Document
אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה
חדו״א להנדסת מכונות – (201–1–9711) 1סמסטר א׳ תשע״ה
פתרון תרגיל 7
.1מיינו את נקודות אי הרציפות של הפונקציות הבאות:
)א( ראשית נשים לב שהפונקציה מוגדרת ב־ )∞ .[−2,
יהי .x 6= ±2בתחום ההגדרה .אז
√1
.
)(x+2)( x+2+2
=
√x−2
)(x+2)(x−2)( x+2+2
=
√
√x+2+2
x+2+2
√
√
·
x+2−2
x2 −4
=
x+2−2
x2 −4
= )f (x
לכן קיים הגבול של fב־ ,2אך אינו שווה ל־ ) ,f (2ולכן 2היא נקודת אי רציפות סליקה.
לעומת זאת ,הגבולות החד־צדדי הימני של fב־ ) (−2אינו סופי ולכן זו נקודת אי רציפות ממין
שני
הערה :אנו מתייחסים רק לגבול החד־צדדי הימני כי הפונקציה מוגדרת רק בסביבה ימנית של
).(−2
בכל נקודה x 6= ±2בתחום ההגדרה הפונקציה כמובן רציפה ,כפונקציה אלמנטרית המוגדרת
בנקודה.
)ב( יהי x 6= ±1, 0אזי
x−1
x+1
=
1
1
− x+1
x
1
1
−
x−1
x
= )f (x
לכן קיים הגבול ) limx→1 f (x) = 0 = f (1ולכן הפונקציה רציפה ב־.1
בנוסף ,קיים הגבול ) limx→0 f (x) = −1 6= f (0ולכן לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה ב־.0
לבסוף ,הגבולות החד־צדדיים ב־ ) (−1אינם סופיים ולכן זו נקודת אי רציפות ממין שני.
בכל נקודה אחרת הפונקציה כמובן רציפה ,כפונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה.
)ג(
x 6= 0
x=0
1
x
e
0
= )f (x
בנקודה 0יש לפונקציה נקודת אי רציפות ממין שני ,שכן הגבול החד צדדי הימני אינו סופי.
בכל נקודה x 6= 0הפונקציה כמובן רציפה ,כפונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה.
)ד(
x>0
x≤0
b x1 c
= )f (x
0
1
< x ≤ n−1
הקבוצה } { n1 : n ∈ Nהיא קבוצת נקודות אי הרציפות ממין ראשון ,שכן לכל
מתקיים .n − 1 ≤ x1 < nולכן b x1 c = n − 1מכאן נובע שהגבולות החד צדדיים של fב־
קיימים וסופיים אך שונים זה מזה :מימין n − 1ומשמאל .n
הנקודה 0היא נקודת אי־רציפות ממין שני ,כי הגבול החד־צדדי הימני אינו סופי.
בכל נקודה xאחרת הפונקציה רציפה ,שכן היא קבועה בסביבה קטנה של . x
1
n
1
n
.2בכל אחד מהסעיפים הבאים ,חשבו את הערך aשעבורו הפונקציה הנתונה תהיה רציפה בכל תחום
הגדרתה
)א(
x<3
x≥3
x2 − 1
2ax
= )f (x
כדי שהגבול החד־צדדי הימני ב־ 3יהיה שווה לגבול החד צדדי השמאלי שם ,צריך להתקיים
בכל נקודה אחרת הפונקציה רציפה בכל מקרה.
4
3
= .a
)ב(
x3 −8
x−2
x 6= 2
x=2
(
= )f (x
a
3
−8
f (x) = xx−2ולכן .limx→2 f (x) = limx→2 x2 + 2x + 4 = 12
יהי .x 6= 2אזי = x2 + 2x + 4
לכן ,עבור a = 12הפונקציה תהיה רציפה.
)ג(
x>0
x≤0
יהי .x > 0אזי
1
2
=
) 2 sin2 ( x2
4·( x2 )2
) 2 sin2 ( x2
4·( x2 )2
=
1−cos x
x2
1−cos x
x2
= )f (x
x+a
= ) f (xולכן קיים הגבול החד־צדדי הימני של fב־ 0והוא
.limx→0+ f (x) = limx→0+
מצד שני ,הגבול החד צדדי השמאלי של fב־ 0הוא כמובן ,aולכן כדי שהפונקציה תהיה רציפה
נגדיר .a = 21
)ד(
x>a
x≤a
1
ex
e
= )f (x
1
הגבול החד צדדי הימני ב־ aהוא e aואילו הגבול החד צדדי השמאלי שם הוא .eכדי שהפונקציה
1
תהיה רציפה ב־ aצריך להתקיים ,e a = eכלומר .a = 1נשים לב שהיות ש a > 0הפונקציה
מוגדרת לכל .x
.3הראו כי לפונקציה f (x) = 2x + 2x − 3יש שורש בקטע ] ,[0, 1ומצאו אותו עד כדי קירוב של .0.1
קל לראות ש־ ) ,f (0) < 0 < f (1ולכן ע׳׳פ משפט ערך הביניים יש לפונקציה שורש בקטע .נמצא אותו
בקירוב הדרוש בעזרת שיטת החצייה.
שלב א :נסתכל על : 12מתקיים ) f ( 12 ) < 0 < f (1ולכן השורש cנמצא בקטע ].[ 12 , 1
שלב ב :נסתכל על : 43מתקיים ) f ( 12 ) < 0 < f ( 34ולכן השורש cנמצא בקטע ] .[ 12 , 34
שלב ג :נסתכל על : 58מתקיים ) f ( 58 ) < 0 < f ( 34ולכן השורש cנמצא בקטע ] .[ 58 , 43
. 11ערך זה נמצא במרחק הקטן מ־ 0.1מקצות הקטע .לכן הוא קירוב מספיק טוב
שלב ד׳ :נסתכל על 16
לשורש של הפונקציה הנתונה.
הערה :בשאלה זו השימוש במחשבון כמובן מותר .שאלה שדורשת שימוש במחשבון אינה לבוחן.
.4הראו כי למשוואה x3 − 15x + 1 = 0יש שלושה פתרונות בקטע ].[−4, 4
נסמן .p(x) = x3 − 15x + 1נשים לב כי .p(−4) < 0, p(−2) > 0, p(2) < 0, p(4) > 0לכן ,ע׳׳פ
משפט ערך הביניים ,יש לפולינום שורש בכל אחד מהקטעים הבאים.[−4, −2], [−2, 2], [2, 4] :
.5הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
)א( אם המכפלה ) h(x) = f (x) · g(xרציפה ב־ ,0אז כל אחת מהפונקציות ) f (x), g(xרציפה ב־.0
לא נכון .למשל ,נגדיר:
1 x 6= 0
= )f (x
0 x=0
0 x 6= 0
= )g(x
1 x=0
פונקציות אלו אינן רציפות ב־ ,0אך מכפלתן רציפה ב־ 0כי זו פונקציה השווה זהותית לאפס.
)ב( אם הפונקציה ) f (xרציפה בקטע ] [a, bואינה מתאפסת באף נקודה בקטע ,אזי היא בעלת סימן
קבוע בקטע זה.
נכון .נניח בשלילה שהפונקציה אינה בעלת סימן קבוע בקטע .אז יש ] c, d ∈ [a, bכך ש
) .f (c) < 0 < f (dואז ,ע׳׳פ משפט ערך הביניים ,יש נקודה בין cל־ dשבה הפונקציה מתאפסת.
וזה בסתירה להנחה.
2
)ג( אם הפונקציה ) f (xמוגדרת בקטע ] [a, bומתקיים ,f (a) · f (b) < 0אזי יש נקודה בקטע שבה f
מתאפסת.
−1 − 1 ≤ x < 0
= )f (x
לא נכון .למשל נגדיר פונקציה fעל הקטע ] [−1, 1ע׳׳י
1
0≤x≤1
הפונקציה מחליפה סימן בקטע ,אך אין אף נקודה בקטע שבה ערך הפונקציה שווה .0הסיבה לכך
היא כמובן שהפונקציה שהגדרנו אינה רציפה ־ אין בנתוני השאלה דרישה לרציפות.
)ד( אם הפונקציה ) f (xמוגדרת בקטע ] [a, bאזי fחסומה בקטע.
x 6= 0
לא נכון .למשל נגדיר פונקציה fעל הקטע ] [−1, 1ע׳׳י
x=0
חסומה מלעיל בקטע.
1
x
1
= ) f (xהפונקציה אינה
)ה( אם הפונקציה ) f (xרציפה בקטע ] [a, bאזי תמונת fהיא קטע סגור.
נכון .ע׳׳פ משפט ווירשטרס השני ,פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום שלה M
ואת המינימום שלה .mע׳׳פ משפט ערך הביניים fמקבלת בקטע כל ערך בין mו־ .Mלכן,
תמונת fחייבת להיות הקטע הסגור ] .[m, M
.6הוכיחו את המשפט הבא:
משפט נקודת השבת:
.f (c) = c
תהי ] f : [0, 1] → [0, 1פונקציה רציפה .אזי יש נקודה 0 ≤ c ≤ 1כך ש־
נגדיר פונקציה g(x) = f (x) − xעל הקטע ] .[0, 1פונקציה זו כמובן רציפה .אם במקרה g(0) = 0או
g(1) = 0אז סיימנו ,כי אז נובע בהתאמה ש f (0) = 0או f (1) = 1ולכן מצאנו נקודת שבת .אחרת
מתקיים ,g(0) = f (0) − 0 = f (0) > 0, g(1) = f (1) − 1 < 0כי תמונת fמוכלת ב־ ] ,[0, 1ולכן לכל
xבקטע .0 ≤ f (x) ≤ 1 ,ע׳׳פ משפט ערך הביניים ,יש ] c ∈ [0, 1כך ש g(c) = 0ואז f (c) = cכנדרש.
.7חשבו את הנגזרות של הפונקציות הבאות בנקודות הנתונות תוך שימוש בהגדרת הנגזרת:
)א( f (x) = x3 + 3x2 − 7x + 1בנקודה .a = 2
=
)(2+h)3 +3(2+h)2 −7(2+h)+1−(23 +3·22 −7·2+1
h
)(2
= limh→0
f 0 (2) = limh→0 f (2+h)−f
h
= limh→0 (17 + 9h + h2 ) = 17.
)ב( f (x) = cos xבנקודה .a = π
=
= −sin(π) · 1 = 0
p
.8הוכיחו כי הפונקציה ||x
sin( h
)
2
h
2
)sin( h
)
−2 sin(x+ h
2
2
h
= limh→0
)cos(π+h)−cos(π
h
f 0 (π) = limh→0
.= − limh→0 sin(x + h2 ) · limh→0
= ) f (xרציפה ב־ 0אך לא גזירה שם.
הפונקציה רציפה ב־ 0כי הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים שניהם ל־.0
אולם= ∞ ,
√1
h
√
= limh→0+
h
h
= limh→0+
)f (h)−f (0
h
3
,limh→0+ולכן הפונקציה לא גזירה ב־.0
© Copyright 2024