תורת הקבוצות — תרגיל בית 10
תורת הקבוצות — תרגיל בית 10
חיים שרגא רוזנר
כ"ח בסיון תשע"ד
תקציר
טופולוגיה קבוצתית של הישר הממשי.
1
טופולוגיה קבוצתית של הישר הממשי
הגדרה 1.1קטע פתוח ב־ Rהוא קבוצה } ,(a, b) := {x ∈ R: a < x < bעבור .a, b ∈ R
קבוצה פתוחה ב־ Rהיא איחוד של קבוצת קטעים פתוחים.
קבוצה סגורה ב־ Rהיא משלים של קבוצה פתוחה.
נקודה מבודדת xבקבוצת ממשיים Aהיא איבר x ∈ Aכך שקיימים a, b ∈ Rכך
ש־}.A ∩ (a, b) = {x
נקודת הצטברות או נקודת גבול של קבוצת ממשיים Aהיא נקודה x ∈ Rכך שקיימת
סדרה של איברים של } A \ {xהמתכנסת ל־.x
המושג סדרה מתכנסת מוגדר כמו בקורס חשבון אינפיניטסמלי 1 .ניתן לראות שכל קטע
פתוח הוא מעוצמת הרצף ,ולפיכך גם כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא מעוצמת הרצף.
תרגיל האם הקבוצה הריקה עומדת בהגדרה של קטע פתוח? של קבוצה פתוחה?
תרגיל xהיא נקודת גבול של x ⇐⇒ Xאינה מבודדת ב־}.X ∪ {x
תרגיל Xסגורה ⇒⇐ כל נקודות הגבול של Xשייכות אליה.
הגדרה 1.2קבוצה X ⊆ Rהיא פרפקטית אם היא לא ריקה ,סגורה ,וללא נקודות מבודדות.
בעזרת מושגים אלו אנו מגדירים את הנגזרת של קבוצה.
הגדרה 1.3תהי X ⊆ Rקבוצה .הנגזרת של Xהיא קבוצת נקודות הגבול של .Xסימון:
}X
is a limit point of
X 0 = {x ∈ R: x
שימו לב! אין הכרח שמתקיים .X 0 ⊆ X
1למי שבמקרה שכח ,ולא רוצה לחזור עכשיו לתחילת הסמסטר הראשון בתואר:
)∀ε ∈ R, ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n > N (|an − l| < ε
לחלופין ,זו הזדמנות לראות מחדש את כל הסימנים האלה ,ולהיווכח כי הם קוהרנטיים עם הגישה המוצגת בקורס
זה .אנו תמיד שמחים לגלות שתורת הקבוצות מגדירה את המתמטיקה המוכרת לנו ,ולא גורמת לנו להוכיח מחדש
את כל טענותינו בשלוש שנות תואר.
1
תרגיל תהי .X ⊆ Rאזי X 0סגורה.
מסקנה X 1.4סגורה ,א.ם.ם.X 0 ⊆ X .
הוכחה :לפי התרגיל הקודם ,אם Xסגורה אז היא מכילה את כל נקודות הגבול שלה.
תרגיל נניח כי Xסגורה .אזי קיימת X ⊆ Y ⊆ Rכך ש־.Y 0 = X
תרגיל X ⇐⇒ ∅ 6= X = X 0פרפקטית.
הוכחה .(⇐=) :לפי המסקנה X ,סגורה .נותר לבדוק אם יש לה נקודות מבודדות .אם יש
לה נקודות מבודדות ,אז הן אינן נקודות גבול ,ולכן אינן שייכות ל־ .X = X 0סתירה.
)⇒=( .ברור.
תרגיל עבור כל אחת מהקבוצות הבאות ,חשבו את כל הנגזרות שלהן הראשונה ,השנייה,
השלישית והרביעית שלהן.
1
1
)ז( ∗: n, m ∈ N
)ה( .Q
)א( ∅) .ג( ].[a, b
. n+m
1
1
1
1
∗
∗
)ב( ) .Rד( )) .(a, bו( ) . n : n ∈ Nח( . n + m + k : n, m, k ∈ N
הדרכה כאשר מגיעים לקבוצה המקיימת X 0 = Xאין צורך להמשיך ולחשב.
תרגיל הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות:
.1יהיו .X1 , . . . , Xk ⊆ Rהוכיחו כי
) (Xi0
n
[
!0
=
i=1
Xi
n
[
i=1
.2יהיו .X1 , . . . ⊆ Rהפריכו ,על ידי דוגמא נגדית את הטענה
!0
[
[
= Xi
) (Xi0
i∈N
i∈N
משפט 1.5אם Xפרפקטית ,אז עוצמת Xהיא .2ℵ0
הוכחה :בונים בתוך Xקבוצה איזומורפית לקבוצת קנטור .נבחר שתי נקודות ,x0 , x1 ∈ X
ונכסה אותן על ידי שני קטעים זרים .I0 , I1מכיוון שהנקודות הן נקודות גבול ,אז החיתוך
Ii ∩ Xאינסופי .נגדיר ברקורסיה ,לכל {ki : i < n} ∈ 2<ωקטעים ונקודות כדלהלן:
לכל ,nנניח כי כבר הוגדרו קטעים זרים Ik0 k1 ...kn−1לכל kiמאורך ,n − 1כך שלכל
קטע כזה ,חיתוכו עם Xאינסופי .אז נבחר בכל חיתוך כזה שתי נקודות xk0 k1 ...kn−1 0
ו־ ,xk0 k1 ...kn−1 1וניקח סביבן קטעים זרים Ik0 k1 ...kn−1 0ו־ ,Ik0 k1 ...kn−1 1הכל בתוך הקטע
.Ik0 k1 ...kn−1נבחר את הקטעים האלו להיות מאורך קטן מ־ .1/nחיתוכם של קטעים אלו
עם Xהוא אינסופי .אם כן ,ניתן להמשיך את הרקורסיה.
2
תהי סדרה מאורך .{ki : i ∈ ω} ∈ 2ω ,ωנביט בחיתוך
\
Ik0 k1 ...kn
n∈ω
חיתוך זה הוא חיתוך של שרשרת קטעים שקוטרם שואף לאפס ,ולכן קוטרו שווה אפס )הלמה
של קנטור( ,דהיינו בחיתוך זה יש נקודה אחת ויחידה .נקודה זו שייכת ל־ ,Xכי היא נקודת
גבול של הסדרה .xk0 k1 ...knבגלל שכל הקטעים זרים בזוגות ,ברור שהתאמה זו היא חח"ע.
אם כן
F : 2ω
→ X
\
= )} F ({ki
Ik0 k1 ...kn
n∈ω
היא התאמה חח"ע ,ומצאנו כי ,|X| = 2ℵ0כמבוקש.
הגדרה 1.6קבוצה היא דיסקרטית אם כל נקודותיה מבודדות .לשון אחר.X ∩ X 0 = ∅ :
קל לראות כי לכל X \ X 0 ,X ⊆ Rהיא דיסקרטית.
משפט 1.7כל קבוצת ממשיים דיסקרטית היא בת־מניה.
הוכחה :תהי Xקבוצה דיסקרטית .נראה התאמה בין Xלבין תת־קבוצה של הרציונליים.
יהי x ∈ Xנתון .לכן xמבודדת בקבוצה .X ∪ {x} = Xאם כן ,קיימים ax , bx ∈ R
כך שמתקיים }.(ax , bx ) ∩ X = {x
תרגיל הראו כי קיימים ) (ax , bxכך שהקטעים האלו יהיו זרים בזוגות.
מצאנו אם כן כי ניתן לכסות את Xעל ידי אוסף קטעים פתוחים זרים .בכל קטע שכזה
יש איבר רציונלי )כי הרציונליים צפופים בממשיים( .נבחר אחד כזה ,ונסמנו ) .qx ∈ (ax , bx
גם התאמה זו היא חח"ע ,כי הקטעים זרים.
בסך הכל מצאנו שניתן להתאים באופן חח"ע לכל x ∈ Xאיבר רציונלי ,qx ∈ Qולכן
יש לנו שיכון ,X ,→ Qולפיכך .|X| ≤ |Q| = ℵ0
דרך אחרת :במקום להסתבך עם זרות בזוגות ,נבחר לכל xאת הקטע ) (ax , bxשיקיים
את הגדרת נקודה מבודדת .לכל קטע כזה ,נבחר רציונלי .qx ∈ (x, bx ) ∩ Qקבוצה זו איננה
ריקה ,כי הרציונליים צפופים בממשיים ,והקטעים האלו זרים בזוגות .לכן גם qxשונים זה
מזה.
כעת נביא שני תרגילים.
תרגיל יהי βסודר ,ותהי } {rα ∈ R: α < βסדרה עולה של מספרים ממשיים .הוכיחו כי
סדרה זו היא בת־מניה.
הערה 1.8שימו לב לכך שהוכחה זו יפה גם עבור סדרה יורדת.
תרגיל אנו מגדירים צביעה בשני צבעים של קבוצה Xכפונקציה } ,f : X → {0, 1על בסיס
הזיהוי של שני המספרים עם שני הצבעים .לצורך העניין ,נשווה בין 0לבין אדום ובין
1לבין כחול 2 .תת־קבוצה M ⊆ Xהיא מונוכרומטית אם הצבע של כל איבריה הוא
2ניתן כמובן גם להכליל את המושג צביעה ב־ nצבעים ,ואף ליותר צבעים.
3
אותו הצבע.
2
נסמן ,עבור .[X] = {{x, y} : x, y ∈ X, x 6= y} ,X ⊆ Rהוכיחו כי קיימת צביעה
2
2
של ] [Rבשני צבעים ,כך שלכל X ⊆ Rשאינה בת מניה [X] ,אינה מונוכרומטית.
הדרכה ) (Sierpi«skiנסדר את Rעל ידי } .R = {rα : α < cלכל שני סודרים
α < βאנו נצבע את האיבר } {rα , rβבצבע 0אם ,rα < rβובצבע 1אם
. rα > rβכעת ,היעזרו בתרגיל הקודם.
הגדרה 1.9הנגזרת ה־ (α ≥ 1) αשל קבוצת ממשיים Xמוגדרת ברוקורסיה:
• .X (1) = X 0
0
• ) X (β+1) = X (βלכל .β ≥ 1
T
• ) X (α) = β<α X (βעבור αגבולי.
מסקנה 1.10לכל X (α) ,α ≥ 1סגורה .לכל 1 ≤ α ≤ βמתקיים ).X (α) ⊇ X (β
למה 1.11תהי X ⊆ Rקבוצה סגורה .אזי קיים סודר ρ < ℵ1כך ש־ )X (ρ) = X (ρ+1
)ולכן הנגזרת מתייצבת שם(.
הוכחה :נסמן ,לצרכינו הפנימיים 3 .X (0) = X ,נניח בשלילה כי אין ρכזה .אזי לכל
α < ℵ1מתקיים ) .X (α) 6= X (α+1יחד עם המסקנה הקודמת ,מתקבל ).X (α) ⊃ X (α+1
אם כן ,הקבוצה ) X (α) \ X (α+1איננה ריקה .נבחר שרירותית ,לכל ,α < ℵ1איבר xα
מקבוצה זו .כעת ,R \ X (α+1) 3 xα ,שזו קבוצה פתוחה ,ולכן קיימים aα , bαכך ש־
) .xα ∈ (aα , bα ) ⊆ R \ X (α+1נבחר את aα , bαהאלו להיות רציונליים ,ונסמן את הקטע
) .Iα = (aα , bαמתקיים אפוא .xα ∈ X (α) ∩ Iαמנגד .Iα ∩ x(α+1) = ∅ ,יהי βסודר
,α < β < ℵ1אזי לפי המסקנה ) ,X (α+1) ⊇ X (βולכן לכל βכזה מתקיים
)Iα ∩ X (β) ⊆ Iα ∩ X (α+1) = ∅ 6= Iα ∩ X (α
המסקנה היא שלכל ,Iα 6= Iβ ,α < β < ℵ1ולכן ההתאמה α 7→ Iαהיא חח"ע מ־ .α < ℵ1
אבל התמונה היא איזומורפית ל־ ,Q × Qומתקבל | .|ℵ1 | ≤ |Q × Qסתירה.
משפט ) 1.12קנטור־בנדיקסון( .לכל קבוצה Xסגורה שאיננה בת־מניה יש פירוק לאיחוד
הזר P ∪ Dעבור Pפרפקטית ו־ Dבת־מניה.
סודר ρ < ℵ1כך ש־ ).X (ρ) = X (ρ+1
הוכחה :לפי הלמה ,קיים
) .min α < ℵ1 : X (α) = X (α+1נביט כעת בקבוצה
)X (α) \ X (α+1
[
נסמן אפוא = ρ
= D:
α<ρ
כל איבר באיחוד זה הוא דיסקרטי ,ולכן בן־מניה .האיחוד רץ על סודר בן־מניה ,ולכן D
בת־מניה.
3ודאו כי מסקנה
1.10
נכונה גם עבור ,α = 0כאשר Xסגורה.
4
נביט כעת בקבוצה ) .P = X (ρמתקיים ,P = X \ Dומכיוון ש־||D| = ℵ0 < |X
מתקיים
|P | = |X \ D| = |X| > 0
אם כן P ,לא ריקה .בבירור P = P 0 ,מצאנו אם כן כי Pפרפקטית.
מסקנה 1.13כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא מעוצמת הרצף )כי היא מכילה קטע פתוח( .כל
קבוצה סגורה היא בת־מניה או מעוצמת הרצף )כי היא מכילה קבוצה פרפקטית( .לסיכום,
קבוצות פתוחות או סגורות אינן יכולות להפריך את השערת הרצף.
5
© Copyright 2024