ThermalPhysics-FormulaSheet-v1.1

‫פיזיקה תרמית‪ :‬סיכום ודף נוסחאות‬
‫גרסה ‪ ,1.1‬יולי ‪2011‬‬
‫ברק שושני‬
‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מצבים של מערכות מודל‬
‫‪ 1.1‬מערכת ספינים‬
‫מערכת ספינים היא מערכת בה יש ‪ N‬חלקיקים‪ ,‬כאשר כל אחד‬
‫מהם יכול להיות עם ספין למעלה או למטה‪ .‬נסמן ב־ ↑‪ N‬וב־ ↓‪N‬‬
‫את מספר החלקיקים עם ספין למעלה ועם ספין למטה בהתאמה‪.‬‬
‫עודף הספינים ‪ 2s‬הוא‪:‬‬
‫↓‪2s ≡ N↑ − N‬‬
‫פונקציית הריבוי )‪ g (N, s‬נותנת את מספר המצבים של המערכת‬
‫המתאימים לערך מסוים של ‪:s‬‬
‫ ‬
‫‪N‬‬
‫!‪N‬‬
‫!‪N‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‬
‫= )‪g (N, s‬‬
‫=‬
‫‪= 1‬‬
‫↑‪N‬‬
‫! ↓‪N↑ !N‬‬
‫! ‪2N + s ! 2N − s‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪g (N, s) = 2N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪s=− 12 N‬‬
‫בגבול ‪ N 1 ,N s‬ניתן להשתמש בקירוב הגאוסיאני‪:‬‬
‫‬
‫‪1/2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2s2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2N exp −‬‬
‫≈ )‪g (N, s‬‬
‫‪πN‬‬
‫‪N‬‬
‫אם כל המצבים במערכת הספינים הם סבירים באותה מידה‪,‬‬
‫הערך הממוצע של ‪ s2‬יהיה )בקירוב הגאוסיאני(‪:‬‬
‫‪´∞ 2‬‬
‫‪s g (N, s) ds‬‬
‫‪
2‬‬
‫‪N‬‬
‫=‬
‫∞‪s = ´−‬‬
‫∞‬
‫‪4‬‬
‫‪g (N, s) ds‬‬
‫∞‪−‬‬
‫√‬
‫סטיית התקן )התנודות( בעודף הספינים תהיה ‪,σ2s = N‬‬
‫והרוחב היחסי יהיה‪:‬‬
‫‪σ2s‬‬
‫‪1‬‬
‫≡‪F‬‬
‫√=‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫האנרגיה של אינטראקציה בין מומנט מגנטי ‪ m‬לבין שדה מגנטי‬
‫‪ B‬היא‪:‬‬
‫‪U = −m · B‬‬
‫האנרגיה של מערכת ספינים בעלת עודף ספינים ‪ 2s‬היא‪:‬‬
‫‪U (s) = −2smB = −M B‬‬
‫כאשר ‪ m‬הוא המומנט המגנטי של ספין אחד‪ B ,‬הוא השדה‬
‫המגנטי ו־‪ M ≡ 2sm‬הוא המומנט המגנטי הכולל‪.‬‬
‫‪ 1.2‬שאלה ממבחן‪ :‬הפרדת פאזות על שרשרת‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬נתונים ‪ N + 1‬אטומים על שרשרת חד־‬
‫ממדית‪ .‬כל אטום עושה אינטראקציה רק עם שכניו הקרובים‬
‫)מימינו ומשמאלו( כך שיש ‪ N‬אינטראקציות‪ .‬נניח כי ‪ N‬מספר‬
‫גדול מאוד ביחס ל־‪ 1‬וקירוב סטירלינג הוא מצוין‪log (N !) ≈ :‬‬
‫‪ .N log N − N‬ישנם שני סוגי אטומים על השרשרת‪ A ,‬ו־‪.B‬‬
‫אנרגיית האינטראקציה בין שני אטומים זהים )‪ AA‬או ‪(BB‬‬
‫היא ‪) −ε‬אינטראקציה מושכת ‪ (ε > 0‬ועבור ‪ AB‬היא ‪.−ε/2‬‬
‫השרשרת במגע תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה ‪ .τ‬החלפת‬
‫חום עם האמבט נעשית על־ידי שינוי המיקום של האטומים )אין‬
‫אנרגיה קינטית(‪ .‬נסמן ב־‪ x‬את החלק של אטומי ‪ B‬בשרשרת‬
‫כך ש־ ‪ NA = (1 − x) N‬ו־ ‪.NB = xN‬‬
‫א‪ .‬חשבו את האנרגיה‪ ,‬האנטרופיה ואנרגיית הלמהולץ בגבול‬
‫של טמפרטורות גבוהות ‪.τ ε‬‬
‫ב‪ .‬חיזרו על סעיף א' בגבול ‪.τ = 0‬‬
‫ג‪ .‬באופן כללי המערכת יכולה להיות במצב הדומה לסעיף א'‬
‫)תערובת אחידה( או במצב הדומה לסעיף ב'‪ .‬מצאו את‬
‫טמפרטורת המעבר שמפרידה בין שני המצבים‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬בטמפרטורה גבוהה‪ ,‬האטומים מסודרים‬
‫באקראי‪ .‬עבור כל אחד מ־ ‪ N‬הזוגות של אטומים שכנים‪ ,‬יש‬
‫‪2‬‬
‫הסתברות של )‪ (1 − x‬לקבל שני אטומי ‪ x2 ,A‬לקבל שני‬
‫אטומי ‪ ,B‬ו־)‪ 2x (1 − x‬לקבל שני אטומים שונים‪ AB ,‬או ‪BA‬‬
‫)יש חשיבות לסדר!(‪ .‬לכן האנרגיה הכוללת היא בקירוב‪:‬‬
‫ ‬
‫‪ ε‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫)‪U = N −ε (1 − x) + x2 − · 2x (1 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪= −εN 1 − x + x‬‬
‫פונקציית הריבוי נותנת את מספר המצבים של המערכת‪:‬‬
‫ ‬
‫‪N‬‬
‫!‪N‬‬
‫=‪g‬‬
‫=‬
‫‪NA‬‬
‫! ‪NA !NB‬‬
‫האנטרופיה היא פשוט הלוגריתם של פונקציית הריבוי‪:‬‬
‫)‪σ = log g ≈ −N ((1 − x) log (1 − x) + x log x‬‬
‫והאנרגיה החופשית של הלמהולץ היא‪:‬‬
‫= ‪F = U − τσ‬‬
‫‬
‫‪N τ ((1 − x) log (1 − x) + x log x) − ε 1 − x + x2‬‬
‫בטמפרטורה נמוכה‪ ,‬האנרגיה תהיה‬
‫פתרון סעיף ב'‪:‬‬
‫מינימלית‪ .‬למצב כזה ניתן להגיע אם האטומים מסתדרים כך‪:‬‬
‫‪ ,A . . . AB . . . B‬כלומר‪ ,‬כל אטומי ‪ A‬ברצף ואח"כ כל אטומי‬
‫‪ B‬ברצף‪ .‬יש בסה"כ ‪ N − 1‬אינטראקציות של אטומים מאותו‬
‫סוג ואינטראקציה אחת של אטומים משני הסוגים‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪U = −ε (N − 1) − = −εN + ≈ −εN‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫פונקציית הריבוי תהיה פשוט ‪ ,g = 2‬כי יש רק שני מצבים בעלי‬
‫טמפרטורה אפס‪ A :‬בהתחלה ו־‪ B‬בסוף‪ ,‬או להפך‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪σ = log g = log 2 ≈ 0.7 ≈ 0‬‬
‫האנרגיה החופשית תהיה‪:‬‬
‫‪F = U − τ σ = −εN‬‬
‫פתרון סעיף ג'‪ :‬מכיוון שהמערכת סימטרית להחלפה ‪,A ↔ B‬‬
‫הגדלים המאפיינים אותה יהיו סימטריים סביב ‪ .x = 1/2‬כלומר‪,‬‬
‫אם החלק של אטומי ‪ B‬בשרשרת הוא ‪ 12 + ∆x‬אז החלק של‬
‫אטומי ‪ A‬בשרשרת הוא ‪ , 12 − ∆x‬ואם נחליף את כל אטומי ‪A‬‬
‫ב־‪ B‬ולהפך )ואז ‪ (x = 1 − x‬נקבל את אותה מערכת בדיוק‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬האנרגיה החופשית תהיה סימטרית סביב ‪ ,x = 1/2‬ולכן‬
‫נקודה זו תהיה נקודת מינימום או מקסימום של האנרגיה‪ .‬נשים‬
‫לב כי ערכי ‪ x‬קרובים ל־‪ 1/2‬מתאימים למצב בסעיף א' )תערובת‬
‫אחידה(‪ ,‬ואילו ערכי ‪ x‬רחוקים מ־‪ 1/2‬מתאימים למצב בסעיף‬
‫ב'‪ .‬לפיכך‪ ,‬אם ‪ x = 1/2‬היא נקודת מינימום של האנרגיה אז‬
‫מצב שיווי המשקל )אנרגיה מינימלית( יהיה המצב בסעיף א'‪ ,‬ואם‬
‫היא נקודת מקסימום אז מצב שיווי המשקל יהיה המצב בסעיף‬
‫ב'‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬עלינו למצוא את הטמפרטורה בה הנקודה = ‪x‬‬
‫‪ 1/2‬הופכת מנקודת מינימום לנקודת מקסימום‪ ,‬כלומר‪ ,‬את‬
‫הטמפרטורה בה הנגזרת השנייה לפי ‪ x‬בנקודה ‪x = 1/2‬‬
‫מתאפסת‪:‬‬
‫‬
‫‪ε‬‬
‫ ‪d2 F‬‬
‫⇒= ‪= N (4τ − 2ε) = 0‬‬
‫=‪τ‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪dx x=1/2‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫אנטרופיה וטמפרטורה‬
‫‪ 2.1‬ההנחה היסודית‬
‫מערכת סגורה היא מערכת בה האנרגיה‪ ,‬מספר החלקיקים‪ ,‬הנפח‬
‫וכל הפרמטרים החיצוניים שמשפיעים עליה )כולל כבידה‪ ,‬שדה‬
‫מגנטי וכו'( הם כולם גדלים קבועים‪ .‬ההנחה היסודית קובעת‬
‫כי מערכת סגורה יכולה להיות בכל אחד מהמצבים הקוונטיים‬
‫הזמינים האפשריים בהסתברות שווה‪ .‬נתבונן במערכת בעלת ‪g‬‬
‫מצבים קוונטיים זמינים‪ .‬אז ההסתברות למצוא את המערכת‬
‫במצב ‪ s‬היא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P (s) = 1‬‬
‫‪P (s) = ,‬‬
‫‪g‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 2.2‬הקונפיגורציה הסבירה ביותר‬
‫נניח כי הצמדנו שתי מערכות ‪ S1 , S2‬כך שאנרגיה יכולה לעבור‬
‫ממערכת אחת לשנייה‪ .‬המערכות מרכיבות מערכת סגורה‬
‫‪ S = S1 + S2‬עם אנרגיה קבועה ‪ .U = U1 + U2‬החלוקה‬
‫הסבירה ביותר של האנרגיה הכוללת היא זו שבה למערכת ‪ S‬יש‬
‫מספר מרבי של מצבים זמינים‪.‬‬
‫נתבונן במקרה הפרטי של שתי מערכות ספינים בעלות ‪N1 , N2‬‬
‫מגנטים ועודפי ספינים ‪ .2s1 , 2s2‬עודף הספינים של המערכת‬
‫המשולבת יהיה ‪ ,2s‬כאשר ‪ .s1 + s2 = s‬האנרגיה תהיה‬
‫‪ ,U (s) = U1 (s1 ) + U2 (s2 ) = −2mBs‬ומספר החלקיקים‬
‫יהיה ‪ .N = N1 + N2‬פונקציית הריבוי של המערכת המשולבת‬
‫תהיה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪g (N, s‬‬
‫) ‪g1 (N1 , s1 ) g2 (N2 , s − s1‬‬
‫‪s1‬‬
‫הקונפיגורציה בה המכפלה ‪ g1 g2‬מקבלת ערך מקסימלי נקראת‬
‫הקונפיגורציה הסבירה ביותר‪ .‬היא מתקבלת עבור ערך מסוים‬
‫ˆ‪ ,‬ומספר המצבים בה יהיה‪:‬‬
‫של ‪ ,s1‬אותו נסמן ב־ ‪s1‬‬
‫) ‪g1 (N1 , sˆ1 ) g2 (N2 , s − sˆ1‬‬
‫לרוב‪ ,‬המקסימום המתקבל הוא חד מאוד‪ ,‬וניתן להסיק מסקנות‬
‫לגבי המערכת המשולבת באמצעות התבוננות בקונפיגורציה‬
‫הסבירה ביותר‪.‬‬
‫ניתן להראות )באמצעות הקירוב הגאוסיאני( כי במקרה של‬
‫מערכות ספינים‪ ,‬הקונפיגורציה הסבירה ביותר מתקבלת כאשר‪:‬‬
‫‪sˆ1‬‬
‫‪sˆ2‬‬
‫‪s‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪N1‬‬
‫‪N2‬‬
‫‪N‬‬
‫כלומר‪ ,‬כאשר עודף הספינים היחסי בשתי המערכות הוא זהה‪.‬‬
‫‪ 2.3‬שיווי־משקל תרמי ואנטרופיה‬
‫נגדיר את האנטרופיה‪:‬‬
‫) ‪σ (N, U ) ≡ log g (N, U‬‬
‫האנטרופיה היא חסרת יחידות‪ ,‬והקשר בינה לבין האנטרופיה‬
‫הקונבנציונלית הוא ‪ S = kB σ‬כאשר ‪ kB‬הוא קבוע בולצמן )ראו‬
‫נספח ‪ .(11.8‬האנטרופיה הכוללת של שתי מערכות בלתי־תלויות‬
‫היא סכום האנטרופיות של שתי המערכות‪.‬‬
‫שתי מערכות נמצאות בשיווי־משקל תרמי כאשר המערכת‬
‫המשולבת נמצאת בקונפיגורציה הסבירה ביותר שלה‪ .‬במקרה‬
‫הכללי‪ ,‬פונקציית הריבוי של המערכת המשולבת היא פונקציה‬
‫של האנרגיה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪g (N, U‬‬
‫) ‪g1 (N1 , U1 ) g2 (N2 , U − U1‬‬
‫‪U1‬‬
‫כאשר הסכום הוא על כל האנרגיות האפשריות‪ ,‬ואנו מניחים כי‬
‫‪ N1 , N2 , U‬הם קבועים‪ .‬מתוך האיבר המקסימלי בסכום ניתן‬
‫להסיק על המערכת כולה במצב שיווי־משקל‪ .‬למציאת האיבר‬
‫המקסימלי נדרוש כי הדיפרנציאל של ) ‪ g (N, U‬יהיה אפס עבור‬
‫החלפה של כמות אנרגיה אינפיניטסימלית בין שתי המערכות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂g1‬‬
‫‪∂g2‬‬
‫= ‪dg‬‬
‫‪g2 dU1 + g1‬‬
‫‪dU2 = 0‬‬
‫‪∂U1 N1‬‬
‫‪∂U2‬‬
‫כאשר ‪ .dU1 = −dU2‬מכאן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ1‬‬
‫‪∂σ2‬‬
‫=‬
‫‪∂U1 N1‬‬
‫‪∂U2 N2‬‬
‫‪ 2.4‬טמפרטורה‬
‫במצב שיווי־משקל תרמי‪ ,‬הטמפרטורות של שתי המערכות שוות‪.‬‬
‫הטמפרטורה היסודית ‪ τ‬מוגדרת לפי הקשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪1‬‬
‫≡‪≡β‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪∂U N‬‬
‫היא בעלת יחידות של אנרגיה‪ ,‬והקשר בינה לבין הטמפרטורה‬
‫הקונבנציונלית הוא ‪ .τ = kB T‬ביחידות קונבנציונליות ההגדרה‬
‫תהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂S‬‬
‫‪1‬‬
‫≡‬
‫‪T‬‬
‫‪∂U N‬‬
‫כאשר מעבירים אנרגיה ‪ ∆U > 0‬מהמערכת ‪ S1‬למערכת ‪,S2‬‬
‫השינוי באנטרופיה‬
‫‬
‫ הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪∂σ1‬‬
‫‪∂σ2‬‬
‫= ‪∆σ‬‬
‫‪(−∆U ) +‬‬
‫) ‪(∆U‬‬
‫‪∂U1 N1‬‬
‫‪∂U2 N2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪∆U‬‬
‫‪τ2‬‬
‫‪τ1‬‬
‫ואנו רואים כי כאשר ‪ ,τ1 > τ2‬האנטרופיה גדלה‪ .‬חוק‬
‫גדילת האנטרופיה קובע כי כאשר שתי מערכות באות במגע‪,‬‬
‫האנטרופיה הכוללת תמיד גדלה‪ ,‬או לכל היותר נשארת קבועה‬
‫)אם הטמפרטורות שלהן היו מלכתחילה שוות(‪.‬‬
‫כדי למצוא את הטמפרטורה במצב שיווי־משקל‪ ,‬ניתן להשתמש‬
‫בחוק שימור האנרגיה ובכך שהאנרגיה שיצאה ממערכת אחת‬
‫נכנסה למערכת השנייה‪:‬‬
‫) ‪U1 (Tf ) + U2 (Tf ) = U1 (T1 ) + U2 (T2‬‬
‫)) ‪U1 (Tf ) − U1 (T1 ) = − (U2 (Tf ) − U2 (T2‬‬
‫אם שתי המערכות זהות‪ ,‬הטמפרטורה הסופית תהיה הממוצע‬
‫של שתי הטמפרטורות ההתחלתיות‪.‬‬
‫‪ 2.5‬חוקי התרמודינמיקה‬
‫חוק אפס‪ :‬אם שתי מערכות הן בשיווי־משקל תרמי עם מערכת‬
‫שלישית‪ ,‬אז הן חייבות להיות בשיווי־משקל תרמי אחת עם‬
‫השנייה‪.‬‬
‫חוק ראשון‪ :‬חום הוא צורה של אנרגיה‪ .‬חוק זה שקול לחוק‬
‫שימור האנרגיה‪.‬‬
‫חוק שני‪ :‬אם מערכת סגורה נמצאת במצב שאינו מצב שיווי־‬
‫המשקל‪ ,‬למשל לאחר שהוסר אילוץ פנימי במערכת‪ ,‬התוצאה‬
‫הסבירה ביותר תהיה שהאנטרופיה של המערכת תגדל באופן‬
‫מונוטוני לאורך זמן‪ .‬חוק זה שקול לחוק גדילת האנטרופיה‪.‬‬
‫חוק שלישי‪ :‬האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר‬
‫הטמפרטורה מתקרבת לאפס‪.‬‬
‫‪ 2.6‬אוסילטור הרמוני קוונטי‬
‫הערכים העצמיים של האנרגיה באוסילטור הרמוני הם‪:‬‬
‫‪εs = s~ω,‬‬
‫}‪s ∈ {0, 1, 2, . . .‬‬
‫כאשר ‪ ω‬היא התדירות הזוויתית‪ ,‬והזנחנו את אנרגיית האפס‪.‬‬
‫האנרגיה הכוללת במערכת של ‪ N‬אוסילטורים בעלי אותה‬
‫תדירות היא‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪ε‬‬
‫‪si ~ω ≡ n~ω‬‬
‫‪i=1‬‬
‫פונקציית הריבוי )‪ g (N, n‬עבור ערך מסוים של ‪ n‬שווה למספר‬
‫האפשרויות לבחור מספרים קוונטיים ‪ s1 , . . . , sN‬אשר סכומם‬
‫יהיה ‪:n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪N +n−1‬‬
‫!)‪(N + n − 1‬‬
‫= )‪g (N, n‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫!)‪n! (N − 1‬‬
‫האנטרופיה של אוסילטור הרמוני קוונטי היא‪ ,‬בקירוב סטירלינג‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪σ (N, n) ≈ N 1 +‬‬
‫‪log 1 +‬‬
‫‪−‬‬
‫‪log‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫)‪σ (N, U ) ≈ N ((1 + u) log (1 + u) − u log u‬‬
‫כאשר ‪ ,u ≡ U/N ~ω‬והאנרגיה שלו היא‪:‬‬
‫‪N ~ω‬‬
‫= ) ‪U (τ‬‬
‫‪exp (~ω/τ ) − 1‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫התפלגות בולצמן והאנרגיה החופשית של‬
‫הלמהולץ‬
‫‪ 3.1‬פקטור בולצמן‬
‫נניח כי המערכת ‪ ,S‬בה אנו מתעניינים‪ ,‬היא בשיווי־משקל‬
‫תרמי עם אמבט חום ‪ ,R‬שהוא מערכת גדולה מאוד יחסית‬
‫ל־‪ .S‬המערכת ‪ R + S‬היא מערכת סגורה‪ ,‬והאנרגיה הכוללת‬
‫‪ U0 = UR + US‬היא קבועה‪ .‬אם אנרגיית המערכת ‪ S‬היא‬
‫‪ ,εs‬אז אנרגיית האמבט היא ‪ .U0 − εs‬היחס בין ההסתברויות‬
‫למציאת המערכת במצבים קוונטיים ‪ 1‬ו־‪ 2‬הוא‪:‬‬
‫) ‪P (ε1‬‬
‫) ‪gR (U0 − ε1‬‬
‫) ‪exp (−ε1 /τ‬‬
‫=‬
‫≈‬
‫) ‪P (ε2‬‬
‫) ‪gR (U0 − ε2‬‬
‫) ‪exp (−ε2 /τ‬‬
‫ביטוי מהצורה ) ‪ exp (−ε/τ‬נקרא פקטור בולצמן‪.‬‬
‫‪ 3.2‬פונקציית החלוקה‬
‫פונקציית החלוקה היא‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪s‬‬
‫‪gs exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪ N 3.8‬אוסילטורים הרמוניים קוונטיים‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬באמצעות קליטת פוטון בעל אנרגיה ‪,2µB‬‬
‫האטום יכול לעבור מרמת אנרגיה ‪) −µB‬ספין מקביל לשדה(‬
‫לרמת אנרגיה ‪ .µB‬הסיכוי שזה יקרה הוא‪ ,‬כפי שראינו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪eµB/τ‬‬
‫‪= −2µB/τ‬‬
‫‪P (−µB) = −µB/τ‬‬
‫‪µB/τ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+1‬‬
‫אם ‪ µB τ‬אז ‪ µB/τ → 0‬ולכן נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫≈ )‪P (−µB‬‬
‫‪(1 − 2µB/τ ) + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2 1 − µB/τ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪µB‬‬
‫≈‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫ההספק הנקלט במוצק תלוי בהסתברות לעירור‪ ,‬ולכן התלות‬
‫בטמפרטורה תהיה ‪.1/τ‬‬
‫‪ 3.5‬פונקציית החלוקה של מערכת של ‪ N‬חלקיקים‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪Z (τ‬‬
‫‪s‬‬
‫כאשר הסכום הוא על כל המצבים ‪ s‬של המערכת‪ .‬אם למצב ‪s‬‬
‫כלשהו יש ניוון ‪ ,gs‬הניוון יהיה המקדם של ) ‪ exp (−εs /τ‬בסכום‪.‬‬
‫ההסתברות למצוא חלקיק במצב בעל אנרגיה ‪ εs‬היא‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪P (εs ) = gs exp −‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪τ‬‬
‫כלומר‪ ,‬פונקציית החלוקה היא בעצם קבוע הנורמליזציה של‬
‫פונקציית ההסתברות‪ .‬האנרגיה הממוצעת של המערכת היא‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪1 X‬‬
‫‪s‬‬
‫= ‪U (τ ) = hεi‬‬
‫‪εs exp −‬‬
‫‪Z s‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪∂ log Z‬‬
‫‪−∂ log Z‬‬
‫‪= τ2‬‬
‫=‬
‫‪∂τ‬‬
‫) ‪∂ (1/τ‬‬
‫‪ 3.3‬שאלה ממבחן‪ :‬טמפרטורה של כוכב‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬לאטום פחמן נייטרלי יש מצב יסוד עם‬
‫ניוון ‪ .9‬למצב המעורר הראשון ניוון ‪ 5‬ואנרגיה של ‪0.82 eV‬‬
‫מעל מצב היסוד‪ .‬במדידות ספקטרוסקופיות של כוכב מרוחק‬
‫נמצא כי ‪ 10%‬מאטומי הפחמן הנייטרלי נמצאים במצב המעורר‪.‬‬
‫מספר האטומים ברמות גבוהות יותר ניתן להזנחה‪ .‬מהי בערך‬
‫טמפרטורת הכוכב‪ ,‬בהנחה שהוא בשיווי משקל תרמי?‬
‫פתרון‪ :‬תהי ‪ ε0‬האנרגיה במצב היסוד ו־‪ ε0 + ∆ε‬האנרגיה במצב‬
‫המעורר הראשון )כאשר ‪ .(∆ε = 0.82 eV‬פונקציית החלוקה‬
‫היא‪:‬‬
‫‪Z (τ ) = 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫לכן ההסתברות שאטום יהיה במצב המעורר היא‪:‬‬
‫‪5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫‪= 0.1‬‬
‫= )‪P (ε0 + ∆ε‬‬
‫‪−ε‬‬
‫‪9 e 0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬
‫נצמצם את אנרגיית היסוד‪:‬‬
‫‪5 e−∆ε/τ‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪= 0.1‬‬
‫‪9 + 5 e−∆ε/τ‬‬
‫‪9 e∆ε/τ +5‬‬
‫מכאן ‪ ,e∆ε/τ = 5‬ולכן‪:‬‬
‫‪∆ε‬‬
‫‪≈ 0.5 eV‬‬
‫=‪τ‬‬
‫‪log 5‬‬
‫נחלק בקבוע בולצמן כדי לקבל את הטמפרטורה במעלות קלווין‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‪≈ 5800 K‬‬
‫‪kB‬‬
‫תהי ‪ Z‬פונקציית החלוקה של חלקיק אחד‪ .‬במערכת של ‪N‬‬
‫חלקיקים מובחנים שאין אינטראקציה ביניהם‪ ,‬פונקציית החלוקה‬
‫תהיה‪:‬‬
‫‪ZN = Z n‬‬
‫ובמערכת של ‪ N‬חלקיקים לא מובחנים‪:‬‬
‫‪ZN‬‬
‫= ‪ZN‬‬
‫!‪N‬‬
‫פונקציית החלוקה של שתי מערכות במגע תרמי ובטמפרטורה‬
‫שווה היא מכפלת פונקציות החלוקה של שתי המערכות‪:‬‬
‫) ‪Z (S1 + S2 ) = Z (S1 ) Z (S2‬‬
‫‪ 3.6‬קיבול חום‬
‫קיבול החום של מערכת בנפח קבוע הוא‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪CV ≡ τ‬‬
‫=‬
‫‪∂τ V‬‬
‫‪∂τ V‬‬
‫או‪ ,‬ביחידות קונבנציונליות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂S‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪CV ≡ T‬‬
‫=‬
‫‪∂T V‬‬
‫‪∂T V‬‬
‫קיבול החום הוא חסר יחידות‪ ,‬וביחידות קונבנציונליות יש לו‬
‫יחידות של אנרגיה לקלווין‪ .‬קיבול החום הסגולי הוא קיבול‬
‫החום ליחידת מסה‪ .‬בתרמודינמיקה קלאסית מתקיים הקשר‬
‫‪ Q = C∆T‬כאשר ‪ Q‬הוא החום‪ ∆T ,‬הוא השינוי בטמפרטורה‬
‫ו־‪ C‬הוא קיבול החום‪.‬‬
‫‬
‫‪ 3.7‬שאלה ממבחן‪ :‬פונקציות חלוקה וקיבול חום‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬נתונים ‪ N‬חלקיקים שלכל אחד מהם ‪3‬‬
‫מצבי אנרגיה אפשריים‪ .0, ε, 2ε :‬למערכת נפח קבוע ‪ V‬והיא‬
‫מצומדת לאמבט חום בטמפרטורה ‪ .τ‬אין אינטראקציה בין‬
‫החלקיקים‪ ,‬והסטטיסטיקה הרלוונטית היא סטטיסטיקת בולצמן‪.‬‬
‫א‪ .‬כתבו את פונקציית החלוקה עבור חלקיק יחיד‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬אטום יכול להיות בעל אנרגיה ‪ ,−µB‬אם הספין‬
‫שלו מקביל לשדה‪ ,‬או ‪ ,µB‬אם הספין שלו מנוגד לשדה‪ .‬לפיכך‬
‫פונקציית החלוקה היא‪:‬‬
‫‪−µB/τ‬‬
‫‪µB/τ‬‬
‫‪Z=e‬‬
‫‪+e‬‬
‫הסיכוי של אטום להיות עם ספין מקביל לשדה יהיה‪ ,‬אם כן‪:‬‬
‫‪eµB/τ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P (−µB) = −µB/τ‬‬
‫= ‪= 75%‬‬
‫‪4‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+ eµB/τ‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2µB‬‬
‫= ‪e−2µB/τ‬‬
‫= ‪=⇒ τ‬‬
‫‪= 5.08 × 10−22 J‬‬
‫‪3‬‬
‫‪log 3‬‬
‫נחלק בקבוע בולצמן כדי למצוא את הטמפרטורה‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‪= 36.8 K‬‬
‫‪kB‬‬
‫נתבונן בגביש שהאטומים שבו הם בעלי שתי רמות אנרגיה‪:‬‬
‫רמת יסוד בעלת אנרגיה אפס ורמה מעורערת בעלת אנרגיה‬
‫‪ .ε‬פונקציית החלוקה שלו היא ‪ ,Z (τ ) = 1 + e−ε/τ‬וההסתברות‬
‫‪−1‬‬
‫למצוא אטום ברמת האנרגיה ‪ ε‬היא‬
‫‪ .p = eε/τ +1‬מכאן‬
‫‪ ,τ = ε/ log p−1 − 1‬ואנו רואים כי עבור ‪) p = 1/2‬חצי‬
‫מהאטומים הם בעלי אנרגיה ‪ (ε‬נקבל ∞ = ‪ ,τ‬ועבור ‪p > 1/2‬‬
‫נקבל ‪ .τ < 0‬אם כן‪ ,‬המשמעות של טמפרטורה שלילית היא‬
‫שאכלוס הרמה המעורערת הוא גדול מזה של רמת היסוד‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬מערכת יכולה להיות בעלת טמפרטורה שלילית אם‬
‫ספקטרום האנרגיה שלה חסום מלמעלה‪ ,‬אם היא בשיווי־משקל‬
‫תרמי פנימי )כלומר המצבים מאוכלסים בהתאם לפקטור בולצמן‬
‫של הטמפרטורה( ואם המצבים בעלי הטמפרטורה השלילית הם‬
‫מבודדים מהמצבים בעלי הטמפרטורה החיובית‪.‬‬
‫סקאלת הטמפרטורה היא‪ ,‬מהקר ביותר בצד שמאל אל החם‬
‫ביותר בצד ימין‪:‬‬
‫‪+0 K → +300 K → +∞ K → −∞ K → −300 K → −0 K‬‬
‫)הערך הספציפי של ‪ 300 K‬מובא כאן רק לצורך המחשה‪ (.‬כלומר‪,‬‬
‫טמפרטורה שלילית תמיד תהיה חמה יותר מטמפרטורה חיובית‪.‬‬
‫אם מערכת ב־‪ −300 K‬מובאת במגע תרמי עם מערכת זהה‬
‫ב־‪ ,+300 K‬אז לאחר הגעה לשיווי־משקל הטמפרטורה תהיה‬
‫‪) ±∞ K‬ולא ‪!(0 K‬‬
‫‪ 3.10‬לחץ‬
‫הלחץ על מערכת במצב קוונטי ‪ s‬הוא ‪ ,ps = −dεs /dV‬כאשר‬
‫‪ V‬הוא נפח המערכת‪ .‬הלחץ הממוצע על המערכת הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪p = hpi = −‬‬
‫‪= −τ‬‬
‫‪∂V σ‬‬
‫‪∂V U‬‬
‫ומתקיימת הזהות התרמודינמית על‬
‫האנטרופיה‪ ,‬האנרגיה הממוצעת והנפח‪:‬‬
‫הדיפרנציאלים‬
‫של‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הממוצעת שלו?‬
‫נעיר כי ביחידות קונבנציונליות‪.τ dσ = T dS ,‬‬
‫ג‪ .‬בגבול ‪ ,τ ε‬מהי ההסתברות שהרמה המעוררת העליונה‬
‫מאוכלסת ומהי האנרגיה הממוצעת?‬
‫‪ 3.11‬האנרגיה החופשית של הלמהולץ‬
‫האנרגיה החופשית של הלמהולץ היא‪:‬‬
‫ד‪ .‬באיזו טמפרטורה יש במצב היסוד פי ‪ 1.1‬חלקיקים‬
‫מברמה העליונה?‬
‫ה‪ .‬מצאו את קיבול החום הסגולי‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‪:‬‬
‫‪Z = 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬
‫א‪ .‬מהי הטמפרטורה אשר מתחתיה יותר מ־‪ 75%‬ספין מקביל‬
‫לשדה?‬
‫ב‪ .‬קליטה של קרינה אלקטרומגנטית יכולה לעורר מעבר‬
‫בין שתי רמות האנרגיה אם תדירות הקרינה היא = ‪f‬‬
‫‪ 2µB/h‬כאשר ‪ h‬קבוע פלאנק‪ .‬נניח כי המוצק בשיווי‬
‫משקל תרמי וכן ‪ ,µB τ‬והוא מוקרן בקרינה כזו‪ .‬מהי‬
‫התלות בטמפרטורה של ההספק הנקלט במוצק?‬
‫‪ 3.9‬טמפרטורה שלילית‬
‫‪τ dσ = dU + p dV‬‬
‫‪ 3.4‬שאלה ממבחן‪ :‬אטומים בשדה מגנטי‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬מוצק שבו אטומים בעלי ספין ‪) 1/2‬חסרי‬
‫אינטראקציה הדדית( נמצא בשדה מגנטי ‪ .B = 3 T‬המומנט‬
‫המגנטי הוא ‪.µ = 9.3 × 10−23 J T−1‬‬
‫נתונה מערכת של ‪ N‬אוסילטורים הרמוניים קוונטיים‪ ,‬אשר רמות‬
‫האנרגיה שלה נתונות ע"י‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪En = n +‬‬
‫‪~ω‬‬
‫‪2‬‬
‫)הפעם אנו לא מזניחים את אנרגיית האפס‪ ,‬כמו בסעיף ‪.(2.6‬‬
‫פונקציית החלוקה של אוסילטור בודד היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪Z (τ‬‬
‫‪2 sinh ~ω‬‬
‫‪2τ‬‬
‫לכן עבור ‪ N‬אוסילטורים בלתי־מובחנים‪:‬‬
‫‪ZN‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ZN‬‬
‫=‬
‫‪N‬‬
‫!‪N‬‬
‫‪2 N ! sinhN ~ω‬‬
‫‪2τ‬‬
‫והאנרגיה הממוצעת היא‪:‬‬
‫ ‬
‫‪N ~ω‬‬
‫‪~ω‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪coth‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2τ‬‬
‫‪1‬‬
‫בקירוב של טמפרטורות נמוכות נקבל ‪ ,E → 2 N ~ω‬ועבור‬
‫טמפרטורות גבוהות ‪ .E ≈ N τ‬אם בכל זאת נזניח את אנרגיית‬
‫האפס‪ ,‬נקבל )) ‪.Z = 1/ (1 − exp (−~ω/τ‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪:‬‬
‫‪−2ε/τ‬‬
‫‪−ε/τ‬‬
‫פתרון סעיף ג'‪ :‬כאשר ‪ τ ε‬ההבדל בין שלוש רמות האנרגיה‬
‫זניח‪ ,‬לכן כל רמה תהיה מאוכלסת במספר שווה של חלקיקים‪.‬‬
‫לפיכך ‪ P (2ε) = 1/3‬ו־‪.U = ε‬‬
‫פתרון סעיף ד'‪ :‬ההסתברות למצוא חלקיק במצב היסוד היא‬
‫‪ ,P (0) = 1/Z‬וברמה העליונה‪:‬‬
‫‪2ε‬‬
‫‪log 1.1‬‬
‫=‪τ‬‬
‫⇒=‬
‫= )‪P (2ε‬‬
‫)‪P (0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −2ε/τ‬‬
‫)‪P (2ε‬‬
‫‪e‬‬
‫‬
‫לחישוב ‪ F‬לפי פונקציית החלוקה ‪ Z‬ניתן להשתמש בקשר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪F‬‬
‫‪F = −τ log Z,‬‬
‫‪Z = exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪ 3.12‬גז אידאלי‪ :‬אטום אחד בקופסה‬
‫= ‪1.1‬‬
‫פתרון סעיף ה'‪:‬‬
‫‪N ε2 e−ε/τ +4 e−2ε/τ + e−3ε/τ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ2‬‬
‫‪1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬
‫ומכאן‪ ,‬בטמפרטורה קבועה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪p=−‬‬
‫‪+τ‬‬
‫‪∂V τ‬‬
‫‪∂V τ‬‬
‫בנוסף ניתן לקבל את אחד מיחסי מקסוול )סעיף ‪:(9.6‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂p‬‬
‫=‬
‫‪∂V τ‬‬
‫‪∂τ V‬‬
‫‬
‫‪εe‬‬
‫‪+2ε e‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪−ε/τ‬‬
‫‪1+e‬‬
‫‪+ e−2ε/τ‬‬
‫‪e−2ε/τ‬‬
‫‪Z‬‬
‫נדרוש שהיחס יהיה ‪ 1.1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪F ≡ U − τσ‬‬
‫אם נפח המערכת הוא קבוע‪ ,‬האנרגיה החופשית תקבל ערך‬
‫מינימלי עבור מערכת ‪ S‬במגע תרמי עם אמבט ‪ .R‬הדיפרנציאל‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪dF = dU − τ dσ − σ dτ = −p dV − σ dτ‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪σ=−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪p=−‬‬
‫‪∂τ V‬‬
‫‪∂V τ‬‬
‫= ‪CV‬‬
‫נתבונן באטום בעל מסה ‪ M‬החופשי לנוע בקובייה בעלת אורך‬
‫צלע ‪ L‬ונפח ‪ .V = L3‬פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪~2 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪∇ ψ = εψ‬‬
‫‪2M‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ψ (x, y, z) = A sin nx π‬‬
‫‪sin ny π‬‬
‫‪sin nz π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫כאשר ‪ nx , ny , nz‬הם שלמים חיוביים כלשהם‪ ,‬והערכים העצמיים‬
‫של האנרגיה הם‪:‬‬
‫‬
‫‪~2 π 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪nx + ny + n2z‬‬
‫= ‪εnx ,ny ,nz‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2M L‬‬
‫את פונקציית החלוקה ניתן לקרב באמצעות אינטגרלים על‬
‫‪ ,nx , ny , nz‬ולקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪Mτ‬‬
‫= ‪V = nQ V‬‬
‫= ‪Z1‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר ‪ n ≡ 1/V‬הוא הריכוז ואילו‪:‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‬
‫‪Mτ‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‬
‫∂‬
‫=‬
‫‪M 3 τ log nQ `3‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪3 1/2‬‬
‫‬
‫‪τ‬‬
‫‪= M 3 log nQ `3 + M 3 τ 2 3/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= M log nQ ` +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ=−‬‬
‫וקיבול החום הוא‪:‬‬
‫הוא הריכוז הקוונטי‪ .‬זהו הריכוז המתאים לאטום אחד בקובייה‬
‫בעלת√ אורך צלע השווה לאורך־גל דה־ברוי‪ ,‬שהוא בקירוב‬
‫‪ ~/M hvi ≈ ~/ M τ‬כאשר ‪ hvi‬היא המהירות הממוצעת‬
‫התרמית‪ .‬כאשר ‪ n nQ‬אנו אומרים שהגז הוא בתחום‬
‫הקלאסי‪ .‬גז אידאלי הוא גז בתחום הקלאסי של אטומים שאין‬
‫ביניהם אינטראקציה‪ .‬עבור גז אידאלי של אטום אחד‪ ,‬האנרגיה‬
‫הממוצעת היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪U = τ = kB T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נגדיר גם את אורך־הגל התרמי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2 1/2‬‬
‫~‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫≡ ‪λT‬‬
‫‪,‬‬
‫‪nQ = 3‬‬
‫‪Mτ‬‬
‫‪λT‬‬
‫‪ 3.13‬גז אידאלי‪ N :‬אטומים בקופסה‬
‫עבור קופסה ובה גז אידאלי בעל ‪ N‬אטומים מובחנים בעלי מסה‬
‫זהה‪ ,‬פונקציית החלוקה הכוללת תהיה ‪ .Z1N‬במקרה הנפוץ יותר‬
‫בו ‪ N‬האטומים הם בלתי־מובחנים‪ ,‬ספרנו כל צירוף של מצבים‬
‫! ‪ N‬פעמים ולכן פונקציית החלוקה תהיה‪:‬‬
‫‪1 N‬‬
‫= ‪ZN‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪N! 1‬‬
‫בחישוב זה הנחנו כי כל ‪ N‬המצבים התפוסים הם תמיד שונים‬
‫זה מזה‪ ,‬ולפיכך הוא מהווה קירוב בלבד‪ .‬קירוב זה מתאים רק‬
‫בתחום הקלאסי‪.‬‬
‫האנרגיה של ‪ N‬אטומים בקופסה היא ‪ .U = 32 N τ‬האנרגיה‬
‫החופשית )בקירוב סטירלינג( היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪Mτ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪log‬‬
‫‪V‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F = τ N log N − log‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫מכאן ניתן לקבל את משוואת הגז האידאלי‪:‬‬
‫‪pV = N τ = N kB T‬‬
‫כאשר ‪ p‬הוא הלחץ‪ ,‬ואת משוואת ‪:Sackur-Tetrode‬‬
‫‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ n ≡ N/V‬הוא הריכוז‪ .‬קיבול החום הוא‬
‫)ראו גם‪ :‬משפט החלוקה השווה‪ ,‬סעיף ‪(6.10‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬האנטרופיה היא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2N‬‬
‫= ‪.CV‬‬
‫‪ 3.14‬שאלה ממבחן‪ :‬מספר המצבים של גז חנקן‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬גז חנקן דליל דו־אטומי נדחס לאט‬
‫בטמפרטורה קבועה מנפח התחלתי של ‪ 0.3 m3‬לנפח סופי של‬
‫‪ .0.1 m3‬מספר מולקולות החנקן הוא ‪ .1024‬פי כמה השתנה‬
‫מספר המצבים המיקרוסקופיים של הגז בתהליך?‬
‫פתרון‪ :‬האנטרופיה היא הלוגריתם של מספר המצבים‪σ ≡ ,‬‬
‫‪ ,log g‬ולכן ‪ .g = eσ‬ממשוואת ‪ ,Sackur-Tetrode‬האנטרופיה‬
‫של גז אידאלי היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪nQ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪= N (C + log V‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע‪ .‬לפיכך מספר המצבים הוא‪:‬‬
‫‪g = eN C V N‬‬
‫‪24‬‬
‫אם נקטין את הנפח פי ‪ ,3‬מספר המצבים יקטן פי ) ‪.3N = 3(10‬‬
‫‪ 3.15‬שאלה ממבחן‪ :‬אטומים בקופסאות קטנות‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬ב‪ :‬פיתחו חומר חדש בו אטומי פחמן‬
‫מאורגנים במערך של קופסאות קטנות )כל אחת בגודל `×`×`(‬
‫כאשר בכל קופסה נמצא אטום הליום בודד החופשי לנוע‪.‬‬
‫המערכת כולה נמצאת בשיווי משקל בטמפרטורה ‪.τ‬‬
‫א‪ .‬עבור מערך קובי של ‪ M × M × M‬קופסאות‪ ,‬מצאו‬
‫את האנרגיה החופשית של הלמהולץ עבור תנועת אטומי‬
‫ההליום בלבד )הניחו כי אטומי הפחמן אינם מסוגלים‬
‫לנוע(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את האנטרופיה ואת קיבול החום‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬פונקציית החלוקה עבור אטום הליום אחד היא‬
‫)בקירוב(‪:‬‬
‫‪ mτ 3/2‬‬
‫‪Z1 = nQ V = nQ `3 ,‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪3‬‬
‫כאשר ‪ m‬היא מסת האטום‪ .‬לכן פונקציית החלוקה עבור ‪M‬‬
‫אטומי הליום היא )החלקיקים ניתנים להבחנה(‪:‬‬
‫‪M 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Z = Z M = nQ `3‬‬
‫והאנרגיה החופשית תהיה‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪F = −τ log Z = −M τ log nQ `3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪3 1/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τ M 3 2 3/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫=‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪CV = τ‬‬
‫‪ 3.16‬אנטרופיה של ערבוב‬
‫נתבונן במוצק המורכב מ־‪N − t‬אטומים מסוג ‪ A‬ו־‪ t‬אטומים‬
‫מסוג ‪ .B‬פונקציית הריבוי היא ‪ ,g (N, t) = nt‬והאנטרופיה‬
‫בקירוב סטירלינג היא‪:‬‬
‫)‪σ (x) = −N ((1 − x) log (1 − x) + x log x‬‬
‫כאשר ‪ .x ≡ t/N‬תרומה זו לאנטרופיה הכוללת נקראת‬
‫אנטרופיה של ערבוב‪.‬‬
‫‪ 3.17‬תהליך הפיך‬
‫תהליך נקרא הפיך אם המערכת נשארת קרובה אינפיניטסימלית‬
‫למצב שיווי־משקל לכל אורך התהליך‪.‬‬
‫‪ 3.18‬התפלגות מהירות בגז‬
‫נתבונן בגז של חלקיקים בריכוז ‪ n‬בשיווי־משקל תרמי‪ .‬הסיכוי‬
‫של חלקיק להיות באנרגיה ‪ ε‬הוא ‪ ,P (ε) ∝ e−ε/τ‬לכן הסיכוי‬
‫שלו לנוע במהירות בין ‪ v‬ל־‪ v + d3 v‬נתון ע"י = ‪f (v) d3 v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .A e−mv /2τ d3 v‬ננרמל את ‪ A‬ונקבל את התפלגות מקסוול‪:‬‬
‫‪ m 3/2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪f (v) d3 v‬‬
‫‪e−mv /2τ d3 v‬‬
‫‪2πτ‬‬
‫כאשר ‪ .V = L3‬התוצאה לפיה צפיפות האנרגיה המוקרנת היא‬
‫פרופורציונלית לחזקה הרביעית של הטמפרטורה נקראת חוק‬
‫סטפן־בולצמן‪.‬‬
‫‪ 4.3‬חוק פלאנק‬
‫הצפיפות הספקטרלית ‪ uω‬מוגדרת´להיות האנרגיה ליחידת נפח‬
‫ליחידת תדירות‪ . uω dω = U/V :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ω3‬‬
‫‪exp (~ω/τ ) − 1‬‬
‫~‬
‫‪π 2 c3‬‬
‫= ‪uω‬‬
‫תוצאה זו נקראת חוק הקרינה של פלאנק‪ .‬מהקשר ‪dσ = dU/τ‬‬
‫נמצא את האנטרופיה‪:‬‬
‫‪4π 2 V τ 3‬‬
‫= ) ‪σ (τ‬‬
‫‪45‬‬
‫‪~c‬‬
‫המדידה של טמפרטורות גבוהות תלויה בשטף האנרגיה הקורנת‬
‫מחור קטן בקיר של החלל‪ ,‬אשר נשמר בטמפרטורה קבועה‪.‬‬
‫חור כזה קורן כגוף שחור‪ ,‬כלומר‪ ,‬פליטת הקרינה היא אופיינית‬
‫להתפלגות של שיווי־משקל תרמי‪ .‬צפיפות שטף האנרגיה ‪JU‬‬
‫מוגדרת להיות שיעור האנרגיה שנפלטה ליחידת שטח‪ ,‬והיא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π 2 kB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪60~ c2‬‬
‫כאשר ‪ σB‬נקרא קבוע סטפן־בולצמן )אין קשר לאנטרופיה(‪.‬‬
‫נשים לב כי הצפיפות תלויה בטמפרטורה בלבד‪ ,‬ולא בהרכב‬
‫הפיזיקלי של קירות החלל‪ .‬מכאן‪ ,‬עוצמת הקרינה של גוף שחור‬
‫כדורי היא‪:‬‬
‫≡ ‪σB‬‬
‫‪4‬‬
‫‪J U = σB T 4 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L = 4πR σB T‬‬
‫בגבול ‪ ~ω τ‬נקבל מחוק פלאנק את קירוב וין )‪:(Wien‬‬
‫‬
‫‬
‫‪~ω‬‬
‫‪~ω 3‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪−‬‬
‫= ) ‪I (ω, τ‬‬
‫‪4π 3 c2‬‬
‫‪τ‬‬
‫כאשר ‪ I‬היא כמות האנרגיה ליחידת שטח פנים‪ ,‬זמן‪ ,‬זווית‬
‫מרחבית ותדירות )או אורך גל(‪ ,‬ומתקיים היחס ‪.I = uω c/4π‬‬
‫כדי להעריך את טמפרטורת פני־השטח של גוף חם‪ ,‬כגון כוכב‪,‬‬
‫באמצעות התדירות בה מתקבל מקסימום בספקטרום הקרינה‪,‬‬
‫נגזור את חוק פלאנק ונשווה לאפס‪ .‬נקבל משוואה אותה ניתן‬
‫לפתור נומרית ולקבל‪:‬‬
‫‪~ωmax‬‬
‫‪2.82‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫קרינה תרמית והתפלגות פלאנק‬
‫≈‪τ‬‬
‫‪ 4.4‬שאלה ממבחן‪ :‬מדידת חום‬
‫‪ 4.1‬התפלגות פלאנק‬
‫הקרינה‬
‫ספקטרום‬
‫את‬
‫מתארת‬
‫פלאנק‬
‫התפלגות‬
‫האלקטרומגנטית בשיווי־משקל תרמי בתוך חלל‪ .‬היא מתארת‬
‫בקירוב את ספקטרום הפליטה של השמש או של מתכת מלובנת‪.‬‬
‫קרינה אלקטרומגנטית תרמית נקראת לעתים קרינת גוף שחור‪.‬‬
‫האנרגיה של מצב קוונטי ‪ s ∈ N0‬היא ‪ ,εs = s~ω‬כאשר‬
‫התעלמנו מאנרגיית האפס ‪ . 12 ~ω‬באמצעות פונקציית החלוקה‬
‫נחשב את פונקציית ההתפלגות של פלאנק‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪exp (~ω/τ ) − 1‬‬
‫= ‪hsi‬‬
‫פונקציה זו מתארת את מספר הפוטונים הממוצע באופן תנודה‬
‫עם תדירות ‪.ω‬‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬ב‪ :‬רוצים למדוד חום באוזנו של תינוק בריא‬
‫)‪ (T = 37 ◦ C‬בדיוק של ‪ .1%‬מה צריך להיות כושר ההפרדה‬
‫המקסימלי של הספקטרומטר אם רוצים למדוד את אורך הגל‬
‫בו העצמה מקסימלית?‬
‫פתרון‪ :‬תחום הטמפרטורות הרלוונטי הוא‪:‬‬
‫‪∆τ = (1% × 37) ◦ C · kB ≈ 3.78 × 10−21 J‬‬
‫לפי הקשר‪:‬‬
‫‪~ωmax‬‬
‫‪hc‬‬
‫≈‪τ‬‬
‫=‬
‫‪2.82‬‬
‫‪2.82λmax‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪≈ 1.86 × 10−5 m‬‬
‫‪2.82∆τ‬‬
‫= ‪∆λmax‬‬
‫‪ 4.2‬חוק סטפן־בולצמן‬
‫‪ 4.5‬שאלה ממבחן‪ :‬לוחות אינסופיים‬
‫האנרגיה הממוצעת של כל אופן תנודה היא‪:‬‬
‫‪~ω‬‬
‫= ‪hεi = hsi ~ω‬‬
‫‪exp (~ω/τ ) − 1‬‬
‫הגבול ‪ τ ~ω‬נקרא הגבול הקלאסי‪ ,‬ובו נקבל ‪ .hεi ≈ τ‬בתוך‬
‫החלל קיימים אינסוף אופני תנודה אלקטרומגנטיים‪ ,‬ולכל אופן‬
‫‪ n‬יש תדירות ‪ ωn‬משלו‪ .‬עבור אנרגיה המוגבלת לחלל מוליך‬
‫מושלם בצורת קובייה בעלת צלע ‪ L‬נקבל סט של אופני תנודה‬
‫‬
‫‬
‫מהצורה‪ :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Ex = Ex0 sin (ωt) cos nx π‬‬
‫‪sin ny π‬‬
‫‪sin nz π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Ey = Ey0 sin (ωt) sin nx π‬‬
‫‪cos ny π‬‬
‫‪sin nz π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Ez = Ez0 sin (ωt) sin nx π‬‬
‫‪sin ny π‬‬
‫‪cos nz π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫כאשר ) ‪ E = (Ex , Ey , Ez‬הוא השדה החשמלי ו־= ‪E0‬‬
‫) ‪ (Ex0 , Ey0 , Ez0‬היא האמפליטודה‪ .‬ממשוואות מקסוול מתקיים‬
‫‪ ∇ · E = 0‬ולכן ‪ E0 · n = 0‬כאשר ) ‪ .n ≡ (nx , ny , nz‬אם נציב‬
‫את אופני התנודה במשוואת הגלים‪:‬‬
‫‪1 ∂ 2 Ez‬‬
‫‪∇2 E z = 2‬‬
‫‪c ∂t2‬‬
‫כאשר ‪ c‬היא מהירות האור בריק‪ ,‬נקבל את התדירות = ‪ωn‬‬
‫כאשר |‪ .n ≡ |n‬האנרגיה הכוללת של הפוטונים בחלל‬
‫‪P nπc/L‬‬
‫היא ‪ .U = n hεn i‬נחליף את הסכום באינטגרל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪X‬‬
‫∞ ‪1‬‬
‫‪~ωn‬‬
‫‪4πn2‬‬
‫‪dn‬‬
‫≈ ‪hεn i‬‬
‫‪8‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪(~ω‬‬
‫‪n /τ ) − 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר הפקטור של ‪ 1/8‬מתווסף מכיוון שאנו מתייחסים רק‬
‫לשמינית החיובית של המרחב‪ .‬בנוסף‪ ,‬נכפיל את האינטגרל ב־‬
‫‪ 2‬מכיוון שיש שני קיטובים בלתי־תלויים לשדה האלקטרומגנטי‪.‬‬
‫מכאן נקבל את האנרגיה ליחידת נפח‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪π2‬‬
‫=‬
‫‪τ4‬‬
‫‪V‬‬
‫‪15~3 c3‬‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬נתונים שני לוחות אינסופיים המוחזקים‬
‫בטמפרטורות שונות‪ .Tcold < Thot :‬בין שני הלוחות יש ריק‪.‬‬
‫מכניסים לוח שלישי דק מאוד המבודד מהסביבה‪ .‬פי כמה ירד‬
‫או יעלה קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר כתוצאה‬
‫מהכנסת הלוח הדק ביניהם?‬
‫פתרון‪ :‬האנרגיה ליחידת שטח הנפלטת ע"י כל לוח היא = ‪J‬‬
‫‪ ,σB T 4‬כאשר ‪ σB‬הוא קבוע סטפן־בולצמן‪ .‬לפני הכנסת הלוח‬
‫האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪J1 = σB Thot‬‬
‫‪− Tcold‬‬
‫תהי ‪ T‬טמפרטורת הלוח האמצעי‪ .‬הוא קולט ופולט קרינה בשני‬
‫הכיוונים‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪T 4 + Tcold‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2σB T 4 = σB Thot‬‬
‫‪+ Tcold‬‬
‫‪=⇒ T 4 = hot‬‬
‫‪2‬‬
‫לפיכך אחרי הכנסת הלוח האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח‬
‫החם ללוח הקר יהיה‪:‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪Thot − Tcold‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪J2 = σB Thot‬‬
‫‪− T 4 = σB‬‬
‫‪= J1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח החם יקטן פי ‪.2‬‬
‫‪ 4.6‬חוק קירכהוף‬
‫גוף נקרא גוף שחור בתחום תדירויות מסוים אם הוא סופג את‬
‫כל הקרינה האלקטרומגנטית בתחום זה שפוגעת בו‪ .‬חור בחלל‬
‫הוא שחור אם הוא קטן מספיק כך שקרינה שנכנסת לתוכו‬
‫תיספג בקירות החלל ורק חלק זניח ממנה יצא בחזרה‪ .‬צפיפות‬
‫שטף האנרגיה ‪ JU‬הנפלטת ממשטח שחור בטמפרטורה ‪ τ‬שווה‬
‫צפיפות שטף האנרגיה הנפלטת מחור קטן בחלל שנמצא באותה‬
‫טמפרטורה‪ .‬לפי חוק קירכהוף‪ ,‬אם גוף לא־שחור בטמפרטורה‬
‫‪ τ‬סופג חלק יחסי ‪ a‬מהקרינה שפוגעת בו‪ ,‬שטף הקרינה הנפלט‬
‫מהגוף יהיה ‪ a‬כפול שטף הקרינה הנפלט מגוף שחור באותה‬
‫טמפרטורה‪.‬‬
‫‪ 4.7‬לחץ קרינה‬
‫עבור גז פוטונים‪ ,‬לחץ הקרינה הוא‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪3V‬‬
‫‪p=−‬‬
‫‪ 4.8‬רעש במעגלים אלקטרוניים‬
‫משפט נייקוויסט גורס כי המתח הריבועי הממוצע על נגד בעל‬
‫התנגדות ‪ R‬בשיווי־משקל תרמי בטמפרטורה ‪ τ‬הוא‪:‬‬
‫‪
2‬‬
‫‪V = 4Rτ ∆f‬‬
‫כאשר ‪ ∆f‬הוא רוחב פס התדירות )‪ (f = ω/2π‬בו נמדדות‬
‫התנודות במתח‪ ,‬ומתעלמים מרכיבי התדירות מחוץ לתחום‬
‫הנתון‪.‬‬
‫‪ 4.9‬שאלה מתרגיל בית‪ :‬רעש ג'ונסון‬
‫א‪ .‬מצאו ביטוי אינטגרלי לאנרגיה של "גוף שחור" חד־מימדי‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור מעגל אלקטרוני עם תדר קטעון ‪ ωmax‬נמוך‬
‫) ‪ ,(~ωmax τ‬מצאו את האנרגיה כתלות ברוחב פס‬
‫התדירות ‪ ,∆f‬כאשר ‪.ω = 2πf‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את ההספק של הרעש בהנחה שהאנרגיה כולה‬
‫נפלטת במשך זמן ‪ ,∆t = L/c‬והשוו אותו להספק חשמל‬
‫המתח‬
‫של מעגל שקול עם נגד בודד ‪ R‬בכדי לקבל שריבוע ‬
‫הממוצע של הרעש לאורך הנגד הינו ‪. V 2 = 4Rτ ∆f‬‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬האנרגיה של מצב קוונטי ‪ n‬היא ‪,εn = n~ω‬‬
‫כאשר התעלמנו מאנרגיית האפס‪ .‬פונקציית החלוקה היא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪Z (τ‬‬
‫= ‪e−n~ω/τ‬‬
‫‪−~ω/τ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫‪n=0‬‬
‫לכן מספר הפוטונים הממוצע באופן תנודה בעל תדירות ‪ ω‬הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪1 X −n~ω/τ‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪hni‬‬
‫‪ne‬‬
‫‪= ~ω/τ‬‬
‫‪Z n=0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−1‬‬
‫כל אופן תנודה הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪En = E0 sin (ωt) cos nπ‬‬
‫‪L‬‬
‫נציב אותו במשוואת הגלים‪:‬‬
‫‪1 ∂2E‬‬
‫‪∂2E‬‬
‫‪= 2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪c ∂t‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪nπc‬‬
‫= ‪ωn‬‬
‫‪L‬‬
‫האנרגיה הממוצעת של כל אופן תנודה היא‪:‬‬
‫‪~ωn‬‬
‫= ‪hεn i = hni ~ω‬‬
‫‪exp (~ωn /τ ) − 1‬‬
‫לכן האנרגיה הכוללת היא )יש שני קיטובים(‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪hεn i‬‬
‫‪U =2‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪~ωn‬‬
‫‪exp (~ωn /τ ) − 1‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪~ωn‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪≈2‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪(~ω‬‬
‫‪n /τ ) − 1‬‬
‫‪0‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪~πc‬‬
‫‪L n‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪~πc‬‬
‫‪exp Lτ n − 1‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪2Lτ 2 ∞ x‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪~πc 0 ex −1‬‬
‫‪=2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪~πc‬‬
‫≡‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Lτ‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬הגבול העליון של האינטגרל יהיה ≡ ‪xmax‬‬
‫‪ . ~πc‬מתקיים‪:‬‬
‫‪Lτ nmax‬‬
‫‪nπc‬‬
‫‪Lωmax‬‬
‫‪~ωmax‬‬
‫= ‪ωn‬‬
‫= ‪=⇒ nmax‬‬
‫= ‪=⇒ xmax‬‬
‫‪L‬‬
‫‪πc‬‬
‫‪τ‬‬
‫לכן עבור ‪ ~ωmax τ‬נקבל ‪ .x 1‬לפיכך נוכל לקרב‬
‫‪ ex ≈ 1 + x‬ולקבל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪x‬‬
‫‪max‬‬
‫‪2Lτ 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2Lτ 2‬‬
‫≈‪U‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪xmax‬‬
‫‪x‬‬
‫‪~πc 0‬‬
‫‪e −1‬‬
‫‪~πc‬‬
‫‪2τ L∆ω‬‬
‫‪4τ L∆f‬‬
‫= ‪= 2τ nmax‬‬
‫=‬
‫‪πc‬‬
‫‪c‬‬
‫פתרון סעיף ג'‪ :‬ההספק הוא‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪4τ L∆f L‬‬
‫= ‪P‬‬
‫=‬
‫‪/ = 4τ ∆f‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫ההספק של מעגל שקול עם נגד בודד הוא‪:‬‬
‫‪
2‬‬
‫‪V‬‬
‫= ‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪
2‬‬
‫‪
2‬‬
‫‪V‬‬
‫⇒= ‪= 4τ ∆f‬‬
‫‪V = 4Rτ ∆f‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ 4.10‬פונונים במוצקים‪ :‬תורת דביי‬
‫האנרגיה של גל אלסטי במוצק היא מקוונטטת‪ ,‬בדיוק כמו‬
‫האנרגיה של גל אלקטרומגנטי בחלל‪ .‬הקוונטום של גל אלסטי‬
‫נקרא פונון‪ .‬המספר הממוצע התרמי של פונונים בגל אלסטי בעל‬
‫תדירות ‪ ω‬ניתן באמצעות התפלגות פלאנק‪ ,‬בדיוק כמו במקרה‬
‫של פוטונים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪hs (ω)i‬‬
‫‪exp (~ω/τ ) − 1‬‬
‫בניגוד למקרה של גלים אלקטרומגנטיים‪ ,‬מספר אופני התנודה‬
‫האלסטיים במוצק סופי הוא חסום‪ .‬אם המוצק מורכב מ־ ‪N‬‬
‫אטומים‪ ,‬כל אחד בעל ‪ 3‬דרגות חופש‪ ,‬אז מספר אופני התנודה‬
‫הכולל הוא ‪ .3N‬לגל אלסטי יש שני קיטובים רוחביים ואחד‬
‫אורכי‪ ,‬בניגוד לשני קיטובים בגל אלקטרומגנטי‪ .‬הסכום של גודל‬
‫כלשהו על־פני כל אופני התנודה הוא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪X‬‬
‫‪3 nmax‬‬
‫‪4πn2 (· · · ) dn‬‬
‫= ) · · ·(‬
‫‪8 0‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר ‪ ,n ≡ nx + ny + nz‬הפקטור של ‪ 3‬נובע מ־‪ 3‬הקיטובים‬
‫והפקטור של ‪ 1/8‬נובע מכך שאנו מתייחסים רק לשמינית‬
‫החיובית של המרחב )ראו סעיף ‪ .(4.2‬למציאת ‪ nmax‬נדרוש‬
‫כי מספר אופני התנודה יהיה ‪:3N‬‬
‫‬
‫‪1/3‬‬
‫‪ˆ nmax‬‬
‫‪6N‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪4πn dn = 3N =⇒ nmax‬‬
‫‪8 0‬‬
‫‪π‬‬
‫האנרגיה של כל אופן תנודה היא ‪ ,hεn i = hsn i ~ωn‬לכן‬
‫האנרגיה הממוצעת הכוללת היא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪hεn i‬‬
‫‪nD‬‬
‫ˆ‬
‫‪n‬‬
‫‪3π‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪~ωn‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪exp (~ωn /τ ) − 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪4 ˆ xD‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪3π 2 ~v τ L‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪π~v‬‬
‫‪ex −1‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ‪ v‬היא מהירות הקול‪ L3 ,x ≡ π~vn/Lτ ,‬הוא הנפח ‪V‬‬
‫והגבול העליון באינטגרל הוא ‪ xD ≡ θ/T‬כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪1/3‬‬
‫‪~v 6π 2 N‬‬
‫≡‪θ‬‬
‫‪kB‬‬
‫‪V‬‬
‫היא טמפרטורת דביי‪ .‬כאשר ‪ T θ‬נקבל ∞ → ‪ xD‬ולכן ניתן‬
‫לפתור את האינטגרל ולקבל‪:‬‬
‫‪3π 4 N kB T 4‬‬
‫‪3π 4 N τ 4‬‬
‫≈‪U‬‬
‫= ‪3‬‬
‫‪5θ3‬‬
‫)‪5 (kB θ‬‬
‫במקרה זה קיבול החום יהיה‪:‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪12π 4 N kB T‬‬
‫= ‪CV‬‬
‫‪5‬‬
‫‪θ‬‬
‫תוצאה זו ידועה בשם חוק ה־ ‪ T 3‬של דביי‪ .‬כאשר ‪ T θ‬נקבל‬
‫‪ U ≈ 3N kB T‬ולכן ‪) CV = 3N kB‬חוק דולון־פטי(‪.‬‬
‫נניח כי מערכת בנפח קבוע נמצאת במגע תרמי עם אמבט חום‪.‬‬
‫התנודה )פלקטואציה( הריבועית הממוצעת באנרגיה היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫‪E D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(∆ε) ≡ (ε − hεi) = τ‬‬
‫‪∂τ V‬‬
‫כאשר ‪ .U ≡ hεi‬אם המערכת היא מוצק בעל ‪ N‬אטומים‪ ,‬והיא‬
‫בשיווי־משקל בטמפרטורה אשר בה חוק ה־ ‪ T 3‬של דביי תקף‪,‬‬
‫אז התנודה היחסית באנרגיה מקיימת‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫)‪(ε − hεi‬‬
‫‪0.07 θ‬‬
‫‪2‬‬
‫≈‬
‫= ‪F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪T‬‬
‫‪hεi‬‬
‫‪n2‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫פוטנציאל כימי והתפלגות גיבס‬
‫‪ 5.1‬מגע דיפוזיוני ופוטנציאל כימי‬
‫שתי מערכות הן במגע תרמי אם הן יכולות להעביר ביניהן‬
‫אנרגיה )חום(‪ ,‬והן במגע דיפוזיוני אם הן יכולות להעביר ביניהן‬
‫חלקיקים‪ .‬כאשר שתי מערכות הן בשיווי־משקל דיפוזיוני‪ ,‬חלוקת‬
‫החלקיקים ‪ N1 , N2‬בין שתי המערכות היא זו אשר הופכת את‬
‫האנרגיה החופשית הכוללת של הלמהולץ = ‪F = F1 + F2‬‬
‫) ‪ U1 + U2 − τ (σ1 + σ2‬למינימום‪ ,‬כאשר ‪.N1 + N2 = const‬‬
‫במצב שיווי־משקל מתקיים‪:‬‬
‫‪∂F1‬‬
‫‪∂F2‬‬
‫=‬
‫‪∂N1‬‬
‫‪∂N2‬‬
‫נגדיר את הפוטנציאל הכימי כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂F‬‬
‫≡ ) ‪µ (τ, V, N‬‬
‫‪∂N τ,V‬‬
‫אז התנאי לשיווי־משקל דיפוזיוני הוא ‪ ,µ1 = µ2‬כפי שהתנאי‬
‫לשיווי־משקל תרמי הוא ‪ .τ1 = τ2‬הפוטנציאל הכימי שולט על‬
‫זרימת החלקיקים בין המערכות‪ ,‬כפי שהטמפרטורה שולטת על‬
‫זרימת האנרגיה‪ .‬אם ‪ ,µ1 > µ2‬חלקיקים יזרמו מ־ ‪ S1‬ל־ ‪.S2‬‬
‫נשים לב כי אם יש סוגים כימיים שונים של חלקיקים‪ ,‬לכל אחד‬
‫מהם יהיה פוטנציאל כימי משלו‪.‬‬
‫‪ 5.2‬הפוטנציאל הכימי של גז אידאלי‬
‫האנרגיה החופשית של גז אידאלי חד־אטומי היא‪:‬‬
‫)! ‪F = −τ (N log Z1 − log N‬‬
‫כאשר ‪ Z1‬מוגדרת בסעיף ‪ .3.13‬נשתמש בקירוב סטירלינג ונקבל‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪µ = τ log‬‬
‫‪= τ log‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪τ nQ‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Mτ‬‬
‫‪n≡ ,‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫והשתמשנו במשוואת הגז האידאלי‪ .‬ניתן להגיע לאותה תוצאה‬
‫גם באמצעות ההגדרה החלופית )‪.µ ≡ F (N ) − F (N − 1‬‬
‫‪ 5.3‬פוטנציאל כימי כולל‬
‫בנוכחות שדה חיצוני שגורם לאנרגיה פוטנציאלית )‪ ,V (r‬יש‬
‫להוסיף לאנרגיה החופשית איבר נוסף‪.Fi 7→ Fi + Ni V (ri ) :‬‬
‫במגע דיפוזיוני נקבל‪:‬‬
‫‪δF = (µ1 − µ2 ) δN1 + (V (r1 ) − V (r2 )) δN1‬‬
‫‪= (∆µ + ∆V ) δN1‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ ∆µ + ∆V = 0‬אז המערכת בשיווי־משקל דיפוזיוני‪.‬‬
‫הסכום )‪ µ + V (r‬נקרא הפוטנציאל הכימי הכולל‪.‬‬
‫עבור חלקיקי הנושאים מטען חשמלי ‪ e‬ונמצאים בשדה פוטנציאל‬
‫חשמלי )‪ φ (r‬כך ש־)‪ V (r) = eφ (r‬נהוג לקרוא לסכום‬
‫)‪ µ + eφ (r‬בשם הפוטנציאל האלקטרוכימי‪.‬‬
‫‪ 5.4‬שאלה ממבחן‪ :‬פוטנציאל כימי של עץ‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬עץ באובב מעביר מים באופן חופשי‬
‫אל צמרתו‪ .‬שורשיו בתוך מים והוא מאבד מים דרך העלים‪.‬‬
‫הלחות של האוויר היא ‪) 90%‬כלומר‪ ,‬הוא כולל ‪ 90%‬אדי מים(‬
‫והטמפרטורה היא ‪) 27 ◦ C‬האטמוספירה איזותרמית(‪ .‬מצאו‬
‫חסם עליון על גובה העץ‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬הפוטנציאל הכימי של המים בקרבת השורשים הוא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ1 = τ log‬‬
‫‪nQ‬‬
‫כאשר ‪ τ‬היא הטמפרטורה‪ n ,‬הוא הריכוז ו־ ‪ nQ‬הוא הריכוז‬
‫הקוונטי‪ .‬הפוטנציאל הכימי של אדי המים באוויר בקרבת העלים‬
‫הגבוהים ביותר הוא‪:‬‬
‫‪rn‬‬
‫‪µ2 = τ log‬‬
‫‪nQ‬‬
‫כאשר ‪ r = 0.9‬היא הלחות של האוויר‪ .‬לפיכך ההפרש‬
‫בפוטנציאל הכימי הוא‪:‬‬
‫‪rn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∆µ = µ2 − µ1 = τ log‬‬
‫‪− τ log‬‬
‫‪= τ log r < 0‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪nQ‬‬
‫כי ‪ .r < 1‬מצד שני‪ ,‬ההפרש באנרגיה הפוטנציאלית שנוצר‬
‫כתוצאה מעליית מולקולות המים לגובה ‪ h‬הוא ‪ ,mgh‬כאשר ‪m‬‬
‫היא המסה של מולקולת מים ו־ ‪ g ≈ 9.8 m s−2‬היא תאוצת‬
‫הכבידה‪ .‬נשווה בין הפרשי הפוטנציאל ונקבל‪:‬‬
‫‪τ log r‬‬
‫‪τ log r = −mgh =⇒ h = −‬‬
‫‪mg‬‬
‫המסה של מולקולת מים היא ‪ .m ≈ 3 × 10−26 kg‬נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪h ≈ 1485 m‬‬
‫‪ 5.5‬גז אידאלי של חלקיקים בעלי ספין בשדה מגנטי‬
‫נתבונן במערכת של ‪ N‬חלקיקים זהים עם מומנט מגנטי ‪ .m‬נניח‬
‫כי כיוון כל מומנט הוא במקביל לשדה מגנטי ‪) B‬עם הכיוון ↑ או‬
‫נגד הכיוון ↓(‪ .‬האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק ↑ היא ‪−mB‬‬
‫ושל ↓ היא ‪ .+mB‬נתייחס לחלקיקים כאל שני סוגים מובחנים‬
‫שונים לפי כיוון המומנט‪ .‬הפוטנציאל הכימי הכולל ↓‪ µ↑ , µ‬של‬
‫כל סוג הוא‪:‬‬
‫↓‪n↑/‬‬
‫‪µ↑/↓ = τ log‬‬
‫‪∓ mB‬‬
‫‪nQ‬‬
‫אם השדה המגנטי ‪ B‬משתנה בגודלו על־פני נפח המערכת‪,‬‬
‫הריכוז ↑‪ n‬חייב להשתנות כדי לשמור על פוטנציאל כימי קבוע‬
‫בכל מקום‪ .‬שני הסוגים הם בשיווי־משקל ולכן = ↓‪µ↑ = µ‬‬
‫‪ .const‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪mB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n↑/↓ (B) = n (0) exp ±‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫כאשר )‪ n (0‬הוא הריכוז הכולל ↓‪ n↑ + n‬בנקודה בה ‪.B = 0‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪mB‬‬
‫‪n (B) = n (0) cosh‬‬
‫‪τ‬‬
‫אנו רואים כי החלקיקים נוטים להתרכז באזורים שבהם ‪ B‬גדול‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪ 5.6‬סיכום היחסים בין ‪ τ, p, µ‬ו־ ‪σ, U, F‬‬
‫להלן סיכום היחסים בין הטמפרטורה ‪ ,τ‬הלחץ ‪ p‬והפוטנציאל‬
‫הכימי ‪ µ‬במונחי הנגזרות של האנטרופיה ‪ ,σ‬האנרגיה ‪U‬‬
‫והאנרגיה החופשית ‪:F‬‬
‫) ‪F (τ, V, N‬‬
‫‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂V τ,N‬‬
‫‬
‫‪∂F‬‬
‫‪∂N τ,V‬‬
‫) ‪U (σ, V, N‬‬
‫‬
‫‪∂U‬‬
‫= ‪−p‬‬
‫=‪µ‬‬
‫‪∂σ V,N‬‬
‫‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂V σ,N‬‬
‫‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂N σ,V‬‬
‫= ‪τ‬‬
‫= ‪−p‬‬
‫=‪µ‬‬
‫) ‪σ (U, V, N‬‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂U V,N‬‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂V U,N‬‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂N U,V‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪τ‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪τ‬‬
‫= ‪− µτ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪µ‬‬
‫בנוסף‪ ,‬כאשר מספר החלקיקים משתנה‪ ,‬ניתן לכתוב את הזהות‬
‫התרמודינמית )מסעיף ‪ (3.10‬כך‪:‬‬
‫‪dU = τ dσ − p dV + µ dN‬‬
‫‪ 5.7‬פקטור גיבס ופונקציית החלוקה הגרנד־קנונית‬
‫בסעיף ‪ 3.1‬הגדרנו את פקטור בולצמן ) ‪ exp (−ε/τ‬עבור מערכת‬
‫במגע תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה ‪ .τ‬פקטור גיבס‬
‫) ‪ exp ((N µ − ε) /τ‬הוא הכללה למערכת שנמצאת בנוסף גם‬
‫במגע דיפוזיוני עם אמבט החום‪ ,‬שהוא בעל פוטנציאל כימי ‪.µ‬‬
‫פונקציות החלוקה הגרנד־קנונית ‪) Z‬לעתים מסמנים ‪ (ZG‬היא‬
‫הסכום של פקטורי גיבס על־פני כל המצבים ומספרי החלקיקים‬
‫האפשריים‪:‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫) ‪s(N‬‬
‫‪N‬‬
‫≡ ) ‪Z (µ, τ‬‬
‫‪λ exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N,s‬‬
‫כאשר ) ‪ λ ≡ exp (µ/τ‬היא האקטיביות המוחלטת‪) .‬עבור גז‬
‫אידאלי‪ λ ,‬פרופורציונלית לריכוז‪ (.‬לפיכך ההסתברות שהמערכת‬
‫תימצא במצב בעל ‪ N0‬חלקיקים ואנרגיה ‪ ε0‬היא‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P (N0 , ε0 ) = λN0 exp −‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪τ‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫) ‪P (N1 , ε1‬‬
‫) ‪λN1 exp (−ε1 /τ‬‬
‫‪= N2‬‬
‫) ‪P (N2 , ε2‬‬
‫) ‪λ exp (−ε2 /τ‬‬
‫מספר החלקיקים )האכלוס( הממוצע הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪ ε‬‬
‫‪1X‬‬
‫) ‪s(N‬‬
‫= ‪hN i‬‬
‫‪N λN exp −‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N,s‬‬
‫‪τ ∂Z‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫=‬
‫‪=τ‬‬
‫‪(log Z) = λ‬‬
‫)‪(log Z‬‬
‫‪Z ∂µ‬‬
‫‪∂µ‬‬
‫‪∂λ‬‬
‫והאנרגיה הממוצעת היא‪:‬‬
‫‬
‫‪ ε‬‬
‫‪1X‬‬
‫) ‪s(N‬‬
‫= ‪U ≡ hεi‬‬
‫‪εs(N ) λN exp −‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N,s‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪= τµ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪log Z‬‬
‫) ‪∂µ ∂ (1/τ‬‬
‫‪ 5.8‬הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני‬
‫בדומה להגדרת האנרגיה החופשית של הלמהולץ )סעיף ‪,(3.11‬‬
‫נגדיר את הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני ‪ Φ‬עבור מערכת‬
‫‪ S‬במגע עם אמבט ‪ R‬בעל טמפרטורה ‪ τ‬ופוטנציאל כימי ‪:µ‬‬
‫‪Φ ≡ U − τ σ − µN = F − µN‬‬
‫ניתן להראות כי בקירוב‪ ,‬מתקיים הקשר‪:‬‬
‫‪Φ (τ, µ, V ) = −τ log Z‬‬
‫הקשר בין הדיפרנציאלים הוא‪:‬‬
‫‪dΦ = −p dV − σ dτ − N dµ‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪dΦ‬‬
‫‪dΦ‬‬
‫‪N =−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪σ=−‬‬
‫‪dµ V,τ‬‬
‫‪dτ µ,V‬‬
‫הגודל ‪ Φ/τ‬מקבל ערך מינימלי כאשר המערכת המשולבת ‪S +R‬‬
‫נמצאת בקונפיגורציה הסבירה ביותר שלה‪ .‬למציאת המינימום‪,‬‬
‫ראשית שומרים על ‪ N‬קבוע ומוצאים את המינימום של ‪- F/τ‬‬
‫שוויון טמפרטורות בין המערכת והאמבט‪ .‬לאחר מכן שומרים‬
‫על ‪ τ‬קבוע ומוצאים את המינימום לפי ‪ - N‬שוויון הפוטנציאלים‬
‫הכימיים‪ .‬מכאן‪ ,‬בשיווי־משקל ‪ Φ‬היא פונקציה של ‪ µ, τ, V‬בלבד‪.‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫גז אידאלי‬
‫‪ 6.1‬התפלגות פרמי־דיראק‬
‫והאכלוס הממוצע הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫= ‪f (ε) ≡ hN (ε)i‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪exp τ − 1‬‬
‫זוהי התפלגות בוז־איינשטיין‪ .‬ההבדל היחיד בינה לבין התפלגות‬
‫פרמי־דיראק הוא סימן המינוס במכנה‪ .‬בגבול של גז אידאלי‬
‫‪ ,ε − µ τ‬ושתי ההתפלגויות שוות בקירוב‪.‬‬
‫גז נמצא בתחום הקלאסי כאשר המספר הממוצע של אטומים‬
‫בכל מצב קטן בהרבה מ־‪ .1‬למשל‪ ,‬האכלוס הממוצע עבור גז‬
‫בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי הוא מסדר גודל של ‪.10−6‬‬
‫ההבדלים בין פרמיונים ובוזונים מופיעים רק בתחום הקוונטי‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור אכלוסים מסדר גודל של ‪ 1‬או יותר‪.‬‬
‫‪ 6.3‬ההתפלגות הקלאסית והפוטנציאל הכימי שלה‬
‫גז אידאלי הוא מערכת של אטומים חופשיים ללא אינטראקציות‬
‫בגבול הקלאסי‪ .‬בגבול זה‪ ,‬בו כזכור ‪ ,ε − µ τ‬האכלוס‬
‫הממוצע )עבור פרמיונים ובוזונים( הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ε‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪f (ε) ≈ exp −‬‬
‫‪= λ exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫כאשר כרגיל ) ‪ .λ ≡ exp (µ/τ‬זוהי ההתפלגות הקלאסית‪.‬‬
‫למציאת הפוטנציאל הכימי‪ ,‬נדרוש כי הממוצע התרמי של‬
‫מספר האטומים הכולל במערכת יהיה שווה לסכום של פונקציית‬
‫ההתפלגות על כל המצבים ‪:s‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪N‬‬
‫) ‪f (εs‬‬
‫זוהי התפלגות פרמי־דיראק‪ .‬היא מתארת את המספר הממוצע‬
‫של פרמיונים במצב יחיד בעל אנרגיה ‪ ,ε‬ונמצאת תמיד בין ‪0‬‬
‫ל־‪.1‬‬
‫בתחום המצב המוצק‪ ,‬הפוטנציאל הכימי ‪ µ‬נקרא לעתים רמת‬
‫פרמי‪ ,‬והוא תלוי בטמפרטורה‪ .‬מגדירים את אנרגיית פרמי כך‪:‬‬
‫)‪εF ≡ µ (τ = 0‬‬
‫נתבונן במערכת בעלת מצבים בלתי־תלויים רבים‪ .‬בטמפרטורה‬
‫‪ ,τ = 0‬כל המצבים בעלי אנרגיה קטנה מ־ ‪ εF‬יהיו מאוכלסים‬
‫בפרמיון אחד‪ ,‬והאחרים יהיו ריקים‪ .‬אם קיים מצב בעל אנרגיה‬
‫‪ ,ε = µ‬הוא יהיה בעל אכלוס ‪.f = 1/2‬‬
‫‪ 6.2‬התפלגות בוז־איינשטיין‬
‫נתבונן במערכת של בוזונים מאותו סוג ללא אינטראקציה במגע‬
‫תרמי ודיפוזיוני עם אמבט‪ .‬כאשר מצב כלשהו מאוכלס ב־ ‪N‬‬
‫חלקיקים‪ ,‬האנרגיה שלו היא ‪ .N ε‬נתבונן במצב אחד ונתייחס‬
‫לשאר המצבים כאל חלק מהאמבט‪ .‬סכום גיבס הוא‪:‬‬
‫ ∞‬
‫‪ ε N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪Z‬‬
‫‪λ exp −‬‬
‫=‬
‫‪τ‬‬
‫) ‪1 − λ exp (−ε/τ‬‬
‫‪N =0‬‬
‫נזכיר כי‪:‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‬
‫‪Mτ‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫מתוך הפוטנציאל הכימי ניתן למצוא את האנרגיה החופשית‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪F = N τ log‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪nQ‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫מכאן‪ ,‬את הלחץ ואת משוואת הגז האידאלי‪:‬‬
‫‪Nτ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪V‬‬
‫‪pV = N τ‬‬
‫=‪p‬‬
‫את האנרגיה התרמית‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪U = Nτ‬‬
‫‪2‬‬
‫ואת האנטרופיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪nQ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫בהתאמה לתוצאה מסעיף ‪) 3.13‬משוואת ‪.(Sackur-Tetrode‬‬
‫נשים לב כי בתחום הקלאסי ‪ .log (nQ /n) > 0‬מהאנטרופיה‬
‫נמצא את קיבול החום בנפח קבוע‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫להסבר על הפקטור של ‪ ,3/2‬ראו סעיף ‪.6.10‬‬
‫= ‪CV‬‬
‫‪s‬‬
‫עבור גז חד־אטומי של ‪ N‬אטומים זהים עם ספין אפס נקבל‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪X‬‬
‫‪s‬‬
‫‪= λZ1 = λnQ V‬‬
‫‪N =λ‬‬
‫‪exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪s‬‬
‫כאשר ‪ Z1‬היא פונקציית החלוקה עבור אטום חופשי בודד )ראו‬
‫סעיפים ‪ 3.2‬ו־‪ .(3.12‬לפיכך‪:‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪λ = exp‬‬
‫=‬
‫‪τ‬‬
‫‪nQ‬‬
‫כאשר ‪ n ≡ N/V‬היא צפיפות החלקיקים )בתחום הקלאסי‬
‫‪ .(n/nQ 1‬נחלץ את ‪ µ‬ונמצא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ = τ log‬‬
‫‪nQ‬‬
‫לתוצאה זו הגענו בסעיף ‪ 7.6‬בדרך שונה‪.‬‬
‫התוצאה במפורש כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪µ = τ log N − log V − log τ + log‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 6.6‬קיבול החום בלחץ קבוע‬
‫קיבול החום בלחץ קבוע הוא גדול יותר מהקיבול בנפח קבוע‪,‬‬
‫כי יש להוסיף עוד חום כדי לבצע את העבודה הנדרשת להגדלת‬
‫נפח הגז כנגד בלחץ הקבוע ‪ .p‬מהזהות התרמודינמית = ‪τ dσ‬‬
‫‪ dU + p dV‬נקבל‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪Cp = τ‬‬
‫=‬
‫‪+p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫נשים לב כי האנרגיה ‪ U‬של גז אידאלי תלויה רק בטמפרטורה‪,‬‬
‫ולכן ‪ .(∂U/∂τ )p = (∂U/∂τ )V = CV‬כמו כן‪ ,‬ממשוואת הגז‬
‫האידאלי‪ ,‬האיבר הימני הוא פשוט ‪ .N‬לפיכך‪:‬‬
‫ניתן לרשום את‬
‫אם סקאלת הטמפרטורה נקבעת כך שהאפס של האנרגיה‬
‫הקינטית של מצב נמצא ב־∆ = ‪ ε0‬במקום ב־‪ ,ε0 = 0‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ = ∆ + τ log‬‬
‫‪nQ‬‬
‫אם לאטומים יש ספין ‪ ,S‬אז מספר המצבים מוכפל בריבוי‬
‫‪ .2S + 1‬למשל‪ ,‬עבור ספין ‪ 1/2‬נמצא כי ‪ nQ‬יוחלף ב־ ‪2nQ‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ = τ log‬‬
‫‪− τ log 2‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪ 6.4‬שאלה ממבחן‪ :‬חסם עליון על צפיפות‬
‫חלקיקים בעלי ספין חצי־שלם נקראים פרמיונים‪ ,‬וחלקיקים בעלי‬
‫ספין שלם נקראים בוזונים‪ .‬כל מצב קוונטי יכול להיות ריק‪,‬‬
‫מאוכלס בפרמיון אחד מאותו סוג )עקרון האיסור של פאולי( או‬
‫מאוכלס בכל מספר שלם של בוזונים מאותו סוג‪.‬‬
‫נתבונן במערכת בעלת מצב יחיד שעשוי להיות ריק )אנרגיה אפס(‬
‫או מאוכלס בפרמיון )אנרגיה ‪ .(ε‬המערכת נמצאת במגע תרמי‬
‫ודיפוזיוני עם אמבט‪ .‬סכום גיבס הוא )כזכור ) ‪:(λ ≡ exp (µ/τ‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪Z = 1 + λ exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫והאכלוס הממוצע הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫= ‪f (ε) ≡ hN (ε)i‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪exp τ + 1‬‬
‫‪ 6.5‬תכונות נוספות של גז אידאלי‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬ב‪ :‬מצאו חסם על צפיפות האלקטרונים בחצי־‬
‫מוליך )מודל של גז אלקטרונים חופשיים( כך שגם התפלגות‬
‫בוז־איינשטיין וגם פרמי־דיראק יוכלו לתאר אותו היטב בדיוק‬
‫של ‪ .1%‬הניחו מסת אלקטרון חופשי ‪,m ≈ 9.1 × 10−31 kg‬‬
‫פוטנציאל כימי של גז אידאלי וטמפרטורת החדר ‪.T = 300 K‬‬
‫פתרון‪ :‬התפלגות בוז־איינשטיין היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪fBE (ε) = −1‬‬
‫‪λ exp τε − 1‬‬
‫והתפלגות פרמי־דיראק היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪fF D (ε) = −1‬‬
‫‪λ exp τε + 1‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪λ ≡ exp‬‬
‫=‬
‫‪τ‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪ mτ 3/2‬‬
‫‪≈ 1.25 × 1025 m−3‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫נשים לב כי ‪ .fF D < fBE‬נדרוש שהמנה של שתי ההתפלגויות‬
‫תהיה גדולה מ־‪:99%‬‬
‫‬
‫‪λ−1 exp τε − 1‬‬
‫)‪fF D (ε‬‬
‫‬
‫‪= −1‬‬
‫‪> 0.99‬‬
‫)‪fBE (ε‬‬
‫‪λ exp τε + 1‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪ ε 1.99‬‬
‫‪λ−1 exp‬‬
‫>‬
‫‪= 199‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪0.01‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‬
‫<‪n‬‬
‫‪199 exp − τε‬‬
‫כעת‪ ,‬כאשר ‪ ε → 0‬נקבל‪:‬‬
‫‪nQ‬‬
‫<‪n‬‬
‫‪≈ 6.31 × 1022 m−3‬‬
‫‪199‬‬
‫= ‪nQ‬‬
‫‪Cp = CV + N‬‬
‫או‪ ,‬ביחידות קונבנציונליות‪ .Cp = CV + N kB ,‬עבור מול אחד‪,‬‬
‫מסמנים ב־ ‪ R ≡ N kB‬את קבוע הגזים )כאשר ‪ N‬הוא מספר‬
‫אבוגדרו( ואז משוואת הגז האידאלי הופכת להיות ‪pV = nRT‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר המולים בגז‪ .‬נשים לב כי עבור גז אידאלי‬
‫‪ .Cp = 5N/2‬בנוסף מסמנים לעתים ‪.γ ≡ Cp /CV‬‬
‫‪ 6.7‬גז אידאלי עם דרגות חופש פנימיות‬
‫נתבונן בגז אידאלי של מולקולות רב־אטומיות זהות‪ .‬לכל‬
‫מולקולה יש דרגות חופש סיבוביות ותנודתיות‪ .‬האנרגיה הכוללת‬
‫היא ‪ ,ε = εn + εint‬כאשר ‪ εint‬הן דרגות החופש הסיבוביות‬
‫והתנודתיות ו־ ‪ εn‬היא אנרגיית התנועה במרחב של מרכז המסה‪.‬‬
‫בתחום הקלאסי‪ ,‬סכום גיבס עבור המצב ‪ n‬ודרגות החופש‬
‫הפנימיות שלוהוא‪:‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪εn + εint‬‬
‫‪Z=1+λ‬‬
‫‪exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪int‬‬
‫פונקציית החלוקה של המצבים הפנימיים היא‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪X‬‬
‫‪int‬‬
‫= ‪Zint‬‬
‫‪exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪int‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Z = 1 + λZint exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫ההסתברות שהמצב ‪ n‬מאוכלס‪ ,‬ללא קשר לתנועה הפנימית‪ ,‬היא‬
‫)בתחום הקלאסי ‪:(f (εn ) 1‬‬
‫ ‪ ε‬‬
‫) ‪λZint exp (−εn /τ‬‬
‫‪n‬‬
‫= ) ‪f (εn‬‬
‫‪≈ λZint exp −‬‬
‫) ‪1 + λZint exp (−εn /τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫זוהי אותה התפלגות מסעיף ‪ ,6.3‬אך עם ‪ λZint‬במקום ‪ .λ‬לפיכך‬
‫עבור גז רב־אטומי מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪λ‬‬
‫‪nQ Zint‬‬
‫הפוטנציאל הכימי יהיה‪:‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪log‬‬
‫‪− log Zint‬‬
‫‪nQ‬‬
‫האנרגיה החופשית תגדל בשיעור‪:‬‬
‫‪= −N τ log Zint‬‬
‫והאנטרופיה תגדל בשיעור‪:‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪∂Fint‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‬
‫‪µ=τ‬‬
‫‪Fint‬‬
‫‬
‫‪σint = −‬‬
‫במקרה של אטום בעל ספין ‪ ,I‬לדוגמה‪ ,‬פונקציית החלוקה‬
‫הפנימית תהיה ‪.Zint = 2I + 1‬‬
‫הערה על שילוב פונקציות חלוקה‪ :‬כאשר יש תרומה לאנרגיה‬
‫ממקורות שונים‪ ,ε = εa + εb ,‬פונקציית החלוקה הכוללת תהיה‬
‫מכפלת פונקציות החלוקה‪.Z = Za Zb ,‬‬
‫‪ 6.8‬אנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה‬
‫בגז אידאלי דו־אטומי‪ ,‬אנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה‬
‫תורמת אנרגיה‪:‬‬
‫~‬
‫‪εrot = j (j + 1) 2 2‬‬
‫‪8π ma‬‬
‫עם ניוון ‪ .2j + 1‬פונקציית החלוקה היא‪:‬‬
‫∞‬
‫‬
‫‪ ε‬‬
‫‪X‬‬
‫‪rot,j‬‬
‫=‪Z‬‬
‫‪gj exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫~ )‪j (j + 1‬‬
‫=‬
‫‪(2j + 1) exp − 2 2‬‬
‫‪8π ma τ‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪εj e−εj ∆ε‬‬
‫∞‬
‫‪/4 X‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 e(∆x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j=0‬‬
‫)‪(∆x‬‬
‫אנטרופיה‪ :‬האנטרופיה של גז אידאלי בטמפרטורה קבועה‬
‫מקיימת ‪ .σ (V ) = N log V + const‬לפיכך השינוי באנטרופיה‬
‫הוא ) ‪.∆σ = N log (V2 /V1‬‬
‫עבודה‪ :‬הגז המתפשט עושה עבודה כנגד בוכנה‪:‬‬
‫‪ˆ V2‬‬
‫‪ˆ V2‬‬
‫‪Nτ‬‬
‫‪V2‬‬
‫= ‪W‬‬
‫= ‪p dV‬‬
‫‪dV = N τ log‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V1‬‬
‫אנרגיה‪ :‬האנרגיה של גז חד־אטומי היא ‪ ,U = 3N τ /2‬ואינה‬
‫משתנה בהתפשטות בטמפרטורה קבועה‪ .‬עם זאת‪ ,‬האנרגיה‬
‫החופשית של הלמהולץ קטנה בשיעור ‪.W‬‬
‫חום‪ :‬ראינו כי האנרגיה לא השתנתה‪ ,‬אך הגז ביצע עבודה‪.‬‬
‫משימור האנרגיה‪ ,‬בהכרח זרם חום מהאמבט אל הגז בשיעור‬
‫‪.W‬‬
‫‪ 6.12‬התפשטות הפיכה באנטרופיה קבועה‬
‫=‬
‫נניח כעת הגז מתפשט במיכל מבודד )ללא אמבט(‪ ,‬ולכן לא זורם‬
‫חום אל או מהגז‪ .‬האנטרופיה היא קבועה‪ ,‬אם ההתפשטות היא‬
‫הפיכה )איטית(‪ .‬תהליך כזה נקרא איזאנטרופי או אדיאבטי‪.‬‬
‫האנטרופיה מקיימת‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪σ (τ, V ) = N log τ V + const‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫~‬
‫‪εj ≡ j +‬‬
‫‪∆x,‬‬
‫≡ ‪∆x‬‬
‫‪= ∆ε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8π 2 ma2 τ‬‬
‫בגבול ‪ τ → ∞, ∆x → 0‬נקרב את הסכום לאינטגרל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 e(∆x) /4 ∞ −ε2‬‬
‫‪e(∆x) /4‬‬
‫‪8π 2 ma2 τ‬‬
‫≈‪Z‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dε‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫= ‪2‬‬
‫~‬
‫)‪(∆x‬‬
‫)‪(∆x‬‬
‫‪0‬‬
‫לכן האנרגיה וקיבול החום יהיו‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪log‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪U = τ2‬‬
‫‪= τ,‬‬
‫= ‪CV‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫בגבול ‪ τ → 0‬מספיק לקחת את שני האיברים הראשונים‪:‬‬
‫~‬
‫‪Z ≈ 1 + 3 e−θ/τ ,‬‬
‫≡‪θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π ma2‬‬
‫לכן האנרגיה וקיבול החום יהיו‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪3θ e−θ/τ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪e−θ/τ‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪,‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫‪−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪1 + 3 e−θ/τ‬‬
‫‪1 + 3 e−θ/τ‬‬
‫כאשר כזכור ‪.γ ≡ Cp /CV‬‬
‫‪ 6.9‬גז אידאלי דו־אטומי‬
‫‪ 6.13‬התפשטות מהירה )לא הפיכה( לתוך ריק‬
‫נתון גז אידאלי דו־אטומי‪ .‬מולקולות הגז חופשיות לנוע במרחב‪,‬‬
‫להתנודד הרמונית עקב הפוטנציאל הקושר את האטומים‬
‫במולקולה ולהסתובב סביב המרכז בין שני האטומים‪ .‬האנרגיה‬
‫הקינטית תורמת אנרגיה לכל מולקולה‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫~‬
‫‪n2x + n2y + n2z‬‬
‫= ‪εmon‬‬
‫‪2m L‬‬
‫אנרגיית התנודות ההרמוניות בין האטומים תורמת אנרגיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪εvib = ~ω n +‬‬
‫‪2‬‬
‫ואנרגיית הסיבוב סביב מרכז המסה תורמת אנרגיה‪:‬‬
‫~‬
‫‪εrot = j (j + 1) 2 2‬‬
‫‪8π ma‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נניח כי הגז מתפשט במהירות‪ ,‬כך שלא זורם חום‬
‫דרך דפנות הכלי‪ .‬אין שום דרך בה ניתן לעשות עבודה‪ ,‬לכן‬
‫העבודה שנעשתה היא אפס‪ .‬האנרגיה לא השתנתה‪ ,‬ולכן‬
‫גם הטמפרטורה לא השתנתה‪ .‬השינוי באנטרופיה יהיה עדיין‬
‫) ‪.∆σ = N log (V2 /V1‬‬
‫נשים לב כי התהליך לא הפיך‪ ,‬כלומר‪ ,‬המערכת לא נמצאת‬
‫בקונפיגורציה המסתברת ביותר )בשיווי משקל( בכל שלב‬
‫רק הקונפיגורציות ההתחלתית והסופית הן‬
‫בהתפשטות‪.‬‬
‫המסתברות ביותר‪.‬‬
‫‬
‫דרגות החופש בלתי־תלויות‪ ,‬ולכן פונקציית החלוקה הכוללת‬
‫תהיה המכפלה של פונקציות החלוקה‪:‬‬
‫‪Ztot = Zmon · Zrot · Zvib‬‬
‫האנרגיה תהיה‪:‬‬
‫‪Utot = Umon + Urot + Uvib‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(τ → 0) = N τ + 0 + N ~ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(τ → ∞) = N τ + N τ + N τ‬‬
‫‪2‬‬
‫וקיבול החום יהיה‪:‬‬
‫‪Ctot = Cmon + Crot + Cvib‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(τ → 0) = N + 0 + 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(τ → ∞) = N + N + N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6.10‬משפט החלוקה השווה‬
‫משפט החלוקה השווה גורס כי בטמפרטורות גבוהות מספיק‪ ,‬כל‬
‫איבר ריבועי בביטוי הקלאסי לאנרגיה )כלומר‪ ,‬בהמילטוניאן(‬
‫תורם )עבור כל מולקולה( ‪ τ /2‬לאנרגיה הממוצעת ו־‪1/2‬‬
‫לקיבול החום‪ .‬באופן שקול‪ ,‬ניתן להגיד כי כל דרגת חופש‬
‫במערכת תורמת את הגדלים הנ"ל‪ .‬כך‪ ,‬עבור מולקולה דו־‬
‫אטומית‪ ,‬האנרגיה הקינטית הנובעת מתנועה במרחב )= ‪Etr‬‬
‫‪˙ 2 /2‬‬
‫|‪ (m |x‬תורמת ‪ 3/τ‬לאנרגיה הממוצעת ו־‪ 3/2‬לקיבול‬
‫החום )פקטור של ‪ ;(3/2‬האנרגיה מסיבוב המולקולה סביב‬
‫שני צירים )‪ (Erot = I1 ω12 + I2 ω22 /2‬תורמת פקטור של‬
‫‪ ;1‬והאנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של תנודות הרמוניות‬
‫)‪ (Evib = m x˙ 2 + ω 2 x2 /2‬תורמת גם היא פקטור של ‪.1‬‬
‫ב"טמפרטורה גבוהה מספיק" אנו מתכוונים ש־ ‪ τ‬חייבת להיות‬
‫גדולה בהרבה מההפרש בין רמות האנרגיה‪.‬‬
‫‪ 6.11‬התפשטות איזותרמית הפיכה‬
‫נתבונן בגז של ‪ N‬אטומים בנפח התחלתי ‪ V1‬וטמפרטורה ‪.τ‬‬
‫הגז מתרחב לאט‪ ,‬בטמפרטורה קבועה‪ ,‬עד שהנפח מגיע ל־ ‪.V2‬‬
‫הטמפרטורה נשמרת קבועה באמצעות מגע תרמי עם אמבט חום‬
‫גדול‪ .‬ההתפשטות היא הפיכה‪ ,‬כלומר‪ ,‬בכל רגע המערכת נמצאת‬
‫בקונפיגורציה המסתברת ביותר שלה‪ .‬נבדוק את תכונות הגז‬
‫לאחר ההתפשטות‪.‬‬
‫לחץ‪ :‬יהי ‪ p1‬הלחץ לפני ההתפשטות ו־ ‪ p2‬הלחץ אחרי‪ .‬ממשוואת‬
‫הגז האידאלי ‪ pV = N τ‬נקבל כי ‪.p2 /p1 = V1 /V2‬‬
‫לכן היא נשארת קבועה אם המכפלה ‪ τ 3/2 V‬קבועה‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪τ2 V2 = τ1 V1‬‬
‫השינוי באנרגיה‪ ,‬עבור גז אידאלי חד־אטומי‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪U2 − U1 = CV (τ2 − τ1 ) = N (τ2 − τ1‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור גז אידאלי של מולקולות עם דרגות חופש פנימיות נקבל‪:‬‬
‫‪τ1 V1γ−1 = τ2 V2γ−1‬‬
‫‪p2‬‬
‫)‪γ/(1−γ‬‬
‫‪p1 = τ2‬‬
‫‪p2 V2γ‬‬
‫=‬
‫)‪γ/(1−γ‬‬
‫‪τ1‬‬
‫‪p1 V1γ‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫גז פרמי וגז בוז‬
‫‪ 7.1‬מבוא וחזרה‬
‫כאשר ‪ ,n nQ‬אנו נמצאים בתחום הקלאסי‪ ,‬ואין הבדל‬
‫משמעותי בין גז פרמיונים לגז בוזונים‪ .‬אך כאשר ‪ n ≥ nQ‬אנו‬
‫נמצאים בתחום הקוונטי‪ ,‬והגז נקרא גז קוונטי‪ .‬בתחום זה לגז‬
‫פרמי יש אנרגיה קינטית גבוהה‪ ,‬קיבול חום נמוך‪ ,‬סוספטיביליות‬
‫מגנטית נמוכה וקצב התנגשות פנים־חלקיקי נמוך‪ ,‬והוא מפעיל‬
‫לחץ גבוה על המיכל‪ ,‬אפילו באפס מוחלט‪ .‬לגז בוז יש ריכוז גבוה‬
‫של חלקיקים במצב היסוד‪ ,‬והחלקיקים עשויים להתנהג כעיבוי‬
‫בוז־איינשטיין ‪ -‬על־נוזל חסר צמיגות‪.‬‬
‫במערכות בהן הריכוז ‪ n‬הוא קבוע‪ ,‬הטמפרטורה היא הקובעת‬
‫את התחום הרלוונטי‪ .‬התחום הקוונטי יתקבל כאשר‪:‬‬
‫‪2π~2 2/3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪M‬‬
‫גז קוונטי בעל ‪ τ τ0‬ייקרא גז מנוון‪.‬‬
‫כפי שראינו‪ ,‬בתחום הקלאסי‪ ,‬מספר החלקיקים הממוצע במצב‬
‫בעל אנרגיה ‪ ε‬הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ε‬‬
‫‪n‬‬
‫‪µ−ε‬‬
‫≈‬
‫‪exp −‬‬
‫‪f (ε) ≈ exp‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪τ‬‬
‫כאשר כזכור‪:‬‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪Mτ‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫לפיכך האכלוס הממוצע של כל מצב קטן בהרבה מ־‪.1‬‬
‫עבור פרמיונים‪ ,‬בשל עקרון האיסור של פאולי‪ ,‬האכלוס של מצב‬
‫יכול להיות ‪ 0‬או ‪ ,1‬ובטמפרטורות נמוכות )בתחום הקוונטי(‬
‫מצבים נמוכים רבים יכילו פרמיון אחד‪ .‬באפס המוחלט כל‬
‫המצבים עם ‪ ,0 < ε < εF‬כאשר ‪ εF‬היא אנרגיית פרמי )סעיף‬
‫‪ ,(6.1‬יהיו מאוכלסים עם ‪ .f = 1‬עבור בוזונים אין הגבלה‬
‫על אכלוס המצבים‪ ,‬ולפיכך באפס המוחלט מצב היסוד )בעל‬
‫האנרגיה הנמוכה ביותר( יהיה מאוכלס בכל החלקיקים במערכת‪.‬‬
‫≡ ‪τ ≤ τ0‬‬
‫‪ 7.2‬גז פרמי‬
‫גז פרמי נקרא מנוון כאשר הטמפרטורה נמוכה בהשוואה‬
‫לאנרגיית פרמי‪ .τ εF :‬במקרה זה המצבים בעלי אנרגיה‬
‫נמוכה מ־ ‪ εF‬יהיו מאוכלסים כמעט כולם‪ ,‬והמצבים בעלי אנרגיה‬
‫גבוהה יותר יהיו ריקים כמעט כולם‪ .‬התכונה החשובה ביותר של‬
‫גז פרמיונים היא האנרגיה הקינטית הגבוהה של מצב היסוד של‬
‫המערכת באפס מוחלט‪.‬‬
‫‪ 6.14‬שאלה מתרגיל בית‪ :‬התפשטות גז אידאלי‬
‫א‪ .‬גז אידאלי של ‪ N = 1022‬אטומים נמצא בכלי בעל נפח‬
‫של ‪ V1 = 103 cm3‬בטמפרטורה של ‪ .T = 300 K‬הגז‬
‫מתפשט באיטיות בתהליך הפיך בטמפרטורה קבועה עד‬
‫שהנפח גדל ל־ ‪ .V2 = 2V1‬מהו הלחץ אחרי ההתפשטות?‬
‫מהו השינוי באנטרופיה אחרי ההתפשטות? כמה עבודה‬
‫נעשתה על הגז? מהו השינוי באנרגיה אחרי ההתפשטות?‬
‫כמו חום זרם אל הגז מאמבט החום?‬
‫ב‪ .‬כעת ההתפשטות איטית כאשר המערכת מבודדת )ללא‬
‫מה‬
‫התהליך מבוצע באנטרופיה קבועה‪.‬‬
‫אמבט(‪.‬‬
‫הטמפרטורה לאחר ההתפשטות? מה השינוי באנרגיה?‬
‫ג‪ .‬כעת מוסרת מחיצה והגז מתפשט במהירות לנפח גדול פי ‪2‬‬
‫כך שאין זרימת חום דרך דפנות הכלי‪ .‬חשבו כמה עבודה‬
‫נעשתה‪ ,‬מה הטמפרטורה הסופית ומה השינוי באנטרופיה‪.‬‬
‫פתרון )התפשטות הפיכה(‪ :‬ממשוואת הגז האידאלי‪:‬‬
‫‪Nτ‬‬
‫‪Nτ‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪p2‬‬
‫=‬
‫‪= p1‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪2V1‬‬
‫‪2‬‬
‫האנטרופיה מקיימת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= N log V + const‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪∆σ = σ2 − σ1 = N log‬‬
‫‪= N log 2‬‬
‫‪V1‬‬
‫העבודה שנעשתה היא‪:‬‬
‫‪ˆ V2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪W =−‬‬
‫‪p dV = −N τ log‬‬
‫‪= −N τ log 2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V1‬‬
‫האנרגיה ‪ U = 3N τ /2‬תלויה רק בטמפרטורה ובמספר‬
‫החלקיקים‪ ,‬לכן היא לא השתנתה‪ .‬מכאן‪ ,‬בהכרח זרם חום‬
‫מהאמבט בשיעור ‪ N τ log 2‬כדי לפצות על העבודה שעשה הגז‪.‬‬
‫פתרון )התפשטות באנטרופיה קבועה(‪ :‬האנטרופיה מקיימת‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪σ (τ, V ) = N log τ 3/2 V + const‬‬
‫לכן היא נשארת קבועה אם המכפלה ‪ τ 3/2 V‬קבועה‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪ 2/3‬‬
‫‪τ1‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪τ1 = 2/3‬‬
‫= ‪τ2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן השינוי באנרגיה הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪∆U = U2 − U1 = N (τ2 − τ1‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון )התפשטות מהירה(‪ :‬אין שום דרך בה ניתן לעשות עבודה‪,‬‬
‫לכן העבודה שנעשתה היא אפס‪ .‬האנרגיה לא השתנתה‪ ,‬ולכן‬
‫גם הטמפרטורה לא השתנתה‪ .‬השינוי באנטרופיה יהיה עדיין‬
‫‪.∆σ = N log 2‬‬
‫‪ 7.3‬מצב היסוד של גז פרמי בשלושה ממדים‬
‫נניח כי המערכת היא קובייה בעלת צלעות באורך ‪ L‬ונפח‬
‫‪ .V = L3‬לפי סעיף ‪ ,3.12‬המצבים הם מהצורה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪sin ny π‬‬
‫‪sin nz π‬‬
‫‪ψ (x, y, z) = A sin nx π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫כאשר ‪ nx , ny , nz‬הם שלמים חיוביים כלשהם‪ ,‬והערכים העצמיים‬
‫של האנרגיה הם‪:‬‬
‫‬
‫‪~2 π 2‬‬
‫= ‪εnx ,ny ,nz‬‬
‫‪n2 + n2y + n2z‬‬
‫‪2mL2 x‬‬
‫אנרגיית פרמי היא האנרגיה של המצב הגבוה ביותר שמאוכלס‬
‫באפס מוחלט‪:‬‬
‫‪~2 π 2 2‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2mL2 F‬‬
‫כאשר ‪ nF‬הוא רדיוס הספירה במרחב השלמים ) ‪(nx , ny , nz‬‬
‫אשר מפרידה בין מצבים ריקים ומאוכלסים‪ .‬כדי שהמערכת‬
‫תכיל ‪ N‬אלקטרונים צריך להתקיים‪:‬‬
‫‪1 4π 3‬‬
‫‪π‬‬
‫· ·‪N =2‬‬
‫‪nF = n3F‬‬
‫‪8 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫)‪ .nF = (3N/π‬בביטוי זה ה־‪ 2‬נובע משתי האפשרויות‬
‫לכן‬
‫לספין של האלקטרון וה־‪ 1/8‬מכך שאנו מתבוננים רק בשמינית‬
‫החיובית של המרחב‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪~2‬‬
‫‪3π 2 n‬‬
‫‪≡ τF‬‬
‫‪2m‬‬
‫כאשר ‪ .n ≡ N/V‬זוהי טמפרטורת פרמי‪ .‬האנרגיה הכוללת של‬
‫המערכת במצב היסוד היא‪:‬‬
‫‪ˆ nF‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪U0 = 2‬‬
‫‪εn ≈ 2 · · 4π‬‬
‫‪n2 εn dn = N εF‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫‪n≤nF‬‬
‫כאשר כאן ‪ n‬הוא סתם מספר )ולא הריכוז(‪.‬‬
‫‪ 7.4‬צפיפות המצבים‬
‫מהצורה‪:‬‬
‫ממוצעים תרמיים הם תמיד ˆ‬
‫‪f (εn , τ, µ) Xn ≈ f (ε, τ, µ) X (ε) D (ε) dε‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪hXi‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר ‪ n‬מסמל את המצב‪ Xn ,‬הוא הערך של ‪ X‬עבור המצב ‪n‬‬
‫ו־ ‪ f‬הוא האכלוס הממוצע‪ .‬הגודל ‪ D (ε) dε‬הוא מספר המצבים‬
‫בעלי אנרגיה בין ‪ ε‬ו־‪ ,ε + dε‬והוא נקרא צפיפות המצבים‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬מהסעיף הקודם )המתאר למשל גז אלקטרונים חופשי‬
‫תלת־ממדי(‪ ,‬מספר המצבים בעלי אנרגיה קטנה או שווה ל־‪ε‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪2m‬‬
‫= )‪N (ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪3π 2 ~2‬‬
‫באמצעות לקיחת לוגריתם נקבל ‪ ,dN = (3N/2ε) dε‬ולכן‪:‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪dN‬‬
‫)‪3N (ε‬‬
‫)‪V (2m‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪ε1/2‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪2ε‬‬
‫‪2~3 π 2‬‬
‫לפיכך מספר האלקטרונים הכולל במערכת הוא‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫=‪N‬‬
‫‪f (ε, τ, µ) D (ε) dε‬‬
‫≡ )‪D (ε‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‬
‫=‪U‬‬
‫אם המערכת היא במצב היסוד נקבל‪:‬‬
‫‪ˆ εF‬‬
‫‪D (ε) dε,‬‬
‫= ‪U0‬‬
‫‪εD (ε) dε‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫=‪N‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 7.5‬גז אלקטרונים חופשי ב־‪ 2 ,1‬ו־‪ 3‬ממדים‬
‫נחשב את צפיפות המצבים עבור גז אלקטרונים חופשי בממד‬
‫אחד ובשני ממדים באמצעות מרחב הפאזה‪ .‬באופן כללי‪ ,‬עבור‬
‫‪ D‬ממדים מתקיים‪:‬‬
‫‪dD x dD p‬‬
‫‪hD‬‬
‫כאשר הפקטור של ‪ 2‬נובע משני מצבי הספין האפשריים‪ .‬עבור‬
‫חלקיק חופשי‪ ,‬מספר הגל מוגדר כך‪:‬‬
‫‪D (ε) dε = 2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪p‬‬
‫≡‬
‫‪λ‬‬
‫~‬
‫והקשר בינו לאנרגיה הוא‪:‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪2mε‬‬
‫‪p2‬‬
‫)‪(~k‬‬
‫=‪ε‬‬
‫=‬
‫⇒=‬
‫=‪k‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2m‬‬
‫~‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪1 m‬‬
‫=‬
‫‪dε‬‬
‫‪~ 2ε‬‬
‫באמצעות הקשר ‪ p ≡ ~k‬ואינטגרציה על ‪ dD x‬נוכל לשכתב את‬
‫הביטוי לצפיפות המצבים למרחב ‪:k‬‬
‫≡‪k‬‬
‫‪V dD k‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪(2π‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪L‬‬
‫‪~π‬‬
‫= )‪D (ε‬‬
‫כאשר הכפלנו ב־‪ 2‬בגלל שני כיווני התנע האפשריים‬
‫)חיובי‪/‬שלילי(‪ .‬עבור שני ממדים )‪ D = 2‬ו־ ‪ (V = L2‬נשתמש‬
‫בקואורדינטות פולריות ‪ d2 k = 2πk dk‬ונקבל‪:‬‬
‫√‬
‫‪r‬‬
‫‪L2 k dk‬‬
‫‪L2 2mε 1 m‬‬
‫‪mL2‬‬
‫= ‪D (ε) dε‬‬
‫=‬
‫‪dε = 2 dε‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪~ ~ 2ε‬‬
‫‪~ π‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪mL2‬‬
‫‪~2 π‬‬
‫= )‪D (ε‬‬
‫עבור שלושה ממדים )‪ D = 3‬ו־ ‪ (V = L3‬נשתמש בקואורדינטות‬
‫כדוריות ‪ d3 k = 4πk 2 dk‬ונקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪L k dk‬‬
‫‪L3 2mε 1 m‬‬
‫= ‪D (ε) dε‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪= 2 2‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪π ~ ~ 2ε‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫√‬
‫‪L3 m3/2 2ε‬‬
‫= )‪D (ε‬‬
‫‪π 2 ~3‬‬
‫כפי שמצאנו בסעיף ‪ 7.4‬בדרך אחרת‪.‬‬
‫‪ 7.6‬הפוטנציאל הכימי של גז אלקטרונים חופשי דו־‬
‫ממדי‬
‫מספר החלקיקים הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫‪mL‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫=‪N‬‬
‫‪D (ε) fF D (ε) dε = 2‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫~‬
‫‪π‬‬
‫‪exp τ + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪mL2‬‬
‫‪x ≡ exp‬‬
‫‪,‬‬
‫‪a≡ 2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪~ π‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪dx ≡ exp‬‬
‫‪dε =⇒ dε = dx‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪x‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪1 dx‬‬
‫‪N = aτ‬‬
‫‪= aτ log 1 + eµ/τ‬‬
‫‪e−µ/τ x + 1 x‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪≈ 0.27‬‬
‫= )‪f (ε‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪exp ε−µ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪τ‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אנרגיית פרמי כפונקציה של ‪.J, V, N‬‬
‫‪ 7.11‬פוטנציאל גרנד־קנוני ואנטרופיה‬
‫ג‪ .‬נניח כי נותנים לגז פרמיונים כזה להתפשט באופן חופשי‬
‫מנפח ‪ V‬לנפח ‪ .2V‬בהנחה שההתפשטות חופשית לחלוטין‬
‫והמערכת מבודדת מהסביבה‪ ,‬האם טמפרטורת הגז תעלה‪,‬‬
‫תרד או תישאר כפי שהייתה?‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬לפי עקרון האיסור של פאולי‪ ,‬יכולים להיות לכל‬
‫היותר ‪ 2J + 1‬חלקיקים באותה נקודה במרחב הפאזה )שהוא‬
‫מרחב המיקום והתנע של החלקיקים(‪ .‬לכן הדיפרנציאל של‬
‫מספר החלקיקים הוא‪:‬‬
‫‪d3 x d3 p‬‬
‫)‪dN = (2J + 1‬‬
‫‪h3‬‬
‫נבצע אינטגרציה על ‪ d3 x‬ונקבל את הנפח ‪:V‬‬
‫‪V d3 p‬‬
‫)‪dN = (2J + 1‬‬
‫‪h3‬‬
‫נעבור לקואורדינטות כדוריות במרחב התנע‪:‬‬
‫‪4πV p2 dp‬‬
‫)‪dN = (2J + 1‬‬
‫‪h3‬‬
‫נבצע אינטגרציה על ‪ p‬ונקבל‪:‬‬
‫‪4πV p3F‬‬
‫)‪N = (2J + 1‬‬
‫‪3h3‬‬
‫כאשר ‪ pF‬הוא התנע המתאים לאנרגיית פרמי‪ .‬לפי הנתון‬
‫‪ ,pF = εF /c‬לכן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4πV εF‬‬
‫)‪N = (2J + 1‬‬
‫‪3h3 c3‬‬
‫ואנרגיית פרמי היא‪:‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‬
‫‪3N‬‬
‫‪hc‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫‪4π (2J + 1) V‬‬
‫‪D (ε) dε = 2‬‬
‫כאשר ‪ V ≡ LD‬הוא ה"נפח" במרחב ה־‪D‬־ממדי‪ .‬כעת‪ ,‬עבור‬
‫ממד אחד )‪ D = 1‬ו־‪ (V = L‬נקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪L 2 · dk‬‬
‫‪2L dk‬‬
‫‪L 2m‬‬
‫= ‪D (ε) dε‬‬
‫=‬
‫= ‪dε‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π dε‬‬
‫‪~π‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪r‬‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬נתונים ‪ N‬פרמיונים בעלי ספין ‪ ,J‬חסרי‬
‫מסה וללא אינטראקציה ביניהם בקופסה תלת־ממדית שנפחה‬
‫‪ .V‬האנרגיה שלהם נתונה ע"י ‪ E = pc‬כאשר ‪ p‬הוא התנע ו־‪c‬‬
‫מהירות האור‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו הלחץ בטמפרטורה אפס?‬
‫‪0‬‬
‫‪εF‬‬
‫‪µ = τ log exp‬‬
‫‪ 7.7‬שאלה ממבחן‪ :‬פרמיונים יחסותיים חסרי מסה‬
‫כאשר ‪ f‬היא התפלגות פרמי־דיראק )סעיף ‪ .(6.1‬ניתן למצוא את‬
‫‪ µ‬באמצעות דרישה שהמספר הנ"ל יהיה שווה למספר הידוע של‬
‫חלקיקים במערכת‪ .‬האנרגיה הקינטית הכוללת של האלקטרונים‬
‫היא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪εf (ε, τ, µ) D (ε) dε‬‬
‫לכן הפוטנציאל הכימי הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪~ πN‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪mL2 τ‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫פתרון‪ :‬הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר כאשר ‪ τ = 0‬נקבעת‬
‫לפי אנרגיית פרמי‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪~2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫‪3π n‬‬
‫‪≈ 7.05 eV‬‬
‫‪2m‬‬
‫כאשר ‪ n‬היא הצפיפות ו־‪ m‬היא המסה‪ .‬מספר החלקיקים‬
‫הממוצע בטמפרטורה ‪ (τ = 0.1 eV) T = 1160 K‬במצב בעל‬
‫אנרגיה ‪ ε − µ = 0.1 eV‬נקבע לפי התפלגות פרמי־דיראק‪:‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬צפיפות המצבים היא‪:‬‬
‫‪4πV ε2‬‬
‫‪dN‬‬
‫≡ )‪D (ε‬‬
‫‪= (2J + 1) 3 3‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪h c‬‬
‫לכן האנרגיה בטמפרטורה אפס היא‪:‬‬
‫‪ˆ εF‬‬
‫‪ˆ εF‬‬
‫‪4πV‬‬
‫‪ε3 dε‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪εD (ε) dε = (2J + 1) 3 3‬‬
‫‪h c 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪πV‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= (2J + 1) 3 3 ε4F = N εF‬‬
‫‪h c‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪1/3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3N‬‬
‫‪= N‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4π (2J + 1) V‬‬
‫ומכאן‪ ,‬הלחץ הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1/3‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪3N 4‬‬
‫‪hc‬‬
‫‪p≡−‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪4π (2J + 1) V‬‬
‫‪4‬‬
‫פתרון סעיף ג'‪ :‬ראינו כי ‪ εF ∝ V −1/3‬ולכן כאשר הנפח יגדל‪,‬‬
‫אנרגיית פרמי תקטן‪ .‬לפיכך יהיו מצבים מאוכלסים מעל רמת‬
‫פרמי‪ ,‬והטמפרטורה תעלה‪.‬‬
‫‪ 7.8‬קיבול חום של גז אלקטרונים‬
‫כאשר ‪ ,τ τF‬קיבול החום של גז של ‪ N‬אלקטרונים יהיה‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪π D (εF ) τ = π 2 N‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τF‬‬
‫= ‪CV‬‬
‫‪ 7.9‬גז פרמיונים במתכת‬
‫למתכות האלקליות ולנחושת‪ ,‬כסף וזהב יש אלקטרון ערכיות‬
‫אחד לכל אטום‪ ,‬ואלקטרון זה הופך להיות האלקטרון המוליך‬
‫במתכת‪ .‬לפיכך הריכוז של האלקטרונים המוליכים שווה לריכוז‬
‫של האטומים‪ .‬אם האלקטרונים המוליכים מתנהגים כגז של‬
‫פרמיונים חופשיים‪ ,‬אז אנרגיית פרמי תהיה )כפי שכבר חישבנו(‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪~2‬‬
‫= ‪εF‬‬
‫‪3π 2 n‬‬
‫‪2m‬‬
‫מהירות פרמי ‪ vF‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2εF‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪mv = εF =⇒ vF‬‬
‫‪2 F‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 7.10‬שאלה ממבחן‪ :‬אלקטרונים בנחושת‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬צפיפות אלקטרוני ההולכה בנחושת היא‬
‫‪ ,8.5 × 1028 m−3‬ומסת האלקטרון היא ‪.9.1 × 10−31 kg‬‬
‫א‪ .‬מהי הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר ב־‪?τ = 0‬‬
‫כמה‬
‫ב‪ .‬הנחושת מחוממת לטמפרטורה של ‪.1160 K‬‬
‫אלקטרונים בממוצע נמצאים ברמה שהיא ‪ 0.1 eV‬מעל‬
‫האנרגיה שמצאתם בסעיף א'?‬
‫הפוטנציאל התרמודינמי הגרנד־קנוני של גז פרמיונים הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪ε−µ‬‬
‫‪Φ = −τ log 1 + exp −‬‬
‫‪D (ε) dε‬‬
‫‪τ‬‬
‫לכן האנטרופיה היא‪:‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪(fF D log fF D + (1 − fF D ) log (1 − fF D )) D (ε) dε‬‬
‫ˆ‬
‫‪−‬‬
‫‪ 7.12‬גז בוזונים‪ :‬עיבוי בוז־איינשטיין‬
‫עבור גז של בוזונים ללא אינטראקציה קיימת טמפרטורת מעבר‪,‬‬
‫אשר מתחתיה רובם המוחלט של החלקיקים יאכלסו את מצב‬
‫היסוד‪ .‬תופעה זו נקראת עיבוי בוז־איינשטיין‪ .‬אם נגדיר את‬
‫האנרגיה של מצב היסוד כאפס‪ ,‬אז התפלגות בוז־איינשטיין‬
‫)סעיף ‪ (6.2‬במצב זה תהיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪N0 (τ ) ≡ f (0, τ‬‬
‫‪exp (−µ/τ ) − 1‬‬
‫כאשר ‪ τ → 0‬האכלוס של מצב היסוד שואף למספר החלקיקים‬
‫הכולל‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N = lim N0 (τ ) = −‬‬
‫‪=⇒ µ = −‬‬
‫‪τ →0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪N‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λ ≡ exp ≈ 1 −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N‬‬
‫נשים לב כי הפוטנציאל הכימי במערכת בוזונים חייב להיות תמיד‬
‫באנרגיה נמוכה מזו של מצב היסוד )כלומר‪ ,‬שלילית(‪ ,‬כדי לקבל‬
‫אכלוס אי־שלילי לכל מצב‪.‬‬
‫עבור גז בוזונים חופשיים בעלי ספין ‪ 0‬בשלושה ממדים‪ ,‬צפיפות‬
‫המצבים היא‪:‬‬
‫‬
‫‪3/2‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ε1/2‬‬
‫= )‪D (ε‬‬
‫‪4π 2 ~2‬‬
‫ובשני ממדים‪:‬‬
‫‪mL2‬‬
‫‪D (ε) = 2‬‬
‫‪2~ π‬‬
‫מספר החלקיקים במצב היסוד בטמפרטורה ‪ τ‬הוא ≡ ) ‪N0 (τ‬‬
‫) ‪ ,f (0, τ‬ומספר החלקיקים בכל המצבים המעורערים הוא‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫= ) ‪Ne (τ‬‬
‫‪D (ε) f (ε, τ ) dε‬‬
‫‪ε1/2‬‬
‫‪dε‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪λ exp (ε/τ ) − 1‬‬
‫‪x1/2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪λ−1 ex −1‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫ˆ ‪3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ ‪3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪~2‬‬
‫‪2mτ‬‬
‫‪~2‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫=‬
‫‪4π 2‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪4π 2‬‬
‫=‬
‫‪≈ 2.612 nQ V‬‬
‫לפיכך החלק של החלקיקים שנמצאים במצבים המעורערים הוא‪:‬‬
‫‪Ne‬‬
‫‪nQ‬‬
‫‪≈ 2.612‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫טמפרטורת העיבוי של איינשטיין היא הטמפרטורה בה‬
‫מספר החלקיקים המעורערים שווה למספר החלקיקים הכולל‪,‬‬
‫‪ .Ne (τE ) = N‬מתחת לטמפרטורה זו‪ ,‬האכלוס של מצב היסוד‬
‫הוא מקרוסקופי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2/3‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪~2 n2/3‬‬
‫≈ ‪τE‬‬
‫‪≈ 3.313‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2.612V‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 3/2‬‬
‫‪Ne‬‬
‫‪τ‬‬
‫≈‬
‫‪N‬‬
‫‪τE‬‬
‫מספר החלקיקים במצב היסוד הוא לפיכך‪:‬‬
‫! ‪ 3/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪N0 = N − Ne = N 1 −‬‬
‫‪τE‬‬
‫‪ 7.13‬שאלה ממבחן‪ :‬לחץ של גז בוזונים‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬ידוע כי עבור גז בוזונים מסוים הלחץ תלוי‬
‫לינארית בטמפרטורה מעל הטמפרטורה הקריטית‪ .‬אם מתחת‬
‫לטמפרטורה הקריטית הלחץ מקיים ‪ ,p ∝ τ γ‬מה תוכלו להגיד‬
‫על ‪) γ‬אין צורך לחשב(?‬
‫פתרון‪ :‬לפי הנתון‪ ,‬מעל הטמפרטורה הקריטית מתקיים ‪.p ∝ τ‬‬
‫הלחץ תלוי בהתנגשויות בין חלקיקים מעורערים‪ .‬כיוון שהגז‬
‫עבר עיבוי בוז־איינשטיין‪ ,‬מספר החלקיקים המעורערים יורד‬
‫מהר כפונקציה של הטמפרטורה‪ ,‬לכן הלחץ ירד מהר יותר ביחס‬
‫ללחץ מעל הטמפרטורה הקריטית‪ ,‬ולכן ‪.γ > 1‬‬
‫‪ 7.14‬שאלה ממבחן‪ :‬עיבוי בוז־איינשטיין‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬אילו מהמשפטים הבאים נכונים?‬
‫א‪ .‬לגז שעבר עיבוי בוז־איינשטיין אין צמיגות‪ .‬פתרון‪ :‬לא‬
‫נכון‪ .‬למשל‪ ,‬אם הבוזונים חופשיים )‪ ,(E = p2 /2m‬תהיה‬
‫צמיגות‪.‬‬
‫ב‪ .‬תנאי הכרחי לעיבוי בוז־איינשטיין הוא שהחסם על מספר‬
‫החלקיקים ברמות המעוררות )לא ברמת היסוד( קטן‬
‫ממספר החלקיקים הכולל‪ .‬פתרון‪ :‬נכון‪ .‬בעיבוי בוז־‬
‫איינשטיין רוב החלקיקים מאכלסים את רמת היסוד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם נגדיל את צפיפות החלקיקים‪ ,‬הטמפרטורה הקריטית‬
‫תרד‪ .‬פתרון‪ :‬לא נכון‪ .‬הטמפרטורה הקריטית היא‬
‫‪ ,τE ≈ 3.313~2 n2/3 /m‬לפיכך אם נגדיל את צפיפות‬
‫החלקיקים ‪ n‬הטמפרטורה הקריטית תעלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬ישנו גז בוזונים שגם אם נקרר אותו בלי גבול הוא לא יעבור‬
‫עיבוי בוז־איינשטיין‪ .‬פתרון‪ :‬נכון‪ .‬למשל‪ ,‬גז פוטונים‪.‬‬
‫ה‪ .‬כשמקררים גז בוזונים מנוון‪ ,‬צפיפות המצבים באנרגיה‬
‫כלשהי שאינה אפס יורדת‪ .‬פתרון‪ :‬לא נכון‪ .‬צפיפות‬
‫המצבים כלל אינה תלויה בטמפרטורה‪.‬‬
‫‪ 7.15‬אנרגיה‪ ,‬קיבול חום ואנטרופיה של גז בוזונים‬
‫מנוון‬
‫כאשר ‪ ,τ < τE‬האנרגיה היא‪:‬‬
‫‪ 3/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪U (τ ) = AN‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τE‬‬
‫קיבול החום הוא‪:‬‬
‫‪ 3/2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪CV (τ ) = AN‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τE‬‬
‫והאנטרופיה היא‪:‬‬
‫‪ 3/2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪σ (τ ) = AN‬‬
‫‪3‬‬
‫‪τE‬‬
‫כאשר ‪.A ≈ 0.77‬‬
‫‪ 7.16‬שאלה ממבחן‪ :‬נכון‪/‬לא נכון‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬אילו מהמשפטים הבאים לא נכונים?‬
‫א‪ .‬מים ואדים נמצאים במיכל בטמפרטורה של ‪100 ◦ C‬‬
‫בלחץ של ‪ .1 atm‬אם הטמפרטורה נשמרת קבועה ונפח‬
‫המיכל מוקטן מעט‪ ,‬הלחץ יגדל מעט‪ .‬פתרון‪ :‬לא נכון‪.‬‬
‫הטמפרטורה הקריטית של מים היא ‪ ,647.1 K‬לפיכך אנו‬
‫נמצאים מתחת לטמפרטורה הקריטית‪ ,‬באזור הדו־פאזתי‬
‫בו הלחץ קבוע‪ ,‬אך הנפח עשוי להשתנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם שתי מערכות מבודדות נמצאות במגע תרמי ודיפוזיוני‬
‫במהלך הגעה לשיווי משקל‪ ,‬החלקיקים ינועו מהפוטנציאל‬
‫הכימי הגבוה לנמוך‪ .‬פתרון‪ :‬נכון‪ .‬זוהי הגדרת הפוטנציאל‬
‫הכימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם מקררים גז אידאלי )חסר אינטראקציה( לטמפרטורה‬
‫אפס אזי האנרגיה יורדת לאפס‪ .‬פתרון‪ :‬לא נכון‪ .‬לא‬
‫כתוב שהגז הוא גז אידאלי קלאסי‪ .‬אם הוא גז פרמיונים‪,‬‬
‫למשל‪ ,‬אז בטמפרטורה אפס האנרגיה תהיה אנרגיית‬
‫פרמי‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתונה מערכת מבודדת הנשמרת בטמפרטורה ולחץ‬
‫קבועים‪ .‬המערכת תגיע לשיווי משקל כאשר אנרגיית גיבס‬
‫מינימלית‪ .‬פתרון‪ :‬נכון‪ .‬זה נובע ישירות מהגדרת אנרגיית‬
‫גיבס‪.‬‬
‫ה‪ .‬גז אידאלי קלאסי מפר את החוק השלישי של‬
‫התרמודינמיקה‪.‬‬
‫החוק השלישי‬
‫נכון‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫של התרמודינמיקה קובע כי האנטרופיה של המערכת‬
‫מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה מתקרבת לאפס‪.‬‬
‫גז אידאלי מקיים את משוואת ‪:Sackur-Tetrode‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪nQ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= N C + log τ‬‬
‫‪σ = N log‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ C‬הוא קבוע‪ .‬מתקיים ∞‪ ,σ (0) → −‬לפיכך החוק‬
‫השלישי מופר‪) .‬אף גז הוא לא באמת גז אידאלי‪ ,‬לכן אין‬
‫כאן בעיה‪(.‬‬
‫ו‪ .‬נגד מחובר לסוללה חשמלית ומחמם מים מטמפרטורה‬
‫התחלתית של ‪ .100 ◦ C‬האדים מפעילים מטען הטוען‬
‫חזרה את הסוללה וכך מתעבים חזרה למים החוזרים‬
‫למיכל‪ .‬התהליך יכול להתבצע לאט כרצוננו וברכיבים‬
‫אידאליים )אין בזבוזי אנרגיה במערכת והיא כולה‬
‫מבודדת לחלוטין מהסביבה(‪ .‬אין תכנון של המערכת בו‬
‫היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ‪ .‬פתרון‪ :‬נכון‪ .‬לא‬
‫יכול להיות תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך‬
‫ולפעול עד אין קץ‪ ,‬מכיוון שגם במצב אידאלי יעילות‬
‫התהליך לא יכולה להיות גבוהה יותר מיעילות קרנו‪.‬‬
‫‪ τh‬הטמפרטורה הגבוהה )בכניסה( ו־ ‪ τl‬הטמפרטורה הנמוכה‬
‫)ביציאה(‪.‬‬
‫האנטרופיות בכניסה וביציאה הן = ‪σh,l‬‬
‫‪ .Qh,l /τh,l‬בתהליך הפיך )תהליך קרנו(‪ ,‬האנטרופיה היוצאת‬
‫שווה לאנטרופיה הנכנסת‪ ,‬כלומר‪ ,‬אין שינוי באנטרופיה‪:‬‬
‫‪τl‬‬
‫‪σl = σh =⇒ Ql = Qh‬‬
‫‪τh‬‬
‫העבודה הנוצרת בתהליך היא ההבדל בין החום שנכנס והחום‬
‫שיצא‪ .W = Qh − Ql ,‬יעילות המנוע‪ ,‬כאשר כל התהליכים‬
‫במנוע הם הפיכים‪ ,‬נמדדת באמצעות יעילות קרנו‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪W‬‬
‫‪τl‬‬
‫≡ ‪ηC‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪Qh rev‬‬
‫‪τh‬‬
‫יעילות קרנו היא הערך המקסימלי האפשרי של יעילות ההמרה‬
‫‪ ,η ≡ W/Qh‬שהיא בדר"כ נמוכה יותר מכיוון שחלק מהתהליכים‬
‫במנוע אינם הפיכים‪ .‬אי־השוויון ‪ η ≤ ηC‬נקרא אי־שוויון קרנו‪.‬‬
‫אי־שוויונים רלוונטיים נוספים הם‪:‬‬
‫‪τl‬‬
‫‪σl ≥ σh , Ql ≥ Qh , W ≤ ηC Qh‬‬
‫‪τh‬‬
‫‪ 8.2‬מקרר‬
‫מקרר מבצע את הפעולה ההפוכה למנוע חום‪ :‬הוא מנצל עבודה‬
‫על־מנת להעביר חום מהטמפרטורה הנמוכה לגבוהה‪ .‬יעילות‬
‫המקרר נמדדת באמצעות מקדם הקירור ‪ ;γ ≡ Ql /W‬בעוד‬
‫ש־‪ η ≤ 1‬תמיד‪ γ ,‬יכול להיות גדול או קטן מ־‪ .1‬מתקיים‬
‫‪ ,W = Qh − Ql‬ולכן הערך המקסימלי‪ ,‬המתקבל כאשר כל‬
‫התהליכים הם הפיכים‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫ ‬
‫‪τl‬‬
‫‪Ql‬‬
‫=‬
‫≡ ‪γC‬‬
‫‪W rev‬‬
‫‪τh − τl‬‬
‫תהי‬
‫מנוע חום הוא מכשיר אשר ממיר חום לעבודה‪.‬‬
‫‪ W‬העבודה שנוצרה‪ Qh ,‬החום הנכנס‪ Ql ,‬החום היוצא‪,‬‬
‫אנו רואים כי במספר חלקיקים‪ ,‬טמפרטורה ולחץ קבועים‬
‫מתקיים ‪ dG = 0‬ולכן זוהי נקודת קיצון‪ .‬הנקודה היא בהכרח‬
‫מינימום מכיוון שכל שינוי במערכת יגדיל את ‪ σ‬ולכן יקטין את‬
‫‪ .dG‬מהיחס לעיל נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂G‬‬
‫‪∂G‬‬
‫‪∂G‬‬
‫‪= µ,‬‬
‫‪= −σ,‬‬
‫‪=V‬‬
‫‪∂N τ,p‬‬
‫‪∂τ N,p‬‬
‫‪∂p N,τ‬‬
‫ואת יחסי מקסוול )סעיף ‪:(9.6‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂µ‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂p τ‬‬
‫‪∂N p‬‬
‫‪∂p N‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪∂µ‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂τ N‬‬
‫‪∂N τ‬‬
‫כאשר מחברים ביחד שתי מערכות זהות‪ τ ,‬ו־‪ p‬אינם משנים את‬
‫ערכם‪ .‬לעומת זאת‪ U, σ, V, G ,‬הם לינאריים במספר החלקיקים‬
‫‪ N‬וערכם מוכפל‪ .‬אם נניח כי ‪ G ∝ N‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫) ‪G (N, p, τ ) = N µ (p, τ‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הפוטנציאל הכימי עבור מערכת בעלת סוג אחד‬
‫של חלקיקים שווה לאנרגיית גיבס פר חלקיק‪ .‬אם יש יותר מסוג‬
‫אחד של חלקיקים נקבל‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪G‬‬
‫‪Nj µj‬‬
‫‪j‬‬
‫ערך זה נקרא מקדם הקירור של קרנו‪ ,‬ומתקיים ‪ .γ ≤ γC‬אי־‬
‫שוויונים רלוונטיים נוספים הם‪:‬‬
‫‪τh‬‬
‫‪Ql‬‬
‫≥ ‪σh ≥ σl , Qh ≥ Ql , W‬‬
‫‪τl‬‬
‫‪γC‬‬
‫‪ 8.3‬שאלה ממבחן‪ :‬חיבור תרמי‬
‫‪ 9.2‬שאלה ממבחן‪ :‬סידן פחמתי‬
‫שאלה ממבחן ‪2009‬א‪ :‬שני גופים ‪ A‬ו־‪ B‬עשויים חומר זהה‬
‫ומבודדים מהסביבה‪ .‬יש להם טמפרטורות התחלתיות ‪τA > τB‬‬
‫וקיבול חום זהה ליחידת מסה ‪ C‬שאינו תלוי בטמפרטורה‪ .‬מסתם‬
‫היא ‪ mA = m, mB = N m‬כאשר ‪.N ∈ N‬‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬לסידן פחמתי ‪ CaCO3‬שתי צורות‬
‫נתונה טבלת נתונים‬
‫גבישיות נפוצות‪ :‬קלציט וארגוניט‪.‬‬
‫בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי עבור שתי הפאזות של‬
‫אנרגיית גיבס‪ ,‬נפח ואנטרופיה פר מול של חומר‪:‬‬
‫א‪ .‬נניח כי שני גופים אלה מובאים במגע תרמי והם מגיעים‬
‫לשיווי־משקל תרמי‪ .‬מהי הטמפרטורה הסופית? כמה‬
‫אנטרופיה נוצרה בתהליך? כמה עבודה נעשית על הסביבה‬
‫בתהליך זה?‬
‫ב‪ .‬תארו תהליך המחבר את גוף ‪ A‬לגוף ‪ B‬כך שהעבודה‬
‫תהיה מקסימלית‪ .‬מהי הטמפרטורה הסופית אליה מגיעים‬
‫הגופים? כמה עבודה נעשתה על הסביבה? כמה אנטרופיה‬
‫נוצרה בתהליך?‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬נסמן את הטמפרטורה הסופית ב־ ‪ .τf‬אז‪:‬‬
‫) ‪Cm (τA − τf ) = CN m (τf − τB‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪τA + N τB‬‬
‫‪N +1‬‬
‫= ‪τf‬‬
‫לחישוב השינוי באנטרופיה נשתמש בקשר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪mC‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫= ‪=⇒ ∆σ‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪mC ≡ τ‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪ˆ τf‬‬
‫‬
‫‪ˆ τf‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪∆σ = Cm‬‬
‫‪dτ +‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪τA τ‬‬
‫‪τB τ‬‬
‫!‬
‫‪ τf‬‬
‫‪ τf‬‬
‫‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‬
‫ ‪= Cm ln τ + ln τ‬‬
‫‪τB‬‬
‫‪τA‬‬
‫‪τfN +1‬‬
‫‪τA τBN‬‬
‫‪= Cm ln‬‬
‫לא נעשתה עבודה על הסביבה‪ ,‬כי המערכת מבודדת מהסביבה‪.‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬נשתמש בתהליך קרנו‪ ,‬תהליך הפיך בו אין שינוי‬
‫באנטרופיה והעבודה היא מקסימלית‪ .‬מכיוון שהאנטרופיה לא‬
‫משתנה‪ ,‬הטמפרטורה הסופית תהיה‪:‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪τf‬‬
‫)‪1/(N +1‬‬
‫‪∆σ = Cm ln‬‬
‫⇒= ‪= 0‬‬
‫‪τf = τA τBN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪τA τB‬‬
‫העבודה תהיה ההפרש בין החום הנכנס לחום היוצא‪:‬‬
‫) ‪W = Cm (τA − τf ) − CN m (τf − τB‬‬
‫‬
‫ )‪1/(N +1‬‬
‫‪= Cm τA + N τB − (N + 1) τA τBN‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫‪ 8.1‬מנוע חום‬
‫‪dG = µ dN − σ dτ + V dp‬‬
‫עבור גז אידאלי נקבל‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪G = F + pV = N τ log‬‬
‫‪τ nQ‬‬
‫פרק ‪9‬‬
‫חום ועבודה‬
‫אנרגיה זו היא מינימלית עבור מערכת בשיווי־משקל בלחץ קבוע‬
‫במגע תרמי עם אמבט חום‪ .‬הדיפרנציאל שלה הוא‪:‬‬
‫‪dG = dU − τ dσ − σ dτ + p dV + V dp‬‬
‫נשתמש בזהות התרמודינמית ‪) τ dσ = dU −µ dN +p dV‬סעיף‬
‫‪ (5.6‬ונקבל‪:‬‬
‫האנרגיה של גיבס וראקציות כימיות‬
‫‬
‫‬
‫‪S J K−1‬‬
‫‪92.9‬‬
‫‪88.7‬‬
‫‬
‫‬
‫‪V cm3‬‬
‫‪36.93‬‬
‫‪34.14‬‬
‫]‪G [kJ‬‬
‫‪−1128.8‬‬
‫‪−1127.8‬‬
‫מי היא הפאזה היציבה בתנאים אלה‪ ,‬ובאיזה לחץ בערך‬
‫)בטמפרטורת החדר( הפאזה השנייה תהיה יציבה יותר?‬
‫פתרון‪ :‬הפאזה היציבה היא קלציט‪ ,‬מכיוון שאנרגיית גיבס שלה‬
‫נמוכה יותר‪ .‬למציאת הלחץ בו ארגוניט תהיה יציבה יותר‪ ,‬נשים‬
‫לב כי אנרגיית גיבס מקיימת את הקשר‪:‬‬
‫‪dG = µ dN − σ dτ + V dp‬‬
‫בטמפרטורה קבועה ומספר חלקיקים קבוע נקבל ‪.dG = V dp‬‬
‫נבדוק מתי אנרגיות גיבס של שתי הפאזות משתוות‪:‬‬
‫‪GA − GC‬‬
‫⇒= ‪GC + VC ∆p = GA + VA ∆p‬‬
‫‪= ∆p‬‬
‫‪VC − VA‬‬
‫כאשר ‪ C‬מתייחס לקלציט ו־‪ A‬לארגוניט‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪1 kJ mol−1‬‬
‫‪≈ 3537 atm‬‬
‫‪2.79 cm3 mol−1‬‬
‫נגדיר את האנרגיה החופשית של גיבס כך‪:‬‬
‫‪G (N, τ, p) ≡ U − τ σ + pV‬‬
‫= ‪∆p‬‬
‫‪ 9.3‬שיווי־משקל בראקציות כימיות‬
‫המשוואה לראקציה כימית היא‪:‬‬
‫‪νj Aj = 0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j‬‬
‫כאשר ‪ Aj‬מייצג את סוג החלקיק ו־ ‪ νj‬הם המקדמים‪ .‬למשל‪,‬‬
‫עבור הראקציה ‪ H2 + Cl2 = 2 HCl‬נקבל = ‪A1 = H2 , A2‬‬
‫‪ Cl2 , A3 = HCl‬ו־‪ .ν1 = ν2 = 1, ν3 = −2‬הדיפרנציאל של ‪G‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪dG‬‬
‫‪µj dNj − σ dτ + V dp‬‬
‫‪j‬‬
‫כאשר ‪ .µj ≡ (∂G/∂N )τ,p‬לרוב נניח כי הלחץ והטמפרטורה‬
‫קבועים‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪dG‬‬
‫‪µj dNj‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ dNj = νj dN‬כאשר ˆ‬
‫נרשום ˆ‬
‫‪ dN‬מציין כמה ראקציות‬
‫מתרחשות‪ .‬מכאן‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪0 = dG‬‬
‫‪νj µj dN‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ 9.1‬האנרגיה החופשית של גיבס‬
‫קלציט‬
‫ארגוניט‬
‫ולכן התנאי לשיווי־משקל הוא‪:‬‬
‫‪νj µj = 0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ 9.4‬שיווי־משקל בגז אידאלי‬
‫נרשום את הפוטנציאלים הכימיים כך‪:‬‬
‫‬
‫‪µj = τ log nj − log nQj Zjint‬‬
‫כאשר ‪ nj‬הוא הריכוז‪,‬‬
‫‪ m τ 3/2‬‬
‫‪j‬‬
‫≡ ‪nQj‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫הוא הריכוז הקוונטי ו־ ‪ Zjint‬היא פונקציית החלוקה הפנימית‪.‬‬
‫מכאן נקבל‪:‬‬
‫!‬
‫‪Y ν‬‬
‫‪Y ν‬‬
‫‪νj Fjint‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫= ) ‪nj = K (τ‬‬
‫‪nQj exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫כאשר ‪ Fjint ≡ −τ log Zjint‬היא האנרגיה החופשית הפנימית‬
‫ו־) ‪ K (τ‬נקרא קבוע שיווי־המשקל‪ .‬זהו חוק פעולת המסה‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בתהליך ‪ H2 = 2 H‬נקבל‪:‬‬
‫‪−2‬‬
‫) ‪[H2 ] [H] = K (τ‬‬
‫כאשר ] ‪ [H2‬הוא ריכוז המימן המולקולרי ו־]‪ [H‬הוא ריכוז המימן‬
‫האטומי‪ .‬קבוע שיווי־המשקל יינתן ע"י‪:‬‬
‫) ‪F (H2‬‬
‫‪log K = log nQ (H2 ) − 2 log nQ (H) −‬‬
‫‪τ‬‬
‫כאשר הגדרנו את האפס של האנרגיה כאנרגיית המנוחה של ‪.H‬‬
‫פקטורי ספין נבלעים ב־) ‪.F (H2‬‬
‫דוגמה נוספת היא תהליך היווצרות מימן אטומי ע"י הראקציה‪:‬‬
‫‪e + H+ = H‬‬
‫כלומר‪ ,‬ספיגת אלקטרון ‪ e‬ע"י פרוטון ‪ .H +‬מחוק פעולת המסה‪:‬‬
‫‪Y ν‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪nj j = [e] H + [H] = K (τ‬‬
‫‪j‬‬
‫אם נזניח את הספין נקבל ‪ F = 0‬עבור ‪ e‬ו־ ‪ .H +‬לכן‪:‬‬
‫!‬
‫‪Y ν‬‬
‫‪νj Fjint‬‬
‫‪j‬‬
‫= ) ‪K (τ‬‬
‫‪nQj exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪nQ (e) nQ (H + ) F (H)/τ‬‬
‫‪e‬‬
‫)‪nQ (H‬‬
‫=‬
‫‪≈ nQ (e) eF (H)/τ‬‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ I‬היא האנרגיה הדרושה ליינון מימן אטומי אז ברור כי‬
‫האנרגיה החופשית של אטום מימן היא ‪) F (H) = −I‬בהזנחת‬
‫ספין(‪ ,‬ומכאן‪:‬‬
‫‪1 + 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−I/τ‬‬
‫‪[e] H‬‬
‫‪[H] = nQ e‬‬
‫‪ 9.5‬מקדם ההתפשטות התרמית ודחיסות איזותרמית‬
‫מקדם ההתפשטות התרמית מוגדר כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 ∂V‬‬
‫≡ ‪αp‬‬
‫‪V ∂τ p,N‬‬
‫והוא שואף לאפס כאשר ‪ .τ → 0‬הדחיסות האיזותרמית מוגדרת‬
‫כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 ∂V‬‬
‫‪κτ ≡ −‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂p τ,N‬‬
‫מתקיים הקשר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V τ αp‬‬
‫= ‪Cp − CV‬‬
‫‪κτ‬‬
‫כאשר כזכור )סעיף ‪ Cp ,(6.6‬הוא קיבול החום בלחץ קבוע‪ ,‬ועבור‬
‫גז אידאלי ‪ .Cp − CV = N‬בנוסף‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪V ∂p‬‬
‫‪V αp‬‬
‫‪∂G‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪∂F V,N‬‬
‫‪σ ∂τ V,N‬‬
‫‪σκτ‬‬
‫כאשר השתמשנו בנוסחת הנגזרת של פונקציה סתומה )סעיף‬
‫‪.(11.7‬‬
‫‪ 9.6‬יחסי מקסוול‬
‫יחסי )קשרי( מקסוול הנפוצים ביותר הם‪:‬‬
‫ ‬
‫‪∂p‬‬
‫‪∂2U‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪=+‬‬
‫‪∂σ V‬‬
‫‪∂σ∂V‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂2H‬‬
‫‪=+‬‬
‫‪=+‬‬
‫‪∂σ p‬‬
‫‪∂σ∂p‬‬
‫ ‬
‫‪∂p‬‬
‫‪∂2F‬‬
‫‪=+‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂τ V‬‬
‫‪∂τ ∂V‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂2G‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ ∂p‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪∂p σ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪ τ‬‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂p τ‬‬
‫כאשר ‪ τ‬היא הטמפרטורה‪ V ,‬הוא הנפח‪ p ,‬הוא הלחץ‪ σ ,‬היא‬
‫האנטרופיה‪ U ,‬היא האנרגיה הפנימית‪ H ,‬היא האנתלפיה )סעיף‬
‫‪ F ,(10.4‬היא האנרגיה החופשית של הלמהולץ )סעיף ‪ (3.11‬ו־‪G‬‬
‫היא האנרגיה החופשית של גיבס )סעיף ‪.(9.1‬‬
‫פרק ‪10‬‬
‫מעברי פאזה‬
‫‪ 10.1‬משוואת לחץ האדים‬
‫גרף של לחץ כפונקציה של הנפח נקרא איזותרם‪ .‬חלק של‬
‫המערכת שהרכבו אחיד נקרא פאזה‪ .‬באיזותרם עשוי להיות אזור‬
‫בו שתי פאזות מתקיימות יחד‪ ,‬עם גבול מוגדר ביניהן )קו הדו־‬
‫קיום(‪ ,‬במצב של שיווי־משקל‪ .‬זהו האזור הדו־פאזתי בו הלחץ‬
‫קבוע‪ ,‬אך הנפח עשוי להשתנות‪ .‬עבור טמפרטורה נתונה יש רק‬
‫ערך אחד של הלחץ שבו הנוזל והאדים הם בשיווי־משקל‪ .‬תחת‬
‫הלחץ הזה‪ ,‬אם נקטין את הנפח )נוריד את הבוכנה(‪ ,‬חזק מהגז‬
‫יתעבה לנוזל‪ ,‬אך הלחץ יישאר קבוע כל עוד ייוותר גז במערכת‪.‬‬
‫תופעה זו מתרחשת רק אם הטמפרטורה של האיזותרם נמצאת‬
‫מתחת לטמפרטורה הקריטית ‪ .τc‬מעל טמפרטורה זו‪ ,‬רק פאזה‬
‫אחת ‪ -‬הפאזה הנוזלית ‪ -‬קיימת‪ ,‬ולא משנה כמה הלחץ גדול‪.‬‬
‫הטמפרטורה הקריטית של מים )‪ (H2 O‬היא ‪.647.1 K‬‬
‫בטמפרטורות נמוכות ולחץ גבוה נקבל מוצק‪ ,‬בטמפרטורות‬
‫גבוהות ולחץ נמוך נקבל גז‪ ,‬ובמקרי הביניים נקבל נוזל‪ .‬הנקודה‬
‫המשולשת היא קו הגבול בין שלוש הפאזות‪ :‬הנקודה במישור ‪pτ‬‬
‫בה הגז‪ ,‬הנוזל והמוצק נמצאים כולם בשיווי־משקל‪.‬‬
‫התנאי לקיום יחד של שתי פאזות הוא שיווי־משקל תרמי‪,‬‬
‫דיפוזיוני ומכני‪ ,τl = τg , µl = µg , pl = pg :‬כאשר ‪ l‬מסמל נוזל‬
‫ו־‪ g‬גז‪ .‬הפוטנציאלים הכימיים מחושבים בטמפרטורה והלחץ‬
‫המשותפים של הנוזל והגז‪:‬‬
‫) ‪µl (p, τ ) = µg (p, τ‬‬
‫נגדיר את הנפח למולקולה ‪ v ≡ V /N‬ואת האנטרופיה למולקולה‬
‫‪ .s ≡ σ/N‬כדי לפתח את משוואת קלאוזיוס־קלפיירון‪ ,‬נתחיל‬
‫מהיחס )יחס גיבס־דוהם(‪:‬‬
‫‪dµ = −s dτ + v dp‬‬
‫המתקיים עבור כל אחת מהפאזות בנפרד‪ .‬על קו הדו־קיום‬
‫מתקיים ‪ ,dµl = dµg‬לכן‪:‬‬
‫‪−sl dτ + vl dp = −sg dτ + vg dp‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪(vg − vl ) dp = (sg − sl ) dτ‬‬
‫ולפיכך‪:‬‬
‫‪sg − sl‬‬
‫‪∆s‬‬
‫‪dp‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪dτ‬‬
‫‪v g − vl‬‬
‫‪∆v‬‬
‫כאשר ‪ ∆σ ≡ sg − sl‬הוא הגידול באנטרופיה כאשר מעבירים‬
‫מולקולה אחת מהנוזל לגז ו־ ‪ ∆v ≡ vg − vl‬הוא הגידול בנפח‪.‬‬
‫נגדיר את החום הכמוס‪:‬‬
‫‪L ≡ τ ∆s‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪dp‬‬
‫‪L‬‬
‫=‬
‫‪dτ‬‬
‫‪τ ∆v‬‬
‫זוהי משוואת לחץ האדים )או משוואת קלאוזיוס־קלפיירון(‪ .‬נבצע‬
‫כעת שני קירובים‪ .‬האחד הוא ‪ ,vg vl‬כלומר‪ ,‬הנפח לאטום‬
‫בגז גדול בהרבה מהנפח לאטום בנוזל )או במוצק(‪ .‬לפיכך‬
‫‪ .∆v ≈ vg‬השני הוא משוואת הגז האידאלי ‪ .pvg = τ‬אז‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dp‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪= 2 p,‬‬
‫‪log p = 2‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪τ‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם החום הכמוס בלתי־תלוי בטמפרטורה באזור מסוים‪,‬‬
‫ניתן לבצע אינטגרציה ולקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪L0‬‬
‫‪p (τ ) = p0 exp −‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪ 10.2‬שאלה ממבחן‪ :‬מוליך־על בשדה מגנטי‬
‫שאלה ממבחן ‪2010‬א‪ :‬כאשר מוליך־על )מסוג ראשון( נמצא‬
‫תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני‪ ,‬השדה המגנטי נדחה מן החומר‬
‫מוליך־העל עד שהשדה מגיע לערך קריטי הנקרא גם השדה‬
‫הקריטי ) ‪ .Hc (τ‬עבור ‪ H > Hc‬החומר הופך למתכת רגילה‬
‫)מצב נורמלי( ועבור ‪ H < Hc‬החומר במצב מוליך־על‪.‬‬
‫נתון כי צורת קו הדו־קיום )השדה הקריטי( המפריד את הפאזה‬
‫הנורמלית והפאזה מוליכת־העל של חומר מסוים היא פרבולה‪,‬‬
‫והיא ניתנת כפונקציה של הטמפרטורה על־ידי‪:‬‬
‫! ‪ 2‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪Hc (τ ) = H0 1 −‬‬
‫‪τc‬‬
‫א‪ .‬קבלו משוואה אנלוגית למשוואת קלאוזיוס־קלפיירון עבור‬
‫קו הדו־קיום‪.‬‬
‫ב‪ .‬השתמשו בעובדה שבתוך מוליך־העל השדה ‪B = 0‬‬
‫ובקשר ‪ B = H + 4πm‬כדי לחשב את החום הכמוס‬
‫ליחידת נפח במעבר בין המצב מוליך־העל למצב הנורמלי‬
‫כפונקציה של ‪.τ‬‬
‫‬
‫‪ CH = τ ∂σ‬כדי למצוא את הקפיצה‬
‫ג‪ .‬השתמשו בקשר ‪∂τ H‬‬
‫בקיבול החום הסגולי ליחידת נפח כאשר חוצים את קו‬
‫הדו־קיום בשדה קבוע‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‪ :‬נחליף את הלחץ ‪ p‬בשדה המגנטי ‪ H‬ואת הנפח‬
‫‪ v‬במגנטיזציה ‪ ,−m‬ונקבל‪:‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪∆s‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪dτ‬‬
‫‪∆m‬‬
‫פתרון סעיף ב'‪ :‬החום הכמוס הוא‪:‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪L = τ ∆s = −τ ∆m‬‬
‫‪dτ‬‬
‫במצב מוליך־העל מתקיים‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B = H + 4πm = 0 =⇒ m = −‬‬
‫‪4π‬‬
‫ובמצב הנורמלי מתקיים‪:‬‬
‫‪B = H + 4πm = H =⇒ m = 0‬‬
‫לפיכך ‪ ,∆m = H/4π‬ובסה"כ נקבל‪:‬‬
‫! ‪ 2 4‬‬
‫‪H02‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪τ‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪τc‬‬
‫‪τc‬‬
‫פתרון סעיף ג'‪:‬‬
‫ ‬
‫‪L‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪∂∆σ‬‬
‫∂‬
‫‪=τ‬‬
‫‪=τ‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‪−L‬‬
‫‪∂L‬‬
‫‪∂τ τ‬‬
‫‪∆CH‬‬
‫‪∂L L‬‬
‫‪−‬‬
‫ ‪∂τ τ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪4τ 3‬‬
‫‪H02 τ‬‬
‫‪τ3‬‬
‫‪H02 2τ‬‬
‫‪− 4 −‬‬
‫‪− 4‬‬
‫=‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc‬‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc‬‬
‫‬
‫‬
‫‪H02 τ‬‬
‫‪3τ 3‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2π τc2‬‬
‫‪τc4‬‬
‫=‬
‫‪τ2‬‬
‫‪=τ‬‬
‫‪ 10.3‬פראקציות מולקולריות‬
‫כאשר נתון כי הפראקציות המולקולריות של הנוזל והגז הן ‪xl‬‬
‫ו־ ‪ xg‬בהתאמה‪ ,‬המשמעות היא‪:‬‬
‫‪v = x l vl + x g vg ,‬‬
‫‪x l + xg = 1‬‬
‫ולכל פונקציה ‪:f‬‬
‫‪hf i = xl fl + xg fg‬‬
‫‪ 10.4‬אנתלפיה‬
‫נגדיר את האנתלפיה‪:‬‬
‫‪H ≡ U + pV‬‬
‫הדיפרנציאל שלה הוא‪:‬‬
‫‪dH = dU + p dV − V dp‬‬
‫נשתמש בזהות התרמודינמית ‪τ dσ = dU − (µg − µl ) dN +‬‬
‫‪ p dV‬ונקבל‪ ,‬על העקומה בה ‪ ,µg = µl‬כי בלחץ קבוע מתקיים‪:‬‬
‫‪L = Hg − Hl‬‬
‫נשיםלב כי‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪∂σ‬‬
‫‪∂U‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂H‬‬
‫‪Cp = τ‬‬
‫=‬
‫‪+p‬‬
‫=‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫‪∂τ p‬‬
‫כאשר ‪ Cp‬הוא קיבול החום בלחץ קבוע )סעיף ‪.(6.6‬‬
‫‪ 10.5‬גז ואן־דר־ואלס‬
‫גז ואן־דר־ואלס הוא המודל הפשוט ביותר של מעבר פאזה נוזל־‬
‫גז‪ .‬במודל זה‪ ,‬משוואת המצב מותאמת כדי לקחת בחשבון את‬
‫האינטראקציות בין האטומים או המולקולות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪N 2a‬‬
‫‪p + 2 (V − N b) = N τ‬‬
‫‪V‬‬
‫כאשר ‪ N‬הוא מספר האטומים‪ V ,‬הוא הנפח‪ p ,‬הוא הלחץ‪τ ,‬‬
‫היא הטמפרטורה‪ a ,‬הוא קבוע אשר מודד את המשיכה בין שתי‬
‫מולקולות לטווח ארוך ו־‪ b‬הוא קבוע אשר מודד את הדחייה של‬
‫שתי מולקולות לטווח קצר‪ .‬כאשר ‪ a = b = 0‬נקבל גז אידאלי‪.‬‬
‫נגדיר ‪ ,v ≡ V /N‬אז נקבל עבור הלחץ‪:‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪− 2‬‬
‫=‪p‬‬
‫‪v−b v‬‬
‫אנרגיית הלמהולץ תהיה‪:‬‬
‫‬
‫ ‪aτ‬‬
‫‪F = −N τ 1 + log (nQ (v − b)) +‬‬
‫‪v‬‬
‫אנרגיית גיבס תהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪2a‬‬
‫)‪nQ (V − N b‬‬
‫‪G = Nτ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪− 1 − log‬‬
‫‪v − b τv‬‬
‫‪N‬‬
‫תהיה‪:‬‬
‫‬
‫האנטרופיה ‬
‫‪5‬‬
‫‪σ = N log (nQ (v − b)) +‬‬
‫‪2‬‬
‫האנתלפיה היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪bτ‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2ap‬‬
‫‪H=N‬‬
‫‪τ+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=N‬‬
‫‪τ + bp −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ‬‬
‫הפוטנציאל הכימי יהיה‪:‬‬
‫‪τb‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪µ = −τ log (nQ (v − b)) +‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪nQ (v − b‬‬
‫‪v‬‬
‫תהיה‪:‬‬
‫האנרגיה‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪U =N‬‬
‫‪τ−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫הדחיסות האיזותרמית תהיה‪:‬‬
‫‪!−1‬‬
‫ ‬
‫‪1 ∂v‬‬
‫‪τv‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪κτ ≡ −‬‬
‫=‬
‫‪2 − v2‬‬
‫‪v ∂p τ‬‬
‫)‪(v − b‬‬
‫מקדם ההתפשטות התרמית יהיה‪:‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪τv‬‬
‫)‪2a (v − b‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪v−b‬‬
‫‪v2‬‬
‫קיבול החום בנפח קבוע יהיה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪CV = N‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂τ‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫≡ ‪αp‬‬
‫‪v‬‬
‫וקיבול החום בלחץ קבוע יהיה‪:‬‬
‫‪! ‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪(v‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪=N + 1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪τ v3‬‬
‫‪‬‬
‫‪τ αp2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪κτ‬‬
‫‪Cp = CV +‬‬
‫כאשר נזכיר כי‪:‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‬
‫‪Mτ‬‬
‫‪2π~2‬‬
‫הערה‪ cp ≡ Cp /V :‬ו־ ‪≡ CV /V‬‬
‫הסגוליים‪.‬‬
‫≡ ‪nQ‬‬
‫‪ cV‬נקראים קיבולי החום‬
‫חשיבות לסדר‪:‬‬
‫ ‬
‫)‪n · (n − 1) · · · (n − k + 1‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫=‬
‫≡‬
‫!)‪k! (n − k‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫מספר הדרכים לבחור ‪ k‬עצמים מתוך ‪ n‬עם החזרה וללא חשיבות‬
‫לסדר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n+k−1‬‬
‫!)‪(n + k − 1‬‬
‫=‬
‫‪k‬‬
‫!)‪k! (n − 1‬‬
‫נספחים‬
‫‪ 11.5‬הסתברות‬
‫‪s‬‬
‫כאשר הסכום עובר על כל הערכים האפשריים של ‪ .s‬הממוצע‬
‫של פונקציה )‪ f (s‬לפי פונקציית הסתברות זו הוא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫≡ ‪hf i‬‬
‫)‪f (s) P (s‬‬
‫‪ 11.1‬אינטגרלים שימושיים‬
‫‪π‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪b2‬‬
‫‪−c‬‬
‫‪4a‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪−ax2‬‬
‫ˆ‬
‫∞‪+‬‬
‫‪s‬‬
‫‪e‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪exp‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫)‪+bx+c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e−(ax‬‬
‫∞‪+‬‬
‫ˆ‬
‫∞‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪π /6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪dx = π /15 n = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ex −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪8π /63 n = 5‬‬
‫‬
‫‬
‫∞ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= log‬‬
‫‪+1‬‬
‫)‪x (x + 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫∞ ˆ‬
‫!‪xn e−x/a dx = an+1 n‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫∞ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2n −ax2‬‬
‫‪x e‬‬
‫‪dx = n+1/2 n −‬‬
‫!‬
‫‪2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‬
‫‪ˆ π‬‬
‫‪n−1‬‬
‫√‬
‫)‪2 · 2·4···(n−1‬‬
‫‪n odd‬‬
‫‪n‬‬
‫! ‪2‬‬
‫‪1·3···n‬‬
‫=‪π‬‬
‫‪sin x dx = n‬‬
‫)‪1·3···(n−1‬‬
‫‪π · 2·4···n‬‬
‫‪n even‬‬
‫‪0‬‬
‫! ‪2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‪1‬‬
‫‪− ! = π,‬‬
‫‪π‬‬
‫=!‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫√ )‪1 · 3 · 5 · · · (2n − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−‬‬
‫‪π‬‬
‫=!‬
‫‪2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫השונות היא‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E D‬‬
‫ ‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(∆f ) ≡ (f − hf i) = f 2 − hf i‬‬
‫וסטיית התקן היא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪x2n+1 e−ax dx‬‬
‫‪E‬‬
‫‪rD‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(∆f‬‬
‫≡ ‪σf‬‬
‫אם פונקציית ההסתברות לא מנורמלת‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫)‪f (s) P (s‬‬
‫‪hf i ≡ sP‬‬
‫)‪s P (s‬‬
‫‪ 11.6‬טרנספורם לג'נדר‬
‫נתונה פונקציה )‪ .y (x‬נגדיר‪:‬‬
‫‪dy‬‬
‫≡‪p‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ψ (p) ≡ y − px‬‬
‫‪dx‬‬
‫אז הפונקציה )‪ ψ (p‬נקראת טרנספורם לג'נדר של )‪ .y (x‬הנגזרות‬
‫השניות של ‪ y‬ושל ‪ ψ‬מקיימות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d yd ψ‬‬
‫‪= −1‬‬
‫‪dx2 dp2‬‬
‫עבור פונקציה של מספר משתנים ) ‪ ,y (x1 , . . . , xn‬נגדיר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂y‬‬
‫≡ ‪pi‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ψ (p1 , . . . , pn ) ≡ y −‬‬
‫‪pi xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אז מטריצות הנגזרות החלקיות השניות של ‪ y‬ושל ‪ ψ‬מקיימות‬
‫את הקשר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ ψ‬‬
‫‪∂ y‬‬
‫‪= −δij‬‬
‫‪∂xi ∂xk ∂pk ∂pj‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ 11.2‬קירוב סטירלינג‬
‫‪ 11.7‬נגזרת של פונקציה סתומה‬
‫‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n! ∼ (2πn) n exp −n +‬‬
‫‪+O‬‬
‫‪12n‬‬
‫‪n2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log n! ∼ log (2π) + n +‬‬
‫‪log n − n +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪log n! ∼ n log n − n‬‬
‫‪ 11.3‬קירובי טיילור‬
‫‪1‬‬
‫‪e x ≈ 1 + x + x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log (1 + x) ≈ x − x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α (α − 1) 2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪(1 + x) ≈ 1 + αx +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x ≈ x − x3‬‬
‫‪cos x ≈ 1 − x2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪tan x ≈ x + x‬‬
‫‪cot x ≈ − x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪arcsin x ≈ x + x‬‬
‫‪arccos x = − arcsin x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪arctan x ≈ x − x‬‬
‫‪arccot x = sign x − arctan x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור פונקציות היפרבוליות צריך פשוט להפוך את הסימן של‬
‫האיבר השני בכל ביטוי‪ .‬מקרים יוצאי דופן הם‪:‬‬
‫‪iπ‬‬
‫= ‪arccosh x‬‬
‫)‪− arcsinh (i x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪iπ‬‬
‫‪arccoth x = − sign x + arctanh x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 11.4‬קומבינטוריקה‬
‫מספר הדרכים לסדר ‪ n‬עצמים בשורה‪.n! :‬‬
‫מספר הדרכים לבחור ‪ k‬עצמים מתוך ‪ n‬עם החזרה ועם חשיבות‬
‫לסדר‪.nk :‬‬
‫מספר הדרכים לבחור ‪ k‬עצמים מתוך ‪ n‬ללא החזרה ועם חשיבות‬
‫לסדר‪:‬‬
‫!‪n‬‬
‫)‪= n · (n − 1) · · · (n − k + 1‬‬
‫!)‪(n − k‬‬
‫מספר הדרכים לבחור ‪ k‬עצמים מתוך ‪ n‬ללא החזרה וללא‬
‫נוסחת הנגזרת של פונקציה סתומה היא‪:‬‬
‫‬
‫‪(∂z/∂x)y‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪∂x z‬‬
‫‪(∂z/∂y)x‬‬
‫‬
‫‪ 11.8‬קבועים ויחידות‬
‫קבוע בולצמן‪:‬‬
‫‪−23‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪kB ≈ 1.38 × 10‬‬
‫‪J K ≈ 8.62 × 10 eV K−1‬‬
‫קבוע פלאנק‪:‬‬
‫‪h ≈ 6.63 × 10−34 J s ≈ 4.14 × 10−15 eV s‬‬
‫‪h‬‬
‫=~‬
‫‪≈ 1.05 × 10−34 J s ≈ 6.58 × 10−16 eV s‬‬
‫‪2π‬‬
‫קבוע סטפן־בולצמן‪:‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−2 −4‬‬
‫‪σB ≈ 5.67 × 10 W m K‬‬
‫‪= 5.67 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4‬‬
‫מספר אבוגדרו‪:‬‬
‫‪NA ≈ 6.02 × 1023‬‬
‫קבוע הגזים‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪R = NA kB = 8.31 J K mol‬‬
‫‪= 8.31 × 107 erg K−1 mol−1‬‬
‫‪= 5.19 × 1019 eV K−1 mol−1‬‬
‫מהירות האור‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪c ≈ 3.00 × 10 m s‬‬
‫המטען היסודי‪:‬‬
‫‪e ≈ 1.60 × 10−19 C‬‬
‫מסת האלקטרון‪:‬‬
‫‪me ≈ 0.511 MeV/c ≈ 9.11 × 10‬‬
‫‪kg‬‬
‫מסת הפרוטון‪:‬‬
‫‪mp ≈ 938 MeV/c2 ≈ 1.67 × 10−27 kg‬‬
‫המרת יחידות אנרגיה‪:‬‬
‫‪−19‬‬
‫‪1 eV ≈ 1.60 × 10‬‬
‫‪J‬‬
‫‪1 J ≈ 6.24 × 1018 eV‬‬
‫‪−31‬‬
‫פרק ‪12‬‬
‫אינדקס‬
‫תהי )‪ P (s‬פונקציית הסתברות בדידה המקיימת את תנאי‬
‫הנורמליזציה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪P (s) = 1‬‬
‫פרק ‪11‬‬
‫אטמוספירה‪:‬‬
‫‪1 atm = 1.01 × 105 Pa = 1.01 × 105 kg m−1 s−2‬‬
‫טמפרטורות קלווין וצלזיוס‪:‬‬
‫‪0 K = −273.15 ◦ C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 erg = 10−7 J ≈ 6.24 × 1011 eV‬‬
‫יחידת מסה אטומית‪:‬‬
‫‪−27‬‬
‫‪1 u ≈ 1.66 × 10‬‬
‫‪kg ≈ 931 MeV/c2‬‬
‫אוסילטור הרמוני קוונטי‪3.8 ,2.6 :‬‬
‫אנטרופיה‪2.3 :‬‬
‫אנטרופיה של ערבוב‪3.16 :‬‬
‫אנרגיה חופשית של הלמהולץ‪3.11 :‬‬
‫אנרגיה חופשית של גיבס‪9.1 :‬‬
‫אנרגיית סיבוב‪6.8 :‬‬
‫אנרגיית פרמי‪7.3 :‬‬
‫אנתלפיה‪10.4 :‬‬
‫גז אידאלי‪) 7.6 ,3.13 ,3.12 :‬פוטנציאל כימי(‪) 9.4 ,6.5 ,‬שיווי־‬
‫משקל(‬
‫גז אלקטרונים חופשי‪) 7.6 ,7.5 ,7.4 :‬פוטנציאל כימי(‬
‫גז ואן־דר־ואלס‪10.5 :‬‬
‫גז מנוון‪) 7.15 ,7.1 :‬גז בוזונים מנוון(‬
‫גז פרמי‪7.3 ,7.2 :‬‬
‫גז פרמיונים במתכת‪7.9 :‬‬
‫דחיסות איזותרמית‪9.5 :‬‬
‫דרגות חופש פנימיות‪/‬מולקולות רב־אטומיות‪6.9 ,6.7 :‬‬
‫התפלגות בוז־איינשטיין‪6.2 :‬‬
‫התפלגות מקסוול‪3.18 :‬‬
‫התפלגות פלאנק‪4.1 :‬‬
‫התפלגות פרמי־דיראק‪6.1 :‬‬
‫ההתפלגות הקלאסית‪6.3 :‬‬
‫התפשטות‪6.13 ,6.12 ,6.11 :‬‬
‫הזהות התרמודינמית‪5.6 ,3.10 :‬‬
‫חום כמוס‪10.1 :‬‬
‫חוק גדילת האנטרופיה‪2.4 :‬‬
‫חוק סטפן־בולצמן‪4.2 :‬‬
‫חוק פלאנק‪4.3 :‬‬
‫חוק קירכהוף‪4.6 :‬‬
‫חוקי התרמודינמיקה‪2.5 :‬‬
‫טמפרטורה‪) 3.9 ,2.4 :‬שלילית(‬
‫טמפרטורה של כוכב‪3.3 :‬‬
‫יחסי מקסוול‪9.6 ,9.1 ,3.11 :‬‬
‫יעילות קרנו‪8.1 :‬‬
‫לחץ‪3.10 :‬‬
‫לחץ קרינה‪4.7 :‬‬
‫מגע דיפוזיוני‪5.1 :‬‬
‫מנוע חום‪8.1 :‬‬
‫מספר הגל‪7.5 :‬‬
‫מקדם ההתפשטות התרמית‪9.5 :‬‬
‫מקרר‪8.2 :‬‬
‫מרחב הפאזה‪7.5 :‬‬
‫משוואת ‪6.5 ,3.13 :Sackur-Tetrode‬‬
‫משוואת הגז האידאלי‪3.13 :‬‬
‫משוואת לחץ האדים‪/‬קלאוזיוס־קלפיירון‪10.1 :‬‬
‫משפט החלוקה השווה‪6.10 :‬‬
‫סיכום היחסים בין ‪ τ, p, µ‬ו־ ‪5.6 :σ, U, F‬‬
‫ספין ומומנט מגנטי‪6.3 ,5.5 ,3.4 ,1.1 :‬‬
‫עיבוי בוז־איינשטיין‪7.12 ,7.1 :‬‬
‫פאזות‪10.1 :‬‬
‫פוטנציאל כימי‪) 5.3 ,5.1 :‬כולל‪/‬אלקטרוכימי(‬
‫פוטנציאל תרמודינמי גרנד־קנוני‪) 7.11 ,5.8 :‬של גז פרמיונים(‬
‫פונון‪4.10 :‬‬
‫פונקציית חלוקה‪) 3.5 ,3.2 :‬חלקיקים מובחנים‪/‬לא מובחנים(‪,‬‬
‫‪) 6.7‬שילוב(‬
‫פונקציית חלוקה גרנד־קנונית‪5.7 :‬‬
‫פונקציית ריבוי‪2.6 ,1.1 :‬‬
‫פלקטואציות‪4.10 :‬‬
‫פקטור בולצמן‪3.1 :‬‬
‫פקטור גיבס‪5.7 :‬‬
‫פראקציות מולקולריות‪10.3 :‬‬
‫צפיפות המצבים‪7.4 :‬‬
‫הקונפיגורציה הסבירה ביותר‪2.2 :‬‬
‫קבוע הגזים‪6.6 :‬‬
‫קיבול חום‪) 3.6 :‬בנפח קבוע(‪) 6.6 ,‬בלחץ קבוע(‪) 7.8 ,‬של גז‬
‫אלקטרונים(‬
‫ראקציות כימיות‪9.3 :‬‬
‫ריכוז קוונטי‪3.12 :‬‬
‫רעש במעגלים אלקטרוניים‪4.9 ,4.8 :‬‬
‫שיווי־משקל תרמי‪2.3 :‬‬
‫שרשרת אטומים‪1.2 :‬‬
‫תהליך אדיאבטי‪6.12 :‬‬
‫תהליך הפיך‪3.17 :‬‬
‫תהליך קרנו‪8.3 ,8.1 :‬‬
‫תורת דביי‪4.10 :‬‬
‫התחום הקלאסי והתחום הקוונטי‪7.1 ,6.2 :‬‬