‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫שאלון ‪ - 807‬מבחן ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פרק ראשון ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נק'(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נק'(‬ ‫‪ .1‬הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות על גרף הפרבולה ‪ (4 < p) y 2 = 2 px‬ברביע הראשון‪ .‬שיפועי הישרים‬ ‫‪p‬‬ ‫המשיקים לפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בהתאמה ‪ 2‬ו‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫גם על הישר ‪. y = 6 x‬‬ ‫‪ .‬המשיקים נחתכים בנקודה ‪ ,C‬אשר נמצאת‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הפרבולה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מעגל שמרכזו על ציר ה‪ x-‬ואורך רדיוסו ‪ 12‬יח' אורך‪ ,‬משיק לפרבולה בשתי נקודות‪.‬‬ ‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫‪ .2‬בשרטוט נתון‪, p DAC =p DAB = 30 0 , AB = v, AD = w, AC = u :‬‬ ‫‪ E , p BAC = 60 0‬אמצע ‪. w = 3 , u = 2 v , BF = t ⋅ BC ,DF‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ w , v , u‬ו‪ t -‬את הוקטור ‪. AE‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ :‬הוקטור ‪ AE‬יוצר זוויות שוות עם הוקטורים‪:‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ . AB -‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.t‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ B(0,0,0) :‬ו‪ . F (1,2,−1) -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על המישור ‪ZX‬‬ ‫ושיעורי ה‪ x-‬וה‪ z-‬שלה זהים‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬ ‫‪ .3‬נתונה המשוואה‪. (0 0 < θ < 60 0 ) , Z + 1 = 2 sin θ :‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫פתרונות המשוואה הם המספרים המרוכבים ‪ Z 1‬הנמצא ברביע הראשון ו‪. Z 2 -‬‬ ‫א‪ .‬סמן את המספרים ‪ Z 1‬ו‪ Z 2 -‬על גבי מערכת צירים במישור גאוס‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שני המספרים ‪ Z 1‬ו‪ Z 2 -‬נמצאים על המקום הגיאומטרי ‪ . Z + Z = 1‬פתור את המשוואה‪. Z 4 = Z 1 :‬‬ ‫ג‪ .‬מבין ארבעת הפתרונות שמצאת בסעיף ב'‪ ,‬שני הפתרונות הנמצאים ברביע הראשון והרביעי הם‬ ‫קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל קנוני במישור גאוס‪ .‬במשולש זה כל הזויות‬ ‫חדות‪ .‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ .1‬זוית קודקוד הראש‪.‬‬ ‫‪ .2‬התצוגה הקוטבית של קודקוד הראש‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪156‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פרק שני ‪ -‬גידול ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ) ‪ 33‬נק'(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬ ‫‪ a−x ‬‬ ‫‪f ( x) = log 2 ‬‬ ‫‪ .4‬לפונקציה‪ :‬‬ ‫‪ x + 2a ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫) ‪ (0 < a‬יש נקודת פיתול כאשר ‪. x = −1‬‬ ‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ ,a‬את תחום ההגדרה של )‪ f (x‬ואת האסימפטוטות‪.‬‬ ‫הוכח‪ :‬גרף )‪ f (x‬יורד בכל תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫מצא את נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫שרטט סקיצה של גרף )‪. f (x‬‬ ‫הגדירו פונקציה חדשה‪. g ( x) = 2 f ( x ) :‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך שלה עם הצירים‪.‬‬ ‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ g (x‬לבין הישר ‪ x = 1‬בין הצירים ברביע הראשון‪.‬‬ ‫‪x+ p‬‬ ‫‪3 p− x‬‬ ‫‪ (0 < p ) g ( x ) = −2‬המוגדרות לכל ‪.x‬‬ ‫‪, f ( x) = 2‬‬ ‫‪ .5‬נתונות שתי הפונקציות‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של שתי הפונקציות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם הצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪. h( x ) = g ( x ) :‬‬ ‫שרטט את הגרפים של הפונקציות )‪ g (x ) , f (x‬ו‪ h(x) -‬על מערכת צירים אחת‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מהנקודה ‪ A‬הנמצאת על גרף )‪ h(x‬ברביע הראשון יוצאים שני ישרים‪ :‬הראשון מקביל לציר ה‪y-‬‬ ‫וחותך את גרף ) ‪ g (x‬בנקודה ‪ B‬והשני מקביל לציר ה‪ x-‬וחותך את גרף )‪ f (x‬בנקודה ‪ .C‬הנקודה ‪D‬‬ ‫משלימה את הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C-‬ליצירת מלבן‪ .‬היקפו המינימלי של המלבן ‪ ABCD‬הוא ‪.9p‬‬ ‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪157‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ . y 2 = 16 x .‬ב‪. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 .‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1− t ‬‬ ‫‪⋅u + ‬‬ ‫‪ (2‬א‪⋅ v + ⋅ w .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‪ . cis15 , cis105 , cis195 , cis 285 .‬ג‪. cis150 (2 . 45 (1 .‬‬ ‫‪ (3‬א‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ . AE‬ב‪ . t = .‬ג‪ A(3,0,3) .‬או )‪. A(− 3,0,−3‬‬ ‫‪ (4‬א‪ . x = −4, x = 2 , −4 < x < 2 , a = 2 .‬ג‪ . ( −1,0) , (0,−1) .‬ד‪.‬‬ ‫ה‪ , (0,0.5) , −4 < x < 2 : g (x) .‬בנקודה )‪ (2,0‬אין חיתוך אלא קיימת נקודת אי רציפות‪ ,‬בגלל תחום‬ ‫ההגדרה‪ .‬ו‪ 0.338 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪ (5‬א‪ .‬שתיהן עולות לכל ‪ .x‬ב‪. (0,−2 3 p ) : g ( x ) , (0,2 p ) : f ( x ) .‬‬ ‫ג‪ .‬שתיהן‪ . y = 0 :‬ד‪ .‬ראה שרטוט משמאל‪ .‬ה‪. p = 3.65 .‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪158‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪2‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫א‪ .‬ראשית נמצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬ניתן לראות כי נקודה ‪ B‬נמצאת‬ ‫‪p‬‬ ‫גדול יותר מ‪ 2-‬כאשר ‪.p>4‬‬ ‫משמאל לנקודה ‪ A‬מכיוון שהשיפוע‬ ‫‪2‬‬ ‫למציאת הנקודות נשתמש במשוואה הכללית של המשיק לפרבולה‪:‬‬ ‫) ‪ . yy 0 = p( x + x0‬לאחר פתיחת סוגריים וסידור המשוואה נקבל את משוואת‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫המשיק‪x0 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫= ‪ . y‬ניתן לראות שהמקדם של ‪ x‬הוא שיפוע הישר‪:‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫השיפוע בנקודה ‪ A‬הוא ‪ .2‬כלומר‪= 2 :‬‬ ‫ולכן ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫= ‪. yA‬‬ ‫‪ p p‬‬ ‫לאחר הצבת שיעורי ‪ y‬במשוואת הפרבולה נקבל‪. A ,  :‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫השיפוע בנקודה ‪ B‬הוא ‪ .‬כלומר‪= :‬‬ ‫ולכן‪. y B = 2 :‬‬ ‫‪yB 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫לאחר הצבת שיעורי ‪ y‬במשוואת הפרבולה נקבל‪. B p ,2  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כעת נמצא את הנקודה ‪ C‬באמצעות החיתוך שבין שני המשיקים בנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪. y = 2x +‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪ y − = 2( x − ) :A‬ולאחר סידור איברים‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪ y − 2 = 2 ( x − p ) :B‬ולאחר סידור איברים‪. y = x + 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נשווה בין שני המשיקים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p >4‬‬ ‫‪x + 1 = 2x +‬‬ ‫‪⋅ 4 → 2 px + 4 = 8 x + p → 2 px − 8 x = p − 4 → 2( p − 4) x = p − 4 ‬‬ ‫= ‪→ xc‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1 p ‬‬ ‫ע"י הצבה של ערך ‪ x‬באחת ממשוואות המשיקים נקבל את ערך ‪ . y c = + 1‬שיעורי נקודה ‪ C‬הם‪. C  , + 1 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 4 ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ונקבל‪. p = 8 :‬‬ ‫נתון שהנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪ . y = 6 x‬נציב את שיעוריה במשוואת הישר‪+ 1 = 6 ⋅ :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לכן משוואת הפרבולה היא ‪. y = 16 x‬‬ ‫ב‪ .‬משוואת המעגל הנתון היא ‪ ( x − a ) 2 + y 2 = 144‬ומשוואת הפרבולה היא‪. y 2 = 16 x :‬‬ ‫על פי השרטוט ניתן לראות כי מעגל כזה משיק לפרבולה בשתי נקודות בעלי שיעור ‪ x‬זהה‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬אם נשווה את משוואת המעגל ואת משוואת הפרבולה נצפה לקבל פתרון אחד בלבד‪.‬‬ ‫נציב במשוואת המעגל את ‪ y 2 = 16 x‬ונקבל‪. ( x − a ) 2 + 16 x = 144 :‬‬ ‫לאחר פתיחה וסידור נקבל משוואה ריבועית פרמטרית‪. x 2 + (16 − 2 a )x + a 2 − 144 = 0 :‬‬ ‫על מנת שיהיה למשוואה פתרון אחד בלבד‪ ,‬נדרוש שהביטוי מתחת לשורש ) ∆ ( ישתווה ל‪:0-‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∆ = 0 → (16 − 2 a ) − 4 a 2 − 144 = 0 → 256 − 64 a + 4 a 2 − 4 a 2 + 576 = 0 → −64 a = −832 → a = 13‬‬ ‫משוואת המעגל המתקבלת היא‪. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪159‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות כי‪DF :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . AE = AD +‬ראשית נביע את ‪: DF‬‬ ‫‪DF = DA + AB + t BC = − w + v + t ( −v + u ) = − w + (1 − t )v + t u‬‬ ‫) ‪(1 − t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v+ w‬‬ ‫‪DF = w + (− w + (1 − t )v + t u ) = u +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AE = AD +‬‬ ‫ב‪ .‬מהנתון ‪ , p EAB = p EAC‬נובע כי‪. cos(p EAB) = cos(p EAC) :‬‬ ‫נביע את שני הקוסינוסים באמצעות ‪ v , u‬ו‪: w -‬‬ ‫) ‪(1 − t‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪v + w  ⋅ v t u v + (1 − t ) v 2 + 1 wv‬‬ ‫‪ u+‬‬ ‫‪AE ⋅ AB‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪cos(p EAB‬‬ ‫=‬ ‫‪=‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪AE ⋅ AB‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫) ‪(1 − t‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪v + w  ⋅ u t u 2 + (1 − t ) vu + 1 wu‬‬ ‫‪ u+‬‬ ‫‪AE ⋅ AC‬‬ ‫‪AE ⋅ u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫= ) ‪cos(p EAC‬‬ ‫=‬ ‫‪=‬‬ ‫‪AE ⋅ AC‬‬ ‫‪AE ⋅ u‬‬ ‫‪AE ⋅ u‬‬ ‫‪AE ⋅ u‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫בטרם נשווה את שני האגפים חשוב להביע בנפרד כל אחת משלוש המכפלות הסקלאריות שאינן ניתנות לפירוק‪:‬‬ ‫‪(3) u ⋅ v = u ⋅ v cos 60o = 2 v v 1 = v 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4) u ⋅ w = u ⋅ w cos 30o = 2 v 3 3 = 3 v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(5) v ⋅ w = v ⋅ w cos 30o = v 3 3 = 3 v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב את הביטויים ‪ 3,4,5‬ב‪ 1-‬ו‪ 2-‬ובנוסף נבטא את כל האורכים בעזרת ‪) v‬כדי שיהיה נוח לצמצם בהמשך(‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t 2 (1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪(1 − t ) 2 1‬‬ ‫‪uv +‬‬ ‫‪v + wv‬‬ ‫‪v +‬‬ ‫‪v + v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫) ‪t 2 (1 − t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪(1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u +‬‬ ‫‪vu + wu‬‬ ‫‪4v +‬‬ ‫‪v + v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪AE ⋅ u‬‬ ‫‪AE ⋅ 2 v‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫נשווה את ‪ 1‬ו‪ 2-‬ונצמצם את שני אגפי המשוואה‪:‬‬ ‫‪t 2 (1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪(1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪(1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v +‬‬ ‫‪v + v‬‬ ‫‪4v +‬‬ ‫‪v + v‬‬ ‫‪2t v +‬‬ ‫‪v + v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪2 → t v 2 + (1 − t ) v 2 + 3 v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⋅2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AE ⋅ v‬‬ ‫‪AE ⋅ 2 v‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1 − t ) 2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v = 2t v +‬‬ ‫‪v + v ÷v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(1 − t‬‬ ‫) ‪(1 − t‬‬ ‫‪t + (1 − t ) = 2t +‬‬ ‫‪→ 1 = 2t +‬‬ ‫= ‪→ 2 = 4t + 1 − t → 3t = 1 → t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t v + (1 − t ) v +‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪160‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫ג‪ .‬נתבונן במשולש ‪: ∆ABC‬‬ ‫על פי הנתון‪ ,‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על המישור ‪ ZX‬ושיעורי ‪ x‬ו‪z-‬‬ ‫שלה זהים‪ .‬המישור ‪ ZX‬הוא המישור "הנשען" על ציר ה‪ X-‬ועל‬ ‫ציר ה‪ ,Z-‬ולכן‪ ,‬בכל הנקודות שעליו‪ ,‬שיעור ה‪ y-‬הוא ‪ .0‬לכן‪,‬‬ ‫נסמן את הנקודה ‪. A( a,0, a ) :A‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬נתונה הנקודה )‪. B(0,0,0‬‬ ‫הנקודה )‪ F (1,2,−1‬מחלקת את הקטע ‪ BC‬ביחס ‪) 1:2‬כמו‬ ‫שמצאנו בסעיף ב'(‪ .‬ניעזר בחלוקת קטע ביחס נתון ונמצא את‬ ‫שיעורי הנקודה ‪:C‬‬ ‫‪0 ⋅ 2 + YC ⋅ 1‬‬ ‫‪= 2 → YC = 6 ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 ⋅ 2 + X C ⋅1‬‬ ‫‪=1→ XC = 3,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 ⋅ 2 + Z C ⋅1‬‬ ‫‪= −1 → Z C = −3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הנקודה ‪ C‬היא‪. C (3,6,−3) :‬‬ ‫הצלע ‪ AC‬ארוכה פי שניים מן הצלע ‪ .AB‬ניעזר בנוסחה למרחק בין שתי נקודות ונבנה משוואה מתאימה‪:‬‬ ‫→ ) ‪(a − 3)2 + (0 − 6)2 + (a + 3)2 = 2 a 2 + 0 2 + a 2 → (a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2‬‬ ‫‪(a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2 ) → a 2 − 6a + 9 + 36 + a 2 + 6a + 9 = 8a 2 → 6a 2 = 54 → a = ±3‬‬ ‫→ ‪d AC = 2d AB‬‬ ‫שתי האפשרויות לנקודה ‪ A‬הן‪ A(3,0,3) :‬או )‪. A( −3,0,−3‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫א‪ .‬תחילה נסדר את המשוואה ‪ Z + 1 = 2 sin θ‬כך שתתקבל המשוואה הריבועית‪ , Z 2 − 2 sin θ ⋅ Z + 1 = 0 :‬אותה‬ ‫‪Z‬‬ ‫ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1‬‬ ‫‪2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1‬‬ ‫= ‪→ Z 1, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪→ Z 1, 2‬‬ ‫‪(2 sin θ )2 − 4‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 sin θ ±‬‬ ‫= ‪Z 1, 2‬‬ ‫‪2 sin θ ± 4 − cos 2 θ‬‬ ‫‪2 sin θ ± 2 cosθ ⋅ i‬‬ ‫= ‪Z1, 2‬‬ ‫= ‪→ Z1, 2‬‬ ‫‪→ Z1, 2 = sin θ ± cosθ ⋅ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z1 = sin θ + i cos θ , Z 2 = sin θ − i cos θ‬‬ ‫נמקם את הפתרונות במישור גאוס‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪161‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫ב‪ .‬נציב את ‪ Z1 = sin θ + cosθ ⋅ i‬במשוואת המקום הגיאומטרי ‪: Z + Z = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z + Z = 1 → sin θ + i cos θ + sin θ − i cos θ = 1 → 2 sin θ = 1 → 2 sin θ = ±1 → sin θ = ±‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ θ = 150° + 360°k‬או ‪→ θ = 30° + 360°k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ θ = 210° + 360°k‬או ‪sin θ = − → θ = −30° + 360°k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הזווית שנמצאת בתחום הנתון ) ‪ (0 0 < θ < 60 0‬היא‪ . θ = 30° :‬כלומר‪. Z1 = sin 30° + i cos 30° :‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫ניעזר בזהות ) ‪ sin α = cos(90° − α‬ונקבל כי‪ Z1 = cos 60° + i sin 60° :‬ולבסוף‪. Z1 = cis60° :‬‬ ‫כעת נפתור את המשוואה ‪: Z 4 = Z 1‬‬ ‫‪ 60 ° + 360 °k ‬‬ ‫‪Z 4 = cis 60 ° → Z = 4 1 ⋅ cis ‬‬ ‫→ ) ‪ → Z = cis (15 ° + 90 ° k‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרונות המשוואה המתקבלים‪. cis 285 0 , cis195 0 , cis105 0 , cis15 0 :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ (1‬נמקם את הפתרונות במישור גאוס‪:‬‬ ‫משיקולי נוחות לקורא‪ ,‬השתמשנו בפתרון של סעיף ג' שוב בסימנים‪:‬‬ ‫‪ Z 1‬ו‪ , Z 1 -‬אך הם אינם קשורים לאותם סימונים בסעיף א'‪.‬‬ ‫לפי הנתונים בשאלה על מיקום הפתרונות ברביעים השונים נסמן‪:‬‬ ‫‪ , Z1 = cis15°‬ולכן‪. p O1 = 15° :‬‬ ‫‪ , Z 4 = cis285°‬ולכן ‪. p O3 = 15°‬‬ ‫מכאן ש‪ , p O2 = 75° :‬ולבסוף‪. p AOB = 90° :‬‬ ‫‪ p AOB‬היא זווית מרכזית ומכאן שהזווית ההיקפית הנשענת על אותה‬ ‫הקשת שווה למחצית ממנה‪. p ACB = 45° :‬‬ ‫‪Z4‬‬ ‫‪ (2‬זווית הראש של המשולש שווה השוקיים ‪ ∆ABC‬שווה ל‪ , 45° -‬ומכאן שזוויות הבסיס של המשולש שוות‬ ‫ל‪ . 67.5° -‬כלומר‪ ,‬הזווית ההיקפית ‪ p ABC‬היא בת ‪ , 67.5°‬ולכן הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת היא‪:‬‬ ‫‪. p AOC = 135°‬‬ ‫כדי "להתקדם" על המעגל מ‪ Z 1 -‬לקודקוד ‪ C‬עלינו להוסיף ‪ 135°‬לזווית של ‪ Z 1‬ולכן‪:‬‬ ‫‪C = cis (15 ° + 135 °) → C = cis150°‬‬ ‫נשים לב שקיים משולש שווה שוקיים נוסף שקודקודי הבסיס שלו הם ‪ A‬ו‪ .B-‬במשולש זה‪ ,‬קודקוד הראש ימצא על‬ ‫המעגל הקנוני ברביע הרביעי בין הנקודות ‪ A‬ו‪ ,B-‬בקצה השני של הקוטר העובר בנקודה ‪ .C‬זוית הראש של אותו‬ ‫משולש תשלים את הזוית ‪ p ACB‬ל‪) 180 0 -‬זויות נגדיות במרובע חסום במעגל( ותהיה ‪ . 1350‬כלומר‪ ,‬זוית הראש‬ ‫של משולש זה תהיה קהה‪ ,‬ולכן המשולש אינו מתאים לנתון בשאלה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪162‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫שאלה ‪:4‬‬ ‫‪ a−x ‬‬ ‫‪: f ( x) = log 2 ‬‬ ‫א‪ .‬בנקודת הפיתול הנגזרת השנייה מתאפסת ולכן נגזור פעמיים את הפונקציה ‪‬‬ ‫‪ x + 2a ‬‬ ‫)‪− ( x + 2a ) − ( a − x‬‬ ‫‪( x + 2a ) 2‬‬ ‫) ‪− 3a ( x + 2a‬‬ ‫‪− 3a‬‬ ‫‪− 3a‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫) ‪( x + 2a ) (a − x ) ln 2 ln 2( x + 2a )(a − x ) ln 2( − x − ax + 2a 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪x + 2a‬‬ ‫נמצא את הנגזרת השנייה )נגזרת של מנה(‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫))‪0 ⋅ ln 2(− x − ax + 2a ) − (−3a ⋅ ln 2(−2 x − a‬‬ ‫) ‪3a ln 2(−2 x − a‬‬ ‫= )‪f " ( x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ln 2(− x 2 − ax + 2a 2‬‬ ‫) ‪ln 2(− x 2 − ax + 2a 2‬‬ ‫נציב בנגזרת השנייה ‪ x = −1‬ונשווה אותה ל‪:0-‬‬ ‫‪f " ( −1) = 0 → 3a ln 2( −2( −1) − a ) = 0 → 2 − a = 0 → a = 2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הפונקציה מוגדרת רק כאשר הביטוי בתוך ה‪ log-‬הוא חיובי‪:‬‬ ‫‪2−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪> 0 ( x + 4) 2 → (2 − x)( x + 4) > 0 → − x − 2 x + 8 > 0‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫הפונקציה מתאפסת בנקודות ‪ x = 2‬ו‪ . x = −4 :‬לפי המקדם השלילי של ‪ x2‬ניתן להסיק כי הפרבולה "עצובה"‪ ,‬ויש‬ ‫למצוא מתי ערכיה חיוביים‪.‬‬ ‫ניתן לראות כי תחום ההגדרה הוא‪. − 4 < x < 2 :‬‬ ‫בהתאם‪ ,‬האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הן‪ x = 2 :‬ו‪. x = −4 :‬‬ ‫מכיוון שהפונקציה מוגדרת בתחום מוגבל ‪ , − 4 < x < 2‬היא אינה שואפת‬ ‫לאינסוף‪ ,‬ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫ב‪ .‬נביט בנגזרת הראשונה‪:‬‬ ‫)‪ln 2(− x 2 − 2 x + 8‬‬ ‫חיובי‪ ,‬והביטוי בסוגריים חיובי בכל תחום ההגדרה )ניתן לראות זאת בפרבולה שציירנו בסעיף א'(‪ .‬לסיכום‪ ,‬בכל‬ ‫)‪( −‬‬ ‫‪ ,‬ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫תחום ההגדרה מתקבל‪= (−) :‬‬ ‫)‪(+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (0) = log 2   = log 2   = −1 → (0,−1‬‬ ‫ג‪ .‬למציאת נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,y‬נציב ‪ x=0‬בפונקציה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫למציאת נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,x‬נשווה את הפונקציה ל‪:0-‬‬ ‫‪2− x‬‬ ‫‪2−x‬‬ ‫‪2− x‬‬ ‫→ ‪= 20‬‬ ‫)‪= 1 → 2 − x = x + 4 → 2 x = −2 → (−1,0‬‬ ‫‪log 2 ‬‬ ‫→‪=0‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪ x+4‬‬ ‫= )‪ . f ' ( x‬ניתן לראות כי המונה שלילי‪ .‬במכנה‪ ln2 ,‬הוא ביטוי‬ ‫ד‪ .‬נסמן תחילה את שתי הנקודות החשובות‪ :‬חיתוך עם הצירים‪,‬‬ ‫ונתחום את שתי האסימפטוטות האנכיות‪.‬‬ ‫הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה ולכן השרטוט הוא‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪163‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫ה‪ .‬נתבונן בפונקציה החדשה‪:‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪ 2− x ‬‬ ‫‪log 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+4 ‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫)‪. g ( x‬‬ ‫תחום ההגדרה של הפונקציה ) ‪ g (x‬זהה לפונקציה הקודמת בגלל הביטוי שבתוך ה‪ ,log -‬ולכן הוא‪. − 4 < x < 2 :‬‬ ‫נזכור גם את הזהות‪a loga x = x :‬‬ ‫‪2−x‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x + 4‬‬ ‫)המתקיימת לכל ‪ (log‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ 2− x ‬‬ ‫‪log 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+4 ‬‬ ‫‪g ( x) = 2‬‬ ‫‪2− x 2‬‬ ‫‪g ( 0) = ‬‬ ‫)‪ = = 0.5 → (0,0.5‬‬ ‫‪ x+ 4 4‬‬ ‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,y‬כאשר ‪:x=0‬‬ ‫‪2−x‬‬ ‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,x‬כאשר ‪= 0 → x = 2 :y=0‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫→‪=0‬‬ ‫‪ 2− x ‬‬ ‫‪log 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+4 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫עם זאת‪ ,‬זהו קצה תחום ההגדרה‪ ,‬והפונקציה אינה מוגדרת ב‪ ,x=2 :‬ולכן הנקודה )‪( 2,0‬‬ ‫היא למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪ .‬הפונקציה החדשה נראית כך‪:‬‬ ‫ו‪ .‬למציאת השטח נחשב את האינטגרל‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− x + 2‬‬ ‫‪log x‬‬ ‫‪dx = ∫ ‬‬ ‫נפשט את הפונקציה בעזרת הכלל ‪dx : a a = x‬‬ ‫‪x+4 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2− x ‬‬ ‫‪log 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+4 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S = ∫2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−1+‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪−x+2‬‬ ‫‪|x+4‬‬ ‫את האינטגרל נחשב בעזרת חילוק פולינומים‪:‬‬ ‫‪−x−4‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S = ∫  −1+‬‬ ‫‪dx = − x + 6 ln( x + 4) 0 = −1 + 6 ln 5 − (6 ln 4) = 0.338‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬השטח הוא ‪ 0.338‬יח"ר‪.‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫א‪ .‬נגזור את שתי הפונקציות‪:‬‬ ‫‪x+ p‬‬ ‫‪3 p− x‬‬ ‫‪f ( x) = 2‬‬ ‫‪f ' ( x) = 2 x + P ⋅ ln 2‬‬ ‫‪⋅ ln 2‬‬ ‫‪3 p−x‬‬ ‫‪⋅ (−1) ⋅ ln 2 = 2‬‬ ‫‪3 p− x‬‬ ‫‪g ( x) = −2‬‬ ‫‪g ' ( x ) = −2‬‬ ‫ניתן לראות כי ב‪ ln2 , f ' ( x ) -‬הוא חיובי‪ ,‬ו‪ 2 x + p -‬הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל ‪ .x‬לכן ) ‪ f (x‬עולה לכל ‪.x‬‬ ‫ניתן לראות כי ב‪ ln2 , g ' ( x ) -‬הוא חיובי‪ ,‬ו‪ 2 3 p − x -‬הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל ‪ .x‬לכן ) ‪ g (x‬עולה לכל ‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬למציאת נקודת חיתוך עם ציר ‪ ,y‬נציב ‪ x=0‬בשתי הפונקציות‪:‬‬ ‫→ ‪f (0) = 2 0+ p = 2 p‬‬ ‫) ‪(0,2 p‬‬ ‫) ‪g (0) = −23 p−0 = −23 p → (0,−2 3 p‬‬ ‫לשתי הפונקציות אין חיתוך עם ציר ‪ x‬מכיוון שביטוי מעריכי אינו מתאפס‪ ,‬ולא ניתן להשוות אותן ל‪.0-‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪164‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫ג‪ .‬כאמור‪ ,‬שתי הפונקציות מוגדרות עבור כל ‪ x‬ולכן אין להן אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬ ‫למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מה קורה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף‪.‬‬ ‫בפונקציה ) ‪: f (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום החיובי‪.‬‬ ‫∞ ≅ ∞ ‪f ( x) = 2 ∞ + p ≅ 2‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫← הפונקציה שואפת ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה בתחום השלילי ‪. y = 0‬‬ ‫‪f ( x) = 2 − ∞ + p = 2 −∞ = ∞ ≅ 0‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בפונקציה ) ‪: g (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫← שואפת ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה בתחום החיובי היא ‪. y = 0‬‬ ‫‪g ( x ) = −2 3 p − ∞ ≅ −2 − ∞ = − ∞ ≅ 0‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫← הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום‬ ‫∞‪g ( x) = −2 3 p + ∞ ≅ −2 ∞ ≅ −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫השלילי‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נצייר תחילה את הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬על פי החקירה מהסעיפים‬ ‫הקודמים‪ .‬נתחיל בנקודות החיתוך עם ציר ‪ ,y‬ונתחשב בתחומי העליה‬ ‫והאסימפטוטות )בתחום החיובי או השלילי בהתאם לכל פונקציה(‪.‬‬ ‫הפונקציה ) ‪ h(x‬היא הערך המוחלט של הפונקציה ) ‪ , g (x‬כלומר הופכת את כל‬ ‫הערכים השליליים לחיוביים )ללא השפעה על הערך המספרי( ולכן היא נראית‬ ‫כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬ ‫ה‪ .‬סעיף זה הוא למעשה בעיית קיצון‪ .‬עלינו להביע את הבעיה כמשוואה בעלת נעלם אחד‪ .‬לאחר מכן נגזור את‬ ‫המשוואה שקיבלנו ונשווה אותה ל‪ .0-‬תחילה נביע את הנקודות בעזרת משתנה יחיד ‪.t‬‬ ‫‪3 p −t‬‬ ‫‪3 p −t‬‬ ‫נסמן את נקודה ) ‪ . A(t ,2‬בהתאם לכך‪ ,‬נקודה ) ‪ , B(t ,−2‬מכיוון שיש‬ ‫להן את אותו ערך ‪.x‬‬ ‫נביע את הנקודה ‪ C‬הנמצאת על ) ‪ f (x‬בעזרת ‪ . t‬נשווה את הפונקציה ) ‪f (x‬‬ ‫לערך ‪ y‬של נקודה ‪) A‬יש לה ערך ‪ y‬זהה(‪.‬‬ ‫‪3 p −t‬‬ ‫‪x+ p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 2 → 3p −t = x + p → x = 2 p − t‬‬ ‫קיבלנו את הנקודה ) ‪ . C (2 p − t ,2 3 p −t‬כעת נביע את אורכי צלעות המלבן‪:‬‬ ‫‪AB = y A − y B = 2 3 p −t − (−23 p−t ) = 2 ⋅ 23 p −t‬‬ ‫‪AC = x A − xC = t − (2 p − t ) = 2t − 2 p‬‬ ‫כעת נביע את היקף המלבן ‪:‬‬ ‫‪+ 4t − 4 p‬‬ ‫נגזור את הביטוי ונשווה אותו ל‪.0-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪2 3 p −t‬‬ ‫‪3 p −t‬‬ ‫‪+ 2(2t − 2 p) = 4 ⋅ 2‬‬ ‫‪3 p −t‬‬ ‫‪P = 2 AB + 2 AC = 4 ⋅ 2‬‬ ‫→ ‪P' = 4 ⋅ ln 2 ⋅ 2 3 p −t ⋅ (−1) + 4 = 0 → 1 = ln 2 ⋅ 2 3 p −t‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪165‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫כעת נבטא את ‪ t‬באמצעות ‪:p‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫= ‪→ 3p − t‬‬ ‫‪→ 3 p − t = 0.528 → t = 3 p − 0.528‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪ln 2‬‬ ‫‪2 3 p −t‬‬ ‫זהו למעשה ערך ‪ ,t‬שעבורו היקף המלבן מינימלי‪ ,‬ולכן נציב אותו בנוסחת ההיקף ונשווה ל‪:9p-‬‬ ‫→ ‪P = 4 ⋅ 2 3 p −t + 4t − 4 p → 4 ⋅ 2 3 p −(3 p −0.528) + 4 ⋅ (3 p − 0.528) − 4 p → 4 ⋅ 2 0.528 + 8 p − 2.112‬‬ ‫כלומר‪ ,‬ניתן להביע את ההיקף כ‪:‬‬ ‫נשווה להיקף המינימלי‪:‬‬ ‫‪. 8 p + 3.65‬‬ ‫‪. 8 p + 3.65 = 9 p → p = 3.65‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬ ‫עמוד ‪166‬‬