פתרונות למבחן שלב ב` מה
מדינת ישראל משרד החינוך כ"ב בכסלו תשע"ה 4124.2.241 אולימפיאדה שנייה ע"ש בנו ארבל ז"ל – פתרונות כיתות ז' .1שלושה קיפודים מצאו שלושה גושי גבינה בעלי משקלים 42 ,1ו 41-גרם 2הם התקשו לחלק אותם בצורה הוגנת ,ופנו לשועל לעזרה 2השועל יכול לבצע כמות כלשהי של פעולות מהסוג הבא :לבחור שני גושים ,לפרוס מכל אחד גרם אחד של גבינה ,ולאכול את הפרוסות 2האם השועל יכול להשאיר לקיפודים גושים שווי משקל? תשובה 2כן2 פתרון 2למשל ,בשלב הראשון השועל יאכל 1פעמים מהגוש הקטן ביותר והגדול ביותר 2המצב אחרי זה יהיה42 ,42 ,4 : גרם 2אז השועל יאכל 9פעמים משני הגושים הגדולים ויביא את הגושים למצב24 ,4 ,4 : .2בגן חיות יש יותר אריות מאשר צבאים ,יותר דובים מאשר אריות ויותר ג'יראפות מאשר דובים ,אבל יותר קרניים של צבאים מאשר צווארים של ג'יראפות 2מהי הכמות הקטנה ביותר האפשרית של חיות בגן חיות זה? תשובה .. .חיות2 פתרון .אי השוויון על הכמויות: צבאים < אריות < דובים < ג'יראפות < פעמיים צבאים2 לכן בין הכמות של הצבאים לבין פעמיים כמות זו יש לפחות 1מספרים טבעיים 2לכן ההפרש בין פעמיים כמות הצבאים לבין כמות הצבאים הוא לפחות ,1ולכן כמות הצבאים היא לפחות 21מכאן הכמויות של אריות ,הדובים והג'יראפות הם לפחות 6 ,5ו 7-בהתאמה ,ולכן הכמות הכוללת של חיות בגן החיות היא לפחות 2 4 5 6 7 22יתכן שאלו הכמויות האמיתיות ,כי הכמויות 6 ,5 ,1ו 7-עבור צבאים ,אריות ,דובים וג'יראפות בהתאמה אכן מקיימות את כל תנאי השאלה2 .3מדרגה היא צורה המורכבת מ 6-משבצות ,שחופפת לצורה בציור 2חותכים את לוח 8 8 למדרגות ולמשבצות בודדות 2מהו המספר המרבי של מדרגות שניתן ליצור? תשובה242 . פתרון .נשים לב כי שטחה של המדרגה הינו ,6ושטחו של הלוח 8 8הינו 261לכן לא ניתן לקבל יותר מ 42-מדרגות ,כי 2 6 11 66 64 8 8 הציור מדגים כי אכן ניתן לקבל 42צורות של מדרגה2 .4יש 7כרטיסים צבעוניים 2הכרטיס הראשון אדום מצד אחד וירוק מצד שני 2הכרטיס השני אדום מצד אחד וצהוב מצד שני 2הכרטיס השלישי אדום מצד אחד וכחול מצד שני 2הכרטיס הרביעי כחול מצד אחד וירוק מצד שני 2הכרטיס החמישי מדינת ישראל משרד החינוך אדום מצד אחד וצהוב מצד שני 2כל אחד משני הכרטיסים הנוספים צהוב מצד אחד וסגול מצד שני 2הכרטיסים מונחים על שולחן בשורה בסדר אקראי ,כך שהצבעים שרואים הם: כחול ירוק צהוב אדום צהוב ירוק סגול לפי סדר זה2 אם נהפוך את הכרטיס האמצעי ,איזה צבע יהיה לו? תשובה .צהוב פתרון .בהתחלה ,נסדר את כל הנתונים על הכרטיסים בטבלה: 1 אדום ירוק 2 אדום צהוב 3 אדום כחול 4 כחול ירוק 5 אדום צהוב 6 צהוב סגול 7 צהוב סגול נשים לב כי יש רק שני כרטיסים שיש להם צד ירוק ,ואלה הכרטיסים 4ו 21-בגלל שאנחנו רואים על השולחן שני כרטיסים ירוקים ,אלה חייבים להיות הכרטיסים הנ"ל 4 ,ו21- אם כך ,יש רק כרטיס כחול אחד שנשאר ,ואנחנו רואים כרטיס כחול על השולחן ,לכן זה כרטיס 21 נתבונן עכשיו בכרטיס האמצעי 2כרגע סך הכל נשארו לנו כרטיסים מספר 6 ,5 ,.ו 27 -מבין הכרטיסים האלה יש רק שניים שיש להם צד אדום – כרטיסים .ו 25-לשני הכרטיסים האלה הצד השני הוא צהוב ,לכן האפשרות היחידה שנותרה היא – צהוב2 .5שחזרו את המספרים בתרגיל הכפל 2אותיות זהות מסמנות ספרות זהות ואותיות שונות מסמנות ספרות שונות2 תשובה .התרגיל הוא 2 516 256 ח ש ח ב ח ת ו ח ת פתרון .תחילה נשים לב ,כי .ח מסתיים ב-ח 2לכן ח הוא 5 ,4 ,2או 26 לו ח היה 2אז הספרות האחרונות של כל 1המחוברים היו ח ,והם לא2 לו ח היה ,5אז הספרות האחרונות של 1המחוברים היו 2או 5כולן ,ויש שם 1ספרות שונות :ח ,ו ,ר2 לו ח היה ,4אז הספרות האחרונות של 1המחוברים היו ח ,ש ,ב ,והם לא – הם ח ,ו ,ר2 לכן ח יכול להיות רק 26 6 בנוסף נשים לב כי בחיבור ,העמודה השנייה מימין נותנת ת +ו = ת ,ומכאן ש -ו = 22 6 6 אבל ו זו הספרה האחרונה של חשב × ב 2לכן × 6ב מסתיים ב22- לכן ב הוא 2או ,5אבל 2כבר תפוס על ידי ו 2לכן ב = 25 ש 5 ת 2 6ת המחובר הראשון בסכום הוא חשב × 21622 = 6 × 622 < 6 המחובר השני הוא חשב × 2.522 = 5 × 522 > 5 לכן אם נסתכל על הספרות המובילות של שני המחוברים הראשונים ,נראה כי 1ל ר 2 2 ב ר ו ע ר ו × ל + ב ר ל ו ש ר ל ש 5 ר 2 ע ר 2 × ל + 5ר ל 2ש ר ל ש מדינת ישראל משרד החינוך אבל ל > ר 2לכן ל = , 1וגם ר = 2. נתבונן בעמודה השנייה מימין בחיבור + 2 :ע . +מסתיים ב( 2-לא יתכן מעבר מהעמודה השנייה) 2לכן ע = 28 לכן אנחנו יודעים את המחובר השני ,שהוא 6 = .582ש25 × 5 מכאן קל לחשב כי 6ש 2 516 2580 / 5 = 5כלומר ,ש = 24 ובכן ,חישבנו את כל הספרות של שני הגורמים במכפלה ,ומכאן לא קשה להשלים את מה שנשאר (שזה רק ת = 2)9 4 6 5 6 9 6 2 9 6 5 . 2 8 . 2 × 1 + . 5 4 2 1 4 1 . .6במחסן היו מספר גושים זהים של גבינה 2בלילה הגיעו חולדות ואכלו 42גושים 2כולם אכלו כמות שווה של גבינה2 למחרת לחלק מהחולדות כאבה הבטן ולמחסן הגיעו רק 7חולדות ,שכל אחת אכלה פי .פחות מאשר ביום הראשון ,וכך הן סיימו את הגבינה 2כמה גושי גבינה היו במחסן בהתחלה? תשובה 44 2גושים2 פתרון 2נניח שבהתחלה היו 5 10 גושים 2למחרת 7חולדות אכלו כל אחת חולדות 2כל אחת אכלה x x גושים 2זאת 35 אומרת שסך הכל הן אכלו x גוש אחד 2לכן ,בסך הכל היו 44גושים2 גושים ,וידוע שזה מספר שלם 2מאחר ו , x 7 -בהכרח 2 x 35מכאן ,ביום השני הן אכלו .7על הלוח כתובים שני מספרים .241 :ו 2.245-בני ודני משחקים בתורות לסירוגין ,ובני משחק ראשון 2בכל מהלך מותר לבצע אחת משתי פעולות: (א) להחליף מספר כלשהו בהפרש בין המספר הזה לבין ספרה לא אפסית כלשהי המופיעה על הלוח2 (ב) להחליף מספר זוגי כלשהו במספר שקטן ממנו פי 2. השחקן הראשון שכותב על הלוח מספר חד-ספרתי מנצח2 לאיזה שחקן יש אסטרטגיה מנצחת? כיצד הוא צריך לשחק כדי לנצח? תשובה לבני יש אסטרטגיה מנצחת2 פתרון 2במהלך הראשון בני מחסיר 4מ 2.245-נשים לב כי אחרי המהלך הזה שני המספרים שכתובים על הלוח שווים2 בכל המהלכים הבאים בני יעתיק את פעולותיו של דני כך שבכל שלב אחרי מהלכו של בני שני המספרים שכתובים על הלוח יהיו שווים 2בני ימשיך באסטרטגיה הזאת עד המהלך אחד לפני אחרון 2נניח שבמצב מסויים על הלוח כתובים המספרים , n , nודני יכול להפוך את אחד המספרים האלה למספר חד ספרתי 2המצב הזה בטוח יקרה כי המספרים קטנים ממש כל הזמן, וזה לא יכול להמשך עד אינסוף 2נתבונן במהלך אחד לפני המהלך הזה 2על הלוח כתובים מספרים m n , nוהתור הוא של בני 2אז במקום להוריד את mל , n -דני יקטין את nכך שהוא יקבל מספר חד ספרתי2 .8חלקו את המתומן בציור לשני מצולעים שחופפים זה לזה2 מדינת ישראל משרד החינוך הפתרון בציור2 מדינת ישראל משרד החינוך כיתות ח' .1שלושה קיפודים מצאו שלושה גושי גבינה בעלי משקלים שונים 2הם התקשו לחלק אותם בצורה הוגנת ,ופנו לשועל לעזרה 2השועל יכול לבצע כמות כלשהי של פעולות מהסוג הבא :לבחור שני גושים ,לפרוס מכל אחד גרם אחד של גבינה, ולאכול את הפרוסות 2האם השועל יכול להשאיר לקיפודים גושים שווי משקל ,כאשר א .משקלי הגושים הם 42 ,1ו 41-גרם? ב .משקלי הגושים הם 7 ,1ו 44-גרם? תשובה לסעיף א' 2כן2 פתרון לסעיף א' 2למשל ,בשלב הראשון השועל יאכל 1פעמים מהגוש הקטן ביותר והגדול ביותר 2המצב אחרי זה יהיה,4 : 42 ,42גרם 2אז השועל יאכל 9פעמים משני הגושים הגדולים ויביא את הגושים למצב24 ,4 ,4 : תשובה לסעיף ב' 2לא2 פתרון לסעיף ב' 2כדי להפוך את הגושים של 44ושל 7גרם לשווי משקל ,השועל חייב להשתמש בגוש השלישי 2הפרש המשקלים ביניהם הינו 1גרם ,לכן השועל חייב להשתמש בגוש השלישי לפחות 1פעמים 2אבל הגוש השלישי שוקל 1גרם, ואחרי שהשועל ישתמש בו 1פעמים ,לא יישאר מהגוש הזה כלום 2זה לא מתאים לתנאיי הבעיה ,לכן לשועל אין אפשרות להפוך את הגושים האלה לשווי משקל2 .2על כביש מעגלי ממוקמות 1תחנות דלק 2D ,C ,B ,A :המרחק ABשווה ל 52-ק"מ ,המרחק 12 - ACק"מ ,המרחק .5 - CDק"מ ,המרחק 15 - ADק"מ 2מהו המרחק ?BCהערה :כל המרחקים פה הם לאורך הכביש2 תשובה 2מרחק BCשווה ל 42-ק"מ2 פתרון 2נתחיל מתחנה ,Aכי נתונים כל המרחקים ממנה 2מאחר והמרחק CDלא שווה להפרש המרחקים ACו ,AD-אז התחנות Cו D-הן מצדדים שונים של 2 Aמכאן שהיקף המעגל הינו 2 100 DA CD ACידוע ש , AB 50 -לכן Aו B-הינן קצוות של קוטר 2לכן 2 10 40 – 50 AC – AB BC 44 .3מטבעות זהים למראה מונחים בשורה 2מביניהם יש 1מטבעות מזויפים שנמצאים ברצף במקום לא ידוע2 המטבעות האחרים אמיתיים 2כל המטבעות האמיתיים הינם שווי משקל ,וגם כל המטבעות המזויפים הינם שווי משקל, אבל מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי 2בכמה שקילות במאזני כף ניתן למצוא את המטבעות המזויפים? תשובה . 2שקילות2 פתרון 2ראשית נראה כיצד בעזרת שקילה אחת ניתן לאתר שלישיית מטבעות מזויפים מתוך 5מטבעות המסודרים בשורה מדינת ישראל משרד החינוך (כמו בבעיה המקורית ,מטבעות מזויפים יותר קלים מהמטבעות האמיתיים ,והם ממוקמים ברצף) 2נמספר את חמישיית המטבעות במספרים מ 4 -עד 25בשקילה שנבצע ,נשקול את מטבע 4מול מטבע 25 אם 4קל יותר מ ,5 -סימן שהוא ועוד שני המטבעות הצמודים לו ,הם המזויפים ,כלומר 21 ,. ,4 אם 4שווה ל ,5 -סימן שאף אחד מהם לא בקבוצת המזויפים 2כלומר המטבעות המזויפים הם 21 ,1 ,. אם 5קל יותר מ ,4 -סימן שהוא ועוד שני המטבעות הצמודים לו ,הם המזויפים ,כלומר 25 ,1 ,1 כעת נחזור לבעיה המקורית 2נראה כי ניתן לאתר את שלישית המטבעות על ידי שתי שקילות בלבד2 נמספר את המטבעות במספרים מ 4 -עד 44כפי שמתואר בציור2 בשקילה הראשונה נשקול את המטבעות 1 ,. ,4מול המטבעות 244 ,42 ,9בעזרת השקילה הזאת נאתר את חמישיית המטבעות שמכילה את שלושת המטבעות המזויפים 2בשקילה השנייה נמצא את המטבעות המזויפים מתוך החמישייה שמצאנו בדרך שהראנו לעיל2 בפירוט ,נשקול את המטבעות לפי התרשים למעלה ולכל מקרה נתאים את השלישייה שלו כך (השורה הראשונה מתארת את השקילה הראשונה והשורה השנייה את השקילה שמתבצעת אחריה): ;A 1, 2, 3; B 3, 4, 5; C 2, 3, 4 D 4, 5, 6; E 6, 7, 8 I 8, 9, 10 ;F 5, 6, 7; G 7, 8, 9; H 9, 10, 11 לא ניתן לאתר את המטבעות באמצעות שקילה אחת בלבד ,משום שבכל שקילה אנחנו מחלקים את מספר האפשרויות ב21- כיוון שיש לנו 9אפשרויות למיקום המטבעות ,המספר המינימאלי של שקילות הוא 2. .4הראו ,כי ניתן לגזור ריבוע לריבועים קטנים יותר ,כך שאת הריבועים שהתקבלו יהיה אפשר לחלק לשתי קבוצות ,בכל קבוצה מספר ריבועים שווה 2בכל קבוצה כל הריבועים חופפים ,אך הריבועים מהקבוצה הראשונה אינם חופפים לריבועים מדינת ישראל משרד החינוך מהקבוצה השנייה2 פתרון .1אם גודלו של הריבוע הקטן הוא a aמשבצות וגודלו של הריבוע הגדול יותר הוא b bמשבצות ,אז אפשר לחפש פתרון מהשוויון , c2 na2 nb2כאשר c 2הינו מספר המשבצות אשר מכיל הריבוע הנגזר 2עבור , a 3 n 9 c 15 , b 4מקבלים את הדוגמא שמתוארת בציור: פתרון .2משני ריבועים 11ושני ריבועים 2 2אפשר להרכיב מלבן ( 5 2ראו ציור) ,ומ 42-מלבנים כאלה מרכיבים ריבוע 2 10 10 .5נתונים 54מספרים דו ספרתיים שונים 2הוכיחו שניתן לבחור 6מתוכם ,כך שבכל זוג מתוך השישה מופיעות שתי ספרות עשרות שונות ושתי ספרות אחדות שונות2 פתרון 2נרשום את כל המספרים הדו-ספרתיים בטבלה הבאה :בשורה הראשונה נכתוב את כל המספרים הדו-ספרתיים שמתחילים ב ,4-ומתחת לכל מספר נכתוב מספר שמתקבל ממנו על ידי הוספת 4לכל אחת מהספרות שלו (ואת הספרה 9 מחליפים בספרה 2)2 49 .2 14 1. 51 61 75 86 97 48 .9 12 14 5. 61 71 85 96 47 .8 19 12 54 6. 71 81 95 46 .7 18 19 52 64 7. 81 91 45 .6 17 18 59 62 74 8. 91 41 .5 16 17 58 69 72 84 9. 41 .1 15 16 57 68 79 82 94 4. .1 11 15 56 67 78 89 92 44 .. 11 11 55 66 77 88 99 42 .4 1. 11 51 65 76 87 98 נשים לב כי בכל אחת מהעמודות כל ספרות האחדות הן שונות זו מזו ,וכך גם כל הספרות העשרות 2בנוסף ,אם ניקח 54 מספרים דו-ספרתיים ,אז ,לפי עקרון שובך יונים ,שישה מהם חייבים להשתייך לאותה עמודה2 .6המספרים 1, 2, … , 10מסודרים במעגל 2כל מספר מופיע פעם אחת בדיוק2 א .הוכיחו כי קיימים שלושה מספרים עוקבים שסכומם לפחות 248 מדינת ישראל משרד החינוך ב .בנו דוגמה בה אף סכום של שלושה מספרים עוקבים אינו גדול מ248- פתרון .א .סכום כל המספרים במעגל הוא 1 1 1 10 2 9 ... 10 1 11 10 55 2 2 21 2 ... 10 נתבונן בכל המספרים חוץ מ 24-סכומם 251 9המספרים האלה במעגל מחולקים ל 1-שלשות 2אם סכום בכל שלושה לכל היותר ,47אז סכומם לכל היותר 254 סתירה2 6 ב .למשל, 10 2 1 5 7 9 8 3 4 .7חלקו את המתומן שמופיע בציור לשני מצולעים חופפים זה לזה2 הפתרון בציור מדינת ישראל משרד החינוך כיתות ט' .1על כביש מעגלי ממוקמות 1תחנות דלק 2D ,C ,B ,Aהמרחק (לאורך הכביש) ABשווה ל 52-ק"מ ,המרחק – AC 12ק"מ ,המרחק .5 -CDק"מ ,המרחק 15 -ADק"מ 2מהו המרחק ?BC תשובה 2מרחק BCשווה ל 42-ק"מ2 פתרון 2נתחיל מתחנה ,Aכי נתונים כל המרחקים ממנה 2מאחר והמרחק CDלא שווה להפרש המרחקים ACו ,AD-אז התחנות Cו D-הן מצדדים שונים של 2 Aמכאן שהיקף המעגל הינו 2 100 DA CD ACידוע ש , AB 50 -לכן Aו B-הינן קצוות של קוטר 2לכן 2 10 40 – 50 AC – AB BC .2מצאו את כל הפתרונות למשוואה2 תשובה. : = פתרון :נטפל בשברים החל מהסוגריים הפנימיות2 נקבל בהדרגה: תחום ההגדרה של הפתרונות הוא 4 , . , 1 ולכן נשאר 2 = .כדאי גם לבדוק שתשובה זו מתאימה (נשאיר את זה כתרגיל לקוראים)2 1 .3האם קיים aעבורו 15 , a 15 a שניהם שלמים? 1 תשובה :קיימים בדיוק .ערכים של aעבורם הערכים של הביטויים 15 , a 15 a a 4 15ו2 a 4 15 - 1 פתרון :נסמן 15 M , a 15 Nכאשר M , Nהינם שלמים2 a 1 ,ומכאן , 1 M 15 N 15 נעביר אגפים , a N 15 :נציב ונקבל 15 M N 15 כלומר2 16 MN 15 N M , אם , M Nנקבל , 16 MN 0כלומר 16 M 2 ,ומכאן M 4וגם 2 N 4 עבור M 4, N 4נקבל 2 a 4 15עבור M 4, N 4נקבל 2 a 4 15 הם שלמים ,והם מדינת ישראל משרד החינוך 16 MN אם M Nנקבל 15 N M מאחר ושני הביטויים 16 MNוגם N Mהינם שלמים ,נקבל כי 15 2 הינו רציונאלי -סתירה2 .4המספרים 1, 2, … , 10מסודרים במעגל 2כל מספר מופיע פעם אחת בדיוק2 א 2הוכיחו כי קיימים במעגל שלושה מספרים עוקבים שסכומם לפחות 248 ב .בנו דוגמה בה אף סכום של שלושה מספרים עוקבים אינו גדול מ248- פתרון .א .הסכום של כל השלשות שיש הוא פי 1מסכום המספרים במעגל ,כלומר 3 3 1 2 ... 10 2 1 2 ... 10 2 3 3 1 10 2 9 ... 10 1 11 10 3 55 165 2 2 כלומר בממוצע הסכום בשלשה רצופה זה ,16.5כלומר יש שלשות עם סכום 47לפחות2 אבל נניח שהסכום הכי גדול בשלשות הוא 247אם יש שתי שלשות שיש להן שני מספרים משותפים ,אז הסכום שלהן שונה (כי המספר השלישי הוא אחר) 2לכן אם נרשום את סכומי השלשות הרצופות במעגל ,מכל צד של כל 47יהיה מספר שהוא 46לכל היותר2 ובכן ,נתבונן בסכומים בשלשות 2יש 42מספרים במעגל ,שכל אחד מהם 47לכל היותר ,ליד כל 47רשום 46לכל היותר והממוצע של כולם 24625עם נחסיר 12מכל 47ונעביר למספר שמימינו ,כל מספר יהיה 4625לכל היותר ,והממוצע שלהם עדיין יהיה 24625לכן כל המספרים הם 47ו 46-שמסודרים לסירוגין2 נניח שהמספרים a, b, c, d , e, f , gנמצאים על המעגל המקורי בסדר זה כאשר ( a b c 17ניתן לבחור סימונים כאלה)2 אז גם , c d e e f g 17וגם , b c d d e f 16הרי סכומים של 46ו 47-באים לסירוגין2 אז , a b c b c d a d 1כלומר 2 a d 1 באופן דומה , e f g d e f g d 1כלומר 2 g d 1 a אבל aו g -הם מספרים שונים ,לכן לא יתכן שכל הסכומים הם 47לכל היותר2 ב .למשל, 6 10 2 1 5 7 9 .5נתון שולחן ביליארד מלבני ,שיש לו כיסים רק בפינות 2מאחת הפינות שולחים כדור ביליארד נקודתי 2לאחר מספר שווה לזווית התנגשויות ,הכדור מגיע לכיס באיזושהי פינה (ההתנגשויות עם הקירות מתרחשות לפי החוק 8זווית הפגיעה 4 3 ההחזרה) 2האם ייתכן שהכדור מגיע לכיס שממנו התחיל? תשובה .לא2 מדינת ישראל משרד החינוך פתרון ראשון .נניח שהכדור נשלח מהפינה השמאלית התחתונה 2במקום לצייר תמונה שבה הכדור מוחזר הרבה פעמים מהקירות ומתקדם בקו שבור מורכב ,אפשר לצייר תמונה שבה הכדור זז בקו ישר, וכל פעם השולחן משוקף ביחס לאחד הקירות 2בעצם אפשר להגיד שהכדור נע בקו ישר במישור ,שמרוצף על ידי מלבנים שחופפים לשולחן המקורי 2אם הכדור יעבור מרחק שגדול פי Mמרוחב השולחן במאוזן, ומרחק שגדול פי Nמגובה השולחן במאונך ,כאשר Mו N-מספרים שלמים ,אז הכדור יכנס לאחד הכיסים 2אם Mזוגי אז בציור המקורי הכדור חוזר אחורה בכיוון המאוזן והולך קדימה במאוזן אם Mאי-זוגי2 דבר דומה אפשר להגיד על הכיוון האנכי 2על מנת שהכדור יחזור לאותו כיס ,חייבים ש M-ו N-יהיו זוגיים בו-זמנית ברגע הראשון שבו הכדור M מגיע לכיס 2אבל זה לא יתכן ,כי אז כשהכדור היה עובר 2 N שולחנות לגובה ,כבר אז הוא היה נכנס לכיס 2לכן לא יתכן שזה הרגע הראשון שבו הכדגור נכנס לכיס2 לרוחב ו- 2 שולחנות פתרון שני .קל לראות ,שהכדור כל הזמן באותו שיפוע ביחס לשולחן (רק שבפעמים הזוגיות ובפעמים האי-זוגיות הקטעים עולים פעם ימינה ופעם שמאלה) 2לכן אם הכדור נכנס לאותו כיס ,אז הוא נכנס גם באותו כיוון 2לכן הקטע הראשון של הקו השבור מתלכד עם החלק האחרון ,החלק השני מתלכד עם הקטע השני מהסוף ,וכך הלאה :הקטע מספר Nמההתחלה מתלקד עם הקטע מספר Nמהסוף ,רק שהכדור עובר את שני הקטעים בכיוון השני 2לכן את הקטעים באמצע הקו הכדור חייב לעבור בכיוונים הפוכים 2לכן באמצע הקו הכדור חייב להסתובב במקום ב ,180 -וזה בלתי אפשרי2 .6נתונים שלושה מספרים a, b, cהמקיימים 2 a b c 32 , 0 a, b, c 1הוכיחו כי ab ac bc 12 פתרון 21נשים לב כי 2 0 1 a 1 b 1 c abc נפתח סוגריים2 0 1 a b c ab bc ca : 1 3 נעביר אגפים 1 a b c 1 ab ba ca : 2 2 2משל2 הערה :על מנת להמציא את הפתרון ,צריך להבין באילו מקרים אי-שוויון זה הופך לשוויון 2זה קורה כשהמשתנים שווים ל- 1 2 0, , 1 2 ab פתרון .2ננסה לקבע את cלשנות רק את aו 2 b -נסמן 2 אז 2 ab bc ac ab c a b k 2 2 2ck , k אז 2 a k , b k מדינת ישראל משרד החינוך נשים לב כי ככל שהערך של הביטוי הזה קטן יותר ,ערך של גדול יותר 2אבל לא יכול להיות גדול מידי ,כי אז או ש- aהופך להיות קטן מ ,2-או ש b -הופך להיות גדול מ 24-מכאן שלכל cנתון ,הביטוי ab ba caמקבל ערך מינימלי כאשר a 0או 2 b 1 נשים לב כי בחרנו את cבאופן שרירותי ,ובמקומו היינו יכולים לבחור כל מספר אחר מתוך השלישייה הזאת 2לכן במצבים בהם הביטוי ab bc caמקבל ערך מינימלי ,לפחות שניים מהמספרים b , aו c -חייבים להיות 2או 24האפשרות 1 היחידה שמקיימת את התנאים הללו היא – 2 a, b, c 0, , 1 2 .7במשושה משוכלל ABCDEFעל הצלע CDנמצאת נקודה ,Kועל הצלע DEנקודה 2Lהקטעים BL ,AKנפגשים בנקודה 2Pנתון כי המרובע KPLDוהמשולש PABשווים בשטחם 2מצאו את הזווית 2APB תשובה. 60 . פתרון .נוסיף לשני החלקים הצבועים את המרובע 2PBCKנקבל שהמרובעים ABCKו BCDL-שווים בשטחם 2סיבוב ב 60 -ביחס למרכז המשושה מעביר את Aל ,B-את Bל ,C-את Cל ,D-את Kלנקודה חדשה ,Mואת המרובע ABCKלמרובע BCDMבעל אותו שטח ,שהוא גם שטחו של 2BCDLאז לא יתכן ש M-נמצא בין Lל ,D-כי אז המרובע BCDMקטן בשטחו מ( BCDL-הרי הוא מוכל בו) 2לא יתכן גם שM- נמצא בין Lל ,E-כי אז BCDMגדול בשטחו מ( BCDL-הרי הוא מכיל אותו) 2לכן 2M = L ובכן ,סיבוב ב 60 -מעביר את הקטע AKלקטע ,BLלכן הזווית בין AKל ,BL-שזו בעצם הזווית ,APBשווה ל2 60 -
© Copyright 2024