מה אפשר לומר על הישר ‪? BC‬‬
‫ראשית‪,‬‬
‫הקטע ‪ BC‬הנמצא על ישר זה הוא בסיס במש"ש ‪. ABC‬‬
‫שנית‪,‬‬
‫הישר ‪ BC‬משיק למעגל הנתון‪.‬‬
‫באיזו נקודה הישר ‪ BC‬משיק למעגל הנתון?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .15‬לגעת במעגל‬
‫‪154‬‬
‫במטרה לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬באיזה משפט גיאומטרי מוזכרת נקודת‬
‫ההשקה בין ישר למעגל?‬
‫היא מוזכרת במשפט שלפיו‪ :‬הזווית בין משיק למעגל לרדיוס הנפגשים בנקודת‬
‫ההשקה היא בת ‪) 90°‬קיים גם משפט הפוך‪ :‬ישר המאונך לרדיוס ועובר דרך קצהו שעל‬
‫המעגל‪ ,‬הוא משיק למעגל(‪ .‬לכן אם נסמן ב‪ N -‬את נקודת ההשקה בין ישר ‪ BC‬למעגל‬
‫הנתון‪ ,‬נוכל לומר כי‬
‫‪MN ⊥ BC‬‬
‫)‪(2‬‬
‫ניעזר במשפט שלפיו‪ :‬מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות‬
‫של המשולש‪ .‬לכן‬
‫הקרן ‪ AM‬היא חצה הזווית ‪. BAC‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הזווית ‪ BAC‬היא זווית הראש במש"ש ‪) ABC‬ראו טענה )‪ .((1‬מכאן ומטענה )‪ (3‬נובע כי‬
‫‪. AM ⊥ BC‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)לפי המשפט‪ :‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה לבסיס(‪.‬‬
‫מנקודה הנמצאת מחוץ לישר אפשר להוריד אנך אחד ויחיד לישר זה‪ .‬לכן מטענות )‪ (2‬ו‪(4)-‬‬
‫נובע כי‬
‫הישר ‪ AM‬מתלכד עם הישר ‪. MN‬‬
‫מכאן נובע כי‬
‫)‪(5‬‬
‫הישר ‪ AM‬חותך את הישר ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬
‫לפי הסימון שנעשה לעיל‬
‫)‪(6‬‬
‫הנקודה ‪ N‬היא נקודת ההשקה בין הישר ‪ BC‬למעגל הנתון‪.‬‬
‫מטענות )‪ (5‬ו‪ (6)-‬נובע כי‬
‫הנקודה ‪ N‬היא נקודת החיתוך בין הישר ‪ AM‬למעגל הנתון‪.‬‬
‫לכן הזוג הסדור של שיעורי הנקודה ‪ N‬הוא פתרון של המערכת המורכבת ממשוואת הישר‬
‫‪ AM‬וממשוואת המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪155‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪M (2, 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪N -3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪C‬‬
‫מצאו בעצמכם בתור תרגיל את משוואת הישר ‪ . AM‬עליכם לקבל כי‬
‫‪ℓ AM : y = 2 x‬‬
‫)‪(7‬‬
‫לאחר מכן פתרו את המערכת‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2x‬‬
‫)‪(8‬‬
‫למערכת זו שני פתרונות‪ .‬אחד הפתרונות הוא )‪ . (2 − 5, 4 − 2 5‬הפתרון השני הוא‬
‫)‪ . (2 + 5, 4 + 2 5‬איזה מפתרונות אלו הוא הזוג הסדור של שיעורי הנקודה ‪? N‬‬
‫המעגל ‪ M‬חותך את הישר ‪ AM‬בשתי נקודות‪ :‬בנקודת ההשקה בין הישר ‪ BC‬לבין‬
‫המעגל ‪) M‬היא מסומנת ב‪ ,( N -‬ובנקודה הנמצאת בתוך משולש ‪ . ABC‬הנקודה‬
‫האחרונה נמצאת בתוך הקטע ‪ , AN‬כלומר היא נמצאת על הקטע ‪ , AN‬אך לא מתלכדת‬
‫עם אף אחד מקצותיו‪.‬‬
‫הנקודות )‪ (2 − 5, 4 − 2 5) , A(7,14‬ו‪ (2 + 5, 4 + 2 5) -‬נמצאות על הישר ‪. AM‬‬
‫מכאן ומהאי‪-‬שוויונים‬
‫‪2− 5 < 2+ 5 < 7‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .15‬לגעת במעגל‬
‫‪156‬‬
‫נובע כי הנקודה )‪ (2 + 5, 4 + 2 5‬נמצאת בתוך הקטע המחבר את הנקודה )‪A(7,14‬‬
‫עם הנקודה )‪. (2 − 5, 4 − 2 5‬‬
‫מהנאמר לעיל נובע כי‬
‫)‪(9‬‬
‫)‪N (2 − 5, 4 − 2 5‬‬
‫על סמך טענות )‪ (4‬ו‪ (7)-‬מקבלים כי‬
‫)‪(10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mAB‬‬
‫‪mBC = −‬‬
‫בהסתמך על שורות )‪ (9‬ו‪ (10)-‬מקבלים את המשוואה הבאה של הישר ‪: BC‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪y − 4 + 2 5 = − ( x − 2 + 5‬‬
‫‪2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‬
‫‪y = −0.5 x + 5 − 2.5 5‬‬
‫המשוואה האחרונה היא משוואה מפורשת של הישר ‪. BC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪157‬‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫בתחילת החופש הגדול שאלה אשתי את אחיינה‪" :‬איך התעודה שלך‪ ,‬איתי?"‬
‫"התעודה שלי מעולה‪ ,‬המועצה הפדגוגית החליטה שאני עולה לכיתה ד'‪".‬‬
‫"ולאיזו כיתה היית צריך לעלות‪ ,‬לכיתה ג'?"‬
‫"לא‪ ,‬למדתי השנה בכיתה ג' והמועצה הפדגוגית החליטה שאני עולה לכיתה ד'‪ .‬לכן תעודה שלי‬
‫מעולה‪".‬‬
‫בפרק הקודם מצאנו את משוואת הבסיס ‪ BC‬במשולש שווה השוקיים ‪ABC‬‬
‫) ‪ .( AB = AC‬ברשותנו היו שיעורי נקודה ‪ A‬ומשוואת המעגל החסום במשולש זה‪ .‬בפרק‬
‫הנוכחי נמצא את המשוואות של השוקיים ‪ AB‬ו‪ BC -‬באותו משולש ‪ . ABC‬למעשה אנו‬
‫לא זקוקים לכל הנתונים שקיבלנו בבעיה הקודמת‪ .‬נפתור את הבעיה הבאה‪:‬‬
‫בעיה‪ .‬נתון מעגל ‪ . ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬מצאו את משוואות המשיקים למעגל זה‬
‫העוברים דרך נקודה )‪. A(7,14‬‬
‫נפתור את הבעיה בשלוש דרכים שונות‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון א'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את משוואות המשיקים למעגל‬
‫‪( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫)‪(1‬‬
‫העוברים דרך הנקודה )‪. A(7,14‬‬
‫עלינו למצוא משוואות של ישרים מסוימים‪ .‬לכן נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מוצאים את‬
‫המשוואה של ישר מסוים?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪158‬‬
‫במקרים רבים כדי למצוא משוואת ישר מוצאים קודם כל את השיעורים של שתי נקודות‬
‫הנמצאות על הישר‪.‬‬
‫ומה עושים לאחר שמקבלים כי הישר עובר דרך נקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪? ( x2 , y2 ) -‬‬
‫אם ‪ , x1 = x2‬מסיקים כי משוואת הישר היא‬
‫‪. x = x1‬‬
‫אם ‪ , y1 = y2‬מסיקים כי משוואת הישר היא‬
‫‪. y = y1‬‬
‫אם ‪ x1 ≠ x2‬וגם ‪ , y ≠ y1‬נעזרים בנוסחה הבאה למשוואת ישר העובר דרך שתי נקודות‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x − x1‬‬
‫‪y − y1‬‬
‫=‬
‫‪x2 − x1 y2 − y1‬‬
‫או מוצאים את שיפוע הישר לפי הנוסחה‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫=‪m‬‬
‫ונעזרים בנוסחה הבאה למשוואת ישר ששיפועו ‪ m‬העובר דרך נקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫)‪(4‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫אם במצב של ‪ y1 = y2‬היה לכם קושי להבחין בכך שמשוואת הישר היא ‪ y = y1‬יש‬
‫באפשרותכם להיעזר בנוסחה )‪ (3‬ולקבל כי ‪ , m = 0‬ולאחר מכן להיעזר בנוסחה )‪.(4‬‬
‫נציין כי המשוואה הבאה שקולה למשוואה )‪:(4‬‬
‫) ‪y − y2 = m( x − x2‬‬
‫לפי הנתון הישרים שעלינו למצוא את משוואותיהם עוברים דרך הנקודה )‪ . A(7,14‬אם‬
‫נצליח למצוא עבור כל אחד מישרים אלו את השיעורים של עוד נקודה אחת הנמצאת עליו‪,‬‬
‫נוכל למצוא את המשוואות המבוקשות בדרכים המתוארות לעיל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪159‬‬
‫איזו נקודה מיוחדת‪ ,‬כלומר נקודה שיש משהו מייחד אותה מנקודות אחרות‪ ,‬קיימת על‬
‫משיק למעגל?‬
‫זוהי נקודת ההשקה‪.‬‬
‫באיזה משפט גיאומטרי נזכרים משיק למעגל ונקודת השקה?‬
‫קיים משפט שלפיו‪ :‬הזווית בין משיק למעגל לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה היא בת‬
‫‪ . 90°‬ישנו גם משפט הפוך‪ ,‬ולפיו‪ :‬ישר המאונך לרדיוס ועובר דרך קצהו שעל המעגל‪ ,‬הוא‬
‫משיק למעגל‪ .‬על סמך שני משפטים אלה מסיקים כי‪:‬‬
‫אם ישר ‪ ℓ‬עובר דרך נקודה ‪ A‬אשר נמצאת מחוץ למעגל‪ ,‬הוא משיק למעגל‬
‫הנתון אך ורק אם ישר זה גם עובר דרך נקודה ‪ , B‬המקיימת את שני התנאים‬
‫)‪(5‬‬
‫הבאים‪ :‬א( נקודה ‪ B‬נמצאת על המעגל הנתון; ב( מנקודה ‪ B‬רואים את‬
‫הקטע המחבר את נקודה ‪ A‬עם מרכז המעגל הנתון בזווית ישרה‪.‬‬
‫נקודה ‪ B‬מקיימת את שני התנאים הנזכרים בטענה )‪ (5‬אך ורק אם היא נקודה‬
‫משותפת למעגל הנתון ולמקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים בזווית ישרה את‬
‫הקטע המחבר את נקודה ‪ A‬עם מרכז המעגל הנתון‪.‬‬
‫מה הם השיעורים של מרכז המעגל הנתון?‬
‫מרכזו של מעגל זה נמצא בנקודה )‪ . (2, 4‬נסמן את נקודה זו ב‪. M -‬‬
‫כעת נשאל את עצמנו‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את הקטע‬
‫‪ AM‬בזווית ישרה?‬
‫כפי שהראינו בפרק ‪ ,12‬מקום גיאומטרי זה הוא המעגל )להוציא נקודות ‪ A‬ו‪ ( M -‬שהקטע‬
‫‪ AB‬הוא קוטרו‪ .‬מרכז המעגל האחרון הוא אמצע הקטע ‪ . AM‬רדיוס של מעגל זה שווה‬
‫למרחק בין אמצע הקטע ‪ AM‬לבין נקודה ‪ . M‬מצאו בעצמכם בתור תרגיל את משוואת‬
‫המעגל האחרון‪ .‬עליכם לקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 4.5) 2 + ( y − 9)2 = 31.25‬‬
‫כעת עלינו לפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪160‬‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − 4.5) + ( y − 9) = 31.25‬‬
‫מערכת משוואות זו שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪( x − 2)2 + ( y − 4)2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − 4.5) + ( y − 9) − ( x − 2) − ( y − 4) = 31.25 − 25‬‬
‫המשוואה השנייה במערכת המשוואות האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x = −2 y + 15‬‬
‫לכן מערכת )‪ (6‬שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x = −2 y + 15‬‬
‫)‪(7‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת זו לפי המשוואה השנייה‪ ,‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪(13 − 2 y ) 2 + ( y − 4)2 = 25‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y 2 − 12 y + 32 = 0‬‬
‫פתרונות משוואה זו הם‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪y1 = 4 , y2 = 8‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של מערכת )‪ (7‬לפי שורה )‪ ,(8‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x1 = 7 , x2 = −1‬‬
‫קיבלנו כי המעגל הנתון והמקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את הקטע‬
‫‪ AM‬בזווית ישרה נחתכים בנקודות )‪ B1 (7, 4‬ו‪. B2 ( −1,8) -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪161‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪A(7,14‬‬
‫‪(x−4.5)2 +(y −9)2 =31.25‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪M (2, 4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪( x − 2) + ( y − 4) = 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫המשיקים למעגל הנתון העוברים דרך נקודה ‪ A‬הם הישרים ‪ AB1‬ו‪. AB2 -‬‬
‫שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ B1 -‬שווים לאותו מספר‪ :‬ל‪ . 7 -‬לכן משוואת הישר ‪AB1‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪.x =7‬‬
‫שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ B2 -‬שונים זה מזה‪ .‬לכן שיפוע הישר ‪ AB2‬מוגדר‪ .‬נציב‬
‫בנוסחה )‪ (3‬את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ B2 -‬לפי השוויונים‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪x1 = 7, y1 = 14, x2 = −1, y2 = 8‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪8 − 14 3‬‬
‫=‬
‫‪−1 − 7 4‬‬
‫=‪m‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪162‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (4‬את‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ m‬ואת שיעורי נקודה ‪ . A‬נקבל את המשוואה הבאה של‬
‫הישר ‪: AB2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪( x − 7‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪y − 14‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x +8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(10‬‬
‫=‪y‬‬
‫עכשיו נקבל את משוואת הישר ‪ AB2‬בדרך אחרת‪ :‬ניעזר בנוסחה )‪ .(2‬נציב בנוסחה זו‬
‫לפי שורה )‪ ,(9‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x−7‬‬
‫‪y − 14‬‬
‫=‬
‫‪−1 − 7 8 − 14‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x − 7 y − 14‬‬
‫=‬
‫‪−8‬‬
‫‪−6‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה )‪.(10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫תשובה‪x + 8 , x = 7 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪.y‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ב'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את משוואות המשיקים למעגל‬
‫)‪(11‬‬
‫‪( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫העוברים דרך הנקודה )‪. A(7,14‬‬
‫ניעזר בנוסחה הבאה למשוואת הישר ששיפועו ‪ m‬העובר דרך הנקודה ) ‪: ( x1 , y1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪163‬‬
‫) ‪y − y1 = m( x − x1‬‬
‫בהסתמך על נוסחה זו מסיקים כי כל ישר אשר עובר דרך הנקודה )‪ A(7,14‬ולא מאונך‬
‫לציר ה‪ x -‬מיוצג על ידי משוואה מן הצורה‪:‬‬
‫)‪y − 14 = m( x − 7‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪y = mx − 7m + 14‬‬
‫)‪(12‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪−mx + y + 7m − 14 = 0‬‬
‫)‪(13‬‬
‫נסמן ב‪ ℓ m -‬את הישר המיוצג על ידי משוואה )‪.(13‬‬
‫נציין כי משפחת הישרים המיוצגים על ידי משוואה מן הצורה )‪ (13‬היא משפחה של כל‬
‫הישרים העוברים דרך )‪ A(7,14‬ואינם מאונכים לציר ה‪. x -‬‬
‫נציין גם כי משפחת ישרים זו לא כוללת את הישר ‪ , x = 7‬אשר גם עובר דרך הנקודה‬
‫)‪ A(7,14‬כיוון שהישר האחרון מאונך לציר ה‪ x -‬ושיפועו לא מוגדר‪.‬‬
‫עד כה נעזרנו רק בכך שהישרים שאת משוואותיהם עלינו למצוא עוברים דרך הנקודה‬
‫)‪ . A(7,14‬במה מהנתון טרם נעזרנו?‬
‫לא נעזרנו בכך שהישרים המדוברים הם משיקים למעגל ‪. ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫איזה משפט גיאומטרי יכול לעזור לנו לפתור את הבעיה? אילו משפטים גיאומטריים‬
‫אודות משיקים קיים?‬
‫המטרה של השאלה האחרונה היא לאלץ את פותר הבעיה להיזכר במשפט שלפיו‪:‬‬
‫הזווית בין משיק למעגל לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה היא בת ‪. 90°‬‬
‫לאורך האנך המורד לישר מהנקודה הנמצאת מחוץ לישר קוראים מרחק בין ישר הנקודה‬
‫לבין הישר‪ .‬לכן על סמך המשפט אשר הזכרנו ניתן להסיק כי‬
‫)‪(14‬‬
‫מרחק בין מרכז המעגל למשיק למעגל שווה לרדיוס המעגל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪164‬‬
‫האם מתקיימת גם הטענה ההפוכה לזו? האם כל ישר אשר נמצא במרחק שווה לרדיוס‬
‫המעגל ממרכז המעגל‪ ,‬משיק למעגל?‬
‫כן‪,‬‬
‫)‪ (15‬כל ישר אשר נמצא במרחק שווה לרדיוס המעגל ממרכז המעגל‪ ,‬משיק למעגל‪.‬‬
‫באמת‪ ,‬אם ישר ‪ ℓ‬נמצא במרחק ‪ R‬ממרכז המעגל ‪ M‬שרדיוסו ‪ , R‬אז אורך האנך‬
‫המורד מנקודה ‪ M‬לישר ‪ ℓ‬שווה ל‪ ; R -‬לפי כך הקצה של האנך הנ"ל אשר נמצא על הישר‬
‫‪ , ℓ‬נמצא גם על המעגל המדובר )הרי המעגל שמרכזו ‪ M‬רדיוסו ‪ R‬הוא אוסף של כל‬
‫הנקודות במישור הנמצאות במרחק ‪ R‬מהנקודה ‪ ;( M‬מכאן נובע כי טענה )‪ (15‬מתקיימת‬
‫)לפי המשפט הבא‪ :‬ישר המאונך לרדיוס ועובר דרך קצהו שעל המעגל‪ ,‬הוא משיק למעגל(‪.‬‬
‫כדי שנוכל להיעזר בטענות )‪ (14‬ו‪ (15)-‬לפתרון הבעיה עלינו למצוא את מרכז המעגל הנתון‬
‫בבעיה ואת רדיוסו‪.‬‬
‫על סמך משוואה )‪ (1‬מסיקים כי מרכז המעגל הנתון נמצא בנקודה )‪ M (2, 4‬ורדיוסו שווה‬
‫ל‪ 5 -‬יח'‪:‬‬
‫‪ 5‬יח' = ‪R‬‬
‫במשפחת הישרים המיוצגת על ידי משוואה )‪ (13‬ננסה להבחין במשוואה של הישר הנמצא‬
‫במרחק ‪ 5‬יח' מנקודה )‪. M (2, 4‬‬
‫על סמך טענות )‪ (14‬ו‪ (15)-‬מגיעים למסקנה כי‬
‫)‪(16‬‬
‫ישר משיק למעגל הנתון בבעיה אך ורק אם הוא נמצא במרחק ‪ 5‬יח'‬
‫מנקודה )‪. M (2, 4‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהי הנוסחה למציאת מרחק בין נקודה לישר?‬
‫את המרחק ‪ d‬בין נקודה ) ‪ ( x0 , y0‬לישר‪ ,‬המיוצג על ידי המשוואה הכללית‬
‫‪ , ax + by + c = 0‬אפשר לחשב לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫| ‪| ax0 + by0 + c‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪165‬‬
‫על סמך נוסחה זו מסיקים כי עבור המרחק ) ‪ d ( M , ℓ m‬בין נקודה )‪ M (2, 4‬לבין הישר‬
‫‪ ℓ m‬המיוצג על ידי משוואה )‪ (13‬מתקיים‪:‬‬
‫|‪5| m−2‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫=‬
‫| ‪| −2m + 4 + 7m − 14‬‬
‫‪m +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪d (M , ℓ m‬‬
‫על סמך טענה )‪ (16‬ושורה )‪ (18‬מסיקים כי הישר ‪ ℓ m‬משיק למעגל הנתון בבעיה אך ורק אם‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪=5‬‬
‫|‪5| m−2‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫נתייחס לשוויון זה כאל משוואה עם הנעלם ‪ m‬ונפתור משוואה זו‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪= 5 ⇔ | m − 2 |= m 2 + 1 ( ) 2 ⇔ m 2 − 4m + 4 = m 2 + 1 ⇔ m‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב את‬
‫‪4‬‬
‫|‪5|m−2‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫= ‪ m‬במשוואה )‪ ,(12‬ונקבל את המשוואה הבאה של הישר המשיק למעגל‬
‫הנתון ועובר דרך הנקודה )‪: A(7,14‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x +8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪y‬‬
‫דרך נקודה הנמצאת מחוץ למעגל אפשר להעביר שני משיקים למעגל‪ ,‬אך קיבלנו רק‬
‫משוואה אחת ‪ -‬של אחד משני הישרים העוברים דרך הנקודה )‪ A(7,14‬ומשיקים למעגל‬
‫הנתון‪.‬‬
‫מדוע לא קיבלנו את המשוואה של המשיק השני?‬
‫כי לא התבוננו בכל הישרים העוברים דרך נקודה ‪ ; A‬חיפשנו את משוואות המשיקים אך‬
‫ורק בין משוואות מן הצורה )‪ ;(13‬משפחת הישרים המיוצגת על ידי משוואה )‪ (13‬כוללת‬
‫את כל הישרים שאינם מאונכים לציר ה‪ x -‬אשר עוברים דרך נקודה ‪ ; A‬משפחת ישרים זו‬
‫אינה כוללת את הישר העובר דרך נקודה ‪ A‬ומאונך לציר ה‪ . x -‬נראה כי הישר האחרון‬
‫משיק למעגל הנתון‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪166‬‬
‫מהי המשוואה של הישר העובר דרך נקודה )‪ A(7,14‬ומאונך לציר ה‪? x -‬‬
‫המשוואה של ישר זה היא‬
‫‪.x =7‬‬
‫מהו המרחק בין הישר האחרון לבין הנקודה )‪? M (2, 4‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬כיצד מחשבים מרחק ‪ d‬בין נקודה ) ‪( x1 , y1‬‬
‫לישר ‪? x = x0‬‬
‫הדרך הפשוטה ביותר לחישוב מרחק זה היא להיעזר בנוסחה‬
‫| ‪d =| x1 − x0‬‬
‫לפי נוסחה זו המרחק בין הנקודה )‪ M (2, 4‬לישר ‪ x = 7‬הוא‬
‫‪ 5‬יח' =| ‪d =| 2 − 7‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫המרחק בין הנקודה )‪ M (2, 4‬לישר ‪ x = 7‬שווה לרדיוס המעגל הנתון‪.‬‬
‫לכן הישר ‪ x = 7‬משיק למעגל זה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫תשובה‪x + 8 , x = 7 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪.y‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ג'‪.‬‬
‫כמו בפתרון הבעיה בשיטה הקודמת‪ ,‬נקבל כי משוואת הישר ששיפועו ‪ m‬העובר דרך‬
‫הנקודה )‪ A(7,14‬היא‬
‫‪y = mx − 7m + 14‬‬
‫)‪(19‬‬
‫לאחר מכן נשאל את עצמנו‪ :‬מהו משיק למעגל?‬
‫משיק למעגל הוא ישר שיש לו נקודה אחת משותפת עם המעגל‪.‬‬
‫מכאן ישר )‪ (19‬משיק למעגל‬
‫)‪(20‬‬
‫‪( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪167‬‬
‫אך ורק אם למערכת‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = mx − 7 m + 14‬‬
‫)‪(21‬‬
‫יש פתרון יחיד )שני פתרונות שווים(‪.‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת זו לפי המשוואה השנייה‪ ,‬ונקבל את המשוואה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 2)2 + (mx − 7 m + 10)2 = 25‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪(m 2 + 1) x 2 − (14m 2 − 20m + 4) x + 49m 2 − 140m + 79 = 0‬‬
‫זו משוואה ריבועית‪ .‬למשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות שונים‪ ,‬שני פתרונות‬
‫שווים זה לזה )במקרה זה אומרים לעתים קרובות שלמשוואה ריבועית יש פתרון יחיד( או‬
‫שאין אף פתרון‪.‬‬
‫אם למשוואה )‪ (22‬יש פתרון יחיד‪ ,‬אז גם למערכת )‪ (21‬יש פתרון יחיד; אם למשוואה )‪(22‬‬
‫יש שני פתרונות שונים‪ ,‬אז גם למערכת )‪ (21‬יש שני פתרונות שונים; אם למשוואה )‪ (22‬אין‬
‫אף פתרון‪ ,‬אז גם למערכת )‪ (21‬אין אף פתרון‪.‬‬
‫למשוואה )‪ (22‬יש פתרון יחיד )שני פתרונות שווים זה לזה( אך ורק אם הדיסקרימיננטה‬
‫שלה‬
‫)‪∆ = (14m 2 − 20m + 4) 2 − 4(m 2 + 1)(49m 2 − 140m + 79‬‬
‫שווה ל‪. 0 -‬‬
‫לאחר פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל כי‬
‫‪∆ = 400m − 300‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪400m − 300 = 0‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .16‬הם יצאו מאותו מקום‬
‫‪168‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב את‬
‫‪4‬‬
‫=‪m‬‬
‫= ‪ m‬במשוואה )‪ (12‬ונקבל את המשוואה הבאה של הישר המשיק למעגל הנתון‬
‫ועובר דרך הנקודה )‪: A(7,14‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x +8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪y‬‬
‫עדיף להראות שהישר ‪ x = 7‬משיק למעגל הנתון בשיטה הקודמת‪ .‬אפשר גם להראות כי‬
‫למערכת‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪x = 7‬‬
‫יש פתרון יחיד‪ .‬עשו זאת בעצמכם בתור תרגיל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪169‬‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫שלושה חכמים עיוורים החליטו לחקור ולברר מה זה פיל‪ .‬החכם הראשון נגע ברגלו של הפיל ואמר‬
‫כי הפיל דומה לעמוד; החכם השני נגע בצדו של הפיל ואמר כי הפיל דומה לקיר‪ ,‬החכם השלישי נגע‬
‫בזנבו של הפיל ואמר כי הפיל הוא נחש‪.‬‬
‫)משל הודי(‬
‫תלמידים אשר תוך כדי פתרון בעיה בגיאומטריה אנליטית מצליחים להרכיב מספר‬
‫משוואות עם אותו מספר נעלמים‪ ,‬אך לא מתבוננים במערכת המורכבת ממשוואות אלו –‬
‫מזכירים לי את החכמים העיוורים מהמשל ההודי העתיק‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתון מעגל ‪. ( x − 22) 2 + ( y − 50)2 = 1480‬‬
‫א( הוכיחו כי נקודה )‪ E (10,15‬נמצאת בתוך המעגל הנתון‪.‬‬
‫ב( מיתר ‪ AB‬עובר דרך נקודה ‪ . E‬הקטע ‪ BE‬גדול פי ‪ 3‬מהקטע ‪ . AE‬מצאו את‬
‫שיעורי הקצוות של המיתר ‪ AB‬ואת אורכו‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון סעיף א'‪.‬‬
‫מה צריך להוכיח?‬
‫צריך להוכיח כי נקודה )‪ E (10,15‬נמצאת בתוך המעגל ‪. ( x − 22) 2 + ( y − 50)2 = 1480‬‬
‫כיצד אפשר לקבוע אם נקודה נמצאת בתוך מעגל‪ ,‬על מעגל או מחוץ למעגל?‬
‫נקודה במישור נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו ‪ R‬אך ורק אם המרחק‬
‫שלה מנקודה ‪ M‬שווה ל‪ ; R -‬נקודה במישור נמצאת בתוך מעגל שמרכזו בנקודה ‪M‬‬
‫ורדיוסו ‪ R‬אך ורק אם המרחק שלה מנקודה ‪ M‬קטן מ‪ ; R -‬נקודה במישור נמצאת‬
‫מחוץ למעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ורדיוסו ‪ R‬אך ורק אם המרחק שלה מנקודה ‪ M‬גדול‬
‫מ‪. R -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪170‬‬
‫כעת מובן כי עלינו להוכיח כי המרחק בין נקודה ‪ E‬לבין מרכז המעגל הנתון קטן מרדיוס‬
‫המעגל‪.‬‬
‫מהם השיעורים של מרכז המעגל הנתון ושל רדיוסו?‬
‫מרכז המעגל הנתון נמצא בנקודה )‪ . M (22,50‬רדיוס המעגל שווה ל‪ 1480 -‬יח'‪:‬‬
‫‪ 1480‬יח' = ‪R‬‬
‫)‪(1‬‬
‫נמצא את המרחק בין נקודות ‪ E‬ו‪ M -‬לפי הנוסחה‬
‫‪d ( M , E ) = ( xE − xM ) 2 + ( yE − yM ) 2‬‬
‫נציב בנוסחה זו את השיעורים של נקודות ‪ E‬ו‪ . M -‬נקבל‪:‬‬
‫‪d ( M , E ) = (10 − 22)2 + (15 − 50)2‬‬
‫עלינו להראות כי‬
‫‪d (M , E) < R‬‬
‫)‪(2‬‬
‫כלומר עלינו להראות כי‬
‫‪(10 − 22) 2 + (15 − 50) 2 < 1480‬‬
‫האי‪-‬שוויון האחרון מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪(10 − 22) 2 + (15 − 50) 2 < 1480‬‬
‫)‪(3‬‬
‫אפשר לקבל את האי‪-‬שוויון האחרון גם בדרך הבאה‪ :‬יכולנו להציב במשוואת המעגל‬
‫הנתון את השיעורים של נקודה ‪ E‬ולהחליף את הסימן = בסימן < ‪.‬‬
‫האגף השמאלי של האי‪-‬שוויון )‪ (3‬שווה ל‪ . 1380 -‬לכן אי‪-‬שוויון זה מתקיים‪ .‬מכאן נובע‬
‫כי אי‪-‬שוויון )‪ (2‬מתקיים‪ .‬לכן נקודה ‪ E‬נמצאת בתוך המעגל הנתון‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון א' לסעיף ב'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את שיעורי הקצוות של המיתר ‪ AB‬במעגל הנתון ואת אורכו של מיתר זה‪.‬‬
‫מה נאמר בבעיה על מיתר ‪? AB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪171‬‬
‫לפי הנתון‬
‫המיתר ‪ AB‬עובר דרך נקודה )‪. E (10,15‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כמו כן נתון כי‬
‫‪BE = 3 AE‬‬
‫)‪(5‬‬
‫כיצד מוצאים את אורכו של מיתר במעגל?‬
‫בגיאומטריה אנליטית אפשר לעתים קרובות לפתור בעיות מסוג זה בדרך הבאה‪:‬‬
‫מוצאים את שיעורי קצות המיתר‪ ,‬ולאחר מכן נעזרים בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי‬
‫נקודות‪.‬‬
‫ננסה לפתור את הבעיה בדרך זו‪ .‬ראשית ננסה למצוא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫זאת בעיה עם ארבעה נעלמים‪ .‬ננסה להרכיב ארבע משוואות עם נעלמים אלו‪.‬‬
‫נתבונן שוב בנתונים בבעיה‪ .‬לפי הנתון‬
‫)‪(6‬‬
‫הקטע ‪ AB‬הוא מיתר במעגל ‪. ( x − 22) 2 + ( y − 50)2 = 1480‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬מהו מיתר במעגל?‬
‫מיתר במעגל הוא קטע ששני קצותיו נמצאים על המעגל‪ .‬לכן טענה )‪ (6‬מתקיימת אך ורק‬
‫אם‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על המעגל ‪. ( x − 22) 2 + ( y − 50)2 = 1480‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על המעגל הנתון אך ורק אם שיעוריה מקיימים את משוואת המעגל‪,‬‬
‫כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫גם נקודה ‪ B‬נמצאת על המעגל הנתון אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪( xB − 22) 2 + ( yB − 50)2 = 1480‬‬
‫בהסתמך על טענה )‪ (6‬הרכבנו שתי משוואות עם הנעלמים ‪ xB , y A , xA‬ו‪. yB -‬‬
‫במה מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו?‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪172‬‬
‫לא השתמשנו בטענות )‪ (4‬ו‪ .(5)-‬כשמתבוננים בטענות אלו כדאי להיזכר במשפט שלפיו‪:‬‬
‫אם נקודה ) ‪ P( xP , yP‬מחלקת את הקטע ‪ , AB‬המחבר את הנקודות ) ‪ A( x A , y A‬ו‪-‬‬
‫‪AP k‬‬
‫) ‪ B ( xB , yB‬ביחס ‪) k : l‬כלומר =‬
‫‪PB l‬‬
‫(‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪lx A + kxB‬‬
‫‪ly + kyB‬‬
‫‪, yP = A‬‬
‫‪k +l‬‬
‫‪k +l‬‬
‫)‪(7‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫על סמך טענות )‪ (4‬ו‪ (5)-‬ועל סמך המשפט האחרון מקבלים כי‬
‫‪3 ⋅ x A + 1 ⋅ xB‬‬
‫‪3 ⋅ y A + 1 ⋅ yB‬‬
‫= ‪, yE‬‬
‫‪3 +1‬‬
‫‪3 +1‬‬
‫)‪(8‬‬
‫= ‪xE‬‬
‫נציב בשוויונים הרשומים בשורה )‪ (8‬את השיעורים של נקודה )‪ , E (10,15‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3 x A + xB‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪10‬‬
‫‪3 y A + yB‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪15‬‬
‫כעת ברשותנו המערכת‬
‫)‪(9‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( xB − 22) + ( yB − 50) = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 = 3 x A + xB‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 y + yB‬‬
‫‪15 = A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫של ארבע משוואות עם ארבעה נעלמים‪ .‬נפתור אותה בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪173‬‬
‫פתרון מערכת )‪ .(9‬דרך א'‪.‬‬
‫ראשית נבודד את ‪ xB‬במשוואה השלישית ואת ‪ yB‬במשוואה הרביעית של המערכת‪.‬‬
‫נקבל את מערכת המשוואות הבאה‪.‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪( xB − 22) 2 + ( yB − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 40 − 3 xA‬‬
‫‪ y = 60 − 3 y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ B‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של מערכת זו לפי המשוואות השלישית והרביעית‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50) 2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪(18 − 3x A ) 2 + (10 − 3 y A ) 2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 40 − 3x A‬‬
‫‪ y = 60 − 3 y‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪A‬‬
‫נחסר מהמשוואה השנייה של המערכת האחרונה את המשוואה הראשונה המוכפלת ב‪. 9 -‬‬
‫נקבל את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪(18 − 3 xA )2 − 9( xA − 22) 2 + (10 − 3 y A ) 2 − 9( y A − 50) 2 = −11840‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 40 − 3 xA‬‬
‫‪ y = 60 − 3 y‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪A‬‬
‫המשוואה השנייה במערכת האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪288 xA + 840 y A = 14592‬‬
‫נבודד את ‪ y A‬במשוואה האחרונה‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪xA + 17‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪yA = −‬‬
‫קיבלנו כי מערכת משוואות )‪ (9‬שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪174‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = − 12 x + 17 13‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x = 40 − 3 x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪(13‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת )‪ (13‬לפי המשוואה השנייה שלה )כלומר לפי‬
‫משוואה )‪ ,((12‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪22‬‬
‫‪xA − 32 ) 2 = 1480‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪( x A − 22)2 + (−‬‬
‫לאחר פתיחת סוגריים‪ ,‬העברת כל האיברים לאגף השמאלי של המשוואה וכינוס איברים‬
‫דומים‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1369 2 26492‬‬
‫‪84064‬‬
‫‪xA −‬‬
‫‪xA +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1225‬‬
‫‪1225‬‬
‫‪1225‬‬
‫נכפיל את המשוואה האחרונה ב‪ , 1225 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1369 xA 2 − 26492 x A + 84064 = 0‬‬
‫נפתור את המשוואה האחרונה‪:‬‬
‫‪26492 ± (26492) 2 − 4 ⋅1369 ⋅ 84064 26492 ± 15540‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2 ⋅1369‬‬
‫‪2 ⋅1369‬‬
‫‪( x A )1,2‬‬
‫מכאן‬
‫‪13‬‬
‫‪, ( xA )2 = 4‬‬
‫‪37‬‬
‫‪( x A )1 = 15‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪xA = 4‬‬
‫או‬
‫‪13‬‬
‫‪37‬‬
‫‪x A = 15‬‬
‫נציב את ‪ x A = 4‬במשוואות השנייה והשלישית של מערכת )‪ ,(13‬ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪175‬‬
‫‪, y A = 16‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪xB = 28‬‬
‫נציב במשוואה הרביעית של מערכת )‪ (13‬לפי שורה )‪ ,(14‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yB = 12‬‬
‫‪13‬‬
‫באופן דומה נקבל שאם‬
‫‪37‬‬
‫‪ , x A = 15‬אז‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪, xB = −6 , yB = 23‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪y A = 12‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪xA = 4, y A = 16, xB = 28, yB = 12‬‬
‫)‪(15‬‬
‫או‬
‫)‪(16‬‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪, y A = 12 , xB = −6 , yB = 23‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪xA = 15‬‬
‫פתרון של מערכת )‪ .(9‬דרך ב'‪.‬‬
‫לא מסובך להוכיח כי‬
‫)‪(17‬‬
‫המיתר ‪ AB‬אינו מאונך לציר ה‪. x -‬‬
‫כיוון שאם המיתר ‪ AB‬מאונך לציר ה‪ , x -‬אז‬
‫)‪(18‬‬
‫‪ xA = 10‬וגם ‪xB = 10‬‬
‫)מכיוון שהמיתר ‪ AB‬עובר דרך נקודה )‪ ,( E (10,15‬ושיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬מקיימים‬
‫את מערכת המשוואות המורכבת מהמשוואות הכלולות במערכת )‪ (9‬ומהמשוואות‬
‫הרשומות בשורה )‪ ;(18‬קל לבדוק )עשו זאת בעצמכם( כי למערכת זו אין אף פתרון‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪176‬‬
‫באופן דומה מקבלים כי‬
‫המיתר ‪ AB‬אינו מאונך לציר ה‪. y -‬‬
‫)‪(19‬‬
‫כעת נשים לב שמערכת )‪ (9‬שקולה למערכת הבאה‬
‫)‪(20‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50)2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪[( xB − 22) 2 − ( xA − 22) 2 ] + [( yB − 50) 2 − ( y A − 50)2 ] = 1480 − 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = 40 − 3 xA‬‬
‫‪ y = 60 − 3 y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ B‬‬
‫)חיסרנו מהמשוואה הראשונה של מערכת )‪ (9‬את המשוואה השנייה‪ ,‬בידדנו את ‪xB‬‬
‫במשוואה השלישית ואת ‪ yB‬במשוואה הרביעית(‪.‬‬
‫המשוואה השנייה במערכת המשוואות האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( xB − xA )( x A + xB − 44) + ( yB − y A )( y A + yB − 100) = 0‬‬
‫נחלק את המשוואה האחרונה ב‪) ( xB − x A ) -‬ראו טענה )‪ .((17‬נקבל‪:‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪⋅ ( y A + yB − 100) = 0‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫הביטוי‬
‫‪xB − x A‬‬
‫‪xA + xB − 44 +‬‬
‫במשוואה האחרונה שווה לשיפוע ‪ mAB‬של הישר ‪ . AB‬לכן נוכל לרשום‬
‫את משוואה )‪ (21‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪xA + xB − 44 + mAB ( y A + yB − 100) = 0‬‬
‫נציב במשוואה )‪ (22‬לפי המשוואה השלישית והמשוואה הרביעית במערכת משוואות )‪,(10‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪xA + 40 − 3 xA − 44 + mAB ( y A + 60 − 3 y A − 100) = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪−2 x A − 4 + mAB (−2 y A − 40) = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪177‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x A + 2 + mAB ( y A + 20) = 0‬‬
‫נבודד במשוואה האחרונה את הביטוי ‪ . y A + 20‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x A + 2‬‬
‫‪mAB‬‬
‫‪y A + 20 = −‬‬
‫)מטענה )‪ (19‬נובע כי ‪.( mAB ≠ 0‬‬
‫נתבונן במשוואה האחרונה וננסה להסיק מסקנות‪.‬‬
‫אם נתייחס למשוואה זו כאל שוויון שאותו מקיימים שיעורי הנקודה ‪ , A‬נוכל לומר‬
‫שנקודה זו נמצאת על הישר‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x + 2‬‬
‫‪mAB‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪y + 20 = −‬‬
‫ומה אפשר לומר על ישר זה?‬
‫הישר )‪ (23‬עובר דרך הנקודה )‪. N (−2, −20‬‬
‫‪1‬‬
‫יתרה מזאת‪ ,‬השיפוע של הישר )‪ (23‬שווה ל‪-‬‬
‫‪mAB‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪ , −‬ולכן‬
‫ישר )‪ (23‬מאונך לישר ‪. AB‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת בתוך הקטע ‪ . AB‬לכן טענה )‪ (24‬מתקיימת אך ורק אם‬
‫‪∡EAN = 90°‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬טענה )‪ (24‬מתקיימת אך ורק אם‬
‫מנקודה ‪ A‬רואים את הקטע ‪ EN‬בזווית ישרה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪178‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪N‬‬
‫מהו המקום גיאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את הקטע ‪ EN‬בזווית ישרה?‬
‫מקום גיאומטרי זה הוא המעגל )להוציא הנקודות ‪ E‬ו‪ ( N -‬שהקטע ‪ EN‬הוא קוטרו‪.‬‬
‫מצאו בעצמכם את המשוואה של המעגל האחרון‪ .‬עליכם לקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(25‬‬
‫‪( x − 4) 2 + ( y + 2.5) 2 = 342.25‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על המעגל הנתון ‪ ( x − 22) 2 + ( y − 50)2 = 1480‬וגם על מעגל )‪.(25‬‬
‫כלומר היא נקודת החיתוך של שני המעגלים‪ .‬כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ A‬עלינו‬
‫לפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪( x A − 22) 2 + ( y A − 50) 2 = 1480‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x A − 4) + ( y A + 2.5) = 342.25‬‬
‫פתרו מערכת משוואות זו בעצמכם בתור תרגיל‪ .‬עליכם לקבל כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪xA = 4, y A = 16‬‬
‫‪179‬‬
‫או‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, y A = 12‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪xA = 15‬‬
‫נציב את ‪ x A = 4‬במשוואה השלישית‪ ,‬ואת ‪ y A = 16‬במשוואה הרביעית של מערכת‬
‫משוואות )‪ ,(9‬ונקבל‪:‬‬
‫‪xB = 28, yB = 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪13‬‬
‫אם נציב באותן משוואות את‬
‫‪ x A = 15‬ואת‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪, yB = 23‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ , y A = 12‬נקבל‪:‬‬
‫‪x B = −6‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪xA = 4, y A = 16, xB = 28, yB = 12‬‬
‫)‪(26‬‬
‫או‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪, y A = 12 , xB = −6 , yB = 23‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫)‪(27‬‬
‫‪xA = 15‬‬
‫סיום פתרון א' לסעיף ב'‪.‬‬
‫עבור שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הרשומים בשורה )‪) (15‬ובשורה )‪ ((26‬אורך הקטע ‪AB‬‬
‫הוא‬
‫‪592‬‬
‫יח' = ‪AB = (28 − 4) 2 + (12 − 16) 2‬‬
‫גם עבור שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הרשומים בשורה )‪) (16‬ובשורה )‪ ((27‬אורך הקטע ‪AB‬‬
‫שווה ל‪592 -‬‬
‫יח'‪:‬‬
‫‪592‬‬
‫תשובה לסעיף ב'‪592 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪25‬‬
‫‪4‬‬
‫יח' = ‪− 15 ) 2 + (23 − 12 ) 2‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪AB = (−6‬‬
‫יח' )כ‪ 24.331 -‬יח'(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪180‬‬
‫הערה ‪ .1‬שימו לב כי לא במקרה אורך המיתר ששיעורי קצותיו רשומים בשורה )‪ (26‬שווה‬
‫לאורך המיתר שקצותיו רשומים בשורה )‪ .(27‬שני המיתרים סימטריים זה לזה ביחס לישר‬
‫העובר דרך נקודה ‪ E‬ודרך מרכז המעגל הנתון‪.‬‬
‫הערה ‪ .2‬גיאומטריה אנליטית מאפשרת לפתור בעיות רבות של הנדסת המישור בעזרת‬
‫שימוש באלגברה‪ .‬הדרך השנייה שבה פתרנו את מערכת משוואות )‪ (9‬מראה שלפעמים‬
‫אפשר לפתור בעיות אלגבריות הן בעזרת גיאומטריה אנליטית והן בעזרת משפטים של‬
‫הנדסת המישור‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ב' לסעיף ב'‪.‬‬
‫נתבונן במשולש ‪) MAB‬נזכיר כי הנקודה )‪ M (22,50‬היא מרכז המעגל הנתון(‪ .‬הצלעות‬
‫‪ MA‬ו‪ MB -‬של משולש זה הן רדיוסים במעגל הנתון‪ .‬מכאן ומשוויון )‪ (1‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ 1480‬יח' = ‪MA = MB‬‬
‫)‪(28‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את אורך הקטע ‪ AE‬וב‪ h -‬את אורך הגובה ‪ MH‬לבסיס ‪ AB‬במשולש שווה‬
‫שוקיים ‪: MAB‬‬
‫)‪(29‬‬
‫‪, AE = x‬‬
‫)‪(30‬‬
‫‪. MH = h‬‬
‫‪M‬‬
‫משוויונים )‪ (5‬ו‪ (29)-‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪EB = 3 x‬‬
‫מהשוויון האחרון ומשוויון )‪ (29‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪HxEx‬‬
‫‪AB = 4 x‬‬
‫)‪(31‬‬
‫גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון‪ .‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪AH‬‬
‫משני השוויונים האחרונים נובע כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪B‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪181‬‬
‫‪AH = 2 x‬‬
‫)‪(32‬‬
‫על סמך שוויונים )‪ (29‬ו‪ (32)-‬מקבלים כי מתקיים‪:‬‬
‫‪EH = 2 x − x = x‬‬
‫)‪(33‬‬
‫ברשותנו שיעורי הנקודות ‪ M‬ו‪ . E -‬לכן נוכל לחשב את אורך הקטע ‪ . ME‬נעשה זאת‪:‬‬
‫)‪(34‬‬
‫‪ 37‬יח' = ‪ME = ( xM − xE ) 2 + ( yM − yE )2 = (22 − 10) 2 + (50 − 15) 2‬‬
‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬
‫)‪(35‬‬
‫‪MH 2 + EH 2 = ME 2‬‬
‫)‪(36‬‬
‫‪MH 2 + AH 2 = MA2‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (35‬לפי שורות )‪ (33) ,(30‬ו‪ .(34)-‬נקבל‪:‬‬
‫‪h 2 + x 2 = 1369‬‬
‫)‪(37‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (36‬לפי שורות )‪ (30) ,(28‬ו‪ .(32)-‬נקבל‪:‬‬
‫‪h 2 + 4 x 2 = 1480‬‬
‫)‪(38‬‬
‫נתבונן במערכת‬
‫)‪(39‬‬
‫‪h 2 + x 2 = 1369‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h + 4 x = 1480‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (37‬ו‪ .(38)-‬מערכת משוואות זו שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫)‪(40‬‬
‫‪h 2 + x 2 = 1369‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪3x = 111‬‬
‫הפתרון החיובי של המשוואה השנייה במערכת האחרונה הוא‪:‬‬
‫)‪(41‬‬
‫‪x = 37‬‬
‫נציב את ערך ה‪ x -‬אשר קיבלנו במשוואה הראשונה של מערכת )‪ .(40‬נקבל את המשוואה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .17‬אחדות היא כוח‬
‫‪182‬‬
‫‪h 2 + 37 = 1369‬‬
‫הפתרון החיובי של המשוואה האחרונה הוא‪:‬‬
‫‪h = 1332‬‬
‫)‪(42‬‬
‫משורות )‪ (31‬ו‪ (41)-‬נובע כי‬
‫‪ 4 37‬יח' = ‪AB‬‬
‫נציין כי‬
‫‪. 4 37 = 16 ⋅ 37 = 592‬‬
‫הפעם הצלחנו למצוא את אורך המיתר ‪ AB‬לפני שמצאנו את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫כעת עלינו למצוא את השיעורים של שתי נקודות אלו‪ .‬בהסתמך על שורות )‪ (30) ,(4‬ו‪(42)-‬‬
‫מסיקים כי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הן נקודות החיתוך של הישר אשר עובר דרך הנקודה‬
‫)‪ E (10,15‬ונמצא במרחק של ‪ 1332‬יח' מהנקודה )‪ . M (22,50‬ישנם שני ישרים כאלו‪.‬‬
‫הם משיקים למעגל שמרכזו נמצא בנקודה ‪ M‬ורדיוסו שווה ל‪ 1332 -‬יח'‪ .‬אפשר למצוא‬
‫את משוואותיהם בדרכים המתוארות בפרק הקודם‪ .‬נציין כי שני המשיקים למעגל האחרון‬
‫סימטריים אחד לשני ביחס לישר העובר דרך הנקודות ‪ M‬ו‪ . E -‬מצאו בעצמכם בתור‬
‫תרגיל את המשוואות של שני הישרים‪ .‬לאחר מכן מצאו את נקודות החיתוך של כל אחד‬
‫מישרים אלו עם המעגל הנתון‪ .‬כדי שעבור כל זוג של נקודות חיתוך תוכלו להסיק נכון איזו‬
‫משתי הנקודות היא נקודה ‪ A‬ואיזו היא נקודה ‪ , B‬עליכם לחשב את מרחקן מנקודה ‪E‬‬
‫או להיעזר בנוסחאות הרשומות בשורה )‪.(7‬‬
‫אפשר למצוא את השיעורים של נקודה ‪ A‬גם בהסתמך על כך שנקודה זו היא נקודת‬
‫החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל שמרכזו נמצא בנקודה )‪ E (10,15‬ורדיוסו שווה ל‪-‬‬
‫‪37‬‬
‫יח' )ראו שורות )‪ (29‬ו‪ .((41)-‬לאחר מכן אפשר למצוא את שיעורי נקודה ‪ B‬בעזרת‬
‫הנוסחאות הרשומות בשורה )‪ .(7‬מצאו בעצמכם את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בדרך‬
‫זו גם כן‪ .‬ייתכן שאם תתבקשו לפתור בעיה כזו במבחן תעדיפו להרכיב את מערכת )‪(39‬‬
‫ולפתור אותה ולאחר מכן למצוא את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בדרך האחרונה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪183‬‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫אחד מבניי הגיע לחופשה קצרה מהצבא‪ .‬אשתי ואני התכוננו לנסוע למחרת לחיפה להביא אוכל‬
‫לאחיו התיאום‪ ,‬אשר היה באותה תקופה עתודאי בטכניון וגר במעונות‪ .‬הזמנו את הבן לנסוע אתנו‪ ,‬אך‬
‫הוא היה עייף ורצה לנוח‪.‬‬
‫"מה יש לראות בחיפה?" שאל‪.‬‬
‫"את אחיך‪".‬‬
‫"בשביל זה אני לא חייב לנסוע לחיפה‪ ,‬אני יכול להסתכל במראה‪".‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונים פרבולה קנונית ומעגל אשר נחתכים בנקודות ‪ C , B , A‬ו‪) O -‬אף שתיים‬
‫מהנקודות לא מתלכדות זו עם זו(; הנקודה ‪ O‬היא ראשית הצירים; הזווית ‪ ACB‬היא‬
‫זווית ישרה; המרחק בין מוקד הפרבולה לבין נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם ציר ה‪x -‬‬
‫שווה ל‪ 1.5 -‬יח'‪.‬‬
‫א( מצאו את משוואת הפרבולה‪.‬‬
‫ב( נקודה ‪ A‬נמצאת במרחק של ‪ 2.5‬יח' ממוקד הפרבולה‪ .‬מצאו את שיעורי נקודה ‪. A‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון סעיף א'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף א' של הבעיה?‬
‫צריך למצוא את המשוואה של פרבולה קנונית אם ידוע כי‬
‫)‪(1‬‬
‫מעגל מסוים חותך את הפרבולה בנקודות ‪ C , B , A‬ו‪, O -‬‬
‫)‪(2‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא ראשית מערכת הצירים‪,‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪∡ACB = 90°‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ 1.5‬יח' = ‪) FD‬כאן ‪ D‬היא נקודת חיתוך של הישר ‪ AB‬עם ציר ה‪x -‬‬
‫ונקודה ‪ F‬היא מוקד הפרבולה(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪184‬‬
‫ראשית עלינו להיזכר כי פרבולה קנונית היא קו המיוצג על ידי המשוואה‬
‫‪y 2 = 2 px‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪( p > 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫מכאן מסיקים כי עלינו למצוא את הפרמטר ‪. p‬‬
‫כיצד נמצא אותו?‬
‫ננסה להרכיב משוואה עם הנעלם ‪. p‬‬
‫וכיצד אפשר להרכיב את משוואה זו? כיצד בכלל מרכיבים משוואות?‬
‫אחת הדרכים להרכבת משוואות היא להביע גודל ידוע באמצעות הנעלם‪.‬‬
‫הבה נשים לב לטענה )‪ ;(4‬אם נצליח להביע את אורך הקטע ‪ FD‬באמצעות הפרמטר ‪, p‬‬
‫אז בהסתמך על טענה )‪ (4‬נקבל את המשוואה שבעזרתה נוכל למצוא את הגודל של ‪. p‬‬
‫מה אפשר לומר על קצות הקטע ‪? FD‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪185‬‬
‫אחד מקצות הקטע‪ ,‬נקודה ‪ , F‬הוא מוקד הפרבולה הנתונה‪ ,‬וידוע כי המוקד של פרבולה‬
‫‪p‬‬
‫שמשוואתה )‪ (5‬נמצא בנקודה )‪ . ( , 0‬במילים אחרות‪ ,‬ידוע כי‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪F ( , 0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪2‬‬
‫ומה אפשר לומר על הקצה השני של הקטע המדובר?‬
‫הקצה השני של הקטע‪ ,‬נקודה ‪ , D‬הוא נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם ציר ה‪ . x -‬לכן‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪yD = 0‬‬
‫)‪(7‬‬
‫בהסתמך על שורות )‪ (6‬ו‪ (7)-‬מסיקים שאם נצליח להביע באמצעות ‪ p‬את השיעור‬
‫הראשון של נקודה ‪ , D‬נוכל להביע באמצעות פרמטר זה גם את אורך הקטע ‪. FD‬‬
‫נשים לב שמתוך הטענה שבה נאמר כי נקודה ‪ D‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם‬
‫ציר ה‪ x -‬נעזרנו עד כה רק בכך שהנקודה נמצאת על ציר ה‪ . x -‬לא נעזרנו בכך שגם נאמר‬
‫שנקודה ‪ D‬נמצאת על הישר ‪ . AB‬הבה ננסה להיעזר בכל מה שנאמר בטענה זו‪.‬‬
‫ראשית ננסה להסיק כמה מסקנות לגבי הישר ‪ . AB‬עבור השיפוע ‪ mAB‬של ישר זה‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫נציב לפי השוויון האחרון בנוסחה הבאה למשוואת הישר ‪: AB‬‬
‫) ‪y − y A = mAB ( x − x A‬‬
‫נקבל את הנוסחה הבאה למשוואה זו‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫) ‪⋅ ( x − xA‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪y − yA‬‬
‫השיעורים של נקודה ‪ D‬מקיימים את המשוואה של הישר ‪ . AB‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫) ‪⋅ ( xD − x A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪yD − y A‬‬
‫)הצבנו את השיעורים ‪ xD‬ו‪ yD -‬של נקודה ‪ D‬במשוואה )‪.((8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪186‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (9‬לפי שוויון )‪ ,(7‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫) ‪⋅ ( xD − x A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪0 − yA‬‬
‫לאחר שבשוויון האחרון נבודד את ‪ xD‬נקבל‪:‬‬
‫‪y B x A − y A xB‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫)‪(10‬‬
‫= ‪xD‬‬
‫קיבלנו את השוויון האחרון בלי להיעזר בטענות )‪ (2) ,(1‬ו‪ .(3)-‬ננסה להסיק מסקנות גם‬
‫מטענות אלו‪.‬‬
‫מטענה )‪ (1‬נובע כי הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על הפרבולה הנתונה‪ .‬לכן שיעוריהן‬
‫מקיימים את משוואתה )‪ ,(5‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪y A 2 = 2 px A‬‬
‫)‪(11‬‬
‫וגם‬
‫‪yB 2 = 2 pxB‬‬
‫)‪(12‬‬
‫שוויון )‪ (11‬שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪y A2‬‬
‫‪2p‬‬
‫)‪(13‬‬
‫= ‪xA‬‬
‫שוויון )‪ (12‬שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪yB 2‬‬
‫‪2p‬‬
‫= ‪xB‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (10‬לפי שני השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪y A2‬‬
‫‪yB 2‬‬
‫⋅ ‪yB‬‬
‫‪− yA‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫= ‪xD‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫שוויון זה שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪187‬‬
‫‪y A yB‬‬
‫) ‪⋅ ( y A − yB‬‬
‫‪2p‬‬
‫= ‪xD‬‬
‫) ‪( yB − y A‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪y A yB‬‬
‫‪2p‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪xD = −‬‬
‫עלינו לנסות להביע את הביטוי ‪ y A yB‬באמצעות ‪. p‬‬
‫במה מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו?‬
‫עוד לא השתמשנו בכך ש‪-‬‬
‫)‪(15‬‬
‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ O -‬נמצאות על המעגל הנתון‪.‬‬
‫כמו כן לא השתמשנו בטענות )‪ (2‬ו‪ .(3)-‬ננסה להיעזר בטענות אלו‪.‬‬
‫על סמך טענה )‪ (15‬מסיקים כי‬
‫)‪(16‬‬
‫הזווית ‪ ACB‬היא זווית היקפית במעגל הנתון‪.‬‬
‫וגם‬
‫)‪(17‬‬
‫הזווית ‪ AOB‬היא זווית היקפית במעגל הנתון‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪188‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫מטענות )‪ (3‬ו‪ (16)-‬נובע כי‬
‫)‪(18‬‬
‫הקטע ‪ AB‬הוא קוטר במעגל הנתון‪.‬‬
‫)לפי המשפט הבא‪ :‬הזווית ההיקפית הישרה נשענת על קוטר(‪.‬‬
‫מטענות )‪ (17‬ו‪ (18)-‬נובע כי‬
‫‪∡AOB = 90°‬‬
‫)לפי המשפט הבא‪ :‬הזווית ההיקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה(‪.‬‬
‫על סמך השוויון האחרון מסיקים כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪. mOA ⋅ mOB = −1‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא ראשית הצירים )זאת טענה )‪ .((2‬לכן עבור השיפוע ‪ mOA‬של הישר ‪OA‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪yA − 0 yA‬‬
‫=‬
‫‪xA − 0 xA‬‬
‫= ‪mOA‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪189‬‬
‫ועבור השיפוע ‪ mOB‬של הישר ‪ OB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪yB − 0 yB‬‬
‫=‬
‫‪xB − 0 xB‬‬
‫)‪(21‬‬
‫= ‪mOB‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (19‬לפי מה שהתקבל בשורות )‪ (20‬ו‪ ,(21)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪y A yB‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪x A xB‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון הבא‪:‬‬
‫‪y A y B = − x A xB‬‬
‫)‪(22‬‬
‫כיצד עוד אפשר לקבל שוויון המקשר בין הביטויים ‪ x A xB‬ו‪? y A yB -‬‬
‫אם נכפיל את שוויון )‪ (11‬בשוויון )‪ (12‬נקבל‪:‬‬
‫‪( y A y B ) 2 = 4 p 2 x A xB‬‬
‫נציב בשוויון האחרון לפי השוויון‬
‫‪x A xB = − y A y B‬‬
‫השקול לשוויון )‪ ,(22‬ונקבל‪:‬‬
‫‪( y A y B ) 2 = −4 p 2 y A y B‬‬
‫)‪(23‬‬
‫נסמן את הביטוי ‪ y A yB‬ב‪: t -‬‬
‫‪y A yB = t‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (23‬לפי השוויון האחרון‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪t 2 = −4 p 2 t‬‬
‫קיבלנו משוואה עם הנעלם ‪ . t‬היא שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪t (t + 4 p 2 ) = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪190‬‬
‫מכאן‬
‫‪t = −4 p 2‬‬
‫‪t=0‬‬
‫או‬
‫לכן‬
‫‪y A yB = −4 p 2‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪y A yB = 0‬‬
‫או‬
‫השוויון‬
‫‪y A yB = 0‬‬
‫מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪ yB = 0‬או‬
‫‪yA = 0‬‬
‫אם מתקיים שוויון‬
‫‪, yA = 0‬‬
‫)‪(25‬‬
‫אז ממנו ומשוויון )‪ (11‬נובע כי‬
‫‪xA = 0‬‬
‫אם נקודה ‪ A‬מקיימת את שני השוויונים האחרונים‪ ,‬אז היא מתלכדת עם נקודה ‪. O‬‬
‫הדבר סותר את הנתון בבעיה‪ .‬לכן שוויון )‪ (25‬לא מתקיים‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪yA ≠ 0‬‬
‫)‪(26‬‬
‫באופן דומה מקבלים כי גם שוויון‬
‫‪yB = 0‬‬
‫לא מתקיים‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫)‪(27‬‬
‫‪yB ≠ 0‬‬
‫קבלנו כי שוויון ‪ y A yB = 0‬לא מתקיים‪ .‬מכאן ומשורה )‪ (24‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(28‬‬
‫‪y A yB = −4 p 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪191‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (14‬לפי השוויון האחרון‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪−4 p 2‬‬
‫‪= 2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫)‪(29‬‬
‫‪xD = −‬‬
‫‪p‬‬
‫הקטע ‪ FD‬מחבר את הנקודות )‪ F ( , 0‬ו‪) D(2 p, 0) -‬ראו שורות )‪ (7) ,(6‬ו‪ .((29)-‬לכן‬
‫‪2‬‬
‫עבור אורכו מתקיים‪:‬‬
‫‪p 3‬‬
‫‪= p‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪FD = 2 p −‬‬
‫מכאן ומטענה )‪ (4‬נובע כי‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן‬
‫‪p =1‬‬
‫)‪(30‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (5‬על פי שוויון )‪ (30‬ונקבל כי המשוואה של הפרבולה הנתונה היא‬
‫‪y2 = 2x‬‬
‫)‪(31‬‬
‫הערה‪ .‬נציין עכשיו כי את שוויון )‪ (10‬קיבלנו למעשה בהנחה שמתקיים‪:‬‬
‫‪ x A ≠ xB‬וגם ‪y A ≠ yB‬‬
‫)‪(32‬‬
‫הטענה שמתקיים ‪ y A ≠ yB‬נובעת משוויון )‪ .(28‬הרי מכפלה של מספר במספר שווה לו לא‬
‫יכולה להיות שלילית‪.‬‬
‫נוכיח כי ‪ x A ≠ xB‬בדרך השלילה‪ .‬נניח כי ‪. x A = xB‬‬
‫מהשוויון האחרון נובע כי‬
‫הישר ‪ AB‬מאונך לציר ה‪. x -‬‬
‫)‪(33‬‬
‫כעת ניעזר בכך ש‪-‬‬
‫)‪(34‬‬
‫ציר ה‪ x -‬הוא ציר הסימטריה של הפרבולה הנתונה‪.‬‬
‫מטענה )‪ (34) ,(33‬ומכך שהנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על הפרבולה הנתונה נובע כי‬
‫)‪(35‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬סימטריות אחת לשנייה ביחס לציר ה‪. x -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪192‬‬
‫מכאן‬
‫נקודה ‪) D‬כלומר נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם ציר ה‪ ( x -‬היא אמצע הקטע ‪. AB‬‬
‫לכן נקודה ‪ D‬היא מרכז המעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪ ,‬כלומר‬
‫נקודה ‪ D‬היא מרכז המעגל הנתון‬
‫)‪(36‬‬
‫)ראו טענה )‪.((18‬‬
‫כל ישר אשר עובר דרך מרכז מעגל הוא אחד מצירי הסימטריה של המעגל )זה נובע‬
‫מהמשפט שלפיו‪ :‬האנך למיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר(‪ .‬מכאן‬
‫ומטענה )‪ (36‬נובע כי‬
‫ציר ה‪ x -‬הוא אחד מצירי הסימטריה של המעגל הנתון‪.‬‬
‫)‪(37‬‬
‫נסמן ב‪ E -‬נקודה סימטרית לנקודה ‪ C‬ביחס לציר ה‪ . x -‬ניזכר כי נקודה ‪ C‬היא אחת‬
‫מארבע נקודות החיתוך של המעגל והפרבולה הנתונים‪ .‬נקודה ‪ C‬לא נמצאת על ציר ה‪x -‬‬
‫מכיוון שהפרבולה הנתונה חותכת את ציר זה רק בנקודה אחת – בנקודה ‪ . O‬לכן נקודה‬
‫‪ E‬לא מתלכדת עם נקודה ‪ C‬ועם נקודה ‪ . O‬נקודה ‪ E‬גם לא מתלכדת עם נקודה‬
‫‪ A‬מכיוון שאם נניח שהיא מתלכדת עם נקודה זו נקבל כי נקודה ‪ B‬היא נקודה סימטרית‬
‫לנקודה ‪ E‬ביחס לציר ה‪) x -‬ראו טענה )‪ ,((35‬ולכן נקודות ‪ B‬ו‪ C -‬מתלכדות זו עם זו‪.‬‬
‫באופן דומה מגיעים למסקנה שנקודה ‪ E‬לא מתלכדת עם נקודה ‪. B‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫)‪(38‬‬
‫נקודה ‪ E‬לא מתלכדת עם אף אחת מהנקודות ‪ C , B , A‬ו‪. O -‬‬
‫מטענות )‪ (37) ,(34‬ומכך שנקודה ‪ C‬היא אחת מנקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל‬
‫הנתונים נובע כי‬
‫)‪(39‬‬
‫נקודה ‪) E‬כלומר נקודה הסימטרית לנקודה ‪ C‬ביחס לציר ה‪ ( x -‬היא גם‬
‫נקודת החיתוך של הפרבולה והמעגל הנתונים‪.‬‬
‫אכן‪ ,‬מטענה )‪ (34‬ומכך שנקודה ‪ C‬נמצאת על הפרבולה הנתונה נובע כי גם הנקודה‬
‫הסימטרית לנקודה ‪ C‬ביחס לציר ה‪ x -‬נמצאת על הפרבולה הנתונה‪ ,‬ואילו מטענה )‪(37‬‬
‫ומכך שנקודה ‪ C‬נמצאת על המעגל הנתון נובע כי גם הנקודה הסימטרית לנקודה ‪ C‬ביחס‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪193‬‬
‫לציר ה‪ x -‬נמצאת על המעגל הנתון; הנקודה אשר נמצאת על הפרבולה הנתונה וגם על‬
‫המעגל הנתון היא נקודת החיתוך של שני הקווים‪.‬‬
‫לפי הנתון בבעיה‬
‫)‪(40‬‬
‫הפרבולה והמעגל הנתונים נחתכים בנקודות ‪ C , B , A‬ו‪. O -‬‬
‫שתי הטענות )‪ (38‬ו‪ (39)-‬סותרות את טענה )‪ .(40‬מעבר לכך שנקודה ‪ E‬לא נכללת באוסף‬
‫נקודות החיתוך הנזכרות בטענה )‪ ,(40‬לפרבולה ולמעגל כלל לא יכולות להיות יותר מארבע‬
‫נקודות חיתוך )הוכיחו זאת בעצמכם בתור תרגיל(‪ .‬הגענו לידי סתירה מפני שהנחנו כי‬
‫‪ . x A = xB‬לכן ‪. x A ≠ xB‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון סעיף ב'‪.‬‬
‫מה צריך למצוא בסעיף ב' של הבעיה?‬
‫צריך למצוא את השיעורים של נקודה ‪. A‬‬
‫מה נתון?‬
‫נוסף על הנתונים הקודמים‪ ,‬כעת גם נתון כי‬
‫‪ 2.5‬יח' = ‪AF‬‬
‫)‪(41‬‬
‫נוכל למצוא את שיעור ה‪ x -‬של נקודה ‪ A‬בעזרת השוויון הבא‪ ,‬המקשר בין השיעור‬
‫הראשון של הנקודה ) ‪ Q( xQ , yQ‬הנמצאת על פרבולה קנונית ‪ y 2 = px‬לבין המרחק ‪ r‬בין‬
‫הנקודה לבין מוקד הפרבולה‪:‬‬
‫)‪(42‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r = xQ +‬‬
‫אם מתקשים לזכור נוסחה זו‪ ,‬אפשר לקבלה בקלות אם נזכרים בהגדרה הבאה של‬
‫פרבולה‪ :‬פרבולה היא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה‬
‫מסוימת‪ ,‬שנקראת מוקד הפרבולה‪ ,‬שווה למרחקן מישר מסוים‪ ,‬שנקרא מדריך‬
‫הפרבולה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .18‬כשהמעגל פגש את הפרבולה‬
‫‪194‬‬
‫‪p‬‬
‫עבור פרבולה ‪ y 2 = 2 px‬המדריך הוא הישר‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫שווה ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . x = −‬המרחק בין נקודה ‪ Q‬לישר זה‬
‫‪ . xQ +‬מכאן ומההגדרה של פרבולה נובע כי שוויון )‪ (42‬מתקיים‪.‬‬
‫מכאן נובע כי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב בשוויון האחרון לפי שוויונים )‪ (30‬ו‪ ,(41)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪AF = xA +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5 = x A +‬‬
‫מכאן‬
‫‪xA = 2‬‬
‫)‪(43‬‬
‫שיעורי נקודה ‪ A‬מקיימים את המשוואה של הפרבולה הנתונה‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪y A2 = 2 xA‬‬
‫)ראו שורה )‪.((31‬‬
‫נציב במשוואה האחרונה לפי שורה )‪ ,(43‬ונקבל‪:‬‬
‫‪y A2 = 2 ⋅ 2‬‬
‫מכאן‬
‫‪y A = ±2‬‬
‫תשובה‪ A(2, 2) :‬או )‪. A(2, −2‬‬
‫תרגיל‪ .‬מצאו את משוואת המעגל הנתון בבעיה אשר פתרנו בפרק זה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪195‬‬
‫‪ .19‬כבוד האליפסה‬
‫איני יכול להתפאר בידע רב באסטרונומיה‪ .‬אולי אתה‪ ,‬הקורא שורות אלו‪ ,‬בקי בה יותר ממני‪ .‬בכל‬
‫זאת‪ ,‬גם אני יודע משהו על כוכבים‪ .‬קראתי כמה ספרים‪ .‬פעם אחת‪ ,‬בשיחת חולין‪ ,‬סיפרתי לאיש לא‬
‫משכיל במיוחד את מה שקראתי‪ ,‬והוא אמר לי‪" :‬אתה משקר!"‬
‫בעיה‪ .‬נתונות נקודות )‪ A(−4, 0‬ו‪ . B (4, 0) -‬מצאו את השיעורים של נקודה ‪ C‬המקיימת‬
‫את התנאים הבאים‪ :‬א( היקף המשולש ‪ ABC‬שווה ל‪ 18 -‬יח'; ב( שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫שווה ל‪ 12 -‬יח' ריבועיות‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צרך למצוא את השיעורים של נקודה ‪ C‬המקיימת שני תנאים‪.‬‬
‫מה הם התנאים?‬
‫תנאי ראשון‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫עבור הנקודות )‪ A(−4, 0‬ו‪ B (4, 0) -‬היקף המשולש ‪ ABC‬שווה‬
‫ל‪ 18 -‬יח' ‪.‬‬
‫תנאי שני‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫עבור הנקודות )‪ A(−4, 0‬ו‪ B (4, 0) -‬שטח המשולש ‪ ABC‬שווה‬
‫ל‪ 12 -‬יח' ריבועיות‪.‬‬
‫נפתור את הבעיה בשיטה של שני מקומות גיאומטריים‪ :‬נמצא את המקום הגיאומטרי‬
‫של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪ ;(1‬נמצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪ ;(2‬ולאחר מכן נמצא את השיעורים של הנקודה ‪ C‬כשיעורים של‬
‫נקודה משותפת לשני מקומות גיאומטריים אלו‪.‬‬
‫נפעל לפי תוכנית זו לפתרון הבעיה‪ .‬ראשית נמצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪.(1‬‬
‫אורך הצלע ‪ AB‬במשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 8‬יח'‪ .‬לכן תנאי )‪ (1‬שקול לתנאי הבא‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .19‬כבוד האליפסה‬
‫‪196‬‬
‫)‪(3‬‬
‫סכום המרחקים בין נקודה ‪ C‬לנקודות )‪ A(−4, 0‬ו‪B (4, 0) -‬‬
‫שווה ל‪ 10 -‬יח' ‪.‬‬
‫הבה ניזכר כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות‬
‫קבועות שווה למספר קבוע נקרא אליפסה‪ .‬המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום‬
‫מרחקיהן מנקודות )‪ F1 (c, 0‬ו‪ F2 (−c, 0) -‬שווה ל‪ ( 0 ≤ c < a ) 2a -‬הוא אליפסה‬
‫שמשוואתה‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כאן ‪ b‬הוא מספר חיובי המקיים את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪b2 = a2 − c2‬‬
‫)‪(5‬‬
‫אליפסה זו נקראת אליפסה קנונית‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫משוויון )‪ (5‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪r1 + r2 = 2a‬‬
‫‪a≥b‬‬
‫) ‪(0, b‬‬
‫הגרף של האליפסה הקנונית מוצג‬
‫‪r2‬‬
‫בציור משמאל‪.‬‬
‫‪r1‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל על אודות‬
‫האליפסה הקנונית אפשר להסיק כי‬
‫‪x‬‬
‫)‪( a , 0‬‬
‫)‪F1 (c, 0‬‬
‫)‪F2 (−c, 0‬‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫‪ C‬המקיימות את תנאי )‪ (3‬הוא‬
‫) ‪(0, − b‬‬
‫אליפסה קנונית המקיימת את‬
‫התנאים הבאים‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪2a = 10‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪c=4‬‬
‫משוויון )‪ (6‬נובע כי‬
‫)‪(8‬‬
‫‪a=5‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (5‬לפי שוויונים )‪ (7‬ו‪ ,(8)-‬ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫)‪( − a , 0‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪197‬‬
‫‪b 2 = 52 − 4 2 = 9‬‬
‫)‪(9‬‬
‫מכאן‬
‫‪b=3‬‬
‫נציב במשוואה )‪ (4‬לפי שורות )‪ (8‬ו‪ ,(9)-‬ונקבל כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪ (3‬הוא אליפסה שמשוואתה‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪25 9‬‬
‫)‪(10‬‬
‫ומהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪?(2‬‬
‫במטרה לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬האם כבר פתרנו בעיה הדומה לבעיה זו?‬
‫כן‪ ,‬בפרק ‪ 13‬עבור הנקודות )‪ A(−1, 2‬ו‪ B(3,5) -‬מצאנו את המקום הגיאומטרי של כל‬
‫הנקודות ‪ C‬המקיימות את התנאי הבא‪ :‬שטח המשולש ‪ ABC‬שווה ל‪ 10 -‬יח"ר‪.‬‬
‫קראו את פרק ‪ 13‬שוב‪ ,‬ומצאו בעצמכם את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות‬
‫את תנאי )‪ .(2‬מקום גיאומטרי זה הוא איחוד הישרים ‪ y = 3‬ו‪. y = −3 -‬‬
‫למקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪ ,(1‬כלומר לאליפסה )‪,(10‬‬
‫ולמקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪ ,(2‬כלומר לאיחוד הישרים‬
‫‪ y = 3‬ו‪ , y = −3 -‬יש שתי‬
‫‪y‬‬
‫נקודות משותפות‪:‬‬
‫הנקודות )‪ (0,3‬ו‪. (0, −3) -‬‬
‫‪y=3‬‬
‫)‪C (0, 3‬‬
‫לכן התשובה לבעיה היא‪:‬‬
‫)‪ C (0,3‬או )‪. C (0, −3‬‬
‫‪(5, 0) x‬‬
‫)‪B (4, 0‬‬
‫)‪( −5, 0) A( −4, 0‬‬
‫‪y = −3‬‬
‫)‪C (0, −3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .20‬פגישה שנייה עם האליפסה‬
‫‪198‬‬
‫‪ .20‬פגישה שנייה עם האליפסה‬
‫איני חולק על הטענה כי בורא העולם מחלק כישרונות באופן לא שווה בין ילדים קטנים‪ ,‬אך כפי‬
‫שנוכחתי לדעת‪ ,‬אין זו חלוקה סופית‪ .‬גורלו של הכישרון מלידה‪ ,‬אם לא משתמשים בו ולא מטפחים‬
‫אותו‪ ,‬הוא כגורלה של מכונית יקרה שקיבלת במתנה‪ ,‬אך לא נסעת בה‪ :‬חלודה תכרסם בה‪ .‬אפשר‬
‫להשוות כישרון זה לצמח אשר היה זקוק למים‪ ,‬אך לא קיבלם והתייבש‪ .‬מי שניחן ולו בקמצוץ של‬
‫כישרון בתחום כלשהו‪ ,‬אך לא נכנע ועשה כל מאמץ כדי לפתחו‪ ,‬יופתע לגלות בבוא העת כי כישרונו‬
‫התפתח לממדים אדירים והוא אף נושא פרי‪.‬‬
‫חוק חלוקת הכישרונות המכריע הוא‪ :‬בסוף כל אחד מקבל כפי שהשקיע‪.‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫בעיה‪ .‬באליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫) ‪ ( a < b‬חסום משולש ‪ . ABC‬הצלע ‪BC‬‬
‫מתלכדת עם הציר הקטן של האליפסה‪ .‬אורכי הצלעות של המשולש הנתון הם‪25 , 28 :‬‬
‫ו‪ 17 -‬יח'‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע השני‪ ,‬ומתקיים‪ . ∡BAC > ∡ACB > ∡ACB :‬מצאו‬
‫את משוואת האליפסה‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא משוואה של אליפסה מסוימת‪.‬‬
‫מה נתון?‬
‫נתון שהאליפסה מיוצגת על ידי משוואה מן הצורה‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪a<b‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪199‬‬
‫על סמך משוואה )‪ (1‬מסיקים כי אנו מתבקשים למצוא את הריבועים של חוצי הצירים ‪a‬‬
‫ו‪ b -‬של האליפסה המדוברת‪ ,‬ולהציב אותם במשוואה )‪.(1‬‬
‫מה עוד נתון?‬
‫עוד נתון כי‬
‫)‪(3‬‬
‫באליפסה המדוברת חסום משולש ‪, ABC‬‬
‫)‪(4‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מתלכדת עם הציר הקטן של האליפסה‪,‬‬
‫)‪(5‬‬
‫אורכי הצלעות של המשולש הנתון הם‪ 25 , 28 :‬ו‪ 17 -‬יח'‪,‬‬
‫‪, ∡BAC > ∡ACB > ∡ACB‬‬
‫)‪(6‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע השני‪.‬‬
‫)‪(7‬‬
‫טענה )‪ (3‬שקולה לטענה הבאה‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות על האליפסה המדוברת‪.‬‬
‫כעת נתמקד בטענה )‪ ,(4‬ונשאל את עצמנו‪ :‬מהו הציר קטן של האליפסה המיוצגת על ידי‬
‫משוואה )‪ (1‬אשר מקיימת את תנאי )‪?(2‬‬
‫)‪(9‬‬
‫הציר הקטן של אליפסה זו הוא הקטע המחבר את הנקודות )‪ (−a, 0‬ו‪(a, 0) -‬‬
‫)גם לאורך הקטע קוראים הציר הקטן של האליפסה(‪.‬‬
‫מטענות )‪ (4‬ו‪ (9)-‬נובע כי‬
‫)‪ (10‬אחת מהנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬מתלכדת עם הנקודה )‪ (−a, 0‬והשנייה עם הנקודה )‪. (a, 0‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(11‬‬
‫‪BC = 2a‬‬
‫כעת נתבונן בטענות )‪ (5‬ו‪ .(6)-‬מטענות אלו ומהאי‪-‬שוויונים ‪ 28 > 25 > 17‬נובע )לפי‬
‫משפט‪ :‬במשולש מול זווית גדולה יותר נמצאת צלע גדולה יותר( כי‬
‫)‪(12‬‬
‫‪BC = 28‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪AB = 25‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪AC = 17‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .20‬פגישה שנייה עם האליפסה‬
‫‪200‬‬
‫על סמך טענה )‪ (7‬מסיקים כי אורך ההיטל על ציר ה‪ x -‬של הקטע המחבר את נקודה ‪A‬‬
‫עם הנקודה )‪ (a, 0‬גדול יותר מאשר אורך ההיטל על ציר ה‪ x -‬של הקטע המחבר את‬
‫נקודה ‪ A‬עם הנקודה )‪ . (−a, 0‬מכאן‬
‫)‪(15‬‬
‫אורך הקטע המחבר את נקודה ‪ A‬עם הנקודה )‪ (a, 0‬גדול יותר‬
‫מאורך הקטע המחבר את נקודה ‪ A‬עם הנקודה )‪. (−a, 0‬‬
‫מטענות )‪ (14) ,(13) ,(10‬ו‪ (15)-‬נובע כי‬
‫)‪(16‬‬
‫נקודה ‪ B‬מתלכדת עם הנקודה )‪, (a, 0‬‬
‫)‪(17‬‬
‫נקודה ‪ C‬מתלכדת עם הנקודה )‪. (−a, 0‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0, b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪C (− a, 0‬‬
‫)‪B(a, 0‬‬
‫)‪(0, −b‬‬
‫משוויונים )‪ (11‬ו‪ (12)-‬נובע )לפי כלל המעבר( כי מתקיים‪:‬‬
‫‪2a = 28‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(18‬‬
‫‪a = 14‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪a 2 = 196‬‬
‫נציב במשוואה )‪ (1‬לפי שוויון )‪ ,(19‬ונקבל כי משוואתה של האליפסה המדוברת היא‬
‫)‪(20‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪196 b 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪201‬‬
‫נותר רק למצוא את הערך של ‪ b 2‬ולהציב אותו במשוואה האחרונה‪ .‬ננסה להרכיב‬
‫משוואה עם נעלם ‪. b‬‬
‫אילו היו ידועים לנו שיעורי הנקודה ‪ , A‬היינו יכולים להציבם במשוואה )‪ (20‬ולקבל‬
‫משוואה שבאמצעותה היינו מוצאים את ‪. b 2‬‬
‫הבה נפתור את הבעיה שבה נדרש למצוא את השיעורים ‪ xA‬ו‪ y A -‬של הנקודה ‪ A‬הנזכרת‬
‫לעיל‪.‬‬
‫זאת בעיה עם שני נעלמים‪ .‬ננסה להרכיב מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים ‪ xA‬ו‪. y A -‬‬
‫ניעזר בכך שנקודה ‪ A‬מקיימת את השוויונים )‪ (13‬ו‪ (14)-‬ובנוסחה לחישוב מרחק בין‬
‫שתי נקודות‪ ,‬ונקבל את שני השוויונים הבאים‪:‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪( x A − xB ) 2 + ( y A − yB )2 = 25‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪( x A − xC ) 2 + ( y A − yC ) 2 = 17‬‬
‫מטענות )‪ (17) ,(16‬ו‪ (18)-‬נובע כי‬
‫)‪(23‬‬
‫‪yB = 0‬‬
‫‪xB = 14,‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪yC = 0‬‬
‫‪xC = −14,‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (21‬לפי שורה )‪ ,(23‬ובשוויון )‪ (22‬לפי שורה )‪ ,(24‬ונקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( x A − 14) + y A = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( x A + 14) 2 + y A2 = 17‬‬
‫כדי לפתור מערכת זו צריך להעלות את כל משוואתה בריבוע ולחסר מהמשוואה השנייה‬
‫של המערכת אשר תתקבל את משוואה הראשונה‪ .‬כשפותרים את מערכת המשוואות‬
‫האחרונה מקבלים כי‬
‫‪ x A = −6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y A = −15‬‬
‫או‬
‫‪ x A = −6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y A = 15‬‬
‫מכאן ומטענה )‪ (7‬נובע כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .20‬פגישה שנייה עם האליפסה‬
‫‪202‬‬
‫)‪A(−6,15‬‬
‫נציב את השיעורים של נקודה ‪ A‬במשוואה )‪ ,(20‬ונקבל‪:‬‬
‫‪(−6) 2 152‬‬
‫‪+ 2 =1‬‬
‫‪196‬‬
‫‪b‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(25‬‬
‫‪b 2 = 275.625‬‬
‫נציב במשוואה )‪ (20‬לפי שורה )‪ ,(25‬ונקבל את התשובה הבאה לסעיף א' של הבעיה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪196 275.625‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪203‬‬
‫‪ .21‬פגישה שלישית עם האליפסה‬
‫אין לנו אומץ לדברים רבים לא מפני שהם קשים‪,‬‬
‫הם קשים כי אין לנו אומץ בשבילם‪.‬‬
‫)סנקה הצעיר(‬
‫בעיה‪ .‬נתונה אליפסה קנונית‪ .‬הישר ‪ x = 2‬חותך את האליפסה בנקודות הנמצאות‬
‫במרחק של ‪ 8.8‬יח' מהמוקד הימני של האליפסה ובמרחק של ‪ 11.2‬יח' מהמוקד השמאלי‬
‫שלה‪ .‬מצאו את המשוואה של האליפסה‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את המשוואה של האליפסה הקנונית המקיימת את התנאי הבא‪:‬‬
‫הישר ‪ x = 2‬חותך את האליפסה בנקודות הנמצאות במרחק של‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ 8.8‬יח' מהמוקד הימני של האליפסה ובמרחק של ‪ 11.2‬יח'‬
‫מהמוקד השמאלי שלה‬
‫קודם כל נשאל את עצמנו‪ :‬מהי אליפסה קנונית?‬
‫אליפסה קנונית היא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן‬
‫מנקודות )‪ F1 (c, 0‬ו‪ (c ≥ 0) F2 (−c, 0) -‬הוא מספר קבוע‪ .‬לאחר שמסמנים את מספר‬
‫קבוע זה ב‪ 2a -‬מקבלים את המשוואה הבאה של האליפסה הקנונית‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫עבור הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b -‬במשוואה זו מתקיים‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪b2 + c2 = a2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .21‬הפגישה שלישית עם האליפסה‬
‫‪204‬‬
‫)לפרמטרים ‪ a‬ו‪ b -‬קוראים חוצי הצירים של האליפסה הקנונית(‪.‬‬
‫לנקודות )‪ F1 (c, 0‬ו‪ F2 (−c, 0) -‬קוראים מוקדי האליפסה הקנונית‪ .‬נקודה )‪ F1 (c, 0‬היא‬
‫המוקד הימני של האליפסה‪ ,‬ונקודה )‪ F2 (−c, 0‬היא המוקד השמאלי שלה‪.‬‬
‫על סמך משוואה )‪ (2‬מסיקים כי אנו מתבקשים למצוא את הריבועים של חוצי הצירים‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬של האליפסה הנתונה בבעיה ולהציב אותם במשוואה זו‪.‬‬
‫לעתים כדי למצוא את חוצי הצירים ‪ a‬ו‪ b -‬של אליפסה קנונית מרכיבים שתי משוואות‬
‫עם הנעלמים ‪ a‬ו‪ , b -‬אך לא תמיד אפשר להסתפק בשני נעלמים אלו‪ .‬לעתים כדי למצוא‬
‫את ‪ a‬ו‪ b -‬צריך להרכיב ולפתור מערכת של שלוש משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫ננסה להרכיב מערכת של שלוש משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ . c -‬כבר יש בידינו משוואה‬
‫אחת‪ :‬משוואה )‪) (3‬כעת אנחנו מתייחסים לשוויון )‪ (3‬כאל משוואה עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪-‬‬
‫‪ .( c‬עלינו להרכיב עוד שתי משוואות עם נעלמים אלו‪.‬‬
‫הבה נתבונן בטענה )‪ . (1‬נשאל את עצמנו מה ידוע על מרחקיה של נקודה הנמצאת על‬
‫אליפסה קנונית ממוקדי האליפסה?‬
‫נסמן את המרחק של נקודה ) ‪ ( x, y‬הנמצאת על אליפסה )‪ (2‬מהמוקד הימני )‪F1 (c, 0‬‬
‫שלה ב‪ r1 -‬ואת המרחק של הנקודה מהמוקד השמאלי )‪ F2 (−c, 0‬של האליפסה ב‪; r2 -‬‬
‫ניזכר כי אליפסה )‪ (2‬היא מקום גיאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן‬
‫מנקודות )‪ F1 (c, 0‬ו‪ F2 (−c, 0) -‬הוא ‪ ; 2a‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪r1 + r2 = 2a‬‬
‫)‪(4‬‬
‫עבור נקודה ) ‪ ( x, y‬הנמצאת על אליפסה )‪ (2‬גם מתקיים‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪r1 = a −‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪r2 = a +‬‬
‫לפי טענה )‪ (1‬עבור כל אחת מנקודות החיתוך של הישר ‪ x = 2‬עם האליפסה שאת‬
‫משוואתה עלינו למצוא מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪205‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪r1 = 8.8‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪r2 = 11.2‬‬
‫מובן ששיעורה הראשון שכל אחת משתי נקודות אלו שווה ל‪: 2 -‬‬
‫‪.x = 2‬‬
‫)‪(9‬‬
‫כאשר נציב בשוויון )‪ (4‬לפי שוויונים )‪ (7‬ו‪ (8)-‬נקבל‪:‬‬
‫‪8.8 + 11.2 = 2a‬‬
‫מכאן‬
‫‪a = 10‬‬
‫)‪(10‬‬
‫כעת ברשותנו שתי משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ : c -‬משוואות )‪ (3‬ו‪ .(10)-‬עלינו להרכיב‬
‫עוד משוואה אחת עם נעלמים אלו‪.‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (5‬לפי שוויונים )‪ (7‬ו‪ ,(9)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪⋅2‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪8.8 = a −‬‬
‫כעת ברשותנו שלוש משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ : c -‬משוואות )‪ (10) ,(3‬ו‪ .(11)-‬אפשר‬
‫לפתור את המערכת המורכבת ממשוואות אלו‪ ,‬אך נעשה דבר אחר‪ :‬נציב בשוויון )‪ (6‬לפי‬
‫שוויונים )‪ (8‬ו‪ .(9)-‬כך נקבל‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪⋅2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪11.2 = a +‬‬
‫קיבלנו משוואה נוספת עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ . c -‬נחסר ממשוואה זו את משוואה )‪,(11‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪= 2.4‬‬
‫‪a‬‬
‫⋅‪.4‬‬
‫נחלק את המשוואה האחרונה ב‪ 4 -‬ונכפיל ב‪ , a -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪c = 0.6a‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .21‬הפגישה שלישית עם האליפסה‬
‫‪206‬‬
‫נפתור את המערכת‬
‫‪b 2 + c 2 = a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a = 10‬‬
‫‪c = 0.6a‬‬
‫‪‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (10) ,(3‬ו‪.(12)-‬‬
‫נציב במשוואה שלישית של מערכת זו לפי המשוואה השנייה שלה‪ ,‬ונקבל את המערכת‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪b 2 + c 2 = a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a = 10‬‬
‫‪c = 6‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר נציב במשוואה הראשונה של המערכת האחרונה לפי שתי המשוואות האחרונות‬
‫שלה נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪b 2 + 62 = 102‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(13‬‬
‫‪b=8‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (2‬לפי השוויונים )‪ (10‬ו‪ ,(13)-‬ונקבל כי המשוואה של האליפסה הנתונה היא‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪64 36‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪207‬‬
‫דוּאט של אליפסה והיפרבולה‬
‫‪ֶ .22‬‬
‫אפלטון ניסח הגדרה שהייתה בעלת הצלחה רבה‪" :‬אדם הוא בעל חיים ללא נוצות ועם שתי רגליים‪".‬‬
‫דיוגנס‪ 1‬מרט נוצות מן תרנגול‪ ,‬הביא אותו לאפלטון לבית הספר והכריז‪" :‬הנה האדם של אפלטון"‪.‬‬
‫לאחר מכן הוסף להגדרה‪" :‬ועם ציפורניים רחבות"‪.‬‬
‫)דיוגנס לארטיוס(‬
‫בעיה‪ .‬נתונות נקודות )‪ C (3, 0) , B (−3, 0) , A(−5, 0‬ו‪ . D (5, 0) -‬מצאו‪ ,‬עם דיוק של שלוש‬
‫ספרות אחרי הנקודה‪ ,‬את השיעורים של נקודה ‪ P‬המקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫א( המרחק בין נקודה ‪ P‬לבין נקודה ‪ A‬גדול ב‪ 6 -‬יח' מהמרחק בין נקודה זו לבין‬
‫נקודה ‪ ; D‬ב( היקף המשולש ‪ PCB‬שווה ל‪ 16 -‬יח'‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צרך למצוא‪ ,‬עם דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה‪ ,‬את השיעורים של נקודה ‪P‬‬
‫המקיימת שני תנאים‪.‬‬
‫מה הם התנאים?‬
‫תנאי ראשון‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫המרחק בין נקודה ‪ P‬לבין נקודה )‪ A( −5, 0‬גדול ב‪ 6 -‬יח'‬
‫מהמרחק בין נקודה זו לבין נקודה )‪D(5, 0‬‬
‫תנאי שני‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור הנקודות )‪ B (−3, 0‬ו‪ C (3, 0) -‬היקף המשולש ‪ PCB‬שווה‬
‫ל‪ 16 -‬יחידות ‪.‬‬
‫הכוונה לפילוסוף דיוגנס מסינופ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫דוּאט של אליפסה והיפרבולה‬
‫‪ֶ .22‬‬
‫‪208‬‬
‫נפתור את הבעיה בשיטה של שני מקומות גיאומטריים‪ :‬נמצא את המקום הגיאומטרי‬
‫של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪ ;(1‬נמצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪ ;(2‬לאחר מכן נמצא את השיעורים של הנקודה ‪ P‬כשיעורים של‬
‫נקודה משותפת לשני מקומות גיאומטריים אלו‪.‬‬
‫נפעל לפי תוכנית זו לפתרון הבעיה‪ .‬ראשית נמצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪.(1‬‬
‫נזכור כי המקום גיאומטרי של כל הנקודות שהפרש מרחקיהן משתי נקודות קבועות‬
‫שווה למספר קבוע נקרא היפרבולה‪ .2‬לשתי הנקודות הקבועות הנ"ל קוראים מוקדי‬
‫ההיפרבולה‪ .‬המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהפרש מרחקיהן משתי נקודות‬
‫)‪ F1 (c, 0‬ו‪ F2 (−c, 0) -‬שווה ל‪ ( 0 < a < c ) 2a -‬הוא היפרבולה שמשוואתה‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫כאן ‪ b‬הוא מספר חיובי המקיים את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪b2 = c2 − a2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫היפרבולה זו נקראת היפרבולה‬
‫‪| r2 − r1 |= 2a‬‬
‫קנונית‪ .‬בציור משמאל נמצא גרף‬
‫‪y‬‬
‫של היפרבולה קנונית‪.‬‬
‫‪r2‬‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫שמרחקן מנקודה )‪ F2 (−c, 0‬גדול‬
‫ב‪ 2a -‬ממרחקן מנקודה )‪F1 (c, 0‬‬
‫הוא הענף הימני של ההיפרבולה‬
‫) ‪(0, b‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F1 (c, 0‬‬
‫)‪( a , 0‬‬
‫)‪( − a , 0‬‬
‫)‪F2 (−c, 0‬‬
‫) ‪(0, − b‬‬
‫האחרונה‪.‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל על אודות‬
‫היפרבולה קנונית אפשר להסיק כי‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫‪b‬‬
‫‪y=− x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y= x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ P‬המקיימות את תנאי )‪ (1‬הוא הענף הימני של היפרבולה קנונית המקיימת את התנאים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫‪ 2‬כאשר מחשבים את הפרש המרחקים המדוברים מחסרים מהמספר הגדול מבין השניים את המספר הקטן‬
‫יותר‪ ,‬או מוציאים את הערך המוחלט של ההפרש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪209‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪2a = 6‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪c=5‬‬
‫משוויון )‪ (5‬נובע כי‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪a=3‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (4‬לפי שוויונים )‪ (6‬ו‪ ,(7)-‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪b 2 = 52 − 32 = 16‬‬
‫מכאן‬
‫‪b=4‬‬
‫נציב בנוסחה )‪ (3‬לפי שורות )‪ (6‬ו‪ ,(8)-‬ונקבל כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את תנאי )‪ (1‬הוא הענף הימני של היפרבולה שמשוואתה‬
‫)‪(9‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪9 16‬‬
‫ומהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות את תנאי )‪?(2‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נשאל את עצמנו‪ :‬האם פתרנו בעבר בעיה שבה נדרש למצוא את‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות תנאי דומה לתנאי )‪?(2‬‬
‫כן‪ ,‬בפרק ‪ 19‬מצאנו עבור הנקודות )‪ A(−4, 0‬ו‪ B (4, 0) -‬את המקום הגיאומטרי של כל‬
‫הנקודות ‪ C‬המקיימות את התנאי הבא‪ :‬היקף המשולש ‪ ABC‬שווה ל‪ 18 -‬יח' ‪ .‬קיבלנו כי‬
‫מקום גיאומטרי זה הוא אליפסה שמשוואתה‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪25 9‬‬
‫קראו שוב את פרק ‪ 19‬והראו בדרך דומה כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור‬
‫המקיימות את תנאי )‪ (2‬הוא אליפסה שמשוואתה‬
‫)‪(10‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪25 16‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫דוּאט של אליפסה והיפרבולה‬
‫‪ֶ .22‬‬
‫‪210‬‬
‫כעת אפשר להסיק כי נקודה ‪ P‬מקיימת את תנאים )‪ (1‬ו‪ (2)-‬אך ורק אם היא נקודת‬
‫החיתוך של הענף הימני של ההיפרבולה המיוצגת על ידי משוואה )‪ (9‬עם האליפסה‬
‫המיוצגת על ידי משוואה )‪ .(10‬לכן שיעורי הנקודה ‪ P‬המקיימת את תנאים )‪ (1‬ו‪ (2)-‬הם‬
‫פתרונות המקיימים את התנאי ‪ x > 0‬של המערכת המורכבת ממשוואות )‪ (9‬ו‪.(10)-‬‬
‫כשמוצאים פתרונות אלו עם הדיוק‬
‫הנדרש בבעיה מקבלים כי‬
‫‪y‬‬
‫)‪ P(3.638, 2.744‬או‬
‫)‪. P(3.638, −2.744‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫)‪(0, 4‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(3, 0‬‬
‫)‪(5, 0‬‬
‫)‪( −3, 0‬‬
‫)‪( −5, 0‬‬
‫‪P2‬‬
‫)‪(0, − 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y=− x‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪211‬‬
‫‪ .23‬סיפורן של שתי אסימפטוטות‬
‫אחרי רדפו ‪ 30‬כלבים‪ 7 .‬מהם היו לבנים‪ 8 ,‬היו בצבע אפור ושאר הכלבים היו שחורים‪.‬‬
‫השאלה‪ :‬באיזו רגל ננשכתי?‬
‫)אנטון צ'כוב(‬
‫בעיה‪ .‬ישר אשר עובר דרך המוקד השמאלי של היפרבולה קנונית ומאונך לאחת‬
‫‪80 60‬‬
‫האסימפטוטות שלה‪ ,‬חותך את האסימפטוטה השנייה בנקודה ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪ . A(−‬מצאו את‬
‫משוואת ההיפרבולה‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫לעתים קרובות צריך לנסח בעיה בדרך אחרת כדי לפתור אותה‪ .‬את הבעיה הנוכחית‬
‫אפשר לנסח גם באופן הבא‪:‬‬
‫‪80 60‬‬
‫נתונה היפרבולה קנונית; הנקודה ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪ A(−‬נמצאת על אחת האסימפטוטות של‬
‫ההיפרבולה‪ .‬הישר העובר דרך נקודה ‪ A‬ודרך המוקד השמאלי של ההיפרבולה מאונך‬
‫לאסימפטוטה השנייה‪ .‬מצאו את משוואת ההיפרבולה‪.‬‬
‫עשינו את הצעד הראשון לכיוון פתרון הבעיה‪ .‬נמשיך מכאן‪.‬‬
‫עלינו למצוא את המשוואה של היפרבולה קנונית מסוימת‪ .‬לכן עלינו קודם כל להיזכר כי‬
‫היפרבולה קנונית היא קו המיוצג על ידי המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫על סמך משוואה )‪ (1‬מסיקים כי אנו בעצם מתבקשים למצוא את הריבועים של חוצי‬
‫הצירים ‪ a‬ו‪ b -‬של ההיפרבולה הנתונה בבעיה ולהציב אותם במשוואה זו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .23‬סיפורן של שתי אסימפטוטות‬
‫‪212‬‬
‫לעתים כדי למצוא את חוצי הצירים ‪ a‬ו‪ b -‬של היפרבולה קנונית מרכיבים שתי‬
‫משוואות עם הנעלמים ‪ a‬ו‪ , b -‬אך לא תמיד אפשר להסתפק בשני נעלמים אלו‪ .‬לעתים כדי‬
‫למצוא ‪ a‬ו‪ b -‬צריך להרכיב ולפתור מערכת של שלוש משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫אחת המשוואות במערכת זו היא‪:‬‬
‫‪a 2 + b2 = c2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)או משוואה השקולה לה(‪ .‬אל תשכחו ש‪ b , a -‬ו‪ c -‬צריכים להיות גדולים מ‪. 0 -‬‬
‫לפי הנתון )ראו ניסוח שני של הבעיה( מתקיים‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪80 60‬‬
‫הנקודה ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪ A(−‬נמצאת על אחת האסימפטוטות של ההיפרבולה‪.‬‬
‫כעת עלינו להיזכר כי לכל היפרבולה יש שתי אסימפטוטות‪ .‬אסימפטוטות של‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ההיפרבולה המיוצגת על ידי משוואה )‪ (1‬הם הישרים ‪ ℓ1 : y = x‬ו‪. ℓ 2 : y = − x -‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫אם שיעור ה‪ x -‬של נקודה הנמצאת על הישר ‪ ℓ1 : y = x‬הוא מספר שלילי‪ ,‬אז גם‬
‫‪a‬‬
‫שיעור ה‪ y -‬של נקודה זו הוא מספר שלילי )מכיוון שמתקיים‪ ,( b > 0 , a > 0 :‬אך עבור‬
‫‪80 60‬‬
‫שיעורי הנקודה ) ‪ A(− ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪yA > 0‬‬
‫‪. xA < 0 ,‬‬
‫לכן‬
‫‪b‬‬
‫נקודה ‪ A‬לא יכולה להימצא על אסימפטוטה ‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪. ℓ1 : y‬‬
‫מכאן ומטענה )‪ (3‬נובע כי‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪80 60‬‬
‫הנקודה ) ‪ A(− ,‬נמצאת על הישר ‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪b‬‬
‫)נציין שלכל נקודה ‪ P‬הנמצאת על הישר ‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪. ℓ2 : y = −‬‬
‫‪ ℓ 2 : y = −‬ומקיימת את התנאי‪, xP < 0 :‬‬
‫מתקיים‪.( yP > 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪213‬‬
‫‪b‬‬
‫טענה )‪ (4‬מתקיימת אך ורק אם שיעורי נקודה ‪ A‬מקיימים את המשוואה ‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪,y=−‬‬
‫‪60 b  80 ‬‬
‫‪= ⋅− ‬‬
‫‪7 a  7 ‬‬
‫)‪(5‬‬
‫כעת ברשותנו שתי משוואות עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ : c -‬משוואות )‪ (2‬ו‪ .(5)-‬עלינו להרכיב‬
‫עוד משוואה אחת עם נעלמים אלו‪ ,‬אך לפני כן נציין כי משוואה )‪ (5‬שקולה למשוואה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪a 4‬‬
‫=‬
‫‪b 3‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪.‬‬
‫במטרה להרכיב את המשוואה השלישית עם הנעלמים ‪ b , a‬ו‪ , c -‬נשאל את עצמנו‪ :‬במה‬
‫מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו?‬
‫לא השתמשנו בכך שלפי הנתון )בניסוח השני של הבעיה(‬
‫)‪(7‬‬
‫‪80 60‬‬
‫הישר העובר דרך הנקודה ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫ההיפרבולה מאונך לאסימפטוטה שעליה נקודה ‪ A‬לא נמצאת‪.‬‬
‫‪ A(−‬ודרך המוקד השמאלי של‬
‫‪y‬‬
‫‪80 60‬‬
‫) ‪A(− ,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫) ‪(0, b‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪F1 (c, 0‬‬
‫)‪( a , 0‬‬
‫)‪( − a , 0‬‬
‫)‪F2 (−c, 0‬‬
‫) ‪(0, − b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪y=−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪y‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .23‬סיפורן של שתי אסימפטוטות‬
‫‪214‬‬
‫על סמך הנאמר לעיל על אסימפטוטות של היפרבולה קנונית מסיקים כי מטענות )‪ (4‬ו‪-‬‬
‫)‪ (7‬נובע ש‪-‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪80 60‬‬
‫הישר העובר דרך הנקודה ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪ A(−‬ודרך המוקד השמאלי של‬
‫‪b‬‬
‫ההיפרבולה הנתונה מאונך לישר ‪. ℓ1 : y = x‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת עלינו להיזכר כי המוקדים של ההיפרבולה המיוצגת על ידי משוואה )‪ (1‬הם הנקודות‬
‫)‪ F1 (c, 0‬ו‪ c ) F2 (−c, 0) -‬הוא המספר החיובי המקיים את תנאי )‪ .((2‬המוקד השמאלי של‬
‫ההיפרבולה הוא הנקודה )‪. F2 (−c, 0‬‬
‫עכשיו אפשר לנסח את טענה )‪ (8‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪80 60‬‬
‫הישר העובר דרך הנקודות ) ‪,‬‬
‫‪7 7‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. ℓ1 : y = x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ A(−‬ו‪ F2 (−c, 0) -‬מאונך לישר‬
‫טענה זו מתקיימת אך ורק אם עבור הנקודות ‪ A‬ו‪ F2 -‬הנזכרות בה מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪mℓ‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪mAF = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת ניעזר בנוסחה‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫=‪m‬‬
‫לחישוב השיפוע של הישר העובר דרך נקודות ) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ . ( x2 , y2 ) -‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪60‬‬
‫‪−0‬‬
‫‪60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪80‬‬
‫‪xF − x A‬‬
‫‪7c − 80‬‬
‫‪− +c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪yF − y A‬‬
‫‪mAF‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪215‬‬
‫הצלחנו להביע את השיפוע ‪ mAF‬של הישר ‪ AF2‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪ c -‬בשתי דרכים‬
‫‪2‬‬
‫שונות‪ .‬כעת על סמך שורות )‪ (10‬ו‪ (11)-‬וכלל המעבר נוכל להסיק כי טענה )‪ (9‬מתקיימת אך‬
‫ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪60‬‬
‫=‬
‫‪b 7c − 80‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪−‬‬
‫עכשיו עלינו להתבונן במערכת‬
‫)‪(13‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 2 + b 2 = c 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 4‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪b 3‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪− b = 7c − 80‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (6) ,(2‬ו‪ .(12)-‬מערכת זו שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 2 + b 2 = c 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 4‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪b 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 = 3 + 7c − 80‬‬
‫)חיברנו אל המשוואה השלישית של מערכת )‪ (13‬את המשוואה השנייה שלה(‪.‬‬
‫כאשר נפתור את המשוואה השלישית של מערכת המשוואות האחרונה נקבל‪:‬‬
‫‪c=5‬‬
‫לכן מערכת משוואות )‪ (14‬שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫‪a 2 + b 2 = c 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 4‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪b 3‬‬
‫‪c = 5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .23‬סיפורן של שתי אסימפטוטות‬
‫‪216‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת המשוואות האחרונה לפי המשוואה השלישית‬
‫ונכפיל את המשוואה השנייה ב‪ , b -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a 2 + b 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪a = b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪c = 5‬‬
‫)‪(15‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת )‪ (15‬לפי המשוואה השנייה שלה‪ ,‬ונקבל את‬
‫המשוואה הריבועית הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ b  + b = 25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪b2 = 9‬‬
‫מכאן‬
‫‪b=3‬‬
‫)‪(16‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של מערכת )‪ (15‬לפי שורה )‪ ,(16‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a=4‬‬
‫מכאן‬
‫‪a 2 = 16‬‬
‫מצאנו את ריבועי חוצי הצירים של ההיפרבולה הנתונה‪ .‬נציב אותם במשוואה )‪ ,(1‬ונקבל‬
‫את המשוואה שהתבקשנו למצוא‪:‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪16 9‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪217‬‬
‫‪ .24‬כמו שירו של רועה צאן‬
‫בני אדם שרים ברגעי שמחה וברגעי עצב‪ ,‬אך גם ברגעי שעמום‪ .‬אינני יודע כיצד זה היום‪,‬‬
‫אך בעבר כשרכבו רועי הצאן הקזחים על סוסיהם בערבה הם שרו לאורך כל הדרך‪ .‬אילו‬
‫שירים הם שרו? הפשוטים ביותר – מה שאני רואה‪ ,‬על זה אני שר‪.‬‬
‫"אני רואה עץ"‪ ,‬שר רועה הצאן הקזחי‪" ,‬יש צל תחתיו‪ .‬כשאגיע אל העץ אנוח"‪.‬‬
‫קיימות לא מעט בעיות שדרך פתרונן מזכירה לי את השירים של אותם רועי צאן‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונות נקודות )‪ A(−2, 0‬ו‪ . B(2, 0) -‬מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫שמרחקן מנקודה ‪ B‬גדול פי ‪ 3‬ממרחקן מנקודה ‪. A‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה )‪B(2, 0‬‬
‫גדול פי ‪ 3‬ממרחקן מנקודה )‪. A(−2, 0‬‬
‫נסמן נקודה שרירותית השייכת למקום הגיאומטרי המדובר ב‪ . P -‬הרי אם למשהו או‬
‫למישהו אין שם או כינוי‪ ,‬קשה‪ ,‬ולעתים קרובות אפילו בלתי אפשרי‪ ,‬לדבר עליו בצורה‬
‫ברורה‪.‬‬
‫אילו תנאים חייבת לקיים נקודה ‪? P‬‬
‫תנאי אחד ויחיד‪:‬‬
‫המרחק בין נקודה ‪ P‬לבין נקודה )‪ B(2, 0‬צריך להיות גדול פי ‪ 3‬מהמרחק בין‬
‫‪ P‬לבין נקודה )‪. A(−2, 0‬‬
‫במילים אחרות‪,‬‬
‫)‪(1‬‬
‫אורך הקטע ‪ BP‬צריך להיות גדול פי שלושה מאורך הקטע ‪AP‬‬
‫נרשום את טענה )‪ (1‬בצורה מתמטית‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪BP = 3 AP‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .24‬כמו שירו של רועה צאן‬
‫‪218‬‬
‫ברשותנו שוויון המקשר בין אורך הקטע ‪ AP‬לבין אורך הקטע ‪ ; BP‬כיצד אפשר להביע‬
‫את אורכי הקטעים באמצעות השיעורים של קצותיהם?‬
‫לפי הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות מתקיים‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪AP = ( xP − x A )2 + ( yP − y A ) 2‬‬
‫ו‪-‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪BP = ( xP − xB ) 2 + ( yP − y A )2‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (3‬את השיעורים של נקודה ‪ , A‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪AP = ( xP + 2) 2 + yP 2‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (4‬את השיעורים של נקודה ‪ , B‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪BP = ( xP − 2) 2 + yP 2‬‬
‫אם נתבונן בשוויונים )‪ (5) ,(2‬ו‪ ,(6)-‬לא יהיה קשה לנחש כי צריך להציב בשוויון )‪ (2‬לפי‬
‫שוויונים )‪ (5‬ו‪ .(6)-‬נעשה כך‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪( xP − 2) 2 + yP 2 = 3 ( xP + 2) 2 + yP 2‬‬
‫קיבלנו כי נקודה ‪ P‬במישור נמצאת במקום הגיאומטרי המדובר אך ורק אם שיעוריה‬
‫מקיימים את שוויון )‪ .(7‬מכאן נובע כי המשוואה הבאה היא המשוואה של מקום גיאומטרי‬
‫זה‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪( x − 2)2 + y 2 = 3 ( x + 2)2 + y 2‬‬
‫במשוואה האחרונה אנחנו רואים שורשים ריבועיים‪ .‬כיצד אפשר להיפטר מהם?‬
‫צריך להעלות את שני האגפים של המשוואה האחרונה בריבוע‪ .‬נעשה כך‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫] ‪( x − 2)2 + y 2 = 9[( x + 2) 2 + y 2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה )‪ (8‬ולמשוואה הבאה‪:‬‬
‫) ‪x 2 − 4 x + 4 + y 2 = 9( x 2 + 4 x + 4 + y 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪219‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x 2 − 4 x + 4 + y 2 = 9 x 2 + 36 x + 36 + 9 y 2‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪8 x 2 + 40 x + 8 y 2 = −32‬‬
‫נחלק את המשוואה האחרונה ב‪ , 8 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2 + 5 x + y 2 = −4‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 2.5 + (2.5) 2 + y 2 = −4 + (2.5)2‬‬
‫)במשוואה הקודמת החלפנו את הביטוי ‪ 5x‬בביטוי ‪ , 2 ⋅ x ⋅ 2.5‬ששווה לו‪ ,‬והוספנו לשני‬
‫האגפים של המשווה את ‪.( (2.5)2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪( x + 2.5) 2 + y 2 = 2.25‬‬
‫משוואה )‪ (9‬שקולה למשוואה )‪ ,(8‬שתי המשוואות מייצגות את אותו קו‪ .‬על סמך משוואה‬
‫)‪ (9‬של המקום הגיאומטרי המדובר אפשר לקבוע כי המקום הגיאומטרי הוא מעגל שמרכזו‬
‫בנקודה )‪ (−2.5, 0‬ורדיוסו ‪ 1.5‬יח'‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫‪220‬‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫"נראה לעין – זה מה שאיש לא רואה עד שמישהו מתאר אותו במילים פשוטות‪ ",‬כתב הפילוסוף‪,‬‬
‫הסופר‪ ,‬המשורר והצייר הנודע ג'ובראן חליל ג'ובראן‪ .‬כשתלמידיי כבר ידעו דבר מה אודות מקומות‬
‫גיאומטריים‪ ,‬אך לפני שסיפרתי להם את מה שתקראו בפרק זה‪ ,‬אחת מתלמידותיי ביקשה שאעזור לה‬
‫לפתור בעיה קשה )לא רק מבחינתה( למציאת המשוואה של מקום גיאומטרי‪ .‬פתרתי את הבעיה לפי‬
‫האלגוריתם המתואר להלן‪.‬‬
‫"כמה זה קל! יכולתי בעצמי להגיע לאלגוריתם‪ ",‬אמרה התלמידה כשסיימתי‪.‬‬
‫"קל? כן‪ ,‬את צודקת‪' .‬שפת האמת פשוטה‪ ',‬אמר אפלטון‪ .‬יכולת להגיע אל האלגוריתם בעצמך? אם כן‪,‬‬
‫כיצד זה שאיש ממחברי הספרים בתחום‪ ,‬לא פרסם עד עתה את מה שאני הסברתי לך‪ .‬אך במחשבה‬
‫שנייה‪ ,‬אולי את צודקת‪".‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונים מלבנים‪ .‬אורכי הצלעות של כל אחד מהמלבנים הם ‪ 4‬יח' ו‪ 3 -‬יח'‪ .‬בכל אחד‬
‫מהמלבנים ישנם שני קודקודים לא סמוכים שאחד מהם נמצא על ישר ‪ y = 2 x‬והשני על‬
‫ישר ‪ . y = 4 x‬הוכיחו כי משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות מפגש האלכסונים של‬
‫המלבנים היא ‪. 292 x 2 − 216 xy + 40 y 2 = 25‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך להוכיח?‬
‫צריך להוכיח כי‬
‫משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות מפגש האלכסונים במלבנים‬
‫המקיימים כמה תנאים היא ‪. 292 x 2 − 216 xy + 40 y 2 = 25‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬אנחנו מתבקשים למצוא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות‬
‫מפגש אלכסונים במלבנים המקיימים כמה תנאים‪ ,‬וידועה לנו התוצאה שאליה אנו צריכים‬
‫להגיע‪.‬‬
‫אילו תנאים מקיימים המלבנים?‬
‫המלבנים מקיימים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪221‬‬
‫אורכי הצלעות של כל אחד מהמלבנים הם ‪ 4‬יח' ו‪ 3 -‬יח';‬
‫)‪(1‬‬
‫בכל אחד מהמלבנים ישנם שני קודקודים לא סמוכים שאחד מהם נמצא‬
‫)‪(2‬‬
‫על ישר ‪ y = 2 x‬והשני על ישר ‪. y = 4 x‬‬
‫נתבונן במלבן שרירותי המקיים את תנאים )‪ (1‬ו‪ ;(2)-‬נסמן את נקודת המפגש של‬
‫אלכסוניו ב‪ , P -‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודה ‪ – P‬ב‪ , x1 -‬ואת השיעור ה‪ y -‬של נקודה זו‬
‫ב‪. y1 -‬‬
‫‪1‬‬
‫עלינו להרכיב משוואה המקשרת את הנעלמים ‪ x1‬ו‪ . y1 -‬הבה נעשה זאת לפי השלבים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫שלב א'‪ :‬נוסף על נקודה ) ‪ P( x1 , y1‬נתבונן גם בנקודות ) ‪, ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , ... , ( xk , yk‬‬
‫שמיקומן קובע באופן חד‪-‬משמעי את מיקומה של נקודה ) ‪ . P( x1 , y1‬הקבוצה של נקודות‬
‫נוספות אלו לא חייבת להיות מינימלית‪.‬‬
‫שלב ב'‪ :‬נרכיב מערכת של ‪ 2k − 1‬משוואות עם ‪ 2k‬הנעלמים הבאים‪:‬‬
‫‪. x1 , y1 , x2 , y2 , ..., xk , yk‬‬
‫)ייתכן שלא יהיה גבול ברור בין שלבים א' ו‪-‬ב'‪ .‬ייתכן שנמצא כמה נקודות המשפיעות על‬
‫מיקומה של נקודה ‪ P‬ונרכיב כמה משוואות שבהן הנעלמים הם השיעורים של נקודות אלו‬
‫והשיעורים של נקודה ‪ . P‬לאחר מכן נמצא עוד נקודות המשפיעות על מיקומה של נקודה‬
‫‪ P‬ונרכיב משוואות נוספות(‪.‬‬
‫שלב ג' )שלב אחרון(‪ :‬על סמך המערכת של ‪ 2k − 1‬משוואות אשר הורכבו בשלב ב' )נקרא‬
‫לה מערכת )*(( נקבל משוואה אך ורק עם הנעלמים ‪ x1‬ו‪. y1 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫בעתיד במקום לומר‪ ":‬נסמן את נקודת המפגש של אלכסוניו ב‪ , P -‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ P‬נסמן‬
‫ב‪ x1 -‬ואת השיעור ה‪ y -‬של נקודה זו נסמן ב‪ , " y1 -‬נגיד בקיצור‪ " :‬נסמן את נקודת המפגש של אלכסוניו ב‪-‬‬
‫) ‪." P ( x1 , y1‬‬
‫‪2‬‬
‫אם המיקום של נקודה שרירותית ‪ P‬השייכת למקום הגיאומטרי שאת משוואתו צריך למצוא נקבע חד‪-‬‬
‫משמעית על ידי מיקומן של ‪ k − 1‬נקודות ) ‪ , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , ... , ( xk , yk‬ונתונים ערכים של ‪m‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫‪222‬‬
‫לאחר שתתקבל משוואה המקשרת את הנעלמים ‪ x1‬ו‪ , y1 -‬יש להחליף בה את ‪ x1‬ב‪x -‬‬
‫ואת ‪ y1‬ב‪ . y -‬המשוואה האחרונה היא משוואת המקום הגיאומטרי הנדרשת‪.‬‬
‫כיצד נבצע את שלב ג'?‬
‫קודם כל נקבל )אם יתאפשר לנו( מערכת משוואות פשוטה יותר השקולה למערכת )*( של‬
‫‪ 2k − 1‬משוואות אשר הורכבו בשלב ב' )נקרא למערכת המשוואות החדשה מערכת )**(( ‪.‬‬
‫לשם כך ניעזר בפעולות הבאות‪ :‬החלפת מקום המשוואות‪ ,‬הכפלת )או חילוק( משוואה‬
‫במספר שונה מ‪ ,0-‬חיבור של משוואה המוכפלת בביטוי כלשהו אל משוואה אחרת השייכת‬
‫למערכת זו‪ ,‬הצבה במשוואה אחת של מערכת לפי משוואות אחרות‪ .‬לפעמים מופיע גם‬
‫צורך להעלות משוואה כלשהי בריבוע‪ .‬במקרים כאלו יש להיזהר מקבלת פתרונות‬
‫מיותרים‪.‬‬
‫אם לאחר ביצוע הפעולות המתוארות לעיל לא נקבל בקלות את המשוואה המקשרת בין‬
‫הנעלמים ‪ x1‬ו‪ , y1 -‬נמשיך את מאמצינו בדרך הבאה‪:‬‬
‫נבחר ב‪ 2k − 2 -‬משוואות מתוך ‪ 2k − 1‬משוואות אשר כלולות במערכת )**(‪ ,‬ועל סמך‬
‫משוואות אלו ננסה להביע את הנעלמים ‪ x2 , y2 , ..., xk , yk‬באמצעות הנעלמים ‪ x1‬ו‪. y1 -‬‬
‫אם בחירתנו ב‪ 2k − 2 -‬משוואות תהיה נכונה‪ ,‬אז כנראה אפשר יהיה להביע את הנעלמים‬
‫‪ x2 , y2 , ..., xk , yk‬באמצעות הנעלמים ‪ x1‬ו‪ , y1 -‬מכיוון שאם נתבונן במערכת המורכבת‬
‫ממשוואות אלו ונתייחס אל ‪ x1‬ו‪ y1 -‬כאל פרמטרים‪ ,‬ולא כאל נעלמים‪ ,‬תהיה זו מערכת‬
‫של ‪ 2k − 2‬משוואות עם ‪ 2k − 2‬נעלמים‪.‬‬
‫אם לאחר שנבצע את כל מה שנאמר לעיל נקבל כי‬
‫)‪(3‬‬
‫) ‪x2 = f1 ( x1 , y1 ), y2 = g1 ( x1 , y1 ), … , xk = f k −1 ( x1 , y1 ), yk = g k −1 ( x1 , y1‬‬
‫מתוך ‪ 2k − 2‬הגדלים ‪ , x2 , y2 , x3 , y3 ,… , xk , yk‬אז כבר מתחילת פתרון הבעיה אפשר להתרכז‬
‫בניסיון להרכיב מערכת של ‪ 2k − m − 1‬משוואות עם ‪ 2k − m‬נעלמים‪ ,‬ולא להתבונן כלל במערכת‬
‫‪ 2k − 1‬משוואות עם ‪ 2k‬נעלמים )ראו פרק הבא(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪223‬‬
‫והמשוואה אשר כלולה במערכת )**( ‪ ,‬אך לא נמצאת בין ‪ 2k − 2‬המשוואות אשר נבחרו‬
‫היא‬
‫‪, F ( x1 , y1 , x2 , y2 , ..., xk , yk ) = 0‬‬
‫)‪(4‬‬
‫אז לאחר שנציב במשוואה האחרונה לפי המשוואות הרשומות בשורה )‪ (3‬נקבל‪:‬‬
‫‪F ( x1 , f1 ( x1 , y1 ), g1 ( x1 , y1 ), ..., f k −1 ( x1 , y1 ), g k −1 ( x1 , y1 )) = 0‬‬
‫על סמך משוואה זו נוכל להסיק כי המשוואה של המקום הגיאומטרי הנדרשת היא‬
‫‪F ( x, f1 ( x, y ), g1 ( x, y ), ..., f k −1 ( x, y ), g k −1 ( x, y )) = 0‬‬
‫נציין שאם חלק מהנעלמים ‪ x2 , y2 , ..., xk , yk‬לא משתתפים במשוואה )‪ ,(4‬אז אין צורך‬
‫להביע את נעלמים אלו באמצעות הנעלמים ‪ x1‬ו‪) y1 -‬אם‪ ,‬כמובן‪ ,‬אפשר להביע את שאר‬
‫הנעלמים באמצעות ‪ x1‬ו‪ y1 -‬בלי לעשות זאת עבור הנעלמים שאינם מופיעים במשוואה )‪.(4‬‬
‫מכאן נובע כי לא תמיד יש צורך לבחור בדיוק ‪ 2k − 2‬מתוך ‪ 2k − 1‬משוואות אשר‬
‫כלולות במערכת )**(‪ ,‬לפעמים מתוך ‪ 2k − 1‬אלו אפשר לבחור מספר קטן יותר של‬
‫משוואות‪.‬‬
‫נתחיל לפעול לפי תוכנית זו לפתרון הבעיה‪.‬‬
‫לפי הסימון‪ ,‬נקודה ) ‪ P( x1 , y1‬היא נקודת מפגש האלכסונים במלבן שרירותי המקיים‬
‫את תנאים )‪ (1‬ו‪ .(2)-‬בשיעורים של אילו עוד נקודות עלינו להתבונן?‬
‫בבעיה נזכרים שני קודקודים של המלבן‪ .‬אחד מהם נמצא על הישר ‪ y = 2 x‬והשני על‬
‫הישר ‪ . y = 4 x‬שני קודקודים אלה נמצאים אחד מול השני‪ .‬נסמן את קודקוד המלבן‬
‫הנמצא על הישר ‪ y = 2 x‬ב‪ A( x2 , y2 ) -‬ואת הקודקוד הנמצא על הישר ‪ y = 4 x‬ב‪-‬‬
‫) ‪. C ( x3 , y3‬‬
‫נקודה ) ‪ A( x2 , y2‬נמצאת על הישר ‪ y = 2 x‬אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪y2 = 2 x2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫‪224‬‬
‫נקודה ) ‪ C ( x3 , y3‬נמצאת על הישר ‪ y = 4 x‬אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪y3 = 4 x3‬‬
‫)‪(6‬‬
‫אלכסונים במלבן חוצים זה את זה‪ .‬לכן נקודה ‪ P‬היא אמצע האלכסון ‪ AC‬במלבן‬
‫המדובר‪ .‬מכאן‬
‫)‪(7‬‬
‫‪x2 + x3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x1‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪y2 + y3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y1‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪C ( x3 , y3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫) ‪P ( x1 , y1‬‬
‫) ‪A( x2 , y2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 2x‬‬
‫‪y = 4x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪225‬‬
‫כעת ברשותנו ארבע משוואת עם הנעלמים ‪ : x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3‬משוואות )‪ (7) ,(6) ,(5‬ו‪-‬‬
‫)‪ .(8‬כמה משוואות עלינו להרכיב עוד?‬
‫אנו מרכיבים משוואות עבור שישה נעלמים‪ .‬עלינו להרכיב עוד משוואה אחת עם‬
‫הנעלמים הנ"ל כדי שתהיה ברשותנו מערכת של חמש משוואות עם שישה נעלמים‪.‬‬
‫במה מהנתון בבעיה עוד לא השתמשנו?‬
‫לא השתמשנו בכך שלפי הנתון‬
‫)‪(9‬‬
‫אורכי הצלעות של המלבן המדובר הם ‪ 4‬יח' ו‪ 3 -‬יח'‪.‬‬
‫נסמן את אחד הקודקודים של המלבן המדובר הסמוכים לקודקוד ‪) A‬ולקודקוד ‪ ( C‬ב‪-‬‬
‫‪ B‬ואת השני ב‪. D -‬‬
‫לפי טענה )‪ (9‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ 3‬יח' = ‪ 4 , BC‬יח' = ‪AB‬‬
‫)‪(10‬‬
‫או‬
‫‪ 4‬יח' = ‪ 3 , BC‬יח' = ‪AB‬‬
‫)‪(11‬‬
‫אפשר לחשב את אורך האלכסון ‪ AC‬של המלבן ‪ . ABCD‬לפי משפט פיתגורס מתקיים‬
‫‪AC 2 = AB 2 + BC 2‬‬
‫)‪(12‬‬
‫אם נציב בשוויון האחרון לפי שורה )‪ (10‬או לפי שורה )‪ ,(11‬נקבל‪:‬‬
‫‪ 25‬יח"ר = ‪AC 2 = 42 + 32‬‬
‫מכאן‬
‫‪ 5‬יח' = ‪AC‬‬
‫)‪(13‬‬
‫כעת נחשב את אורך הקטע ‪ AC‬בדרך אחרת‪ :‬ניעזר בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי‬
‫נקודות במישור‪ .‬לפי נוסחה זו מתקיים‪:‬‬
‫‪AC = ( x2 − x3 ) 2 + ( y2 − y3 ) 2‬‬
‫)‪(14‬‬
‫משורות )‪ (13‬ו‪ (14)-‬נובע כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪226‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫‪( x2 − x3 )2 + ( y2 − y3 )2 = 5‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪( x2 − x3 )2 + ( y2 − y3 ) 2 = 25‬‬
‫שימו לב כי על מנת להרכיב את משוואה )‪ (16‬חישבנו את אורך הקטע ‪ AC‬בשתי דרכים‬
‫שונות‪ .‬חישוב גודל כלשהו בשתי דרכים שונות הוא דרך חשובה להרכבת משוואות‪.‬‬
‫גם נציין כי עבור כל זוג נקודות ) ‪ A( x2 , y2‬ו‪ C ( x3 , y3 ) -‬המקיימות את משוואה )‪(16‬‬
‫קיים מלבן ‪ ABCD‬שאחת משתי צלעותיו הסמוכות שווה ל‪ 4 -‬יח' והשנייה ל‪ 3 -‬יח'‪.‬‬
‫כעת נוכל להתבונן במערכת הבאה של חמש משוואות עם שישה נעלמים‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y2 = 2 x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y3 = 4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 + x3‬‬
‫= ‪ x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 + y3‬‬
‫= ‪ y1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x2 − x3 ) + ( y2 − y3 ) = 25‬‬
‫ננסה להביע בהסתמך על ארבע המשוואות הראשונות של מערכת זו את הנעלמים ‪, x2‬‬
‫‪ x3 , y2‬ו‪ y3 -‬באמצעות הנעלמים ‪ x1‬ו‪. y1 -‬‬
‫נציב במשוואות הרביעית של מערכת )‪ (17‬לפי שתי המשוואות הראשונות שלה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y2 = 2 x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y3 = 4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 + x3‬‬
‫= ‪ x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 + 4 x3‬‬
‫= ‪ y1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x2 − x3 ) + ( y2 − y3 ) = 25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪227‬‬
‫נתבונן במערכת‬
‫‪x2 + x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1 = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 2 x2 + 4 x3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(19‬‬
‫המורכבת מהמשוואות השלישית והרביעית של מערכת משוואות )‪ .(18‬מערכת המשוואות‬
‫האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ x2 + x3 = 2 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x2 + 4 x3 = 2 y1‬‬
‫)‪(20‬‬
‫בהסתמך על מערכת המשוואות האחרונה נביע את ‪ x2‬ואת ‪ x3‬באמצעות ‪ x1‬ו‪. y1 -‬‬
‫נחסר מהמשוואה השנייה של מערכת )‪ (20‬את המשוואה הראשונה המוכפלת ב‪, 2 -‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪ x2 + x3 = 2 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x3 = 2 y1 − 4 x1‬‬
‫נחלק את המשוואה השנייה של המערכת האחרונה ב‪ . 2 -‬נקבל‪:‬‬
‫‪ x2 + x3 = 2 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3 = y1 − 2 x1‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של מערכת המשוואות האחרונה לפי המשוואה השנייה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ x2 + y1 − 2 x1 = 2 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3 = y1 − 2 x1‬‬
‫מערכת המשוואות האחרונה שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ x2 = 4 x1 − y1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3 = y1 − 2 x1‬‬
‫)‪(21‬‬
‫מערכת משוואות )‪ (21‬שקולה למערכת משוואות )‪ .(19‬לכן מערכת משוואות )‪ (18‬שקולה‬
‫למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .25‬הדרך המובילה למשוואת המקום הגיאומטרי‬
‫‪228‬‬
‫‪ y2 = 2 x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y3 = 4 x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 = 4 x1 − y1‬‬
‫‪x = y − 2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪( x2 − x3 ) 2 + ( y2 − y3 ) 2 = 25‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של המערכת האחרונה לפי המשוואה השלישית שלה ובמשוואה‬
‫השנייה – לפי המשוואה הרביעית‪ ,‬נקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫) ‪ y2 = 2(4 x1 − y1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ y3 = 4( y1 − 2 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 = 4 x1 − y1‬‬
‫‪x = y − 2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x2 − x3 ) + ( y2 − y3 ) 2 = 25‬‬
‫מערכת זו שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ y2 = 8 x1 − 2 y1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y3 = 4 y1 − 8 x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 = 4 x1 − y1‬‬
‫‪x = y − 2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x2 − x3 ) + ( y2 − y3 ) 2 = 25‬‬
‫נציב במשוואה החמישית של המערכת האחרונה לפי ארבע המשוואות הראשונות שלה‪,‬‬
‫ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪[4 x1 − y1 − ( y1 − 2 x1 )]2 + [8 x1 − 2 y1 − (4 y1 − 8 x1 )]2 = 25‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪(6 x1 − 2 y1 ) 2 + (16 x1 − 6 y1 ) 2 = 25‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪292 x12 − 216 x1 y1 + 40 y12 = 25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪229‬‬
‫נחליף במשוואה האחרונה את ‪ x1‬ב‪ x -‬ואת ‪ y1‬ב‪ , y -‬ונקבל את המשוואה הבאה של‬
‫המקום הגיאומטרי המדובר‪:‬‬
‫‪292 x 2 − 216 xy + 40 y 2 = 25‬‬
‫מש"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫‪230‬‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫השכלה היא מה שנשאר לאחר ששכחנו את כל מה שלימדו אותנו‪.‬‬
‫)ג'ורג' סאוויל‪ ,‬המרקיז הראשון מהליפקס(‬
‫לעתים קרובות אנשים מתבלבלים בין המושג "מדע" למושג "ידע"‪ ,‬וזו טעות גדולה‪ .‬מדע הוא לא רק‬
‫ידע‪ ,‬אלא גם תודעה‪ .‬כלומר‪ ,‬היכולת להשתמש בידע כפי שצריך‪.‬‬
‫)וסילי קלוצ'בסקי(‬
‫‪.‬‬
‫זמן קצר לאחר תום הלימודים בתיכון ובאוניברסיטה‪ ,‬שוכחים רוב האנשים את רוב‬
‫הנוסחאות שלמדו שם‪ .‬הדברים החשובים ביותר שנותרים בזיכרונם לאחר שנות לימודים‬
‫רבות הם מושגי יסוד בתחומים שלמדו‪ ,‬רעיונות עיקריים‪ ,‬דרכי חשיבה ו"כוח המוח"‪ .‬ואם‬
‫לא הבינו את הרעיונות העיקריים ולא למדו כיצד לחשוב‪ ,‬אלא רק שיננו נוסחאות ‪ -‬מה‬
‫נשאר להם בסופו של דבר מלבד תעודות ואולי כמה מושגים ועובדות?‬
‫את הבעיה אשר נפתור בפרק הנוכחי אפשר לפתור מהר יותר אם נעזרים )בלי להוכיח‬
‫אותן( בנוסחאות המאפשרות לחשב את השיעורים של נקודת מפגש התיכונים במשולש‪,‬‬
‫אם ידועים השיעורים של קודקודיו‪ .‬לא נבחר בדרך קלה זו‪ .‬נוכיח את הנוסחאות בעצמנו‬
‫תוך כדי פתרון הבעיה‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬נתונים משולשים ישרי זווית‪ .‬בכל אחד מהמשולשים הקודקוד של הזווית הישרה‬
‫נמצא בנקודה )‪ , (2, 4‬הקודקודים של אחת משתי הזוויות החדות נמצא על ישר ‪, x = −2‬‬
‫ואילו הקודקוד של הזווית החדה השנייה נמצא על ישר ‪ . y = 2‬מצאו את משוואת המקום‬
‫הגיאומטרי של נקודות המפגש של התיכונים במשולשים אלו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪231‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות מפגש התיכונים במשולשים‬
‫המקיימים כמה תנאים‪.‬‬
‫אילו תנאים מקיימים המשולשים?‬
‫לפי הנתון‬
‫– המשולשים הם ישרי זווית;‬
‫– הקודקוד של הזווית הישרה בכל אחד מהמשולשים נמצא בנקודה )‪; (2, 4‬‬
‫– הקודקוד של אחת הזוויות החדות בכל אחד מהמשולשים נמצא על הישר ‪; x = −2‬‬
‫– הקודקוד של הזווית החדה השנייה בכל אחד מהמשולשים נמצא על הישר ‪. y = 2‬‬
‫נתבונן במשולש שרירותי המקיים את כל התנאים הנ"ל‪ .‬נסמן את נקודת המפגש של‬
‫התיכונים במשולש זה ב‪ , P -‬את הקודקוד של משולש זה המתלכד עם הנקודה )‪ (2, 4‬ב‪-‬‬
‫‪ , A‬את הקודקוד הנמצא על הישר ‪ x = −2‬ב‪ , B -‬ואת הקודקוד הנמצא על הישר ‪y = 2‬‬
‫ב‪. C -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪A(2, 4‬‬
‫‪P‬‬
‫‪y=2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x = −2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫‪232‬‬
‫בהסתמך על הנתון בבעיה ועל הסימון שנעשה‪ ,‬נוכל מיד לרשום כי‬
‫‪x A = 2 , y A = 4 , xB = −2 , yC = 2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪∡BAC = 90°‬‬
‫)‪(2‬‬
‫ישנן הנוסחאות הבאות‪ ,‬המאפשרות להביע את השיעורים של נקודה ‪ P‬באמצעות‬
‫השיעורים של קודקודי המשולש המדובר‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x A + xB + xC‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪y A + yB + yC‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. yP‬‬
‫נקבל אותן בעצמנו‪ .‬במטרה לקבל את נוסחאות )‪ (3‬ו‪ (4)-‬נשאל את עצמנו‪ :‬האם קיים‬
‫משפט גיאומטרי שנוכל להיעזר בו לשם כך?‬
‫קיים משפט שלפיו‪ :‬כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך‬
‫שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע‪.‬‬
‫נסמן את אמצע הצלע ‪ BC‬ב‪ M -‬ונתבונן בתיכון ‪ . AM‬לפי המשפט הנ"ל על נקודת‬
‫המפגש של תיכונים במשולש מתקיים‪:‬‬
‫‪AP‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪PM‬‬
‫)‪(5‬‬
‫ננסה להיעזר במשפט שלפיו‪ :‬אם נקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ AM‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪AP m‬‬
‫‪= =λ‬‬
‫‪PM n‬‬
‫‪ ,‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪λ xM + x A‬‬
‫‪λ +1‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫‪mxM + nx A‬‬
‫‪,‬‬
‫‪m+n‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫‪λ yM + y A‬‬
‫‪λ +1‬‬
‫= ‪yP‬‬
‫‪myM + yx A‬‬
‫‪,‬‬
‫‪m+n‬‬
‫= ‪yP‬‬
‫על סמך טענה )‪ (5‬אפשר להסיק כי ‪ . m = 2, n = 1, λ = 2‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪233‬‬
‫‪2 xM + x A‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪2 yM + x A‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫)‪(7‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫= ‪yP‬‬
‫נקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪ . BC‬מכאן‬
‫)‪(8‬‬
‫‪xB + xC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪yB + yC‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (6‬לפי שוויון )‪ ,(8‬ונקבל‪:‬‬
‫‪xB + xC‬‬
‫‪+ xA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅‪2‬‬
‫= ‪xP‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון )‪.(3‬‬
‫כעת נציב בשוויון )‪ (7‬לפי שוויון )‪ ,(9‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yB + yC‬‬
‫‪+ yA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⋅‪2‬‬
‫= ‪yP‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון )‪.(4‬‬
‫הוכחנו את שוויונים )‪ (3‬ו‪ .(4)-‬כעת נוכל להתבונן במערכת המשוואות‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫‪234‬‬
‫‪xA + xB + xC‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y A + yB + yC‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x = 2‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ yA = 4‬‬
‫‪ x = −2‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ yC = 2‬‬
‫)ראו שורות )‪ (3),(1‬ו‪ .((4)-‬זאת מערכת של ‪ 6‬משוואות עם ‪ 8‬נעלמים )הנעלמים הם‪, xA :‬‬
‫‪ xP , yC , xC , yB , xB , y A‬ו‪ .( yP -‬עלינו להרכיב עוד משוואה אחת כדי שתהיה ברשותנו‬
‫מערכת של ‪ 7‬משוואות עם ‪ 8‬נעלמים‪.‬‬
‫במטרה להרכיב עוד משוואה אחת נשאל את עצמנו‪ :‬במה מהנתון בבעיה עוד לא‬
‫השתמשנו?‬
‫לא השתמשנו בטענה )‪.(2‬‬
‫אילו מסקנות אפשר להסיק על סמך טענה )‪?(2‬‬
‫על סמך טענה )‪ (2‬אפשר להסיק כי‬
‫משולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪ ,‬היתר במשולש ישר זווית זה היא הצלע‬
‫‪ BC‬והניצבים הם הצלעות ‪ AB‬ו‪. AC -‬‬
‫מכאן לפי משפט פיתגורס נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪BC 2 = AB 2 + AC 2‬‬
‫קיבלנו שאם שוויון )‪ (2‬מתקיים‪ ,‬גם שוויון )‪ (10‬מתקיים‪ .‬נוסיף כי ההפך גם נכון‪ :‬לפי‬
‫משפט הפוך למשפט פיתגורס‪ ,‬אם שוויון )‪ (10‬מתקיים‪ ,‬גם שוויון )‪ (2‬מתקיים‪.‬‬
‫בעזרת הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות נקבל‪:‬‬
‫‪BC = ( xB − xC ) 2 + ( yB − yC )2‬‬
‫‪ 1‬וזה בתנאי שאף שתי נקודות מבין נקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬לא מתלכדות זו עם זו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪1‬‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪235‬‬
‫‪AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A ) 2‬‬
‫‪AC = ( xC − xA ) 2 + ( yC − y A ) 2‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (10‬לפי שלושת השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪( xB − xC ) 2 + ( yB − yC ) 2 = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2 + ( xC − x A )2 + ( yC − y A ) 2 (11‬‬
‫הרכבנו את המשוואה השביעית עם הנעלמים הנ"ל‪.‬‬
‫אפשר להרכיב את המשוואה השביעית בדרך אחרת‪ .‬אפשר לפרש את שוויון )‪ (2‬בצורה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫הישר ‪ AB‬מאונך לישר ‪. AC‬‬
‫מהו התנאי המספיק וההכרחי לכך ששני ישרים יהיו מאונכים זה לזה?‬
‫לשאלה זו אפשר לתת את התשובות הבאות‪:‬‬
‫תשובה א'‪ :‬הישר ‪ ℓ1‬מאונך לישר ‪ ℓ 2‬אך ורק אם וקטור הכיוון של ישר ‪) ℓ1‬כלומר וקטור‬
‫שונה מ‪ 0 = (0, 0) -‬נמצא על הישר ‪ ℓ1‬או מקביל לו( מאונך לווקטור הכיוון של הישר ‪. ℓ 2‬‬
‫תשובה ב'‪ :‬הישרים ‪ ℓ1 : a1 x + b1 y + c1 = 0‬ו‪ ℓ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 -‬מאונכים זה לזה‬
‫אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪a1a2 + b1b2 = 0‬‬
‫)האגף השמאלי של השוויון האחרון הוא מכפלה סקלרית של הווקטורים ) ‪ (a1 , b1‬ו‪-‬‬
‫) ‪; (a2 , b2‬‬
‫הווקטור ) ‪ (a1 , b1‬מאונך לישר ‪ , ℓ1 : a1 x + b1 y + c1 = 0‬הווקטור ) ‪ (a2 , b2‬מאונך לישר‬
‫‪ ; ℓ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0‬הישרים ‪ ℓ1‬ו‪ ℓ 2 -‬מאונכים זה לזה אך ורק הווקטורים ) ‪(a1 , b1‬‬
‫ו‪ (a2 , b2 ) -‬מאונכים זה לזה; מכאן הווקטורים ) ‪ (a1 , b1‬ו‪ (a2 , b2 ) -‬מאונכים זה לזה אך‬
‫ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל‪.( 0 -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫‪236‬‬
‫תשובה ג'‪ :‬הישרים ‪ ℓ1 : y = m1 x + n1‬ו‪ ℓ 2 : y = m2 x + n2 -‬מאונכים זה לזה אך ורק אם‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪m1 ⋅ m2 = −1‬‬
‫ניעזר בשתיים משלוש דרכים אלו לקבלת משוואה שביעית עם הנעלמים הנ"ל‪.‬‬
‫‬
‫ראשית ניעזר בכך הישר ‪ AB‬מאונך לישר ‪ AC‬אך ורק אם הווקטור ‪ AB‬מאונך‬
‫‬
‫לווקטור ‪. AC‬‬
‫נמצא את שני הווקטורים‪:‬‬
‫‬
‫) ‪AB = ( xB − x A , yB − y A‬‬
‫‬
‫) ‪AC = ( xC − x A , yC − y A‬‬
‫ ‬
‫הווקטורים ‪ AB‬ו‪ AC -‬מאונכים זה לזה אך ורק אם מכפלה סקלרית שלהם שווה ל‪, 0 -‬‬
‫כלומר אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪( xB − x A )( xC − xA ) + ( yB − y A )( yC − y A ) = 0‬‬
‫אם בשוויון )‪ (11‬נפתח סוגריים‪ ,‬נעביר את כל האיברים לאגף השמאלי‪ ,‬נבצע כינוס‬
‫איברים דומים ולאחר מכן נחלק את השוויון אשר יתקבל ב‪ , −2 -‬נקבל בדיוק את אותו‬
‫שוויון אשר יתקבל אם נפתח סוגריים בשוויון )‪ .(12‬לכן משוואה )‪ (12‬שקולה למשוואה )‪(11‬‬
‫נקבל את משוואה )‪ (12‬בדרך נוספת‪.‬‬
‫אם אף אחד מהישרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬לא מאונך לציר ה‪ , x -‬אז שיפועיהם מוגדרים‬
‫והישרים מאונכים זה לזה אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪m AB ⋅ m AC = −1‬‬
‫עבור השיפוע ‪ m AB‬של הישר ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫עבור השיפוע ‪ m AC‬של הישר ‪ AC‬מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪yC − y A‬‬
‫‪xC − x A‬‬
‫‪237‬‬
‫= ‪mAC‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (13‬לפי שני השוויונים האחרונים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪yB − y A yC − y A‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪xB − x A xC − x A‬‬
‫)‪(14‬‬
‫נכפיל את השוויון האחרון ב‪ , ( xB − x A )( xC − x A ) -‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(15‬‬
‫) ‪( yB − y A )( yC − y A ) = −( xB − x A )( xC − x A‬‬
‫השוויון האחרון שקול לשוויון )‪.(12‬‬
‫נציין כי אף על פי ששוויון )‪ (14‬לא מתאר את המקרים שבהם ‪ x A = xB‬או ‪ , x A = xC‬אך‬
‫שוויון )‪ (15‬מתאר גם אותם‪.‬‬
‫כעת נוכל להתבונן במערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪x A + xB + xC‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y A + yB + yC‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪( xB − x A )( xC − x A ) + ( yB − y A )( yC − y A ) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xA = 2‬‬
‫‪y = 4‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ x B = −2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫זאת מערכת של ‪ 7‬משוואות עם ‪ 8‬נעלמים‪ .‬מטרתנו היא לקבל על סמך המערכת אחרונה‬
‫את המשוואה המקשרת את הנעלמים ‪ xP‬ו‪. yP -‬‬
‫נציב בשלוש המשוואות הראשונות של מערכת )‪ (16‬לפי ארבע המשוואות האחרונות שלה‬
‫)ליתר דיוק במשוואה הראשונה נציב לפי המשוואות הרביעית והשישית‪ ,‬במשוואה השנייה‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .26‬מקום אחר – אותה שיטה‬
‫‪238‬‬
‫נציב לפי המשוואות החמישית והשביעית‪ ,‬ובמשוואה השלישית נציב לפי כל ארבע‬
‫המשוואות האחרונות של מערכת משוואות זו(‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2 − 2 + xC‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 4 + yB + 2‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪(−2 − 2)( xC − 2) + ( yB − 4)(2 − 4) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xA = 2‬‬
‫‪y = 4‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ xB = −2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתבונן במערכת הבאה המורכבת משלוש המשוואות הראשונות של מערכת המשוואות‬
‫האחרונה‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪2 − 2 + xC‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 + yB + 2‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ yP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪(−2 − 2)( xC − 2) + ( yB − 4)(2 − 4) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫זו מערכת של שלוש משוואות עם ארבעה נעלמים‪ .‬היא שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪xC‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xP = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪yB + 6‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ yP‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ C‬‬
‫‪B −8 = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נבודד את ה‪ xC -‬במשוואה הראשונה ואת ה‪ yB -‬במשוואה השנייה של מערכת זו‪ ,‬ונקבל‬
‫את המערכת הבאה השקולה למערכת הקודמת‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪239‬‬
‫‪ xC = 3 xP‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB = 3 yP − 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 xC + yB − 8 = 0‬‬
‫נציב במשוואה השלישית של המערכת האחרונה לפי שתי המשוואות האחרונות‪ ,‬ונקבל‬
‫את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪2 ⋅ 3 xP + 3 y P − 6 − 8 = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪6 xP + 3 yP − 14 = 0‬‬
‫המשוואה של המקום הגיאומטרי אשר התבקשנו למצוא היא‪:‬‬
‫‪6 x + 3 y − 14 = 0‬‬
‫המקום הגיאומטרי המדובר הוא ישר‪ .‬המשוואה המפורשת של הישר היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y =− x+2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הערה‪ .‬כפי שכבר אמרנו בפרק הקודם‪ ,‬אם מיקומה של נקודה שרירותית ‪ P‬השייכת‬
‫למקום הגיאומטרי שאת משוואתו צריך למצוא נקבע חד‪-‬משמעית על ידי מיקומן של‬
‫‪ k − 1‬נקודות ) ‪ ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , ... , ( xk , yk‬ונתונים ערכים של ‪ m‬מתוך ‪2k − 2‬‬
‫הנעלמים ‪ , x2 , y2 , x3 , y3 ,… , xk , yk‬אז כבר מתחילת פתרון הבעיה אפשר להתרכז בניסיון‬
‫להרכיב מערכת של ‪ 2k − m − 1‬משוואות ‪ 2k − m‬נעלמים‪ ,‬ולא להתבונן כלל במערכת‬
‫‪ 2k − 1‬משוואות עם ‪ 2k‬נעלמים‪.‬‬
‫בבעיה אשר פתרנו בפרק זה יכולנו להרכיב את מערכת )‪ (17‬של ‪ 3‬משוואות עם ‪4‬‬
‫נעלמים בלי להתבונן במערכת )‪ (16‬של ‪ 7‬משוואות עם ‪ 8‬נעלמים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫‪240‬‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫רוב הבעיות שלי צצות כאשר למישהו אחר יש בעיה‪ ,‬והוא מנסה להפוך את הבעיה שלו לבעיה שלי‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫בעיה‪ .‬באליפסה ‪= 1‬‬
‫‪100 25‬‬
‫חסום משולש ‪ . ABC‬הצלע ‪ AC‬של המשולש מתלכדת‬
‫עם הציר הקטן של האליפסה‪ .‬קודקוד ‪ B‬נמצא על האליפסה‪ .‬דרך קודקוד ‪ A‬מעבירים‬
‫ישר שמאונך לישר ‪ . AB‬דרך קודקוד ‪ C‬מעבירים ישר שמאונך לישר ‪ . BC‬מצאו את‬
‫המקום הגיאומטרי של נקודות המפגש של אנכים אלו‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את המקום הגיאומטרי של נקודות שכל אחת מהן מקיימת כמה תנאים‪.‬‬
‫באילו תנאים מדובר?‬
‫לפני שנענה על שאלה זו‪ ,‬נסמן נקודה שרירותית מהמקום הגיאומטרי המדובר ב‪. P -‬‬
‫כעת נוכל להשיב על השאלה האחרונה בצורה הבאה‪.‬‬
‫נקודה ‪ P‬חייבת לקיים אך ורק את התנאים הבאים‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪; AP ⊥ AB‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪. CP ⊥ BC‬‬
‫כאן הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬הן קודקודים של משולש חסום באליפסה‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪,‬‬
‫הצלע ‪ AC‬של המשולש היא הציר הקטן באליפסה )‪;(3‬‬
‫הנקודה ‪ B‬נמצאת על אליפסה )‪.(3‬‬
‫מיקום נקודה ‪ P‬תלוי במיקום הנקודות ‪ B , A‬ו‪ . C -‬ננסה להרכיב ‪ 7‬משוואות עם ‪8‬‬
‫הנעלמים הבאים‪ xP , yC , xC , yB , xB , y A , xA :‬ו‪. yP -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪241‬‬
‫נתרכז בטענה )‪ (4‬ונשאל את עצמנו‪ :‬מהו הציר הקטן באליפסה?‬
‫אם נתונה אליפסה‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫‪,a > b‬‬
‫)‪(6‬‬
‫אז הציר הקטן של אליפסה זו הוא הקטע המחבר את הנקודות )‪ (0, −b‬ו‪) (0, b) -‬הציר‬
‫הגדול של אליפסה זו הוא הקטע המחבר את הנקודות )‪ (−a, 0‬ו‪.( (a, 0) -‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור אליפסה )‪ (3‬מתקיים‪:‬‬
‫‪a = 10, b = 5‬‬
‫)‪(7‬‬
‫בהסתמך על שורה )‪ (7‬מסיקים כי עבור אליפסה )‪ (3‬אי‪-‬שוויון )‪ (6‬מתקיים‪ .‬מכאן ומשוויון‬
‫‪ b = 5‬נובע כי‬
‫)‪ (8‬הציר הקטן של אליפסה )‪ (3‬הוא הקטע המחבר את הנקודות )‪ (0, −5‬ו‪. (0,5) -‬‬
‫מטענות )‪ (4‬ו‪ (8)-‬נובע כי‬
‫)‪(9‬‬
‫)‪A(0,5), C (0, −5‬‬
‫או‬
‫)‪(10‬‬
‫)‪A(0, −5), C (0,5‬‬
‫נתרכז במקרה שבו טענה )‪ (9‬מתקיימת‪ .‬על סמך טענה )‪ (9‬מסיקים כי‬
‫‪x A = 0, y A = 5‬‬
‫‪xC = 0, yC = −5‬‬
‫הרכבנו ‪ 4‬משוואות עם חלק מהנעלמים הנ"ל‪ .‬עלינו להרכיב עוד שלוש משוואות‪.‬‬
‫‪ 1‬גם לאורכי הקטעים קוראים בהתאמה הציר הגדול והציר הקטן של האליפסה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫‪242‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫נתרכז בטענה )‪ .(5‬טענה זו מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪100 25‬‬
‫כעת ברשותנו חמש משוואות‪ .‬עלינו להרכיב עוד שתי משוואות‪.‬‬
‫במה מהנתון עוד לא השתמשנו?‬
‫לא השתמשנו בטענות )‪ (1‬ו‪.(2)-‬‬
‫אם השיפוע ‪ mAB‬של הישר ‪ AB‬וגם השיפוע ‪ mAP‬של הישר ‪ AP‬מוגדרים‪ ,‬אז טענה )‪(1‬‬
‫מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪. mAP ⋅ mAB = −1‬‬
‫עבור השיפוע ‪ mAB‬של הישר ‪ AB‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪yB − y A‬‬
‫‪xB − x A‬‬
‫= ‪mAB‬‬
‫עבור השיפוע ‪ mAP‬של הישר ‪ AP‬מתקיים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫)‪(13‬‬
‫‪243‬‬
‫‪yP − y A‬‬
‫‪xP − x A‬‬
‫= ‪mAP‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (11‬לפי שוויונים )‪ (12‬ו‪ ,(13)-‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪yP − y A yB − y A‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪xP − x A xB − x A‬‬
‫קיבלנו עוד משוואה אחת עם הנעלמים הנ"ל‪ .‬נכפיל אותה ב‪, ( xP − x A )( xB − x A ) -‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫) ‪( xP − x A )( xB − x A ) = −( yP − y A )( yB − y A‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪( xP − x A )( xB − x A ) + ( yP − y A )( yB − y A ) = 0‬‬
‫נקבל את משוואה )‪ (15‬בדרך נוספת‪:‬‬
‫הישר ‪ AP‬מאונך לישר ‪ AB‬אך ורק אם‬
‫ ‬
‫‪. AP ⊥ AB‬‬
‫ ‬
‫הטענה האחרונה מתקיימת אך ורק אם המכפלה הסקלרית של הווקטורים ‪ AP‬ו‪AB -‬‬
‫שווה ל‪: 0 -‬‬
‫)‪(16‬‬
‫ ‬
‫‪. AP ⋅ AB = 0‬‬
‫עבור הווקטורים המופיעים בשוויון האחרון מתקיים‪:‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‬
‫) ‪AP = ( xP − x A , yP − y A‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‬
‫) ‪AB = ( xB − x A , yB − y A‬‬
‫כאשר נציב בשוויון )‪ (16‬לפי שורות )‪ (17‬ו‪ ,(18)-‬נקבל את משוואה )‪.(15‬‬
‫קבלו בעצמכם בתור תרגיל‪ ,‬על סמך טענה )‪ ,(2‬את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪( xP − xC )( xB − xC ) + ( yP − yC )( yB − yC ) = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫‪244‬‬
‫כעת נוכל להתבונן במערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ yA = 5‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪ C‬‬
‫‪ yC = −5‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB + y B = 1‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪( x − x )( x − x ) + ( y − y )( y − y ) = 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪( xP − xC )( xB − xC ) + ( yP − yC )( yB − yC ) = 0‬‬
‫זאת מערכת של ‪ 7‬משוואות עם ‪ 8‬נעלמים‪.‬‬
‫נציב במשוואה השישית של מערכת המשוואות האחרונה לפי המשוואות הראשונה‬
‫והשנייה‪ ,‬ובמשוואה השביעית לפי המשוואות השלישית והרביעית‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ yA = 5‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪ C‬‬
‫‪ yC = −5‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB + y B = 1‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪ x x + ( y − 5)( y − 5) = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P B‬‬
‫‪ xP xB + ( yP + 5)( yB + 5) = 0‬‬
‫כעת נוכל להתרכז במערכת הבאה המורכבת משלוש המשוואות האחרונות של מערכת‬
‫המשוואות הקודמת‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫)‪(20‬‬
‫‪245‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xP xB + ( yP − 5)( yB − 5) = 0‬‬
‫‪ x x + ( y + 5)( y + 5) = 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P B‬‬
‫‪‬‬
‫זאת מערכת של שלוש משוואות עם ארבעה נעלמים‪.‬‬
‫נחסר מהמשוואה השלישית של מערכת המשוואות האחרונה את המשוואה השנייה‪,‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪ xP xB + ( yP − 5)( yB − 5) = 0‬‬
‫‪( y + 5)( y + 5) − ( y − 5)( y − 5) = 0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫המשוואה האחרונה במערכת המשוואות האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪yP yB + 5 yP + 5 yB + 25 − ( yP yB − 5 yP − 5 yB + 25) = 0‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪yP = − y B‬‬
‫לכן מערכת )‪ (21‬שקולה למערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪ xP xB + ( yP − 5)( yB − 5) = 0‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫נציב במשוואה השנייה של המערכת האחרונה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫‪246‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xP xB + (− yB − 5)( yB − 5) = 0‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫נפתח סוגריים במשוואה השנייה של המערכת האחרונה‪ ,‬ונקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xP xB − yB + 25 = 0‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫המערכת האחרונה שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xP xB − yB = −25‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫נחבר אל המשוואה השנייה של המערכת האחרונה את המשוואה הראשונה המוכפלת ב‪-‬‬
‫‪ , 25‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xB 2‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪ xP xB +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yP = − yB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המשוואה השנייה של המערכת האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪xB‬‬
‫‪)=0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪xB ( xP +‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪247‬‬
‫מכאן‬
‫‪xB = 0‬‬
‫או‬
‫‪xB‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪xP +‬‬
‫במקרה שבו ‪ , xB = 0‬נקודה ‪ B‬מתלכדת עם נקודה ‪ A‬או עם נקודה ‪. C‬‬
‫כאשר‪ ,‬לדוגמה‪ ,‬נקודה ‪ B‬מתלכדת עם נקודה ‪ , A‬אי אפשר לדבר על משולש ‪ , ABC‬על‬
‫ישר ‪ AB‬ועל אנך לישר זה )על אף פי שאפשר לדבר על ישר ‪ BC‬ועל אנך לישר ‪ .( AC‬לכן‬
‫עלינו להוציא את המקרה שבו ‪. xB = 0‬‬
‫משוואה )‪ (23‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪. x B = −4 x P‬‬
‫)‪(24‬‬
‫נחליף במערכת )‪ (22‬את המשוואה השנייה במשוואה )‪ (24‬ואת המשוואה השלישית‬
‫במשוואה‬
‫‪yB = − y P‬‬
‫השקולה לה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ xB 2 y B 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100 25‬‬
‫‪ x B = −4 x P‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של המערכת האחרונה לפי שתי המשוואות האחרונות שלה‪,‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .27‬עוד מקום‪ ,‬ושוב אותה שיטה‬
‫‪248‬‬
‫‪16 xP 2 yP 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB = −4 xP‬‬
‫‪y = −y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪‬‬
‫המשוואה הראשונה במערכת האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪xP 2‬‬
‫‪yP 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪(2.5)2 52‬‬
‫המקום הגיאומטרי המדובר הוא אליפסה‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪(2.5) 2 52‬‬
‫להוציא הנקודות )‪ A(0,5‬ו‪ . C (0, −5) -‬שימו לב כי הקטע ‪ AC‬הוא הציר הגדול של‬
‫האליפסה האחרונה‪ .‬מוקדי האליפסה נמצאים על ציר ה‪. y -‬‬
‫במקרה שבו טענה )‪ (10‬מתקיימת‪ ,‬מקבלים את אותה תשובה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪249‬‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך‬
‫אני משוכנע כי גם מי שיכולת החשיבה שלו אינה גבוהה‪ ,‬אם יהיו לו כלי העזר המעניקים יתרון והוא‬
‫יתרגל עמם‪ ,‬יוכל להגיע להישגים גבוהים יותר מאשר בעל יכולת חשיבה גבוהה‪ ,‬כפי שילד יכול בעזרת‬
‫סרגל להעביר קו טוב יותר מאשר אמן בלי סרגל‪.‬‬
‫)גוטפריד לייבניץ(‬
‫בעיה‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על מעגל שמשוואתו ‪ . x 2 + y 2 = 36‬רדיוס של מעגל זה המועבר‬
‫אל נקודה ‪ A‬חותך את המעגל ‪ x 2 + y 2 = 4‬בנקודה ‪ . B‬דרך נקודה ‪ A‬עובר הישר‬
‫המאונך לציר ה‪ y -‬ודרך נקודה ‪ B‬עובר הישר המאונך לציר ה‪ . x -‬שני הישרים נחתכים‬
‫בנקודה ‪ . P‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪. P‬‬
‫נפתור את הבעיה בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון א'‪.‬‬
‫מה אנחנו מתבקשים לעשות בבעיה זו?‬
‫אנחנו מתבקשים לענות על השאלה הבאה‪ :‬מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪P‬‬
‫אשר נבנו בדרך המתוארת בבעיה‪.‬‬
‫אם המקום הגיאומטרי הוא קו או חלק מקו כלשהו‪ ,‬אז עלינו קודם כל למצוא את‬
‫משוואת הקו‪ .‬לאחר מכן עלינו לנסות לברר לאיזה סוג של קווים קו זה שייך‪.‬‬
‫על סמך הנתון בבעיה מסיקים כי מיקומן של נקודות ‪ A‬ו‪ B -‬קובע חד‪-‬משמעית את‬
‫מיקומה של נקודה ‪ . P‬ננסה להרכיב חמש משוואות עם שישה הנעלמים הבאים‪, xA :‬‬
‫‪ xP , y B , xB , y A‬ו ‪. y P -‬‬
‫ראשית ניעזר בכך שלפי הנתון בבעיה‪,‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך‬
‫‪250‬‬
‫)‪(1‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ P -‬נמצאת על אותו ישר המאונך לציר ה‪. y -‬‬
‫)‪(2‬‬
‫הנקודות ‪ B‬ו‪ P -‬נמצאת על אותו ישר המאונך לציר ה‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪O‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−6‬‬
‫טענה )‪ (1‬שקולה לטענה הבאה‪:‬‬
‫‪y A = yP‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ואילו טענה )‪ (2‬שקולה לטענה הבאה‪:‬‬
‫‪xB = xP‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כעת ניעזר בכך שלפי הנתון‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על המעגל ‪. x 2 + y 2 = 36‬‬
‫טענה זו מתקיימת אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪x A2 + y A 2 = 36‬‬
‫)‪(5‬‬
‫ומה נאמר בבעיה על נקודה ‪? B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪251‬‬
‫לפי הנתון‬
‫נקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של מעגל ‪ x 2 + y 2 = 4‬עם רדיוס‬
‫)‪(6‬‬
‫המעגל ‪ x 2 + y 2 = 36‬המועבר אל נקודה ‪. A‬‬
‫מרכזם של שני המעגלים הנ"ל נמצא בנקודה )‪ ; O(0, 0‬רדיוס המעגל ‪ x 2 + y 2 = 4‬הוא ‪2‬‬
‫יח' ; רדיוס המעגל ‪ x A2 + y A 2 = 36‬הוא ‪ 6‬יח'‪ .‬לכן מטענה )‪ (6‬נובע כי‬
‫‪OA = 6‬‬
‫‪OB = 2‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪BA = OA − OB‬‬
‫נציב בשוויון האחרון לפי שני השוויונים הקודמים‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪BA = 6 − 2 = 4‬‬
‫)‪(8‬‬
‫על סמך שוויונים )‪ (7‬ו‪ (8)-‬מסיקים כי‬
‫נקודה ‪ B‬מחלקת את הקטע ‪ OA‬ביחס ‪1: 2‬‬
‫‪OB 2 1‬‬
‫)הרי = =‬
‫‪BA 4 2‬‬
‫(‪.‬‬
‫ניעזר בנוסחאות המקשרות בין השיעורים של הנקודה המחלקת את הקטע ביחס נתון‬
‫לבין השיעורים של קצות הקטע‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪2 xO + 1 ⋅ xA 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ xA x A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1+ 2‬‬
‫‪1+ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪xB‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪2 yO + 1 ⋅ y A 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ y A y A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1+ 2‬‬
‫‪1+ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪yB‬‬
‫כעת ברשותנו חמש משוואות עם שישה הנעלמים הנ"ל‪ :‬המשוואות )‪(5) ,(4) ,(3‬‬
‫והמשוואות‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪xA‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪, xB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך‬
‫‪252‬‬
‫‪yA‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(12‬‬
‫= ‪yB‬‬
‫משוואה )‪ (11‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪. x A = 3 xB‬‬
‫משוואה )‪ (12‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪. y A = 3 yB‬‬
‫נתבונן במערכת‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A = 36‬‬
‫‪ x = 3x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ y A = 3 yB‬‬
‫)‪(13‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (5) ,(4) ,(3‬ומשתי המשוואות האחרונות‪.‬‬
‫נציב במשוואה הרביעית של המערכת האחרונה לפי המשוואה השנייה ונקבל את‬
‫המערכת הבאה‪ ,‬השקולה למערכת הקודמת‪:‬‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A = 36‬‬
‫‪ x = 3x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ y A = 3 yB‬‬
‫נציב במשוואה השלישית של המערכת האחרונה לפי המשוואות הראשונה והרביעית‪,‬‬
‫ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪9 xP 2 + yP 2 = 36‬‬
‫מכאן המשוואה של המקום הגיאומטרי המדובר היא‪:‬‬
‫‪9 x 2 + y 2 = 36‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪253‬‬
‫נחלק את המשוואה האחרונה ב‪ , 36 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪4 36‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשואה הבאה‪:‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪22 6 2‬‬
‫מכאן המקום הגיאומטרי המדובר הוא אליפסה עם חוצי הצירים הבאים‪:‬‬
‫‪. a = 2, b = 6‬‬
‫בהסתמך על האי‪-‬שוויון ‪ b > a‬מסיקים כי מוקדי האליפסה נמצאים בנקודות )‪ (0, −c‬ו‪-‬‬
‫)‪ , (0, c‬כאן‬
‫‪c = b 2 − a 2 = 36 − 4 = 32‬‬
‫הערה‪ .‬שימו לב שמצאנו את משוואת המקום הגיאומטרי בלי להיעזר במשוואה החמישית‬
‫במערכת )‪.(13‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון ב'‪.‬‬
‫לאחר שמקבלים את משוואות )‪ (4) ,(3‬ו‪ (5) -‬כפי שתואר לעיל‪ ,‬אפשר להסיק מטענה )‪(6‬‬
‫מסקנות שונות מאלו שהסקנו קודם; אפשר לשים לב כי טענה )‪ (6‬מתקיימת אם‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪xB 2 + y B 2 = 4‬‬
‫וגם‬
‫)‪(15‬‬
‫‪mOB = mOA‬‬
‫וגם‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך‬
‫‪254‬‬
‫‪x A ⋅ xB > 0‬‬
‫)‪(16‬‬
‫נציב בשוויון )‪ (15‬לפי השורות‬
‫‪yA − 0 yA‬‬
‫=‬
‫‪xA − 0 x A‬‬
‫= ‪mOA‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪yB − 0 y B‬‬
‫=‬
‫‪xB − 0 xB‬‬
‫= ‪. mOB‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪yB y A‬‬
‫=‬
‫‪xB x A‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת אפשר להתבונן במערכת‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ x A2 + y A 2 = 36‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ xB + y B 2 = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB = y A‬‬
‫‪ xB x A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x A ⋅ xB > 0‬‬
‫)‪(18‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (17) ,(14) ,(5) ,(4) ,(3‬ומאי‪-‬שוויון )‪.(16‬‬
‫נחליף במערכת האחרונה את המשוואה רביעית במשוואה‬
‫‪  y 2 ‬‬
‫‪, xB 1 +  B   = 36‬‬
‫‪  xB  ‬‬
‫‪2‬‬
‫ונקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪255‬‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A2 = 36‬‬
‫‪‬‬
‫‪   y 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB 1 +  B   = 4‬‬
‫‪   xB  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB = y A‬‬
‫‪ xB x A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x A ⋅ xB > 0‬‬
‫המערכת האחרונה שקולה למערכת )‪.(18‬‬
‫נציב במשוואה הרביעית של המערכת האחרונה לפי המשוואה החמישית‪ ,‬ונקבל את‬
‫המערכת הבאה‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ x A2 + y A2 = 36‬‬
‫‪‬‬
‫‪   y 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB 1 +  A   = 4‬‬
‫‪   x A  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB = y A‬‬
‫‪ xB x A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x A ⋅ xB > 0‬‬
‫המשוואה הרביעית במערכת זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪ xB ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ( xA + yA ) = 4‬‬
‫‪ xA ‬‬
‫נציב במשוואה זו לפי המשוואה השלישית של מערכת )‪ ,(19‬ונקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB ‬‬
‫‪  36 = 4‬‬
‫‪ xA ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .28‬ליעד הרביעי באותה דרך‬
‫‪256‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xB  1‬‬
‫= ‪ ‬‬
‫‪ xA  9‬‬
‫המערכת המורכבת ממשוואה זו ומהאי‪-‬שוויון האחרון במערכת )‪) (19‬אי‪-‬שוויון )‪((16‬‬
‫שקולה למשוואה‬
‫‪xB 1‬‬
‫=‬
‫‪xA 3‬‬
‫כעת נוכל להתבונן במערכת הבאה השקולה למערכת )‪.(19‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A = 36‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ B‬‬
‫‪ xA 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ B = A‬‬
‫‪ xB x A‬‬
‫)‪(21‬‬
‫מערכת זו שקולה למערכת‬
‫)‪(22‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = y‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ xB = xP‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A = 36‬‬
‫‪ x = 3x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ yB y A‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪A‬‬
‫)הכפלנו ב‪ 3 xA -‬את המשוואה הרביעית במערכת )‪.((21‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪257‬‬
‫אם נציב במשוואה האחרונה של מערכת )‪ (22‬לפי המשוואה הרביעית ונכפיל את‬
‫המשוואה אשר תתקבל ב‪ , xB -‬נקבל את מערכת )‪ (13‬אשר קיבלנו קודם בדרך קצרה יותר‪.‬‬
‫בעצם‪ ,‬מי שקיבל את מערכת )‪ (22‬לא חייב להגיע למערכת )‪ (13‬כדי לקבל את המשוואה של‬
‫המקום הגיאומטרי‪ .‬די בכך שיתרכז בארבע המשוואות הראשונות של מערכת )‪.(22‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .29‬במרחבים רב‪-‬ממדיים )יוצאים מן המישור(‬
‫‪258‬‬
‫‪ .29‬במרחבים רב‪-‬ממדיים )יוצאים מן המישור(‬
‫‪.‬‬
‫אם סימנו סביבך מעגל ואין נותנים לך לצאת ממנו – מה תעשה?‬
‫אולי‪ ,‬במקום לנסות לפרוץ את המעגל צא מהמישור שבו אתה נמצא למרחב תלת‪-‬ממדי‪ .‬במרחב‬
‫התלת‪-‬ממדי אף מעגל לא יחסום אותך מלהגיע לכל נקודה‪.‬‬
‫ואם אתה נמצא במרחב תלת‪-‬ממדי כלשהו‪ ,‬שבו כל תנועותיך‪ ,‬מסביבך הקימו קליפה כדורית ולא‬
‫נותנים לך לצאת ממנה – מה תעשה?‬
‫עצתי‪ ,‬צא מהמרחב התלת‪-‬ממדי למרחב ארבע‪-‬ממדי‪ .‬אותה קליפה כדורית שחסמה את דרכך במרחב‬
‫תלת‪-‬ממדי לא תחסום אותך במרחב ארבע‪-‬ממדי‪.‬‬
‫ואם שוב ינסו להגביל את תנועתך‪ ,‬דע כי קיימים מרחבים בעלי חמישה ממדים‪ ,‬שישה‪ ,‬שבעה‪ ...‬אין‬
‫לזה סוף‪ .‬יתרה מזאת‪ ,‬קיימים גם מרחבים בעלי אינסוף ממדים‪ ,‬וכל אחד מהם כלול באינסוף מרחבים‬
‫גדולים יותר‪.‬‬
‫האם שמתם לב שבפרקים הקודמים תמיד‪ ,‬אפילו במקרים שבהם לא אמרנו זאת‬
‫בבירור‪ ,‬כשחיפשנו את השיעורים של נקודה כלשהי במישור פתרנו מערכת של ‪ k + 2‬עם‬
‫‪ k + 2‬נעלמים )כאן ‪ k‬הוא מספר שלם לא שלילי(? לפעמים לפתרון בעיה מסוג זה אפשר‬
‫היה להרכיב ולפתור מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים‪ ,‬אך היו גם מקרים שבהם‬
‫היינו צריכים להתמודד עם מספר גדול יותר של נעלמים ומשוואות‪.‬‬
‫הנה דוגמה למקרה שבו כדי למצוא את השיעורים של נקודה מסוימת פותרים מערכת של‬
‫‪ k + 2‬משוואות עם ‪ k + 2‬נעלמים‪ ,‬אך לא אומרים זאת בבירור‪ :‬אם נקודה ‪ M‬היא‬
‫אמצע הקטע המחבר את נקודות )‪ A(1, 2‬ו‪ , B(3,8) -‬אז כדי למצוא את שיעורי נקודה ‪M‬‬
‫פותרים‪ ,‬למעשה‪ ,‬את המערכת‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית על המישור‬
‫)‪(1‬‬
‫‪259‬‬
‫‪x A + xB‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xM = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y A + yB‬‬
‫‪ M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xA = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yA = 2‬‬
‫‪x = 3‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ yB = 8‬‬
‫בלי לרשום את שש המשוואות האחרונות אחת מתחת לשנייה‪.‬‬
‫פתרון של מערכת עם ‪ n‬נעלמים ‪ x1 , x2 ,..., xn‬ממשיים הוא ‪- n‬יה )מבוטא " ֶא ִניָה"(‬
‫מסודרת ) ‪ ( x10 , x20 ,..., xn0‬של מספרים ממשיים המקיימת כל משוואה של המערכת‪.‬‬
‫לאוסף של כל ה‪- n -‬יות ) ‪ (a1 , a2 ,..., an‬של מספרים ממשים קוראים מרחב ממשי ‪- n‬‬
‫ממדי ‪ . ℝ n‬אם לאיבר במרחב ‪ ℝ n‬נקרא נקודה ולמספרים ‪ a1 , a2 ,..., an‬נקרא שיעורי‬
‫הנקודה ) ‪ (a1 , a2 ,..., an‬במרחב ‪ , ℝ n‬אז נוכל לומר כי פתרון של מערכת משוואות עם ‪n‬‬
‫נעלמים ממשיים הוא נקודה במרחב ‪ ℝ n‬אשר שיעוריה מקיימים כל משוואה של המערכת‪.‬‬
‫נחליף את סימון הנעלמים במערכת )‪ :(1‬במקום ‪ xA‬נרשום ‪ , x1‬במקום ‪ , y1 – y A‬במקום‬
‫‪ , x2 – xB‬במקום ‪ , y2 – yB‬במקום ‪ x3 – xM‬ובמקום ‪ . y3 – yM‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x1 + x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3 = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y1 + y2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x1 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y1 = 2‬‬
‫‪x = 3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ y2 = 8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .29‬במרחבים רב‪-‬ממדיים )יוצאים מן המישור(‬
‫‪260‬‬
‫פתרון מערכת המשוואות האחרונה הוא שישיית המספרים המסודרת‬
‫) ‪ ( x10 , y10 , x20 , y20 , x30 , y30‬המקיימת כל משוואה של מערכת זו‪ .‬שישיית המספרים המסודרת‬
‫הזו היא הנקודה )‪ (1, 2,3,8, 2,5‬במרחב ‪. ℝ 6‬‬
‫עבור כל נקודה ) ‪ ( x10 , y10 , x20 , y20 , x30 , y30‬במרחב ‪ ℝ 6‬נקרא לנקודה ) ‪(0, 0, 0, 0, x30 , y30‬‬
‫היטל אורתוגונלי )היטל אנכי( של הנקודה ) ‪ ( x10 , y10 , x20 , y20 , x30 , y30‬למישור ‪ x3 y3‬במרחב‬
‫זה; נזהה את שישיית המספרים הסדורה ) ‪ (0, 0, 0, 0, x30 , y30‬עם זוג המספרים הסדור‬
‫) ‪ ; ( x30 , y30‬כעת נוכל לומר כי אמצע הקטע המחבר את נקודות )‪ A(1, 2‬ו‪ B(3,8) -‬הוא‬
‫היטל אורתוגונלי למישור ‪ x3 y3‬של פתרון המערכת )‪.(2‬‬
‫כעת נניח שעלינו למצוא את השיעורים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬של נקודה כלשהי במישור‪ .‬גם נניח כי‬
‫כדי למצוא את השיעורים עלינו להוסיף אל נעלמים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬עוד ‪ k‬נעלמים ולפתור‬
‫מערכת של ‪ k + 2‬משוואות עם ‪ k + 2‬נעלמים )כאן ‪ .( k > 0‬במקרה זה נוכל לומר כי‬
‫הנקודה שאת שיעוריה צריך למצוא היא היטל אורתוגונלי במרחב ‪ ℝ k + 2‬למישור ‪ x1 y1‬של‬
‫פתרון המערכת של ‪ k + 2‬משוואות עם ‪ k + 2‬נעלמים‪.‬‬
‫אם יהיה עליכם למצוא משוואה של מקום גיאומטרי כלשהו‪ ,‬ותסמנו נקודה שרירותית‬
‫השייכת למקום גיאומטרי זה ב‪ , P ( x1 , y1 ) -‬אז כדי לפתור את הבעיה בדרך המתוארת‬
‫בפרק ‪) 25‬ראו גם פרקים ‪ 27 ,26‬ו‪ (28-‬תצטרכו להוסיף אל נעלמים ‪ x1‬ו‪ y1 -‬עוד ‪ k‬נעלמים‪,‬‬
‫ולהרכיב מערכת של ‪ k + 1‬משוואות עם ‪ k + 2‬נעלמים )כאן ‪.( k ≥ 0‬‬
‫אוסף של כל הפתרונות של המערכת שתתקבל יהיה‪ ,‬קרוב לוודאי‪ ,‬קו במרחב ‪. ℝ k + 2‬‬
‫המקום הגיאומטרי שאת משוואתו תתבקשו למצוא יהיה ההיטל האורתוגונלי של הקו‬
‫האחרון למישור ‪. x1 y1‬‬
‫‪1‬‬
‫בסוף פרק ‪ 26‬הגענו למערכת הבאה של שלוש משוואות עם ארבעה נעלמים‪:‬‬
‫‪ 1‬אם ‪ ℓ‬הוא קו במרחב ‪ ℝ k + 2‬ושני השיעורים הראשונים של כל נקודה במרחב האחרון הם שיעור ה‪x1 -‬‬
‫ושיעור ה‪ , y1 -‬אז היטל אורתוגונלי של הקו ‪ ℓ‬למישור ‪ x1 y1‬הוא אוסף כל הנקודות ‪ P‬המקיימות את‬
‫התנאי הבא‪ :‬הנקודה ‪ P‬היא היטל אורתוגונלי למישור ‪ x1 y1‬של נקודה כלשהי הנמצאת על הקו ‪. ℓ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית על המישור‬
‫‪261‬‬
‫‪ xC = 3 xP‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB = 3 yP − 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 xC + yB − 8 = 0‬‬
‫)‪(3‬‬
‫אוסף של כל הרביעיות המסודרות של מספרים ממשיים הוא מרחב ‪ . ℝ 4‬נקרא לשיעור‬
‫הראשון של נקודה במרחב האחרון שיעור ה‪ , xP -‬לשיעור השני – שיעור ה‪ , yP -‬לשיעור‬
‫השלישי שיעור ה‪ xC -‬ולשיעור הרביעי – שיעור ה‪) . yC -‬אפשר לומר שאנחנו מתבוננים‬
‫כעת במערכת צירים קרטזית במרחב ממשי בעל ארבעה ממדים שבה הציר הראשון הוא‬
‫ציר ה‪ , xP -‬הציר השני – ציר ה‪ , yP -‬הציר השלישי ציר ה‪ xC -‬והציר הרביעי – ציר ה‪.( yC -‬‬
‫האוסף של כל הפתרונות של מערכת )‪ (3‬הוא ישר במרחב ‪ . ℝ 4‬המקום הגיאומטרי שאת‬
‫משוואתו היה עלינו למצוא בפרק ‪ 26‬הוא ההיטל האורתוגונלי של הישר האחרון למישור‬
‫‪ . xP yP‬גם הוא ישר‪.‬‬
‫בפרק ‪ 28‬הגענו למערכת הבאה של חמש משוואות עם שישה נעלמים‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ y A = yP‬‬
‫‪x = x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x A + y A = 36‬‬
‫‪ x = 3x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ y A = 3 yB‬‬
‫אוסף כל הפתרונות של מערכת זו הוא קו במרחב ‪ . ℝ 6‬נסמן את קו זה ב‪ . ℓ -‬אוסף של כל‬
‫הנקודות במרחב ‪ ℝ 6‬המקיימות את ארבע המשוואות הראשונות במערכת המשוואות‬
‫האחרונה הוא משטח דו‪-‬ממדי גלילי המכיל כל ישר החותך את הקו ‪ ℓ‬ומקביל לציר ה‪yB -‬‬
‫ולא כולל אף נקודה שלא נמצאת על אף ישר כזה‪ .‬ההיטל האורתוגונלי של המשטח האחרון‬
‫למישור ‪ xP yP‬וההיטל האורתוגונלי של הקו ‪ ℓ‬למישור האחרון מתלכדים זה עם זה‪.‬‬
‫הדבר מאפשר למצוא את המשוואה של המקום הגיאומטרי שבו מדובר בפרק ‪ 28‬בהסתמך‬
‫אך ורק על ארבע המשוואות הראשונות במערכת )‪.(4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .30‬שינויים בכביש‬
‫‪262‬‬
‫‪ .30‬שינויים בכביש‬
‫כמה חבל שהחיים של כלבים כה קצרים‪ .‬הייה לי כלב אשר ידע לספור עד שלוש‪.‬‬
‫כיצד גיליתי שהוא מסוגל לזה? ולאילו מסקנות אתם תגיעו לאחר שאספר על מה שהוא עשה לי?‬
‫בדרך כלל יצאתי עם הכלב שלוש פעמים ביום‪ :‬מוקדם בבוקר‪ ,‬בשלוש‪-‬ארבע אחרי צהריים ומאוחר‬
‫בערב‪ ,‬אך היו גם ימים כשיצאתי לעבודה מוקדם בבוקר וחזרתי הביתה רק מאוחר בערב; הוא לא סלח‬
‫לי שלא טיילנו אחרי צהריים והכריח אותי לצאת איתו פעמיים בערב‪ ,‬את הטיול השני בערב הכלב דרש‬
‫בעוד חצי שעה לאחר שחזרנו מהטיול הראשון‪ .‬איזה כלב חכם היה לי!‬
‫ואם אני אגיד שמישהו מתלמידי כיתה י' יודע לספור עד שלוש‪ ,‬אתם תחליטו שאני צוחק עליכם‪ .‬כן‪,‬‬
‫הכול יחסי בעולם זה‪ .‬מה שהישג מרשים לאחד‪ ,‬נמצא לעיתים קרובות הרבה מתחת למה שמצפים‬
‫מאחר‪.‬‬
‫אם במבחן במתמטיקה יש דרישות גבוהות ליכולת החשיבה של הנבחנים ולא רק לזיכרונם‪ ,‬זה אומר‬
‫שלמחברי המבחן יש ציפיות גבוהות מהנבחנים‪ ,‬זאת הבעת הכבוד‪ .‬לדעתי‪ ,‬מי שמתלונן על מבחן קשה‪,‬‬
‫לא מכבד את עצמו‪ .‬עליו ברגעי החולשה להיזכר בדבריו הבאים של סופר נודע בלטסר גרסיאן‪" :‬תכבד‬
‫את עצמך אם אתה רצה שאנשים אחרים יכבדו אותך"‪ .‬ושייזכר בשורות הבאות מהמחזה "הנרי‬
‫הרביעי" מאת וויליאם שייקספיר‪:‬‬
‫‪O! the blood more stirs‬‬
‫!‪To rose a lion than to start a hare‬‬
‫בפרקים ‪ 25-28‬כשניסינו למצוא את המשוואה של המקום הגיאומטרי הנזכר בבעיה‬
‫עשינו קודם כל את הדבר הבא‪ :‬נוסף על השיעורים של נקודה שרירותית ‪ P‬השייכת‬
‫למקום הגיאומטרי המדובר התבוננו גם בשיעורים של נקודות המשפיעות על מיקומה של‬
‫נקודה ‪ P‬וקובעות אותו באופן חד‪-‬משמעי; לאחר מכן הרכבנו את מערכת המשוואות‬
‫שבהן הנעלמים היו השיעורים של נקודה ‪ P‬והשיעורים של הנקודות המשפיעות על‬
‫מיקומה )או רק של אלו מהן אשר שיעוריהן לא היו קבועים ידועים(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית על המישור‬
‫‪263‬‬
‫קיימות גם בעיות למציאת משוואה של מקום גיאומטרי שאותן עדיף לפתור אחרת‪ .‬אם‪,‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בבעיה נזכר מעגל שרדיוסו משתנה כאשר הנקודה ‪ P‬נעה לאורך המקום‬
‫הגיאומטרי‪ ,‬אז כדאי לבדוק אם יכולה להועיל הוספת רדיוס המעגל אל קבוצת הנעלמים‬
‫שעבורם צריך להרכיב את מערכת המשוואות‪ .‬לפעמים הוספה כזו ו‪/‬או שימוש בתכונות‬
‫של אורכי קטעים מאפשרים למצוא את הפתרון בלי להתבונן בשיעורים של כמה נקודות‬
‫המשפיעות על מיקומה של נקודה ‪ . P‬אם לקבוצת הנעלמים מוסיפים פחות איברים מאשר‬
‫מוציאים ממנה‪ ,‬אז יש להרכיב פחות משוואות כדי לפתור את הבעיה‪ .‬אל תשכחו שמספר‬
‫המשוואות במערכת שבעזרתה נפתור את הבעיה צריך להיות )בדרך כלל( קטן ב‪ 1-‬ממספר‬
‫נעלמים‪.‬‬
‫בעיה‪ .‬מצאו את המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבחוץ למעגל‬
‫‪ x 2 + y 2 = R 2‬וגם משיקים לישר ‪. y = 2 R‬‬
‫דרך החשיבה ופתרון‪.‬‬
‫מה צריך למצוא?‬
‫צריך למצוא את המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבחוץ למעגל‬
‫‪ x 2 + y 2 = R 2‬וגם משיקים לישר ‪. y = 2 R‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן ב‪ P -‬נקודה שרירותית השייכת למקום‬
‫‪Q‬‬
‫גיאומטרי זה‪.‬‬
‫אילו היינו מנסים לפתור את הבעיה בדרך‬
‫‪r‬‬
‫‪P‬‬
‫דומה לדרך שבה פתרנו את הבעיות בפרקים‬
‫‪ ,25-28‬היינו שואלים את עצמנו‪ :‬מיקומן של‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R E‬‬
‫אילו נקודות קובע את מיקום הנקודה ‪ P‬באופן‬
‫חד‪-‬משמעי? נוסף על שיעורי ‪ xP‬ו‪ yP -‬הנקודה‬
‫‪2R‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ , P‬בשיעורים של אילו עוד נקודות עלינו‬
‫להתבונן?‬
‫היינו עונים על השאלה הראשונה כך‪ :‬מיקומם‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪y = 2R‬‬
‫‪ .30‬שינויים בכביש‬
‫‪264‬‬
‫של מרכז המעגל הנתון ‪ , O‬של נקודת ההשקה של שני המעגלים ‪ E‬ושל נקודת ההשקה ‪Q‬‬
‫של המעגל שמרכזו בנקודה ‪ P‬ושל הישר ‪ y = 2 R‬קובע חד‪-‬משמעית את המיקום של‬
‫נקודה ‪. P‬‬
‫לאחר מכן היינו מנסים להרכיב מערכת של שבע משוואות עם שמונת הנעלמים הבאים‪:‬‬
‫‪ xQ , yE , xE , yO , xO , yP , xP‬ו‪ ; yQ -‬או )מכיוון שהשיעורים של נקודה ‪ O‬ידועים( –‬
‫מערכת של חמש משוואות עם ששת הנעלמים הבאים‪ xQ , yE , xE , yP , xP :‬ו‪. yQ -‬‬
‫לא נפתור את הבעיה בדרך זו‪ .‬לא ננסה להרכיב מערכת של שבע משוואות עם שמונת‬
‫הנעלמים הנ"ל‪ .‬נעשה משהו אחר‪ .‬קודם כל נוסיף אל קבוצת הנעלמים האחרונה את‬
‫הרדיוס ‪ r‬של המעגל שמרכזו בנקודה ‪) P‬ואשר משיק למעגל הנתון מבחוץ וגם משיק‬
‫לישר ‪ .( y = 2 R‬לאחר מכן ננסה להוציא מקבוצת הנעלמים החדשה חלק מאיבריה‪,‬‬
‫ולהרכיב מערכת שבה כמה משוואות עם שאר הנעלמים‪ .‬בין הנעלמים במערכת משוואות‬
‫זו צריכים להיות ‪ yP , xP‬ו‪ . r -‬מספר המשוואות במערכת צריך להיות קטן ב‪ 1-‬ממספר‬
‫נעלמים‪ .‬אולי נוכל אפילו להרכיב מערכת של שתי משוואות אך ורק עם הנעלמים ‪yP , xP‬‬
‫ו‪. r -‬‬
‫כדי להרכיב אחת מהמשוואות של מערכת זו ננסה להביע את האורך של קטע המרכזים‬
‫‪ OP‬באמצעות שלושה נעלמים אלו בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫הבה ניעזר קודם בכך שנקודת ההשקה ‪ E‬של שני המעגלים נמצאת בתוך הקטע ‪, OP‬‬
‫ולכן‬
‫‪OP = OE + EP‬‬
‫מהשוויון האחרון ומהשוויונים‬
‫‪OE = R , EP = r‬‬
‫נובע כי‬
‫)‪(1‬‬
‫‪OP = R + r‬‬
‫כעת בעזרת הנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות נקבל‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪OP = ( xP − 0) 2 + ( yP − 0)2 = xP 2 + yP 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית על המישור‬
‫‪265‬‬
‫על סמך שורות )‪ (2) ,(1‬וכלל המעבר‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה עם הנעלמים ‪ yP , xP‬ו‪: r -‬‬
‫‪R + r = xP 2 + y P 2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫כעת ננסה להביע באמצעות ‪ r , yP , xP‬ואולי באמצעות עוד מהנעלמים הנ"ל את האורך‬
‫של הקטע ‪ PQ‬בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫קודם ניעזר בכך שהקטע ‪ PQ‬הוא רדיוס המעגל שמרכזו בנקודה ‪ , P‬ונקבל‪:‬‬
‫‪PQ = r‬‬
‫)‪(4‬‬
‫לאחר מכן נשים לב כי מתקיים‪:‬‬
‫‪yQ = 2 R‬‬
‫)‪(5‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪xQ = xP‬‬
‫)‪(6‬‬
‫שוויון )‪ (5‬מתקיים כי הנקודה ‪ Q‬נמצאת על הישר ‪ . y = 2 R‬שוויון )‪ (6‬מתקיים כי הישר‬
‫‪ PQ‬מאונך לציר ה‪] x -‬מכיוון שהוא מאונך לישר ‪) y = 2 R‬לפי המשפט‪ :‬הזווית בין‬
‫משיק למעגל לבין רדיוס‪ ,‬הנפגשים בנקודת ההשקה‪ ,‬היא זווית ישרה(‪ ,‬אשר מקביל לציר‬
‫ה‪.[ x -‬‬
‫על סמך שוויונים )‪ (5‬ו‪ (6)-‬אפשר להסיק כי‬
‫| ‪PQ =| 2 R − yP‬‬
‫)‪(7‬‬
‫מעגל שמרכזו מעל ישר ‪ y = 2 R‬ואשר משיק לישר זה לא יכול להשיק למעגל אשר נמצא‬
‫כולו מתחת לישר זה‪ .‬ועוד‪ ,‬מרכז המעגל המשיק לישר לא יכול להימצא על ישר זה‪ .‬לכן‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪2 R − yP > 0‬‬
‫)‪(8‬‬
‫משוויון )‪ (7‬ומאי‪-‬שוויון )‪ (8‬נובע כי‬
‫)‪(9‬‬
‫‪PQ = 2 R − yP‬‬
‫על סמך שוויונים )‪ (4‬ו‪ (9)-‬ועל סמך כלל המעבר מקבלים את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫‪ .30‬שינויים בכביש‬
‫‪266‬‬
‫‪r = 2 R − yP‬‬
‫)‪(10‬‬
‫כעת נוכל להתבונן במערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ R + r = x 2 + y 2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪r = 2 R − yP‬‬
‫המורכבת ממשוואות )‪ (3‬ו‪ .(10)-‬זאת מערכת של שתי משוואות עם שלושה הנעלמים‬
‫הבאים‪ yP , xP :‬ו‪. r -‬‬
‫על סמך מערכת זו עלינו לקבל משוואה עם הנעלמים ‪ xP‬ו‪. yP -‬‬
‫נציב במשוואה הראשונה של המערכת האחרונה לפי המשוואה השנייה‪ ,‬ונקבל את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪3 R − y P = xP 2 + y P 2‬‬
‫)‪(11‬‬
‫נעלה את שני האגפים של המשוואה האחרונה בריבוע ‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪9 R 2 − 6 RyP + yP 2 = xP 2 + yP 2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪R−‬‬
‫‪xP‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6R‬‬
‫)‪(12‬‬
‫= ‪yP‬‬
‫האם משוואה )‪ (12‬שקולה למשוואה )‪ ?(11‬הבה נבדוק‪.‬‬
‫אם זוג מספרים סדור כלשהו מקיים את משוואה )‪ ,(11‬אז הוא מקיים את משוואה )‪.(12‬‬
‫האם גם ההפך נכון?‬
‫הבה נברר‪ .‬אם זוג מספרים סדור כלשהו מקיים את משוואה )‪ ,(12‬אז הוא מקיים‬
‫את משוואה )‪ (11‬או את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪−3 R + y P = x P 2 + y P 2‬‬
‫האגף השמאלי של המשוואה האחרונה לא יכול להיות שלילי‪ ,‬כי האגף הימני של משוואה‬
‫זו לא יכול להיות שלילי‪ .‬לכן ערך הנעלם ‪ yP‬שעבורו מתקיימת משוואה )‪ (13‬לא יכול‬
‫להיות קטן מ‪ . 3R -‬עם זאת‪ ,‬הערך של הנעלם ‪ yP‬שעבורו מתקיימת משוואה )‪ (12‬לא יכול‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית על המישור‬
‫‪267‬‬
‫‪3‬‬
‫להיות גדול מ‪ . R -‬מכאן‪ ,‬אם עבור זוג מספרים סדור כלשהו משוואה )‪ (12‬מתקיימת‪ ,‬אז‬
‫‪2‬‬
‫עבורו משוואה )‪ (13‬לא מתקיימת‪ .‬מנאמר לעיל נובע שאם משוואה )‪ (12‬מתקיימת עבור זוג‬
‫מספרים סדור כלשהו‪ ,‬אז משוואה )‪ (11‬מתקיימת עבורו גם כן‪.‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫משוואה )‪ (11‬שקולה למשוואה )‪.(12‬‬
‫מנאמר לעיל נובע כי‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪R−‬‬
‫המקום הגיאומטרי המדובר הוא הפרבולה המיוצגת על ידי המשוואה ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6R‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ .‬המרחק בין נקודה ‪ P‬לישר ‪ y = 2 R‬שווה‪ ,‬לפי הגדרת המרחק בין נקודה לישר‪,‬‬
‫לאורך האנך ‪ PQ‬המורד לישר זה‪ .‬לכן יכולנו לקבל את שוויון )‪ (7‬בעזרת הנוסחה לחישוב‬
‫מרחק בין נקודה לישר‪ .‬נזכיר כי אפשר לחשב מרחק ‪ d‬בין נקודה ) ‪ ( x1 , y1‬לישר‬
‫‪ l : ax + by + c = 0‬לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫| ‪| ax + by + c‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫בעזרת נוסחה זו נקבל‪:‬‬
‫| ‪=| yP − 2 R |=| 2 R − yP‬‬
‫| ‪| 0 ⋅ xP + 1 ⋅ y P − 2 R‬‬
‫‪02 + 12‬‬
‫= ‪PQ‬‬
‫)לחישוב המרחק בין הנקודה ‪ P‬לישר ‪ y = 2 R‬השתמשנו במשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫‪.( 0 ⋅ x + 1 ⋅ y − 2 R = 0‬‬
‫נציין שלפעמים שימוש בנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר מאפשר להקטין את‬
‫מספר הנעלמים שעבורם צריך להרכיב את המערכת שבעזרתה אפשר יהיה למצוא את‬
‫המשוואה של המקום הגיאומטרי‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪269‬‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪1‬‬
‫אשתי‪ ,‬רופאת ילדים‪ ,‬שאלה את אחד ממטופליה‪ ,‬תלמיד כיתה א'‪" :‬איזה‬
‫שיעור אהוב עליך ביותר?"‬
‫"השיעור האחרון‪ ",‬השיב הילד‪.‬‬
‫"הפסק לעזור לשכנה שלך‪ ",‬ביקשתי מתלמיד בשיעור‪" ,‬ככל שתסביר לה‬
‫פחות היא תבין יותר‪".‬‬
‫‪ 1‬טיטוס מאקיוס פלאוטוס‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪270‬‬
‫בעיה ‪ .1‬הבסיס ‪ BC‬של משולש שווה שוקיים ‪ ABC‬נמצא על ישר שמשוואתו‬
‫‪1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ ; y‬קודקוד ‪ A‬של המשולש נמצא בנקודה )‪ ; (7, 7‬המרחק מנקודה ‪ B‬לציר ה‪-‬‬
‫‪ y‬גדול פי שניים ממרחקה מציר ה‪ . x -‬מצאו את השיעורים של נקודה ‪. C‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫על סמך הנתון בבעיה עליכם להסיק כי נקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הישר שמשוואתו‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y = x + 1‬עם הישר שמשוואתו ‪ y = x‬או ‪. y = − x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫לאחר מכן עליכם למצוא את השיעורים של נקודה ‪ . B‬עליכם לקבל‪ B(4, 2) :‬או‬
‫‪1 2‬‬
‫) ‪. B ( −1 ,‬‬
‫‪3 3‬‬
‫מכאן אפשר להמשיך בשלוש הדרכים הבאות‪.‬‬
‫המשך א'‪.‬‬
‫מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )‪ A(7,7‬ומאונך לישר ‪ ; BC‬לאחר מכן‬
‫מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים‪ .‬עליכם לקבל כי הישרים נחתכים בנקודה‬
‫)‪ . (8,3‬הנקודה האחרונה היא אמצע הצלע ‪ . BC‬לכן תוכלו למצוא את השיעורים של‬
‫נקודה ‪ C‬בעזרת הנוסחאות לשיעורים של אמצע הקטע‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫תשובה‪ C (12, 4) :‬או ) ‪. C (17 , 5‬‬
‫‪3 3‬‬
‫המשך ב'‪.‬‬
‫מצאו את משוואת המעגל שמרכזו הנקודה ‪ A‬ואשר עובר דרך נקודה ‪ . B‬מצאו את‬
‫נקודות החיתוך של המעגל האחרון עם הישר ‪ . BC‬אחת משתי נקודות אלו צריכה להיות‬
‫הנקודה ‪ . B‬נקודת החיתוך השנייה היא נקודה ‪. C‬‬
‫המשך ג' ‪.‬‬
‫מצאו את השיפוע של הישר ‪ . AB‬לאחר מכן מצאו את השיפוע של הישר ‪ AC‬בהסתמך על‬
‫השוויון הבא‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪271‬‬
‫‪mAC − mBC‬‬
‫‪m − mBC‬‬
‫‪= − AB‬‬
‫‪1 + mAC ⋅ mBC‬‬
‫‪1 + mAB ⋅ mBC‬‬
‫)ראו פרקים ‪ 10‬ו‪.(11-‬‬
‫לאחר שמצאתם את השיפוע של הישר ‪ , AC‬מצאו את המשוואה של ישר זה‪.‬‬
‫לאחר מכן תוכלו למצוא את השיעורים של הנקודה ‪ C‬כשיעורי נקודת החיתוך של‬
‫הישרים ‪ AC‬ו‪. BC -‬‬
‫בעיה ‪ .2‬נתון משולש‪ .‬אמצעי צלעות המשולש הם בנקודות )‪ P (1,3) , O(0, 0‬ו‪. Q(−3,1) -‬‬
‫א( מצאו את השיעורים של נקודת מפגש התיכונים במשולש‪.‬‬
‫ב( הוכיחו כי המשולש הוא שווה שוקיים‪ ,‬אך לא שווה צלעות‪.‬‬
‫ג( הוכיחו כי המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫א( סמנו את קודקודי המשולש הנתון באופן הבא‪ :‬ב‪ A -‬סמנו את הקודקוד שמול הצלע‬
‫שעליה נמצאת הנקודה )‪ , O(0, 0‬ב‪ - B -‬את הקודקוד שמול הצלע שעליה נמצאת הנקודה‬
‫)‪ , P (1,3‬וב‪ - C -‬את הקודקוד שמול הצלע שעליה נמצאת הנקודה )‪. Q(−3,1‬‬
‫בעזרת הנוסחאות לשיעורי אמצע הקטע תקבלו את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ x A + xB‬‬
‫‪ 2 = −3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xB + xC‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x A + xC‬‬
‫‪ 2 =1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫וגם את המערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪272‬‬
‫‪ y A + yB‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yB + yC‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ y A + yC‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫הכפילו כל משוואה של מערכת )‪ (2.1‬ב‪ , 2 -‬ותקבלו את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪= −6‬‬
‫‪ x A + xB‬‬
‫‪‬‬
‫‪xB + xC = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+ xC = 2‬‬
‫‪ A‬‬
‫אם תחסרו מהמשוואה השלישית של המערכת האחרונה את המשוואה הראשונה שלה‪,‬‬
‫ובמערכת אשר תתקבל תחברו אל המשוואה השלישית את המשוואה השנייה ‪ -‬עליכם‬
‫לקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪= −6‬‬
‫‪ x A + xB‬‬
‫‪‬‬
‫‪xB + xC = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 xC = 8‬‬
‫‪‬‬
‫פתרו את המערכת האחרונה ולאחר מכן את מערכת )‪ .(2.2‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫)‪A(−2, 4) , B(−4, −2) , C (4, 2‬‬
‫סמנו ב‪ M -‬את השיעורים של נקודת מפגש ההתיכונים במשולש ‪ . ABC‬תקבלו את‬
‫השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪x A + 2 xO‬‬
‫‪y + 2 yO‬‬
‫‪, yM = A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫בעזרת שני השוויונים האחרונים חשבו את שיעורי הנקודה ‪ . M‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫) ‪M (− ,1‬‬
‫‪3 3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪273‬‬
‫ב( על מנת להראות כי המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים אך לא שווה צלעות‪ ,‬חשבו את‬
‫אורכי הצלעות של המשולש‪ .‬עליכם לקבל כי‬
‫‪AB = AC < BC‬‬
‫ג( אפשר לפתור את הבעיה בעזרת משפט הפוך למשפט פיתגורס‪.‬‬
‫כדי להוכיח את השוויון ‪ BC 2 = AB 2 + AC 2‬תוכלו להיעזר באורכי הצלעות של‬
‫המשולש‪ ,‬אשר תקבלו כאשר תפתרו את סעיף ב' של הבעיה‪.‬‬
‫דרך נוספת לפתרון סעיף ג' של הבעיה היא לחשב את השיפוע ‪ mAB‬של הישר ‪ , AB‬את‬
‫השיפוע ‪ mAC‬של הישר ‪ AC‬ולהראות כי מתקיים‪:‬‬
‫‪mAB ⋅ mAC = −1‬‬
‫אם תפתרו בדרך האחרונה את סעיף ג' לפני שתפתרו את סעיף ב' של הבעיה‪ ,‬אז כדי לפתור‬
‫לאחר מכן את סעיף ב' לא יהיה צורך לחשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫בעיה ‪ .3‬נתונות הנקודות )‪ A(−2, 2‬ו‪ . B(8, −2) -‬מצאו את השיעורים של הנקודה ‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫הנמצאת על הישר שמשוואתו ‪x + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ y‬אם נתון כי נקודת מפגש התיכונים במשולש‬
‫‪ ABC‬נמצאת על ישר שמשוואתו ‪. x − 2 y = 0‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫נסמן ב‪ M -‬את אמצע הקטע ‪ AB‬וב‪ N -‬את נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫מצאו את השיעורים של נקודה ‪ . M‬עליכם לקבל‪. M (3, 0) :‬‬
‫הרכיבו מערכת של ארבע משוואות עם ארבעה הנעלמים הבאים‪ xN , yC , xC :‬ו‪. yN -‬‬
‫להרכבת שתי משוואות היעזרו בכך שנקודה נמצאת על קו מסוים אך ורק אם היא‬
‫מקיימת את משוואתו‪ .‬להרכבת שתי משוואות נוספות היעזרו במשפט שלפיו‪ :‬כל שני‬
‫תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים‪ ,‬כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי‬
‫שניים מהקטע הקרוב לצלע‪ .‬עליכם לקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪274‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 2 xC + 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xN − 2 y N = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xC + 2 ⋅ 3‬‬
‫= ‪ xN‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y = C 2⋅0‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪3‬‬
‫כשתפתרו את המערכת תקבלו את שיעורי הנקודות ‪ N‬ו‪. C -‬‬
‫תשובה‪. C (6, 6) :‬‬
‫בעיה ‪ .4‬קודקוד ‪ A‬של טרפז ‪ ( AB CD ) ABCD‬נמצא בנקודה )‪ . (−2, 6‬הצלע ‪ CD‬של‬
‫‪1‬‬
‫הטרפז נמצאת על ישר שמשוואתו ‪ . 8 x − 15 y − 28 = 0‬הנקודה )‪ M (7 ,8‬היא נקודת‬
‫‪3‬‬
‫מפגש האלכסונים של הטרפז ‪ . ABCD‬שטח הטרפז שווה ל‪ 201 -‬יח"ר‪ .‬מצאו את‬
‫השיעורים של הנקודות ‪ C , B‬ו‪. D -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫מצאו את משוואת הישר ‪ , AC‬ולאחר מכן את השיעורים של נקודה ‪ C‬כשיעורי נקודת‬
‫החיתוך של ישר זה עם הישר ‪ . CD‬עליכם לקבל‪. C (26,12) :‬‬
‫כאשר נוסף על השיעורים של נקודות ‪ A‬ו‪ M -‬יהיו ברשותכם גם השיעורים של הנקודה‬
‫‪ , C‬תוכלו למצוא את היחס ‪ . CM : MA‬לשם כך היעזרו באחד השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪λ x A + xC‬‬
‫‪λ y + yC‬‬
‫‪, yM = A‬‬
‫‪λ +1‬‬
‫‪λ +1‬‬
‫)‪(4.1‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫כאן‬
‫‪CM‬‬
‫‪MA‬‬
‫=‪λ‬‬
‫עליכם לקבל כי ‪ . λ = 2‬מכאן אפשר להסיק כי הבסיס ‪ CD‬של הטרפז גדול פי שניים‬
‫מהבסיס ‪ AB‬שלו‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪275‬‬
‫תוכלו להיעזר בכך שברשותכם השיעורים של נקודה ‪ A‬והמשוואה הכללית‬
‫‪ 8 x − 15 y − 28 = 0‬של הישר ‪ CD‬כדי לחשב את אורך הגובה של הטרפז הנתון‪ .‬לאחר‬
‫מכן תוכלו להיעזר באורך הגובה של הטרפז ובגודל של שטח הטרפז כדי לחשב את סכום‬
‫אורכי הבסיסים שלו‪.‬‬
‫קל למצוא שני מספרים אם ידוע פי כמה אחד מהם גדול מהשני ומהו סכומם של שני‬
‫המספרים‪ .‬לכן לאחר שתמצאו את הסכום של אורכי הבסיסים של הטרפז ‪, ABCD‬‬
‫תוכלו למצוא בקלות את אורכי הבסיסים של הטרפז‪ .‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫‪ 17‬יח' = ‪AB‬‬
‫‪ 34‬יח' = ‪CD‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫בהסתמך על שוויון )‪ (4.2‬אפשר להסיק כי הנקודה ‪ D‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪CD‬‬
‫עם המעגל שמרכזו )‪ C (26,12‬ורדיוסו ‪ 34‬יח'‪ .‬מצאו את משוואת המעגל האחרון ולאחר‬
‫מכן את נקודות החיתוך של מעגל זה עם הישר ‪ . CD‬עליכם לקבל‪ D( −4, −4) :‬או‬
‫)‪. D(56, 28‬‬
‫את שיעורי הנקודה ‪ B‬אפשר למצוא בהסתמך על כך ש‪. DM : MB = 2 :1 -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪8 x − 15 y − 28 = 0‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪ D( −4, −4) , C (26,12) , B(13,14) :‬או )‪. D(56, 28) , C (26,12) , B(−17, −2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪276‬‬
‫בעיה ‪ .5‬במעוין ‪ ABCD‬נקודת מפגש האלכסונים נמצאת בקודה )‪ , M (4, 4.5‬קודקוד ‪A‬‬
‫נמצא על הישר ‪ , y = x + 5‬קודקוד ‪ C‬נמצא על הישר ‪ y = − x + 8‬וקודקוד ‪ D‬על ציר ה‪-‬‬
‫‪ . x‬מצאו את שיעורי קודקוד ‪. B‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫ראשית יש למצוא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ . C -‬לשם כך יש להרכיב מערכת של ארבע‬
‫משוואות עם ארבעת הנעלמים הבאים‪ xC , y A , xA :‬ו‪. yC -‬‬
‫את המשוואות הראשונה והשנייה במערכת זו אפשר להרכיב בהסתמך על כך שנקודה ‪A‬‬
‫נמצאת על הישר ‪ , y = x + 5‬ושנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪. y = − x + 8‬‬
‫את המשוואות השלישית והרביעית אפשר להרכיב בהסתמך על כך שהנקודה )‪M (4, 4.5‬‬
‫היא אמצע הקטע ‪. AC‬‬
‫לאחר שתרכיבו את המערכת ותפתרו אותה עליכם לקבל כי )‪. C (6, 2) , A(2,7‬‬
‫לאחר שמוצאים את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ , C -‬אפשר למצוא את השיפוע ‪ mAC‬של‬
‫האלכסון ‪ AC‬במעוין ‪) ABCD‬את השיפוע האחרון אפשר למצוא גם בעזרת שיעורי‬
‫הנקודה ‪ M‬והשיעורים של אחת מהנקודות ‪ A‬ו‪ .( C -‬אחר כך אפשר למצוא את השיפוע‬
‫‪ mBD‬של האלכסון ‪ BD‬במעוין הנתון בהסתמך על כך שאלכסונים במעוין מאונכים זה‬
‫לזה‪.‬‬
‫כאשר תדעו את גודל השיפוע של האלכסון ‪ , BD‬תוכלו למצוא את המשוואה של אלכסון‬
‫זה בעזרת השיפוע שלו ושיעורי הנקודה ‪ . M‬לאחר מכן מצאו את שיעורי הנקודה ‪D‬‬
‫בהסתמך על כך שהיא נקודת החיתוך של הישר ‪ BD‬עם ציר ה‪ . x -‬עליכם לקבל כי‬
‫)‪. D(−1.625, 0‬‬
‫לאחר שתמצאו את השיעורים של נקודה ‪ D‬תוכלו למצוא את השיעורים של נקודה ‪B‬‬
‫בהסתמך על כך שהנקודה )‪ M (4, 4.5‬היא אמצע הקטע ‪. BD‬‬
‫תשובה‪. B(9.625,9) :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪277‬‬
‫בעיה ‪ .6‬נתון מעוין ‪ . ABCD‬קודקוד ‪ A‬של המעוין נמצא בנקודה )‪ ; (2, 4‬אחד מאלכסוני‬
‫המעוין נמצא על הישר ‪ . y = x − 4‬שטח המעוין שווה ל‪ 24 -‬יח"ר‪ .‬מצאו את שיעורי‬
‫הנקודות ‪ C , B‬ו‪. D -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫ראשית יש להראות כי הנקודה )‪ A(2, 4‬לא נמצאת על הישר ‪ , y = x − 4‬ומכאן להסיק‬
‫שעל ישר זה נמצא אלכסון ‪ BD‬של המעוין ‪. ABCD‬‬
‫אלכסונים במעוין חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה‪ .‬לכן נקודה ‪ C‬היא נקודה סימטרית‬
‫לנקודה ‪ A‬ביחס לישר ‪. BD‬‬
‫כדי למצוא את השיעורים של נקודה ‪ C‬צריך למצוא קודם את משוואת הישר ‪. AC‬‬
‫את משוואה זו אפשר למצוא בהסתמך על כך שהוא עובר דרך הנקודה )‪ A(2, 4‬ומאונך‬
‫לישר ‪ . BD‬לאחר מכן תוכלו למצוא את נקודת מפגש אלכסוני המעוין ‪ . ABCD‬עליכם‬
‫לקבל כי אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה )‪ . M (5,1‬לאחר מכן תוכלו למצוא את שיעורי‬
‫נקודה ‪ C‬בהסתמך על כך שנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע ‪ . AC‬עליכם לקבל כי )‪. C (8, −2‬‬
‫כדי למצוא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪ D -‬צריך למצוא את אורך הקטע ‪. BD‬‬
‫אפשר לעשות זאת בהסתמך על השוויון הבא עבור השטח ‪ S ABCD‬של המעוין ‪: ABCD‬‬
‫‪AC ⋅ BD‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S ABCD‬‬
‫על מנת שתוכלו לחשב בעזרת שוויון זה את אורך הקטע ‪ , BD‬עליכם לחשב קודם את‬
‫אורך הקטע ‪. AC‬‬
‫עליכם לקבל‪:‬‬
‫‪ 4 2‬יח' = ‪BD‬‬
‫מתוצאה זו ומהשוויון‬
‫‪BM = MD‬‬
‫נובע כי‬
‫‪ 2 2‬יח' = ‪. BM = MD‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪278‬‬
‫לאחר שתקבלו שוויונים אלו תוכלו למצוא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪ D -‬כנקודות החיתוך‬
‫של הישר ‪ ℓ BD : y = x − 4‬עם המעגל שמרכזו )‪ M (5,1‬ורדיוסו ‪ 2 2‬יח' )במקום‬
‫להתבונן במעגל האחרון אפשר להיעזר בנוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות(‪.‬‬
‫עליכם לקבל‪ D(3, −1) , B(7,3) :‬או )‪. D(7,3) , B(3, −1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪A(2, 4‬‬
‫)‪D(7,3‬‬
‫)‪B(7,3‬‬
‫‪( x − 5)2 + ( y − 1)2 = 8‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪C (8, −2‬‬
‫)‪A(2, 4‬‬
‫)‪D(3, −1‬‬
‫‪y = x−4‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪C (8, −2‬‬
‫)‪B(3, −1‬‬
‫‪y = x−4‬‬
‫בעיה ‪ .7‬נתון ריבוע ‪ . ABCD‬קודקוד ‪ A‬של הריבוע נמצא בנקודה )‪ ; (−1, 6‬אחד‬
‫מאלכסוני הריבוע נמצא על הישר ‪ . y = 5 x − 2‬מצאו את שיעורי הנקודות ‪ C , B‬ו‪. D -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫כמו בבעיה הקודמת‪ ,‬ראשית יש להראות שהאלכסון של הריבוע ‪ ABCD‬שנמצא על‬
‫הישר ‪ y = 5 x − 2‬הוא האלכסון ‪ . BD‬לאחר מכן צריך למצוא את השיעורים של נקודת‬
‫מפגש אלכסוני הריבוע ושל הנקודה ‪ C‬בדרך שבה הוצע למצוא את שיעורי הנקודה ‪C‬‬
‫בבעיה הקודמת‪.‬‬
‫עליכם לקבל כי אלכסוני הריבוע נפגשים בנקודה )‪ M (1.5,5.5‬וכי )‪. C (4,5‬‬
‫לאחר מכן אפשר למצוא את השיעורים של נקודות ‪ B‬ו‪ D -‬כנקודות החיתוך של הישר‬
‫‪ BD‬עם מעגל שמרכזו )‪ M (1.5,5.5‬ואשר עובר דרך נקודה )‪. A(−1, 6‬‬
‫עליכם לקבל כי )‪ D(2,8) , B (1,3‬או )‪. D(1,3) , B(2,8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪279‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪D(2,8‬‬
‫)‪B(2,8‬‬
‫)‪A(−1, 6‬‬
‫)‪A(−1, 6‬‬
‫)‪C (4,5‬‬
‫)‪C (4,5‬‬
‫)‪M (1.5,5.5‬‬
‫)‪M (1.5,5.5‬‬
‫)‪B (1,3‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪D(1,3‬‬
‫‪y = 5x − 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 5x − 2‬‬
‫בעיה ‪ .8‬קודקוד ‪ A‬של ריבוע ‪ ABCD‬נמצא בנקודה )‪ ; (2, 4‬קודקוד ‪ B‬של הריבוע נמצא‬
‫בנקודה )‪ . (5,8‬מצאו את השיעורים של נקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫עקרונות פתרון א'‪.‬‬
‫ננסה להרכיב מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים ‪ xD‬ו‪. yD -‬‬
‫נשאל את עצמנו‪ :‬אילו תנאים נקודה ‪ D‬חייבת לקיים?‬
‫נקודה ‪ D‬חייבת לקיים את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪( r1‬‬
‫‪∡BAD = 90°‬‬
‫‪( r2‬‬
‫‪AD = AB‬‬
‫תנאי ‪ r1‬מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪mAB ⋅ mAD = −1‬‬
‫בהסתמך על השוויון האחרון תקבלו את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(8.1‬‬
‫‪4 yD − 4‬‬
‫⋅‬
‫‪= −1‬‬
‫‪3 xD − 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪280‬‬
‫לאחר מכן חשבו את אורך הקטע ‪ . AB‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫‪ 5‬יח' = ‪AB‬‬
‫)‪(8.2‬‬
‫בהסתמך על השוויון האחרון תקבלו כי תנאי ‪ r2‬מתקיים אך ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫‪( xD − 2) 2 + ( yD − 4)2 = 5‬‬
‫)‪(8.3‬‬
‫פתרו את המערכת המורכבת ממשוואות )‪ (8.1‬ו‪ .(8.3)-‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫)‪ D(6,1‬או )‪D(−2, 7‬‬
‫אחר כך מצאו את שיעורי נקודה ‪ C‬בעזרת הנוסחאות לשיעורים של אמצע קטע‪.‬‬
‫עליכם לקבל שאם קודקוד ‪ D‬של הריבוע נמצא בנקודה )‪ , (6,1‬אז קודקודו ‪ C‬נמצא‬
‫בנקודה )‪ ; (9,5‬ואם קודקוד ‪ D‬של הריבוע נמצא בנקודה )‪ , (−2, 7‬אז קודקודו ‪ C‬נמצא‬
‫בנקודה )‪. (1,11‬‬
‫עקרונות פתרון ב'‪.‬‬
‫נמצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬כנקודה משותפת למקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫במישור המקיימות את תנאי ‪ r1‬ולמקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור המקיימות‬
‫את תנאי ‪. r2‬‬
‫מהו המקום הגיאומטרי הראשון הנ"ל?‬
‫מקום גיאומטרי זה הוא הישר ‪) ℓ‬להוציא הנקודה ‪ ( A‬המקיים את שני התנאים‬
‫הבאים‪ :‬א( הישר ‪ ℓ‬עובר דרך נקודה ‪ , A‬ב( הישר ‪ ℓ‬מאונך לישר ‪. AB‬‬
‫מצאו את המשוואה של הישר ‪ . ℓ‬עליכם לקבל כי‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ℓ: y = − x+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ומהו המקום הגיאומטרי השני הנ"ל?‬
‫בהסתמך על שוויון )‪ (8.2‬אפשר לקבל כי מקום גיאומטרי זה הוא המעגל שמשוואתו‬
‫‪. ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪281‬‬
‫הראו כי הישר ‪ ℓ‬והמעגל האחרון נחתכים בנקודות )‪ (6,1‬ו‪ . (−2, 7) -‬הסיקו מכאן כי‬
‫)‪ D(6,1‬או )‪. D(−2, 7‬‬
‫מצאו את שיעורי הנקודה ‪ C‬בדרך המתוארת לעיל‪.‬‬
‫בעיה ‪ .9‬קודקוד ‪ A‬של ריבוע ‪ ABCD‬נמצא בנקודה )‪ ; (−1,1‬קודקוד ‪ C‬של הריבוע‬
‫נמצא בנקודה )‪ . (6, 2‬מצאו את השיעורים של הנקודות ‪ B‬ו‪. D -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫מצאו את השיעורים של הנקודות ‪ B‬ו‪ D -‬כשיעורי נקודות החיתוך של האנך האמצעי‬
‫לקטע ‪ AC‬ושל המעגל שהקטע הוא קוטרו‪.‬‬
‫תשובה‪ D(3, −2) , B(2,5) :‬או )‪D(2,5) , B(3, −2‬‬
‫בעיה ‪ .10‬הוכיחו כי הישר שמשוואתו ‪ y = 3x − 2‬חותך את הקטע המחבר את הנקודות‬
‫)‪ A(1, 4‬ו‪. B(2,3) -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫הוכיחו כי אחת משתי הנקודות הנתונות נמצאת מתחת לישר הנתון‪ ,‬ואילו הנקודה‬
‫השנייה נמצאת מעל ישר זה‪.‬‬
‫בעיה ‪ .11‬הצלע ‪ AB‬של מעוין ‪ ABCD‬נמצאת על ישר שמשוואתו ‪. y = 0.75 x + 2.25‬‬
‫אורך הצלע הוא ‪ 5‬יח'‪ .‬נקודות ‪ A‬ו‪ D -‬נמצאות ברביע הראשון‪ .‬המרחק בין נקודה ‪A‬‬
‫לראשית הצירים שווה ל‪ 10 -‬יח'‪ .‬הנקודה )‪ E (3,5‬נמצאת בתוך המעוין‪ .‬גובה המעוין‬
‫שווה ל‪ 1.4 -‬יח'‪ .‬מצאו את המשוואות של הישרים ‪ BC , AD‬ו‪. CD -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪282‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון‪ ,‬והיא נקודת החיתוך של הישר שמשוואתו‬
‫‪ y = 0.75 x + 2.25‬עם המעגל שמרכזו ראשית הצירים ורדיוסו ‪ 10‬יח'‪.‬‬
‫הראו ששני הקווים נחתכים בנקודות )‪ (1,3‬ו‪ . (−3.16, −0.12) -‬בהסתמך על הנאמר לעיל‬
‫הסיקו כי )‪. A(1,3‬‬
‫בהסתמך על הנתון בבעיה הסיקו כי הישר ‪ CD‬מקביל לישר ‪ AB‬ונמצא במרחק של‬
‫‪ 1.4‬יח' ממנו‪ .‬קבלו את המשוואה הכללית הבאה של הישר ‪: AB‬‬
‫‪−3 x + 4 y − 9 = 0‬‬
‫)‪(11.1‬‬
‫בהסתמך על משוואה זו ועל הנאמר לעיל על הישר ‪ , CD‬קבלו את המשוואה הבאה של‬
‫הישר האחרון‪:‬‬
‫‪−3 x + 4 y + c = 0‬‬
‫ורשמו שכאן ‪ c‬הוא מספר המקיים את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪= 1.4‬‬
‫|‪|c+9‬‬
‫‪(−3) 2 + 42‬‬
‫קבלו מכאן כי משוואת הישר ‪ CD‬היא‪:‬‬
‫‪ −3x + 4 y − 2 = 0‬או ‪−3x + 4 y − 16 = 0‬‬
‫)‪(11.2‬‬
‫הנקודה )‪ E (3,5‬נמצאת בין הישרים ‪ AB‬ו‪ , CD -‬כלומר היא נמצאת מתחת לאחד מהם‬
‫ומעל השני‪ .‬הראו כי הנקודה )‪ E (3,5‬נמצאת מעל הישר ‪ . AB‬לשם כך הציבו את שיעורי‬
‫הנקודה באגף השמאלי של משוואה )‪ .(11.1‬עליכם לקבל מספר חיובי‪ .‬לאחר מכן הציבו את‬
‫שיעורי הנקודה באגף השמאלי של כל אחת מהמשוואות הרשומות בשורה )‪.(11.2‬‬
‫כאשר תציבו את שיעורי נקודה ‪ E‬באגף השמאלי של המשוואה ‪−3x + 4 y − 2 = 0‬‬
‫תקבלו מספר חיובי‪ .‬מכאן עליכם להסיק כי נקודה ‪ E‬נמצאת מעל הישר שמשוואתו‬
‫‪. −3 x + 4 y − 2 = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪283‬‬
‫כאשר תציבו את שיעורי נקודה ‪ E‬באגף השמאלי של המשוואה ‪−3x + 4 y − 16 = 0‬‬
‫תקבלו מספר שלילי‪ .‬מכאן עליכם להסיק כי נקודה ‪ E‬נמצאת מתחת לישר שמשוואתו‬
‫‪. −3x + 4 y − 16 = 0‬‬
‫על סמך התוצאות עליכם להסיק כי המשוואה הבאה היא משוואה כללית של הישר‬
‫‪: CD‬‬
‫‪−3x + 4 y − 16 = 0‬‬
‫)‪(11.3‬‬
‫אילו כאשר הייתם מציבים את השיעורים של נקודה ‪ E‬באגף שמאלי של המשוואה‬
‫האחרונה הייתם מקבלים מספר חיובי‪ ,‬אז הייתם חייבים להסיק כי לבעיה אין פתרון‪.‬‬
‫נקודה ‪ D‬נמצאת ברביע הראשון‪ ,‬והיא נקודת החיתוך של הישר ‪ CD‬עם המעגל‬
‫שמרכזו הוא הנקודה )‪ A(1,3‬ורדיוסו ‪ 5‬יח'‪ .‬פתרו את המערכת המורכבת ממשוואת‬
‫המעגל האחרון וממשוואה )‪ (11.3‬של הישר ‪ . CD‬אתם חייבים לקבל את זוגות המספרים‬
‫הבאים‪ (4, 7) :‬ו‪ . (1.24, −3.68) -‬בהסתמך על הנאמר לעיל הסיקו כי )‪. D(4, 7‬‬
‫לאחר שתגיעו לתוצאה זו תוכלו למצוא את משוואת הישר ‪ . AD‬המשוואה הבאה היא‬
‫המשוואה מפורשת של הישר האחרון‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪y‬‬
‫הישר ‪ BC‬מקביל לישר ‪ AD‬ונמצא במרחק של ‪ 1.4‬יח' ממנו‪ .‬קבלו את המשוואה‬
‫הכללית הבאה של הישר ‪: AD‬‬
‫‪−4 x + 3 y − 5 = 0‬‬
‫בהסתמך על משוואה זו ועל הנאמר לעיל על הישר ‪ , BC‬קבלו את המשוואה הבאה של‬
‫הישר האחרון‪:‬‬
‫‪−4 x + 3 y + c = 0‬‬
‫ורשמו שכאן ‪ c‬הוא מספר המקיים את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪= 1.4‬‬
‫|‪|c +5‬‬
‫‪(−4) 2 + 32‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪284‬‬
‫קבלו מכאן כי משוואת הישר ‪ BC‬היא‪:‬‬
‫‪ −4 x + 3 y + 2 = 0‬או ‪−4 x + 3 y − 12 = 0‬‬
‫הנקודה )‪ E (3,5‬נמצאת בין הישרים ‪ AD‬ו‪ , BC -‬כלומר היא נמצאת מתחת לאחד‬
‫מהם ומעל השני‪ .‬הראו כי הנקודה )‪ E (3,5‬נמצאת מתחת לישר ‪. AD‬‬
‫לאחר מכן הראו כי נקודה ‪ E‬נמצאת מתחת לישר שמשוואתו ‪ −4 x + 3 y − 12 = 0‬ומעל‬
‫הישר שמשוואתו ‪ . −4 x + 3 y + 2 = 0‬מכאן הסיקו כי המשוואה ‪−4 x + 3 y + 2 = 0‬‬
‫מייצגת את הישר ‪. BC‬‬
‫‪−4 x + 3 y + 2 = 0‬‬
‫‪−3 x + 4 y − 9 = 0‬‬
‫‪−4 x + 3 y − 12 = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪−3 x + 4 y − 2 = 0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25‬‬
‫‪−3 x + 4 y − 16 = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 2 + y 2 = 10‬‬
‫‪−4 x + 3 y − 5 = 0‬‬
‫בעיה ‪ .12‬בריבוע ‪ ABCD‬קודקוד ‪ A‬נמצא בנקודה )‪ , (3, 7‬קודקוד ‪ B‬נמצא על ציר ה‪y -‬‬
‫וקודקוד ‪ C‬על ציר ה‪ . x -‬מצאו את השיעורים של הקודקודים ‪. D , C , B , A‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬של הריבוע ‪ ABCD‬לא מאונכת לציר ה‪) . x -‬למה?( לכן לישר ‪ AB‬יש שיפוע‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪285‬‬
‫הישר ‪ AB‬עובר דרך הנקודה )‪ . (3, 7‬לכן אם נסמן את השיפוע של הישר ‪ AB‬ב‪, m -‬‬
‫נגיע למשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫)‪. y − 7 = m( x − 3‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(12.1‬‬
‫‪y = mx − 3m + 7‬‬
‫נקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪ AB‬עם ציר ה‪ . y -‬מכאן ומהמשוואה )‪(12.1‬‬
‫נובע כי‬
‫)‪(12.2‬‬
‫‪xB = 0 , yB = −3m + 7‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪m≠0‬‬
‫וגם‬
‫‪AB ⊥ BC‬‬
‫)למה?(‬
‫לכן‬
‫)‪(12.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪mBC = −‬‬
‫על סמך שורות )‪ (12.2‬ו‪ (12.3)-‬מקבלים את המשוואה הבאה של הישר ‪: BC‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y + 3m − 7 = −‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(12.4‬‬
‫‪x = − my − 3m 2 + 7 m‬‬
‫נקודה ‪ C‬היא נקודת החיתוך של ישר ‪ BC‬עם ציר ה‪ . x -‬מכאן וממשוואה )‪ (12.4‬נובע‬
‫כי‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪286‬‬
‫‪yC = 0‬‬
‫)‪(12.5‬‬
‫‪xC = −3m 2 + 7 m ,‬‬
‫כעת אפשר להביע באמצעות ‪ m‬את אורך הקטע ‪ AB‬וגם את אורך הקטע ‪ . BC‬אם‬
‫ניעזר לאחר מכן בשוויון ‪ , AB = BC‬נקבל משוואה עם נעלם ‪ . m‬קבלו אותה בעצמכם‪.‬‬
‫עליכם לקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪9 + 9m 2 = (−3m + 7) 2 + (−3m 2 + 7m) 2‬‬
‫נפתור אותה‪:‬‬
‫‪9 + 9m 2 = (−3m + 7) 2 + (−3m 2 + 7m) 2‬‬
‫⇕‬
‫‪9(m 2 + 1) = (−3m + 7) 2 + (−3m + 7) 2 m 2‬‬
‫⇕‬
‫)‪9(m 2 + 1) = (3m − 7) 2 (m2 + 1‬‬
‫⇕‬
‫‪(3m − 7) 2 (m2 + 1) − 9(m2 + 1) = 0‬‬
‫⇕‬
‫‪(m2 + 1)[(3m − 7)2 − 32 ] = 0‬‬
‫⇕‬
‫‪(m2 + 1)(3m − 7 − 3)(3m − 7 + 3) = 0‬‬
‫⇕‬
‫‪(m2 + 1)(3m − 10)(3m − 4) = 0‬‬
‫מכאן‬
‫)‪(12.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪ m‬או‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪.m‬‬
‫כעת על סמך שורות )‪ (12.5) ,(12.2‬ו‪ (12.6)-‬אפשר לקבל את השיעורים של נקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪287‬‬
‫לאחר מכן אפשר למצוא את השיעורים של נקודה ‪ D‬בעזרת נוסחאות לשיעורי אמצע‬
‫קטע‪.‬‬
‫תשובה‪ D(−7,10) , C (−10, 0) , B(0, −3) :‬או )‪. D(7, 4) , C (4, 0) , B(0,3‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪D(−7,10‬‬
‫)‪A(3, 7‬‬
‫)‪D(7,4‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪B(0,3‬‬
‫)‪C(4,0‬‬
‫)‪C (−10, 0‬‬
‫)‪B(0, −3‬‬
‫הערה‪ .‬אפשר להרכיב משוואה עם נעלם ‪ m‬גם בהסתמך על כך שהאלכסונים בריבוע‬
‫חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה‪.‬‬
‫בעיה ‪ .13‬נתון מלבן ‪ . ABCD‬הישר ‪ AB‬עובר דרך נקודה )‪ ; E (8, 6‬הישר ‪ BC‬עובר דרך‬
‫נקודה )‪ ; F (9, −1‬הישר ‪ CD‬עובר דרך נקודה )‪ ; G (2, −2‬הישר ‪ AD‬עובר דרך נקודה‬
‫)‪ ; H (1,5‬צלעות המלבן לא מקבילות לצירי השיעורים‪.‬‬
‫א( הוכיחו כי המלבן ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫ב( גם נתון‪ 10 :‬יח' = ‪ . AB‬מצאו את השיעורים של קודקודי הריבוע ‪. ABCD‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪288‬‬
‫עקרונות הפתרון לסעיף א'‪.‬‬
‫עליכם להוכיח כי שתי צלעות סמוכות במלבן הנתון שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪E (8, 6‬‬
‫)‪H (1,5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪G (2, −2‬‬
‫)‪F (9, −1‬‬
‫‪C‬‬
‫סמנו את השיפוע של הישר ‪ AB‬ב‪ , m -‬ופעלו בדרך הבאה‪:‬‬
‫א( קבלו את המשוואה הבאה של הישר ‪: AB‬‬
‫)‪y − 6 = m( x − 8‬‬
‫ולאחר מכן את המשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫)‪(13.1‬‬
‫‪− mx + y + 8m − 6 = 0‬‬
‫ב( קבלו את המשוואה הבאה של הישר ‪: CD‬‬
‫)‪y + 2 = m( x − 2‬‬
‫ולאחר מכן את המשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫)‪(13.2‬‬
‫‪− mx + y + 2m + 2 = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪289‬‬
‫ג( קבלו את המשוואה הבאה של הישר ‪: BC‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 9‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y +1 = −‬‬
‫ולאחר מכן את המשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫‪x + my + m − 9 = 0‬‬
‫)‪(13.3‬‬
‫ד( קבלו את המשוואה הבאה של הישר ‪: AD‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( x − 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y −5 = −‬‬
‫ולאחר מכן את המשוואה הבאה של ישר זה‪:‬‬
‫‪x + my − 5m − 1 = 0‬‬
‫)‪(13.4‬‬
‫ה( המרחק בין הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬שווה לאורך הקטע ‪ , BC‬אך כדי לחשב את המרחק‬
‫בין הישרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬אפשר גם להיעזר בנוסחה הבאה לחישוב מרחק ‪ d‬בין הישרים‬
‫‪ ax + by + c1 = 0‬ו‪: ax + by + c2 = 0 -‬‬
‫| ‪| c1 − c2‬‬
‫)‪(13.5‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫=‪d‬‬
‫בעזרת נוסחה זו ובהסתמך על משוואות )‪ (13.1‬ו‪ (13.2)-‬קבלו כי‬
‫)‪(13.6‬‬
‫| ‪| 6m − 8‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫=‬
‫| )‪| (8m − 6) − (2m + 2‬‬
‫‪(− m) 2 + 12‬‬
‫= ‪BC‬‬
‫ו( בהסתמך על משוואות )‪ (13.3‬ו‪ (13.4)-‬קבלו בעזרת נוסחה )‪ (13.5‬כי‬
‫)‪(13.7‬‬
‫| ‪| 6m − 8‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫=‬
‫| )‪| (m − 9) − (−5m − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 +m‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪. AB‬‬
‫משורות )‪ (13.6‬ו‪ (13.7)-‬נובע כי מתקיים‪:‬‬
‫‪. AB = BC‬‬
‫מכאן המלבן הנתון הוא ריבוע‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪290‬‬
‫עקרונות הפתרון לסעיף ב'‪.‬‬
‫על סמך שורה )‪ (13.7‬והנתון בבעיה קבלו את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪= 10‬‬
‫| ‪| 6m − 8‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫העלו את המשוואה האחרונה )את שני אגפיה( בריבוע‪ .‬תקבלו את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪(6m − 8) 2‬‬
‫‪= 100‬‬
‫‪m2 + 1‬‬
‫כאשר תפתרו את המשוואה האחרונה תקבלו כי שיפוע ‪ m‬של הישר ‪) AB‬וגם השיפוע של‬
‫‪3‬‬
‫הישר ‪ ( CD‬שווה ל‪: − -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(13.8‬‬
‫‪m=−‬‬
‫לאחר מכן תוכלו למצוא את משוואות צלעותיו של הריבוע ‪ . ABCD‬לאחר שתקבלו את‬
‫משוואות אלו‪ ,‬תוכלו למצוא את שיעורי הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬כשיעורי נקודות‬
‫החיתוך של ישרים מתאימים‪.‬‬
‫תשובה לסעיף ב'‪. D(−2,1) , C (6, −5) , B(12,3) , A(4,9) :‬‬
‫הערה‪ .‬אפשר להראות כי הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬נמצאות על צלעות המלבן הנתון‪.‬‬
‫הטענה שהנקודה )‪ E (8, 6‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬של הריבוע ‪ ABCD‬נובע מטענה‬
‫הישר ‪ AB‬עובר דרך הנקודה )‪, E (8, 6‬‬
‫המתקיימת על פי הנתון בבעיה‪ ,‬ומאי השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪. x A < xE < xB‬‬
‫אם ברצונכם להוכיח זאת בלי להיעזר בשיעורי הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ , D -‬עליכם‬
‫להוכיח כי הנקודות ‪ E‬ו‪ G -‬נמצאות בין הישרים ‪ BC‬ו‪ , AD -‬ואילו הנקודות ‪ F‬ו‪H -‬‬
‫נמצאות בין הישרים ‪ AB‬ו‪. CD -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪291‬‬
‫בעיה ‪ .14‬מצאו את משוואת המעגל המשיק לציר ה‪ x -‬והעובר דרך הנקודות )‪ A(1, −2‬ו‪-‬‬
‫)‪. B(−1, −4‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫משוואת המעגל שמרכזו )‪ M (a, b‬ורדיוסו ‪ R‬היא‬
‫‪( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2‬‬
‫לכן הבעיה הנוכחית היא בעיה עם שלושה הנעלמים הבאים‪ b , a :‬ו‪ . R -‬הרכיבו שלוש‬
‫משוואות עם שלושה נעלמים אלו‪.‬‬
‫את שתי המשוואות הראשונות הרכיבו בהסתמך על כך שנקודות )‪ A(1, −2‬ו‪B(−1, −4) -‬‬
‫נמצאות על המעגל הנתון‪.‬‬
‫את המשוואה השלישית הרכיבו בהסתמך על כך שהמעגל משיק לציר ה‪ . x -‬הביאו‬
‫בחשבון שאם מעגל משיק לציר ה‪ x -‬ועובר דרך נקודה הנמצאת מתחת לציר זה‪ ,‬אז גם‬
‫מרכז המעגל נמצא מתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫מערכת המשוואות אשר תקבלו תהיה שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫‪(a − 1) 2 + (b + 2)2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(a + 1) + (b + 4) = R‬‬
‫‪ R = −b‬‬
‫‪‬‬
‫לאחר שתחסרו מהמשוואה השנייה של המערכת האחרונה את המשוואה הראשונה שלה‪,‬‬
‫ובמשוואה אשר תתקבל תבצעו פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים‪ ,‬תקבלו את‬
‫המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪(a − 1) 2 + (b + 2)2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4a + 4b + 12 = 0‬‬
‫‪ R = −b‬‬
‫‪‬‬
‫המערכת האחרונה שקולה למערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪292‬‬
‫‪(a − 1) 2 + (b + 2)2 = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a = −b − 3‬‬
‫‪ R = −b‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר תציבו במשוואה הראשונה של המערכת האחרונה לפי המשוואות השנייה והשלישית‬
‫שלה‪ ,‬תקבלו משוואה ריבועית עם הנעלם ‪ . b‬כאשר תפתרו משוואה זו תקבלו‪:‬‬
‫‪ b = −2‬או ‪b = −10‬‬
‫עבור כל אחד מערכים אלו של ‪ b‬מצאו את ‪ a‬ואת ‪. R‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4‬או ‪( x − 7)2 + ( y + 10)2 = 100‬‬
‫בעיה ‪ .15‬מצאו את משוואות המשיקים למעגל ‪ ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬המקבילים‬
‫לישר ‪. 4 x + 3 y = 0‬‬
‫עקרונות הפתרון א'‪.‬‬
‫מצאו את משוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל הנתון ומאונך לישר ‪. 4 x + 3 y = 0‬‬
‫לאחר מכן מצאו את נקודות החיתוך של הישר האחרון עם המעגל‪ .‬עליכם לקבל את שתי‬
‫‪3‬‬
‫הנקודות הבאות‪ . (−1, 0) , (5,8) :‬מצאו את משוואת הישר ששיפועו‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫נקודה )‪ . (5,8‬לאחר מכן מצאו את משוואת הישר ששיפועו גם הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪ −‬ואשר עובר דרך‬
‫‪ −‬אך הוא עובר דרך‬
‫נקודה )‪ . (−1, 0‬שני הישרים הם המשיקים שאת משוואותיהם התבקשתם למצוא‪.‬‬
‫תשובה‪. 3x + 4 y + 3 = 0 , 3x + 4 y − 47 = 0 :‬‬
‫עקרונות הפתרון ב'‪.‬‬
‫ישר ‪ ℓ‬משיק למעגל ‪ ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬ומקביל לישר ‪ 3x + 4 y = 0‬אך ורק אם‬
‫‪3‬‬
‫הוא מקיים את שני התנאים הבאים‪ :‬א( השיפוע של ישר ‪ ℓ‬שווה ל‪ ; − -‬ב( לישר ‪ℓ‬‬
‫‪4‬‬
‫ולמעגל הנתון יש נקודה אחת משותפת‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪293‬‬
‫על סמך התנאי הראשון מסיקים כי‬
‫‪3‬‬
‫‪ℓ: y = − x+n‬‬
‫‪4‬‬
‫לישר האחרון ולמעגל הנתון יש נקודה אחת משותפת אך ורק אם למערכת הבאה יש‬
‫פתרון יחיד )וליתר דיוק ‪ -‬שני פתרונות שווים(‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = − x + n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫הציבו במשוואה השנייה של מערכת זו לפי המשוואה הראשונה שלה‪ ,‬וקבלו את המערכת‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = − 4 x + n‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x − 2)2 + (− 3 x + n − 4) 2 = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫הראו כי המשוואה השנייה במערכת האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪25 x 2 + (32 − 24n) x + (16n 2 − 128n − 80) = 0‬‬
‫חשבו את הדיסקרימיננטה ∆ של המשוואה הריבועית האחרונה‪ .‬עליכם לקבל‪:‬‬
‫‪∆ = −1024n 2 + 11264n + 9024‬‬
‫פתרו את המשוואה ‪ . ∆ = 0‬עליכם לקבל כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪47‬‬
‫= ‪ n‬או‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n=−‬‬
‫מכאן תוכלו להסיק כי המשוואה של אחד המשיקים למעגל הנתון המקבילים לישר‬
‫‪3‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ y = − x +‬ואילו המשוואה של המשיק השני היא‬
‫‪ 3x + 4 y = 0‬היא‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. y = − x−‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪294‬‬
‫אף על פי שהדרך השנייה לפתרון הבעיה ארוכה בהרבה מהדרך הראשונה‪ ,‬הכרתה עשויה‬
‫לסייע לכם בעתיד‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון ג'‪.‬‬
‫ישר ‪ ℓ‬משיק למעגל ‪ ( x − 2)2 + ( y − 4) 2 = 25‬ומקביל לישר ‪ 3x + 4 y = 0‬אך ורק אם‬
‫הוא מקיים את שני התנאים הבאים‪ :‬א( הישר ‪ ℓ‬מיוצג על ידי משוואה כללית מן הצורה‬
‫הבאה‪ ; 3x + 4 y + c = 0 :‬ב( המרחק בין מרכז המעגל לישר ‪ ℓ‬ולמעגל הנתון שווה לרדיוס‬
‫המעגל‪.‬‬
‫עליכם להגיע למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪=5‬‬
‫| ‪| 3⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + c‬‬
‫‪32 + 42‬‬
‫כאשר תפתרו את המשוואה האחרונה תקבלו כי‬
‫‪ c = −47‬או ‪c = 3‬‬
‫מכאן תגיעו אל התשובה הרשומה לעיל‪.‬‬
‫בעיה ‪ .16‬הנקודה )‪ M (10, 4‬היא אמצע המיתר המחבר את שתי נקודות הנמצאות על‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫אליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪625 25‬‬
‫‪ .‬מצאו את השיעורים של קצוות המיתר‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫אם תסמנו את קצוות המיתר ב‪ A( x1 , y1 ) -‬ו‪ , B( x2 , y2 ) -‬תוכלו להמשיך מכאן בדרך‬
‫הבאה‪:‬‬
‫הרכיבו מערכת של ארבע משוואות עם ארבעה הנעלמים הבאים‪. y2 , x2 , y1 , x1 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪295‬‬
‫את שתי המשוואות הראשונות הרכיבו בהסתמך על כך שהנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫האליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪625 25‬‬
‫‪ .‬את שתי המשוואות הבאות הרכיבו בהסתמך על‬
‫כך שהנקודה )‪ M (10, 4‬היא אמצע הקטע ‪ . AB‬עליכם לקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ x12 y12‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 625 25‬‬
‫‪ x2 2 y2 2‬‬
‫‪ 625 + 25 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1 + x2 = 10‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y1 + y2 = 4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫)‪(16.1‬‬
‫מכאן תוכלו להמשיך בשתי הדרכים הבאות‪:‬‬
‫המשך א'‪.‬‬
‫במשוואה השלישית של המערכת האחרונה בודדו את ‪ , x2‬ובמשוואה הרביעית של‬
‫מערכת זו בודדו את ‪ ; y2‬לאחר מכן הציבו במשוואה השנייה של המערכת לפי המשוואות‬
‫שיתקבלו מהמשוואות השלישית והרביעית‪ .‬עליכם לקבל את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ x12 y12‬‬
‫‪ 625 + 25 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (20 − x1 )2 (8 − y1 ) 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪625‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2 = 20 − x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y2 = 8 − y1‬‬
‫)‪(16.2‬‬
‫פתרו את המערכת‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪296‬‬
‫‪ x12 y12‬‬
‫‪ 625 + 25 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (20 − x1 ) + (8 − y1 ) = 1‬‬
‫‪ 625‬‬
‫‪25‬‬
‫)‪(16.3‬‬
‫המורכבת משתי המשוואות הראשונות של מערכת )‪ (16.2‬בדרך הבאה‪ :‬החסירו‬
‫מהמשוואה השנייה של מערכת )‪ (16.3‬את המשוואה הראשונה שלה‪ ,‬ובודדו את ‪) x1‬או את‬
‫‪ ( y1‬במשוואה אשר תתקבל‪ .‬לאחר מכן הציבו לפי התוצאה אשר תקבלו במשוואה‬
‫הראשונה של המערכת המדוברת‪ .‬תקבלו משוואה ריבועית עם הנעלם ‪) y1‬או עם הנעלם‬
‫‪ .( x1‬אני מקווה שמכאן תוכלו להמשיך בעצמכם‪.‬‬
‫המשך ב'‪.‬‬
‫מצאו את השיפוע של הישר ‪ AB‬בדרך הבאה‪:‬‬
‫החסירו מהמשוואה השנייה של המערכת )‪ (16.1‬את המשוואה הראשונה שלה‪ .‬תקבלו‬
‫את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x2 2 − x12 y2 2 − y12‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪625‬‬
‫‪25‬‬
‫משוואה זו שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(16.4‬‬
‫) ‪( y2 − y1 )( y2 + y1‬‬
‫) ‪( x − x )( x + x‬‬
‫‪=− 2 1 2 1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪625‬‬
‫המשוואה השלישית במערכת )‪ (16.1‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(16.5‬‬
‫‪x2 + x1 = 20‬‬
‫המשוואה הרביעית במערכת )‪ (16.1‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(16.6‬‬
‫‪y2 + y1 = 8‬‬
‫הציבו במשוואה )‪ (16.4‬לפי משוואות )‪ (16.5‬ו‪ .(16.6)-‬תקבלו את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪297‬‬
‫) ‪8( y2 − y1‬‬
‫) ‪20( x2 − x1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪25‬‬
‫‪625‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪y2 − y1 = −‬‬
‫כאשר תחלקו את המשוואה האחרונה ב‪ , ( x2 − x1 ) -‬תקבלו‪:‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫‪10‬‬
‫מכאן עליכם להסיק כי‪:‬‬
‫‪mAB = −0.1‬‬
‫)‪(16.7‬‬
‫לאחר שתקבלו את שוויון )‪ (16.7‬יהיו ברשותכם השיפוע של הישר ‪ AB‬והשיעורים של‬
‫אחת הנקודות הנמצאות עליו‪ .‬תוכלו למצוא את משוואת הישר ‪ AB‬ולאחר מכן את‬
‫השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬כשיעורי נקודות החיתוך של ישר זה עם האליפסה‬
‫הנתונה‪.‬‬
‫לאמתו של דבר עליכם עוד להבהיר כי הנקודה ‪ M‬היא לא אמצע המיתר של האליפסה‬
‫המונח על הישר ‪. x = 10‬‬
‫תשובה‪. (20,3) , (0,5) :‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫בעיה ‪ .17‬באליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫שווים זה לזה‪ .1‬הוכיחו שכל צלע של המלבן הנתון מקבילה לאחד מצירי האליפסה‪.‬‬
‫חסום מלבן‪ .‬נתון כי צירי האליפסה לא‬
‫‪ 1‬כלומר נתון כי האליפסה אינה מעגל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪298‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫ראשית הוכיחו את הטענה הבאה‪:‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫עבור כל נקודה שנמצאת בתוך האליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫)‪(17.1‬‬
‫‪ ,‬ואינה‬
‫מתלכדת עם ראשית הצירים‪ ,‬קיים לא יותר מאשר מיתר אחד שהנקודה היא‬
‫אמצעו‪.‬‬
‫לאמתו של דבר אפשר להוכיח )אך אין בזה צורך עבור פתרון הבעיה הנוכחית( כי‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫עבור כל נקודה שנמצאת בתוך האליפסה שמשוואתה ‪= 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫‪ ,‬ואינה‬
‫מתלכדת עם ראשית הצירים‪ ,‬קיים מיתר אחד ויחיד שהנקודה היא אמצעו‪.‬‬
‫נציין גם שאם נוציא מטענה )‪ (17.1‬את הדרישה שלפיה הנקודה הנזכרת בטענה זו נמצאת‬
‫בתוך האליפסה – שוב נקבל טענה נכונה‪.‬‬
‫כדי להוכיח את טענה )‪ (17.1‬התבוננו בנקודה שרירותית ‪ M‬הנמצאת בתוך האליפסה‬
‫הנתונה ותניחו שאחד מקצוותיו של מיתר שהנקודה ‪ M‬היא אמצעו נמצא בנקודה‬
‫) ‪ ( x1 , y1‬והקצה השני – בנקודה ) ‪ . ( x2 , y2‬לאחר מכן הוכיחו כי מתקיים‪:‬‬
‫) ‪( y2 − y1 )( y1 + y2‬‬
‫) ‪( x − x )( x + x‬‬
‫‪=− 2 1 2 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫אם תתקשו בכך‪ ,‬קראו את הנאמר בפתרון הבעיה הקודמת‪.‬‬
‫בהסתמך על השוויון האחרון ועל כך שנקודה ‪ M‬היא אמצע הקטע המחבר את הנקודות‬
‫) ‪ ( x1 , y1‬ו‪ , ( x2 , y2 ) -‬הוכיחו כי מתקיים‪:‬‬
‫)‪(17.2‬‬
‫‪( y2 − y1 ) yM‬‬
‫‪(x − x )x‬‬
‫‪= − 2 21 M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫לאחר שתוכיחו את שוויון )‪ ,(17.2‬התבוננו במקרים הבאים‪ :‬א( מתקיים‪x1 = x2 :‬‬
‫‪ yM ≠ 0 ,‬ב( מתקיים‪ x1 ≠ x2 :‬וגם ‪ ; yM ≠ 0‬ג( מתקיים‪. yM = 0 , xM ≠ 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪299‬‬
‫הוכיחו בעזרת שוויון )‪ (17.2‬כי אין אף מיתר של האליפסה שעבורו מתקיים ‪x1 = x2‬‬
‫‪. yM ≠ 0 ,‬‬
‫במקרה שבו מתקיים ‪ x1 ≠ x2‬וגם ‪ , yM ≠ 0‬תקבלו משוויון )‪ (17.2‬את השוויון הבא‪:‬‬
‫‪y2 − y1‬‬
‫‪b2 x‬‬
‫‪=− 2 M‬‬
‫‪x2 − x1‬‬
‫‪a yM‬‬
‫‪b 2 xM‬‬
‫לאחר מכן היעזרו בכך שקיים ישר אחד ויחיד ששיפעו שווה ל‪-‬‬
‫‪a 2 yM‬‬
‫‪ −‬ואשר עובר דרך‬
‫נקודה ‪ M‬נתונה‪.‬‬
‫נציין שעליכם גם להוכיח שאם מתקיים ‪ , yM = 0 , xM ≠ 0‬אז המיתר באליפסה הנתונה‬
‫שהנקודה ‪ M‬היא אמצעו נמצא על הישר שמשוואתו ‪ . x = xM‬גם את זה תוכלו להוכיח‬
‫בעזרת שוויון )‪.(17.2‬‬
‫לאחר שתוכיחו את טענה )‪ (17.1‬תוכלו להוכיח כי‬
‫)‪(17.3‬‬
‫נקודת המפגש של אלכסוני המלבן הנתון מתלכדת עם ראשית הצירים‪.‬‬
‫לאחר שתוכיחו את טענה )‪ ,(17.3‬עליכם להיעזר בכך שקודקודי המלבן הנתון הם נקודות‬
‫משותפות לאליפסה הנתונה ולמעגל כלשהו שמרכזו נמצא בראשית הצירים‪ .2‬התבוננו‬
‫במערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ x2 y 2‬‬
‫‪ 2 + 2 =1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ x2 + y 2 = R2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(17.4‬‬
‫וגם במערכת הבאה‪:‬‬
‫)‪(17.5‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ 2 + 2 =1‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪u + v = R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬קודקודיו של כל מלבן נמצאים על אותו מעגל שמרכזו הוא נקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪300‬‬
‫)את המערכת האחרונה מקבלים ממערכת )‪ (17.4‬בעזרת ההצבה הבאה‪.( y 2 = v , x 2 = u :‬‬
‫הוכיחו כי למערכת )‪ (17.5‬יש פתרון יחיד‪ .‬לאחר מכן הראו שאם זוג המספרים הסדור‬
‫) ‪ (u0 , v0‬הוא פתרון של מערכת משוואות זו‪ ,‬אז‬
‫א( למערכת )‪ (17.4‬יש ארבעה פתרונות שונים זה מזה אך ורק אם מתקיים‪u0 > 0 :‬‬
‫וגם ‪; v0 > 0‬‬
‫ב( אם מתקיים‪ u0 > 0 :‬וגם ‪ , v0 > 0‬אז פתרונות המערכת )‪ (17.4‬הם‪, ( u0 , v0 ) :‬‬
‫) ‪ ( u0 , − v0 ) , (− u0 , v0‬ו‪. (− u0 , − v0 ) -‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪+‬‬
‫בעיה ‪ .18‬הוכיחו כי לא קיימת על האליפסה ‪= 1‬‬
‫‪100 64‬‬
‫אף נקודה שממנה רואים‬
‫בזווית ישרה את הקטע המחבר את הנקודות )‪ A(−7, 0‬ו‪. B(7, 0) -‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫הוכיחו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את הקטע ‪ AB‬בזווית ישרה‬
‫הוא מעגל )להוציא הנקודות ‪ A‬ו‪ ( B -‬שמשוואתו ‪) x 2 + y 2 = 49‬ראו פרק ‪ .(12‬לאחר מכן‬
‫הראו כי למערכת המורכבת מהמשוואה האחרונה וממשוואת האליפסה הנתונה אין אף‬
‫פתרון‪.‬‬
‫בעיה ‪ .19‬המרובע ‪ ABCO‬הוא טרפז שווה שוקיים‪ ,‬והצלעות ‪ AB‬ו‪ CO -‬הן בסיסיו‪.‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא ראשית הצירים‪ .‬הבסיס ‪ CO‬של הטרפז גדול פי שלושה מהבסיס ‪. AB‬‬
‫קודקוד ‪ A‬של הטרפז ‪ ABCO‬נמצא במרחקים שווים מן הישר ‪ x = −2‬ומן הנקודה‬
‫)‪ , (2, 0‬קודקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪ x -‬מימין לנקודה ‪ . O‬מצאו את המקום הגיאומטרי של‬
‫נקודות מפגש האלכסונים בטרפזים המקיימים את התנאים הנ"ל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪301‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫סמנו ב‪ P -‬את נקודת מפגש האלכסונים בטרפז ‪ . ABCO‬הרכיבו מערכת של חמש‬
‫משוואות עם ששת הנעלמים הבאים‪ . yC , xC , y A , xA , yP , xP :‬עליכם לקבל את‬
‫המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y A2 = 8 x A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x A + xC‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 y A + yC‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ yP‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xC = 2 xP‬‬
‫הציבו במשוואה השלישית של מערכת זו לפי המשוואה החמישית שלה‪ ,‬ובמשוואה‬
‫הרביעית לפי המשוואה השנייה‪ .‬תקבלו את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yA2 = 8 xA‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yC = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x A + 2 xP‬‬
‫= ‪ xP‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 yA‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yP = 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xC = 2 xP‬‬
‫בודדו את ‪ xA‬במשוואה השלישית של המערכת האחרונה ואת ‪ y A‬במשוואה הרביעית של‬
‫המערכת‪ .‬לאחר מכן הציבו לפי התוצאות שתקבלו במשוואה הראשונה של המערכת‪ .‬בדרך‬
‫זו תקבלו את המשוואה של המקום הגיאומטרי המדובר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪302‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y 2 = 8x‬‬
‫‪y 2 = 3x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪( xP , 0‬‬
‫)‪(2, 0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x = −2‬‬
‫תשובה‪ :‬פרבולה ‪) y 2 = 3 x‬להוציא ראשית הצירים(‪.‬‬
‫בעיה ‪ .20‬נתון מלבן שאורכו ‪ 8‬ס"מ ורוחבו ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום ריבועי מרחקיהן מצלעות המלבן‬
‫גדול ב‪ ( p > 0 ) p -‬מריבוע מרחקיהן מנקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫בבעיה זו לא נתונה שום מערכת צירים‪ .‬הבה נתבונן במערכת הצירים שבה קודקודי‬
‫המלבן נמצאים בנקודות )‪ (4, −3) , (4,3) , (−4,3‬ו‪ . (−4, −3) -‬במערכת צירים זו ציר ה‪-‬‬
‫‪ x‬חוצה את צלעות המלבן הנתון שאורכן ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬ציר ה‪ y -‬חוצה את צלעות המלבן‬
‫שאורכן ‪ 8‬ס"מ‪ ,‬וראשית הצירים נמצאת בנקודת המפגש של אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫במערכת הצירים שבה בחרנו המקום הגיאומטרי המדובר הוא האוסף של כל הנקודות‬
‫במישור המקיימות את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪( x − 4)2 + ( x + 4)2 + ( y − 3) 2 + ( y + 3) 2 = x 2 + y 2 + p‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪303‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x 2 + y 2 = p − 50‬‬
‫תשובה‪ :‬אם ‪ , p > 50‬אז המקום הגיאומטרי הנתון הוא המעגל שמרכזו נמצא בנקודת‬
‫מפגש אלכסוני המלבן; אם ‪ , p = 50‬אז המקום הגיאומטרי הנתון הוא נקודת מפגש‬
‫אלכסוני המלבן; אם ‪) 0 < p < 50‬לפי הנתון ‪ ,( p > 0‬אז המקום הגיאומטרי המדובר הוא‬
‫קבוצה ריקה‪.‬‬
‫בעיה ‪ .21‬מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים לישר‬
‫שמשוואתו ‪ y = x‬ומקצים על ציר ה‪ y -‬את הקטע שאורכו ‪ 2‬יח'‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫נסמן ב‪ P -‬את מרכזו של מעגל שרירותי המקיים את כל התנאים הנזכרים בבעיה‪ ,‬נסמן‬
‫ב‪ A -‬את הנקודה שבה הישר שמשוואתו ‪ y = x‬משיק למעגל זה‪ ,‬וב‪ B -‬את נקודת‬
‫החיתוך של המעגל ששיעור ה‪ y -‬שלה גדול משיעור ה‪ y -‬של נקודת החיתוך השנייה של‬
‫המעגל עם ציר זה‪.‬‬
‫אילו היו נתונים השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬היינו יכולים למצוא את שיעורי‬
‫הנקודה ‪ . P‬לכאורה עלינו להרכיב מערכת של חמש משוואות עם שישה הנעלמים הבאים‪:‬‬
‫‪ , yB , xB , y A , xA , yP , xP‬אך אם ניעזר בנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר‪ ,‬נוכל‬
‫להוציא את שיעורי הנקודה ‪ A‬מרשימת הנעלמים ולנסות להרכיב מערכת של שלוש‬
‫משוואות עם ארבעה הנעלמים הבאים‪ . yB , xB , yP , xP :‬את אחת המשוואות אפשר‬
‫לרשום מיד‪ . xB = 0 :‬מהנאמר נובע כי בשלב הבא של פתרון הבעיה יש להרכיב שתי‬
‫משוואות‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬בהרבה בעיות שבהן נזכרים מעגלים שרדיוסיהם משתנים כאשר‬
‫הנקודה ‪ P‬נעה לאורך המקום הגיאומטרי עדיף להוסיף את הרדיוסים אל קבוצת‬
‫הנעלמים‪.‬‬
‫לכן סמנו ב‪ R -‬את רדיוס המעגל‪ ,‬והרכיבו מערכת של ארבע משוואות עם חמשת הנעלמים‬
‫הבאים‪ . R , yB , xB , yP , xP :‬כפי שכבר אמרנו‪ ,‬את אחת המשוואות אפשר לרשום מיד‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪304‬‬
‫זאת המשוואה הבאה‪ . xB = 0 :‬נותר לכם להרכיב שלוש משוואות‪ .‬עליכם להגיע למערכת‬
‫הבאה‪:‬‬
‫| ‪ | xP − y P‬‬
‫‪=R‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( xB − xP ) + ( y B − y P ) = R‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪ B‬‬
‫‪ yB = yP + 1‬‬
‫או למערכת השקולה לה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪B(0, yP + 1‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪(0, yP‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪(0, yP − 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y=x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫על סמך מערכת זו תוכלו לקבל את המשוואה הבאה של המקום הגיאומטרי המדובר‪:‬‬
‫‪( xP − y P ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫המשוואה האחרונה שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫= ‪xP 2 + 1‬‬
‫‪x P 2 + 2 x P y P − y P 2 = −2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪x 2 + 2 xy − y 2 = −2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪305‬‬
‫בעיה ‪ .22‬מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים לציר ה‪x -‬‬
‫ומקצים על ישר שמשוואתו ‪ y = x‬קטע שאורכו ‪ 2‬יח'‪.‬‬
‫עקרונות הפתרון‪.‬‬
‫חיברתי בעיה זו כדי להדגים שוב כיצד בעזרת שימוש בתכונות של אורכי קטעים‬
‫ובנוסחאות למרחקים אפשר לעתים להקטין את מספר הנעלמים שעבורם צריך להרכיב‬
‫משוואות שבעזרתן אפשר למצוא את המשוואה של מקום גיאומטרי‪.‬‬
‫התבוננו בציור שלהלן ונסו להרכיב מערכת של שתי משוואות עם שלושה הנעלמים‬
‫הבאים‪. yP , xP , R :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y=x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫לשם כך היעזרו בנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה לישר ובשוויון‬
‫‪. BM 2 + MP 2 = BP 2‬‬
‫אשר מתקיים לפי משפט פיתגורס‪ .‬עליכם להגיע למערכת הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫חלק ב'‪ :‬לחכם די בשתי מילים‬
‫‪306‬‬
‫‪| yP |= R‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  | xP − y P | ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + ‬‬
‫‪ =R‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫למשוואה הראשונה במערכת זו תוכלו להגיע בלי להשתמש בנוסחה לחישוב מרחק בין‬
‫נקודה לישר‪.‬‬
‫תשובה‪x 2 − 2 xy − y 2 = −2 :‬‬
‫הערה‪ .‬אם בציור האחרון נסובב את צירי השיעורים סביב ראשית הצירים ‪ O‬בזווית‬
‫‪ 135°‬בניגוד לכיוון השעון‪ ,‬נקבל את הבעיה הקודמת‪ .‬נסמן ב‪ X -‬את השיעור הראשון‬
‫במערכת הצירים אשר נבנתה על ידי הסיבוב המתואר לעיל‪ .‬את השיעור השני במערכת זו‬
‫נסמן ב‪ . Y -‬בהסתמך על התשובה לבעיה ‪ 21‬אפשר לרשום את המשוואה הבאה של המקום‬
‫הגיאומטרי המתואר בבעיה ‪:22‬‬
‫‪X 2 + 2 XY − Y 2 = −2‬‬
‫)‪(22.1‬‬
‫אם ‪ X E‬הוא השיעור הראשון של נקודה ‪ E‬במערכת הצירים החדשה‪ ,‬ו‪ YE -‬הוא השיעור‬
‫השני של הנקודה במערכת צירים זו‪ ,‬אז מהם שיעורי הנקודה ‪ E‬במערכת הצירים‬
‫המקורית? מהם השיעורים ‪ xE‬ו‪ yE -‬של הנקודה ‪? E‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו סובבו את הווקטור ‪ OE‬סביב ראשית הצירים ‪ O‬בזווית ‪135°‬‬
‫בכיוון השעון‪ .‬סמנו ב‪ F -‬את סוף הווקטור אשר יתקבל באמצעות הסיבוב‪ ,‬וענו על‬
‫השאלה הבאה‪ :‬מהו קשר בין שיעורי נקודה ‪ E‬במערכת הצירים החדשה לבין שיעורי‬
‫נקודה ‪ F‬במערכת הצירים המקורית?‬
‫התשובה לשאלה זו היא‪:‬‬
‫‪X E = xF , YE = yF ,‬‬
‫מכאן‬
‫) ‪X E + iYE = [cos(−135°) + i sin(−135°)]( xE + iyE‬‬
‫על סמך השוויון האחרון מקבלים כי‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬
‫שיטות חשיבה בגיאומטריה אנליטית‬
‫‪307‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( xE − yE ), YE = −‬‬
‫) ‪( xE + y E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪XE = −‬‬
‫כאשר תציבו במשוואה )‪ (22.1‬לפי השוויונים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x − y ), X = −‬‬
‫)‪( x + y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X =−‬‬
‫תקבלו משוואה השקולה למשוואה ‪ x 2 − 2 xy − y 2 = −2‬הרשומה בתשובה לבעיה ‪.20‬‬
‫מדוע חשוב לי לציין זאת?‬
‫כדי להזכיר שתמיד יש מקום להתפתחות נוספת‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למיכאל בלאוסוב – אין לצלם ולהעתיק ספר זה‬