‫סיכום נוסחאות ‪ -‬וקטורים ( ‪ 5‬יח"ל)‬ ‫וקטור גיאומטרי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכפלה סקלרית בין שני וקטורים ‪ u‬ו‪. u  v  u  v  cos  : v -‬‬ ‫כאשר‪ - u :‬האורך של הוקטור ‪ - v , u‬האורך של הוקטור ‪ -  , v‬הזווית בין שני הוקטורים‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬שני וקטורים מאונכים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫אורך של וקטור‪. u  u  u :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫מציאת זווית בין שני וקטורים‪ u ,‬ו‪: v -‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪. cos  ‬‬ ‫וקטור אלגברי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫מציאת ווקטור לפי שתי נקודות‪ :‬הנקודות הנתונות‪, B  x 2 , y2 , z 2  , A  x1 , y1 , z1  :‬‬ ‫הוקטור‪. AB  x 2  x1, y 2  y1, z 2  z1  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכפלה סקלרית בין שני וקטורים ‪ u  u1 , u 2 , u 3 ‬ו‪. u  v  u1v1  u 2 v2  u 3v3 : v  v1 , v2 , v3  -‬‬ ‫משפט‪ :‬שני וקטורים מאונכים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫אורך של וקטור‪. u  u12  u 22  u 32 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫תלות לינארית‪ :‬שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬נקראים "תלויים לינארית" אם קיים סקלר ‪ ‬כך ש‪u    v :‬‬ ‫לוקטורים שתלויים לינארית יש את אותו הכיוון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הצגה פרמטרית של ישר‪: x   x, y, z   t u 1, u 2, u 3  :‬‬ ‫וקטו רכיוו‬ ‫‪‬‬ ‫ןנקוד‬ ‫ה‬ ‫הצגה פרמטרית של מישור‪ : x   x, y, z   t u 1, u 2, u 3  s v 1, v 2, v 3  :‬‬ ‫וקטו רכיוו ן‬ ‫‪0‬ווקטו רכיוו ן‬ ‫‪1‬נקוד‬ ‫ה‬ ‫‪‬‬ ‫משוואה אלגברית של מישור‪ , ax  by  cz  d  0 :‬כאשר הוקטור ‪  a, b, c ‬הוא הנורמל למישור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכפלה וקטורית‪ :‬נתונים הווקטורים ‪ a  a1 ,a 2 ,a 3 ‬ו‪. b  b1 , b2 , b3  -‬‬ ‫נמצא וקטור ‪ c  c1 ,c2 ,c3 ‬שמאונך לווקטורים ‪ a‬ו‪ b -‬לפי הנוסחה‪:‬‬ ‫מציאת ‪. c1  a 2  b3  a 3  b2 : c1‬‬ ‫מציאת ‪. c2   a1  b3  a 3  b1  : c 2‬‬ ‫מציאת ‪. c3  a1  b2  a 2  b1 : c3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪1‬‬ ‫משפט‪ :‬שני וקטורים מקבילים אחד לשני אם ורק אם המכפלה הוקטורית שלהם שווה ל‪. 0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫מצב הדדי בין שני ישרים‪:‬‬ ‫קיימת נקודה משותפת על שני הישרים‬ ‫לא קיימת נקודה משותפת על שני‬ ‫הישרים‬ ‫‪‬‬ ‫מתלכדים‬ ‫נחתכים‬ ‫מקבילים‬ ‫מצטלבים‬ ‫מצב הדדי בין ישר למישור ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫וקטורי כיוון תלויים ליניארית‬ ‫וקטורי כיוון לא תלויים ליניארית‬ ‫נעביר את המישור למשוואה אלגברית‪.‬‬ ‫ניקח נקודה אופיינית על הישר (נקודה באמצעות ‪ ) t‬ונציב אותה במשוואת המישור‪.‬‬ ‫ייתכנו שלושה מצבים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם נקבל פיתרון יחיד כמו ‪ t  4‬אז קיימת נקודה אחת על הישר שנמצאת על‬ ‫המישור‪ ,‬ולכן הישר חותך את המישור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם נקבל משוואה ללא פיתרון למשל‪ , 7  0 ,‬אז לא קיימת נקודה על הישר‬ ‫שנמצאת על המישור ולכן הישר מקביל למישור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם נקבל משוואה שנכונה תמיד‪ ,‬למשל ‪ , 0  0‬אז כל נקודה על הישר נמצאת גם על‬ ‫המישור‪ ,‬ולכן הישר מוכל במישור‪.‬‬ ‫מצב הדדי בין שני מישורים ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫אם נתונים המישורים ‪2 : a 2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 , 1 : a1x  b1y  c1z  d1  0‬‬ ‫נמצא את המצב ההדדי ביניהם לפי השלבים הבאים‪:‬‬ ‫נמצא תלות ליניארית בין ארבעת מרכיבי המישורים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם קיימת תלות ליניארית בין כל ארבעת החלקים‪ ,‬כלומר מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d1    d 2 , c1    c2 , b1    b2 , a1    a 2‬‬ ‫אז המישורים מתלכדים וכל נקודה על מישור אחד נמצאת גם על המישור השני‪.‬‬ ‫אם קיימת תלות ליניארית רק בין שלושת החלקים הראשונים אבל לא בין המספר החופשיים‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫כלומר‪ , c1    c2 , b1    b2 , a1    a 2 :‬אבל ‪ , d1    d 2‬נובע שהמישורים‬ ‫מקבילים‪.‬‬ ‫אם אין תלות ליניארית‪ ,‬אז המישורים לא מקבילים ולא מתלכדים‪ ,‬ולכן נובע שהם נחתכים‬ ‫‪‬‬ ‫וקיים ביניהם ישר חיתוך‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫מציאת ישר חיתוך בין שני מישורים ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נעשה השוואת מקדמים בין שתי המשוואות של המישורים‪ ,‬וניפטר מאחד הנעלמים‪.‬‬ ‫נקבל משוואה אחת עם שני נעלמים‪ .‬נציב מספר כלשהו עבור אחד הנעלמים שנותרו‬ ‫במשוואה ונמצא את הנעלם השני‪ .‬כדי למצוא את הנעלם השלישי נחזור למשוואת אחד‬ ‫המישורים נציב את שני הנעלמים שיש בידנו‪ ,‬ונמצא את הנעלם השלישי‪.‬‬ ‫כעת יש בידנו נקודה אחת הנמצאת על ישר החיתוך‪ .‬נמצא עוד נקודה שנמצאת על ישר‬ ‫החיתוך‪ :‬נחזור על אותו תהליך בדיוק‪ ,‬רק שהפעם נבחר מספר אחר עבור אחד הנעלמים‪,‬‬ ‫ונמצא את שני הנעלמים האחרים‪.‬‬ ‫נמצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך לפי שתי הנקודות שיש בידנו‪.‬‬ ‫מציאת זוויות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫מציאת זווית בין שני וקטורים‪ u ,‬ו‪: v -‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uh‬‬ ‫זווית בין ישר למישור‪:‬‬ ‫‪uh‬‬ ‫‪. cos  ‬‬ ‫‪. sin  ‬‬ ‫כאשר‪ - u :‬וקטור הכיוון של הישר‪ - h ,‬וקטור הנורמל של המישור‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h1  h 2‬‬ ‫זווית בין שני מישורים‪:‬‬ ‫‪. cos  ‬‬ ‫‪h1  h 2‬‬ ‫כאשר‪ - h1 :‬וקטור הנורמל של מישור אחד‪ - h 2 ,‬וקטור הנורמל של המישור השני‪.‬‬ ‫מציאת מרחקים‪:‬‬ ‫‪ ‬מרחק בין שתי נקודות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ A  x1, y1, z1 ‬ו‪: B  x 2 , y2 , z 2  -‬‬ ‫‪ x1  x 2    y1  y2    z1  z2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ ‬מרחק נקודה מישר ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪ ‬נוריד אנך מהנקודה אל הישר‪.‬‬ ‫‪ ‬נסמן את מפגש האנך עם הישר כנקודה אופיינית על הישר הנתון‪.‬‬ ‫‪ ‬נביע את וקטור הכיוון של האנך באמצעות הנקודה הנתונה והנקודה האופיינית‪.‬‬ ‫‪ ‬נשתמש במכפלה סקלרית בין וקטור הכיוון של הישר הנתון לווקטור הכיוון של האנך שיצרנו‪.‬‬ ‫‪ ‬נשווה את המכפלה הסקלרית ל‪ , 0 -‬כי הישרים מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫‪ ‬נפתור את המשוואה ונקבל את ‪ , t‬נציב בווקטור הכיוון שמובע באמצעות ‪ , t‬ונמצא את אורך‬ ‫הווקטור‪.‬‬ ‫‪ ‬מרחק בין ישרים מקבילים ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪ ‬נבחר נקודה כלשהי על הישר ‪. 1‬‬ ‫‪ ‬נחשב את מרחק הנקודה מהישר‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(בדיוק לפי אותם שלבים כמו במרחק נקודה מישר)‪.‬‬ ‫מרחק בין נקודה למישור‪:‬‬ ‫מרחק הנקודה ‪  x1 , y1 , z1 ‬מהמישור ‪: ax  by  cz  d  0‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪ax1  by1  cz1  d‬‬ ‫‪a 2  b2  c2‬‬ ‫‪D ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬מרחק בין ישר למישור ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪ ‬כאשר הישר מוכל במישור – המרחק בין הישר למישור הוא ‪. 0‬‬ ‫‪ ‬כאשר הישר חותך את המישור – המרחק לא מוגדר‪.‬‬ ‫‪ ‬כאשר הישר מקביל למישור – המרחק מוגדר ונמצא אותו בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪ ‬מוודאים שהישר מקביל למישור‪ ,‬בוחרים נקודה סתמית על הישר ומחשבים מרחק נקודה‬ ‫ממישור באמצעות הנוסחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ax1  by1  cz1  d‬‬ ‫‪a 2  b 2  c2‬‬ ‫‪.D ‬‬ ‫מרחק בין מישורים מקבילים‪:‬‬ ‫המרחק בין המישורים המקבילים‪ 1 : ax  by  cz  d1  0 :‬ו‪, 2 : ax  by  cz  d 2  0 -‬‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫‪d1  d 2‬‬ ‫‪a  b2  c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.D ‬‬ ‫‪ ‬מרחק בין ישרים מצטלבים ‪ -‬שלבים‪:‬‬ ‫‪ ‬נמצא משוואה אלגברית של מישור שמקביל לישר‬ ‫‪ ‬ניקח נקודה מ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ומכיל את הישר‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ונמצא את המרחק שלה מהמישור שמצאנו‪ ,‬לפי נוסחת מרחק נקודה ממישור‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע ‪250-0884452‬‬ ‫‪4‬‬