-4- נגזרות מסדר גבוה. נגזרת של פונקציה סתומה . .Iחשב את הנגזרת השניה של ) y (xבנקודה : x = −1 ) 1) y = 7 x 4 − 3 x 2 + x ( 2) y = ln x 2 + 1 2 )4) y = (x 3 − 5)(2 x + 3 תשובות1) y′′ = 84 x 2 − 6, y′′(−1) = 78 : 2 ;; y′′(−1) = −2 x3 x +1 x = 3) y 5) y = xe x ) , y ′′(−1) = 0 ( 2 1− x2 ) 2 +1 2 (x = 2) y ′′ 4) y ′′ = 24 x 2 + 18 x, y ′′(−1) = 6 = 3) y′′ 2 5) y ′′ = 2 xe x (2 x 2 + 3), y ′′(−1) = −10e .IIחשב את את הנגזרת השלישית של ) y (xבנקודה 1) y = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 תשובות: :x = 0 )3) y = e x ( x 2 + x + 3 2) y = x 2 + 1 , y ′′′(0) = 0 1) y ′′′ = 6a3 - 3x )+ 1 5 2 (x = 2) y′′′ 3) y′′′ = e x ( x 2 + 7 x + 12), y ′′′(0) = 12 dy כאשר ) y (xנתונה בצורה סתומה . .IIIחשב את הנגזרת dx בטא את הנגזרת כפונקציה של . x, y − p 1) x - y + lny = 0קבוע 2) y 2 = 2 px , dy p dy y = )2 תשובות: )1 = dx y dx y − 1 3) x 2 + y 4 − y = 2 dy 2x )3 = dx 1 − 4 y 3 . IVנתונה המשוואה F ( x, y ) = 0שמגדירה עקומה במישור והנקודה ) . ( x0 , y 0 הראה כי העקומה עוברת דרך ) ( x 0 , y 0ומצא את משוואת המשיק לעקומה ב( x 0 , y 0 ) - x0 = 1, y 0 = 0 1) e xy + x 2 y 2 − 4 x + 3 = 0, x0 = 25, y 0 = 9 8a 16a = , y0 5 5 תשובות: ⎛ 16a 3 ⎞8 ⎟ = ⎜x − 5 ⎝4 ⎠5 = a > 0 , x0 )1) y = 4(x - 1 3) y - x + y =8 , )2 3) x 2 + y 2 − 8ax = 0, 3 )2) y − 9 = − ( x − 25 5 -5- הכלל של לופיטל :חשב את הגבולות הבאים x3 − 3x 2 + 4 x → 2 3 x 2 + x − 14 lim .2 lim x 4 − 16 .4 x 3 + 5 x 2 − 6 x − 16 x →2 e2 x − 1 x →0 sin x 1− 3 + 2x x →−1 x + 2 −1 23x − 1 x →0 5x .5 3 − 5 + 2x x→2 x2 − 4 .7 lim .10 x 2 + ln x − 1 ex − e .12 lim e kx x →∞ x n .14 lim ln x xn .16 ( n > 0, k > 0) , ( n > 0) , lim x 2 ln x x → 0+ lim (e lim xn lim x x →∞ e ( n > 0) , x →1 .3 x →a .8 lim lim lim x →∞ x − 1)( e 2 x − 1) x2 x →0 x + ln x x →∞ x ln x x →−∞ ( n > 0) , .13 x2 + 1 x →∞ ln x .15 x2 lim x n ln x x → 0+ .9 .11 x lim .18 1⎞ ⎛ 1 lim ⎜ − ⎟ x → 0 sin x x⎠ ⎝ .1 xm − am xn − an (a > 0) , lim .6 lim lim 3x 2 − 2 x − 1 x →1 5 x 2 + 3 x − 8 lim .17 1 ⎞ ⎛ x lim ⎜ − ⎟ .19 x →1 x − 1 ln x ⎠ ⎝ .20 : תשובות 0 .10 2 .9 0 .20 1 −2 .8 − .7 2 .6 12 1 .19 2 0 .18 0 .17 0.6 ln 2 .5 0 .16 0 .15 16 .4 13 ∞ .14 m m−n .3 a n −1 .13 0 .2 4 .1 13 3 .12 0 .11 e -6חקירת פונקציות בעזרת הנגזרת .Iמצא את תחומי העלייה והירידה ונקודות קיצון מקומי של הפונקציות הבאות . חשב את ערך של הפונקציה בנקודות הקיצון . 4 y = 4 x + 2 x − 5 .2 y = −2 x3 − 9 x 2 + 60x .1 x2 + 1 =y .3 x 3 ( )x + 1 .4 =y 3 y = x ⋅ e x .5 x y = ln x − 1 .6 .IIמצא את אסימפטוטות אנכיות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות : x2 + 1 .1 x =y 4+ x .2 x−3 y = 4 − x 2 .3 =y y = ln( x 2 − 1) .4 .IIIמצא את אסימפטוטות משופעות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות : .1 x3 2 )2 ( x + 1 =y .2 .IVמצא את כל אסימפטוטות x x2 + 4 =y .3 x2 x2 +1 .4 =y (x − 2 )3 =y )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות : x2 + 1 .1 x (x + 1)3 .4 y = x2 + 1 5 . 5 =y x3 תשובות y ( x) .1עולה כאשר x > 2 y (x) , x < −5 ,יורדת כאשר − 5 < x < 2 .I x = 2נקודת מינימום מקומי x = −5 ,נקודת מקסימום מקומי , . y (−5) = −275 y ( 2) = 100 1 1 y (x) .2עולה כאשר y (x) , x < −יורדת כאשר − < x 2 2 1 23 1 x = −נקודת מקסימום מקומי . y (− ) = − 2 4 2 y (x) .3עולה כאשר x > 1 y (x) , x < −1,יורדת כאשר − 1 < x < 0, 0 < x < 1 x = 1נקודת מינימום מקומי x = −1 ,נקודת מקסימום מקומי , y ( −1) = −2 y (1) = 2 y (x) .4יורדת כאשר . x ≠ 0 =y x + x −1 .2 2x +1 2 =y x +1 .3 x x5 =y .6 2 − x4 2 =y y (x) .5עולה כאשר y (x) , x > 1יורדת כאשר x < 1 1 x = −1נקודת מינימום מקומי . y ( −1) = − , e y (x) .6עולה כאשר y (x) , x > −1יורדת כאשר y (x) , x < −1לא קיימת ב- . x = −1אין נקודות קיצון של )y (x x = 1, .3לא קיימת x = −1 .4 x = 3 .2 x = 0 .1 . II 1 . 4לא קיימת y = 1 .3 y = 1 .2 y = x − 1 .1 . III 2 1 1 1 y = x, y = − x .3 y = x + , x = − .2 x = 0, y = x .1. IV 2 2 4 x = 4 2 , y = − x .4 -7חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות .Iמצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות : y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1 .3 .6 4 x y = 2 x2 + y = x 2e x y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2 .4 x x +1 x .7 x −1 y = ln 2 x2 ex .5 =y ) =y ( y = ln 1 + x 2 .8 תשובות : y (x) .1קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 3קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 3 x = 3נקודת פיתול . y (x) .2קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 1קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 1 x = 1נקודת פיתול . 3 y (x) , x < − 2קמורה כלפי מטה , y (x) .3קמורה כלפי מעלה ,כאשר , x > 0 x = −3 2נקודת פיתול . כאשר . − 3 2 < x < 0 y (x) .4קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3קמורה כלפי מטה , כאשר . x < − 3, 0 < x < 3 x = − 3 , x = 0, x = 3נקודות פיתול . y (x) .5קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2קמורה כלפי מטה , כאשר . 2- 2 < x < 2+ 2 x = 2 − 2 , x = 2 + 2נקודות פיתול . y (x) .6קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2קמורה כלפי מטה , x = −2 − 2 , x = −2 + 2נקודות פיתול . כאשר . - 2 - 2 < x < −2 + 2 1 y (x) .7קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > , x ≠ 1קמורה כלפי מטה , 2 1 1 = xנקודת פיתול . < . x ≠ 0 ,x כאשר 2 2 y (x) .8קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 1 < x < 1קמורה כלפי מטה , כאשר x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1נקודות פיתול . .IIחקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה. 1 .1 1 − x2 =y x2 .2 x+2 =y .3 ex x2 =y x .4 ln x =y -7חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות .Iמצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות : y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1 .3 .6 4 x y = 2 x2 + y = x 2e x y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2 .4 x x +1 x .7 x −1 y = ln 2 x2 ex .5 =y ) =y ( y = ln 1 + x 2 .8 תשובות : y (x) .1קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 3קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 3 x = 3נקודת פיתול . y (x) .2קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 1קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 1 x = 1נקודת פיתול . 3 y (x) , x < − 2קמורה כלפי מטה , y (x) .3קמורה כלפי מעלה ,כאשר , x > 0 x = −3 2נקודת פיתול . כאשר . − 3 2 < x < 0 y (x) .4קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3קמורה כלפי מטה , כאשר . x < − 3, 0 < x < 3 x = − 3 , x = 0, x = 3נקודות פיתול . y (x) .5קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2קמורה כלפי מטה , כאשר . 2- 2 < x < 2+ 2 x = 2 − 2 , x = 2 + 2נקודות פיתול . y (x) .6קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2קמורה כלפי מטה , x = −2 − 2 , x = −2 + 2נקודות פיתול . כאשר . - 2 - 2 < x < −2 + 2 1 y (x) .7קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > , x ≠ 1קמורה כלפי מטה , 2 1 1 = xנקודת פיתול . < . x ≠ 0 ,x כאשר 2 2 y (x) .8קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 1 < x < 1קמורה כלפי מטה , כאשר x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1נקודות פיתול . .IIחקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה. 1 .1 1 − x2 =y x2 .2 x+2 =y .3 ex x2 =y x .4 ln x =y -8- מינימום ומקסימום מוחלטים .Iמצא את מינימום ואת מקסימום של הפונקציות הבאות בתחום הנתון : x2 .1 x−2 =y [3,5] , y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 .2 ][ −4, 4 y = x 2 ln x . 3 ][1, e .4 y = x − 2 ln x . 5 ][1, e תשובות: ⎧2 x + 1, 0 ≤ x < 1 ⎨ = )f ( x .6 ⎩ 3 x, 1 ≤ x ≤ 3 = 40, ymin = −41 .2 ymax = 9, .1 .3 ymax = e , ymin = 0 ymax = 1, ymin = 0.6 .5 ymin = 8 ][ −1,1 y = x 2e− x 2 .4 = 0 .6 ymin = 0 ymin ymax ymax = e, y max = 8 .1 .IIמצא את שני מספרים שסכומם 10ומכפלתם מקסימלית. .2הוכח כי מכפלה של שני מספרים ,שסכומם קבוע ,היא הגדולה ביותר ,כאשר שני מספרים שווים זה לזה. .3מצא את מספר x > 0 1 עבורו הסכום x S ( x) = x +יהיה מינימאלי . חשב את . S min .4נתון מלבן שהיקפו .12 א.מצא את צלעות המלבן עבורם שטחו יהיה מקסימלי . ב.חשב את שטח המקסימלי של המלבן . תשובות5.5 .1 : .3 x = 1, S min = 2 .4א3.3 . ב9 . בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה. .1חברה מוכרת כל יום 100מוצרים במחיר של ₪ 40למוצר.על כל הורדה של שקל אחד ממחיר המוצר החברה מוכרת 4מוצרים יותר ליום. חשב מה צריך להיות מחיר המוצר כדי שהכנסה היומית של החברה תהיה מקסימאלית. תשובה 32.5 : .2חברת התעופה מתכננת טיסה שבה מתוכנן מחיר כרטיס בין $150ל- $ 300עבור אדם .החברה מעריכה שמספר הנוסעים בטיסה יהיה x , 300 – 0.75xהמחיר הדולרי עבור כרטיס .מה צריך להיות המחיר לכרטיס שייתן הכנסה מקסימאלית ומה תהא הכנסה זו ? )(200, 30000 תשובה : - 9 .3בטיסת שכר המחיר לנוסע $ 1000כל עוד מספר הנוסעים לא עולה על .100במידה ויש פחות מ 50 -נוסעים מתבטלת הטיסה ואם יש יותר מ 100 -הרי שאז יורד מחיר לכל נוסע ב $ 4 -על כל נוסע מעל ה .100 -מה יהיה המחיר לכרטיס עבורו תתקבל הכנסה מקסימאלית ומהי הכנסה זו ? תשובה (75; 122500) . : 4המרחק בין שתי ערים 300ק"מ .נהג אוטובוס מרוויח ₪ 42.25לשעה ויתר ההוצאות בהסעת האוטובוס במהירות קבועה של xקמ"ש הן 180 + xאגורות לק"מ .המהירויות המותרות הן מינימום 50קמ"ש ומקסימום 80קמ"ש .מה תהיה מהירות הנסיעה על מנת תשובה 65 :קמ"ש שההוצאות יהיו מינימאליות ? 5א .יצרן מוכר מכשירי רדיו ב ₪ 68 -ליחידה .העלות Cבייצור xמכשירים לשבוע ,נתונה על ידי הפונקציה .C(x) = 1200 + 8x + 0.004x2בהנחה שניתן לייצר לכל היותר 10,000מכשירים בשבוע ,כמה כדאי לו לייצר ולמכור על מנת שהרווח השבועי יהיה מקסימאלי ומהו רווח זה ? תשובה ) :א( )(7500, 223800 )ב( אם בשבוע מסוים הוחלט לייצר לכל היותר 7000מכשירים כמה כדאי לייצר על מנת שיהיה רווח מקסימאלי ? תשובה ) :ב( )(7000,222800 .6חברה מרוויחה ₪ 30עבור כל מכשיר שהיא מייצרת כל עוד היא מייצרת לכל היותר 1000מכשירים .אם הרווח לכל מכשיר יורד ב 3.75 -אגורות על כל מכשיר מעל ה- ,1000כמה תייצר על מנת שהרווח שלה יהיה מקסימאלי ? תשובה (1000,30000) : .7בפרדס מניב כל עץ 15שקי פרי כל עוד בפרדס לכל היותר 40עצים לדונם .כאשר יש יותר מ 40 -עצים לדונם יורדת התפוקה של כל עץ ב – 3/10השק על כל עץ מעל ה.40 - מה יהיה מספר העצים לדונם שייתן תפוקה מקסימאלית ומהי תפוקה זו ? תשובה (5, 607.5) : 2 .8העלות בייתור xטון זהב היא .₪ x + 40x + 30אם מיוצרים יותר מ 10 -טון ,הדרישה לתוספת בכוח אדם מגדילה את העלות ב .₪ 20(x-10) -המחיר לטון הוא ₪ 90באופן קבוע והתפוקה המקסימאלית היא 20טון .כמה כדאי לייצר על מנת שיהיה רווח מקסימאלי ? תשובה 15 : .9חברת תיור מארגנת טיול ל 30-מטיילים כך שהמחיר למטייל הוא .₪ 250על כל מטייל נוסף שמצטרף ,החברה מורידה את המחיר לכל אחד מהמטיילים ב .₪ 5 -מה צריך להיות מספר המטיילים כדי שלחברה יהיה הרווח הגדול ביותר ? תשובה 40 : .10א .תייר מעוניין לעבור דרך של 1000ק"מ במהירות קבועה והיא לכל היותר 75קמ"ש ולפחות 40קמ"ש .הוצאות שכירות הרכב הן ₪ 16לכל שעת נסיעה .הוצאות הדלק x תלויות במהירות הנסיעה .אם מהירות הנסיעה היא xקמ"ש ,הוצאות הדלק הן 400 לכל ק"מ .באיזו מהירות עליו לנסוע כדי לקבל הוצאה מינימאלית ומהי ? תשובה ) :א()(75, 400.8 ב .כיצד ,אם בכלל ,תשתנה תשובתך באם התייר מוכן לנסוע במהירות קבועה שלא תעלה על 100קמ"ש ? תשובה ) :ב((80, 400) . ₪ -10 נגזרות חלקיות. פונקציות של שני משתנים ( f ′, f ′) ∂∂fy , ∂∂fx : של פונקציות הבאות y x f ( x, y ) = 2 x 2 − xy + y 2 .2 f ( x, y ) = 2 x ln y + 4 x 5 .4 x− y x+ y .6 f ( x, y ) = .3 y .5 x :תשובות f ( x, y ) = ∂f = −6 xy, ∂y ∂f = 12 x 2 − 3 y 2 , .1 ∂x ∂f 1 ∂f 2 =− 2, = 2 .3 ∂x x ∂y y y 1 .5 f x′ = − 2 , f y′ = x x מצא את נגזרות חלקיות מסדר גבוה. II f x′ , f ( x, y ) = ln x + ln y .1 f ( x, y ) = 4 x3 − 3 xy 2 1 2 f ( x, y ) = − x y ∂f ∂f = − x + 2 y, = 4 x − y , .2 ∂y ∂x ∂f 2 x ∂f = , = 2 ln y + 20 x 4 .4 ∂y y ∂x 2y 2x f x′ = , f y′ = − .6 2 (x + y ) ( x + y )2 :( מצא את נגזרות חלקיות. I f y′ , f xx′′ , .2 f yy′′ , f xy′′ , f yx′′ ) f ( x, y ) = x 4 y + 2e x .1 f ( x, y ) = y 2 − 2 x 2 y + 7 y .4 z ( x, y ) = x ln y + y .3 x :תשובות f xy′′ = f yx′′ = 4 x , f y′ = x , f x′ = 4 x y + 2e , .1 3 4 3 x 1 1 , f x′ = , . 2 y x 1 1 x 1 y z xy′′ = − 2 z y′ = + , z x′ = ln y − 2 , . 3 y x y x x f xy′′ = 0 f y′ = f xy′′ = −4 x, f y′ = 2 y − 2 x 2 + 7, f x′ = −4 xy , . 4 . III x = 2, y = −1 בנקודהz = ln( x − y ) חשב את נגזרות חלקיות של הפונקציה 2 z x′ = 2 2x 2y 4 2 , z y′ = − 2 2 , z x′ (2, −1) = , z y′ (2, −1) = : תשובה 2 x −y x −y 3 3 2 - 11נקודות קריטיות ,מקסימום ומינימום בתנאי , ,ערך מקסימאלי ומינימאלי של פונקציות בשני משתנים . Iמצא את נקודות קריטיות של הפונקציות הבאות ומיין אותן : 3 z = 14 x + 27 xy 2 − 69 x − 54 y .2 f ( x, y ) = x 3 + 8 y 3 − 6 xy + 5 .1 2 2 2 2 .3 f ( x, y ) = x + xy + y − 6 x − 9 y .4 z = x + y − 2x + 4 y + 8 .5 x + 2 ln y + ln (12 − x − y ) .6 6 z = 2 x3 + 2 y 3 − 36 xy + 430 g ( x, y ) = 3ln z = x 3 + xy 2 + 6 xy .7 f(x,y) = ax 2 + by 2 + cx + dy + e .8כאשר ) a ≠ 0, b ≠ 0מיין את נקודות קריטיות בהתאם לסימני המקדמים( . תשובות : 1 min f ( x, y ) = f (1, ) = 4 .1 2 min z = z (1, −2) = 3 .3 min f ( x, y ) = f (1, 4) = −21 . 4 min z = z (6, 6) = −2 .5 max g ( x, y ) = g (6, 4) = 5 ln 2 .6 .2 min z = z (1,1) = −82; max z = z (−1, −1) = 82 max z = z (− 3, −3) = 6 3 .7 c d . x0 = − , y 0 = −בהתאם לסימני המקדמים נקבל שלושה המקרים : .8נקודה קריטית 2a 2b )א( כאשר a, bבעלי סימנים שונים ,כלומר a > 0, b < 0או ( x0 , y 0 ) , a < 0, b > 0היא נקודת אוכף )ב( כאשר a, bמספרים חיוביים ,כלומר ( x0 , y 0 ) , a > 0, b > 0היא נקודת מינימום ;min z = z ( 3, −3) = −6 3 )ג( כאשר a, bמספרים שליליים ,כלומר ( x0 , y 0 ) , a < 0, b < 0היא נקודת מקסימום . IIמצא את נקודות קריטיות של ) z ( x, yעם האילוץ ,כאשר , z ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 .1האילוץ . 3 x + 2 y = 11תשובה x = 3, y = 1 : , z ( x, y ) = xy .2האילוץ .3 .4 5 5 . 2x + 3 y − 5 = 0תשובה x = , y = : 4 6 x y , z ( x, y ) = x 2 + y 2האילוץ + = 1 4 3 2 , z ( x, y ) = x 2 + y 2האילוץ ( x − 2 ) + ( y − 2 ) 2 = 9 .תשובה x = 1.44, y = 5.76 : 5 2 5 2 = , y2 תשובה : 2 2 = x2 2 2 , y1 = − , 2 2 x1 = − .5נסמן - x, yאורכם של ניצבים במשולש ישר זווית - S ,שטחו . מבין כל משולשים ישרי הזווית בעלי השטח Sמצא את משולש ,אשר יתרו היא 1 S = הקטנה ביותר ,אם ידוע כי xy . 2 תשובה x = 2S , y = 2S : -12בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה )פונקציות של שני משתנים ( .1פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי הנוסחה : f(x,y) = -0.02x3 + 0.63x2 – 0.01y3 + 0.24y2 כאשר xהוא מספר יחידות העבודה ו y -הוא מספר יחידות ההון. מהן כמויות העבודה וההון אשר יתנו תפוקה מקסימאלית ? מה תהיה אז התפוקה ? תשובה f(21,16) = 113.09 , (x, y ) = (21,16) : .2סופרמרקט קונה את שני סוגים של פחיות מיץ במחירים 3ש''ח ו 4-ש''ח לפחית . אם המיץ הזול ימכור ב x -ש''ח ) (x > 3לפחית ,המיץ היקר ימכור ב y -ש''ח ) ( y > 4לפחית ,אז תוך יום אחד יימכרו ) (700 − 500x + 400 y פחיות מיץ הזול ,ו (800 + 600 x − 700 y ) -פחיות מיץ היקר . מצא את מחירים x, yשמקיימים רווח מקסימאלי .תשובה x = 5.3, y = 5.5 : ) f ( x, y ) = Ax k y1−kפונקצית .3פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי ( Cobb-Duglasכאשר - xיחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל ''לעבודה'' ,כגון -A משקורות לעובדים - y ,יחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל על ציוד , מקדם קנה –המידה - k ,קבוע . 0 < k < 1 , הון ,שנותן בנק להוצאות המפעל ,הוא מוגבל x + y = M : - M ,קבוע M > 0 , מהן כמויות ההון ''לעבודה '' ולציוד כך שפונקצית התפוקה ) f ( x, yתהיה מקסימאלית ? השתמש בכופלי לגרנז' לפתור את הבעיה עם הנתונים הבאים : M = 70, )א( f ( x, y ) = xy תשובה x = 35, y = 35 : )ב( f ( x, y ) = 4 3 xy 2 M = 60, תשובה x = 20, y = 40 : )ג( f ( x, y ) = 5 x 2 y 3 M = 150, תשובה x = 60, y = 90 : )ד( f ( x, y ) = 2 6 xy 5 M = 32, תשובה x = 5.33, y = 26.67 : )ה( f ( x, y) = 6 x 2 y 4 M = 64, תשובה x = 21.33, y = 42.67 : .4חברה מונופוליסטית משווקת את אותו המוצר בשני מרכזים שונים במחירים שונים .אם מחיר המוצר במרכז Aהוא ₪ xובמרכז Bהוא ₪ y אזי הביקושים היומיים יהיו qA = 57 – xו , qB = 82 – 2y -בהתאמה. עלות הייצור היא .₪ 577 + 3qA – 5qB מה צריך להיות מחיר המוצר בכל אחד מהמרכזים ,כדי שהרווח יהיה מקסימאלי ? מהן הכמויות שימכרו ומה יהיה אז הרווח ? )f(30,18) = 1210 , (q A , q B ) = (27,46) , (x 0 , y 0 ) = (30,18 תשובה : .5מפעל מייצר שני סוגים של מחסני עץ A :ו B -בכמויות q Aו q B -בהתאמה . המחירים לצרחן הם p Aו p B -אלפי ₪ליחידה ,בהתאמה .בהנחה שכל כמויות הייצור משווקות לצרחן ,מהן כמויות הייצור אשר מניבות רווח מקסימאלי ,כאשר p B = 36 − q B 2ועלות הייצור היא . 3.5q A 2 + 1.5q B 2 , p A = 26 − q A 2 תשובה . q B = 3 , q A = 2 : -13האינטגרל הלא מסוים חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בטבלת האינטגרלים. I : והתכונות ∫ (1 + e ∫ (3 x .3 x 2 ) dx x 2 + 3x 6 − 2 x 4 dx .6 ∫ x4 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3x ∫ 3x dx .9 ∫ (2 cos x − 3 sin x)dx 2 7x5 + x − x2 dx ∫ x3 .5 dx x .8 ∫2 ( x 2 + 1)dx ∫ x .*12 ∫ (x .2 − 4 x + 5) dx − 1)( x + 3) dx .1 ∫ (3 x − 4) 2 dx .4 4 .7 2 ∫ 3x dx ∫( .11 2 x + 1)( x − x + 1) dx . 10 : לחשב את האינטגרלים הבאים השתמש במשפט. II 1 ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + c אז, ∫ f ( x)dx = F ( x) + c ∫ 3 4 − 5 x dx .3 ∫ (5 − 8 x ) ∫ 2 − 3x dx .6 ∫ (9 x − 2) ∫2 .9 1 3−2 x dx 6 1 ∫e ∫ cos 2 xdx .* 12 ax 6 ∫ (2 x + 1) .2 dx ∫ .5 dx 4 x .1 dx .4 ∫e .7 4 −3 x dx dx ∫3 ∫ sin 7 xdx . 11* ∫ cos 5 dx 9 8 − 7 x dx .8 dx אם 2 x +1 .10 ∫ sin( 4 + 3x)dx .* 13 .* 14 : השתמש בשיטת ההצבה לחשב את האינטגרלים הבאים. III . ∫ (3x 2 + 4 x)( x + 2 x ) dx 3 2 3 −x ∫ xe dx .6 ∫y 2 x2 ∫ 7 − x 3 dx ∫ 2 xdx 6 − x2 ∫ (x .3 ∫ .12 ∫ sin 2 4 ∫ (x .2 − 7) 3 5 x 4 dx 1 + 2 y 2 dy ∫x .9 5 ∫ .5 ∫ 3 − x 5 dx . 8 6x 3x 2 + 1 dx x cos x dx .* 14 2 + 1) 7 2 xdx .1 xdx x2 − 7 x 3 dx .4 .7 x 4 −1 4x3 ∫ x 4 −16dx . 10 . 11 ∫ cos 3 x sin x dx . *13 -14: חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בשיטת ההצבה. IV dx xdx x 2 x − 1 dx .2 .3 .1 ∫ ∫ x (1 − x ) x +1 ∫ xdx ∫ (x − 1) 3 .5 7 ∫ (3x + 1) 2 xdx .6 ∫ x(2 x + 5) 10 dx .4 ex x x ∫ e x −1dx .8 ∫ e e − 2dx .7 : השתמש באינטגרציה בחלקים לחישוב את האינטגרלים הבאים. V ln (1 + x ) ∫ x 2 dx .4 ∫ x ln xdx .3 ∫ x 2 e 3 x .2 ∫ xe x .1 x ∫ (2 x + 1)3 dx .8 ∫ (3x + 2) sin 2 xdx .* 12 dx ∫ ( x − 2)( x + 1) ∫x 2 xdx + 5x + 4 .4 .8 .*14 ∫ x ln( x 2 ∫ sin x dx .* 10 ∫ x cos xdx . *11 2 + 1) dx .5 x ∫ e dx 3 .9 : חשב את האינטגרלים של פונקציות רציונאליות. VI x −1 x x dx . 3 ∫ x + 1dx .2 ∫ x +1dx .1 ∫ ( x 2 − 1) dx 2 − 1) ∫ x (x x 2 dx ∫ ( x − 2) 2 ( x − 1) .*11 dx ∫ x 3 − 4 x 2 + 5x 3 x ∫ x e dx .6 x ∫ x 2 dx . 7 .7 ∫x 2 dx .6 − 5x + 4 xdx ∫ (x + 2) 2 ( x + 1) ∫x 2 dx − 5x + 6 dx ∫ x 2 (x − 1) .*10 x 2 dx ∫ 2x 2 − 9x + 4 dx ∫ x( x 2 + 1) .* 13 .5 .*9 .*12 : ( 13 , 14 'תשובות )עמ ( ) 3 5 2 ( ) 4 1 x5 − 7 1 2 +c . 2 + c .8 − e − x + c .6 x 2 − 7 2 + c .4 .III 4 2 x 1 5 sin + c .14 sin 2 x + c .12 ln x 4 − 16 + c . 10 5 2 1 (2 x + 5)12 − 1 (2 x + 5)11 + c .4 2 (x − 1)7 − 4 (x − 1)5 + 2 (x − 1)3 + c .2 . IV 48 8 7 5 3 2 1 (3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c . 6 ln e x − 1 + c .8 81 36 2 1+ x 2 2 ⎞ ⎛1 x 2 − 1 e x + c .6 ln x − ln(1 + x) + c .4 ⎜ x 3 − x + ⎟e 3 x + c .2 .V 9 27 ⎠ x ⎝3 (2 x + 1)3 x 2 ⋅ 3 x 2 sin x − 2 x cos x + c .10 − + c .8 ln 3 (ln 3)2 2 3− x − 15 ( ( ) ) 3 ⎛3 ⎞ sin 2 x − ⎜ x + 1⎟ cos 2 x + c . 12 4 ⎝2 ⎠ - 15האינטגרל המסוים .נוסחת ניוטון -לייבניץ חישוב שטחים של תחומים מישוריים על ידי אינטגרל מסוים . . Iחשב את האינטגרלים הבאים : .1 2 ∫ x(3 − x)dx 3 .2 dx ∫1 x .5 (2 x + 1)dx ∫0 x 2 − 2 x − 3 0 2 ex ∫1 e x − 1dx . 4 .7 ,כאשר −1 ln xdx .8 e 2 ∫x .9 dx 1 1 תשובות .1 : 3 0 2 x x .6 1 3x ∫ (2 x + 5)e dx −1 π 9 ∫ x sin xdx .*10 ∫1+ 0 4 1 .3 3 ln 3 .2 3 3 − ln 3 .5 2 4 .9 3 + 2 ln 3 2 ∫ x x + 4dx . 3 x<0 ⎧ x, f ( x) = ⎨ 2 x≥0 ⎩ x + 1, 1 ∫ f ( x)dx 5 ln( e + 1) .4 6 19 3 7 −3 e − e .6 9 9 .7 5 6 − .8 2e 3 + 1 9 π . 10 . IIחשב את שטח של התחום Dהחסום על ידי הקווים הנתונים : ⎪⎫ ⎧⎪ y = x 2 − 2 x − 6, ⎨D: ⎬ .1 2 ⎪⎩ y = 6 − x ⎪⎭ ⎧ y = − x + 3, ⎫ ⎪ ⎪ 2 D : ⎨ y = x − 2 x − 3, ⎬ .2 ⎪ ⎪ ⎩x ≥ 0 ⎭ D : { y = x 3 , y = x} . 4 ⎧y = −x2 , ⎫y = 0 ⎨D: ⎬ .5 y = x−2 ⎩ ⎭ .7 ⎧y = x2 , ⎫y = 0 ⎨D: ⎬ .3 ⎭ ⎩ y = −x + 6 ⎫ ⎧ y 2 = x, ⎨D: ⎬ .6 ⎭⎩ y = x − 2 ⎧y = x, ⎫y = 0 ⎨D: ⎬ y = x−2 ⎩ ⎭ .8לפרבולה y = x 2העבירו משיק בנקודה . x = 1 מצא את שטח הכלוא בין הפרבולה ,הישר המשיק ,וציר ה.y- 2 תשובות(1) : 3 5 1 )(6) S = (5 S=4 6 2 S = 41 )S = 13.5 (2 10 )(7 3 2 )(3 3 =S S = 10 1 )(8 3 1 )(4 2 =S =S -16אינטגרל כפול . Iחשב את סכום רימן של ) f ( x, yהמתאים לחלוקה ב 4-חלקים שווים ותלוי בבחירת הנקודה ) ( x i , y jבמלבן )או ריבוע ( . Di x .1 y 0 ≤ y ≤ 1} , = ) f ( x, y D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4} , f ( x, y ) = x 2 + y 2 . 2 f ( x, y ) = 2 xy − y 2 .3 D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3, D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} , 3 3 = , x1 = 2 , x 2 , x3 = 2 2 2 תשובות .1 :עבור ∑ 1 1 i =1 = y0 = , y1 , y 2 = 1 , y3 = 1 2 2 4 x = 1 , x1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 2 .2עבור 0נקבל f ( xi , y i )∆Di = 36 ∑ y 0 = 2 , y1 = 3 , y 2 = 3 , y 3 = 2 i =1 x 0 = 1 , x1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 3 4 נקבל f ( x , y ) ∆ D = 22 ∑ i i i 1 3 1 .3עבור 3 = , y1 = , y2 = , y3 = y0 i =1 2 2 2 2 = x0 21 נקבל = f ( xi , y i )∆Di 8 4 . IIתוך שימוש בתכונה )m ⋅ S ( D) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤M ⋅ S ( D D כאשר ) m = min f ( x, y ), M = max f ( x, y הערך את האינטגרלים הבאים : D D }D ={( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 .1 I = ∫∫ ( x + y + 1)dxdy, D D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2} . 2 I = ∫∫ xy( x + y )dxdy, D . IIIחשב את האינטגרלים החוזרים הבאים : 2x 1 0 0 ∫ dx ∫ dy . 3 y dy . 4 x 2x 4 x 2 ∫ ∫ dx ln y 2 0 1 x ∫ dy ∫ e dx .5 . IVחשב את האינטגרלים הכפולים הבאים : ∫∫ e dA, D = {( x, y) 1 ≤ x ≤ 3,−1 ≤ y ≤ 2} . 6 x+ y D ={( x, y ) x + y = 6, y = 0, x = 0} . 7 D ∫∫ xydA, D D = D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2 x} . 8 .9 } y ∫∫ x dA, D { + y )dA, D = ( x, y ) y = x 2 , y 2 = x 2 ∫∫ ( x D תשובות 2 ≤ I ≤ 8 .1 : .6 .2 e5 − e3 − e2 + 1 1 .3 0 ≤ I ≤ 64 .7 54 9 .4 9 .8 1 .5 2 33 .9 140 . Vחשב את Vנפח של הגוף החסום על ידי המשטחים הבאים : x y + + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 . 1 2 3 x = 4, y = 4, x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + z = 1 . 2 x = 0, y = 0, z = x 2 + y 2 . 3 2 x + 3 y − 12 = 0, תשובה V = 1 : תשובה S = 72 : 9 תשובה : =S 2
© Copyright 2024