פרק 11: משוואות ושאלות מילוליות
.11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים א .משוואות a · x + b = c · x + d א .1.משוואות בלי סוגריים מגלים מגלים באיור ב' שלפניכם המאזניים מאוזנים .לכל המשמשים אותו משקל. 240 גרם 200 גרם 40 גרם 200 גרם איור ג' איור א' איור ב' א מהו ,לדעתכם ,המשקל של משמש אחד? איך מצאתם את התשובה? ב האות xמייצגת משקל של משמש .כתבו משוואה המתאימה לאיור ב'. ג במשוואה שכתבתם הציבו את המספר שמצאתם בסעיף א' ,ובדקו את תשובתכם. ד כתבו משוואה מתאימה לאיור א'. ה כתבו משוואה מתאימה לאיור ג'. ו האם שלוש המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם. לומדים עד כה למדנו לפתור משוואות שהנעלם מופיע רק באגף אחד שלהן. עתה נראה משוואות שהנעלם מופיע בשני האגפים שלהן. הדגם הכללי של משוואות מסוג זה הוא . a · x + b = c · x + d דוגמאות: 5 · x + 30 = 2 · x + 150 -3 · x – 10 = 4 · x – 20 0.5 · x – 2 = - x .11משוואות ושאלות מילוליות d = 150 d = -20 d = 0 c = 2 c = 4 c = -1 b = 30 b = -10 b = -2 a=5 a = -3 a = 0.5 567 מגלים ולומדים כדי לפתור משוואה שהנעלם שלה מופיע בשני אגפיה ,יוצרים משוואה שקולה שהנעלם שלה יופיע רק באגף אחד .לשם כך משתמשים בתכונות השוויון .פותרים את המשוואה שהתקבלה. זכרו! בעזרת תכונות השוויון אפשר ליצור משוואות שקולות :אפשר להוסיף לשני האגפים של משוואה אותו מספר או לחסר מהם אותו מספר ,ואפשר גם לכפול או לחלק את שני האגפים באותו מספר (שונה מ .)0 -אם כופלים ב 0 -את שני האגפים ,מקבלים משוואה שפתרונה הוא "כל המספרים" ,והיא אינה שקולה בדרך כלל למשוואה המקורית. דוגמאות: ● ●40 + y = 60 − y | +y תכונות השוויון כינוס איברים דומים ,תכונות השוויון | − 40 כינוס איברים דומים ,תכונות השוויון | :2 בדיקה: 60 – 10 = 50 60 − y 60 − y + y 60 60 − 40 20 20 : 2 10 = 40 + y = 40 + y + y = 40 + 2 · y = 40 + 2 · y − 40 =2·y =2·y:2 =y 40 + 10 = 50 שימו לב! מהמשוואה 40 + y = 60 − yהגענו למשוואה 40 + 2 · y = 60שאותה כבר למדנו לפתור. ● ●5 · x + 40 = 2 · x + 13 |–2·x 5 · x + 40 = 2 · x + 13 5 · x + 40 – 2 · x = 2 · x + 13 – 2 · x | − 40 3 · x + 40 = 13 3 · x + 40 – 40 = 13 − 40 | :3 3 · x = -27 3 · x : 3 = -27 : 3 x = -9 בדיקה5 · (-9) + 40 = 2 · (-9) + 13 : 568 -45 + 40 = -5 -18 + 13 = -5 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים משימות קל 1באיור א' שלפניכם המאזניים מאוזנים .לכל האגסים משקל שווה. המשתנה xמייצג משקל של אגס בגרמים. 100 גרם 150 גרם איור ב' איור א' א כתבו משוואה המתאימה לאיור א'. ב ציינו איזו פעולה צריך לבצע ,כדי שהאגסים יהיו רק בכף אחת ,והשוויון יישמר. ג כתבו משוואה לתיאור השקילה אחרי ביצוע הפעולה שבסעיף ב'. ד האם המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם. ה ענו על השאלות א' -ד' כאשר השקילה מתבצעת כמתואר באיור ב'ּ ,ולכל המשמשים משקל שווה. קל 2 באיור שמשמאל האות xמייצגת משקל של קובייה. 600 גרם א כתבו משוואה המתאימה לאיור. ב ציינו איזו פעולה צריך לבצע כדי שבכף אחת לא יהיו קוביות, והשוויון יישמר. קל 3כתבו משוואה המתאימה לאיור ,ופתרו אותה. 4א כתבו משוואה המתאימה לאיור ,כך שהאות x תייצג משקל של אגס. ב ציינו אילו פעולות צריך לבצע ,כדי שרק בכף אחת יהיו אגסים ,והשוויון יישמר. 260 גרם x 100 גרם x x x 100 גרם 100 100 גרם גרם 100 100 גרם גרם 100 גרם ג באיזו כף יש כעת אגסים? כמה? ד אילו פעולות צריך לבצע ,כדי שרק בכף השנייה יהיו משקולות ,והשוויון יישמר? מהו המשקל על כף זו? ה מהו משקלו של כל אגס? .11משוואות ושאלות מילוליות 569 מגלים ולומדים 5נתונה המשוואה .6 · x + 10 = 2 · x + 30 לפניכם שלבי הפתרון של המשוואה .תארו כל שלב במילים ,והסבירו את מטרת הפעולה. שלב א' 6 · x + 10 – 2 · x = 2 · x + 30 – 2 · x שלב ב' 6 · x – 2 · x + 10 = 2 · x – 2 · x + 30 שלב ג' 4 · x + 10 = 30 שלב ד' 4 · x = 20 שלב ה' 4 · x 20 ____ __ = 4 4 x=5 6לפניכם משוואות פתורות .בכל סעיף הסבירו את השלבים לקבלת המשוואה השקולה ,ובדקו את הפתרון. א 8·x 8·x–3·x 5·x x = 41 + 3 · x + 4 = 41 + 4 = 45 =9 ב 12 · x + 13 12 · x + 2 · x + 13 14 · x + 13 14 · x 14 · x 14 · x : 14 x = -2 · x − 15 = -2 · x + 2 · x − 15 = -15 = -15 − 13 = -28 = -28 : 14 = -2 7ציינו איזו פעולה צריך לבצע בכל משוואה ,כדי שהנעלם יופיע באגף אחד בלבד שלה, ותתקבל משוואה שקולה. א 2 · x = 4 + x ב 4 · a = 2 · a + 6 ג y = 8 − 2 · y ד 5 · n = 10 − n ה 3 · y = 12 − y ו 2 · x + 45 = 5 · x ז 3 · x + 4 = 7 · x ח 5 · y = 5 − 5 · y ט 3 · x = 2 · x − 1 8מצאו שלשות של משוואות שקולות. א 2 · x − 1 = 5 ב 5 · y − 1 = -21 ג 15 − 4 · x = 11 ד 7 · y − 6 = 4 + 2 · y ה x = 3 ו x = 1 ז 5 · y = -20 ח 4 · x = 4 ט 5 · y =10 י y = 2 יא 2 · x = 6 יב y = -4 9התבוננו באיור ,ומצאו את הערך של . x קל x 570 x x 100ג' x 400ג' .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים 10א כתבו משוואה מתאימה לאיור. ב ציינו אילו פעולות צריך לבצע ,כדי שרק בכף אחת יהיו קוביות ,והשוויון יישמר. 150 גרם x x 30 גרם x x x x x ג כתבו משוואה לתיאור השקילה אחרי ביצוע הפעולה שבסעיף ב'. ד האם המשוואות שכתבתם הן משוואות שקולות? נמקו את תשובתכם. 11לפניכם ייצוג של שוויון. + 30 א תארו את השוויון על-ידי משוואה. ב איזה שוויון נוסף אתם רואים בייצוג? + 12 ג מהו הערך של ? x x x x x x x x 12לפניכם זוגות של משוואות שקולות .בכל סעיף הסבירו איך נתקבלה המשוואה השקולה. א 5 · x + 4 = 7 · x + 2 ב 5 · x + 4 = 2 · x + 10 4 = 2 · x + 2 ג 2 · y − 4 = 3 · y + 2 3 · x + 4 = 10 -6 = y 13מהו פתרון המשוואה ? 2 · x + 35 = x + 135 א 10 ג 1 00 ב 90 ד 170 14פתרו את המשוואות. א 9 · x − 5 = 6 − 2 · x ב 6 · u + 4 = 11 − u ג 4 + 5 · z = 9 · z ד 3 · x = -14 − 4 · x ה 14 · x = 8 · x + 12 ו 7 · x − 2 = 3 − 2 · x ז 2 − 3 · x = 5 · x + 10 ח 3 · x − 2 + x = 6 – 4 · x ט 3 · t − 7 = -2 · t − 9 15פתרו את המשוואות. א 3 · x + 10 = -5 · x + 10 ב -2 · x − 6 = 2 · x − 38 ג 2 · x − 3 = -3 · x + 42 ד x + 3 = 4 · x + 12 ה - 4 · x + 8 = 4 · x − 48 ו 2 · x + 1 = -x + 19 ז - 3 · x + 7 = 5 · x + 23 ח 5 · x + 9 = 4 · x + 6 ט -4 · x – 4 = 2 · x + 44 16פתרו את המשוואות. א 8 · x − 4 + 7 = 6 · x + 9 + x ב 7 · x − 23 = 10 − 3 · x − x ג 5 − 3 · x − 18 = x − 1 + 8 · x שימו לב! בכתיבת התהליך של פתרון משוואה חשוב לשמור על סדר הכתיבה :יש לכתוב רק שוויון אחד בכל שורה ולסמן בצד איזו פעולה מבצעים .כך אפשר יהיה לחזור על התהליך במקרה של גילוי טעות בעת הבדיקה. 17פתרו את המשוואות. א -4 · y − 2 = -3 · y + 5 ב 12 · z − 5 = 8 · z − z + 60 ג 8 − 12 · x + 6 · x = 3 · x − 10 + 12 ד 6 · x −12 − x = x + 53 + 9 · x ה 5 · x + 2 − 3 · x + 7 = x + 4 · x − 5 ו 3 · z − 5 · z − 12 = 7 · z − 88 − 5 .11משוואות ושאלות מילוליות 571 מגלים ולומדים פיצוחים 18בכל אחת מהזהויות שלפניכם נמחק ביטוי .מצאו את הביטויים החסרים. א ) = 4 · x + 3 (3·x+1+ ג ) = 4 · x − 1 ( 3·x+1+ ב 3 · x + 1 + ( ) = 2 · x + 3 ד ) = 2 · x − 1 ( 3·x+1− זכרו! הפתרון בזהויות הוא "כל ."x 19פתרו את המשוואות. x 3·x __ ____ = 2 + 1 א 2 y 4·y ____ __ = 3 – 1 ג 3 2·x x ____ __ = 3 ב 3 + 1 y 5·y ____ __ = 4 – 3 ד 4 לומדים גם כאשר מופיעים במשוואה שברים ,מכנסים באגף אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם. משתמשים בחוקי הפעולות של השברים כדי לכנס איברים דומים ולפתור את המשוואה. דוגמאות: המשוואה תכונות השוויון x | – __4 3·x x ____ __ = 4 4 + 10 3·x x ____ __ = 4 4 + 10 x 3·x x x ____ __ = 4 – __4 __ – 4 + 10 4 כינוס איברים דומים תכונות השברים תכונות השוויון 2·x ____ 4 = 10 x __ 2 = 10 | · 2 x __ 2 · 2 = 10 · 2 x = 20 בדיקה 3 · 20 ____ 4 = 15 המשוואה תכונות השוויון תכונות השוויון מכנה משותף כינוס איברים דומים תכונות השברים תכונות השוויון תכונות השוויון 572 5·x 3·x ____ ____ – 15 15 = -10 | · 15 |:2 2·x ____ 15 = -10 2 · x = -15 · 10 -15 · 10 ______ = x 2 x = -75 20 __ 4 + 10 = 15 x –x __ __ 3 + 7 = 5 3 x –x __ __ – __x 3 + 7 = 5 3 | 5 x x__ __ – | – 7 3 + 7 5 = 3 __ – x – x - __ 3 5 = 3 7 = 10 בדיקה -75 ___ 3 + 7 = -25 + 7 = -18 -75 ___ 5 – 3 = -15 – 3 = -18 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים משימות x 2 · x __ + 5 = 14 + 20נתונה המשוואה 10 ____. 5 לפניכם שלבי הפתרון של המשוואה .תארו כל שלב ,והסבירו את מטרת הפעולה. x 2·x ____ __ 5 = 9 + 10 x 2·x ____ __ – 5 10 = 9 x 4·x ____ __ – 10 10 = 9 3·x ____ 10 = 9 שלב א' שלב ב' שלב ג' שלב ד' 3 · x = 90 שלב ה' x = 30 שלב ו' 2 · 30 ____ 5 = 12 30 __ 9 + 10 = 12 בדיקה 21פתרו את המשוואות. 3·x x __ ____ 5 א = 5 + 2 x 3·x ____ __ = 5 – 8 ה 5 + 2 22פתרו את המשוואות. 5·y y ____ __ = 2 א 2 – 8 x 3·x ____ __ = 10 – 8 ה 5 + 2 y 2·y __ ____ ב 3 + 6 = 3 y 2·y __ ____ ו – 6 3 + 6 = 3 3·s ____ = __ 4s + 5 ב 4 2·y y ____ = __ 6 + 5 ו 3 – 6 x __ 3·x ____ 4 + 1 = 4 ג x __ 3·x ____ = 4 + 1 ז 4 – 5 x __ 2·x ____ 3 + 4 = 3 ג x 3·x __ ____ 4 + 1 = 8 ז – 5 __ 5 · x x ____ ד = 2 – 4 2 x – 5·x ____ 2 __ = 18 ח 2 – 4 3·t t ___ __ = 5 ד 5 +10 x 3·x ____ __ = 8 – 1 ח 2 – 4 23פתרו את המשוואות. א 0.5 · x + 2 = x − 3 ב 3 − 0.5 · x = 2 − x ג 3 − x = 2 − 0.5 · x ד 1 − 0.8 · x = 0.2 · x − 1 ה 0 .8 · x − 1 = 1 − 0.2 · x ו 0.8 · x + 1 = 1 − 0.2 · x ז 1 .7 · x = 0.2 · x + 30 ח 0.5 · x + 10 = 0.6 · x + 60 ט 0.4 · x − 9 = 0.3 · x פיצוחים א הרכיבו שתי משוואות לא-שקולות בעזרת המספרים 23 ,5 ,7והנעלם .x 24 דוגמה: ב פתרו את המשוואות שהרכבתם. x + 7 = 5 · x + 23 .11משוואות ושאלות מילוליות 573 מגלים ולומדים א .2.משוואות עם סוגריים מגלים מגלים לפניכם זוגות של משוואות שקולות .הסבירו איך מתקבלת כל משוואה שקולה. א 9 + 2 · (4 · y + 3) = 13 · y ↕ ב )2 · (x − 4) − 17 = 13 − 3 · (x + 1 ↕ 8 · x − 8 − 17 = 13 − 3 · x − 3 9 + 8 · y + 6 = 13 · y ג 6 · x − (2 · x − 5) = 23 + 3 · x ↕ 6 · x − 2 · x + 5 = 23 + 3 · x זכרו! משמעות הסימן B ↔ Aהיא "הביטויים Aו B-שקולים זה לזה". דוגמה: 2 · x + x = 10 ↔ 3 · x = 10 לומדים גם כאשר פותרים משוואה שיש בה סוגריים ,אפשר ליצור משוואה שקולה על-ידי שימוש בפעולות המותרות ,כגון פתיחת סוגריים ,כינוס איברים ,תכונות השוויון ותכונות הפעולות" .מרכזים" באגף אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם ,ובאגף השני "מרכזים" את האיברים החופשיים. דוגמאות: 8 · x + 2 · (x − 3) = 16 − x פתיחת סוגריים 8 · x + 2 · x − 6 = 16 − x כינוס איברים דומים 8 · x + 2 · x − 6 = 16 − x תכונות השוויון |+x כינוס איברים דומים 10 · x + x − 6 = 16 − x + x 10 · x − 6 = 16 − x 11 · x − 6 = 16 תכונות השוויון |+6 כינוס איברים דומים 11 · x − 6 + 6 = 16 + 6 תכונות השוויון 11 · x = 22 חישוב התוצאה 11 ·x 22 _____ __ = 11 11 x=2 בדיקה :נציב 2בשני אגפי המשוואה 574 8 · 2 + 2 · (2 − 3) = 16 − 2 = 14 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים משימות זכרו! 25פתרו את המשוואות. א 2 · (x + 8) = 3 · x ב -(x + 5) = 4 · x ג )- 5 · x = 3 · (x – 8 ד 5 · (x – 14) = -2 · x ה )2 · x = 6 · (8 – x ו -(x – 2) = 2 · x ז 4 · (x + 4) = 6 · x ח 2 · (14 – 2 · x) = 3 · x כדי לפתוח סוגריים ,כאשר יש סימן "מינוס" לפני הסוגריים ,יש להחליף את הסימן "מינוס" בסימן "פלוס" ואת הסימן "פלוס" ב"מינוס" שבתוך הסוגריים. דוגמאות: x – (5 + 2 · x) = x – 5 – 2 · x x – (5 – 2 · x) = x – 5 + 2 · x 26פתרו את המשוואות. א 3 · (x + 3) = 6 · x ב )-2 · x = 4 · (x – 3 ג -4 · (x – 5) = x ד 5 · (y + 4) = 4 · y ה 2 · (y + 6) = -y ו )7 · y = 5 · (y – 4 ז 2 · (2 · x + 3) = 5 · x ח )3 · x = 5 · (x – 4 ט -4 · (x – 7) = 3 · x 27פתרו את המשוואות. א 2 · (x − 9) = 3 · x − 9 ב -5 · (x − 7) = -2 · x + 29 ג )x − 2 = -3 · (x + 10 ד -(x + 5) = 4 · x + 40 ה 3 · (x − 9) = 2 · x − 37 ו )-5 · x − 6 = -4 · (x − 4 ז 2 · x − 7 · (x − 1) = 3 · x + 55 ח -(x − 2) = 2 · x − 13 ט 2 · (x − 5) = -4 · x − 16 28פתרו את המשוואות. א 2 · (x − 8) = 3 · x − 18 ב 5 · (y + 4) = 4 · y + 19 ג 2 · x + 2 · (x + 3) = 5 · x − 3 ד - (x + 3) = 4 · x − 28 ה 2 · (y + 6) = -y + 39 ו 3 · (x − 9) = 4 · x − 20 ז - 3 · (x − 7) = x − 11 ח - 4 · (2 – 3 · x) – 7 = 3 · x + 12 ט -4 · (x − 7) = 5 · x + 1 29פתרו את המשוואות. א )7 · (x + 2) = 5 · (x + 4 ב )3 · (x – 5) = 2 · (2 · x + 1 ג )2 · (y + 1) – 3 · y = 3 · (2 · y + 3 ד )4 · (2 · y + 1) = 29 + 3 · (2 · y – 5 ה )2 · (s – 3) – 13 = 17 – 3 · (s + 2 ו 4 · (2 – 3 · x) + 6 · x = 3 · (x + 4) – 10 30פתרו את המשוואות. א )4 · (x – 3) – 5 · (3 + x) + 2 = 4 · (3 · x + 4) – 2 · (8 – 6 · x ב 6 · (2 · y + 1) – 3 · (4 · y – 3) – (6 · y + 10) = -(4 · y – 3) + 3 .11משוואות ושאלות מילוליות 575 מגלים ולומדים 31לפני המצאת הסימנים לפעולות והשימוש בספרות שאנו משתמשים בהן היום ,כתבו את השוויונות במילים .לפניכם כמה משפטים מסוג המשפטים שכתבו לפני 600שנה" .תרגמו" אותם למשוואות, ופתרו את המשוואות. דוגמה: אם מחסרים שלוש עשרה מכפליים מספר נתון ,מקבלים תוצאה השווה לסכום של המספר הנתון ועשרים. -13 מהו המספר הנתון? המשוואה: פתרון המשוואה 2·x |−x | + 13 20 + x = 2 · x −13 2 · x −13 2 · x −13 − x x −13 x − 13 + 13 x = 20 + x = 20 + x = 20 + x − x = 20 = 20 + 13 = 33 א אם מחסרים 3מכפליים מספר ,מתקבלת תוצאה השווה לסכום אותו מספר ו .5 -מהו המספר? ב אם כופלים מספר ב ,7 -מתקבלת תוצאה השווה לסכום של 25וכפליים המספר .מהו המספר? ג חיסור 9מארבע פעמים מספר ,שווה לחיסור 1משלוש פעמים אותו מספר .מהו המספר? ד אם מוסיפים 3לחמש פעמים מספר ,מתקבל הסכום של פעמיים המספר ו .15 -מהו המספר? ה הוספת 10לארבע פעמים מספר ,שווה לחיסור 50מתשע פעמים המספר .מהו המספר? ו חיסור 150משבע פעמים המספר ,שווה לחיסור 250משלוש פעמים המספר .מהו המספר? 32רפאל טוען שתמיד אפשר לכתוב משוואה שקולה למשוואה a · x + b = c · x + d כך . a · x − c · x = d − b :האם רפאל צודק? אם כן ,כיצד ִהגיע למסקנה זו? 33מהן המשוואות השקולות למשוואה ?2 · (3 · x − 8) = 9 · x − 25 א 6 · x + 25 − 16 = 9 · x − 25 ב 6 · x + 25 − 16 = 9 · x ג 25 − 16 = 9 · x − 6 · x ד 16 − 6 · x − 25 = 9 · x 34הסבירו מדוע המשוואות שלפניכם שקולות. א )2 · 7 · x + 2 · (-5) = 6 · 3 · x + 6 · (-2 ג 1 4 · x − 10 = 18 · x − 12 ב )2 · (7 · x − 5) = 6 · (3 · x − 2 ד 4 · x = 2 35פתרו את המשוואות. א -5 · (x − 6) = -x + 62 ב -3 · (x − 9) = 5 · x + 59 ג )3 · x = 1 − 2 · (3 · x − 40 ד - 2 · (x + 2) = 4 · x − 16 ה 3 · (x + 8) = x + 18 ו 3 · (x + 6) = -4 · x + 4 ז - 2 · (x − 5) = x − 5 ח -5 · (x − 1) = -4 · x + 1 ט 2 · (x + 7) = 3 · x + 19 תרגילים נוספים בעמוד .596 576 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים ב .שאלות מילוליות ב .1.ניתוח בעזרת בדיקה מגלים מגלים לפניכם שאלה מילולית. היום יונתן מבוגר מאחיו ארז פי ארבעה .בעוד ארבע שנים יהיה יונתן מבוגר מארז פי שניים. מהו הגיל של הילדים היום? בחרו מספר לגיל של ארז היום .האם הבחירה שלכם מתאימה לנתונים? איך בדקתם? מהו ,לדעתכם ,הגיל של ארז היום? מהו הגיל של יונתן היום? לומדים כדי לפתור שאלה מילולית צריך א להבין את הטקסט ואת הקשרים בין הנתונים הידועים והלא-ידועים; ב לבחור נעלם ולציין מה הוא מייצג; ג לתרגם את הקשרים למשוואות; ד לפתור את המשוואות; ה לבדוק אם פתרון המשוואה מתאים לשאלה. אחת השיטות לכתוב משוואה היא דרך ניסוי וטעייה כך: ● ●בוחרים מספר אפשרי וסביר כערך של הנעלם; ● ●מתרגמים בעזרתו את הקשרים; ● ●כותבים משוואה מתאימה לקשרים; ● ●פותרים את המשוואה. דוגמה: כיום אורה מבוגרת מדינה פי שלושה .בעוד עשר שנים תהיה אורה מבוגרת מדינה פי שניים. בת כמה אורה היום? בת כמה דינה היום? נייצג את בניית המשוואה בטבלה .המשתנה xייצג את הגיל של דינה היום. דינה היום בעוד 10שנים אורה ניסוי ביטוי אלגברי המספר הנבחר8 : 8 + 10 x + 10 x ניסוי 3·8 3 · 8 + 10 8הוא מספר סביר כתשובה -3( .או 0.1אינם מספרים סבירים לגיל של אדם). הגיל של דינה הוא פתרון המשוואה3 · x + 10 = 2 · (x + 10) . 8אינו פתרון של המשוואה ,כי 3 · 8 + 10 = 34אינו גדול מ 10 + 8 -פי שניים. (פתרון המשוואה הוא). x = 10 : .11משוואות ושאלות מילוליות ביטוי אלגברי 3·x 3 · x + 10 שימו לב! בעזרת הניסוי בנינו את המשוואה. 577 מגלים ולומדים משימות 36פתרו את השאלה שלפניכם על-ידי ניסוי וטעייה. כופלים מספר ב 10 -ומחסרים מהמכפלה .19כופלים אותו מספר ב 5 -ומחסרים מהמכפלה .4 תוצאת שני החישובים זהה .מהו המספר? דוגמה: א האם המספר הוא ?2כתבו את שלבי הבדיקה. ב האם המספר הוא ?5איך בדקתם? ג האם המספר הוא ?3איך בדקתם? 7 · 10 – 19 = 51 7 · 5 – 4 = 31 31 ≠ 51 מסקנה :המספר 7אינו הפתרון. 37מצאו שלושה מספרים אי-זוגיים עוקבים, כך שסכום המספר הראשון והמספר האחרון גדול מהמספר השני ב.27 - א הסבירו מדוע 10לא יכול להיות המספר הראשון. ב האם המספר הראשון הוא ?21איך בדקתם? ג האם המספר הראשון הוא ?27איך בדקתם? ד האם המספר הראשון הוא ?25איך בדקתם? ה כתבו ביטוי מתאים לשאלה. 38מידות מלבן הן מספרים שלמים .רוחב המלבן קטן מאורכו ב 5 -ס"מ .היקף המלבן הוא 22ס"מ. מה הן מידות המלבן? א בחרו מספר סביר לרוחב המלבן ,בדקו אם הבחירה שלכם היא הפתרון ,ופרטו את דרך הבדיקה. ב בחרו מספר סביר נוסף לרוחב המלבן .השתמשו בפירוט הבדיקה שבסעיף א' כדי לבדוק את בחירתכם. ג כתבו ביטוי מתאים לשאלה. פתרו כל אחת מהשאלות 42 - 39על-ידי בחירה של מספר סביר ובדקו את פתרונכם על-ידי הצבה. 39אבא בן ,41ובנו בן .14לפני כמה שנים היה האב מבוגר מבנו פי ארבעה? א בחרו מספר של שנים. ב כתבו ביטויים לגיל של האב ולגיל של הבן לפני מספר השנים שבחרתם. ג כתבו משוואה מתאימה ,ובדקו את בחירתכם. הנוכחי של ְ 40אבא מבוגר מבנו פי שניים .לפני 14שנה היה סכום הגילים של האב ושל בנו שווה לגיל האב .בן כמה הבן היום? 41לרחל וללאה מטבעות .מספר המטבעות של לאה גדול ממספר המטבעות של רחל פי שלושה. אם לאה תיתן לרחל עשרה מטבעות ,יהיה לשתיהן אותו מספר מטבעות. כמה מטבעות יש לכל אחת מהבנות? א בחרו מספר למטבעות של לאה .מהו הביטוי שייצג את מספר המטבעות של רחל? ב ממי צריך לחסר 10מטבעות ,ולמי יש להוסיף 10מטבעות? 578 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים 42לישי היו כמה מטבעות של עשרה שקלים .לאלישיב היה אותו מספר מטבעות של חמישה שקלים. סבתא נתנה לישי ₪ 4ולאלישיב .₪ 19עכשיו יש להם אותו סכום כסף. כמה מטבעות של ₪ 10היו לישי? זכרו! א האם לפני שסבתא נתנה לשני הבנים כסף ,היה להם אותו סכום כסף? ב בדקו אם " 10מטבעות של עשרה שקלים" הוא פתרון השאלה .כמה כסף היה עכשיו לישי ,אילו היו לו 10מטבעות של ?₪ 10וכמה כסף היה עכשיו לאלישיב במקרה זה? יש להבדיל בין מספר (כמות) מטבעות לבין ערך מטבע. כאשר מדובר במטבעות בעלי אותו ערך, מספר המטבעות × ערך מטבע = ערך כל המטבעות. דוגמאות: ● ●ערך 4מטבעות של ₪ 10הוא (4 · 10) .₪ 40 ● ●ערך xמטבעות של ₪ 10הוא (x · 10) . ₪ 10 · x ג בדקו אם "מטבע אחד של עשרה שקלים" הוא פתרון השאלה .במקרה כזה ,למי היה עכשיו יותר כסף? ד האות xמייצגת את מספר המטבעות של עשרה שקלים שהיה לישי. ● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לישי לפני שקיבל .₪ 4 ● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לישי אחרי שקיבל .₪ 4 ● ●כתבו ביטוי אלגברי לסכום שהיה לאלישיב אחרי שקיבל .₪ 19 ה בחרו מספר סביר ,ובדקו אם הוא פתרון השאלה. 43אושרה רוצה לקנות ספרים מאותה סדרה .לכל הספרים בסדרה אותו מחיר. אם היא תקנה ארבעה ספרים ,ייוותרו לה .₪ 35אם היא תרצה לקנות שישה ספרים ,יחסרו לה .₪ 65 מהו המחיר של כל ספר? דּבקות. 44דודה אסתר נתנה לתאומות תהילה והודיה אותו מספר ִמ ָ חלק מהמדבקות היו בדפים (על כל דף אותו מספר מדבקות) ,וחלק היו מדבקות יחידות. תהילה קיבלה שלושה דפים ו 25 -מדבקות יחידות. הודיה קיבלה שני דפים ו 45 -מדבקות יחידות. כמה מדבקות היו בכל דף? 45סביב הכפר יש מסלול אופניים. אבישי רכב פעם אחת מסביב לכפר והמשיך לרכוב עוד שמונָ ה קילומטרים לכפר השכן. מיכה רכב שלוש פעמים סביב הכפר ,לפיכך רכב ארבעה קילומטרים יותר משרכב אבישי. מהו אורך המסלול לרכיבה סביב הכפר? א האם אורך המסלול הוא שני קילומטרים? ב האם אורך המסלול הוא שבעה קילומטרים? ג האם אורך המסלול הוא שישה קילומטרים? נמקו את תשובותיכם. .11משוואות ושאלות מילוליות 579 מגלים ולומדים 46ספרת העשרות של מספר דו-ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים. סכום המספר והמספר הכתוב בסדר ההפוך הוא .132 א האם הספרה 3יכולה להיות ספרת העשרות של המספר? ב מהן האפשרויות לתשובה? ג מהו המספר? 47ספרת העשרות של מספר תלת-ספרתי גדולה מספרת היחידות שלו פי שניים וקטנה מספרת המאות שלו פי שניים .ההפרש בין מספר זה לבין המספר הכתוב בסדר ההפוך הוא .297 א האם הספרה 3יכולה להיות ספרת העשרות של המספר? ב האם הספרה 3יכולה להיות ספרת היחידות של המספר? ג מהן האפשרויות לתשובה? ד מהו המספר? ב .2.ניתוח בעזרת ייצוג מגלים מגלים אורך צלע של משולש שווה-צלעות גדול מאורך צלע של ריבוע ב 1-ס"מ .היקף הריבוע שווה להיקף המשולש. מהו אורך צלע הריבוע? הסכמות שלפניכם מייצגות את השאלה .מה מייצג המשתנה ? x ֵ א הסבירו איך ב האם אפשר למצוא את הפתרון בעזרת הייצוג? מהו הפתרון? ייצוג א' x x x x x+1 ייצוג ב' x 1 x+1 x x+1 1 x x 1 x x x לומדים סכמה. לעתים אפשר לייצג נתונים של שאלה מילולית באופן חזותי על-ידי ֵ הייצוג הנבחר תלוי בשאלה. הערה :בסכמה אין צורך לדייק באורכים ,כי עדיין לא ידוע ערך הנעלם. דוגמה: ● ●ייצוג נעלם על-ידי קטע. דוגמה: x ● ●ייצוג מכפלה על-ידי קטעים צמודים בעלי אותו אורך. דוגמה: x 580 3·x x x .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים x ● ●ייצוג מכפלה על-ידי שטח מלבן: 3 ● ●ייצוג הוספה של מספר ידוע על-ידי קטע: x + 4מיוצג על-ידי הקטע ● ●ייצוג חיסור של מספר ידוע על-ידי קטע מקווקו: 3·x 2 4 . x x x−2 ● ●ההפרש בין 21לבין מספר כלשהו שווה לפעמיים אותו המספר .מהו המספר? לפי הסכמה שמשמאל ,3 · x = 21לכן . x = 7 21 x 2·x משימות קל 48אם מחסרים 2מחמש פעמים מספר ,מקבלים תוצאה זהה להוספת 6לשלוש פעמים אותו המספר. מהו המספר? x 2 x x x x א הסבירו איך הסכמה מייצגת את השאלה. ב מהו פתרון השאלה? x 6 49מחסרים 24מחמש פעמים מספר. התוצאה היא שלוש פעמים אותו המספר. מהו המספר? הציגו את הנתונים בסכמה. x x 200 גרם 1,700 גרם 50באיור שלפניכם המאזניים מאוזנים. לכל הספרים משקל זהה .מהו משקל כל ספר? קל 51אם מוסיפים 210גרם למשקל של שבעה כדורים, מתקבל משקל השווה למשקל של שני כדורים ו 2,060 -גרם .כל הכדורים שווים במשקלם. מהו משקלו של כדור? היעזרו בייצוג שלפניכם כדי לפתור את השאלה. 52זאב בן שנתיים ,ואחיו בנימין בן .10 א מהו ההפרש בין גילי האחים? 210 2,060 ? 10 ב האם הפרש הגילים משתנה עם הזמן? ג מה יהיה ההפרש בין גילי האחים, כאשר בנימין יהיה גדול מזאב פי שניים? ד מה יהיה הגיל של זאב? .11משוואות ושאלות מילוליות 2 x x ·2 581 מגלים ולומדים 53שלמה בן ,49בנו מלאכי בן ,12ובנו דוד בן .8 קל שימו לב! א בעוד כמה שנים יהיה גילו של שלמה שווה לסכום הגילים של ילדיו? ב הסבירו איך הסכמות מתארות את הנתונים. a 49 a 49 8 ·2 12 8 12 כולם מתבגרים ביחד! כאשר גיל אב גדל ב a -שנים, גם הגיל של כל ילד גדל ב a -שנים. רק הגיל ההתחלתי שונה. הפרש הגילים קבוע כל הזמן! x 54ההפרש בין הגיל של רחל לבין גיל בתה שרה הוא 29 שנים .בעוד 8שנים תהיה רחל מבוגרת משרה פי שניים. מהו הגיל של שרה היום? x 29 א האם ההפרש בין הגיל של רחל לבין הגיל של שרה משתנה עם הזמן? x+8 x 8 29 x 8 x + 29 ב הסבירו איך הסכמות מתארות את הנתונים. 55צריכת דלק של מכונית היא 9ליטרים ל 100 -ק"מ. מירב מילאה את המכל ולאחר נסיעה של 400ק"מ נותר רבע מקיבולת המכל. מהי הקיבולת של המכל בליטרים? 56בקצה אחד של כביש נטוע עץ ,ובקצהו האחר מוצב רמזור .צב נמצא על הכביש במרחק של ארבעה מטרים מהעץ ,וחילזון נמצא על הכביש במרחק של תשעה עשר מטרים מהעץ .שניהם החלו להתקדם באותו זמן לכיוון הרמזור .הצב התקדם עשרה מטרים בכל שעה ,והחילזון התקדם חמישה מטרים בכל שעה .הם ִהגיעו יחד לרמזור .במשך כמה זמן צעדו הצב והחילזון? איור א' איור ב' 10מ' 10מ' 4מ' 5מ' 5מ' ח צ 4מ' 19מ' 19מ' א איור א' מייצג את הנתונים .כיצד? ב האם איור ב' מייצג אותם נתונים? מהו ההבדל בין שני האיורים? ג האם לפי הנתונים ,הצב והחילזון צעדו במשך אותו מספר שעות? המשתנה xמייצג את מספר השעות שצעד הצב עד הרמזור. ד כתבו ביטוי אלגברי לדרך שעבר הצב. ה כתבו ביטוי אלגברי לדרך שעבר החילזון. ו תארו על-ידי שני ביטויים אלגבריים את המרחק בין העץ לרמזור. ז פתרו את השאלה. 582 זכרו! מהירות · זמן = דרך .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים 57ברכבת היו 12קרונות .בכל קרון היה מספר שווה של נוסעים .הוסיפו לרכבת שלושה קרונות .חלק מהנוסעים עברו לקרונות הנוספים ,כך שבכל אחד מ 15 -הקרונות ,היה מספר שווה של נוסעים .בכל אחד מ 12 -הקרונות יש כעת 2נוסעים פחות ממה שהיו בתחילה .מה היה מספר הנוסעים המקורי בכל אחד מ 12 -הקרונות? א הטבלה שלפניכם מייצגת את הנתונים .הסבירו כיצד. מספר הקרונות 12 15 מספר הנוסעים בקרון x x−2 סך כל הנוסעים 12 · x )15 · (x − 2 ב כתבו משוואה מתאימה לשאלה( .רמז :מספר הנוסעים לא השתנה לאחר הוספת הקרונות). לומדים דרך נוספת לייצג נתונים היא על-ידי טבלה. שימוש בטבלה יעיל לייצוג שאלות מילוליות שיש בהן מספר רב של נתונים ,או לייצוג שאלות שמתוארת בהן התפתחות של תופעות (גיל ,רווח והפסד ,משחק בין שני שחקנים ,נסיעות .)... דוגמה: לשוש ולחנה אותו סכום כסף במטבעות של ,₪ 10של ₪ 5ושל שקל אחד. לשתיהן אותו מספר מטבעות של .₪ 10 לשוש 6מטבעות של שקל אחד ,ומספר המטבעות של ₪ 5שיש לה ,גדול פי 2ממספר המטבעות של ₪ 10שיש לה. לחנה מטבע אחד של שקל ,ומספר המטבעות של ₪ 5שיש לה ,גדול ב 3 -ממספר המטבעות של ₪ 10שיש לה. מהו סכום הכסף שיש לכל אחת? ממלאים בטבלה את מספר המטבעות מכל סוג. סוג המטבע מספר מטבעות מספר המטבעות של שוש מספר המטבעות של חנה ₪1 ₪5 ₪ 10 6 1 2·x x+3 x x ידוע שהסכומים שווים ,לכן משוואה מתאימה לנתונים היא .10 · x + 5 · 2 · x + 6 · 1 = 10 · x + 5 · (x + 3) + 1 · 1 זכרו! ערך xמטבעות של ₪ 10הוא . (10 · x) ₪ 10 · x .11משוואות ושאלות מילוליות 583 מגלים ולומדים משימות 58בארנק של אילן 13מטבעות ,קצתם מטבעות של שני שקלים ,וקצתם מטבעות של חצי שקל. בסך הכול יש לאילן סכום של 20שקל .כמה מטבעות מכל סוג יש לאילן? א קבעו מה ייצג נעלם :את מספר המטבעות של ₪ 2או את מספר המטבעות של חצי שקל. ב בנו טבלה לייצוג הנתונים. ג כתבו משוואה המתאימה לנתונים ,ופתרו אותה. 59נתונים שני מוטות מעץ .מוט אחד ארוך מהמוט האחר פי שניים .לאחר שנוסרו מכל מוט שישה סנטימטרים ,היה מוט א' ארוך ממוט ב' פי שלושה .מה היה אורך כל מוט לפני הניסור? 60אם מחסרים 6מפעמיים מספר ,מתקבלת תוצאה השווה לשלוש פעמים ההפרש בין אותו המספר ו .6 -מהו המספר? 61מהו הקשר בין שתי המשימות 59ו? 60 - 62שירה ומיכל שיחקו בגולות .מספר הגולות שהיו לשירה לפני המשחק ,היה גדול ב 1 -מפעמיים מספר הגולות שהיו למיכל .שירה הפסידה במשחק שתי גולות למיכל .לאחר ההפסד היה מספר הגולות של שירה קטן ב 1 -ממספר הגולות של מיכל. כמה גולות היו לכל אחת מהבנות לפני המשחק? 63מספר התלמידים שנרשמו לחוג צילום גדול ממספר התלמידים שנרשמו לחוג אמנות פי שלושה. שבעה תלמידים עברו מהחוג לצילום לחוג האמנות ,ואז התברר שבחוג צילום יש שישה עשר תלמידים יותר מאשר בחוג אמנות .כמה תלמידים היו בכל חוג בהתחלה? 64דניאל ושמשון משחקים בגרעיני משמשים (גוגואים). בהתחלת המשחק היו לדניאל 270גרעיני משמשים ,ולשמשון היו 200גרעיני משמשים. כאשר דניאל מפסיד ,הוא נותן 5גרעיני משמש לשמשון. כאשר שמשון מפסיד ,הוא נותן 8גרעיני משמש לדניאל. לאחר 20משחקים היה לשניהם אותו מספר גרעיני משמש .בכמה משחקים הפסיד דניאל? א הסבירו איך הטבלה שלפניכם מתארת את הנתונים. מספר הפסדים דניאל שמשון x 20 − x מספר גרעינים שקיבל )8 · (20 − x 5·x מספר גרעינים שנתן 5·x )8 · (20 − x מצב סופי )270 − 5 · x + 8 · (20 − x )200 + 5 · x − 8 · (20 − x ב כתבו משוואה מתאימה לשאלה ,ופתרו אותה. 584 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים ב .3.סיכום מגלים מגלים לפניכם שתי שאלות מילוליות. שאלה א' :סכום שלושה מספרים עוקבים גדול מהמספר האמצעי ב .20 -מהם המספרים? שאלה ב' :לרוחמה ₪ 10בקופת החיסכון .היא מוסיפה בכל שבוע ₪ 10לקופה שלה. לאורית ₪ 28בקופת החיסכון .היא מוסיפה בכל שבוע ₪ 4לקופה שלה. בעוד כמה ָשבועות יהיה לרוחמה ולאורית אותו סכום כסף בקופות שלהן? מהו סכום זה? א לכל שאלה בחרו מה ייצג הנעלם. ב האם אתם חושבים על ייצוג אפשרי של השאלות? אם כן ,מהו הייצוג? ג מהו השלב הראשון לפתרון כל שאלה? (בחירת מספר סביר ובדיקה? סרטוט מייצג? ניתוח? טבלה? כתיבת משוואה?) ד לכל שאלה כתבו משוואה מתאימה ,ופתרו אותה. לומדים כדי לפתור שאלות מילוליות עובדים בדרך כלל בשלבים. 1 2 3 4 5 6 קוראים את השאלה. מנתחים את הנתונים ואת הקשרים :מסכמים אילו נתונים ידועים ,אילו נתונים אינם ידועים ,ואילו נתונים מבוקשים ,וכן מהם הקשרים בין הנתונים הידועים והלא-ידועים( .אפשר לצייר סכמה). מסמנים באות את אחד הנתונים הלא-ידועים .האות היא הנעלם במשוואה. כותבים משוואה המתאימה לנתונים .מייצגים אותה כמות על-ידי שני ביטויים שונים. לשם כך אפשר להשתמש בשיטת ניסוי וטעייה או בייצוג. פותרים את המשוואה ,וכותבים את התשובה. הפתרון במשוואה ,ובודקים אם הפתרון הגיוני בתנאי ְ בודקים את התשובה בעזרת הצבת השאלה. דוגמה: רוכב אופניים רכב בין שתי ערים הלוך וחזור. בדרך הלוך הוא רכב במהירות של 40קמ"ש ,ובדרך חזור הוא רכב במהירות של 30קמ"ש. בסך הכול הוא רכב 7שעות .מהו המרחק בין שתי הערים? ניתוח הנתונים והקשרים: ● ●נתונים ידועים :המהירויות. ● ●נתונים לא-ידועים :המרחק בין שתי הערים ,זמן הרכיבה בכל כיוון. ● ●נתונים מבוקשים :המרחק בין שתי הערים. ● ●הקשר :הדרך הלוך שווה לדרך חזור. .11משוואות ושאלות מילוליות 585 מגלים ולומדים זכרו! בחירת הנעלם: דרך = זמן · מהירות אם קובעים שהדרך בין הערים היא קוראים :מהירות כפול זמן שווה לדרך. דוגמאות: מבוטא כמנה. ָ הנעלם ,הזמן אם קובעים שהזמן הוא הנעלם, הדרך מבוטאת כמכפלה. השימוש במכפלה נוח יותר מהשימוש במנה,לכן נוח יותר לקבוע שהנעלם ייצג את זמן הרכיבה באחד משני הכיוונים. ● ●אם המהירות היא 5ק"מ בשעה ,במשך 3שעות עוברים דרך של 15ק"מ(3 ∙ 5) . ● ●אם עוברים 42ק"מ ב 2 -שעות, המהירות היא 21ק"מ בשעה(42 : 2) . ● ●אם עוברים 15ק"מ במהירות של 60קמ"ש, הזמן הוא 0.25שעות (רבע שעה). ייצוג בטבלה: זמן (שעות) הלוך חזור x 7−x מהירות (קמ"ש) 40 30 דרך (ק"מ) 40 · x )30 · (7 − x כתיבת משוואה המתאימה לקשר :המשוואה המתאימה היא ).40 · x = 30 · (7 − x פתירת המשוואה: 40 · x = 210 − 30 · x 40 · x + 30 · x = 210 − 30 · x + 30 · x 70 · x = 210 70 · x : 70 = 210 : 70 x=3 תשובה: הזמן בדרך הלוך הוא 3שעות ,ולכן המרחק בין שתי הערים הוא 120קילומטר ,כי .40 ∙ 3 = 120 בדיקה: הזמן בדרך חזור הוא 4שעות ) ,(7 – 3 = 4המרחק בין שתי הערים הוא 120קילומטר, כי .30 ∙ 4 = 120 משימות 65אורך מלבן גדול מרוחבו פי שניים .אם המשתנה xמייצג את רוחב המלבן ,מהו הביטוי המייצג את היקף המלבן? קל א 3 · x ב 3 + x ג x + 2 ד 6 · x 66היקף מלבן הוא 40מטר .אם המשתנה yמייצג את אורך המלבן ,מהו הביטוי המייצג את רוחבו? 2·y ד 40 − 2 · y ____ 4 0 − ג 2 ב 2 0 − y א 20 · y 67מידות מלבן הן מספרים שלמים .רוחב המלבן קטן מאורכו ב 8 -ס"מ .היקף המלבן הוא 56ס"מ. מה הן מידות המלבן? קל 586 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים קל 68יוסי מבוגר מבנו אפרים פי ארבעה. אם המשתנה xמייצג את הגיל של אפרים ,מהו הביטוי המייצג את גילו של יוסי בעוד שבע שנים? א 7 · x ב 7 + x ד 7 · x + 4 ג 4 · x + 7 69סכום הכסף שיש לאבישג ,גדול מסכום הכסף שיש לחנה ,פי שלושה. אם לחנה יש Aשקלים ,ולאבישג יש Bשקלים ,אילו ביטויים נכונים? א A = 3 · B A ד – B = 3 ב B = 3 · A 1 __ A ה = 3 · B ג B – 3 · A = 0 ו B – A = 3 70מידות מלבן הן מספרים שלמים .רוחב המלבן הוא שליש מאורכו .היקף המלבן הוא 32ס"מ. מהן מידות המלבן? 71לפניכם משוואות 3 - 1ותיאורים מילוליים של משוואות א' -ג'. התאימו כל תיאור מילולי למשוואה שלו. 1פעמיים הסכום של מספר ו 3 -שווה להפרש שבין שלוש פעמים אותו המספר ו.5 - 2הסכום של פעמיים מספר ו 3 -שווה לשלוש פעמים ההפרש שבין אותו המספר ו.5 - 3הסכום של פעמיים מספר ו 3 -שווה להפרש שבין שלוש פעמים אותו המספר ו.5 - א 2 · x + 3 = 3 · x − 5 ב )2 · x + 3 = 3 · (x − 5 פתרו את שאלות 73 - 72לפי הדוגמה. דוגמה: ג 2 · (x + 3) = 3 · x − 5 זכרו! מספר דו-ספרתי שספרת היחידות שלו היא b וספרת העשרות שלו היא ,aיירשם כך.10 · a + b : ספרת העשרות של מספר דו-ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים. המספר גדול ב 27 -מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות .מהו המספר? הנעלם xמייצג את ספרת היחידות. לפי הנתון הראשון ספרת העשרות היא ,2 · xלכן ערך המספר מיוצג על-ידי הביטוי .10 · 2 · x + x המספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות הוא .10 · x + 2 · x 10 · 2 · x + x = 10 · x + 2 · x + 27 המשוואה המתאימה לנתון השני: פתירת המשוואה: | −12 · x 21 · x = 12 · x + 27 21 · x −12 · x = 12 · x + 27 − 12 · x |:9 9 · x = 27 x= 3 ספרת היחידות היא ,3לכן ספרת העשרות היא ,6והמספר הוא .63 63 − 36 = 27 בדיקה: .11משוואות ושאלות מילוליות 587 מגלים ולומדים 72ספרת העשרות של מספר דו-ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים. המספר גדול ב 9 -מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות. מהו המספר? 73ספרת העשרות של מספר דו-ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שניים. המספר גדול ב 18 -מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות. מהו המספר? 74במפעל לציוד משרדי מוצעים שני סוגים של מדפים :מדפים קטנים ומדפים גדולים. גובה של מדף גדול הוא שישה סנטימטרים. על השולחן של יפית שתי מערכות של מדפים .לשתי המערכות אותו גובה.מערכת אחת מורכבת משישה מדפים קטנים ,והמערכת השנייה מורכבת משני מדפים קטנים ומשני מדפים גדולים. הציגו את הנתונים בסרטוט .כתבו משוואה המתאימה לנתונים. מהו הגובה של כל מדף קטן? איך מצאתם את התשובה? פתרו את שאלות 77 - 75לפי הדוגמה. דוגמה: על השולחן מונחות סוכריות .ילדים רוצים לחלק ביניהם את הסוכריות שווה בשווה. אם כל אחד יקבל שש סוכריות ,ייוותרו חמש סוכריות .אם ירצו לתת לכל אחד שבע סוכריות ,יחסרו שמונֶ ה סוכריות .מהו מספר הילדים? נבחר את xכנעלם המייצג את מספר הילדים. אפשרות א' אפשרות ב' כל אחד לוקח 6סוכריות. כולם יחד לקחו 6 · xסוכריות. נותרו 5סוכריות. מספר הסוכריות לפי חלוקה זו הוא 6 · x + 5סוכריות. כל אחד לוקח 7סוכריות. כולם יחד לקחו 7 · xסוכריות. חסרות 8סוכריות. מספר הסוכריות לפי חלוקה זו הוא 7 · x – 8סוכריות. מספר הסוכריות שווה בשתי האפשרויות. 7·x–8= 6·x+5 7·x–6·x= 5+8 פותרים את המשוואה. x = 13 תשובה :מספר הילדים הוא .13 בדיקהַ :מציבים 13בכל אגף בנפרד ,ומחשבים. 6 · 13 + 5 = 78 + 5 = 83 7 · 13 − 8 = 91 − 8 = 83 75אם איילה תקנה שלושה עטים מאותו סוג ,ייוותרו לה עשרה שקלים .אם היא תרצה לקנות חמישה עטים מסוג זה ,יחסרו לה שני שקלים .מהו המחיר של כל עט? 588 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים 76אבישג הזמינה למסיבת יום ההולדת שלה חמש עשרה ילדות .היא הכינה לכל אחת בלונים .בסוף ִהגיעו 20ילדות ,וכל אחת קיבלה שלושה בלונים פחות ממה שתוכנן .כמה בלונים תוכננו לכל ילדה מלכתחילה? 77חברים אכלו יחד במסעדה .כאשר הגיע הזמן לשלם את החשבון ,הם חישבו שאם כל אחד ייתן ,₪ 20 יחסרו ;₪ 22.5ואם כל אחד ייתן ,₪ 25יהיו ₪ 7.5יותר מדי .כמה חברים אכלו יחד במסעדה? 78כתבו שאלה המתאימה למשוואה . 8 · x − 9 = 6 · x + 7 פתרו את שאלות 81 - 79לפי הדוגמה. דוגמה: מצאו שני מספרים שסכומם ,55כך ששלוש פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני. הנעלם xמייצג את המחובר הראשון .המחובר השני מיוצג על-ידי .55 − x שלוש פעמים המחובר הראשון הוא .3 · x פעמיים המחובר השני הוא ).2 · (55 − x המשוואה המתאימה היא ).3 · x = 2 · (55 − x פותרים את המשוואה. )3 · x = 2 · (55 – x |+2·x 3 · x = 110 – 2 · x 3 · x + 2 · x = 110 – 2 · x + 2 · x |:5 5 · x = 110 110 ___ 5 · x ____ 5 = 5 x = 22 המחובר הראשון הוא ,22והמחובר השני הוא .33 3 · 22 = 66 בדיקה2 · (55 – 22) = 2 · 33 = 66 : 79מצאו שני מספרים שסכומם ,70כך ששלוש פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני. 80מצאו שני מספרים שסכומם ,60כך שארבע פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני. 81מצאו שני מספרים שסכומם ,90כך שארבע פעמים המחובר הראשון יהיה שווה לפעמיים המחובר השני. 82בחווה יש תרנגולות וארנבות .בסך הכול יש 73ראשים ו 230 -רגליים. מהו מספר התרנגולות? מהו מספר הארנבות? .11משוואות ושאלות מילוליות 589 מגלים ולומדים 83במסעדה "בלי הפתעה" מחיר ארוחה הוא קבוע. ₪ 70 : שמונָ ה עשר חברי החוג אכלו ביחד במסעדה ,אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון ,ולכן יתר החברים שילמו בעבורם .כמה כסף הוסיף לתשלום כל אחד מהחברים האחרים? 84במסעדה "הכי טעים" מחיר הארוחה קבוע. שמונָ ה עשר חברי החוג אכלו ביחד במסעדה ,אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון ,ולכן יתר החברים שילמו בעבורם .כל אחד מהחברים האחרים הוסיף לתשלום המקורי .₪ 30מהו מחיר הארוחה? 85במסעדה "רק אוכל" מחיר ארוחה הוא קבוע. ₪ 60 : חברי החוג אכלו ביחד במסעדה ,אך ארבעה אנשים שכחו את התיק במועדון. כל אחד מהחברים האחרים הוסיף לתשלום .₪ 20מהו מספר חברי החוג? 86שמחה קיבלה כסף מסבתה כדי לקנות מספר צמידים שלכולם אותו מחיר. אם היא תקנה חבילה של שלושה צמידים ,ייוותרו לה ;₪ 25ואם היא תרצה לקנות חמישה צמידים, יחסרו לה .₪ 19 המשתנה xמייצג את המחיר של צמיד אחד. א מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 3 · x − 25 = 5 · x + 19 1 3 · x + 25 = 5 · x − 19 2 3 · x − 5 · x = 25 − 19 3 3 · x + 25 = 5 · x + 19 4 ב מהו המחיר של צמיד אחד? ג איזה סכום קיבלה שמחה מסבתה? 87במשולש שונה-צלעות אורך הצלע הבינונית גדול מאורך הצלע הקטנה ב 1.5 -ס"מ. ההפרש בין אורך הצלע הגדולה לאורך הצלע הקטנה הוא 3.5ס"מ. היקף המשולש שווה להיקף ריבוע שצלעו קטנה מצלעו הקטנה של המשולש ב 2 -ס"מ. מהם אורכי הצלעות של המשולש? מהו אורך הצלע של הריבוע? 88כתבו שאלה המתאימה למשוואה .6 · x − 2 = 5 · x + 3 89זווית הצמודה לזווית אחרת גדולה ממנה פי שלושה. א מה מידתה של כל אחת מהזוויות הצמודות? ב אם נחסר מהזווית הקטנה ,15°פי כמה תהיה גדולה הזווית הצמודה לה? 90בסרטוט שלפניכם הישרים aו b -מקבילים, ונתונים ביטויים לזוג זוויות מתחלפות. א חשבו את הערך של . x 2 · x + 60 a b x + 100 ב מה המידה של כל אחת מהזוויות המסומנות? תרגילים נוספים בעמודים .598 - 597 590 .11משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים ג .פתרון גרפי של משוואות מגלים מגלים א פתרו את המשוואה .-x + 6 = x – 4 ב הציבו את הפתרון בכל אחד משני האגפים .מהו הערך של כל אגף? ג סרטטו את הגרפים של הפונקציות f(x) = x – 4ו g(x) = -x + 6 -באותה מערכת צירים ,ומצאו את שיעורי נקודת החיתוך שלהם .מה צורת הגרפים של הפונקציות fו? g - ד האם יש קשר בין הסרטוט לבין פתרון המשוואה ? -x + 6 = x – 4מהו הקשר? לומדים למדנו כי משוואה היא שוויון המורכב משני אגפים הקשורים ביניהם בסימן =. במשוואות מהסוג a · x + b = c · x + dאפשר להתייחס לכל אגף כביטוי אלגברי המתאר פונקציה .לשתי הפונקציות אותו משתנה חופשי. דוגמה: נתונה המשוואה .6 – x = x – 4 שתי הפונקציות הן f(x) = x – 4ו.g(x) = 6 – x - כפי שלמדנו בפרק ( 10עמוד ,)538הייצוג הגרפי של הפונקציות fו g -הוא קו ישר. סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות וסימון שיעורי נקודת החיתוך ביניהם מייצגים בצורה חזותית את פתרון המשוואה. ערך ה x-של נקודת החיתוך הוא פתרון המשוואה. ערך ה y-של נקודת החיתוך הוא הערך של כל אחד מאגפי המשוואה בהצבת ערך של המשתנה החופשי. בדיקה: ערך הביטוי x – 4בהצבת x = 5הוא ,1 וגם ערך הביטוי 6 – xבהצבת x = 5הוא .1 x x – 6 = 4 )x – (g x y =) f(x משימות 91א פתרו את המשוואה .4 – x = x – 2 ב סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות f(x) = x – 2ו g(x) = 4 – x -באותה מערכת צירים. ג מצאו את שיעור ה x -של נקודת החיתוך של הגרפים. ד מצאו את הקשר בין התשובות לסעיפים א' ו -ג'. ה מהו שיעור ה y -של נקודת החיתוך? מהו ערך כל אגף לאחר הצבת שיעור ה x -של נקודת החיתוך? .11משוואות ושאלות מילוליות 591 מגלים ולומדים 92א סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות f(x) = 2 · x + 3ו g(x) = x – 1 -באותה מערכת צירים. ב מצאו את שיעור ה x -של נקודת החיתוך של הגרפים. ג פתרו את המשוואה.x – 1 = 2 · x + 3 : ד מצאו את הקשר בין התשובות של סעיפים ב' ו -ג'. 93א פתרו את המשוואה.5 – 3 · x = 2 : ב סרטטו במחברת את הגרפים של הפונקציות f(x) = 2ו g(x) = 5 – 3 · x -באותה מערכת צירים. ג מצאו את שיעור ה x -של נקודת החיתוך של הגרפים. ד מצאו את הקשר בין התשובות של סעיפים א' ו -ג'. 94לפניכם טבלת ערכים של הפונקציות f(x) = 3 · x – 5ו.g(x) = 7 – 3 · x - 2 1 0 -1 x )f(x )g(x א העתיקו את הטבלה למחברת ,והשלימו אותה בערכים. ב האם בטבלת הערכים מופיעים הפתרונות של המשוואה ?3 · x – 5 = 7 – 3 · x ג אם נצייר את הגרפים של שתי הפונקציות ,מה תהיה נקודת החיתוך שלהם? 95בטבלה שלפניכם משוואות של שתי פונקציות. 6 5 2 0 -1 x f(x) = 2 · x – 3 h(x) = x + 2 א העתיקו את הטבלה למחברת ,והשלימו אותה בערכים. ב באיזה ערך של xיתקיים )?f(x) = h(x ג פתרו את המשוואה .2 · x – 3 = x + 2 2 –5·x )x = )g(x x ב בנו משוואה שפתרונה הוא שיעור ה x -של נקודת החיתוך. – = א מהי נקודת החיתוך של הגרפים? (k 96לפניכם גרפים של הפונקציות g(x) = 5 · x – 2ו.k(x) = 4 – x - y 4 ד האם קיים קשר בין פתרון המשואה לבין הערך xשמתקיים בו )? f(x) = h(x x 592 .11משוואות ושאלות מילוליות מיומנויות איך "מתרגמים" מילים בשאלות מילוליות לביטויים מתמטיים? כסו את טור ב' בטבלה שלפניכם" ,תרגמו" את המילים שבטור א' לביטויים מתמטיים ,ובדקו את תשובותיכם. א .במילים הגיל של יעל היום הוא .y ב .באותיות ובמספרים y הגיל שלה בעוד שתים עשרה שנים y + 12 הגיל שלה לפני חמש שנים y−5 פעמיים הגיל שלה 2·y שלומי בן .12בעוד tשנים הוא יהיה בן... 12 + t שלומי בן .12לפני rשנים הוא היה בן... 12 − r ההפרש בין הגיל של אמי לבין הגיל של יעל הוא 25שנה .אמי בת... y + 25 פעמיים הגיל של יעל לפני שבע שנים )2 · (y −7 חצי מהגיל של יעל לפני שש שנים __ ) 12 · (y − 6 מספר גדול מ x -פי שניים 2·x מספר שהוא חצי מ x -או קטן פי שניים מx - x __ או 1 · x __ 2 2 סכום הכסף שיש לאחי, כאשר לי יש xשקלים ולאחי סכום הקטן משלי פי שניים x __ או 1 · x __ 2 2 הסכום של מספר ושל ,7 או מוסיפים 7למספר. x+7 מחסרים 7ממספר, או ההפרש בין מספר ל.7 - x−7 מחסרים מספר מ,7 - או ההפרש בין 7לבין מספר. 7−x מחסרים 20מפעמיים מספר. 2 · x − 20 הסכום של פעמיים מספר ושלוש פעמים אותו המספר הסכום של מספר וחצי ממנּו .11משוואות ושאלות מילוליות 2·x+3·x x + __ 12 · x 593 מיומנויות איך "מתרגמים" שאלה של "נתינה וקבלה"? כמות הבולים של יוסי גדולה מכמות הבולים של מיכאל פי שניים .יוסי נתן למיכאל שנים עשר בולים ,לפיכך כעת יש להם אותו מספר בולים. כמה בולים היו בהתחלה לכל אחד? מנתחים את הנתונים :למיכאל מספר בולים קטן יותר. יוסי נתן בולים למיכאל ,לכן מספר הבולים של יוסי פחת ,ומספר הבולים של מיכאל גדל. בחירת הנעלם: בדרך כלל בוחרים את המספר הקטן יותר .המשתנה xהוא מספר הבולים שהיו למיכאל. "תרגום" הנתונים: כמות הבולים של יוסי הייתה גדולה מכמות הבולים של מיכאל פי שניים: ליוסי היו 2 · xבולים. יוסי נתן שנים עשר בולים למיכאל :עכשיו יש ליוסי 2 · x − 12בולים, ולמיכאל יש x + 12בולים. כותבים את המשוואה המתאימה :כעת יש להם אותו מספר בולים |−x פותרים את המשוואה: | + 12 1.20 בדיקה 48 − 12 = 36 :ו.24 + 12 = 36 - תשובה :למיכאל היו 24בולים ,וליוסי 48בולים. x + 12 = 2 · x − 12 x + 12 = 2 · x − 12 x + 12 − x = 2 · x − 12 − x 12 = x − 12 12 +12 = x − 12 + 12 24 = x 2.30 פיצוחים כמות התפוחים בארגז גדול גדולה מכמות התפוחים בארגז קטן פי שניים .מכל ארגז הוציאו שישה תפוחים .לאחר הוצאת התפוחים הייתה כמות התפוחים בארגז הקטן שווה לשליש מכמות התפוחים בארגז הגדול .כמה תפוחים היו בכל ארגז בהתחלה? 594 .11משוואות ושאלות מילוליות מוכנים להמשיך? א ב ג -2 · x + 8 = 2 -2 · x = -6 x=3 8=2−6·x 4 = -6 · x x = -4 6·x+8=2 6 · x = -6 x = -1 .2מהו פתרון המשוואה ? x − 2 = 10 − 3 · x x=2 x=3 x=5 .3מהו פתרון המשוואה )? 5 · x − 3 = 3 · (x − 5 x=6 x = -6 x=9 ציינו מהן התשובות הנכונות. .1מהי הדרך לפתרון של המשוואה ?2·x+8=2−4·x .4לפניכם סכמה. x 5 2 x x x x 2·x+5=3·x+2 3·x+5=2·x+2 2·x+5=4·x איזו משוואה היא מייצגת? .5חיסרו 26מחמש פעמים מספר, ונותרו 3פעמים המספר .מהו המספר? 36 -13 13 .6סכום של שלושה מספרים עוקבים הוא .72 מהו המספר הגדול? 25 24 26 .7מלכה בת ,30וסיגל בת .10 בעוד כמה שנים יהיה גילה של מלכה גדול מגילה של סיגל פי שניים? המשוואה המתאימה לשאלה היא... .8לאחי xשקלים .לי יש מחצית ממה שיש לאחי .כמה שקלים יש לי? 30 + x = 2 · (x +10) 30 + x = 2 · x + 10 30 + x = 20 + x 2 · xשקלים x : 2שקלים x − 2שקלים .9מה משקל קובייה על-פי הסכמה שכאן? 20 גרם x xx x xx x xx .11משוואות ושאלות מילוליות 300 גרם x x 10גרם 30גרם 40גרם 595 תרגילים נוספים משוואות a · x + b = c · x + d 97לפניכם זוגות של משוואות שקולות .בכל סעיף הסבירו איך נתקבלה המשוואה השקולה. א 3 · x + 2 = 8 · x – 2 ב 9 · x – 5 = x + 11 2 = 5 · x – 2 ג y + 20 = 10 · y + 2 8 · x – 5 = 11 20 = 9 · y + 2 98תארו את המשוואה 4 · x + 6 = 5 · x − 3במילים. 99פתרו את המשוואות. א 7 · x = 10 + 2 · x ב 8 · t = 84 − 6 · t ג 5 · c = 6 − c ד 5 · b − 40 = b ה 4 − 2 · m = 6 · m ו 66 − 2 · y = 9 · y ח 7 · x + 36 = 11 · x ט 4 · z − 81 = 5 · z ז 2 · x − 36 = 5 · x 100פתרו את המשוואות. א 3 · x + 8 = -3 · x + 2 ב -3 · x − 3 = x + 5 ג 2 · x + 2 = 3 · x + 2 ד -5 · x + 6 = -x + 42 ה 5 · x + 7 = x + 27 ו 2 · x + 4 = -x + 4 ז - 2 · x − 4 = 3 · x + 16 ח 7 · x + 3 = -3 · x − 25 ט x − 1 = 2 · x − 9 101בכל מאזניים מצאו את המשקל של הנעלם שיאזן את המאזניים. x 82 144 x x x 50 30 y 70 100 איור ב' איור א' 102פתרו את המשוואות. א 5 · x − 4 = 6 + 4 · x ב 3 · t − 7 = -2 · t ג 4 · u + 2 = u + 11 ד 14 − 5 · z = 9 · z 103פתרו את המשוואות. א 7 · x – x + 5 = 3 · x – 9 + x ג )5 · x – 2 + 3 · x = 2 · (x – 4 596 ב )2 · x – (8 + x) = 3 – (6 – 2 · x ד 4 · x – 3 – (4 + 2 · x) = x – 7 – 2 · x .11משוואות ושאלות מילוליות תרגילים נוספים שאלות מילוליות 4 104לשתי הצורות שלפניכם אותו היקף. 5 מהו הערך של ? x 5 x x x x מבתה שרית ב 22 -שנה .בעוד שמונֶ ה שנים תהיה רחל מבוגרת משרית פי שניים. 105רחל מבוגרת ִ א שערו ובדקו אם שרית בת 12היום .כתבו את שלבי הבדיקה. ב האם שרית בת 14היום? איך בדקתם? פתרו את שאלות 111 - 106לפי הדוגמה. דוגמה: שלומי בן ,35ובנו קובי בן .11לפני כמה שנים היה שלומי מבוגר מבנו פי ארבעה? הנעלם xמייצג את מספר השנים המבוקש. לפני xשנים היה קובי בן ;11 − xלפני xשנים היה שלומי בן .35 − x המשוואה המתאימה לנתון "שלומי היה מבוגר מבנו פי ארבעה" היא ).35 − x = 4 · (11 − x )35 − x = 4 · (11 − x פתיחת סוגריים: 35 − x = 44 – 4 · x |+4·x 35 − x + 4 · x = 44 – 4 · x + 4 · x כינוס איברים דומים: 35 + 3 · x = 44 | – 35 35 + 3 · x – 35 = 44 – 35 3·x= 9 |:3 x= 3 בדיקה :קובי 11 – 3 = 8 שלומי 35 – 3 = 32 32 = 4 · 8 תשובה :שלומי היה מבוגר מבנו פי ארבעה לפני שלוש שנים. 106דוד בן ,32בנו יששכר בן ,6ובנו נדב בן .9 בעוד כמה שנים יהיה הגיל של דוד שווה לסכום הגילים של ילדיו? 107אבא בן ,44ובנו בן .14לפני כמה שנים היה האב מבוגר מבנו פי ארבעה? 108ההפרש בין הגיל של מרים לבין גיל ִבתה שירה הוא 32שנים. בעוד שש שנים תהיה מרים מבוגרת משירה פי שניים .מהו הגיל של שירה היום? .11משוואות ושאלות מילוליות 597 תרגילים נוספים 109לאוהד שלושה שקלים יותר מאשר לארז .אם לארז יש Cשקלים ,ולאוהד יש Dשקלים, אילו ביטויים נכונים? א D = C + 3 ב C = D + 3 ג C – D = 3 ד C = D – 3 ה D – C = 3 110ספרת העשרות של מספר דו-ספרתי גדולה מספרת היחידות פי שלושה .המספר גדול ב54 - מהמספר שמתקבל כאשר הופכים את סדר הספרות .מהו המספר? 111לפניכם משוואות א -ה ותיאורים מילוליים של משוואות . 5 - 1 התאימו לכל תיאור מילולי את המשוואה שלו. 1 2 3 4 5 דוד בנה מגדל מקוביות זהות. הוא בנה מגדל של 3קוביות ועליו מגדל של 4קוביות. גובה המגדל הסופי הוא 7ס"מ .מה גובהה של כל קובייה? מהו המשקל של כדור עץ ,אם משקלם של 3כדורי עץ זהה למשקל של מוט שמשקלו 4ק"ג ועליו כדור עץ אחד ,ולכל הכדורים יש אותו משקל? אורך הצלע של משולש שווה-צלעות שווה לאורך הצלע של ריבוע. היקף הריבוע גדול מהיקף המשולש בשבעה מטרים .מהו אורך הצלע של המשולש? מהו היקף הריבוע? אם מוסיפים 7לשלוש פעמים מספר ,התוצאה זהה לחיסור 3מארבע פעמים אותו המספר. מהו המספר? ביום גשום החילזון מטפס ארבעה מטרים מהבור ,וביום בלי גשם הוא יורד שלושה מטרים. במשך שבעה ימים עלה החילזון שבעה מטרים .כמה ימי גשם היו בשבעת הימים? א 3 · x + 7 = 4 · x − 3 ב 4 · x − 3 · (7 − x) = 7 ד 3 · x + 4 · x = 7 ה 3 · x + 7 = 4 · x ג 3 · x = 4 + x 112חצי מהתלמידים המשתתפים בחידון התנ"ך הבית ספרי נולדו בשנת ,2000רבע נולדו בשנת ,2001 ויתר המשתתפים 13 ,תלמידים ,נולדו בשנת .1999האות xמייצגת את מספר הילדים המשתתפים בחידון .כתבו משוואה המתאימה לנתונים. כמה תלמידים השתתפו בחידון? כמה משתתפים נולדו כל שנה? (אפשר לסרטט סכמה). 598 .11משוואות ושאלות מילוליות ממשיכים בתרגול y 113ידוע שהיקף מלבן Aקטן מהיקף מלבן Bפי שלושה. 4ס"מ א מהן המידות של מלבן ?A ב מהן המידות של מלבן ?B A B 12ס"מ 114מה צריך להיות בכל איור הערך של הנעלם ,לפי הנתונים ,כדי שהיקף המשולש שווה-הצלעות יהיה שווה להיקף הריבוע? (הערה :האיורים אינם בקנה-מידה). ב א y x 21מ' 28מ' 115שני רוכבי אופניים יצאו לדרך באותה שעה מעיר א' לעיר ב'. מהירותו של אחד הרוכבים הייתה 60קמ"ש ,ומהירות השני 40קמ"ש. הרוכב המהיר ִהגיע לעיר ב' שעה לפני הרוכב האטי. א קבעו מה ייצג הנעלם. ב כתבו את הנתונים בטבלה. ג כמה זמן רכב כל אחד מהם? ד מה המרחק בין הערים? 116אריאל קיבל כסף ליום הולדתו .בחצי מהסכום הוא קנה ספרים .לאחר ששילם ₪ 35תמורת משחק למחשב ,נותר לו שליש מהסכום שקיבל .כמה כסף קיבל אריאל ליום הולדתו? חקירה 117סכום של שלושה מספרים טבעיים שונים הוא .30 מהם ההיגדים הנכונים? א לפחות אחד מהמספרים גדול מ.10 - ב כל המספרים זוגיים. ג לפחות מספר אחד הוא זוגי. ד אחד מהמספרים הוא כפולה של .3 ה ההפרש בין המספר הגדול לבין המספר הקטן חייב להיות כפולה של .3 .11משוואות ושאלות מילוליות 599 ממשיכים בתרגול 118סדרו את המספרים 19 - 1בתרשים 18 ,מספרים על המעגל ,ומספר אחד במרכז ,כך שסכום שלושה מספרים המחוברים על-ידי קטע העובר דרך המרכז (שני מספרים שעל המעגל והמספר האמצעי) יהיה .30 דוגמה :סכום שלושת המספרים במלבנים שהקטע האדום עובר דרכם יהיה .30 119לפניכם מידות של שני מלבנים Aו .B -לשני המלבנים צלע באותו אורך( .הסרטוטים מוקטנים). את אחת מצלעות המלבן Aמאריכים בארבעה סנטימטרים, ומתקבל מלבן חדש .C כעת למלבנים Bו C -אותו שטח .מהו האורך של ? x x x 4 5 3 C B x 3 A 120אורך המלבן ABCDהוא 3ס"מ. אם מקטינים את האורך ב 2 -ס"מ ומוסיפים 5ס"מ לרוחבו ,מתקבל מלבן חדש בעל אותו שטח. מה הן מידות המלבן ?ABCD מה הן המידות של המלבן החדש? 600 .11משוואות ושאלות מילוליות מה למדנו? כדי לפתור משוואה שהנעלם בה מופיע בשני האגפים ,משתמשים בתכונות השוויון. מכנְ ִסים (מרכזים) באגף אחד את האיברים שהנעלם מופיע בהם ,ואת האיברים החופשיים באגף ַ האחר. מכנסים את האיברים הדומים .כך מגיעים למשוואה שקולה שהנעלם בה מופיע רק באגף אחד. פותרים משוואה זו על-ידי תכונות השוויון או על-ידי שימוש בפעולה הפוכה. פתירת משוואות היא כלי למציאת פתרון של שאלות מילוליות. שאלה מילולית היא טקסט שמופיעים בו נתונים וקשרים בין הנתונים. חלק מהנתונים ומהקשרים ידועים ,וחלקם אינם ידועים. המטרה היא למצוא את הנתונים המבוקשים. השלב הראשון ההכרחי כדי לפתור שאלה מילולית הוא להבין את הטקסט. אחת השיטות להבין את הטקסט היא להניח שאנו יודעים את הפתרון ,לבחור פתרון אפשרי ולבדוק אם הבחירה היא התשובה .שיטה זו נקראת ניסוי וטעייה. בדרך כלל כדי לפתור שאלות מילוליות עובדים לפי שלבים. 1קוראים את השאלה. 2מנתחים את הנתונים ואת הקשרים :מסכמים אילו נתונים ידועים ,אילו נתונים אינם ידועים ,ואילו נתונים מבוקשים ,וכן מהם הקשרים בין הנתונים הידועים והלא-ידועים( .אפשר לצייר סכמה או טבלה). 3מסמנים באות את אחד הנתונים הלא-ידועים .האות היא הנעלם במשוואה. 4כותבים משוואה המתאימה לנתונים .מבטאים אותה כמות בעזרת שני ביטויים שונים. 5פותרים את המשוואה ,וכותבים את התשובה. 6בודקים בעזרת הצבת הפתרון במשוואה ,אם הפתרון הגיוני בתנאי השאלה. אפשר לייצג פתרון של משוואה על-ידי הגרפים של שתי פונקציות. כאשר הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה אחת ,יש למשוואה פתרון יחיד. ערך ה x -של נקודת החיתוך הוא פתרון המשוואה. ערך ה y -של נקודת החיתוך הוא הערך של כל אחד מאגפי המשוואה בהצבת פתרון המשוואה. .11משוואות ושאלות מילוליות 601 העמקה 1באולם "דקל" ובאולם "תמר" הקרינו סרטים .מספר המושבים באולם "דקל" גדול ממספר המושבים התמלא ,התברר שעשרה כיסאות שבורים ,ולכן ֵ באולם "תמר" פי שלושה .לאחר שאולם "דקל" עשרה צופים עברו לאולם "תמר" ,שהיה מלא רק בחציו .לאחר שהצופים עברו ,היה מספר הצופים באולם "דקל" גדול ממספר הצופים באולם "תמר" פי חמישה .כמה כיסאות יש בכל אולם? 2בתחילת ההפסקה היו במגרש הכדורגל פי שניים ילדים יותר מאשר במגרש הכדורסל .לאחר מכן ִהגיעו עוד שישה ילדים למגרש הכדורגל ועוד ארבעה ילדים למגרש הכדורסל .בסוף ההפסקה עברו עשרה ילדים ממגרש הכדורגל למגרש הכדורסל .מספר הילדים במגרש הכדורסל בסוף ההפסקה היה גדול ממספר הילדים במגרש הכדורגל פי אחד וחצי. כמה ילדים היו בכל מגרש בתחילת ההפסקה? C 3נתון ,AC = 12, AB = 6 :הנקודה " Mזזה" על .CB בונים את המלבן ,APMOכאשר הקדקוד Pהוא על ABו O -על .AC קובעים ש x = AP -וש.2 · (6 − x) = AO - M א בטאו את ההיקף של APMOבעזרת . x O ב עבור איזה ערך של המשתנה xיהיה APMOריבוע? )2 · (6 – x A x P B 4בפפירוס של רינד (הפפירוס של אחמס) מראים פתרון של בעיות מילוליות בשיטת "ההצבה השקרית" .מנחשים פתרון ,מציבים אותו ,ועל-ידי תוצאת ההצבה לומדים כיצד לתקן את הניחוש. דוגמה :מהו המספר ,שאם נוסיף לו תשיעית ממנו ,נקבל ?10 x __ באלגברה נכתוב את המשוואה . x + 9 = 10 40 __ 4 __ ננסה את הפתרון . x = 4נציב את הניחוש הזה.4 + 9 = 9 : 4 __ 4 __ לא קיבלנו ,10אלא מספר גדול מ 10 -פי . 9ובכן ,נחלק את המספר שניחשנו ב, 9 - 4 __ ,4 : 9 = 9ונקבל את הפתרון הנכון .כמובן ,שיטה זו עובדת רק בסוג מסוים של משוואות. א פתרו את המשוואה הנתונה בדרך אלגברית. ב אחמס לא הכיר אלגברה .נסו שיטה משלכם לפתרון השאלה בלי אלגברה. 602 .11משוואות ושאלות מילוליות העמקה משוואות מיוחדות מגלים מגלים 1א בחרו מספר .הציבו את ערכו במשוואה .15 · x + 9 = 3 · (4 · x + 3) + 3 · xהאם השוויון מתקיים? ב בחרו מספר אחר .הציבו את ערכו באותה משוואה .האם השוויון מתקיים? ג האם הביטוי 15 · x + 9שקול לביטוי ? 3 · (4 · x + 3) + 3 · x ד האם השוויון 15 · x + 9 = 3 · (4 · x + 3) + 3 · xמתקיים תמיד? 2הסבירו מדוע למשוואה 18 · x − 10 = 6 · (3 · x − 2) + 5אין פתרון. לומדים ראינו שבדרך כלל במשוואות ממעלה ראשונה שצורתן ,a · x + b = c · x + dיש פתרון אחד בלבד. עם זאת קיימות משוואות מיוחדות. בפרק ( 5עמוד )234ראינו ש"כל מספר" הוא פתרון של זהות .לזהות יש אין-סוף פתרונות. קיימות משוואות אחרות שאין להן פתרון. דוגמאות: משוואות המבטאות חוקים ,הן זהויות. ● ●המשוואה 3 · (x + 5) = 3 · x + 15מבטאת את חוק הפילוג. לכן זו זהות ,ויש למשוואה אין-סוף פתרונות. ● ●כשפותרים את המשוואה ) 4 · x – 3 = 5 · x – (x + 3מקבלים 4·x–3=5·x–x–3 4·x–3=4·x–3 0·x=0 המכפלה של כל מספר ב 0 -היא ,0לכן למשוואה יש אין-סוף פתרונות. ● ●כשפותרים את המשוואה ,6 ·( x + 2) = 6 · x + 14מקבלים 6 · x + 12 = 6 · x + 14 6·x–6·x=2 0למשוואה אין פתרונות. =2 משימות 5פתרו את המשוואות או הראו שאין פתרון. א 0 · x = 1 ב 3 · y − 3 · y = 0 ה 1 · x = 0 ו 3 · y + 3 · y = 0 .11משוואות ושאלות מילוליות x __ ג 4 = 0 ז 4 · x = 0 x __ ד 10 = 1 ח )2 · t = 15 − (3 · 5 603 העמקה 6לאילו משוואות יש פתרון אחד? לאילו משוואות יש אין-סוף פתרונות? לאילו משוואות אין פתרון? x ___ ב 5 · y = 2 · y + 3 · y א 2 · x + 5 = 5 + 2 · x ג 0.1 = 0 x __ ה x − 1 = 0 ד 10 = 12 · 0 · 9 ו 0 · y + 3 = 0 ז 0.4 · x − 0.4 = 0 ח 2t = 15 − 3 · 5 7הראו שלמשוואות שלפניכם אין פתרון. א 7 · x − 9 · x + 3 + 2 · x = 7 ב 3 · (x − 4) + 2 · (x + 10) − 5 · (x + 3) = 0 ג 5 · (2 · x + 1) − 7 · x + 2 − 3 · x = -3 8הראו שהמשוואות שלפניכם הן זהויות. א 3 · x − 6 + 2 · (x − 7) − 4 · (x − 3) − x = -8 ב 5 · (x + 2) − 5 · x − 4 = 6 9לאילו משוואות יש פתרון אחד? לאילו משוואות אין פתרון? לאילו משוואות יש אין-סוף פתרונות? א 7 · x – 1 = 4 · x + 2 + 3 · x ג )2 · x + 2 = 3 · x – (5 + x ה )6 · x + 2 = 7 · x – (x – 2 ב 8 · (y –1) + 5 = y – 3 + 7 · y ד __13 · x = 0 ו 5 · x = x 10בשני האגפים של משוואה יש ביטויים שווים .הסבירו מדוע למשוואה יש אין-סוף פתרונות .כתבו דוגמה. 11התאימו בין כל משוואה לבין התכונה שלה. א a · x + b = b + a · x 1למשוואה אין פתרון. ב ,a · x + b = a · x + cכאשר b ≠ c 2למשוואה יש אין-סוף פתרונות. 12כתבו שתי משוואות שיש להן אין-סוף פתרונות. 13כתבו שתי משוואות שאין להן פתרון. 604 .11משוואות ושאלות מילוליות היסטוריה יופ ְנטוס ( Diophantus −בערך 284 - 200לספירה) ִּד ַ "ממציא" הכתיבה הסמבולאית יופנְ טוס היה מתמטיקאי שחי באלכסנדריה במאה השלישית ִּד ַ יופנְ טוס הכניס את הכתיבה בסמלים לשימוש וכן עסק לספירהִּ .ד ַ בפתרון משוואות ממעלה שנייה ושלישית. במסורת מספרים את תולדות חייו בצורה של חידה אלגברית ,אשר במקורה נכתבה בחרוזים ,והיא נחרטה על מצבתו. יופנְ טוס ילד. _16מאורך חייו היה ִּד ַ 1 __ משנות חייו עברו עליו כנער. 12 _17נוספת מחייו עברה עליו כרווק לפני נישואיו. 300 200 100 0 -100 5שנים לאחר נישואיו נולד בנו ,אשר מת 4שנים לפני מות אביו ,בהגיעו רק למחצית גיל אביו במותו. יופ ְנטוס במותו? בן כמה היה ִּד ַ אם האות xמייצגת את הגיל של דיופנטוס במותו ,מתרגמים את הנתונים כך: x x x x __ . __6 + __ 12 + __ 7 + 5 + 2 + 4 = x וַדאו שדיופנטוס היה בן 84במותו. בפרקים שהגיעו לידינו מעבודתו של דיופנטוס ,מוצאים משפטים אלגבריים מעניינים .הנה אחד מהם: אם נתונים שני מספרים טבעיים ,שאפשר לתאר כל אחד מהם כסכום של שני ריבועים של מספרים שלמים, גם את המכפלה של שני המספרים האלה אפשר להציג כסכום ריבועים .מסובך? לפניכם שתי דוגמאות מספריות. 29 = 52 + 22 58 = 72 + 32 29 · 58 = 1,682 1,682 = 292 + 292 .11משוואות ושאלות מילוליות 5 = 22 + 12 13 = 32 + 22 13 · 5 = 65 65 = 82 + 12 605
© Copyright 2024