פתרונות מלאים למבחנים 11, 12, 13, 14, 15, 16

‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪11‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬נסמן את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ A‬באמצעות ‪.t‬‬
‫) ‪y 2 = 9 x → y = 9 x → A(t , 9t‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק באמצעות נוסחת המשיק לפרבולה‬
‫) ‪ , yy0 = p ( x + x0‬כמו כן נשים לב כי ‪: p = 4.5‬‬
‫‪4.5 x + 4.5t‬‬
‫= ‪y 9t = 4.5( x + t ) → y‬‬
‫‪9t‬‬
‫בנקודה ‪ C‬שיעור ה‪ y-‬של המשיק שווה ל‪:0-‬‬
‫‪4.5 x + 4.5t‬‬
‫=‪0‬‬
‫)‪→ 4.5 x + 4.5t = 0 → x = −t → C ( −t ,0‬‬
‫‪9t‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪ 10‬יחידות וזהו המרחק שבין הנקודות ‪ A‬ו‪:C-‬‬
‫‪→ 100 = 4t 2 + 9t → 4t 2 + 9t − 100 = 0‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪9t‬‬
‫( ‪(t − (−t ) )2 +‬‬
‫= ‪10‬‬
‫פתרונות המשוואה הריבועית הם‪ t = 4 :‬ו‪ . t = −6.25 -‬הנקודה ‪ A‬ברביע הראשון ולכן הפתרון השלילי נפסל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן ששיעורי מרכז המעגל הם )‪ , C (−4,0‬ומשוואת המעגל היא‪. ( x + 4 ) + y = 100 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתבונן בשרטוט‪:‬‬
‫נסמן את מרכז המעגל שמרכזו ‪ O3‬באמצעות פרמטרים‪:‬‬
‫) ‪ , O3 (t , k‬ואת רדיוסו כ‪ .R-‬ניתן לראות כי המרחק בין מרכז‬
‫המעגל ‪ O3‬לבין מרכז המעגל ‪ O1‬הוא ‪ .R+2‬כמו כן ניתן לראות כי‬
‫המרחק בין מרכז המעגל ‪ O3‬לבין מרכז המעגל ‪ O2‬הוא ‪.14-R‬‬
‫נבנה שתי משוואות בהתאם‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫) ‪O3 (t , k‬‬
‫‪R‬‬
‫‪14 − R‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪O1 (4,0‬‬
‫) ‪O 2 (− 4,0‬‬
‫‪( I ) R + 2 = (t − 4) 2 + k 2 → R 2 + 4 R + 4 = t 2 − 8t + 16 + k 2 → R 2 = t 2 − 8t + 12 + k 2 − 4 R‬‬
‫‪( II ) 14 − R = (t + 4) 2 + k 2 → 196 − 28 R + R 2 = t 2 + 8t + 16 + k 2 → R 2 = t 2 + 8t + k 2 − 180 + 28 R‬‬
‫‪t‬‬
‫נשווה בין ‪ I‬ו‪:II -‬‬
‫‪t 2 − 8t + 12 + k 2 − 4 R = t 2 + 8t + k 2 − 180 + 28 R → 32 R = 192 − 16t → R = 6 −‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את ערך ‪ R‬באחת המשוואות ‪ I‬או ‪ II‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪ 6 −  = t − 8t + 12 + k − 4 6 −  → 36 − 6t + = t − 8t + 12 + k − 24 + 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t2 k2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫→ ‪48 + = t + k → 192 + t = 4t + 4k → 3t + 4k = 192‬‬
‫‪+‬‬
‫→‪=1‬‬
‫‪64 48‬‬
‫‪4‬‬
‫‪64 48‬‬
‫המקום הגיאומטרי המתקבל הוא אליפסה קנונית‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪281‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬נשרטט במשולש ‪ ∆MNC‬גובה מהקדקוד ‪ C‬אל הצלע‬
‫‪ ,MN‬החותך אותה בנקודה ‪ .D‬כך נוכל להביע את שטח‬
‫‪MN ⋅ CD‬‬
‫= ‪. S ∆MNC‬‬
‫המשולש ‪ ∆MNC‬כ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫נוסיף את שיעורי הנקודה )‪ B (0,6,0‬לשרטוט )בעלת אותו‬
‫שיעור ‪ y‬כמו הנקודה '‪ ,B‬ונמצאת על ציר ה‪ .(y-‬נשים לב כי‬
‫על פי חישובי זוויות ניתן לראות כי המשולש ‪ ∆ABO‬הוא‬
‫ישר זווית שווה שוקיים‪ ,‬ונקבל את שיעורי הנקודה‬
‫)‪ . A(6,0,0‬באופן דומה נמצא את שיעורי הנקודה‬
‫)‪ . A' (6,0,6‬הנקודה ‪ N‬היא אמצע הקטע '‪ O'B‬ולכן שיעוריה‬
‫הם‪ . N (0,3,6) :‬באופן דומה נקבל את שיעורי הנקודה‬
‫)‪ . M (3,0,6‬נחשב את אורך הקטע ‪:MN‬‬
‫‪→ d MN = 18‬‬
‫‪(3 − 0)2 + (0 − 3)2 + (6 − 6)2‬‬
‫= ‪d MN‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ MN‬הוא קטע אמצעים במשולש '‪ , ∆A' B' O‬מכאן ש‪ . MN || A' B ' :‬כמו כן‪ , AB || A' B ' ,‬ולכן על פי‬
‫כלל המעבר‪ . MN || AB :‬כעת‪ ,‬ניתן לראות כי אורכו של הקטע ‪ CD‬הוא למעשה המרחק שבין שני הישרים‬
‫המקבילים ‪ AB‬ו‪ .MN -‬נבחר באופן אקראי נקודה על הישר ‪ ,MN‬למשל הנקודה )‪ , N (0,3,6‬ונחשב את מרחקה‬
‫מהישר ‪ .AB‬ההצגה הפרמטרית של ‪ AB‬היא‪:‬‬
‫)‪x : (6,0,0) + t (0 − 6,6 − 0,0 − 0) → x : (6,0,0) + t (−6,6,0) → x : (6,0,0) + t (−1,1,0‬‬
‫כדי לחשב את המרחק של הנקודה ‪ N‬מהישר ‪ ,AB‬יש למצוא אנך‬
‫לישר ‪ AB‬העובר דרך הנקודה ‪ .N‬נעשה זאת בעזרת הנקודה הכללית‬
‫‪ P‬המייצגת את הישר ‪ . P (6 − t , t ,0) :AB‬כיוונו של הווקטור ‪NP‬‬
‫הוא‪ , (6 − t − 0, t − 3,0 − 6) :‬ולאחר סידור‪. (6 − t , t − 3,−6) :‬‬
‫הוקטורים ‪ NP‬ו‪ AB -‬מאונכים זה לזה‪ ,‬ומכפלת כיווניהם היא ‪.0‬‬
‫כלומר מתקיים‪ . (6 − t , t − 3,−6) ⋅ ( −1,1,0) = 0 :‬מתקבלת המשוואה‬
‫‪ t − 6 + t − 3 = 0‬שפתרונה‪. t = 4.5 :‬‬
‫נציב ‪ t = 4.5‬בהצגה הפרמטרית של הישר ‪ AB‬ונקבל את הנקודה )‪. P (1.5,4.5,0‬‬
‫אורך הוקטור ‪ NP‬הוא‪ . d NP = (1.5 − 0) 2 + ( 4.5 − 3) 2 + (0 − 6) 2 :‬כיוון שאורכו שווה לאורך הוקטור ‪, NP‬‬
‫מתקיים‪ . CD = 40.5 :‬נציב את אורכי הישרים ‪ MN‬ו‪ CD -‬בנוסחת השטח‪ 13.5 :‬יח"ר = ‪. S∆MNC = 18 ⋅ 40.5‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬על מנת לחשב את הזווית שבין שני הישרים ‪ MB‬ו‪ ,A'N -‬נמצא תחילה את הוקטורים המחברים בין הנקודות‪:‬‬
‫)‪MB : (0 − 3,6 − 0,0 − 6) → MB : (−3,6,−6‬‬
‫)‪A' N : (0 − 6,3 − 0,6 − 6) → A' N : (−6,3,0‬‬
‫נחשב את הזווית שבין שני הווקטורים בעזרת המכפלה הסקלארית של שני הווקטורים‪:‬‬
‫‪36‬‬
‫‪MB ⋅ A' N‬‬
‫)‪(−3,6,−6) ⋅ (−6,3,0‬‬
‫‪18 + 18‬‬
‫‪→ α = 53.39°‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= ‪→ cos α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪60‬‬
‫‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫‪81 ⋅ 45‬‬
‫‪(−3) + 6 + (−6) (−6) + 3 + 0‬‬
‫‪MB ⋅ A' N‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪282‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן בישר ‪ ,A'N‬ונמקם עליו את הנקודה ‪.G‬‬
‫נשרטט את הווקטור ‪ , EF‬שהנקודה ‪ G‬היא אמצעו‪.‬‬
‫לפי הנתון‪ FG = 2 ,‬ומכאן שאורך ‪ EF‬הוא ‪ 4‬יח' אורך‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫הווקטור ‪ EF‬מקביל לווקטור ‪ , MB‬ומכאן שהזווית שמצאנו בסעיף ב'‪,‬‬
‫היא גם הזווית בין הוקטורים ‪ A' N‬ו‪. α = 53.39° : EF -‬‬
‫כמו שראינו בסעיף ב'‪. A' N = 45 ,‬‬
‫נחשב את שטח המרובע ‪ ,A'ENF‬באמצעות מכפלת אורכי האלכסונים והזוית שביניהם‪:‬‬
‫‪45 ⋅ 4 ⋅ sin 53.39°‬‬
‫)יח"ר( ‪→ S A'ENF = 10.77‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪A' N ⋅ EF ⋅ sin 53.39°‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S A'ENF‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ .‬תחילה נסדר את המקומות הגיאומטריים הנתונים‪ .‬נזכור כי כאשר‪ Z = x + yi :‬מתקיים‪: Z = x 2 + y 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2 + ( − y + 3) 2 = 5 → x + ( y − 3) = 25‬‬
‫→ ‪i ⋅ Z + 3 = 5 → i ⋅ ( x + yi ) + 3 = 5 → xi − y + 3 = 5‬‬
‫→ ‪Z − bi − a = 10 → x + yi − bi − a = 10 → x − a + ( y − b )i = 10 → ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = 10‬‬
‫‪( x − a) 2 + ( y − b) 2 = 100‬‬
‫מצאנו כי שני המקומות הגיאומטריים הם מעגלים ועלינו למצוא את שיעורי מרכז המעגל השני‪ ,‬כלומר‪ ,‬למצוא את‬
‫ערכם של ‪ a‬ושל ‪.b‬‬
‫‪4‬‬
‫נשרטט את המעגל הראשון‪ ,‬ולצידו את המשיק ששיפועו ‪. −‬‬
‫‪3‬‬
‫נסמן את שיעורי נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪ y-‬כ‪. (0, n) :‬‬
‫‪4‬‬
‫בהתאם‪ ,‬משוואת המשיק תהיה‪ y = − x + n :‬ולאחר סידור‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 4 x + 3 y − 3n = 0‬‬
‫רדיוס המעגל הוא המרחק שבין מרכז המעגל )‪ (0,3‬לבין המשיק‪.‬‬
‫נחשב את המרחק באמצעות נוסחת המרחק בין נקודה לישר‪.‬‬
‫לפי השרטוט‪ ,‬הנקודה נמצאת מתחת לישר ונוכל לכתוב את נוסחת‬
‫המרחק ללא ערך מוחלט‪ ,‬תוך הקפדה שהמקדם של ‪ y‬הוא חיובי‪:‬‬
‫‪9 − 3n‬‬
‫‪34‬‬
‫= ‪= −5 → −3n = −34 → n‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫→ ‪= −5‬‬
‫‪4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 − 3n‬‬
‫‪4 2 + 32‬‬
‫→ ‪=d‬‬
‫‪ax + by + c‬‬
‫‪a2 + b2‬‬
‫מכאן‪ ,‬שמשוואת המשיק היא‪. 4 x + 3 y − 34 = 0 :‬‬
‫)המשך הפתרון בעמוד הבא(‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪283‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫מרכזו של המעגל השני‪ , ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = 100 ,‬נמצא על הישר ‪ , y = x − 14‬ולכן‪ . b = a − 14 :‬נחשב את‬
‫המרחק שבין מרכז המעגל‪ (a, a − 14) ,‬לבין המשיק ‪ . 4 x + 3 y − 34 = 0‬הפעם איננו יודעים האם הנקודה נמצאת‬
‫מעל או מתחת לישר ולכן לא נוכל לוותר על הערך המוחלט‪:‬‬
‫‪ax + by + c‬‬
‫‪4a + 3a − 42 − 34‬‬
‫→ ‪=d‬‬
‫‪= 10 → 7 a − 76 = 50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪4 2 + 32‬‬
‫במשוואה עם ערך מוחלט יש לבדוק את שתי אפשרויות המשוואה | ‪: | 7 a − 76 = 50‬‬
‫‪7 a − 76 = 50 → 7a = 126 → a = 18‬‬
‫‪7 a − 76 = −50 → 7 a = 26 → a = 3.71‬‬
‫כיוון שנתון ששיעורי מרכז המעגל הם מספרים שלמים‪ ,‬הרי שהפתרון הנכון הוא ‪ a = 18‬ובהתאם נקבל‪. b = 4 :‬‬
‫לסיכום ‪ -‬מרכז המעגל בנקודה ששיעוריה‪. (18, 4) :‬‬
‫‪1− k‬‬
‫ב‪ .‬ראשית נפרק את המספר המרוכב ‪+ 0.25 ⋅ 16 k + 6i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Z 1 = 6 ⋅  ‬לשיעורי ‪ x‬ו‪ y-‬במישור גאוס‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1− k‬‬
‫‪+ 0.25 ⋅16 k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x = 6⋅ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y=6‬‬
‫‪  1 1− k‬‬
‫‪‬‬
‫המספר יהיה בתוך המעגל ‪ x 2 + ( y − 3) 2 = 25‬כאשר המרחק בין הנקודה הכללית ‪ 6 ⋅   + 0.25 ⋅ 16 k ,6 ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לבין מרכז המעגל )‪ (0,3‬יהיה קטן מרדיוס המעגל )‪:(R=5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1 1− k‬‬
‫‪‬‬
‫→ ‪ 6 ⋅   + 0.25 ⋅ 16 k − 0  + (6 − 3)2 < 5‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6 ⋅ 4k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6 ⋅ 4k‬‬
‫‪+ 9 < 5 → ‬‬
‫‪+ 0.25 ⋅ 4 2 k  + 9 < 25 → ‬‬
‫‪+ 0.25 ⋅ 4 2 k  < 16‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪6⋅4‬‬
‫‪ .‬נסמן ‪: t = 4 k‬‬
‫נוציא שורש משני האגפים ונקבל ‪+ 0.25 ⋅ 4 2 k < 4 :‬‬
‫‪4‬‬
‫)‬
‫‪2k 2‬‬
‫‪+ 0.25 ⋅ 4‬‬
‫‪k −1‬‬
‫‪(6 ⋅ 4‬‬
‫‪6t‬‬
‫‪+ 0.25 ⋅ t 2 < 4 → 0.25t 2 + 1.5t − 4 < 0‬‬
‫‪4‬‬
‫המאפסים הם‪ t = 2 :‬ו‪. t = −8 -‬‬
‫נשרטט את המאפסים על ציר ונצייר דרכם פרבולה 'מחייכת' )מקדם ‪ t‬הוא חיובי(‪:‬‬
‫ניתן לראות כי הפרבולה שלילית בתחום ‪ . − 8 < t < 2‬אולם‪ ,‬יש לזכור כי ‪ , t = 4 k‬ולכן בהכרח ‪ . t > 0‬כלומר‬
‫הפתרון המתאים הוא‪ . 0 < t < 2 :‬נציב בחזרה ‪ t = 4 k‬ונקבל כי‪:‬‬
‫‪0 < 4 k < 2 → 4 k < 4 0.5 → k < 0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫נשים לב שאי השוויון השמאלי ‪ 0 < t‬מתקיים לכל ‪ t‬מכיוון ש‪ . 4 k > 0 :‬ולכן התשובה הסופית היא‪. k < 0.5 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪284‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪ .‬נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫כמות התחלתית ‪M0‬‬
‫קצב הגידול ‪q‬‬
‫דגים‬
‫‪y‬‬
‫עופות‬
‫‪x‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪5y‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3x‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫כמות סופית ‪Mt‬‬
‫על פי הנוסחה‪ M t = M 0 ⋅ q t :‬נבנה משוואה על פי הנתון המתייחס לעופות‪:‬‬
‫‪5 y = y ⋅ q2 → 5 = q2‬‬
‫) ‪(II‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫נבנה משוואה על פי הנתון המתייחס לדגים‪:‬‬
‫לפי הנתון הנוסף‪ . q2 = 1.02q1 :‬נציב ב‪ (II)-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3x = x ⋅ q1 → 3 = q1‬‬
‫) ‪(I‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪5 = q 2 → 5 = (1.02q1 ) → 5 = 1.02 t ⋅ q1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫נציב את )‪ (I‬ונקבל‪:‬‬
‫) (‪ln‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪→t‬‬
‫)שבועות( ‪→ t = 25.79‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ln 1.02‬‬
‫ב‪ .‬נציב את ערך ‪ t‬שמצאנו ב‪ (I)-‬ונמצא את ‪:q1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪25.79‬‬
‫‪25.79‬‬
‫‪3 = q1 → 3 = q1‬‬
‫= ‪→ q1‬‬
‫‪3 → q1 = 1.043‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‪q2 = 1.02q1 → q2 = 1.02 ⋅ 1.043 → q2 = 1.064‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪5 = 1.02t ⋅ q1 → 5 = 1.02t ⋅ 3 → 1.02t‬‬
‫‪t‬‬
‫כעת נמלא את נתוני השאלה בטבלה‪:‬‬
‫כמות התחלתית ‪M0‬‬
‫קצב הגידול ‪q‬‬
‫זמן ‪t‬‬
‫כמות סופית ‪Mt‬‬
‫דגים‬
‫‪x‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x ⋅ q2‬‬
‫עופות‬
‫‪2x‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2 x ⋅ q1‬‬
‫על פי הנתון‪ ,‬הכמות הסופית של הדגים גדולה פי שלושה מהכמות הסופית של העופות ולכן נקבל את המשוואה‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3 ⋅ 2 x ⋅ q1 = x ⋅ q2‬‬
‫נזכור כי‪ q2 = 1.02q1 :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ln 6‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪6 ⋅ q1 = (1.02q1 ) → 6 ⋅ q1 = 1.02 t q1 → 6 = 1.02 t → t‬‬
‫)שבועות( ‪→ t = 90.48‬‬
‫‪ln1.02‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪285‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪tan x‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫= )‪ f ( x‬אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס‪ .‬נשווה את המכנה ל‪:0-‬‬
‫‪+ πk‬‬
‫נבדוק אילו פתרונות נמצאים בתחום‪ , − π ≤ x ≤ π :‬ונקבל כי הפתרונות הם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪cos 2 x = 0 → cos x = 0 → x‬‬
‫= ‪ x‬ו‪-‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x=−‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ‪ tan x‬ולכן גם הוא אינו מוגדר כאשר ‪. cos x = 0‬‬
‫נשים לב‪ :‬במונה מופיע ‪ . tan x‬נזכור כי‪:‬‬
‫‪cos x‬‬
‫ב‪ .‬נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ cos 2 x − (− 2 cos x sin x ) ⋅ e tan x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪= 0 → e tan x + sin 2 x ⋅ e tan x = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪+ πk‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ 2πk → x = −‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅ ‪e tan x‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪e tan x (1 + sin 2 x ) = 0 → sin 2 x = −1 → 2 x = −‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪‬‬
‫הפתרון היחיד בתחום ההגדרה הוא ‪ . x = −‬הצבה בפונקציה המקורית מעלה כי שיעורי הנקודה‪.  − ,0.73  :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫נבדוק את סוג נקודת הקיצון בעזרת טבלת עליה וירידה‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫אס'‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x=−‬‬
‫פיתול‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪<x<−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x=−‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫אס'‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫נציב בנגזרת‬
‫סימן הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫‪ min‬עולה‪/‬יורדת‬
‫‪max‬‬
‫‪ π‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנקודה ‪  − ,0.73 ‬היא נקודת פיתול‪ ,‬ואין לפונקציה נקודות קיצון בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נציב ‪ x=0‬בפונקציה המקורית ונקבל את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪. (0,1) :y-‬‬
‫‪e tan x‬‬
‫נשווה את הפונקציה ל‪ ,0-‬כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪= 0 → e tan x = 0 :x-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫הביטוי המעריכי אינו מתאפס ולכן אין לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה‪.x-‬‬
‫ד‪ .‬מצאנו שאין לפונקציה נקודת חיתוך עם ציר ה‪ x-‬אך מטבלת העליה והירידה‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ π ‬‬
‫מצאנו שהפונקציה עולה עבור‪ . − < x < − :‬מכאן נסיק כי בנקודה ‪ − ,0 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫יש נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪ .‬מצורף השרטוט המתאים‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪286‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ה‪ .‬תחילה נמצא את משוואת המשיק‪ .‬נקודת ההשקה היא )‪ . (0,1‬נציב ‪ x=0‬בנגזרת כדי למצוא את שיפוע המשיק‪:‬‬
‫‪e tan x + sin 2 x ⋅ e tan x‬‬
‫‪e tan 0 + sin 0 ⋅ e tan 0‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫= )‪→ f ' ( 0‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪cos 4 x‬‬
‫‪cos 4 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬משוואת המשיק העובר דרך הנקודה )‪ (0,1‬היא‪:‬‬
‫‪y − 1 = 1( x − 0) → y = x + 1‬‬
‫נתבונן בשרטוט‪.‬‬
‫את השטח נחשב באמצעות האינטגרל‪:‬‬
‫‪ e tan x‬‬
‫‪‬‬
‫→ ‪∫π  cos 2 x − ( x + 1) dx‬‬
‫‪−‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪ e tan x‬‬
‫‪‬‬
‫‪∫π  cos 2 x − x − 1dx‬‬
‫‪−‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫)המשך בעמוד הבא(‬
‫קל לחשב את האינטגרל של הביטוי ‪, − x − 1‬‬
‫‪e tan x‬‬
‫נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה‪ .‬ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = tan x :‬‬
‫אך כדי לבצע אינטגרציה לביטוי‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪du‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪. dx = cos x ⋅ du :‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪:‬‬
‫‪dx cos 2 x‬‬
‫‪eu‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬
‫∫ = ‪ S‬ונציב בו‪: dx = cos 2 x ⋅ du :‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪eu‬‬
‫‪eu‬‬
‫∫=‪S‬‬
‫‪dx‬‬
‫→‬
‫‪⋅ cos 2 x ⋅ du → ∫ e u du‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪∫ e du = e :‬‬
‫‪e tan x‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = tan x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ e tan x‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל‪dx :‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ S = ∫ ‬במלואו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫והוא‪. e tan x :‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(− ) 2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪tan‬‬
‫‪−‬‬
‫)‬
‫‪ e tan x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π ‬‬
‫‪tan x‬‬
‫‪tan 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪S= ∫‬‬
‫‪− x − 1dx → S = e −‬‬
‫‪− x → S = e − −0− e‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪π  cos x‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪S = 1 −  −‬‬
‫)יח"ר( ‪+  → S = 1 − 0.844 → S = 0.155‬‬
‫‪ e 32 4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪287‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪12‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬זוהי שאלת מקום גיאומטרי‪.‬‬
‫בתרגילים מסוג זה‪ ,‬נפעל לפי ארבעת השלבים‪:‬‬
‫‪ .1‬נסמן את הנקודה המבוקשת כ‪. P (t , k ) :‬‬
‫‪ .2‬נביע את שאר הנתונים באמצעות הפרמטרים ‪ t‬ו‪. k -‬‬
‫‪ .3‬נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי‬
‫משוואת המקום הגיאומטרי באמצעות הפרמטרים ‪ t‬ו‪. k -‬‬
‫‪ .4‬לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים ‪ t‬ו‪k -‬‬
‫בפרמטרים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתבונן בשרטוט‪ .‬הנקודה ) ‪ P (t , k‬היא מפגש התיכונים ולכן היא‬
‫מחלקת את התיכון ‪ OL‬ביחס של ‪ . 2 : 1‬נבטא את שיעורי הנקודה ‪L‬‬
‫באמצעות הנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון‪:‬‬
‫‪xO + 2 x L‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪= t → L = t → xL = 1.5t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪yO + 2 y L‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪= k → L = k → y L = 1 .5 k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הנקודה ) ‪ L(1.5t ,1.5k‬היא אמצע הצלע ‪ . MN‬נבטא את שיעורי הקדקוד ‪ N‬באמצעות הנוסחה לאמצע קטע‪:‬‬
‫‪xN + 1‬‬
‫‪= 1.5t → x N + 1 = 3t → x N = 3t − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yN −1‬‬
‫‪= 1.5k → y N − 1 = 3k → y N = 3k + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫הקדקוד )‪ N (3t − 1,3k + 1‬נמצא על הישר ‪ y = 2 x − 21‬ולכן נציב את שיעורי הנקודה במשוואת הישר‪:‬‬
‫‪y = 2 x − 21 → 3k + 1 = 2(3t − 1) − 21 → 3k + 1 = 6t − 2 − 21 → 3k = 6t − 24 → k = 2t − 8‬‬
‫כעת‪ ,‬לאחר שקיבלנו משוואה המקשרת בין ‪ t‬ו‪ ,k-‬נחליף את האותיות ב‪ x-‬ו‪ y-‬בהתאמה‪y = 2 x − 8 :‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את מרכז המעגל כנקודה‪. O(3, t ) :‬‬
‫אורך הרדיוס ‪ OB‬הוא מרחק הנקודה ‪ O‬מהמשיק ‪.AB‬‬
‫‪ax + by + c‬‬
‫= ‪.d‬‬
‫נבטא את האורך באמצעות הנוסחה למרחק נקודה מישר‪:‬‬
‫‪a 2 + b2‬‬
‫‪2t − 3 − 8‬‬
‫‪2t − 11‬‬
‫= ‪OB‬‬
‫= ‪→ OB‬‬
‫‪5‬‬
‫‪22 + 1‬‬
‫באופן דומה נבטא את אורך הרדיוס ‪:OC‬‬
‫‪t − 2⋅3 + 8‬‬
‫‪t+2‬‬
‫= ‪OC‬‬
‫= ‪→ OC‬‬
‫‪5‬‬
‫‪22 + 1‬‬
‫אורכי הרדיוסים שווים‪ ,‬ולכן נשווה את שני הביטויים‪:‬‬
‫‪→ 2t − 11 = t + 2‬‬
‫‪t+2‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪2t − 11‬‬
‫‪5‬‬
‫→ ‪OB = OC‬‬
‫במשוואות עם ערך מוחלט יש שתי אפשרויות לפתרון‪:‬‬
‫‪2t − 11 = t + 2 → 2t − 11 = t + 2 → t = 13‬‬
‫‪2t − 11 = t + 2 → 2t − 11 = −(t + 2) → t = 3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪288‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שני הפתרונות שהתקבלו הם ‪ t = 3‬ו‪ , t = 13 -‬ומכאן שמרכז המעגל נמצא בנקודה )‪ O(3,3‬או בנקודה )‪. O(3,13‬‬
‫נציב את הערך ‪ t = 3‬בביטוי‬
‫‪2t − 11‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪ R‬ונמצא את אורכו של רדיוס המעגל‪:‬‬
‫כלומר‪ ,‬משוואת המעגל שמרכזו בנקודה )‪ O(3,3‬היא‪:‬‬
‫‪= 5‬‬
‫‪2 ⋅ 3 − 11‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪. ( x − 3) + ( y − 3) = 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫באופן דומה נמצא כי משוואת המעגל שמרכזו בנקודה )‪ O(3,13‬היא‪. ( x − 3) + ( y − 13) = 45 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ B‬היא נקודת ההשקה של המשיק ‪ AB‬והרדיוס ‪.OB‬‬
‫נמצא תחילה את משוואת הישר ‪ .OB‬הרדיוס ‪ OB‬מאונך למשיק ‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן מתקיים‪ mOB ⋅ = −1 :‬ולבסוף‪. mOB = −2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא את משוואת הרדיוס ‪y − 3 = −2( x − 3) → y = −2 x + 9 :OB‬‬
‫כדי למצוא את שיעורי הנקודה ‪ ,B‬נשווה בין משוואות הישרים ‪ OB‬ו‪:AB-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+ 4 = −2 x + 9 → x + 8 = −4 x + 18 → 5 x = 10 → x = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ולאחר הצבה באחת המשוואות נקבל את הנקודה‪. B(2,5) :‬‬
‫‪1‬‬
‫נחזור על התהליך עבור הנקודה ‪ .C‬משוואת ‪ OC‬היא‪. y = − x + 4.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫לאחר חיתוך עם המשיק ‪ AC‬נקבל‪. C (5,2) :‬‬
‫אורך בסיס המשולש ‪ BC‬הוא המרחק שבין הנקודות ‪ B‬ו‪18 :C-‬‬
‫יח' = ‪. BC = (2 − 5) 2 + (5 − 2) 2 → BC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪289‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪π2‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הנקודה )‪ A(n,2,3‬נמצאת על המישור‬
‫‪. π 1 : 4 x − 3Z − 2 n − 5 = 0‬‬
‫‪π1‬‬
‫נציב את שיעורי הנקודה ‪ A‬במשוואת המישור ונגלה את ‪:n‬‬
‫)‪π 1 : 4n − 3 ⋅ 3 − 2n − 5 = 0 → 2n = 14 → n = 7 → A(7, 2,3‬‬
‫לפי הנתון הנוסף‪ ,‬המרחק בין הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬הוא ‪ ,24‬ולכן‬
‫נקבל לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪= 24 → m − 2 = ±24 → m = 26 , m = −22‬‬
‫נבחר בפתרון ‪ m = −22‬לפי הנתון כי ‪ m‬שלילי‪.‬‬
‫‪(m − 2)2‬‬
‫→= ‪= 24‬‬
‫‪(7 − 7 )2 + (m − 2)2 + (3 − 3)2‬‬
‫ב‪ .‬מבין כל הנקודות הנמצאות על המישור ‪ , π 1‬הנקודה ‪ D‬היא הנקודה‬
‫הקרובה ביותר לנקודה ‪ .C‬ומכאן שהקטע ‪ CD‬מאונך לשני המישורים‬
‫המקבילים‪ ,‬והוא המרחק שביניהם‪ .‬נשתמש בנתון על נפח הפירמידה על‬
‫מנת למצוא את המרחק שבין שני המישורים‪ ,‬ולבסוף את משוואת‬
‫המישור ‪ . π 2‬נפח הפירמידה שווה למכפלת שטח הבסיס‪ ,‬המשולש‬
‫‪ , ∆ABD‬בגובה ‪ CD‬שהוא המרחק שבין המישורים ‪ π 1‬ו‪. π 2 -‬‬
‫בכדי למצוא את שטח המשולש ‪ , ∆ABD‬נראה תחילה כי הוא שווה‬
‫שוקיים ) ‪:( AD = BD‬‬
‫המשולשים ‪ ∆ACD‬ו‪ ∆BCD -‬חופפים ) לפי צ‪.‬צ‪.‬ז‪, AC = BC :‬‬
‫‪,( p CDA =p CDB = 90° , CD = CD‬‬
‫ומכאן‪) AD = BD :‬צלעות מתאימות במשולשים חופפים(‪.‬‬
‫נתבונן במשולש שווה השוקיים ‪ . ∆ABD‬נמצא את הנקודה ‪ ,F‬אמצע‬
‫הקטע ‪ ,AB‬באמצעות הנוסחה לאמצע קטע‪:‬‬
‫‪7+7‬‬
‫‪2 − 22‬‬
‫‪3+3‬‬
‫= ‪xF‬‬
‫= ‪= 7 , yF‬‬
‫= ‪= −10 , z F‬‬
‫)‪= 3 → F (7,−10,3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הקטע ‪ , DF‬גובה ותיכון לבסיס במשולש ‪ , ∆ABD‬ארוך פי שלושה מהקטע ‪) MF‬מפגש התיכונים מחלק את‬
‫התיכונים ביחס של ‪ .(2:1‬נמצא תחילה את הקטע ‪ MF‬באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪d MF = (7 − 8) + (− 10 + 10 ) +  3 − 4  → d MF‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫ומכאן ש‪:‬‬
‫‪DF = 3MF → DF = 3 ⋅ → DF = 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24 ⋅ 5‬‬
‫לסיכום נחשב את שטח המשולש ‪: ∆ABD‬‬
‫= ‪S ∆ABD‬‬
‫‪ 60‬יח"ר = ‪→ S ∆ABD‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬נפח הפירמידה ‪ ABCD‬הוא ‪ 780‬יחידות נפח‪ .‬נמצא את ‪ ,CD‬גובה הפירמידה ‪:ABCD‬‬
‫‪S‬‬
‫‪⋅ CD‬‬
‫‪60 ⋅ CD‬‬
‫‪V ABCD = ∆ABD‬‬
‫= ‪→ 780‬‬
‫‪→ CD = 39‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר המרחק שבין שני המישורים ‪ π 1‬ו‪ π 2 -‬הוא ‪ .39‬ניעזר בנוסחה למרחק שבין שני מישורים מקבילים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 19 − D2‬‬
‫שתי האפשרויות הן‪:‬‬
‫מכאן שמשוואת המישור ‪π 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪→ 39‬‬
‫‪D1 − D2‬‬
‫=‪d‬‬
‫‪= 39 → − 19 − D2 = 195‬‬
‫‪A2 + B 2 + C 2‬‬
‫‪4 2 + 0 2 + 32‬‬
‫‪− 19 − D2 = −195 → D2 = 176‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪− 19 − D2 = 195 → D2 = −214‬‬
‫היא‪ π 2 : 4 x − 3Z − 214 = 0 :‬או‪. π 2 : 4 x − 3Z + 176 = 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪290‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫*שאלה זו קשה במיוחד‬
‫א‪ .‬המרובע ‪ ABEF‬הוא טרפז שווה שוקיים כי השוקיים ‪ AF‬ו‪ BE-‬שוות‬
‫בשל חפיפת המשולשים ) ‪.( ∆ADF ≅ ∆BCE‬‬
‫הזווית בין המישור ‪ ABEF‬למישור ‪ ABCD‬היא הזווית שבין שני האנכים‬
‫לישר החיתוך של המישורים‪ .‬ישר החיתוך הוא ‪ .AB‬נוריד את האנך ‪MN‬‬
‫במישור ‪ ABEF‬מאמצע הקטע ‪ ,FE‬ואת האנך ‪ LN‬במישור ‪ABCD‬‬
‫מאמצע המקצוע ‪ .CD‬הזווית שבין שני המישורים היא הזווית המבוקשת‬
‫‪) p MNL‬כמתואר בשרטוט( ונמצא אותה באמצעות משפט הקוסינוסים‬
‫במשולש ‪: ∆MNL‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MN + NL − ML‬‬
‫= ‪. cos p MNL‬‬
‫‪2 ⋅ MN ⋅ NL‬‬
‫ראשית‪ ,‬עלינו למצוא את אורכי הקטעים‪ NL ,MN :‬ו‪.ML -‬‬
‫מציאת אורך ‪:NL‬‬
‫‪NL‬‬
‫=‬
‫‪BC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ NLCB‬מלבן ולכן‪:‬‬
‫את אורך המקצוע ‪ BC‬נמצא באמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ‪: ∆ABC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 16‬ס"מ = ‪BC 2 = AC 2 − AB 2 → BC 2 = 20 2 − 12 2 → BC = 16 → NL‬‬
‫מציאת אורך ‪:ML‬‬
‫תחילה נמצא את המקצוע הצדדי ‪ .SC‬לפי הנתון‪ ,‬הזווית שבין מקצוע הצד‬
‫לבסיס שווה ל‪ . 63.435° -‬נחשב את אורכו של ‪ SC‬במשולש ישר הזווית‬
‫‪: ∆SOC‬‬
‫‪OC‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪cos p SCO‬‬
‫= ‪→ cos 63.435°‬‬
‫→‬
‫‪SC‬‬
‫‪SC‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪SC‬‬
‫‪ 22.36‬ס"מ = ‪→ SC‬‬
‫‪cos 63.435°‬‬
‫את אורכו של ‪ ML‬נמצא באמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ‪. ∆SLC‬‬
‫)היעזרו בשרטוט(‪:‬‬
‫‪ 21.54‬ס"מ = ‪SL2 = SC 2 − CL2 → SL2 = 22.36 2 − 6 2 → SL‬‬
‫‪SL‬‬
‫= ‪ EM) ML‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪.( ∆SLC‬‬
‫ניתן לראות כי‬
‫‪2‬‬
‫לכן‪ 10.77 :‬ס"מ = ‪ML‬‬
‫מציאת אורך ‪) :MN‬גובה הטרפז ‪.(AFEB‬‬
‫תחילה נמצא את זוויות הבסיס של הפאה ‪∆BCS‬‬
‫במשולש ‪: ∆BCS‬‬
‫באמצעות משפט הקוסינוסים‬
‫‪BC 2 + SC 2 − BS‬‬
‫‪2BC ⋅ SC‬‬
‫= ‪cos p SCB = 0.35 →p SCB‬‬
‫= ‪cos p SCB‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪291‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫נחשב את אורך ‪) BE‬שוק הטרפז ‪ (AFEB‬באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆BCE‬‬
‫ס"מ‪BE = 16 + 11.18 − 2 ⋅16⋅11.18⋅ cos p 69.03° → BE2 = 252.95 → BE = 15.‬‬
‫‪904 15.904‬‬
‫‪2‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נמצא את אורך גובה הטרפז ‪ AFEB‬באמצעות‬
‫משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ' ‪: ∆BEE‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪EE ' 2 = EB 2 − E ' B 2 → EE '2 = 15.904 2 − 32 → EE ' = 15.62‬‬
‫אורך ‪ MN‬שווה לאורך '‪ MEE'N) EE‬הוא מלבן( ולכן נקבל‪ 15.62 :‬ס"מ = ‪. MN‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫'‪E‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪N‬‬
‫כעת‪ ,‬כשמצאנו את האורכים‪ 16 :‬ס"מ = ‪ 10.77 , NL‬ס"מ = ‪ ML‬ו‪ 15.62 -‬ס"מ = ‪MN‬‬
‫נציב אותם בביטוי שעמו התחלנו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MN + NL − ML‬‬
‫‪15.62 + 16 − 10.77‬‬
‫= ‪cos p MNL‬‬
‫= ‪→ cos p MNL‬‬
‫→ ‪→ cos p MNL = 0.768‬‬
‫‪2 ⋅ MN ⋅ NL‬‬
‫‪2 ⋅15.62 ⋅16‬‬
‫כלומר‪ ,‬הזווית שבין שני המישורים שווה ‪. 39.8°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪292‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫*שאלה זו קשה במיוחד‬
‫א‪ .‬גרף הנגזרת השנייה )‪ f ' ' ( x‬מתאפס בכל פעם שלנגזרת הראשונה ) ‪ f ' ( x‬יש נקודת קיצון‪ .‬נחפש נקודות מנחות‪,‬‬
‫שבהן‪ ,‬עבור אותו ערך של ‪ ,x‬באחד הגרפים יש נקודת קיצון ובגרף השני חיתוך עם ציר ה‪ .x-‬ניתן לראות כי לגרף ‪ 1‬יש‬
‫שתי נקודות קיצון ב‪ A-‬ו‪ .B-‬בהתאם‪ ,‬לגרף ‪ 2‬יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה‪ . x-‬מכאן שגרף ‪ 1‬הוא גרף הנגזרת‬
‫)‪. f ' ( x‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ C‬היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת ) ‪ f ' ( x‬עם ציר ה‪.x-‬‬
‫כדי למצוא את שיעוריה נשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫‪x−m‬‬
‫) ‪= 0 → x − m = 0 → x = m → C ( m, o‬‬
‫‪(x − m )2 + b 2 ⋅ ln 3‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬הן נקודות הקיצון של ) ‪ , f ' ( x‬לכן נגזור את ) ‪ f ' ( x‬ונשווה את הנגזרת השניה )‪ f ' ' ( x‬ל‪:0-‬‬
‫]‬
‫]‬
‫[‬
‫→ ‪= 0 → ( x − m ) + b 2 ⋅ ln 3 − 2( x − m) 2 ln 3 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫]‬
‫)‪+ b 2 ⋅ ln 3 − 2( x − m) ln 3 ⋅ ( x − m‬‬
‫} ]‬
‫‪2‬‬
‫‪+ b ⋅ ln 3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪{[(x − m‬‬
‫‪2‬‬
‫[‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫)‪[(x − m‬‬
‫= )‪f ' ' ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪(x − m )2 + b 2 − 2( x − m) 2 = 0 → −(x − m )2 + b 2 = 0 → (x − m )2 = b 2‬‬
‫נוציא שורש משני האגפים ונקבל שתי אפשרויות )גם בציור ניתן לראות שקיימות שתי נקודות קיצון שונות(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m+b−m‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪y‬‬
‫= )‪x − m = b → x = m + b → f ' ( m + b‬‬
‫=‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2b ln 3‬‬
‫‪(m + b − m ) + b 2 ⋅ ln 3 2b ln 3‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪1‬‬
‫‪m−b−m‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪→ y=−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2b ln 3‬‬
‫‪(m − b − m ) + b ⋅ ln 3 2b ln 3‬‬
‫כיוון ש‪ , b > 0 -‬הביטוי ‪ m + b‬בהכרח גדול מהביטוי ‪ . m − b‬מכאן שנקודת המקסימום היא‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , B m + b,‬ונקודת המינימום היא‪ min :‬‬
‫‪. A m − b,−‬‬
‫‪ max‬‬
‫‪2b ln 3 ‬‬
‫‪2b ln 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫[‬
‫]‬
‫= )‪x − m = −b → x = m − b → f ' (m − b‬‬
‫ג‪ .‬נקודות החיתוך של גרף הנגזרת השנייה ) ‪ f ' ' ( x‬עם ציר ה‪ x-‬הן נקודות הקיצון של גרף ) ‪ , f ' ( x‬ששיעור ה‪ x-‬שלהן‬
‫כבר ידוע לנו‪ .‬האינטגרל של הנגזרת השנייה הוא הנגזרת הראשונה עצמה‪ ,‬ולכן אין צורך לבצע אינטגרציה בפועל‪:‬‬
‫‪m+b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪m +b‬‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪S = ∫ f ' ' ( x )dx → f ' (x ) m −b = f ' (m + b ) − f ' (m − b‬‬
‫‪− −‬‬
‫=‪ →S‬‬
‫‪b ln 3‬‬
‫‪2b ln 3  2b ln 3 ‬‬
‫‪m −b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫ולכן‪:‬‬
‫השטח הנ"ל שווה ל‪:‬‬
‫‪b ln 3 9 ln 3‬‬
‫‪9 ln 3‬‬
‫ולבסוף ‪. b = 9‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה הקדומה ) ‪ f (x‬קעורה בצורת ∪ כשהנגזרת השנייה חיובית‪ .‬על פי גרף הנגזרת השנייה ניתן לראות כי‬
‫היא חיובית בתחום‪ . m − b < x < m + b :‬לפי הנתון‪ ,‬תחום זה זהה לתחום ‪ , − 4 < x < 14‬ולכן נוכל למצוא את ‪:m‬‬
‫‪m + b = 14 → m + 9 = 14 → m = 5‬‬
‫על מנת להגיע אל הפונקציה המקורית נבצע אינטגרל של הנגזרת ) ‪: f ' ( x‬‬
‫‪x −5‬‬
‫∫ = )‪f ( x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪(x − 5)2 + 81 ⋅ ln 3‬‬
‫מכיוון שלא ניתן לעשות אינטגרציה ישירה לביטוי מורכב זה‪ ,‬ניעזר בשיטת ההצבה‪:‬‬
‫‪du‬‬
‫‪2‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪ . u = ( x − 5) + 81 :‬נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= 2( x − 5) :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫= ‪) . dx‬המשך בעמוד הבא(‬
‫לבסוף נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪2( x − 5‬‬
‫]‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫[‬
‫עמוד ‪293‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪du‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬
‫∫ = ‪ S‬ונציב בו‪:‬‬
‫‪u ⋅ ln 3‬‬
‫)‪2( x − 5‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪du‬‬
‫‪1‬‬
‫∫=‪S‬‬
‫∫ → ‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫⋅‬
‫∫→‬
‫‪u ⋅ ln 3‬‬
‫)‪u ⋅ ln 3 2( x − 5‬‬
‫‪2u ⋅ ln 3‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ ,u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪ln(u‬‬
‫‪∫ 2 ln 3 ⋅ u du = 2 ln 3‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪2‬‬
‫והוא‪:‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = ( x − 5) + 81‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי‬
‫‪2‬‬
‫‪(x − 5) + 81 ⋅ ln 3‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫[‬
‫]‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ln (x − 5) + 81‬‬
‫‪2 ln 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log 3 ( x − 5) + 81‬‬
‫‪log b x‬‬
‫‪,‬‬
‫= ‪ , log a x‬ונראה שניתן לכתוב את הפונקציה כך‪:‬‬
‫ניעזר בנוסחה למעבר בסיסים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log b a‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪log 3 x 2 − 10 x + 106‬‬
‫ולאחר סידור המונה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל במלואו‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪log 3 x 2 − 10 x + 106‬‬
‫‪+c‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫‪x −5‬‬
‫→ ‪dx‬‬
‫‪(x − 5)2 + 81 ⋅ ln 3‬‬
‫[‬
‫]‬
‫∫ = )‪f ( x‬‬
‫נקודת הקיצון של הפונקציה היא הנקודה בה הנגזרת מתאפסת ומצאנו בסעיף ב' שערך ה‪ x-‬בנקודה זו הוא‪.x=5 :‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬ערך ה‪ y-‬בנקודה זו הוא ‪ .4‬נציב את הנתונים בפונקציה ) ‪ f (x‬ונמצא את ‪:c‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪log 3 5 2 − 10 ⋅ 5 + 106‬‬
‫‪+ c → 8 = log 3 81 + 2c → 8 = 4 + 2c → 2c = 4 → c = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הפונקציה המקורית היא‪:‬‬
‫)‬
‫= )‪4 = f ( x‬‬
‫(‬
‫‪log 3 x 2 − 10 x + 106‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪294‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫נמלא את נתוני יום א' בטבלה‪:‬‬
‫כמות התחלתית‬
‫קצב דעיכה‬
‫זמן‬
‫כמות סופית‬
‫חומר ‪A‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3x ⋅ a p‬‬
‫חומר ‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x ⋅b p‬‬
‫נתון כי לאחר ‪ p‬שעות הכמות של שני החומרים היתה שווה ולכן נשווה את הכמויות הסופיות‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3x ⋅ a p = x ⋅ b p → b = 3 ⋅ a‬‬
‫נמלא את נתוני יום ב' בטבלה‪:‬‬
‫כמות התחלתית‬
‫קצב דעיכה‬
‫זמן‬
‫כמות סופית‬
‫חומר ‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪y ⋅ b2 p‬‬
‫חומר ‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪y ⋅ a2p‬‬
‫נתון כי לאחר ‪ 2p‬שעות הכמות הכוללת של שני החומרים היתה שווה ל‪ 0.2-‬מהכמות ההתחלתית הכוללת שלהם‪,‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪y ⋅ a + y ⋅ b = 0.2( y + y ) → y (a + b ) = 0.4 y → a + b = 0.4‬‬
‫נציב את המשוואה הראשונה ‪ b p = 3 ⋅ a p‬במשוואה השניה ונקבל‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪= 0.4 → 10a 2 p = 0.4 → a 2 p = 0.04 → a = 0.2‬‬
‫‪a 2 p + (3 ⋅ a p ) 2 = 0.4 → a 2 p + 9 ⋅ a 2 p‬‬
‫‪p‬‬
‫ולאחר הצבה נקבל כי ‪. b = 0.6‬‬
‫על פי הנתון האחרון‪ ,‬זמן מחצית החיים של החומר ‪ B‬הוא ‪ p+1‬שעות‪ .‬נסמן באמצעות ‪ m‬את הכמות ההתחלתית של‬
‫חומר ‪ B‬ובאמצעות ‪ 0.5m‬את הכמות הסופית שלו‪ .‬נקבל את המשוואה‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.5m = m ⋅ b p +1 → 0.5 = b p +1 → 0.5 = b p ⋅ b b=‬‬
‫= ‪→ 0.5 = 0.6b → b‬‬
‫‪6‬‬
‫‪p‬‬
‫נזכור כי ‪ b p = 0.6‬ולכן‪p = 2.8 :‬‬
‫‪ln 0.6‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪. b p = 0.6 →   = 0.6 → p‬‬
‫→‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪295‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪13‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬תחילה נמצא את אורך גובה המשולש היורד מהקודקוד ‪.C‬‬
‫זהו המרחק בין הנקודה )‪ C (9,−3‬לישר ‪. − 2x + y − 9 = 0 :AB‬‬
‫ניעזר בנוסחה למרחק בין נקודה לישר‪:‬‬
‫‪→ h = 180‬‬
‫‪− 2⋅9 − 3 − 9‬‬
‫‪22 + 1‬‬
‫=‪h‬‬
‫כעת נחשב את אורך ‪ ,AB‬בסיס המשולש‪:‬‬
‫‪AB ⋅ h‬‬
‫‪AB ⋅ 180‬‬
‫= ‪S ∆ABC‬‬
‫= ‪→ 60‬‬
‫‪→ AB = 80‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן את שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ D-‬באותיות ‪ a‬ו‪ d-‬בהתאמה‪ .‬הנקודות נמצאות על הישר ‪ y = 2x + 9‬ולכן‬
‫‪3‬‬
‫‪3 80‬‬
‫= ‪⋅ AB‬‬
‫שיעוריהן‪ A (a,2a + 9) :‬ו‪ . D (d ,2d + 9) :‬נתון‪ . AD = 3BD :‬כלומר‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ניעזר במרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ ,D-‬כדי לבטא את שיעורי הנקודה ‪ D‬באמצעות ‪:a‬‬
‫נעלה בריבוע את שני האגפים‪:‬‬
‫= ‪. AD‬‬
‫‪3 80‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪= (a − d ) + (2a + 9 − 2d − 9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪45 = a 2 − 2ad + d 2 + 4a 2 − 8ad + 4d 2 → 5d 2 − 10ad + 5a 2 − 45 = 0‬‬
‫‪d 2 − 2ad + a 2 − 9 = 0‬‬
‫ניעזר בנוסחת השורשים כדי למצוא את הערך של ‪:d‬‬
‫)‪2a ± 4a 2 − 4(a 2 − 9‬‬
‫‪2a ± 6‬‬
‫‪d2 = a − 3‬‬
‫או‬
‫= ‪→ d1, 2‬‬
‫‪→ d1 = a + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)הפתרון הימני נפסל כי על פי הנתון‪ ,‬שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ D‬גבוה משיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪.(A‬‬
‫נציב את שיעור ‪ d‬שמצאנו ונקבל את שיעורי הנקודה‪. D ( a + 3,2a + 15) :‬‬
‫= ‪d1, 2‬‬
‫ב‪ .‬תחילה נמצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש‬
‫‪ . ∆DEF‬ניעזר בנוסחה לחישוב שטח מעגל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16.25π = π ⋅ r → r = 16.25‬‬
‫נמצא את שיעורי ‪ E‬באמצעות הנוסחה לאמצע הקטע ‪:AC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪a+9‬‬
‫‪2a + 9 − 3‬‬
‫= ‪xE‬‬
‫= ‪, yE‬‬
‫‪→ E  + 4.5, a + 3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הזווית ההיקפית ‪ p DFE‬ישרה‪ ,‬ומכאן שהקטע ‪ DE‬הוא‬
‫קוטר המעגל‪ .‬מרכז המעגל הוא אמצע הקטע ‪:DE‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+ 4.5‬‬
‫‪ 3a + 15‬‬
‫‪‬‬
‫‪2a + 15 + a + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,1 .5 a + 9 ‬‬
‫= ‪, yO‬‬
‫‪→ O‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +3+‬‬
‫= ‪xO‬‬
‫הקוטר ‪ DE‬ארוך פי שניים מהרדיוס‪ .‬כלומר‪ ,‬אורך הקוטר ‪ . 2 16.25‬ניעזר בנוסחה לחישוב המרחק בין שתי‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬ונמצא את ערכו של ‪:a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 16.25 =  a + 3 − − 4.5  + (2a + 15 − a − 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪296‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪a2‬‬
‫= ‪65‬‬
‫‪− 1.5a + 2.25 + a 2 + 24a + 144 → a 2 + 18a + 65 = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫נעלה בריבוע את שני האגפים‪:‬‬
‫‪ 3a + 15‬‬
‫‪‬‬
‫פתרונות המשוואה הם‪ a = −5 :‬או ‪ . a = −13‬נציב את הפתרונות ב‪,1.5a + 9  :‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ O‬ונקבל כי משוואת‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל היא‪ x + ( y − 1.5) = 16.25 :‬או ‪. ( x + 6) + ( y + 10.5) = 16.25‬‬
‫ג‪ .‬נשלים את המשולש ‪ ∆DEF‬לכדי המלבן‪ .DFEG :‬נסמן ‪ , DF = m‬ונבטא את אורך‬
‫הצלע ‪ FE‬באמצעות משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ‪: ∆DEF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪FE = DE 2 − DF 2 → FE = 65 − m‬‬
‫שטח המלבן החסום במעגל הוא מכפלת אורכי הצלעות ‪ DF‬ו‪ .FE-‬נבדוק האם קיים ערך‬
‫כלשהו של ‪ ,m‬שעבורו מכפלת אורכי הצלעות שווה ל‪:33-‬‬
‫‪m ⋅ 65 − m 2 = 33 → m 2 (65 − m 2 ) = 1089 → − m 4 + 65m 2 − 1089 = 0‬‬
‫נסמן ‪ t = m 2‬ונבדוק האם יש פתרונות למשוואה‪:‬‬
‫‪− 65 ± 65 2 − 4 ⋅1089‬‬
‫‪− 65 ± − 131‬‬
‫= ‪→ t1, 2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫ניתן לראות כי הביטוי שבשורש שלילי ולכן אין פתרון למשוואה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לא ניתן לחסום במעגל מלבן ששטחו ‪ 33‬יח"ר‪.‬‬
‫= ‪t1, 2‬‬
‫→ ‪− t 2 + 65t − 1089 = 0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪297‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫הווקטור‪ AX :‬יוצא מהקדקוד ‪ A‬לכיוון המישור ‪.BCD‬‬
‫גם הווקטורים ‪ u , v‬ו‪ w -‬יוצאים מהקדקוד ‪ ,A‬כך שניתן לקבוע כי‬
‫הווקטור ‪ AX‬הוא קומבינציה לינארית של שלושת הווקטורים‬
‫‪ u , v‬ו‪. w -‬‬
‫קצוותיהם של שלושת הווקטורים ‪ v , u‬ו‪ w -‬בנקודות ‪ C ,B‬ו‪ ,D-‬כך‬
‫שלמעשה הם מגדירים את המישור ‪.BCD‬‬
‫נזכיר כי כאשר הווקטור ‪ AX‬מסתיים על המישור ‪ ,BCD‬נוכל לבטא‬
‫אותו כ‪ AX = a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w :‬והוא מקיים‪. a + b + c = 1 :‬‬
‫אורכי הווקטורים הם‪. u = 3, v = 1, w = 2 :‬‬
‫נזכור גם כי הווקטורים ‪ v , u‬ו‪ w -‬מאונכים זה לזה ולכן‪ v ⋅ w = 0 , v ⋅ u = 0 :‬ו‪. u ⋅ w = 0 -‬‬
‫הווקטור ‪ AX‬יוצר זוויות שוות עם שלושת הווקטורים ‪ v , u‬ו‪ . w -‬נביע את קוסינוס הזויות השוות הללו‪:‬‬
‫‪3b‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪AX‬‬
‫‪b⋅9‬‬
‫‪AX ⋅ 3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ u‬‬
‫‪a ⋅ v ⋅ u + b ⋅ u + c ⋅ w⋅ u‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪AX ⋅ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ v‬‬
‫‪a ⋅v + b ⋅u ⋅v + c ⋅ w⋅v‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫= ‪→ cos α‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪AX‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪AX‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪AX ⋅ 3‬‬
‫‪AX ⋅1‬‬
‫‪AX‬‬
‫‪c⋅4‬‬
‫‪AX ⋅ 2‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪(a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w) ⋅ w → cosα = a ⋅ v ⋅ w + b ⋅ u ⋅ w + c ⋅ w2‬‬
‫‪AX ⋅ 2‬‬
‫‪AX ⋅ 2‬‬
‫‪→ 3b = a = 2c‬‬
‫הזוויות שוות ולכן נשווה בין שלושת הביטויים‪:‬‬
‫‪AX‬‬
‫‪2‬‬
‫ממשוואה זו נובעות שתי הזהויות‪c :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AX ⋅ u‬‬
‫‪AX ⋅ v‬‬
‫‪AX ⋅ v‬‬
‫= ‪→ cosα‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪AX ⋅ u‬‬
‫‪AX ⋅ w‬‬
‫‪AX ⋅ w‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪AX‬‬
‫= ‪cosα‬‬
‫= ‪cosα‬‬
‫= ‪cosα‬‬
‫=‬
‫‪3b‬‬
‫‪AX‬‬
‫= ‪ . a = 2c, b‬נציב אותן במשוואה ‪ a + b + c = 1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫= ‪a + b + c = 1 → 2c + c + c = 1 → c = 1 → c‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪ a‬ו‪-‬‬
‫ומכאן ש‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫=‪.b‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הווקטור ‪ AX = a ⋅ v + b⋅ u + c ⋅ w‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪⋅u + ⋅w + ⋅v‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫= ‪. AX‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪298‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫ב‪ .‬שאלה מהסוג "מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הישר" היא לרוב‬
‫שאלת וקטורים שניתן לפתור באמצעות יחידות ההצגה‪ .‬יחידות ההצגה הוא‬
‫עקרון לפיו כל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן אחד בלבד‪ .‬לכן‪ ,‬אם נביע‬
‫וקטור בשני אופנים שונים‪ ,‬הרי שניתן יהיה להשוות ביניהם‪.‬‬
‫נתבונן בשרטוט ונביע את הווקטור ‪ BM‬בשתי דרכים שונות ובשימוש בשני‬
‫פרמטרים סקלארים שונים ‪ t‬ו‪) p-‬היעזרו בשרטוט(‪.‬‬
‫דרך אחת לבטא את הווקטור ‪ BM‬היא כהארכה של הווקטור ‪ BX‬על ידי‬
‫הכפלתו בסקלאר ‪ .p‬כלומר‪ ,‬המשכו של הוקטור ‪ , BX‬משמר את הכיוון של‬
‫הוקטור ‪ BX‬אך לא ניתן לדעת את אורכו ולכן נכפיל אותו בסקלאר ‪:p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪‬‬
‫→ ‪BM = p ⋅ BX → BM = p ⋅ BA + AX → BM = p ⋅  − v + ⋅ u + ⋅ w + ⋅ v ‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫= ‪BM‬‬
‫‪⋅u +‬‬
‫‪⋅w−‬‬
‫‪⋅v‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫)‬
‫(‬
‫דרך נוספת לבטא את הווקטור ‪ BM‬היא‪:‬‬
‫‪BM = BD + DM → BM = BD + t ⋅ DC → BM = −v + w + t ⋅ (− w + u ) → BM = t ⋅ u + (1 − t )w − v‬‬
‫מכיוון ששתי התצוגות שמצאנו זהות‪ ,‬נוכל להשוות בין המקדמים הסקלארים של ‪ v ,u‬ו‪ .w-‬נקבל מערכת של שלוש‬
‫משוואות בשני נעלמים‪ .‬נפתור את המערכת‪:‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪11‬‬
‫) ‪I (u‬‬
‫‪=t‬‬
‫)‪II (w‬‬
‫‪= 1− t‬‬
‫‪III (v ) −‬‬
‫‪= −1 → p = → p = 2.2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪5‬‬
‫נחזור ונציב ב‪:I-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2 ⋅ 2. 2‬‬
‫→‪=t‬‬
‫= ‪=t → t‬‬
‫‪5‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן שהנקודה ‪ M‬מחלקת את הקטע ‪ CD‬ביחס של ‪ DM = :‬ו‪. MC = -‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫לסיכום‪ ,‬היחס בין אורכי הקטעים הוא‪.2:3 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪299‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ .‬כדי שנוכל להוציא את השורש הרביעי של המספר המרוכב‪ , − 8 + 8 3i :‬נעביר אותו תחילה לתצוגה קוטבית‪:‬‬
‫‪r = x 2 + y 2 → r = ( −8) 2 + (8 3 ) 2 → r = 16‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8 3‬‬
‫= ‪→ tan θ‬‬
‫‪→ θ = −60°‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−8‬‬
‫= ‪tan θ‬‬
‫נבדוק האם הזווית ‪ θ = −60°‬נמצאת ברביע המתאים במישור גאוס‪:‬‬
‫המספר המרוכב ) ‪ ( − 8,8 3‬נמצא ברביע השני ) ‪ ,( −,+‬ואילו הזווית ‪ − 60°‬נמצאת ברביע הרביעי ) ‪.( +,−‬‬
‫כלומר עלינו להוסיף לזווית ‪ , θ = 120° :1800‬ומכאן שהמספר המרוכב ‪ − 8 + 8 3i‬מוצג קוטבית כ‪. 16 cis (120 °) :‬‬
‫כעת נוכל להוציא שורש רביעי ולקבל ארבעה פתרונות‪:‬‬
‫‪ 120 ° + 360 °k ‬‬
‫‪Z 4 = 16 cis (120 °) → Z = 4 16 cis ‬‬
‫) ‪ → Z = 2cis (30 ° + 90 °k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪Z 2 = 2cis(120°‬‬
‫)‪Z 4 = 2cis(300°‬‬
‫כעת נציב את הפתרונות בביטוי‪:‬‬
‫‪Z 3k ⋅ Z 42‬‬
‫‪Z 12 ⋅ Z 2k‬‬
‫)‪Z1 = 2cis(30°‬‬
‫→‪k =1‬‬
‫→‪k =3‬‬
‫)‪Z 3 = 2cis(210°‬‬
‫→‪k =0‬‬
‫→‪k =2‬‬
‫‪:‬‬
‫‪Z 3k ⋅ Z 42‬‬
‫) ‪(2cis (210°))k ⋅ (2cis (300°))2 → 2 k cis(210°k ) ⋅ 4cis(600°) → cis (90°k ) ⋅ cis(540°) → cis (540 + 90°k‬‬
‫→‬
‫‪Z 12 ⋅ Z 2k‬‬
‫) ‪4cis (60°) ⋅ 2 k cis (120°k‬‬
‫‪(2cis (30°))2 ⋅ (2cis (120°))k‬‬
‫נזכור כי ‪ , r = Z‬ומכאן שהערך המוחלט של המספר ) ‪ cis(540 + 90°k‬הוא הרדיוס שלו‪. cis(540 + 90°k ) = 1 :‬‬
‫ב‪ .‬ראשית‪ ,‬נעביר את הביטוי ‪ 16i‬באגף הימני לתצוגה קוטבית ונקבל כי הוא שווה ל )‪. 16cis (90°‬‬
‫כעת נציב את הפתרונות מסעיף א' במשוואה‪:‬‬
‫→ )‪Z 1 ⋅ Z 2 ⋅ Z 3 ⋅ Z 4 ⋅ Z 5 = 16 i → 2cis (30 °) ⋅ 2 cis (120 °) ⋅ 2cis ( 210 °) ⋅ 2cis (300 °) ⋅ Z 5 = 16 cis (90 °‬‬
‫)‪16cis(90°‬‬
‫)‪→ Z 5 = cis(−570°) → Z 5 = cis(150°‬‬
‫)‪16cis(660°‬‬
‫)בשלב האחרון הוספנו ‪ 3600‬מעלות פעמיים עד שהזווית הפכה לחיובית(‪.‬‬
‫= ‪16cis(660°) ⋅ Z 5 = 16cis(90°) → Z 5‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן בשרטוט‪ .‬זווית הבסיס ‪ p ABZ 5‬שווה ‪ .700‬הזווית המרכזית‬
‫‪ p Z 5OA‬הנשענת על אותה הקשת גדולה ממנה פי שניים ולכן שווה‬
‫ל‪ .1400 -‬כדי להגיע למספר המרוכב ‪ ,A‬יש להוסיף ‪ 1400‬לארגומנט )הזווית(‬
‫של המספר )‪ . Z 5 = cis(150°‬נקבל‪:‬‬
‫)‪A = cis (150° + 140°) → cis ( 290°‬‬
‫קל לחשב כי זווית הראש במשולש שווה ‪ ,400‬ולכן הזווית המרכזית ‪p BOA‬‬
‫הנשענת על אותה קשת‪ ,‬שווה ‪ .800‬כדי להגיע למספר המרוכב ‪ ,B‬עלינו‬
‫להוסיף ‪ 800‬לארגומנט )הזווית( של )‪: A = cis (290°‬‬
‫)‪B = cis ( 290° + 80°) → cis (370°) → cis (10°‬‬
‫בשלב האחרון החסרנו ‪ 3600‬מעלות עד שהזווית הפכה לחיובית הקטנה ביותר‪.‬‬
‫נחשב את שטח המשולש ‪ ∆ABZ 5‬כסכום שלושת המשולשים המרכיבים אותו‪:‬‬
‫‪1 ⋅ 1 ⋅ sin 140 0 1 ⋅ 1 ⋅ sin 140 0 1 ⋅ 1 ⋅ sin 80 0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫)יח"ר( ‪= 1.135‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫=‪S‬‬
‫עמוד ‪300‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪ .‬למעשה‪ ,‬עלינו לפתור את אי השוויון‪. f ( x ) > 0 :‬‬
‫נשווה את הפונקציה‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪ f ( x) = cos 2 x ⋅ a‬ל‪ 0-‬ונמצא מתי היא מתאפסת‪:‬‬
‫‪πk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪+ πk → x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪π‬‬
‫הפתרונות המתאימים בתחום הנתון הם‪ x = :‬ו‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫של ערכים בין הנקודות שקיבלנו‪:‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫קצה‬
‫תחום‬
‫‪3‬‬
‫‪-‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫=‪x‬‬
‫= ‪f ( x ) = cos 2 x ⋅ a sin 2 x = 0 → cos 2 x = 0 → 2 x‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ . x‬נבדוק את תחומי החיוביות והשליליות על ידי הצבה‬
‫<‪0< x‬‬
‫‪π‬‬
‫נקודת‬
‫איפוס‬
‫‪6‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x4 + a4‬‬
‫ב‪ .‬לפונקציה‬
‫‪x+a‬‬
‫קצה‬
‫תחום‬
‫נציב‬
‫בפונקציה‬
‫סימן‬
‫הפונקציה‬
‫‪3π‬‬
‫‪π‬‬
‫מכאן שתחום החיוביות הוא‪ 0 < x < :‬ותחום השליליות הוא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x=0‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫= )‪ g ( x‬יש אסימפטוטה אנכית כאשר המכנה מתאפס‪ ,‬והיא האסימפטוטה‪. x = −a :‬‬
‫למציאת האסימפטוטות האופקיות נבדוק מה קורה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף‪ .‬הפיתוחים הראשוניים‬
‫של חישוב הגבול‪ ,‬זהים עבור שני המקרים‪:‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪4 1+‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫⋅‬
‫‪lim 4 x 4 + a 4‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim x ⋅ 4 1 + 0 +‬‬
‫‪lim x‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫=‬
‫=‬
‫≈‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x → ±∞ x + a‬‬
‫∞‪x → ±‬‬
‫∞‪x → ±‬‬
‫‪x → ±∞ x ⋅ (1 + 0 ) x → ±∞ x‬‬
‫) ‪x ⋅ (1 +‬‬
‫) ‪x ⋅ (1 +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫כעת נפריד לשני המקרים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪≈1‬‬
‫‪x→∞ x‬‬
‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 1-‬ולכן האסימפטוטה האופקית בתחום החיובי היא ‪. y = 1‬‬
‫‪x 4 (1 +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪≈ −1‬‬
‫‪x → −∞ x‬‬
‫כלומר‪ ,‬גרף הפונקציה שואף ל‪ -1 -‬ולכן האסימפטוטה האופקית בתחום השלילי היא ‪. y = −1‬‬
‫‪x4 + a4‬‬
‫ג‪ .‬נמצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‬
‫‪x+a‬‬
‫→‪=0‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫‪− x4 + a4‬‬
‫‪+ a 4 )4‬‬
‫= )‪ . g ( x‬תחילה נכתוב אותה כך‪:‬‬
‫‪x+a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪x 3 ( x + a‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪+a‬‬
‫‪4‬‬
‫→‪=0‬‬
‫‪(x‬‬
‫→ ‪= 0 → x 4 + x 3a − x 4 − a 4 = 0 → x 3a − a 4 = 0‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫‪⋅ 4 x 3 ( x + a) − x 4 + a 4‬‬
‫‪x+a‬‬
‫(‬
‫‪= 0 → x 3 ( x + a) − 4 x 4 + a 4‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫‪(x‬‬
‫= )‪. g ( x‬‬
‫(‬
‫‪1 4‬‬
‫‪x + a4‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪g ' ( x‬‬
‫(‬
‫‪− x4 + a4‬‬
‫)‪x 3 ( x + a‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪+a‬‬
‫‪x = a3 → x = a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר‪ ,‬הישר המקביל לציר ה‪ y-‬המופיע בסעיף ג' הוא ‪) x = a‬המשך בעמוד הבא(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪301‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫כעת נמקם את שאר הנתונים בשרטוט‪.‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ S1‬הוא שטחו של מלבן‪ .‬נחשב את שטחו‪:‬‬
‫‪S1 = 2 ⋅ 2a → S1 = 4a‬‬
‫על מנת לבטא את ‪ S 2‬עלינו לחשב את האינטגרל של הפונקציה‪ .‬לפני כן‪ ,‬עלינו‬
‫לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬המבוסס על תחומי החיוביות‬
‫והשליליות שמצאנו בסעיף א'‪.‬‬
‫‪f ( x) = cos 2 x ⋅ a sin 2 x‬‬
‫‪3π‬‬
‫ברביע הרביעי‪ ,‬בתחום‬
‫‪4‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת נחשב‪:‬‬
‫‪)dx‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪∫ (0 − cos 2 x ⋅ a‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪S2‬‬
‫‪4‬‬
‫ניעזר בשיטת ההצבה‪:‬‬
‫‪du‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪ . u = sin 2 x :‬נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= 2 cos 2 x :‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫‪2 cos 2 x‬‬
‫‪du‬‬
‫‪u‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪ S 2 = − cos 2 x ⋅ a dx :u‬ונציב בו‪:‬‬
‫‪2 cos 2 x‬‬
‫‪au‬‬
‫‪du‬‬
‫‪→ ∫ − du‬‬
‫⋅ ‪S 2 = ∫ − cos 2 x ⋅ a u dx → ∫ − cos 2 x ⋅ a u‬‬
‫‪2 cos 2 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−a‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬
‫‪∫ − 2 du = 2 ln a‬‬
‫‪ .‬לבסוף נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫∫‬
‫‪− a sin 2 x‬‬
‫‪.‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = sin 2 x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ‪ − cos 2 x ⋅ a sin 2 x‬והוא‪:‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל במלואו‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪− a −1 + a‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪→ S2‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫→‬
‫‪3π‬‬
‫‪sin 2 x 4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪)dx → S‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪sin 2 x‬‬
‫‪∫ (0 − cos 2 x ⋅ a‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪S2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪S1‬‬
‫על פי הנתון‪= 9 ln a ,‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪8a ⋅ ln a‬‬
‫‪9‬‬
‫→ ‪= 9 ln a‬‬
‫→ ‪= 9 ln a‬‬
‫→ ‪= 9 ln a → 8a = 9( − a −1 + a ) → 8a = − + 9a‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−a +a‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪−a +a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2 ln a‬‬
‫‪a2 = 9 → a = 3‬‬
‫הפתרון השלילי ‪ a = −3‬נפסל כי נתון‪. 0 < a :‬‬
‫‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪302‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫א‪ (1) .‬הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה‪ log-‬הוא חיובי‪ .‬נבדוק מתי הביטוי ) ‪ sin(bx‬מתאפס‪:‬‬
‫‪π ⋅k‬‬
‫= ‪sin(bx ) = 0 → bx = π ⋅ k → x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪π‬‬
‫=‪.x‬‬
‫אם נציב ‪ k=0‬נקבל את האסימפטוטה‪ . x = 0 :‬אם נציב ‪ k=1‬נקבל את האסימפטוטה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫אלו האסימפטוטות בעלות שיעור ה‪ x-‬הנמוך ביותר אשר אינן עוברות ברביע השני‪.‬‬
‫)‪ (2‬נשווה את הפונקציה ל‪:0-‬‬
‫‪πk‬‬
‫‪b‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2b‬‬
‫= ‪+ πk → x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪f ( x) = log 2 (sin(bx ) ) = 0 → sin(bx ) = 1 → bx‬‬
‫‪π‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫נציב ‪ k=0‬ונקבל את נקודת החיתוך בעלת שיעור ה‪ x-‬החיובי הנמוך ביותר‪,0  :‬‬
‫‪ 2b ‬‬
‫)‪ (3‬כדי למצוא את נקודת הקיצון‪ ,‬נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬
‫)‪b ⋅ cos(bx‬‬
‫)‪b ⋅ cot(bx‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π πk‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫=‬
‫= ‪= 0 → cot(bx) = 0 → bx = + πk → x‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪ln 2 ⋅ sin(bx‬‬
‫⋅ ‪ln 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2b b‬‬
‫‪π‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫נציב ‪ k=0‬ונקבל את נקודת הקיצון בעלת שיעור ה‪ x-‬החיובי הנמוך ביותר‪,0  :‬‬
‫‪ 2b ‬‬
‫כדי לבדוק את סוג נקודת הקיצון‪ ,‬נמצא את הנגזרת השניה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅  −‬‬
‫⋅‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪ln 2  sin 2 (bx ) ‬‬
‫) ‪ln 2 ⋅ sin 2 (bx‬‬
‫= )‪f ' ' ( x‬‬
‫נשים לב כי הביטוי שהתקבל הוא ביטוי בהכרח שלילי‪:‬‬
‫המונה והמכנה בהכרח חיוביים בתנאי השאלה‪ ,‬והסימן "‪ "-‬הופך את‬
‫הביטוי לשלילי בהכרח‪ .‬כלומר‪ ,‬הנגזרת השנייה שלילית‪ ,‬ומכאן שהנקודה‬
‫‪  π ‬היא נקודת מקסימום‪.‬‬
‫‪ ,0 ‬‬
‫‪ 2b ‬‬
‫ב‪ .‬נשרטט את גרף הפונקציה בין שתי האסימפטוטות‪.‬‬
‫נמצא את שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫שיעור ה‪ y-‬בנקודות אלו הוא )‪ (-1‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪f ( x) = log 2 (sin(bx ) ) = −1 → sin(bx ) = 2 −1 → sin(bx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π πk‬‬
‫= ‪( I ) bx = + πk → x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6b b‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪5π πk‬‬
‫= ‪( II ) bx = π − + πk → bx‬‬
‫= ‪+ πk → x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6b b‬‬
‫‪ 5π‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫נציב ‪ k=0‬בשתי האפשרויות ונקבל את הנקודות‪ A ,−1 :‬ו‪. B ,−1 -‬‬
‫‪ 6b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6b‬‬
‫‪‬‬
‫‪π‬‬
‫המרחק בין הנקודות הוא ‪ .‬לשתי הנקודות ערך ‪ y‬זהה‪ ,‬ולכן המרחק הוא ההפרש בין שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5π π π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= → 5 − 1 = 2b → b = 2‬‬
‫‪6b 6b 3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪303‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪14‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬זוהי שאלת מקום גיאומטרי‪ .‬בתרגילים מסוג זה‪ ,‬נפעל לפי השלבים‪:‬‬
‫‪ .1‬נסמן את הנקודה ‪ P‬כ‪. P (t , k ) :‬‬
‫‪ .2‬נביע את שאר הנתונים בעזרת הפרמטרים ‪ t‬ו‪.k-‬‬
‫‪ .3‬נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי‬
‫משוואת המקום הגיאומטרי‪.‬‬
‫‪ .4‬לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים ‪ t‬ו‪k-‬‬
‫באותיות ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה‪.‬‬
‫ניעזר בשרטוט ונראה כי עלינו להביע את אורכי המשיקים ‪ AP‬ו‪.PB -‬‬
‫ידוע כי המשיק והרדיוס מאונכים זה לזה בנקודת ההשקה‪ .‬נוכל‬
‫להיעזר בשני המשולשים ישרי הזווית‪ ∆AO1 P :‬ו‪ ∆BO2 P -‬כדי‬
‫להביע את אורכי המשיקים בעזרת משפט פיתגורס‪.‬‬
‫נמצא את אורכו של ‪ AP‬במשולש ‪: ∆AO1 P‬‬
‫‪AP = O1 P 2 − O1 A 2‬‬
‫נבטא את אורכו של היתר ‪ O1 P‬כמרחק בין הנקודות ‪ P‬ו‪:O1 -‬‬
‫‪O1 P = (t − 3) 2 + k 2‬‬
‫‪ O1 A‬הוא רדיוס המעגל ולכן‪ . O1 A = 3 :‬נחזור ונציב כדי לבטא את אורכו של ‪:AP‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AP = (t − 3) 2 + k 2 − 9 → AP = t + k − 6t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. BP = t + k + 6t‬‬
‫נחזור על התהליך פעם נוספת עבור המשולש ‪ ∆BO2 P‬ונקבל כי‪:‬‬
‫על פי הנתון‪ . AB + AP = 10 :‬זו תהיה המשוואה המקשרת בה נשתמש למציאת המקום הגיאומטרי‪:‬‬
‫‪t 2 + k 2 − 6t + t 2 + k 2 + 6t = 10‬‬
‫נעלה בריבוע ונקבל‪:‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(( )‬
‫→ ‪t 2 − 6t + k 2 + 2 t 2 + k 2 − 6t t 2 + k 2 + 6t + t 2 + 6t + k 2 = 100‬‬
‫)‬
‫‪+ k 2 − 6t ⋅ t 2 + k 2 + 6t = 50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪((t‬‬
‫)‬
‫(‬
‫()‬
‫‪2t 2 + 2k 2 + 2 t 2 + k 2 − 6t ⋅ t 2 + k 2 + 6t = 100 → t 2 + k 2 +‬‬
‫נעביר אגפים וניעזר בתוך סימן השורש בנוסחה‪: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 :‬‬
‫)‬
‫נעלה בריבוע פעם נוספת‪:‬‬
‫→‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫( )‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2 2‬‬
‫(‬
‫))‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪− 36t 2 = 50 − t 2 + k 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪+ k2‬‬
‫)‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(t‬‬
‫‪(t‬‬
‫‪+ k − 36t 2 = 50 − t 2 + k 2 → t 2 + k − 36t 2 = 2500 − 100 t 2 + k 2 + t 2 + k 2‬‬
‫‪− 36t 2 = 2500 − 100t 2 − 100 k 2 → 64t 2 + 100 k 2 = 2500 → 16t 2 + 25k 2 = 625‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת משקיבלנו משוואה נחליף בחזרה את ‪ t‬ו‪ k -‬ב‪ x -‬ו‪ y -‬בהתאמה‪:‬‬
‫‪16 x + 25 y = 625‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נסדר את המשוואה על ידי חלוקה ב‪ 625 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪16 x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪625 25‬‬
‫ניתן לראות כי המקום הגיאומטרי שקיבלנו הוא אליפסה קנונית‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪304‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ב‪ .‬קדקודי המלבן נמצאים על האליפסה ‪. 16 x 2 + 25 y 2 = 625‬‬
‫‪‬‬
‫‪625 − 16t 2 ‬‬
‫‪ . D t ,‬את שיעור ה‪ y-‬קיבלנו‬
‫נסמן את קדקוד ‪:D‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מהצבת ‪ x = t‬במשוואת האליפסה ובידוד ה‪.y-‬‬
‫משיקולי סימטריה ניתן לראות כי אורך המלבן שווה לפעמיים שיעור ה‪x-‬‬
‫של הנקודה ‪ ,D‬ורוחב המלבן שווה לפעמיים שיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪:D‬‬
‫‪625 − 16t 2‬‬
‫‪625 − 16t 2‬‬
‫⋅ ‪→ S = 4t‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫כדי למצוא את נקודת המקסימום )הערך המקסימלי של השטח( נגזור את פונקציית השטח‪:‬‬
‫‪32t‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 625 − 16t 2  128t 2‬‬
‫‪625 − 16t 2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ −‬‬
‫⋅ ‪S'= 4‬‬
‫⋅ ‪+ 4t‬‬
‫‪= 0 → S ' = 8‬‬
‫→‪=0‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪625 − 16t 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪625‬‬
‫= ‪S ' = 8(625 − 16t 2 ) − 128t 2 = 0 → S ' = 625 − 16t 2 − 16t 2 = 0 → S ' = 625 − 32t 2 = 0 → t 2‬‬
‫=‪→ t‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫נגזור את הביטוי ‪ S ' = 625 − 32t‬שנית‪ ,‬הפעם על מנת לוודא שהנקודה היא נקודת מקסימום‪:‬‬
‫‪ 25 ‬‬
‫‪ 25 ‬‬
‫‪) S ' ' = −32t → S ' ' ‬נגזרת מקוצרת לבדיקת הסימן(‬
‫‪ = −32‬‬
‫‪ = −25 32‬‬
‫‪ 32 ‬‬
‫‪ 32 ‬‬
‫‪25‬‬
‫= ‪ t‬ולכן זוהי אכן נקודת מקסימום‪.‬‬
‫הנגזרת השנייה שלילית בנקודה‬
‫‪32‬‬
‫‪S = 2t ⋅ 2‬‬
‫‪625 − 16t 2‬‬
‫‪25‬‬
‫= ‪ t‬במשוואת השטח‬
‫נציב את הערך‬
‫‪25‬‬
‫‪32‬‬
‫⋅ ‪ S = 4t‬כדי למצוא את השטח המקסימלי של המלבן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 25 ‬‬
‫‪ 625 ‬‬
‫‪625 − 16 ⋅ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪625 − 16 ⋅ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪25 ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100 312.5‬‬
‫‪32 ‬‬
‫‪32 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫→‬
‫⋅‬
‫→‬
‫⋅‬
‫‪→ S = 62.5‬‬
‫⋅ ‪‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪32 ‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫)יח"ר(‬
‫‪ 25 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪ = 4 ⋅ ‬‬
‫‪ 32 ‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬נסמן את הנתונים בשרטוט‪.‬‬
‫נבטא את הווקטורים‪:‬‬
‫‪G‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪BE → AF = u + (−u + w) → AF == u − u + w → AF = u + w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪AG = AD + DG → AG = AD + DE → AG = v + (−v + w) → AG = v − v + w → AG = v + w‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AF = AB + BF → AF = AB +‬‬
‫‪AH = AE + EH → AH = AE + t ⋅ EC → AH = w + t (− w + v + u ) → AH = (1 − t ) w + t v + t u‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪305‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ב‪ .‬שאלות מהסוג "מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה את הישר" הן לרוב שאלות וקטורים שניתן לפתור באמצעות‬
‫יחידות התצוגה‪ .‬יחידות התצוגה הוא עקרון לפיו כל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן אחד בלבד‪ .‬לכן‪ ,‬אם נביע‬
‫וקטור בשני אופנים שונים‪ ,‬הרי שניתן יהיה להשוות ביניהם‪.‬‬
‫נבטא את הווקטור ‪ AH‬בשתי תצוגות שונות‪ ,‬ונשווה ביניהן‪:‬‬
‫תצוגה אחת היא התצוגה שמצאנו בסעיף א'‪. AH = t u + t v + (1 − t ) w :‬‬
‫על פי הנתון‪ ,‬הווקטור ‪ AH‬מוכל במישור העובר דרך הנקודות ‪ F ,A‬ו‪.G-‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניתן גם לבטא את הווקטור ‪ AH‬כקומבינציה ליניארית של‬
‫הווקטורים ‪ AF‬ו‪: AG -‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪AH = a ⋅ AF + b ⋅ AG → AH = a ⋅  u + w  + b ⋅  v + w ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪AH = u + w + v + w → AH = u + v +  +  w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫מכיוון ששתי התצוגות שמצאנו זהות‪ ,‬נוכל להשוות בין המקדמים הסקלאריים של ‪ v , u‬ו‪: w -‬‬
‫‪(I ) t = a → a = 2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(II ) t = 2b → b = 3t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(III ) 1 − t = a + b‬‬
‫‪2 3‬‬
‫נציב את ‪ I‬ו‪ II-‬ב‪ III-‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2t 3t‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪+ → 1 − t = t + → 2 = 4t + t → t‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן שהנקודה ‪ H‬מחלקת את המקצוע ‪ EC‬ביחס של‪ EH = :‬ו‪. HC = :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫לסיכום‪ ,‬היחס בין הקטעים הוא‪.2:3 :‬‬
‫ג‪ .‬הבסיס ‪ ABCD‬הוא ריבוע ששטחו הוא ‪ 25‬סמ"ר‪ .‬מכאן ש‪ , u = v = 5 :‬וכן ‪. u ⋅ v = 0‬‬
‫= ‪1− t‬‬
‫הווקטור ‪ AE‬יוצר זוויות שוות עם הווקטורים ‪ AD‬ו‪ . AB -‬מכאן ש‪:‬‬
‫‪w⋅v‬‬
‫‪w⋅u‬‬
‫=‬
‫‪→ w⋅v = w⋅u‬‬
‫‪w⋅v w⋅u‬‬
‫הישר ‪ ED‬מאונך לישר ‪ ,AD‬ולכן‪:‬‬
‫‪→ v ⋅ w = 25‬‬
‫‪2‬‬
‫→‬
‫‪AE ⋅ AB‬‬
‫‪AE ⋅ AB‬‬
‫=‬
‫‪AE ⋅ AD‬‬
‫‪AE ⋅ AD‬‬
‫‪AD ⋅ ED = 0 → v ⋅ (− w + v ) = 0 → − v ⋅ w + v = 0 → v ⋅ w = v‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו‪ . v ⋅ w = u ⋅ w = 25 :‬לבסוף‪ AH = 2 17 ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪AH = AH = 2 17 →  u + v + w  u + v + w  = 2 17‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5  5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 2 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 2 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9 2‬‬
‫→ ‪u + u ⋅ v + u ⋅ w + u ⋅ v + v + v ⋅ w + u ⋅ w + v ⋅ w + w = 2 17‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪4 2 24‬‬
‫‪4 2 9 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9 2‬‬
‫→ ‪u + v ⋅ w + v + w = 2 17 → ⋅ 25 + ⋅ 25 + ⋅ 25 + w = 2 17‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪9 2‬‬
‫‪9 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)יח' אורך( ‪4 + 24 + 4 + w = 68 → w = 36 → w = 100 → w = 100 → w = 10‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪306‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ .‬למשוואה ריבועית יש פתרון אחד כאשר הביטוי בתוך השורש )הדלתא ∆ ( בנוסחת השורשים שווה ל‪:0-‬‬
‫‪∆ = b − 4ac → ∆ = (2(mi + a)) − 4m(3 + 4i) → ∆ = 4(mi + a) 2 −12m −16mi → ∆ = 4(−m2 + 2mai + a 2 ) −12m −16mi‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∆ = −4m 2 + 8mai + 4a 2 − 12m − 16mi = 0 → −4m 2 + 4a 2 − 12m + (8ma − 16m)i = 0‬‬
‫הביטוי באגף השמאלי שווה ל‪ 0-‬כאשר החלק הממשי וגם החלק המדומה שווים ל‪ .0-‬נשווה את שניהם ל‪:0-‬‬
‫)‪8ma − 16m = 0 → 8m( a − 2) = 0 → a = 2 , ( m > 0‬‬
‫)‪− 4m2 + 4a 2 − 12m = 0 → −4m2 + 4 ⋅ 2 2 − 12m = 0 → m 2 + 3m − 4 = 0 → (m − 1)(m + 4) = 0 → m = 1 ( m > 0‬‬
‫ב‪ .‬נציב ‪ m = 1‬ו‪ a = 2 :‬במשוואה ונפתור אותה‪:‬‬
‫‪Z + 2(i + 2) ⋅ Z + 3 + 4i = 0 → Z + (2i + 4) ⋅ Z + 3 + 4i = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−b± 0‬‬
‫)‪− (2i + 4‬‬
‫= ‪→Z‬‬
‫‪→ Z = −2 − i‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10 10‬‬
‫ו‪:‬‬
‫נמצא את הערכים של המספרים המרוכבים ‪, Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‪Z‬‬
‫‪:‬‬
‫‪Z = −2 + i‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫) ‪10(−2 + i‬‬
‫‪− 20 + 10i‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫→‬
‫‪= −4 + 2i‬‬
‫) ‪Z − 2 − i (−2 − i )(−2 + i‬‬
‫‪4 +1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫) ‪10(−2 − i‬‬
‫‪− 20 − 10i‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫→‬
‫‪= −4 − 2i‬‬
‫‪4 +1‬‬
‫) ‪Z − 2 + i (−2 + i )(−2 − i‬‬
‫‪Z‬‬
‫נמקם את ארבע הנקודות במישור גאוס‪.‬‬
‫ניתן לראות כי המרובע הוא טרפז שבסיסיו מקבילים לציר ה‪.y-‬‬
‫נחשב את שטחו‪:‬‬
‫(‬
‫) )‪2 + 4 )(− 2 − (−4‬‬
‫‪12‬‬
‫=‪S‬‬
‫= ‪→S‬‬
‫)יח"ר( ‪→ S = 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬על פי הנתונים‪ a1 = −2 + i :‬ו‪ . a2 = −4 − 2i -‬נחשב את הפרש הסדרה‬
‫החשבונית‪:‬‬
‫‪d = a2 − a1 → d = −4 − 2i − (−2 + i ) → d = −2 − 3i‬‬
‫סכום הסדרה החשבונית הוא‪ . − 420 − 550i :‬ניעזר בנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫→ ))‪S n = (2a1 + d (n − 1)) → −420 − 550i = (2(−2 + i ) + (−2 − 3i )(n − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪− 840 − 1100i = n (−4 + 2i − 2n + 2 − 3in + 3i ) → −840 − 1100i = −2n + 5ni − 2n 2 − 3n 2 i‬‬
‫‪2n − 5ni + 2n 2 + 3n 2 i − 840 − 1100i = 0 → 2n 2 + 2n − 840 + (3n 2 − 5n − 1100)i = 0‬‬
‫האגף השמאלי מתאפס כאשר החלק הממשי וגם החלק המדומה מתאפסים ולכן‪:‬‬
‫‪ . 2n 2 + 2n − 840 = 0‬פתרונות המשוואה הם‪ n = 20 :‬ו‪. n = −21 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 3n 2 − 5n − 1100 = 0‬פתרונות המשוואה הם‪ n = 20 :‬ו‪. n = −18 :‬‬
‫‪3‬‬
‫הפתרון שמאפס את שתי המשוואות הוא‪ , n = 20 :‬וזהו מספר איברי הסדרה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪307‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪ .‬נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫על פי הנוסחה‪:‬‬
‫‪M t = M 0 ⋅ qt‬‬
‫כמות התחלתית‬
‫קצב גידול‬
‫זמן‬
‫כמות סופית‬
‫כמות העצים ביער עד הכריתה‬
‫‪n‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪q = 1 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n⋅qx‬‬
‫בשלב זה נכרתו ‪ 3n‬עצים‪ ,‬ורגע לאחר מכן‪ ,‬היתה כמות העצים ביער‪. n ⋅ q x − 3n :‬‬
‫נמלא בטבלה חדשה את נתוני הגידול בתקופה הבאה‪:‬‬
‫כמות התחלתית‬
‫קצב גידול‬
‫זמן‬
‫כמות סופית‬
‫כמות העצים ביער ‪ x‬שנים‬
‫לאחר הכריתה‬
‫‪n ⋅ q x − 3n‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪q = 1 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n ⋅ q − 3n ⋅ q x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫על פי הנתון הכמות הסופית של העצים ‪ x‬שנים לאחר הכריתה היא ‪ ,4n‬ולכן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪=q‬‬
‫‪− 3n ⋅ q x − 4n = 0 t‬‬
‫‪→ t 2 − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ q = 1 +‬ונקבל כי‪:‬‬
‫נזכור כי‪ :‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln1 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫) (‬
‫‪x 2‬‬
‫)‬
‫‪(n ⋅ q‬‬
‫‪− 3n ⋅ q = 4n → n q‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫= ‪t = 4 → qx = 4 → x‬‬
‫‪ln q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫=‪. x‬‬
‫ב‪ .‬נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫כמות התחלתית‬
‫קצב גידול‬
‫זמן‬
‫כמות סופית‬
‫כמות העצים ביער‬
‫‪m‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪q = 1 +‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪m ⋅ q 3x‬‬
‫נפתח את הביטוי המתאר את הכמות הסופית‪: m ⋅ q 3 x :‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪ln a‬‬
‫ונקבל כי‪:‬‬
‫נזכור כי על פי סעיף א'‪,‬‬
‫= ‪ . x‬ניעזר בנוסחה למעבר מבסיס לבסיס‪= log b a :‬‬
‫‪ln b‬‬
‫‪ln q‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪→ x = log q 4‬‬
‫‪ln q‬‬
‫נציב את ערך ‪ x‬בביטוי ‪ m ⋅ q 3 x‬ונקבל‪:‬‬
‫נזכור את הכלל‪: a log a b = b :‬‬
‫‪log q 64‬‬
‫‪= m⋅q‬‬
‫‪3 log q 4‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪m ⋅ q3x = m ⋅ q‬‬
‫‪= m ⋅ 64 = 64m‬‬
‫‪logq 64‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪m⋅q‬‬
‫עמוד ‪308‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫א‪ .‬לפונקציה ) ‪ f ( x) = log b (x 2 + bx + c‬יש אסימפטוטה אנכית כאשר הביטוי שבתוך ה‪ log-‬מתאפס‪:‬‬
‫‪x 2 + bx + c = 0‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטה אחת בלבד‪ ,‬ולכן למשוואה יש רק פתרון אחד‪ .‬מכאן ש‪: ∆ = 0 :‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪∆ = b 2 − 4ac = 0 → b 2 − 4c = 0 → b 2 = 4c → c‬‬
‫נציב ונקבל את הפונקציה ) ‪: f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪f ( x) = log b  x 2 + bx +  → f ( x) = log b  x + ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪‬‬
‫לפונקציה יש אסימפטוטה כאשר הביטוי שבתוך ה‪ log-‬מתאפס‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪=0→ x=−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+‬‬
‫ב‪ .‬נבדוק תחילה אם יש לפונקציה נקודות קיצון‪ .‬נגזור ונשווה ל‪:0-‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪f ( x) = log b  x 2 + bx + ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x + b‬‬
‫‪b‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫→‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪ x + bx +  ln b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫זו למעשה האסימפטוטה האנכית של הפונקציה ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון‪ .‬נבדוק את תחומי העליה והירידה‬
‫באמצעות טבלת עלייה וירידה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪<x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x=−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x<−‬‬
‫‪−b‬‬
‫אס'‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫מכאן שתחום הירידה הוא‪ , x < − :‬ותחום העלייה הוא ‪< x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תחום ‪x‬‬
‫נציב‬
‫בנגזרת‬
‫סימן‬
‫הנגזרת‬
‫הפונקציה‬
‫עולה‪/‬יורדת‬
‫‪.−‬‬
‫ג‪ .‬נציב ‪ x=0‬ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫‪ 0, log b   ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫→ ‪f (0) = log b  0 2 + b ⋅ 0 +  → f (0) = log b  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫נציב ‪ y=0‬ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪log b  x + bx +  = 0 → x + bx +‬‬
‫‪= b → x + bx +‬‬
‫→ ‪= 1 → x + bx + − 1 = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪− b ± b − 4 − 1‬‬
‫‪− b ± b2 − b2 + 4‬‬
‫‪−b±2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫→‬
‫→‬
‫‪→ x = 1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, x = −1 −‬‬
‫‪x1, 2‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b ‬‬
‫כלומר‪ ,‬נקודות החיתוך עם ציר ה‪ x-‬הן‪ 1 − ,0  :‬ו‪.  − 1 − ,0  -‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪309‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫ד‪ .‬נשרטט את הסקיצה של הפונקציה ) ‪ f (x‬על סמך החקירה עד כה‪:‬‬
‫כיוון ש‪ , b > 2 :‬נוכל לדעת היכן לסמן את נקודות החיתוך על ציר ה‪:x-‬‬
‫‪b‬‬
‫הביטוי‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫הביטוי ‪ − 1 −‬נמצא שמאלה יותר על ציר ה‪ x-‬כי הוא קטן ב‪ 2-‬מהביטוי‬
‫‪2‬‬
‫הקודם‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ −‬נמצאת בדיוק ביניהן‪ ,‬במרחק שווה משתיהן‪.‬‬
‫האסימפטוטה‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 −‬הוא בהכרח שלילי )כי השבר הימני גדול מ‪.(1-‬‬
‫ה‪.‬‬
‫* סעיף זה קשה מהרגיל‪.‬‬
‫נתבונן בטרנספורמציה ) ‪ . g ( x ) = f ( x‬ללא חקירה נוספת נוכל לקבוע כי הטרנספורמציה הופכת את כל הערכים‬
‫השליליים של הפונקציה לחיוביים‪ ,‬ואינה משפיעה כלל על הערכים‬
‫החיוביים‪ .‬למעשה‪ ,‬חלקי הפונקציה שנמצאים מתחת לציר ה‪ x-‬מתהפכים‬
‫אל מעל לציר ה‪ .x-‬שרטוט ) ‪ g (x‬נראה כך‪:‬‬
‫נוסיף לציור גם את הישר העובר בנקודות ‪ C,B,A‬ו‪.D-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫‪‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪ .  0, log b    :‬בפונקציה ) ‪ f (x‬הנקודות ‪ B‬ו‪C-‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫היו מתחת לציר ה‪ x-‬ושיעורי ה‪ y-‬שלהן היה למעשה‪. − log b   :‬‬
‫‪ 4‬‬
‫כך נוכל למצוא את שיעור ה‪ x-‬המקורי שלהן‪ ,‬שהוא למעשה אותו שיעור ‪x‬‬
‫גם לאחר הטרסנפורמציה‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b2 ‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫→ ‪log b  x 2 + bx +  = − log b   → log b  x 2 + bx +  = log b  ‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪b2 4‬‬
‫‪b2 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪logb  x 2 + bx +  = logb  2  → x 2 + bx + = 2 → x 2 + bx + − 2 = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 b‬‬
‫‪4 b‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪b 2‬‬
‫‪b 2‬‬
‫‪ x B = − +‬ו‪. xC = − − -‬‬
‫פתרונות המשוואה על פי נוסחת השורשים הם‪:‬‬
‫‪2 b‬‬
‫‪2 b‬‬
‫על פי הנתון המרחק בין הנקודות הוא ‪ 1‬ולכן‪:‬‬
‫‪b 2  b 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x B − xC = 1 → − + −  − −  = 1 → + = 1 → = 1 → b = 4‬‬
‫‪2 b  2 b‬‬
‫‪b b‬‬
‫‪b‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪310‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪15‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬נסמן את הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בשרטוט‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫עלינו להוכיח כי מתקיים‪. y1 ⋅ y 2 = − p :‬‬
‫ניעזר במשוואת הפרבולה ‪ y 2 = 2 px‬כדי לבטא את הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בעזרת‬
‫ערכי ה‪ y-‬בלבד‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור הנקודה ) ‪ A( x1 , y1‬נקבל‪:‬‬
‫‪y1‬‬
‫) ‪, y1‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫→ ‪y1 = 2 px1 → x1 = 1‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫עבור הנקודה ) ‪ B( x2 , y2‬נקבל‪B( 2 , y 2 ) :‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫→ ‪y2 = 2 px2 → x2 = 2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫המיתר ‪ AB‬עובר דרך מוקד הפרבולה )‪ . C ( ,0‬נביע באמצעות ‪ y1 , p‬ו‪ y2 -‬את שיפועי הישרים ‪ AC‬ו‪,BC-‬‬
‫‪2‬‬
‫ולאחר מכן נשווה ביניהם‪:‬‬
‫‪y1 − 0‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y1 ⋅ 2 p‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪→ 2‬‬
‫‪→ 2‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y1 − p 2‬‬
‫‪y1 − p 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2p 2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪y −0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y ⋅2p‬‬
‫‪= 22‬‬
‫‪→ 2 2 2 → 22‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y2 − p‬‬
‫‪y2 − p 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2p 2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪y ⋅2p‬‬
‫‪y ⋅2p‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= mBC → 21‬‬
‫‪= 22‬‬
‫→ ‪→ 2 1 2 = 2 2 2 → y1 y 2 − p 2 = y 2 y1 − p 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1 − p‬‬
‫‪y2 − p‬‬
‫‪y1 − p‬‬
‫‪y2 − p‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m AC‬‬
‫‪mBC‬‬
‫‪m AC‬‬
‫→ ) ‪y1 y 2 − y1 p 2 = y 2 y1 − y 2 p 2 → y1 y 2 − y 2 y1 = y1 p 2 − y 2 p 2 → y1 y 2 ( y 2 − y1 ) = − p 2 ( y 2 − y1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1 y2 = − p 2‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את אמצע הקטע ‪. D(t , k ) :AB‬‬
‫נבטא את הנקודה ‪ D‬באמצעות הנוסחה לאמצע הקטע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪(I ) xD = x A + xB → t = 2 p 2 p → 4 pt = y12 + y2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y A + yB‬‬
‫‪y1 + y 2‬‬
‫= ‪(II ) y D‬‬
‫= ‪→k‬‬
‫‪→ 2k = y1 + y 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת עלינו "להיפטר" מהפרמטרים ‪ y1‬ו‪ y2 -‬ולהישאר עם משוואה המקשרת בין ‪ t‬לבין ‪ .k‬ניתן להשאיר את‬
‫הפרמטר ‪ p‬במשוואה שתתקבל‪ ,‬כי הוא נתון בשאלה‪ ,‬אך לא את הפרמטרים ‪ y1‬ו‪ y 2 -‬שאותם הוספנו כאמצעי‬
‫לפתרון‪ .‬נשים לב שהאגף הימני של משוואה ‪ I‬מכיל את ריבועי האיברים שבאגף הימני של משוואה ‪ .II‬כדי להתקדם‬
‫בפתרון מערכת המשוואות‪ ,‬נעלה את משוואה ‪ II‬בריבוע‪(II ) (2k )2 = ( y1 + y 2 )2 → 4k 2 = y12 + 2 y1 y 2 + y 2 2 :‬‬
‫בסעיף א' הוכחנו כי‪ . y1 y2 = − p 2 :‬נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4k 2 = y1 − 2 p 2 + y 2 → 4k 2 + 2 p 2 = y1 + y 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(II‬‬
‫כעת נוכל להשוות את ‪ I‬ו‪4 pt = 4k 2 + 2 p 2 :II-‬‬
‫כעת נחליף את ‪ t‬ו‪ k-‬ב‪ x-‬ו‪2 y 2 = 2 px − p 2 :y-‬‬
‫→ ‪4 px = 4 y 2 + 2 p 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪311‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬ראשית נמצא את ישר החיתוך שבין שני המישורים הנתונים‪ .‬לכן "ניפטר" ראשית מאחד הנעלמים‪.‬‬
‫ניתן "להיפטר" מהנעלם ‪ y‬על ידי חיבור המשוואות‪ .‬נחבר את שתי המשוואות ונקבל את המשוואה‪:‬‬
‫‪x + 2 y + 2z + 1 = 0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2 x − 2 y + z + 2 = 0‬‬
‫‪3x + 3z + 3 = 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬המשוואה המייצגת את ישר החיתוך היא‪. x + z + 1 = 0 :‬‬
‫נמצא שתי נקודות שרירותיות על ישר החיתוך‪.‬‬
‫נציב ‪ x = 0‬ונקבל ‪ . z = −1‬לאחר הצבת ‪ x‬ו‪ y-‬באחת ממשוואות המישורים נקבל ‪ y = 0.5‬ואת הנקודה‪:‬‬
‫)‪. (0,0.5,−1‬‬
‫נציב ‪ z = 0‬ונקבל ‪ . x = −1‬לאחר הצבת ‪ x‬ו‪ z-‬באחת ממשוואות המישורים נקבל ‪ y = 0‬ואת הנקודה )‪. (−1,0,0‬‬
‫וקטור הכיוון העובר דרך שתי נקודות אלו הוא )‪ (−1,−0.5,1‬ולאחר הכפלה פי שניים‪. ( −2,−1,2) :‬‬
‫מכיוון שהמישור ‪ π 3‬עובר דרך ישר החיתוך‪ ,‬נוכל לומר שווקטור המקדמים של המישור ‪ π 3‬מאונך לכיוון ישר‬
‫החיתוך‪ .‬מתקבלת המשוואה‪:‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫→ ‪( a, b, c )( −2,−1,2) = 0‬‬
‫כעת נצטרך משוואה נוספת המקשרת בין ‪ b ,a‬ו‪ .c-‬נתון כי המישור ‪ π 3‬יוצר זוויות שוות עם שני המישורים הנתונים‪.‬‬
‫הזווית שהמישור ‪ π 3‬יוצר עם המישור ‪ π 1‬היא‪:‬‬
‫הזווית שהמישור ‪ π 3‬יוצר עם המישור ‪ π 2‬היא‪:‬‬
‫)‪(a, b, c)(1,2,2‬‬
‫‪a 2 + b 2 + c 2 12 + 2 2 + 2 2‬‬
‫)‪(a, b, c)(2,−2,1‬‬
‫‪a 2 + b 2 + c 2 2 2 + 2 2 + 12‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫נשווה בין שתי המשוואות‪) :‬יש לשים לב שמשיקולי ערך מוחלט יש להשוות בין המשוואות בשני מקרים(‪:‬‬
‫‪→ a + 2b + 2c = 2a − 2b + c → a − 4b − c = 0‬‬
‫)‪(a, b, c)(2,−2,1‬‬
‫‪a + b 2 + c 2 2 2 + 2 2 + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‪(a, b, c)(1,2,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 +2 +2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b +c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪→ a + 2b + 2c = −2a + 2b − c → 3a + 3c = 0‬‬
‫כעת יש לנו שתי מערכות של משוואות‪:‬‬
‫‪a − 4b − c = 0‬‬
‫או‬
‫א‪.‬‬
‫‪− 2a − b + 2c = 0‬‬
‫נקבל‪ ,b=0 :‬ובהתאם ‪.a=c‬‬
‫נניח ‪ a=1‬ונקבל ‪ c=1‬ואת המשוואה‪:‬‬
‫‪x+z+d =0‬‬
‫)‪− (a, b, c)(2,−2,1‬‬
‫‪2 + 2 +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b +c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‪(a, b, c)(1,2,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 +2 +2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b +c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3a + 3c = 0‬‬
‫‪− 2a − b + 2c = 0‬‬
‫נקבל‪a=(-c) :‬‬
‫נניח ‪ a=1‬ונקבל‪ b=-4 ,c=-1 :‬ואת המשוואה‪:‬‬
‫‪x − 4y − z + d = 0‬‬
‫בתחילת סעיף א' מצאנו כי הנקודה )‪ (−1,0,0‬נמצאת על המישור ‪. π 3‬‬
‫נציב את הנקודה בשתי המשוואות ונמצא את ‪.d‬‬
‫‪−1 + d = 0 → d = 1‬‬
‫‪−1 + d = 0 → d = 1‬‬
‫המשוואה היא‪x + z + 1 = 0 :‬‬
‫המשוואה היא‪x − 4 y − z + 1 = 0 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪312‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ב‪ .‬לפי הנתון ניתן לראות כי משוואת המישור המתאימה מבין השתיים שמצאנו בסעיף הקודם היא‪. x + z + 1 = 0 :‬‬
‫)המישור מקביל לציר ‪ y‬ולכן המקדם של ‪ y‬במשוואת המישור שווה ל‪.(0-‬‬
‫כדי למצוא את הזווית שבין שני מישורים‪ ,‬נחשב את הזווית שבין וקטורי המקדמים שלהם )שהם האנכים למישור(‪.‬‬
‫וקטור המקדמים של המישור ‪ π 3 : x + z + 1 = 0‬הוא )‪. (1,0,1‬‬
‫וקטור המקדמים של המישור ‪ π 2 : 2 x − 2 y + z + 2 = 0‬הוא )‪ . ( 2,−2,1‬נחשב את הזוית שבין המישורים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪→ α = 45‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬לפי הנתון‪A(1, y A , z A ) :‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫) ‪C (−1,3, z C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 2‬‬
‫=‬
‫‪2 +1‬‬
‫‪2 9‬‬
‫=‬
‫)‪(1,0,1)(2,−2,1‬‬
‫‪12 + 0 2 + 12 2 2 + 2 2 + 12‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫) ‪. B( x B , y B , z B‬‬
‫‪xB + 1‬‬
‫נמצא את שיעור ‪ xB‬בעזרת הנוסחה לאמצע קטע‪:‬‬
‫‪= −1 → x B = −3‬‬
‫‪2‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת במישור ‪ . π 3‬נציב את שיעוריה במשוואת המישור‪:‬‬
‫‪. x + z + 1 = 0 → −1 + z C + 1 = 0 → z C = 0‬‬
‫כעת אנו יודעים כי‪. B(−3, y B , z B ) , C (−1,3,0) , A(1, y A , z A ) :‬‬
‫כעת "ניפטר" מחלק מהמשתנים על ידי הצבת הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬במשוואות המישורים עליהם הן נמצאות‪:‬‬
‫‪A → π 1 : x + 2 y + 2 z + 1 = 0 → 1 + 2 y A + 2 z A + 1 = 0 → z A = −1 − y A‬‬
‫‪B → π 2 : 2 x − 2 y + z + 2 = 0 → −6 − 2 y B + Z B + 2 = 0 → z B = 4 + 2 y B‬‬
‫נסכם‪ . B(−3, y B ,4 + 2 y B ) , C (−1,3,0) , A(1, y A ,−1 − y A ) :‬מהנוסחה לאמצע קטע נקבל את שתי המשוואות‪:‬‬
‫‪y + yA‬‬
‫‪3= B‬‬
‫‪→ yB + y A = 6 → y A = 6 − yB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 + 2 yB − 1 − y A‬‬
‫‪→ 3 + 2 yB − y A = 0 → y A = 3 + 2 yB‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫מפתרון מערכת המשוואות נקבל‪ y B = 1 :‬ועל ידי הצבה‪ . z B = 6 :‬שיעורי הנקודה הם‪. B (−3,1,6) :‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬נסמן‪ . SA' = tSA :‬בהתאם לכך‪ ,‬עלינו למצוא את הערך של ‪.t‬‬
‫הגובה לבסיס נופל במרכז המעגל החוסם את הבסיס )כשהבסיס משולש שווה‬
‫צלעות‪ ,‬נקודה זו היא גם מפגש התיכונים(‪ .‬נסמן את מפגש התיכונים במשולש‬
‫‪ ∆ABC‬כנקודה ‪ .O‬נסמן את מפגש התיכונים במשולש ' ‪ ∆A' B' C‬כנקודה '‪.O‬‬
‫נתבונן במשולש ‪ . ∆AOS‬ניתן לראות כי הקטע '‪ A'O‬מקביל לקטע ‪ ,AO‬ולכן‬
‫מתקיים במשולש ‪ ∆AOS‬משפט תאלס‪.‬‬
‫' ‪SA' SO‬‬
‫=‬
‫‪ ,‬ומכאן נובע כי‪. SO' = tSO :‬‬
‫כלומר‬
‫‪SA SO‬‬
‫נתבונן במשולש ‪ . ∆ACS‬ניתן לראות כי הקטע '‪ A'C‬מקביל לקטע ‪ ,AC‬ולכן‬
‫מתקיים גם במשולש ‪ ∆ACS‬משפט תאלס‪.‬‬
‫' ‪SA' A' C‬‬
‫=‬
‫‪ ,‬ולכן‪. A' C ' = tAC :‬‬
‫כלומר‬
‫‪SA‬‬
‫‪AC‬‬
‫לבסוף‪ ,‬ניתן לראות כי משולש ‪ ∆A' B' C ' ~ ∆ABC‬ולכן יחס השטחים שלהם‬
‫שווה לריבוע יחס הדמיון‪S ∆A'B 'C ' = t 2 S ∆ABC :‬‬
‫)‪. (1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪313‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫נתון כי הנפח הכלוא בין המישור ' ‪ A' B' C‬לבין הבסיס ‪ ,ABC‬גדול פי שבעה מהנפח הכלוא בין המישור ' ‪A' B' C‬‬
‫לבין הקודקוד ‪ .S‬מכאן נובע כי נפח הפירמידה כולה‪ ,‬גדול פי שמונה מנפח הפירמידה הקטנה '‪.SA'B'C‬‬
‫נביע את נפחי שתי הפירמידות‪:‬‬
‫'‪S A'B 'C ' ⋅ SO‬‬
‫‪S ABC ⋅ SO‬‬
‫= ‪, VSABC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ' ‪VSA'B 'C‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪t 2 S ABC ⋅ tSO t 3 S ABC ⋅ SO‬‬
‫=‬
‫נציב בנפח הפירמידה הקטנה )‪ (2‬את היחס שמצאנו קודם )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫על פי הנתון ' ‪= 8 ⋅ VSA'B 'C‬‬
‫‪ . VSABC‬נפתח את המשוואה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S ABC ⋅ SO‬‬
‫‪t 3 S ABC ⋅ SO‬‬
‫‪1‬‬
‫→‬
‫⋅‪= 8‬‬
‫= ‪→ 1 = 8t 3 → t 3 = → t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫מכאן נובע כי הנקודה '‪ A‬מחלקת את המקצוע ‪ AS‬ביחס ‪.1:1‬‬
‫' ‪VSABC = 8 ⋅VSA'B 'C‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ‪ .AS=2n‬במשולש ישר הזוית ‪ ∆AOS‬נביע את אורך ‪:AO‬‬
‫‪AO AO‬‬
‫=‬
‫)‪→ AO = 2n cosα (3‬‬
‫= ‪. cos α‬‬
‫‪AS‬‬
‫‪2n‬‬
‫במשולש ‪ AO , ∆ABC‬הוא רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫באמצעות משפט הסינוסים במשולש ‪ ∆ABC‬נביע את אורך ‪:AC‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪AC‬‬
‫→ ‪= 2 AO‬‬
‫)‪= 4n cos α → AC = 2 3n cos α (4‬‬
‫‪sin 60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫כיוון שהבסיס ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‪ ,‬נקבל שגם‪. BC = 2 3n cos α (5) :‬‬
‫‪1‬‬
‫בנוסף‪ ,‬כיוון ש‪ B'C ' -‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪ , ∆BCS‬נקבל ‪BC :‬‬
‫‪2‬‬
‫מהנתון לגבי שוויון ההיקפים ומ‪ 4,5 :‬ו‪ 6-‬נקבל‪:‬‬
‫= ' ‪ B ' C‬ולכן )‪. B' C ' = 3n cos α (6‬‬
‫‪P∆ABC = PBCC 'B ' → 3 AC = BC + CC '+ B' C '+ B' B → 6 3n cosα = 2 3n cosα + 3n cosα + n + n : n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪→ α = 67.36‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪6 3 cos α = 2 3 cos α + 3 cos α + 2 → 3 3 cos α = 2 → cos α‬‬
‫‪3 3‬‬
‫ג‪ .‬שטח הבסיס של הפירמידה הוא )ניעזר ב‪:(4-‬‬
‫‪= 3 3n 2 ⋅ 0.148 = 0.77n 2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪AC 2 sin 60 2 3n ⋅ cos 67.36 o‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪S ∆ABC‬‬
‫נחשב את גובה הפירמידה ‪ SO‬בתוך המשולש ישר הזווית ‪: ∆AOS‬‬
‫‪SO‬‬
‫‪S0‬‬
‫= ‪→ 0.923‬‬
‫‪→ SO = 1.846n‬‬
‫‪AS‬‬
‫‪2n‬‬
‫= )‪sin (67.36°‬‬
‫נציב במשוואת נפח הפירמידה‪:‬‬
‫‪S ABC ⋅ SO 0.77 n ⋅ 1.846n‬‬
‫=‬
‫‪= 0.474n 3 = 62 → n 3 = 130.86 → n = 5.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נזכור כי לפי הסימון המקורי מתחילת התרגיל ‪ ,AS=2n‬ולכן אורך המקצוע הצדדי הוא‪:‬‬
‫‪ 10.15‬ס"מ = ‪AS = BS = 2n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪VSABC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪314‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬הפונקציות הן‪ g ( x) = ln(a + x) , f ( x) = m ⋅ ln(a − x) :‬ונתון ש‪. 3 < a,0 < m :‬‬
‫שתי הפונקציות מוגדרות כאשר הביטוי שבתוך ה‪ ln-‬גדול מ‪:0-‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫מכאן שהאסימפטוטה האנכית היא בקצה תחום ההגדרה‪:‬‬
‫‪f ( x) → a − x > 0 → x < a‬‬
‫מכאן שהאסימפטוטה האנכית היא בקצה תחום ההגדרה‪. x = −a :‬‬
‫‪g ( x ) → a + x > 0 → x > −a‬‬
‫לשתי הפונקציות אין אסימפטוטות אופקיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כדי למצוא את נקודת החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם ציר ה‪ ,y-‬נציב ‪:x=0‬‬
‫) ‪f (0) = m ⋅ ln(a) → (0, m ⋅ ln a‬‬
‫) ‪g (0) = ln(a) → (0, ln a‬‬
‫כדי למצוא את נקודת החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם ציר ה‪ ,x-‬נשווה את הפונקציות ל‪:0-‬‬
‫)‪f ( x) = m ⋅ ln(a − x) = 0 → ln(a − x) = 0 → a − x = e 0 → x = a − 1 → ( a − 1,0‬‬
‫)‪g ( x) = ln(a + x) = 0 → a + x = e 0 → x = 1 − a → (1 − a ,0‬‬
‫ג‪ .‬כדי לקבוע היכן חותכים הגרפים את הצירים‪ ,‬הסתמכנו על הנתון‪. 3 < a,0 < m :‬‬
‫)בעמוד הבא מופיע פתרון מלא לסעיף ד'(‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪315‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫ד‪ .‬המשמעות של הטרנספורמציה‪ h( x) = f ( x) + g ( x) :‬היא שעבור כל ‪ ,x‬ערכי ה‪ y-‬של הפונקציה )‪ h(x‬הם הסכום‬
‫של ערכי ה‪ y-‬של הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ . g (x ) -‬עלינו לצייר סקיצה באופן כללי‪ ,‬ולכן נבחר שלוש נקודות "מפתח" בהן‬
‫קל לנו להעריך איפה תעבור הפונקציה )‪ . h(x‬נקודות אלו מודגשות בשרטוט‪ .‬הגרפים של הפונקציות ) ‪f (x‬‬
‫ו‪ g (x ) -‬מופיעים בשרטוט בקווים רציפים‪ ,‬והפונקציה החדשה )‪ h(x‬מופיעה במקווקו‪.‬‬
‫בנקודה )‪ ,(1‬גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬חותך את ציר ה‪ x-‬ולכן ערך ה‪ y-‬של ) ‪ f (x‬שווה ל‪.0-‬‬
‫מכאן שערך ה‪ y-‬של )‪ h(x‬בנקודה הזו שווה ל‪. h( x) = 0 + g ( x ) = g ( x) :‬‬
‫כלומר‪ ,‬בנקודה )‪ (1‬גרף הפונקציה )‪ h(x‬חותך את גרף הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫באותו האופן‪ ,‬בנקודה )‪ ,(2‬גרף הפונקציה ) ‪ g (x‬חותך את ציר ה‪ x-‬ולכן ערך ה‪ y-‬של ) ‪ g (x‬שווה ל‪.0-‬‬
‫מכאן שערך ה‪ y-‬של )‪ h(x‬בנקודה הזו שווה ל‪. h( x ) = f ( x ) + 0 = f ( x ) :‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר‪ ,‬בנקודה )‪ (2‬גרף הפונקציה )‪ h(x‬חותך את גרף הפונקציה ) ‪. f (x‬‬
‫בנקודה )‪ ,(3‬לשני הגרפים של הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬יש את אותו ערך ‪,y‬‬
‫מכאן שלפונקציה )‪ h(x‬בנקודה זו יש ערך ‪ y‬הגדול פי ‪ 2‬מערך ה‪ y-‬של נקודת חיתוך זו‪.‬‬
‫כעת נחבר את שלוש הנקודות הללו בקו ונקבל את הצורה הכללית של גרף הפונקציה )‪. h(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה )‪ h(x‬מורכבת מחיבור של ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬ולכן היא גם מוגדרת רק בתחום‬
‫שבו שתי הפונקציות מוגדרות‪ , − a < x < a :‬בין שתי האסימפטוטות האנכיות‪.‬‬
‫ה‪ .‬נסמן את הנתונים בשרטוט‪:‬‬
‫נקודות ‪ C‬ו‪ D -‬הן נקודות החיתוך של הפונקציות ) ‪ g (x‬ו‪ f (x ) -‬עם ציר‬
‫ה‪ ,x-‬ולכן שיעוריהן הם‪ C (1 − a,0) :‬ו‪. D ( a − 1,0) -‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של הגרפים של הפונקציות )‪ h(x‬ו‪. g (x ) -‬‬
‫על סמך סעיף ד'‪ ,‬ניתן לראות כי לנקודות ‪ A‬ו‪ D -‬שיעור ‪ x‬זהה ) ‪.( x = a − 1‬‬
‫על מנת למצוא את שיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪ ,A‬נציב ‪ x = a − 1‬ב‪. g (x ) -‬‬
‫‪= a −1‬‬
‫‪g ( x) = ln(a + x) x‬‬
‫)‪→ y A = ln(a + a − 1) → y A = ln(2a − 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪. A( a − 1, ln(2a − 1)) :‬‬
‫נחזור על תהליך זה פעם נוספת עבור הנקודה ‪ B‬ונגלה כי שיעוריה הם‪:‬‬
‫))‪. B (1 − a, m ⋅ ln( 2a − 1‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ , BC || FE || AD‬ולכן שני המרובעים ‪ BCEF‬ו‪ FEDA -‬הם‬
‫טרפזים‪ .‬הגובה בטרפז ‪ BCEF‬הוא אורך הקטע ‪ .OC‬הנקודות ‪ O‬ו‪C-‬‬
‫נמצאות על ציר ה‪ ,x-‬ולכן אורך הקטע ‪ OC‬הוא הפרש שיעורי ה‪ x-‬של שתי הנקודות‪:‬‬
‫‪OC = x0 − xC = 0 − (1 − a) = a − 1‬‬
‫באופן דומה ניתן לראות כי הגובה בטרפז ‪ FEDA‬הוא הקטע ‪ OD‬שאורכו הוא ‪ . a − 1‬מכאן ש‪. OC = OD :‬‬
‫כדי למצוא את הערך של ‪ ,m‬נביע את שטחי שני הטרפזים בעזרת ‪ m‬ונשווה ביניהם‪:‬‬
‫‪( AD + FE ) ⋅ OD‬‬
‫‪( BC + FE ) ⋅ OC‬‬
‫= ‪, S FEDA‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( BC + FE ) ⋅ OC ( AD + FE ) ⋅ OD‬‬
‫→ ‪S BCEF = S FEDA‬‬
‫=‬
‫‪→ BC + FE = AD + FE → BC = AD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪BC = y B = m ⋅ ln(2a − 1‬‬
‫)‪AD = y A = ln(2a − 1‬‬
‫‪BC = AD → m ⋅ ln( 2a − 1) = ln( 2a − 1) → m = 1‬‬
‫= ‪S BCEF‬‬
‫כיוון ש‪ , 3 < a :‬הרי שהביטוי )‪ ln(2a − 1‬אינו מתאפס‪ ,‬ולכן ניתן לצמצם אותו משני האגפים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪316‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫‪e x + e2‬‬
‫‪a ⋅ ex‬‬
‫ו‪:‬‬
‫א‪ .‬שתי הפונקציות‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪ex‬‬
‫‪e x + e2‬‬
‫הפונקציות יש מנות של ביטויים מעריכיים‪ ,‬שהם חיוביים לכל ‪ .x‬לכן‪ ,‬תחום ההגדרה של שתי הפונקציות הוא כל ‪.x‬‬
‫= )‪ g ( x‬מוגדרות כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי‪ .‬בשתי‬
‫ב‪ .‬נמצא תחילה את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ) ‪: g (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+ x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e = lim 1 + e = 1 + 0 + ≈ 1 → y = 1‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫כאשר ∞ → ‪: x‬‬
‫‪ex e2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪e x e x = lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫כאשר ∞‪ : x → −‬אין אסימפ' → ∞ ≈ ∞ ‪≈ 1 +‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ex‬‬
‫נמצא גם את שתי האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ) ‪f (x‬‬
‫כאשר ∞ → ‪: x‬‬
‫‪a ⋅ex‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ex‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪≈ a → y= a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1 + 0+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1+ x‬‬
‫‪ex ex‬‬
‫‪e‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ex + e2‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ex + e2‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫‪e‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪a⋅e‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x→∞ e +e‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪a ⋅ e −‬‬
‫≈‬
‫‪x → −∞ e − ∞ + e 2‬‬
‫‪0+‬‬
‫כאשר ∞‪: x → −‬‬
‫‪≈0→ y=0‬‬
‫‪e2 + 0+‬‬
‫לפי השרטוט ניתן לראות כי המרחק בין האסימפטוטה ‪ y = 0‬לבין ‪y = 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫הוא ‪ .1‬המרחק בין ‪ y = 1‬לבין ‪ y = a‬הוא גם ‪ ,1‬ולכן חייב להתקיים‪:‬‬
‫‪ . y = a = 2‬מכאן‪ ,‬ש‪. a = 4 :‬‬
‫האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ) ‪ g (x‬היא ‪ . y = 1‬שתי‬
‫האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ) ‪ f (x‬הן‪ y = 0 :‬ו‪. y = 2 :‬‬
‫‪4 ⋅ e0‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫ג‪ .‬נקודת החיתוך של גרף ) ‪ f (x‬עם ציר ה‪ y-‬היא‪= = 0.69 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e +e‬‬
‫‪1+ e2‬‬
‫‪4 ⋅ ex‬‬
‫נקודת חיתוך עם ציר ה‪ x-‬תהיה כאשר‪= 0 → 4 ⋅ e x = 0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e +e‬‬
‫לעולם‪ ,‬אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪.x-‬‬
‫= )‪ . f (0‬כלומר‪. (0,0.69 ) :‬‬
‫= )‪ . f ( x‬מכיוון שביטוי מעריכי אינו מתאפס‬
‫‪e0 + e2‬‬
‫נקודת החיתוך של הפונקציה ) ‪ g (x‬עם ציר ה‪ y-‬היא‪= 1 + e 2 = 2.89 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪e‬‬
‫בדיקה דומה לזו שעשינו עבור הפונקציה ) ‪ f (x‬תראה שגם כאן אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪.x-‬‬
‫= )‪ . g (0‬כלומר‪. (0,2.89 ) :‬‬
‫ד‪ .‬נשווה בין שתי הפונקציות‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪→ 2e x = ± e x + e 2‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪e +e‬‬
‫‪4⋅e‬‬
‫‪e +e‬‬
‫‪→ x‬‬
‫=‬
‫‪→ 4e 2 x = e x + e 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e +e‬‬
‫‪e‬‬
‫(‬
‫‪2e x = e x + e 2 → e x = e 2 → x = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4⋅e‬‬
‫=‬
‫‪e x + e2‬‬
‫‪x‬‬
‫→ )‪f ( x) = g ( x‬‬
‫למשוואה זו אין פתרון‪2e x = −e x − e 2 → 3e x ≠ −e 2 .‬‬
‫נציב את ‪ x = 2‬באחת מהפונקציות ונקבל את שיעורי נקודת החיתוך‪. A( 2, 2 ) :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪317‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ה‪ .‬נתבונן בשרטוט‪ .‬נפצל את השטח לשניים ב‪ , x = 2 -‬ונביע כל אחד מנפחי גוף הסיבוב בנפרד‪.‬‬
‫את נפח גוף הסיבוב השמאלי ‪ V1‬נחשב באמצעות שיטת‬
‫ההצבה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx = π ⋅ 4e dx‬‬
‫‪∫1 e x + e 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4e x‬‬
‫‪V1 = π ⋅ ∫  x‬‬
‫‪ e + e2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = e x + e 2 :‬‬
‫‪du‬‬
‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= e x :‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪. dx = x :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ .‬לבסוף‬
‫‪2‬‬
‫‪du‬‬
‫‪4e x‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬
‫∫ = ‪ V1‬ונציב בו‪: dx = x :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4e x‬‬
‫‪4e x du‬‬
‫‪4‬‬
‫∫ = ‪V1‬‬
‫∫ → ‪dx‬‬
‫‪= ∫ du‬‬
‫‪x‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u e‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪. V1 = 4 ln(u ) 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב בחזרה ‪ u = e x + e 2‬ונקבל את האינטגרל הסופי‪ . V1 = π ⋅ 4 ln(e x + e 2 ) :‬כלומר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)יח' נפח( ‪V1 = π ⋅ 4 ln(e x + e 2 ) = π ⋅ (4 ln(2e 2 ) − 4 ln(e1 + e 2 ) ) = π ⋅ (4 ln(2e 2 ) − 4 ln(e + e 2 ) ) → = V1 = 4.77‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נביע את נפח גוף הסיבוב הימני ‪: V2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx → π ⋅  e + e dx → π ⋅ 1 + e dx → π ⋅ 1 + e 2− x dx‬‬
‫‪∫2  e x ‬‬
‫‪∫2  e x ‬‬
‫‪∫2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ e x + e2‬‬
‫‪V2 = π ⋅ ∫ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫)יח' נפח( ‪V2 = π ⋅ (x − e 2− x ) = π ⋅ (3 − e −1 − 2 + e 0 ) = π ⋅  2 −  → V2 = 5.13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נביע את נפח גוף הסיבוב כולו‪:‬‬
‫‪ 9.9‬יחידות נפח = ‪V1 + V2 = 4.77 + 5.13 → V‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪318‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪16‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬זוהי שאלת מקום גיאומטרי‪ .‬בתרגילים מסוג זה‪ ,‬נפעל לפי השלבים‪:‬‬
‫‪ .1‬נסמן את הנקודה המבוקשת כ‪. P (t , m) :‬‬
‫‪ .2‬נביע את שאר הנתונים באמצעות הפרמטרים ‪ t‬ו‪. m -‬‬
‫‪ .3‬נמצא משוואה המקשרת בין כל הנתונים בשאלה וזוהי משוואת‬
‫המקום הגיאומטרי באמצעות הפרמטרים ‪ t‬ו‪. m -‬‬
‫‪ .4‬לאחר סידור המשוואה נחליף בחזרה את הפרמטרים ‪ t‬ו‪m -‬‬
‫בפרמטרים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הנקודות ‪ M‬ו‪ N-‬הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪.x-‬‬
‫נציב במשוואת המעגל ‪ y = 0‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2 + y 2 = k 2 → x 2 = k 2 → x = ±k‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪ x-‬הם‪ M (k ,0) :‬ו‪. N ( − k ,0) -‬‬
‫הישר המשיק למעגל בנקודה ‪ N‬מאונך לרדיוס ‪ NO‬ולכן מקביל לציר ה‪ .y-‬מכאן‪ ,‬שמשוואתו היא‪. x = −k :‬‬
‫נתון כי הישרים ‪ MP‬ו‪ PL-‬שווים באורכם‪ .‬נבטא את אורך ‪:PM‬‬
‫)‪d PM = (t − k ) + (m − 0‬‬
‫המרחק בין הנקודה ‪ P‬לישר ‪ , x = −k‬הוא ההפרש שבין שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות )‪ P (t , m‬ו‪) L( − k , m) -‬שרטוט(‪:‬‬
‫‪d PL = t − (− k ) = t + k‬‬
‫נשווה בין שני האורכים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= t + k → (t − k ) + (m − 0) = (t + k ) → t 2 − 2kt + k 2 + m 2 = t 2 + 2kt + k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(t − k )2 + (m − 0)2‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪d PM = d PL‬‬
‫‪− 2kt + m 2 = 2kt → m 2 = 4kt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y = 4kx‬‬
‫כעת‪ ,‬כשהגענו למשוואה המקשרת בין ‪ t‬ו‪ , m -‬נחליף את האותיות ל‪ x-‬ו‪ y-‬בהתאמה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫קיבלנו משוואת פרבולה‪ ,‬ששיעורי המוקד שלה הם‪. (k ,0 ) :‬‬
‫ב‪ .‬נתבונן בשרטוט‪.‬‬
‫הפרבולה הנתונה היא ‪ . y = 4kx‬משוואת הפרבולה‬
‫הכללית היא ‪ , y 2 = 2 px‬ולכן בשאלתנו ‪. p = 2k‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא נקודת החיתוך של המשיק לפרבולה בנקודה‬
‫‪ A‬ושל הישר ‪.CD‬‬
‫נמצא תחילה את משוואת המשיק‪:‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא מוקד הפרבולה ‪ , y 2 = 4kx‬ולכן שיעור ה‪x-‬‬
‫‪p 2k‬‬
‫= = ‪ . x E‬כלומר‪. E (k ,0) :‬‬
‫שלה שווה ל‪= k :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ E-‬זהים‪ .‬נציב ‪ x = k‬במשוואת הפרבולה ונקבל את שיעור ה‪ y-‬של הנקודה ‪:A‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪. A( k ,2k ) :‬‬
‫‪. y 2 = 4k ⋅ k → y = 4k 2 → y = 2k‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה ‪ ,A‬על פי הנוסחה‪: y ⋅ y 0 = p( x + x0 ) :‬‬
‫‪y ⋅ 2 k = 2k ( x + k ) → y = x + k‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪319‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫המשיק למעגל מאונך לרדיוס המעגל בנקודת ההשקה‪ ,‬ולכן הישרים ‪ CD‬ו‪ AD -‬מאונכים זה לזה‪ .‬מכאן ששיפועו של‬
‫הרדיוס ‪ CD‬הוא ‪ .-1‬נמצא את משוואת ‪ CD‬העובר בנקודה )‪ C (c,0‬ושיפועו ‪ ,-1‬בעזרת נוסחת הקו הישר‪:‬‬
‫‪y − 0 = −1( x − c ) → y = − x + c‬‬
‫נשווה את משוואות שני הישרים ונמצא את שיעורי הנקודה ‪:D‬‬
‫‪c−k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c−k c+k‬‬
‫‪,‬‬
‫ולאחר הצבה באחת המשוואות נקבל כי שיעורי הנקודה הם‪) :‬‬
‫(‪. D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x + k = − x + c → 2 x = c − k → xD‬‬
‫ג‪ .‬לפי הנתון‪ , BD = 3 AD ,‬ומכאן שהנקודה ‪ A‬מחלקת את הקטע ‪ BD‬ביחס של ‪ .2:1‬ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע‬
‫‪xB + 2 ⋅ xD‬‬
‫‪−k +c−k‬‬
‫ביחס נתון‪:‬‬
‫→ ‪= xA‬‬
‫‪= k → − 2 k + c = 3k → c = 5 k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫לסיכום‪ :‬שיעור הנקודה ‪ C‬הם‪. C (5k ,0 ) :‬‬
‫ד‪ .‬נסכם את שיעורי קדקודי המרובע ‪ A(k ,2 k ) , D (2 k ,3k ) , C (5k ,0 ) :ADCE‬ו‪. E (k ,0 ) -‬‬
‫המרובע ‪ ADCE‬מורכב מהמשולש ‪ ∆ACD‬ומהמשולש ‪ . ∆ACE‬נביע בנפרד את שטחי שני המשולשים‪:‬‬
‫‪AD ⋅ CD‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ : S ∆ACD‬נמצא תחילה את אורכי ניצבי המשולש‪= (2 k − k ) + (3k − 2 k ) → d AD = 2 k :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪→ d CD = 18k‬‬
‫‪(5k − 2k )2 + (0 − 3k )2‬‬
‫‪d AD‬‬
‫= ‪d CD‬‬
‫‪AD ⋅ CD‬‬
‫‪2 k ⋅ 18 k‬‬
‫‪2‬‬
‫לסיכום‪ ,‬שטח המשולש ‪ ∆ACD‬הוא‪:‬‬
‫= ‪→ S ∆ACD‬‬
‫‪→ S ∆ACD = 3k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אורך הצלע ‪ AE‬הוא שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪ ,A‬ואורך ‪ EC‬הוא הפרש שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ C‬ו‪ .E-‬נביע את‬
‫‪AE ⋅ EC‬‬
‫‪2k ⋅ 4k‬‬
‫שטח המשולש ‪: ∆ACE‬‬
‫= ‪S ∆ACE‬‬
‫→‬
‫‪= 4k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לבסוף נביע את שטח המרובע ‪S ADCE = S ∆ACD + S ∆ACE = 3k 2 + 4k 2 = 28 → k 2 = 4 → k = ±2 :ADCE‬‬
‫= ‪S ∆ACD‬‬
‫כיוון שנתון ‪ , k > 0‬הרי שהפתרון היחיד הוא‪. k = 2 :‬‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪ BD‬שמשוואתו ‪ y = x + 2‬עם ציר ה‪ .x-‬נציב ‪ y=0‬ונקבל כי ‪. x B = −2‬‬
‫‪p‬‬
‫מכאן שבפרבולה שמוקדה בנקודה ‪. = −2 ,B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬משוואת הפרבולה שמוקדה בנקודה ‪ B‬היא‪. y = 2 px → y = −8 x :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪320‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬תחילה נפתור את שתי המשוואות בעזרת נוסחת השורשים‪:‬‬
‫‪Z 2 − 2 cos α ⋅ Z + 1 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 cos α ± 4 cos 2 α − 4 2 cos α ± 4(cos α − 1) 2 cos α ± 2 (cos α − 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪= cos α ± (cos 2 α − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z 1, 2‬‬
‫ניעזר בזהות הבסיס‪ cos 2 α + sin 2 α = 1 :‬ולאחר העברת אגפים‪. cos 2 α − 1 = − sin 2 α :‬‬
‫‪Z1, 2 = cosα ± − sin 2 α → Z1, 2 = cosα ± i sin 2 α → Z1, 2 = cosα ± i sin α‬‬
‫כלומר‪ ,‬פתרונות המשוואה במישור גאוס הם‪ A(cos α , sin α ) :‬ו‪. B (cos α ,− sin α ) -‬‬
‫באופן דומה נמצא את פתרונות המשוואה‪: Z 2 − 2 sin α ⋅ Z + 1 = 0 :‬‬
‫‪2 sin α ± 4 sin 2 α − 4‬‬
‫= ‪Z 1, 2‬‬
‫‪→ Z 1, 2 = sin α ± i cos α‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬פתרונות המשוואה במישור גאוס הם‪ C (sin α , cos α ) :‬ו‪. D (sin α ,− cos α ) -‬‬
‫כל הפתרונות יימצאו על מעגל קנוני אחד במידה ולארבעתם יש ערך ‪ r‬זהה‪.‬‬
‫נזכור כי‪ r = x 2 + y 2 :‬ונקבל כי הרדיוס של הנקודה ‪ , A‬למשל‪ ,‬הוא‪rA = cos 2 α + sin 2 α = 1 :‬‬
‫בדיקה של שלושת הפתרונות האחרים באותו האופן מעלה כי בכולם ‪ . r = 1‬מכאן שכל ארבעת הפתרונות נמצאים‬
‫על אותו מעגל קנוני‪ :‬מעגל היחידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נמקם את הפתרונות במישור גאוס ונקבל כי המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‬
‫שווה שוקיים שבסיסיו מקבילים לציר ה‪.y-‬‬
‫אורך הבסיס ‪ AB‬הוא ההפרש בערכי ה‪ y-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫‪AB = sin α − (− sin α ) → AB = sin α + sin α → AB = 2 sin α‬‬
‫אורך הבסיס ‪ CD‬הוא ההפרש בערכי ה‪ y-‬של הנקודות ‪ C‬ו‪:D-‬‬
‫‪CD = cosα − (− cosα ) → CD = cosα + cosα → CD = 2 cos α‬‬
‫גובה הטרפז הוא ההפרש בערכי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ .C-‬נסמן אותו ב‪h-‬‬
‫ונקבל‪h = cosα − sin α :‬‬
‫כעת נציב ונחשב את שטח הטרפז‪:‬‬
‫) ‪( AB + CD ) ⋅ h 2(cos α + sin α )(cos α − sin α‬‬
‫= ‪S ABCD‬‬
‫=‬
‫‪= cos 2 α − sin 2 α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הביטוי שקיבלנו הוא למעשה ‪ cos 2α‬ונוכל לסכם כי‪. S ABCD = cos 2α :‬‬
‫ג‪ .‬על סמך הסעיפים הקודמים נוכל לסמן את הנקודות בשרטוט כך‪:‬‬
‫הטרפז הוא שווה שוקיים ולכן שני אלכסוני הטרפז שווים זה לזה‪.‬‬
‫נמצא את אורך אלכסון הטרפז ‪:AD‬‬
‫→ ‪AD = (cos α − sin α ) 2 + (sin α + cos α ) 2‬‬
‫→ ‪AD = cos 2 α − 2 cos α sin α + sin 2 α + cos 2 α + 2 cos α sin α + sin 2 α‬‬
‫‪AD = 2(cos 2 α + sin 2 α ) → AD = 2‬‬
‫ניעזר בנוסחה לחישוב שטח מרובע על פי שני אלכסוניו והזווית שביניהם ונקבל‪:‬‬
‫‪AD ⋅ CB ⋅ sin β‬‬
‫‪2 ⋅ 2 sin β‬‬
‫= ‪S ABCD‬‬
‫= ‪→ S ABCD‬‬
‫‪→ S ABCD = sin β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נשווה את השטח לזה שמצאנו בסעיף ב' ונקבל‪:‬‬
‫‪sin β = cos 2α → sin β = sin(90° − 2α ) → β = 90° − 2α‬‬
‫או‬
‫‪β = 180° − (90° − 2α ) → β = 90° + 2α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪321‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬נסמן בשרטוט ‪ , AA' = x‬ולכן‪ . AB = 3x :‬זווית הראש במשולש שווה‬
‫השוקיים ‪ ∆ABC‬שווה ל‪ ,200-‬ולכן זוויות הבסיס של המשולש שוות ל‪.800-‬‬
‫סעיף א' עוסק במציאת זווית בין שני המישורים '‪ ACE'D‬ו‪ .ABC -‬כדי למצוא‬
‫זווית בין שני מישורים‪ ,‬נוריד בכל אחד מהמישורים אנך לישר החיתוך של‬
‫המישורים‪ ,‬ונמצא את הזווית שבין שני האנכים‪ ,‬כמתואר בשרטוט‪:‬‬
‫נשתמש בבניות עזר‪:‬‬
‫נוריד את '‪ DD‬אל אמצע הקטע ‪ .AB‬ניתן לראות כי המרובע‬
‫'‪ ADD'A‬הוא מלבן ולכן‪. AA' = DD' = x :‬‬
‫ישר החיתוך שבין שני המישורים '‪ ACE'D‬ו‪ ABC -‬הוא המקצוע‬
‫‪ .AC‬בכל אחד משני המישורים '‪ ACE'D‬ו‪ ABC -‬נוריד אנך לישר‬
‫החיתוך‪.‬‬
‫במישור ‪ ,ABC‬האנך לישר החיתוך הוא ‪.DM‬‬
‫במישור '‪ ,ACE'D‬האנך לישר החיתוך הוא ‪.D'M‬‬
‫האנכים ‪ DM‬ו‪ D'M-‬נפגשים בנקודה ‪ M‬משיקולי סימטריה‪:‬‬
‫המרובעים ‪ DEE'D' ,MNED‬ו‪ E'NMD' -‬הם מלבנים ולכן‬
‫‪.(DE=D'E'=MN‬‬
‫נמצא את אורכו של ‪ MD‬במשולש ישר הזווית ‪: ∆AMD‬‬
‫‪MD‬‬
‫‪= sin 80 → MD = 1.47 x‬‬
‫‪1 .5 x‬‬
‫כעת נמצא את הזווית שבין שני המישורים‪ ,‬כזווית שבין הישרים '‪ MD‬ו‪ MD -‬במשולש ישר הזווית ‪: ∆DD' M‬‬
‫'‪DD‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫= ‪→ tan α‬‬
‫‪→ tan α = 0.67 → α = 34.09°‬‬
‫‪MD‬‬
‫‪1.47 x‬‬
‫ב‪ .‬תחילה נמצא את אורכו של ‪ BP‬במשולש ישר הזווית ‪: ∆BPA‬‬
‫‪BP‬‬
‫‪= sin 80 → BP = 2.95 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪1‬‬
‫נזכור כי ‪ O1‬הוא מפגש התיכונים ולכן ‪ , PO1 = BP‬ולאחר‬
‫‪3‬‬
‫הצבה‪. PO1 = 0.98 x :‬‬
‫את אורכו של ‪ MO1‬נמצא במשולש ישר הזווית ‪: ∆MO1 P‬‬
‫‪MO1‬‬
‫‪MO1‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪= tan 34.09‬‬
‫‪= tan 34.09 → MO1 = x‬‬
‫‪PO1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.98 x‬‬
‫נשים לב כי ‪ O1O2‬הוא גובה במנסרה ולכן אורכו ‪.x‬‬
‫קל לראות כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪MO2 = O1O2 − MO1 → MO2 = x − x → MO2 = x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪MO1 3‬‬
‫=‬
‫‪=2‬‬
‫ולבסוף‪:‬‬
‫‪MO2 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪322‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫[‬
‫]‬
‫א‪ (1) .‬הפונקציה ‪ f ( x ) = log a ( x − a − 1)2 + a 2‬מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה‪ log-‬חיובי‪.‬‬
‫מכיוון שהביטוי ‪ ( x − a − 1)2 + a 2‬הוא חיבור של שני ביטויים חיוביים ו‪ , a > 1 -‬הפונקציה ) ‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫הפונקציה ‪ g ( x) = 2a x −1 − a 2 x − 2 + a + 1‬היא חיבור של ביטויים מעריכיים המוגדרים לכל ‪ x‬ולכן ניתן לקבוע כי גם‬
‫הפונקציה ) ‪ g (x‬מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫)‪ (2‬מכיוון ששתי הפונקציות מוגדרות לכל ‪ ,x‬אין לפונקציות אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מה קורה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף‪.‬‬
‫בפונקציה ) ‪: f (x‬‬
‫]‬
‫[‬
‫∞ ≈ ) ∞( ‪f ( x) = log a (∞ − a − 1) + a 2 ≈ log a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפ' אופקית‬
‫בתחום החיובי‪.‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪lim‬‬
‫∞ ≈ ) ∞( ‪f ( x) = log a (− ∞ − a − 1) + a 2 ≈ log a‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫אופקית בתחום השלילי‪ .‬לסיכום‪ ,‬לפונקציה ) ‪ f (x‬אין אסימפטוטות אופקיות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפטוטה‬
‫‪lim‬‬
‫∞‪g ( x ) = 2a ∞ −1 − a 2∞ −2 + a + 1 ≈ 2a ∞ − a 2 ∞ + a + 1 ≈ −‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫בפונקציה ) ‪: g (x‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן בתחום ‪ x > 0‬אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪g ( x ) = 2a −∞ −1 − a −2 ∞ −2 + a + 1 ≈ 2a −∞ − a − 2 ∞ + a + 1 ≈ ∞ − 2 ∞ + a + 1 ≈ 0 − 0 + a + 1 = a + 1‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפונקציה שואפת ל‪ a+1 :‬ולכן בתחום ‪ x < 0‬האסימפטוטה האופקית היא‪. y = a + 1 :‬‬
‫)‪ (3‬כדי למצוא את נקודות הקיצון נגזור את שתי הפונקציות ונשווה את הנגזרת ל‪ .0-‬נגזור את הפונקציה ) ‪: f (x‬‬
‫‪= 0 → x − a −1 = 0 → x = a +1‬‬
‫נציב את ‪ x‬בפונקציה המקורית ונמצא את ערך ‪ y‬של הנקודה‪:‬‬
‫‪(a ) = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪] = log‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2( x − a − 1‬‬
‫‪(x − a − 1)2 + a 2‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫[‬
‫‪f ( a + 1) = log a (a + 1 − a − 1) + a‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי לגלות את סוגה של נקודת הקיצון )‪ B ( a + 1,2‬נציב את ערך ה‪ x-‬של הנקודה בנגזרת השנייה ונבדוק את סימנה‪.‬‬
‫‪. f ' ' ( x) = 2‬‬
‫מספיק לגזור את המונה של הנגזרת הראשונה‪.‬‬
‫הנגזרת השנייה חיובית ומכאן שזוהי נקודת מינימום‪ .‬לסיכום קיבלנו את הנקודה ‪. B ( a + 1,2) min‬‬
‫נגזור את הפונקציה ) ‪: g (x‬‬
‫‪2 x− 2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪2 x −2‬‬
‫‪−a ) =0→a = a‬‬
‫‪→ x −1 = 2x − 2 → x = 1‬‬
‫נציב את ‪ x‬בפונקציה המקורית ונמצא את ערך ‪ y‬של הנקודה‪:‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪⋅ 2 ln a = 0 → 2 ln a(a‬‬
‫‪2 x− 2‬‬
‫‪ln a − a‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪g ' ( x ) = 2a‬‬
‫‪g (1) = 2a 0 − a 0 + a + 1 = 2 − 1 + a + 1 = a + 2‬‬
‫כדי לגלות את סוגה של נקודת הקיצון )‪ (1, a + 2‬נציב את ערך ה‪ x-‬של הנקודה בנגזרת השנייה ונבדוק את סימנה‪.‬‬
‫מספיק לגזור את הביטוי ‪ a x −1 − a 2 x − 2‬שבנגזרת הראשונה‪ ,‬מכיוון שהביטוי ‪ 2 ln a‬חיובי לכל ‪ x‬ואינו משפיע על‬
‫‪) g ' ' ( x) = a x−1 ln a − a 2 x−2 ⋅ 2 ln a‬נגזרת מקוצרת ‪ -‬סימן(‪.‬‬
‫סימנה של הנגזרת השנייה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫נציב את ‪ x=1‬ונבדוק את הסימן‪:‬‬
‫‪g ' ' (1) = a ln a − a ⋅ 2 ln a = − ln a‬‬
‫הנגזרת השנייה שלילית ומכאן שזוהי נקודת מקסימום‪ .‬לסיכום קיבלנו את הנקודה‪. A(1, a + 2) max :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪323‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ב‪ .‬אין צורך להשוות את הפונקציות כדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש‪ .‬נוכל להסתמך על החקירה שעשינו עד כה‪.‬‬
‫באופן כללי ניתן לשרטט את שתי הפונקציות בשלושה אופנים‪ ,‬כך שיתקיימו התנאים שמצאנו‪:‬‬
‫במצב זה אין נקודות חיתוך‬
‫במצב זה יש שתי נקודות חיתוך‪.‬‬
‫במצב זה יש נקודת חיתוך אחת‬
‫כלומר‪ ,‬יתכנו לכל היותר שני פתרונות למשוואה הנתונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחילה נמצא את משוואת הישר ‪ .AB‬נמצא את שיפוע הישר באמצעות הנוסחה לשיפוע דרך שתי נקודות‪:‬‬
‫)‪2 − (a + 2‬‬
‫‪−a‬‬
‫= ‪→ m AB‬‬
‫= ‪m AB‬‬
‫‪→ m AB = −1‬‬
‫‪a +1−1‬‬
‫‪a‬‬
‫משוואת הישר ששיפועו ‪ -1‬העובר דרך הנקודה )‪ A(1, a + 2‬היא‪:‬‬
‫‪y − (a + 2) = −1( x − 1) → y = − x + 1 + a + 2 → y = − x + a + 3‬‬
‫הנקודה ‪ C‬היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪ .x-‬נציב במשוואת הישר ‪:y=0‬‬
‫)‪0 = − x + a + 3 → xC = a + 3 → C (a + 3,0‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא נקודת החיתוך של הישר עם האסימפטוטה ‪ . y = a + 1‬נציב במשוואת הישר ‪: y = a + 1‬‬
‫)‪a + 1 = − x + a + 3 → x D = 2 → D ( 2, a + 1‬‬
‫הנקודה ‪ D‬מחלקת את הקטע ‪ AC‬ביחס של ‪ .1:3‬ניעזר בנוסחה לחלוקת קטע ביחס נתון‪:‬‬
‫‪3 x A + xC‬‬
‫‪3 ⋅1 + a + 3‬‬
‫= ‪xD‬‬
‫=‪→2‬‬
‫‪→a+6=8→ a =2‬‬
‫‪3 +1‬‬
‫‪4‬‬
‫ד‪ .‬נתבונן בשרטוט במקרה בו הפונקציות נחתכות בשתי נקודות‬
‫שונות‪ .‬נמצא תחילה את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו‪ ,F-‬נקודות החיתוך של‬
‫האסימפטוטה ‪ y = 3‬והפונקציה ) ‪: f (x‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪3 = log 2 ( x − 3) + 4 → 2 3 = ( x − 3) + 4 → x 2 − 6 x + 5 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרונות המשוואה הם ‪ x=1‬ו‪.x=5-‬‬
‫נתון כי‪ xF > xE :‬ולכן שיעורי הנקודה ‪ E‬הם‪. E (1,3) :‬‬
‫‪ G‬היא נקודת החיתוך של האסימפטוטה ‪ y = 3‬והפונקציה ) ‪: g (x‬‬
‫‪= 0 → 2 x − 2 2 x −2 = 0 → 2 x = 2 2 x −2 → x = 2 x − 2 → x = 2‬‬
‫כלומר‪ ,‬שיעורי הנקודה ‪ G‬הם‪. G ( 2,3) :‬‬
‫‪2 x−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪+3 → 2⋅2‬‬
‫‪2 x−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪3 = 2⋅2‬‬
‫נבצע את האינטגרל למציאת השטח‪:‬‬
‫‪2 x−2 2‬‬
‫‪2x 2‬‬
‫‪−‬‬
‫→‬
‫‪ln 2 2 ln 2 1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪S = ∫ 2 ⋅ 2 x −1 − 2 2 x −2 + 3 − 3 dx → S = ∫ 2 x − 2 2 x − 2 dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2− 2‬‬
‫‪2⋅2− 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ → S‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪→S‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫→‬
‫‪ln 2 2 ln 2  ln 2 2 ln 2 ‬‬
‫‪ln 2 2 ln 2 ln 2 2 ln 2‬‬
‫‪ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪S‬‬
‫)יח"ר( ‪S = 0.721‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪324‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬
‫א‪ .‬הפונקציה‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪ f ( x‬מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש במכנה גדול מ‪.0-‬‬
‫‪− 2 ± 4 − 4 ⋅ 50 ⋅12‬‬
‫‪100‬‬
‫‪2‬‬
‫הביטוי בתוך השורש שלילי ולכן אין פתרונות‪ .‬המקדם של ‪ x 2‬חיובי‪ ,‬ולכן הביטוי ‪ 50 x + 2 x + 12‬מייצג פרבולה‬
‫= ‪50 x 2 + 2 x + 12 > 0 → x1, 2‬‬
‫"מרחפת" מעל ציר ה‪ x-‬בצורת ∪ ‪ .‬כלומר‪ ,‬הביטוי ‪ 50 x 2 + 2 x + 12‬חיובי לכל ‪ ,x‬ולכן הפונקציה מוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬בכדי להראות שגרף הפונקציה עולה לכל ‪ ,x‬נגזור את הפונקציה‪ ,‬אך לפני כן‪ ,‬נסדר את המכנה בתצוגה של חזקה‪:‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(50x 2 + 2x + 12)3‬‬
‫‪‬‬
‫)‪' ⋅ (50 x + 1‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 −  50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫')‪(50 x + 1‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 50 x 2 + 2 x + 12 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪50 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 − ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12 3 ⋅ (50 x + 1) ⋅ (100x + 2‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫=‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 50 x + 2 x + 12 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫)‪2(50 x + 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫‪50 ⋅ 50 x + 2 x + 12 −‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2500x 2 + 100x + 1798‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪+ 2 x + 12‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪(50x‬‬
‫(‬
‫)‪150 ⋅ 50 x + 2 x + 12 − 2(50 x + 1‬‬
‫‪3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫‪3 ⋅ 50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫הביטוי במכנה הוא כאמור חיובי‪.‬‬
‫הביטוי ‪ 2500 x 2 + 100 x + 1798‬במונה הוא פרבולה שאינה מתאפסת‪ .‬אם ננסה להשוות אותה ל‪ ,0-‬נמצא שאין לה‬
‫פתרונות‪ .‬במונה‪ ,‬המקדם של ‪ x 2‬הוא חיובי‪ ,‬ולכן המונה מייצג פרבולה מרחפת מעל ציר ה‪ x-‬בצורת ∪ ‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫המונה חיובי לכל ‪ .x‬לסיכום‪ ,‬נגזרת הפונקציה חיובית לכל ‪ x‬ולכן הפונקציה עולה לכל ‪.x‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬נקודת החיתוך עם ציר ה‪= 0.43 → (0,0.43) :y-‬‬
‫‪12‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫→‪y=0‬‬
‫)‪= 0 → 50 x + 1 = 0 → x = − → (−0.02,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50 x + 2 x + 12‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה עולה לכל ‪ x‬ועוברת דרך שתי נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬השרטוט הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪x = 0 → f (0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪325‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ה‪ .‬נתבונן בשרטוט‪ .‬ראשית נעביר את שני האנכים ‪ x = 1‬ו‪. x = 2 -‬‬
‫כדי להעלות על השרטוט את הישר ‪ y = − px + 2 p‬נמצא את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים‪:‬‬
‫נציב ‪ x = 0‬ונקבל‪. y = 2 p :‬‬
‫כלומר‪ ,‬החיתוך עם ציר ה‪ y-‬בנקודה‪. (0,2 p ) :‬‬
‫נציב ‪ y = 0‬ונקבל‪. x = 2 :‬‬
‫כלומר‪ ,‬החיתוך עם ציר ה‪ x-‬בנקודה‪. (2,0) :‬‬
‫בהתאם לנתון ‪ 0 < p‬ניתן לסמן את שתי נקודות החיתוך‬
‫בשרטוט‪ ,‬ולהעביר דרכן את הישר ‪. y = − px + 2 p‬‬
‫כעת‪ ,‬נביע באמצעות ‪ p‬את שני השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬ונשווה‬
‫ביניהם‪ .‬חישוב השטח ‪ S 2‬קל יותר‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪px‬‬
‫‪p‬‬
‫‪S 2 = ∫ (− px + 2 p )dx → S 2 = −‬‬
‫→ ) ‪+ 2 px → S 2 = −2 p + 4 p − ( − + 2 p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כדי לחשב את השטח ‪ , S1‬נוח יותר לחשב את שני השטחים יחד )השטח שמתחת לגרף הפונקציה(‪ ,‬ולחסר ממנו את‬
‫‪‬‬
‫‪ S 2‬שכבר מצאנו‪ dx :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪50 x + 2 x + 12 ‬‬
‫כדי לחשב אינטגרל זה‪ ,‬נשתמש בשיטת ההצבה‪:‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪∫1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪S1 + S 2‬‬
‫‪du‬‬
‫ראשית‪ ,‬נסמן‪ . u = 50 x 2 + 2 x + 12 :‬נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= 100 x + 2 :‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫= ‪. dx‬‬
‫לבסוף נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪2(50 x + 1‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪∫ 3 u dx :u‬‬
‫‪du‬‬
‫ונציב בו‪:‬‬
‫)‪2(50 x + 1‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪: dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 −3‬‬
‫‪dx‬‬
‫→‬
‫⋅‬
‫→‬
‫‪du‬‬
‫→‬
‫⋅‬
‫‪du‬‬
‫→‬
‫‪∫ 3u‬‬
‫‪∫ 3 u 2(50 x + 1) ∫ 2 ⋅ 3 u‬‬
‫‪∫2 3 u‬‬
‫‪∫ 2 ⋅ u du‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1u‬‬
‫‪3‬‬
‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪∫ 2 ⋅ u du → 2 2 → 4 u 3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫נציב ‪ u = 50 x 2 + 2 x + 12‬ונקבל את האינטגרל הסופי של‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪50 x + 2 x + 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫והוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪3‬‬
‫‪50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל של ‪ S1 + S 2‬במלואו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(200 + 4 + 12)3 − 3 (50 + 2 + 12)3 = 15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪50 x + 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx → S1 = 50 x 2 + 2 x + 12‬‬
‫‪S1 + S 2 = ∫ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1  50 x + 2 x + 12 ‬‬
‫(‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫= ‪ , S 2‬הרי שנקבל‪:‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם השטח המשותף ‪ S1 + S 2‬שווה ל‪ ,15-‬והרי שמצאנו קודם ש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p p‬‬
‫נשווה את שני השטחים ונמצא את ערכו של הפרמטר ‪p = 15 :p‬‬
‫→ ‪. 15 − 2 = 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. S1 = 15 −‬‬
‫עמוד ‪326‬‬