x - אוניברסיטת בר-אילן
חוברת תרגילים ופתרונות קורס מס' - 88235אנליזת פורייה סמסטר קיץ ,תשע"ה ד"ר מיכאל מיכאלי המחלקה למתימטיקה ,אוניברסיטת בר אילן קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 1 א .יהי Vמרחב מכפלה פנימית .הוכח שלכל u, v Vמתקיים "חוק המקבילית" 2 2 u 2 v 2 2 uv uv 2 ב .יהי Vמרחב מכפלה פנימית ממשי .הוכח שלכל u, v Vמתקיים 1 1 2 2 u, v u v u v 4 4 פתרון: א. ראשית נפצל את המרכיבים שבאגף שמאל: I . u v u v , u v u, u v v , u v u v , u u v , v 2 תכונה 3 תכונה 4 2 u, u v , u u, v v , v u u, v v , u v 2 תכונה 3 II . u v u v, u v u, u v v, u v u v, u u v, v 2 תכונה 3 תכונה 4 2 u, u v , u u, v v , v u u, v v , u v 2 תכונה 3 כעת נחבר את Iו: II - 2 I II u v u v 2 u 2 v 2 2 2 ב. בסעיף א' מצאנו כי: 2 u v u u, v v , u v 2 u v u u, v v , u v 2 2 נחסיר את הביטוי השני מהביטוי הראשון: 4 u, v בממשיים u ,v v ,u 2 2 u v u v 2 u, v 2 v, u 2 1 1 2 2 u v u v u, v 4 4 עמוד 1מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה 2 קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 2 א .לכל זוג פונקציות f , g Ca, bנגדיר את הפעולה הבא: b f , g f x g x dx a האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב ? Ca, b ב C 1 a, b .הוא מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות בקטע . a, bלכל f , g C 1 a, bנגדיר פעולה הבאה: b f , g f x g x dx a האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית? ג .לכל f , g C 2 , נגדיר פעולה הבאה f x g x dx : האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב ? C 2 , f , g f g פתרון: א .התשובה חיובית .יש לבדוק את סעיפי ההגדרה. ב .נתבונן למשל ב : f 1 f C 1 a, b f 0 ובכל זאת b b a a f , f f x f x dx 0dx 0 לכן זו איננה מכפלה פנימית. ג .התשובה שלילית. נראה כי תנאי מס' 2בהגדרה אינו מתקיים (לכל f , f 0 , f C , אם ורק אם .) f 0 2 f x dx 2 f , f f 2 1. f 0 f, f 0 2. f x 0 נתבונן בדרישה מס' :2 f x 0 f x C f x Cx B פונקציה ליניארית השווה לאפס בנקודה אחת לא בהכרח מתאפסת זהותית ,לכן הפעולה לא מהווה מכפלה פנימית. עמוד 2מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 3 יהי R 1,1מרחב הפונקציות הרציפות f : 1,1 Rעם המכפלה הפנימית 1 f x g x dx f ,g 1 א .יהיו P1 x x , P0 x 1ו . P2 x 1 3x 2 -הוכח כי קבוצה זו של פולינומים היא אורתוגונאלית ב- . R 1,1 2 3 ב .מצא קבועים , b , aו c -כך שהפונקציה P3 x a bx cx xתהיה ניצבת לכל אחת מן הפונקציות מסעיף א'. פתרון: נבדוק את המכפלה הפנימית במקרים הבאים: א. 1 1 0 2 2 1 1 1 x2 P0 , P1 xdx 2 1 1 3x 3 P0 , P2 1 3x dx x 1 1 1 1 0 3 1 1 1 2 1 x 2 3x 4 P1 , P2 x 3x dx 0 4 1 2 1 1 3 ב. במקרה זה מכפלה פנימית של P3עם כל אחד מהפולינומים מסעיף א' צריכה להיות שווה לאפס, כלומר: 1 2c P0 , P3 a bx cx 2 x 3 dx 0 2a 0 3 1 3 5 ax bx 1 cx 3 x 4 dx 0 b 2 P1 , P3 1 x 3 dx 0 c 0 1 3x a bx cx 1 2 2 1 3 לסיכום נקבל כי . P3 x x x 3 5 עמוד 3מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה P2 , P3 קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 4 1 נתון מרחב מ"פ C 1,1עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית , f , g f x g x dxו W-הוא תת-מרחב 1 של , C 1,1הנפרש על ידי . 1, cos x, sin xמצא/י את קרוב הטוב ביותר ל- x 2 f x sinב.W- פתרון ניתן לבדוק כי מערכת 1, cos x, sin xהינה אורתוגונאלית אך אינה אורתונורמלית במרחב C 1,1ביחס x f x sinב( W-והוא ההיטל למכפלה פנימית הנתונה ,ולכן ,על מנת למצוא את הקירוב הטוב ביותר ל- 2 ~ האורתוגונאלי f x של ,) f x נמצא מקדמים a, b, cכך ש- ~ f x a 1 b cosx c sinx 2 dx x 2 1 2 sin 0 2 dx x 2 1 sin 1 1 dx f ,1 1,1 a 1 4 3 x cos x dx 2 1 sin 1 1 cos x dx 2 f , cos x cos x , cos x 1 0 f , sin x sin x , sin x c לסיכום ,נקבל כי ~ 2 4 f x cosx 3 עמוד 4מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה b קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 5 יהי 2מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל .2-לכל f , g 2נגדיר . f , g f x g x e x dx 0 א .הוכח כי זוהי מכפלה פנימית על . 2 1 ב .הראה שהקבוצה 1, 1 x, 1 2 x x 2 היא מערכת אורתונורמלית ביחס למכפלה פנימית זו. 2 פתרון: א .יש לבדוק את סעיפי ההגדרה. ב .יש לבדוק כי: 1 1 x, 1 2 x x 2 0 2 1 2 1 x , 1 2x x 2 1 2 2 1 2 x 2 1. 1, 1 x 1, 1 2 x 2. 1, 1 1 x, 1 x 1 2 x שאלה 6 א. מצא/י את טור פורייה של f x cos xבקטע . , ב. מצא/י את ערכי המקדמים הבאים. b10 , b5 , a 9 , a 4 , a 0 : פתרון: א .פונקציה f x cos xהיא זוגית בקטע , ולכן . bn 0 4 sin x02 4 2 cos xdx 0 4 cos x dx 0 2 cos x cos nxdx 0 4 cos x cos nxdx 0 2 2 cos x dx cos x cos nxdx 1 1 a0 n 1 an 2 sin n 1x 2 sin n 1x 2 cos n 1x cos n 1x dx 0 n 1 0 n 1 0 2 n 2k n 2k 1 2 k 1 sin n 1 sin n 1 4 1 2 2 2 4k 2 1 n 1 n 1 0 עמוד 5מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. 4 1 cos x ~ cos 2kx k 1 4k 2 1 k 1 ב. 2 4 4 , a0 15 b5 b10 0 , a9 0 , a4 שאלה 7 מצא/י את טורי פורייה של הפונקציות הבאות: f x xבקטע . , א. פתרון: 4 cos2k 1x 2 k 1 2k 1 f x x 2בקטע . , ב. פתרון: 4 1 cosnx n2 n 1 n 2 3 2 ~ x ~ x2 שאלה 8 מצא/י את טור פורייה של g x eבקטע . 1,1 א. מהו ערכו של המקדם ? c 1 ב. ix פתרון: א .נחשב תחילה את מקדמי טור פורייה המרוכב: 1 1 1 e i 1n x 1 e i 1n e i 1n sin 1 n cn e ix e inx dx 2 1 2 i1 n 1 1 n 2i 1 n 1 sin 1 n inx e 1 n n ~ e ix ב. sin 1 1 c1 עמוד 6מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה . אנליזת פורייה,88-235 :קורס . ד"ר מיכאל מיכאלי:מרצה . תשע"ה, סמסטר קיץ,חוברת תרגילים ופתרונות ,אוניברסיטת בר אילן .המחלקה למתמטיקה 9 שאלה .ג . , בקטעf x cos x י את טור פורייה של/מצא . b10 , b5 , a 9 , a 4 , a 0 :י את ערכם של המקדמים הבאים/מצא .ד . 1 a n י את סכום הטור/חשב n .ה n 1 :פתרון .6 ראה שאלה.ב+א בנקודהf x cos x נשתמש במשפט דיריכלה עבור הפונקציה.ג 2 f 2 2 f 2 0 2 a cosk 1k a 2 k k k 1 k 1 . , בקטעf x sin x י את טור פורייה של/מצא .) (נמק את תשובתך. n 1 4n 1 2 1 2 10 שאלה .א :י את סכום הטור הבא/חשב .ב :פתרון . n 1 לכלbn 0 ולכן , זוגית בקטעf x sin x הפונקציה .א : a0 נחשב את a0 1 sin x dx sin xdx cos x 2 2 0 0 2 1 1 4 : בנפרדa1 כעת נחשב את 1 cos 2 x 1 1 1 0 a1 sin x cos xdx sin x cos xdx sin 2 xdx 0 0 2 2 0 1 2 1 : n 1 נחשב לכלan וכעת נחשב את an 1 sin x cos nxdx sin x cos nxdx sin 1 n x sin 1 n x dx 2 1 0 0 n n 1 cos 1 n x cos1 n x 1 1 1 1 1 2 1 1 1 n 1 n 0 1 n 1 n 1 n2 4 n 2k 2 1 4k 0 n 2k 1 n 22 מתוך7 עמוד תשע"ה,חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. 4 cos 2nx 2 n 1 1 4n לפי משפט פרסבל עבור f x נקבל כי: 1 1 4n 2 2 n 1 16 2 1 cos 2 x dx 1 0 2 1 1 4n 2 8 16 n 1 2 2 xdx 2 sin 0 1 1 16 2 sin x dx 2 1 8 2 ב. 2 ~ sin x 2 8 2 2 1 1 4n n 1 שאלה 11 נתונה פונקציה הבאה2 : 0 x x 2 2x 1 , f x 0 a0 כאשר a k cos kx bk sin kx 2 k 1 מצא טור פורייה של f x בקטע . , א. 1 . מצא/י את סכום הטור ב. 2 k 1 2k 1 פתרון: א f x .זוגית ולכן: הינו הטור פורייה שלה בקטע . , 2x 22 2x 2 x2 2 2 1 dx 1 dx x a0 1 0 0 2 4 2 2 2 עמוד 8מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה 1 . אנליזת פורייה,88-235 :קורס . ד"ר מיכאל מיכאלי:מרצה . תשע"ה, סמסטר קיץ,חוברת תרגילים ופתרונות ,אוניברסיטת בר אילן .המחלקה למתמטיקה 2x a n 1 2 1 n 1 22 2x cosnx dx 1 cos nx dx 0 2 2 sin n 2 sin nx 4 2 4 2 x cos nx dx n 0 0 n 2 2 2 sin nx 2 2 sin nx x dx n 0 0 n 41 cos n 4 cos nx 2 2 2 2 2 2 n 0 n :לסיכום נקבל כי 41 cos n 1 2 f x ~ cos nx 2 2 4 n 1 n : שמצאנו הינוf טור פורייה של.ב 4 1 cos n 1 2 , f x ~ cos nx 2 2 4 n 1 n :4 נרשום במפורש את המקדמים במחזוריות 41 cos n 2 an 2 2 n 0 4 2 4k 12 8 2 2 4k 2 4 2 2 4k 3 ; n 4k ; n 4k 1 ; n 4k 2 ; n 4k 3 k 1,2,3... :ובסה"כ נקבל את הטור פורייה במפורש 1 4 8 2 cos 4 k 1 x cos4k 2x 2 2 2 4 k 1 (4k 1) k 1 4k 2 f ( x) ~ 4 cos((4k 3) x) 2 k 1 ( 4k 3) 2 : או בצורה 22 מתוך9 עמוד תשע"ה,חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. 1 4 2 2 ((cos 2 k 1 ) x ) )cos((2k 1) x 2 2 2 )4 k 1 (2k 1 )k 1 (2k 1 ~ )f ( x כעת נשתמש במשפט דיריכלה עבור fוהנקודה x 0ונקבל: f (0 ) f (0 ) 1 4 2 2 2 2 2 2 )4 k 1 (2k 1 )k 1 ( 2k 1 1 2 3 2 6 4 8 (2k 1) 2 k 1 שאלה :12 א .חשב טור פורייה של f x sin xבקטע 0,2 ו. 0, - ב .חשב טור סינוסים וטור קוסינוסים של f x sin xבקטע . 0, a0 ג .נגדיר פונקציה an cos nx 2 n1 , Gx כאשר הטור הינו טור קוסינוסים שחושב בסעיף הקודם .חשב את האינטגרלים הבאים: 2 9 G t dt G t dt 2 G t dt 2 2 2 פתרון: a0 א .טור פורייה של f x sin xבקטע 0, הינו מהצורה הבא an cos 2nx bn sin 2nx : 2 n1 n0 n 1 ~ f x 2 4 sin xdx 0 an 4 2 sin x cos 2nxdx 1 4n 2 0 4 cos 2nx, x 0, 2 n1 1 4n 2 ~ sin x טור פורייה של f x sin xבקטע 0,2 הינו sin xבעצמו. ב .טור סינוסים של sin xזהה להרחבה האי-זוגית של sin xמקטע 0, לקטע , שהינה בדיוק . sin x טור קוסינוסים של sin xזהה להרחבה הזוגית של sin xמקטע 0, לקטע , שהינה sin xוהוא זהה לטור שחושב בסעיף א': 4 cos 2nx, x 0, 2 n1 1 4n 2 sin x עמוד 10מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה . אנליזת פורייה,88-235 :קורס . ד"ר מיכאל מיכאלי:מרצה . תשע"ה, סמסטר קיץ,חוברת תרגילים ופתרונות ,אוניברסיטת בר אילן .המחלקה למתמטיקה x R Gx sin x לפי סעיף קודם.ג 0 0 G 2 t dt sin t dt 2 sin 2 tdt 1 cos 2t dt 2 9 9 3 5 7 9 G t dt sin t dt sin t dt sin t dt sin t dt sin t dt 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 2 0 0 7 G 2 t dt sin t dt 2 sin 2 tdt 1 cos 2t dt 2 2 :13 שאלה . g x 2 dx חשב את. , בקטעg x 2 נתונה פונקציה 2 cos x i sin x . כטור מתכנס במידה שווה והשתמש בשוויון פרסבלg x הצג את:רמז :פתרון : באופן הבאg x ניתן להציג את n eix 1 1 inx e ix n e n 0 2 n 0 2 2 2 . , טור זה מתכנס בהחלט ובמ"ש בקטע :נשתמש בשוויון פרסבל 2 2 g ( x) 2 cos x i sin x 2 eix 1 2 2n 2 1 1 g ( x ) dx n 0 2 n 0 4 n 1 8 1 g ( x) dx 2 2 1 3 n 0 4 1 4 2 n 22 מתוך11 עמוד תשע"ה,חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 14 פונקציה f x רציפה בקטע , ו F x -הינה הפונקציה הקדומה שלה. ידוע כי f x dx 0 ו . F x dx 1 -הבע את האינטגרל x 2 F x dxבאמצעות המקדמים an , bnשל טור פורייה של f x בקטע . , פתרון: נשים לב ,כי מהתנאי הראשון נובעת התוצאה הבאה: f x dx 0 1 . a0 ולכן, f x ~ an cos nx bn sin nx n 1 לפי משפט האינטגרציה, a b F x n cos nx n sin nx C n n n 1 כאשר F x dx 2 1 1 2 .C 1 כלומר 1 a b n cos nx n sin nx 2 n 1 n n F x 4 1 f x x ובמשפט פרסבל מוכלל ונקבל כי כעת נשתמש בטור פורייה של cos nx 3 n1 n 2 1 2 2 n n 1 1 4 1 bn 4 1 bn 2 3 x F x dx 2 n2 n 3 n 1 n3 n 1 ולסיכום נקבל את התוצאה הדרושה: n 1 2 4 1 bn 2 x F x dx 3 n3 n 1 n 2 2 עמוד 12מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 15 מצא/י פתרון של משוואת גלים הבאה באמצעות הפרדת משתנים: 2u 2u t 2 x 2 המשוואה מתארת את תנודת המיתר ,כאשר המיתר מקובע בקצוות x 0ו x l -וצורתו ההתחלתית של המיתר מתוארת על ידי העקומה ( OABבאיור) .הנח/י כי אין מהירות התחלתית למיתר: u A h B l x 0 l/2 O פתרון: ראשית נמצא את משוואת העקומה :OAB 2h 2h ואילו משוואת הישר ABהיא , l x כלומר נקבל כי משוואת הישר OAהיא x l l l 2h ; 0 x l x 2 x 2h l ; l x xl l 2 בנוסף לכך ,נתון כי . x 0 במקרה שלנו ,הפתרון הכללי של המשוואה נתון באופן הבא: n t sin x l n n u x, t an cos t bn sin l l n1 כאשר 2 n x sin xdx l 0 l 2 n x sin xdx n 0 l l l an ו- bn במקרה שלנו l 2 2 n 4h n 4h n an x sin xdx 2 x sin xdx 2 l x sin xdx l 0 l l 0 l l l l l l 2 נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי בנוסף לכך נקבל כי . bn 0 ולסיכום נקבל את הפתרון הסופי: 8h n sin 2 2 n 2 n nt n cos sin x 2 l l sin an 1 2 n n1 עמוד 13מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה 8h 2 u x, t קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 16 א .מצא טור סינוסים וטור קוסינוסים של f t המוגדרת באופן הבא: ב .לאיזה ערך מתכנס טור סינוסים מסעיף א' בנקודה ? t 0נמק את תשובתך. פתרון: כפי שניתן לראות ,הפונקציה f t מוגדרת באופן הבא: 0 t 1 1, f t 2 t , 1 t 2 א. אם נמשיך את הפונקציה באופן אי-זוגי לקטע 2,0נקבל כי: 2 n n 1 sin tdt 2 t sin tdt 20 2 2 1 1 2 bn 2 n 2 n 2t n 4 n cos t 2 cos t cos t 2 2 sin t n 2 0 n 2 1 n 2 1 n 2 1 2 2 n 2 cos n cos 2 1 2 n 2 cos n cos 2 n n 4 cos 2 1 n 2 n 2 4 1 2 n 2n 12 n1 טור סינוסים: 2n 1 t n n t 1 sin 2 2 2 2 n 2n 1 sin עמוד 14מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה n1 2 f t קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. באותו אופן נקבל טור קוסינוסים: 2 1 2 t2 4 1 3 3 1 a0 dt 2 t dt t 0 2t 1 4 2 3 2 1 2 2 2 2 0 1 n n an cos tdt 2 t cos tdt 2 2 0 1 1 2 2 n 4 n 2t n 4 n sin t sin t sin t 2 2 cos t n 2 0 n 2 1 n 2 1 n 2 1 2 n 4 1 n 2 2 n cos n cos 2 2 2 2 1 n 4 0 sin 2 2 n 2 n 2 0 sin 2 n n 4 sin 0 n 2 n1 טור קוסינוסים: 1n cos n t 2 2 n 3 4 f t 2 4 n1 ב .הטור מתכנס לערך – 0ממוצע של הגבולות החד צדדיים. עמוד 15מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 17 1 0 x 1 , f x נתון: אחרת 0 חשב את הקונבולוציה . f g x . g x x 2 פתרון: 1 1 1 3 1 ( f * g )( x) ( x t ) 2 dt x t x3 ( x 1)3 x 2 x 1/ 3 0 3 0 3 שאלה 18 נתונה הפונקציה הבאה : a 0 x a x a א .מצא/י את התמרת פורייה של . f a x ב .חשב/י את 1 cos 1 cos 2 d 4 a x f a x 0 פתרון: א .על פי ההגדרה נקבל: a a 1 1 1 ix ix a x eix dx ... 1 cos2a F f a f x e dx a x e dx a 2 2 a 0 ב .על פי שוויון פלנשראל המוכלל נקבל כי: 1 cos 1 cos 2 d 2 1 1 x 2 x dx 1 2 3x x 2 dx 5 0 4 2 1 6 1 שאלה 19 1 נתונה הפונקציה x a2 2 , ha x המוגדרת לכל xממשי ולכל ( a 0פרמטר ממשי). א .חשב את התמרת פורייה של ( . ha x רמז :העזר בהתמרה של x ב .העזר בתוצאה של סעיף א' והוכח כי 1 dx 2 9 x 25 120 2 x פתרון: א .ראינו בהרצאה כי 1 1 1 2 F x e עמוד 16מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה .) e קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. ע"פ עיקרון הדואליות נקבל כי 1 ax 1 F e 2 x a 2a 2 ב .ע"פ משפט פלנשראל נקבל כי F G d f x g x dx 1 2 ax 1 ax 1 1 1 dx x 2 a 2 x 2 b2 e 2 a e 2 a d d a b a b a b e 1 2 1 2 1 2 2 dx 2 2 x a x b 4a b 1 1 2 2 2 2 dx x 3 x 5 3 5 3 5 120 שאלה 20 מצא פתרון למשוואה הבאה: t cost y d t cos t, t 0 0 פתרון נפעיל את התמרת לפלס על שני האגפים: מהגדרת הקונבולוציה נקבל כי Lcos t yt s Lt cos t s s s 2 1 2s 2 s 2 Y s 2 2 s 1 s 1 s2 1 נבודד את : Y s 2s 1 Y s 2 s 1 s ההתמרה ההפוכה מובילה לפתרון הבא: yt 2 cos t 1 עמוד 17מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 21 תהי f x פונקציה רציפה במרחב ) G(ℝבעלת התמרת פורייה 2 2 , fˆ 0, א .מצא את הפונקציה f x ב .חשב את ערך האינטגרל dx 2 f x פתרון: א .לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי לכל x R e d 2 2 2 cos xd i x 2 2 fˆ ei x d f x 0 מכאן ,לx 0 - 2 x cos x sin x 2 sin xd 4 , x0 x0 x3 0 מצד שני ,היות ו f x -פונקציה רציפה ,נקבל: 4 3 3 x cos x sin x 3 f 0 lim f x lim 4 x 0 x 0 x sinx x f x 2 2 2 ולסיכום נקבל: x cos x sin x , x0 4 x3 f x 4 3, x0 3 ב .לפי משפט פלנשראל, 16 5 15 2 2 d 2 fˆ d 2 6 32 f x 15 עמוד 18מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה f x 1 2 קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. שאלה 22 1, 0 t 1 0, 1 t 2 y 3 y 2 y f t . f t , כאשר מצא/י פתרון של בעיית התחלה 1 , 2 t 3 y 0 0 , y 0 0 0, 3 t פתרון: על מנת לפתור משוואה דיפרנציאלית זו ניעזר בהתמרת לפלס .נחשב את התמרת לפלס של שני האגפים ונתחיל מהאגף הימני של המשוואה .נשים לב כי f t ניתנת להצגה בעזרת פונקצית Heavisideבאופן הבא: f t H0 t H1 t H 2 t H3 t כלומר cs s 2 s 3 s e 1 e e e LH c t s L f t s s s s s s כעת נחשב את ההתמרה של אגף שמאל: Ly 3 y 2 y s 2 Ly sy0 y0 3sLy 3 y0 2L y Ly s 2 3s 2 ולסיכום נקבל כי 3 s s 2 s 1 e e e L y s 2 3s 2 L f t s s s s s s 2 s 3 s 1 e e e 1 L y 1 e s e 2 s e3s 2 s s 3s 2 ss 1s 2 נפרק את הביטוי האחרון לשברים חלקיים: 1 A B C ss 1s 2 s s 1 s 2 1 1 A , B 1, C 2 2 1 , L eat s כלומר ידוע כי , s a sa 1 1 1 1 t 1 2t 1 1 L1 e 2e 2 s s 1 2 s 2 2 כעת נשתמש בתכונה הבאה שקשורה להתמרה של פונקצית :Heaviside LH c t g t c s ecs Lg t s או H c t g t c L1 ecs Lg t s 1 t 1 2t במקרה שלנו e e 2 2 g t ולכן נקבל את פתרון המשוואה הדיפרנציאלית באופן הבא: עמוד 19מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה . אנליזת פורייה,88-235 :קורס . ד"ר מיכאל מיכאלי:מרצה . תשע"ה, סמסטר קיץ,חוברת תרגילים ופתרונות ,אוניברסיטת בר אילן .המחלקה למתמטיקה 1 yt L1 1 e s e 2 s e3s ss 1s 2 L1g t L1 e s g t L1 e 2 s g t L1 e3s g t :או בצורה מפורשת 1 1 1 1 y t et e2t H1 t et 1 e2t 1 2 2 2 2 1 1 1 1 H 2 t et 2 e2t 2 H 3 t et 3 e2t 3 2 2 2 2 23 שאלה .6 מסדרDFT כתוב מטריצת.א .[2 2 6 9] : של הסדרה הבאהFFT חשב.ב .[2 2 6 9 2 2 6 9] : של הסדרה הבאהFFT חשב.ג 1 1 1 1 1 1 1 1 :פתרון : מוגדרת באופן הבא6 מסדרDFT מטריצת.א 1 1 4 5 8 10 12 15 16 20 20 25 1 2 4 3 6 4 8 5 10 3 6 9 12 15 2 : בהתאם לכך נקבל את התוצאות הבאות. N 6 - ו e i 1 3 7 13 19 25 e 3 i 2 2 2i 1 3 2 8 14 20 e 3 i 2 2 e 3 9 15 21 3i 3 2i N כאשר 1 4i 3 1 3 i 2 2 5i 1 3 5 11 17 23 e 3 i 2 2 e 4 10 16 22 e 6 12 18 24 6i 3 1 22 מתוך20 עמוד תשע"ה,חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה אוניברסיטת בר אילן, המחלקה למתמטיקה. קורס ,88-235 :אנליזת פורייה. מרצה :ד"ר מיכאל מיכאלי. חוברת תרגילים ופתרונות ,סמסטר קיץ ,תשע"ה. ב. ג. בהתאם לתכונת המחזוריות של FFTולפי התוצאה בסעיף הקודם ,נקבל כי ]FFT([2 2 6 9 2 2 6 9])=[38 0 -8+14i 0 -6 0 -8-14i 0 עמוד 21מתוך 22 חוברת תרגילים ופתרונות – אנליזת פורייה ,תשע"ה
© Copyright 2024