פתרון שאלון 804 חורף תשע"ה 2015
1 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 א .נסמן ב) x -שקלים( את מחיר הספה ,וב) y -שקלים( את מחיר הכורסה. מחיר הספה גדול ב 1500 -שקל ממחיר הכורסה ,ובהתאם . x y 1500 )נוח להישאר עם שני משתנים ,בגלל העבודה עם האחוזים בהמשך(. 8 בסוף השנה עלה מחיר הספה ב , 8% -ולכן מחירה התייקר ב x 0.08 x - 100 10 בסוף השנה ירד מחיר הכורסה ב , 10% -ולכן מחירה הוזל ב y 0.1y - 100 . . מחיר הספה עלה באותו הסכום שהמחיר של 2כורסאות ירד ,ולכן 0.08 x 2 0.1 yומכאן ש. x 2.5 y - נפתור את מערכת המשוואות: x y 1500 x 2.5 y 2.5 y y 1500 1.5 y 1500 / :1.5 x 2500 y 1000 תשובה :מחיר הספה 2,500שקל ומחיר הכורסה 1, 000שקל ,לפני שינוי המחירים. ב .משה קנה בסוף השנה 3כורסאות וספה אחת. עבור הכורסאות שילם. 3 90% 1000 3 0.9 1000 ₪ 2, 700 : עבור הספה שילם. 108% 2500 1.08 2500 ₪ 2, 700 : בסך הכול שילם משה .₪ 5, 400 אם היה קונה לפני שינוי המחירים ,היה משלם. 3 1000 2500 ₪ 5,500 : 100 לכן משה חסך ₪ 100מתוך ,₪ 5,500המהווים 0.01818 1.818% : 5,500 . תשובה :הסכום ,ששילם משה עבור הקנייה שלו ,קטן ב 1.818% -מהסכום שהיה משלם לפני שינוי המחירים. נכתב ע"י עפר ילין 2 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 3 1 2 1 א .שיפוע הצלע , ABהוא 10 4 6 3 / :3 30 10 xC 3 1 10 xC 1 , mAB ולכן שיפוע הצלע המאונכת )ההופכי והנגדי( הוא . mBC 3 10 xC 1 xC 11 תשובה. C(11, 0) : ב .נבדוק האם הקטע המחבר את Eלאמצע הצלע BCהוא קטע אמצעים בטרפז . ABCD 1 0 1 1 4 6 2 2 , mAE ולכן ADלא מקביל ל BC -ו ABCD -טרפז )חישוב השיפוע נדרש גם לסעיף ג(. 10 11 3 0 , )) F(10.5,1.5 2 2 1.5 0 1.5 1 10.5 6 4.5 3 (. F mEF ומכאן ש) EF AB -השיפועים שווים(. לכן ,הקטע המחבר את Eלאמצע הצלע BCהוא קטע אמצעים בטרפז ו E -היא אמצע הצלע . AD תשובה E :היא אמצע הצלע . AD ג .כפי שהראינו בסעיף ב AD ,לא מקביל ל BC -ולכן Dאינה ישרה. מכאן שהמיתר ECלא נשען על זווית ישרה ,במעגל החוסם את , EDCוהוא אינו קוטר במעגל זה. תשובה EC :אינו קוטר במעגל החוסם את . EDC נכתב ע"י עפר ילין 3 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 א .בשקית א' יש 7מטפחות צהובות ו 5 -מטפחות אדומות, 7 5 לכן: = ), P(red 12 12 = ) P(yellowבהוצאת מטפחת אחת משקית א'. 7 ההסתברות שהוציאו שתי מטפחות צהובות ,אחת מכל שקית ,היא: 40 . 3 7 מכאן שאם pהיא ההסתברות להוצאת מטפחת אחת צהובה משקית ב' ,אז p 7 10 12 40 ,p ובשקית ב' יש 3מטפחות צהובות ו 7 -מטפחות אדומות. תשובה :בשקית ב' יש 3מטפחות צהובות. ב .נחשב את ההסתברות שהמטפחת שהוצאה משקית ב' היא צהובה, אם ידוע שהמטפחות שהוצאו הן בצבעים שונים. )P(yellow from bag b different colours )P(different colours 5 3 1 15 12 10 P(yellow from bag b /different colours) 8 7 7 5 3 8 64 12 10 12 10 15 P(yellow from bag b /different colours) 15 תשובה :ההסתברות היא 64 . ג .עתה בוחרים באקראי שקית )הסתברות לכל שקית היא ,( 0.5 ומוציאים שתי מטפחות ללא החזרה ,כך שמספר המטפחות יורד באחת ,בהתאם לצבע המתאים. 5 4 0.5 7 6 17 12 11 10 9 55 P(2 red) = 0.5 17 תשובה :ההסתברות היא 55 . נכתב ע"י עפר ילין 4 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 נתונים AB .1משיק למעגל בנקודה . A . EDA ADB .2 SBAD עבור ב 4 .3 : SAED עבור גAD a .4 : צ"ל :א. AED BAD . PBAD ב. PAED . BD ג(2) BD (1) . DE הסבר נימוק טענה נתון 1 5 ABמשיק למעגל בנקודה A 5 6 ) EAD ABDז( זווית בין משיק למיתר 2 7 ) EDA ADBז( נתון 7 ,6 8 AED BAD 3 9 SBAD 4 SAED 9 ,8 10 AE AD ED 2 BA BD AD 10 ,8 11 PBAD 2 PAED 4 12 AD a 12 ,10 13 BD 2aמ.ש.ל ג )(1 12 ,10 14 1 a 2 14 ,13 15 BD 4 DE משפט דמיון זווית זווית מ.ש.ל .א נתון יחס דמיון של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון יחס היקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון מ.ש.ל .ב ED נתון הצבה וחישוב הצבה וחישוב חישוב מ.ש.ל .ג )(2 נכתב ע"י עפר ילין 5 35804 מועד חורף שאלון15 בגרות עה ינואר .( )נתוןBAC .א .( )נתוןSABC סמ"ר12.5 . ( )נתוןAB AC AB AC sin BAC 2 2 (AB) sin 2 12.5 / 0 2 sin 25 (AB) 2 sin 5 AB AB 0 sin 12.5 . 5 הואABC אורך השוק של המשולש:תשובה sin .( ) הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכוןBE = EC )בניית עזר( ולכןAE BC .ב . BD ס"מ2 , ( )נתון 44 B ACB 180 44 68 2 ABE cos 68 BE AB 5cos 68 BE sin 44 BE 2.247 cm BC 4.495 cm לפי משפט הקוסינוסיםBCD (DC) 2 (BD) 2 (BC)2 2 BD BC cosB (DC) 2 22 4.4952 2 2 4.495 cos 68 (DC) 2 17.47 DC 4.18 cm . DC ס"מ4.18 :תשובה נכתב ע"י עפר ילין ג .כיוון ש , DC BD -הרי שבמשפט הסינוסים ,ב , BCDנקבל פתרון יחיד אפשרי ל. BCD - בתרגיל זה ,אין כלל בעיה כי BCDחדה. BCDלפי משפט הסינוסים: DC BD sin 68 sinBCD 2 sin 68 sinBCD 4.18 sinBCD 0.4437 0 BCD < 68 BCD 26.34 תשובה. BCD 26.34 : נכתב ע"י עפר ילין 6 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 2 א (1) .נתונה הפונקציה x x 2 . f ( x) תחום ההגדרה ,ביטוי במכנה שונה מאפס. x2 x 0 x( x 1) 0 תשובה. x 0, x 1 : ) (2שש הצבות קצרות במחשבון ,להתמצאות מיטבית בחקירה )מומלץ ,לאחר מציאת תחום הגדרה(. f (100) 0.0002 0 , f (100) 0.002 0,מסקנה y 0 :אסימפטוטה אופקית. f (0.001) 2002 f (1.001) 1998 , f (0.001) 1998 ,מסקנה x 0 :אסימפטוטה אנכית. , f (0.999) 2002 ,מסקנה x 1 :אסימפטוטה אנכית. נימוקים אפשריים נוספים: 2 הביטוי x x 2 שואף ל , 0 -כאשר xשואף ל , -כי חזקת המכנה ) ( 2גדולה מחזקת המונה ) ,( 0 x 0, x 1מאפסים מכנה ולא מונה ,ולכן הישרים x 0, x 1אסימפטוטות אנכיות. תשובה y 0 :אסימפטוטה מאונכת לציר ה x 0, x 1 , y -אסימפטוטות מאונכות לציר ה. x - ) (3נמצא תחומי עלייה וירידה. )0 2(2 x 1 ( x 2 x) 2 f '( x) )2(2 x 1 ( x 2 x) 2 f '( x) 2x 1 0 x 0.5 המכנה חיובי ,כאשר המונה גרף של קו ישר יורד ,העובר מחיוביות לשליליות ,עבור x 0.5ולכן מקסימום. ומכאן גם שהפונקציה יורדת עבור x 1או 0.5 x 1ועולה עבור 0 x 0.5או . x 0 תשובה , (0.5, 8) :מקסימום. ) (4הסרטוט המתאים: נכתב ע"י עפר ילין ב g ( x) f ( x) 2 .תזוזה אנכית של ) f ( xכלפי מטה ב 2 -יחידות. ) (1תחום ההגדרה אינו משתנה והאסימפטוטות המאונכות לציר ה x -אינן משתנות. התזוזה כלפי מטה ב 2 -יחידות של גרף הפונקציה מורידה גם את האסימפטוטה האופקית ב 2 -יחידות כלפי מטה. תשובה y 2 :אסימפטוטה מאונכת לציר ה x 0, x 1 , y -אסימפטוטות מאונכות לציר ה. x - ) (2התזוזה כלפי מטה ב 2 -יחידות של גרף הפונקציה מורידה גם את נקודת הקיצון ב 2 -יחידות כלפי מטה ,אך לא את סוגה. תשובה , (0.5, 10) :מקסימום . ) (3הסרטוט המתאים: נכתב ע"י עפר ילין 7 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 3 א .נתונה הפונקציה 2 x . f ( x) ) (1הביטוי שבתוך השורש צריך להיות אי שלילי ,והמכנה צ"ל שונה מאפס ,לכן . x 0 תשובה. x 0 : ) x 0 (2לא בתחום ההגדרה של הפונקציה ,לכן אין חיתוך עם ציר ה. y - 3 הביטוי x הוא חיובי ואם נוסיף 2נקבל שהפונקציה חיובית לכל , x 0ואין חיתוך עם ציר ה. x - 3 למעשה 2 x שואף ל , 0 2 -בכיוון החיובי של ציר ה , x -ולכן y 2אסימפטוטה אופקית. תשובה :גרף הפונקציה אינו חותך את הצירים. ) (3הסרטוט המתאים ,כולל עבור ב ).(1 3 הפונקציה 2 x f ( x) יורדת )הובא כנתון(. נכתב ע"י עפר ילין ב (1) .הסרטוט משמאל ובעמוד הקודם 3 ) (2נמצא את נקודת החיתוך שבין הישר y 3 x 2לפונקציה 2 x 3 2 3x 2 x 3 1 3x x ( )2 x x 1 1 x 2 1 x3 1 x 1 1 1 o.k . x 1 ושיעורי נקודת החיתוך הם (1, 5) :לפונקציה. הישר y 3 x 2חותך את ציר ה y -בנקודה ) (0, 2ועולה. 3 הפונקציה 2 x f ( x) יורדת )הובא כנתון(. נחשב את השטח שבין הפונקציה ,הצירים ושני הישרים, על ידי חישוב שטח ימני בעזרת אינטגרל ,ושמאלי כשטח טרפז. )(2 5) (1 0 3.5 2 . Strapez את השטח הימני נחשב בעזרת אינטגרל. 3 2 0) dx x 4 (S 1 4 ] S 3 2 x 2x 1 )S (6 4 2 4) (6 1 2 1 )S (20) (8 S 12 וגודל השטח כולו3.5 12 15.5 : תשובה :השטח הוא 15.5יח"ר. נכתב ע"י עפר ילין . f ( x) 8 בגרות עה ינואר 15מועד חורף שאלון 35804 4 א .נסמן ב t -את שיעור ה x -של הנקודה , Aהנמצאת על גרף הפונקציה x 4 בהתאם שיעורי הנקודה הם ) . A(t , t 4 ) (1נמצא את שיפוע המשיק בנקודה ) . A(t , t 4 x2 4 t2 f '( x) m(t ) f '(t ) 4 תשובה :שיפוע המשיק הוא t2 . 4 ) (2נמצא את משוואת המשיק בנקודה ) . A(t , t 4 4 ) 2 (x t t t 4 4 4 y 2 x t t t 4 8 y 2 x t t y 4 8 תשובה :משוואת המשיק היא x 2 t t .y ) (3נמצא את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה. x - 4 8 x ) 0 4 x 8t x 2t C(2t , 0 2 t t 0 שיעורי הנקודה Bהם ) , (t , 0כי . xB xA t לכן BC xC xB 2t t t תשובה. BC t : נכתב ע"י עפר ילין . f ( x) ב .הפונקציה שיש להביא למינימום היא סכום הקטעים . AB BC 4 4 0 t t AB yA yB 4 כלומר: t g (t ) t נמצא את נקודת הקיצון 4 t2 g '(t ) 1 t2 4 t2 g '(t ) t2 4 t2 0 t 2 4 t 2 4 t 2 0 t 2נפסל כי נתון שהגרף ברביע הראשון. נבנה טבלה לזיהוי סוג הקיצון )מכנה הנגזרת חיובי( g '(1) 12 4 3 0 g '(3) 32 4 5 0 x 'y מסקנה 0 2 + Min הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ולכן זו נקודת מינימום. )בהתאם שיעורי הנקודה )( A(1, 4 תשובה t 2 :יביא את סכום הקטעים AB BCלמינימום. נכתב ע"י עפר ילין
© Copyright 2024