שקילות בפתרון משוואות, מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
רחל מוגילבסקי
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות
ואי-שוויונים (חלק א)
תקציר
ברבים מענפי המדע ,כגון מתמטיקה ,פיסיקה ,כימיה ,ביולוגיה ,כלכלה ועוד – לעתים
קרובות יש לפתור משוואה או מערכת משוואות או אי-שוויון ברמות-קושי שונות.
משמעות פתירת המשוואה היא מציאת קבוצת ערכים בשם שורשים ,שהצבתם
מקיימת את המשוואה ,כלומר יוצרת פסוק אמת.
תהליך הפתרון הוא מעבר מהמשוואה הנתונה – למשוואה יותר פשוטה ,שקל יותר
לפותרה.
בדרך זאת משתמשים בחוקים שונים ,בזהויות שונות.
השאלה היא האם המעבר מהמשוואה המקורית אל המשוואה החדשה – לא שינה את
קבוצת השורשים של המשוואה המקורית ,או ,במילים אחרות ,האם בכל מעבר
מקבלים משוואה ,השקולה למשוואה ,שהייתה לפני ביצוע המעבר?
המאמר הנוכחי חוקר את התנאים שצריכים להתקיים – כדי להבטיח ,שהמעבר
למשוואה החדשה שומר על השקילות של המשוואות.
בנוסף לכך ,מבהיר המאמר ,כי השימוש בזהויות מתמטיות – עלול לגרום לשינוי
קבוצת הפתרונות ,ומביא המלצות למניעת הדבר.
בחלק משאלוני הבגרות במתמטיקה בשנים האחרונות מופיעות שאלות ,המחייבות
חשיבה מעמיקה ושימוש בטכניקות אלגבריות .לכן במסגרת הכשרת המורים להוראת
המקצוע – יש להגביר את ההבנה של נושא השקילות בשלבי הפתרון של משוואות,
מערכות משוואות ואי-שוויונים.
ההמשך של חקר התנאים לשקילות של מערכת משוואות ואי-שוויונים – יופיע בחלק ב
של המאמר.
מילות מפתח :תחום הגדרה; שקילות-משוואות; מסקנה של משוואה; טרנספורמציות זהותיות.
מבוא
כדי לפתור משוואה או מערכת משוואות – עוברים צעד-צעד למשוואות ולמערכות פשוטות
יותר ,שקל יותר לפתור.
איך ניתן להיות בטוחים ,שהמעבר הוא "חוקי" ,כלומר שנקבל פתרונות של המשוואה
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
רחל מוגילבסקי
המקורית ,לא נַאבד פתרונות ,ולא נקבל פתרונות זרים?
היום ,כשתוכן מבחני הבגרות מתעמק – קיים צורך למורים להבין את נושא השקילות בפתרון
משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים .את חשיבות הנושא הדגישו ,למשל ,חייט (,)5002
שטיינברג ,סליימן וקטורזה ( ;)Steinberg, Sleeman, & Ktorza, 1991ברוס (;)Bruce, 1931
אטורפס וטוסאויניין (.)Attorps & Tossavainen, 2009
נציג ארבע דוגמאות:
דוגמה 1
לתלמיד הציעו לפתור את המשוואה . x x 2
הוא כתב מהר ובביטחוןx 2 x :
,
2
2
x 5x 4 0 , x 4 4 x x
x1 4 , x 2 1
התלמיד היה מבולבל ,כאשר בהצבה של x 1במשוואה המקורית הוא קיבל . 6 2
דוגמה )Kreynin, 1994( 2
x 2 10 x 21
תלמיד אחר פתר את המשוואה x 11
x 7
)( x 7) ( x 3
התלמיד פירק את המונה x 11 :
x 7
.
.
הוא צמצם את השבר וקיבל משוואה פשוטה , x 3 x 11ואז התשובה . x 7
דוגמה 3
2
תלמד אחד פתר את המשוואה . log 2 ( x 3) 2
לפי כלל הלוגריתמים ,הוא פתר, x 3 2 , log 2 ( x 3) 1 , 2 log 2 ( x 3) 2 :
לכן . x5
דוגמה 4
תלמיד אחד פתר את אי-השוויון. x 2 9 2x 6 :
הוא זיהה ,כי תחום ההגדרה הוא x3או . x3
2
2
אחרי העלאת שני הצדדים בריבוע – קיבל התלמיד, x 9 4x 24x 36 :
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
2
ואז . x 8x 15 0
הפתרון של אי-השוויון האחרון הוא. 3 x 5 :
אם ניקח בחשבון את תחום ההגדרה ,אז התשובה היא. 3 x 5 :
בשני התרגילים הראשונים נתקלנו בשורש זר ,ואילו בתרגיל השלישי – שימוש פורמלי בכלל
הלוגריתמים הביא לאיבוד שורש x 1של המשוואה ,ובתרגיל הרביעי התלמיד איבד קבוצה
נוספת של פתרונות. x3 ,
הסיבה למצב שנוצר היא ,שבשרשרת המשוואות לא התייחסו לתחום ההגדרה של כל אחת
מהמשוואות.
המסקנה :אסור להפריד פתרון של משוואה ,מערכת משוואות או אי-שוויון מתחום ההגדרה
שלהם.
צריך לבדוק ,אם המעבר שומר על שקילות האובייקטים ,ואם לא ,איך "לתקן" את המצב.
לימדתי את הנושא בכמה קבוצות בסמינריון מתמטי במכללה להכשרת-מורים לבתי-ספר על-
יסודיים ,וכל הסטודנטים הגיבו בעניין רב והצטערו שלא מלמדים את הדברים בבית-הספר.
אני חושבת ,כי המאמר אקטואלי מאוד.
הוא לא מיועד לתלמידי בית-ספר ,אלא למורים ,למורי-מורים ולסטודנטים-מורים בעתיד.
.1תורת השקילות
נתבונן בשתי פונקציות )
k
F1 ( x 1 , x 2 , ... , xבעלת תחום הגדרה D1
ו F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k ) -בעלת תחום הגדרה . D2
k
D1ו D 2 -תחומים במרחב . R
הגדרה 1.1
הביטוי:
) F1 ( x 1 , x 2 , ... , x k ) F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k
נקרא משוואה עם kנעלמים.
-kיה סדורה ) (a1 , a2 , ... , akנקראת קבוצת ערכים מותרים למשוואה,
אם (a1 , a2 , ... , ak ) D1וגם . (a1 , a2 , ... , ak ) D 2
תחום ,המורכב מקבוצות ערכים מותרים ,הוא חיתוך , D D1 D 2ונהוג לקרוא לו תחום
ההגדרה של המשוואה.
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 141
רחל מוגילבסקי
אז תחום ההגדרה של המשוואה הוא חיתוך תחומי ההגדרה של שני הצדדים של המשוואה:
D D1 D 2
דוגמה 1.1
1
נתונה הפונקציה:
x y
. log x log y
D1הוא הרביע הראשון ללא הצירים (תחום פתוח).
D 2הוא כל המישור , x O yחוץ מהנקודות על הישר . x y
– Dכל הנקודות ברביע הראשון ללא הצירים וללא חוצה-הזווית הישרה.
y
x
O
y
x
D
O
y
x
D2
O
D1
הגדרה 1.2
-kיה סדורה ) , (a1 , a2 , ... , akהשייכת ל( D-קבוצת ערכים מותרים) ,נקראת
פתרון של המשוואה ,אם מתקיים. F1 (a1 , a2 , ... , ak ) F2 (a1 , a2 , ... , ak ) :
נסמן את קבוצת הפתרונות של המשוואה ב. M-
נתבונן ב 3-אפשרויות:
(א) . M Dבמקרה זה ,המשוואה נקראת זהות.
x2 y2
למשל x y ,
x y
מתקיים לכל הזוגות ) ( x, yמתחום ההגדרה ,כלומר כאשר
. x y
(ב)
, Mכלומר למשוואה אין פתרון.
למשל . x y 1 0 ,במקרה כזה אומרים ,כי המשוואה סותרת.
(ג)
. MD
הערה :מספר הפתרונות של משוואה תלוי לפעמים לאיזה שדה של מספרים שייך תחום
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 144
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
2
2
ההגדרה .Dלמשל ,למשוואה x y 0יש פתרון יחיד ,אם – Dקבוצת המספרים
2
הממשיים ( ,) D Rאבל אינסוף פתרונות ) , (t , tiאם – Dקבוצת המספרים
2
המרוכבים ( .) D C
נתבונן בשתי המשוואות:
) F1 ( x 1 , x 2 , ... , x k ) F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k
)(F
) G1 ( x 1 , x 2 , ... , x k ) G 2 ( x 1 , x 2 , ... , x k
)(G
הגדרה 1.3
נגיד ,שמשוואה ) (Fהיא מסקנה מ (G) ,) (F)(G) ( (G) -גוררת את ).(F
אם כל פתרון של ) (Gהוא גם פתרון של ) . (Fבמילים אחרות. M G M F ,
דוגמה 1.2
sin x 0
x ( x - p ) 0
) (F
) (G
) ( F ) (G
הגדרה 1.4
המשוואות ) (Fו (G) -נקראות משוואות שקולות ,אם כל פתרון של ) (Fהוא גם פתרון
של ) , (Gולהפך ,כל פתרון של ) (Gהוא גם פתרון של ) , (Fכלומר . M F M GסימוןFG :
במילים אחרות FG ,אם ורק אם ) , (G)(Fוגם ). (F)(G
דוגמה 1.3
המשוואות x y 0ו x y 0 -שקולות בשדה המספרים הממשיים ,ולא
שקולות בשדה המספרים המרוכבים.
2
2
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
רחל מוגילבסקי
.2פעולות שאינן מפרות שקילות
משפט 2.1
אם הפונקציה ) ( x 1 , x 2 , ... , x kמוגדרת בכל תחום ההגדרה של המשוואה:
) F1 ( x 1 , ... , x k ) F2 ( x 1 , ... , x k
)(F
אז המשוואה ) (Fשקולה למשוואה הבאה:
) F1 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k ) F2 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k
)(F
הוכחה
נניח ,כי (a1 , ... , ak ) M Fפתרון של ) , (Fכלומר:
) F1 (a1 , ... , ak ) F2 (a1 , ... , ak
נוסיף את הביטוי
)
ak
... ,
, (a1 ,המוגדר לפי הנתונים ,לשני הצדדים של השוויון הקודם:
) F1 (a1 , ... , ak ) (a1 , ... , ak ) F2 (a1 , ... , ak ) (a1 , ... , ak
לכן. (a1 , ... , ak ) M F :
להפך ,אם (b1 , ... , b k ) M F פתרון של ) , (Fכלומר:
) F1 (b1 , ... , b k ) (b1 , ... , b k ) F2 (b1 , ... , b k ) (b1 , ... , b k
אז נוסיף לשני הצדדים את הביטוי ) , (b1 , ... , b kנקבל ,כי . (b1 , ... , b k ) M F
מ.ש.ל.
הערה :יש חשיבות רבה לתנאי ,ש ( x 1 , ... , x k ) -מוגדרת לכל תחום ההגדרה של ). (F
דוגמה 2.1
2
x 6 5x
)(F
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
תחום ההגדרה:
R
x 2 , x 3
MF
נגדיר ) ( x ) lg( x 3עם תחום ההגדרה . x3
2
למשוואה ) x 6 lg( x 3) 5x lg( x 3אין פתרונות.
המשוואה ) (Fאיננה שקולה ל , (F) -כי תחום ההגדרה של אינו כולל את כל תחום
ההגדרה של ). (F
מסקנה 1
המשוואה ) F2 ( x 1 , ... , x k ) F1 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x kשקולה למשוואה
) , F2 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k ) F1 ( x 1 , ... , x kכלומר אפשר להעביר מחוברים
מצד לצד עם סימן הפוך.
מסקנה 2
כל משוואה אפשר להעביר לצורה . F( x 1 , ... , x k ) 0
משפט 2.2
אם פונקציה ) ( x 1 , ... , x kמוגדרת עבור כל תחום ההגדרה של ), (F
אז המשוואה
) ( x 1 , ... , x k ) F1 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k ) F2 ( x 1 , ... , x k
)(F
היא מסקנה של המשוואה ). (F
הוכחה
נניח (a1 , ... , ak ) M Fפתרון של ) , (Fכלומר ) . F1 (a1 , ... , ak ) F2 (a1 , ... , ak
) – (a1 , ... , akמספר .נכפול בו את שני האגפים של השוויון הקודם:
) (a1 , ... , ak ) F1 (a1 , ... , ak ) (a1 , ... , ak ) F2 (a1 , ... , ak
כלומר ) , (a1 , ... , ak ) M ( Fאז ). (F)(F
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
רחל מוגילבסקי
משפט 2.3
אם פונקציה ) ( x 1 , ... , x kמוגדרת ושונה מאפס עבור כל תחום ההגדרה של המשוואה
) , (Fאז המשוואות ) (Fו ( F) -שקולות.
הוכחה
) (F)(Fהּוכח במשפט .5.5
1
הטענה ההפוכה מתקבלת במכפלת שני האגפים של ) ( Fב-
) (a1 , ... , ak
.
דוגמה 2.2
2 x 1 x
)(F
DF R
( x ) x
) ( xמקיימת את התנאי של משפט ,5.5ולא מקיימת את התנאי של משפט .5.3
לכן המשוואה
2
(F) (2x 1) x xהיא מסקנה של ),) (F)(F) ( (F
אבל ) ( Fאינה שקולה ל. (F) -
אם ,למשל 1 ,
2
, ( x ) xאז ). ( F) (F
משפט 2.4
נתונה המשוואהF1 ( x ) F2 ( x ) :
). (F
תהי ) ( xפונקציה כלשהי.
נתבונן במשוואה F1 ( x ) F2 ( x ) :
)]. ([F
אם פונקציה ) ( xמוגדרת לכל הטווח של הפונקציות F1ו , F2 -אז המשוואה )] ([Fהיא
מסקנה של ). (F
הוכחה
אם , a M Fכלומר ) , F1 (a ) F2 (aאז , F1 (a ) F2 (a ) כלומר ) . a M ( F
דוגמה 2.3
2 x 1 x
)(F
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
2
2
( x ) x
2
( [F]) (2x 1) x
), ([F])(F
אבל המשוואות לא-שקולות.
דוגמה 2.4
x1 0
)(F
( x ) sin x
sin( x1) 0
)]( [F
), ([F]) (F
אבל המשוואות לא שקולות.
משפט 2.2
אם לפונקציה ) ( xקיימת פונקציה הפוכה חד-ערכית בכל הטווח של ) , ( x
אז המשוואה ) (Fהיא מסקנה של )]. ([F
הוכחה
) F1 ( x ) F2 ( x
)(F
נניח ,ש , a M ( F ) -כלומר . F1 (a ) F2 (a )
מכיוון ש ) ( xמקבלת כל ערך רק בנקודה אחת ,אז ) , F1 (a ) F2 (aואז . a M F
מ.ש.ל.
מסקנה
אם פונקציה
שקולות.
מקיימת את התנאים של משפטים 5.2וגם ,5.2אז המשוואות ) (Fו( [F]) -
דוגמה 2.2
2
x x 2x 2
)(F
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 143
רחל מוגילבסקי
( x ) log x
2
)log( x x ) log(2x 2
)]( [F
למשוואה ) (Fיש 5שורשים. x 1 1 , x 2 2 :
למשוואה )] ([Fיש רק שורש אחד. x 2 :
הדבר קרה ,מפני שהפונקציה ) ( xמקיימת את התנאים של משפט ,5.2אבל לא מקיימת את
התנאים של משפט .5.2לכן )] , (F)([Fמשוואה ) (Fהיא מסקנה של ). (F
דוגמה 2.2
x 3 x 2 x 1
3
3
3
)(F
( x ) x
3
)x x 2 ( x 1
)]( [F
3
הפונקציה ) ( xמוגדרת בכל תחום ההגדרה של הפונקציות F1 ( x ) x 3 x 2
ו , F2 ( x ) x 1 -וגם ל x -יש פונקציה הפוכה חד-ערכית לכל . R
לכן ) ( xמקיימת את התנאים של משפט 5.2וגם את התנאים של משפט ,5.2ואז
). ([F]) (F
דוגמה 2.2
2
x 22
)(F
( x ) log x
2
log( x 2) log 2
)]( [F
לשתי המשוואות יש פתרונות , x 2אף-על-פי ש -אינה מוגדרת בכל הטווח
2
של הפונקציה . F1 ( x ) x 2
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
.3איבוד פתרונות וקבלת פתרונות זרים בטרנספורמציות זהותיות של צדי
המשוואה
הגדרה 3.1
נקרא את הפונקציה ) F1 ( x 1 , x 2 , ... , x kשווה זהותית לפונקציה ) F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k
ונסמן , F1 F2אם ערכי הפונקציות מתלכדים בכל תחום ההגדרה של המשוואה , F1 F2
כלומר ערכי הפונקציות מתלכדים לכל ערכי הנעלמים ,השייכים בו-זמנית ל( D F1 -תחום
ההגדרה של ) F1וגם ל( D F2 -תחום ההגדרה של .) F2
הגדרה 3.2
החלפת פונקציה בפונקציה ,השווה לה זהותית ,נקראת טרנספורמציה זהותית.
למשל x ,
log x
. x ( x 1) x x 1 , 10
הבעיה היא ,שבהחלפת ביטוי אחד במשוואה בביטוי ,השווה לו זהותית ,הרי תחום ההגדרה של
המשוואה יכול להשתנות.
לדוגמה ,השוויון הזהותי log xy log x log yמתקיים עבור x 0וגם . y 0
אם במשוואה כלשהי מחליפים את log xyב , log x log y -אז תחום ההגדרה
) ( xy 0מצטמצם ל x 0 ( -וגם ,) y 0כלומר מצטמצם תחום ההגדרה של
המשוואה ,ולכן יכולים לאבד פתרונות של המשוואה.
אם ,להפך ,במשוואה כלשהי מחליפים log x log yב , log xy -אז תחום ההגדרה של
המשוואה יגדל ,ולכן יכולים לקבל פתרונות זרים.
אם תחום ההגדרה של המשוואה יקטן ,אז חלק מהפתרונות יכולים ללכת לאיבוד.
אם תחום ההגדרה של המשוואה יגדל ,אז יכולים להתקבל פתרונות זרים.
זאת הסיבה ,שבתהליך פתרון המשוואה – לא די לבצע רק פעולות ,שלא מפרות את השקילות
(משפטים ,)5.2-5.2אלא לעקוב אחרי טרנספורמציות זהותיות ,כלומר צריך לשלב את תהליך
הפתרון עם מעקב אחרי תחום ההגדרה בכל שלב.
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
רחל מוגילבסקי
דוגמה 3.1
למשוואה x ( x3) 2
) (Fתחום הגדרה }. DF {x 0 , x 3
אם נקיים טרנספורמציה זהותית x x 3 2
), (G
אז תחום ההגדרה הוא }. DG { x 3
למשוואה ) (Fיש 2פתרונות , x 1 4 , x 2 1 :ולמשוואה יש ) (Gרק פתרון אחד,
. x 4
איבדנו שורש של המשוואה המקורית – בגלל צמצום תחום ההגדרה של המשוואה.
פעולות שיכולות לגרום לפתרון זר
(א) כפל שני צדי המשוואה בביטוי ,שיכול להתאפס בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית;
למשל ,ביטול המכנה המשותף.
(ב) העלאת שני האגפים בחזקה זוגית.
(ג) טרנספורמציות זהותיות עם לוגריתמים:
למשל,
2
; log a x log a y log a xy
; 2 log a x log a x
x
log a x
a
(ד) טרנספורמציות זהותיות עם שורשים מסדר זוגי:
למשלxy ,
y
x
;
x
y
x
y
;
x2
4
2
x
4
כיצד למנוע פתרונות זרים?
דרך א :לקבוע מראש את תחום ההגדרה של המשוואה המקורית ולבחור בין התשובות
המתקבלות רק את אלה השייכות אליו.
דרך ב :להציב את כל התשובות במשוואה המקורית ולזרוק שורשים זרים.
פעולות היכולות לגרום לאיבוד פתרונות
(א) חלוקה בביטוי ,שיכול להתאפס בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית.
(ב) הוצאת שורש זוגי משני צדי המשוואה.
(ג) טרנספורמציות זהותיות עם לוגריתמים:
למשל; log a xy log a x log a y ,
2
log a x 2log a x
(ד) טרנספורמציות זהותיות עם שורשים מסדר זוגי:
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
למשלy ,
x
xy
x
y
;
x
y
;
2
x2 x
4
4
(ה) חלק מטרנספורמציות זהותיות טריגונומטריות:
למשלctg x 1 ,
tg x
מניעת איבוד פתרונות קשה הרבה יותר ממניעת פתרונות זרים
דרך א :לעקוב בכל פעולה ו"לתפוס" את הפתרון שנאבד ,כלומר להציב את ערכי הנעלמים,
שירדו מתחום ההגדרה במשוואה המקורית ,ולבדוק אם הם הפתרונות.
דרך ב :להיעזר בגרף של שני צדי המשוואה – כדי לקבוע את מספר הפתרונות הנכון.
המלצות למניעת איבוד פתרונות
במקרה (א) ,במקום לחלק בגורם המשותף – כדאי להוציא אותו מחוץ לסוגריים.
במקרה (ב) ,להשתמש בנוסחה . a 2 a
2
במקרה (ג) ,הזהות log a x 2log a xשומרת על תחום ההגדרה.
הזהות log a xy log a x log a yמגדילה את תחום ההגדרה ,ועלולה להביא לשורש זר,
שקל יותר "לתפוס".
הערה
שימוש בנוסחאות טריגונומטריות ,ובעיקר באלה שכוללות tg xו – ctg x -יכולות לשנות את
תחום ההגדרה של המשוואה באופן משמעותי.
tg x tg y
למשל ,בנוסחה
1 tg x tg y
tg( x y ) הקשר בין תחומי ההגדרה של אגף שמאל ואגף
ימין אינו טריוויאלי.
.4דוגמאות לפתרון במצבים שדנו בהם בפרק 3
תרגיל 4.1
x x 2
)(F
תחום הגדרהDF { x 0} :
אז למה פתרון חיובי x 4הוא זר?
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 131
רחל מוגילבסקי
הסיבה היא ,כי במשוואה חוקית , x 2 xצד שמאל הוא אי-שלילי ,ומכאן נובעת הגבלה
נוספת , 2 x 0 :כלומר . x 2כשמעלים את שני האגפים בריבוע ,מתבטלת ההגבלה.
תרגיל 4.2
x 2 10 x 1
x 11
x 7
)(F
}DF { x 7
השורש x7שקיבלנו – לא שייך לתחום ההגדרה ,ולכן המשוואה סותרת.
תרגיל 4.3
2
log 2 ( x 3) 2
} {x 3
) (F1
F1
D
2 log 2 x 3 2
המשוואה שקולה למשוואה:
) (F2
log 2 x 3 1
x 3 2
לכן . x 1 5 , x 2 1
ברצוני לתת עוד מספר דוגמאות לא-טריוויאליות:
דוגמה 4.1
2
2
log (2x 2) log ( x 3) 2
)(F
}DF {x 3 , x 1
אם נפתור את המשוואה בדרך מקובלת ,תחום ההגדרה ישתנה.
מעניין לעקוב אחריו:
/:2
2 log (2x 2) 2 log ( x 3) 2
) (F1
}D F {x 1
1
2x 2
1
x 3
}x 1
או
א
log
) (F2
D F {x 3
2
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 134
שקילות בפתרון משוואות ,מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)
רואים ,כי . D F1 D F2 D F
השורש ,שמוצאים בדרך זו ,הוא . x 4
האם לא איבדנו שורשים ,כי תחום ההגדרה מצטמצם?
אכן ,הפתרון הנכון הוא הפתרון הבא:
2 log 2 x 2 2 log x 3 2
) (F3
D F3 D F
1
2x 2
x 3
log
) (F4
D F4 D F
10
2x 2
x 3
2 x 2 10 x 3
7
והנה מצאנו גם את השורש השני. x 1 4 , x 2 :
3
מקובל לדרוש מתלמידים לעשות בדיקת פתרונות של משוואות אי-רציונליות וטריגונומטריות.
כך אפשר "לתפוס" שורש זר ,אבל כפי שראינו ,אם לא נעקוב אחרי תחום ההגדרה ,אפשר גם
לאבד פתרונות.
דוגמה ( 4.2קופרמן)2991 ,
4 2ctg x1
tg x
} kמספר שלםk ,
4
טרנספורמציה זהותית פשוטה,
)(F
D F {x k , x
, ctgx= 1מצמצמת את תחום ההגדרה של המשוואה:
tgx
tg x 1
2
1
1 tg x
tg x
} kמספר שלם
,
k
2
x
,
) (F1
x k
4
,
D F {x k
1
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
רחל מוגילבסקי
נציב
: t tg x
t 1 2
1
1t
t
1
2
1
k
2
t
x 1 arctg
כדי לא לאבד פתרונות בגלל צמצום תחום ההגדרה – נבדוק ,אם בקבוצה k
2
x
יש פתרונות של המשוואה.
נציב x במשוואה המקורית:
2
? 3
2 ctg 1
4
2
tg
1 0 1
הנ"ל עבור k , x kמספר שלם.
2
אז לקבוצת פתרונות x 1מצטרפת קבוצת פתרונות . x 2 2 k
סיכום
במאמר נגענו בשני אספקטים של בעיות מעבר ממשוואה למשוואה שקולה.
הראשון קובע אילו פעולות אפשר לבצע עם המשוואה כדי לעבור למשוואה שקולה ,שקל יותר
לפתור.
האספקט הזה ,פחות או יותר ,מוכר למורים ,לפחות באופן אינטואיטיבי.
את האספקט השני בדרך כלל לא מדגישים .העיקרון הוא ,שכאשר במעבר משתמשים
בטרנספורמציות זהותיות ,הן יכולות לשנות את תחום ההגדרה של המשוואה ,ואז נקבל
משוואה לא שקולה.
הסיבה היא ,שכל זהות נכונה עבור תחום הגדרה – משותף לשני צדי הזהות.
כשמחליפים צד אחד של הזהות בצד השני ,מתעלמים בדרך כלל מהשינויים בתחום ההגדרה –
דבר שגורם לטעויות.
פתרון משוואה עם מעקב אחרי תחום ההגדרה – מועיל גם להבנה עמוקה של תכונות הפונקציה
המופיעה במשוואה.
דרך מומלצת לבדיקת שקילות המשוואות היא בנייה גרפית של שני צדי המשוואה בעזרת תכנות
חדשניות ,למשל ,Geogebraלפחות לבדיקת מספר השורשים בתשובה.
אני מקווה שהמאמר יעזור למורים בנושא מרכזי של אלגברה – פתרון משוואות.
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
)שוויונים (חלק א- מערכות משוואות ואי,שקילות בפתרון משוואות
.שוויונים-שוויונים ומערכות אי- אי,בתכניתי להמשיך בחקירה עבור מערכות של משוואות
נספח
ונשרטט גרפים של הפונקציות, שבפתרונו קיבלנו שורש זר,
5
x x 2 :2.2 נחזור לתרגיל
. הגרפים נחתכים רק בנקודה אחת. y 2 x - וy
x
4
3
y 2x
y x
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
רשימת מקורות
.19-12 ,34 , על"ה.שוויונים- בהקשר פתרון משוואות ואי: ביטויים אלגבריים וטיפול בהם.)5002( ' א,חייט
. הטכניון: חיפה. הרצאות שהוצגו בהשתלמות מורים בטכניון.)2991( ' א,קופרמן
Attorps, I., & Tossavainen, T. (2009). On the equivalence relation in students' concept image of equation. In C.
Bergsten, B. Grevholm, & T. Lingefjärd (Eds.), Perspectives on Mathematical Knowledge:
Proceedings of MADIF6, The 6th Swedish Mathematics Education Research Seminar Stockholm,
January
29-30,
2008
(pp.
118-119).
Linköping:
LiU-Tryck.
Retrieved
from
http://www.mai.liu.se/SMDF/madif6/AttorpsTossavainen.pdf
Bruce, R. E. (1931). Equivalence of equations in one unknown. The Mathematics Teacher, 24(4), 238-244.
Kreynin Y. L. (4991). Equivalence transformations: Forsets of equations Education Committee of Serpuhov.
Russia.
Steinberg, R. M., Sleeman, D. H., & Ktorza, D. (1991). Algebra Students' Knowledge of Equivalence of Equations.
Journal for Research in Mathematics Education, 22(2), 112-121.
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– 133 –
5
6
רחל מוגילבסקי
שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ
– – 133
© Copyright 2024