FAKTA
Utval
Eit utval er den delen vi har trekt ut av
ei strre mengd.
Kombinatorikk — systematisere og telje kor mange mtar
eit utval kan kombinerast p, kallar vi
kombinatorikk.
Ordna utval
utan tilbakelegging
Vi trekkjer eitt og eitt objekt.
Rekkjeflgja vi trekkjer objekta i, spelar ei rolle.
Uordna utval
utan tilbakelegging
Vi trekkjer eitt og eitt objekt.
Rekkjeflgja vi trekkjer objekta i, spelar inga rolle.
Ordna utval
med tilbakelegging
Kvart objekt blir lagt tilbake etter kvar trekning.
Rekkjeflgja vi trekkjer objekta i, spelar ei rolle.
Eksempel:Vi kan ordne n klossar p
n! ulike mtar.
Eksempel: I lotto trekkjer dei ei og ei kule.
Rekkjeflgja dei trekkjer kulene i, har ingenting seie.
Formelen n k viser kor mange mtar vi kan trekkje k element p
nr vi har n moglege utfall i kvar trekning.
Eksempel: I ein bolle ligg det seks si¡er: 0, 1, 2, 3, 4 og 5.
Frst trekkjer vi si¡eret p tiarplassen.Vi legg s si¡eret
attende i bollen fr vi trekkjer si¡eret p einarplassen.
Vi har seks ulike si¡er i kvar trekning. Nr vi trekkjer to si¡er,
har vi n k = 62 = 6 6 = 36 ulike utfall.
76
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
Uordna utval
med tilbakelegging
FAKTA
OG SANNSYNSREKNING
Kvart objekt blir lagt tilbake etter kvar trekning.
Rekkjeflgja vi trekkjer objekta i, spelar inga rolle.
Eksempel: I isbaren kan vi f kjpt kuleis med smakane vanilje,
sjokolade, jordbr og pistasj. Kor mange ulike mtar kan vi
kombinere to av desse smakane p dersom rekkjeflgja ikkje spelar
noka rolle? Vi kan godt ha to kuler med same smaken.
Vanilje
Sjokolade
Jordbær
Pistasj
Vanilje
Vanilje–Vanilje
Vanilje–Sjokolade
Vanilje–Jordbær
Vanilje–Pistasj
Sjokolade
Sjokolade–Vanilje
Sjokolade–Sjokolade
Sjokolade–Jordbær
Sjokolade–Pistasj
Jordbær
Jordbær–Vanilje
Jordbær–Sjokolade
Jordbær–Jordbær
Jordbær–Pistasj
Pistasj
Pistasj–Vanilje
Pistasj–Sjokolade
Pistasj–Jordbær
Pistasj–Pistasj
Valtre
Eit valtre framstiller kombinasjonar
av £eire objekt. Den nedste rada
viser talet p kombinasjonar.
Multiplikasjons- Vi kan rekne ut talet p kombinasjonar
setninga
ved multiplisere talet p moglege utfall
p kvart niv med kvarandre:
n1 n 2 n 3 . . . n p
der n p er det siste moglege utfallet.
Tabell
Med ein tabell kan vi ordne elementa systematisk
p ein oversiktleg mte.
Fakultet ^ n!
n! er eit matematisk omgrep som vi les ’’n-fakultet’’:
n! = n ðn 1Þ ðn 2Þ . . . 3 2 1
Sannsyn
Med sannsyn meiner vi kor stor sjansen er for at ei hending skal skje.
Sannsynsverdien kan skrivast som desimaltal, brk eller prosent:
1
4
1
2
3
4
0%
25 %
50 %
75 %
100 %
0
0,25
0,5
0,75
1
Hendinga kan
ikkje skje
Denne hendinga
skjer i 25 % av
tilfella
Hendinga skjer
i halvparten av
tilfella
Denne hendinga
skjer i 75 % av
tilfella
Det er heilt
sikkert at denne
hendinga
kjem til å skje
77
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
FAKTA
OG SANNSYNSREKNING
Sannsynsrekning
I sannsynsrekning reknar vi ut sjansen for at ei hending
skal skje.Vi bruker bokstaven P som symbol p sannsyn.
Lova om
store tal
Gjer vi eit forsk eller ei trekning svrt mange gonger, vil den
relative frekvensen for kvart utfall nrme seg sannsynsverdien.
Utfall
Resultatet av eit forsk kallar vi utfall. Metodane fr kombinatorikken
er verkty vi bruker nr vi skal ¢nne talet p moglege utfall i eit forsk.
Utfallsrom
Mengda av alle moglege utfall kallar vi utfallsrommet.
Symbolet for utfallsrommet er U.
Eksempel: Utfallsrommet for ein terning med seks sider er
U = f1, 2, 3, 4, 5, 6g.
Gunstige utfall Dei utfalla som gir oss det vi leitar etter, eller som det blir spurt om,
kallar vi gunstige utfall.
Uniform sann- Er alle utfalla i eit forsk like sannsynlege,
synsfordeling har vi ei uniform sannsynsfordeling:
Sannsynet P =
gunstige utfall i alt
moglege utfall i alt
Eksempel: Nr vi kastar ein terning med seks sider, er det like
sannsynleg at vi fr ein toar som ein seksar. Sannsynsverdien for
f ein toar er
P ð2Þ =
Valtre
1
6
Valtreet er ein mte vi kan framstille
utfallsrommet p og ¢nne
sannsynsverdien for eit av utvala.
Srleg nr vi skal kombinere £eire
objekt, er valtreet eit hveleg
hjelpemiddel.
Eksempel:
Det er 12 = 0,50 = 50 % sannsynleg
at vi fr ei jente og ein gut dersom vi fr to barn.
Det er 14 = 0,25 = 25 % sannsynleg
at vi frst fr ei jente og s ein gut dersom vi fr to barn.
78
EMNE 9 – KOMBINATORIKK
Hendingar
som ikkje
overlappar
OG SANNSYNSREKNING
FAKTA
Dersom to hendingar, A og B, ikkje kan skje samstundes,
¢nn vi sannsynet for at minst ei av hendingane skal skje,
som summen av sannsynsverdiane. Anten skjer det eine, eller
s skjer det andre. Dette kan vi ogs kalle anten^eller-regelen:
P ðA eller BÞ = P ðAÞ + P ðBÞ
Venndiagram
Eit venndiagram er ein mte vise
alle samanhengane mellom to eller
£eire mengder p.
Sannsynet for
at ei hending
ikkje skal skje
For at ei hending A ikkje skal skje, gjeld
Uavhengige
hendingar
Nr hendingane ikkje verkar inn p kvarandre, har vi
uavhengige hendingar.
P ðikkje AÞ = 1 P ðAÞ:
Dersom A og B er uavhengige hendingar, kan vi ¢nne sannsynet for at
begge hendingane skjer, ved multiplisere sannsynet for at den eine
hendinga skal skje, med sannsynet for at den andre hendinga skal skje.
Dette kallar vi bde^og-regelen, bde det eine og det andre skal skje:
P ðA og BÞ = P ðAÞ P ðBÞ
Avhengige
hendingar
Nr resultatet i andre trekning er avhengig av resultatet i frste
trekning, har vi avhengige hendingar.
Eksempel: Kor sannsynleg er det at vi trekkjer to hjarter
etter kvarandre fr ein kortstokk?
I frste trekning er det 13 hjarter velje mellom av 52 kort:
13
Frste trekning: P ðhjarterÞ =
52
Fr vi ein hjarter i frste trekning, er det ein hjarter mindre velje
mellom neste gong. Det er ogs eit kort mindre i kortstokken:
12
Andre trekning: P ðhjarterÞ =
51
13 12
P ðhjarter og hjarterÞ = 52 51
Ikkje-uniform Dette gjeld forsk der utfalla ikkje er like sannsynlege.
sannsynsEksempel: Kastar vi ein teiknestift, landar han ikkje like mange gonger
fordeling
med spissen opp som med spissen ned.
79