‫משפט ‪ .1‬תהיינה ‪ f : A → B, g : B → R, A, B ⊆ R‬ונניח כי‬
‫‪limx→p f (x) = q.1‬‬
‫‪limx→q g(x) = l.2‬‬
‫‪ .3‬קיימת סביבה של ‪ p‬שבה ‪f (x) ̸= q‬‬
‫אזי אם נגדיר ‪ h = g ◦ f‬יהיה קיים הגבול )‪ limx→p h(x‬והוא יהיה שווה ל‪l -‬‬
‫{‬
‫‪0 if x ̸= 0‬‬
‫= )‪. g(x‬‬
‫דוגמה ‪) 1‬למה תנאי ‪ 3‬הוא הכרחי(‪ .‬נניח ‪ f (x) ≡ 0‬ו‪-‬‬
‫‪1 if x = 0‬‬
‫נראה כי ‪ h(x) ≡ 1‬ולכן ‪ limx→0 h(x) = 1‬למרות ש‪-‬‬
‫‪ limx→0 f (x) = 0‬ו‪limx→0 g(x) = 0 -‬‬
‫הוכחה‪ .‬נשתמש בעקרון היינה‪ :‬תהי ‪ . xn → p, xn ̸= p‬נגדיר ) ‪ yn = f (xn‬ואז ‪yn → q‬‬
‫ומהנתון השלישי ‪ ,yn ̸= q‬מכאן ש‪ , h(xn ) = g(f (xn )) = g(yn ) → l -‬כדרוש‬
‫דוגמה ‪) 2‬דוגמאות חישוב גבולות(‪.1 .‬‬
‫‪sin ax‬‬
‫‪sin y‬‬
‫‪sin y‬‬
‫‪= {y = ax} = lim y = a lim‬‬
‫‪=a‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪y→0‬‬
‫‪y→0 y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪sin sin x‬‬
‫‪sin y‬‬
‫‪= {y = sin x} = lim‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x→0 sin x‬‬
‫‪y→0 y‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪1‬‬