‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫א‪ .‬משוואות ‪a · x + b = c · x + d‬‬
‫א‪ .1.‬משוואות בלי סוגריים‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫באיור ב' שלפניכם המאזניים מאוזנים‪ .‬לכל המשמשים אותו משקל‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫גרם‬
‫‪200‬‬
‫גרם‬
‫‪40‬‬
‫גרם‬
‫‪200‬‬
‫גרם‬
‫איור ג'‬
‫איור א'‬
‫איור ב'‬
‫א מהו‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬המשקל של משמש אחד? איך מצאתם את התשובה?‬
‫ב האות ‪ x‬מייצגת משקל של משמש‪ .‬כתבו משוואה המתאימה לאיור ב'‪.‬‬
‫ג במשוואה שכתבתם הציבו את המספר שמצאתם בסעיף א'‪ ,‬ובדקו את תשובתכם‪.‬‬
‫ד כתבו משוואה מתאימה לאיור א'‪.‬‬
‫ה כתבו משוואה מתאימה לאיור ג'‪.‬‬
‫ו האם שלוש המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫לומדים‬
‫עד כה למדנו לפתור משוואות שהנעלם מופיע רק באגף אחד שלהן‪.‬‬
‫עתה נראה משוואות שהנעלם מופיע בשני האגפים שלהן‪.‬‬
‫הדגם הכללי של משוואות מסוג זה הוא ‪. a · x + b = c · x + d‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪5 · x + 30 = 2 · x + 150‬‬
‫‪-3 · x – 10 = 4 · x – 20‬‬
‫‪0.5 · x – 2 = - x‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪d = 150‬‬
‫‪d = -20‬‬
‫‪d = 0‬‬
‫‪c = 2‬‬
‫‪c = 4‬‬
‫‪c = -1‬‬
‫‪b = 30‬‬
‫‪b = -10‬‬
‫‪b = -2‬‬
‫‪a=5‬‬
‫‪a = -3‬‬
‫‪a = 0.5‬‬
‫‪567‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫כדי לפתור משוואה שהנעלם שלה מופיע בשני אגפיה‪ ,‬יוצרים משוואה שקולה שהנעלם שלה יופיע‬
‫רק באגף אחד‪ .‬לשם כך משתמשים בתכונות השוויון‪ .‬פותרים את המשוואה שהתקבלה‪.‬‬
‫זכרו!‬
‫בעזרת תכונות השוויון אפשר ליצור משוואות שקולות‪ :‬אפשר להוסיף לשני האגפים של‬
‫משוואה אותו מספר או לחסר מהם אותו מספר‪ ,‬ואפשר גם לכפול או לחלק את שני האגפים‬
‫באותו מספר (שונה מ‪ .)0 -‬אם כופלים ב‪ 0 -‬את שני האגפים‪ ,‬מקבלים משוואה שפתרונה הוא‬
‫"כל המספרים"‪ ,‬והיא אינה שקולה בדרך כלל למשוואה המקורית‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫● ●‪40 + y = 60 − y‬‬
‫‪| +y‬‬
‫תכונות השוויון‬
‫כינוס איברים דומים‪ ,‬תכונות השוויון‬
‫‪| − 40‬‬
‫כינוס איברים דומים‪ ,‬תכונות השוויון‬
‫‪| :2‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪60 – 10 = 50‬‬
‫‪60 − y‬‬
‫‪60 − y + y‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60 − 40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20 : 2‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪40 + y‬‬
‫= ‪40 + y + y‬‬
‫= ‪40 + 2 · y‬‬
‫= ‪40 + 2 · y − 40‬‬
‫=‪2·y‬‬
‫=‪2·y:2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪40 + 10 = 50‬‬
‫שימו לב!‬
‫מהמשוואה ‪ 40 + y = 60 − y‬הגענו למשוואה ‪ 40 + 2 · y = 60‬שאותה כבר למדנו לפתור‪.‬‬
‫● ●‪5 · x + 40 = 2 · x + 13‬‬
‫‪|–2·x‬‬
‫‪5 · x + 40 = 2 · x + 13‬‬
‫‪5 · x + 40 – 2 · x = 2 · x + 13 – 2 · x‬‬
‫‪| − 40‬‬
‫‪3 · x + 40 = 13‬‬
‫‪3 · x + 40 – 40 = 13 − 40‬‬
‫‪| :3‬‬
‫‪3 · x = -27‬‬
‫‪3 · x : 3 = -27 : 3‬‬
‫‪x = -9‬‬
‫בדיקה‪5 · (-9) + 40 = 2 · (-9) + 13 :‬‬
‫‪568‬‬
‫‪-45 + 40 = -5‬‬
‫‪-18 + 13 = -5‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫משימות‬
‫קל‬
‫‪ 1‬באיור א' שלפניכם המאזניים מאוזנים‪ .‬לכל האגסים משקל שווה‪.‬‬
‫המשתנה ‪ x‬מייצג משקל של אגס בגרמים‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫גרם‬
‫‪150‬‬
‫גרם‬
‫איור ב'‬
‫איור א'‬
‫א כתבו משוואה המתאימה לאיור א'‪.‬‬
‫ב ציינו איזו פעולה צריך לבצע‪ ,‬כדי שהאגסים יהיו רק בכף אחת‪ ,‬והשוויון יישמר‪.‬‬
‫ג כתבו משוואה לתיאור השקילה אחרי ביצוע הפעולה שבסעיף ב'‪.‬‬
‫ד האם המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫ה ענו על השאלות א' ‪ -‬ד' כאשר השקילה מתבצעת כמתואר באיור ב'‪ּ ,‬ולכל המשמשים‬
‫משקל שווה‪.‬‬
‫קל‬
‫‪2‬‬
‫באיור שמשמאל האות ‪ x‬מייצגת משקל של קובייה‪.‬‬
‫‪600‬‬
‫גרם‬
‫א כתבו משוואה המתאימה לאיור‪.‬‬
‫ב ציינו איזו פעולה צריך לבצע כדי שבכף אחת לא יהיו קוביות‪,‬‬
‫והשוויון יישמר‪.‬‬
‫קל‬
‫‪ 3‬כתבו משוואה המתאימה לאיור‪ ,‬ופתרו אותה‪.‬‬
‫‪ 4‬א כתבו משוואה המתאימה לאיור‪ ,‬כך שהאות ‪x‬‬
‫תייצג משקל של אגס‪.‬‬
‫ב ציינו אילו פעולות צריך לבצע‪ ,‬כדי שרק‬
‫בכף אחת יהיו אגסים‪ ,‬והשוויון יישמר‪.‬‬
‫‪260‬‬
‫גרם‬
‫‪x‬‬
‫‪100‬‬
‫גרם‬
‫‪x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪100‬‬
‫גרם‬
‫‪100 100‬‬
‫גרם גרם‬
‫‪100 100‬‬
‫גרם גרם‬
‫‪100‬‬
‫גרם‬
‫ג באיזו כף יש כעת אגסים? כמה?‬
‫ד אילו פעולות צריך לבצע‪ ,‬כדי שרק בכף השנייה יהיו משקולות‪ ,‬והשוויון יישמר?‬
‫מהו המשקל על כף זו?‬
‫ה מהו משקלו של כל אגס?‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪569‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 5‬נתונה המשוואה ‪.6 · x + 10 = 2 · x + 30‬‬
‫לפניכם שלבי הפתרון של המשוואה‪ .‬תארו כל שלב במילים‪ ,‬והסבירו את מטרת הפעולה‪.‬‬
‫שלב א'‬
‫‪6 · x + 10 – 2 · x = 2 · x + 30 – 2 · x‬‬
‫שלב ב'‬
‫‪6 · x – 2 · x + 10 = 2 · x – 2 · x + 30‬‬
‫שלב ג'‬
‫‪4 · x + 10 = 30‬‬
‫שלב ד'‬
‫‪4 · x = 20‬‬
‫שלב ה'‬
‫‪4 · x 20‬‬
‫____‬
‫__ =    ‪  4‬‬
‫  ‪ 4‬‬
‫‪x=5‬‬
‫‬
‫‪ 6‬לפניכם משוואות פתורות‪ .‬בכל סעיף הסבירו את השלבים לקבלת המשוואה השקולה‪ ,‬ובדקו את‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫א‬
‫‪8·x‬‬
‫‪8·x–3·x‬‬
‫‪5·x‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪ 41 + 3 · x + 4‬‬
‫= ‪41 + 4‬‬
‫= ‪45‬‬
‫=‪9‬‬
‫ב‬
‫‪12 · x + 13‬‬
‫‪12 · x + 2 · x + 13‬‬
‫‪14 · x + 13‬‬
‫‪14 · x‬‬
‫‪14 · x‬‬
‫‪14 · x : 14‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪-2 · x − 15‬‬
‫= ‪-2 · x + 2 · x − 15‬‬
‫= ‪-15‬‬
‫= ‪-15 − 13‬‬
‫= ‪-28‬‬
‫= ‪-28 : 14‬‬
‫= ‪-2‬‬
‫‪ 7‬ציינו איזו פעולה צריך לבצע בכל משוואה‪ ,‬כדי שהנעלם יופיע באגף אחד בלבד שלה‪,‬‬
‫ותתקבל משוואה שקולה‪.‬‬
‫א ‪2 · x = 4 + x‬‬
‫ב ‪4 · a = 2 · a + 6‬‬
‫ג ‪y = 8 − 2 · y‬‬
‫ד ‪5 · n = 10 − n‬‬
‫ה ‪3 · y = 12 − y‬‬
‫ו ‪2 · x + 45 = 5 · x‬‬
‫ז ‪3 · x + 4 = 7 · x‬‬
‫ח ‪5 · y = 5 − 5 · y‬‬
‫ט ‪3 · x = 2 · x − 1‬‬
‫‪ 8‬מצאו שלשות של משוואות שקולות‪.‬‬
‫א ‪2 · x − 1 = 5‬‬
‫ב ‪5 · y − 1 = -21‬‬
‫ג ‪ 15 − 4 · x = 11‬‬
‫ד ‪7 · y − 6 = 4 + 2 · y‬‬
‫ה ‪x = 3‬‬
‫ו ‪x = 1‬‬
‫ז ‪5 · y = -20‬‬
‫ח ‪4 · x = 4‬‬
‫ט ‪5 · y =10‬‬
‫י ‪y = 2‬‬
‫יא ‪2 · x = 6‬‬
‫יב ‪y = -4‬‬
‫‪ 9‬התבוננו באיור‪ ,‬ומצאו את הערך של ‪. x‬‬
‫קל‬
‫‪x‬‬
‫‪570‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪ 100‬ג'‬
‫‪x‬‬
‫‪ 400‬ג'‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 10‬א כתבו משוואה מתאימה לאיור‪.‬‬
‫ב ציינו אילו פעולות צריך לבצע‪ ,‬כדי שרק בכף אחת‬
‫יהיו קוביות‪ ,‬והשוויון יישמר‪.‬‬
‫‪150‬‬
‫גרם‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫גרם‬
‫‪x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪x x‬‬
‫ג כתבו משוואה לתיאור השקילה אחרי ביצוע הפעולה‬
‫שבסעיף ב'‪.‬‬
‫ד האם המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪ 11‬לפניכם ייצוג של שוויון‪.‬‬
‫‪+ 30‬‬
‫א תארו את השוויון על‪-‬ידי משוואה‪.‬‬
‫ב איזה שוויון נוסף אתם רואים בייצוג?‬
‫‪+ 12‬‬
‫ג מהו הערך של ‪? x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 12‬לפניכם זוגות של משוואות שקולות‪ .‬בכל סעיף הסבירו איך נתקבלה המשוואה השקולה‪.‬‬
‫א ‪5 · x + 4 = 7 · x + 2‬‬
‫ב ‪5 · x + 4 = 2 · x + 10‬‬
‫ ‪4 = 2 · x + 2‬‬
‫ג ‪2 · y − 4 = 3 · y + 2‬‬
‫‪3 · x + 4 = 10‬‬
‫‪-6 = y‬‬
‫‪ 13‬מהו פתרון המשוואה ‪? 2 · x + 35 = x + 135‬‬
‫א ‪10‬‬
‫ג ‪1 00‬‬
‫ב ‪90‬‬
‫ד ‪170‬‬
‫‪ 14‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪9 · x − 5 = 6 − 2 · x‬‬
‫ב ‪6 · u + 4 = 11 − u‬‬
‫ג ‪4 + 5 · z = 9 · z‬‬
‫ד ‪3 · x = -14 − 4 · x‬‬
‫ה ‪14 · x = 8 · x + 12‬‬
‫ו ‪7 · x − 2 = 3 − 2 · x‬‬
‫ז ‪2 − 3 · x = 5 · x + 10‬‬
‫ח ‪3 · x − 2 + x = 6 – 4 · x‬‬
‫ט ‪3 · t − 7 = -2 · t − 9‬‬
‫‪ 15‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪3 · x + 10 = -5 · x + 10‬‬
‫ב ‪-2 · x − 6 = 2 · x − 38‬‬
‫ג ‪2 · x − 3 = -3 · x + 42‬‬
‫ד ‪x + 3 = 4 · x + 12‬‬
‫ה ‪- 4 · x + 8 = 4 · x − 48‬‬
‫ו ‪2 · x + 1 = -x + 19‬‬
‫ז ‪- 3 · x + 7 = 5 · x + 23‬‬
‫ח ‪5 · x + 9 = 4 · x + 6‬‬
‫ט ‪-4 · x – 4 = 2 · x + 44‬‬
‫‪ 16‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪8 · x − 4 + 7 = 6 · x + 9 + x‬‬
‫ב ‪7 · x − 23 = 10 − 3 · x − x‬‬
‫ג ‪5 − 3 · x − 18 = x − 1 + 8 · x‬‬
‫שימו לב!‬
‫בכתיבת התהליך של פתרון משוואה חשוב לשמור‬
‫על סדר הכתיבה‪ :‬יש לכתוב רק שוויון אחד בכל שורה‬
‫ולסמן בצד איזו פעולה מבצעים‪ .‬כך אפשר יהיה לחזור‬
‫על התהליך במקרה של גילוי טעות בעת הבדיקה‪.‬‬
‫‪ 17‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪-4 · y − 2 = -3 · y + 5‬‬
‫ב ‪12 · z − 5 = 8 · z − z + 60‬‬
‫ג ‪8 − 12 · x + 6 · x = 3 · x − 10 + 12‬‬
‫ד ‪ 6 · x −12 − x = x + 53 + 9 · x‬‬
‫ה ‪5 · x + 2 − 3 · x + 7 = x + 4 · x − 5‬‬
‫ו ‪3 · z − 5 · z − 12 = 7 · z − 88 − 5‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪571‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫פיצוחים‬
‫‪ 18‬בכל אחת מהזהויות שלפניכם נמחק ביטוי‪ .‬מצאו את הביטויים החסרים‪.‬‬
‫א ‪) = 4 · x + 3‬‬
‫(‪3·x+1+‬‬
‫ג ‪) = 4 · x − 1‬‬
‫(‪ 3·x+1+‬‬
‫ב ‪ 3 · x + 1 + ( ) = 2 · x + 3‬‬
‫ד ‪) = 2 · x − 1‬‬
‫(‪ 3·x+1−‬‬
‫זכרו!‬
‫הפתרון בזהויות הוא "כל ‪."x‬‬
‫‪ 19‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x‬‬
‫__‬
‫____ = ‪ 2 + 1‬‬
‫א     ‪  2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4·y‬‬
‫____‬
‫__ =‪  3    – 1‬‬
‫ג  ‪ 3‬‬
‫‪2·x x‬‬
‫____‬
‫__ =    ‪  3‬‬
‫ב ‪ 3 + 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5·y‬‬
‫____‬
‫__ = ‪  4    – 3‬‬
‫ד  ‪ 4‬‬
‫לומדים‬
‫גם כאשר מופיעים במשוואה שברים‪ ,‬מכנסים באגף אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם‪.‬‬
‫משתמשים בחוקי הפעולות של השברים כדי לכנס איברים דומים ולפתור את המשוואה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫המשוואה‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪x‬‬
‫ ‪| –  __4‬‬
‫‪3·x x‬‬
‫____‬
‫__ =    ‪  4‬‬
‫‪ 4 + 10‬‬
‫‪3·x x‬‬
‫____‬
‫__ =    ‪  4‬‬
‫‪ 4 + 10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x x x‬‬
‫____‬
‫__ = ‪  4    –  __4‬‬
‫__ – ‪ 4 + 10‬‬
‫ ‪ 4‬‬
‫כינוס איברים דומים‬
‫תכונות השברים‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪2·x‬‬
‫____‬
‫‪  4    = 10‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫ ‪2 = 10 | · 2‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫ ‪2 · 2 = 10 · 2‬‬
‫‪x = 20‬‬
‫בדיקה‬
‫‪3 · 20‬‬
‫____‬
‫   ‪  4‬‬
‫‪ = 15‬‬
‫המשוואה‬
‫תכונות השוויון‬
‫תכונות השוויון‬
‫מכנה משותף‬
‫כינוס איברים דומים‬
‫תכונות השברים‬
‫תכונות השוויון‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪572‬‬
‫‪5·x 3·x‬‬
‫____‬
‫____ –   ‪  15‬‬
‫‪  15   = -10‬‬
‫‪| · 15‬‬
‫‪|:2‬‬
‫‪2·x‬‬
‫____‬
‫‪  15   = -10‬‬
‫‪2 · x = -15 · 10‬‬
‫‪-15 · 10‬‬
‫______ = ‪x‬‬
‫   ‪  2‬‬
‫ ‬
‫‪x = -75‬‬
‫‪20‬‬
‫__ ‬
‫‪4  + 10 = 15‬‬
‫‪x‬‬
‫–‪x‬‬
‫__‬
‫__‬
‫ ‪3 + 7 =  5  3‬‬
‫‪x‬‬
‫–‪x‬‬
‫__‬
‫__‬
‫‪– __x‬‬
‫  ‪3 + 7 =  5  3 |  5‬‬
‫‪x‬‬
‫ ‪x‬‬‫__‬
‫__ –‬
‫ ‪| – 7‬‬
‫‪3 + 7  5 = 3‬‬
‫__ – ‪x‬‬
‫– ‪x -‬‬
‫__‬
‫‬‫ ‪3   5 = 3 7 = 10‬‬
‫בדיקה‬
‫‪-75‬‬
‫___‬
‫‪  3   + 7 = -25 + 7 = -18‬‬
‫‪-75‬‬
‫___‬
‫‪  5   – 3 = -15 – 3 = -18‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫משימות‬
‫‪x‬‬
‫ ‪2 ·  x‬‬
‫__ ‪ + 5 = 14 +‬‬
‫‪ 20‬נתונה המשוואה     ‪ 10‬‬
‫____‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫לפניכם שלבי הפתרון של המשוואה‪ .‬תארו כל שלב‪ ,‬והסבירו את מטרת הפעולה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2·x‬‬
‫____‬
‫__ ‪  5    = 9 +‬‬
‫   ‪ 10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2·x‬‬
‫____‬
‫__ –    ‪  5‬‬
‫‪ 10   = 9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4·x‬‬
‫____‬
‫__ –   ‪  10‬‬
‫‪ 10   = 9‬‬
‫‪3·x‬‬
‫____‬
‫‪  10   = 9‬‬
‫שלב א'‬
‫שלב ב'‬
‫שלב ג'‬
‫שלב ד'‬
‫‪3 · x = 90‬‬
‫שלב ה'‬
‫‪x = 30‬‬
‫שלב ו'‬
‫‪2 · 30‬‬
‫____‬
‫   ‪  5‬‬
‫‪ = 12‬‬
‫‪30‬‬
‫__ ‪9 +‬‬
‫‪ 10  = 12‬‬
‫בדיקה‬
‫‪ 21‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫‪3·x‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫____‬
‫   ‪  5‬‬
‫א ‪  =  5 + 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x‬‬
‫____‬
‫__ = ‪  5    – 8‬‬
‫ה ‪ 5 + 2‬‬
‫‪ 22‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫‪5·y y‬‬
‫____‬
‫__ =    ‪  2‬‬
‫א ‪ 2 – 8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x‬‬
‫____‬
‫__ = ‪  10   – 8‬‬
‫ה ‪ 5 + 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2·y‬‬
‫__‬
‫____‬
‫ב  ‬
‫    ‪3  + 6 =   3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2·y‬‬
‫__‬
‫____‬
‫ו  ‪ – 6‬‬
‫   ‪3  + 6 =   3‬‬
‫‪3·s‬‬
‫____ = ‪__ 4s + 5‬‬
‫ב     ‪  4‬‬
‫‪2·y‬‬
‫‪y‬‬
‫____ = ‪__ 6 + 5‬‬
‫ו ‪  3    – 6‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫‪3·x‬‬
‫____‬
‫    ‪4 + 1 =   4‬‬
‫ג  ‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫‪3·x‬‬
‫____ = ‪4 + 1‬‬
‫ז  ‪  4    – 5‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫‪2·x‬‬
‫____‬
‫    ‪3 + 4 =   3‬‬
‫ג  ‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x‬‬
‫__‬
‫____‬
‫   ‪  4 + 1 =   8‬‬
‫ז ‪ – 5‬‬
‫__ ‪5 · x‬‬
‫‪x‬‬
‫____ ‬
‫ד ‪ =  2 – 4‬‬
‫   ‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫– ‪5·x‬‬
‫____‬
‫   ‪  2‬‬
‫__ = ‪  18‬‬
‫ח ‪ 2 – 4‬‬
‫‪3·t t‬‬
‫___‬
‫__ =    ‪  5‬‬
‫ד ‪ 5  +10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3·x‬‬
‫____‬
‫__ = ‪  8    – 1‬‬
‫ח ‪ 2 – 4‬‬
‫‪ 23‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪0.5 · x + 2 = x − 3‬‬
‫ב ‪3 − 0.5 · x = 2 − x‬‬
‫ג ‪3 − x = 2 − 0.5 · x‬‬
‫ד ‪1 − 0.8 · x = 0.2 · x − 1‬‬
‫ה ‪0 .8 · x − 1 = 1 − 0.2 · x‬‬
‫ו ‪0.8 · x + 1 = 1 − 0.2 · x‬‬
‫ז ‪1 .7 · x = 0.2 · x + 30‬‬
‫ח ‪0.5 · x + 10 = 0.6 · x + 60‬‬
‫ט ‪0.4 · x − 9 = 0.3 · x‬‬
‫פיצוחים‬
‫א הרכיבו שתי משוואות לא‪-‬שקולות בעזרת המספרים ‪ 23 ,5 ,7‬והנעלם ‪.x‬‬
‫‪ 24‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫ב פתרו את המשוואות שהרכבתם‪.‬‬
‫‪x + 7 = 5 · x + 23‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪573‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫א‪ .2.‬משוואות עם סוגריים‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫לפניכם זוגות של משוואות שקולות‪ .‬הסבירו איך מתקבלת כל משוואה שקולה‪.‬‬
‫א ‪9 + 2 · (4 · y + 3) = 13 · y‬‬
‫↕‬
‫ב‬
‫)‪2 · (x − 4) − 17 = 13 − 3 · (x + 1‬‬
‫↕‬
‫‪8 · x − 8 − 17 = 13 − 3 · x − 3‬‬
‫‪9 + 8 · y + 6 = 13 · y‬‬
‫ג ‪6 · x − (2 · x − 5) = 23 + 3 · x‬‬
‫↕‬
‫‪6 · x − 2 · x + 5 = 23 + 3 · x‬‬
‫זכרו!‬
‫משמעות הסימן ‪ B ↔ A‬היא‬
‫"הביטויים ‪ A‬ו‪ B-‬שקולים זה לזה"‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪2 · x + x = 10 ↔ 3 · x = 10‬‬
‫לומדים‬
‫גם כאשר פותרים משוואה שיש בה סוגריים‪ ,‬אפשר ליצור משוואה שקולה על‪-‬ידי שימוש בפעולות‬
‫המותרות‪ ,‬כגון פתיחת סוגריים‪ ,‬כינוס איברים‪ ,‬תכונות השוויון ותכונות הפעולות‪" .‬מרכזים" באגף‬
‫אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם‪ ,‬ובאגף השני "מרכזים" את האיברים החופשיים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪8 · x + 2 · (x − 3) = 16 − x‬‬
‫פתיחת סוגריים‬
‫‪8 · x + 2 · x − 6 = 16 − x‬‬
‫כינוס איברים דומים‬
‫‪8 · x + 2 · x − 6 = 16 − x‬‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪|+x‬‬
‫כינוס איברים דומים‬
‫‪10 · x + x − 6 = 16 − x + x‬‬
‫‪10 · x − 6 = 16 − x‬‬
‫‪11 · x − 6 = 16‬‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪|+6‬‬
‫כינוס איברים דומים‬
‫‪11 · x − 6 + 6 = 16 + 6‬‬
‫תכונות השוויון‬
‫‪11 · x = 22‬‬
‫חישוב התוצאה‬
‫‪11‬‬
‫‪·x‬‬
‫‪22‬‬
‫_____‬
‫__‬
‫  ‪ =  11‬‬
‫   ‪11‬‬
‫‪x=2‬‬
‫בדיקה‪ :‬נציב ‪ 2‬בשני אגפי המשוואה‬
‫‪574‬‬
‫‪8 · 2 + 2 · (2 − 3) = 16 − 2 = 14‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫משימות‬
‫זכרו!‬
‫‪ 25‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪2 · (x + 8) = 3 · x‬‬
‫ב ‪-(x + 5) = 4 · x‬‬
‫ג )‪- 5 · x = 3 · (x – 8‬‬
‫ד ‪5 · (x – 14) = -2 · x‬‬
‫ה )‪2 · x = 6 · (8 – x‬‬
‫ו ‪-(x – 2) = 2 · x‬‬
‫ז ‪4 · (x + 4) = 6 · x‬‬
‫ח ‪2 · (14 – 2 · x) = 3 · x‬‬
‫כדי לפתוח סוגריים‪ ,‬כאשר יש סימן‬
‫"מינוס" לפני הסוגריים‪ ,‬יש להחליף את‬
‫הסימן "מינוס" בסימן "פלוס" ואת הסימן‬
‫"פלוס" ב"מינוס" שבתוך הסוגריים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪x – (5 + 2 · x) = x – 5 – 2 · x‬‬
‫‪x – (5 – 2 · x) = x – 5 + 2 · x‬‬
‫‪ 26‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪3 · (x + 3) = 6 · x‬‬
‫ב )‪-2 · x = 4 · (x – 3‬‬
‫ג ‪-4 · (x – 5) = x‬‬
‫ד ‪5 · (y + 4) = 4 · y‬‬
‫ה ‪2 · (y + 6) = -y‬‬
‫ו )‪7 · y = 5 · (y – 4‬‬
‫ז ‪2 · (2 · x + 3) = 5 · x‬‬
‫ח )‪3 · x = 5 · (x – 4‬‬
‫ט ‪-4 · (x – 7) = 3 · x‬‬
‫‪ 27‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪2 · (x − 9) = 3 · x − 9‬‬
‫‬
‫ב ‪-5 · (x − 7) = -2 · x + 29‬‬
‫‬
‫ג )‪x − 2 = -3 · (x + 10‬‬
‫ד ‪-(x + 5) = 4 · x + 40‬‬
‫ה ‪3 · (x − 9) = 2 · x − 37‬‬
‫‬
‫ו )‪-5 · x − 6 = -4 · (x − 4‬‬
‫ז ‪2 · x − 7 · (x − 1) = 3 · x + 55‬‬
‫ח ‪-(x − 2) = 2 · x − 13‬‬
‫‬
‫ט ‪2 · (x − 5) = -4 · x − 16‬‬
‫‬
‫‪ 28‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪2 · (x − 8) = 3 · x − 18‬‬
‫‬
‫ב ‪5 · (y + 4) = 4 · y + 19‬‬
‫‬
‫ג ‪2 · x + 2 · (x + 3) = 5 · x − 3‬‬
‫ד ‪- (x + 3) = 4 · x − 28‬‬
‫ה ‪2 · (y + 6) = -y + 39‬‬
‫‬
‫ו ‪3 · (x − 9) = 4 · x − 20‬‬
‫ז ‪- 3 · (x − 7) = x − 11‬‬
‫ח ‪- 4 · (2 – 3 · x) – 7 = 3 · x + 12‬‬
‫‬
‫ט ‪-4 · (x − 7) = 5 · x + 1‬‬
‫‬
‫‪ 29‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א )‪7 · (x + 2) = 5 · (x + 4‬‬
‫ב )‪3 · (x – 5) = 2 · (2 · x + 1‬‬
‫ג )‪2 · (y + 1) – 3 · y = 3 · (2 · y + 3‬‬
‫ד )‪4 · (2 · y + 1) = 29 + 3 · (2 · y – 5‬‬
‫ה )‪2 · (s – 3) – 13 = 17 – 3 · (s + 2‬‬
‫ו ‪4 · (2 – 3 · x) + 6 · x = 3 · (x + 4) – 10‬‬
‫‪ 30‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א )‪4 · (x – 3) – 5 · (3 + x) + 2 = 4 · (3 · x + 4) – 2 · (8 – 6 · x‬‬
‫ב ‪6 · (2 · y + 1) – 3 · (4 · y – 3) – (6 · y + 10) = -(4 · y – 3) + 3‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪575‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 31‬לפני המצאת הסימנים לפעולות והשימוש בספרות שאנו משתמשים בהן היום‪ ,‬כתבו את השוויונות‬
‫במילים‪ .‬לפניכם כמה משפטים מסוג המשפטים שכתבו לפני ‪ 600‬שנה‪" .‬תרגמו" אותם למשוואות‪,‬‬
‫ופתרו את המשוואות‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫אם מחסרים שלוש עשרה מכפליים מספר נתון‪ ,‬מקבלים תוצאה השווה לסכום של המספר הנתון ועשרים‪.‬‬
‫‪-13‬‬
‫מהו המספר הנתון?‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫פתרון המשוואה‬
‫‪2·x‬‬
‫‪|−x‬‬
‫‪| + 13‬‬
‫‪20 + x‬‬
‫=‬
‫‪2 · x −13‬‬
‫‪2 · x −13‬‬
‫‪2 · x −13 − x‬‬
‫‪x −13‬‬
‫‪x − 13 + 13‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪20 + x‬‬
‫= ‪20 + x‬‬
‫= ‪20 + x − x‬‬
‫= ‪20‬‬
‫= ‪20 + 13‬‬
‫= ‪33‬‬
‫א אם מחסרים ‪ 3‬מכפליים מספר‪ ,‬מתקבלת תוצאה השווה לסכום אותו מספר ו‪ .5 -‬מהו המספר?‬
‫ב אם כופלים מספר ב‪ ,7 -‬מתקבלת תוצאה השווה לסכום של ‪ 25‬וכפליים המספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫ג חיסור ‪ 9‬מארבע פעמים מספר‪ ,‬שווה לחיסור ‪ 1‬משלוש פעמים אותו מספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫ד אם מוסיפים ‪ 3‬לחמש פעמים מספר‪ ,‬מתקבל הסכום של פעמיים המספר ו‪ .15 -‬מהו המספר?‬
‫ה הוספת ‪ 10‬לארבע פעמים מספר‪ ,‬שווה לחיסור ‪ 50‬מתשע פעמים המספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫ו חיסור ‪ 150‬משבע פעמים המספר‪ ,‬שווה לחיסור ‪ 250‬משלוש פעמים המספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫‪ 32‬רפאל טוען שתמיד אפשר לכתוב משוואה שקולה למשוואה ‪a · x + b = c · x + d‬‬
‫כך‪ . a · x − c · x = d − b :‬האם רפאל צודק? אם כן‪ ,‬כיצד ִהגיע למסקנה זו?‬
‫‪ 33‬מהן המשוואות השקולות למשוואה ‪?2 · (3 · x − 8) = 9 · x − 25‬‬
‫א ‪6 · x + 25 − 16 = 9 · x − 25‬‬
‫ב ‪6 · x + 25 − 16 = 9 · x‬‬
‫ג ‪ 25 − 16 = 9 · x − 6 · x‬‬
‫ד ‪16 − 6 · x − 25 = 9 · x‬‬
‫‪ 34‬הסבירו מדוע המשוואות שלפניכם שקולות‪.‬‬
‫א )‪2 · 7 · x + 2 · (-5) = 6 · 3 · x + 6 · (-2‬‬
‫‬
‫ג‬
‫‪1 4 · x − 10 = 18 · x − 12‬‬
‫ב )‪2 · (7 · x − 5) = 6 · (3 · x − 2‬‬
‫ד ‪4 · x = 2‬‬
‫‪ 35‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪-5 · (x − 6) = -x + 62‬‬
‫ב ‪-3 · (x − 9) = 5 · x + 59‬‬
‫ג )‪3 · x = 1 − 2 · (3 · x − 40‬‬
‫ד ‪- 2 · (x + 2) = 4 · x − 16‬‬
‫ה ‪3 · (x + 8) = x + 18‬‬
‫ו ‪3 · (x + 6) = -4 · x + 4‬‬
‫ז ‪- 2 · (x − 5) = x − 5‬‬
‫ח ‪-5 · (x − 1) = -4 · x + 1‬‬
‫ט ‪2 · (x + 7) = 3 · x + 19‬‬
‫תרגילים נוספים בעמוד ‪.596‬‬
‫‪576‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫ב‪ .‬שאלות מילוליות‬
‫ב‪ .1.‬ניתוח בעזרת בדיקה‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫לפניכם שאלה מילולית‪.‬‬
‫היום יונתן מבוגר מאחיו ארז פי ארבעה‪ .‬בעוד ארבע שנים יהיה יונתן מבוגר מארז פי שניים‪.‬‬
‫מהו הגיל של הילדים היום?‬
‫בחרו מספר לגיל של ארז היום‪ .‬האם הבחירה שלכם מתאימה לנתונים?‬
‫איך בדקתם?‬
‫מהו‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬הגיל של ארז היום? מהו הגיל של יונתן היום?‬
‫לומדים‬
‫כדי לפתור שאלה מילולית צריך‬
‫א להבין את הטקסט ואת הקשרים בין הנתונים הידועים והלא‪-‬ידועים;‬
‫ב לבחור נעלם ולציין מה הוא מייצג;‬
‫ג לתרגם את הקשרים למשוואות;‬
‫ד לפתור את המשוואות;‬
‫ה לבדוק אם פתרון המשוואה מתאים לשאלה‪.‬‬
‫אחת השיטות לכתוב משוואה היא דרך ניסוי וטעייה כך‪:‬‬
‫● ●בוחרים מספר אפשרי וסביר כערך של הנעלם;‬
‫● ●מתרגמים בעזרתו את הקשרים;‬
‫● ●כותבים משוואה מתאימה לקשרים;‬
‫● ●פותרים את המשוואה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫כיום אורה מבוגרת מדינה פי שלושה‪ .‬בעוד עשר שנים תהיה אורה מבוגרת מדינה פי שניים‪.‬‬
‫בת כמה אורה היום? בת כמה דינה היום?‬
‫נייצג את בניית המשוואה בטבלה‪ .‬המשתנה ‪ x‬ייצג את הגיל של דינה היום‪.‬‬
‫דינה‬
‫היום‬
‫בעוד ‪ 10‬שנים‬
‫אורה‬
‫ניסוי‬
‫ביטוי אלגברי‬
‫המספר הנבחר‪8 :‬‬
‫‪8 + 10‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪x‬‬
‫ניסוי‬
‫‪3·8‬‬
‫‪3 · 8 + 10‬‬
‫‪ 8‬הוא מספר סביר כתשובה‪ -3( .‬או ‪ 0.1‬אינם מספרים סבירים לגיל של אדם‪).‬‬
‫הגיל של דינה הוא פתרון המשוואה‪3 · x + 10 = 2 · (x + 10) .‬‬
‫‪ 8‬אינו פתרון של המשוואה‪ ,‬כי ‪ 3 · 8 + 10 = 34‬אינו גדול מ‪ 10 + 8 -‬פי שניים‪.‬‬
‫(פתרון המשוואה הוא‪). x = 10 :‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫ביטוי אלגברי‬
‫‪3·x‬‬
‫‪3 · x + 10‬‬
‫שימו לב!‬
‫בעזרת הניסוי‬
‫בנינו את המשוואה‪.‬‬
‫‪577‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫משימות‬
‫‪ 36‬פתרו את השאלה שלפניכם על‪-‬ידי ניסוי וטעייה‪.‬‬
‫כופלים מספר ב‪ 10 -‬ומחסרים מהמכפלה ‪ .19‬כופלים אותו מספר ב‪ 5 -‬ומחסרים מהמכפלה ‪.4‬‬
‫תוצאת שני החישובים זהה‪ .‬מהו המספר?‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫א האם המספר הוא ‪ ?2‬כתבו את שלבי הבדיקה‪.‬‬
‫ב האם המספר הוא ‪ ?5‬איך בדקתם?‬
‫ג האם המספר הוא ‪ ?3‬איך בדקתם?‬
‫‪7 · 10 – 19 = 51‬‬
‫‪7 · 5 – 4 = 31‬‬
‫‪31 ≠ 51‬‬
‫מסקנה‪ :‬המספר ‪ 7‬אינו הפתרון‪.‬‬
‫‪ 37‬מצאו שלושה מספרים אי‪-‬זוגיים עוקבים‪,‬‬
‫כך שסכום המספר הראשון והמספר האחרון גדול מהמספר השני ב‪.27 -‬‬
‫א הסבירו מדוע ‪ 10‬לא יכול להיות המספר הראשון‪.‬‬
‫ב האם המספר הראשון הוא ‪ ?21‬איך בדקתם?‬
‫ג האם המספר הראשון הוא ‪ ?27‬איך בדקתם?‬
‫ד האם המספר הראשון הוא ‪ ?25‬איך בדקתם?‬
‫ה כתבו ביטוי מתאים לשאלה‪.‬‬
‫‪ 38‬מידות מלבן הן מספרים שלמים‪ .‬רוחב המלבן קטן מאורכו ב‪ 5 -‬ס"מ‪ .‬היקף המלבן הוא ‪ 22‬ס"מ‪.‬‬
‫מה הן מידות המלבן?‬
‫א בחרו מספר סביר לרוחב המלבן‪ ,‬בדקו אם הבחירה שלכם היא הפתרון‪ ,‬ופרטו את דרך הבדיקה‪.‬‬
‫ב בחרו מספר סביר נוסף לרוחב המלבן‪ .‬השתמשו בפירוט הבדיקה שבסעיף א' כדי לבדוק את‬
‫בחירתכם‪.‬‬
‫ג כתבו ביטוי מתאים לשאלה‪.‬‬
‫פתרו כל אחת מהשאלות ‪ 42 - 39‬על‪-‬ידי בחירה של מספר סביר ובדקו את פתרונכם על‪-‬ידי הצבה‪.‬‬
‫‪ 39‬אבא בן ‪ ,41‬ובנו בן ‪ .14‬לפני כמה שנים היה האב מבוגר מבנו פי ארבעה?‬
‫א בחרו מספר של שנים‪.‬‬
‫ב כתבו ביטויים לגיל של האב ולגיל של הבן לפני מספר השנים שבחרתם‪.‬‬
‫ג כתבו משוואה מתאימה‪ ,‬ובדקו את בחירתכם‪.‬‬
‫הנוכחי של‬
‫ְ‬
‫‪ 40‬אבא מבוגר מבנו פי שניים‪ .‬לפני ‪ 14‬שנה היה סכום הגילים של האב ושל בנו שווה לגיל‬
‫האב‪ .‬בן כמה הבן היום?‬
‫‪ 41‬לרחל וללאה מטבעות‪ .‬מספר המטבעות של לאה גדול ממספר המטבעות של רחל פי שלושה‪.‬‬
‫אם לאה תיתן לרחל עשרה מטבעות‪ ,‬יהיה לשתיהן אותו מספר מטבעות‪.‬‬
‫כמה מטבעות יש לכל אחת מהבנות?‬
‫א בחרו מספר למטבעות של לאה‪ .‬מהו הביטוי שייצג את מספר המטבעות של רחל?‬
‫ב ממי צריך לחסר ‪ 10‬מטבעות‪ ,‬ולמי יש להוסיף ‪ 10‬מטבעות?‬
‫‪578‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 42‬לישי היו כמה מטבעות של עשרה שקלים‪ .‬לאלישיב היה אותו מספר מטבעות של חמישה שקלים‪.‬‬
‫סבתא נתנה לישי ‪ ₪ 4‬ולאלישיב ‪ .₪ 19‬עכשיו יש להם אותו סכום כסף‪.‬‬
‫כמה מטבעות של ‪ ₪ 10‬היו לישי?‬
‫זכרו!‬
‫א האם לפני שסבתא נתנה‬
‫לשני הבנים כסף‪ ,‬היה להם‬
‫אותו סכום כסף?‬
‫ב בדקו אם "‪ 10‬מטבעות של‬
‫עשרה שקלים" הוא פתרון‬
‫השאלה‪ .‬כמה כסף היה עכשיו‬
‫לישי‪ ,‬אילו היו לו ‪ 10‬מטבעות‬
‫של ‪ ?₪ 10‬וכמה כסף היה‬
‫עכשיו לאלישיב במקרה זה?‬
‫ יש להבדיל בין מספר (כמות) מטבעות לבין ערך מטבע‪.‬‬
‫ כאשר מדובר במטבעות בעלי אותו ערך‪,‬‬
‫מספר המטבעות × ערך מטבע = ערך כל המטבעות‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫● ●ערך ‪ 4‬מטבעות של ‪ ₪ 10‬הוא ‪(4 · 10) .₪ 40‬‬
‫● ●ערך ‪ x‬מטבעות של ‪ ₪ 10‬הוא ‪(x · 10) . ₪ 10 · x‬‬
‫ג בדקו אם "מטבע אחד של עשרה שקלים" הוא פתרון השאלה‪ .‬במקרה כזה‪ ,‬למי היה עכשיו יותר כסף?‬
‫ד האות ‪ x‬מייצגת את מספר המטבעות של עשרה שקלים שהיה לישי‪.‬‬
‫● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לישי לפני שקיבל ‪.₪ 4‬‬
‫● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לישי אחרי שקיבל ‪.₪ 4‬‬
‫● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לאלישיב אחרי שקיבל ‪.₪ 19‬‬
‫ה בחרו מספר סביר‪ ,‬ובדקו אם הוא פתרון השאלה‪.‬‬
‫‪ 43‬אושרה רוצה לקנות ספרים מאותה סדרה‪ .‬לכל הספרים בסדרה אותו מחיר‪.‬‬
‫אם היא תקנה ארבעה ספרים‪ ,‬ייוותרו לה ‪ .₪ 35‬אם היא תרצה לקנות שישה ספרים‪ ,‬יחסרו לה ‪.₪ 65‬‬
‫מהו המחיר של כל ספר?‬
‫דּבקות‪.‬‬
‫‪ 44‬דודה אסתר נתנה לתאומות תהילה והודיה אותו מספר ִמ ָ‬
‫חלק מהמדבקות היו בדפים (על כל דף אותו מספר מדבקות)‪ ,‬וחלק היו מדבקות יחידות‪.‬‬
‫תהילה קיבלה שלושה דפים ו‪ 25 -‬מדבקות יחידות‪.‬‬
‫הודיה קיבלה שני דפים ו‪ 45 -‬מדבקות יחידות‪.‬‬
‫כמה מדבקות היו בכל דף?‬
‫‪ 45‬סביב הכפר יש מסלול אופניים‪.‬‬
‫אבישי רכב פעם אחת מסביב לכפר והמשיך לרכוב עוד שמונָ ה קילומטרים לכפר השכן‪.‬‬
‫מיכה רכב שלוש פעמים סביב הכפר‪ ,‬לפיכך רכב ארבעה קילומטרים יותר משרכב אבישי‪.‬‬
‫מהו אורך המסלול לרכיבה סביב הכפר?‬
‫א האם אורך המסלול הוא שני קילומטרים?‬
‫ב האם אורך המסלול הוא שבעה קילומטרים?‬
‫ג האם אורך המסלול הוא שישה קילומטרים?‬
‫נמקו את תשובותיכם‪.‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪579‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 46‬ספרת העשרות של מספר דו‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים‪.‬‬
‫סכום המספר והמספר הכתוב בסדר ההפוך הוא ‪.132‬‬
‫א האם הספרה ‪ 3‬יכולה להיות ספרת העשרות של המספר?‬
‫ב מהן האפשרויות לתשובה?‬
‫ג מהו המספר?‬
‫‪ 47‬ספרת העשרות של מספר תלת‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות שלו פי שניים וקטנה מספרת‬
‫המאות שלו פי שניים‪ .‬ההפרש בין מספר זה לבין המספר הכתוב בסדר ההפוך הוא ‪.297‬‬
‫א האם הספרה ‪ 3‬יכולה להיות ספרת העשרות של המספר?‬
‫ב האם הספרה ‪ 3‬יכולה להיות ספרת היחידות של המספר?‬
‫ג מהן האפשרויות לתשובה?‬
‫ד מהו המספר?‬
‫ב‪ .2.‬ניתוח בעזרת ייצוג‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫אורך צלע של משולש שווה‪-‬צלעות גדול מאורך צלע של ריבוע ב‪ 1-‬ס"מ‪ .‬היקף הריבוע שווה להיקף‬
‫המשולש‪.‬‬
‫מהו אורך צלע הריבוע?‬
‫הסכמות שלפניכם מייצגות את השאלה‪ .‬מה מייצג המשתנה ‪? x‬‬
‫ֵ‬
‫א הסבירו איך‬
‫ב האם אפשר למצוא את הפתרון בעזרת הייצוג? מהו הפתרון?‬
‫‬
‫ייצוג א'‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+1‬‬
‫ייצוג ב'‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫לומדים‬
‫סכמה‪.‬‬
‫לעתים אפשר לייצג נתונים של שאלה מילולית באופן חזותי על‪-‬ידי ֵ‬
‫הייצוג הנבחר תלוי בשאלה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בסכמה אין צורך לדייק באורכים‪ ,‬כי עדיין לא ידוע ערך הנעלם‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫● ●ייצוג נעלם על‪-‬ידי קטע‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫● ●ייצוג מכפלה על‪-‬ידי קטעים צמודים בעלי אותו אורך‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪580‬‬
‫‪3·x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪x‬‬
‫● ●ייצוג מכפלה על‪-‬ידי שטח מלבן‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫● ●ייצוג הוספה של מספר ידוע על‪-‬ידי קטע‪:‬‬
‫‪ x + 4‬מיוצג על‪-‬ידי הקטע‬
‫● ●ייצוג חיסור של מספר ידוע על‪-‬ידי קטע מקווקו‪:‬‬
‫‪3·x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x−2‬‬
‫● ●ההפרש בין ‪ 21‬לבין מספר כלשהו שווה לפעמיים אותו המספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫לפי הסכמה שמשמאל ‪ ,3 · x = 21‬לכן ‪. x = 7‬‬
‫‪21‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2·x‬‬
‫משימות‬
‫קל‬
‫‪ 48‬אם מחסרים ‪ 2‬מחמש פעמים מספר‪ ,‬מקבלים תוצאה זהה להוספת ‪ 6‬לשלוש פעמים אותו המספר‪.‬‬
‫מהו המספר?‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫א הסבירו איך הסכמה מייצגת את השאלה‪.‬‬
‫ב מהו פתרון השאלה?‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 49‬מחסרים ‪ 24‬מחמש פעמים מספר‪.‬‬
‫התוצאה היא שלוש פעמים אותו המספר‪.‬‬
‫מהו המספר? הציגו את הנתונים בסכמה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪200‬‬
‫גרם‬
‫‪1,700‬‬
‫גרם‬
‫‪ 50‬באיור שלפניכם המאזניים מאוזנים‪.‬‬
‫לכל הספרים משקל זהה‪ .‬מהו משקל כל ספר?‬
‫קל‬
‫‪ 51‬אם מוסיפים ‪ 210‬גרם למשקל של שבעה כדורים‪,‬‬
‫מתקבל משקל השווה למשקל של שני כדורים‬
‫ו‪ 2,060 -‬גרם‪ .‬כל הכדורים שווים במשקלם‪.‬‬
‫מהו משקלו של כדור?‬
‫היעזרו בייצוג שלפניכם כדי לפתור את השאלה‪.‬‬
‫‪ 52‬זאב בן שנתיים‪ ,‬ואחיו בנימין בן ‪.10‬‬
‫א מהו ההפרש בין גילי האחים?‬
‫‪210‬‬
‫‪2,060‬‬
‫?‬
‫‪10‬‬
‫ב האם הפרש הגילים משתנה עם הזמן?‬
‫ג מה יהיה ההפרש בין גילי האחים‪,‬‬
‫כאשר בנימין יהיה גדול מזאב פי שניים?‬
‫ד מה יהיה הגיל של זאב?‬
‫‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫·‪2‬‬
‫‪581‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 53‬שלמה בן ‪ ,49‬בנו מלאכי בן ‪ ,12‬ובנו דוד בן ‪.8‬‬
‫קל‬
‫שימו לב!‬
‫א בעוד כמה שנים יהיה גילו של שלמה שווה‬
‫לסכום הגילים של ילדיו?‬
‫ב הסבירו איך הסכמות מתארות את הנתונים‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪49‬‬
‫‪a‬‬
‫‪49‬‬
‫‪8‬‬
‫·‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪12‬‬
‫כולם מתבגרים ביחד!‬
‫כאשר גיל אב גדל ב‪ a -‬שנים‪,‬‬
‫גם הגיל של כל ילד גדל ב‪ a -‬שנים‪.‬‬
‫רק הגיל ההתחלתי שונה‪.‬‬
‫הפרש הגילים קבוע כל הזמן!‬
‫‪x‬‬
‫‪ 54‬ההפרש בין הגיל של רחל לבין גיל בתה שרה הוא ‪29‬‬
‫שנים‪ .‬בעוד ‪ 8‬שנים תהיה רחל מבוגרת משרה פי שניים‪.‬‬
‫מהו הגיל של שרה היום?‬
‫‪x‬‬
‫‪29‬‬
‫א האם ההפרש בין הגיל של רחל לבין הגיל של שרה‬
‫משתנה עם הזמן?‬
‫‪x+8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪29‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x + 29‬‬
‫ב הסבירו איך הסכמות מתארות את הנתונים‪.‬‬
‫‪ 55‬צריכת דלק של מכונית היא ‪ 9‬ליטרים ל‪ 100 -‬ק"מ‪.‬‬
‫מירב מילאה את המכל ולאחר נסיעה של ‪ 400‬ק"מ נותר רבע מקיבולת המכל‪.‬‬
‫מהי הקיבולת של המכל בליטרים?‬
‫‪ 56‬בקצה אחד של כביש נטוע עץ‪ ,‬ובקצהו האחר מוצב רמזור‪ .‬צב נמצא על הכביש במרחק של ארבעה‬
‫מטרים מהעץ‪ ,‬וחילזון נמצא על הכביש במרחק של תשעה עשר מטרים מהעץ‪ .‬שניהם החלו‬
‫להתקדם באותו זמן לכיוון הרמזור‪ .‬הצב התקדם עשרה מטרים בכל שעה‪ ,‬והחילזון התקדם חמישה‬
‫מטרים בכל שעה‪ .‬הם ִהגיעו יחד לרמזור‪ .‬במשך כמה זמן צעדו הצב והחילזון?‬
‫איור א'‬
‫איור ב'‬
‫‪ 10‬מ'‬
‫‪ 10‬מ'‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 5‬מ'‬
‫‪ 5‬מ'‬
‫ח‬
‫צ‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 19‬מ'‬
‫‪ 19‬מ'‬
‫א איור א' מייצג את הנתונים‪ .‬כיצד?‬
‫ב האם איור ב' מייצג אותם נתונים? מהו ההבדל בין שני האיורים?‬
‫ג האם לפי הנתונים‪ ,‬הצב והחילזון צעדו במשך אותו מספר שעות?‬
‫המשתנה ‪ x‬מייצג את מספר השעות שצעד הצב עד הרמזור‪.‬‬
‫ד כתבו ביטוי אלגברי לדרך שעבר הצב‪.‬‬
‫ה כתבו ביטוי אלגברי לדרך שעבר החילזון‪.‬‬
‫ו תארו על‪-‬ידי שני ביטויים אלגבריים את המרחק בין העץ לרמזור‪.‬‬
‫ז פתרו את השאלה‪.‬‬
‫‪582‬‬
‫זכרו!‬
‫מהירות · זמן = דרך‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 57‬ברכבת היו ‪ 12‬קרונות‪ .‬בכל קרון היה מספר שווה של נוסעים‪ .‬הוסיפו לרכבת שלושה קרונות‪ .‬חלק‬
‫מהנוסעים עברו לקרונות הנוספים‪ ,‬כך שבכל אחד מ‪ 15 -‬הקרונות‪ ,‬היה מספר שווה של נוסעים‪ .‬בכל‬
‫אחד מ‪ 12 -‬הקרונות יש כעת ‪ 2‬נוסעים פחות ממה שהיו בתחילה‪ .‬מה היה מספר הנוסעים המקורי‬
‫בכל אחד מ‪ 12 -‬הקרונות?‬
‫א הטבלה שלפניכם מייצגת את הנתונים‪ .‬הסבירו כיצד‪.‬‬
‫מספר הקרונות‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫מספר הנוסעים בקרון‬
‫‪x‬‬
‫‪x−2‬‬
‫סך כל הנוסעים‬
‫‪12 · x‬‬
‫)‪15 · (x − 2‬‬
‫ב כתבו משוואה מתאימה לשאלה‪( .‬רמז‪ :‬מספר הנוסעים לא השתנה לאחר הוספת הקרונות‪).‬‬
‫‬
‫לומדים‬
‫דרך נוספת לייצג נתונים היא על‪-‬ידי טבלה‪.‬‬
‫שימוש בטבלה יעיל לייצוג שאלות מילוליות שיש בהן מספר רב של נתונים‪ ,‬או לייצוג שאלות‬
‫שמתוארת בהן התפתחות של תופעות (גיל‪ ,‬רווח והפסד‪ ,‬משחק בין שני שחקנים‪ ,‬נסיעות ‪.)...‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫לשוש ולחנה אותו סכום כסף במטבעות של ‪ ,₪ 10‬של ‪ ₪ 5‬ושל שקל אחד‪.‬‬
‫לשתיהן אותו מספר מטבעות של ‪.₪ 10‬‬
‫לשוש ‪ 6‬מטבעות של שקל אחד‪ ,‬ומספר המטבעות של ‪ ₪ 5‬שיש לה‪ ,‬גדול פי ‪ 2‬ממספר המטבעות‬
‫של ‪ ₪ 10‬שיש לה‪.‬‬
‫לחנה מטבע אחד של שקל‪ ,‬ומספר המטבעות של ‪ ₪ 5‬שיש לה‪ ,‬גדול ב‪ 3 -‬ממספר המטבעות של‬
‫‪ ₪ 10‬שיש לה‪.‬‬
‫מהו סכום הכסף שיש לכל אחת?‬
‫ממלאים בטבלה את מספר המטבעות מכל סוג‪.‬‬
‫סוג המטבע‬
‫מספר מטבעות‬
‫מספר המטבעות של שוש‬
‫מספר המטבעות של חנה‬
‫‪₪1‬‬
‫‪₪5‬‬
‫‪₪ 10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2·x‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע שהסכומים שווים‪ ,‬לכן משוואה מתאימה לנתונים היא‬
‫‪.10 · x + 5 · 2 · x + 6 · 1 = 10 · x + 5 · (x + 3) + 1 · 1‬‬
‫זכרו!‬
‫ערך ‪ x‬מטבעות של ‪ ₪ 10‬הוא‬
‫‪. (10 · x) ₪ 10 · x‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪583‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫משימות‬
‫‪ 58‬בארנק של אילן ‪ 13‬מטבעות‪ ,‬קצתם מטבעות של שני שקלים‪ ,‬וקצתם מטבעות של חצי שקל‪.‬‬
‫בסך הכול יש לאילן סכום של ‪ 20‬שקל‪ .‬כמה מטבעות מכל סוג יש לאילן?‬
‫א קבעו מה ייצג נעלם‪ :‬את מספר המטבעות של ‪ ₪ 2‬או את מספר המטבעות של חצי שקל‪.‬‬
‫ב בנו טבלה לייצוג הנתונים‪.‬‬
‫ג כתבו משוואה המתאימה לנתונים‪ ,‬ופתרו אותה‪.‬‬
‫‪ 59‬נתונים שני מוטות מעץ‪ .‬מוט אחד ארוך מהמוט האחר פי שניים‪ .‬לאחר שנוסרו מכל מוט שישה‬
‫סנטימטרים‪ ,‬היה מוט א' ארוך ממוט ב' פי שלושה‪ .‬מה היה אורך כל מוט לפני הניסור?‬
‫‪ 60‬אם מחסרים ‪ 6‬מפעמיים מספר‪ ,‬מתקבלת תוצאה השווה לשלוש פעמים ההפרש בין אותו המספר‬
‫ו‪ .6 -‬מהו המספר?‬
‫‪ 61‬מהו הקשר בין שתי המשימות ‪ 59‬ו‪? 60 -‬‬
‫‪ 62‬שירה ומיכל שיחקו בגולות‪ .‬מספר הגולות שהיו לשירה לפני המשחק‪ ,‬היה גדול ב‪ 1 -‬מפעמיים‬
‫מספר הגולות שהיו למיכל‪ .‬שירה הפסידה במשחק שתי גולות למיכל‪ .‬לאחר ההפסד היה מספר‬
‫הגולות של שירה קטן ב‪ 1 -‬ממספר הגולות של מיכל‪.‬‬
‫כמה גולות היו לכל אחת מהבנות לפני המשחק?‬
‫‪ 63‬מספר התלמידים שנרשמו לחוג צילום גדול ממספר התלמידים שנרשמו לחוג אמנות פי שלושה‪.‬‬
‫שבעה תלמידים עברו מהחוג לצילום לחוג האמנות‪ ,‬ואז התברר שבחוג צילום יש שישה עשר‬
‫תלמידים יותר מאשר בחוג אמנות‪ .‬כמה תלמידים היו בכל חוג בהתחלה?‬
‫‪ 64‬דניאל ושמשון משחקים בגרעיני משמשים (גוגואים)‪.‬‬
‫בהתחלת המשחק היו לדניאל ‪ 270‬גרעיני משמשים‪ ,‬ולשמשון היו ‪ 200‬גרעיני משמשים‪.‬‬
‫כאשר דניאל מפסיד‪ ,‬הוא נותן ‪ 5‬גרעיני משמש לשמשון‪.‬‬
‫כאשר שמשון מפסיד‪ ,‬הוא נותן ‪ 8‬גרעיני משמש לדניאל‪.‬‬
‫לאחר ‪ 20‬משחקים היה לשניהם אותו מספר גרעיני משמש‪ .‬בכמה משחקים הפסיד דניאל?‬
‫א הסבירו איך הטבלה שלפניכם מתארת את הנתונים‪.‬‬
‫מספר‬
‫הפסדים‬
‫דניאל‬
‫שמשון‬
‫‪x‬‬
‫‪20 − x‬‬
‫מספר גרעינים‬
‫שקיבל‬
‫)‪8 · (20 − x‬‬
‫‪5·x‬‬
‫מספר גרעינים‬
‫שנתן‬
‫‪5·x‬‬
‫)‪8 · (20 − x‬‬
‫מצב סופי‬
‫)‪270 − 5 · x + 8 · (20 − x‬‬
‫)‪200 + 5 · x − 8 · (20 − x‬‬
‫ב כתבו משוואה מתאימה לשאלה‪ ,‬ופתרו אותה‪.‬‬
‫‪584‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫ב‪ .3.‬סיכום‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫לפניכם שתי שאלות מילוליות‪.‬‬
‫שאלה א' ‪ :‬סכום שלושה מספרים עוקבים גדול מהמספר האמצעי ב‪ .20 -‬מהם המספרים?‬
‫שאלה ב'‪ :‬לרוחמה ‪ ₪ 10‬בקופת החיסכון‪ .‬היא מוסיפה בכל שבוע ‪ ₪ 10‬לקופה שלה‪.‬‬
‫לאורית ‪ ₪ 28‬בקופת החיסכון‪ .‬היא מוסיפה בכל שבוע ‪ ₪ 4‬לקופה שלה‪.‬‬
‫‬
‫בעוד כמה ָשבועות יהיה לרוחמה ולאורית אותו סכום כסף בקופות שלהן? מהו סכום זה?‬
‫‬
‫א לכל שאלה בחרו מה ייצג הנעלם‪.‬‬
‫ב האם אתם חושבים על ייצוג אפשרי של השאלות? אם כן‪ ,‬מהו הייצוג?‬
‫ג מהו השלב הראשון לפתרון כל שאלה? (בחירת מספר סביר ובדיקה? סרטוט מייצג? ניתוח?‬
‫טבלה? כתיבת משוואה?)‬
‫ד לכל שאלה כתבו משוואה מתאימה‪ ,‬ופתרו אותה‪.‬‬
‫לומדים‬
‫כדי לפתור שאלות מילוליות עובדים בדרך כלל בשלבים‪.‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫קוראים את השאלה‪.‬‬
‫מנתחים את הנתונים ואת הקשרים‪ :‬מסכמים אילו נתונים ידועים‪ ,‬אילו נתונים אינם‬
‫ידועים‪ ,‬ואילו נתונים מבוקשים‪ ,‬וכן מהם הקשרים בין הנתונים הידועים והלא‪-‬ידועים‪( .‬אפשר‬
‫לצייר סכמה‪).‬‬
‫מסמנים באות את אחד הנתונים הלא‪-‬ידועים‪ .‬האות היא הנעלם במשוואה‪.‬‬
‫כותבים משוואה המתאימה לנתונים‪ .‬מייצגים אותה כמות על‪-‬ידי שני ביטויים שונים‪.‬‬
‫לשם כך אפשר להשתמש בשיטת ניסוי וטעייה או בייצוג‪.‬‬
‫פותרים את המשוואה‪ ,‬וכותבים את התשובה‪.‬‬
‫הפתרון במשוואה‪ ,‬ובודקים אם הפתרון הגיוני בתנאי‬
‫ְ‬
‫בודקים את התשובה בעזרת הצבת‬
‫השאלה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫רוכב אופניים רכב בין שתי ערים הלוך וחזור‪.‬‬
‫בדרך הלוך הוא רכב במהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪ ,‬ובדרך חזור הוא רכב במהירות של ‪ 30‬קמ"ש‪.‬‬
‫בסך הכול הוא רכב ‪ 7‬שעות‪ .‬מהו המרחק בין שתי הערים?‬
‫ניתוח הנתונים והקשרים‪:‬‬
‫● ●נתונים ידועים‪ :‬המהירויות‪.‬‬
‫● ●נתונים לא‪-‬ידועים‪ :‬המרחק בין שתי הערים‪ ,‬זמן הרכיבה בכל כיוון‪.‬‬
‫● ●נתונים מבוקשים‪ :‬המרחק בין שתי הערים‪.‬‬
‫● ●הקשר‪ :‬הדרך הלוך שווה לדרך חזור‪.‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪585‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫זכרו!‬
‫בחירת הנעלם‪:‬‬
‫דרך = זמן · מהירות‬
‫אם קובעים שהדרך בין הערים היא‬
‫קוראים‪ :‬מהירות כפול זמן שווה לדרך‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫מבוטא כמנה‪.‬‬
‫ָ‬
‫הנעלם‪ ,‬הזמן‬
‫אם קובעים שהזמן הוא הנעלם‪,‬‬
‫הדרך מבוטאת כמכפלה‪.‬‬
‫השימוש במכפלה נוח יותר מהשימוש‬
‫במנה‪,‬לכן נוח יותר לקבוע שהנעלם ייצג‬
‫את זמן הרכיבה באחד משני הכיוונים‪.‬‬
‫● ●אם המהירות היא ‪ 5‬ק"מ בשעה‪ ,‬במשך ‪ 3‬שעות‬
‫עוברים דרך של ‪ 15‬ק"מ‪(3 ∙ 5) .‬‬
‫● ●אם עוברים ‪ 42‬ק"מ ב‪ 2 -‬שעות‪,‬‬
‫המהירות היא ‪ 21‬ק"מ בשעה‪(42 : 2) .‬‬
‫● ●אם עוברים ‪ 15‬ק"מ במהירות של ‪ 60‬קמ"ש‪,‬‬
‫הזמן הוא ‪ 0.25‬שעות (רבע שעה)‪.‬‬
‫ייצוג בטבלה‪:‬‬
‫זמן (שעות)‬
‫הלוך‬
‫חזור‬
‫‪x‬‬
‫‪7−x‬‬
‫מהירות (קמ"ש)‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫דרך (ק"מ)‬
‫‪40 · x‬‬
‫)‪30 · (7 − x‬‬
‫כתיבת משוואה המתאימה לקשר‪ :‬המשוואה המתאימה היא )‪.40 · x = 30 · (7 − x‬‬
‫פתירת המשוואה‪:‬‬
‫‪40 · x = 210 − 30 · x‬‬
‫‪40 · x + 30 · x = 210 − 30 · x + 30 · x‬‬
‫‪70 · x = 210‬‬
‫‪70 · x : 70 = 210 : 70‬‬
‫‪x=3‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫הזמן בדרך הלוך הוא ‪ 3‬שעות‪ ,‬ולכן המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬קילומטר‪ ,‬כי ‪.40 ∙ 3 = 120‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫הזמן בדרך חזור הוא ‪ 4‬שעות )‪ ,(7 – 3 = 4‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬קילומטר‪,‬‬
‫כי ‪.30 ∙ 4 = 120‬‬
‫משימות‬
‫‪ 65‬אורך מלבן גדול מרוחבו פי שניים‪ .‬אם המשתנה ‪ x‬מייצג את רוחב המלבן‪ ,‬מהו הביטוי המייצג את‬
‫היקף המלבן?‬
‫קל‬
‫א ‪3 · x‬‬
‫ב ‪3 + x‬‬
‫ג ‪x + 2‬‬
‫ד ‪6 · x‬‬
‫‪ 66‬היקף מלבן הוא ‪ 40‬מטר‪ .‬אם המשתנה ‪ y‬מייצג את אורך המלבן‪ ,‬מהו הביטוי המייצג את רוחבו?‬
‫‪2·y‬‬
‫ד ‪40 − 2 · y‬‬
‫____ ‪4 0 −‬‬
‫ג     ‪  2‬‬
‫ב ‪2 0 − y‬‬
‫א ‪20 · y‬‬
‫‪ 67‬מידות מלבן הן מספרים שלמים‪ .‬רוחב המלבן קטן מאורכו ב‪ 8 -‬ס"מ‪ .‬היקף המלבן הוא ‪ 56‬ס"מ‪.‬‬
‫מה הן מידות המלבן?‬
‫קל‬
‫‪586‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫קל‬
‫‪ 68‬יוסי מבוגר מבנו אפרים פי ארבעה‪.‬‬
‫אם המשתנה ‪ x‬מייצג את הגיל של אפרים‪ ,‬מהו הביטוי המייצג את גילו של יוסי בעוד שבע שנים?‬
‫א ‪7 · x‬‬
‫ב ‪7 + x‬‬
‫ד ‪7 · x + 4‬‬
‫ג ‪4 · x + 7‬‬
‫‪ 69‬סכום הכסף שיש לאבישג‪ ,‬גדול מסכום הכסף שיש לחנה‪ ,‬פי שלושה‪.‬‬
‫אם לחנה יש ‪ A‬שקלים‪ ,‬ולאבישג יש ‪ B‬שקלים‪ ,‬אילו ביטויים נכונים?‬
‫א ‪A = 3 · B‬‬
‫‪A‬‬
‫ד ‪ – B = 3‬‬
‫ב ‪B = 3 · A‬‬
‫‪1‬‬
‫__‬
‫‪A‬‬
‫ה ‪ =  3 · B‬‬
‫ג ‪B – 3 · A = 0‬‬
‫ו ‪B – A = 3‬‬
‫‪ 70‬מידות מלבן הן מספרים שלמים‪ .‬רוחב המלבן הוא שליש מאורכו‪ .‬היקף המלבן הוא ‪ 32‬ס"מ‪.‬‬
‫מהן מידות המלבן?‬
‫‪ 71‬לפניכם משוואות ‪ 3 - 1‬ותיאורים מילוליים של משוואות א' ‪ -‬ג'‪.‬‬
‫התאימו כל תיאור מילולי למשוואה שלו‪.‬‬
‫‪ 1‬פעמיים הסכום של מספר ו‪ 3 -‬שווה להפרש שבין שלוש פעמים אותו המספר ו‪.5 -‬‬
‫‪ 2‬הסכום של פעמיים מספר ו‪ 3 -‬שווה לשלוש פעמים ההפרש שבין אותו המספר ו‪.5 -‬‬
‫‪ 3‬הסכום של פעמיים מספר ו‪ 3 -‬שווה להפרש שבין שלוש פעמים אותו המספר ו‪.5 -‬‬
‫א ‪2 · x + 3 = 3 · x − 5‬‬
‫‬
‫ב )‪2 · x + 3 = 3 · (x − 5‬‬
‫פתרו את שאלות ‪ 73 - 72‬לפי הדוגמה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫ג ‪2 · (x + 3) = 3 · x − 5‬‬
‫זכרו!‬
‫מספר דו‪-‬ספרתי שספרת היחידות שלו היא ‪b‬‬
‫וספרת העשרות שלו היא ‪ ,a‬יירשם כך‪.10 · a + b :‬‬
‫ספרת העשרות של מספר דו‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים‪.‬‬
‫המספר גדול ב‪ 27 -‬מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות‪ .‬מהו המספר?‬
‫הנעלם ‪ x‬מייצג את ספרת היחידות‪.‬‬
‫לפי הנתון הראשון ספרת העשרות היא ‪ ,2 · x‬לכן ערך המספר מיוצג על‪-‬ידי הביטוי ‪.10 · 2 · x + x‬‬
‫המספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות הוא ‪.10 · x + 2 · x‬‬
‫‪10 · 2 · x + x = 10 · x + 2 · x + 27‬‬
‫המשוואה המתאימה לנתון השני‪:‬‬
‫פתירת המשוואה‪:‬‬
‫‪| −12 · x‬‬
‫‪21 · x = 12 · x + 27‬‬
‫‪21 · x −12 · x = 12 · x + 27 − 12 · x‬‬
‫‪|:9‬‬
‫‪9 · x = 27‬‬
‫‪x= 3‬‬
‫ספרת היחידות היא ‪ ,3‬לכן ספרת העשרות היא ‪ ,6‬והמספר הוא ‪.63‬‬
‫‪63 − 36 = 27‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪587‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 72‬ספרת העשרות של מספר דו‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים‪.‬‬
‫המספר גדול ב‪ 9 -‬מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות‪.‬‬
‫מהו המספר?‬
‫‪ 73‬ספרת העשרות של מספר דו‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים‪.‬‬
‫המספר גדול ב‪ 18 -‬מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות‪.‬‬
‫מהו המספר?‬
‫‪ 74‬במפעל לציוד משרדי מוצעים שני סוגים של מדפים‪ :‬מדפים קטנים ומדפים גדולים‪.‬‬
‫גובה של מדף גדול הוא שישה סנטימטרים‪.‬‬
‫על השולחן של יפית שתי מערכות של מדפים‪ .‬לשתי המערכות אותו גובה‪.‬מערכת אחת מורכבת‬
‫משישה מדפים קטנים‪ ,‬והמערכת השנייה מורכבת משני מדפים קטנים ומשני מדפים גדולים‪.‬‬
‫הציגו את הנתונים בסרטוט‪ .‬כתבו משוואה המתאימה לנתונים‪.‬‬
‫מהו הגובה של כל מדף קטן? איך מצאתם את התשובה?‬
‫פתרו את שאלות ‪ 77 - 75‬לפי הדוגמה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫על השולחן מונחות סוכריות‪ .‬ילדים רוצים לחלק ביניהם את הסוכריות שווה בשווה‪.‬‬
‫אם כל אחד יקבל שש סוכריות‪ ,‬ייוותרו חמש סוכריות‪ .‬אם ירצו לתת לכל אחד שבע‬
‫סוכריות‪ ,‬יחסרו שמונֶ ה סוכריות‪ .‬מהו מספר הילדים?‬
‫נבחר את ‪ x‬כנעלם המייצג את מספר הילדים‪.‬‬
‫אפשרות א'‬
‫אפשרות ב'‬
‫כל אחד לוקח ‪ 6‬סוכריות‪.‬‬
‫כולם יחד לקחו ‪ 6 · x‬סוכריות‪.‬‬
‫נותרו ‪ 5‬סוכריות‪.‬‬
‫מספר הסוכריות לפי חלוקה זו‬
‫הוא ‪ 6 · x + 5‬סוכריות‪.‬‬
‫כל אחד לוקח ‪ 7‬סוכריות‪.‬‬
‫כולם יחד לקחו ‪ 7 · x‬סוכריות‪.‬‬
‫חסרות ‪ 8‬סוכריות‪.‬‬
‫מספר הסוכריות לפי חלוקה זו‬
‫הוא ‪ 7 · x – 8‬סוכריות‪.‬‬
‫מספר הסוכריות שווה בשתי האפשרויות‪.‬‬
‫‪7·x–8= 6·x+5‬‬
‫‪7·x–6·x= 5+8‬‬
‫פותרים את המשוואה‪.‬‬
‫‪x = 13‬‬
‫תשובה‪ :‬מספר הילדים הוא ‪.13‬‬
‫בדיקה‪ַ :‬מציבים ‪ 13‬בכל אגף בנפרד‪ ,‬ומחשבים‪.‬‬
‫‪6 · 13 + 5 = 78 + 5 = 83‬‬
‫‪7 · 13 − 8 = 91 − 8 = 83‬‬
‫‪ 75‬אם איילה תקנה שלושה עטים מאותו סוג‪ ,‬ייוותרו לה עשרה שקלים‪ .‬אם היא תרצה לקנות חמישה‬
‫עטים מסוג זה‪ ,‬יחסרו לה שני שקלים‪ .‬מהו המחיר של כל עט?‬
‫‪588‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 76‬אבישג הזמינה למסיבת יום ההולדת שלה חמש עשרה ילדות‪ .‬היא הכינה לכל אחת בלונים‪ .‬בסוף‬
‫ִהגיעו ‪ 20‬ילדות‪ ,‬וכל אחת קיבלה שלושה בלונים פחות ממה שתוכנן‪ .‬כמה בלונים תוכננו לכל ילדה‬
‫מלכתחילה?‬
‫‪ 77‬חברים אכלו יחד במסעדה‪ .‬כאשר הגיע הזמן לשלם את החשבון‪ ,‬הם חישבו שאם כל אחד ייתן ‪,₪ 20‬‬
‫יחסרו ‪ ;₪ 22.5‬ואם כל אחד ייתן ‪ ,₪ 25‬יהיו ‪ ₪ 7.5‬יותר מדי‪ .‬כמה חברים אכלו יחד במסעדה?‬
‫‪ 78‬כתבו שאלה המתאימה למשוואה ‪. 8 · x − 9 = 6 · x + 7‬‬
‫פתרו את שאלות ‪ 81 - 79‬לפי הדוגמה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מצאו שני מספרים שסכומם ‪ ,55‬כך ששלוש פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים‬
‫המחובר השני‪.‬‬
‫הנעלם ‪ x‬מייצג את המחובר הראשון‪ .‬המחובר השני מיוצג על‪-‬ידי ‪.55 − x‬‬
‫שלוש פעמים המחובר הראשון הוא ‪.3 · x‬‬
‫פעמיים המחובר השני הוא )‪.2 · (55 − x‬‬
‫המשוואה המתאימה היא )‪.3 · x = 2 · (55 − x‬‬
‫פותרים את המשוואה‪.‬‬
‫)‪3 · x = 2 · (55 – x‬‬
‫‪|+2·x‬‬
‫‪3 · x = 110 – 2 · x‬‬
‫‪3 · x + 2 · x = 110 – 2 · x + 2 · x‬‬
‫‪|:5‬‬
‫‪5 · x = 110‬‬
‫‪110‬‬
‫___ ‪5 · x‬‬
‫____‬
‫    ‪  5    =   5‬‬
‫‪x = 22‬‬
‫המחובר הראשון הוא ‪ ,22‬והמחובר השני הוא ‪.33‬‬
‫‪3 · 22 = 66‬‬
‫בדיקה‪2 · (55 – 22) = 2 · 33 = 66 :‬‬
‫‪ 79‬מצאו שני מספרים שסכומם ‪ ,70‬כך ששלוש פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני‪.‬‬
‫‪ 80‬מצאו שני מספרים שסכומם ‪ ,60‬כך שארבע פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני‪.‬‬
‫‪ 81‬מצאו שני מספרים שסכומם ‪ ,90‬כך שארבע פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני‪.‬‬
‫‪ 82‬בחווה יש תרנגולות וארנבות‪ .‬בסך הכול יש ‪ 73‬ראשים ו‪ 230 -‬רגליים‪.‬‬
‫מהו מספר התרנגולות? מהו מספר הארנבות?‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪589‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 83‬במסעדה "בלי הפתעה" מחיר ארוחה הוא קבוע‪. ₪ 70 :‬‬
‫שמונָ ה עשר חברי החוג אכלו ביחד במסעדה‪ ,‬אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון‪ ,‬ולכן יתר‬
‫החברים שילמו בעבורם‪ .‬כמה כסף הוסיף לתשלום כל אחד מהחברים האחרים?‬
‫‪ 84‬במסעדה "הכי טעים" מחיר הארוחה קבוע‪.‬‬
‫שמונָ ה עשר חברי החוג אכלו ביחד במסעדה‪ ,‬אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון‪ ,‬ולכן יתר‬
‫החברים שילמו בעבורם‪ .‬כל אחד מהחברים האחרים הוסיף לתשלום המקורי ‪ .₪ 30‬מהו מחיר הארוחה?‬
‫‪ 85‬במסעדה "רק אוכל" מחיר ארוחה הוא קבוע‪. ₪ 60 :‬‬
‫חברי החוג אכלו ביחד במסעדה‪ ,‬אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון‪.‬‬
‫כל אחד מהחברים האחרים הוסיף לתשלום ‪ .₪ 20‬מהו מספר חברי החוג?‬
‫‪ 86‬שמחה קיבלה כסף מסבתה כדי לקנות מספר צמידים שלכולם אותו מחיר‪.‬‬
‫אם היא תקנה חבילה של שלושה צמידים‪ ,‬ייוותרו לה ‪ ;₪ 25‬ואם היא תרצה לקנות חמישה צמידים‪,‬‬
‫יחסרו לה ‪.₪ 19‬‬
‫המשתנה ‪ x‬מייצג את המחיר של צמיד אחד‪.‬‬
‫א מהי המשוואה המתאימה לנתונים?‬
‫‬
‫‪3 · x − 25 = 5 · x + 19 1‬‬
‫‪3 · x + 25 = 5 · x − 19 2‬‬
‫‬
‫‪3 · x − 5 · x = 25 − 19 3‬‬
‫‪3 · x + 25 = 5 · x + 19 4‬‬
‫ב מהו המחיר של צמיד אחד?‬
‫ג איזה סכום קיבלה שמחה מסבתה?‬
‫‪ 87‬במשולש שונה‪-‬צלעות אורך הצלע הבינונית גדול מאורך הצלע הקטנה ב‪ 1.5 -‬ס"מ‪.‬‬
‫ההפרש בין אורך הצלע הגדולה לאורך הצלע הקטנה הוא ‪ 3.5‬ס"מ‪.‬‬
‫היקף המשולש שווה להיקף ריבוע שצלעו קטנה מצלעו הקטנה של המשולש ב‪ 2 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מהם אורכי הצלעות של המשולש?‬
‫מהו אורך הצלע של הריבוע?‬
‫‪ 88‬כתבו שאלה המתאימה למשוואה ‪.6 · x − 2 = 5 · x + 3‬‬
‫‪ 89‬זווית הצמודה לזווית אחרת גדולה ממנה פי שלושה‪.‬‬
‫א מה מידתה של כל אחת מהזוויות הצמודות?‬
‫ב אם נחסר מהזווית הקטנה ‪ ,15°‬פי כמה תהיה גדולה הזווית הצמודה לה?‬
‫‪ 90‬בסרטוט שלפניכם הישרים ‪ a‬ו‪ b -‬מקבילים‪,‬‬
‫ונתונים ביטויים לזוג זוויות מתחלפות‪.‬‬
‫א חשבו את הערך של ‪. x‬‬
‫‪2 · x + 60‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b x + 100‬‬
‫ב מה המידה של כל אחת מהזוויות המסומנות?‬
‫תרגילים נוספים בעמודים ‪.598 - 597‬‬
‫‪590‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מגלים ולומדים‬
‫ג‪ .‬פתרון גרפי של משוואות‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫א פתרו את המשוואה ‪.-x + 6 = x – 4‬‬
‫ב הציבו את הפתרון בכל אחד משני האגפים‪ .‬מהו הערך של כל אגף?‬
‫ג סרטטו את הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = x – 4‬ו‪ g(x) = -x + 6 -‬באותה מערכת צירים‪ ,‬ומצאו‬
‫את שיעורי נקודת החיתוך שלהם‪ .‬מה צורת הגרפים של הפונקציות ‪ f‬ו‪? g -‬‬
‫ד האם יש קשר בין הסרטוט לבין פתרון המשוואה ‪ ? -x + 6 = x – 4‬מהו הקשר?‬
‫לומדים‬
‫למדנו כי משוואה היא שוויון המורכב משני אגפים הקשורים ביניהם בסימן =‪.‬‬
‫במשוואות מהסוג ‪ a · x + b = c · x + d‬אפשר להתייחס לכל אגף כביטוי אלגברי המתאר‬
‫פונקציה‪ .‬לשתי הפונקציות אותו משתנה חופשי‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫נתונה המשוואה ‪.6 – x = x – 4‬‬
‫שתי הפונקציות הן ‪ f(x) = x – 4‬ו‪.g(x) = 6 – x -‬‬
‫כפי שלמדנו בפרק ‪( 10‬עמוד ‪ ,)538‬הייצוג הגרפי של הפונקציות ‪ f‬ו‪ g -‬הוא קו ישר‪.‬‬
‫סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות וסימון שיעורי נקודת‬
‫החיתוך ביניהם מייצגים בצורה חזותית את פתרון המשוואה‪.‬‬
‫ערך ה‪ x-‬של נקודת החיתוך הוא פתרון המשוואה‪.‬‬
‫ערך ה‪ y-‬של נקודת החיתוך הוא הערך של כל אחד‬
‫מאגפי המשוואה בהצבת ערך של המשתנה החופשי‪.‬‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫ערך הביטוי ‪ x – 4‬בהצבת ‪ x = 5‬הוא ‪,1‬‬
‫וגם ערך הביטוי ‪ 6 – x‬בהצבת ‪ x = 5‬הוא ‪.1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫–‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫)‪x‬‬
‫–‬
‫(‪g‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫=)‬
‫‪f(x‬‬
‫משימות‬
‫‪ 91‬א פתרו את המשוואה ‪.4 – x = x – 2‬‬
‫‬
‫ב סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = x – 2‬ו‪ g(x) = 4 – x -‬באותה מערכת צירים‪.‬‬
‫ג מצאו את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ד מצאו את הקשר בין התשובות לסעיפים א' ו‪ -‬ג'‪.‬‬
‫ה מהו שיעור ה‪ y -‬של נקודת החיתוך? מהו ערך כל אגף לאחר הצבת שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך?‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪591‬‬
‫מגלים ולומדים‬
‫‪ 92‬א סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = 2 · x + 3‬ו‪ g(x) = x – 1 -‬באותה‬
‫מערכת צירים‪.‬‬
‫ב מצאו את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ג פתרו את המשוואה‪.x – 1 = 2 · x + 3 :‬‬
‫ד מצאו את הקשר בין התשובות של סעיפים ב' ו‪ -‬ג'‪.‬‬
‫‪ 93‬א פתרו את המשוואה‪.5 – 3 · x = 2 :‬‬
‫ב סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = 2‬ו‪ g(x) = 5 – 3 · x -‬באותה מערכת צירים‪.‬‬
‫‬
‫ג מצאו את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ד מצאו את הקשר בין התשובות של סעיפים א' ו‪ -‬ג'‪.‬‬
‫‪ 94‬לפניכם טבלת ערכים של הפונקציות ‪ f(x) = 3 · x – 5‬ו‪.g(x) = 7 – 3 · x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫א העתיקו את הטבלה למחברת‪ ,‬והשלימו אותה בערכים‪.‬‬
‫ב האם בטבלת הערכים מופיעים הפתרונות של המשוואה ‪?3 · x – 5 = 7 – 3 · x‬‬
‫ג אם נצייר את הגרפים של שתי הפונקציות‪ ,‬מה תהיה נקודת החיתוך שלהם?‬
‫‪ 95‬בטבלה שלפניכם משוואות של שתי פונקציות‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f(x) = 2 · x – 3‬‬
‫‪h(x) = x + 2‬‬
‫א העתיקו את הטבלה למחברת‪ ,‬והשלימו אותה בערכים‪.‬‬
‫ב באיזה ערך של ‪ x‬יתקיים )‪?f(x) = h(x‬‬
‫ג פתרו את המשוואה ‪.2 · x – 3 = x + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫–‪5·x‬‬
‫)‪x‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב בנו משוואה שפתרונה הוא‬
‫שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך‪.‬‬
‫–‬
‫=‬
‫א מהי נקודת החיתוך של הגרפים?‬
‫(‪k‬‬
‫‪ 96‬לפניכם גרפים של הפונקציות‬
‫‪ g(x) = 5 · x – 2‬ו‪.k(x) = 4 – x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫ד האם קיים קשר בין פתרון המשואה לבין הערך ‪ x‬שמתקיים בו )‪? f(x) = h(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪592‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מיומנויות‬
‫איך "מתרגמים" מילים בשאלות מילוליות לביטויים מתמטיים?‬
‫כסו את טור ב' בטבלה שלפניכם‪" ,‬תרגמו" את המילים שבטור א' לביטויים מתמטיים‪ ,‬ובדקו את‬
‫תשובותיכם‪.‬‬
‫א‪ .‬במילים‬
‫הגיל של יעל היום הוא ‪.y‬‬
‫ב‪ .‬באותיות ובמספרים‬
‫‪y‬‬
‫הגיל שלה בעוד שתים עשרה שנים‬
‫‪y + 12‬‬
‫הגיל שלה לפני חמש שנים‬
‫‪y−5‬‬
‫פעמיים הגיל שלה‬
‫‪2·y‬‬
‫שלומי בן ‪ .12‬בעוד ‪ t‬שנים הוא יהיה בן‪...‬‬
‫‪12 + t‬‬
‫שלומי בן ‪ .12‬לפני ‪ r‬שנים הוא היה בן‪...‬‬
‫‪12 − r‬‬
‫ההפרש בין הגיל של אמי לבין הגיל של יעל הוא ‪ 25‬שנה‪ .‬אמי בת‪...‬‬
‫‪y + 25‬‬
‫פעמיים הגיל של יעל לפני שבע שנים‬
‫)‪2 · (y −7‬‬
‫חצי מהגיל של יעל לפני שש שנים‬
‫__‬
‫)‪ 12 · (y − 6‬‬
‫מספר גדול מ‪ x -‬פי שניים‬
‫‪2·x‬‬
‫מספר שהוא חצי מ‪ x -‬או קטן פי שניים מ‪x -‬‬
‫  ‪x‬‬
‫__ או  ‪1 · x‬‬
‫__‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום הכסף שיש לאחי‪,‬‬
‫כאשר לי יש ‪ x‬שקלים ולאחי סכום הקטן משלי פי שניים‬
‫  ‪x‬‬
‫__ או  ‪1 · x‬‬
‫__‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הסכום של מספר ושל ‪,7‬‬
‫או מוסיפים ‪ 7‬למספר‪.‬‬
‫‪x+7‬‬
‫מחסרים ‪ 7‬ממספר‪,‬‬
‫או ההפרש בין מספר ל‪.7 -‬‬
‫‪x−7‬‬
‫מחסרים מספר מ‪,7 -‬‬
‫או ההפרש בין ‪ 7‬לבין מספר‪.‬‬
‫‪7−x‬‬
‫מחסרים ‪ 20‬מפעמיים מספר‪.‬‬
‫‪2 · x − 20‬‬
‫הסכום של פעמיים מספר ושלוש פעמים אותו המספר‬
‫הסכום של מספר וחצי ממנּו‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪2·x+3·x‬‬
‫‪x + __ 12 · x‬‬
‫‪593‬‬
‫מיומנויות‬
‫איך "מתרגמים" שאלה של "נתינה וקבלה"?‬
‫כמות הבולים של יוסי גדולה מכמות הבולים של מיכאל פי שניים‪ .‬יוסי נתן למיכאל שנים עשר בולים‪ ,‬לפיכך‬
‫כעת יש להם אותו מספר בולים‪.‬‬
‫כמה בולים היו בהתחלה לכל אחד?‬
‫מנתחים את הנתונים‪ :‬למיכאל מספר בולים קטן יותר‪.‬‬
‫‬
‫יוסי נתן בולים למיכאל‪ ,‬לכן מספר הבולים של יוסי פחת‪ ,‬ומספר הבולים של מיכאל גדל‪.‬‬
‫בחירת הנעלם‪:‬‬
‫בדרך כלל בוחרים את המספר הקטן יותר‪ .‬המשתנה ‪ x‬הוא מספר הבולים שהיו למיכאל‪.‬‬
‫"תרגום" הנתונים‪:‬‬
‫כמות הבולים של יוסי הייתה גדולה מכמות הבולים של מיכאל פי שניים‪:‬‬
‫‬
‫ליוסי היו ‪ 2 · x‬בולים‪.‬‬
‫‬
‫יוסי נתן שנים עשר בולים למיכאל‪ :‬עכשיו יש ליוסי ‪ 2 · x − 12‬בולים‪,‬‬
‫‬
‫ולמיכאל יש ‪ x + 12‬בולים‪.‬‬
‫כותבים את המשוואה המתאימה‪ :‬כעת יש להם אותו מספר בולים‬
‫‪|−x‬‬
‫פותרים את המשוואה‪:‬‬
‫‪| + 12‬‬
‫‪1.20‬‬
‫בדיקה‪ 48 − 12 = 36 :‬ו‪.24 + 12 = 36 -‬‬
‫תשובה‪ :‬למיכאל היו ‪ 24‬בולים‪ ,‬וליוסי ‪ 48‬בולים‪.‬‬
‫‪x + 12 = 2 · x − 12‬‬
‫‪x + 12 = 2 · x − 12‬‬
‫‪x + 12 − x = 2 · x − 12 − x‬‬
‫‪12 = x − 12‬‬
‫‪12 +12 = x − 12 + 12‬‬
‫‪24 = x‬‬
‫‪2.30‬‬
‫פיצוחים‬
‫כמות התפוחים בארגז גדול גדולה מכמות התפוחים בארגז קטן פי‬
‫שניים‪ .‬מכל ארגז הוציאו שישה תפוחים‪ .‬לאחר הוצאת התפוחים‬
‫הייתה כמות התפוחים בארגז הקטן שווה לשליש מכמות התפוחים‬
‫בארגז הגדול‪ .‬כמה תפוחים היו בכל ארגז בהתחלה?‬
‫‪594‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מוכנים להמשיך?‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫‪-2 · x + 8 = 2‬‬
‫‪-2 · x = -6‬‬
‫‪x=3‬‬
‫‪8=2−6·x‬‬
‫‪4 = -6 · x‬‬
‫‪x = -4‬‬
‫‪6·x+8=2‬‬
‫‪6 · x = -6‬‬
‫‪x = -1‬‬
‫‪ .2‬מהו פתרון המשוואה ‪? x − 2 = 10 − 3 · x‬‬
‫‪x=2‬‬
‫‪x=3‬‬
‫‪x=5‬‬
‫‪ .3‬מהו פתרון המשוואה )‪? 5 · x − 3 = 3 · (x − 5‬‬
‫‪x=6‬‬
‫‪x = -6‬‬
‫‪x=9‬‬
‫ציינו מהן התשובות הנכונות‪.‬‬
‫‪ .1‬מהי הדרך לפתרון של המשוואה‬
‫‪?2·x+8=2−4·x‬‬
‫‪ .4‬לפניכם סכמה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2·x+5=3·x+2 3·x+5=2·x+2 2·x+5=4·x‬‬
‫איזו משוואה היא מייצגת?‬
‫‪ .5‬חיסרו ‪ 26‬מחמש פעמים מספר‪,‬‬
‫ונותרו ‪ 3‬פעמים המספר‪ .‬מהו המספר?‬
‫‪36‬‬
‫‪-13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ .6‬סכום של שלושה מספרים עוקבים הוא ‪.72‬‬
‫מהו המספר הגדול?‬
‫‪25‬‬
‫‪24‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ .7‬מלכה בת ‪ ,30‬וסיגל בת ‪.10‬‬
‫בעוד כמה שנים יהיה גילה של מלכה‬
‫גדול מגילה של סיגל פי שניים?‬
‫המשוואה המתאימה לשאלה היא‪...‬‬
‫‪ .8‬לאחי ‪ x‬שקלים‪ .‬לי יש מחצית ממה‬
‫שיש לאחי‪ .‬כמה שקלים יש לי?‬
‫‪30 + x = 2 · (x +10) 30 + x = 2 · x + 10 30 + x = 20 + x‬‬
‫‪ 2 · x‬שקלים‬
‫‪ x : 2‬שקלים‬
‫‪ x − 2‬שקלים‬
‫‪ .9‬מה משקל קובייה על‪-‬פי הסכמה שכאן?‬
‫‪20‬‬
‫גרם‬
‫‪x xx‬‬
‫‪x xx‬‬
‫‪x xx‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪300‬‬
‫גרם‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 10‬גרם‬
‫‪ 30‬גרם‬
‫‪ 40‬גרם‬
‫‪595‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫משוואות ‪a · x + b = c · x + d‬‬
‫‪ 97‬לפניכם זוגות של משוואות שקולות‪ .‬בכל סעיף הסבירו איך נתקבלה המשוואה השקולה‪.‬‬
‫א ‪3 · x + 2 = 8 · x – 2‬‬
‫ב ‪9 · x – 5 = x + 11‬‬
‫ ‪2 = 5 · x – 2‬‬
‫ג ‪y + 20 = 10 · y + 2‬‬
‫‪8 · x – 5 = 11‬‬
‫‪20 = 9 · y + 2‬‬
‫‪ 98‬תארו את המשוואה ‪ 4 · x + 6 = 5 · x − 3‬במילים‪.‬‬
‫‪ 99‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪7 · x = 10 + 2 · x‬‬
‫ב ‪8 · t = 84 − 6 · t‬‬
‫ג ‪5 · c = 6 − c‬‬
‫ד ‪5 · b − 40 = b‬‬
‫ה ‪4 − 2 · m = 6 · m‬‬
‫ו ‪66 − 2 · y = 9 · y‬‬
‫ח ‪7 · x + 36 = 11 · x‬‬
‫ט ‪4 · z − 81 = 5 · z‬‬
‫ז‬
‫‪2 · x − 36 = 5 · x‬‬
‫‪ 100‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪3 · x + 8 = -3 · x + 2‬‬
‫ב ‪-3 · x − 3 = x + 5‬‬
‫ג ‪2 · x + 2 = 3 · x + 2‬‬
‫ד ‪-5 · x + 6 = -x + 42‬‬
‫ה ‪5 · x + 7 = x + 27‬‬
‫ו ‪2 · x + 4 = -x + 4‬‬
‫ז ‪- 2 · x − 4 = 3 · x + 16‬‬
‫ח ‪7 · x + 3 = -3 · x − 25‬‬
‫ט ‪x − 1 = 2 · x − 9‬‬
‫‪ 101‬בכל מאזניים מצאו את המשקל של הנעלם שיאזן את המאזניים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪82‬‬
‫‪144‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪50‬‬
‫‪30 y‬‬
‫‪70 100‬‬
‫איור ב'‬
‫איור א'‬
‫‪ 102‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א ‪5 · x − 4 = 6 + 4 · x‬‬
‫ב ‪3 · t − 7 = -2 · t‬‬
‫ג ‪4 · u + 2 = u + 11‬‬
‫ד ‪14 − 5 · z = 9 · z‬‬
‫‪ 103‬פתרו את המשוואות‪.‬‬
‫א‬
‫‪7 · x – x + 5 = 3 · x – 9 + x‬‬
‫ג )‪5 · x – 2 + 3 · x = 2 · (x – 4‬‬
‫‪596‬‬
‫ב )‪2 · x – (8 + x) = 3 – (6 – 2 · x‬‬
‫ד ‪4 · x – 3 – (4 + 2 · x) = x – 7 – 2 · x‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫תרגילים נוספים‬
‫שאלות מילוליות‬
‫‪4‬‬
‫‪ 104‬לשתי הצורות שלפניכם אותו היקף‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫מהו הערך של ‪? x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫מבתה שרית ב‪ 22 -‬שנה‪ .‬בעוד שמונֶ ה שנים תהיה רחל מבוגרת משרית פי שניים‪.‬‬
‫‪ 105‬רחל מבוגרת ִ‬
‫א שערו ובדקו אם שרית בת ‪ 12‬היום‪ .‬כתבו את שלבי הבדיקה‪.‬‬
‫ב האם שרית בת ‪ 14‬היום? איך בדקתם?‬
‫פתרו את שאלות ‪ 111 - 106‬לפי הדוגמה‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫שלומי בן ‪ ,35‬ובנו קובי בן ‪ .11‬לפני כמה שנים היה שלומי מבוגר מבנו פי ארבעה?‬
‫הנעלם ‪ x‬מייצג את מספר השנים המבוקש‪.‬‬
‫לפני ‪ x‬שנים היה קובי בן ‪ ;11 − x‬לפני ‪ x‬שנים היה שלומי בן ‪.35 − x‬‬
‫המשוואה המתאימה לנתון "שלומי היה מבוגר מבנו פי ארבעה" היא )‪.35 − x = 4 · (11 − x‬‬
‫)‪35 − x = 4 · (11 − x‬‬
‫פתיחת סוגריים‪:‬‬
‫‪35 − x = 44 – 4 · x‬‬
‫‪|+4·x‬‬
‫‪35 − x + 4 · x = 44 – 4 · x + 4 · x‬‬
‫כינוס איברים דומים‪:‬‬
‫‪35 + 3 · x = 44‬‬
‫‪| – 35‬‬
‫‪35 + 3 · x – 35 = 44 – 35‬‬
‫‪3·x= 9‬‬
‫‪|:3‬‬
‫‪x= 3‬‬
‫בדיקה‪ :‬קובי ‪11 – 3 = 8‬‬
‫שלומי ‪35 – 3 = 32‬‬
‫‪32 = 4 · 8‬‬
‫תשובה‪ :‬שלומי היה מבוגר מבנו פי ארבעה לפני שלוש שנים‪.‬‬
‫‪ 106‬דוד בן ‪ ,32‬בנו יששכר בן ‪ ,6‬ובנו נדב בן ‪.9‬‬
‫בעוד כמה שנים יהיה הגיל של דוד שווה לסכום הגילים של ילדיו?‬
‫‪ 107‬אבא בן ‪ ,44‬ובנו בן ‪ .14‬לפני כמה שנים היה האב מבוגר מבנו פי ארבעה?‬
‫‪ 108‬ההפרש בין הגיל של מרים לבין גיל ִבתה שירה הוא ‪ 32‬שנים‪.‬‬
‫בעוד שש שנים תהיה מרים מבוגרת משירה פי שניים‪ .‬מהו הגיל של שירה היום?‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪597‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ 109‬לאוהד שלושה שקלים יותר מאשר לארז‪ .‬אם לארז יש ‪ C‬שקלים‪ ,‬ולאוהד יש ‪ D‬שקלים‪,‬‬
‫אילו ביטויים נכונים?‬
‫א ‪D = C + 3‬‬
‫ב ‪C = D + 3‬‬
‫ג ‪C – D = 3‬‬
‫ד ‪C = D – 3‬‬
‫ה ‪D – C = 3‬‬
‫‪ 110‬ספרת העשרות של מספר דו‪-‬ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שלושה‪ .‬המספר גדול ב‪54 -‬‬
‫מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות‪ .‬מהו המספר?‬
‫‪ 111‬לפניכם משוואות א ‪ -‬ה ותיאורים מילוליים של משוואות ‪. 5 - 1‬‬
‫התאימו לכל תיאור מילולי את המשוואה שלו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫‬
‫דוד בנה מגדל מקוביות זהות‪.‬‬
‫הוא בנה מגדל של ‪ 3‬קוביות ועליו מגדל של ‪ 4‬קוביות‪.‬‬
‫גובה המגדל הסופי הוא ‪ 7‬ס"מ‪ .‬מה גובהה של כל קובייה?‬
‫מהו המשקל של כדור עץ‪ ,‬אם משקלם של ‪ 3‬כדורי עץ זהה למשקל‬
‫של מוט שמשקלו ‪ 4‬ק"ג ועליו כדור עץ אחד‪ ,‬ולכל הכדורים יש אותו משקל?‬
‫אורך הצלע של משולש שווה‪-‬צלעות שווה לאורך הצלע של ריבוע‪.‬‬
‫היקף הריבוע גדול מהיקף המשולש בשבעה מטרים‪ .‬מהו אורך הצלע של המשולש?‬
‫מהו היקף הריבוע?‬
‫אם מוסיפים ‪ 7‬לשלוש פעמים מספר‪ ,‬התוצאה זהה לחיסור ‪ 3‬מארבע פעמים אותו המספר‪.‬‬
‫מהו המספר?‬
‫ביום גשום החילזון מטפס ארבעה מטרים מהבור‪ ,‬וביום בלי גשם הוא יורד שלושה מטרים‪.‬‬
‫במשך שבעה ימים עלה החילזון שבעה מטרים‪ .‬כמה ימי גשם היו בשבעת הימים?‬
‫א ‪3 · x + 7 = 4 · x − 3‬‬
‫‬
‫ב ‪4 · x − 3 · (7 − x) = 7‬‬
‫ד ‪3 · x + 4 · x = 7‬‬
‫ה ‪3 · x + 7 = 4 · x‬‬
‫ג ‪3 · x = 4 + x‬‬
‫‪ 112‬חצי מהתלמידים המשתתפים בחידון התנ"ך הבית ספרי נולדו בשנת ‪ ,2000‬רבע נולדו בשנת ‪,2001‬‬
‫ויתר המשתתפים‪ 13 ,‬תלמידים‪ ,‬נולדו בשנת ‪ .1999‬האות ‪ x‬מייצגת את מספר הילדים המשתתפים‬
‫בחידון‪ .‬כתבו משוואה המתאימה לנתונים‪.‬‬
‫כמה תלמידים השתתפו בחידון? כמה משתתפים נולדו כל שנה? (אפשר לסרטט סכמה‪).‬‬
‫‪598‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫ממשיכים בתרגול‬
‫‪y‬‬
‫‪ 113‬ידוע שהיקף מלבן ‪ A‬קטן מהיקף מלבן ‪ B‬פי שלושה‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫א מהן המידות של מלבן ‪?A‬‬
‫ב מהן המידות של מלבן ‪?B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪ 114‬מה צריך להיות בכל איור הערך של הנעלם‪ ,‬לפי הנתונים‪ ,‬כדי שהיקף המשולש שווה‪-‬הצלעות יהיה‬
‫שווה להיקף הריבוע? (הערה‪ :‬האיורים אינם בקנה‪-‬מידה‪).‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 21‬מ'‬
‫‪ 28‬מ'‬
‫‪ 115‬שני רוכבי אופניים יצאו לדרך באותה שעה מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬
‫מהירותו של אחד הרוכבים הייתה ‪ 60‬קמ"ש‪ ,‬ומהירות השני ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬
‫הרוכב המהיר ִהגיע לעיר ב' שעה לפני הרוכב האטי‪.‬‬
‫א קבעו מה ייצג הנעלם‪.‬‬
‫ב כתבו את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫ג כמה זמן רכב כל אחד מהם?‬
‫ד מה המרחק בין הערים?‬
‫‪ 116‬אריאל קיבל כסף ליום הולדתו‪ .‬בחצי מהסכום הוא קנה ספרים‪ .‬לאחר ששילם ‪ ₪ 35‬תמורת משחק‬
‫למחשב‪ ,‬נותר לו שליש מהסכום שקיבל‪ .‬כמה כסף קיבל אריאל ליום הולדתו?‬
‫חקירה‬
‫‪ 117‬סכום של שלושה מספרים טבעיים שונים הוא ‪.30‬‬
‫מהם ההיגדים הנכונים?‬
‫א לפחות אחד מהמספרים גדול מ‪.10 -‬‬
‫ב כל המספרים זוגיים‪.‬‬
‫ג לפחות מספר אחד הוא זוגי‪.‬‬
‫ד אחד מהמספרים הוא כפולה של ‪.3‬‬
‫ה ההפרש בין המספר הגדול לבין המספר הקטן חייב להיות כפולה של ‪.3‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪599‬‬
‫ממשיכים בתרגול‬
‫‪ 118‬סדרו את המספרים ‪ 19 - 1‬בתרשים‪ 18 ,‬מספרים על המעגל‪ ,‬ומספר אחד במרכז‪ ,‬כך שסכום‬
‫שלושה מספרים המחוברים על‪-‬ידי קטע העובר דרך המרכז (שני מספרים שעל המעגל‬
‫והמספר האמצעי) יהיה ‪.30‬‬
‫דוגמה‪ :‬סכום שלושת המספרים במלבנים שהקטע האדום עובר דרכם יהיה ‪.30‬‬
‫‪ 119‬לפניכם מידות של שני מלבנים ‪ A‬ו‪ .B -‬לשני המלבנים צלע באותו אורך‪( .‬הסרטוטים מוקטנים‪).‬‬
‫את אחת מצלעות המלבן ‪ A‬מאריכים בארבעה סנטימטרים‪,‬‬
‫ומתקבל מלבן חדש ‪.C‬‬
‫כעת למלבנים ‪ B‬ו‪ C -‬אותו שטח‪ .‬מהו האורך של ‪? x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 120‬אורך המלבן ‪ ABCD‬הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫אם מקטינים את האורך ב‪ 2 -‬ס"מ ומוסיפים ‪ 5‬ס"מ לרוחבו‪ ,‬מתקבל מלבן חדש בעל אותו שטח‪.‬‬
‫מה הן מידות המלבן ‪?ABCD‬‬
‫מה הן המידות של המלבן החדש?‬
‫‪600‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫מה למדנו?‬
‫‪ ‬כדי לפתור משוואה שהנעלם בה מופיע בשני האגפים‪ ,‬משתמשים בתכונות השוויון‪.‬‬
‫מכנְ ִסים (מרכזים) באגף אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם‪ ,‬ואת האיברים החופשיים באגף‬
‫ ַ‬
‫האחר‪.‬‬
‫ מכנסים את האיברים הדומים‪ .‬כך מגיעים למשוואה שקולה שהנעלם בה מופיע רק באגף אחד‪.‬‬
‫ פותרים משוואה זו על‪-‬ידי תכונות השוויון או על‪-‬ידי שימוש בפעולה הפוכה‪.‬‬
‫‪ ‬פתירת משוואות היא כלי למציאת פתרון של שאלות מילוליות‪.‬‬
‫‪ ‬שאלה מילולית היא טקסט שמופיעים בו נתונים וקשרים בין הנתונים‪.‬‬
‫חלק מהנתונים ומהקשרים ידועים‪ ,‬וחלקם אינם ידועים‪.‬‬
‫‬
‫המטרה היא למצוא את הנתונים המבוקשים‪.‬‬
‫‬
‫‪ ‬השלב הראשון ההכרחי כדי לפתור שאלה מילולית הוא להבין את הטקסט‪.‬‬
‫‬
‫אחת השיטות להבין את הטקסט היא להניח שאנו יודעים את הפתרון‪ ,‬לבחור פתרון אפשרי ולבדוק‬
‫‬
‫אם הבחירה היא התשובה‪ .‬שיטה זו נקראת ניסוי וטעייה‪.‬‬
‫‪ ‬בדרך כלל כדי לפתור שאלות מילוליות עובדים לפי שלבים‪.‬‬
‫‪ 1‬קוראים את השאלה‪.‬‬
‫‪ 2‬מנתחים את הנתונים ואת הקשרים‪ :‬מסכמים אילו נתונים ידועים‪ ,‬אילו נתונים אינם ידועים‪ ,‬ואילו‬
‫נתונים מבוקשים‪ ,‬וכן מהם הקשרים בין הנתונים הידועים והלא‪-‬ידועים‪( .‬אפשר לצייר סכמה או טבלה‪).‬‬
‫‪ 3‬מסמנים באות את אחד הנתונים הלא‪-‬ידועים‪ .‬האות היא הנעלם במשוואה‪.‬‬
‫‪ 4‬כותבים משוואה המתאימה לנתונים‪ .‬מבטאים אותה כמות בעזרת שני ביטויים שונים‪.‬‬
‫‪ 5‬פותרים את המשוואה‪ ,‬וכותבים את התשובה‪.‬‬
‫‪ 6‬בודקים בעזרת הצבת הפתרון במשוואה‪ ,‬אם הפתרון הגיוני בתנאי השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אפשר לייצג פתרון של משוואה על‪-‬ידי הגרפים של שתי פונקציות‪.‬‬
‫כאשר הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה אחת‪ ,‬יש למשוואה פתרון יחיד‪.‬‬
‫‬
‫ערך ה‪ x -‬של נקודת החיתוך הוא פתרון המשוואה‪.‬‬
‫‬
‫ערך ה‪ y -‬של נקודת החיתוך הוא הערך של כל אחד מאגפי המשוואה בהצבת פתרון המשוואה‪.‬‬
‫‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪601‬‬
‫העמקה‬
‫‪ 1‬באולם "דקל" ובאולם "תמר" הקרינו סרטים‪ .‬מספר המושבים באולם "דקל" גדול ממספר המושבים‬
‫התמלא‪ ,‬התברר שעשרה כיסאות שבורים‪ ,‬ולכן‬
‫ֵ‬
‫באולם "תמר" פי שלושה‪ .‬לאחר שאולם "דקל"‬
‫עשרה צופים עברו לאולם "תמר"‪ ,‬שהיה מלא רק בחציו‪ .‬לאחר שהצופים עברו‪ ,‬היה מספר הצופים‬
‫באולם "דקל" גדול ממספר הצופים באולם "תמר" פי חמישה‪ .‬כמה כיסאות יש בכל אולם?‬
‫‪ 2‬בתחילת ההפסקה היו במגרש הכדורגל פי שניים ילדים יותר מאשר‬
‫במגרש הכדורסל‪ .‬לאחר מכן ִהגיעו עוד שישה ילדים למגרש הכדורגל‬
‫ועוד ארבעה ילדים למגרש הכדורסל‪ .‬בסוף ההפסקה עברו עשרה ילדים‬
‫ממגרש הכדורגל למגרש הכדורסל‪ .‬מספר הילדים במגרש הכדורסל‬
‫בסוף ההפסקה היה גדול ממספר הילדים במגרש הכדורגל פי אחד וחצי‪.‬‬
‫כמה ילדים היו בכל מגרש בתחילת ההפסקה?‬
‫‪C‬‬
‫‪ 3‬נתון‪ ,AC = 12, AB = 6 :‬הנקודה ‪" M‬זזה" על ‪.CB‬‬
‫בונים את המלבן ‪ ,APMO‬כאשר הקדקוד ‪ P‬הוא על ‪ AB‬ו‪ O -‬על ‪.AC‬‬
‫קובעים ש‪ x = AP -‬וש‪.2 · (6 − x) = AO -‬‬
‫‪M‬‬
‫א בטאו את ההיקף של ‪ APMO‬בעזרת ‪. x‬‬
‫‪O‬‬
‫ב עבור איזה ערך של המשתנה ‪ x‬יהיה ‪ APMO‬ריבוע?‬
‫)‪2 · (6 – x‬‬
‫‪A x P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 4‬בפפירוס של רינד (הפפירוס של אחמס) מראים פתרון של בעיות מילוליות בשיטת "ההצבה‬
‫השקרית"‪ .‬מנחשים פתרון‪ ,‬מציבים אותו‪ ,‬ועל‪-‬ידי תוצאת ההצבה לומדים כיצד לתקן את הניחוש‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬מהו המספר‪ ,‬שאם נוסיף לו תשיעית ממנו‪ ,‬נקבל ‪?10‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫באלגברה נכתוב את המשוואה ‪. x +  9 = 10‬‬
‫‪40‬‬
‫__‬
‫‪4‬‬
‫__‬
‫ננסה את הפתרון ‪ . x = 4‬נציב את הניחוש הזה‪.4 +  9 =  9  :‬‬
‫‪4‬‬
‫__‬
‫‪4‬‬
‫__‬
‫לא קיבלנו ‪ ,10‬אלא מספר גדול מ‪ 10 -‬פי  ‪ .  9‬ובכן‪ ,‬נחלק את המספר שניחשנו ב‪,  9  -‬‬
‫‪4‬‬
‫__‬
‫‪ ,4 :  9 = 9‬ונקבל את הפתרון הנכון‪ .‬כמובן‪ ,‬שיטה זו עובדת רק בסוג מסוים של משוואות‪.‬‬
‫א פתרו את המשוואה הנתונה בדרך אלגברית‪.‬‬
‫ב אחמס לא הכיר אלגברה‪ .‬נסו שיטה משלכם לפתרון השאלה בלי אלגברה‪.‬‬
‫‪602‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫העמקה‬
‫משוואות מיוחדות‬
‫מגלים‬
‫מגלים‬
‫‪ 1‬א בחרו מספר‪ .‬הציבו את ערכו במשוואה ‪ .15 · x + 9 = 3 · (4 · x + 3) + 3 · x‬האם השוויון מתקיים?‬
‫ב בחרו מספר אחר‪ .‬הציבו את ערכו באותה משוואה‪ .‬האם השוויון מתקיים?‬
‫ג האם הביטוי ‪ 15 · x + 9‬שקול לביטוי ‪? 3 · (4 · x + 3) + 3 · x‬‬
‫ד האם השוויון ‪ 15 · x + 9 = 3 · (4 · x + 3) + 3 · x‬מתקיים תמיד?‬
‫‪ 2‬הסבירו מדוע למשוואה ‪ 18 · x − 10 = 6 · (3 · x − 2) + 5‬אין פתרון‪.‬‬
‫לומדים‬
‫ראינו שבדרך כלל במשוואות ממעלה ראשונה שצורתן ‪ ,a · x + b = c · x + d‬יש פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫עם זאת קיימות משוואות מיוחדות‪.‬‬
‫בפרק ‪( 5‬עמוד ‪ )234‬ראינו ש"כל מספר" הוא פתרון של זהות‪ .‬לזהות יש אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫קיימות משוואות אחרות שאין להן פתרון‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫משוואות המבטאות חוקים‪ ,‬הן זהויות‪.‬‬
‫● ●המשוואה ‪ 3 · (x + 5) = 3 · x + 15‬מבטאת את חוק הפילוג‪.‬‬
‫לכן זו זהות‪ ,‬ויש למשוואה אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫● ●כשפותרים את המשוואה )‪ 4 · x – 3 = 5 · x – (x + 3‬מקבלים‬
‫‪4·x–3=5·x–x–3‬‬
‫‬
‫‪4·x–3=4·x–3‬‬
‫‬
‫‪0·x=0‬‬
‫‬
‫המכפלה של כל מספר ב‪ 0 -‬היא ‪ ,0‬לכן למשוואה יש אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫● ●כשפותרים את המשוואה ‪ ,6 ·( x + 2) = 6 · x + 14‬מקבלים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪6 · x + 12 = 6 · x + 14‬‬
‫‪6·x–6·x=2‬‬
‫‪ 0‬למשוואה אין פתרונות‪.‬‬
‫‪ =2‬‬
‫משימות‬
‫‪ 5‬פתרו את המשוואות או הראו שאין פתרון‪.‬‬
‫א ‪0 · x = 1‬‬
‫ב ‪3 · y − 3 · y = 0‬‬
‫ה ‪1 · x = 0‬‬
‫ו ‪3 · y + 3 · y = 0‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫ג ‪  4  = 0‬‬
‫ז ‪4 · x = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫__  ‬
‫ד ‪10    = 1‬‬
‫ח )‪2 · t = 15 − (3 · 5‬‬
‫‪603‬‬
‫העמקה‬
‫‪ 6‬לאילו משוואות יש פתרון אחד? לאילו משוואות יש אין‪-‬סוף פתרונות? לאילו משוואות אין פתרון?‬
‫‪x‬‬
‫___  ‬
‫ב ‪5 · y = 2 · y + 3 · y‬‬
‫א ‪2 · x + 5 = 5 + 2 · x‬‬
‫ג ‪0.1     = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫__‬
‫ה ‪x − 1 = 0‬‬
‫ד ‪  10    = 12 · 0 · 9‬‬
‫ו ‪0 · y + 3 = 0‬‬
‫ז ‪0.4 · x − 0.4 = 0‬‬
‫ח ‪2t = 15 − 3 · 5‬‬
‫‪ 7‬הראו שלמשוואות שלפניכם אין פתרון‪.‬‬
‫א ‪7 · x − 9 · x + 3 + 2 · x = 7‬‬
‫ב ‪3 · (x − 4) + 2 · (x + 10) − 5 · (x + 3) = 0‬‬
‫ג ‪5 · (2 · x + 1) − 7 · x + 2 − 3 · x = -3‬‬
‫‪ 8‬הראו שהמשוואות שלפניכם הן זהויות‪.‬‬
‫א ‪3 · x − 6 + 2 · (x − 7) − 4 · (x − 3) − x = -8‬‬
‫‬
‫ב ‪5 · (x + 2) − 5 · x − 4 = 6‬‬
‫‪ 9‬לאילו משוואות יש פתרון אחד? לאילו משוואות אין פתרון? לאילו משוואות יש אין‪-‬סוף פתרונות?‬
‫א ‪7 · x – 1 = 4 · x + 2 + 3 · x‬‬
‫ג )‪2 · x + 2 = 3 · x – (5 + x‬‬
‫ה )‪6 · x + 2 = 7 · x – (x – 2‬‬
‫ב ‪8 · (y –1) + 5 = y – 3 + 7 · y‬‬
‫ד ‪  __13 · x = 0‬‬
‫ו ‪5 · x = x‬‬
‫‪ 10‬בשני האגפים של משוואה יש ביטויים שווים‪ .‬הסבירו מדוע למשוואה יש אין‪-‬סוף פתרונות‪ .‬כתבו דוגמה‪.‬‬
‫‪ 11‬התאימו בין כל משוואה לבין התכונה שלה‪.‬‬
‫א ‪ a · x + b = b + a · x‬‬
‫‪ 1‬למשוואה אין פתרון‪.‬‬
‫ב ‪ ,a · x + b = a · x + c‬כאשר ‪b ≠ c‬‬
‫‪ 2‬למשוואה יש אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ 12‬כתבו שתי משוואות שיש להן אין‪-‬סוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ 13‬כתבו שתי משוואות שאין להן פתרון‪.‬‬
‫‪604‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫היסטוריה‬
‫יופ ְנטוס ‪( Diophantus −‬בערך ‪ 284 - 200‬לספירה)‬
‫ִּד ַ‬
‫"ממציא" הכתיבה הסמבולאית‬
‫יופנְ טוס היה מתמטיקאי שחי באלכסנדריה במאה השלישית‬
‫ִּד ַ‬
‫יופנְ טוס הכניס את הכתיבה בסמלים לשימוש וכן עסק‬
‫לספירה‪ִּ .‬ד ַ‬
‫בפתרון משוואות ממעלה שנייה ושלישית‪.‬‬
‫במסורת מספרים את תולדות חייו בצורה של חידה אלגברית‪ ,‬אשר‬
‫במקורה נכתבה בחרוזים‪ ,‬והיא נחרטה על מצבתו‪.‬‬
‫יופנְ טוס ילד‪.‬‬
‫ ‪  _16‬מאורך חייו היה ִּד ַ‬
‫ ‪ 1‬‬
‫__  משנות חייו עברו עליו כנער‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫ ‪  _17‬נוספת מחייו עברה עליו כרווק לפני נישואיו‪.‬‬
‫‪300‬‬
‫‪200‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪ 5‬שנים לאחר נישואיו נולד בנו‪ ,‬אשר מת ‪ 4‬שנים‬
‫לפני מות אביו‪ ,‬בהגיעו רק למחצית גיל אביו במותו‪.‬‬
‫יופ ְנטוס במותו?‬
‫בן כמה היה ִּד ַ‬
‫אם האות ‪ x‬מייצגת את הגיל של דיופנטוס במותו‪ ,‬מתרגמים את הנתונים כך‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫__ ‪.  __6 +‬‬
‫__ ‪ 12   +‬‬
‫__ ‪ 7 + 5 +‬‬
‫‪ 2 + 4 = x‬‬
‫וַדאו שדיופנטוס היה בן ‪ 84‬במותו‪.‬‬
‫בפרקים שהגיעו לידינו מעבודתו של דיופנטוס‪ ,‬מוצאים משפטים אלגבריים מעניינים‪ .‬הנה אחד מהם‪:‬‬
‫אם נתונים שני מספרים טבעיים‪ ,‬שאפשר לתאר כל אחד מהם כסכום של שני ריבועים של מספרים שלמים‪,‬‬
‫גם את המכפלה של שני המספרים האלה אפשר להציג כסכום ריבועים‪ .‬מסובך?‬
‫לפניכם שתי דוגמאות מספריות‪.‬‬
‫‪29 = 52 + 22‬‬
‫‪58 = 72 + 32‬‬
‫‪29 · 58 = 1,682‬‬
‫‪1,682 = 292 + 292‬‬
‫‪ .11‬משוואות ושאלות מילוליות‬
‫‪5 = 22 + 12‬‬
‫‪13 = 32 + 22‬‬
‫‪13 · 5 = 65‬‬
‫‪65 = 82 + 12‬‬
‫‪605‬‬