פרק רבעי
פרק ד' פריק וראשוני -חזרה מבוא פרק זה הינו חזרה על חומר שנלמד בכיתה ד' ומהווה בסיס והכנה לחיבור וחיסור שברים. אנו עוסקים בקבוצת המספרים הטבעיים בלבד .אם aו bהם מספרים טבעיים נגדיר ,כי b הוא מחלק של , aאם קיים מספר טבעי שנוכל לכפול בו את bולקבל את .a כלומר 3 :הוא מחלק של ,15כי ניתן לכפול את 3ב 5-ולקבל ,15כלומר המספר 15הינו פריק ,גורמיו.3 ,5 : 4אינו מחלק של ,15כי אין לו מספר טבעי שנוכל לכפול בו את את 4ולקבל .15 בפרק זה נבדוק את המחלקים של המספרים ונגיע למספרים הראשוניים בעזרת פירוק לגורמים ע"י קיר חלוקה ,או בעזרת שרשי העץ לדוגמה: הגורמים הראשוניים של קיר הגורמים 24 12 2 6 2 2 3 2 24 2 12 2 6 3 1 אם bהוא מחלק של ,aאז aהוא כפולה של .bדוגמה 6 :הוא כפולה של 12 ,3הוא כפולה של 17 ,1הוא כפולה של .17מה מספרן של כפולות ה ?6 -אין סוף. מהי הכפולה הקטנה ביותר של 12 ?6 מהי הכפולה הגדולה ביותר של ?6אין סוף. האם יש מספר ,שאין לו כפולות? לא. מהו המחלק של 5 ,4 ?20 מהו המחלק של 1 ,17 ?17 כאשר מחלקים aהם 1:ו a-נקרא ל a -מספר ראשוני לדוגמה :המספר 17הינו ראשוני. מחלק משותף גדול ביותר -ממג"ב לשני מספרים aו bיש מחלקים משותפים לדוגמה : a = 6 b = 18המחלקים המשותפים הם: 2 ,3 ,6 האם לכל שני מספרים יש מחלק /מחלקים משותפים? לא. 118 מהו המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים? המחלק המשותף הקטן ביותר הוא 18 ,12 ממג"ב 6 2 כמק"ב -כפולה משותפת קטנה ביותר לכל שני מספרים יש כפולה משותפת לדוגמה 5 ,4 :הכפולה המשותפת 60 ,40 ,20 הכפולה המשותפת הקטנה ביותר היא: 20 האם לכל שני מספרים יש כפולה משותפת קטנה ביותר? כן. קיימים זוגות שונים של מספרים: 35 a, bזרים זה לזה לדוגמה 7 ,5 :הכמק"ב: a, bמוכלים זה בזה לדוגמה 4 ,2 :הכמק"ב: 4 a, bיש בינם חיתוך לדוגמה .12 ,24 :כדי למצא את הכמק"ב יש לפרק לגורמים ראשוניים את המספרים ולכפלם זה בזה .הכמק"ב: 48 119 שיעור :1 על פריק וראשוני נושא השעור :מספרים פריקים וראשוניים מה שעליהם לדעת -ידע קודם: לדעת היטב את גורמי המספר. להכיר סדרות הבונות את המפלות. לחלק כפעולה הפוכה של חילוק. להכיר את המושגים כפולה ,מחלק ,גורם. סימני התחלקות של 5 ,3 ,2ו .10 יעדים -מה שעתידים לדעת: למצוא מחלקים של כל מספר. להבדיל בין מספר פריק למספר ראשוני. להכיר מספרים שלהם מחלקים שווים. להכיר את הגדרת המספר הראשוני. לפרק מספרים לגורמים ראשוניים בלבד. להכיר את עץ המכפלות. להכיר את שיטת קיר פריק לגורמים ראשוניים. לדעת להכליל ביטויים על מספרים פריקים וראשוניים. מיני שיעור: מבנה השיעור זמן משוער אביזרים נלווים משימה 3 ,2 ,1 20דקות דפים ,A4לורדים זרחניים, עבודה קבוצתית כרטיס פעולה משימה 4 פעילות מורה 15דקות משימות 7 ,6 ,5 פעילות יחידנית 10דקות 120 כרטיסי מספרים על הפעילות הקבוצתית: משימה 1במשימה זו יראו התלמידים את המחלקים של המספרים השונים .כל מספר הינו מכפלה של שני גורמים הגדולים מ.1 - למספרים המוצגים בספר מחלקים רבים ולכן לכל מספר ניתן מספר אפשרויות לדוגמה: א .בידי כל קבוצה מספר דו ספרתי דוגמת המספרים הכתובים בספר: 80 24 48 60 72 36 בטאו מספרים אלו כמכפלה של שני מספרים גדולים מ 1 -ורשמו על דף גדול לדוגמה: 12X2 36X2 8X9 72 18X4 6X4 8X3 ב .הביאו דוגמאות משלכם -תרגיל זה מפתח חשיבה מתמטית עצמאית .כל תלמיד מביא דוגמה לפי רמתו .אוספים בקבוצה דוגמאות רבות ורושמים בדפים גדולים .המורה ידגים ע"ג הלוח את דוגמאות התלמידים. ג .האם ניתן לכתוב כל מספר כמכפלה של שני מספרים גדולים מ ?1-ההדגשה גדולים מ,1- כי אם לא ,אכן כל מספר נוכל לבטא כמכפלה ,פרט למכפלה של ה 1 -עם עצמו כלומר aX1 התשובה היא לא .למספרים הראשוניים אין מחלקים פרט ל 1 -ועצמם לדוגמה13 ,11 : וכו'. משימה 2במשימה זו אמור התלמיד לדעת את כפולות ה ,2 -ה ,3 -ה 5 -בע"פ ולמחקם מן הטבלה .יש להעזר גם בסימני ההתחלקות ,כדאי להזכיר זאת . במשימה זו יגיעו התלמידים למספרים הראשוניים ,שהם :המספר הזוגי היחיד 2רוב התלמידים טועים ואינם חושבים ,כי מספר זה הינו ראשוני .יש להעמידם על טעותם. יש להדגיש כי המספר 1הינו יחיד ומיוחד אבר נטרלי בכפל ואינו נקרא מחלק. משימה 3א( כפולות ה 3 -בחלקן היו מחוקות ,אם היו גם כפולות ה.2 - ב( מיותר למחוק את כפולות ה 4 -כי הן כפולות ה.2 - כפולות 6ו 9 -מיותר למחוק כי הן מורכבות מכפולות ה 3 -וה.2 - ג( המספרים שלא נמחקו2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 : ד( המספר הזוגי ,שאינו מחוק הוא.2 - ה( המשותף לכל המספרים ,שלא נמחקו ,שמכפלתם: המספר 1 X a X 1 מטרת פעילות זו היא הקנית המספר הראשוני ,התלמידים יתנסו בעצמם בחויה שלא ניתן 31ויבינו ויפנימו את הגדרת המספר הראשוני. למצוא גורמים נוספים למכפלה 121 24 על פעילות המורה: משימה 4א( מכל קבוצה נשלח נציג המצמיד את הכרטיס שבידיה על הלוח .הצמידו את הכרטיסים ,שבידכם על הלוח -הדפים ,שעליהם זוגות המספרים. המורה מצמיד על הלוח כרטיסים כדוגמת הכרטיסים שבפעילות המורה 3 X = 31 2 X = 31 ומבקש להשלים את החסר. ב( האם נמצאו גורמים המשלימים את המשבצת החסרה? לא. מדוע לא מצאנו? כי המספר הוא וכו'. ראשוני תנו דוגמה נוספת למספר כמו17 ,13 :31 - ג( במה שונה מספר זה מ, 24 - בלבד. , 80 ? המספר 31מתחלק ב 1-ובעצמו 36 למספרים אלו מחלקים שונים ,לדוגמה:36 - 9 ,4 3 ,12 6,6 ד( המספר הראשוני הקטן ביותר הוא המספר הזוגי היחיד 2יש לעקור את השגיאה הנפוצה בין התלמידים ,כי 2אינו ראשוני מכיון שהוא זוגי. המספר הראשוני הבא הוא ה- מספרים אי זוגיים 3ואחריו ה 5 -וכו'. כמה מספרים ראשוניים יש? אין סוף. מספרים ראשוניים המתחלקים ב 3 -יש רק אחד והוא ה .3 -מספר המתחלק בעצמו וגם בשלוש אינו ראשוני. המספר 1אינו ראשוני ואינו פריק כיון שאינו מתחלק בשני גורמים שונים. ה( אין מספר ראשוני שהוא כפולה של .11 ו( מספרים ראשוניים בין 31 ,37 ?30 -40 ז( סימון המספרים הראשוניים.1 ,3 ,5 ,61 ,2 : על הפעילות היחידנית: במשימות אלו המדורגות לפי דרגות קושי שונות ילמדו התלמידים למצוא את המחלקים של המספר ,או את גורמי המספר. משימה 5מדורגת כקלה. עץ המכפלות -עץ המורכב מגזע מרכזי וממנו מסתעפים זרועות לשני העברים כאשר הזוג הוא 1והמספר עצמו ואח"כ לפי סדר עולה שאר גורמי המכפלות. לדוגמה: 20 20 10 5 1 2 4 122 במקרה זה יש לרשום בתחתית העץ מספר שהינו שורש ראש בעץ ,כמו: 36 1 2 3 4 36 18 12 9 6 במספרים המורכבים מחזקות כגוןa 2 -16 : וכו' יש לרשום את שרש ראש העץ. משימה 6מדורגת כבינונית -במשימה זו המספרים ,שאותם נפרק מספרים גדולים יותר ומהווים קושי למתקשים. משימה 7מדורגת כקשה -רק מספרים גדולים יחסית לתלמידים שאוהבים להתמודד עם משך זמן ארוך יותר. משימה 8מדורגת כקלה כפילות ה:3 - 39 21 54 משימה 9מדורגת כבינונית עד קשה מספרים שהם כפולות 3ו4 - 44 39 90 32 28 21 90 יש לומר לתלמידים שאין חובה להכין את כל המשימות בין 5 ,6 ,7בין 8 ,9יש בחירה. על שיעורי הבית: שעורי הבית ניתנים כדי להגביר את המיומנויות בנלמד וכן כדי לפתח את החשיבה ולהעמיק בחומר הנלמד. משימה 1מדורגת כקלה מציאת עץ המכפלות. משימה 2מדורגת כבינונית עד קשה מספרים גדולים יותר וכן מספרים ,שהם a 2כגון 64 משימה 3מדורגת לכולם ומטרתה מציאת המספרים הראשוניים. משימה 4מדורגת כקשה -משימה ,שבה מלל רב מדורגת כקשה הואיל והתלמידים המתקשים נרתעים מאורינות מתמטית. כתבו נכון או לא נכון נכון לא נכון להוציא את 2 לא נכון כל מספר מתחלק גם לעצמם יש לומר מספר המתחלק רק לעצמו ול1 - לא נכון לדוגמה המספר 21מתחלק ל 7 -ול3 - 123 54 שיעור :2 הקוביה המתפרקת נושא השעור :פרוק לגורמים ראשוניים -המשך מה שעליהם לדעת -ידע קודם: לדעת לוח הכפל לפי סדרות ובע"פ. לדעת לחלק כפעולה הפוכה לכפל. לא לחשוש ממספרים תלת ספרתיים או ארבע ספרתיים. לדעת באיזה טווח מספרים נמצא המספר. יעדים -מה שעתידים לדעת: להטמיע את הדרך לפרק לגורמים ראשוניים ע"י עץ המכפלות. להראות את הדרך לפרוק לגורמים ראשוניים ע"י קיר הגורמים. להדגים הצעות שונות לבחירת המחלקים בחלוקה לגורמים. להציע מרחב פתרונות פתוח ,בפרוק לגורמים. לבסס ביטויים מתמטיים ,כגון :פריק ,ראשוני ,עוקב ,קודם ,זוגי וכו'. ליצור תחושה למציאת הכמק"ב. מיני שיעור: מבנה השיעור זמן משוער אביזרים נלווים פינג פונג 10דקות כרטיסי מספרים בידי הקבוצות, כרטיסי מספרים על הלוח 2קוביות -משחק בד"כ מתמשך ,יש 20דקות להקפיד לא לסטות מזמן זה. 20 משימה 2 פעילות קבוצתית 58 54 32 16 6 פעילות מורה פעילות יחידנית משימות 7 ,6 10דקות 5דקות משימה 6מדורגת כקלה משימה 8מדורגת כבינונית עד קשה 124 רצוי לחלק יחידת לימוד זו לשני שיעורים. על פעילות הפינג פונג: פעילות זו מתבצעת בע"פ בין המורה לתלמידים ,במהלך של כ 10 -דקות מקסימום. לכל קבוצה אחד מהמספרים הרשומים בספר לדוגמה: 8 6 7 3 4 על הלוח כרטיסים דוגמת הכרטיסים שבספר: 42 96 18 56 70 48 84 12 א( אילו מבין המספרים שעל הלוח הם כפולות של המספר שבידכם? 48 56 המספר 8הכפולות שעל הלוח המתאימות96 : ב( מצאו מספר נוסף למספר ,שבידכם ,כך שמכפלת שניהם תהיה המספר ,שעל הלוח לדוגמה:בידכם המספר 8הגורם השני הנותן את המכפלות שעל הלוח הוא48 =6X 8 : 96 =12X8 56=7X8 ג( שתי הקבוצות 3X4 4X3 ד( הקבוצה ,שבידיה הכרטיס .8רשמה למספר 8מתאימות גם המכפלות: חוק החילוף 8X12 = 8X6 = 8X7 על הפעילות הקבוצתית: משימה 2א( בפעילות זו מתבצע משחק .לכל זוג קוביה בכל קבוצה שתי זוגות בזוג זורק את הקוביה ,אם הקוביה נפלה על המספר 20יש לתת תרגיל שמכפלתו 20 לדוגמה 2X10 :אם הקוביה שוב נופלת על 20יש לתת תרגיל אחר לדוגמה 4X5אם מיצו את כל האפשרויות מסמנים Xעל הדופן .המשחק מסתיים כאשר סימנו Xעל כל הדפנות. ב( השלימו את הפירוקים כמה שאפשר -המספרים שבראש בטבלה שוים למספר ,שעל דפנות הקוביה השלמת הטבלה נעשית בהתאם למשחק .בכל מקרה שתלמיד זרק את הקוביה ,יש להשלים בטבלה. 125 על פעילות המורה: המורה ידגים את המספר 54על הלוח ויוכיח ,כי בכל הדרכים הגורמים הראשוניים זהים. פרוק בכל הדרכים האפשריות נותן גורמים ראשוניים זהים לדוגמה: 3 3 X2 54 3 3 X2 3 X 18 3 X 6 3 3 X2 54 9 X 2 X 27 6 2 X 3 X 3 X 3 3 X 2 54 3 X 9 3 X 3 על הפעילות היחידנית: בשיעור זה יתעסקו רק במשימות 6ו 8 -שאר המשימות יופנו לשיעור הבא. משימה 6פרקו בדרך הנוחה לכם .משימה המדורגת כקלה ,כדאי לתת לכל תלמידי הכיתה ,כהפנמת המיומנויות. משימה 8מיועדת לכולם הבחנה בין פרוק לגורמים לבין פרוק לגורמים ראשוניים- תרגיל חשוב ביותר. פרוק לגורמים 70 =2X35 פרוק לגורמים 63 = 21X3 פרוק לגורמים 48 =2X2X4X3 פרוק לגורמים ראשוניים 49 =7X7 פרוק לגורמים ראשוניים 30 =2X3X5 על שיעורי הבית: בשיעור זה ינתנו רק משימות 2 ,1 משימה 1פתרו בדרך הנוחה לכם משימה המדורגת כקלה .בד"כ מספרים דו ספרתיים פרט ל 100 -שהוא קל במיוחד ,מציאת המספר הראשוני ,שלא ניתן לפרוק. משימה 2מדורת כבינונית עד קשה -הטמעת פרוק לגורמים ראשוניים מספרים תלת ספרתיים קשים יותר .מציאת המספר הראשוני ,שלא ניתן לפרוק. 126 הקוביה המתפרקת -שעור המשך על הפעילות הקבוצתית: משימה 3א( שעור זה הינו שני באותו נושא .במשימה זו יראה התלמיד מקרה שלמספר יש רק גורם אחד העולה בחזקה או מספר גורמים העולים בחזקה. 32 לדוגמה: 8 X 4 2 X 2 X 2 2 X 2 המספר מורכב מ- 25 36 = 9 X 4 יש לחלק בהתאם את המספר 3 X3 X 2 X 2 32 X 22 ב( דוגמה למספר ,שלו שני גורמים בלבד: 15 = 5 X 3 דוגמה למספר ,שלו 3גורמים בלבד: 24 = 2 X 3 X 4 500 2 X 250 2 2 X 5 3 = 500 5 X 50 2 X 25 5 X 5 ג( דוגמה למספר ,שלו 2גורמים העולים בחוזקה: 50 = 2 X 5 2 25 5 X 5 X 2 = 52 X 2 50 2 = 5 X 2 המשותף למספרים הללו שהם כפולות ה 5 -וכפולות ה.10- 127 משימה 4א( לאותו מספר פרוקים שונים לדוגמה 72 :בכל הפרוקים הגורמים הראשוניים יהיו :פרוקו של בני: X 9 72 = 8 2 X 4 3 X 3 2 X 2 הגורמים הראשוניים על חזקותיהם ב( פרוקו של אלי X 12 23 X 32 72 = 6 3 X 2 X 3 X 4 2 X 2 הגורמים הראשוניים וחזקותיהם ג( ישי פתר כך: X 36 32 X 23 72 = 2 2 X 6 X 6 2 X 3 2 X 3 פרוק לגורמים על חזקותיו: ד( שלומי פתר בעזרת קיר הגורמים 2 72 2 36 2 3 18 9 3 1 2 3 2 X3 23 X 32 בכל הדרכים מצאנו ,כי הגורמים הראשונים של המספר 72הם 23 X 32 פרוק המספר 60בדרכים שונות 10 X 60 = 6 2 X 3 X 2 X 5 2 60 =12 X 5 60 = 20 X 3 2 X 6X 5 2 X 10 X 3 2 X 3 2 X 5 4 X 3X 5 X 2 X 2 הגורמים הראשוניים: 22 X 3 X 5 22 X 3 X 5 22 X 5 X 3 3 X 5 X 22 על פעילות המורה: בשיעור זה ידגים המורה את המספר .70 בשיעור זה יבחין המורה בין פירוק לגורמים לבין פרוק לגורמים ראשוניים. 128 15 א .פרוק לגורמים 70 7 X 10 70 2 X 35 ב .פרוק לגורמים ראשוניים 70 70 2 X 35 7 X 10 7 X 5 2X 5 הגורמים הראשוניים הגורמים הראשוניים 7X2X5 2X7X5 על הפעילות היחידנית: משימה 7מדורגת כבינונית עד קשה .המורה יעזור לתלמידים המתקשים ,מכיון, שהמספרים במקרה זה אינם קלים ,בדרך הנוחה לכם ,מרחב פתרונות פתוח ,כל תלמיד בדרכו. משימה 9מדורגת כבינונית עד קשה. בחרו 3מספרים פריקים עוקבים ופרקו אותם למספרים ראשוניים .התלמידים ינסו ויוכחו ,כי קימים 3מספרים עוקבים ,ששנים מהם מספרים ראשוניים כגון , 3 ,4 ,5 שלושה מספרים עוקבים שאחד מהם הוא ראשוני 21 ,22 ,23ודוגמה ל 3-מספרים עוקבים שניתן לפרקם לדוגמה 8 ,9 ,10 10 9 8 5 X 2 3 X 3 2 X 2 X 2 5 X 2 32 דוגמה נוספת: 23 20 ,21 ,22 22 21 20 2 X 11 3 X 7 4 X 5 2 X 2 22 X 5 משימה 10מדורגת כקשה מאוד שלושה מספרים אי זוגיים ראשוניים עוקבים ,וכו' האם קבלתם את השלושה החשובה כן, תלמיד טוב אינו צריך לבדוק .תלמיד בינוני עד חלש יעשה את הבדיקה הזו3 ,5 ,7 . 129 מכפלתם 3 X 5 X 7 = 105 : פרוקם 105 X 7 15 3 X 5 X 7 על שיעורי הבית: משימה 3מיועדת לכולם התאימו מספר לפרוקו לגורמים ראשוניים 3X5X7 ת 24 3X3X3X2 פ 75 2X2X2X3 פ 70 5X5X2 ה 3X5X5 ר 2X5X7 ק 3X3X5 י 105 45 54 50 ר פ ק י ת פ ה משימה 4מדורגת כבינונית עד קשה המספרים שפורקו למספרים ראשוניים הם: 66 = 11 X 3 X 2 16 = 2 X 2 X 2 X 2 המספרים שיש לפרק: 56 = 2 X 28 40 = 2 X 4 X 5 7 X 4 2 X 2 2 X 2 23 X 7 23 X 5 45 = 5 X 9 100 = 10 X 10 3X3 5X2 X 5X2 5 X 32 52 X 22 130 שיעור :3 גשרים בן מספרים נושא השעור :מציאת הכמק"ב מה שעליהם לדעת -ידע קודם: להכיר את לוח הכפל בע"פ. להכיר ביטויים מתמטיים כפולה משותפת ,מחלק משותף. לצמצם ולהרחיב מספרים. להכיר את האפס -כאבר מאפס. להכיר את ה 1 -כאבר ניטרלי של הכפל. יעדים -מה שעתידים לדעת: למצוא את הכמק"ב -כפולה משותפת הקטנה ביותר של המספרים. להכיר מספרים זרים זה לזה ,שאין להם מחלק משותף. להכיר מספרים המוכלים זה בזה. להכיר מספרים ,שלהם מחלק משותף. להגביר מיומנויות של כפולות המספרים. להכשיר את הקרקע למציאת מכנה משותף. מיני שיעור: מבנה השיעור זמן משוער פינג פונג 7דקות אביזרים נלווים שיחה בע"פ פעילות קבוצתית 10דקות פעילות מורה 10דקות פעילות קבוצתית 10דקות פעילות יחידנית 8דקות 131 כרטיסים שעל הלוח כדוגמת הספר על פעילות הפינג פונג: משימה 1פיתוח השיעור ינהל המורה פינג פונג עם התלמידים וישחזר איתם את כפולות המספרים ,ימצא את הכמק"ב הכפולה המשותפת הקטנה היותר לדוגמה .כפולות משותפת של ,5 ,3כפולות ה3 ,9 ,12 ,15 ,18 ,21 ,24 ,27 :3 - כפולת ה5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 5 - 15 ,30 ,45 הכפולות המשותפות ל 3 -ול 5 -הם: הכפולה המשותפת הקטנה ביותר -הכמק"ב 15 כמו כן ימצא המורה בעזרת התלמידים את המחלק המשותף .כגון: 6 ,9 ,12המחלק 3כלומר הממג"ב המחלק המשותף קטן ביותר. על הפעילות הקבוצתית: משימה 2בפעילות זו יכירו התלמידים את המושגים :זר ,מוכל ,ושותפי ,כלומר חיתוך ניתן להדגים פעילות זו בעזרת מעלי וון זר חיתוך מוכל 3 , 11 21 5 , 4 35 3 36 7 15 9 13 , 7 15 42 93 21 14 א( כל אחד מהגדולים ימצאו את הקטנים 7 21 3 ה9 - ה8 - ה35 - 2 7 21 36 3 3 2 36 ה9 36 - ב( ה 15 -קשור ל 25המחלק המשותף 5 ה 15-קשור ל 9 -המחלק המשותף 3 ה 15 -יכול לעלות גם עם ה 21 -המחלק .3 ג( המספרים הזרים -אין קשר בין המספרים .אין מחלק משותף. ד( מספרים מוכלים 3 :מוכל ב 9 ,2 -מוכל ב 36 -וכו'. 132 93 255 ה( משפחת שיתופי ,25 ,15המחלק 5הוא המשותף. 14 ,21המחלק 7הוא המשותף. 9 ,21המחלק 3הוא המשותף. ו( המאפין את המספרים הזרים ,שאין מחלק משותף. על פעילות המורה: משימה 3בידי הקבוצות הכרטיסים אחד מהם הוא כפולה של האחר זרים זה לזה יש להם מחלק משותף על הלוח יוצמדו הכרטיסים ועליהם זוגות מספרים. א( התאימו כל זוג לכרטיס המתאים יש להם מחלק משותף 24 ,9 האחד הוא כפולה של השני 32 ,8 3 ,9 האחד הוא כפולה של השני 7 ,10 זרים זה לזה 10,8 יש להם מחלק משותף 5 ,12 זרים זה לזה 28 ,7 הוא כפולה של השני 10 ,30האחד הוא כפולה של השני ב( 10 ,30 5 ,12 28 ,7 7 ,10 8 ,10 24 ,9 8 ,32 3 ,9 מוכלים האחד היא כפולה של השני. זרים ,המחלק המשותף לשניהם הוא ה.1- יש להם מחלק משותף. על הפעילות הקבוצתית: משימה 4 א( כפולות המתאימות ל3 - ,24 כפולות המתאימות ל4 - 8 , 12 , 20 , 28 ב( כפולות ה8 - 8 ,16 ,24 ,32 ,40 ,48 ,56 ,64 ,72 ,80 כפולות ה10- 10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,90 ,100 133 , 18 3 , 6 כפולות משותפות ל 8 -ול10 - 40 ,80 כפולות ה6 - ,24 ,30 ,36 ,42 ,48 ,54 ,60 6 ,12 ,18 כפולות ה9 - 9 ,18 ,27 ,36 ,45 ,54 ,63 ,72 ,81 ,90 כפולות משותפות ל 6 -ול9 - 18 36 54 72 90 כפולות ה5 - 5 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50 ,55 ,60 כפולות ה7- 7 ,14 ,21 ,28 ,35 ,42 ,49 ,56 ,63 כפולות משותפות ל 5 -ול7 - 35 ,70 על הפעילות היחידנית: משימה 5מדורגת כקלה לחבר בקו לפי הדרישה 9 1 1 8 2 3 1 8 2 7 זרים זה לזה 2 7 3 6 4 5 8 7 3 6 4 9 9 6 4 5 האחד כפולה של השני 5 מספרים שלהם מחלק משותף משימה 6משימה מדורגת כבינונית 1 11 12 1 10 2 9 3 12 11 10 2 9 3 8 4 5 6 חברו בקו שלושה זוגות של מספרים 7 1 8 4 5 6 7 12 11 10 2 9 3 8 4 5 6 7 חברו בקו שני זוגות מספרים ,שאחד מהם חברו בקו שלושה מספרים ,שלהם הוא כפולה של האחר. מחלק משותף. 134 משימה 7משימה המסווגת כקשה 11 12 1 1 10 2 2 8 5 9 3 8 4 7 5 מספרים זרים זה לזה 8 4 5 7 6 10 2 3 3 6 10 9 9 4 11 12 1 11 12 6 7 מספרים שהאחד מספרים שלהם הוא כפולה של האחר מחלק משותף על שיעורי הבית: משימה 1מדורגת כקלה שיבוץ אבנים בטבעת. 4 ,20 מספרים שאחד מהם הוא כפולה של האחר 9 ,15 5 ,10 מספרים שיש להם מכנה משותף 10 ,24 3 ,4 מספרים זרים זה לזה משימה 2משימה המדורגת כבינונית מצאו זוגות ,שלהם הנתונים הרשומים למטה מספרים זרים זה לזה מכיון שה- 13הינו ראשוני לכן הוא יכול להיות זוגי לכל מספר ) (3 , 5 מספרים, שאחד מהם הוא כפולה של האחר מספרים, שלהם חלק משותף )(13 ,5 )(13 ,20 )(5 ,20 )(6 ,16 )(13 ,3 )(13 ,21 )(3 ,21 )(6 ,20 )(16 ,20 )(13 ,6 )(13 ,16 135 5 ,11 משימה 3מדורגת כקשה ,משימה שבה מלל רב מדורגת כקשה ) (4 ,8 )(9 ,18 )(5 ,10 )(3 ,27 ) (1 ,5 )( 3 ,7 )(2 ,11 )(11 ,13 ) ( 6 ,9 )(15 ,18 )(14 ,38 )(16 ,24 בד"כ שני המספרים הם ראשוניים משימה 4מדורגת כקלה מספרים זרים: )(3 ,4) ( 5 ,9 מספרים שאחד מהם הוא כפולה של האחר(6 ,18) (5 ,20) : מספרים ,שלהם מחלק משותף(8 ,18) (4 ,6) : משימה 5מדורגת כבינונית עד קשה רשמו נכון או לא נכון א( נכון ד( נכון ב( לא נכון ג( לא נכון ה( נכון ו( נכון אין חובה לבצע את כל המשימות ,כדאי לתת לבחור מבין המשימות את אלו שנראות להן, כל אחת לפי רמתה. 136 שיעור :4 מלחמת שברים נושא השעור :השואת שברים ע"י מכנה משותף. מה שעליהם לדעת -ידע קודם: 1 להשוות שברים בעזרת השוואה ל- 2 ולשלם. להשתמש בקיר השברים. להשתמש בסרגל השברים. להשתמש בשקף הרחבה. יעדים -מה שעתידים לדעת: להרחיב שברים בעזרת פעולה אלגוריתמית. להשוות שברים בעזרת השוואה לחצי לשלם. להשוות שברים בעזרת סרגלים. להשוות שברים בעזרת שקף הרחבה. להשוות שברים ע"י פעולה אלגוריתמית. לחבר שברים בעלי מכנים שונים. מיני שיעור: מבנה השיעור זמן משוער אביזרים נלווים פינג פונג 7דקות כרטיסים המוצמדים אל פעילות קבוצתית משימה 2 15דקות כרטיסי משחק פעילות קבוצתית משימה 3 10דקות כרטיסי עבודה פעילות מורה 10דקות זוגות כרטיסים הלוח פעילות קבוצתית משימה 5 15דקות שקפי הרחבה פעילות קבוצתית סרגלי שברים משימה 6 שקפי הרחבה 137 על פעילות הפינג פונג: ניתן ללמד יחידת לימוד זו ב 2 -שיעורים ,כדי להוסיף ולהבהיר את החומר הנלמד. משימה 1בפעילות זו ישוחח המורה עם תלמידים :נתינת שמות שונים לאותו מספר. 12 4 1 , = 60 20 5 וכו'. 1 ניתן לכתוב כל שבר בצבע שונה מכיון שהעיסוק הוא השברים הקטנים מ- 2 6 24 8 32 4 8 1 4 : וכו'. על הפעילות הקבוצתית: משימה 2משחק שמטרתו לידע את התלמידים במציאת שמות שונים לשבר אחד. משחק מלחמה בין 2כרטיסים שבכל כרטיס שבר .התלמיד ,שלו השבר הגדול ביותר. מורידים את הקלפים ,התלמיד שהוריד את המספר ,מנצח זה שהוריד את מרבית 3 10 הכרטיסים .לדוגמה מוציאים, : 2 11 התלמיד ,שלו הכרטיס הגדול ביותר זוכה ב 2 -הכרטיסים וכו'. 1 משימה 3משחק נוסף .המשחק פתור יש להחליט גדול מ- 2 וכו' .השוואת שברים בעזרת מכנים משותף. 4 מי גדול יותר 7 32 5 נמצא את שמותם בהרחבת השבר. 56 8 על פעילות המורה: על הלוח יוצגו כרטיסי המשחק. באלו זוגות קל לומר מיד מי הגדול ביותר? כיצד נשווה במקרה ,שיהיה קשה להכריע 8 15 3 5 בהרחבה 9 8 > 15 15 4 10 2 6 בהרחבה 30 12 < 10 20 2 5 4 6 20 12 > 30 30 אחת הדרכים הנוספות להשוואת שברים היא ע"י הרחבה. 138 5 35 , 8 56 גדול יותר. על הפעילות הקבוצתית: משימה 5התלמיד ימצא מכנה משותף בעזרת שקפים או סרגלים .על ריבוע א' נניח את שקף ה 5 -ועל ריבוע ב' נניח את שקף ה 3 -ונקבל מכנים שווים 15 6 2 נגדיל ב 3 -נקבל 15 5 5 1 נגדיל ב 5 -נקבל 15 3 2 1 > 5 3 5 1 ב( שבר ראשון נרחיב ב 5 -נקבל 20 4 6 3 נרחיב ב 2 -נקבל שבר שני 20 10 3 1 < 10 4 2 ג( נעזר בסרגלי השברים ,כדי להשוות נרחיב את ה- 3 2 6 = 3 9 2 6 , 5 7 5 6 < 9 9 המכנה המשותף 35 2 14 = נקבל: 5 35 6 30 = 7 35 6 2 > 7 5 נקבל כי 5 6 2 5 4 1 , 15 5 4 3 < 15 15 הרחבה ל30 - 12 25 < 30 30 139 ב3 - משימה 6תרגילי חיבור וחיסור בדרך אלגוריתמית. 1 1 = + 2 4 )1 2 1 3 + = 4 4 4 1 3 = - 2 8 (2 4 3 1 = 8 8 8 1 1 = + 3 9 (3 9 3 12 4 + = = 27 27 27 9 3 1 = 4 12 (4 9 1 8 = 12 12 12 א( המשותף לתרגילים אלו :שבכולם המכנים הם חלקיים של המספר השני. ב( 1 2 + = 5 10 ג( התרגיל נכון המכנים מוכלים. ד( אלי רשם תרגיל ,שאינו נכון ,אין קשר בין המכנים. ה( יש להפוך את סרגל ה 7 -לתרגיל 14לחלק כל יחידה ל 2 -וכך יוכל להשוות: 2 7 9 3 1 + = = = + 14 14 14 7 2 על שיעורי הבית: משימה 1משימה המיועדת לכולם .יש להשתמש בשקפי הרחבה ,לקרוא להם בשמות החדשים. 3 7 10 4 140 3 15 כדי להשוות בשבר יש להניח את השקף המחלק ל 5 -ונקבל 20 4 = 3 4 . 7 14 7 = יש להניח את השקף המחלק ל 5 -ונקבל כדי להשוות בשבר 10 20 10 ואז: 14 15 < 20 20 ב( 3 5 4 6 4 18 4 = כדי להשוות בשבר יש להניח את השקף המחלק ל 6-ונקבל 6 30 6 . 3 20 3 = כדי להשוות בשבר יש להניח את השקף המחלק ל 5-ונקבל 5 30 5 . ואז: 18 20 < 30 30 משימה 2צבעו בכל טור רק את המשבצות ,שבהן שברים הגדולים מהשברים המודגשים. .3 2 3 1 5 4 7 3 5 4 7 9 10 5 6 2 9 7 9 7 8 3 7 2 9 3 4 5 6 5 9 3 8 1 8 1 2 4 5 3 5 4 5 1 2 7 10 3 4 1 4 3 5 1 4 4 9 3 3 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 7 141 משימה 3משימה קלה עד בינונית חיבור בעזרת סרגלים או שקף הרחבה. 1 2 = + 2 5 5 4 9 + = 10 10 10 1 1 = + 3 6 2 1 3 + = 6 6 6 1 1 + = 3 4 3 4 7 + = 12 12 12 5 1 + = 6 12 10 1 11 + = 12 12 12 1 1 = + 2 3 3 2 5 + = 6 6 6 3 3 + = 5 10 12 6 18 + = 20 20 20 142 שיעור :5 בעקבות הכמקבים נושא השעור :מציאת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר. מה שעליהם לדעת -ידע קודם: להרחיב ולצמצם שברים בעזרת פעולות אלגורתמיות. לשלוט היטב בלוח הכפך -כפל וחילוק. 1 להשוות שברים בהשוואה ל- 2 לשלם. להשוות שברים בעלי מכנים זהים. יעדים -מה שעתידים לדעת: לשלוט היטב באלגוריתמים של הרחבת שברים וצמצומם. לדעת ,כי במכנים זרים הכמק"ב היא מכפלת המכנים. להכיר שבשברים ,שהמכנה האחד הוא כפולה של האחר הכמק"ב הוא המכנה הגדול. להפנים ,שבשברים שלמכניהם יש מחלק משותף ,הכמק"ב הוא מכפלךת הגורמים הראשוניים. לדעת לפרק לגורמים ראשוניים ע"י עץ המכפלות. לדעת לפרק לגורמים ראשוניים ע"י קיר המכפלות. למצוא מכנה משותף לשברים בעלי מכנים שונים. לדעת להבדיל בין כמק"ב לבין ממג"ב. מיני שיעור: מבנה השיעור זמן משוער פעילות קבוצתית 15דקות פעילות מורה 20דקות אביזרים נלווים כרטיס על הלוח 5 6 143 6 8 על הפעילות הקבוצתית: בד"כ קיים קושי בהבחנה בין ממג"ב לכמק"ב ,כדי להבין את ההבדל ,כדאי להמנע מכתיבת המכנה המשותף תחת קו שבר אחד ארוך ,אלא כל שבר והמכנה שלו .לצורך הבאה למכנה משותף נרשם כל שבר כמספר חדש עם המכנה המתאים שנבחר ,רצוי הכמק"ב של כל המכנים. בפעילות זו משווים הילדים בין שני שברים בעלי מכנים שונים. א( לדוגמה: 7 12 2 3 יוחנן מרחיב את השברים 24 36 7 21 = 12 36 = עוזי מרחיב את השברים 8 12 2 3 = 2 3 השוואה בין שני שברים 7 7 = 12 12 בעלי מכנים שווים קלה וכבר נלמדה 21 36 > 24 36 ומכאן השוואה בין שברים בעלי מכנים שווים קלה וכבר נלמדה. 7 12 > 8 7 > 12 12 2 3 מכאן 7 12 > 2 3 היתרון בדרך של יוחנן ,הרחיב מונה ומכנה של שני השברים היתרון בדרך של עוזי ,הרחיב רק מונה ומכנה של שבר אחד הואיל והמכנים 3 ,12האחד מוכל בשני ,או האחד כפולה של השני ,השתמש במכנה הגדול מבינהם והרחיב את המכנה האחר ,כדי שיהיה כמו המכנה הגדול. 144 ב( דוגמה ב' יוחנן הרחבה פי 10 הרחבה פי 6 5 6 50 60 עוזי < הרחבה פי 5 7 10 7 12 42 60 25 30 מכאן: הרחבה פי 3 7 12 21 30 < מכאן: 5 6 7 10 < 5 6 7 10 < במקרה זה גם יוחנן וגם עוזי הגדילו את המונה והמכנה ,אך לא פי אותו מספר. יוחנן כפל את המכנים וקיבל מכנה משותף 60 עוזי מצא את הגורמים הראשונים של המכנים כלומר6 : 10 2X5X2 3 2 X 5 X 3 = 30 כדי למצוא את הכמק"ב יש לקחת גורם ראשוני אחד בלבד ולכפלם זה בזה ג( יוחנן ועוזי נתנו שמות שווים לשני השברים. במקרה זה המכנים זרים וראשוניים ,וכדי למצוא את המכנה המשותף יש לכפול אחד בשני. ד( יוחנן תמיד כפל את שני המכנים זה בזה ,ואלו עוזי מצב את הכמק"ב -הכפולה המשותפת הקטנה ביותר. השבר 2 3 < יוחנן 5 9 18 27 עוזי 15 27 < סוג המכנה 5 6 < 9 9 מכנה אחד הוא כפולה של האחר 4 7 > 5 9 35 45 > 36 45 35 45 7 3 > 10 5 30 50 > 35 50 6 7 > 10 10 32 56 > 35 56 > 36 45 מכנה זרים זה לזה מכנה אחד הוא כפולה של האחר 4 7 > 5 8 32 56 > 35 56 מכנים זרים זה לזה 3 5 < 8 12 40 96 < 36 96 7 10 < 18 48 מכנים שיש להם מחלק משותף 145 במקרה שהמכנים זרים פעלו באותה דרך. במקרה של הכלה ,או שהמכנה האחד הוא כפולה של השני פעל כל אחד בדרכו. על פעילות המורה: משימה 2המורה מדגיש את דרכו של יוחנן ,שהיא עקבית ובטוחה ,אך לעיתים ארוכה ומיגעת ,תמיד לכפול את המכנים. דרכו של עוזי :א( במקרה שהמכנים זרים לכפול את המכנים זה בזה. ב( במקרה שהמכנה האחד הוא כפולה של השני ,המכנה הגדול הוא המשותף. ג( במקרה שלשני המחלקים יש מחלקים זרים ,יש למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר ע"י פרוק לגורמים ראשוניים. אין דרך קלה או קשה ,יש דרך שהיא תמיד נכונה ,אך לעיתים מסרבלת .כל תלמיד יבחר בדרך הנוחה לו. 5 6 6 8 דרכו של יוחנן 40 48 36 < 48 דרכו של עוזי 18 20 < 24 24 על הלוח יודגם השבר על הפעילות היחידנית: משימה 3קלה עד בינונית 2 3 > 5 10 5 23 < 7 28 4 3 > 10 10 20 23 < 28 28 מכנה 10 מכנה 28 2 1 > 3 2 3 4 < 4 5 4 3 > 6 6 15 16 < 20 20 מכנה 6 מכנה 20 146 3 5 > 4 7 5 2 > 6 3 21 20 > 28 28 5 4 > 6 6 מכנה 28 משימה 4מסווגת כבינונית עד קשה דוגמאות להשלמה: אפשרות א' 5 9 3 12 אפשרות ב' 5 6 3 36 אפשרות א' 3 8 2 12 אפשרות ב' 3 6 2 24 אפשרות א' 1 10 1 15 אפשרות ב' 1 6 1 5 אפשרות ג' 1 15 1 30 אפשרות א' 5 6 1 9 אפשרות ב' 5 9 1 18 על שיעורי הבית: משימה 1מיועדת לכולם מיומנות במציאת מכנה משותף 7 3 7 6 > = > 12 6 12 12 1 3 2 3 < = < 4 8 8 8 147 2 3 14 15 < = < 5 7 35 35 2 3 20 27 < = < 9 10 90 90 2 2 2 2 < = < 12 12 12 12 2 2 2 2 < = < 12 12 12 12 3 2 15 16 < = < 8 5 40 40 משימה 2משימה המסווגת כבינונית הקיפו בעיגול את הכמק"ב של המכנה 5 7 , 8 9 72 - 2 5 , 3 9 - 9 4 3 , 5 4 - 20 משימה 3מדורגת כקשה. א( זוגות שברים ,שאחד המכנים שלהם הוא כפולה של האחר: 7 4 , 6 36 5 23 , 12 36 2 10 , 3 36 36 11 35 , 12 24 4 10 , 6 24 5 12 , 8 24 20 ב( זוגות מספרים ,שהכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המכנה שלהם היא: 2 ,15 10 ,3 הכפולה המשותפת הקנה ביותר היא: 36 ,8 6 ,15 72 8 ,9 36 ,24 148 30
© Copyright 2024