שימוש בכלל המקבילית לפתרון משוואת הגלים ברבע מישור
שימוש בכלל המקבילית לפתרון משוואת הגלים ברבע מישור טענה) :כלל המקבילית( יהי uפתרון של משוואת הגלים ההומוגנית בתחום כלשהו .לכל מקבילית אופיינית )כלומר, מקבלית במישור xtשצלעותיה הן קווים אופייניים( בתחום מתקיים )u (A) + u (D) = u (B) + u (E כאשר A, Dהם קודקודים נגדיים של המקבילית ,וגם .B, E הערה :פונקציה C 2אשר מקיימת את כלל המקבילית היא פתרון של משוואת גלים הומוגנית. תרגיל: היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את בעיית הגלים ההומוגנית עבור מיתר חצי אינסופי הבאה: t>0 , 0<x utt − c2 uxx = 0 0≤x )u (x, 0) = f (x 0≤x )ut (x, 0) = g (x 0≤t )u (0, t) = h (t מתי הפתרון אמיתי? פתרון כדי להשתמש בכלל המקבילית צריך לחלק למקרים: מקרה ראשון :x − ct ≥ 0 במקרה זה המשולש האופייני מוכל בתחום שלנו ולכן אין צורך בכלל המקבילית ,במקרה זה וניתן לחשב את הפתרון ע"פ נוסחת דלמבר: ˆ x+ct 1 1 u (x, t) = (f (x + ct) + f (x − ct)) + g (s) ds 2 2c x−ct 1 איור :1 מקרה שני :x − ct < 0 במקרה זה המשולש האופייני אינו מוכל בתחום שלנו ,ולכן צריך להשתמש בכלל המקבילית. ניקח נקודה כלשהי ) (x0 , t0בתחום .נמצא את המקבילית האופיינית אשר קודקוד אחד שלה הוא הנקודה ,ובשאר הנקודות ידוע לנו ערך הפונקציה .באיור 1משורטטת מקבילית זו עם ערכים c = 2ו־ ) .(x0 , t0 ) = (1, 1נמצא את משוואות הקווים של צלעות המקבילית ואת הקואורדינטות של קודקודיהּ כתלות ב־ ) .(x0 , t0נקבל כי ארבעת קודקודיה הם x0 x0 , 0, − + t0 (x0 , t0 ) , (−x0 + ct0 , 0) , ct0 , c c וכעת מכלל המקבילית x0 x0 u (x0 , t0 ) + u (−x0 + ct0 , 0) = u ct0 , + u 0, − + t0 c c כאשר מתנאי שפה והתחלה: x 0 = h − + t0 c x0 + t0 c u 0, − ) u (−x0 + ct0 , 0) = f (−x0 + ct0 2 (ומנוסחת דלמבר )מכיוון שנקודה זו בתחום בו נוסחת דלמבר תקפה ˆ ct0 +x0 x0 1 1 u ct0 , = (f (ct0 + x0 ) + f (ct0 − x0 )) + g (s) ds c 2 2c ct0 −x0 ולכן בסך הכל u (x0 , t0 ) u ct0 , xc0 + u 0, − xc0 + t0 − u (−x0 + ct0 , 0) ´ ct0 +x0 x0 1 1 2 (f (ct0 + x0 ) + f (ct0 − x0 )) + 2c ct0 −x0 g (s) ds + h − c + t0 − f (−x0 + ct0 ) ´ ct0 +x0 x0 1 1 2 (f (ct0 + x0 ) − f (ct0 − x0 )) + 2c ct0 −x0 g (s) ds + h − c + t0 = = = ולכן הנוסחה הכללית הינה u (x, t) = 1 (f (x + ct) + f (x − ct)) + 1 2c 1 (f (ct + x) − f (ct − x)) + 1 2c 2 2 ´ x+ct x−ct ´ ct+x ct−x : x − ct ≥ 0 g (s) ds g (s) ds + h t − x c : x − ct < 0 וכאשר מתקיימיםf, h ∈ C 2 [0, ∞) , g ∈ C 1 [0, ∞) ניתן לבדוק שהפתרון אמיתי כאשר 00 (0) ו־g (0) = h0+ (0) ,h (0) = f (0) תנאי התואמות )התנאי האחרוןh00+ (0) = c2 f+ .(מתקבל מן המשוואה :תרגיל :היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את הבעיה utt − uxx = 0 0<x 2 u (x, 0) = sin x 0≤x ut (x, 0) = sin x 0≤x u (0, t) = 0 0≤t , t>0 פתרון נציב בנוסחה ונקבל 1 sin2 (x + t) + sin2 (x − t) + u (x, t) = 2 1 sin2 (t + x) − sin2 (t − x) + 2 3 1 2 1 2 ´ x+t x−t sin (s) ds : x − t ≥ 0 t−x sin (s) ds : x − t < 0 ´ t+x תרגיל: היעזרו בכלל המקבילית כדי לפתור את בעיית הגלים ההומוגנית עבור מיתר חצי אינסופי הבאה: t>0 , 0<x utt − uxx = 0 0≤x u (x, 0) = sin2 x 0≤x ut (x, 0) = sin x 0≤t u (0, t) = t פתרון נציב בנוסחה ונקבל ´ x+t :x−t≥0 sin (s) ds x−t :x−t<0 )sin (s) ds + (t − x t−x ´ t+x 1 2 1 2 1 sin2 (x + t) + sin2 (x − t) + u (x, t) = 2 1 sin2 (t + x) − sin2 (t − x) + 2 4
© Copyright 2024