שקילות בפתרון משוואות, מערכות משוואות ואי-שוויונים (חלק א)

‫רחל מוגילבסקי‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות‬
‫ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫תקציר‬
‫ברבים מענפי המדע‪ ,‬כגון מתמטיקה‪ ,‬פיסיקה‪ ,‬כימיה‪ ,‬ביולוגיה‪ ,‬כלכלה ועוד – לעתים‬
‫קרובות יש לפתור משוואה או מערכת משוואות או אי‪-‬שוויון ברמות‪-‬קושי שונות‪.‬‬
‫משמעות פתירת המשוואה היא מציאת קבוצת ערכים בשם שורשים‪ ,‬שהצבתם‬
‫מקיימת את המשוואה‪ ,‬כלומר יוצרת פסוק אמת‪.‬‬
‫תהליך הפתרון הוא מעבר מהמשוואה הנתונה – למשוואה יותר פשוטה‪ ,‬שקל יותר‬
‫לפותרה‪.‬‬
‫בדרך זאת משתמשים בחוקים שונים‪ ,‬בזהויות שונות‪.‬‬
‫השאלה היא האם המעבר מהמשוואה המקורית אל המשוואה החדשה – לא שינה את‬
‫קבוצת השורשים של המשוואה המקורית‪ ,‬או‪ ,‬במילים אחרות‪ ,‬האם בכל מעבר‬
‫מקבלים משוואה‪ ,‬השקולה למשוואה‪ ,‬שהייתה לפני ביצוע המעבר?‬
‫המאמר הנוכחי חוקר את התנאים שצריכים להתקיים – כדי להבטיח‪ ,‬שהמעבר‬
‫למשוואה החדשה שומר על השקילות של המשוואות‪.‬‬
‫בנוסף לכך‪ ,‬מבהיר המאמר‪ ,‬כי השימוש בזהויות מתמטיות – עלול לגרום לשינוי‬
‫קבוצת הפתרונות‪ ,‬ומביא המלצות למניעת הדבר‪.‬‬
‫בחלק משאלוני הבגרות במתמטיקה בשנים האחרונות מופיעות שאלות‪ ,‬המחייבות‬
‫חשיבה מעמיקה ושימוש בטכניקות אלגבריות‪ .‬לכן במסגרת הכשרת המורים להוראת‬
‫המקצוע – יש להגביר את ההבנה של נושא השקילות בשלבי הפתרון של משוואות‪,‬‬
‫מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים‪.‬‬
‫ההמשך של חקר התנאים לשקילות של מערכת משוואות ואי‪-‬שוויונים – יופיע בחלק ב‬
‫של המאמר‪.‬‬
‫מילות מפתח‪ :‬תחום הגדרה; שקילות‪-‬משוואות; מסקנה של משוואה; טרנספורמציות זהותיות‪.‬‬
‫מבוא‬
‫כדי לפתור משוואה או מערכת משוואות – עוברים צעד‪-‬צעד למשוואות ולמערכות פשוטות‬
‫יותר‪ ,‬שקל יותר לפתור‪.‬‬
‫איך ניתן להיות בטוחים‪ ,‬שהמעבר הוא "חוקי"‪ ,‬כלומר שנקבל פתרונות של המשוואה‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫המקורית‪ ,‬לא נַאבד פתרונות‪ ,‬ולא נקבל פתרונות זרים?‬
‫היום‪ ,‬כשתוכן מבחני הבגרות מתעמק – קיים צורך למורים להבין את נושא השקילות בפתרון‬
‫משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים‪ .‬את חשיבות הנושא הדגישו‪ ,‬למשל‪ ,‬חייט (‪,)5002‬‬
‫שטיינברג‪ ,‬סליימן וקטורזה (‪ ;)Steinberg, Sleeman, & Ktorza, 1991‬ברוס (‪;)Bruce, 1931‬‬
‫אטורפס וטוסאויניין (‪.)Attorps & Tossavainen, 2009‬‬
‫נציג ארבע דוגמאות‪:‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫לתלמיד הציעו לפתור את המשוואה ‪. x  x  2‬‬
‫הוא כתב מהר ובביטחון‪x  2  x :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  5x  4  0 , x  4  4 x  x‬‬
‫‪x1  4 , x 2  1‬‬
‫התלמיד היה מבולבל‪ ,‬כאשר בהצבה של ‪ x 1‬במשוואה המקורית הוא קיבל ‪. 6 2‬‬
‫דוגמה ‪)Kreynin, 1994( 2‬‬
‫‪x 2  10 x  21‬‬
‫תלמיד אחר פתר את המשוואה ‪ x  11‬‬
‫‪x 7‬‬
‫)‪( x  7) ( x  3‬‬
‫התלמיד פירק את המונה‪ x 11 :‬‬
‫‪x  7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא צמצם את השבר וקיבל משוואה פשוטה ‪ , x 3 x 11‬ואז התשובה ‪. x 7‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫תלמד אחד פתר את המשוואה ‪. log 2 ( x  3)  2‬‬
‫לפי כלל הלוגריתמים‪ ,‬הוא פתר‪, x  3  2 , log 2 ( x  3)  1 , 2 log 2 ( x  3)  2 :‬‬
‫לכן ‪. x5‬‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫תלמיד אחד פתר את אי‪-‬השוויון‪. x 2 9  2x  6 :‬‬
‫הוא זיהה‪ ,‬כי תחום ההגדרה הוא ‪ x3‬או ‪. x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אחרי העלאת שני הצדדים בריבוע – קיבל התלמיד‪, x  9  4x  24x  36 :‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫‪2‬‬
‫ואז ‪. x  8x  15  0‬‬
‫הפתרון של אי‪-‬השוויון האחרון הוא‪. 3  x  5 :‬‬
‫אם ניקח בחשבון את תחום ההגדרה‪ ,‬אז התשובה היא‪. 3  x  5 :‬‬
‫בשני התרגילים הראשונים נתקלנו בשורש זר‪ ,‬ואילו בתרגיל השלישי – שימוש פורמלי בכלל‬
‫הלוגריתמים הביא לאיבוד שורש ‪ x 1‬של המשוואה‪ ,‬ובתרגיל הרביעי התלמיד איבד קבוצה‬
‫נוספת של פתרונות‪. x3 ,‬‬
‫הסיבה למצב שנוצר היא‪ ,‬שבשרשרת המשוואות לא התייחסו לתחום ההגדרה של כל אחת‬
‫מהמשוואות‪.‬‬
‫המסקנה‪ :‬אסור להפריד פתרון של משוואה‪ ,‬מערכת משוואות או אי‪-‬שוויון מתחום ההגדרה‬
‫שלהם‪.‬‬
‫צריך לבדוק‪ ,‬אם המעבר שומר על שקילות האובייקטים‪ ,‬ואם לא‪ ,‬איך "לתקן" את המצב‪.‬‬
‫לימדתי את הנושא בכמה קבוצות בסמינריון מתמטי במכללה להכשרת‪-‬מורים לבתי‪-‬ספר על‪-‬‬
‫יסודיים‪ ,‬וכל הסטודנטים הגיבו בעניין רב והצטערו שלא מלמדים את הדברים בבית‪-‬הספר‪.‬‬
‫אני חושבת‪ ,‬כי המאמר אקטואלי מאוד‪.‬‬
‫הוא לא מיועד לתלמידי בית‪-‬ספר‪ ,‬אלא למורים‪ ,‬למורי‪-‬מורים ולסטודנטים‪-‬מורים בעתיד‪.‬‬
‫‪ .1‬תורת השקילות‬
‫נתבונן בשתי פונקציות )‬
‫‪k‬‬
‫‪ F1 ( x 1 , x 2 , ... , x‬בעלת תחום הגדרה ‪D1‬‬
‫ו‪ F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k ) -‬בעלת תחום הגדרה ‪. D2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ D1‬ו‪ D 2 -‬תחומים במרחב ‪. R‬‬
‫הגדרה ‪1.1‬‬
‫הביטוי‪:‬‬
‫) ‪F1 ( x 1 , x 2 , ... , x k )  F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k‬‬
‫נקרא משוואה עם ‪ k‬נעלמים‪.‬‬
‫‪ -k‬יה סדורה ) ‪ (a1 , a2 , ... , ak‬נקראת קבוצת ערכים מותרים למשוואה‪,‬‬
‫אם ‪ (a1 , a2 , ... , ak )  D1‬וגם ‪. (a1 , a2 , ... , ak )  D 2‬‬
‫תחום‪ ,‬המורכב מקבוצות ערכים מותרים‪ ,‬הוא חיתוך ‪ , D  D1  D 2‬ונהוג לקרוא לו תחום‬
‫ההגדרה של המשוואה‪.‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 141‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫אז תחום ההגדרה של המשוואה הוא חיתוך תחומי ההגדרה של שני הצדדים של המשוואה‪:‬‬
‫‪D  D1  D 2‬‬
‫דוגמה ‪1.1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪. log x  log y ‬‬
‫‪ D1‬הוא הרביע הראשון ללא הצירים (תחום פתוח)‪.‬‬
‫‪ D 2‬הוא כל המישור ‪ , x O y‬חוץ מהנקודות על הישר ‪. x  y‬‬
‫‪ – D‬כל הנקודות ברביע הראשון ללא הצירים וללא חוצה‪-‬הזווית הישרה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D1‬‬
‫הגדרה ‪1.2‬‬
‫‪ -k‬יה סדורה ) ‪ , (a1 , a2 , ... , ak‬השייכת ל‪( D-‬קבוצת ערכים מותרים)‪ ,‬נקראת‬
‫פתרון של המשוואה‪ ,‬אם מתקיים‪. F1 (a1 , a2 , ... , ak )  F2 (a1 , a2 , ... , ak ) :‬‬
‫נסמן את קבוצת הפתרונות של המשוואה ב‪. M-‬‬
‫נתבונן ב‪ 3-‬אפשרויות‪:‬‬
‫(א) ‪ . M D‬במקרה זה‪ ,‬המשוואה נקראת זהות‪.‬‬
‫‪x2 y2‬‬
‫למשל‪ x  y ,‬‬
‫‪x y‬‬
‫מתקיים לכל הזוגות ) ‪ ( x, y‬מתחום ההגדרה‪ ,‬כלומר כאשר‬
‫‪. x y‬‬
‫(ב)‬
‫‪ , M‬כלומר למשוואה אין פתרון‪.‬‬
‫למשל‪ . x  y 1 0 ,‬במקרה כזה אומרים‪ ,‬כי המשוואה סותרת‪.‬‬
‫(ג)‬
‫‪.  MD‬‬
‫הערה‪ :‬מספר הפתרונות של משוואה תלוי לפעמים לאיזה שדה של מספרים שייך תחום‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 144‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ההגדרה ‪ .D‬למשל‪ ,‬למשוואה ‪ x  y  0‬יש פתרון יחיד‪ ,‬אם ‪ – D‬קבוצת המספרים‬
‫‪2‬‬
‫הממשיים ( ‪ ,) D  R‬אבל אינסוף פתרונות ) ‪ , (t ,  ti‬אם ‪ – D‬קבוצת המספרים‬
‫‪2‬‬
‫המרוכבים ( ‪.) D  C‬‬
‫נתבונן בשתי המשוואות‪:‬‬
‫) ‪F1 ( x 1 , x 2 , ... , x k )  F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k‬‬
‫)‪(F‬‬
‫) ‪G1 ( x 1 , x 2 , ... , x k )  G 2 ( x 1 , x 2 , ... , x k‬‬
‫)‪(G‬‬
‫הגדרה ‪1.3‬‬
‫נגיד‪ ,‬שמשוואה )‪ (F‬היא מסקנה מ‪ (G) ,) (F)(G) ( (G) -‬גוררת את )‪.(F‬‬
‫אם כל פתרון של )‪ (G‬הוא גם פתרון של )‪ . (F‬במילים אחרות‪. M G  M F ,‬‬
‫דוגמה ‪1.2‬‬
‫‪sin x  0‬‬
‫‪x ( x - p ) 0‬‬
‫) ‪(F‬‬
‫) ‪(G‬‬
‫) ‪( F )  (G‬‬
‫הגדרה ‪1.4‬‬
‫המשוואות )‪ (F‬ו‪ (G) -‬נקראות משוואות שקולות‪ ,‬אם כל פתרון של )‪ (F‬הוא גם פתרון‬
‫של )‪ , (G‬ולהפך‪ ,‬כל פתרון של )‪ (G‬הוא גם פתרון של )‪ , (F‬כלומר ‪ . M F  M G‬סימון‪FG :‬‬
‫במילים אחרות‪ FG ,‬אם ורק אם )‪ , (G)(F‬וגם )‪. (F)(G‬‬
‫דוגמה ‪1.3‬‬
‫המשוואות ‪ x  y  0‬ו‪ x  y  0 -‬שקולות בשדה המספרים הממשיים‪ ,‬ולא‬
‫שקולות בשדה המספרים המרוכבים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫‪ .2‬פעולות שאינן מפרות שקילות‬
‫משפט ‪2.1‬‬
‫אם הפונקציה ) ‪ ( x 1 , x 2 , ... , x k‬מוגדרת בכל תחום ההגדרה של המשוואה‪:‬‬
‫) ‪F1 ( x 1 , ... , x k )  F2 ( x 1 , ... , x k‬‬
‫)‪(F‬‬
‫אז המשוואה )‪ (F‬שקולה למשוואה הבאה‪:‬‬
‫) ‪F1 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k ) F2 ( x 1 , ... , x k ) ( x 1 , ... , x k‬‬
‫)‪(F‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח‪ ,‬כי ‪ (a1 , ... , ak )  M F‬פתרון של )‪ , (F‬כלומר‪:‬‬
‫) ‪F1 (a1 , ... , ak )  F2 (a1 , ... , ak‬‬
‫נוסיף את הביטוי‬
‫)‬
‫‪ak‬‬
‫‪... ,‬‬
‫‪ , (a1 ,‬המוגדר לפי הנתונים‪ ,‬לשני הצדדים של השוויון הקודם‪:‬‬
‫) ‪F1 (a1 , ... , ak )  (a1 , ... , ak )  F2 (a1 , ... , ak )  (a1 , ... , ak‬‬
‫לכן‪. (a1 , ... , ak )  M F   :‬‬
‫להפך‪ ,‬אם ‪ (b1 , ... , b k )  M F ‬פתרון של )‪ , (F‬כלומר‪:‬‬
‫) ‪F1 (b1 , ... , b k )  (b1 , ... , b k )  F2 (b1 , ... , b k )  (b1 , ... , b k‬‬
‫אז נוסיף לשני הצדדים את הביטוי ) ‪ , (b1 , ... , b k‬נקבל‪ ,‬כי ‪. (b1 , ... , b k )  M F‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫הערה‪ :‬יש חשיבות רבה לתנאי‪ ,‬ש‪ ( x 1 , ... , x k ) -‬מוגדרת לכל תחום ההגדרה של )‪. (F‬‬
‫דוגמה ‪2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  6  5x‬‬
‫)‪(F‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫תחום ההגדרה‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x 2 , x 3‬‬
‫‪MF‬‬
‫נגדיר )‪ ( x ) lg( x 3‬עם תחום ההגדרה ‪. x3‬‬
‫‪2‬‬
‫למשוואה )‪ x  6  lg( x  3)  5x  lg( x  3‬אין פתרונות‪.‬‬
‫המשוואה )‪ (F‬איננה שקולה ל‪ , (F) -‬כי תחום ההגדרה של ‪ ‬אינו כולל את כל תחום‬
‫ההגדרה של )‪. (F‬‬
‫מסקנה ‪1‬‬
‫המשוואה ) ‪ F2 ( x 1 , ... , x k )  F1 ( x 1 , ... , x k )  ( x 1 , ... , x k‬שקולה למשוואה‬
‫) ‪ , F2 ( x 1 , ... , x k )  ( x 1 , ... , x k )  F1 ( x 1 , ... , x k‬כלומר אפשר להעביר מחוברים‬
‫מצד לצד עם סימן הפוך‪.‬‬
‫מסקנה ‪2‬‬
‫כל משוואה אפשר להעביר לצורה ‪. F( x 1 , ... , x k )  0‬‬
‫משפט ‪2.2‬‬
‫אם פונקציה ) ‪ ( x 1 , ... , x k‬מוגדרת עבור כל תחום ההגדרה של )‪, (F‬‬
‫אז המשוואה‬
‫) ‪( x 1 , ... , x k )  F1 ( x 1 , ... , x k )  ( x 1 , ... , x k )  F2 ( x 1 , ... , x k‬‬
‫)‪(F‬‬
‫היא מסקנה של המשוואה )‪. (F‬‬
‫הוכחה‬
‫נניח ‪ (a1 , ... , ak )  M F‬פתרון של )‪ , (F‬כלומר ) ‪. F1 (a1 , ... , ak )  F2 (a1 , ... , ak‬‬
‫) ‪ – (a1 , ... , ak‬מספר‪ .‬נכפול בו את שני האגפים של השוויון הקודם‪:‬‬
‫) ‪(a1 , ... , ak )  F1 (a1 , ... , ak )  (a1 , ... , ak )  F2 (a1 , ... , ak‬‬
‫כלומר ) ‪ , (a1 , ... , ak )  M (  F‬אז )‪. (F)(F‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫משפט ‪2.3‬‬
‫אם פונקציה ) ‪ ( x 1 , ... , x k‬מוגדרת ושונה מאפס עבור כל תחום ההגדרה של המשוואה‬
‫)‪ , (F‬אז המשוואות )‪ (F‬ו‪ ( F) -‬שקולות‪.‬‬
‫הוכחה‬
‫)‪ (F)(F‬הּוכח במשפט ‪.5.5‬‬
‫‪1‬‬
‫הטענה ההפוכה מתקבלת במכפלת שני האגפים של )‪ ( F‬ב‪-‬‬
‫) ‪(a1 , ... , ak‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמה ‪2.2‬‬
‫‪2 x 1 x‬‬
‫)‪(F‬‬
‫‪DF  R‬‬
‫‪( x )  x‬‬
‫) ‪ ( x‬מקיימת את התנאי של משפט ‪ ,5.5‬ולא מקיימת את התנאי של משפט ‪.5.3‬‬
‫לכן המשוואה‬
‫‪2‬‬
‫‪ (F) (2x  1) x  x‬היא מסקנה של )‪,) (F)(F) ( (F‬‬
‫אבל )‪ ( F‬אינה שקולה ל‪. (F) -‬‬
‫אם‪ ,‬למשל‪ 1 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , ( x )  x‬אז )‪. ( F) (F‬‬
‫משפט ‪2.4‬‬
‫נתונה המשוואה‪F1 ( x )  F2 ( x ) :‬‬
‫)‪. (F‬‬
‫תהי ) ‪ ( x‬פונקציה כלשהי‪.‬‬
‫נתבונן במשוואה‪ F1 ( x )   F2 ( x ) :‬‬
‫)]‪. ([F‬‬
‫אם פונקציה ) ‪ ( x‬מוגדרת לכל הטווח של הפונקציות ‪ F1‬ו‪ , F2 -‬אז המשוואה )]‪ ([F‬היא‬
‫מסקנה של )‪. (F‬‬
‫הוכחה‬
‫אם ‪ , a  M F‬כלומר ) ‪ , F1 (a )  F2 (a‬אז ‪ ,   F1 (a )     F2 (a ) ‬כלומר ) ‪. a  M (  F ‬‬
‫דוגמה ‪2.3‬‬
‫‪2 x 1 x‬‬
‫)‪(F‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x )  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( [F]) (2x  1)  x‬‬
‫)‪, ([F])(F‬‬
‫אבל המשוואות לא‪-‬שקולות‪.‬‬
‫דוגמה ‪2.4‬‬
‫‪x1 0‬‬
‫)‪(F‬‬
‫‪( x ) sin x‬‬
‫‪sin( x1)  0‬‬
‫)]‪( [F‬‬
‫)‪, ([F]) (F‬‬
‫אבל המשוואות לא שקולות‪.‬‬
‫משפט ‪2.2‬‬
‫אם לפונקציה ) ‪ ( x‬קיימת פונקציה הפוכה חד‪-‬ערכית בכל הטווח של ) ‪, ( x‬‬
‫אז המשוואה )‪ (F‬היא מסקנה של )]‪. ([F‬‬
‫הוכחה‬
‫) ‪F1 ( x )  F2 ( x‬‬
‫)‪(F‬‬
‫נניח‪ ,‬ש‪ , a  M (  F  ) -‬כלומר ‪.   F1 (a )     F2 (a ) ‬‬
‫מכיוון ש ) ‪ ( x‬מקבלת כל ערך רק בנקודה אחת‪ ,‬אז ) ‪ , F1 (a )  F2 (a‬ואז ‪. a  M F‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫אם פונקציה‬
‫שקולות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מקיימת את התנאים של משפטים ‪ 5.2‬וגם ‪ ,5.2‬אז המשוואות )‪ (F‬ו‪( [F]) -‬‬
‫דוגמה ‪2.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x  2x  2‬‬
‫)‪(F‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 143‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫‪( x )  log x‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪log( x  x )  log(2x  2‬‬
‫)]‪( [F‬‬
‫למשוואה )‪ (F‬יש ‪ 5‬שורשים‪. x 1  1 , x 2  2 :‬‬
‫למשוואה )]‪ ([F‬יש רק שורש אחד‪. x  2 :‬‬
‫הדבר קרה‪ ,‬מפני שהפונקציה ) ‪ ( x‬מקיימת את התנאים של משפט ‪ ,5.2‬אבל לא מקיימת את‬
‫התנאים של משפט ‪ .5.2‬לכן )]‪ , (F)([F‬משוואה )‪ (F‬היא מסקנה של )‪. (F‬‬
‫דוגמה ‪2.2‬‬
‫‪x 3 x  2  x  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(F‬‬
‫‪( x )  x‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪x  x  2  ( x  1‬‬
‫)]‪( [F‬‬
‫‪3‬‬
‫הפונקציה ) ‪ ( x‬מוגדרת בכל תחום ההגדרה של הפונקציות ‪F1 ( x )  x 3  x  2‬‬
‫ו‪ , F2 ( x )  x  1 -‬וגם ל‪  x  -‬יש פונקציה הפוכה חד‪-‬ערכית לכל ‪. R‬‬
‫לכן ) ‪ ( x‬מקיימת את התנאים של משפט ‪ 5.2‬וגם את התנאים של משפט ‪ ,5.2‬ואז‬
‫)‪. ([F]) (F‬‬
‫דוגמה ‪2.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 22‬‬
‫)‪(F‬‬
‫‪( x ) log x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log( x  2)  log 2‬‬
‫)]‪( [F‬‬
‫לשתי המשוואות יש פתרונות ‪ , x 2‬אף‪-‬על‪-‬פי ש‪  -‬אינה מוגדרת בכל הטווח‬
‫‪2‬‬
‫של הפונקציה ‪. F1 ( x )  x  2‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫‪ .3‬איבוד פתרונות וקבלת פתרונות זרים בטרנספורמציות זהותיות של צדי‬
‫המשוואה‬
‫הגדרה ‪3.1‬‬
‫נקרא את הפונקציה ) ‪ F1 ( x 1 , x 2 , ... , x k‬שווה זהותית לפונקציה ) ‪F2 ( x 1 , x 2 , ... , x k‬‬
‫ונסמן ‪ , F1  F2‬אם ערכי הפונקציות מתלכדים בכל תחום ההגדרה של המשוואה ‪, F1  F2‬‬
‫כלומר ערכי הפונקציות מתלכדים לכל ערכי הנעלמים‪ ,‬השייכים בו‪-‬זמנית ל‪( D F1 -‬תחום‬
‫ההגדרה של ‪ ) F1‬וגם ל‪( D F2 -‬תחום ההגדרה של ‪.) F2‬‬
‫הגדרה ‪3.2‬‬
‫החלפת פונקציה בפונקציה‪ ,‬השווה לה זהותית‪ ,‬נקראת טרנספורמציה זהותית‪.‬‬
‫למשל‪ x ,‬‬
‫‪log x‬‬
‫‪. x ( x 1)  x  x 1 , 10‬‬
‫הבעיה היא‪ ,‬שבהחלפת ביטוי אחד במשוואה בביטוי‪ ,‬השווה לו זהותית‪ ,‬הרי תחום ההגדרה של‬
‫המשוואה יכול להשתנות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬השוויון הזהותי ‪ log xy log x  log y‬מתקיים עבור ‪ x  0‬וגם ‪. y  0‬‬
‫אם במשוואה כלשהי מחליפים את ‪ log xy‬ב‪ , log x  log y -‬אז תחום ההגדרה‬
‫)‪ ( xy  0‬מצטמצם ל‪ x  0 ( -‬וגם ‪ ,) y  0‬כלומר מצטמצם תחום ההגדרה של‬
‫המשוואה‪ ,‬ולכן יכולים לאבד פתרונות של המשוואה‪.‬‬
‫אם‪ ,‬להפך‪ ,‬במשוואה כלשהי מחליפים ‪ log x  log y‬ב‪ , log xy -‬אז תחום ההגדרה של‬
‫המשוואה יגדל‪ ,‬ולכן יכולים לקבל פתרונות זרים‪.‬‬
‫אם תחום ההגדרה של המשוואה יקטן‪ ,‬אז חלק מהפתרונות יכולים ללכת לאיבוד‪.‬‬
‫אם תחום ההגדרה של המשוואה יגדל‪ ,‬אז יכולים להתקבל פתרונות זרים‪.‬‬
‫זאת הסיבה‪ ,‬שבתהליך פתרון המשוואה – לא די לבצע רק פעולות‪ ,‬שלא מפרות את השקילות‬
‫(משפטים ‪ ,)5.2-5.2‬אלא לעקוב אחרי טרנספורמציות זהותיות‪ ,‬כלומר צריך לשלב את תהליך‬
‫הפתרון עם מעקב אחרי תחום ההגדרה בכל שלב‪.‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫דוגמה ‪3.1‬‬
‫למשוואה ‪x ( x3)  2‬‬
‫)‪ (F‬תחום הגדרה }‪. DF {x 0 , x 3‬‬
‫אם נקיים טרנספורמציה זהותית ‪x  x 3  2‬‬
‫)‪, (G‬‬
‫אז תחום ההגדרה הוא }‪. DG { x 3‬‬
‫למשוואה )‪ (F‬יש ‪ 2‬פתרונות‪ , x 1  4 , x 2  1 :‬ולמשוואה יש )‪ (G‬רק פתרון אחד‪,‬‬
‫‪. x 4‬‬
‫איבדנו שורש של המשוואה המקורית – בגלל צמצום תחום ההגדרה של המשוואה‪.‬‬
‫פעולות שיכולות לגרום לפתרון זר‬
‫(א) כפל שני צדי המשוואה בביטוי‪ ,‬שיכול להתאפס בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית;‬
‫למשל‪ ,‬ביטול המכנה המשותף‪.‬‬
‫(ב) העלאת שני האגפים בחזקה זוגית‪.‬‬
‫(ג) טרנספורמציות זהותיות עם לוגריתמים‪:‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪; log a x  log a y  log a xy‬‬
‫‪; 2 log a x  log a x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪log a x‬‬
‫‪a‬‬
‫(ד) טרנספורמציות זהותיות עם שורשים מסדר זוגי‪:‬‬
‫למשל‪xy ,‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪x‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫;‬
‫‪x2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪4‬‬
‫כיצד למנוע פתרונות זרים?‬
‫דרך א‪ :‬לקבוע מראש את תחום ההגדרה של המשוואה המקורית ולבחור בין התשובות‬
‫המתקבלות רק את אלה השייכות אליו‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬להציב את כל התשובות במשוואה המקורית ולזרוק שורשים זרים‪.‬‬
‫פעולות היכולות לגרום לאיבוד פתרונות‬
‫(א) חלוקה בביטוי‪ ,‬שיכול להתאפס בתחום ההגדרה של המשוואה המקורית‪.‬‬
‫(ב) הוצאת שורש זוגי משני צדי המשוואה‪.‬‬
‫(ג) טרנספורמציות זהותיות עם לוגריתמים‪:‬‬
‫למשל‪; log a xy  log a x  log a y ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log a x  2log a x‬‬
‫(ד) טרנספורמציות זהותיות עם שורשים מסדר זוגי‪:‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫למשל‪y ,‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪xy ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫;‬
‫‪x ‬‬
‫‪y‬‬
‫;‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫(ה) חלק מטרנספורמציות זהותיות טריגונומטריות‪:‬‬
‫למשל‪ctg x  1 ,‬‬
‫‪tg x‬‬
‫מניעת איבוד פתרונות קשה הרבה יותר ממניעת פתרונות זרים‬
‫דרך א‪ :‬לעקוב בכל פעולה ו"לתפוס" את הפתרון שנאבד‪ ,‬כלומר להציב את ערכי הנעלמים‪,‬‬
‫שירדו מתחום ההגדרה במשוואה המקורית‪ ,‬ולבדוק אם הם הפתרונות‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬להיעזר בגרף של שני צדי המשוואה – כדי לקבוע את מספר הפתרונות הנכון‪.‬‬
‫המלצות למניעת איבוד פתרונות‬
‫במקרה (א)‪ ,‬במקום לחלק בגורם המשותף – כדאי להוציא אותו מחוץ לסוגריים‪.‬‬
‫במקרה (ב)‪ ,‬להשתמש בנוסחה ‪. a 2  a‬‬
‫‪2‬‬
‫במקרה (ג)‪ ,‬הזהות ‪ log a x  2log a x‬שומרת על תחום ההגדרה‪.‬‬
‫הזהות ‪ log a xy  log a x  log a y‬מגדילה את תחום ההגדרה‪ ,‬ועלולה להביא לשורש זר‪,‬‬
‫שקל יותר "לתפוס"‪.‬‬
‫הערה‬
‫שימוש בנוסחאות טריגונומטריות‪ ,‬ובעיקר באלה שכוללות ‪ tg x‬ו‪ – ctg x -‬יכולות לשנות את‬
‫תחום ההגדרה של המשוואה באופן משמעותי‪.‬‬
‫‪tg x  tg y‬‬
‫למשל‪ ,‬בנוסחה‬
‫‪1  tg x tg y‬‬
‫‪ tg( x  y ) ‬הקשר בין תחומי ההגדרה של אגף שמאל ואגף‬
‫ימין אינו טריוויאלי‪.‬‬
‫‪ .4‬דוגמאות לפתרון במצבים שדנו בהם בפרק ‪3‬‬
‫תרגיל ‪4.1‬‬
‫‪x  x 2‬‬
‫)‪(F‬‬
‫תחום הגדרה‪DF { x  0} :‬‬
‫אז למה פתרון חיובי ‪ x  4‬הוא זר?‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 131‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫הסיבה היא‪ ,‬כי במשוואה חוקית ‪ , x  2  x‬צד שמאל הוא אי‪-‬שלילי‪ ,‬ומכאן נובעת הגבלה‬
‫נוספת‪ , 2 x 0 :‬כלומר ‪ . x 2‬כשמעלים את שני האגפים בריבוע‪ ,‬מתבטלת ההגבלה‪.‬‬
‫תרגיל ‪4.2‬‬
‫‪x 2  10 x  1‬‬
‫‪ x  11‬‬
‫‪x  7‬‬
‫)‪(F‬‬
‫}‪DF { x  7‬‬
‫השורש ‪ x7‬שקיבלנו – לא שייך לתחום ההגדרה‪ ,‬ולכן המשוואה סותרת‪.‬‬
‫תרגיל ‪4.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log 2 ( x  3)  2‬‬
‫}‪ {x  3‬‬
‫) ‪(F1‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2 log 2 x  3  2‬‬
‫המשוואה שקולה למשוואה‪:‬‬
‫) ‪(F2‬‬
‫‪log 2 x  3  1‬‬
‫‪x 3  2‬‬
‫לכן ‪. x 1  5 , x 2  1‬‬
‫ברצוני לתת עוד מספר דוגמאות לא‪-‬טריוויאליות‪:‬‬
‫דוגמה ‪4.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log (2x  2)  log ( x  3)  2‬‬
‫)‪(F‬‬
‫}‪DF {x 3 , x 1‬‬
‫אם נפתור את המשוואה בדרך מקובלת‪ ,‬תחום ההגדרה ישתנה‪.‬‬
‫מעניין לעקוב אחריו‪:‬‬
‫‪/:2‬‬
‫‪2 log (2x  2)  2 log ( x  3)  2‬‬
‫) ‪(F1‬‬
‫}‪D F  {x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 3‬‬
‫}‪x 1‬‬
‫או‬
‫א‬
‫‪log‬‬
‫) ‪(F2‬‬
‫‪D F  {x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 134‬‬
‫שקילות בפתרון משוואות‪ ,‬מערכות משוואות ואי‪-‬שוויונים (חלק א)‬
‫רואים‪ ,‬כי ‪. D F1  D F2  D F‬‬
‫השורש‪ ,‬שמוצאים בדרך זו‪ ,‬הוא ‪. x 4‬‬
‫האם לא איבדנו שורשים‪ ,‬כי תחום ההגדרה מצטמצם?‬
‫אכן‪ ,‬הפתרון הנכון הוא הפתרון הבא‪:‬‬
‫‪2 log 2 x  2  2 log x  3  2‬‬
‫) ‪(F3‬‬
‫‪D F3  D F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪x  3‬‬
‫‪log‬‬
‫) ‪(F4‬‬
‫‪D F4  D F‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪x  3‬‬
‫‪2 x  2  10 x  3‬‬
‫‪7‬‬
‫והנה מצאנו גם את השורש השני‪. x 1  4 , x 2   :‬‬
‫‪3‬‬
‫מקובל לדרוש מתלמידים לעשות בדיקת פתרונות של משוואות אי‪-‬רציונליות וטריגונומטריות‪.‬‬
‫כך אפשר "לתפוס" שורש זר‪ ,‬אבל כפי שראינו‪ ,‬אם לא נעקוב אחרי תחום ההגדרה‪ ,‬אפשר גם‬
‫לאבד פתרונות‪.‬‬
‫דוגמה ‪( 4.2‬קופרמן‪)2991 ,‬‬
‫‪ 4 2ctg x1‬‬
‫‪tg x ‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪ k‬מספר שלם‪k ,‬‬
‫‪4‬‬
‫טרנספורמציה זהותית פשוטה‪,‬‬
‫)‪(F‬‬
‫‪D F  {x  k , x ‬‬
‫‪ , ctgx= 1‬מצמצמת את תחום ההגדרה של המשוואה‪:‬‬
‫‪tgx‬‬
‫‪tg x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  tg x‬‬
‫‪tg x‬‬
‫}‪ k‬מספר שלם‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪,‬‬
‫) ‪(F1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪,‬‬
‫‪D F  {x  k‬‬
‫‪1‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬
‫רחל מוגילבסקי‬
‫נציב‬
‫‪: t  tg x‬‬
‫‪t 1 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x 1  arctg‬‬
‫‪‬‬
‫כדי לא לאבד פתרונות בגלל צמצום תחום ההגדרה – נבדוק‪ ,‬אם בקבוצה ‪ k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫יש פתרונות של המשוואה‪.‬‬
‫נציב ‪ x  ‬במשוואה המקורית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫? ‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ctg  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tg‬‬
‫‪1  0  1‬‬
‫הנ"ל עבור ‪ k , x   k‬מספר שלם‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫אז לקבוצת פתרונות ‪ x 1‬מצטרפת קבוצת פתרונות ‪. x 2  2  k‬‬
‫סיכום‬
‫במאמר נגענו בשני אספקטים של בעיות מעבר ממשוואה למשוואה שקולה‪.‬‬
‫הראשון קובע אילו פעולות אפשר לבצע עם המשוואה כדי לעבור למשוואה שקולה‪ ,‬שקל יותר‬
‫לפתור‪.‬‬
‫האספקט הזה‪ ,‬פחות או יותר‪ ,‬מוכר למורים‪ ,‬לפחות באופן אינטואיטיבי‪.‬‬
‫את האספקט השני בדרך כלל לא מדגישים‪ .‬העיקרון הוא‪ ,‬שכאשר במעבר משתמשים‬
‫בטרנספורמציות זהותיות‪ ,‬הן יכולות לשנות את תחום ההגדרה של המשוואה‪ ,‬ואז נקבל‬
‫משוואה לא שקולה‪.‬‬
‫הסיבה היא‪ ,‬שכל זהות נכונה עבור תחום הגדרה – משותף לשני צדי הזהות‪.‬‬
‫כשמחליפים צד אחד של הזהות בצד השני‪ ,‬מתעלמים בדרך כלל מהשינויים בתחום ההגדרה –‬
‫דבר שגורם לטעויות‪.‬‬
‫פתרון משוואה עם מעקב אחרי תחום ההגדרה – מועיל גם להבנה עמוקה של תכונות הפונקציה‬
‫המופיעה במשוואה‪.‬‬
‫דרך מומלצת לבדיקת שקילות המשוואות היא בנייה גרפית של שני צדי המשוואה בעזרת תכנות‬
‫חדשניות‪ ,‬למשל ‪ ,Geogebra‬לפחות לבדיקת מספר השורשים בתשובה‪.‬‬
‫אני מקווה שהמאמר יעזור למורים בנושא מרכזי של אלגברה – פתרון משוואות‪.‬‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬
)‫שוויונים (חלק א‬-‫ מערכות משוואות ואי‬,‫שקילות בפתרון משוואות‬
.‫שוויונים‬-‫שוויונים ומערכות אי‬-‫ אי‬,‫בתכניתי להמשיך בחקירה עבור מערכות של משוואות‬
‫נספח‬
‫ ונשרטט גרפים של הפונקציות‬,‫ שבפתרונו קיבלנו שורש זר‬,
5
x  x  2 :2.2 ‫נחזור לתרגיל‬
.‫ הגרפים נחתכים רק בנקודה אחת‬. y  2  x -‫ ו‬y 
x
4
3
y 2x
y x
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
‫רשימת מקורות‬
.19-12 ,34 ,‫ על"ה‬.‫שוויונים‬-‫ בהקשר פתרון משוואות ואי‬:‫ ביטויים אלגבריים וטיפול בהם‬.)5002( '‫ א‬,‫חייט‬
.‫ הטכניון‬:‫ חיפה‬.‫ הרצאות שהוצגו בהשתלמות מורים בטכניון‬.)2991( '‫ א‬,‫קופרמן‬
Attorps, I., & Tossavainen, T. (2009). On the equivalence relation in students' concept image of equation. In C.
Bergsten, B. Grevholm, & T. Lingefjärd (Eds.), Perspectives on Mathematical Knowledge:
Proceedings of MADIF6, The 6th Swedish Mathematics Education Research Seminar Stockholm,
January
29-30,
2008
(pp.
118-119).
Linköping:
LiU-Tryck.
Retrieved
from
http://www.mai.liu.se/SMDF/madif6/AttorpsTossavainen.pdf
Bruce, R. E. (1931). Equivalence of equations in one unknown. The Mathematics Teacher, 24(4), 238-244.
Kreynin Y. L. (4991). Equivalence transformations: Forsets of equations Education Committee of Serpuhov.
Russia.
Steinberg, R. M., Sleeman, D. H., & Ktorza, D. (1991). Algebra Students' Knowledge of Equivalence of Equations.
Journal for Research in Mathematics Education, 22(2), 112-121.
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
– 133 –
5
6
‫רחל מוגילבסקי‬
‫שנתון "שאנן" – תשע"ה – כרך כ‬
‫– ‪– 133‬‬