‫חלק א' – שאלות פתוחות‪:‬‬ ‫(ניקוד‪ 27 :‬נקודות)‬ ‫שאלה ‪( :1‬ניקוד‪ 2 16  32 :‬נקודות)‬ ‫הוכיחו ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬המשפטים הבאים‪:‬‬ ‫א‪  0,1 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ a, b ‬כלשהם‪.‬‬ ‫ב‪ )1 .‬משפט (הבינום של ניוטון)‪ :‬יהיו‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪:  a  b      a k b nk     a nk bk‬‬ ‫‪k 0  k ‬‬ ‫‪k 0  k ‬‬ ‫‪. n ‬‬ ‫‪ a, b,c ‬כלשהם‪.‬‬ ‫‪ )2‬משפט (פיתוח מולטינומי)‪ :‬יהיו‬ ‫‪n! i j k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. n  :  a  b  c   ‬‬ ‫‪abc‬‬ ‫!‪0i, j,k n i! j!k‬‬ ‫‪i  j k  n‬‬ ‫ג‪ .‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט כך ש‪0 :‬‬ ‫‪, E  m‬‬ ‫‪ . V  n ‬אם ‪, m  n 1‬‬ ‫אז יש ב‪ G -‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪.‬‬ ‫שאלה ‪( :2‬ניקוד‪) 4 10  40 :‬‬ ‫ענו על ‪ 4‬מתוך ‪ 5‬הסעיפים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי לכל מספר טבעי הצגה בינארית יחידה‪ ,‬כלומר –‬ ‫הוכיחו כי לכל ‪ n ‬קיימת סדרה יחידה של מספרים שלמים אי‪-‬שליליים‪:‬‬ ‫‪ , p1  p2  p3  ...  pk  0‬כך ש‪. n  2p1  2p2  2p3  ...  2pk :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכיחו כי לכל ‪( . a , b ~ c,   : a, b, c  , a  b‬יש להוכיח את תכונת‬ ‫ההפיכות של כל אחת מהפונקציות בהן אתם עושים שימוש במהלך‬ ‫ההוכחה‪).‬‬ ‫ג‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לקבל את הסכום ‪ 18‬בסדרה של ‪ 4‬הטלות של‬ ‫קוביית משחק ? נמקו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מהו מספר המחרוזות באורך ‪ ,n‬המורכבות מהתווים‪ ,o ,h ,w :‬אשר אין באף‬ ‫אחת מהן שני תווי ‪ o‬רצופים ? נמקו‪( .‬הדרכה‪ :‬מצאו נוסחת נסיגה הפותרת‬ ‫בעיה זו‪ ,‬נמקוה ופתרוה – הציגו נוסחא מפורשת עבורה‪).‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ה‪ )1 .‬ברחוב מסוים יש ‪ 55‬בתים‪ .‬לכל בית מוקצה מספר בכתובת בין ‪1000‬‬ ‫לבין ‪( 1099‬כולל)‪ .‬הוכיחו‪ ,‬תוך שימוש בעקרון שובך היונים‪ ,‬כי ישנם‬ ‫לפחות שני בתים ברחוב שיש להם כתובות עם מספרים עוקבים‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪ )2‬הוכיחו‪ ,‬משיקולים קומבינטוריים בלבד‪ ,‬כי‪.   k    n  2n 1 :‬‬ ‫‪k 1   k  ‬‬ ‫חלק ב' – שאלות סגורות‪:‬‬ ‫(ניקוד‪ 7  4  28 :‬נקודות)‬ ‫ענו על ‪ 7‬מתוך ‪ 9‬השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .3‬במלבן מעבירים ‪ n‬קוים‪ ,‬באופן שכל קו מחבר שתי צלעות שונות בו‪ .‬כמו כן‪,‬‬ ‫כל קו (לבד מהראשון) חותך בדיוק קו אחד (מהקוים שכבר הועברו)‬ ‫במלבן‪ .‬נסמן ב‪ f  n  -‬את מספר התחומים (המצולעים) הנוצרים ע"י ‪ n‬קוים‬ ‫אלו‪ .‬נוסחת נסיגה ל‪ f  n  -‬היא‪_________________________________ :‬‬ ‫____________________________________________________________‬ ‫‪ .4‬נגדיר פונקציה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , f :‬כך שלכל‬ ‫(בסימול מתמטי‪: f  x   x   x :‬‬ ‫‪ f  x  : x ‬הוא החלק השברי של ‪.x‬‬ ‫‪ , x ‬למשל‪, f  2   0 , f  2.3  0.3 :‬‬ ‫‪) f  2.3  0.7‬‬ ‫חשבו‪:‬‬ ‫א‪f  5.1,5.2   ____________________ .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫____________________ ‪f 1 0 ‬‬ ‫____________________ ‪Im  f  ‬‬ ‫‪ .5‬תהיינה‪ f : A  B , g : B  C :‬פונקציות‪ .‬ידוע כי ‪ f‬היא פונקציה על ‪ B‬וכי‬ ‫‪ g f‬היא פונקצית שקילות‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬ ‫(‪ f )2‬חח"ע‬ ‫(‪ g )1‬חח"ע‬ ‫(‪ )4‬כל התשובות הנ"ל נכונות‪.‬‬ ‫(‪ f 1 g1 )3‬חח"ע‬ ‫‪ .6‬תהי ‪ f : A  B‬פונקציה כלשהי‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬ ‫(‪ )1‬אם ‪ A‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )2‬אם ‪ f‬חח"ע ו‪ B -‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )3‬אם ‪ f‬על ‪ B‬ו‪ B -‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )4‬אם ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .7‬השלימו בכל סעיף מהבאים אחד (ורק אחד מהסימנים)‪.  ,  :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ _____ 0,     0,   \ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,    0,    ‬‬ ‫ב‪ .‬עוצמת קבוצת כל היחסים (הבינאריים) מעל‬ ‫_____‬ ‫‪‬‬ ‫‪P ‬‬ ‫ג‪ .‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות האינסופיות שלא מופיע בהן‬ ‫הרצף‪ _____ 51 :‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות הסופיות‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪_____ P ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .8‬במישור ‪ n‬נקודות‪ m ,‬מהן על ישר אחד ואף ‪ 3‬מהשאר אינן על ישר‬ ‫אחד‪ .‬מהו מספר המשולשים הנקבעים ע"י נקודות אלה ?‬ ‫______________________________________________________‬ ‫‪ .9‬מהו מספר הפתרונות השלמים של המשוואה‪:‬‬ ‫‪ , x1  x 2  x3  x 4  x5  8‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪? 2  x1 , 7  x 2 ,  4  x3 , 0  x 4 ,  3  x5‬‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫‪ .11‬מהו המספר המינימלי של צלעות בגרף פשוט וקשיר מסדר ‪ ,n‬אשר‬ ‫קוטרו ‪_______________ ? 2‬‬ ‫‪ .11‬מה מבין הבאים נכון בהכרח לגבי גרף מסדר ‪ 100‬שלכל קודקוד בו לפחות ‪50‬‬ ‫שכנים ?‬ ‫(‪ )1‬הגרף קשיר‪.‬‬ ‫(‪ )2‬קיים בגרף מעגל (פשוט) באורך ‪.4‬‬ ‫(‪ )3‬תשובות (‪ )1‬ו‪ )2( -‬נכונות‪.‬‬ ‫(‪ )4‬אף תשובה מהנ"ל אינה נכונה‪.‬‬ ‫‪3‬‬