1025 "ה תשע קיץ מועד 886 סמל שאלון

‫בחינת מתכונת במתמטיקה‬
‫מועד קיץ תשע"ה ‪1025‬‬
‫סמל שאלון ‪886‬‬
‫הפתרון נכתב על ידי עדו מרבך‪ ,‬ארז כהן ורן יחיאלי‬
‫מצוות מורי רשת החינוך אנקורי‬
‫מת כונת‬
‫מבחן‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח הערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫פרק א‪ :‬אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‪:‬‬
‫‪20  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫נקודות‬
‫פרק ב‪ :‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור‪:‬‬
‫‪20  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‬
‫פרק ג‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪:‬‬
‫‪20  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪40‬‬
‫נקודות‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫נקודות‬
‫סה"כ‬
‫פרק א' – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪.1-3‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.1‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫ערן וזהר מורידים ביחד קובץ שגודלו‬
‫‪500‬‬
‫מגה‪ .‬זהר מורידה בדקה‬
‫‪5‬‬
‫מגה יותר מאשר ערן‪.‬‬
‫לאחר שסיימו להוריד את הקובץ‪ ,‬גילו שהוא איננו נפתח והחלו להוריד את אותו הקובץ מחדש‪.‬‬
‫בתחילה ערן הוריד את הקובץ‪ ,‬ולאחר‬
‫‪m‬‬
‫דקות‬
‫‪ 0‬‬
‫‪  m‬החלה להוריד את הקובץ גם זהר‪.‬‬
‫הם סיימו את ההורדה ביחד‪ .‬כשההורדה הסתיימה‪ ,‬התברר שערן הוריד‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן שלקח לזהר להוריד את הקובץ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור אילו ערכים של‬
‫נתונה סדרה ‪: a n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪350‬‬
‫מגה‪.‬‬
‫יש פתרון לבעיה?‬
‫‪ 1 0 , 1 3,  1 6 , 1 9 , ...‬‬
‫‪.7,‬‬
‫סימני האיברים מתחלפים לסירוגין וערכיהם המוחלטים מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הנוסחה לאיבר הכללי‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים בסדרה ‪. S n‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע כי סכום הסדרה‬
‫‪ 42‬‬
‫‪an‬‬
‫בעזרת ‪.n‬‬
‫‪ . S n‬מצא את מספר איברי הסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫על שטח חקלאי מגדלים עצי משמש ועצי אפרסק‪.‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪8‬‬
‫מהעצים נפגעו מטפיל שפוגע בפרי‪.‬‬
‫מבין עצי המשמש נפגעו מהטפיל ו‪-‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫מבין עצי האפרסק גם הם נפגעו מהטפיל‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אחוז עצי המשמש בשטח‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את פרופורציית עצי המשמש מבין העצים שהטפיל פגע בהם‪.‬‬
‫ידוע ש‪-‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עצי משמש לא נפגעו מהטפיל‪ .‬כמה עצים יש בשטח החקלאי?‬
‫‪280‬‬
‫פרק ב' – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪.4-5‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.4‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫במשולש שווה שוקיים אורך השוק הוא‬
‫‪m‬‬
‫וזווית הבסיס היא ‪. ‬‬
‫הבע את התיכון לשוק באמצעות ‪ ‬ו‪. m -‬‬
‫הבע את הגובה לשוק באמצעות ‪ ‬ו‪. m -‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הראה‪ ,‬כי כאשר‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את‬
‫‪  60‬‬
‫הגובה לשוק שווה לתיכון לשוק‪.‬‬
‫כך שהיחס בין הגובה לשוק לתיכון לשוק יהיה‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתונה מקבילית ‪. A B C D‬‬
‫על‬
‫‪BC‬‬
‫את‬
‫‪A‬‬
‫סימנו נקודה‬
‫‪E‬‬
‫וחיברו‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫עם ‪. E‬‬
‫מנקודה‬
‫‪D‬‬
‫העבירו מקביל ל‪. A E -‬‬
‫מנקודות ‪, A‬‬
‫הורידו אנכים למקביל‬
‫‪B ,C‬‬
‫שחותכים את המקביל‬
‫‪E‬‬
‫בנקודות ‪ , G , F‬ו‪ I -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון ש‪-‬‬
‫‪CG  BI‬‬
‫‪E‬‬
‫אמצע של ‪. B C‬‬
‫מצא את היחס בין‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון‬
‫ו‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C BI  30‬‬
‫ס"מ‬
‫‪. AF ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪.CG‬‬
‫‪AF‬‬
‫ל‪. C G -‬‬
‫‪CDG ‬‬
‫‪I‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫מצא את היקף המקבילית ‪. A B C D‬‬
‫פרק ג' – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪.6-8‬‬
‫כל שאלה בחלק זה‬
‫‪.6‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫נקודות‪.‬‬
‫לפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ bx‬‬
‫‪ ax‬‬
‫‪ f  x ‬מעבירים משיק בנקודה ‪.  1,  5 ‬‬
‫שיפוע המשיק הוא ‪.  9‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪(1‬‬
‫מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫)‪(2‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של ‪. f  x ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ f x‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‬
‫ללא קשר לערכים של‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪3‬‬
‫‪a,b‬‬
‫‪.y‬‬
‫שמצאת בסעיף א'‪:‬‬
‫‪ f  x   ax‬‬
‫‪.g  x ‬‬
‫מהנקודה ‪  0,  3 ‬שאיננה על גרף הפונקציה ‪ g  x ‬העבירו שני משיקים‪ ,‬כך שהשטח‬
‫הכלוא בין המשיקים לגרף הוא ‪ . 2‬מצא את ‪. b‬‬
‫‪.7‬‬
‫בציור מתוארים גרף הפונקציה‬
‫ברביע הראשון‪ ,‬הישר‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪y‬‬
‫ומשיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא מה צריכה להיות משוואת המשיק‬
‫לפונקציה הנ"ל ברביע הראשון כדי‬
‫שהשטח הכלוא בין המשיק‪ ,‬גרף הפונקציה‪,‬‬
‫הישר‬
‫‪x 1‬‬
‫וציר ה‬
‫יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫(השטח המקווקוו)‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫מצא מה צריכה להיות משוואת המשיק כדי‬
‫שהשטח המקווקוו יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪m  nx‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪.y‬‬
‫הפונקציה מקבלת מקסימום בנקודה ‪.  2, 4 ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את ‪ m‬ואת ‪. n‬‬
‫חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫)‪(2‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫)‪(4‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫לאילו ערכי ‪ , k‬לישר‬
‫‪y  k‬‬
‫יש שתי נקודות חיתוך עם הגרף?‬
‫מ ב ח ן‬
‫פ ת ר ו ן‬
‫מ ס '‬
‫מ ת כ ו נ ת‬
‫‪1‬‬
‫פתרון שאלה מס' ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫לזהר לקח להוריד את חלקה‪ 1 5 0 ,‬מגה ‪,  5 0 0  3 5 0 ‬‬
‫‪350‬‬
‫מגה‪,‬‬
‫‪x  m‬‬
‫דקות‪ .‬נרשום משוואה על ההספק‪:‬‬
‫זהר מורידה בדקה‬
‫‪350‬‬
‫‪x  m‬‬
‫‪x‬‬
‫דקות‪ .‬לערן לקח להוריד את חלקו‪,‬‬
‫‪5‬‬
‫מגה יותר מאשר ערן ולכן‪:‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪150‬‬
‫‪x‬‬
‫‪150  x  m   5x  x  m   350 x‬‬
‫‪ 5xm  350x  0‬‬
‫‪:  5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪150x  150m  5x‬‬
‫‪ 200x  5xm  150m  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 40x  xm  30m  0‬‬
‫‪ x  m  40   30m  0‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8 0 m  1, 6 0 0  1 2 0 m‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון ש‪-‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ , m‬לכן‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m  40‬‬
‫הוא בוודאות ערך שלילי‪ .‬לכן‬
‫‪m  2 0 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 1, 2 ‬‬
‫‪ ,‬במידה‬
‫וקיים‪ ,‬הוא בוודאות ערך חיובי‪.‬‬
‫‪ x‬מתאר זמן בדקות‪ ,‬לכן חייב להיות חיובי‪ .‬לכן‪ ,‬לא ייתכן שנבחר את הפתרון עם המינוס‪,‬‬
‫כלומר את‬
‫נקבל‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫נדרוש שהפתרון יהיה חיובי‪:‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ , x‬אלא את הפתרון החיובי‪.‬‬
‫(דקות)‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m  2 0 0 m  1, 6 0 0  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m  40 ‬‬
‫‪m  2 0 0 m  1, 6 0 0  m  4 0‬‬
‫‪2‬‬
‫שני הצדדים חיוביים ולכן נעלה בריבוע‪:‬‬
‫‪ 8 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 8 0 m  1, 6 0 0‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0  m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0  m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪200m  80m‬‬
‫‪120m  0‬‬
‫‪m  0‬‬
‫היות ומצאנו את התחום של ‪ m‬כך ש‪ x -‬חיובי וקיים‪ ,‬אין צורך לדרוש שהביטוי תחת השורש‬
‫יהיה אי שלילי‪ .‬ובכל זאת‪ ,‬נראה שגם אם נדרוש שהביטוי תחת השורש יהיה אי שלילי‪ ,‬אין‬
‫דרישה זו משפיעה על הפתרון הסופי‪.‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0  0‬‬
‫נראה זאת‪ :‬נדרוש‪:‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪ 2 0 0  1 8 3 .3 0 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 0 0 m  1, 6 0 0  0‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪3 3, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1 9 1 .6 5 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 4  1, 6 0 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m 1   8 .3 4 8 , m‬‬
‫‪200‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬שני השורשים שליליים‪.‬‬
‫נצייר את הפרבולה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8 .3 4 8‬‬
‫מהציור קל לראות שנקבל‬
‫בפרט‪,‬‬
‫‪  0‬‬
‫לכל‬
‫לכן‪ ,‬יש פתרון לכל‬
‫‪ 0‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪.m‬‬
‫‪m  0‬‬
‫‪.‬‬
‫רק עבור‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 9 1 .6 5 1‬‬
‫‪m   8 .3 4 8‬‬
‫‪.  1 9 1 .6 5 1 ‬‬
‫‪m 1, 2 ‬‬
‫פתרון שאלה מס' ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתבונן בסדרה‪:‬‬
‫‪...‬‬
‫‪. 7 , 1 0 , 1 3, 1 6 , 1 9 ,‬‬
‫לפי הנתון הסדרה חשבונית והפרשה‬
‫‪3‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪a n  a1   n  1 d‬‬
‫נמצא את האיבר הכללי‪:‬‬
‫‪a n  7   n  1  3  3n  4‬‬
‫בסדרה המקורית‪ ,‬האיברים במקומות האי‪-‬זוגיים חיוביים‪ ,‬והאיברים במקומות הזוגיים‬
‫שליליים‪ .‬לכן‪ ,‬נכפול את‬
‫‪ 4‬‬
‫‪  3 n‬ב‪-‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪   1 ‬שנותן תוצאה חיובית עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪ ,‬ושלילית‬
‫עבור ‪ n‬זוגי‪.‬‬
‫לכן סה"כ נקבל‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫נמצא את‬
‫‪Sn‬‬
‫עבור ‪ n‬זוגי‪.‬‬
‫נמצא את‬
‫‪Sn‬‬
‫עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪S n  a 1  a 2  a 3  a 4  ...  a n‬‬
‫עבור ‪ n‬זוגי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S n   a 1  a 2    a 3  a 4   ...   a n  1  a n‬‬
‫אם ‪ n‬זוגי אז יש‬
‫‪‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪an ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫סוגריים שבכל אחד מהם סכום של שני איברים‪.‬‬
‫‪S n   7  1 0    1 3  1 6   ...   a n  1  a n‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S n    3     3   ...    3  ‬‬
‫זה הסכום עבור ‪ n‬זוגי‪.‬‬
‫‪S n  a 1  a 2  a 3  a 4  ...a n‬‬
‫עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי נקבל‪:‬‬
‫‪S n   a 1  a 2    a 3  a 4   ...   a n  2  a n  1   a n‬‬
‫אם ‪ n‬אי‪-‬זוגי אז יש‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫סוגריים שבכל אחד מהם יש סכום של שני איברים סמוכים‪.‬‬
S n   7  1 0    1 3  1 6   ...   a n  2  a n  1   a n
S n    3     3   ...    3     1 
n 1
3n
 4
n 1
 n 1
Sn  
3n  4 
   3     1
 2 
:‫ לכן‬.‫ נותן לנו ערך חיובי‬  1 
n 1
‫זוגי ולכן‬-‫ אי‬n ‫ידוע כי‬
3n  3  6n  8
3n 11
 n 1
Sn  


  3   3n  4  
2
2
2
 2 
.‫זוגי‬-‫ זוגי או אי‬n-‫עכשיו צריך ליצור נוסחה ללא תלות בעובדה ש‬
‫זוגי‬-‫ אי‬n ‫ עבור‬: S n
3n
Sn 
S n    1
n 1
n 1

n 1
Sn  
2

11
4
   1
S n    1
n 1
n 1
Sn 
11

3n
  1
S n    1
4
 3n 11  11



4 
4
 2
n 1
n 1

0
2
)   1  ‫ נותן‬  1 
‫זוגי‬-‫ אי‬n ‫(עבור‬
 3n  11 11



4
4
 2 
3n
2
11
2
)  1  ‫ נותן‬  1 
S n    1

‫ זוגי‬n ‫ עבור‬: S n
n 1
‫ זוגי‬n ‫(עבור‬
 3n  11 11



4
4
 2 
3n
2

11
4
   1
n 1

11
4
: S n ‫סה"כ נקבל נוסחה אחת עבור‬
:‫נבצע בדיקה‬
.n
.n
.n
 3
 2

1


S1 
S 2    1
S3 
  1
3 1
2 1
  1
11
 3 1 1 1  1 1

 7  a1 √


4 
4
 2
 3  2 11  11

 3  a1  a 2 √


4 
4
 2
 3 3 11  11

 10  a1  a 2  a 3 √


4 
4
 2
.Sn
  42    1
n 1
 3n 11  11



4 
4
 2
.‫ג‬
‫היות והסכום שלילי אז לפי סעיף ב' אנחנו יודעים ש‪ n -‬זוגי‪ .‬לכן‬
‫‪n  28‬‬
‫‪‬‬
‫‪84  3n‬‬
‫‪‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪42 ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪   1 ‬נותן ‪:   1 ‬‬
‫פתרון שאלה מס' ‪3‬‬
‫נגדיר את המאורעות‪:‬‬
‫‪ : A‬קבוצת עצי המשמש‪.‬‬
‫‪ : A‬קבוצת עצי האפרסק‪.‬‬
‫‪ : B‬העצים שנפגעו ע"י הטפיל‪.‬‬
‫‪ : B‬העצים שלא נפגעו‪.‬‬
‫נבנה טבלת פרופורציות‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0 .6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1  x ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0 .4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 -x‬‬
‫‪1‬‬
‫הסבר למילוי הטבלה‪:‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪8‬‬
‫מהעצים נפגעו מהטפיל‪:‬‬
‫מבין עצי המשמש נפגעו מהטפיל‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P  B   0 .6  P B  0 .4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫מבין עצי האפרסק נפגעו מהטפיל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫נסמן‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  P A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P B / A‬‬
‫‪‬‬
‫‪P B/A‬‬
‫‪.P A   1‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1  x ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪P B‬‬
‫לפי הטבלה נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪0 .6‬‬
‫‪1  x  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪8 x  1 2  1  x   0 .6  1 5‬‬
‫‪8x  12  12 x  9‬‬
‫‪3  4x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫כעת נוכל למלא את הטבלה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0 .6‬‬
‫‪0 .4‬‬
‫‪1‬‬
‫נענה לסעיפים המבוקשים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫אחוז עצי המשמש‪:‬‬
‫‪ 75%‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 .6‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪P B‬‬
‫‪P A / B ‬‬
‫עצי המשמש שלא נפגעו מהמחלה הם‬
‫נסמן ב‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫את סה"כ העצים ולכן‪:‬‬
‫‪y  280‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ y  800‬‬
‫‪280‬‬
‫‪7‬‬
‫‪20‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪B ‬‬
‫‪‬‬
‫‪P A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x ‬‬
. ‫ עצים‬8 0 0 ‫סה"כ בשטח יש‬
4 '‫פתרון שאלה מס‬
180  2
 AC
. AB

-‫כך ש‬
ABC
. A C ‫גובה לשוק‬
BF
‫ראשית נבנה משולש שווה שוקיים‬
, A B ‫תיכון לשוק‬
m
m
m
F
C 
B  
A  180  2 
) A B C ‫(סכום זוויות במשולש‬
D
:‫בנית עזר‬
CD
)‫(נתון‬
2
.‫א‬
: A C D ‫לפי משפט הקוסינוסים במשולש‬
2
CD 


2
AC 

2
 AD 
2
 2  A C  A D  cos 
CD 
) c o s 1 8 0    

:‫נציב את הידוע לנו‬
B
C
A
 cos 
2
 m
 m 
 

 2 
2
2
 m 
 2 m  
  c o s 1 8 0   2  
 2 
-‫ (נעזרנו בכך ש‬ C D 
CD 
2

5m
2
2
 m

 m

2m
4
2
2
2
m
m
 cos 2 
2
 cos 2
2
2
  5  4 cos 2
4

4
m 
CD 
5  4  cos 2
2
s in

FAB  
FB
F B  m  s in 2   s in  1 8 0   2 
:‫בתוצאות הסעיפים הקודמים ונקבל‬
  60
: A F B ‫נסתכל במשולש‬
AB


FB
m
:‫נציב את הידוע לנו‬
‫ נציב‬.‫נמצא את כל אחד מהגדלים במקרה זה‬
3 m
B F  m  s in  2  6 0    m  s in 1 2 0  
2
CD 
m 
5  4  cos  2  60 
2

m 
5  4  cos120
2

.‫ב‬
m 
52
2
BF  CD

3 m
2

.‫ג‬
:‫בסעיפים הקודמים מצאנו‬
B F  m  sin 2 
m 
CD 
5  4  cos 2
2
:  ‫נביע את היחס באמצעות‬
BF

CD
m  s in 2 
m 
2  m  s in 2 

5  4  cos 2
m 
5  4  cos 2 

2  s in 2 
5  4  cos 2 
2
2  s in 2 

5  4  cos 2
3
 
2
:‫כלומר הדרישה‬
21
4  s in
2
2
5  4  cos 2
9

21
2
8 4  s in 2   4 5  3 6  c o s 2 
‫ נציב‬. s in 2
2
2  1  cos 2
‫נסיק את הקשר‬
2
s in
:‫כפל בהצלבה‬
2
2  cos 2  1
‫מתוך הזהות‬
8 4  1  c o s 2    4 5  3 6  c o s 2 


2
84  84t
84t
t 1, 2 
36 
36
2
2
 45  36t
2  84

1
 t
‫נסמן‬
36  120
168
t1  
13
,
14
.  ‫ונמצא את‬
c o s 2   t1 
: co s 2 
 36t  39  0
 4  84   39 

2
:‫ונקבל‬
t2 
1
2
t  co s 2 
‫כעת נציב שוב את‬
:‫אפשרות ראשונה‬
 2  60    30
2
:‫אפשרות שנייה‬
cos 2  t 2  
13
14
 2   1 5 8 .2 1     7 9 .1 
.‫ד‬
‫‪B‬‬
‫פתרון שאלה מס' ‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מקבילית ‪: A B C D‬‬
‫‪AE‬‬
‫חותך את‬
‫‪AE‬‬
‫מקביל לקו שיוצא מהנקודה ‪, D‬‬
‫‪BI‬‬
‫בנקודה ‪. M‬‬
‫לכן מקביל גם להמשכו של הקו‬
‫טענה‬
‫‪FI ‬‬
‫‪I‬‬
‫‪G‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.AE‬‬
‫נימוק‬
‫‪F ‬‬
‫‪I  90‬‬
‫נתון אנך‬
‫‪‬‬
‫‪MI‬‬
‫זוג זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים‬
‫‪AF‬‬
‫‪‬‬
‫מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‬
‫ובעל זווית ישרה הוא מלבן‬
‫מלבן‬
‫‪A M IF‬‬
‫‪‬‬
‫‪AF  M I  x‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪AM‬‬
‫צלעות נגדיות במלבן שוות ‪ +‬סימון‬
‫‪AB‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫נתון‬
‫‪DG‬‬
‫‪CDG  ‬‬
‫מקבילית‬
‫‪BAM ‬‬
‫‪C G D  90‬‬
‫שוקי זווית שמקבילים בהתאמה ‪ +‬סימון‬
‫‪BM A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪D C G  90  ‬‬
‫‪ABM ‬‬
‫משלימות ל‪ 1 8 0  -‬במשולש‬
‫‪‬‬
‫‪BAM  CDG‬‬
‫זצ"ז‬
‫‪‬‬
‫‪BM  CG  y‬‬
‫צמב"ח‬
‫‪F‬‬
‫‪A F  C G  IM  M B  B I‬‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ EC‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫בניית עזר‪:‬‬
‫‪I  90‬‬
‫‪ -‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬א'‪.‬‬
‫‪.BE‬‬
‫‪CG‬‬
‫‪.ER‬‬
‫‪G ‬‬
‫‪‬‬
‫‪CG‬‬
‫טענה‬
‫‪MI‬‬
‫‪.ER‬‬
‫נימוק‬
‫‪‬‬
‫קטע אמצעים בטרפז‬
‫‪ER‬‬
‫יוצא מאמצע השוק‬
‫‪B IG C‬‬
‫‪CG  y , BI  x  y‬‬
‫‪BE‬‬
‫ומקביל לבסיסים‬
‫מסעיף א'‬
‫‪‬‬
‫‪2y  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ER ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות‬
‫ובעל זווית ישרה אחת הוא מלבן‬
‫מלבן‬
‫‪AERF‬‬
‫קטע אמצעים בטרפז שווה לממוצע אורכי‬
‫הבסיסים‬
‫‪‬‬
‫‪AF  ER‬‬
‫‪2y  x‬‬
‫‪‬‬
‫צלעות נגדיות במלבן שוות‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x  2y  x‬‬
‫‪x  2y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪AF‬‬
‫‪ 2‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬ב'‪.‬‬
‫‪CG‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נימוק‬
‫טענה‬
‫‪C D G  30‬‬
‫נתון‬
‫‪G  90‬‬
‫נתון‬
‫‪‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪CG ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫ס"מ‬
‫‪CG ‬‬
‫במשולש ישר זווית‪ ,‬הניצב מול‬
‫למחצית היתר‬
‫נתון‬
‫‪30‬‬
‫שווה‬

DC 
‫ ס"מ‬1 0
‫נתון‬
C BI  30
'‫הּוכח בסעיף א‬+‫נתון‬
BM  CG  5
: B M E ‫נתבונן במשולש‬
30
‫שווה למחצית היתר‬
‫ניצב מול‬

B

30
2t
2EM  BE
25
 t
25  t
2

3
2

 t

 4t
5
25  3t
5 3
2
 t
3
3

5
2
BE 
10
3
3

BC 
20
3
3
E
t
M

20 3 
PA B C D   1 0 
  2 

3


2‫מ‬0" 
‫ס‬
40
3
3
6 '‫פתרון שאלה מס‬
f  x   ax
:‫ כלומר‬,  9 ‫ שיפוע המשיק‬ 1,  5  ‫נתון כי בנקודה‬
f ' 1    9
.f ' x 
 3a x
2
 2bx
, f 1 
 5
:‫נגזור ונרשום את שתי המשוואות‬
:‫ומכאן‬
3
2

 5  a 1  b 1

2

  9  3a  1  2 b 1
2
3
 bx
2
(1)
.‫א‬
10  2a  2b

  9  3a  2 b
a 1
 b  6
 f
x
 x
3
 6x
2
f ' x   3x
3x
2
2
 12x
(2)
 12x  0

x1  0 , x 2  4
:‫מציאת סוג הקיצון‬
:‫ ומכאן‬, f ''  x 
 6 x  12
f ''  0    1 2  m ax
f ''  4   1 2  m in
:‫ של נקודות הקיצון‬y -‫שיעור ה‬
y 0  0
y  4   64  96  32
:‫לסיכום‬
 0, 0  m ax
 4 ,  3 2  m in
:x -‫חיתוך עם ציר ה‬
x
3
 6x
2
 0
x  0 , x  6
 0 , 0  ,  6 , 0  :‫ לכן נקודות החיתוך‬, y -‫ היא נקודת החיתוך עם ציר ה‬ 0, 0 
(3)
‫)‪(4‬‬
‫נסרטט את הגרף של‬
‫‪2‬‬
‫‪ 6x‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נסרטט את הגרף של‬
‫‪3‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ 6x‬‬
‫‪:f x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪:y‬‬
‫נקודות הקיצון תהיינה‪:‬‬
‫‪ 4 , 3 2  m a x ,  0 , 0  m in ,  6 , 0  m in‬‬
‫שים לב! ‪  6, 0 ‬היא נקודת "חוד" שבה הפונקציה לא גזירה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הפונקציה הנתונה היא‬
‫‪2‬‬
‫‪bx‬‬
‫‪.g(x ) ‬‬
‫לכן‪ ,‬נגדיר את נקודת ההשקה כ‪-‬‬
‫נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫‪y '  2bx‬‬
‫בנקודה ‪: t‬‬
‫‪y '  2bt‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪A t, bt‬‬
:‫ הדרישה‬.‫ניעזר בנוסחה למציאת שיפוע של ישר‬
y2
y1
bt
2bt 
  3
2
t 0
A(t,bt2)
3
t1 
b
3
; t2  
(0,-3)
3
m1  2b 
2
2
2
 bt
 3  bt
:‫של נקודת ההשקה‬
b
;m
b
 2bt
3
 2b 
b
2
 3
‫שיעורי‬
x
:‫שיפועי המשיקים‬
:‫נמצא את משוואות המשיקים‬
3
y  3  y  3  2b 
y  3  y  3  2b 
b
3
b
x
x
 0
 0

3
y  2b 
x  3
)1
x  3
)2
b

3
y  2b 
b
:‫ לכן נוכל לחשב רק חצי מהשטח‬, y -‫השטח סימטרי מסביב לציר ה‬
3
b
S 

0
3

2
 bx



 bx

x  3   dx  

b
 3


   2 b 
3


3
 b
b

S 

3



S 
b

3
3

b
.
3
b
3
b
 1
 2b
3
b

3
3
 2b 

b
3

 3x
2
0
x
2
2
3
3
 2b
b

b
3
2b
 3
3
 3
2
3

b
b
1 
b


3 
 0
b 



3  3 
3
b
:‫ נשווה ונקבל‬. 1 ‫ חצי ממנו הוא‬,‫ לכן‬. 2 ‫כל השטח הנתון הוא‬
3
b
1 b  3
:‫העלאה בריבוע‬
7 '‫פתרון שאלה מס‬
‫ ונגזור את הפונקציה כדי למצוא‬, x
 t
,‫כדי למצוא את משוואת המשיק נסמן נקודה כללית‬
.‫את השיפוע הכללי‬
y '  3  x  1
.y 
y1  m  x  x 1 
‫ נציב במשוואת הישר הכללי‬, y
y
  t  1
y  3x  t  1
2
3

2
t
 m  3  t  1
3
 1  1

‫אז‬
 1  3  t  1
 3t  t  1
2
2
2
x  t
x
-‫מכיוון ש‬
 t
3
  t  1  1
‫ נבצע אינטגרל בין‬,‫ כעת‬.‫קיבלנו את משוואת המשיק הכללי‬
. t ‫כדי לגלות את השטח כתלות בפרמטר‬
1
x
 1
3

 1  3x  t  1
2
x 1
 3t  t  1
2
-‫ו‬
x  0
  t  1
3
‫הישרים‬

 1 dx 
0

 x  1
4
4
 3x 2  t  12

2
3
 x 
 3 tx  t  1   x  t  1   x 


2


1

0
1
2
2
  x  14

3x  t  1
2
3
 
 x 
 3 tx  t  1   x  t  1   x  
4
2

0
1
  x  1  4  6 x 2  t  1  2  1 2 tx  t  1  2  4 x  t  1  3 
 
 
4

0

16  6  t  1
2
 12 t  t  1
2
 4  t  1
3

4
1
4
:‫כעת נפתח את הסוגריים לפי נוסחאות כפל מקוצר‬

16  6 t
2


 2t  1  12t t
2


 2t  1  4 t
4
3
 3t
2

 3t  1  1

.‫א‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 12t  4  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 12t‬‬
‫‪ 12t  4t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 24t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 12t  6  12t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16  6t‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 12t  5‬‬
‫‪ 6t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫נגזור את התוצאה ונשווה ל‪-‬‬
‫‪ t  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t  1‬‬
‫‪ 32t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫על מנת למצוא את נקודות הקיצון‪:‬‬
‫‪12  2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12t  12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ t  1  0‬‬
‫‪:3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t 1 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪24t‬‬
‫‪( )'‬‬
‫‪4‬‬
‫‪32t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2t‬‬
‫באמצעות טרינום נמצא את המאפסים‪:‬‬
‫‪t  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ t    t  1  0  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫נציב ערכים גדולים וקטנים מהנקודות ונמצא את סוג נקודות הקיצון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫על כן הנקודה‬
‫‪2‬‬
‫‪t ‬‬
‫היא נקודת מינימום‪ .‬את הנקודה‬
‫‪t  1‬‬
‫ניתן לפסול מכיוון שהיא לא‬
‫נמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫נציב‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t ‬‬
‫במשוואת המשיק הכללי ונקבל את המשיק המבוקש‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  1 .5   1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 .5  1 .5 ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪27‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪y  3 x  1 .5 ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪27‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪4‬‬
‫וזוהי משוואת המשיק עבורו השטח מינימלי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מכיוון שמצאנו שיש לנו נקודת מינימום בנגזרת בתחום המבוקש‪ ,‬נקודת המקסימום תהיה‬
‫בקצות השטח הנתון‪,‬‬
‫‪t  0‬‬
‫נציב‬
‫‪t 1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫או‬
‫‪.t‬‬
‫נפסל מכיוון שאינו ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪t 1‬‬
‫במשוואת המשיק הכללי ונקבל את המשיק עבור השטח המקסימלי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  3x  2 ‬‬
‫‪y  12x  12  8  1‬‬
‫‪y  12x  3‬‬
‫פתרון שאלה מס' ‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫הפונקציה היא‬
‫‪2‬‬
‫‪m  nx‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪.y‬‬
‫מהנתון לפונקציה נקודת מקסימום ‪  2, 4 ‬ניצור שתי משוואות‪:‬‬
‫‪y 2  4‬‬
‫‪m  4n‬‬
‫‪y ' 2   0‬‬
‫‪ 2nx ‬‬
‫‪4  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y 2  4‬‬
‫‪m  4n /‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪m  nx‬‬
‫‪  2nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  m  4n‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m  nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 m  nx‬‬
‫‪m  nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  m  4n   8n‬‬
‫‪m  4n‬‬
‫‪m  8n  0‬‬
‫‪m  8n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪y'‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪. y ' 2 ‬‬
‫‪m  8n‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  m  4n‬‬
‫‪4  8n  4n‬‬
‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪4n  4‬‬
‫‪m  8‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x  2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫תחום הגדרה‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫נקודות חיתוך עם הצירים‪ 0 , 0  :‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪2,0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2,0‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0  x  ‬‬
‫‪8 0  0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪x  0  y  0‬‬
‫‪y  0 ‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫אסימפטוטה אנכית‪ :‬אין ‪.‬‬
‫אסימפטוטה אופקית‪:‬‬
‫נבדוק מה קורה כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim x‬‬
‫‪x  ‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪:x‬‬
‫אין אסימפטוטה אופקית‬
‫נמצא את נקודות הקיצון‪ .‬נגזור ונשווה לאפס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8  2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪8  x   x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 8  x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪y'‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y' 0‬‬
‫‪ 4  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0  2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y '  8  2x‬‬
‫‪ 0  8  2x‬‬
‫נמצא את תחומי העלייה והירידה‪ .‬נציב במונה של הנגזרת‬
‫תמיד חיובי) ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8  2x‬‬
‫(המכנה‬
(-)
(+)
(-)
(
0
-2.5
-2
 2
2.5
2
2
2
y '  x  2 .5  
2

y '  x   2 .5  
y ' x  0  
 

‫נמצא את ערכי הפונקציה המתאימים לנקודות הקיצון‪:‬‬
‫‪m in   2 ,  4 ‬‬
‫‪m ax  2, 4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  2  4 ‬‬
‫‪ 22  4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪8  2 ‬‬
‫‪y 2   2 ‬‬
‫‪y 2  2 ‬‬
‫נקודות הקיצון של קצות הקטע הן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2,0‬‬
‫‪  2‬ו‪ -‬‬
‫‪2,0‬‬
‫‪2‬‬
‫נסרטט סקיצה‪:‬‬
‫)‪(2,4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(-2,-4‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לישר‬
‫‪y  k‬‬
‫(‬
‫יש שתי נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה כאשר‪:‬‬
‫‪k  0 ,  4  k  4‬‬