פתרונות למבחן שלב ב` מה

‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫כ"ב בכסלו תשע"ה‬
‫‪4124.2.241‬‬
‫אולימפיאדה שנייה ע"ש בנו ארבל ז"ל – פתרונות‬
‫כיתות ז'‬
‫‪ .1‬שלושה קיפודים מצאו שלושה גושי גבינה בעלי משקלים ‪ 42 ,1‬ו‪ 41-‬גרם‪ 2‬הם התקשו לחלק אותם בצורה הוגנת‪ ,‬ופנו‬
‫לשועל לעזרה‪ 2‬השועל יכול לבצע כמות כלשהי של פעולות מהסוג הבא‪ :‬לבחור שני גושים‪ ,‬לפרוס מכל אחד גרם אחד של‬
‫גבינה‪ ,‬ולאכול את הפרוסות‪ 2‬האם השועל יכול להשאיר לקיפודים גושים שווי משקל?‬
‫תשובה‪ 2‬כן‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬למשל‪ ,‬בשלב הראשון השועל יאכל ‪ 1‬פעמים מהגוש הקטן ביותר והגדול ביותר‪ 2‬המצב אחרי זה יהיה‪42 ,42 ,4 :‬‬
‫גרם‪ 2‬אז השועל יאכל ‪ 9‬פעמים משני הגושים הגדולים ויביא את הגושים למצב‪24 ,4 ,4 :‬‬
‫‪ .2‬בגן חיות יש יותר אריות מאשר צבאים‪ ,‬יותר דובים מאשר אריות ויותר ג'יראפות מאשר דובים‪ ,‬אבל יותר קרניים של‬
‫צבאים מאשר צווארים של ג'יראפות‪ 2‬מהי הכמות הקטנה ביותר האפשרית של חיות בגן חיות זה?‬
‫תשובה‪ .. .‬חיות‪2‬‬
‫פתרון‪ .‬אי השוויון על הכמויות‪:‬‬
‫צבאים < אריות < דובים < ג'יראפות < פעמיים צבאים‪2‬‬
‫לכן בין הכמות של הצבאים לבין פעמיים כמות זו יש לפחות ‪ 1‬מספרים טבעיים‪ 2‬לכן ההפרש בין פעמיים כמות הצבאים‬
‫לבין כמות הצבאים הוא לפחות ‪ ,1‬ולכן כמות הצבאים היא לפחות ‪ 21‬מכאן הכמויות של אריות‪ ,‬הדובים והג'יראפות הם‬
‫לפחות ‪ 6 ,5‬ו‪ 7-‬בהתאמה‪ ,‬ולכן הכמות הכוללת של חיות בגן החיות היא לפחות ‪ 2 4  5  6  7  22‬יתכן שאלו הכמויות‬
‫האמיתיות‪ ,‬כי הכמויות ‪ 6 ,5 ,1‬ו‪ 7-‬עבור צבאים‪ ,‬אריות‪ ,‬דובים וג'יראפות בהתאמה אכן מקיימות את כל תנאי השאלה‪2‬‬
‫‪ .3‬מדרגה היא צורה המורכבת מ‪ 6-‬משבצות‪ ,‬שחופפת לצורה בציור‪ 2‬חותכים את לוח ‪8  8‬‬
‫למדרגות ולמשבצות בודדות‪ 2‬מהו המספר המרבי של מדרגות שניתן ליצור?‬
‫תשובה‪242 .‬‬
‫פתרון‪ .‬נשים לב כי שטחה של המדרגה הינו ‪ ,6‬ושטחו של הלוח ‪ 8  8‬הינו ‪ 261‬לכן‬
‫לא ניתן לקבל יותר מ‪ 42-‬מדרגות‪ ,‬כי ‪2 6 11  66  64  8  8‬‬
‫הציור מדגים כי אכן ניתן לקבל ‪ 42‬צורות של מדרגה‪2‬‬
‫‪ .4‬יש ‪ 7‬כרטיסים צבעוניים‪ 2‬הכרטיס הראשון אדום מצד אחד וירוק מצד שני‪ 2‬הכרטיס השני אדום מצד אחד וצהוב מצד‬
‫שני‪ 2‬הכרטיס השלישי אדום מצד אחד וכחול מצד שני‪ 2‬הכרטיס הרביעי כחול מצד אחד וירוק מצד שני‪ 2‬הכרטיס החמישי‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫אדום מצד אחד וצהוב מצד שני‪ 2‬כל אחד משני הכרטיסים הנוספים צהוב מצד אחד וסגול מצד שני‪ 2‬הכרטיסים מונחים על‬
‫שולחן בשורה בסדר אקראי‪ ,‬כך שהצבעים שרואים הם‪:‬‬
‫כחול ירוק צהוב אדום צהוב ירוק סגול‬
‫לפי סדר זה‪2‬‬
‫אם נהפוך את הכרטיס האמצעי‪ ,‬איזה צבע יהיה לו?‬
‫תשובה‪ .‬צהוב‬
‫פתרון‪ .‬בהתחלה‪ ,‬נסדר את כל הנתונים על הכרטיסים בטבלה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫אדום‬
‫ירוק‬
‫‪2‬‬
‫אדום‬
‫צהוב‬
‫‪3‬‬
‫אדום‬
‫כחול‬
‫‪4‬‬
‫כחול‬
‫ירוק‬
‫‪5‬‬
‫אדום‬
‫צהוב‬
‫‪6‬‬
‫צהוב‬
‫סגול‬
‫‪7‬‬
‫צהוב‬
‫סגול‬
‫נשים לב כי יש רק שני כרטיסים שיש להם צד ירוק‪ ,‬ואלה הכרטיסים ‪ 4‬ו‪ 21-‬בגלל שאנחנו רואים על השולחן שני כרטיסים‬
‫ירוקים‪ ,‬אלה חייבים להיות הכרטיסים הנ"ל‪ 4 ,‬ו‪21-‬‬
‫אם כך‪ ,‬יש רק כרטיס כחול אחד שנשאר‪ ,‬ואנחנו רואים כרטיס כחול על השולחן‪ ,‬לכן זה כרטיס ‪21‬‬
‫נתבונן עכשיו בכרטיס האמצעי‪ 2‬כרגע סך הכל נשארו לנו כרטיסים מספר ‪ 6 ,5 ,.‬ו‪ 27 -‬מבין הכרטיסים האלה יש רק שניים‬
‫שיש להם צד אדום – כרטיסים ‪ .‬ו‪ 25-‬לשני הכרטיסים האלה הצד השני הוא צהוב‪ ,‬לכן האפשרות היחידה שנותרה היא –‬
‫צהוב‪2‬‬
‫‪ .5‬שחזרו את המספרים בתרגיל הכפל‪ 2‬אותיות זהות מסמנות ספרות זהות ואותיות שונות‬
‫מסמנות ספרות שונות‪2‬‬
‫תשובה‪ .‬התרגיל הוא ‪2 516  256‬‬
‫ח ש‬
‫ח ב‬
‫ח ת‬
‫ו‬
‫ח ת‬
‫פתרון‪ .‬תחילה נשים לב‪ ,‬כי ‪.‬ח מסתיים ב‪-‬ח‪ 2‬לכן ח הוא ‪ 5 ,4 ,2‬או ‪26‬‬
‫לו ח היה ‪ 2‬אז הספרות האחרונות של כל ‪ 1‬המחוברים היו ח‪ ,‬והם לא‪2‬‬
‫לו ח היה ‪ ,5‬אז הספרות האחרונות של ‪ 1‬המחוברים היו ‪ 2‬או ‪ 5‬כולן‪ ,‬ויש שם ‪ 1‬ספרות שונות‪ :‬ח‪ ,‬ו‪ ,‬ר‪2‬‬
‫לו ח היה ‪ ,4‬אז הספרות האחרונות של ‪ 1‬המחוברים היו ח‪ ,‬ש‪ ,‬ב‪ ,‬והם לא – הם ח‪ ,‬ו‪ ,‬ר‪2‬‬
‫לכן ח יכול להיות רק ‪26‬‬
‫‪6‬‬
‫בנוסף נשים לב כי בחיבור‪ ,‬העמודה השנייה מימין נותנת ת ‪ +‬ו = ת‪ ,‬ומכאן ש‪ -‬ו = ‪22‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫אבל ו זו הספרה האחרונה של חשב × ב‪ 2‬לכן ‪ × 6‬ב מסתיים ב‪22-‬‬
‫לכן ב הוא ‪ 2‬או ‪ ,5‬אבל ‪ 2‬כבר תפוס על ידי ו‪ 2‬לכן ב = ‪25‬‬
‫ש‬
‫‪5‬‬
‫ת‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6‬ת‬
‫המחובר הראשון בסכום הוא חשב × ‪21622 = 6 × 622 < 6‬‬
‫המחובר השני הוא חשב × ‪2.522 = 5 × 522 > 5‬‬
‫לכן אם נסתכל על הספרות המובילות של שני המחוברים הראשונים‪ ,‬נראה כי ‪  1‬ל ‪ ‬ר ‪2 2 ‬‬
‫ב‬
‫ר‬
‫ו‬
‫ע‬
‫ר‬
‫ו‬
‫×‬
‫ל‬
‫‪+‬‬
‫ב ר‬
‫ל ו ש‬
‫ר ל ש‬
‫‪5‬‬
‫ר‬
‫‪2‬‬
‫ע‬
‫ר‬
‫‪2‬‬
‫×‬
‫ל‬
‫‪+‬‬
‫‪ 5‬ר‬
‫ל ‪ 2‬ש‬
‫ר ל ש‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫אבל ל > ר‪ 2‬לכן ל = ‪ , 1‬וגם ר = ‪2.‬‬
‫נתבונן בעמודה השנייה מימין בחיבור‪ + 2 :‬ע ‪ . +‬מסתיים ב‪( 2-‬לא יתכן מעבר מהעמודה‬
‫השנייה)‪ 2‬לכן ע = ‪28‬‬
‫לכן אנחנו יודעים את המחובר השני‪ ,‬שהוא ‪6 = .582‬ש‪25 × 5‬‬
‫מכאן קל לחשב כי ‪6‬ש‪ 2 516  2580 / 5 = 5‬כלומר‪ ,‬ש = ‪24‬‬
‫ובכן‪ ,‬חישבנו את כל הספרות של שני הגורמים במכפלה‪ ,‬ומכאן לא קשה להשלים את מה שנשאר‬
‫(שזה רק ת = ‪2)9‬‬
‫‪4 6‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪9 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫×‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪. 5‬‬
‫‪4 2 1‬‬
‫‪4 1 .‬‬
‫‪ .6‬במחסן היו מספר גושים זהים של גבינה‪ 2‬בלילה הגיעו חולדות ואכלו ‪ 42‬גושים‪ 2‬כולם אכלו כמות שווה של גבינה‪2‬‬
‫למחרת לחלק מהחולדות כאבה הבטן ולמחסן הגיעו רק ‪ 7‬חולדות‪ ,‬שכל אחת אכלה פי ‪ .‬פחות מאשר ביום הראשון‪ ,‬וכך הן‬
‫סיימו את הגבינה‪ 2‬כמה גושי גבינה היו במחסן בהתחלה?‬
‫תשובה‪ 44 2‬גושים‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬נניח שבהתחלה היו‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫גושים‪ 2‬למחרת ‪ 7‬חולדות אכלו כל אחת‬
‫חולדות‪ 2‬כל אחת אכלה‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫גושים‪ 2‬זאת‬
‫‪35‬‬
‫אומרת שסך הכל הן אכלו‬
‫‪x‬‬
‫גוש אחד‪ 2‬לכן‪ ,‬בסך הכל היו ‪ 44‬גושים‪2‬‬
‫גושים‪ ,‬וידוע שזה מספר שלם‪ 2‬מאחר ו‪ , x  7 -‬בהכרח ‪ 2 x  35‬מכאן‪ ,‬ביום השני הן אכלו‬
‫‪ .7‬על הלוח כתובים שני מספרים‪ .241 :‬ו‪ 2.245-‬בני ודני משחקים בתורות לסירוגין‪ ,‬ובני משחק ראשון‪ 2‬בכל מהלך מותר‬
‫לבצע אחת משתי פעולות‪:‬‬
‫(א) להחליף מספר כלשהו בהפרש בין המספר הזה לבין ספרה לא אפסית כלשהי המופיעה על הלוח‪2‬‬
‫(ב) להחליף מספר זוגי כלשהו במספר שקטן ממנו פי ‪2.‬‬
‫השחקן הראשון שכותב על הלוח מספר חד‪-‬ספרתי מנצח‪2‬‬
‫לאיזה שחקן יש אסטרטגיה מנצחת? כיצד הוא צריך לשחק כדי לנצח?‬
‫תשובה לבני יש אסטרטגיה מנצחת‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬במהלך הראשון בני מחסיר ‪ 4‬מ‪ 2.245-‬נשים לב כי אחרי המהלך הזה שני המספרים שכתובים על הלוח שווים‪2‬‬
‫בכל המהלכים הבאים בני יעתיק את פעולותיו של דני כך שבכל שלב אחרי מהלכו של בני שני המספרים שכתובים על הלוח‬
‫יהיו שווים‪ 2‬בני ימשיך באסטרטגיה הזאת עד המהלך אחד לפני אחרון‪ 2‬נניח שבמצב מסויים על הלוח כתובים המספרים ‪, n‬‬
‫‪ , n‬ודני יכול להפוך את אחד המספרים האלה למספר חד ספרתי‪ 2‬המצב הזה בטוח יקרה כי המספרים קטנים ממש כל הזמן‪,‬‬
‫וזה לא יכול להמשך עד אינסוף‪ 2‬נתבונן במהלך אחד לפני המהלך הזה‪ 2‬על הלוח כתובים מספרים ‪ m  n , n‬והתור הוא‬
‫של בני‪ 2‬אז במקום להוריד את ‪ m‬ל‪ , n -‬דני יקטין את ‪ n‬כך שהוא יקבל מספר חד ספרתי‪2‬‬
‫‪ .8‬חלקו את המתומן בציור לשני מצולעים שחופפים זה לזה‪2‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫הפתרון בציור‪2‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫כיתות ח'‬
‫‪ .1‬שלושה קיפודים מצאו שלושה גושי גבינה בעלי משקלים שונים‪ 2‬הם התקשו לחלק אותם בצורה הוגנת‪ ,‬ופנו לשועל‬
‫לעזרה‪ 2‬השועל יכול לבצע כמות כלשהי של פעולות מהסוג הבא‪ :‬לבחור שני גושים‪ ,‬לפרוס מכל אחד גרם אחד של גבינה‪,‬‬
‫ולאכול את הפרוסות‪ 2‬האם השועל יכול להשאיר לקיפודים גושים שווי משקל‪ ,‬כאשר‬
‫א‪ .‬משקלי הגושים הם ‪ 42 ,1‬ו‪ 41-‬גרם?‬
‫ב‪ .‬משקלי הגושים הם ‪ 7 ,1‬ו‪ 44-‬גרם?‬
‫תשובה לסעיף א'‪ 2‬כן‪2‬‬
‫פתרון לסעיף א'‪ 2‬למשל‪ ,‬בשלב הראשון השועל יאכל ‪ 1‬פעמים מהגוש הקטן ביותר והגדול ביותר‪ 2‬המצב אחרי זה יהיה‪,4 :‬‬
‫‪ 42 ,42‬גרם‪ 2‬אז השועל יאכל ‪ 9‬פעמים משני הגושים הגדולים ויביא את הגושים למצב‪24 ,4 ,4 :‬‬
‫תשובה לסעיף ב'‪ 2‬לא‪2‬‬
‫פתרון לסעיף ב'‪ 2‬כדי להפוך את הגושים של ‪ 44‬ושל ‪ 7‬גרם לשווי משקל‪ ,‬השועל חייב להשתמש בגוש השלישי‪ 2‬הפרש‬
‫המשקלים ביניהם הינו ‪ 1‬גרם‪ ,‬לכן השועל חייב להשתמש בגוש השלישי לפחות ‪ 1‬פעמים‪ 2‬אבל הגוש השלישי שוקל ‪ 1‬גרם‪,‬‬
‫ואחרי שהשועל ישתמש בו ‪ 1‬פעמים‪ ,‬לא יישאר מהגוש הזה כלום‪ 2‬זה לא מתאים לתנאיי הבעיה‪ ,‬לכן לשועל אין אפשרות‬
‫להפוך את הגושים האלה לשווי משקל‪2‬‬
‫‪ .2‬על כביש מעגלי ממוקמות ‪ 1‬תחנות דלק‪ 2D ,C ,B ,A :‬המרחק ‪ AB‬שווה ל‪ 52-‬ק"מ‪ ,‬המרחק ‪ 12 - AC‬ק"מ‪ ,‬המרחק‬
‫‪ .5 - CD‬ק"מ‪ ,‬המרחק ‪ 15 - AD‬ק"מ‪ 2‬מהו המרחק ‪ ?BC‬הערה‪ :‬כל המרחקים פה הם‬
‫לאורך הכביש‪2‬‬
‫תשובה‪ 2‬מרחק ‪ BC‬שווה ל‪ 42-‬ק"מ‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬נתחיל מתחנה ‪ ,A‬כי נתונים כל המרחקים ממנה‪ 2‬מאחר והמרחק ‪ CD‬לא שווה‬
‫להפרש המרחקים ‪ AC‬ו‪ ,AD-‬אז התחנות ‪ C‬ו‪ D-‬הן מצדדים שונים של ‪ 2 A‬מכאן שהיקף‬
‫המעגל הינו ‪ 2 100  DA  CD  AC‬ידוע ש‪ , AB  50 -‬לכן ‪ A‬ו‪ B-‬הינן קצוות של‬
‫קוטר‪ 2‬לכן ‪2 10  40 – 50  AC – AB  BC‬‬
‫‪ 44 .3‬מטבעות זהים למראה מונחים בשורה‪ 2‬מביניהם יש ‪ 1‬מטבעות מזויפים שנמצאים ברצף במקום לא ידוע‪2‬‬
‫המטבעות האחרים אמיתיים‪ 2‬כל המטבעות האמיתיים הינם שווי משקל‪ ,‬וגם כל המטבעות המזויפים הינם שווי משקל‪,‬‬
‫אבל מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי‪ 2‬בכמה שקילות במאזני כף ניתן למצוא את המטבעות המזויפים?‬
‫תשובה‪ . 2‬שקילות‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬ראשית נראה כיצד בעזרת שקילה אחת ניתן לאתר שלישיית מטבעות מזויפים מתוך ‪ 5‬מטבעות המסודרים בשורה‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫(כמו בבעיה המקורית‪ ,‬מטבעות מזויפים יותר קלים מהמטבעות האמיתיים‪ ,‬והם ממוקמים ברצף)‪ 2‬נמספר את חמישיית‬
‫המטבעות במספרים מ‪ 4 -‬עד ‪ 25‬בשקילה שנבצע‪ ,‬נשקול את מטבע ‪ 4‬מול מטבע ‪25‬‬
‫אם ‪ 4‬קל יותר מ‪ ,5 -‬סימן שהוא ועוד שני המטבעות הצמודים לו‪ ,‬הם המזויפים‪ ,‬כלומר ‪21 ,. ,4‬‬
‫אם ‪ 4‬שווה ל‪ ,5 -‬סימן שאף אחד מהם לא בקבוצת המזויפים‪ 2‬כלומר המטבעות המזויפים הם ‪21 ,1 ,.‬‬
‫אם ‪ 5‬קל יותר מ‪ ,4 -‬סימן שהוא ועוד שני המטבעות הצמודים לו‪ ,‬הם המזויפים‪ ,‬כלומר ‪25 ,1 ,1‬‬
‫כעת נחזור לבעיה המקורית‪ 2‬נראה כי ניתן לאתר את שלישית המטבעות על ידי שתי שקילות בלבד‪2‬‬
‫נמספר את המטבעות במספרים מ‪ 4 -‬עד ‪ 44‬כפי שמתואר בציור‪2‬‬
‫בשקילה הראשונה נשקול את המטבעות ‪ 1 ,. ,4‬מול המטבעות ‪ 244 ,42 ,9‬בעזרת השקילה הזאת נאתר את חמישיית‬
‫המטבעות שמכילה את שלושת המטבעות המזויפים‪ 2‬בשקילה השנייה נמצא את המטבעות המזויפים מתוך החמישייה‬
‫שמצאנו בדרך שהראנו לעיל‪2‬‬
‫בפירוט‪ ,‬נשקול את המטבעות לפי התרשים למעלה ולכל מקרה נתאים את השלישייה שלו כך (השורה הראשונה מתארת את‬
‫השקילה הראשונה והשורה השנייה את השקילה שמתבצעת אחריה)‪:‬‬
‫;‪A  1, 2, 3; B  3, 4, 5; C  2, 3, 4 D  4, 5, 6; E  6, 7, 8‬‬
‫‪I  8, 9, 10‬‬
‫;‪F  5, 6, 7; G  7, 8, 9; H  9, 10, 11‬‬
‫לא ניתן לאתר את המטבעות באמצעות שקילה אחת בלבד‪ ,‬משום שבכל שקילה אנחנו מחלקים את מספר האפשרויות ב‪21-‬‬
‫כיוון שיש לנו ‪ 9‬אפשרויות למיקום המטבעות‪ ,‬המספר המינימאלי של שקילות הוא ‪2.‬‬
‫‪ .4‬הראו‪ ,‬כי ניתן לגזור ריבוע לריבועים קטנים יותר‪ ,‬כך שאת הריבועים שהתקבלו יהיה אפשר לחלק לשתי קבוצות‪ ,‬בכל‬
‫קבוצה מספר ריבועים שווה‪ 2‬בכל קבוצה כל הריבועים חופפים‪ ,‬אך הריבועים מהקבוצה הראשונה אינם חופפים לריבועים‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫מהקבוצה השנייה‪2‬‬
‫פתרון ‪ .1‬אם גודלו של הריבוע הקטן הוא ‪ a  a‬משבצות וגודלו של הריבוע הגדול יותר הוא ‪ b  b‬משבצות‪ ,‬אז אפשר‬
‫לחפש פתרון מהשוויון ‪ , c2  na2  nb2‬כאשר ‪ c 2‬הינו מספר המשבצות אשר מכיל הריבוע הנגזר‪ 2‬עבור ‪, a  3 n  9‬‬
‫‪ c  15 , b  4‬מקבלים את הדוגמא שמתוארת בציור‪:‬‬
‫פתרון ‪ .2‬משני ריבועים ‪ 11‬ושני ריבועים ‪ 2  2‬אפשר להרכיב מלבן ‪( 5  2‬ראו ציור)‪ ,‬ומ‪ 42-‬מלבנים כאלה מרכיבים‬
‫ריבוע ‪2 10 10‬‬
‫‪ .5‬נתונים ‪ 54‬מספרים דו ספרתיים שונים‪ 2‬הוכיחו שניתן לבחור ‪ 6‬מתוכם‪ ,‬כך שבכל זוג מתוך השישה מופיעות שתי ספרות‬
‫עשרות שונות ושתי ספרות אחדות שונות‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬נרשום את כל המספרים הדו‪-‬ספרתיים בטבלה הבאה‪ :‬בשורה הראשונה נכתוב את כל המספרים הדו‪-‬ספרתיים‬
‫שמתחילים ב‪ ,4-‬ומתחת לכל מספר נכתוב מספר שמתקבל ממנו על ידי הוספת ‪ 4‬לכל אחת מהספרות שלו (ואת הספרה ‪9‬‬
‫מחליפים בספרה ‪2)2‬‬
‫‪49‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪14‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪51‬‬
‫‪61‬‬
‫‪75‬‬
‫‪86‬‬
‫‪97‬‬
‫‪48‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪14‬‬
‫‪5.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪71‬‬
‫‪85‬‬
‫‪96‬‬
‫‪47‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪19‬‬
‫‪12‬‬
‫‪54‬‬
‫‪6.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪81‬‬
‫‪95‬‬
‫‪46‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪52‬‬
‫‪64‬‬
‫‪7.‬‬
‫‪81‬‬
‫‪91‬‬
‫‪45‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪59‬‬
‫‪62‬‬
‫‪74‬‬
‫‪8.‬‬
‫‪91‬‬
‫‪41‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪58‬‬
‫‪69‬‬
‫‪72‬‬
‫‪84‬‬
‫‪9.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪57‬‬
‫‪68‬‬
‫‪79‬‬
‫‪82‬‬
‫‪94‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15‬‬
‫‪56‬‬
‫‪67‬‬
‫‪78‬‬
‫‪89‬‬
‫‪92‬‬
‫‪44‬‬
‫‪..‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪55‬‬
‫‪66‬‬
‫‪77‬‬
‫‪88‬‬
‫‪99‬‬
‫‪42‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪51‬‬
‫‪65‬‬
‫‪76‬‬
‫‪87‬‬
‫‪98‬‬
‫נשים לב כי בכל אחת מהעמודות כל ספרות האחדות הן שונות זו מזו‪ ,‬וכך גם כל הספרות העשרות‪ 2‬בנוסף‪ ,‬אם ניקח ‪54‬‬
‫מספרים דו‪-‬ספרתיים‪ ,‬אז ‪,‬לפי עקרון שובך יונים‪ ,‬שישה מהם חייבים להשתייך לאותה עמודה‪2‬‬
‫‪ .6‬המספרים ‪ 1, 2, … , 10‬מסודרים במעגל‪ 2‬כל מספר מופיע פעם אחת בדיוק‪2‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי קיימים שלושה מספרים עוקבים שסכומם לפחות ‪248‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫ב‪ .‬בנו דוגמה בה אף סכום של שלושה מספרים עוקבים אינו גדול מ‪248-‬‬
‫פתרון‪ .‬א‪ .‬סכום כל המספרים במעגל הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  10    2  9   ...  10  1   11 10  55‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21  2  ...  10 ‬‬
‫נתבונן בכל המספרים חוץ מ‪ 24-‬סכומם ‪251‬‬
‫‪ 9‬המספרים האלה במעגל מחולקים ל‪ 1-‬שלשות‪ 2‬אם סכום בכל שלושה לכל היותר ‪ ,47‬אז סכומם לכל היותר ‪254‬‬
‫סתירה‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬חלקו את המתומן שמופיע בציור לשני מצולעים חופפים זה לזה‪2‬‬
‫הפתרון בציור‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫כיתות ט'‬
‫‪ .1‬על כביש מעגלי ממוקמות ‪ 1‬תחנות דלק ‪ 2D ,C ,B ,A‬המרחק (לאורך הכביש) ‪ AB‬שווה ל‪ 52-‬ק"מ‪ ,‬המרחק ‪– AC‬‬
‫‪ 12‬ק"מ‪ ,‬המרחק ‪ .5 -CD‬ק"מ‪ ,‬המרחק ‪ 15 -AD‬ק"מ‪ 2‬מהו המרחק ‪?BC‬‬
‫תשובה‪ 2‬מרחק ‪ BC‬שווה ל‪ 42-‬ק"מ‪2‬‬
‫פתרון‪ 2‬נתחיל מתחנה ‪ ,A‬כי נתונים כל המרחקים ממנה‪ 2‬מאחר והמרחק ‪ CD‬לא שווה‬
‫להפרש המרחקים ‪ AC‬ו‪ ,AD-‬אז התחנות ‪ C‬ו‪ D-‬הן מצדדים שונים של ‪ 2 A‬מכאן שהיקף‬
‫המעגל הינו ‪ 2 100  DA  CD  AC‬ידוע ש‪ , AB  50 -‬לכן ‪ A‬ו‪ B-‬הינן קצוות של‬
‫קוטר‪ 2‬לכן ‪2 10  40 – 50  AC – AB  BC‬‬
‫‪ .2‬מצאו את כל הפתרונות למשוואה‪2‬‬
‫תשובה‪. :‬‬
‫=‬
‫פתרון‪ :‬נטפל בשברים החל מהסוגריים הפנימיות‪2‬‬
‫נקבל בהדרגה‪:‬‬
‫תחום ההגדרה של הפתרונות הוא ‪4 , . , 1‬‬
‫ולכן נשאר ‪ 2 = .‬כדאי גם לבדוק שתשובה זו מתאימה‬
‫(נשאיר את זה כתרגיל לקוראים)‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬האם קיים ‪ a‬עבורו ‪ 15 , a  15‬‬
‫‪a‬‬
‫שניהם שלמים?‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪ :‬קיימים בדיוק ‪ .‬ערכים של ‪ a‬עבורם הערכים של הביטויים ‪ 15 , a  15‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a  4  15‬ו‪2 a  4  15 -‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון‪ :‬נסמן ‪  15  M , a  15  N‬כאשר ‪ M , N‬הינם שלמים‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬ומכאן ‪, 1  M  15  N  15‬‬
‫נעביר אגפים‪ , a  N  15 :‬נציב ונקבל ‪ 15  M‬‬
‫‪N  15‬‬
‫כלומר‪2 16  MN  15 N  M  ,‬‬
‫אם ‪ , M  N‬נקבל ‪ , 16  MN  0‬כלומר‪ 16  M 2 ,‬ומכאן ‪ M  4‬וגם ‪2 N  4‬‬
‫עבור ‪ M  4, N  4‬נקבל ‪ 2 a  4  15‬עבור ‪ M  4, N  4‬נקבל ‪2 a  4  15‬‬
‫הם שלמים‪ ,‬והם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫‪16  MN‬‬
‫אם ‪ M  N‬נקבל ‪ 15‬‬
‫‪N M‬‬
‫מאחר ושני הביטויים ‪ 16  MN‬וגם ‪ N  M‬הינם שלמים‪ ,‬נקבל כי ‪15‬‬
‫‪2‬‬
‫הינו רציונאלי ‪ -‬סתירה‪2‬‬
‫‪ .4‬המספרים ‪ 1, 2, … , 10‬מסודרים במעגל‪ 2‬כל מספר מופיע פעם אחת בדיוק‪2‬‬
‫א‪ 2‬הוכיחו כי קיימים במעגל שלושה מספרים עוקבים שסכומם לפחות ‪248‬‬
‫ב‪ .‬בנו דוגמה בה אף סכום של שלושה מספרים עוקבים אינו גדול מ‪248-‬‬
‫פתרון‪ .‬א‪ .‬הסכום של כל השלשות שיש הוא פי ‪ 1‬מסכום המספרים במעגל‪ ,‬כלומר‬
‫‪3‬‬
‫‪3  1  2  ...  10    2 1  2  ...  10  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  1  10    2  9   ...  10  1    11  10  3  55  165‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר בממוצע הסכום בשלשה רצופה זה ‪ ,16.5‬כלומר יש שלשות עם סכום ‪ 47‬לפחות‪2‬‬
‫אבל נניח שהסכום הכי גדול בשלשות הוא ‪ 247‬אם יש שתי שלשות שיש להן שני מספרים משותפים‪ ,‬אז הסכום שלהן שונה‬
‫(כי המספר השלישי הוא אחר)‪ 2‬לכן אם נרשום את סכומי השלשות הרצופות במעגל‪ ,‬מכל צד של כל ‪ 47‬יהיה מספר שהוא‬
‫‪ 46‬לכל היותר‪2‬‬
‫ובכן‪ ,‬נתבונן בסכומים בשלשות‪ 2‬יש ‪ 42‬מספרים במעגל‪ ,‬שכל אחד מהם ‪ 47‬לכל היותר‪ ,‬ליד כל ‪ 47‬רשום ‪ 46‬לכל היותר‬
‫והממוצע של כולם ‪ 24625‬עם נחסיר ‪ 12‬מכל ‪ 47‬ונעביר למספר שמימינו‪ ,‬כל מספר יהיה ‪ 4625‬לכל היותר‪ ,‬והממוצע שלהם‬
‫עדיין יהיה ‪ 24625‬לכן כל המספרים הם ‪ 47‬ו‪ 46-‬שמסודרים לסירוגין‪2‬‬
‫נניח שהמספרים ‪ a, b, c, d , e, f , g‬נמצאים על המעגל המקורי בסדר זה כאשר ‪( a  b  c  17‬ניתן לבחור‬
‫סימונים כאלה)‪2‬‬
‫אז גם ‪ , c  d  e  e  f  g  17‬וגם ‪ , b  c  d  d  e  f  16‬הרי סכומים של ‪ 46‬ו‪ 47-‬באים‬
‫לסירוגין‪2‬‬
‫אז ‪ ,  a  b  c    b  c  d   a  d  1‬כלומר ‪2 a  d  1‬‬
‫באופן דומה ‪ ,  e  f  g    d  e  f   g  d  1‬כלומר ‪2 g  d  1  a‬‬
‫אבל ‪ a‬ו‪ g -‬הם מספרים שונים‪ ,‬לכן לא יתכן שכל הסכומים הם ‪ 47‬לכל היותר‪2‬‬
‫ב‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .5‬נתון שולחן ביליארד מלבני‪ ,‬שיש לו כיסים רק בפינות‪ 2‬מאחת הפינות שולחים כדור ביליארד נקודתי‪ 2‬לאחר מספר‬
‫שווה לזווית‬
‫התנגשויות‪ ,‬הכדור מגיע לכיס באיזושהי פינה (ההתנגשויות עם הקירות מתרחשות לפי החוק‪ 8‬זווית הפגיעה ‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ההחזרה)‪ 2‬האם ייתכן שהכדור מגיע לכיס שממנו התחיל?‬
‫תשובה‪ .‬לא‪2‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫פתרון ראשון‪ .‬נניח שהכדור נשלח מהפינה השמאלית התחתונה‪ 2‬במקום לצייר תמונה שבה הכדור‬
‫מוחזר הרבה פעמים מהקירות ומתקדם בקו שבור מורכב‪ ,‬אפשר לצייר תמונה שבה הכדור זז בקו ישר‪,‬‬
‫וכל פעם השולחן משוקף ביחס לאחד הקירות‪ 2‬בעצם אפשר להגיד‬
‫שהכדור נע בקו ישר במישור‪ ,‬שמרוצף על ידי מלבנים שחופפים לשולחן‬
‫המקורי‪ 2‬אם הכדור יעבור מרחק שגדול פי ‪ M‬מרוחב השולחן במאוזן‪,‬‬
‫ומרחק שגדול פי ‪ N‬מגובה השולחן במאונך‪ ,‬כאשר ‪ M‬ו‪ N-‬מספרים‬
‫שלמים‪ ,‬אז הכדור יכנס לאחד הכיסים‪ 2‬אם ‪ M‬זוגי אז בציור המקורי‬
‫הכדור חוזר אחורה בכיוון המאוזן והולך קדימה במאוזן אם ‪ M‬אי‪-‬זוגי‪2‬‬
‫דבר דומה אפשר להגיד על הכיוון האנכי‪ 2‬על מנת שהכדור יחזור לאותו‬
‫כיס‪ ,‬חייבים ש‪ M-‬ו‪ N-‬יהיו זוגיים בו‪-‬זמנית ברגע הראשון שבו הכדור‬
‫‪M‬‬
‫מגיע לכיס‪ 2‬אבל זה לא יתכן‪ ,‬כי אז כשהכדור היה עובר‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫שולחנות לגובה‪ ,‬כבר אז הוא היה נכנס לכיס‪ 2‬לכן לא יתכן שזה הרגע הראשון שבו הכדגור נכנס לכיס‪2‬‬
‫לרוחב ו‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫שולחנות‬
‫פתרון שני‪ .‬קל לראות‪ ,‬שהכדור כל הזמן באותו שיפוע ביחס לשולחן (רק שבפעמים הזוגיות ובפעמים האי‪-‬זוגיות הקטעים‬
‫עולים פעם ימינה ופעם שמאלה)‪ 2‬לכן אם הכדור נכנס לאותו כיס‪ ,‬אז הוא נכנס גם באותו כיוון‪ 2‬לכן הקטע הראשון של הקו‬
‫השבור מתלכד עם החלק האחרון‪ ,‬החלק השני מתלכד עם הקטע השני מהסוף‪ ,‬וכך הלאה‪ :‬הקטע מספר ‪ N‬מההתחלה‬
‫מתלקד עם הקטע מספר ‪ N‬מהסוף‪ ,‬רק שהכדור עובר את שני הקטעים בכיוון השני‪ 2‬לכן את הקטעים באמצע הקו הכדור‬
‫חייב לעבור בכיוונים הפוכים‪ 2‬לכן באמצע הקו הכדור חייב להסתובב במקום ב‪ ,180 -‬וזה בלתי אפשרי‪2‬‬
‫‪ .6‬נתונים שלושה מספרים ‪ a, b, c‬המקיימים ‪ 2 a  b  c  32 , 0  a, b, c  1‬הוכיחו כי ‪ab  ac  bc  12‬‬
‫פתרון ‪ 21‬נשים לב כי ‪2 0  1  a 1  b 1  c   abc‬‬
‫נפתח סוגריים‪2 0  1   a  b  c   ab  bc  ca :‬‬
‫‪1 3‬‬
‫נעביר אגפים‪  1   a  b  c   1  ab  ba  ca :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ 2‬משל‪2‬‬
‫הערה‪ :‬על מנת להמציא את הפתרון‪ ,‬צריך להבין באילו מקרים אי‪-‬שוויון זה הופך לשוויון‪ 2‬זה קורה כשהמשתנים שווים ל‪-‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪2  0, , 1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ab‬‬
‫פתרון ‪ .2‬ננסה לקבע את ‪ c‬לשנות רק את ‪ a‬ו‪ 2 b -‬נסמן‬
‫‪2‬‬
‫אז ‪2 ab  bc  ac  ab  c  a  b   k 2   2  2ck‬‬
‫‪ , k ‬אז ‪2 a  k   , b  k  ‬‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫נשים לב כי ככל שהערך של הביטוי הזה קטן יותר‪ ,‬ערך של ‪ ‬גדול יותר‪ 2‬אבל ‪ ‬לא יכול להיות גדול מידי‪ ,‬כי אז או ש‪-‬‬
‫‪ a‬הופך להיות קטן מ‪ ,2-‬או ש‪ b -‬הופך להיות גדול מ‪ 24-‬מכאן שלכל ‪ c‬נתון‪ ,‬הביטוי ‪ ab  ba  ca‬מקבל ערך מינימלי‬
‫כאשר ‪ a  0‬או ‪2 b  1‬‬
‫נשים לב כי בחרנו את ‪ c‬באופן שרירותי‪ ,‬ובמקומו היינו יכולים לבחור כל מספר אחר מתוך השלישייה הזאת‪ 2‬לכן במצבים‬
‫בהם הביטוי ‪ ab  bc  ca‬מקבל ערך מינימלי‪ ,‬לפחות שניים מהמספרים ‪ b , a‬ו‪ c -‬חייבים להיות ‪ 2‬או ‪ 24‬האפשרות‬
‫‪ 1 ‬‬
‫היחידה שמקיימת את התנאים הללו היא – ‪2  a, b, c    0, , 1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ .7‬במשושה משוכלל ‪ ABCDEF‬על הצלע ‪ CD‬נמצאת נקודה ‪ ,K‬ועל הצלע ‪ DE‬נקודה ‪ 2L‬הקטעים ‪ BL ,AK‬נפגשים‬
‫בנקודה ‪ 2P‬נתון כי המרובע ‪ KPLD‬והמשולש ‪ PAB‬שווים בשטחם‪ 2‬מצאו את הזווית ‪2APB‬‬
‫תשובה‪. 60 .‬‬
‫פתרון‪ .‬נוסיף לשני החלקים הצבועים את המרובע ‪ 2PBCK‬נקבל‬
‫שהמרובעים ‪ ABCK‬ו‪ BCDL-‬שווים בשטחם‪ 2‬סיבוב ב‪ 60 -‬ביחס למרכז‬
‫המשושה מעביר את ‪ A‬ל‪ ,B-‬את ‪ B‬ל‪ ,C-‬את ‪ C‬ל‪ ,D-‬את ‪ K‬לנקודה חדשה‬
‫‪ ,M‬ואת המרובע ‪ ABCK‬למרובע ‪ BCDM‬בעל אותו שטח‪ ,‬שהוא גם‬
‫שטחו של ‪ 2BCDL‬אז לא יתכן ש‪ M-‬נמצא בין ‪ L‬ל‪ ,D-‬כי אז המרובע‬
‫‪ BCDM‬קטן בשטחו מ‪( BCDL-‬הרי הוא מוכל בו)‪ 2‬לא יתכן גם ש‪M-‬‬
‫נמצא בין ‪ L‬ל‪ ,E-‬כי אז ‪ BCDM‬גדול בשטחו מ‪( BCDL-‬הרי הוא מכיל‬
‫אותו)‪ 2‬לכן ‪2M = L‬‬
‫ובכן‪ ,‬סיבוב ב‪ 60 -‬מעביר את הקטע ‪ AK‬לקטע ‪ ,BL‬לכן הזווית בין ‪ AK‬ל‪ ,BL-‬שזו בעצם הזווית‬
‫‪ ,APB‬שווה ל‪2 60 -‬‬