. נגזרות מסדר גבוה . נגזרת של פונקציה סתומה

‫‪-4-‬‬
‫נגזרות מסדר גבוה‪.‬‬
‫נגזרת של פונקציה סתומה ‪.‬‬
‫‪ .I‬חשב את הנגזרת השניה של )‪ y (x‬בנקודה ‪: x = −1‬‬
‫)‬
‫‪1) y = 7 x 4 − 3 x 2 + x‬‬
‫(‬
‫‪2) y = ln x 2 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪4) y = (x 3 − 5)(2 x + 3‬‬
‫תשובות‪1) y′′ = 84 x 2 − 6, y′′(−1) = 78 :‬‬
‫‪2‬‬
‫;‪; y′′(−1) = −2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪3) y‬‬
‫‪5) y = xe x‬‬
‫‪) , y ′′(−1) = 0‬‬
‫(‬
‫‪2 1− x2‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫= ‪2) y ′′‬‬
‫‪4) y ′′ = 24 x 2 + 18 x, y ′′(−1) = 6‬‬
‫= ‪3) y′′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5) y ′′ = 2 xe x (2 x 2 + 3), y ′′(−1) = −10e‬‬
‫‪ .II‬חשב את את הנגזרת השלישית של )‪ y (x‬בנקודה‬
‫‪1) y = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪:x = 0‬‬
‫)‪3) y = e x ( x 2 + x + 3‬‬
‫‪2) y = x 2 + 1‬‬
‫‪, y ′′′(0) = 0‬‬
‫‪1) y ′′′ = 6a3‬‬
‫‪- 3x‬‬
‫)‪+ 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫= ‪2) y′′′‬‬
‫‪3) y′′′ = e x ( x 2 + 7 x + 12), y ′′′(0) = 12‬‬
‫‪dy‬‬
‫כאשר )‪ y (x‬נתונה בצורה סתומה ‪.‬‬
‫‪ .III‬חשב את הנגזרת‬
‫‪dx‬‬
‫בטא את הנגזרת כפונקציה של ‪. x, y‬‬
‫‪ − p 1) x - y + lny = 0‬קבוע ‪2) y 2 = 2 px ,‬‬
‫‪dy p‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫)‪2‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)‪1‬‬
‫=‬
‫‪dx y‬‬
‫‪dx y − 1‬‬
‫‪3) x 2 + y 4 − y = 2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪2x‬‬
‫)‪3‬‬
‫=‬
‫‪dx 1 − 4 y 3‬‬
‫‪ . IV‬נתונה המשוואה ‪ F ( x, y ) = 0‬שמגדירה עקומה במישור והנקודה ) ‪. ( x0 , y 0‬‬
‫הראה כי העקומה עוברת דרך ) ‪ ( x 0 , y 0‬ומצא את משוואת המשיק לעקומה ב‪( x 0 , y 0 ) -‬‬
‫‪x0 = 1, y 0 = 0‬‬
‫‪1) e xy + x 2 y 2 − 4 x + 3 = 0,‬‬
‫‪x0 = 25, y 0 = 9‬‬
‫‪8a‬‬
‫‪16a‬‬
‫= ‪, y0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫⎛ ‪16a 3‬‬
‫⎞‪8‬‬
‫⎟ ‪= ⎜x −‬‬
‫‪5‬‬
‫⎝‪4‬‬
‫⎠‪5‬‬
‫= ‪a > 0 , x0‬‬
‫)‪1) y = 4(x - 1‬‬
‫‪3) y -‬‬
‫‪x + y =8 ,‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪3) x 2 + y 2 − 8ax = 0,‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪2) y − 9 = − ( x − 25‬‬
‫‪5‬‬
-5-
‫הכלל של לופיטל‬
:‫חשב את הגבולות הבאים‬
x3 − 3x 2 + 4
x → 2 3 x 2 + x − 14
lim
.2
lim
x 4 − 16
.4
x 3 + 5 x 2 − 6 x − 16
x →2
e2 x − 1
x →0 sin x
1− 3 + 2x
x →−1
x + 2 −1
23x − 1
x →0
5x
.5
3 − 5 + 2x
x→2
x2 − 4
.7
lim
.10
x 2 + ln x − 1
ex − e
.12
lim
e kx
x →∞ x n
.14
lim
ln x
xn
.16
( n > 0, k > 0) ,
( n > 0) ,
lim x 2 ln x
x → 0+
lim
(e
lim
xn
lim x
x →∞ e
( n > 0) ,
x →1
.3
x →a
.8
lim
lim
lim
x →∞
x
− 1)( e 2 x − 1)
x2
x →0
x + ln x
x →∞ x ln x
x →−∞
( n > 0) ,
.13
x2 + 1
x →∞
ln x
.15
x2
lim x n ln x
x → 0+
.9
.11
x
lim
.18
1⎞
⎛ 1
lim ⎜
− ⎟
x → 0 sin x
x⎠
⎝
.1
xm − am
xn − an
(a > 0) , lim
.6
lim
lim
3x 2 − 2 x − 1
x →1 5 x 2 + 3 x − 8
lim
.17
1 ⎞
⎛ x
lim ⎜
−
⎟ .19
x →1 x − 1
ln x ⎠
⎝
.20
: ‫תשובות‬
0 .10 2 .9
0 .20
1
−2 .8 − .7 2 .6
12
1
.19
2
0 .18
0 .17
0.6 ln 2 .5
0 .16
0 .15
16
.4
13
∞ .14
m m−n
.3
a
n
−1 .13
0 .2
4
.1
13
3
.12 0 .11
e
‫‪-6‬‬‫חקירת פונקציות בעזרת הנגזרת‬
‫‪ .I‬מצא את תחומי העלייה והירידה ונקודות קיצון מקומי של הפונקציות הבאות ‪.‬‬
‫חשב את ערך של הפונקציה בנקודות הקיצון ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y = 4 x + 2 x − 5 .2‬‬
‫‪y = −2 x3 − 9 x 2 + 60x .1‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)‪x + 1‬‬
‫‪.4‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y = x ⋅ e x .5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = ln x − 1 .6‬‬
‫‪ .II‬מצא את אסימפטוטות אנכיות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות ‪:‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪4+ x‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x−3‬‬
‫‪y = 4 − x 2 .3‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪y = ln( x 2 − 1) .4‬‬
‫‪.III‬מצא את אסימפטוטות משופעות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2 ( x + 1‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.IV‬מצא את כל אסימפטוטות‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 + 4‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪.4‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(x − 2 )3‬‬
‫=‪y‬‬
‫)אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות ‪:‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪(x + 1)3 .4‬‬
‫‪y = x2 + 1 5 . 5‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x3‬‬
‫תשובות‬
‫‪ y ( x) .1‬עולה כאשר ‪x > 2‬‬
‫‪ y (x) , x < −5 ,‬יורדת כאשר ‪− 5 < x < 2‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪ x = 2‬נקודת מינימום מקומי ‪ x = −5 ,‬נקודת מקסימום מקומי ‪,‬‬
‫‪. y (−5) = −275‬‬
‫‪y ( 2) = 100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y (x) .2‬עולה כאשר‬
‫‪ y (x) , x < −‬יורדת כאשר ‪− < x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪23‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x = −‬נקודת מקסימום מקומי ‪. y (− ) = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y (x) .3‬עולה כאשר ‪x > 1‬‬
‫‪ y (x) , x < −1,‬יורדת כאשר ‪− 1 < x < 0, 0 < x < 1‬‬
‫‪ x = 1‬נקודת מינימום מקומי ‪ x = −1 ,‬נקודת מקסימום מקומי ‪,‬‬
‫‪y ( −1) = −2‬‬
‫‪y (1) = 2‬‬
‫‪ y (x) .4‬יורדת כאשר ‪. x ≠ 0‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x + x −1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪2x +1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x5‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪2 − x4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪ y (x) .5‬עולה כאשר ‪ y (x) , x > 1‬יורדת כאשר ‪x < 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x = −1‬נקודת מינימום מקומי ‪. y ( −1) = − ,‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ y (x) .6‬עולה כאשר ‪ y (x) , x > −1‬יורדת כאשר ‪ y (x) , x < −1‬לא קיימת ב‪-‬‬
‫‪ . x = −1‬אין נקודות קיצון של )‪y (x‬‬
‫‪x = 1,‬‬
‫‪ .3‬לא קיימת ‪x = −1 .4‬‬
‫‪x = 3 .2‬‬
‫‪x = 0 .1 . II‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 4‬לא קיימת‬
‫‪y = 1 .3‬‬
‫‪y = 1 .2‬‬
‫‪y = x − 1 .1 . III‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = x, y = − x .3‬‬
‫‪y = x + , x = − .2 x = 0, y = x .1. IV‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x = 4 2 , y = − x .4‬‬
‫‪-7‬‬‫חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות‬
‫‪ .I‬מצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות ‪:‬‬
‫‪y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 2 x2 +‬‬
‫‪y = x 2e x‬‬
‫‪y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪y = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪.5‬‬
‫=‪y‬‬
‫)‬
‫=‪y‬‬
‫(‬
‫‪y = ln 1 + x 2 .8‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪ y (x) .1‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > 3‬קמורה כלפי מטה ‪ ,‬כאשר ‪. x < 3‬‬
‫‪ x = 3‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .2‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > 1‬קמורה כלפי מטה ‪ ,‬כאשר ‪. x < 1‬‬
‫‪ x = 1‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ y (x) , x < − 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪ y (x) .3‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪, x > 0‬‬
‫‪ x = −3 2‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫כאשר ‪. − 3 2 < x < 0‬‬
‫‪ y (x) .4‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪. x < − 3, 0 < x < 3‬‬
‫‪ x = − 3 , x = 0, x = 3‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .5‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪. 2- 2 < x < 2+ 2‬‬
‫‪ x = 2 − 2 , x = 2 + 2‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .6‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪ x = −2 − 2 , x = −2 + 2‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫כאשר ‪. - 2 - 2 < x < −2 + 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y (x) .7‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > , x ≠ 1‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ x‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫< ‪. x ≠ 0 ,x‬‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y (x) .8‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , − 1 < x < 1‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר ‪ x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ .II‬חקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ln x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪-7‬‬‫חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות‬
‫‪ .I‬מצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות ‪:‬‬
‫‪y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = 2 x2 +‬‬
‫‪y = x 2e x‬‬
‫‪y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪y = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪.5‬‬
‫=‪y‬‬
‫)‬
‫=‪y‬‬
‫(‬
‫‪y = ln 1 + x 2 .8‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪ y (x) .1‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > 3‬קמורה כלפי מטה ‪ ,‬כאשר ‪. x < 3‬‬
‫‪ x = 3‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .2‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > 1‬קמורה כלפי מטה ‪ ,‬כאשר ‪. x < 1‬‬
‫‪ x = 1‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ y (x) , x < − 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪ y (x) .3‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪, x > 0‬‬
‫‪ x = −3 2‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫כאשר ‪. − 3 2 < x < 0‬‬
‫‪ y (x) .4‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪. x < − 3, 0 < x < 3‬‬
‫‪ x = − 3 , x = 0, x = 3‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .5‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪. 2- 2 < x < 2+ 2‬‬
‫‪ x = 2 − 2 , x = 2 + 2‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ y (x) .6‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪ x = −2 − 2 , x = −2 + 2‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫כאשר ‪. - 2 - 2 < x < −2 + 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y (x) .7‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , x > , x ≠ 1‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ x‬נקודת פיתול ‪.‬‬
‫< ‪. x ≠ 0 ,x‬‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y (x) .8‬קמורה כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ‪ y (x) , − 1 < x < 1‬קמורה כלפי מטה ‪,‬‬
‫כאשר ‪ x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1‬נקודות פיתול ‪.‬‬
‫‪ .II‬חקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ln x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪-8-‬‬
‫מינימום ומקסימום מוחלטים‬
‫‪ .I‬מצא את מינימום ואת מקסימום של הפונקציות הבאות בתחום הנתון ‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪x−2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪[3,5] ,‬‬
‫‪y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 .2‬‬
‫]‪[ −4, 4‬‬
‫‪y = x 2 ln x . 3‬‬
‫]‪[1, e‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪y = x − 2 ln x . 5‬‬
‫]‪[1, e‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪⎧2 x + 1, 0 ≤ x < 1‬‬
‫⎨ = )‪f ( x‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪⎩ 3 x, 1 ≤ x ≤ 3‬‬
‫‪= 40, ymin = −41 .2‬‬
‫‪ymax = 9,‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ymax = e , ymin = 0‬‬
‫‪ymax = 1, ymin = 0.6 .5‬‬
‫‪ymin = 8‬‬
‫]‪[ −1,1‬‬
‫‪y = x 2e− x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪= 0 .6‬‬
‫‪ymin = 0‬‬
‫‪ymin‬‬
‫‪ymax‬‬
‫‪ymax = e,‬‬
‫‪y max = 8‬‬
‫‪ .1 .II‬מצא את שני מספרים שסכומם ‪ 10‬ומכפלתם מקסימלית‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי מכפלה של שני מספרים ‪ ,‬שסכומם קבוע ‪ ,‬היא הגדולה ביותר ‪,‬כאשר‬
‫שני מספרים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את מספר ‪x > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫עבורו הסכום‬
‫‪x‬‬
‫‪ S ( x) = x +‬יהיה מינימאלי ‪.‬‬
‫חשב את ‪. S min‬‬
‫‪ .4‬נתון מלבן שהיקפו ‪.12‬‬
‫א‪.‬מצא את צלעות המלבן עבורם שטחו יהיה מקסימלי ‪.‬‬
‫ב‪.‬חשב את שטח המקסימלי של המלבן ‪.‬‬
‫תשובות‪5.5 .1 :‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x = 1, S min = 2‬‬
‫‪ .4‬א‪3.3 .‬‬
‫ב‪9 .‬‬
‫בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה‪.‬‬
‫‪ .1‬חברה מוכרת כל יום ‪ 100‬מוצרים במחיר של ‪ ₪ 40‬למוצר‪.‬על כל הורדה של‬
‫שקל אחד ממחיר המוצר החברה מוכרת ‪ 4‬מוצרים יותר ליום‪.‬‬
‫חשב מה צריך להיות מחיר המוצר כדי שהכנסה היומית של החברה תהיה‬
‫מקסימאלית‪.‬‬
‫תשובה ‪32.5 :‬‬
‫‪ .2‬חברת התעופה מתכננת טיסה שבה מתוכנן מחיר כרטיס בין ‪ $150‬ל‪-‬‬
‫‪ $ 300‬עבור אדם‪ .‬החברה מעריכה שמספר הנוסעים בטיסה יהיה‬
‫‪ x , 300 – 0.75x‬המחיר הדולרי עבור כרטיס‪ .‬מה צריך להיות‬
‫המחיר לכרטיס שייתן הכנסה מקסימאלית ומה תהא הכנסה זו ?‬
‫)‪(200, 30000‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪- 9‬‬‫‪ .3‬בטיסת שכר המחיר לנוסע ‪ $ 1000‬כל עוד מספר הנוסעים לא עולה על ‪ .100‬במידה‬
‫ויש פחות מ‪ 50 -‬נוסעים מתבטלת הטיסה ואם יש יותר מ‪ 100 -‬הרי שאז יורד מחיר לכל‬
‫נוסע ב‪ $ 4 -‬על כל נוסע מעל ה‪ .100 -‬מה יהיה המחיר לכרטיס עבורו תתקבל הכנסה‬
‫מקסימאלית ומהי הכנסה זו ?‬
‫תשובה ‪(75; 122500) . :‬‬
‫‪ 4‬המרחק בין שתי ערים ‪ 300‬ק"מ‪ .‬נהג אוטובוס מרוויח ‪ ₪ 42.25‬לשעה ויתר ההוצאות‬
‫בהסעת האוטובוס במהירות קבועה של ‪ x‬קמ"ש הן ‪ 180 + x‬אגורות לק"מ‪ .‬המהירויות‬
‫המותרות הן מינימום ‪ 50‬קמ"ש ומקסימום ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬מה תהיה מהירות הנסיעה על מנת‬
‫תשובה ‪ 65 :‬קמ"ש‬
‫שההוצאות יהיו מינימאליות ?‬
‫‪ 5‬א‪ .‬יצרן מוכר מכשירי רדיו ב‪ ₪ 68 -‬ליחידה‪ .‬העלות ‪ C‬בייצור ‪ x‬מכשירים לשבוע‪ ,‬נתונה‬
‫על ידי הפונקציה ‪ .C(x) = 1200 + 8x + 0.004x2‬בהנחה שניתן לייצר לכל היותר‬
‫‪ 10,000‬מכשירים בשבוע‪ ,‬כמה כדאי לו לייצר ולמכור על מנת שהרווח השבועי יהיה‬
‫מקסימאלי ומהו רווח זה ?‬
‫תשובה ‪) :‬א( )‪(7500, 223800‬‬
‫)ב( אם בשבוע מסוים הוחלט לייצר לכל היותר ‪ 7000‬מכשירים כמה כדאי לייצר‬
‫על מנת שיהיה רווח מקסימאלי ? תשובה ‪) :‬ב( )‪(7000,222800‬‬
‫‪ .6‬חברה מרוויחה ‪ ₪ 30‬עבור כל מכשיר שהיא מייצרת כל עוד היא מייצרת לכל היותר‬
‫‪ 1000‬מכשירים‪ .‬אם הרווח לכל מכשיר יורד ב‪ 3.75 -‬אגורות על כל מכשיר מעל ה‪-‬‬
‫‪ ,1000‬כמה תייצר על מנת שהרווח שלה יהיה מקסימאלי ? תשובה ‪(1000,30000) :‬‬
‫‪ .7‬בפרדס מניב כל עץ ‪ 15‬שקי פרי כל עוד בפרדס לכל היותר ‪ 40‬עצים לדונם‪ .‬כאשר יש‬
‫יותר מ‪ 40 -‬עצים לדונם יורדת התפוקה של כל עץ ב – ‪ 3/10‬השק על כל עץ מעל ה‪.40 -‬‬
‫מה יהיה מספר העצים לדונם שייתן תפוקה מקסימאלית ומהי תפוקה זו ?‬
‫תשובה ‪(5, 607.5) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .8‬העלות בייתור ‪ x‬טון זהב היא ‪ .₪ x + 40x + 30‬אם מיוצרים יותר מ‪ 10 -‬טון‪ ,‬הדרישה‬
‫לתוספת בכוח אדם מגדילה את העלות ב‪ .₪ 20(x-10) -‬המחיר לטון הוא ‪ ₪ 90‬באופן‬
‫קבוע והתפוקה המקסימאלית היא ‪ 20‬טון‪ .‬כמה כדאי לייצר על מנת שיהיה רווח‬
‫מקסימאלי ?‬
‫תשובה ‪15 :‬‬
‫‪ .9‬חברת תיור מארגנת טיול ל‪ 30-‬מטיילים כך שהמחיר למטייל הוא ‪ .₪ 250‬על כל מטייל‬
‫נוסף שמצטרף‪ ,‬החברה מורידה את המחיר לכל אחד מהמטיילים ב‪ .₪ 5 -‬מה צריך להיות‬
‫מספר המטיילים כדי שלחברה יהיה הרווח הגדול ביותר ? תשובה ‪40 :‬‬
‫‪ .10‬א‪ .‬תייר מעוניין לעבור דרך של ‪ 1000‬ק"מ במהירות קבועה והיא לכל היותר ‪ 75‬קמ"ש‬
‫ולפחות ‪ 40‬קמ"ש‪ .‬הוצאות שכירות הרכב הן ‪ ₪ 16‬לכל שעת נסיעה‪ .‬הוצאות הדלק‬
‫‪x‬‬
‫תלויות במהירות הנסיעה‪ .‬אם מהירות הנסיעה היא ‪ x‬קמ"ש‪ ,‬הוצאות הדלק הן‬
‫‪400‬‬
‫לכל ק"מ‪ .‬באיזו מהירות עליו לנסוע כדי לקבל הוצאה מינימאלית ומהי ?‬
‫תשובה ‪) :‬א()‪(75, 400.8‬‬
‫ב‪ .‬כיצד‪ ,‬אם בכלל‪ ,‬תשתנה תשובתך באם התייר מוכן לנסוע במהירות קבועה‬
‫שלא תעלה על ‪ 100‬קמ"ש ? תשובה ‪) :‬ב(‪(80, 400) .‬‬
‫‪₪‬‬
-10‫ נגזרות חלקיות‬. ‫פונקציות של שני משתנים‬
( f ′, f ′) ∂∂fy , ∂∂fx
: ‫של פונקציות הבאות‬
y
x
f ( x, y ) = 2 x 2 − xy + y 2
.2
f ( x, y ) = 2 x ln y + 4 x 5
.4
x− y
x+ y
.6
f ( x, y ) =
.3
y
.5
x
:‫תשובות‬
f ( x, y ) =
∂f
= −6 xy,
∂y
∂f
= 12 x 2 − 3 y 2 , .1
∂x
∂f
1 ∂f
2
=− 2,
= 2 .3
∂x
x ∂y y
y
1
.5
f x′ = − 2 , f y′ =
x
x
‫ מצא את נגזרות חלקיות מסדר גבוה‬. II
f x′ ,
f ( x, y ) = ln x + ln y
.1
f ( x, y ) = 4 x3 − 3 xy 2
1 2
f ( x, y ) = −
x y
∂f
∂f
= − x + 2 y,
= 4 x − y , .2
∂y
∂x
∂f 2 x ∂f
=
,
= 2 ln y + 20 x 4 .4
∂y
y ∂x
2y
2x
f x′ =
, f y′ = −
.6
2
(x + y )
( x + y )2
:(
‫ מצא את נגזרות חלקיות‬. I
f y′ ,
f xx′′ ,
.2
f yy′′ ,
f xy′′ ,
f yx′′
)
f ( x, y ) = x 4 y + 2e x .1
f ( x, y ) = y 2 − 2 x 2 y + 7 y .4
z ( x, y ) = x ln y +
y
.3
x
:‫תשובות‬
f xy′′ = f yx′′ = 4 x , f y′ = x , f x′ = 4 x y + 2e , .1
3
4
3
x
1
1
, f x′ = , . 2
y
x
1 1
x 1
y
z xy′′ = − 2 z y′ = + , z x′ = ln y − 2 , . 3
y x
y x
x
f xy′′ = 0 f y′ =
f xy′′ = −4 x,
f y′ = 2 y − 2 x 2 + 7,
f x′ = −4 xy , . 4
. III
x = 2, y = −1 ‫ בנקודה‬z = ln( x − y ) ‫חשב את נגזרות חלקיות של הפונקציה‬
2
z x′ =
2
2x
2y
4
2
, z y′ = − 2 2 , z x′ (2, −1) = , z y′ (2, −1) = : ‫תשובה‬
2
x −y
x −y
3
3
2
‫‪- 11‬‬‫נקודות קריטיות ‪ ,‬מקסימום ומינימום בתנאי ‪,‬‬
‫‪,‬ערך מקסימאלי ומינימאלי של פונקציות בשני משתנים‬
‫‪ . I‬מצא את נקודות קריטיות של הפונקציות הבאות ומיין אותן ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪z = 14 x + 27 xy 2 − 69 x − 54 y‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪f ( x, y ) = x 3 + 8 y 3 − 6 xy + 5‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪f ( x, y ) = x + xy + y − 6 x − 9 y‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪z = x + y − 2x + 4 y + 8‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+ 2 ln y + ln (12 − x − y ) .6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪z = 2 x3 + 2 y 3 − 36 xy + 430‬‬
‫‪g ( x, y ) = 3ln‬‬
‫‪z = x 3 + xy 2 + 6 xy .7‬‬
‫‪ f(x,y) = ax 2 + by 2 + cx + dy + e .8‬כאשר ‪) a ≠ 0, b ≠ 0‬מיין את נקודות‬
‫קריטיות בהתאם לסימני המקדמים( ‪.‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪min f ( x, y ) = f (1, ) = 4 .1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪min z = z (1, −2) = 3 .3‬‬
‫‪min f ( x, y ) = f (1, 4) = −21 . 4‬‬
‫‪min z = z (6, 6) = −2 .5‬‬
‫‪max g ( x, y ) = g (6, 4) = 5 ln 2 .6‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪min z = z (1,1) = −82; max z = z (−1, −1) = 82‬‬
‫‪max z = z (− 3, −3) = 6 3 .7‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ . x0 = − , y 0 = −‬בהתאם לסימני המקדמים נקבל שלושה המקרים ‪:‬‬
‫‪ .8‬נקודה קריטית‬
‫‪2a‬‬
‫‪2b‬‬
‫)א( כאשר ‪ a, b‬בעלי סימנים שונים ‪ ,‬כלומר ‪ a > 0, b < 0‬או ‪ ( x0 , y 0 ) , a < 0, b > 0‬היא‬
‫נקודת אוכף‬
‫)ב( כאשר ‪ a, b‬מספרים חיוביים ‪ ,‬כלומר ‪ ( x0 , y 0 ) , a > 0, b > 0‬היא נקודת מינימום‬
‫;‪min z = z ( 3, −3) = −6 3‬‬
‫)ג( כאשר ‪ a, b‬מספרים שליליים ‪ ,‬כלומר ‪ ( x0 , y 0 ) , a < 0, b < 0‬היא נקודת מקסימום‬
‫‪ . II‬מצא את נקודות קריטיות של ) ‪ z ( x, y‬עם האילוץ ‪ ,‬כאשר‬
‫‪ , z ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 .1‬האילוץ ‪ . 3 x + 2 y = 11‬תשובה ‪x = 3, y = 1 :‬‬
‫‪ , z ( x, y ) = xy .2‬האילוץ‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ . 2x + 3 y − 5 = 0‬תשובה ‪x = , y = :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪ , z ( x, y ) = x 2 + y 2‬האילוץ ‪+ = 1‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , z ( x, y ) = x 2 + y 2‬האילוץ ‪( x − 2 ) + ( y − 2 ) 2 = 9‬‬
‫‪.‬תשובה ‪x = 1.44, y = 5.76 :‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪5 2‬‬
‫= ‪, y2‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, y1 = − ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 = −‬‬
‫‪ .5‬נסמן ‪ - x, y‬אורכם של ניצבים במשולש ישר זווית ‪ - S ,‬שטחו ‪.‬‬
‫מבין כל משולשים ישרי הזווית בעלי השטח ‪ S‬מצא את משולש ‪ ,‬אשר יתרו היא‬
‫‪1‬‬
‫‪S‬‬
‫=‬
‫הקטנה ביותר ‪,‬אם ידוע כי ‪xy‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה ‪x = 2S , y = 2S :‬‬
‫‪-12‬‬‫בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה )פונקציות של שני משתנים (‬
‫‪ .1‬פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי הנוסחה ‪:‬‬
‫‪f(x,y) = -0.02x3 + 0.63x2 – 0.01y3 + 0.24y2‬‬
‫כאשר ‪ x‬הוא מספר יחידות העבודה ו‪ y -‬הוא מספר יחידות ההון‪.‬‬
‫מהן כמויות העבודה וההון אשר יתנו תפוקה מקסימאלית ? מה תהיה אז התפוקה ?‬
‫תשובה ‪f(21,16) = 113.09 , (x, y ) = (21,16) :‬‬
‫‪ .2‬סופרמרקט קונה את שני סוגים של פחיות מיץ במחירים ‪ 3‬ש''ח ו‪ 4-‬ש''ח לפחית ‪.‬‬
‫אם המיץ הזול‬
‫ימכור ב‪ x -‬ש''ח )‪ (x > 3‬לפחית ‪ ,‬המיץ היקר‬
‫ימכור ב‪ y -‬ש''ח )‪ ( y > 4‬לפחית ‪ ,‬אז תוך יום אחד יימכרו ) ‪(700 − 500x + 400 y‬‬
‫פחיות מיץ הזול ‪ ,‬ו‪ (800 + 600 x − 700 y ) -‬פחיות מיץ היקר ‪.‬‬
‫מצא את מחירים‬
‫‪ x, y‬שמקיימים רווח מקסימאלי ‪ .‬תשובה ‪x = 5.3, y = 5.5 :‬‬
‫‪) f ( x, y ) = Ax k y1−k‬פונקצית‬
‫‪ .3‬פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי‬
‫‪ ( Cobb-Duglas‬כאשר ‪ - x‬יחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל ''לעבודה'' ‪,‬כגון‬
‫‪-A‬‬
‫משקורות לעובדים ‪ - y ,‬יחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל על ציוד ‪,‬‬
‫מקדם קנה –המידה ‪- k ,‬קבוע ‪. 0 < k < 1 ,‬‬
‫הון ‪,‬שנותן בנק להוצאות המפעל ‪ ,‬הוא מוגבל ‪x + y = M :‬‬
‫‪- M ,‬קבוע ‪M > 0 ,‬‬
‫מהן כמויות ההון ''לעבודה '' ולציוד כך שפונקצית התפוקה ) ‪ f ( x, y‬תהיה מקסימאלית ?‬
‫השתמש בכופלי לגרנז' לפתור את הבעיה עם הנתונים הבאים ‪:‬‬
‫‪M = 70,‬‬
‫)א( ‪f ( x, y ) = xy‬‬
‫תשובה ‪x = 35, y = 35 :‬‬
‫)ב( ‪f ( x, y ) = 4 3 xy 2‬‬
‫‪M = 60,‬‬
‫תשובה ‪x = 20, y = 40 :‬‬
‫)ג( ‪f ( x, y ) = 5 x 2 y 3‬‬
‫‪M = 150,‬‬
‫תשובה ‪x = 60, y = 90 :‬‬
‫)ד( ‪f ( x, y ) = 2 6 xy 5‬‬
‫‪M = 32,‬‬
‫תשובה ‪x = 5.33, y = 26.67 :‬‬
‫)ה( ‪f ( x, y) = 6 x 2 y 4‬‬
‫‪M = 64,‬‬
‫תשובה ‪x = 21.33, y = 42.67 :‬‬
‫‪ .4‬חברה מונופוליסטית משווקת את אותו המוצר בשני מרכזים שונים‬
‫במחירים שונים‪ .‬אם מחיר המוצר במרכז ‪ A‬הוא ‪ ₪ x‬ובמרכז ‪ B‬הוא ‪₪ y‬‬
‫אזי הביקושים היומיים יהיו ‪ qA = 57 – x‬ו‪ , qB = 82 – 2y -‬בהתאמה‪.‬‬
‫עלות הייצור היא ‪.₪ 577 + 3qA – 5qB‬‬
‫מה צריך להיות מחיר המוצר בכל אחד מהמרכזים‪ ,‬כדי שהרווח יהיה מקסימאלי ?‬
‫מהן הכמויות שימכרו ומה יהיה אז הרווח ?‬
‫)‪f(30,18) = 1210 , (q A , q B ) = (27,46) , (x 0 , y 0 ) = (30,18‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫‪ .5‬מפעל מייצר שני סוגים של מחסני עץ ‪ A :‬ו‪ B -‬בכמויות ‪ q A‬ו‪ q B -‬בהתאמה ‪.‬‬
‫המחירים לצרחן הם ‪ p A‬ו‪ p B -‬אלפי ‪ ₪‬ליחידה ‪ ,‬בהתאמה ‪.‬בהנחה שכל כמויות‬
‫הייצור משווקות לצרחן ‪,‬מהן כמויות הייצור אשר מניבות רווח מקסימאלי ‪ ,‬כאשר‬
‫‪ p B = 36 − q B 2‬ועלות הייצור היא ‪. 3.5q A 2 + 1.5q B 2‬‬
‫‪, p A = 26 − q A 2‬‬
‫תשובה ‪. q B = 3 , q A = 2 :‬‬
-13‫האינטגרל הלא מסוים‬
‫ חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בטבלת האינטגרלים‬. I
: ‫והתכונות‬
∫ (1 + e
∫ (3 x
.3
x 2
) dx
x 2 + 3x 6 − 2 x 4
dx .6
∫
x4
3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3x
∫ 3x dx .9
∫ (2 cos x − 3 sin x)dx
2
7x5 + x − x2
dx
∫
x3
.5
dx
x
.8
∫2
( x 2 + 1)dx
∫ x
.*12
∫ (x
.2
− 4 x + 5) dx
− 1)( x + 3) dx
.1
∫ (3 x
− 4) 2 dx
.4
4
.7
2
∫ 3x dx
∫(
.11
2
x + 1)( x − x + 1) dx . 10
: ‫ לחשב את האינטגרלים הבאים השתמש במשפט‬. II
1
∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + c ‫ אז‬, ∫ f ( x)dx = F ( x) + c
∫
3
4 − 5 x dx
.3
∫ (5 − 8 x )
∫ 2 − 3x dx
.6
∫ (9 x − 2)
∫2
.9
1
3−2 x
dx
6
1
∫e
∫ cos 2 xdx .* 12
ax
6
∫ (2 x + 1)
.2
dx
∫
.5
dx
4
x
.1
dx
.4
∫e
.7
4 −3 x
dx
dx
∫3
∫ sin 7 xdx . 11*
∫ cos 5 dx
9
8 − 7 x dx
.8
dx
‫אם‬
2 x +1
.10
∫ sin( 4 + 3x)dx .* 13
.* 14
: ‫ השתמש בשיטת ההצבה לחשב את האינטגרלים הבאים‬. III
.
∫ (3x
2
+ 4 x)( x + 2 x ) dx
3
2 3
−x
∫ xe dx .6
∫y
2
x2
∫ 7 − x 3 dx
∫
2 xdx
6 − x2
∫ (x
.3
∫
.12
∫ sin
2
4
∫ (x
.2
− 7) 3 5 x 4 dx
1 + 2 y 2 dy
∫x
.9
5
∫
.5
∫
3 − x 5 dx . 8
6x
3x 2 + 1
dx
x cos x dx .* 14
2
+ 1) 7 2 xdx .1
xdx
x2 − 7
x 3 dx
.4
.7
x 4 −1
4x3
∫ x 4 −16dx . 10
. 11
∫ cos
3
x sin x dx
. *13
-14:‫ חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בשיטת ההצבה‬. IV
dx
xdx
x 2 x − 1 dx .2
.3
.1
∫
∫
x (1 − x )
x +1
∫
xdx
∫ (x − 1) 3 .5
7
∫ (3x + 1) 2 xdx .6
∫ x(2 x + 5)
10
dx .4
ex
x
x
∫ e x −1dx .8
∫ e e − 2dx .7
: ‫ השתמש באינטגרציה בחלקים לחישוב את האינטגרלים הבאים‬. V
ln (1 + x )
∫ x 2 dx .4
∫ x ln xdx .3 ∫ x 2 e 3 x .2 ∫ xe x .1
x
∫ (2 x + 1)3 dx .8
∫ (3x + 2) sin 2 xdx .* 12
dx
∫ ( x − 2)( x + 1)
∫x
2
xdx
+ 5x + 4
.4
.8
.*14
∫ x ln( x
2
∫ sin x dx .* 10
∫ x cos xdx . *11
2
+ 1) dx .5
x
∫ e dx
3
.9
: ‫ חשב את האינטגרלים של פונקציות רציונאליות‬. VI
x −1
x
x
dx
.
3
∫ x + 1dx .2 ∫ x +1dx .1
∫ ( x 2 − 1)
dx
2
− 1)
∫ x (x
x 2 dx
∫ ( x − 2) 2 ( x − 1) .*11
dx
∫ x 3 − 4 x 2 + 5x
3 x
∫ x e dx .6
x
∫ x 2 dx . 7
.7
∫x
2
dx
.6
− 5x + 4
xdx
∫ (x + 2) 2 ( x + 1)
∫x
2
dx
− 5x + 6
dx
∫ x 2 (x − 1)
.*10
x 2 dx
∫ 2x 2 − 9x + 4
dx
∫ x( x 2 + 1) .* 13
.5
.*9
.*12
: ( 13 , 14 '‫תשובות )עמ‬
(
)
3
5 2
(
)
4
1
x5 − 7
1 2
+c . 2
+ c .8 − e − x + c .6 x 2 − 7 2 + c .4
.III
4
2
x
1
5 sin + c .14
sin 2 x + c .12 ln x 4 − 16 + c . 10
5
2
1
(2 x + 5)12 − 1 (2 x + 5)11 + c .4 2 (x − 1)7 − 4 (x − 1)5 + 2 (x − 1)3 + c .2 . IV
48
8
7
5
3
2
1
(3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c . 6
ln e x − 1 + c .8
81
36
2
1+ x
2
2 ⎞
⎛1
x 2 − 1 e x + c .6 ln x −
ln(1 + x) + c .4 ⎜ x 3 − x + ⎟e 3 x + c .2 .V
9
27 ⎠
x
⎝3
(2 x + 1)3 x 2 ⋅ 3 x
2 sin x − 2 x cos x + c .10
−
+ c .8
ln 3
(ln 3)2
2 3− x
−
15
(
(
)
)
3
⎛3
⎞
sin 2 x − ⎜ x + 1⎟ cos 2 x + c . 12
4
⎝2
⎠
‫ ‪- 15‬‬‫האינטגרל המסוים ‪ .‬נוסחת ניוטון ‪ -‬לייבניץ‬
‫חישוב שטחים של תחומים מישוריים על ידי אינטגרל מסוים ‪.‬‬
‫‪ . I‬חשב את האינטגרלים הבאים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ x(3 − x)dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∫1 x‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪(2 x + 1)dx‬‬
‫‪∫0 x 2 − 2 x − 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪∫1 e x − 1dx . 4‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪,‬כאשר‬
‫‪−1‬‬
‫‪ln xdx .8‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫x‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובות ‪.1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪∫ (2 x + 5)e dx‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪9‬‬
‫‪∫ x sin xdx .*10‬‬
‫‪∫1+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ln 3 .2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− ln 3 .5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪3 + 2 ln‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫ x x + 4dx . 3‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪⎧ x,‬‬
‫‪f ( x) = ⎨ 2‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪⎩ x + 1,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ f ( x)dx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ln( e + 1) .4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪19 3 7 −3‬‬
‫‪e − e .6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2e 3 + 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪π . 10‬‬
‫‪ . II‬חשב את שטח של התחום ‪ D‬החסום על ידי הקווים הנתונים ‪:‬‬
‫⎪⎫ ‪⎧⎪ y = x 2 − 2 x − 6,‬‬
‫⎨‪D:‬‬
‫‪⎬ .1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪⎩ y = 6 − x‬‬
‫⎪⎭‬
‫‪⎧ y = − x + 3,‬‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫‪D : ⎨ y = x − 2 x − 3, ⎬ .2‬‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫‪⎩x ≥ 0‬‬
‫⎭‬
‫‪D : { y = x 3 , y = x} . 4‬‬
‫‪⎧y = −x2 ,‬‬
‫⎫‪y = 0‬‬
‫⎨‪D:‬‬
‫‪⎬ .5‬‬
‫‪y = x−2‬‬
‫⎩‬
‫⎭‬
‫‪.7‬‬
‫‪⎧y = x2 ,‬‬
‫⎫‪y = 0‬‬
‫⎨‪D:‬‬
‫‪⎬ .3‬‬
‫⎭ ‪⎩ y = −x + 6‬‬
‫⎫ ‪⎧ y 2 = x,‬‬
‫⎨‪D:‬‬
‫‪⎬ .6‬‬
‫⎭‪⎩ y = x − 2‬‬
‫‪⎧y = x,‬‬
‫⎫‪y = 0‬‬
‫⎨‪D:‬‬
‫⎬‬
‫‪y = x−2‬‬
‫⎩‬
‫⎭‬
‫‪ .8‬לפרבולה ‪ y = x 2‬העבירו משיק בנקודה ‪. x = 1‬‬
‫מצא את שטח הכלוא בין הפרבולה ‪ ,‬הישר המשיק ‪ ,‬וציר ה‪.y-‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות‪(1) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(6) S = (5‬‬
‫‪S=4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S = 41‬‬
‫)‪S = 13.5 (2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪S = 10‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪S‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪-16‬‬‫אינטגרל כפול‬
‫‪ . I‬חשב את סכום רימן של ) ‪ f ( x, y‬המתאים לחלוקה ב‪ 4-‬חלקים שווים ותלוי בבחירת‬
‫הנקודה ) ‪ ( x i , y j‬במלבן )או ריבוע ( ‪. Di‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0 ≤ y ≤ 1} ,‬‬
‫= ) ‪f ( x, y‬‬
‫‪D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2,‬‬
‫‪2 ≤ y ≤ 4} , f ( x, y ) = x 2 + y 2 . 2‬‬
‫‪f ( x, y ) = 2 xy − y 2 .3‬‬
‫‪D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3,‬‬
‫‪D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4,‬‬
‫‪0 ≤ y ≤ 2} ,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪, x1 = 2 , x 2‬‬
‫‪, x3 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות ‪ .1 :‬עבור‬
‫∑‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫= ‪y0‬‬
‫= ‪, y1‬‬
‫‪, y 2 = 1 , y3 = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x = 1 , x1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 2‬‬
‫‪ .2‬עבור‬
‫‪ 0‬נקבל ‪f ( xi , y i )∆Di = 36‬‬
‫∑‬
‫‪y 0 = 2 , y1 = 3 , y 2 = 3 , y 3 = 2‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪x 0 = 1 , x1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 3‬‬
‫‪4‬‬
‫נקבל‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫∆‬
‫‪D‬‬
‫=‬
‫‪22‬‬
‫∑‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬עבור ‪3‬‬
‫= ‪, y1‬‬
‫= ‪, y2‬‬
‫= ‪, y3‬‬
‫= ‪y0‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x0‬‬
‫‪21‬‬
‫נקבל‬
‫= ‪f ( xi , y i )∆Di‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . II‬תוך שימוש בתכונה )‪m ⋅ S ( D) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤M ⋅ S ( D‬‬
‫‪D‬‬
‫כאשר ) ‪m = min f ( x, y ), M = max f ( x, y‬‬
‫הערך את האינטגרלים הבאים ‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫}‪D ={( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪I = ∫∫ ( x + y + 1)dxdy,‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2} . 2‬‬
‫‪I = ∫∫ xy( x + y )dxdy,‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ . III‬חשב את האינטגרלים החוזרים הבאים ‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ dx ∫ dy . 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪dy . 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫∫ ‪∫ dx‬‬
‫‪ln y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ dy ∫ e dx‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ . IV‬חשב את האינטגרלים הכפולים הבאים ‪:‬‬
‫‪∫∫ e dA, D = {( x, y) 1 ≤ x ≤ 3,−1 ≤ y ≤ 2} . 6‬‬
‫‪x+ y‬‬
‫‪D ={( x, y ) x + y = 6, y = 0, x = 0} . 7‬‬
‫‪D‬‬
‫‪∫∫ xydA,‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D = D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2 x} . 8‬‬
‫‪.9‬‬
‫}‬
‫‪y‬‬
‫‪∫∫ x dA,‬‬
‫‪D‬‬
‫{‬
‫‪+ y )dA,‬‬
‫‪D = ( x, y ) y = x 2 , y 2 = x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫∫ ( x‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובות ‪2 ≤ I ≤ 8 .1 :‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪e5 − e3 − e2 + 1‬‬
‫‪1 .3‬‬
‫‪0 ≤ I ≤ 64‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪54‬‬
‫‪9 .4‬‬
‫‪9 .8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪33‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪140‬‬
‫‪ . V‬חשב את ‪ V‬נפח של הגוף החסום על ידי המשטחים הבאים ‪:‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪+ + z = 1,‬‬
‫‪x = 0, y = 0, z = 0 . 1‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪x = 4, y = 4, x = 0, y = 0, z = 0,‬‬
‫‪x + 2y + z = 1 . 2‬‬
‫‪x = 0, y = 0, z = x 2 + y 2 . 3‬‬
‫‪2 x + 3 y − 12 = 0,‬‬
‫תשובה ‪V = 1 :‬‬
‫תשובה ‪S = 72 :‬‬
‫‪9‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪2‬‬