הוראת וקטורים - MathematicAmos
על הוראת נושא הוקטורים ע .ארליך משפט המנסרה ושימושיו ביסודות תורת הוקטורים משפט המנסרה ,שבתורת הוקטורים נעשה בו שלושה שימושים חשובים ,הוא משפט מגיאומטרית-המרחב האומר כך: אם AA`B`Bמקבילית ו BB`C`C -מקבילית אז גם AA`C`Cמקבילית. 'B 'A 'C B A C משפט זה נובע מטרנזיטיביות ההקבלה בגיאומטרית המרחב .הוכחה של טרנזיטיביות ההקבלה נמצאת במאמרו של מ .קורן "תורת הוקטורים וטרנזיטיביות ההקבלה" ,על"ה , 12אלול תשנ"ג ,וב- http://kesher-cham.technion.ac.il/clickit_files/files/index/552619713/468395775/429462975.pdf כדי שלא להתרחק מנושאיו הישירים של פרק הוקטורים אני הולך בעקבות המלצתו של מ .קורן ומציע לפתוח את פרק הוקטורים בציטוט משפט המנסרה. השימושים .1טרנזיטיביות השקילות-של-וקטורים מוכחת כשהמקביליוּת קשורה בשויון והקבלה של המקצועות הצדדיים. .2חיבור וקטורים אינו תלוי במיצגים .זה מוכח כשהמקביליוּת קשורה בשויון והקבלה של מקצועות הבסיסים. .3הזוית אינה תלויה במיצגים .זה נדרש לצורך הגדרת מכפלה סקלרית .ההוכחה על-ידי חפיפת הבסיסים ,בעזרת משפט החפיפה השלישי צצ"צ. פירוט להלן. שוויון וקטורים עמיצור' :הרעיון ששני דברים שאינם זהים ייקראו "שווים" מקובל במתימטיקה )ההדגשה שלי .ע.א(. מצדיקים שוויונות כאלה באפשרויות להשתמש בהן'. הסתמכות על "המקובל במתימטיקה" )= "סמוך עלי! זה בסדר!"( מסיעת לתלמידים לקבל דברים תמוהים ,אך אסור לה להיות נימוק בלעדי לקבלתם .יתר על כן ,אין בה אלא רמז קלוש ביותר למה שנובע מהשואתם של עצמים שונים. הצעתי :תחילה נגדיר וקטור כקטע עם כיוון ,שהוא קטע שקצהו האחד נחשב זנבו וקצהו השני נחשב ראשו .אחר כך נגדיר שקילות וקטורים ,ונראה שלשקילות שלש תכונות דומות לתכונות השוויון ) , ( a ≡ a , a ≡ b ⇒ b ≡ a , a ≡ b ∧ b ≡ c ⇒ a ≡ cואחר כך נאמר משהו מעין זה: "תורת הוקטורים אינה עוסקת בתכונות המבדילות בין וקטור אחד ובין חברו השקול לו אלא רק בתכונות המשותפות לכל שני וקטורים השקולים זה לזה .לכן נתיחס אל וקטורים שקולים כאילו היו שוים זה לזה ונכתוב ביניהם סימן שויון "=" .דבר זה מקובל במתימטיקה ,ומשמעו :אין בכונתנו לומר על וקטור אלא מה שנכון גם בשביל כל חבריו השקולים לו .כל וקטור ייצג לא רק את עצמו אלא גם את חבריו אלה". כדוגמא ראשונה נגש להגדיר סכום של שני וקטורים נתונים uוv - והרי ההגדרה :לחיבורם של שני וקטורים uו v -נשרטט ,במקום כלשהו ,וקטור שוה ל ,u -מקצהו הקדמי נשרטט וקטור שוה ל ,v -והסכום u+vיהיה הוקטור שזנבו בזנב הראשון וראשו בראש השני. כדי להראות שמה שעשינו אינו תלוי במיצגים עלינו להראות שאם u` ≡ u ו v` ≡ v -אז הסכום המתקבל באמצעות uו v -שקול לסכום המתקבל באמצעות ` uו: v` - u v 'u 'v משפט המינסרה נותן זאת. --------------------נושאים שיילמדו בכתה וכאן לא ניכנס לפרטים שלהם: חיבור וקטורים הוא חילופי וקיבוצי .וקטור ה) 0-יחשב נטול כיוון( .וקטור נגדי וחיסור וקטורים. מכפלת וקטור בסקלר וחוקיה. u וקטור של נגדי חבור או וקטורים חיסור אבל נדגיש כאן פרט מועיל: -u+v יעשו על ידי "הליכה אחורנית". v 1 -------------------קומבינציה קמורה נפרט ענין אחד ונפתח בבעיה: C B יהיו u = OAו v = OB -תהי Cנקודה בקטע AB כך ש .AC:CB = 1:4 -כתוב את הוקטור OCבעזרת uו.v - פתרון: A u w )/ , AB = v-uולפי יחס החלוקה הנתון. AC= 0.2 AB , O לכן OC = u + AC = u + 0.2(v - u) = 0.8u + 0.2v ובדרך כלל: אם Cנקודה בקטע ABנסמן ב λ -את המנה ) AC/ABהיחס שבין ACובין הקטע השלם(, B ואז ) CB/AB = 1-λבציור: A C λ 1− λ ( ואז OC = u + AC = u + λ (v - u) = (1 - λ )u + 0.2v הערה :הסב את תשומת לב התלמידים ל"הצטלבות" הכופלים λו) .1−λ -הוקטור המקבל את הכופל היותר גדול הוא בעל ההשפעה היותר גדולה על התוצאה וזה מקרב את התוצאה אליו(. ובענין האות היוונית :λציין שלמרות דמיונה ל-ג היא מקבילתה של ל .באנגלית נכתב שמה Lambdaוזה חלק מהתופעה הבאה :כאשר מלה עוברת מעברית )או מכנענית פיניקית( ליוונית הופכות ,לפעמים ,ב ו-מ דגושות לצירוף .mbדוגמה לכך הוא הנהר האגדי סמבטיון ששמו נגזר מ"שבת" בגלל מנוחתו ביום זה. אתנחתא לא מתימטית מסוג זה מסיעת לביטול התנגדותם של התלמידים לאות חדשה ובלתי מוכרת. ומכיוון שהעלינו נושא זה אביא גם את סיפורן של שתי אותיות יווניות אחרות) .בכיתה העלה את סיפורן כאשר תזדקק לאותן אותיות(. סיפורה של : θהצורה הקדומה של ט העברית היא .מבטאה המקורי קרוב לצירוף של ת= . ושל ע= סיפורה של ξ=Ξמתחיל בזה ש Σ -נגזרה מהאות העברית-פיניקית ש שצורתה הקדומה דומה ל.w - נותרה פנויה ונלקחה לתפקיד . Ξ האות העברית ס= המעבר אל הצורה הרהוטה: --------------------יחידות ההצגה כקומבינציה לינארית של איברי בסיס נפתח בבעיה :נתונים uו v -בעלי כיוונים שונים ונתון וקטור שלישי sבאותו מישור .מצא מספרים a ו b -כך ש) . s=au+bv -כלי ההנדסה שלרשותך כוללים סרגל-מדידה( פתרון :נשרטט את v ,uו s -יוצאים מנקודה אחת .דרך קצהו של sנשרטט ישר מקביל לישר של .v הוקטור bvישורטט "אחורנית" מקצה ,sבמקביל ל ,v -עד נקודת החיתוך של מקביל זה עם הישר של .uהוקטור auישורטט "אחורנית" משם אל נקודת המוצא .מדידות בסרגל תתנה את הערכים המספריים של aושל .b bv u s v s au u bv au v תוצאה :אם uו v -שוני-כיוון אז לכל וקטור sשבמישור המכיל אותם יש מספרים aו b -כך ש- . s= a u + b v 2 יתר על כן ,אם גם cu+dv = sאז חייב dvלצאת מנקודה שעל הישר של uוללכת במקביל ל v -עד קצהו של .sלכן הוא חייב להיות שוה ל bv -שבנינו לעיל ,לכן חייב cuלהיות שווה ל ,av -לכן d=bו- .c=a . a u+ bv= c u+ dv ⇒ a = c , b= d תוצאה :אם uו v -שוני-כיוון אז שתי תוצאות אלה יחדיו נקראות משפט הבסיס במישור) .בגללן קוראים לכל שני וקטורים בעלי כיוונים שונים הנמצאים במישור אחד בשם בסיס למישור( .משפט מקביל בשביל המרחב התלת- ממדי יתקבל להלן דרך גירסה מרחבית של הבעיה שממנה יצאנו: נתונים v ,uו w -שאם משרטטים אותם יוצאים מאותה נקודה אז אף שניים מהם אינם במישור אחד ,ונתון וקטור שלישי .sמצא מספרים b ,aו c -כך ש. s=au+bv+cw - )כלי ההנדסה שלרשותך כוללים לא רק סרגל-מדידה אלא גם אמצעים לשרטוט "באויר"(. פתרון bv ,au :ו cw -משורטטים בציור הבא .הדרך לשרטוטם אינה בכיוון החיצים אלא "אחורנית". cwהולך אחורנית מקצהו של , sבמקביל ל ,w -עד שהוא מגיע למישור של uו) v -בציור ניקדנו חלק ממישור זה(bv . הולך אחורנית מנקודה זאת ,במקביל ל ,v -עד שהוא מגיע לישר של au . uהולך משם אחורנית על הישר של uעד שהוא מגיע לנקודת ההתחלה המשותפת לשלושת הוקטורים הנתונים. אחרי ששרטטנו את bv ,auו cw -נוכל למצוא את b ,aוc - על-ידי מדידה. s cw v u bv au w בזאת הראינו שקיימים b ,aו c -כך ש .au+bv+cw = s -כעת נראה שקיימת רק שלשה אחת של ערכים מתאימים בשביל b ,ו .c -כלומר ,נראה שאם גם a'u+b'v+c'w = sאז ' b=b' , a=aו.c=c' - ואמנם ,מכיוון שהסכום a'u+b'vנמצא במישורם של uו v -חייב ) c'wשבהתחברו אליהם נותן את (s להתחיל במישור זה ,להקביל ל w -ולהגיע אל ראשו של ,sלכן c'wהוא בדיוק cwשבנינו לעיל ,לכן .c'=cהוקטור b'vחייב להתחיל בישר של ,uלהקביל ל v -ולהגיע אל הנקודה שממנה יוצא cwלכן הוא בדיוק bvשבנינו לעיל ,לכן .b'=b a'uחייב לצאת מנקודת ההתחלה של wולהגיע אל הנקודה שממנה יוצא , bvלכן a'u= auלכן .a'=a בזאת הושלמה הוכחת משפט הבסיס במרחב. )שלושה וקטורים שאם משרטטים אותם יוצאים מאותה נקודה אז אף שניים מהם אינם במישור אחד, יקראו בסיס למרחב( שימושים להנדסת המישור תחילה נוכיח שתיכוני משולש מחלקים זה את זה ביחס .1/3 : 2/3משפט זה יקרא משפט התיכונים. .1מכיוון שצלעות המשולש משמשות נקודת-מוצא לבניה נבחר שתיים מהן להיות בסיס: u :=AB , v :=AC B .2נבטא בעזרתן את הצלע השלישית ואת התיכונים: AM = u/2 +v/2 CN = u/2 -v CB = u-v u N M .3המאפיין את הנקודה Pהוא היותה גם על AMוגם על ,CNכלומר, P קיים xאשר AP = x AMוקיים yאשר .CP = y CN A C (. =x=y 2/3 הבה נחפש את xואת ) .yמשפטנו יוכח אם נראה ש- v .4נחפש אפוא שויון וקטורים שביטוייהם כוללים xו ,y -וזה יתן שתי משוואות ב x -ו.y - שוויון כזה הוא AP = AC + CP כלומרx(u/2 +v/2) = v + y(u/2 -v) , x נפתח/2 u +x/2 v = y/2 u + (1-y/2)v : x/2 =1-y/2 .5לכן על-פי משפט הבסיס, x/2 = y/2 ו- ופתירת מערכת משוואות זאת נותנת ּ x=y= 2/3 3 הערה :ההוכחה הקלסית של משפטנו ,על-פי הציור שלהלן ,משתמשת פעמים במשפט על קטע האמצעים במשולש ופעם במשפט על אלכסוני המקבילית. יתרונה הוא בזה שהיא "מראה בעיניים למה זה נכון" .יתרונה של ההוכחה הוקטורית הוא בזה שהיא בנויה על חישוב ישיר ללא תחבולות ,בשיטה הניתנת לישום במקרים רבים .התרגילים הבאים ידגימו זאת. תרגילים: התרגילים 1ו 2-נפתרים בדרך כמעט זהה להוכחת משפט התיכונים .בתרגיל 1ניתן לנחש את התוצאה מראש ,וניתן להוכיחה בקלות יחסית גם בדרך הגיאומטרית הקלסית )בעזרת משפט טלס או דמיון משולשים( .תרגיל 2מדגים את עוצמתה של הדרך הוקטורית. .1הקטעים המשורטטים במשולש שלהלן מחלקים את הצלעות ביחס 1/3 : 2/3 כמתואר בציור .באילו יחסים מחלקים הם זה את זה? 1/3 .2הקטעים מהקדקדים של המשולש אל צלעותיו מחלקים את הצלעות ביחסים הכתובים בציור שמשמאל. הוכח שהם מחלקים זה את זה ביחסים 1/7 : 6/7ו. 3/7 : 4/7 - 2/3 2/3 1/3 התרגיל הבא הוא תרגיל קל ותפקידו להציע אימון פשוט בשיטה שנלמדה .בדרך כלל ראוי לפתוח בתרגילים מעין זה .יכולנו להקדים לו את התרגילים 1ו 2-משום שדמיונם להוכחת משפט התיכונים עושה גם אותם קלים למדי. .3הוכח בדרך וקטורית דומה שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. התרגיל הבא מדגים הן את החופש לבחור בסיס כרצוננו והן את היתרון שבבחירת בסיס המכניס סימטריות לחישובים. .4הוכח את משפט התיכונים על-ידי חישוב BPבשני אופנים ,כשהבסיס הוא v := BC u := BA )סימני הנקודות הם כבציור המלווה את ההוכחה הראשונה(. N C M .5ו N -הם אמצעי הצלעות שבמקבילית שבציור שמשמאל .באילו יחסים מחלקים ANו DM -זה את זה? B M D A .6הוכח בדרך וקטורית שקטע-אמצעים במשולש מקביל לבסיס ושוה לחציו. בעיה :הנקודות L ,Kו M -מחלקות את צלעות המשולש ABCביחסים β : 1−β , α : 1−αו- γ: 1−γכבציור הימני α .ו β -נתונים .מה צריך להיות ) γאו איזה שויון עליו למלא( כדי שהקטע CL יעבור דרך ,Pשהיא נקודת החיתוך של AKוBM - B B α 1−γ K C L P 1−α β K u γ M 1−β A C u-v -u+βv L P γu+(1-γ)v v (1-α)u-v A M פתרון :יהיו u := CBו v := CA -כבציור השמאלי ,ואז ,AB =u-vועל פי יחסי החלוקה CL = γu+(1-γ)v AK = α(-v)+(1-α)(u-v) = (1-α)u-v BM = β(-u+v)+(1-β)(-u) = -u+βv Pהוא נקודת החיתוך של BMו AK -לכן קיימים כופלים xו y -כך ש CP -שוה מחד גיסא ל- 4 ) u+x(-u+βvומאידך גיסא ל. v+y((1-α)u-v) - )(1-x)u+xβv = y(1-α)u+(1-y)v ⇒ u+x(-u+βv) = v+y((1-α)u-v ולפי משפט הבסיס נקבל )1-x = y(1-α xβ = 1-y נפתור ונקבל ) . x=α/(1-β+αβנציב זאת בביטוי CP= (1-x)u+xβvונקבל ,אחרי קצת חישוב, ) CP = (1-β+αβ) ( (1−α)(1−β) u + αβ v = CL γ u + (1-γ) v לעיל מצאנו ש- ומכאן שהתנאי לכך ש P -יהיה על CLהוא )(1−α)(1−β)/γ = 1−α)(1−β)/(1−γ (1−α)(1−β)(1−γ) = αβγוכך קיבלנו את משפט צֶ 'בָ ה . נכתוב זאת בצורה שימושים להנדסת המרחב בעיה :הוכח ששלשת הקטעים המחברים אמצעי מקצועות נגדיים בארבעון )טטראדר( נפגשים בנקודה אחת. w-u w הוכחה :בציור שלהלן מודגשים אמצעי שני מקצועות נגדיים .סביר לשער שנקודת הפגישה היא אמצע הקטע המחבר את שתי הנקודות האלה ,לכן נדגיש גם את האמצע הזה ,ונלך לחשב את הוקטור אל נקודה זאת ונקבל : u ( u+(w-u)/2) + v/2 )/2 = (u+v+w)/4 v בגלל הסימטריה שבבעיה נקבל אותו ביטוי גם כשנצא משני מקצועות נגדיים אחרים ּ הגדרה: תיכון של ארבעון יוגדר כקטע המחבר קדקד עם נקודת הפגישה של התיכונים של הפאה שמולו. שאלה : האם כל שני תיכונים של ארבעון פוגשים זה את זה? D ואם כן ,באיזה יחס הם מחלקים זה את זה? w פתרון :נשרטט ונסמן כבציור הבא: B M כדי ש AM -ו DN -יפגשו צריך שיהיו קימים xו y -כך ש- u . w+xDN = yAM )DN = -w+(u/3+v/3 נחשב: N AM = w (+ u w )/ 3 (+ v w )/ 3 = u / 3 + v / 3 + w / 3 A C v )w+x(u/3+v/3-w) = y(u/3+v/3+w/3 לכן צריך ש- כלומר ,צריכים להתמלא שלושת השוויונים .1-x/3=y/3 , x/3=y/3 ,x/3=y/3 זה מתמלא בשביל .x=y=3/4 מסקנות :התיכונים נפגשים ,ובנקודת הפגישה מתחלק כל אחד ביחס ,1/4 : 3/4ומכאן שגם שני התיכונים האחרים עוברים באותה נקודת פגישה. הערה :אפשר היה לפתור את הבעיה על-ידי התבוננות במשולש שקדקדיו הם D ,Aואמצע הצלע ,BC ושימוש בתוצאת התרגיל שאחרי משפט התיכונים .העדפתי את הדרך הנוכחית כדי שהטיפול הוקטורי יכלול גם את השאלה "האם נפגשים?" . וקטורים "אלגבריים" את משפט הבסיס ניתן לנסח גם כך :בחירת שלושה וקטורים v ,uו w -שאינם במישור אחד לתפקיד בסיס ,יוצרת התאמה הדדית בין קבוצת הוקטורים שבמרחב ובין קבוצת השלָשות של מספרים ממשיים .לכל וקטור sמותאמת שלשה ) (a,b,cכך ש . s = av+bu+cw -בהתאמה זאת ,לכל וקטור מתאימה בדיוק שלשה אחת ולכל שלשה מתאים בדיוק וקטור אחד. לאור זה נהוג להשתמש בשלשה-של-מספרים בתפקיד של שם לוקטור המתאים ,כלומר ,לכתוב ) (a,b,cבמקום הכתיב המלא . au+bv+cw לאור זה :א(a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) . בλ(a,b,c) = (λa, λb, λc) . הוכחת א: ( au+bv+cw)+( du+ev+fw) = ( au+ du)+(bv+ev)+(cw+fw) = (a+d)u+(b+e)v+(c+f)w 5 הוכחת ב: λ(au+bv+cw) = λ(au)+λ(bv)+λ(cw) = (λa)u+(λb)v+(λc)w מכפלה סקלרית בסיס מוסכם וסימנים מוסכמים בהנתן מערכת צירים ניצבים במרחב מקובל לסמן ב i -ב j -וב k -את שלושת הוקטורים שזנבותיהם בראשית הצירים ,אורך כל אחד מהם הוא ,1והם נמצאים על הקרניים החיוביות של ציר ,x -ציר y -וציר ,z -בהתאמה. בסעיף זה ישמשו j ,iו k -כבסיס. z y k j i x אם וקטור vיוצא מראשית הצירים אז קואורדינטות קצהו תסומנה ,בהתאמה, vx,vy,vzולאור זה )v = vx⋅i+vy⋅j+vz⋅k = (vx,vy,vz ארכו של וקטור vמסומן | |vולפעמים בקצרה .v z y v vy vz הגדרת מכפלה סקלרית: . תוצאה .1אם הזוית שבין שני וקטורים היא אז מכפלתם הסקלרית היא 0 ישרה חיובית חדה שלילית. קהה . i⋅j = j⋅k = k⋅i = 0 ובפרט, 2 תוצאה .2 . v ⋅v = v . i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1 ובפרט, תוצאה ) .3חוק החילוף( . u⋅v = v⋅u תוצאה .4לכל כופל ממשי . au⋅v = a(u⋅v) = u⋅av ,a תוצאה .5מכפלה סקלרית של שני וקטורים שוה למכפלת אורך האחד באורך היטלו של השני עליו, וב) ±1 -ב +1 -כאשר הזוית שביניהם חדה ולכן ההיטל הוא על הוקטור עצמו ,ב -1 -כאשר הזוית קהה וההיטל הוא על המשכו האחורי של הוקטור( vx x )u⋅v := u⋅v⋅cos(u,v w ⋅( u + v ) = w ⋅u + w ⋅v משפט .6 הערה :משפט זה אינו חוק פילוג משום שהחיבור שבאגף שמאל הוא חיבור-וקטורים ואילו החיבור שבאגף ימין הוא חיבור מספרים. הוכחת המשפט :נשים צירים באופן שראשית הצירים תהיה בנקודת ההתחלה של וקטורינו וציר x יהיה על הישר של ,wונציין את ההיטלים המתאימים כבציור שלקמן: על-פי 5נקבל: v w ⋅u + w ⋅v = w ⋅u x + w ⋅v x w⋅(u+v) = w⋅(u+v)x = w⋅(ux+vx) = w⋅ux+ w⋅vx ומכאן מש"ל. v w (u+v)x vx u ux תוצאות 7ו .8-בדרך דומה לזו שבה מוכיחים בעזרת חוק הפילוג טענות מקבילות על מספרים נוכל לקבל מ 6-תוצאות על ) u⋅(v1+v2+v3ועל ) (u1+u2)⋅(v1+v2וכדומה. u⋅v = ux⋅vx+ uy⋅vy + uz⋅vz משפט .9 הערה :לוקטורים במישור . u⋅v = ux⋅vx+ uy⋅vy , = )u⋅v = (ux⋅i+uy⋅j+uz⋅k)⋅(vx⋅i+vy⋅j+vz⋅k הוכחה: = uxi⋅vxi + uxi⋅vyj + uxi⋅vzk + uyj⋅vxi + uyj⋅vyj +... )ע"פ 7ו(8- 6 )ע"פ ( 4 )ע"פ 1ו(2- = (uxvx)i⋅i + (uxvy)i⋅j + (uxvz)i⋅k + (uyvx)j⋅i + (uyvy)j⋅j +... = (uxvx)⋅1 + (uxvy)⋅0 + (uxvz)⋅0 + (uyvx)⋅0 + (uyvy)⋅1 +... = uxvx+ uyvy + uzvz בעיה :מהי הזוית שבין ) u = (3,-4,12ובין )? v = (6,2,-3 פתרון: . u⋅v = 6⋅3 + 2⋅(-4) + (-3)⋅12 =18-8-36 = -26 ע"פ , 9 ע"פ 9ו) 2-הנותנים ,בעצם ,את משפט פיתגורס במרחב(, u2 = 62 + 22 + (-3)2 = 36+4+9 = 49 ⇒ u = 7 וכן v2 = 32 + (-4)2 + 122 = 9+16+144 = 169 ⇒ v = 13 נסמן את הזוית המבוקשת αואז לפי הגדרת מכפלה סקלרית cos α = -26/(7⋅13) = -26/91 = -0.2857 לכן `. α = 106°36 תרגיל u = (1,2,3) :ו .v = (3,-2,5) -מצא וקטור הניצב לשניהם) .יש ,כמובן ,יותר מוקטור אחד כזה( שימושים לגיאומטריה .1זוית הנשענת על קוטר היא ישרה) .ראה ציור (1 .2אלכסוני מעויין ניצבים זה לזה) .ראה ציור (2 גם ב 1-וגם ב 2-נתון ) u=vכלומר |(|u|=|v ציור 1 ובשניהם צ"ל ּ (v+u)⋅(v-u)=0 u ציור 2 u v v .3ישר משיק למעגל ניצב לרדיוס אל נקודת ההשקה. נתון :לכל . |r| ≤ |r+xt| ,xצ"ל. r⋅t = 0 : נכתוב את הנתון ע"י מכפלות סקלריותr⋅r ≤ (r+xt)⋅(r+xt) : לכן )לכל (x 0 ≤ 2x r⋅t+ x2t2 הגרף של אגף ימין)כפונקציה של (xהוא פרבולה דרך ראשית הצירים ,וכפי שהוכחנו זה עתה כולה מעל ציר ,yלכן המקדם של xהוא ,0מש"ל. r r+xt t .4במשולש ישר זוית ,הגובה ליתר שוה לממוצע ההנדסי של היטלי הניצבים על היתר. .5במשולש ישר זוית ,ריבוע של ניצב שוה למכפלת היטלו ביתר )משפט אוקלידס(. h לשתי ההוכחות אותם נתונים: −αp )עם וקטורים ומספר חיובי αכבציור( h+p ⊥ h-αp , h ⊥ p ושתיהן בנויות על זה שאם u ⊥ vאז . w⋅u = (w±v)⋅u 2 ּ h =h⋅h = h⋅(h+p) = (h-(h-αp)).(h+p) = αp⋅(h+p) = αp⋅p = αpp הוכחת :4 2 2 ּ |h+p| = (h+p)⋅(h+p) = (h+p)⋅(1+α)p = p⋅(1+α)p = (1+α)p הוכחת :5 .7אם ישר ניצב לשני ישרים לא מקבילים במישור אחד ,הוא ניצב לכל ישרי המישור. הוכחה :נעבור מהישרים לוקטורים wו u -ו v-שעליהם ,כבציור. כל וקטור אחר במישור הוא קומבינציה לינארית של uו.v - ּ w⋅(αu+βv) = αw⋅u+βw⋅v = α⋅0+β⋅0 = 0 .8זוית שבין ישר ובין היטלו על מישור ,קטנה-או-שוה מכל זוית שבינו ובין ישר אחר במישור. הוכחה :יהיו uעל הישר ו v-על היטלו באופן ש u-v -ניצב למישור )היינו ,לכל הישרים שעליו( ,ו w-וקטור אחר במישור ,כבציור. 7 p w αu+ βv u-v u v u v w א (u-v) ⋅ v = 0 .לכן u⋅v = v2 ב (u-v) ⋅ w = 0 .לכן u⋅w = v⋅w u⋅w u⋅v u⋅w u⋅v ≤ = ) cos (u, wלכן צ"ל ש- = ) cos(u , vו- u⋅w u⋅v uw uv v ⋅ w v2 ≤ כלומרv ⋅ w ≤ vw , נציב לפי א ו-ב ,נבטל -uים במכנים ונקבל שצ"ל w v ). v⋅w := v⋅w⋅cos(v,w ּ וזה נובע מההגדרה תרגילים ( u+ v) ( u+ v) + ( u- v) ( u - v) = . . . .1א .חשב ב .מסקנה :במקבילית ,סכום ריבועי שני האלכסונים שווה ל . . . . . שני מקצועות של ארבעון נקראים נגדיים אם הם מחברים קדקדים שונים. .2הוכח שאם בארבעון ,שלושת המקצועות הנפגשים בקדקד אחד שוים באורכם ושלושת הזויות שהם יוצרים שוות זו לזו ,אז כל אחד מהם ניצב למקצוע הנגדי לו. .3הוכח שאם בארבעון יש שני זוגות של מקצועות נגדיים הניצבים זה לזה אז גם שני המקצועות הנותרים )גם הם נגדיים( ניצבים זה לזה. נספח :מקדם המיתאם של פירסון סעיף זה אינו מיועד לתלמידים אלא למורים בלבד )אמנם ,תמיד יש תלמידים שיוכלו לקרוא ולהבין אותו( .אני מניח שגם המורים המכירים את מושג מקדם המיתאם ,לא פגשו בו במסגרות של "דוברי מתמטיקה" ,ולכן ימצאו עניין בדרך הוקטורית שבו אציגנו כאן .ובכן, בידי מחנך-כתה שבה nתלמידים ,נמצאים שני וקטורים במרחב nממדי .האחד הוא וקטור הציונים במתמטיקה של תלמידי כתתו m = (m1,m2,...,mn) ,והשני ,t = (t1,t2,...,tn) ,הוא וקטור ציוניהם בתנ"ך .לכל mi ,iו ti -הם ציוניו של אותו תלמיד .המחנך סקרן לדעת מה מידת ההתאמה שבין ציוני התלמידים השונים במתמטיקה ובתנ"ך .הוא מחפש דרך להגדיר מספר שימדוד את ההתאמה הזאת. צעד א. נסמן ) . e = (1,1,...,1זהו וקטור ציונים שויוני שאינו מבחין בין התלמידים השונים .כפולה שלו מופיעה ,כתוספת קבועה ,בתוך כל וקטור ציונים ,ומסווה במידה מסוימת את ההבדלים שבין התלמידים השונים .סילוק חלקי של התוספת הזאת נעשה כאשר ,למשל ,מסתכלים על הציון 4כעל ציון שלילי .דרך גיאומטרית לסילוק מלא של התוספת הזאת היא כך: || ⊥ נפרק את mואת tלשני רכיבים שאחד מהם מקביל ל e -והשני ניצב לו ,נסמן m = m +m ⊥ ו t = t| |+t⊥ -בהתאם ,ולצורכי ההשוואה נשתמש רק ב m⊥ -וב) .t⊥ -דרך החישוב של ⊥ mו t -תפורט להלן(. צעד ב. אנו רוצים במדד rשיקבל את הערך 1כאשר mו t -שווי כיוון ,יקבל את הערך -1כאשר כיווניהם מנוגדים ,ישווה ל 0-כאשר הם ניצבים ויקבל ערכי ביניים מתאימים במצבים אחרים .יתר על כן ,אנו רוצים שהמדד יהיה תלוי בכיווני הוקטורים ולא באורכיהם ,כי האורכים תלויים בגודל טווח-הציונים שבו משתמש המורה. ⊥ ⊥ m ⋅t = rm, t ) קוסינוס הזוית שבין הוקטורים( לאור זאת נגדיר | ⊥ | m⊥ | | t ⊥ ⊥ להלן נראה שזה אינו אלא נוסח "וקטורי" להגדרת מקדם המתאם של פירסון. חישוב ⊥ mוt⊥ - | | mצריך להיות שוה לְ מכפלה . µeהבה נמצא את ה µ -המתאים .כשנמצאנו נוכל לחשב m⊥ = m-µe . . 2 . מהאמור בשורה הקודמת נובע ש , m-µe ⊥ e -לכן ( m-µe) e = 0לכן m e -µe = 0לכן 8 .µ = m.e / e2 בדרך דומה נמצא שבשביל τ = t.e / e2יהיה t⊥ = t-τ e הערה א :נשים לב לכך ש m.e = Σm i -ו e2 = 1+1+...+1 = n -ונקבל ש µ -הוא ממוצע ה-mi -ים. )וקטור הסטיות של ציוני המתמטיקה מן הממוצע( = m⊥ = m -µ e מכאן ש- ⊥ )וקטור הסטיות של ציוני התנ"ך מן הממוצע( = t = t - τ e ובדרך דומה 9
© Copyright 2024