לים רעיונות שונים לפתירת אינטגר - Anat Etzion
חדו"א 1ת ) – (104012חורף תשס"ט רעיונות שונים לפתירת אינטגרלים אינטגרלים של פונקציות רציונאליות )P ( x דרך פעולה עיקרית: )Q ( x , אם deg P deg Qאז מחלקים Pב Q )חילוק פולינומים כאשר רושמים את המנה ללא מכנה ואת השארית עם המכנה(. מפרקים לסכום של שברים חלקיים: 1 A B C Dx E 2 2 2 2 ) ( x a )( x b) ( x cx d ) x a x b ( x b) ( x cx d חישוב הצורות השונות של השברים החלקיים: A ( x a ) j 1 A dx C ( x a) j j 1 )או A ln | x a | Cכאשר .( j 1 2x ( x 2 a 2 ) j 1 dx C (x2 a2 ) j j 1 1 dx a 2 j 1 cos 2 j 2 tdt 2 j ) a 2 (x )בעזרת ההצבה .( x a tan t לפעמים הפולינום במכנה לא מתפרק לגורמים )אין לו שורשים( אבל ניתן לרושמו בצורה של: 2 ( x d ) aוכך להגיע לאינטגרל של . arctan x dx dx 1 dx 1 3dt 1 x 1 2 arctan דוגמא C : 2 2 2 x 10 ( x 1) 9 9 x 1 9 t 1 3 3 1 3 x 1 = tלפני חישוב האינטגרל של arctan xכדי לא לשכוח את הערה :מומלץ להציב , dx 3dt 3 הנגזרת הפנימית שצריך לחלק בה )תתקבל אוטומאטית מהצבה במקום ה .( dx 2 x לפעמים אפשר לפרק את הפולינום במכנה גם ע"פ חוקי כפל מקוצר כך שהוא יתפרק לגומרים פשוטים יותר. 2 x2 2 x 2 2x2 2 x 2 2x2 2 x 2 dx dx x3 x ) x( x2 1 דוגמא x( x 1)( x 1) dx : כאשר מופיע באחד הגורמים במכנה פולינום ממעלה 2שהוא בריבוע בנוסף ,אז מופיע גורם ליניארי גם מעל המכנה ללא הריבוע וגם מעל המכנה עם הריבוע. Ax B Cx D E דוגמא: 2 x2 1 x 1 x 1 x 1 2 ) 1 ( x 1 2 x 1 ©ענת עציון חדו"א 1ת ) – (104012חורף תשס"ט מציאת שורשים במהירות , x 2 ax b -סכומם הוא aומכפלתם) b -רק בפולינום מתוקן ,ולחשב עם מינוס על כל שורש(. מונה כנגזרת המכנה ) f ( x דרך פעולה עיקריתdx ln | f ( x) | C : )f ( x לפעמים המונה מורכב משני איברים שאחד מהם ניתן לרשום ככפולה של המכנה ואז אחרי צמצום יש שני איברים שרק אחד מהם עם המכנה ,והוא יכול להיות מתאים לנגזרת. 2x 3 2( x 1) 1 1 dx 2 דוגמא 2 x ln | x 1| C : x 1 x 1 x 1 כאשר בודקים אם המונה הוא נגזרת המכנה ,יש לבצע צמצום אפשרי עד הסוף ,אחרת מתקבלות תוצאות שגויות. כאשר המונה והמכנה מאותה מעלה ,ניתן לפעמים להוסיף ולהחסיר מהמונה כדי לקבל משהו שיצטמצם עם המכנה ואז מה שנשאר יתאים לנגזרת. dx t t 11 1 t 1 2 x dt dt 1 דוגמאdt t ln | t 1| : dx t dt 1 t t 1 t 1 1 2x 1 כאשר יש e xבמכנה ,זוהי גם הנגזרת ולכן אם הוא לא קיים במונה ,לפעמים ניתן להכפילו במונה ובמכנה )הרחבת השבר( כך שזה יסתדר מבחינת הנגזרת. dx ex ex x dx דוגמא 1 e x e x (1 e x ) e x 1 dx ln(e 1) C : אינטגרציה בחלקים דרך פעולה עיקרית f ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)dx : ניתן להגיע לאינטגרל הזהה לאינטגרל שהתחלנו איתו ואז להעביר אותו אגף כדי להגיע לפיתרון. דוגמא: x x x x v e , ve v e , v e I ex sin xdx ex sin x ex cos xdx e x sin x u sin x, ucos x u cos x , u sin x 1 x e (sin x cos x) C 2 -ex cos x e x sin xdx I I כאשר יש ln x / e xאז בדרך כלל נגזור את ה lnונטגרל את ה . e x כאשר מופיעה פונקציה אחת בלבד שהנגזרת שלה ידועה ,אז ניתן לגזור אותה ולטגרל את .1 דוגמא: dx x arctan x ln(1 x 2 ) C 2x 2 1 v1, v x arctan xdx x arctan x 2 1 x 1 1 x 2 u arctan x , u 2 ©ענת עציון חדו"א 1ת ) – (104012חורף תשס"ט נוסחאות נסיגה )(n 1 cos sin n1 x n 2 sin xdx n n n sin xdx 1 n 1 sin x cos n 1 x cos n 2 xdx n n n cos xdx שימוש בנוסה זו פעם אחר פעם נותן לבסוף ,ע"פ הזוגיות של nתוצאה שבה יש לחשב את האינטגרל 1dx xאו את . cos xdx sin x 1 x 2k 1 2 Ik 2 2 k ) 2ka ( x a 2ka 2 1 x arctan a a I k 1 dx ( x a2 )k I1 2 In אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות דרך פעולה עיקרית sin x :בחזקה אי זוגיתt cos x - cos xבחזקה אי-זוגיתt sin x - סכום החזקות של sin xו cos xביחד הוא זוגי t tan x -או t cos x t2 1 dt 2 t tan x sin x , cos 2 x , dx 2 2 1 t 1 t 1 t 2 1 t2 2t x cos x sin x הצבה כללית שתמיד תעבוד t tan : 2 2 1 t 1 t 2 במונה יש sin x / cos xובמכנה יש את הפונקציה השנייה ,אז ניתן להציב tשווה לפונקציה במכנה כי זאת שבמונה תהיה הנגזרת הפנימית ולכן חלק מה . dt דוגמא: dt cos x t sin x dt cos xdx 10 sin x dx 10 t ln(10 sin x) C מכפלה של sin cosאז כדאי להשתמש בזהויות טריגונומטריות של המכפלה המתאימה כדי להגיע לסכום במקום המכפלה )ואז ניתן לטפל בכל מחובר לחוד(. דוגמא: 2dt dx 1 t2 1 1 1 1 1 sin 5 x cos xdx 2 (sin 6 x sin 4 x)dx 2 6 cos 6 x 2 4 cos 4 x C sin/ cosבמכנה בחזקה אי-זוגית ,אז ניתן להעלות את החזקה ע"י הכפלת מונה ומכנה .ואז במכנה 2 2 ישנה חזקה זוגית וניתן להשתמש בזהות sin x 1 cos x :ולהפך) .ואז ניתן להמשיך כפי שעשינו עבור פונקציות שונות במונה ובמכנה(. sin x sin x dt t cos x dx dx דוגמא: 4 2 2 dt sin xdx x sin x ) (1 cos x (1 t 2 ) 2 כאשר מופיע arcאז ניתן להציב xשווה לפונקציה ההפוכה שלו ) .( sin/ cos/ tan t t cos t 1 2 x 2 sin t , x sin t x arcsin x dx sin t דוגמאdt t cos tdt : cos tdt dx 2 2 sin t 2 sin t dx 3 sin 3 ©ענת עציון חדו"א 1ת ) – (104012חורף תשס"ט ביטויים עם שורשים דרך פעולה עיקרית :הצבות טריגונומטריות: x a sin t - a 2 x 2או x a cos t 1 x a tan t - a 2 x 2ולהשתמש בזהות: 2 cos t a a x או - x2 a2 cos t sin t הצבת אויילרdx : dx x2 b 1 tan 2 t x x2 b dt t t x2 b x - dx ישנן כמה אפשרויות להצבות עם שורשים ,לכל אחת מהן דוגמא: tשווה לכל מה שמתחת לשורש) :כאשר יש רק את השורש( 1 2 3 2 5 3 4 4 2 t (t 1)dt 2 (t t )dt (1 x ) (1 x ) 2 C 5 3 t 1 x dx 2( t 1) dt 1 x dx 2 tשווה לשורש כולו) :כאשר יש משהו נוסף בסכום עם השורש( dx t 1 t 1 1 t 1 2 x dt dt 1 ) dt 1 2 x ln(1 1 2 x dx t dt 1 t 1 t 1 t 1 2x כאשר יש כמה שורשים ממעלות שונות אז נציב xשווה ל tמחזקה מספיק גבוהה כך שכל השורשים 1 ייעלמו .דוגמא: x arctan 6 x 6 2 5 dx 6t dt 6t 1 t6 x 3 dt 6 1 dt 6 2 2 dx 6 t 5 dt 3 ) t (1 t 1 t 1 t2 x (1 x ניתן להשלים לריבוע את הביטוי שמתחת לשורש כדי להגיע לאחת ההצבות הידועות. t x 3 6 x x 2 dx 9 ( x 3)2 dx דוגמא 9 t 2 dt : dx dt אינטגרלים מיוחדים n n x n 1e xבמקרה כזה גוזרים את ה e xומתקנים את האינטגרל הקיים להיות הנגזרת שלו. 3 1 1 3 דוגמא3 x 2 e x e x C : 3 3 2 x3 x e 4 ©ענת עציון
© Copyright 2024