וקטורים
פרק 2 כל וקטורים הזכ נניח שיש לנו שני סוגי דגנים ,נקרא להם דגן Uודגן .Vלכל אחד מהם יש פירוט ויטמינים ,נגיד B1,B2,B6,B12 V U 1.7 1.3 B1 1.4 1.5 B2 ות וי 1.6 1.8 B6 4.9 5.2 B12 במ״ג עבור 100גרם של דגן .נניח שאנחנו הולכים להכין תערובת של 70גרם של דגן Uו־ 80גרם של דגן .Vכמובן שאנחנו רוצים לדעת כמה ויטמינים מכל סוג נקבל בתערובת הזאת .נוח לערוך חישוב באופן הבא 3 2 2 3 2 3 3 2 שמ 1:77 60:7 1:3 + 0:8 1:77 62:277 1:37 6 6 7 6 7 6 7 6 7 6 61:47 60:7 1:5 + 0:8 1:47 62:177 61:57 6 7 6 7 6 7 6 7 0:7 6 7 + 0:8 6 7 = 6 7=6 7 61:67 60:7 1:8 + 0:8 1:67 62:547 61:87 5 4 5 4 5 4 5 4 4:9 0:7 5:2 + 0:8 4:9 7:56 5:2 נקרא לקבוצה סדורה של ארבעה מספרים וקטור עם ארבעה רכיבים )ארבע קואורדינטות( .לפעולה 3 2 3 2 נקרא מכפלה של וקטור במספר )סקלר( ולפעולה 3 2 3 2 3 2 y x + y1 7 x 6 17 6 17 6 1 7 6 6 7 6 7 6x + y2 7 6x2 7 6y2 7 7 6 7+6 7=6 2 7 6 6 7 6 7 6x3 + y3 7 6x3 7 6y3 7 5 4 4 5 4 5 y4 x4 + y4 x4 18 ות ור x kx 6 17 6 17 6 7 6 7 6x2 7 6kx2 7 6 7 6 k 6 7 = 6 77 6x3 7 6kx3 7 4 5 4 5 x4 kx4 .2.1 פרק .2וקטורים משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים נקרא חיבור של שני וקטורים. ניתן להגדיר בדיוק באותו אופן חיבור של שני וקטורים ומכפלה של וקטור בסקלר עבור וקטורים עם nרכיבים כאשר nמספר טבעי כלשהו .בהמשך אנחנו נעשה את זה אבל בינתיים נדון במשמעות גיואמטרית של וקטורים עם שניים ושלושה רכיבים. בחישוב שערכנו קודם כתבנו רכיבים של וקטור בעמודה .כמובן שאפשר לכתוב אתם רכיבים בשורה, העיקר הוא לכתוב אותם באותו סדר .אז החישוב הקודם יראה כך כל ]0:7 [1:3; 1:5; 1:8; 5:2] + 0:8 [1:7; 1:4; 1:6; 4:9] = [2:27; 2:17; 2:54; 7:56 כמו כן ניתן לסמן וקטור ע״י סוגים שונים של סוגריים .אנחנו נסמן וקטור בעזרת סוגריים מרובעות. הזכ 2.1 משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים נתון קטע עם קצוות בנקודות Aו־ .Bאנו יכולים לרשום את הקטע הזה כ־ ABאו .BAקטע נקרא ! מכוון אם נבחר עליו כיוון .למשל ,אם על קטע ABנבחר כיוון מ־ Bל־ Aאז נרשום את זה כךBA : ! ואם נבחר כיוון מ־ Aל־ Bאז נרשום את זה כ־ .ABנקרא לשני קטעים מכוונים שווים אם יש להם אותו כיוון ואותו אורך. ות וי 3 1 u2 וקואורדינאטות של נקודה Bהן ) (xB ; yBאז ! אם קואורדינאטות של נקודה Aהן ) (xA ; yA 8 < : ! מעכשיו והלאה נקרא לקטע מכוון ABוקטור .AB אם ) A(xA ; yAו־ ) B (xB ; yBאז 3 2 ! = 4xB xA5 u = AB yB yA ות ור xB xA = u1 yB yA = u2 שמ 2 u ! נתאים לכל וקטור u = 4 5קטע מכוון ABבאופן הבא: לנקודה Aנקרא נקודת התחלה )מוצא של וקטור( ולנקודה Bנקרא נקודת סוף שלו .ההתמאמה של וקטור לקטע מכוון לא חד–חד ערכית ,לכל וקטור ניתן להתאים אין סוף קטעים מכוונים. אלכס גולדוורד ולביא קרפ 19 פרק .2וקטורים משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים .2.1 u1 u2 u1 u2 u u1 u2 כל u1 u2 u u u1 u u2 u לכל הקטעים האלה יש אותו הפרש בין קואורדינטות מתאימות של קצה הקטע והתחלה שלו .לעתים הזכ קרובות נוח להתחיל קטע מכוון שמתאים לווקטור הנתון בראשית הצירם .אז קואורדינטות של נקודת סוף שוות לקואורדינטות של הווקטור עצמו. 2.1.1 שוויון של וקטורים 3 2 3 4 = u נקראים שווים אם = v ; u = v ות וי v u1 5 שני וקטורים ; v = 4 1 5 v2 u2 2 2 1 2 .u1 גיאומטרית זה אומר שלווקטורים שווים יש אותו אורך ואותו כיוון. 2.1.2 גודל של וקטור נגדיר גודל של וקטור 3 2 u u2 1 u=4 5 juj = u + u 2 2 ! 2 1 אם u = ABאז jujשווה לאורך של קטע .AB " # 3 p = uאז .juj = 9 + 16 = 5 4 (2נוכיח ש־ juj = 0אם ורק אם .u = ~0 # u1 ; juj2 = u21 + u22 = 0 , u1 = u2 = 0 , u = ~0 u2 אלכס גולדוורד ולביא קרפ 20 " ות ור דוגמה (1 2.1.1אם שמ ע״י נוסחה p = u .2.1 פרק .2וקטורים 3 משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים 2 1 2 וקטור שאורכו שווה 1נקרא וקטור יחידה .למשל ,וקטור u = 4 p3 5הוא וקטור יחידה. 2 מעכשיו והלאה נסמן את וקטורי יחידה באופן הבא ,אם וקטור uהוא וקטור יחידה אז נרשום את זה u כך^ : 2.1.3 כל 3 2 משמעות גיאומטרית של חיבור וקטורי 3 2 u v ! ! אם u = 4 5ו־ .v = 4 5נצייר את וקטור uכ־ ABכאשר ) A(xA ; yA ); B (xB ; yBווקטור vכ־ BC u v ! כאשר ) .C (x ; yמיד רואים שוקטור w = u + vהוא וקטור ACכי 1 2 C ולכן C 2 3 2 3 u1 ! xB u = 4 5 = AB = 4 xA 5 yA yB 3 u2 3 2 2 v1 ! xC xB 5 v = 4 5 = BC = 4 v2 yC yB 3 2 2 3 u 1 + v1 5 4xC xA 5 = u 2 + v2 yC yA w =u+v =4 ות וי נסכם: 2 הזכ ו־ 1 ! = AC ; v = BCאז ! ! u = AB אם ! ! .w = u + v = AB + BCלכלל הזה קוראים כלל המשולש. שמ יש עוד כלל לחיבור של שני וקטורים והוא מתקבל משוויון .u + v = v + uאם לשני וקטורים יש מוצא ות ור משותף אז סכום שלהם הוא אלכסון מכוון במקבילית .לכלל הזה קוראים כלל המקבילית. אלכס גולדוורד ולביא קרפ 21 .2.1 פרק .2וקטורים משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים 2.1.4גודל של סכום 2 3 2 3 u u v 1 + v1 1 אם u = 4 5 ; v = 4 1 5אז 5 u + v = 4ולכן u 2 + v2 u2 v2 2 3 ) ju + vj = (u + v ) + (u + v = (juj + jvj) = juj + jvj + 2jujjvj 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 כל q ) u21 + u22 + v12 + v22 + 2 (u21 + u22 ) (v12 + v22 בעזרת חישוב הנ״ל ניתן להוכיח )הקורא מוזמן לנסות( ש־ .juj + jvj ju + vjקיימת אפשרות פשוטה יותר להוכיח את אי השוויון הנ״ל והיא לפנות לאי שוויון המשולש כי juj + jvjשווה לסכום של שתי צלעות במשולש ו־ ju + vjשווה לצלע השלישית .נסכם את הדיון בטענה. הזכ משפט 2.1.1לכל שני וקטורים u; vמתקיים אי שוויון ju + vj juj + jvj 2.1.5 ות וי בהמשך נברר עבור איזה וקטורים מתקיים שוויון במקום אי שוויון. וקטור אפס ווקטור נגדי 2 3 3 2 u1 5 0 ניקח וקטור ~0 = 4 5לכל וקטור u2 0 ! לווקטור אפס מתאים קטע מכוון AAכאשר Aנקודה כלשהי במערכת צירים .לכן אורך של וקטור אפס u = 4מתקיים השוויון .u + ~0 = uהווקטור ~0נקרא וקטור אפס. ולווקטור 2אפס אין כיוון. שווה אפס 3 3 u=4 שמקיים את השוויון u + ( u) = ~0 וקטור u ! ! נקרה וקטור נגדי של וקטור .uגיאומטרית ,אם = AB מעכשיו והלאה נכתוב את הסכום ) u + ( vכ־ v u ! אז = BA u uונקרא לפעולה הזאת חיסור של שני וקטורים. בעזרת וקטור אפס וחיסור של וקטורים ניתן לעשות העברת אגפים בשוויון וקטורי: v = ~0 אלכס גולדוורד ולביא קרפ u=v,u 22 ! ! ו־ = AB + BA ות ור .AA = ~0 שמ u1 u1 5 לכל וקטור u = 4 5קיים וקטור u2 u2 2 פרק .2וקטורים 2.1.6 3 2 .2.1 משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים משמעות גיאומטרית של כפל של וקטור בסקלר 3 2 u1 u1 5 אם u = 4 5אז .w = u = 4לכן, u2 u2 q :jwj = ( u1 )2 + ( u2 )2 = jj jwj כל כיוון של wחופף לכיוון של uכאשר , > 0נגדי לכיוון של uכאשר . < 0מדיון הנ״ל משתמע משפט הבא: ! ! משפט 2.1.2קטע ABמקביל לקטע CDאם ורק אם קיים מספר כך ש־ .CD = AB נחזור שוב לתנאי הקבלה של שני וקטורים 3 הזכ v = u מתנאי הזה נובע ש־ 2 y1 ;v = 4 5 y2 3 2 x1 ;u = 4 5 x2 x1 y2 x2 y1 = 0 ננסח את הקשר הזה כך :הווקטורים u; vלא מקבילים אם ורק אם ות וי x1 y2 x2 y1 6= 0 משפט הבא חושף משמעות גיאומטרית של הביטוי x2 y1 3 2 3 2 x y משפט 2.1.3אם = 4 1 5 ; v = 4 1 5 x2 y2 הווקטורים .u; v jx1 y2שווה לשטח של מקבלית שנוצרת ע״י נכניס את המקבילית שלנו למערכת צירים כך שהמוצא משוטף של הווקטורים u; vיהיה שמ הוכחה. u אז המספר x2 y1 j .x1 y2 בראשית הצירים. ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 23 .2.1 פרק .2וקטורים משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שני רכיבים אז, כל ) SOABD = SOEBF 2(SOEA + SAEB = (x1 + y1 ) (x2 + y2 ) = x1 x2 + x1 y2 + x2 y1 + y1 y2 2SOEA = x2 (x1 + y1 ) = x1 x2 + x2 y1 2SAEB = y1 (x2 + y2 ) = x2 y1 + y1 y2 SOABD = x1 y2 x2 y1 SOEBF כמובן ,מה שנעשה נכון רק לגבי המצב המצוייר ועל מנת להשלים את ההוכחה יש לעבור על כל המצבים האפשריים. הזכ 2.1.7 3 דטרמיננטה של שני וקטורים 2 y יהיו = 4 5 y 1 3 x x2 2 1 u = 4 5;v 2 המספר הזה כך שני וקטורים .המספר x2 y1 3 x1 y2נקרא דטרמיננטה שלהם .נהוג לסמן את det[u; v] = det 4 ות וי x1 y1 5 = x1 y 2 x2 y 1 x2 y2 2 בפרק הקודם ראינו שערך מוחלט של דטרמיננטה של שני וקטורים שווה לשטח של מקבילית שנוצרת על ידם. 2.1.8 וקטורי יחידה 1 נציין שלכל וקטור uהוקטור juj u wהוא וקטור יחידה .קל לראות שהווקטורים =^ 2 3 2 3 שמ ^i = 415 ; ^j = 405 0 1 הם וקטורי יחידה .ניתן לתאר את וקטור ^iכקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר Xואורכו .1וקטור ^jניתן לתאר כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע u1 5 החשיבות של וקטורים ^i; ^jמתבטא בזה שכל וקטור u2 2 3 ות ור לאורך ציר Yואורכו .1 3 2 u = 4ניתן לכתוב כך: 2 3 3 2 u1 1 0 u = 4 5 = u1 4 5 + u2 4 5 = u1 ^i + u2 ^j u2 0 1 לוקטור w = u + vקוראים צירוף לינארי של וקטורים uו־ .vאז ,ראינו שכל וקטור u 2 R2ניתן לכתוב כצירוף לינארי של ^iו־ .^j אלכס גולדוורד ולביא קרפ 24 פרק .2וקטורים 2.2 .2.2 משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שלושה רכיבים משמעות גיאומטרית של וקטורים עם שלושה רכיבים כדי להעניק משמעות גיאומטרית לווקטור עם שלוש קואורדינאטות אנחנו צריכים מערכת עם שלושה צירים. כל הזכ 3 2 ות וי u 6 17 6 7 נעניק משמעות גיאומטרית לוקטור u = 6u2 7בדיוק באותו אופן כמו לווקטור עם שני רכיבים .נתאים 4 5 u3 ! ל־ uקטע מכוון ABכאשר קואורדינאטות של נקודה Aהן ) (xA ; yA ; zAוקואורדינאטות של נקודה Bהן ) (xB ; yB ; zBומתקיימים שלושה שיוויונים xB xA = u1 yB yA = u2 zB zA = u3 3 8 > > > < > > > : 2 שמ u 6 17 p 1 6 u אורך של וקטור u = 64u2 775ניתן לחשב כ־ .juj = u21 + u22 + u23קל לראות שגודל של וקטור ^ = u juj u3 שווה .1 ניתן לחבר שני וקטורים עם שלושה רכיבים לפי כלל המשולש או לפי כלל המקבילית בדיוק באותו ות ור אופן כמו וקטורים עם שני רכיבים .לכפל של וקטור עם שלושה רכיבים בסקלר יש אותה משמעות גיאומטרית כמו לכפל של וקטור עם שני רכיבים בסקלר .גם משפט על קטעים מקבילים מתקיים במרחב. 2.2.1 וקטורי יחידה במרחב 2 3 2 3 2 3 1 0 0 6 7 6 7 6 7 ^ 6 7 ^ 6 7 6 7 ^ ניקח שלושה וקטורים .i = 607 ; j = 617 ; k = 607קל לראות שכל אחד מהם הוא וקטור יחידה .ניתן 4 5 4 5 4 5 0 0 1 ^ לתאר את ^iכקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר Xואורכו j .1ניתן אלכס גולדוורד ולביא קרפ 25 .2.3מכפלה סקלרית ב־ R2 ; R3 פרק .2וקטורים לתאר כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר Yואורכו 1ווקטור ^ kניתן כקטע מכוון שמתחיל בראשית של מערכת צירים ומשתרע לאורך ציר Zואורכו .1קל לראות שכל לתאר 2 3 u וקטור 6 17 6 7 6u2 7 4 5 = uניתן לכתוב כך u3 2 3 2 3 2 3 3 2 כל 0 0 1 u 6 7 6 7 6 7 6 17 6 7 6 7 6 7 6 7 ^ u = 6u2 7 = u1 607 + u2 617 + u3 607 = u1 ^i + u2 ^j + u3 k 4 5 4 5 4 5 4 5 1 0 0 u3 לוקטור d = u + v + wקוראים צירוף לינארי של וקטורים .w; v; uאז ,ראינו שכל וקטור עם שלושה רכיבים ניתן לכתוב כצירוף לינארי של ^j; ^iו־ ^ .k הזכ על מנת לקצר בניסוחים נסמן אושף של כל הווקטורים עם שני רכיבים ממשיים ב– הווקטורים עם שלושה רכיבים ממשיים ב– .R3 2.3 R 2 ואוסף של כל מכפלה סקלרית ב־ R2 R3 ; ות וי נתחיל ממשמעות פיזיקאלית של פעולה שנקראת מכפלה סקלרית .אם וקטור Fמייצג כוח שפועל על הגוף ווקטור xמייצג העתק של הגוף )קטע מכוון שמחבר מיקום התחלתי של גוף עם מיקום סופי של הגוף( ו־ היא זווית בין הווקטורים Fו־ sאז המספר jFj jxj cosשווה לעבודה שמבצע כוח Fעל הגוף. שמ הגדרה 2.3.1אם v; uשני וקטורים ב־ Rאו Rו־ היא זווית ביניהם ) (0 180 juj jvj cosנקרא מכפלה סקלרית של הוקטורים uו־ vנסמן אותה כך .u v 2 3 u v > 0 .1אם ורק אם 0 < < 90 u v < 0 .2אם ורק אם 90 < < 180 ות ור תכונות של מכפלה סקלרית )הקורא מתבקש להוכיח אותן(: .3אם u 6= 0; v 6= 0אז u v = 0אם ורק אם וקטור uמאונך לוקטור .v u v = v u .4לכל u; vמ־ R 2 או R 3 u u = juj2 .5 אלכס גולדוורד ולביא קרפ 26 אז המספר .2.3מכפלה סקלרית ב־ R2 ; R3 פרק .2וקטורים u (v) = (u v) .6לכל u; vמ־ R 2 או R 3 ולכל . 2 R תרגיל (1 2.3.1יהיה .u 2 R3נוכיח שאם לכל וקטור x 2 R3מתקיים u x = 0אז .u = ~0 פתרון :השוויון הנתון מתקיים לכל וקטור .xאז נציב בו u = xונקבל ש־ .u u = juj2 = 0לכן .u = ~0 נגדיר עכשיו מושג של היטל של וקטור על וקטור אחר. כל הגדרה 2.3.2וקטור wנקרא היטל של וקטור vעל uאם וקטורים w = t uו־ w + h = vכאשר וקטור hמאונך לוקטור .uסימון של היטל.w = Pru v : הזכ ות וי קל לראות ש־ j Pru vj = jvj cosכאשר 0 < < 90 ו־ j Pru vj = jvj cosכאשר .90 < < 180לכן, u v = u Pr v u נציין תכונה חשובה של היטל: Pr (u + v) = Pr u + Pr v w w w ציור הבא מוכיח את הטענה הזאת עבור מקרה אחד של מצב הדדי של הוקטורים. שמ ות ור הוכחה מלאה נמצאת בנספח לפרק הזה. מתכונה הזאת נובעת תכונה הבאה של מכפלה סקלרית )ראה הוכחה מפורטת בנספח לפרק הזה(: u (v1 + v2 ) = u v1 + u v2 אלכס גולדוורד ולביא קרפ 27 )(2.1 .2.3מכפלה סקלרית ב־ R2 ; R3 פרק .2וקטורים תרגיל 2.3.2יהיו .u; v 2 R3נוכיח שאם u x = v xלכל x 2 R3אז .u = v פתרון :משוויון הנתון נובע ש־ .u x v x = ~0לפי נוסחה ) .(u v) x = 0 (2.1השוויון האחרון מתקיים לכל וקטור .xאז נציב בו x = u vונקבל ש־ .ju vj2 = 0לכן u v = ~0ומה נובע ש־ .u = v קואורדינאטות של וקטורים .נעשה את זה ב־ .R2 לחישוב מכפלה סקלרית לפי 2 3 נפתח עכשיו נוסחה2 3 u ניקח = 4 5 = u ^i + u ^j u 1 1 2 u כל 2 הכרנו v1 5 ו־ = v1 ^i + v2 ^j v2 =4 .vלפי תכונות של מכפלה סקלרית שכבר )u v = (u1 ^i + u2 ^j) (v1 ^i + v2 ^j בדיוק באותה דרך מתקבלת נוסחה עבור וקטורים ב־ .R3נסכם את מה שנעשה במשפט הבא: 3 2 3 2 הזכ v u 6 17 6 17 6 7 6 7 משפט u = 6u2 7 ; v = 6v2 7 2.3.1אז 4 5 4 5 v3 u3 u v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 v 6 17 6 7 6v2 7 4 5 = u 6 17 6 7 6u 2 7 ; v 4 5 = .uמהגדרה של מכפלה סקלרית נובע ש־ v3 u3 u21 + u22 + u23ו־ p ות וי בעזרת משפט אחרון ניתן לחשב זווית בין שני וקטורים 2 3 נראה איך 2 3 p p .jvj = v v = v + v + v 2 3 2 2 2 1 cos = juuj vjvjכמו כןjuj = pu u = , אז u v + u v2 + u3 v3 : cos = p 2 1 21 22 p u1 + u2 + u3 v12 + v22 + v32 בעזרת מכפלה סקלרית אפשר לחשב היטל של וקטור .ניקח שוויון שמגדיר היטל של וקטור vעל וקטור tu+h=v ונכפיל שני אגפים שלו בוקטור .uמתקבל שוויון = tמפה מתקבלת נוסחה למציאת היטל והיא uv Pr =v u u juj 2 אפשר לחשב קצת אחרת .נגיד שזווית בין הוקטורים u; vשווה .אז ות ור (u h = 0) t juj = u v 2 uv אז juj2 שמ u Pr v = jvj cos ; Pr v = Pr v u ^ ; u^ = 1 u u u juj u אלכס גולדוורד ולביא קרפ 28 .2.3מכפלה סקלרית ב־ R2 ; R3 פרק .2וקטורים גם בדרך הזאת ננגיע לאותה נוסחה כי uv 1 uv uv jujjvj ; Pr v = jvj jujjvj juj u = juj u 2 3 u = cos מכפלה סקלרית נוכל לתת הוכחה אחרת לטענה ששטח של מקבילית שנוצרת ע״י וקטורים בעזרת 2 3 2 כל x1 y1 u = 4 5 ; v = 4 5שווה .jx1 y2 x2 y1 jנסמן זויית בין הווקטורים ב־ .נשתמש במכפלה סקלרית x2 y2 u v = jujjvj cos = x1 y1 + x2 y2ובנוסחה לשטח של מקבילית .S = jujjvj sin ות וי הזכ = S 2 = juj2 jvj2 sin2 = juj2 jvj2 (1 cos2 ) = juj2 jvj2 (jujjvj cos )2 = (x21 + x22 ) (y12 + y22 ) (x1 y1 + x2 y2 )2 = x21 y12 + x21 y22 + x22 y12 + x22 y22 x21 y12 2x1 y1 x2 y2 x22 y22 x21 y22 + x22 y12 2x1 y1 x2 y2 = (x1 y2 x2 y1 )2 שמ ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 29 פרק .2וקטורים 2.4 .2.4נספח נספח R משפט 2.4.1לכל שני וקטורים v1 ; v2ממרחב 2 2 R 3 או מממרחב מתקיים השוויון Pr (v + v ) = Pr v + Pr v u u u 1 כל הוכחה .נעשה הוכחה עבור וקטורים במרחב 2 R 2 1 )במרחב R 3 היא לא משתנה( .השוויון שאנחנו רוצים להוכיח מבטא עובדה גיאומטרית ולכן נחשוב על הוקטורים u; v1 ; v2כעל קטעים מכוונים .נשים אותם במערכת צירים כך שקטע מכוון uישתרע לאורך ציר .Xנגיד ש־ 2 2 x1 5 x ; v2 = 4 2 5 y1 y2 הזכ 3 3 3 3 2 3 2 =4 v1 2 x1 + x2 5 x1 x2 .Pru v1 + Pru v2 = 4 אז Pru v1 = 4 5 ; Pru v2 = 4 5 ,ו־ 0 0 2 0 2 3 3 x1 + x2 5 x1 + x2 5 .Pru v1 + v2 = 4 v1 + v2 = 4ולכן כמו כן, 0 y1 + y2 2 ות וי משפט 2.4.2לכל שלושה וקטורים u; v1 ; v2ממרחב R או מממרחב R 3 מתקיים השוויון u ( v1 + v2 ) = u v 1 + u v2 הוכחה .נציין שאם v1 = t1 u; v2 = t2 uאזי = u (v1 + v2 ) = u (t1 u + t2 u) = u (t1 + t2 )u = (t1 + t2 )u u נעבור עכשיו למקרה כללי: שמ t 1 u u + t 2 u u = u t 1 u + u t 2 u = u v1 + u v2 = ) u (v1 + v2 ) = u Pru (v1 + v2 ) = u (Pru v1 + Pru v2 2 =uv +uv 1 u Pru v1 + u Pru v2 ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 30 פרק .2וקטורים 2.5 .2.5מכפלה וקטורית מכפלה וקטורית מכפלה וקטורית היא פעולה בין שני וקטורים ב־ R 3 שתוצאה שלה היא וקטור אשר מאונך לשניהם .לפני שנעבור להגדרה מדויקת נביא דוגמה לשימוש בפעלה הזאת בפיזיקה .על מטען חשמלי שנע בשדה מגנטי פעול כוח .הכוח הזה תלוי בשלושה גורמים :גודל של מטען חשמלי ,מהירות של מטען חשמלי ווקטור של שדה מגנטי .אם גודל של מטען חשמלי שווה יחידה אחת ומהירות של המטען היא וקטור vאז גודל כל של כוח Fשפועל על המטען הזה מתקבל לפי נוסחה jFj = jvj jBj sinכאשר וקטור Bמבטא כיוון ועוצמה של שדה מגנטי. הזכ ות וי כמו כן ,וקטור Fמאונך לווקטורים vו־ Bוכיוון של Fנקבע לפי הכלל הבא :נצייר וקטורים vו־ Bכך שיהיה להם מוצא משותף ונעביר דרכו ציר אנכי ל־ vול־ .Bאם נאחז בציר הזה ביד ימין כך שארבע אצבעות )חוץ מאגודל( יצביעו על כיוון סיבוב מוקטור vלוקטור Bונשים את האגודל לאורך הציר אז האגודל יצביע על כיוון של וקטור .Fלכלל קביעת כיוון של וקטור Fקוראים כלל יד ימין. שמ ות ור נעבור עכשיו להגדרה פורמאלית של מכפלה וקטורית. אלכס גולדוורד ולביא קרפ 31 .2.5מכפלה וקטורית פרק .2וקטורים הגדרה 2.5.1מכפלה וקטורית של שני וקטורים 2R 3 u; vהוא וקטור 2R 3 wהמקיים שלושה תנאים הבאים: w .1מאונך גם ל־ uוגם ל־ .v .2כיוון של וקטור wנקבע לפי כלל יד ימין כאשר ארבע אצבעות מצביעות על סיבוב מוקטור uלוקטור .v כל jwj = juj jvj sin .3כאשר היא זווית בין uל־ .v הערה 2.5.1המספר juj jvj sinשווה למשטח של מקבילית שבוניה על הוקטורים uו־ .v לפי הגדרה הנ״ל קל לחשב מכפלה וקטורית של וקטורי יחידה ^ .^i; ^j; kנרשום את כל המכפלות שלהם. הזכ ^i ^i = 0; ^i ^j = k^ ; ^i k^ = ^j ^j ^i = k^ ; ^j ^j = 0; ^j k^ = ^i ^ ^i = ^j; k^ ^j = ^i; k^ k^ = 0 k מהגדרה של מכפלה וקטורית מיד מתקבל משפט הבא. ות וי משפט u v = 0 2.5.1אם ורק אם קיים מספר tכך ש־ v = t uאו .u = t v אנחנו משאירים הוכחה של המשפט הזה כתרגיל לקורא. הגדרה 2.5.2יהיו u; v; wשלושה וקטורים .מספר (u v) wנקרא מכפלה מעורבת של וקטורים .u; v; w במשפט הבא אנחנו נראה משמעות גיאומטרית של מכפלה מעורבת. משפט 2.5.2נמסן נפח של מקבילון שבנוי על שלושה וקטורים u; v; wב־ .V (u v) w = V שמ הוכחה .אם אחד מהוקטורים הנתונים הוא וקטור אפס אז שוויון שרוצים להוכיח ברור מאליו .כמו כן, אם וקטורים u; vמקבילים אז גם (u v) w = 0ו־ = 0 אם וקטור wניתן להעתיק למישור שנקבע ע״י u; vאז שוב (u v) w = 0 ו־ .V = 0לכן ,נותר להתייחס למקרה כאשר וקטורים u; v; wלא קומפלאנאריים. .V ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 32 .2.5מכפלה וקטורית פרק .2וקטורים נזכיר שנפח של מקבילון שווה לגובה של מקבילון כפול שטח הבסיס .לפי הגדרה ,המספר jaj = ju vj שווה לשטח של מקבילית הנוצרת ע״י וקטורים u; vכמו כן a w = jaj jwj cos ,והמספר jwj cos שווה לאורך גובה של המקבילון .לכן ,במצב המצויר )וקטור uיותר קרוב אלינו מאשר וקטור (v .(u v) w = Vכדי לסיים את ההוכחה נציין שמספר (u v) wיכול להיות שלילי )כאשר .( > 90 כל משפט 2.5.3לכל שלושה וקטורים u; v; wמתקיים השוויון )(u v) w = u (v w הוכחה .מובן ש־ j(u v) wj = j(v w) ujכי מדובר על נפח של אותו מקבילון שיוצרים הווקטורים .u; v; wכמו כן ,המספרים (u v) wו־ (v w) uהם בעלי אותו סימן )מומלץ לדמיין שלושה 2.5.1 הזכ וקטורים במרחב על מנת להשתכנע בזה(. תכונות של מכפלה וקטורית u v = v u .1לכל ) .u; v 2 R3אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(. (t u) v = t (u v) .2לכל u; v 2 R3ולכל ) t 2 R3אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(. ות וי u u = 0 .3לכל ) u 2 R3אנו משאירים הוכחה לקורא כתרגיל(. (u + v) w = u w + v w .4לכל .u; v; w 2 R3 הוכחה) .של תכונה .(4ניקח וקטור כלשהו .d 2 R3 = )((u + v) w) d = (u + v) (w d) = u (w d) + v (w d (u w) d + (v w) d = (u w + v w) d משום שהשוויון ((u + v) w) d = (u w + v w) dמתקיים לכל d 2 Rנובע ש־ = (u + v) w uw+vw 3 שמ 2.5.2 חישוב מכפלה וקטורית לפי קואורדינאטות של וקטורים v 2 6 17 6 7 6v2 7 4 5 = u 6 17 6 7 6u2 7 ; v 4 5 v3 ^u2 v1 ) k = uאז u3 u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2 הוכחה .נציין ש־ ^ v = v1 ^i + v2 ^j + v3 k ות ור משפט 2.5.4אם 3 3 2 u v = (u2 v3 ;^ .u = u1 ^i + u2 ^j + u3 k לפי תכונות של מכפלה וקטורית 2ו־ 4ומכפלות וקטוריות של ^ ^i; ^j; kאנו מקבלים ש־ ^u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2 u2 v1 ) k אלכס גולדוורד ולביא קרפ 33 .u v = (u2 v3 פרק .2וקטורים 2.5.3 .2.5מכפלה וקטורית חישוב של נפח מקבילון מקבילון שנוצר ע״י שלושה וקטורים לפי קואורדינאטות שלהם. נראה 3איך 2לחשב 3נפח2של 2 3 w יהיו 6 17 6 7 6w2 7 4 5 w3 = v 6 17 6 7 6v2 7 ; w 4 5 = v3 u 6 17 6 7 6u2 7 ; v 4 5 = .uלפי משפט 2.5.4 u3 כל ^u3 v2 ) ^i (u1 v3 u3 v1 ) ^j + (u1 v2 u2 v1 ) k u v = (u2 v3 לפי משפט 2.5.2נפח של מקבילון )נסמן אותו כ־ (Vמתקבל כ־ = j(u v) wj יהיו V = j(u2 v3 u3 v2 )w1 (u1 v3 u3 v1 )w2 + (u1 v2 u2 v1 )w3 j הזכ 2.5.4 .Vלכן דטרמיננטה של שלושה וקטורים 3 2 3 2 2 3 ות וי v u w 6 17 6 17 6 17 6 7 6 7 6 7 w = 6w2 7 ; u = 6u2 7 ; v = 6v2 7 4 5 4 5 4 5 v3 u3 w3 שלושה וקטורים .המספר ) w1 (u2 v3 u3 v2 ) w2 (u1 v3 u3 v1 ) + w3 (u1 v2 u2 v1 נקרא דטרמיננטה שלהם .נהוג לסמן אותו כך 2 3 שמ w u1 v1 7 6 1 6 = det[w; u; v] = det 64w2 u2 v2 775 w3 u3 v3 = ) w1 (u2 v3 u3 v2 ) w2 (u1 v3 u3 v1 ) + w3 (u1 v2 u2 v1 3 2 3 2 3 2 ות ור u v u v u v w1 det 4 2 2 5 w2 det 4 1 1 5 + w3 det 4 1 1 5 u3 v3 u 3 v3 u2 v2 נציב במקום רכיבים של וקטור wוקטורי יחידה ^ .^i; ^j; kאם עכשיו נשתמש בנוסחה הנ״ל נקבל במקום מספר וקטור והוא מכפלה וקטורית של וקטורים u; v 3 ) u3 v2 ) ^j(u1 v3 u3 v1 ) + k^ (u1 v2 u2 v1 אלכס גולדוורד ולביא קרפ 34 2 ^i u v 7 det ^ u v 775 = ^i(u v ^ u v k 3 2 1 1 2 2 3 3 6 6 6j 4 .2.6 פרק .2וקטורים מרחב וקטורי .Rn מרחב וקטורי .Rn 2.6 בפרק הזה נגדיר חיבור וכפל בסקלר של וקטורים עם מספר כלשהו של רכיבים ונוכיח תכונות של הפעולות האלה. הגדרה 2.6.1יהיו 3 y1 2 כל 6 7 6 7 6 y2 7 6 7 6 .. 7 6 . 7 4 5 yn 3 = 6 7 6 7 6 x2 7 6 7; y 6 .. 7 6 . 7 4 5 שני וקטורים עם רכיבים ממשיים ויהיה מספר ממשי. 3 2 הזכ x1 7 6 7 6 6 x2 7 7 6 7 7 5 x = 6 . 6 . . 4 xn x1 2 =x xn 3 2 x1 + y1 7 6 7 6 6 x2 + y2 7 7 6 ;7 7 5 x+y =6 .. . xn + yn 6 4 קבוצה של כל הווקטורים עם nרכיבים ממשיים כאשר חיבור בין שני וקטורים ומכפלה של וקטור בסקלר ות וי מתבצעים לפי שתי נוסחאות שהגדרנו למעלה נקראת מרחב וקטורי .Rn נציין 8תכונות בסיסיות של הפעולות הנ״ל. .1לכל x; y 2 Rnמתקיים .x + y = y + x .2לכל x; y; z 2 Rnמתקיים ).(x + y) + z = x + (y + z .3קיים וקטור ,נקרא לא וקטור אפס ונסמן אותו ב־ ~0כך שלכל x 2 Rnמתקיים .x + ~0 = xהוכחה של הטענה הזאת פשוטה .ניקח 2 3 = ~0 0 6 7 6 7 6 x2 7 ;6 7 6 .. 7 6 . 7 4 5 =x xn ות ור .4לכל 2 Rn x1 שמ x + ~0 = x 0 0 6 7 6 7 6 7 ;6 7 6 .. 7 6.7 4 5 3 2 xקיים וקטור שנקרא וקטור נגדי של וקטור ,xנסמן אותו ב־ x .x + ( x) = ~0הוכחה: 3 x + ( x) = ~0 אלכס גולדוורד ולביא קרפ x1 7 x2 777 ;7 7 5 .. . xn 35 2 6 6 6 6 6 6 4 3 =x 2 x1 6 7 6 7 6 x2 7 6 7 ;x = 6 . 7 . 7 5 . xn 6 4 כך שמתקיים .2.6 פרק .2וקטורים מרחב וקטורי .Rn .5לכל x; y 2 Rnולכל 2 Rמתקיים .(x + y) = x + y .6לכל x 2 Rnולכל 2 R .7לכל 2 R ; מתקיים .( + )x = x + x ; ולכל x 2 Rnמתקיים .( x) = ( )x .8לכל x 2 Rnמתקיים .1x = x כל לרשימה הנ״ל )שלפני עצמה די משעממת( יש שני תפקידים חשובים .ראשית כל אנחנו נשתמש בתכונות האלה כאשר נדבר על מטריצות ועל מערכת משוואות .השימוש השני יבוא כאשר נגדיר מושג של מרחב וקטורי כללי .אז נראה שאותן תכונות יש לא רק לחיבור וכפל בסקלר של וקטורים עם מספר רכיבים אלא גם לחיבור וכפל בסקלר של עצמים מתמטיים אחרים כגון פולינומים ,פונקציות ,סדרות .העובדה הזאת תאפשר לנו להפוך 8תכונות הנ״ל לאקסיומות של מרחב וקטורי. הזכ ות וי שמ ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 36
© Copyright 2024