פתרונות מלאים למבחנים 11, 12, 13, 14, 15, 16
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 11
שאלה 1
א .נסמן את שיעור ה x-של הנקודה Aבאמצעות .t
) y 2 = 9 x → y = 9 x → A(t , 9t
נמצא את משוואת המשיק באמצעות נוסחת המשיק לפרבולה
) , yy0 = p ( x + x0כמו כן נשים לב כי : p = 4.5
4.5 x + 4.5t
= y 9t = 4.5( x + t ) → y
9t
בנקודה Cשיעור ה y-של המשיק שווה ל:0-
4.5 x + 4.5t
=0
)→ 4.5 x + 4.5t = 0 → x = −t → C ( −t ,0
9t
רדיוס המעגל הוא 10יחידות וזהו המרחק שבין הנקודות Aו:C-
→ 100 = 4t 2 + 9t → 4t 2 + 9t − 100 = 0
)
2
9t
( (t − (−t ) )2 +
= 10
פתרונות המשוואה הריבועית הם t = 4 :ו . t = −6.25 -הנקודה Aברביע הראשון ולכן הפתרון השלילי נפסל.
2
מכאן ששיעורי מרכז המעגל הם ) , C (−4,0ומשוואת המעגל היא. ( x + 4 ) + y = 100 :
2
ב .נתבונן בשרטוט:
נסמן את מרכז המעגל שמרכזו O3באמצעות פרמטרים:
) , O3 (t , kואת רדיוסו כ .R-ניתן לראות כי המרחק בין מרכז
המעגל O3לבין מרכז המעגל O1הוא .R+2כמו כן ניתן לראות כי
המרחק בין מרכז המעגל O3לבין מרכז המעגל O2הוא .14-R
נבנה שתי משוואות בהתאם:
R
) O3 (t , k
R
14 − R
2
) O1 (4,0
) O 2 (− 4,0
( I ) R + 2 = (t − 4) 2 + k 2 → R 2 + 4 R + 4 = t 2 − 8t + 16 + k 2 → R 2 = t 2 − 8t + 12 + k 2 − 4 R
( II ) 14 − R = (t + 4) 2 + k 2 → 196 − 28 R + R 2 = t 2 + 8t + 16 + k 2 → R 2 = t 2 + 8t + k 2 − 180 + 28 R
t
נשווה בין Iו:II -
t 2 − 8t + 12 + k 2 − 4 R = t 2 + 8t + k 2 − 180 + 28 R → 32 R = 192 − 16t → R = 6 −
2
נציב את ערך Rבאחת המשוואות Iאו IIונקבל:
2
t
t
t2
2
2
2
2
→ 6 − = t − 8t + 12 + k − 4 6 − → 36 − 6t + = t − 8t + 12 + k − 24 + 2t
2
2
4
x2 y2
t2
t2 k2
2
2
2
2
2
2
2
+
=1
→ 48 + = t + k → 192 + t = 4t + 4k → 3t + 4k = 192
+
→=1
64 48
4
64 48
המקום הגיאומטרי המתקבל הוא אליפסה קנונית.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 281
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 2
א .נשרטט במשולש ∆MNCגובה מהקדקוד Cאל הצלע
,MNהחותך אותה בנקודה .Dכך נוכל להביע את שטח
MN ⋅ CD
= . S ∆MNC
המשולש ∆MNCכ:
2
נוסיף את שיעורי הנקודה ) B (0,6,0לשרטוט )בעלת אותו
שיעור yכמו הנקודה ' ,Bונמצאת על ציר ה .(y-נשים לב כי
על פי חישובי זוויות ניתן לראות כי המשולש ∆ABOהוא
ישר זווית שווה שוקיים ,ונקבל את שיעורי הנקודה
) . A(6,0,0באופן דומה נמצא את שיעורי הנקודה
) . A' (6,0,6הנקודה Nהיא אמצע הקטע ' O'Bולכן שיעוריה
הם . N (0,3,6) :באופן דומה נקבל את שיעורי הנקודה
) . M (3,0,6נחשב את אורך הקטע :MN
→ d MN = 18
(3 − 0)2 + (0 − 3)2 + (6 − 6)2
= d MN
ניתן לראות כי MNהוא קטע אמצעים במשולש ' , ∆A' B' Oמכאן ש . MN || A' B ' :כמו כן , AB || A' B ' ,ולכן על פי
כלל המעבר . MN || AB :כעת ,ניתן לראות כי אורכו של הקטע CDהוא למעשה המרחק שבין שני הישרים
המקבילים ABו .MN -נבחר באופן אקראי נקודה על הישר ,MNלמשל הנקודה ) , N (0,3,6ונחשב את מרחקה
מהישר .ABההצגה הפרמטרית של ABהיא:
)x : (6,0,0) + t (0 − 6,6 − 0,0 − 0) → x : (6,0,0) + t (−6,6,0) → x : (6,0,0) + t (−1,1,0
כדי לחשב את המרחק של הנקודה Nמהישר ,ABיש למצוא אנך
לישר ABהעובר דרך הנקודה .Nנעשה זאת בעזרת הנקודה הכללית
Pהמייצגת את הישר . P (6 − t , t ,0) :ABכיוונו של הווקטור NP
הוא , (6 − t − 0, t − 3,0 − 6) :ולאחר סידור. (6 − t , t − 3,−6) :
הוקטורים NPו AB -מאונכים זה לזה ,ומכפלת כיווניהם היא .0
כלומר מתקיים . (6 − t , t − 3,−6) ⋅ ( −1,1,0) = 0 :מתקבלת המשוואה
t − 6 + t − 3 = 0שפתרונה. t = 4.5 :
נציב t = 4.5בהצגה הפרמטרית של הישר ABונקבל את הנקודה ). P (1.5,4.5,0
אורך הוקטור NPהוא . d NP = (1.5 − 0) 2 + ( 4.5 − 3) 2 + (0 − 6) 2 :כיוון שאורכו שווה לאורך הוקטור , NP
מתקיים . CD = 40.5 :נציב את אורכי הישרים MNו CD -בנוסחת השטח 13.5 :יח"ר = . S∆MNC = 18 ⋅ 40.5
2
ב .על מנת לחשב את הזווית שבין שני הישרים MBו ,A'N -נמצא תחילה את הוקטורים המחברים בין הנקודות:
)MB : (0 − 3,6 − 0,0 − 6) → MB : (−3,6,−6
)A' N : (0 − 6,3 − 0,6 − 6) → A' N : (−6,3,0
נחשב את הזווית שבין שני הווקטורים בעזרת המכפלה הסקלארית של שני הווקטורים:
36
MB ⋅ A' N
)(−3,6,−6) ⋅ (−6,3,0
18 + 18
→ α = 53.39°
= cos α
=
=
= → cos α
2
2
2
2
2
2
60
.
37
81 ⋅ 45
(−3) + 6 + (−6) (−6) + 3 + 0
MB ⋅ A' N
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 282
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ג .נתבונן בישר ,A'Nונמקם עליו את הנקודה .G
נשרטט את הווקטור , EFשהנקודה Gהיא אמצעו.
לפי הנתון FG = 2 ,ומכאן שאורך EFהוא 4יח' אורך.
9
הווקטור EFמקביל לווקטור , MBומכאן שהזווית שמצאנו בסעיף ב',
היא גם הזווית בין הוקטורים A' Nו. α = 53.39° : EF -
כמו שראינו בסעיף ב'. A' N = 45 ,
נחשב את שטח המרובע ,A'ENFבאמצעות מכפלת אורכי האלכסונים והזוית שביניהם:
45 ⋅ 4 ⋅ sin 53.39°
)יח"ר( → S A'ENF = 10.77
2
=
A' N ⋅ EF ⋅ sin 53.39°
2
= S A'ENF
שאלה 3
א .תחילה נסדר את המקומות הגיאומטריים הנתונים .נזכור כי כאשר Z = x + yi :מתקיים: Z = x 2 + y 2 :
2
2
x 2 + ( − y + 3) 2 = 5 → x + ( y − 3) = 25
→ i ⋅ Z + 3 = 5 → i ⋅ ( x + yi ) + 3 = 5 → xi − y + 3 = 5
→ Z − bi − a = 10 → x + yi − bi − a = 10 → x − a + ( y − b )i = 10 → ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = 10
( x − a) 2 + ( y − b) 2 = 100
מצאנו כי שני המקומות הגיאומטריים הם מעגלים ועלינו למצוא את שיעורי מרכז המעגל השני ,כלומר ,למצוא את
ערכם של aושל .b
4
נשרטט את המעגל הראשון ,ולצידו את המשיק ששיפועו . −
3
נסמן את שיעורי נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה y-כ. (0, n) :
4
בהתאם ,משוואת המשיק תהיה y = − x + n :ולאחר סידור:
3
. 4 x + 3 y − 3n = 0
רדיוס המעגל הוא המרחק שבין מרכז המעגל ) (0,3לבין המשיק.
נחשב את המרחק באמצעות נוסחת המרחק בין נקודה לישר.
לפי השרטוט ,הנקודה נמצאת מתחת לישר ונוכל לכתוב את נוסחת
המרחק ללא ערך מוחלט ,תוך הקפדה שהמקדם של yהוא חיובי:
9 − 3n
34
= = −5 → −3n = −34 → n
5
3
→ = −5
4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 − 3n
4 2 + 32
→ =d
ax + by + c
a2 + b2
מכאן ,שמשוואת המשיק היא. 4 x + 3 y − 34 = 0 :
)המשך הפתרון בעמוד הבא(
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 283
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
מרכזו של המעגל השני , ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = 100 ,נמצא על הישר , y = x − 14ולכן . b = a − 14 :נחשב את
המרחק שבין מרכז המעגל (a, a − 14) ,לבין המשיק . 4 x + 3 y − 34 = 0הפעם איננו יודעים האם הנקודה נמצאת
מעל או מתחת לישר ולכן לא נוכל לוותר על הערך המוחלט:
ax + by + c
4a + 3a − 42 − 34
→ =d
= 10 → 7 a − 76 = 50
2
2
a +b
4 2 + 32
במשוואה עם ערך מוחלט יש לבדוק את שתי אפשרויות המשוואה | : | 7 a − 76 = 50
7 a − 76 = 50 → 7a = 126 → a = 18
7 a − 76 = −50 → 7 a = 26 → a = 3.71
כיוון שנתון ששיעורי מרכז המעגל הם מספרים שלמים ,הרי שהפתרון הנכון הוא a = 18ובהתאם נקבל. b = 4 :
לסיכום -מרכז המעגל בנקודה ששיעוריה. (18, 4) :
1− k
ב .ראשית נפרק את המספר המרוכב + 0.25 ⋅ 16 k + 6i
1
Z 1 = 6 ⋅ לשיעורי xו y-במישור גאוס .נקבל:
4
1− k
+ 0.25 ⋅16 k
1
x = 6⋅
4
y=6
1 1− k
המספר יהיה בתוך המעגל x 2 + ( y − 3) 2 = 25כאשר המרחק בין הנקודה הכללית 6 ⋅ + 0.25 ⋅ 16 k ,6
4
לבין מרכז המעגל ) (0,3יהיה קטן מרדיוס המעגל ):(R=5
2
1 1− k
→ 6 ⋅ + 0.25 ⋅ 16 k − 0 + (6 − 3)2 < 5
4
2
2
6 ⋅ 4k
6 ⋅ 4k
+ 9 < 5 →
+ 0.25 ⋅ 4 2 k + 9 < 25 →
+ 0.25 ⋅ 4 2 k < 16
4
4
k
6⋅4
.נסמן : t = 4 k
נוציא שורש משני האגפים ונקבל + 0.25 ⋅ 4 2 k < 4 :
4
)
2k 2
+ 0.25 ⋅ 4
k −1
(6 ⋅ 4
6t
+ 0.25 ⋅ t 2 < 4 → 0.25t 2 + 1.5t − 4 < 0
4
המאפסים הם t = 2 :ו. t = −8 -
נשרטט את המאפסים על ציר ונצייר דרכם פרבולה 'מחייכת' )מקדם tהוא חיובי(:
ניתן לראות כי הפרבולה שלילית בתחום . − 8 < t < 2אולם ,יש לזכור כי , t = 4 kולכן בהכרח . t > 0כלומר
הפתרון המתאים הוא . 0 < t < 2 :נציב בחזרה t = 4 kונקבל כי:
0 < 4 k < 2 → 4 k < 4 0.5 → k < 0.5
2
נשים לב שאי השוויון השמאלי 0 < tמתקיים לכל tמכיוון ש . 4 k > 0 :ולכן התשובה הסופית היא. k < 0.5 :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 284
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 4
א .נמלא את הנתונים בטבלה:
כמות התחלתית M0
קצב הגידול q
דגים
y
עופות
x
q2
t
5y
q1
t
3x
זמן t
כמות סופית Mt
על פי הנוסחה M t = M 0 ⋅ q t :נבנה משוואה על פי הנתון המתייחס לעופות:
5 y = y ⋅ q2 → 5 = q2
) (II
t
t
נבנה משוואה על פי הנתון המתייחס לדגים:
לפי הנתון הנוסף . q2 = 1.02q1 :נציב ב (II)-ונקבל:
t
3x = x ⋅ q1 → 3 = q1
) (I
t
t
5 = q 2 → 5 = (1.02q1 ) → 5 = 1.02 t ⋅ q1
t
t
נציב את ) (Iונקבל:
) (ln
5
= →t
)שבועות( → t = 25.79
3
ln 1.02
ב .נציב את ערך tשמצאנו ב (I)-ונמצא את :q1
t
25.79
25.79
3 = q1 → 3 = q1
= → q1
3 → q1 = 1.043
כמו כן:
q2 = 1.02q1 → q2 = 1.02 ⋅ 1.043 → q2 = 1.064
5
3
= 5 = 1.02t ⋅ q1 → 5 = 1.02t ⋅ 3 → 1.02t
t
כעת נמלא את נתוני השאלה בטבלה:
כמות התחלתית M0
קצב הגידול q
זמן t
כמות סופית Mt
דגים
x
q2
t
t
x ⋅ q2
עופות
2x
q1
t
t
2 x ⋅ q1
על פי הנתון ,הכמות הסופית של הדגים גדולה פי שלושה מהכמות הסופית של העופות ולכן נקבל את המשוואה:
t
t
3 ⋅ 2 x ⋅ q1 = x ⋅ q2
נזכור כי q2 = 1.02q1 :ונקבל:
ln 6
t
t
t
t
= 6 ⋅ q1 = (1.02q1 ) → 6 ⋅ q1 = 1.02 t q1 → 6 = 1.02 t → t
)שבועות( → t = 90.48
ln1.02
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 285
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
tan x
e
א .הפונקציה:
cos 2 x
= ) f ( xאינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס .נשווה את המכנה ל:0-
+ πk
נבדוק אילו פתרונות נמצאים בתחום , − π ≤ x ≤ π :ונקבל כי הפתרונות הם:
2
2
π
2
π
2
= cos 2 x = 0 → cos x = 0 → x
= xו-
π
2
.x=−
sin x
= tan xולכן גם הוא אינו מוגדר כאשר . cos x = 0
נשים לב :במונה מופיע . tan xנזכור כי:
cos x
ב .נגזור את הפונקציה:
1
⋅ cos 2 x − (− 2 cos x sin x ) ⋅ e tan x
2
cos x
= 0 → e tan x + sin 2 x ⋅ e tan x = 0
4
cos x
+ πk
π
4
+ 2πk → x = −
π
2
⋅ e tan x
= )f ' ( x
e tan x (1 + sin 2 x ) = 0 → sin 2 x = −1 → 2 x = −
π
π
הפתרון היחיד בתחום ההגדרה הוא . x = −הצבה בפונקציה המקורית מעלה כי שיעורי הנקודה. − ,0.73 :
4
4
נבדוק את סוג נקודת הקיצון בעזרת טבלת עליה וירידה:
π
2
=x
π
2
<<x
π
4
−
π
אס'
π
4
x=−
פיתול
3
+
π
4
<x<−
π
π
2
−
π
2
−
x=−
תחום x
אס'
3
+
נציב בנגזרת
סימן הנגזרת
הפונקציה
minעולה/יורדת
max
π
כלומר ,הנקודה − ,0.73 היא נקודת פיתול ,ואין לפונקציה נקודות קיצון בתחום הנתון.
4
ג .נציב x=0בפונקציה המקורית ונקבל את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה. (0,1) :y-
e tan x
נשווה את הפונקציה ל ,0-כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה= 0 → e tan x = 0 :x-
2
cos x
הביטוי המעריכי אינו מתאפס ולכן אין לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה.x-
ד .מצאנו שאין לפונקציה נקודת חיתוך עם ציר ה x-אך מטבלת העליה והירידה
π
π
π
מצאנו שהפונקציה עולה עבור . − < x < − :מכאן נסיק כי בנקודה − ,0
4
2
2
יש נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה( .מצורף השרטוט המתאים:
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 286
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ה .תחילה נמצא את משוואת המשיק .נקודת ההשקה היא ) . (0,1נציב x=0בנגזרת כדי למצוא את שיפוע המשיק:
e tan x + sin 2 x ⋅ e tan x
e tan 0 + sin 0 ⋅ e tan 0
= )f ' ( x
= )→ f ' ( 0
=1
cos 4 x
cos 4 0
כלומר ,משוואת המשיק העובר דרך הנקודה ) (0,1היא:
y − 1 = 1( x − 0) → y = x + 1
נתבונן בשרטוט.
את השטח נחשב באמצעות האינטגרל:
e tan x
→ ∫π cos 2 x − ( x + 1) dx
−
=S
e tan x
∫π cos 2 x − x − 1dx
−
=S
0
4
0
4
)המשך בעמוד הבא(
קל לחשב את האינטגרל של הביטוי , − x − 1
e tan x
נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה .ראשית ,נסמן. u = tan x :
אך כדי לבצע אינטגרציה לביטוי
cos 2 x
du
1
2
=
.נבודד את dxונקבל. dx = cos x ⋅ du :
נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל:
dx cos 2 x
eu
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת dx :u
∫ = Sונציב בו: dx = cos 2 x ⋅ du :
cos 2 x
eu
eu
∫=S
dx
→
⋅ cos 2 x ⋅ du → ∫ e u du
2
2
cos x
cos x
u
u
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה∫ e du = e :
e tan x
נציב בחזרה u = tan xונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי
cos 2 x
0
e tan x
כעת נחזור ונבצע את האינטגרלdx :
−
x
−
1
S = ∫ במלואו:
2
cos
x
π
4
והוא. e tan x :
−
π
0
(− ) 2
π
2
2
(tan
−
)
e tan x
x
0
π
tan x
tan 0
4
4
S= ∫
− x − 1dx → S = e −
− x → S = e − −0− e
−
+
→
2
π
2
2
2
4
π cos x
−
−
4
4
2
1 π
π
S = 1 − −
)יח"ר( + → S = 1 − 0.844 → S = 0.155
e 32 4
0
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 287
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 12
שאלה 1
א .זוהי שאלת מקום גיאומטרי.
בתרגילים מסוג זה ,נפעל לפי ארבעת השלבים:
.1נסמן את הנקודה המבוקשת כ. P (t , k ) :
.2נביע את שאר הנתונים באמצעות הפרמטרים tו. k -
.3נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי
משוואת המקום הגיאומטרי באמצעות הפרמטרים tו. k -
.4לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים tוk -
בפרמטרים xו y -בהתאמה.
נתבונן בשרטוט .הנקודה ) P (t , kהיא מפגש התיכונים ולכן היא
מחלקת את התיכון OLביחס של . 2 : 1נבטא את שיעורי הנקודה L
באמצעות הנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון:
xO + 2 x L
2x
= t → L = t → xL = 1.5t
3
3
yO + 2 y L
2y
= k → L = k → y L = 1 .5 k
3
3
הנקודה ) L(1.5t ,1.5kהיא אמצע הצלע . MNנבטא את שיעורי הקדקוד Nבאמצעות הנוסחה לאמצע קטע:
xN + 1
= 1.5t → x N + 1 = 3t → x N = 3t − 1
2
yN −1
= 1.5k → y N − 1 = 3k → y N = 3k + 1
2
הקדקוד ) N (3t − 1,3k + 1נמצא על הישר y = 2 x − 21ולכן נציב את שיעורי הנקודה במשוואת הישר:
y = 2 x − 21 → 3k + 1 = 2(3t − 1) − 21 → 3k + 1 = 6t − 2 − 21 → 3k = 6t − 24 → k = 2t − 8
כעת ,לאחר שקיבלנו משוואה המקשרת בין tו ,k-נחליף את האותיות ב x-ו y-בהתאמהy = 2 x − 8 :
.
ב .נסמן את מרכז המעגל כנקודה. O(3, t ) :
אורך הרדיוס OBהוא מרחק הנקודה Oמהמשיק .AB
ax + by + c
= .d
נבטא את האורך באמצעות הנוסחה למרחק נקודה מישר:
a 2 + b2
2t − 3 − 8
2t − 11
= OB
= → OB
5
22 + 1
באופן דומה נבטא את אורך הרדיוס :OC
t − 2⋅3 + 8
t+2
= OC
= → OC
5
22 + 1
אורכי הרדיוסים שווים ,ולכן נשווה את שני הביטויים:
→ 2t − 11 = t + 2
t+2
5
=
2t − 11
5
→ OB = OC
במשוואות עם ערך מוחלט יש שתי אפשרויות לפתרון:
2t − 11 = t + 2 → 2t − 11 = t + 2 → t = 13
2t − 11 = t + 2 → 2t − 11 = −(t + 2) → t = 3
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 288
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שני הפתרונות שהתקבלו הם t = 3ו , t = 13 -ומכאן שמרכז המעגל נמצא בנקודה ) O(3,3או בנקודה ). O(3,13
נציב את הערך t = 3בביטוי
2t − 11
5
= Rונמצא את אורכו של רדיוס המעגל:
כלומר ,משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ) O(3,3היא:
= 5
2 ⋅ 3 − 11
5
= .R
. ( x − 3) + ( y − 3) = 5
2
2
באופן דומה נמצא כי משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ) O(3,13היא. ( x − 3) + ( y − 13) = 45 :
2
2
ג .הנקודה Bהיא נקודת ההשקה של המשיק ABוהרדיוס .OB
נמצא תחילה את משוואת הישר .OBהרדיוס OBמאונך למשיק AB
1
ולכן מתקיים mOB ⋅ = −1 :ולבסוף. mOB = −2 :
2
נמצא את משוואת הרדיוס y − 3 = −2( x − 3) → y = −2 x + 9 :OB
כדי למצוא את שיעורי הנקודה ,Bנשווה בין משוואות הישרים OBו:AB-
x
+ 4 = −2 x + 9 → x + 8 = −4 x + 18 → 5 x = 10 → x = 2
2
ולאחר הצבה באחת המשוואות נקבל את הנקודה. B(2,5) :
1
נחזור על התהליך עבור הנקודה .Cמשוואת OCהיא. y = − x + 4.5 :
2
לאחר חיתוך עם המשיק ACנקבל. C (5,2) :
אורך בסיס המשולש BCהוא המרחק שבין הנקודות Bו18 :C-
יח' = . BC = (2 − 5) 2 + (5 − 2) 2 → BC
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 289
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
π2
שאלה 2
א.
לפי הנתון ,הנקודה ) A(n,2,3נמצאת על המישור
. π 1 : 4 x − 3Z − 2 n − 5 = 0
π1
נציב את שיעורי הנקודה Aבמשוואת המישור ונגלה את :n
)π 1 : 4n − 3 ⋅ 3 − 2n − 5 = 0 → 2n = 14 → n = 7 → A(7, 2,3
לפי הנתון הנוסף ,המרחק בין הנקודה Aלנקודה Bהוא ,24ולכן
נקבל לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
= 24 → m − 2 = ±24 → m = 26 , m = −22
נבחר בפתרון m = −22לפי הנתון כי mשלילי.
(m − 2)2
→= = 24
(7 − 7 )2 + (m − 2)2 + (3 − 3)2
ב .מבין כל הנקודות הנמצאות על המישור , π 1הנקודה Dהיא הנקודה
הקרובה ביותר לנקודה .Cומכאן שהקטע CDמאונך לשני המישורים
המקבילים ,והוא המרחק שביניהם .נשתמש בנתון על נפח הפירמידה על
מנת למצוא את המרחק שבין שני המישורים ,ולבסוף את משוואת
המישור . π 2נפח הפירמידה שווה למכפלת שטח הבסיס ,המשולש
, ∆ABDבגובה CDשהוא המרחק שבין המישורים π 1ו. π 2 -
בכדי למצוא את שטח המשולש , ∆ABDנראה תחילה כי הוא שווה
שוקיים ) :( AD = BD
המשולשים ∆ACDו ∆BCD -חופפים ) לפי צ.צ.ז, AC = BC :
,( p CDA =p CDB = 90° , CD = CD
ומכאן) AD = BD :צלעות מתאימות במשולשים חופפים(.
נתבונן במשולש שווה השוקיים . ∆ABDנמצא את הנקודה ,Fאמצע
הקטע ,ABבאמצעות הנוסחה לאמצע קטע:
7+7
2 − 22
3+3
= xF
= = 7 , yF
= = −10 , z F
)= 3 → F (7,−10,3
2
2
2
הקטע , DFגובה ותיכון לבסיס במשולש , ∆ABDארוך פי שלושה מהקטע ) MFמפגש התיכונים מחלק את
התיכונים ביחס של .(2:1נמצא תחילה את הקטע MFבאמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות:
2
1
5
= d MF = (7 − 8) + (− 10 + 10 ) + 3 − 4 → d MF
3
3
5
ומכאן ש:
DF = 3MF → DF = 3 ⋅ → DF = 5
3
24 ⋅ 5
לסיכום נחשב את שטח המשולש : ∆ABD
= S ∆ABD
60יח"ר = → S ∆ABD
2
לפי הנתון ,נפח הפירמידה ABCDהוא 780יחידות נפח .נמצא את ,CDגובה הפירמידה :ABCD
S
⋅ CD
60 ⋅ CD
V ABCD = ∆ABD
= → 780
→ CD = 39
3
3
כלומר המרחק שבין שני המישורים π 1ו π 2 -הוא .39ניעזר בנוסחה למרחק שבין שני מישורים מקבילים:
2
− 19 − D2
שתי האפשרויות הן:
מכאן שמשוואת המישור π 2
2
= → 39
D1 − D2
=d
= 39 → − 19 − D2 = 195
A2 + B 2 + C 2
4 2 + 0 2 + 32
− 19 − D2 = −195 → D2 = 176
או:
− 19 − D2 = 195 → D2 = −214
היא π 2 : 4 x − 3Z − 214 = 0 :או. π 2 : 4 x − 3Z + 176 = 0 :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 290
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
שאלה 3
*שאלה זו קשה במיוחד
א .המרובע ABEFהוא טרפז שווה שוקיים כי השוקיים AFו BE-שוות
בשל חפיפת המשולשים ) .( ∆ADF ≅ ∆BCE
הזווית בין המישור ABEFלמישור ABCDהיא הזווית שבין שני האנכים
לישר החיתוך של המישורים .ישר החיתוך הוא .ABנוריד את האנך MN
במישור ABEFמאמצע הקטע ,FEואת האנך LNבמישור ABCD
מאמצע המקצוע .CDהזווית שבין שני המישורים היא הזווית המבוקשת
) p MNLכמתואר בשרטוט( ונמצא אותה באמצעות משפט הקוסינוסים
במשולש : ∆MNL
L
2
2
2
MN + NL − ML
= . cos p MNL
2 ⋅ MN ⋅ NL
ראשית ,עלינו למצוא את אורכי הקטעים NL ,MN :ו.ML -
מציאת אורך :NL
NL
=
BC
.
NLCBמלבן ולכן:
את אורך המקצוע BCנמצא באמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית : ∆ABC
M
N
16ס"מ = BC 2 = AC 2 − AB 2 → BC 2 = 20 2 − 12 2 → BC = 16 → NL
מציאת אורך :ML
תחילה נמצא את המקצוע הצדדי .SCלפי הנתון ,הזווית שבין מקצוע הצד
לבסיס שווה ל . 63.435° -נחשב את אורכו של SCבמשולש ישר הזווית
: ∆SOC
OC
10
= cos p SCO
= → cos 63.435°
→
SC
SC
10
= SC
22.36ס"מ = → SC
cos 63.435°
את אורכו של MLנמצא באמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית . ∆SLC
)היעזרו בשרטוט(:
21.54ס"מ = SL2 = SC 2 − CL2 → SL2 = 22.36 2 − 6 2 → SL
SL
= EM) MLהוא קטע אמצעים במשולש .( ∆SLC
ניתן לראות כי
2
לכן 10.77 :ס"מ = ML
מציאת אורך ) :MNגובה הטרפז .(AFEB
תחילה נמצא את זוויות הבסיס של הפאה ∆BCS
במשולש : ∆BCS
באמצעות משפט הקוסינוסים
BC 2 + SC 2 − BS
2BC ⋅ SC
= cos p SCB = 0.35 →p SCB
= cos p SCB
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 291
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
נחשב את אורך ) BEשוק הטרפז (AFEBבאמצעות משפט הקוסינוסים במשולש : ∆BCE
ס"מBE = 16 + 11.18 − 2 ⋅16⋅11.18⋅ cos p 69.03° → BE2 = 252.95 → BE = 15.
904 15.904
2
לבסוף ,נמצא את אורך גובה הטרפז AFEBבאמצעות
משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ' : ∆BEE
3
2
M
2
3
EE ' 2 = EB 2 − E ' B 2 → EE '2 = 15.904 2 − 32 → EE ' = 15.62
אורך MNשווה לאורך ' MEE'N) EEהוא מלבן( ולכן נקבל 15.62 :ס"מ = . MN
3
3
'E
3
3
N
כעת ,כשמצאנו את האורכים 16 :ס"מ = 10.77 , NLס"מ = MLו 15.62 -ס"מ = MN
נציב אותם בביטוי שעמו התחלנו:
2
2
2
2
2
2
MN + NL − ML
15.62 + 16 − 10.77
= cos p MNL
= → cos p MNL
→ → cos p MNL = 0.768
2 ⋅ MN ⋅ NL
2 ⋅15.62 ⋅16
כלומר ,הזווית שבין שני המישורים שווה . 39.8°
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 292
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 4
ארכימדס -פתרונות למידה
*שאלה זו קשה במיוחד
א .גרף הנגזרת השנייה ) f ' ' ( xמתאפס בכל פעם שלנגזרת הראשונה ) f ' ( xיש נקודת קיצון .נחפש נקודות מנחות,
שבהן ,עבור אותו ערך של ,xבאחד הגרפים יש נקודת קיצון ובגרף השני חיתוך עם ציר ה .x-ניתן לראות כי לגרף 1יש
שתי נקודות קיצון ב A-ו .B-בהתאם ,לגרף 2יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה . x-מכאן שגרף 1הוא גרף הנגזרת
). f ' ( x
ב .הנקודה Cהיא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת ) f ' ( xעם ציר ה.x-
כדי למצוא את שיעוריה נשווה את הנגזרת ל:0-
x−m
) = 0 → x − m = 0 → x = m → C ( m, o
(x − m )2 + b 2 ⋅ ln 3
הנקודות Aו B-הן נקודות הקיצון של ) , f ' ( xלכן נגזור את ) f ' ( xונשווה את הנגזרת השניה ) f ' ' ( xל:0-
]
]
[
→ = 0 → ( x − m ) + b 2 ⋅ ln 3 − 2( x − m) 2 ln 3 = 0
2
]
)+ b 2 ⋅ ln 3 − 2( x − m) ln 3 ⋅ ( x − m
} ]
2
+ b ⋅ ln 3
2
){[(x − m
2
[
= )f ' ( x
)[(x − m
= )f ' ' ( x
2
→ (x − m )2 + b 2 − 2( x − m) 2 = 0 → −(x − m )2 + b 2 = 0 → (x − m )2 = b 2
נוציא שורש משני האגפים ונקבל שתי אפשרויות )גם בציור ניתן לראות שקיימות שתי נקודות קיצון שונות(:
1
m+b−m
b
=y
= )x − m = b → x = m + b → f ' ( m + b
=
→
2
2
2b ln 3
(m + b − m ) + b 2 ⋅ ln 3 2b ln 3
[
]
1
m−b−m
−b
= 2
→ y=−
2
2
2b ln 3
(m − b − m ) + b ⋅ ln 3 2b ln 3
כיוון ש , b > 0 -הביטוי m + bבהכרח גדול מהביטוי . m − bמכאן שנקודת המקסימום היא:
1
1
, B m + b,ונקודת המינימום היא min :
. A m − b,−
max
2b ln 3
2b ln 3
[
]
= )x − m = −b → x = m − b → f ' (m − b
ג .נקודות החיתוך של גרף הנגזרת השנייה ) f ' ' ( xעם ציר ה x-הן נקודות הקיצון של גרף ) , f ' ( xששיעור ה x-שלהן
כבר ידוע לנו .האינטגרל של הנגזרת השנייה הוא הנגזרת הראשונה עצמה ,ולכן אין צורך לבצע אינטגרציה בפועל:
m+b
1
1
1
m +b
= ) S = ∫ f ' ' ( x )dx → f ' (x ) m −b = f ' (m + b ) − f ' (m − b
− −
= →S
b ln 3
2b ln 3 2b ln 3
m −b
1
1
1
=
ולכן:
השטח הנ"ל שווה ל:
b ln 3 9 ln 3
9 ln 3
ולבסוף . b = 9
ד .הפונקציה הקדומה ) f (xקעורה בצורת ∪ כשהנגזרת השנייה חיובית .על פי גרף הנגזרת השנייה ניתן לראות כי
היא חיובית בתחום . m − b < x < m + b :לפי הנתון ,תחום זה זהה לתחום , − 4 < x < 14ולכן נוכל למצוא את :m
m + b = 14 → m + 9 = 14 → m = 5
על מנת להגיע אל הפונקציה המקורית נבצע אינטגרל של הנגזרת ) : f ' ( x
x −5
∫ = )f ( x
dx
(x − 5)2 + 81 ⋅ ln 3
מכיוון שלא ניתן לעשות אינטגרציה ישירה לביטוי מורכב זה ,ניעזר בשיטת ההצבה:
du
2
ראשית ,נסמן . u = ( x − 5) + 81 :נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= 2( x − 5) :
.
dx
du
= ) . dxהמשך בעמוד הבא(
לבסוף נבודד את dxונקבל:
)2( x − 5
]
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
[
עמוד 293
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
x−5
du
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת dx :u
∫ = Sונציב בו:
u ⋅ ln 3
)2( x − 5
x−5
x−5
du
1
∫=S
∫ → dx
du
⋅
∫→
u ⋅ ln 3
)u ⋅ ln 3 2( x − 5
2u ⋅ ln 3
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור ,uנבצע את האינטגרציה עצמה:
1 1
) ln(u
∫ 2 ln 3 ⋅ u du = 2 ln 3
x−5
2
והוא:
נציב בחזרה u = ( x − 5) + 81ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי
2
(x − 5) + 81 ⋅ ln 3
= : dx
[
]
)
(
ln (x − 5) + 81
2 ln 3
2
log 3 ( x − 5) + 81
log b x
,
= , log a xונראה שניתן לכתוב את הפונקציה כך:
ניעזר בנוסחה למעבר בסיסים:
2
log b a
)
(
)
log 3 x 2 − 10 x + 106
ולאחר סידור המונה:
2
כעת נחזור ונבצע את האינטגרל במלואו:
)
(
log 3 x 2 − 10 x + 106
+c
2
= )f ( x
2
.
(
.
x −5
→ dx
(x − 5)2 + 81 ⋅ ln 3
[
]
∫ = )f ( x
נקודת הקיצון של הפונקציה היא הנקודה בה הנגזרת מתאפסת ומצאנו בסעיף ב' שערך ה x-בנקודה זו הוא.x=5 :
לפי הנתון ,ערך ה y-בנקודה זו הוא .4נציב את הנתונים בפונקציה ) f (xונמצא את :c
)
(
log 3 5 2 − 10 ⋅ 5 + 106
+ c → 8 = log 3 81 + 2c → 8 = 4 + 2c → 2c = 4 → c = 2
2
לסיכום ,הפונקציה המקורית היא:
)
= )4 = f ( x
(
log 3 x 2 − 10 x + 106
= )f ( x
+2
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 294
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
נמלא את נתוני יום א' בטבלה:
כמות התחלתית
קצב דעיכה
זמן
כמות סופית
חומר A
3x
a
p
3x ⋅ a p
חומר B
x
b
p
x ⋅b p
נתון כי לאחר pשעות הכמות של שני החומרים היתה שווה ולכן נשווה את הכמויות הסופיות:
p
p
3x ⋅ a p = x ⋅ b p → b = 3 ⋅ a
נמלא את נתוני יום ב' בטבלה:
כמות התחלתית
קצב דעיכה
זמן
כמות סופית
חומר B
y
b
2p
y ⋅ b2 p
חומר A
y
a
2p
y ⋅ a2p
נתון כי לאחר 2pשעות הכמות הכוללת של שני החומרים היתה שווה ל 0.2-מהכמות ההתחלתית הכוללת שלהם,
ולכן:
2p
2p
2p
2p
2p
2p
y ⋅ a + y ⋅ b = 0.2( y + y ) → y (a + b ) = 0.4 y → a + b = 0.4
נציב את המשוואה הראשונה b p = 3 ⋅ a pבמשוואה השניה ונקבל:
p
= 0.4 → 10a 2 p = 0.4 → a 2 p = 0.04 → a = 0.2
a 2 p + (3 ⋅ a p ) 2 = 0.4 → a 2 p + 9 ⋅ a 2 p
p
ולאחר הצבה נקבל כי . b = 0.6
על פי הנתון האחרון ,זמן מחצית החיים של החומר Bהוא p+1שעות .נסמן באמצעות mאת הכמות ההתחלתית של
חומר Bובאמצעות 0.5mאת הכמות הסופית שלו .נקבל את המשוואה:
p
5
0.6
0.5m = m ⋅ b p +1 → 0.5 = b p +1 → 0.5 = b p ⋅ b b=
= → 0.5 = 0.6b → b
6
p
נזכור כי b p = 0.6ולכןp = 2.8 :
ln 0.6
5
= . b p = 0.6 → = 0.6 → p
→
5
6
ln
6
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 295
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 13
שאלה 1
א .תחילה נמצא את אורך גובה המשולש היורד מהקודקוד .C
זהו המרחק בין הנקודה ) C (9,−3לישר . − 2x + y − 9 = 0 :AB
ניעזר בנוסחה למרחק בין נקודה לישר:
→ h = 180
− 2⋅9 − 3 − 9
22 + 1
=h
כעת נחשב את אורך ,ABבסיס המשולש:
AB ⋅ h
AB ⋅ 180
= S ∆ABC
= → 60
→ AB = 80
2
2
נסמן את שיעורי ה x-של הנקודות Aו D-באותיות aו d-בהתאמה .הנקודות נמצאות על הישר y = 2x + 9ולכן
3
3 80
= ⋅ AB
שיעוריהן A (a,2a + 9) :ו . D (d ,2d + 9) :נתון . AD = 3BD :כלומר:
4
4
ניעזר במרחק בין הנקודות Aו ,D-כדי לבטא את שיעורי הנקודה Dבאמצעות :a
נעלה בריבוע את שני האגפים:
= . AD
3 80
2
2
)= (a − d ) + (2a + 9 − 2d − 9
4
45 = a 2 − 2ad + d 2 + 4a 2 − 8ad + 4d 2 → 5d 2 − 10ad + 5a 2 − 45 = 0
d 2 − 2ad + a 2 − 9 = 0
ניעזר בנוסחת השורשים כדי למצוא את הערך של :d
)2a ± 4a 2 − 4(a 2 − 9
2a ± 6
d2 = a − 3
או
= → d1, 2
→ d1 = a + 3
2
2
)הפתרון הימני נפסל כי על פי הנתון ,שיעור ה x-של הנקודה Dגבוה משיעור ה x-של הנקודה .(A
נציב את שיעור dשמצאנו ונקבל את שיעורי הנקודה. D ( a + 3,2a + 15) :
= d1, 2
ב .תחילה נמצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש
. ∆DEFניעזר בנוסחה לחישוב שטח מעגל:
2
16.25π = π ⋅ r → r = 16.25
נמצא את שיעורי Eבאמצעות הנוסחה לאמצע הקטע :AC
a
a+9
2a + 9 − 3
= xE
= , yE
→ E + 4.5, a + 3
2
2
2
הזווית ההיקפית p DFEישרה ,ומכאן שהקטע DEהוא
קוטר המעגל .מרכז המעגל הוא אמצע הקטע :DE
a
+ 4.5
3a + 15
2a + 15 + a + 3
2
,1 .5 a + 9
= , yO
→ O
4
2
2
a +3+
= xO
הקוטר DEארוך פי שניים מהרדיוס .כלומר ,אורך הקוטר . 2 16.25ניעזר בנוסחה לחישוב המרחק בין שתי
הנקודות Dו E-ונמצא את ערכו של :a
2
a
2
)2 16.25 = a + 3 − − 4.5 + (2a + 15 − a − 3
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 296
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
a2
= 65
− 1.5a + 2.25 + a 2 + 24a + 144 → a 2 + 18a + 65 = 0
4
נעלה בריבוע את שני האגפים:
3a + 15
פתרונות המשוואה הם a = −5 :או . a = −13נציב את הפתרונות ב,1.5a + 9 :
4
Oונקבל כי משוואת
2
2
2
2
המעגל היא x + ( y − 1.5) = 16.25 :או . ( x + 6) + ( y + 10.5) = 16.25
ג .נשלים את המשולש ∆DEFלכדי המלבן .DFEG :נסמן , DF = mונבטא את אורך
הצלע FEבאמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית : ∆DEF
2
FE = DE 2 − DF 2 → FE = 65 − m
שטח המלבן החסום במעגל הוא מכפלת אורכי הצלעות DFו .FE-נבדוק האם קיים ערך
כלשהו של ,mשעבורו מכפלת אורכי הצלעות שווה ל:33-
m ⋅ 65 − m 2 = 33 → m 2 (65 − m 2 ) = 1089 → − m 4 + 65m 2 − 1089 = 0
נסמן t = m 2ונבדוק האם יש פתרונות למשוואה:
− 65 ± 65 2 − 4 ⋅1089
− 65 ± − 131
= → t1, 2
−2
−2
ניתן לראות כי הביטוי שבשורש שלילי ולכן אין פתרון למשוואה.
כלומר ,לא ניתן לחסום במעגל מלבן ששטחו 33יח"ר.
= t1, 2
→ − t 2 + 65t − 1089 = 0
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 297
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 2
הווקטור AX :יוצא מהקדקוד Aלכיוון המישור .BCD
גם הווקטורים u , vו w -יוצאים מהקדקוד ,Aכך שניתן לקבוע כי
הווקטור AXהוא קומבינציה לינארית של שלושת הווקטורים
u , vו. w -
קצוותיהם של שלושת הווקטורים v , uו w -בנקודות C ,Bו ,D-כך
שלמעשה הם מגדירים את המישור .BCD
נזכיר כי כאשר הווקטור AXמסתיים על המישור ,BCDנוכל לבטא
אותו כ AX = a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w :והוא מקיים. a + b + c = 1 :
אורכי הווקטורים הם. u = 3, v = 1, w = 2 :
נזכור גם כי הווקטורים v , uו w -מאונכים זה לזה ולכן v ⋅ w = 0 , v ⋅ u = 0 :ו. u ⋅ w = 0 -
הווקטור AXיוצר זוויות שוות עם שלושת הווקטורים v , uו . w -נביע את קוסינוס הזויות השוות הללו:
3b
= → cosα
AX
b⋅9
AX ⋅ 3
a
2
(
a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ u
a ⋅ v ⋅ u + b ⋅ u + c ⋅ w⋅ u
= → cosα
= → cosα
= → cosα
AX ⋅ 3
2
(
a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ v
a ⋅v + b ⋅u ⋅v + c ⋅ w⋅v
= → cosα
= → cos α
= → cosα
AX
2c
AX
= → cosα
AX ⋅ 3
AX ⋅1
AX
c⋅4
AX ⋅ 2
= → cosα
(a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ w → cosα = a ⋅ v ⋅ w + b ⋅ u ⋅ w + c ⋅ w2
AX ⋅ 2
AX ⋅ 2
→ 3b = a = 2c
הזוויות שוות ולכן נשווה בין שלושת הביטויים:
AX
2
ממשוואה זו נובעות שתי הזהויותc :
3
AX ⋅ u
AX ⋅ v
AX ⋅ v
= → cosα
2c
AX ⋅ u
AX ⋅ w
AX ⋅ w
=
a
AX
= cosα
= cosα
= cosα
=
3b
AX
= . a = 2c, bנציב אותן במשוואה a + b + c = 1ונקבל:
3
2
11
= a + b + c = 1 → 2c + c + c = 1 → c = 1 → c
11
3
3
2
6
= aו-
ומכאן ש:
11
11
=.b
לסיכום ,הווקטור AX = a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ wהוא:
2
3
6
⋅u + ⋅w + ⋅v
11
11
11
= . AX
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 298
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
ב .שאלה מהסוג "מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הישר" היא לרוב
שאלת וקטורים שניתן לפתור באמצעות יחידות ההצגה .יחידות ההצגה הוא
עקרון לפיו כל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן אחד בלבד .לכן ,אם נביע
וקטור בשני אופנים שונים ,הרי שניתן יהיה להשוות ביניהם.
נתבונן בשרטוט ונביע את הווקטור BMבשתי דרכים שונות ובשימוש בשני
פרמטרים סקלארים שונים tו) p-היעזרו בשרטוט(.
דרך אחת לבטא את הווקטור BMהיא כהארכה של הווקטור BXעל ידי
הכפלתו בסקלאר .pכלומר ,המשכו של הוקטור , BXמשמר את הכיוון של
הוקטור BXאך לא ניתן לדעת את אורכו ולכן נכפיל אותו בסקלאר :p
2
3
6
→ BM = p ⋅ BX → BM = p ⋅ BA + AX → BM = p ⋅ − v + ⋅ u + ⋅ w + ⋅ v
11
11
11
2p
3p
5p
= BM
⋅u +
⋅w−
⋅v
11
11
11
)
(
דרך נוספת לבטא את הווקטור BMהיא:
BM = BD + DM → BM = BD + t ⋅ DC → BM = −v + w + t ⋅ (− w + u ) → BM = t ⋅ u + (1 − t )w − v
מכיוון ששתי התצוגות שמצאנו זהות ,נוכל להשוות בין המקדמים הסקלארים של v ,uו .w-נקבל מערכת של שלוש
משוואות בשני נעלמים .נפתור את המערכת:
2p
3p
5p
11
) I (u
=t
)II (w
= 1− t
III (v ) −
= −1 → p = → p = 2.2
11
11
11
5
נחזור ונציב ב:I-
2
2p
2 ⋅ 2. 2
→=t
= =t → t
5
11
11
3
2
מכאן שהנקודה Mמחלקת את הקטע CDביחס של DM = :ו. MC = -
5
5
לסיכום ,היחס בין אורכי הקטעים הוא.2:3 :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 299
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 3
א .כדי שנוכל להוציא את השורש הרביעי של המספר המרוכב , − 8 + 8 3i :נעביר אותו תחילה לתצוגה קוטבית:
r = x 2 + y 2 → r = ( −8) 2 + (8 3 ) 2 → r = 16
y
8 3
= → tan θ
→ θ = −60°
x
−8
= tan θ
נבדוק האם הזווית θ = −60°נמצאת ברביע המתאים במישור גאוס:
המספר המרוכב ) ( − 8,8 3נמצא ברביע השני ) ,( −,+ואילו הזווית − 60°נמצאת ברביע הרביעי ) .( +,−
כלומר עלינו להוסיף לזווית , θ = 120° :1800ומכאן שהמספר המרוכב − 8 + 8 3iמוצג קוטבית כ. 16 cis (120 °) :
כעת נוכל להוציא שורש רביעי ולקבל ארבעה פתרונות:
120 ° + 360 °k
Z 4 = 16 cis (120 °) → Z = 4 16 cis
) → Z = 2cis (30 ° + 90 °k
4
)Z 2 = 2cis(120°
)Z 4 = 2cis(300°
כעת נציב את הפתרונות בביטוי:
Z 3k ⋅ Z 42
Z 12 ⋅ Z 2k
)Z1 = 2cis(30°
→k =1
→k =3
)Z 3 = 2cis(210°
→k =0
→k =2
:
Z 3k ⋅ Z 42
) (2cis (210°))k ⋅ (2cis (300°))2 → 2 k cis(210°k ) ⋅ 4cis(600°) → cis (90°k ) ⋅ cis(540°) → cis (540 + 90°k
→
Z 12 ⋅ Z 2k
) 4cis (60°) ⋅ 2 k cis (120°k
(2cis (30°))2 ⋅ (2cis (120°))k
נזכור כי , r = Zומכאן שהערך המוחלט של המספר ) cis(540 + 90°kהוא הרדיוס שלו. cis(540 + 90°k ) = 1 :
ב .ראשית ,נעביר את הביטוי 16iבאגף הימני לתצוגה קוטבית ונקבל כי הוא שווה ל ). 16cis (90°
כעת נציב את הפתרונות מסעיף א' במשוואה:
→ )Z 1 ⋅ Z 2 ⋅ Z 3 ⋅ Z 4 ⋅ Z 5 = 16 i → 2cis (30 °) ⋅ 2 cis (120 °) ⋅ 2cis ( 210 °) ⋅ 2cis (300 °) ⋅ Z 5 = 16 cis (90 °
)16cis(90°
)→ Z 5 = cis(−570°) → Z 5 = cis(150°
)16cis(660°
)בשלב האחרון הוספנו 3600מעלות פעמיים עד שהזווית הפכה לחיובית(.
= 16cis(660°) ⋅ Z 5 = 16cis(90°) → Z 5
ג .נתבונן בשרטוט .זווית הבסיס p ABZ 5שווה .700הזווית המרכזית
p Z 5OAהנשענת על אותה הקשת גדולה ממנה פי שניים ולכן שווה
ל .1400 -כדי להגיע למספר המרוכב ,Aיש להוסיף 1400לארגומנט )הזווית(
של המספר ) . Z 5 = cis(150°נקבל:
)A = cis (150° + 140°) → cis ( 290°
קל לחשב כי זווית הראש במשולש שווה ,400ולכן הזווית המרכזית p BOA
הנשענת על אותה קשת ,שווה .800כדי להגיע למספר המרוכב ,Bעלינו
להוסיף 800לארגומנט )הזווית( של ): A = cis (290°
)B = cis ( 290° + 80°) → cis (370°) → cis (10°
בשלב האחרון החסרנו 3600מעלות עד שהזווית הפכה לחיובית הקטנה ביותר.
נחשב את שטח המשולש ∆ABZ 5כסכום שלושת המשולשים המרכיבים אותו:
1 ⋅ 1 ⋅ sin 140 0 1 ⋅ 1 ⋅ sin 140 0 1 ⋅ 1 ⋅ sin 80 0
+
+
)יח"ר( = 1.135
2
2
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
=S
עמוד 300
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 4
א .למעשה ,עלינו לפתור את אי השוויון. f ( x ) > 0 :
נשווה את הפונקציה
sin 2 x
f ( x) = cos 2 x ⋅ aל 0-ונמצא מתי היא מתאפסת:
πk
2
+
π
4
= + πk → x
π
2
3π
π
הפתרונות המתאימים בתחום הנתון הם x = :ו-
4
4
של ערכים בין הנקודות שקיבלנו:
3π
4
=x
3π
4
<<x
π
קצה
תחום
3
-
π
π
4
4
π
=x
= f ( x ) = cos 2 x ⋅ a sin 2 x = 0 → cos 2 x = 0 → 2 x
4
= . xנבדוק את תחומי החיוביות והשליליות על ידי הצבה
<0< x
π
נקודת
איפוס
6
+
x4 + a4
ב .לפונקציה
x+a
קצה
תחום
נציב
בפונקציה
סימן
הפונקציה
3π
π
מכאן שתחום החיוביות הוא 0 < x < :ותחום השליליות הוא:
4
4
4
x=0
תחום x
<<x
π
4
.
= ) g ( xיש אסימפטוטה אנכית כאשר המכנה מתאפס ,והיא האסימפטוטה. x = −a :
למציאת האסימפטוטות האופקיות נבדוק מה קורה כאשר xשואף לאינסוף ולמינוס אינסוף .הפיתוחים הראשוניים
של חישוב הגבול ,זהים עבור שני המקרים:
a4
a4
4 1+
)
x
⋅
lim 4 x 4 + a 4
lim
lim
lim x ⋅ 4 1 + 0 +
lim x
x4
x4
=
=
≈
=
+
a
a
x → ±∞ x + a
∞x → ±
∞x → ±
x → ±∞ x ⋅ (1 + 0 ) x → ±∞ x
) x ⋅ (1 +
) x ⋅ (1 +
x
x
כעת נפריד לשני המקרים:
x
lim
≈1
x→∞ x
כלומר ,גרף הפונקציה שואף ל 1-ולכן האסימפטוטה האופקית בתחום החיובי היא . y = 1
x 4 (1 +
4
x
lim
≈ −1
x → −∞ x
כלומר ,גרף הפונקציה שואף ל -1 -ולכן האסימפטוטה האופקית בתחום השלילי היא . y = −1
x4 + a4
ג .נמצא את נקודת הקיצון של הפונקציה
x+a
→=0
)
1
4
(
− x4 + a4
+ a 4 )4
= ) . g ( xתחילה נכתוב אותה כך:
x+a
1
4
4
1
4
)x 3 ( x + a
)
3
4 4
+a
4
→=0
(x
→ = 0 → x 4 + x 3a − x 4 − a 4 = 0 → x 3a − a 4 = 0
)
)
4
(
⋅ 4 x 3 ( x + a) − x 4 + a 4
x+a
(
= 0 → x 3 ( x + a) − 4 x 4 + a 4
)
1
4
3
4
)
−
(x
= ). g ( x
(
1 4
x + a4
4
= )g ' ( x
(
− x4 + a4
)x 3 ( x + a
)
3
4 4
(x
+a
x = a3 → x = a
4
3
כלומר ,הישר המקביל לציר ה y-המופיע בסעיף ג' הוא ) x = aהמשך בעמוד הבא(.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 301
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
כעת נמקם את שאר הנתונים בשרטוט.
ניתן לראות כי S1הוא שטחו של מלבן .נחשב את שטחו:
S1 = 2 ⋅ 2a → S1 = 4a
על מנת לבטא את S 2עלינו לחשב את האינטגרל של הפונקציה .לפני כן ,עלינו
לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) f (xהמבוסס על תחומי החיוביות
והשליליות שמצאנו בסעיף א'.
f ( x) = cos 2 x ⋅ a sin 2 x
3π
ברביע הרביעי ,בתחום
4
<<x
π
4
.
כעת נחשב:
)dx
3π
4
sin 2 x
∫ (0 − cos 2 x ⋅ a
π
= S2
4
ניעזר בשיטת ההצבה:
du
ראשית ,נסמן . u = sin 2 x :נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= 2 cos 2 x :
dx
du
= . dx
2 cos 2 x
du
u
= : dx
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת S 2 = − cos 2 x ⋅ a dx :uונציב בו:
2 cos 2 x
au
du
→ ∫ − du
⋅ S 2 = ∫ − cos 2 x ⋅ a u dx → ∫ − cos 2 x ⋅ a u
2 cos 2 x
2
u
u
a
−a
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה:
∫ − 2 du = 2 ln a
.לבסוף נבודד את dxונקבל:
∫
− a sin 2 x
.
נציב בחזרה u = sin 2 xונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי − cos 2 x ⋅ a sin 2 xוהוא:
2 ln a
כעת נחזור ונבצע את האינטגרל במלואו:
π
sin
3π
sin
2
−a
a 2
− a −1 + a
+
= → S2
2 ln a
2 ln a
2 ln a
→
3π
sin 2 x 4
π
−a
2 ln a
=
2
)dx → S
3π
4
sin 2 x
∫ (0 − cos 2 x ⋅ a
4
= S2
π
4
S1
על פי הנתון= 9 ln a ,
S2
S1
4a
8a ⋅ ln a
9
→ = 9 ln a
→ = 9 ln a
→ = 9 ln a → 8a = 9( − a −1 + a ) → 8a = − + 9a
−1
−1
−a +a
S2
−a +a
a
2 ln a
a2 = 9 → a = 3
הפתרון השלילי a = −3נפסל כי נתון. 0 < a :
,ולכן:
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 302
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
א (1) .הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה log-הוא חיובי .נבדוק מתי הביטוי ) sin(bxמתאפס:
π ⋅k
= sin(bx ) = 0 → bx = π ⋅ k → x
b
π
=.x
אם נציב k=0נקבל את האסימפטוטה . x = 0 :אם נציב k=1נקבל את האסימפטוטה:
b
אלו האסימפטוטות בעלות שיעור ה x-הנמוך ביותר אשר אינן עוברות ברביע השני.
) (2נשווה את הפונקציה ל:0-
πk
b
+
π
2b
= + πk → x
π
2
= f ( x) = log 2 (sin(bx ) ) = 0 → sin(bx ) = 1 → bx
π
.
נציב k=0ונקבל את נקודת החיתוך בעלת שיעור ה x-החיובי הנמוך ביותר,0 :
2b
) (3כדי למצוא את נקודת הקיצון ,נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל:0-
)b ⋅ cos(bx
)b ⋅ cot(bx
π
π πk
= )f ' ( x
=
= = 0 → cot(bx) = 0 → bx = + πk → x
+
)ln 2 ⋅ sin(bx
⋅ ln 2
2
2b b
π
.
נציב k=0ונקבל את נקודת הקיצון בעלת שיעור ה x-החיובי הנמוך ביותר,0 :
2b
כדי לבדוק את סוג נקודת הקיצון ,נמצא את הנגזרת השניה:
b
1
b2
⋅ −
⋅
b
=
−
ln 2 sin 2 (bx )
) ln 2 ⋅ sin 2 (bx
= )f ' ' ( x
נשים לב כי הביטוי שהתקבל הוא ביטוי בהכרח שלילי:
המונה והמכנה בהכרח חיוביים בתנאי השאלה ,והסימן " "-הופך את
הביטוי לשלילי בהכרח .כלומר ,הנגזרת השנייה שלילית ,ומכאן שהנקודה
π היא נקודת מקסימום.
,0
2b
ב .נשרטט את גרף הפונקציה בין שתי האסימפטוטות.
נמצא את שיעורי ה x-של הנקודות Aו.B-
שיעור ה y-בנקודות אלו הוא ) (-1ולכן:
1
= ) f ( x) = log 2 (sin(bx ) ) = −1 → sin(bx ) = 2 −1 → sin(bx
2
π
π πk
= ( I ) bx = + πk → x
+
6
6b b
π
5π
5π πk
= ( II ) bx = π − + πk → bx
= + πk → x
+
6
6
6b b
5π
π
נציב k=0בשתי האפשרויות ונקבל את הנקודות A ,−1 :ו. B ,−1 -
6b
6b
π
המרחק בין הנקודות הוא .לשתי הנקודות ערך yזהה ,ולכן המרחק הוא ההפרש בין שיעורי ה x-של הנקודות:
3
5π π π
−
= → 5 − 1 = 2b → b = 2
6b 6b 3
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 303
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 14
שאלה 1
א .זוהי שאלת מקום גיאומטרי .בתרגילים מסוג זה ,נפעל לפי השלבים:
.1נסמן את הנקודה Pכ. P (t , k ) :
.2נביע את שאר הנתונים בעזרת הפרמטרים tו.k-
.3נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי
משוואת המקום הגיאומטרי.
.4לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים tוk-
באותיות xו y -בהתאמה.
ניעזר בשרטוט ונראה כי עלינו להביע את אורכי המשיקים APו.PB -
ידוע כי המשיק והרדיוס מאונכים זה לזה בנקודת ההשקה .נוכל
להיעזר בשני המשולשים ישרי הזווית ∆AO1 P :ו ∆BO2 P -כדי
להביע את אורכי המשיקים בעזרת משפט פיתגורס.
נמצא את אורכו של APבמשולש : ∆AO1 P
AP = O1 P 2 − O1 A 2
נבטא את אורכו של היתר O1 Pכמרחק בין הנקודות Pו:O1 -
O1 P = (t − 3) 2 + k 2
O1 Aהוא רדיוס המעגל ולכן . O1 A = 3 :נחזור ונציב כדי לבטא את אורכו של :AP
2
2
AP = (t − 3) 2 + k 2 − 9 → AP = t + k − 6t
2
2
. BP = t + k + 6t
נחזור על התהליך פעם נוספת עבור המשולש ∆BO2 Pונקבל כי:
על פי הנתון . AB + AP = 10 :זו תהיה המשוואה המקשרת בה נשתמש למציאת המקום הגיאומטרי:
t 2 + k 2 − 6t + t 2 + k 2 + 6t = 10
נעלה בריבוע ונקבל:
)
)
(( )
→ t 2 − 6t + k 2 + 2 t 2 + k 2 − 6t t 2 + k 2 + 6t + t 2 + 6t + k 2 = 100
)
+ k 2 − 6t ⋅ t 2 + k 2 + 6t = 50
2
((t
)
(
()
2t 2 + 2k 2 + 2 t 2 + k 2 − 6t ⋅ t 2 + k 2 + 6t = 100 → t 2 + k 2 +
נעביר אגפים וניעזר בתוך סימן השורש בנוסחה: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 :
)
נעלה בריבוע פעם נוספת:
→
)
2
( )
(
)
2 2
(
))
2
(
− 36t 2 = 50 − t 2 + k 2
(
)
2
(
+ k2
)
2 2
2
(t
(t
+ k − 36t 2 = 50 − t 2 + k 2 → t 2 + k − 36t 2 = 2500 − 100 t 2 + k 2 + t 2 + k 2
− 36t 2 = 2500 − 100t 2 − 100 k 2 → 64t 2 + 100 k 2 = 2500 → 16t 2 + 25k 2 = 625
2
כעת משקיבלנו משוואה נחליף בחזרה את tו k -ב x -ו y -בהתאמה:
16 x + 25 y = 625
2
2
לבסוף ,נסדר את המשוואה על ידי חלוקה ב 625 -ונקבל:
2
2
y
16 x
+
=1
625 25
ניתן לראות כי המקום הגיאומטרי שקיבלנו הוא אליפסה קנונית.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 304
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ב .קדקודי המלבן נמצאים על האליפסה . 16 x 2 + 25 y 2 = 625
625 − 16t 2
. D t ,את שיעור ה y-קיבלנו
נסמן את קדקוד :D
25
מהצבת x = tבמשוואת האליפסה ובידוד ה.y-
משיקולי סימטריה ניתן לראות כי אורך המלבן שווה לפעמיים שיעור הx-
של הנקודה ,Dורוחב המלבן שווה לפעמיים שיעור ה y-של הנקודה :D
625 − 16t 2
625 − 16t 2
⋅ → S = 4t
25
25
כדי למצוא את נקודת המקסימום )הערך המקסימלי של השטח( נגזור את פונקציית השטח:
32t
−
625 − 16t 2 128t 2
625 − 16t 2
25
−
⋅ S'= 4
⋅ + 4t
= 0 → S ' = 8
→=0
25
25
25
625 − 16t 2
2
25
25
625
= S ' = 8(625 − 16t 2 ) − 128t 2 = 0 → S ' = 625 − 16t 2 − 16t 2 = 0 → S ' = 625 − 32t 2 = 0 → t 2
=→ t
32
32
2
נגזור את הביטוי S ' = 625 − 32tשנית ,הפעם על מנת לוודא שהנקודה היא נקודת מקסימום:
25
25
) S ' ' = −32t → S ' ' נגזרת מקוצרת לבדיקת הסימן(
= −32
= −25 32
32
32
25
= tולכן זוהי אכן נקודת מקסימום.
הנגזרת השנייה שלילית בנקודה
32
S = 2t ⋅ 2
625 − 16t 2
25
= tבמשוואת השטח
נציב את הערך
25
32
⋅ S = 4tכדי למצוא את השטח המקסימלי של המלבן:
2
25
625
625 − 16 ⋅
625 − 16 ⋅
25
100
100 312.5
32
32
→
⋅
→
⋅
→ S = 62.5
⋅
25
25
25
32
32
32
)יח"ר(
25
S
= 4 ⋅
32
שאלה 2
א .נסמן את הנתונים בשרטוט.
נבטא את הווקטורים:
G
1
1
1
1
1
1
BE → AF = u + (−u + w) → AF == u − u + w → AF = u + w
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
AG = AD + DG → AG = AD + DE → AG = v + (−v + w) → AG = v − v + w → AG = v + w
3
3
3
3
3
3
AF = AB + BF → AF = AB +
AH = AE + EH → AH = AE + t ⋅ EC → AH = w + t (− w + v + u ) → AH = (1 − t ) w + t v + t u
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 305
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ב .שאלות מהסוג "מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הישר" הן לרוב שאלות וקטורים שניתן לפתור באמצעות
יחידות התצוגה .יחידות התצוגה הוא עקרון לפיו כל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן אחד בלבד .לכן ,אם נביע
וקטור בשני אופנים שונים ,הרי שניתן יהיה להשוות ביניהם.
נבטא את הווקטור AHבשתי תצוגות שונות ,ונשווה ביניהן:
תצוגה אחת היא התצוגה שמצאנו בסעיף א'. AH = t u + t v + (1 − t ) w :
על פי הנתון ,הווקטור AHמוכל במישור העובר דרך הנקודות F ,Aו.G-
כלומר ,ניתן גם לבטא את הווקטור AHכקומבינציה ליניארית של
הווקטורים AFו: AG -
1
1
1
2
→ AH = a ⋅ AF + b ⋅ AG → AH = a ⋅ u + w + b ⋅ v + w
2
3
2
3
a
2b
a b
a
a
2b
b
AH = u + w + v + w → AH = u + v + + w
2
3
2 3
2
2
3
3
מכיוון ששתי התצוגות שמצאנו זהות ,נוכל להשוות בין המקדמים הסקלאריים של v , uו: w -
(I ) t = a → a = 2t
2
(II ) t = 2b → b = 3t
3
2
(III ) 1 − t = a + b
2 3
נציב את Iו II-ב III-ונקבל:
2
2t 3t
t
= + → 1 − t = t + → 2 = 4t + t → t
5
2 6
2
3
2
מכאן שהנקודה Hמחלקת את המקצוע ECביחס של EH = :ו. HC = :
5
5
לסיכום ,היחס בין הקטעים הוא.2:3 :
ג .הבסיס ABCDהוא ריבוע ששטחו הוא 25סמ"ר .מכאן ש , u = v = 5 :וכן . u ⋅ v = 0
= 1− t
הווקטור AEיוצר זוויות שוות עם הווקטורים ADו . AB -מכאן ש:
w⋅v
w⋅u
=
→ w⋅v = w⋅u
w⋅v w⋅u
הישר EDמאונך לישר ,ADולכן:
→ v ⋅ w = 25
2
→
AE ⋅ AB
AE ⋅ AB
=
AE ⋅ AD
AE ⋅ AD
AD ⋅ ED = 0 → v ⋅ (− w + v ) = 0 → − v ⋅ w + v = 0 → v ⋅ w = v
2
כלומר ,קיבלנו . v ⋅ w = u ⋅ w = 25 :לבסוף AH = 2 17 ,ולכן:
2
2
3 2
2
3
2
→ AH = AH = 2 17 → u + v + w u + v + w = 2 17
5
5 5
5
5
5
4 2 4
6
4
4 2 6
6
6
9 2
→ u + u ⋅ v + u ⋅ w + u ⋅ v + v + v ⋅ w + u ⋅ w + v ⋅ w + w = 2 17
25
25
25
25
25
25
25
25
25
)
(
2
4 2 24
4 2 9 2
4
24
4
9 2
→ u + v ⋅ w + v + w = 2 17 → ⋅ 25 + ⋅ 25 + ⋅ 25 + w = 2 17
25
25
25
25
25
25
25
25
9 2
9 2
2
2
)יח' אורך( 4 + 24 + 4 + w = 68 → w = 36 → w = 100 → w = 100 → w = 10
25
25
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 306
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 3
א .למשוואה ריבועית יש פתרון אחד כאשר הביטוי בתוך השורש )הדלתא ∆ ( בנוסחת השורשים שווה ל:0-
∆ = b − 4ac → ∆ = (2(mi + a)) − 4m(3 + 4i) → ∆ = 4(mi + a) 2 −12m −16mi → ∆ = 4(−m2 + 2mai + a 2 ) −12m −16mi
2
2
∆ = −4m 2 + 8mai + 4a 2 − 12m − 16mi = 0 → −4m 2 + 4a 2 − 12m + (8ma − 16m)i = 0
הביטוי באגף השמאלי שווה ל 0-כאשר החלק הממשי וגם החלק המדומה שווים ל .0-נשווה את שניהם ל:0-
)8ma − 16m = 0 → 8m( a − 2) = 0 → a = 2 , ( m > 0
)− 4m2 + 4a 2 − 12m = 0 → −4m2 + 4 ⋅ 2 2 − 12m = 0 → m 2 + 3m − 4 = 0 → (m − 1)(m + 4) = 0 → m = 1 ( m > 0
ב .נציב m = 1ו a = 2 :במשוואה ונפתור אותה:
Z + 2(i + 2) ⋅ Z + 3 + 4i = 0 → Z + (2i + 4) ⋅ Z + 3 + 4i = 0
2
2
−b± 0
)− (2i + 4
= →Z
→ Z = −2 − i
2a
2
10 10
ו:
נמצא את הערכים של המספרים המרוכבים , Z
Z
Z
=Z
:
Z = −2 + i
10
10
10
) 10(−2 + i
− 20 + 10i
=
=
=
→
= −4 + 2i
) Z − 2 − i (−2 − i )(−2 + i
4 +1
Z
10
10
10
) 10(−2 − i
− 20 − 10i
=
=
=
→
= −4 − 2i
4 +1
) Z − 2 + i (−2 + i )(−2 − i
Z
נמקם את ארבע הנקודות במישור גאוס.
ניתן לראות כי המרובע הוא טרפז שבסיסיו מקבילים לציר ה.y-
נחשב את שטחו:
(
) )2 + 4 )(− 2 − (−4
12
=S
= →S
)יח"ר( → S = 6
2
2
ג .על פי הנתונים a1 = −2 + i :ו . a2 = −4 − 2i -נחשב את הפרש הסדרה
החשבונית:
d = a2 − a1 → d = −4 − 2i − (−2 + i ) → d = −2 − 3i
סכום הסדרה החשבונית הוא . − 420 − 550i :ניעזר בנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:
n
n
→ ))S n = (2a1 + d (n − 1)) → −420 − 550i = (2(−2 + i ) + (−2 − 3i )(n − 1
2
2
→ − 840 − 1100i = n (−4 + 2i − 2n + 2 − 3in + 3i ) → −840 − 1100i = −2n + 5ni − 2n 2 − 3n 2 i
2n − 5ni + 2n 2 + 3n 2 i − 840 − 1100i = 0 → 2n 2 + 2n − 840 + (3n 2 − 5n − 1100)i = 0
האגף השמאלי מתאפס כאשר החלק הממשי וגם החלק המדומה מתאפסים ולכן:
. 2n 2 + 2n − 840 = 0פתרונות המשוואה הם n = 20 :ו. n = −21 :
1
. 3n 2 − 5n − 1100 = 0פתרונות המשוואה הם n = 20 :ו. n = −18 :
3
הפתרון שמאפס את שתי המשוואות הוא , n = 20 :וזהו מספר איברי הסדרה.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 307
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 4
א .נמלא את הנתונים בטבלה:
על פי הנוסחה:
M t = M 0 ⋅ qt
כמות התחלתית
קצב גידול
זמן
כמות סופית
כמות העצים ביער עד הכריתה
n
p
q = 1 +
100
x
n⋅qx
בשלב זה נכרתו 3nעצים ,ורגע לאחר מכן ,היתה כמות העצים ביער. n ⋅ q x − 3n :
נמלא בטבלה חדשה את נתוני הגידול בתקופה הבאה:
כמות התחלתית
קצב גידול
זמן
כמות סופית
כמות העצים ביער xשנים
לאחר הכריתה
n ⋅ q x − 3n
p
q = 1 +
100
x
x
n ⋅ q − 3n ⋅ q x
(
)
על פי הנתון הכמות הסופית של העצים xשנים לאחר הכריתה היא ,4nולכן:
x
=q
− 3n ⋅ q x − 4n = 0 t
→ t 2 − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0
ln 4
p
q = 1 +ונקבל כי:
נזכור כי :
p
100
ln1 +
100
) (
x 2
)
(n ⋅ q
− 3n ⋅ q = 4n → n q
ln 4
= t = 4 → qx = 4 → x
ln q
x
x
=. x
ב .נמלא את הנתונים בטבלה:
כמות התחלתית
קצב גידול
זמן
כמות סופית
כמות העצים ביער
m
p
q = 1 +
100
3x
m ⋅ q 3x
נפתח את הביטוי המתאר את הכמות הסופית: m ⋅ q 3 x :
ln 4
ln a
ונקבל כי:
נזכור כי על פי סעיף א',
= . xניעזר בנוסחה למעבר מבסיס לבסיס= log b a :
ln b
ln q
ln 4
→ x = log q 4
ln q
נציב את ערך xבביטוי m ⋅ q 3 xונקבל:
נזכור את הכלל: a log a b = b :
log q 64
= m⋅q
3 log q 4
=x
m ⋅ q3x = m ⋅ q
= m ⋅ 64 = 64m
logq 64
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
m⋅q
עמוד 308
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
א .לפונקציה ) f ( x) = log b (x 2 + bx + cיש אסימפטוטה אנכית כאשר הביטוי שבתוך ה log-מתאפס:
x 2 + bx + c = 0
לפונקציה יש אסימפטוטה אחת בלבד ,ולכן למשוואה יש רק פתרון אחד .מכאן ש: ∆ = 0 :
b2
4
= ∆ = b 2 − 4ac = 0 → b 2 − 4c = 0 → b 2 = 4c → c
נציב ונקבל את הפונקציה ) : f (x
2
b
b2
f ( x) = log b x 2 + bx + → f ( x) = log b x +
2
4
לפונקציה יש אסימפטוטה כאשר הביטוי שבתוך ה log-מתאפס:
b
b
=0→ x=−
2
2
x+
ב .נבדוק תחילה אם יש לפונקציה נקודות קיצון .נגזור ונשווה ל:0-
b
f ( x) = log b x 2 + bx +
4
2x + b
b
= )f ' ( x
=
0
→
2
x
+
b
=
0
→
x
=
−
2
2
b2
x + bx + ln b
4
זו למעשה האסימפטוטה האנכית של הפונקציה ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון .נבדוק את תחומי העליה והירידה
באמצעות טבלת עלייה וירידה:
2
b
<x
2
−
0
b
2
x=−
b
2
x<−
−b
אס'
+
-
b
b
מכאן שתחום הירידה הוא , x < − :ותחום העלייה הוא < x
2
2
תחום x
נציב
בנגזרת
סימן
הנגזרת
הפונקציה
עולה/יורדת
.−
ג .נציב x=0ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה:y-
b2
0, log b
4
b2
b2
→ f (0) = log b 0 2 + b ⋅ 0 + → f (0) = log b
4
4
נציב y=0ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה:x-
2
b
b
b
b2
2
0
2
2
log b x + bx + = 0 → x + bx +
= b → x + bx +
→ = 1 → x + bx + − 1 = 0
4
4
4
4
2
2
2
b2
− b ± b − 4 − 1
− b ± b2 − b2 + 4
−b±2
b
4
=
→
→
→ x = 1−
2
2
2
2
2
b
2
, x = −1 −
x1, 2
b
b
כלומר ,נקודות החיתוך עם ציר ה x-הן 1 − ,0 :ו. − 1 − ,0 -
2
2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 309
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
ד .נשרטט את הסקיצה של הפונקציה ) f (xעל סמך החקירה עד כה:
כיוון ש , b > 2 :נוכל לדעת היכן לסמן את נקודות החיתוך על ציר ה:x-
b
הביטוי
2
b
הביטוי − 1 −נמצא שמאלה יותר על ציר ה x-כי הוא קטן ב 2-מהביטוי
2
הקודם.
b
−נמצאת בדיוק ביניהן ,במרחק שווה משתיהן.
האסימפטוטה
2
1 −הוא בהכרח שלילי )כי השבר הימני גדול מ.(1-
ה.
* סעיף זה קשה מהרגיל.
נתבונן בטרנספורמציה ) . g ( x ) = f ( xללא חקירה נוספת נוכל לקבוע כי הטרנספורמציה הופכת את כל הערכים
השליליים של הפונקציה לחיוביים ,ואינה משפיעה כלל על הערכים
החיוביים .למעשה ,חלקי הפונקציה שנמצאים מתחת לציר ה x-מתהפכים
אל מעל לציר ה .x-שרטוט ) g (xנראה כך:
נוסיף לציור גם את הישר העובר בנקודות C,B,Aו.D-
b2
שיעורי הנקודה Aהם . 0, log b :בפונקציה ) f (xהנקודות BוC-
4
b2
היו מתחת לציר ה x-ושיעורי ה y-שלהן היה למעשה. − log b :
4
כך נוכל למצוא את שיעור ה x-המקורי שלהן ,שהוא למעשה אותו שיעור x
גם לאחר הטרסנפורמציה:
−1
b2
b2
b2
b2
→ log b x 2 + bx + = − log b → log b x 2 + bx + = log b
4
4
4
4
b2
b2 4
b2 4
4
logb x 2 + bx + = logb 2 → x 2 + bx + = 2 → x 2 + bx + − 2 = 0
4
4 b
4 b
b
b 2
b 2
x B = − +ו. xC = − − -
פתרונות המשוואה על פי נוסחת השורשים הם:
2 b
2 b
על פי הנתון המרחק בין הנקודות הוא 1ולכן:
b 2 b 2
2 2
4
x B − xC = 1 → − + − − − = 1 → + = 1 → = 1 → b = 4
2 b 2 b
b b
b
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 310
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 15
שאלה 1
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .נסמן את הנקודות Aו B-בשרטוט:
2
עלינו להוכיח כי מתקיים. y1 ⋅ y 2 = − p :
ניעזר במשוואת הפרבולה y 2 = 2 pxכדי לבטא את הנקודות Aו B-בעזרת
ערכי ה y-בלבד:
2
עבור הנקודה ) A( x1 , y1נקבל:
y1
) , y1
2p
2
(A
y
→ y1 = 2 px1 → x1 = 1
2p
2
y
עבור הנקודה ) B( x2 , y2נקבלB( 2 , y 2 ) :
2p
2
2
y
→ y2 = 2 px2 → x2 = 2
2p
2
p
המיתר ABעובר דרך מוקד הפרבולה ) . C ( ,0נביע באמצעות y1 , pו y2 -את שיפועי הישרים ACו,BC-
2
ולאחר מכן נשווה ביניהם:
y1 − 0
y1
y1 ⋅ 2 p
= 2
→ 2
→ 2
y1
y1 − p 2
y1 − p 2
p
−
2p 2
2p
y −0
y
y ⋅2p
= 22
→ 2 2 2 → 22
y2
y2 − p
y2 − p 2
p
−
2p 2
2p
y ⋅2p
y ⋅2p
y
y
2
2
= mBC → 21
= 22
→ → 2 1 2 = 2 2 2 → y1 y 2 − p 2 = y 2 y1 − p 2
2
2
y1 − p
y2 − p
y1 − p
y2 − p
)
(
)
(
m AC
mBC
m AC
→ ) y1 y 2 − y1 p 2 = y 2 y1 − y 2 p 2 → y1 y 2 − y 2 y1 = y1 p 2 − y 2 p 2 → y1 y 2 ( y 2 − y1 ) = − p 2 ( y 2 − y1
2
2
2
2
y1 y2 = − p 2
ב .נסמן את אמצע הקטע . D(t , k ) :AB
נבטא את הנקודה Dבאמצעות הנוסחה לאמצע הקטע:
2
2
y1
y
+ 2
(I ) xD = x A + xB → t = 2 p 2 p → 4 pt = y12 + y2 2
2
2
y A + yB
y1 + y 2
= (II ) y D
= →k
→ 2k = y1 + y 2
2
2
כעת עלינו "להיפטר" מהפרמטרים y1ו y2 -ולהישאר עם משוואה המקשרת בין tלבין .kניתן להשאיר את
הפרמטר pבמשוואה שתתקבל ,כי הוא נתון בשאלה ,אך לא את הפרמטרים y1ו y 2 -שאותם הוספנו כאמצעי
לפתרון .נשים לב שהאגף הימני של משוואה Iמכיל את ריבועי האיברים שבאגף הימני של משוואה .IIכדי להתקדם
בפתרון מערכת המשוואות ,נעלה את משוואה IIבריבוע(II ) (2k )2 = ( y1 + y 2 )2 → 4k 2 = y12 + 2 y1 y 2 + y 2 2 :
בסעיף א' הוכחנו כי . y1 y2 = − p 2 :נציב ונקבל:
2
4k 2 = y1 − 2 p 2 + y 2 → 4k 2 + 2 p 2 = y1 + y 2
2
2
2
) (II
כעת נוכל להשוות את Iו4 pt = 4k 2 + 2 p 2 :II-
כעת נחליף את tו k-ב x-ו2 y 2 = 2 px − p 2 :y-
→ 4 px = 4 y 2 + 2 p 2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 311
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה :2
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .ראשית נמצא את ישר החיתוך שבין שני המישורים הנתונים .לכן "ניפטר" ראשית מאחד הנעלמים.
ניתן "להיפטר" מהנעלם yעל ידי חיבור המשוואות .נחבר את שתי המשוואות ונקבל את המשוואה:
x + 2 y + 2z + 1 = 0
+
2 x − 2 y + z + 2 = 0
3x + 3z + 3 = 0
כלומר ,המשוואה המייצגת את ישר החיתוך היא. x + z + 1 = 0 :
נמצא שתי נקודות שרירותיות על ישר החיתוך.
נציב x = 0ונקבל . z = −1לאחר הצבת xו y-באחת ממשוואות המישורים נקבל y = 0.5ואת הנקודה:
). (0,0.5,−1
נציב z = 0ונקבל . x = −1לאחר הצבת xו z-באחת ממשוואות המישורים נקבל y = 0ואת הנקודה ). (−1,0,0
וקטור הכיוון העובר דרך שתי נקודות אלו הוא ) (−1,−0.5,1ולאחר הכפלה פי שניים. ( −2,−1,2) :
מכיוון שהמישור π 3עובר דרך ישר החיתוך ,נוכל לומר שווקטור המקדמים של המישור π 3מאונך לכיוון ישר
החיתוך .מתקבלת המשוואה:
−
2
a
−
b
+
2
c
=
0
→ ( a, b, c )( −2,−1,2) = 0
כעת נצטרך משוואה נוספת המקשרת בין b ,aו .c-נתון כי המישור π 3יוצר זוויות שוות עם שני המישורים הנתונים.
הזווית שהמישור π 3יוצר עם המישור π 1היא:
הזווית שהמישור π 3יוצר עם המישור π 2היא:
)(a, b, c)(1,2,2
a 2 + b 2 + c 2 12 + 2 2 + 2 2
)(a, b, c)(2,−2,1
a 2 + b 2 + c 2 2 2 + 2 2 + 12
= cos α
= cos α
נשווה בין שתי המשוואות) :יש לשים לב שמשיקולי ערך מוחלט יש להשוות בין המשוואות בשני מקרים(:
→ a + 2b + 2c = 2a − 2b + c → a − 4b − c = 0
)(a, b, c)(2,−2,1
a + b 2 + c 2 2 2 + 2 2 + 12
2
=
)(a, b, c)(1,2,2
2
1 +2 +2
2
2
2
a +b +c
2
2
או
→ a + 2b + 2c = −2a + 2b − c → 3a + 3c = 0
כעת יש לנו שתי מערכות של משוואות:
a − 4b − c = 0
או
א.
− 2a − b + 2c = 0
נקבל ,b=0 :ובהתאם .a=c
נניח a=1ונקבל c=1ואת המשוואה:
x+z+d =0
)− (a, b, c)(2,−2,1
2 + 2 +1
2
2
2
ב.
2
a +b +c
2
2
=
)(a, b, c)(1,2,2
2
1 +2 +2
2
2
2
a +b +c
2
2
3a + 3c = 0
− 2a − b + 2c = 0
נקבלa=(-c) :
נניח a=1ונקבל b=-4 ,c=-1 :ואת המשוואה:
x − 4y − z + d = 0
בתחילת סעיף א' מצאנו כי הנקודה ) (−1,0,0נמצאת על המישור . π 3
נציב את הנקודה בשתי המשוואות ונמצא את .d
−1 + d = 0 → d = 1
−1 + d = 0 → d = 1
המשוואה היאx + z + 1 = 0 :
המשוואה היאx − 4 y − z + 1 = 0 :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 312
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ב .לפי הנתון ניתן לראות כי משוואת המישור המתאימה מבין השתיים שמצאנו בסעיף הקודם היא. x + z + 1 = 0 :
)המישור מקביל לציר yולכן המקדם של yבמשוואת המישור שווה ל.(0-
כדי למצוא את הזווית שבין שני מישורים ,נחשב את הזווית שבין וקטורי המקדמים שלהם )שהם האנכים למישור(.
וקטור המקדמים של המישור π 3 : x + z + 1 = 0הוא ). (1,0,1
וקטור המקדמים של המישור π 2 : 2 x − 2 y + z + 2 = 0הוא ) . ( 2,−2,1נחשב את הזוית שבין המישורים:
2
o
→ α = 45
2
ג .לפי הנתוןA(1, y A , z A ) :
=
1
2
=
) C (−1,3, z C
3
3 2
=
2 +1
2 9
=
)(1,0,1)(2,−2,1
12 + 0 2 + 12 2 2 + 2 2 + 12
= cos α
) . B( x B , y B , z B
xB + 1
נמצא את שיעור xBבעזרת הנוסחה לאמצע קטע:
= −1 → x B = −3
2
הנקודה Cנמצאת במישור . π 3נציב את שיעוריה במשוואת המישור:
. x + z + 1 = 0 → −1 + z C + 1 = 0 → z C = 0
כעת אנו יודעים כי. B(−3, y B , z B ) , C (−1,3,0) , A(1, y A , z A ) :
כעת "ניפטר" מחלק מהמשתנים על ידי הצבת הנקודות Aו B-במשוואות המישורים עליהם הן נמצאות:
A → π 1 : x + 2 y + 2 z + 1 = 0 → 1 + 2 y A + 2 z A + 1 = 0 → z A = −1 − y A
B → π 2 : 2 x − 2 y + z + 2 = 0 → −6 − 2 y B + Z B + 2 = 0 → z B = 4 + 2 y B
נסכם . B(−3, y B ,4 + 2 y B ) , C (−1,3,0) , A(1, y A ,−1 − y A ) :מהנוסחה לאמצע קטע נקבל את שתי המשוואות:
y + yA
3= B
→ yB + y A = 6 → y A = 6 − yB
2
4 + 2 yB − 1 − y A
→ 3 + 2 yB − y A = 0 → y A = 3 + 2 yB
=0
2
מפתרון מערכת המשוואות נקבל y B = 1 :ועל ידי הצבה . z B = 6 :שיעורי הנקודה הם. B (−3,1,6) :
שאלה :3
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .נסמן . SA' = tSA :בהתאם לכך ,עלינו למצוא את הערך של .t
הגובה לבסיס נופל במרכז המעגל החוסם את הבסיס )כשהבסיס משולש שווה
צלעות ,נקודה זו היא גם מפגש התיכונים( .נסמן את מפגש התיכונים במשולש
∆ABCכנקודה .Oנסמן את מפגש התיכונים במשולש ' ∆A' B' Cכנקודה '.O
נתבונן במשולש . ∆AOSניתן לראות כי הקטע ' A'Oמקביל לקטע ,AOולכן
מתקיים במשולש ∆AOSמשפט תאלס.
' SA' SO
=
,ומכאן נובע כי. SO' = tSO :
כלומר
SA SO
נתבונן במשולש . ∆ACSניתן לראות כי הקטע ' A'Cמקביל לקטע ,ACולכן
מתקיים גם במשולש ∆ACSמשפט תאלס.
' SA' A' C
=
,ולכן. A' C ' = tAC :
כלומר
SA
AC
לבסוף ,ניתן לראות כי משולש ∆A' B' C ' ~ ∆ABCולכן יחס השטחים שלהם
שווה לריבוע יחס הדמיוןS ∆A'B 'C ' = t 2 S ∆ABC :
). (1
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 313
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
נתון כי הנפח הכלוא בין המישור ' A' B' Cלבין הבסיס ,ABCגדול פי שבעה מהנפח הכלוא בין המישור ' A' B' C
לבין הקודקוד .Sמכאן נובע כי נפח הפירמידה כולה ,גדול פי שמונה מנפח הפירמידה הקטנה '.SA'B'C
נביע את נפחי שתי הפירמידות:
'S A'B 'C ' ⋅ SO
S ABC ⋅ SO
= , VSABC
3
3
= ' VSA'B 'C
)(2
t 2 S ABC ⋅ tSO t 3 S ABC ⋅ SO
=
נציב בנפח הפירמידה הקטנה ) (2את היחס שמצאנו קודם ) (1ונקבל:
3
3
על פי הנתון ' = 8 ⋅ VSA'B 'C
. VSABCנפתח את המשוואה:
1
S ABC ⋅ SO
t 3 S ABC ⋅ SO
1
→
⋅= 8
= → 1 = 8t 3 → t 3 = → t
2
3
3
8
מכאן נובע כי הנקודה ' Aמחלקת את המקצוע ASביחס .1:1
' VSABC = 8 ⋅VSA'B 'C
ב .נסמן .AS=2nבמשולש ישר הזוית ∆AOSנביע את אורך :AO
AO AO
=
)→ AO = 2n cosα (3
= . cos α
AS
2n
במשולש AO , ∆ABCהוא רדיוס המעגל החוסם.
באמצעות משפט הסינוסים במשולש ∆ABCנביע את אורך :AC
AC
AC
→ = 2 AO
)= 4n cos α → AC = 2 3n cos α (4
sin 60
3
2
כיוון שהבסיס ABCהוא משולש שווה צלעות ,נקבל שגם. BC = 2 3n cos α (5) :
1
בנוסף ,כיוון ש B'C ' -הוא קטע אמצעים במשולש , ∆BCSנקבל BC :
2
מהנתון לגבי שוויון ההיקפים ומ 4,5 :ו 6-נקבל:
= ' B ' Cולכן ). B' C ' = 3n cos α (6
P∆ABC = PBCC 'B ' → 3 AC = BC + CC '+ B' C '+ B' B → 6 3n cosα = 2 3n cosα + 3n cosα + n + n : n
o
→ α = 67.36
2
= 6 3 cos α = 2 3 cos α + 3 cos α + 2 → 3 3 cos α = 2 → cos α
3 3
ג .שטח הבסיס של הפירמידה הוא )ניעזר ב:(4-
= 3 3n 2 ⋅ 0.148 = 0.77n 2
3
)
2
(
AC 2 sin 60 2 3n ⋅ cos 67.36 o
=
2
4
S ∆ABC
נחשב את גובה הפירמידה SOבתוך המשולש ישר הזווית : ∆AOS
SO
S0
= → 0.923
→ SO = 1.846n
AS
2n
= )sin (67.36°
נציב במשוואת נפח הפירמידה:
S ABC ⋅ SO 0.77 n ⋅ 1.846n
=
= 0.474n 3 = 62 → n 3 = 130.86 → n = 5.07
3
3
נזכור כי לפי הסימון המקורי מתחילת התרגיל ,AS=2nולכן אורך המקצוע הצדדי הוא:
10.15ס"מ = AS = BS = 2n
2
= VSABC
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 314
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
שאלה :4
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .הפונקציות הן g ( x) = ln(a + x) , f ( x) = m ⋅ ln(a − x) :ונתון ש. 3 < a,0 < m :
שתי הפונקציות מוגדרות כאשר הביטוי שבתוך ה ln-גדול מ:0-
x
=
a
.
מכאן שהאסימפטוטה האנכית היא בקצה תחום ההגדרה:
f ( x) → a − x > 0 → x < a
מכאן שהאסימפטוטה האנכית היא בקצה תחום ההגדרה. x = −a :
g ( x ) → a + x > 0 → x > −a
לשתי הפונקציות אין אסימפטוטות אופקיות.
ב .כדי למצוא את נקודת החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם ציר ה ,y-נציב :x=0
) f (0) = m ⋅ ln(a) → (0, m ⋅ ln a
) g (0) = ln(a) → (0, ln a
כדי למצוא את נקודת החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם ציר ה ,x-נשווה את הפונקציות ל:0-
)f ( x) = m ⋅ ln(a − x) = 0 → ln(a − x) = 0 → a − x = e 0 → x = a − 1 → ( a − 1,0
)g ( x) = ln(a + x) = 0 → a + x = e 0 → x = 1 − a → (1 − a ,0
ג .כדי לקבוע היכן חותכים הגרפים את הצירים ,הסתמכנו על הנתון. 3 < a,0 < m :
)בעמוד הבא מופיע פתרון מלא לסעיף ד'(
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 315
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
ד .המשמעות של הטרנספורמציה h( x) = f ( x) + g ( x) :היא שעבור כל ,xערכי ה y-של הפונקציה ) h(xהם הסכום
של ערכי ה y-של הפונקציות ) f (xו . g (x ) -עלינו לצייר סקיצה באופן כללי ,ולכן נבחר שלוש נקודות "מפתח" בהן
קל לנו להעריך איפה תעבור הפונקציה ) . h(xנקודות אלו מודגשות בשרטוט .הגרפים של הפונקציות ) f (x
ו g (x ) -מופיעים בשרטוט בקווים רציפים ,והפונקציה החדשה ) h(xמופיעה במקווקו.
בנקודה ) ,(1גרף הפונקציה ) f (xחותך את ציר ה x-ולכן ערך ה y-של ) f (xשווה ל.0-
מכאן שערך ה y-של ) h(xבנקודה הזו שווה ל. h( x) = 0 + g ( x ) = g ( x) :
כלומר ,בנקודה ) (1גרף הפונקציה ) h(xחותך את גרף הפונקציה ) . g (x
באותו האופן ,בנקודה ) ,(2גרף הפונקציה ) g (xחותך את ציר ה x-ולכן ערך ה y-של ) g (xשווה ל.0-
מכאן שערך ה y-של ) h(xבנקודה הזו שווה ל. h( x ) = f ( x ) + 0 = f ( x ) :
3
כלומר ,בנקודה ) (2גרף הפונקציה ) h(xחותך את גרף הפונקציה ) . f (x
בנקודה ) ,(3לשני הגרפים של הפונקציות ) f (xו g (x ) -יש את אותו ערך ,y
מכאן שלפונקציה ) h(xבנקודה זו יש ערך yהגדול פי 2מערך ה y-של נקודת חיתוך זו.
כעת נחבר את שלוש הנקודות הללו בקו ונקבל את הצורה הכללית של גרף הפונקציה ). h(x
2
1
הפונקציה ) h(xמורכבת מחיבור של ) f (xו g (x ) -ולכן היא גם מוגדרת רק בתחום
שבו שתי הפונקציות מוגדרות , − a < x < a :בין שתי האסימפטוטות האנכיות.
ה .נסמן את הנתונים בשרטוט:
נקודות Cו D -הן נקודות החיתוך של הפונקציות ) g (xו f (x ) -עם ציר
ה ,x-ולכן שיעוריהן הם C (1 − a,0) :ו. D ( a − 1,0) -
הנקודה Aהיא נקודת החיתוך של הגרפים של הפונקציות ) h(xו. g (x ) -
על סמך סעיף ד' ,ניתן לראות כי לנקודות Aו D -שיעור xזהה ) .( x = a − 1
על מנת למצוא את שיעור ה y-של הנקודה ,Aנציב x = a − 1ב. g (x ) -
= a −1
g ( x) = ln(a + x) x
)→ y A = ln(a + a − 1) → y A = ln(2a − 1
כלומר ,שיעורי הנקודה Aהם. A( a − 1, ln(2a − 1)) :
נחזור על תהליך זה פעם נוספת עבור הנקודה Bונגלה כי שיעוריה הם:
)). B (1 − a, m ⋅ ln( 2a − 1
ניתן לראות כי , BC || FE || ADולכן שני המרובעים BCEFו FEDA -הם
טרפזים .הגובה בטרפז BCEFהוא אורך הקטע .OCהנקודות OוC-
נמצאות על ציר ה ,x-ולכן אורך הקטע OCהוא הפרש שיעורי ה x-של שתי הנקודות:
OC = x0 − xC = 0 − (1 − a) = a − 1
באופן דומה ניתן לראות כי הגובה בטרפז FEDAהוא הקטע ODשאורכו הוא . a − 1מכאן ש. OC = OD :
כדי למצוא את הערך של ,mנביע את שטחי שני הטרפזים בעזרת mונשווה ביניהם:
( AD + FE ) ⋅ OD
( BC + FE ) ⋅ OC
= , S FEDA
2
2
( BC + FE ) ⋅ OC ( AD + FE ) ⋅ OD
→ S BCEF = S FEDA
=
→ BC + FE = AD + FE → BC = AD
2
2
)BC = y B = m ⋅ ln(2a − 1
)AD = y A = ln(2a − 1
BC = AD → m ⋅ ln( 2a − 1) = ln( 2a − 1) → m = 1
= S BCEF
כיוון ש , 3 < a :הרי שהביטוי ) ln(2a − 1אינו מתאפס ,ולכן ניתן לצמצם אותו משני האגפים.
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 316
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
ארכימדס -פתרונות למידה
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
e x + e2
a ⋅ ex
ו:
א .שתי הפונקציות
f
(
x
)
=
ex
e x + e2
הפונקציות יש מנות של ביטויים מעריכיים ,שהם חיוביים לכל .xלכן ,תחום ההגדרה של שתי הפונקציות הוא כל .x
= ) g ( xמוגדרות כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי .בשתי
ב .נמצא תחילה את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ) : g (x
x
2
e
e
+ x
2
x
e
e = lim 1 + e = 1 + 0 + ≈ 1 → y = 1
∞→x
ex
ex
ex
כאשר ∞ → : x
ex e2
+
e2
e x e x = lim
1
+
כאשר ∞ : x → −אין אסימפ' → ∞ ≈ ∞ ≈ 1 +
∞x → −
ex
ex
ex
נמצא גם את שתי האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ) f (x
כאשר ∞ → : x
a ⋅ex
lim
a
a
ex
=
=
≈ a → y= a
x
2
2
∞→x
e
e
e
1 + 0+
+
1+ x
ex ex
e
lim
lim
ex + e2
=
x
∞→x
∞→x
e
lim
lim
ex + e2
=
x
∞x → −
∞x → −
e
lim
lim
a⋅e
=
x
2
x→∞ e +e
∞→x
x
∞a ⋅ e −
≈
x → −∞ e − ∞ + e 2
0+
כאשר ∞: x → −
≈0→ y=0
e2 + 0+
לפי השרטוט ניתן לראות כי המרחק בין האסימפטוטה y = 0לבין y = 1
lim
הוא .1המרחק בין y = 1לבין y = aהוא גם ,1ולכן חייב להתקיים:
. y = a = 2מכאן ,ש. a = 4 :
האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ) g (xהיא . y = 1שתי
האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ) f (xהן y = 0 :ו. y = 2 :
4 ⋅ e0
4
=
ג .נקודת החיתוך של גרף ) f (xעם ציר ה y-היא= = 0.69 :
0
2
e +e
1+ e2
4 ⋅ ex
נקודת חיתוך עם ציר ה x-תהיה כאשר= 0 → 4 ⋅ e x = 0 :
x
2
e +e
לעולם ,אין נקודת חיתוך עם ציר ה.x-
= ) . f (0כלומר. (0,0.69 ) :
= ) . f ( xמכיוון שביטוי מעריכי אינו מתאפס
e0 + e2
נקודת החיתוך של הפונקציה ) g (xעם ציר ה y-היא= 1 + e 2 = 2.89 :
0
e
בדיקה דומה לזו שעשינו עבור הפונקציה ) f (xתראה שגם כאן אין נקודת חיתוך עם ציר ה.x-
= ) . g (0כלומר. (0,2.89 ) :
ד .נשווה בין שתי הפונקציות:
)
(
→ 2e x = ± e x + e 2
)
2
e +e
4⋅e
e +e
→ x
=
→ 4e 2 x = e x + e 2
x
2
x
e
e +e
e
(
2e x = e x + e 2 → e x = e 2 → x = 2
2
x
x
2
x
4⋅e
=
e x + e2
x
→ )f ( x) = g ( x
למשוואה זו אין פתרון2e x = −e x − e 2 → 3e x ≠ −e 2 .
נציב את x = 2באחת מהפונקציות ונקבל את שיעורי נקודת החיתוך. A( 2, 2 ) :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 317
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ה .נתבונן בשרטוט .נפצל את השטח לשניים ב , x = 2 -ונביע כל אחד מנפחי גוף הסיבוב בנפרד.
את נפח גוף הסיבוב השמאלי V1נחשב באמצעות שיטת
ההצבה:
2
2
x
dx = π ⋅ 4e dx
∫1 e x + e 2
4e x
V1 = π ⋅ ∫ x
e + e2
1
2
ראשית ,נסמן. u = e x + e 2 :
du
נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= e x :
dx
du
נבודד את dxונקבל. dx = x :
e
.לבסוף
2
du
4e x
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת dx :u
∫ = V1ונציב בו: dx = x :
e
u
1
2
2
2
4e x
4e x du
4
∫ = V1
∫ → dx
= ∫ du
x
u
u e
u
1
1
1
2
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה. V1 = 4 ln(u ) 1 :
2
נציב בחזרה u = e x + e 2ונקבל את האינטגרל הסופי . V1 = π ⋅ 4 ln(e x + e 2 ) :כלומר:
1
)יח' נפח( V1 = π ⋅ 4 ln(e x + e 2 ) = π ⋅ (4 ln(2e 2 ) − 4 ln(e1 + e 2 ) ) = π ⋅ (4 ln(2e 2 ) − 4 ln(e + e 2 ) ) → = V1 = 4.77
2
1
נביע את נפח גוף הסיבוב הימני : V2
2
3
3
3
x
2
2
dx → π ⋅ e + e dx → π ⋅ 1 + e dx → π ⋅ 1 + e 2− x dx
∫2 e x
∫2 e x
∫2
)
(
e x + e2
V2 = π ⋅ ∫
ex
2
3
3
1
)יח' נפח( V2 = π ⋅ (x − e 2− x ) = π ⋅ (3 − e −1 − 2 + e 0 ) = π ⋅ 2 − → V2 = 5.13
2
e
כעת נביע את נפח גוף הסיבוב כולו:
9.9יחידות נפח = V1 + V2 = 4.77 + 5.13 → V
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 318
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
פתרון מלא -מבחן 16
שאלה 1
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .זוהי שאלת מקום גיאומטרי .בתרגילים מסוג זה ,נפעל לפי השלבים:
.1נסמן את הנקודה המבוקשת כ. P (t , m) :
.2נביע את שאר הנתונים באמצעות הפרמטרים tו. m -
.3נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי משוואת
המקום הגיאומטרי באמצעות הפרמטרים tו. m -
.4לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים tוm -
בפרמטרים xו y -בהתאמה.
הנקודות Mו N-הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה.x-
נציב במשוואת המעגל y = 0ונקבל:
x 2 + y 2 = k 2 → x 2 = k 2 → x = ±k
כלומר ,שיעורי נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה x-הם M (k ,0) :ו. N ( − k ,0) -
הישר המשיק למעגל בנקודה Nמאונך לרדיוס NOולכן מקביל לציר ה .y-מכאן ,שמשוואתו היא. x = −k :
נתון כי הישרים MPו PL-שווים באורכם .נבטא את אורך :PM
)d PM = (t − k ) + (m − 0
המרחק בין הנקודה Pלישר , x = −kהוא ההפרש שבין שיעורי ה x-של הנקודות ) P (t , mו) L( − k , m) -שרטוט(:
d PL = t − (− k ) = t + k
נשווה בין שני האורכים:
2
= t + k → (t − k ) + (m − 0) = (t + k ) → t 2 − 2kt + k 2 + m 2 = t 2 + 2kt + k 2
2
2
2
(t − k )2 + (m − 0)2
2
→ d PM = d PL
− 2kt + m 2 = 2kt → m 2 = 4kt
2
. y = 4kx
כעת ,כשהגענו למשוואה המקשרת בין tו , m -נחליף את האותיות ל x-ו y-בהתאמה ,ונקבל:
קיבלנו משוואת פרבולה ,ששיעורי המוקד שלה הם. (k ,0 ) :
ב .נתבונן בשרטוט.
הפרבולה הנתונה היא . y = 4kxמשוואת הפרבולה
הכללית היא , y 2 = 2 pxולכן בשאלתנו . p = 2k
הנקודה Dהיא נקודת החיתוך של המשיק לפרבולה בנקודה
Aושל הישר .CD
נמצא תחילה את משוואת המשיק:
הנקודה Eהיא מוקד הפרבולה , y 2 = 4kxולכן שיעור הx-
p 2k
= = . x Eכלומר. E (k ,0) :
שלה שווה ל= k :
2
2
2
שיעורי ה x-של הנקודות Aו E-זהים .נציב x = kבמשוואת הפרבולה ונקבל את שיעור ה y-של הנקודה :A
כלומר ,שיעורי הנקודה Aהם. A( k ,2k ) :
. y 2 = 4k ⋅ k → y = 4k 2 → y = 2k
נמצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה ,Aעל פי הנוסחה: y ⋅ y 0 = p( x + x0 ) :
y ⋅ 2 k = 2k ( x + k ) → y = x + k
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 319
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
המשיק למעגל מאונך לרדיוס המעגל בנקודת ההשקה ,ולכן הישרים CDו AD -מאונכים זה לזה .מכאן ששיפועו של
הרדיוס CDהוא .-1נמצא את משוואת CDהעובר בנקודה ) C (c,0ושיפועו ,-1בעזרת נוסחת הקו הישר:
y − 0 = −1( x − c ) → y = − x + c
נשווה את משוואות שני הישרים ונמצא את שיעורי הנקודה :D
c−k
2
c−k c+k
,
ולאחר הצבה באחת המשוואות נקבל כי שיעורי הנקודה הם) :
(. D
2
2
= x + k = − x + c → 2 x = c − k → xD
ג .לפי הנתון , BD = 3 AD ,ומכאן שהנקודה Aמחלקת את הקטע BDביחס של .2:1ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע
xB + 2 ⋅ xD
−k +c−k
ביחס נתון:
→ = xA
= k → − 2 k + c = 3k → c = 5 k
3
3
לסיכום :שיעור הנקודה Cהם. C (5k ,0 ) :
ד .נסכם את שיעורי קדקודי המרובע A(k ,2 k ) , D (2 k ,3k ) , C (5k ,0 ) :ADCEו. E (k ,0 ) -
המרובע ADCEמורכב מהמשולש ∆ACDומהמשולש . ∆ACEנביע בנפרד את שטחי שני המשולשים:
AD ⋅ CD
2
2
= : S ∆ACDנמצא תחילה את אורכי ניצבי המשולש= (2 k − k ) + (3k − 2 k ) → d AD = 2 k :
2
→ d CD = 18k
(5k − 2k )2 + (0 − 3k )2
d AD
= d CD
AD ⋅ CD
2 k ⋅ 18 k
2
לסיכום ,שטח המשולש ∆ACDהוא:
= → S ∆ACD
→ S ∆ACD = 3k
2
2
אורך הצלע AEהוא שיעור ה y -של הנקודה ,Aואורך ECהוא הפרש שיעורי ה x-של הנקודות Cו .E-נביע את
AE ⋅ EC
2k ⋅ 4k
שטח המשולש : ∆ACE
= S ∆ACE
→
= 4k 2
2
2
לבסוף נביע את שטח המרובע S ADCE = S ∆ACD + S ∆ACE = 3k 2 + 4k 2 = 28 → k 2 = 4 → k = ±2 :ADCE
= S ∆ACD
כיוון שנתון , k > 0הרי שהפתרון היחיד הוא. k = 2 :
הנקודה Bהיא נקודת החיתוך של הישר BDשמשוואתו y = x + 2עם ציר ה .x-נציב y=0ונקבל כי . x B = −2
p
מכאן שבפרבולה שמוקדה בנקודה . = −2 ,B
2
2
2
כלומר ,משוואת הפרבולה שמוקדה בנקודה Bהיא. y = 2 px → y = −8 x :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 320
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
שאלה 2
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .תחילה נפתור את שתי המשוואות בעזרת נוסחת השורשים:
Z 2 − 2 cos α ⋅ Z + 1 = 0
2
2
)2 cos α ± 4 cos 2 α − 4 2 cos α ± 4(cos α − 1) 2 cos α ± 2 (cos α − 1
=
=
=
)= cos α ± (cos 2 α − 1
2
2
2
Z 1, 2
ניעזר בזהות הבסיס cos 2 α + sin 2 α = 1 :ולאחר העברת אגפים. cos 2 α − 1 = − sin 2 α :
Z1, 2 = cosα ± − sin 2 α → Z1, 2 = cosα ± i sin 2 α → Z1, 2 = cosα ± i sin α
כלומר ,פתרונות המשוואה במישור גאוס הם A(cos α , sin α ) :ו. B (cos α ,− sin α ) -
באופן דומה נמצא את פתרונות המשוואה: Z 2 − 2 sin α ⋅ Z + 1 = 0 :
2 sin α ± 4 sin 2 α − 4
= Z 1, 2
→ Z 1, 2 = sin α ± i cos α
2
כלומר ,פתרונות המשוואה במישור גאוס הם C (sin α , cos α ) :ו. D (sin α ,− cos α ) -
כל הפתרונות יימצאו על מעגל קנוני אחד במידה ולארבעתם יש ערך rזהה.
נזכור כי r = x 2 + y 2 :ונקבל כי הרדיוס של הנקודה , Aלמשל ,הואrA = cos 2 α + sin 2 α = 1 :
בדיקה של שלושת הפתרונות האחרים באותו האופן מעלה כי בכולם . r = 1מכאן שכל ארבעת הפתרונות נמצאים
על אותו מעגל קנוני :מעגל היחידה.
ב .נמקם את הפתרונות במישור גאוס ונקבל כי המרובע ABCDהוא טרפז
שווה שוקיים שבסיסיו מקבילים לציר ה.y-
אורך הבסיס ABהוא ההפרש בערכי ה y-של הנקודות Aו:B-
AB = sin α − (− sin α ) → AB = sin α + sin α → AB = 2 sin α
אורך הבסיס CDהוא ההפרש בערכי ה y-של הנקודות Cו:D-
CD = cosα − (− cosα ) → CD = cosα + cosα → CD = 2 cos α
גובה הטרפז הוא ההפרש בערכי ה x-של הנקודות Aו .C-נסמן אותו בh-
ונקבלh = cosα − sin α :
כעת נציב ונחשב את שטח הטרפז:
) ( AB + CD ) ⋅ h 2(cos α + sin α )(cos α − sin α
= S ABCD
=
= cos 2 α − sin 2 α
2
2
הביטוי שקיבלנו הוא למעשה cos 2αונוכל לסכם כי. S ABCD = cos 2α :
ג .על סמך הסעיפים הקודמים נוכל לסמן את הנקודות בשרטוט כך:
הטרפז הוא שווה שוקיים ולכן שני אלכסוני הטרפז שווים זה לזה.
נמצא את אורך אלכסון הטרפז :AD
→ AD = (cos α − sin α ) 2 + (sin α + cos α ) 2
→ AD = cos 2 α − 2 cos α sin α + sin 2 α + cos 2 α + 2 cos α sin α + sin 2 α
AD = 2(cos 2 α + sin 2 α ) → AD = 2
ניעזר בנוסחה לחישוב שטח מרובע על פי שני אלכסוניו והזווית שביניהם ונקבל:
AD ⋅ CB ⋅ sin β
2 ⋅ 2 sin β
= S ABCD
= → S ABCD
→ S ABCD = sin β
2
2
נשווה את השטח לזה שמצאנו בסעיף ב' ונקבל:
sin β = cos 2α → sin β = sin(90° − 2α ) → β = 90° − 2α
או
β = 180° − (90° − 2α ) → β = 90° + 2α
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 321
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ארכימדס -פתרונות למידה
שאלה 3
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .נסמן בשרטוט , AA' = xולכן . AB = 3x :זווית הראש במשולש שווה
השוקיים ∆ABCשווה ל ,200-ולכן זוויות הבסיס של המשולש שוות ל.800-
סעיף א' עוסק במציאת זווית בין שני המישורים ' ACE'Dו .ABC -כדי למצוא
זווית בין שני מישורים ,נוריד בכל אחד מהמישורים אנך לישר החיתוך של
המישורים ,ונמצא את הזווית שבין שני האנכים ,כמתואר בשרטוט:
נשתמש בבניות עזר:
נוריד את ' DDאל אמצע הקטע .ABניתן לראות כי המרובע
' ADD'Aהוא מלבן ולכן. AA' = DD' = x :
ישר החיתוך שבין שני המישורים ' ACE'Dו ABC -הוא המקצוע
.ACבכל אחד משני המישורים ' ACE'Dו ABC -נוריד אנך לישר
החיתוך.
במישור ,ABCהאנך לישר החיתוך הוא .DM
במישור ' ,ACE'Dהאנך לישר החיתוך הוא .D'M
האנכים DMו D'M-נפגשים בנקודה Mמשיקולי סימטריה:
המרובעים DEE'D' ,MNEDו E'NMD' -הם מלבנים ולכן
.(DE=D'E'=MN
נמצא את אורכו של MDבמשולש ישר הזווית : ∆AMD
MD
= sin 80 → MD = 1.47 x
1 .5 x
כעת נמצא את הזווית שבין שני המישורים ,כזווית שבין הישרים ' MDו MD -במשולש ישר הזווית : ∆DD' M
'DD
x
= tan α
= → tan α
→ tan α = 0.67 → α = 34.09°
MD
1.47 x
ב .תחילה נמצא את אורכו של BPבמשולש ישר הזווית : ∆BPA
BP
= sin 80 → BP = 2.95 x
3x
1
נזכור כי O1הוא מפגש התיכונים ולכן , PO1 = BPולאחר
3
הצבה. PO1 = 0.98 x :
את אורכו של MO1נמצא במשולש ישר הזווית : ∆MO1 P
MO1
MO1
2
→ = tan 34.09
= tan 34.09 → MO1 = x
PO1
3
0.98 x
נשים לב כי O1O2הוא גובה במנסרה ולכן אורכו .x
קל לראות כי:
2
1
MO2 = O1O2 − MO1 → MO2 = x − x → MO2 = x
3
3
2
x
MO1 3
=
=2
ולבסוף:
MO2 1
x
3
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 322
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 4
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
[
]
א (1) .הפונקציה f ( x ) = log a ( x − a − 1)2 + a 2מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה log-חיובי.
מכיוון שהביטוי ( x − a − 1)2 + a 2הוא חיבור של שני ביטויים חיוביים ו , a > 1 -הפונקציה ) f (xמוגדרת לכל .x
הפונקציה g ( x) = 2a x −1 − a 2 x − 2 + a + 1היא חיבור של ביטויים מעריכיים המוגדרים לכל xולכן ניתן לקבוע כי גם
הפונקציה ) g (xמוגדרת לכל .x
) (2מכיוון ששתי הפונקציות מוגדרות לכל ,xאין לפונקציות אסימפטוטות אנכיות.
למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מה קורה כאשר xשואף לאינסוף ולמינוס אינסוף.
בפונקציה ) : f (x
]
[
∞ ≈ ) ∞( f ( x) = log a (∞ − a − 1) + a 2 ≈ log a
2
lim
∞→x
← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפ' אופקית
בתחום החיובי.
]
[
lim
∞ ≈ ) ∞( f ( x) = log a (− ∞ − a − 1) + a 2 ≈ log a
∞x → −
אופקית בתחום השלילי .לסיכום ,לפונקציה ) f (xאין אסימפטוטות אופקיות.
2
← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפטוטה
lim
∞g ( x ) = 2a ∞ −1 − a 2∞ −2 + a + 1 ≈ 2a ∞ − a 2 ∞ + a + 1 ≈ −
∞→x
בפונקציה ) : g (x
כלומר ,הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן בתחום x > 0אין אסימפטוטה אופקית.
lim
2
1
g ( x ) = 2a −∞ −1 − a −2 ∞ −2 + a + 1 ≈ 2a −∞ − a − 2 ∞ + a + 1 ≈ ∞ − 2 ∞ + a + 1 ≈ 0 − 0 + a + 1 = a + 1
∞x → −
a
a
כלומר ,הפונקציה שואפת ל a+1 :ולכן בתחום x < 0האסימפטוטה האופקית היא. y = a + 1 :
) (3כדי למצוא את נקודות הקיצון נגזור את שתי הפונקציות ונשווה את הנגזרת ל .0-נגזור את הפונקציה ) : f (x
= 0 → x − a −1 = 0 → x = a +1
נציב את xבפונקציה המקורית ונמצא את ערך yשל הנקודה:
(a ) = 2
2
a
] = log
2
)2( x − a − 1
(x − a − 1)2 + a 2
= )f ' ( x
[
f ( a + 1) = log a (a + 1 − a − 1) + a
2
כדי לגלות את סוגה של נקודת הקיצון ) B ( a + 1,2נציב את ערך ה x-של הנקודה בנגזרת השנייה ונבדוק את סימנה.
. f ' ' ( x) = 2
מספיק לגזור את המונה של הנגזרת הראשונה.
הנגזרת השנייה חיובית ומכאן שזוהי נקודת מינימום .לסיכום קיבלנו את הנקודה . B ( a + 1,2) min
נגזור את הפונקציה ) : g (x
2 x− 2
x −1
2 x −2
−a ) =0→a = a
→ x −1 = 2x − 2 → x = 1
נציב את xבפונקציה המקורית ונמצא את ערך yשל הנקודה:
x −1
⋅ 2 ln a = 0 → 2 ln a(a
2 x− 2
ln a − a
x −1
g ' ( x ) = 2a
g (1) = 2a 0 − a 0 + a + 1 = 2 − 1 + a + 1 = a + 2
כדי לגלות את סוגה של נקודת הקיצון ) (1, a + 2נציב את ערך ה x-של הנקודה בנגזרת השנייה ונבדוק את סימנה.
מספיק לגזור את הביטוי a x −1 − a 2 x − 2שבנגזרת הראשונה ,מכיוון שהביטוי 2 ln aחיובי לכל xואינו משפיע על
) g ' ' ( x) = a x−1 ln a − a 2 x−2 ⋅ 2 ln aנגזרת מקוצרת -סימן(.
סימנה של הנגזרת השנייה.
0
0
נציב את x=1ונבדוק את הסימן:
g ' ' (1) = a ln a − a ⋅ 2 ln a = − ln a
הנגזרת השנייה שלילית ומכאן שזוהי נקודת מקסימום .לסיכום קיבלנו את הנקודה. A(1, a + 2) max :
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 323
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ב .אין צורך להשוות את הפונקציות כדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש .נוכל להסתמך על החקירה שעשינו עד כה.
באופן כללי ניתן לשרטט את שתי הפונקציות בשלושה אופנים ,כך שיתקיימו התנאים שמצאנו:
במצב זה אין נקודות חיתוך
במצב זה יש שתי נקודות חיתוך.
במצב זה יש נקודת חיתוך אחת
כלומר ,יתכנו לכל היותר שני פתרונות למשוואה הנתונה.
ג .תחילה נמצא את משוואת הישר .ABנמצא את שיפוע הישר באמצעות הנוסחה לשיפוע דרך שתי נקודות:
)2 − (a + 2
−a
= → m AB
= m AB
→ m AB = −1
a +1−1
a
משוואת הישר ששיפועו -1העובר דרך הנקודה ) A(1, a + 2היא:
y − (a + 2) = −1( x − 1) → y = − x + 1 + a + 2 → y = − x + a + 3
הנקודה Cהיא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה .x-נציב במשוואת הישר :y=0
)0 = − x + a + 3 → xC = a + 3 → C (a + 3,0
הנקודה Dהיא נקודת החיתוך של הישר עם האסימפטוטה . y = a + 1נציב במשוואת הישר : y = a + 1
)a + 1 = − x + a + 3 → x D = 2 → D ( 2, a + 1
הנקודה Dמחלקת את הקטע ACביחס של .1:3ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון:
3 x A + xC
3 ⋅1 + a + 3
= xD
=→2
→a+6=8→ a =2
3 +1
4
ד .נתבונן בשרטוט במקרה בו הפונקציות נחתכות בשתי נקודות
שונות .נמצא תחילה את שיעורי הנקודות Eו ,F-נקודות החיתוך של
האסימפטוטה y = 3והפונקציה ) : f (x
]
[
3 = log 2 ( x − 3) + 4 → 2 3 = ( x − 3) + 4 → x 2 − 6 x + 5 = 0
2
2
פתרונות המשוואה הם x=1ו.x=5-
נתון כי xF > xE :ולכן שיעורי הנקודה Eהם. E (1,3) :
Gהיא נקודת החיתוך של האסימפטוטה y = 3והפונקציה ) : g (x
= 0 → 2 x − 2 2 x −2 = 0 → 2 x = 2 2 x −2 → x = 2 x − 2 → x = 2
כלומר ,שיעורי הנקודה Gהם. G ( 2,3) :
2 x−2
−2
x −1
+3 → 2⋅2
2 x−2
−2
x −1
3 = 2⋅2
נבצע את האינטגרל למציאת השטח:
2 x−2 2
2x 2
−
→
ln 2 2 ln 2 1
)
(
2
(
)
2
→ S = ∫ 2 ⋅ 2 x −1 − 2 2 x −2 + 3 − 3 dx → S = ∫ 2 x − 2 2 x − 2 dx
1
1
2− 2
2⋅2− 2
2
2
2
2
4
4
2
1
4
2
2
1
= → S
−
−
−
−
−
+
= →S
−
−
+
→
ln 2 2 ln 2 ln 2 2 ln 2
ln 2 2 ln 2 ln 2 2 ln 2
ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2
1
2
=S
)יח"ר( S = 0.721
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 324
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
שאלה 5
* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(
א .הפונקציה
50 x + 1
50 x 2 + 2 x + 12
3
= ) f ( xמוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש במכנה גדול מ.0-
− 2 ± 4 − 4 ⋅ 50 ⋅12
100
2
הביטוי בתוך השורש שלילי ולכן אין פתרונות .המקדם של x 2חיובי ,ולכן הביטוי 50 x + 2 x + 12מייצג פרבולה
= 50 x 2 + 2 x + 12 > 0 → x1, 2
"מרחפת" מעל ציר ה x-בצורת ∪ .כלומר ,הביטוי 50 x 2 + 2 x + 12חיובי לכל ,xולכן הפונקציה מוגדרת לכל .x
ב .בכדי להראות שגרף הפונקציה עולה לכל ,xנגזור את הפונקציה ,אך לפני כן ,נסדר את המכנה בתצוגה של חזקה:
50 x + 1
= )f ( x
1
(50x 2 + 2x + 12)3
)' ⋅ (50 x + 1
=
)
1
3
1
⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 − 50 x 2 + 2 x + 12
(
2
(
)
')(50 x + 1
= )f ' ( x
1
50 x 2 + 2 x + 12 3
1
2
−
1
)50 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 − ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 ⋅ (50 x + 1) ⋅ (100x + 2
3
= )f ' ( x
=
1 2
2
50 x + 2 x + 12 3
(
)
(
)
)
)
(
2
=
2
3
)
)2(50 x + 1
4
3
)
1
3
(
50 ⋅ 50 x + 2 x + 12 −
(
2
3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12
2
3
2500x 2 + 100x + 1798
)
(
(
2
=
)
+ 2 x + 12
)
2
= )f ' ( x
(50x
(
)150 ⋅ 50 x + 2 x + 12 − 2(50 x + 1
3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12
4
3
)
2
(
= )f ' ( x
3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12
הביטוי במכנה הוא כאמור חיובי.
הביטוי 2500 x 2 + 100 x + 1798במונה הוא פרבולה שאינה מתאפסת .אם ננסה להשוות אותה ל ,0-נמצא שאין לה
פתרונות .במונה ,המקדם של x 2הוא חיובי ,ולכן המונה מייצג פרבולה מרחפת מעל ציר ה x-בצורת ∪ .כלומר,
המונה חיובי לכל .xלסיכום ,נגזרת הפונקציה חיובית לכל xולכן הפונקציה עולה לכל .x
1
ג .נקודת החיתוך עם ציר ה= 0.43 → (0,0.43) :y-
12
נקודת החיתוך עם ציר ה:x-
50 x + 1
1
→y=0
)= 0 → 50 x + 1 = 0 → x = − → (−0.02,0
2
3
50
50 x + 2 x + 12
ד .הפונקציה עולה לכל xועוברת דרך שתי נקודות החיתוך עם הצירים.
לכן ,השרטוט הוא:
3
= )x = 0 → f (0
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
עמוד 325
ארכימדס -פתרונות למידה
הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
ה .נתבונן בשרטוט .ראשית נעביר את שני האנכים x = 1ו. x = 2 -
כדי להעלות על השרטוט את הישר y = − px + 2 pנמצא את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים:
נציב x = 0ונקבל. y = 2 p :
כלומר ,החיתוך עם ציר ה y-בנקודה. (0,2 p ) :
נציב y = 0ונקבל. x = 2 :
כלומר ,החיתוך עם ציר ה x-בנקודה. (2,0) :
בהתאם לנתון 0 < pניתן לסמן את שתי נקודות החיתוך
בשרטוט ,ולהעביר דרכן את הישר . y = − px + 2 p
כעת ,נביע באמצעות pאת שני השטחים S1ו S 2 -ונשווה
ביניהם .חישוב השטח S 2קל יותר:
p
2
2
= S2
2
2
px
p
S 2 = ∫ (− px + 2 p )dx → S 2 = −
→ ) + 2 px → S 2 = −2 p + 4 p − ( − + 2 p
2
2
1
1
כדי לחשב את השטח , S1נוח יותר לחשב את שני השטחים יחד )השטח שמתחת לגרף הפונקציה( ,ולחסר ממנו את
S 2שכבר מצאנו dx :
2
3
50 x + 2 x + 12
כדי לחשב אינטגרל זה ,נשתמש בשיטת ההצבה:
50 x + 1
∫1
2
= S1 + S 2
du
ראשית ,נסמן . u = 50 x 2 + 2 x + 12 :נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל= 100 x + 2 :
dx
du
= . dx
לבסוף נבודד את dxונקבל:
)2(50 x + 1
50 x + 1
נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ∫ 3 u dx :u
du
ונציב בו:
)2(50 x + 1
.
= : dx
1
50 x + 1
50 x + 1
du
1
1 1
1 −3
dx
→
⋅
→
du
→
⋅
du
→
∫ 3u
∫ 3 u 2(50 x + 1) ∫ 2 ⋅ 3 u
∫2 3 u
∫ 2 ⋅ u du
2
3
2
1
3
−
1
1u
3
רק בשלב זה ,לאחר סידור האינטגרל עבור uנבצע את האינטגרציה עצמה∫ 2 ⋅ u du → 2 2 → 4 u 3 :
3
נציב u = 50 x 2 + 2 x + 12ונקבל את האינטגרל הסופי של
50 x + 1
50 x + 2 x + 12
2
3
והוא:
2
3
)
(
3
50 x 2 + 2 x + 12
4
.
כעת נחזור ונבצע את האינטגרל של S1 + S 2במלואו:
2
2
3
(200 + 4 + 12)3 − 3 (50 + 2 + 12)3 = 15
4
4
=
2 2
3
)
1
50 x + 1
3
dx → S1 = 50 x 2 + 2 x + 12
S1 + S 2 = ∫
2
3
4
1 50 x + 2 x + 12
(
p
p
= , S 2הרי שנקבל:
כלומר ,אם השטח המשותף S1 + S 2שווה ל ,15-והרי שמצאנו קודם ש:
2
2
p p
נשווה את שני השטחים ונמצא את ערכו של הפרמטר p = 15 :p
→ . 15 − 2 = 2
© כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 807
2
. S1 = 15 −
עמוד 326
© Copyright 2024