1. No category

‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪2‬‬
‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬
‫‪ 31‬במרץ ‪2015‬‬
‫הטלת הקירוב הטוב ביותר‬
‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬
‫• הטלת הקירוב הטוב ביותר עבור תת קבוצה קמורה וסגורה ‪ S ⊆ H‬היא העתקה‬
‫‪ PS : H → S‬המקיימת ||‪ ||x − PS x|| ≤ ||x − s‬לכל ‪.s ∈ S‬‬
‫• אפיון הקירוב הטוב ביותר‪ Re (x − PS x, s − PS x) ≤ 0 :‬לכל ‪) .s ∈ S‬תנאי מספיק‬
‫והכרחי(‬
‫• עבור תת־מרחב ‪ M ⊆ H‬מתקיים ‪ (x − PM x, m) = 0‬לכל ‪.m ∈ M‬‬
‫• עבור תת־קבוצה ‪ S ⊆ H‬מגדירים }‪.S ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ s ∀s ∈ S‬‬
‫‪n‬‬
‫• עבור מערכת אורתוגונלית ‪ ((vi , vj ) = 0 ∀i 6= j) {vi }i=1‬ו־ } ‪M = Span {vi‬‬
‫מתקיים‬
‫) ‪(x, vi‬‬
‫‪vi‬‬
‫) ‪(vi , vi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪PM x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫יהי ‪ P : H → H‬אופרטור ליניארי‪ .‬הוכיחו כי ‪ P‬הוא הטלה על תת־מרחב סגור של ‪H‬‬
‫אם"ם ‪ P 2 x = P x‬ו־ ||‪ ||P x|| ≤ ||x‬לכל ‪.x ∈ H‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נניח כי ‪ P‬הטלה על תת־מרחב סגור ‪ .M ⊆ H‬יהי ‪ P x ∈ M ,x ∈ H‬ומכיוון ש־ ‪P x‬‬
‫הוא הקירוב הטוב ביותר לעצמו מתקיים ‪ .P P x = P x‬מכיוון ש־ ‪ x = P x + x − P x‬ו־‬
‫‪ P x ⊥ x − P x‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫||‪||x|| = ||P x|| + ||x − P x|| ≥ ||P x‬‬
‫‪1‬‬
‫נניח כי ‪ P 2 x = P x‬ו־ ||‪ ||P x|| ≤ ||x‬לכל ‪ ,x ∈ H‬נוכיח כי ‪ P = PM‬כאשר ‪.M = ImP‬‬
‫⊥‬
‫מספיק להוכיח ‪ P x = x‬לכל ‪ M ,x ∈ M‬הוא תת־מרחב סגור ו־ ‪ .(ImP ) ⊆ KerP‬כי‬
‫אז לכל ‪x ∈ H‬‬
‫‪PM x‬‬
‫‪P PM x‬‬
‫=‬
‫= ‪Px‬‬
‫)‪(iii‬‬
‫⇒‬
‫‪0‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫=‬
‫)‪P (x − PM x‬‬
‫)‪(i‬‬
‫⊥‬
‫)‪x − PM x ∈ (ImP ) ⊆ KerP (i‬‬
‫)‪ P (ii‬ליניארית‪.‬‬
‫)‪ P x = x(iii‬לכל ‪x ∈ M‬‬
‫• ‪ P |M ≡ Id‬־ לכל ‪ x ∈ M‬קיים ‪ y ∈ H‬כך ש־ ‪.x = P y = P P y = P x‬‬
‫• ‪ M‬תת־מרחב סגור ־ ‪ ImP‬הוא תת מרחב מכיוון ש־ ‪ P‬ליניארי והוא סגור מכיוון‬
‫שאם ‪ x ← xn ∈ M‬היא סדרה מתכנסת אז מרציפות )הנובעת מליפשיציות ־‬
‫||‪(||P x − P y|| = ||P (x − y)|| ≤ ||x − y‬‬
‫‪x = lim xn = lim P xn = P x ∈ M‬‬
‫‪.‬‬
‫• ‪ ImP ⊥ ⊆ KerP‬־ תחילה נוכיח ‪ .KerP ⊥ ⊆ ImP‬יהי ⊥ ‪P x − x ∈ ,x ∈ KerP‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ KerP‬ולכן ‪ (x, P x − x) = 0‬ולכן ||‪ ||x|| ≥ ||P x|| = ||x|| + ||x − P x‬ולכן‬
‫‪ x = P x‬כלומר ‪.x ∈ ImP‬‬
‫‪KerP‬‬
‫=‬
‫⊥⊥ ) ‪ImP ⊥ ⊆ (KerP‬‬
‫)∗∗(‬
‫⇒‬
‫‪KerP ⊥ ⊆ ImP‬‬
‫)∗(‬
‫)∗( ⊥‪) L ⊆ K ⇒ K ⊥ ⊆ L‬הוכיחו(‬
‫)∗∗( עבור תת מרחב סגור ‪) M ⊥⊥ = M‬במקרה הכללי עבור קבוצה ‪K ⊥⊥ = :K‬‬
‫‪ KerP .(SpanK‬סגור כי ‪ P‬רציפה ו־ )}‪.KerP = P −1 ({0‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫יהי ‪ M = span {mi }i=1 ⊆ H‬ו־ ‪.x ∈ H‬‬
‫‪ .1‬מצאו את וקטור המקדמים ‪ y‬של ‪mj yj‬‬
‫‪ .2‬מצאו ||‪.d = ||x − PM x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=1‬‬
‫= ‪.PM x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= ‪ PM x‬אז לפי האפיון ‪x − j=1 mj yj , mi = 0‬‬
‫‪ .1‬אם ‪j=1 mj yj‬‬
‫‪Pn‬‬
‫כלומר קיבלנו מערכת משוואות ליניארית מהצורה ) ‪(x, mi ) = j=1 yj (mi , mj‬‬
‫לכל ‪i‬‬
‫‪ .1 ≤ j ≤ n‬אם נגדיר ) ‪ Aij = (mi , mj‬ו־ ) ‪ bi = (x, mi‬המערכת תהיה ‪Ay = b‬‬
‫ו־‪ y‬יהיה פתרונה‪ G (m1 , . . . , mn ) = |det (mi , mj )| .‬נקראת "הדטרמיננטה של‬
‫גרם"‪.‬‬
‫‪ .2‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪d2 = ||x − PM x|| = (x − PM x, x − PM x) = (x − PM x, x) = ||x|| −(PM x, x‬‬
‫ולכן )‪yi (mi , x‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ||x|| − d2‬כלומר נוכל לכתוב את המטריצה הבאה‬
‫ששורותיה ת"ל‬
‫‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‬
‫) ‪ = G (m1 , . . . mn , x) − d2 G (m1 , . . . mn‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪||x|| − d2‬‬
‫ולכן‬
‫)‪G(m1 ,...mn ,x‬‬
‫) ‪G(m1 ,...mn‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‬
‫∗ =‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪d2‬‬
‫הערה‪ :‬כעת בהינתן תת מרחב ממימד סופי‪ ,‬יש לנו שתי דרכים לחשב את הטלת‬
‫הקירוב הטוב ביותר אליו‪ .‬דרך ראשונה היא לפתור את מערכת המשוואות‬
‫מהתרגיל הקודם‪ ,‬ודרך שנייה היא לבצע את תהליך "גרם־שמידט" ולהפוך את‬
‫הבסיס למערכת אורתונורמלית ואז להשתמש בנוסחה המוכרת‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬־ לא הוספק‬
‫תהי ‪ P‬הטלת הקירוב הטוב ביותר‪ .‬הוכיחו כי‬
‫‪ 0 ≤ Re (P x − P y, x − y) .1‬לכל ‪ P ) x, y ∈ H‬מונוטונית(‬
‫‪||P x − P y|| ≤ ||x − y|| .2‬לכל ‪ P ) x, y ∈ H‬ליפשיצית(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לפי הגדרת ההטלה‪ ,‬לכל ‪ x, y ∈ H‬מתקיים‬
‫‪Re (x − P x, P y − P x) ≤ 0‬‬
‫‪≤ 0‬‬
‫)‪Re (y − P y, P x − P y‬‬
‫ולכן‬
‫)‪Re (x − P x, P y − P x) ≤ 0 ≤ Re (y − P y, P y − P x‬‬
‫‪3‬‬
Re (P y − P x, P y − P x) ≤ Re (y − x, P y − P x)
2
||P y − P x|| ≤ Re (y − x, P y − P x) ≤ ||y − x|| · ||P y − P x||
CS
‫ומכאן‬
0 ≤ Re (y − x, P y − P x)
‫וגם‬
||P y − P x|| ≤ ||y − x||
4