1. No category

‫‪1‬‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫לפניכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית‪ .‬הספר הוא חלק‬
‫מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה‪ ,‬המועבר ברשת‬
‫האינטרנט ‪.On-line‬‬
‫הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים‪ ,‬וכן את‬
‫התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא‪.‬‬
‫הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ ,‬לדוגמה לחצו כאן‪.‬‬
‫את הקורס בנה מר ברק קנדל‪ ,‬מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים‬
‫שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע‪.‬‬
‫אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה‪ ,‬סובלים מלקויות למידה‪ ,‬רוצים‬
‫להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית‪ ,‬אנחנו מזמינים אתכם‬
‫לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין‪ ,‬היכנסו עכשיו לאתר‬
‫‪.www.gool.co.il‬‬
‫אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות‬
‫צוות האתר ‪GooL‬‬
‫גּול זה ּבּול‪ּ .‬בשבילך!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪2‬‬
‫תוכן‬
‫פרק ‪ - 1‬הסקה סטטיסטית ‪ -‬הקדמה ‪4................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 2‬התפלגות הדגימה ‪7........................... ................................ ................................ ................................‬‬
‫ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי ‪7.......................................... ................................ ................................‬‬
‫התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי ‪61................... ................................ ................................‬‬
‫התפלגות מספר ההצלחות במדגם ‪ -‬הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית ‪02........................... ................................‬‬
‫התפלגות פרופורציית ההצלחות במדגם ‪02..................................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 3‬אי שוויונים הסתברותיים ‪03............... ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 4‬מושגים בסיסיים באמידה ‪03................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 5‬רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) ‪03............................ ................................ ................................‬‬
‫רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה ‪93...................................... ................................ ................................‬‬
‫קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה ‪61........................................ ................................‬‬
‫רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה ‪63........................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 6‬רווח סמך לפרופורציה ‪55................... ................................ ................................ ................................‬‬
‫קביעת גודל מדגם באמידת פרופורציה ‪25...................................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 7‬רווח סמך להפרש פרופורציות ‪63......................................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 8‬רווח סמך להפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים ‪65................. ................................ ................................‬‬
‫כששונויות האוכלוסייה ידועות ‪12................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות ‪15.............................. ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 3‬רווח סמך לתוחלת ההפרש במדגם מזווג ‪73............................. ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 13‬רווח סמך לשונות וסטיית תקן ‪70........................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 11‬תרגול מסכם ברווחי סמך ‪78.............. ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 13‬בדיקת השערות כללית ‪83................. ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 10‬בדיקת השערות על פרמטרים ‪83........................................ ................................ ................................‬‬
‫הקדמה ‪53............. ................................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫טעויות בבדיקת השערות ‪30....................... ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 14‬בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) ‪34................................ ................................ ................................‬‬
‫כאשר שונות האוכלוסיה ידועה ‪36............... ................................ ................................ ................................‬‬
‫סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה ‪33................. ................................ ................................‬‬
‫קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה ‪621.......................... ................................ ................................‬‬
‫מובהקות התוצאה ( ‪ ) p-value‬בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה ‪623................ ................................‬‬
‫בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה ‪666....................... ................................‬‬
‫מובהקות התוצאה ( ‪ ) p-value‬בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות אוכלוסייה לא ידועה ‪663.............................‬‬
‫הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת ‪609...................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 15‬בדיקת השערות על פרופורציה ‪136..................................... ................................ ................................‬‬
‫התהליך ‪601.......... ................................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫סיכוי לטעויות ועוצמה ‪692........................ ................................ ................................ ................................‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪3‬‬
‫קביעת גודל מדגם ‪692.............................. ................................ ................................ ................................‬‬
‫מובהקות התוצאה ‪695.............................. ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 16‬בדיקת השערות על הפרש פרופורציות ‪143........................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 17‬בדיקת השערות על הפרש תוחלות במדגמים בלתי תלויים ‪146................................... ................................‬‬
‫כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות ‪661....................................... ................................ ................................‬‬
‫כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחים שהן שוות ‪622.................. ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 18‬בדיקת השערות על תוחלת ההפרשים במדגמים מזווגים (תלויים) ‪154......................... ................................‬‬
‫בדיקת השערות למדגמים מזווגים ‪626.......... ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 13‬הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על הפרש תוחלות ‪163.................................... ................................‬‬
‫פרק ‪ -33‬בדיקת השערות על שונויות ‪164.......... ................................ ................................ ................................‬‬
‫בדיקת השערות על שונות האוכלוסייה כאשר התוחלת לא ידועה ‪616................................... ................................‬‬
‫בדיקת השערות על שתי שונויות ‪615........... ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪-31‬שאלות מסכמות בבדיקת השערות על פרמטרים ‪174................. ................................ ................................‬‬
‫שאלות מסכמות בבדיקת השערות על פרמטרים ‪676......................... ................................ ................................‬‬
‫שאלות מסכמות בסגנון רב ברירה ( אמריקאיות) על בדיקת השערות ‪656.............................. ................................‬‬
‫פרק ‪ -33‬מבחנים אפרמטריים ‪137................... ................................ ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 30‬מדדי קשר ‪ -‬מדד הקשר הלינארי (פירסון) ‪336...................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 34‬מדדי קשר ‪ -‬רגרסיה ליניארית ‪314..................................... ................................ ................................‬‬
‫פרק ‪ - 35‬ניתוח שונות חד כיוונית ‪317.............. ................................ ................................ ................................‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪4‬‬
‫פרק ‪ - 1‬הסקה סטטיסטית ‪ -‬הקדמה‬
‫רקע‪:‬‬
‫אוכלוסייה – קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת‬
‫הסוכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסוכרת בעולם‪.‬‬
‫מדגם – חלק מתוך האוכלוסייה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬אם נדגום באקראי ‪ 11‬אנשים מתוך חולי הסוכרת אז‬
‫זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הסוכרת‪.‬‬
‫במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה‪ ,‬היא גדולה מידי ‪,‬‬
‫אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית‬
‫מהמדגם לאוכלוסייה‪.‬‬
‫הדגימה בקורס תהייה דגימה מקרית הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו‬
‫סיכויי להיכלל במדגם‪.‬‬
‫סטטיסטי – גודל המחושב על המדגם‪.‬‬
‫פרמטר – גודל המתאר את האוכלוסייה‪.‬‬
‫הסימונים לפרמטר וסטטיסטי הם שונים‬
‫למשל‪:‬‬
‫סטטיסטי (מדגם)‬
‫ממוצע‬
‫פרמטר (אוכלוסייה)‬
‫‪X‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫פרופורציה (שכיחות יחסית)‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם ולכן יש‬
‫לו התפלגות הנקראת התפלגות הדגימה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה (פתרון בהקלטה)‪:‬‬
‫‪ 52%‬מאזרחי המדינה תומכים בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים ‪ .‬הוחלט לדגום ‪ 511‬אזרחים‬
‫ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק‪.‬‬
‫א‪ .‬מי האוכלוסייה?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטרים?‬
‫ד‪ .‬מהו גודל המדגם?‬
‫ה‪ .‬מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם?‬
‫ו‪ .‬האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪6‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים‪ .‬נתון שממוצע‬
‫הציונים של כלל הסטודנטים היה ‪ 87‬עם סטיית תקן של ‪.12‬‬
‫א‪ .‬מי האוכלוסייה?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה?‬
‫ג‪ .‬מהם הפרמטרים?‬
‫ד‪ .‬מהו גודל המדגם?‬
‫‪ .5‬להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב "העוגן"‪.‬‬
‫נגדיר את ‪ x‬להיות מספר המקלטים של משפחה אקראית‪.‬‬
‫מתכננים לדגום מאוכלוסיה זו ‪ 4‬משפחות ולהתבונן בממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה במדגם‪.‬‬
‫מספר המשפחות‬
‫מספר מקלטים‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪521‬‬
‫‪1‬‬
‫‪021‬‬
‫‪5‬‬
‫‪011‬‬
‫‪0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪4‬‬
‫סך הכול ‪N  1000‬‬
‫א‪ .‬מיהי האוכלוסייה ומהו המשתנה הנחקר?‬
‫ב‪ .‬מהו הסטטיסטי שיילקח מהמדגם ומה סימונו?‬
‫‪ .0‬נתון כי ‪ 51%‬מהשכירים במדינה הם אקדמאיים‪ .‬נבחרו באקראי ‪ 11‬שכירים באותה אוכלוסייה‬
‫ומתכננים לפרסם את מספר האקדמאיים שנדגמו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי האוכלוסייה ?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה באוכלוסייה?‬
‫ג‪ .‬מהם הפרמטרים?‬
‫ד‪ .‬מהו הסטטיסטי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪ - 2‬התפלגות הדגימה‬
‫ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי‬
‫רקע‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫בפרק זה נדון בהתפלגות של ממוצע המדגם ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫מכיוון שממדגם למדגם אנו יכולים לקבל ממוצע מדגם שונה ‪ ,‬אזי ממוצע המדגם הוא משתנה‬
‫מקרי ויש לו התפלגות‪.‬‬
‫גדלים המתארים התפלגות כלשהי או אוכלוסייה כלשהי נקראים פרמטרים‪ .‬להלן רשימה של‬
‫פרמטרים החשובים לפרק זה‪:‬‬
‫ממוצע האוכלוסייה נסמן ב ‪ ( ‬נקרא גם תוחלת )‪.‬‬
‫שונות אוכלוסייה נסמן ב‪.  2 -‬‬
‫סטיית תקן של אוכלוסייה‪.  :‬‬
‫א‪ .‬תכונות התפלגות‬
‫ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה‪:‬‬
‫‪E( x )  x  ‬‬
‫שונות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשונות האוכלוסייה מחולק ב‪ . n-‬תכונה זו נכונה רק‬
‫במדגם מקרי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V (x )   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שונות ממוצעי המדגם‪.‬‬
‫אם נוציא שורש לשונות נקבל סטיית תקן של ממוצע המדגם שנקראת גם טעות תקן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (x) ‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫השכר הממוצע במשק הינו ‪ ₪ 0111‬עם סטיית תקן של ‪ .4111‬דגמו באקראי ‪ 52‬עובדים‪.‬‬
‫א‪ .‬מי אוכלוסיית המחקר? מהו המשתנה הנחקר?‬
‫ב‪ .‬מהם הפרמטרים של האוכלוסייה?‬
‫ג‪ .‬מה התוחלת ומהי סטית התקן של ממוצע המדגם?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪8‬‬
‫ב‪ .‬דגימה מהתפלגות נורמאלית‬
‫אם נדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתנה בה מתפלג נורמאלית עם ממוצע ‪ ‬ושונות ‪  2‬ממוצע‬
‫המדגם גם יתפלג נורמאלית‪:‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x ~ N ( ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪Zx ‬‬
‫‪n‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע ‪ 0411‬גרם וסטיית תקן של ‪ 411‬גרם‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבמדגם של ‪ 4‬תינוקות אקראיים בעת הולדתם המשקל הממוצע של התינוקות‬
‫יהיה מתחת ל‪ 0.2-‬ק"ג?‬
‫ג‪ .‬משפט הגבול המרכזי‬
‫אם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע ‪ ‬ושונות ‪  2‬אזי עבור מדגם מספיק גדול ( ‪) n  30‬‬
‫‪2‬‬
‫ממוצע המדגם מתפלג בקירוב נורמאלית )‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. x ~ N (,‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע ‪ 111‬גרם וסטיית תקן של ‪ 4‬גרם‪.‬‬
‫דגמו מקו הייצור ‪ 03‬חפיסות שוקולד אקראיות‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד שנדגמו יהיה מתחת ל ‪ 115‬גרם?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪9‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים‪ .‬נתון שממוצע‬
‫הציונים של כלל הסטודנטים היה ‪ 87‬עם סטיית תקן של ‪.12‬‬
‫א‪ .‬מי האוכלוסייה?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה?‬
‫ג‪ .‬מהם הפרמטרים?‬
‫ד‪ .‬מהו גודל המדגם?‬
‫ה‪ .‬מהו תוחלת ממוצע המדגם?‬
‫ו‪ .‬מהי טעות התקן?‬
‫‪ .5‬להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב מסוים‪:‬‬
‫מספר המשפחות‬
‫מספר מקלטים‬
‫‪211‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5211‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0211‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0111‬‬
‫‪3‬‬
‫‪211‬‬
‫‪4‬‬
‫סך הכול ‪N  10000‬‬
‫נגדיר את ‪ x‬להיות מספר המקלטים של משפחה אקראית‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו את פונקצית ההסתברות של ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את התוחלת‪ ,‬השונות וסטיית התקן של ‪.x‬‬
‫ג‪ .‬אם נדגום ‪ 4‬משפחות מהישוב עם החזרה מה תהיה התוחלת‪ ,‬מהי השונות ומהי סטיית‬
‫התקן של ממוצע המדגם?‬
‫‪ .0‬אם נטיל קובייה פעמיים ונתבונן בממוצע התוצאות שיתקבלו‪ ,‬מה תהיה התוחלת ומה תהיה‬
‫סטיית התקן של ממוצע זה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪11‬‬
‫‪ .4‬משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע ‪ 0411‬גרם וסטיית תקן של ‪ 411‬גרם‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ‪ 0711-‬גרם?‬
‫נתון כי ביום מסוים נולדו ‪ 4‬תינוקות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על ‪ 4‬ק"ג ?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל‪ 5.2-‬ק"ג?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ‪21-‬‬
‫גרם?‬
‫ה‪ .‬הסבירו ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם היה מדובר על יותר מ‪-‬‬
‫‪ 4‬תינוקות?‬
‫‪ .2‬הגובה של המתגייסים לצה"ל מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 182‬ס"מ וסטיית תקן של ‪11‬‬
‫ס"מ‪ .‬ביום מסוים התגייסו ‪ 13‬חיילים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה לפחות ‪ 101‬ס"מ?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה בדיוק ‪ 171‬ס"מ?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יסטה מתחולת הגבהים בפחות מ‪ 2-‬ס"מ?‬
‫ד‪ .‬מהו הגובה שבהסתברות של ‪ 01%‬הגובה הממוצע של המדגם יהיה נמוך ממנו?‬
‫‪ .3‬הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו ‪ 01‬דקות עם שונות של ‪ 13‬דקות רבועות‪ .‬האדם‬
‫נוסע לעבודה במשך שבוע ‪ 2‬פעמים‪ .‬לצורך פתרון הניחו שזמן הנסיעה לעבודה מתפלג‬
‫נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע יהיה מעל ‪ 00‬דקות?‬
‫ב‪ .‬מהו הזמן שבהסתברות של ‪ 01%‬ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה גבוה ממנו?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ‪ 01-‬דקות בלפחות ‪ 5‬דקות?‬
‫ד‪ .‬כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם האדם היה נוסע לעבודה ‪ 3‬פעמים בשבוע?‬
‫‪ .8‬נפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 821‬סמ"ק וסטיית תקן של ‪ 11‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬בארגז ‪ 4‬בקבוקי יין‪ .‬מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק ‪822‬‬
‫סמ"ק?‬
‫ב‪ .‬בארגז ‪ 4‬בקבוקי יין‪ .‬מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ‪822‬‬
‫סמ"ק?‬
‫ג‪ .‬בארגז ‪ 4‬בקבוקי יין‪ .‬מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות ‪822‬‬
‫סמ"ק?‬
‫ד‪ .‬בקבוקיי היין שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר‪ .‬מה ההסתברות שהיין‬
‫יגלוש מהקערה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪11‬‬
‫‪ .7‬משתנה מתפלג נורמאלית עם תוחלת ‪ 71‬וסטיית תקן ‪. 4‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם‬
‫הוא ‪?0‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא ‪?13‬‬
‫ג‪ .‬הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים‪.‬‬
‫‪ .0‬בקזינו ישנה רולטה‪ .‬על הרולטה רשומים המס' הבאים כמוראה בשרטוט‪:‬‬
‫אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו את פונקצית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה התוחלת ומה השונות של סכום הזכייה?‬
‫ג‪ .‬אם האדם ישחק את המשחק ‪ 2‬פעמים מה התוחלת ומה השונות של ממוצע סכום הזכייה‬
‫בחמשת המשחקים?‬
‫ד‪ .‬אם האדם משחק את המשחק ‪ 21‬פעם מה ההסתברות שבסה"כ יזכה ב‪ ₪ 1121-‬ומעלה?‬
‫‪ .11‬לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא ‪ ₪ 7111‬עם סטיית‬
‫תקן של ‪ .₪ 0111‬מה ההסתברות שבמדגם מקרי של ‪ 111‬עובדים השכר הממוצע יהיה יותר‬
‫מ‪?₪ 7211 -‬‬
‫‪ .11‬מטילים קובייה ‪ 21‬פעמים בכל פעם מתבוננים בתוצאה של הקובייה‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות ‪ 0.85‬ב‪ 21 -‬ההטלות?‬
‫‪ .15‬אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של ‪ 81‬ס"מ וסטיית תקן של ‪ 11‬ס"מ ‪.‬‬
‫א‪ .‬נלקחו באקראי ‪ 111‬מוטות‪ ,‬מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין ‪ 37‬ל ‪ 87‬ס"מ?‬
‫ב‪ .‬יש לחבר ‪ 5‬בניינים באמצעות מוטות‪ .‬המרחק בין שני הבניינים הינו ‪ 8511‬ס"מ‪ .‬מה‬
‫ההסתברות ש ‪ 111‬המוטות יספיקו למלאכה?‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי‪ ,‬כדי שבהסתברות של ‪ 2%‬ממוצע המדגם יהיה‬
‫קטן מ‪ 30-‬ס"מ‪ .‬העזר במשפט הגבול המרכזי‪.‬‬
‫‪ .10‬נתון משתנה מקרי בדיד בעל פונקצית ההסתברות הבאה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪P(X‬‬
‫¼‬
‫¼‬
‫¼‬
‫¼‬
‫מתוך התפלגות זו נלקח מדגם מקרי בגודל ‪ . 21‬מה הסיכוי שממוצע המדגם יהיה קטן מ‪?2 -‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪12‬‬
‫‪ .14‬נתון ש ) ‪N (  ,  2‬‬
‫_‬
‫‪ X‬דגמו ‪ 2‬תצפיות מאותה התפלגות והתבוננו בממוצע המדגם ‪X :‬‬
‫_‬
‫לכן ) ‪ P( X  ‬יהיה ‪ ( :‬בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪1 .‬‬
‫ב‪1.2 .‬‬
‫ג‪1 .‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן לדעת‪.‬‬
‫‪ .12‬נתון ש ‪ X‬מתפלג כלשהו עם תוחלת ‪  :‬ושונות ‪.  2‬‬
‫החליטו לבצע מדגם בגודל ‪ 511‬מתוך ההפלגות הנתונה לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים ש‪:‬‬
‫(בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪) .‬‬
‫ב‪) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪200‬‬
‫‪2‬‬
‫‪200‬‬
‫‪N ( ,‬‬
‫‪X‬‬
‫‪N ( ,‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪N (  ,  2 ) .‬‬
‫ד‪) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪200‬‬
‫_‬
‫‪X‬‬
‫‪N ( ,‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .13‬נתון ש ) ‪N (  ,  2‬‬
‫‪ . X‬אם נדגום ‪ n‬תצפיות מתוך ההתפלגות ונגדיר‬
‫‪ Xi‬‬
‫‪ X  i 1‬אזי ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫(בחר בתשובה הנכונה)‬
‫א‪  .‬ו‪ X -‬יהיו משתנים מקריים‪.‬‬
‫ב‪  .‬יהיה משתנה מקרי ו ‪ X‬קבוע‪.‬‬
‫ג‪ X .‬יהיה משתנה מקרי ו ‪ ‬קבוע‪.‬‬
‫ד‪  .‬ו ‪ X‬יהיו קבועים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪13‬‬
‫‪ .18‬משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע ‪ 111‬גרם ‪ .‬החפיסות נארזות בקרטון‬
‫המכיל ‪ 03‬חפיסות שוקולד אקראיות‪ .‬ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד‬
‫בקרטון יהיה מעל ‪ 00‬גרם הוא ‪.1.0005‬‬
‫א‪ .‬מהי סטיית התקן של משקל חפיסת שוקולד בודדת?‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי שמתוך ‪ 4‬קרטונים בדיוק קרטון אחד יהיה עם משקל ממוצע לחפיסה הנמוך‬
‫מ‪ 111-‬גרם?‬
‫‪ .17‬משתנה מקרי כלשהו מתפלג עם סטיית תקן של ‪ .51‬מה הסיכוי שאם נדגום ‪ 111‬תצפיות בלתי‬
‫תלויות מאותה התפלגות אזי ממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בפחות מ‪?5-‬‬
‫‪ .10‬מספר המכוניות הנכנסות לחניון "בציר " במשך היום מתפלג פואסונית עם קצב של מכונית‬
‫אחת לדקה‪ .‬שומר מסר נתונים על מספר המכוניות שנכנסות בכל שעה לגבי ‪ 41‬שעות שאסף‬
‫נתונים‪ .‬מה ההסתברות שממוצע מספר המכוניות שנכנסו לחניון לשעה בשעות אלה יהיה‬
‫לפחות ‪?30‬‬
‫‪ .51‬הוכיחו שאם משתנה מתפלג כלשהו עם תוחלת ‪ ‬ושונות ‪  2‬ומבצעים מדגם בגודל ‪ n‬של‬
‫תצפיות בלתי תלויות מהמשתנה ‪ ,‬אזי מתקיימות התכונות הבאות לגבי ממוצע המדגם‪:‬‬
‫‪E( x )  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V (x ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪14‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪1.12 1.0 1.02 1.52 1.12 P(x‬‬
‫ב‪  2.05   0.9475   0.973 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪  2.05   0.2369 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ( X )  0.486‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪  3.5‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ( X )  1.21‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪1.7410 .‬‬
‫ב‪1.1110 .‬‬
‫ג‪1 .‬‬
‫ד‪1.1084 .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫א‪1.1432 .‬‬
‫ב‪58.81 .‬‬
‫ג‪1.5357 .‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫א‪1 .‬‬
‫ב‪1.1278 .‬‬
‫ג‪1.1278 .‬‬
‫ד‪1.2 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪15‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫א‪1.2437 .‬‬
‫ב‪1.3753 .‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪51‬‬
‫‪01‬‬
‫)‪1.2 1.52 1.52 P(x‬‬
‫ב‪ .‬התוחלת‪55.2 :‬‬
‫השונות‪37.82 :‬‬
‫ג‪ .‬התוחלת‪55.2 :‬‬
‫השונות‪10.82 :‬‬
‫ד‪1.7008 .‬‬
‫שאלה ‪10‬‬
‫‪1.1482‬‬
‫שאלה ‪11‬‬
‫‪1.1714‬‬
‫שאלה ‪12‬‬
‫א‪1.0885 .‬‬
‫ב‪1.1557 .‬‬
‫ג‪581 .‬‬
‫שאלה ‪14‬‬
‫התשובה ב‬
‫שאלה ‪11‬‬
‫התשובה ד‬
‫שאלה ‪16‬‬
‫התשובה ג‬
‫שאלה ‪17‬‬
‫א‪5.450 .‬‬
‫ב‪1.52 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪16‬‬
‫התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי‬
‫רקע‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫כעת נדון בסטטיסטי המבטא את סכום התצפיות במדגם ‪T   X i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כאשר כל התצפיות נדגמו באקראי מאותה אוכלוסייה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬היו ‪ - X1 , . . . , X n‬משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה שתוחלתה ‪‬‬
‫ושונותה ‪  2‬אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬התוחלת והשונות של סכום התצפיות‪:‬‬
‫‪E (T )  n‬‬
‫‪V (T )  n 2‬‬
‫ב‪ .‬דגימה מתוך התפלגות נורמלית‪:‬‬
‫) ‪T ~ N (n , n 2‬‬
‫אם ) ‪X ~ N (  ,  2‬‬
‫אזי‬
‫‪T  n‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪Z‬‬
‫ג‪ .‬משפט הגבול המרכזי ‪:‬‬
‫אם ‪ x‬מתפלג כלשהו וידוע‬
‫‪E( X )  ‬‬
‫‪V (X )   2‬‬
‫אזי עבור מדגם מספיק גדול (לפחות ‪)01‬‬
‫) ‪T ~ N (n, n 2‬‬
‫דוגמה‪ ( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫בעיר מסוימת המשכורת הממוצעת של עובד הינה ‪ .₪ 7111‬עם סטיית תקן של ‪ .₪ 5111‬נדגמו‬
‫‪ 111‬עובדים מהעיר שמפקידים את משכורותיהם לסניף בנק‪.‬‬
‫א‪ .‬מה התוחלת וסטיית התקן של סך המשכורות שיופקדו לסניף הבנק על ידי העובדים הללו?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שלסניף יופקד פחות מ‪ 871-‬אלף ‪ ₪‬ע"י אותם עובדים? ( ‪) 1.1278‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪17‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬המשקל באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 31‬ק"ג וסטיית תקן של‬
‫‪ 11‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הסיכוי שאדם אקראי מהאוכלוסייה ישקול מתחת ל‪ 32-‬ק"ג?‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי שהמשקל הממוצע של ‪ 4‬אנשים אקראיים יהיה מתחת ל‪ 32-‬ק"ג?‬
‫ג‪ .‬מה הסיכוי שהמשקל הכולל של ‪ 4‬אנשים אקראיים יהיה מתחת ל‪ 541-‬ק"ג?‬
‫‪ .5‬נפח יין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 821‬מ"ל וסטיית תקן של ‪ 51‬מ"ל‪ .‬אדם‬
‫קנה מארז של ‪ 4‬בקבוקי יין‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של נפח היין במארז?‬
‫ב‪ .‬את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו ‪ 0.1‬ליטר‪ .‬מה ההסתברות שהיין יגלוש‬
‫מהכלי?‬
‫ג‪ .‬אם לא היה נתון שנפח היין מתפלג נורמאלית‪ .‬האם התשובה לסעיף א הייתה משתנה?‬
‫האם התשובה לסעיף ב הייתה משתנה?‬
‫‪ .0‬בספר כלשהו ‪ 211‬עמודים‪ .‬קצב הקריאה הממוצע הוא עמוד אחד ב ‪ 4‬דקות עם סטיית‬
‫תקן של ‪ 1‬דקות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לסיים את הפרק הראשון (‪ 41‬עמודים) תוך שעתיים וחצי?‬
‫ב‪ .‬מהו האחוזון ה‪ 02-‬לזמן סיום קריאת הספר?‬
‫‪ .4‬במגדל נבנו ‪ 41‬יחידות דיור‪ .‬כמו כן נבנו ‪ 102‬מקומות חנייה לבניין‪ .‬להלן פונקצית‬
‫ההסתברות של מספר המכוניות ליחידת דיור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.12‬‬
‫‪1.52‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪P X  x ‬‬
‫נניח שמספר המכוניות ליחידת דיור בלתי תליות זו בזו ועם אותה פונקצית הסתברות לכל‬
‫יחידת דיור ( אין צורך בתיקון רציפות)‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה מקום בחניון המגדל לכל מכוניות הבניין ?‬
‫ב‪ .‬בהינתן ויש מקום במגדל לכל המכוניות ‪ ,‬מה הסיכוי שבפועל מספר המכוניות נמוך מ‪-‬‬
‫‪?101‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪18‬‬
‫‪ .2‬בקזינו ישנה רולטה עליה מסומנים המספרים הבאים‪:‬‬
‫אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם האדם משחק את המשחק ‪ 21‬פעמים מה ההסתברות שבסך הכול יזכה בסכום של‬
‫‪1121‬‬
‫שקלים ומעלה?‬
‫ב‪ .‬האדם מגיע בכל יום לקזינו ומשחק את המשחק ‪ 21‬פעם עד אשר מגיע היום בו הוא‬
‫יזכה‬
‫ב‪ 1121 -‬שקלים ומעלה‪ .‬מה התוחלת ומהי השונות של מספר הימים שיבלה בקזינו?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪19‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪1.3012 .‬‬
‫ב‪1.7410 .‬‬
‫ג‪1.2 .‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬תוחלת ‪ 0111‬מ"ל וסטיית תקן ‪ 41‬מ"ל‬
‫ב‪.1.1135 .‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪1.770 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪1.7008 .‬‬
‫ב‪ .‬תוחלת ‪ 1.111 :‬שונות ‪1.1500‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪21‬‬
‫התפלגות מספר ההצלחות במדגם ‪ -‬הקרוב הנורמלי להתפלגות הבינומית‬
‫רקע‪:‬‬
‫תזכורת על התפלגות בינומית‬
‫בפרק זה נדון על התפלגות מספר ההצלחות במדגם אקראי ( תצפיות בלתי תלויות זו בזו)‪.‬‬
‫מספר ההצלחות במדגם נסמן ב –‪.Y‬‬
‫מחלקים כל תצפית במדגם להצלחה או כישלון‪.‬‬
‫כעת מה שמשתנה מתצפית לתצפית הוא משתנה דיכוטומי ( משתנה שיש לו שני ערכים)‪.‬‬
‫תצפית‬
‫הצלחה‬
‫כישלון‬
‫הסיכוי להצלחה יסומן עם הפרמטר ‪ p‬וכישלון יסומן ע"י הפרמטר ‪. q  1  p‬‬
‫מבצעים מדגם אקראי בגודל ‪. n‬‬
‫)‪Y ~ B(n, p‬‬
‫פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית היא ‪:‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪ p q‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪p( y  k ) ‬‬
‫תוחלת ‪E ( y)  np :‬‬
‫שונות‪V ( y)  npq :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪21‬‬
‫קירוב נורמלי עבור התפלגות בינומית‬
‫אם לפנינו התפלגות בינומית ‪ Y ~ B(n, p) :‬ומתקיים ש ‪:‬‬
‫‪n  p  5 .1‬‬
‫‪n  (1  p)  5 .5‬‬
‫)‪y ~ N ( np, npq‬‬
‫אז ‪:‬‬
‫‪y  np‬‬
‫‪npq‬‬
‫‪Z ‬‬
‫‪y‬‬
‫תיקון רציפות‪:‬‬
‫כאשר משתמשים בקירוב הנורמלי להתפלגות הבינומית יש לבצע תיקון רציפות ‪.‬‬
‫הסיבה שעוברים כאן מהתפלגות בדידה להתפלגות נורמלית שהיא התפלגות רציפה‪.‬‬
‫על פי הכללים הבאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Y  a  ) .1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p(Y  a)  p(a ‬‬
‫‪P(Y  a)  P(Y  a  0.5) .5‬‬
‫‪P(Y  a)  P(Y  a  0.5) .0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪22‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫התנאים למעבר מבינומי לנורמלי הם נזילים‪ ,‬כלומר משתנים ממרצה אחד לשני‪ .‬התנאי‬
‫שהצגתי כאן הוא הפופולרי ביותר‪:‬‬
‫‪n  p  5 .1‬‬
‫‪n  (1  p)  5 .5‬‬
‫‪‬‬
‫ישנם מרצים שנותנים את התנאי המחמיר הבא‪:‬‬
‫‪n  p  10 .1‬‬
‫‪n  (1  p)  10 .5‬‬
‫‪‬‬
‫וישנם מרצים שפשוט התנאי שהם נותנים הוא ‪.  n  30  :‬‬
‫‪‬‬
‫תאלצו לבדוק מהו התנאי שנתנו לכם בכיתה כדי לעבור מהתפלגות בינומית לנורמלית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הערה נוספת היא לגבי תיקון רציפות‪ .‬ישנם מרצים שלא מחייבים לבצע תיקון רציפות‬
‫שהמדגמים גדולים ( בדרך כלל מעל ‪ 111‬תצפיות) אני בפתרונות שאציג תמיד אבצע תיקון‬
‫רציפות במעבר מבינומי לנורמלי כיוון שכך הפתרון יהיה יותר מדויק ( בכל מקרה‬
‫שהמדגמים גדולים העניין זניח)‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬הפתרון בהקלטה )‬
‫נתון שבקרב אוכלוסיית הנוער ‪ 52%‬זקוקים למשקפיים‪ .‬נדגמו באקראי ‪ 47‬בני נוער‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הסיכוי שבדיוק ‪ 14‬מתוכם יהיו זקוקים למשקפיים?‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי שלכל היותר ‪ 10‬מתוכם זקוקים למשקפיים?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪23‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫נתון ש‪ 51%-‬מאוכלוסייה מסוימת אקדמאית‪ .‬נבחרו באקראי ‪ 11‬אנשים באותה אוכלוסייה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות ששלושה מהם אקדמאים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם אקדמאי?‬
‫ג‪ .‬מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר האקדמאים במדגם?‬
‫‪.5‬‬
‫במפעל ‪ 11%‬מהמוצרים פגומים‪ .‬נלקחו ‪ 111‬מוצרים באקראי מקו הייצור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שנדגמו לפחות ‪ 3‬מוצרים פגומים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים יהיה לכל היותר ‪ 11‬במדגם?‬
‫‪ .0‬ציוני פסיכומטרי בקרב הנרשמים למוסד מסוים מתפלגים נורמאלית עם ממוצע ‪ 211‬וסטיית‬
‫תקן ‪ .111‬למוסד מסוים הוחלט לקבל אך ורק סטודנטים שקיבלנו מעל ‪ 311‬בפסיכומטרי‪111 .‬‬
‫סטודנטים אקראיים נרשמו למוסד‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 51‬יתקבלו?‬
‫‪ .4‬מטילים מטבע ‪ 21‬פעמים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל לכל היותר ‪ 01‬עצים?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל ‪ 57‬עצים לפי התפלגות הבינומית ולפי הקירוב הנורמאלי?‬
‫‪ .2‬במטוס מקום ל‪ 411-‬נוסעים‪ .‬נרשמו לטיסה ‪ 401‬אנשים (‪ .)overbooking‬מנתונים סטטיסטיים‬
‫ידוע שהסיכוי שאדם שנרשם לטיסה אכן יגיע הוא ‪.1.0‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שלא יהיו מקומות ישיבה לכל האנשים שהגיעו לטיסה?‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות גודל המטוס כדי שבסיכוי שלפחות ‪ 02%‬המטוס יספיק לכמות הנרשמים?‬
‫‪ .3‬מפעל לייצור ארטיקים טוען ש הסיכוי שארטיק שהוא מייצר יהיה פגום הוא ‪ . 1.11‬מוכר‬
‫הזמין ‪ 1111‬ארטיקים מהמפעל ‪ .‬מה ההסתברות שהמוכר יקבל לפחות ‪ 071‬ארטיקים תקינים‬
‫אם טענת המפעל מוצדקת ?‬
‫‪ .8‬מהמר מטיל קובייה הוגנת ‪ 111‬פעמים‪ .‬בכל הטלה‪ ,‬אם מתקבל תוצאה זוגית בקובייה המהמר‬
‫זוכה בשקל‪ .‬אחרת‪ ,‬המהמר משלם שקל‪ .‬המהמר הטיל את הקובייה ‪ 111‬פעמים מה הסיכוי‬
‫שהרווח של המהמר יהיה לכל היותר ‪? 11‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪24‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪1.511 .‬‬
‫ב‪1.0827 .‬‬
‫ג‪ .‬התוחלת ‪ ,5 :‬סטיית התקן ‪1.5340 :‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪1.0005 .‬‬
‫ב‪1.3012 .‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪1.1311‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪1.0413 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪1.112 .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪0.9996‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪1.7340‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪25‬‬
‫התפלגות פרופורציית ההצלחות במדגם‬
‫רקע‪:‬‬
‫בפרק זה נדון על התפלגות הדגימה של פרופורציית המדגם‪.‬‬
‫‪ -Y‬מספר ההצלחות במדגם (למשל ‪ ,‬מספר המובטלים במדגם)‬
‫‪ y‬‬
‫‪ - p ‬פרופורציית ההצלחות במדגם ( למשל ‪ ,‬שיעור המובטלים במדגם )‬
‫‪n‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪n  200‬‬
‫מספר המובטלים ‪Y  20 :‬‬
‫‪ 20‬‬
‫‪p‬‬
‫פרופורציית המובטלים במדגם ‪ 0.1‬‬
‫‪200‬‬
‫נסמן ב‪ p -‬את שיעור ההצלחה באוכלוסייה וב‪ q -‬את שיעור הכישלונות באוכלוסייה‪.‬‬
‫נבצע מדגם מקרי ( הנחה שהתצפיות בלתי תלויות זו בזו) ונתבונן בהתפלגות של פרופורציית‬
‫המדגם‪.‬‬
‫התוחלת ‪ ,‬השונות וסטיית התקן של פרופורציית המדגם‪:‬‬
‫‪E ( Pˆ )  p‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪V ( Pˆ ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪ ( pˆ ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫משפט הגבול המרכזי עבור הפרופורציה המדגמית ‪:‬‬
‫‪pq‬‬
‫אם ‪ np  5 & nq  5‬אזי )‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪p p‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p ~ N ( p,‬‬
‫‪Z p ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪26‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ ‬התנאים לקרוב הנורמאלי הם נזילים‪ ,‬כלומר משתנים ממרצה אחד לשני‪ .‬התנאי שהצגתי כאן‬
‫הוא הפופולרי ביותר‪:‬‬
‫‪n  p  5 .1‬‬
‫‪n  (1  p)  5 .5‬‬
‫‪ ‬ישנם מרצים שנותנים את התנאי המחמיר הבא‪:‬‬
‫‪n  p  10 .1‬‬
‫‪n  (1  p)  10 .5‬‬
‫‪ ‬וישנם מרצים המשתמשים בתנאי ‪.  n  30  :‬‬
‫‪ ‬תאלצו לבדוק מהו התנאי שנתנו לכם בכיתה כדי לעבור לנורמלית‪.‬‬
‫‪ ‬כיוון שפרופורציה אינה חייבת להיות מספר שלם בהכרח לא נהוג לבצע כאן תיקון רציפות‪.‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫לפי נתוני משרד החינוך בעיר ירושלים ל‪ 31%-‬מתלמידי התיכון זכאים לתעודת בגרות‪.‬‬
‫נדגמו ‪ 511‬תלמידי תיכון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהשכיחות היחסית ) ‪ ( p‬של הזכאים לבגרות במדגם תעלה על ‪?31%‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שפרופורציית הזכאים לבגרות במדגם תעלה על ‪?81%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪27‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬במדינה מסוימת ‪ 11%‬מכלל האוכלוסייה הינם מובטלים‪ .‬נדגמו באקראי ‪ 141‬אנשים‬
‫מהמדינה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה התוחלת ומהי השונות של פרופורציות המובטלים שנדגמו?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שבמדגם לפחות ‪ 11%‬יהיו מובטלים?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שלכל היותר ‪ 0%‬מהמדגם יהיו מובטלים?‬
‫‪ .5‬נניח כי ‪ 01%‬מהאוכלוסייה תומכים בהצעת חוק מסוימת‪ .‬אם נדגום מהאוכלוסייה ‪ 511‬איש‪.‬‬
‫חשבו את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬לפחות ‪ 02%‬יתמכו בהצעת החוק במדגם‪.‬‬
‫ב‪ .‬לכל היותר ‪ 52%‬יתמכו בהצעת החוק במדגם‪.‬‬
‫ג‪ .‬יותר מ – ‪ 58%‬יתמכו בהצעת החוק במדגם‪.‬‬
‫‪ .0‬לפי נתוני משרד התקשורת ‪ 41%‬מהאוכלוסייה מחזיקים בטלפון נייד מסוג "סמארטפון"‪.‬‬
‫נדגמו ‪ 411‬אנשים מהאוכלוסייה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שבמדגם לכל היותר ל ‪ 41%‬יש סמארטפון?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שבמדגם לרוב יש סמאטרפון?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שפרופורציית בעלי הסמרטפון במדגם תסטה מהפרופורציה באוכלוסייה‬
‫בלא יותר‬
‫מ‪?4%-‬‬
‫ד‪ .‬כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם?‬
‫‪ .4‬נתון כי ‪ 71%‬מבתי האב מחוברים לאינטרנט‪ .‬נדגמו ‪ 411‬בתי אב אקראיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שלפחות ‪ 041‬מהם מחוברים לאינטרנט?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שפרופורציית המחוברים לאינטרנט במדגם תסטה מהפרופורציה האמתית‬
‫ביותר‬
‫מ‪?4%-‬‬
‫ג‪ .‬כמה בתי אב יש לדגום כדי שהסטייה בין הפרופורציה המדגמית לפרופורציה האמתית לא‬
‫תעלה‬
‫על ‪ 0%‬בהסתברות של ‪?01%‬‬
‫ד‪ .‬מהו העשירון התחתון של התפלגות פרופורציית המדגם?‬
‫‪ .2‬נתון שציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם תוחלת ‪ 211‬וסטיית תקן ‪ .111‬ל"מועדון ה‪-‬‬
‫‪ "811‬נכללים נבחנים שמקבלים ציון מעל ‪ 811‬בפסיכומטרי‪ .‬מה הסיכוי שבמועד בו נבחנו‬
‫‪ 5111‬נבחנים אקראיים יהיו לפחות ‪ 0%‬המשתייכים למועדון?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪28‬‬
‫‪ .3‬נתון ש )‪B(n, p‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪. Pˆ ‬‬
‫‪ X‬נגדיר את המשתנה הבא ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכיחו ש‪:‬‬
‫‪E ( Pˆ )  p‬‬
‫) ‪V ( Pˆ )  P (1 P‬‬
‫‪n‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה ‪ p‬המביא את ) ˆ‪ V ( P‬להיות במקסימום?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪29‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬התוחלת‪ ,1.1 :‬השונות‪1.11134 :‬‬
‫ב‪1.2 .‬‬
‫ג‪1.0443 .‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪1.1317 .‬‬
‫ב‪1.1317 .‬‬
‫ג‪1.7507 .‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪1.2 .‬‬
‫ב‪1 .‬‬
‫ג‪1.7037 .‬‬
‫ד‪ .‬גדלה‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪1.1135 .‬‬
‫ב‪1.1423 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪31‬‬
‫פרק ‪ - 3‬אי שוויונים הסתברותיים‬
‫אי שוויון צ'ביצ'ב‬
‫‪.1‬‬
‫מצא חסמים להסתברויות הבאות עבור משתנה מקרי רציף בעל תוחלת ‪ 7‬וסטית תקן ‪. 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪p(2  x  14‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪p( x  8  9‬‬
‫‪.5‬‬
‫מתוך קו יצור של רכיבים שאורכם הממוצע הנו ‪ 11‬ס"מ ושונותם ‪ 0‬סמ"ר‪ .‬יש לקחת מדגם‪ .‬מהו גודל‬
‫המדגם שיבטיח שבהסתברות של ‪ 1.0‬לפחות ימצא ממוצע המדגם בין ‪ 0‬ל‪ -11‬ס"מ?‬
‫‪.0‬‬
‫אחוז התומכים במפלגה מסוימת הנו ‪ . 41%‬נלקח מדגם מקרי בגודל ‪. 511‬‬
‫תן חסם תחתון לכך שאחוז התומכים במדגם יהיה בין ‪ 02%‬ל – ‪. 42%‬‬
‫‪.4‬‬
‫מספר המטוסים המגיעים לנמל תעופה ב ‪ 51‬דקות מתפלג התפלגות פואסונית עם תוחלת‬
‫של ‪ . 111‬העזר באי שוויון צ'ביצ'ב כדי למצוא גבול תחתון להסתברות שמספר המטוסים‬
‫המגיעים בתקופה בת ‪ 51‬דקות נתונה תהיה בין ‪ 71‬ל‪.151‬‬
‫‪.2‬‬
‫בוחרים מספר ‪ n‬ספרתי באופן מקרי‪( .‬הספרה ראשונה יכולה להיות ‪)1‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ : n  10‬הערך את ההסתברות שממוצע הספרות במספר יסטה מתוחלתו‬
‫בלפחות ‪.1‬‬
‫ב‪ .‬מה אורך המספר המינימלי (‪ )n‬שיבטיח שבהסתברות של ‪ ,02%‬ממוצע הספרות‬
‫‪.‬יסטה מתוחלתו בפחות מ‪?1.82-‬לפי אי‪-‬שוויון צ'בישב‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר מסוימת ל ‪ 2%‬מהמשפחות אין מכונית ‪ ,‬ל‪ 51%-‬יש מכונית אחת ‪,‬ל‪ 02% -‬יש שתי‬
‫מכוניות‪,‬ל‪ 01% -‬שלוש מכוניות וליתר ארבע מכוניות‪ .‬נניח שמספר המשפחות ביישוב‬
‫הוא גדול מאד‪ .‬הערך את ההסתברות שמספר המכוניות הכולל בעשר משפחות יהיה‬
‫לפחות ‪ 18‬ולכל היותר ל‪. 58-‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪31‬‬
‫תשובות סופיות ‪ -‬אי שוויונים הסתברותיים‬
‫אי שוויון צ'ביצ'ב‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬בין ‪ 0/4‬ל‪1 -‬‬
‫לפחות ‪01‬‬
‫ב‪ .‬בין ‪ 1‬ל‪1/0 -‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪1.25‬‬
‫‪1.82‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1.752‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪504‬‬
‫‪1.813‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ - 4‬מושגים בסיסיים באמידה‬
‫רקע‪:‬‬
‫כזכור מהמפגש הקודם פרמטר הוא גודל המתאר את האוכלוסייה או התפלגות מסוימת‪.‬‬
‫כמו ממוצע הגבהים בקרב מתגייסים לצה"ל‪.  -‬‬
‫כמו פרופורציית התומכים בממשלה בקרב אזרחי המדינה ‪. p -‬‬
‫בדרך כלל הפרמטרים הם גדלים שאינם ידועים באמת ‪ ,‬ולכן מבצעים מדגמים במטרה לאמוד‬
‫אותם‪ .‬אין אפשרות לחשב אותם הניסיון הוא בלהעריך כמה הם שווים ככל שניתן‪.‬‬
‫‪ ‬נסמן באופן כללי פרמטר באות ‪ θ‬ואומד ב‪ ˆ . ˆ -‬הוא סטטיסטי המחושב על המדגם‬
‫ובאמצעותו נאמוד את ‪.θ‬‬
‫‪ ‬שגיאת אמידה‪ - ˆ   :‬ההפרש בין האומד לאמת(הפרמטר)‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫בכנסת ה‪ 10 -‬קיבלה מפלגת העבודה ‪ 12‬מנדטים‪ .‬בערוץ ‪ 11‬ברגע סגירת הקלפיות העריכו את‬
‫מספר המנדטים של המפלגה להיות ‪ 18‬מנדטים וזאת על סמך תוצאות מדגם של הערוץ‪.‬‬
‫מה הפרמטר בדוגמה זו?‬
‫מהי טעות האמידה של ערוץ ‪?11‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ ‬יהיה אומד חסר הטיה ל ‪ θ‬אם התוחלת של ˆ‪ ‬תהיה שווה ל ‪E (ˆ)   : θ‬‬
‫‪ ‬טעות התקן של אומד היא סטיית התקן שלו ‪ ,‬כלומר ‪ (ˆ)  S.E :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪33‬‬
‫להלן פרמטרים מרכזיים והאומדים שלהם‪:‬‬
‫ממוצע האוכלוסייה‪ :‬‬
‫האומד הנקודתי שלו יהיה ‪ :‬ממוצע המדגם‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ E (x )  ‬לכן ‪ x‬הינו אומר חסר הטיה ל ‪. ‬‬
‫כמו כן טעות תקן‪ SE :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (x ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫פרופורציה באוכלוסייה‪p :‬‬
‫‪y‬‬
‫האומד הנקודתי שלו יהיה‪ :‬פרופורציה במדגם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫‪ E ( pˆ )  p‬לכן ˆ‪ p‬הינו אומר חסר הטיה ל ‪. p‬‬
‫)‪p  (1  p‬‬
‫כמו כן טעות התקן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ( Pˆ ) ‬‬
‫שונות האוכלוסייה‪ 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫האומד הנקודתי שלו יהיה ‪:‬‬
‫) ‪ (x  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ E ( S )  ‬ולכן ‪ S 2‬הינו אומד חסר הטיה ל ‪.  2‬‬
‫‪ nx 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (x  x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪S2 ‬‬
‫הערה‪ :‬אומד הוא הנוסחה הכללית לאמידת הפרמטר ואומדן הוא הערך הספציפי שהתקבל‬
‫במדגם מסוים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪34‬‬
‫דוגמה‪ ( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫נדגמו ‪ 11‬משפחות בתל אביב ונבדק עבור כל משפחה מספר הילדים שלה‪ .‬להלן התוצאות‬
‫שהתקבלו‪:‬‬
‫‪5,1,0,5,1,4,2,5,1,0‬‬
‫אמדו באמצעות אומדים חסרי הטיה את הפרמטרים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬ממוצע מספר הילדים למשפחה בתל אביב‪.‬‬
‫‪ .5‬שונות מספר הילדים למשפחה בתל אביב‪.‬‬
‫‪ .0‬פרופורציית המשפחות בנות שני ילדים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪35‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך ‪ 211‬טירונים נמצאו ‪ 151‬בעלי שברי הליכה‪ .‬נתון שהסיכוי שטירון יהיה עם שבר הליכה‬
‫הוא ‪.1.52‬‬
‫א‪ .‬מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה ? מהם הפרמטרים שלה?‬
‫ב‪ .‬מהי טעות התקן של האומד כשהמדגם בגודל ‪?211‬‬
‫ג‪ .‬מהו האומדן לפרמטר?‬
‫ד‪ .‬מהי טעות האמידה?‬
‫‪ .5‬לפי נתוני היצרן מקרר צורך בממוצע ‪ 5411‬וואט לשעה עם סטיית תקן של ‪ 211‬וואט לשעה ‪.‬‬
‫במדגם של ‪ 52‬מקררים של היצרן התקבל ממוצע של ‪ 5045‬וואט לשעה‪.‬‬
‫א‪.‬מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה ? מהם הפרמטרים שלה?‬
‫ב‪.‬מהי טעות התקן של האומד?‬
‫ג‪ .‬מהו האומדן לפרמטר?‬
‫ד‪ .‬מהי טעות האמידה?‬
‫‪ .0‬נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל‪ .‬גובהם נמדד בס"מ‪ .‬להלן התוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫‪ 188 ,137 ,178 ,188 ,171 ,181 ,105 ,174 ,137‬ו‪.182-‬‬
‫א‪ .‬מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות ‪ 171‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .4‬נדגמו ‪ 51‬שכירים באקראי‪ .‬עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים‪ .‬להלן התוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫‪ 162‬‬
‫‪X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪.  X  1502.2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק‪.‬‬
‫ב‪ .‬אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪36‬‬
‫‪ .2‬במטרה לאמוד את ממוצע האוכלוסייה‪ .‬דגמו תצפיות בלתי תלויות מהאוכלוסייה וחישבו את‬
‫הממוצע שלהם‪ .‬מהי טעות התקן?‬
‫א‪ .‬סטיית התקן של האוכלוסייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סטיית התקן של ממוצע האוכלוסייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סטיית התקן של המדגם‪.‬‬
‫ד‪ .‬סטיית התקן של ממוצע המדגם‪.‬‬
‫‪ .3‬משקל הממוצע של אוכלוסייה מסוימת הוא ‪ 82‬ק"ג עם שונות של ‪ . 52‬אם יבחרו כל המדגמים‬
‫האפשריים בגודל ‪ 11‬מאוכלוסייה זו סטיית התקן של ממוצעי המדגמים תהייה‪:‬‬
‫א‪0.‬‬
‫ב‪5.2.‬‬
‫ג‪1.271 .‬‬
‫ד‪.‬אין מספיק נתונים לדעת‪.‬‬
‫‪ .8‬במדגם מקרי‪ ,‬מתי סכום ריבועי הסטיות מהממוצע‪ x) 2 ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ (x‬‬
‫‪ ,‬מחולק ב‪? n  1 -‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬כאשר ‪ n‬קטן‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר תצפיות המדגם אינן בלתי תלויות ‪.‬‬
‫ג‪ .‬כאשר האוכלוסייה אינה מתפלגת נורמאלית‪.‬‬
‫ד‪ .‬כאשר מעוניינים באומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ממנה הוצא המדגם‪.‬‬
‫ה‪ .‬כאשר מעוניינים לחשב את שונות התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם‪.‬‬
‫‪ X1, X2 , . . . . . . , X16 .7‬מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת ממוצע ‪ ‬לא ידוע ושונות‬
‫‪ .  2  64‬טעות התקן של האומד ל‪  -‬היא‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪37‬‬
‫‪ .0‬מהו אומד חסר הטיה?‬
‫א‪ .‬אומד שערכו שווה לממוצע התפלגות הדגימה שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬אומד שערכו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬אומד שממוצע התפלגות הדגימה שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אומד שהסיכוי שערכו יהיה גבוה מערך הפרמטר באוכלוסייה שווה לסיכוי שיהיה‬
‫נמוך ממנו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪38‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪188.0 .‬‬
‫ב‪34.1 .‬‬
‫ג‪1.4 .‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪7.1 .‬‬
‫ב‪0.13 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫התשובה היא ד‪.‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫התשובה היא ג‪.‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫התשובה היא ד‪.‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫התשובה היא ד‪.‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫התשובה היא ג‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪39‬‬
‫פרק ‪ - 2‬רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה)‬
‫רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫ממוצע המדגם הוא אומד לממוצע האוכלוסייה ‪ ,‬אך לא באמת ניתן להבין ממנו על גודלו של‬
‫ממוצע האוכלוסייה‪ .‬ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בדיוק כמו הממוצע האמתי הוא אפסי‪.‬‬
‫מה שנהוג לעשות כדי לאמוד את ממוצע האוכלוסייה זה לבנות רווח סמך ‪.‬‬
‫נבנה מרווח בטחון שהסיכוי שהפרמטר ‪ ‬ייכלל בתוכו הוא ‪.1-α‬‬
‫‪ : 1-α‬נקרא רמת בטחון או רמת סמך‪.‬‬
‫כך ש‪P( A    B)  1   :‬‬
‫‪ -A‬גבול התחתון של רווח הסמך‬
‫‪ -B‬הגבול העליון של רווח הסמך‬
‫‪ - L  B  A‬אורך רווח הסמך‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫חוקר דגם ‪ 52‬חיילים שנבחנו במבחן הפסיכומטרי‪ .‬הוא בנה רווח סמך לממוצע הציונים במבחן‬
‫הפסיכומטרי בקרב אוכלוסיית החיילים וקיבל בין ‪ 211‬ל‪ .201 -‬רווח הסמך נבנה ברמת סמך של‬
‫‪.02%‬‬
‫מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫מה המשתנה באוכלוסייה?‬
‫מה הפרמטר שהחוקר רצה לאמוד?‬
‫מהו רווח הסמך?‬
‫מה אורך רווח הסמך?‬
‫מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪41‬‬
‫בפרק זה נרצה לבנות רווח סמך לתוחלת ( ‪ ) ‬במקרה ש ‪(  2‬שונות האוכלוסייה) ידועה‬
‫הפרמטר שנרצה לאמוד‪ :‬‬
‫האומד נקודתי‪x :‬‬
‫התנאים לבניית רווח הסמך‪:‬‬
‫‪ X ~ N 1‬או ‪n  30‬‬
‫‪(  2 5‬שונות האוכלוסייה) ידועה‬
‫הנוסחה לרווח הסמך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x Z‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫על פי נתוני היצרן אורך חיי סוללה מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ‪ 1‬שעה‪.‬‬
‫מעוניינים לאמוד את תוחלת חיי סוללה‪.‬‬
‫נדגמו באקראי ‪ 4‬סוללות‪ ,‬אורך החיים הממוצע שהתקבל הוא ‪ 10.2‬שעות‪.‬‬
‫בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לתוחלת אורך חיי סוללה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪41‬‬
‫שגיאת האמידה המקסימלית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪- ‬נותן את שגיאת האמידה המקסימלית‪ ,‬דבר שנקרא גם טעות סטטיסטית‪ ,‬טעות דגימה‪.‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫בהמשך לשאלה עם הסוללות ‪ .‬מה ניתן להגיד בביטחון של ‪ 02%‬על שגיאת האמידה?‬
‫קשרים מתמטיים ברווח הסמך‪:‬‬
‫‪ ‬אורך רווח הסמך הוא פעמיים שגיאת האמידה המקסימלית ‪. L  2 :‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪ ‬ממוצע המדגם נופל תמיד באמצע רווח הסמך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ‬ככל שמספר התצפיות )‪ (n‬גבוה יותר‪ ,‬כך יש יותר אינפורמציה ולכן האומד יותר מדויק‪ ,‬ולכן‬
‫נקבל רווח סמך יותר קצר‪.‬‬
‫‪ ‬ככל שרמת הביטחון ) ‪ (1  ‬גבוהה יותר כך ‪ z1‬יותר גבוה‪ ,‬ורווח הסמך יותר ארוך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪42‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪ .1‬חוקר התעניין לאמוד את השכר הממוצע במשק‪ .‬על סמך מדגם הוא קבע שבביטחון של ‪ 02%-‬כי‬
‫השכר הממוצע במשק נע בין ‪ 0511‬ל‪. 0711-‬‬
‫א‪ .‬מי האוכלוסייה במחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר שאותו רוצים לאמוד?‬
‫ד‪ .‬מה רווח הסמך לפרמטר?‬
‫ה‪ .‬מהי רמת הסמך לפרמטר?‬
‫ו‪ .‬מה אורך רווח הסמך?‬
‫ז‪ .‬מה הסיכוי שטעות הדגימה תעלה על ‪?₪ 011‬‬
‫‪ .5‬מעוניינים לאמוד את התפוקה היומית הממוצעת של מפעל מסוים ברמת סמך של ‪ .02%‬במדגם‬
‫אקראי של ‪ 111‬ימים התקבלה תפוקה ממוצעת ‪ 4021‬מוצרים ביום‪ .‬לצורך פתרון הנח שסטיית‬
‫התקן האמתית ידועה ושווה ‪ 121‬מוצרים ביום‪ .‬בנה את רווח הסמך‪.‬‬
‫‪ .0‬מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר‪ .‬מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג‬
‫נורמאלית עם סטיית תקן של ‪ 51‬שעות‪ .‬נדגמו ‪ 52‬מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם‬
‫היה ‪ 501‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 01%‬לאורך החיים הממוצע של מכשיר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לאורך החיים הממוצע של מכשיר‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך‪.‬‬
‫‪ .4‬דגמו ‪ 511‬עובדים מהמשק הישראלי‪ .‬השכר הממוצע שלהם היה ‪ .₪ 0811‬נניח שסטיית התקן של‬
‫השכר במשק היא ‪.₪ 0111‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02 %‬לתוחלת השכר במשק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ניתן לומר בביטחון של ‪ 02%‬על הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לתוחלת‬
‫השכר?‬
‫ג‪ .‬מה היה צריך להיות גודל המדגם אם הינו רוצים להקטין את רווח הסמך ב‪?21%‬‬
‫ד‪ .‬אם היינו מגדילים את גודל המדגם ובונים רווח סמך באותה רמת סמך האם היה ניתן‬
‫לטעון בביטחון רב יותר שרווח הסמך מכיל את הפרמטר?‬
‫‪ .2‬בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה‪ .‬ידוע שסטיית התקן היא ‪ 12‬והמדגם‬
‫מתבסס על ‪ 111‬תצפיות‪ .‬רווח הסמך שהתקבל הוא (‪ .)00,112‬שחזרו את ‪:‬‬
‫א‪ .‬ממוצע המדגם‪.‬‬
‫ב‪ .‬שגיאת האמידה המקסימאלית‪.‬‬
‫ג‪ .‬רמת הסמך‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪43‬‬
‫‪ .3‬זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים‪ .‬חברת תרופות מעוניינת לחקור‬
‫אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה‪ .‬במחקר השתתפו ‪ 31‬אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את‬
‫האנטיביוטיקה החדשה‪ .‬בממוצע הם החלימו לאחר ‪ 4‬ימים‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של‬
‫‪.01%‬‬
‫ב‪ .‬מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי ‪ ?4‬הסבירו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה‬
‫יותר? הסבירו‪.‬‬
‫‪ .8‬חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא‪. 82    92 :‬‬
‫נתון שסטיית התקן בהתפלגות שווה ל‪ 11-‬ושהמדגם מתבסס על ‪ 13‬תצפיות‪ .‬התפלגות‬
‫המשתנה היא נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו ממוצע המדגם?‬
‫ב‪ .‬מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה?‬
‫ג‪ .‬מה הסיכוי ששגיאת האמידה באמידת ממוצע האוכלוסייה תעלה על ‪? 2‬‬
‫‪ .7‬חוקר בנה רווח סמך לתוחלת כאשר השונות בהתפלגות ידועה ברמת סמך של ‪ .02%‬אם החוקר‬
‫כעת יבנה על סמך אותם נתונים רווח סמך ברמת סמך קטנה מ‪ ,02%-‬מי מהמשפטים הבאים אינו‬
‫יהיה נכון‪.‬‬
‫א‪ .‬אורך רווח הסמך החדש יהיה קטן יותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬גודל המדגם יהיה כעת קטן יותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬המרחק בין ממוצע המדגם לקצות רווח הסמך יהיו קטנים יותר ברווח הסמך החדש‪.‬‬
‫ד‪ .‬רמת הביטחון לבנות רווח הסמך החדש תהיה קטנה יותר‪.‬‬
‫‪ .0‬חוקר בנה רווח סמך ל‪  -‬וקיבל ‪ 48    54‬מה נכון בהכרח‪:‬‬
‫א‪  51.‬‬
‫ב‪X  6 .‬‬
‫ג‪X  51 .‬‬
‫ד‪ .‬אורך רווח הסמך הינו ‪.0‬‬
‫‪ .11‬איזה מהגורמים הבאים אינו משפיע על גודלו של רווח בר סמך‪ ,‬כאשר שונות‬
‫האוכלוסייה ידועה? (בחר בתשובה הנכונה)‬
‫א‪.‬רמת הביטחון‪.‬‬
‫ב‪ .‬סטיית התקן באוכלוסייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מספר המשתתפים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סטיית התקן במדגם‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪44‬‬
‫‪ .11‬חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא‪. 63    83 :‬‬
‫נתון שסטיית התקן בהתפלגות הייתה ידועה לו ושהמדגם התבסס על ‪ 41‬תצפיות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם החוקר היה רוצה לבנות רווח סמך באורך ‪ .11‬כמה תצפיות עליו היה לדגום?‬
‫ב‪ .‬רווח הסמך שנבנה על ידי החוקר היה ברמת סמך של ‪ .02%‬בנה את רווח הסמך שהיה‬
‫מתקבל ברמת סמך של ‪.07%‬‬
‫‪ .15‬נתון משתנה מקרי רציף מתפלג אחיד ‪U (  0.5,   0.5) :‬‬
‫את ‪ . ‬מצאו רווח סמך ל‪  -‬ברמת‪-‬בטחון של ‪ 1.02‬אם במדגם של ‪ 42‬תצפיות התקבל‪:‬‬
‫‪ . X i‬נרצה לאמוד‬
‫‪. x  74‬‬
‫‪2‬‬
‫(תזכורת על השונות בהתפלגות אחידה רציפה‪:‬‬
‫‪b  a ‬‬
‫‪) Var ( X ) ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪i‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪45‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪4051.3>  >4080.4‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪550.45>  >503.27 .‬‬
‫ב‪555.13>  >508.74 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪115 .‬‬
‫ב‪0 .‬‬
‫ג‪1.0244 .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫א‪70.2>  >4.45 .‬‬
‫ב‪ .‬יקטן פי ‪5‬‬
‫ג‪ .‬גדל‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫א‪78 .‬‬
‫ב‪2 .‬‬
‫ג‪1.0244 .‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫א‪100 .‬‬
‫ב‪51>  >52 .‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ב‬
‫שאלה ‪10‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ג‬
‫שאלה ‪11‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ד‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪46‬‬
‫קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫אם מעוניינים לאמוד את ממוצע האוכלוסייה כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה‪ :‬‬
‫ברמת סמך של ‪ 1  ‬ושגיאת אמידה שלא תעלה על ‪ ‬מסוים ‪ ,‬נציב בנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n   2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫כדי להציב בנוסחה צריך שהמשתנה הנחקר יתפלג נורמלית או שהמדגם ייצא בגודל של לפחות‬
‫‪ 01‬תצפיות‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫חברת תעופה מעוניינת לאמוד את תוחלת משקל המטען של נוסע‪ .‬נניח שמשקל מטען של נוסע‬
‫מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ‪ 5‬ק"ג‪ .‬כמה נוסעים יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של‬
‫‪ 07%‬הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לממוצע האמתי לא יעלה על ‪ 1.2‬ק"ג? ( תשובה ‪) 78:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪47‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה ‪ .15‬מה צריך‬
‫להיות גודל‬
‫המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של ‪ 07%‬שאורכו לא יעלה על ‪?5‬‬
‫‪ .5‬מעוניינים לאמוד את הדופק הממוצע של מתגייסים לצבא‪ .‬מעוניינים שבביטחון של ‪02%‬‬
‫שגיאת‬
‫האמידה המרבית תהיה ‪.1.2‬‬
‫נניח שהדופק מתפלג נורמאלית על סטיית תקן של ‪ 0‬פעימות לדקה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה מתגייסים יש לדגום?‬
‫ב‪ .‬אם ניקח מדגם הגדול פי ‪ 4‬מהמדגם של סעיף א ונאמוד את הממוצע באותה רמת סמך‬
‫כיצד‬
‫הדבר ישפיע על שגיאת האמידה?‬
‫‪ .0‬יהי ‪ X‬משתנה מקרי עם ממוצע ‪ μ‬וסטיית תקן ‪ . σ‬חוקר רוצה לבנות רווח בר סמך ל –‪μ‬‬
‫ברמת ביטחון של ‪ 1.02‬כך שהאורך של הרווח יהיה ‪ . 1.2σ‬מהו גודל המדגם הנדרש?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪48‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪871‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪100 .‬‬
‫ב‪ .‬הדבר יקטין את ‪ ‬פי ‪.5‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪n  62‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪49‬‬
‫רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫בבואנו לבנות רווח סמך לתוחלת אנו צריכים להתמקד בשני המצבים הבאים‪:‬‬
‫רווח סמך לתוחלת‪:‬‬
‫שונות האוכלוסייה אינה‬
‫ידועה‬
‫שונות האוכלוסייה ידועה‬
‫בפרק זה נעסוק במקרה ששונות האוכלוסייה אינה ידועה לנו ‪.‬מקרה יותר פרקטי ‪.‬‬
‫התנאי‪ X ~ N :‬או שהמדגם גדול‬
‫ˆ‬
‫‪S‬‬
‫רווח סמך‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X  t( n 1) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ nX 2‬‬
‫האומד לשונות ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Xi  X ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪Sˆ 2 ‬‬
‫התפלגות ‪:T‬‬
‫הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא ‪ .1‬ההתפלגות דומה להתפלגות ‪ Z‬רק שהיא‬
‫יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים‪ .‬התפלגות ‪ T‬תלויה במושג שנקרא דרגות חופש‪.‬‬
‫דרגות החופש הן ‪ .df=n-1‬ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה‪.‬‬
‫כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות ‪ T‬שואפת להיות כמו התפלגות ‪.Z‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪51‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫הזמן שלוקח לפתור שאלה מסוימת בחשבון מתפלג אצל תלמידי כיתות ח' נורמאלית‪.‬‬
‫במטרה לאמוד את תוחלת זמן הפתרון נדגמו ‪ 4‬תלמידים בכיתה ח' ‪ .‬להלן התוצאות שהתקבלו‬
‫בדקות‪.4.8,2.5,4.3,2.0 :‬‬
‫בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לממוצע זמן הפתרון לשאלה בקרב תלמידי כיתה ח'‪.‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫‪4.00>  >2.21‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪51‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מחקר מעוניין לדעת כיצד תרופה מסוימת משפיעה על קצב פעימות הלב‪ .‬ל‪ 2-‬אנשים שנטלו את‬
‫התרופה מדדו את הדופק והתקבל מספר פעימות לדקה‪.70 ,80 ,74 ,77 ,74 :‬‬
‫הערה‪ :‬לצורך פתרון הנח שקצב פעימות הלב מתפלג נורמאלית בקירוב‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02 %‬לתוחלת הדופק של נוטלי התרופה הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון שהדופק הממוצע ללא לקיחת התרופה הינו ‪ .81‬לאור זאת‪ ,‬האם בביטחון‬
‫של ‪ 02%‬התרופה משפיעה על הדופק?‬
‫ג‪ .‬בהמשך לסעיף א‪ ,‬אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת ביטחון של ‪ 00 %‬כיצד הדבר היה‬
‫משפיע על רווח הסמך?‬
‫‪.5‬‬
‫במדגם שנעשה על ‪ 52‬מתגייסים לצבא האמריקאי התקבל כי ‪ :‬גובה ממוצע של חייל הינו ‪187‬‬
‫ס"מ עם סטיית תקן ‪ Sˆ =13‬ס"מ‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 01 %‬לתוחלת גובה‬
‫המתגייסים לצבא האמריקאי‪ .‬מה יש להניח לצורך פתרון?‬
‫‪.0‬‬
‫אדם מעוניין לאמוד את זמן הנסיעה הממוצע שלו לעבודה‪ .‬לצורך כך הוא דוגם ‪ 2‬ימים שזמן‬
‫הנסיעה בהם בדקות הוא‪. 58,04,05,41,01 :‬‬
‫א‪ .‬ברמת ביטחון של ‪ 02%‬אמוד את זמן הנסיעה הממוצע‪ .‬מהי ההנחה הדרושה לצורך פתרון?‬
‫ב‪ .‬איך גודל רווח הסמך היה משתנה אם היו דוגמים עוד ימים ?‬
‫‪.4‬‬
‫ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמאלית‪ .‬נדגמו ‪ 52‬מבחנים והתקבל ממוצע ציונים ‪115‬‬
‫וסטיית תקן מדגמית ‪.10‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לממוצע הציונים באוכלוסייה ברמת ביטחון של ‪.02%‬‬
‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א' אם סטיית התקן הינה סטיית התקן האמתית של כלל הנבחנים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסבירו את ההבדלים בין שני הסעיפים הנ"ל‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נשקלו ‪ 31‬תינוקות אשר נולדו בשבוע ה‪ 41-‬של ההיריון‪ .‬המשקל נמדד בקילוגרמים‪ .‬להלן‬
‫התוצאות שהתקבלו‪ 195 :‬‬
‫‪X‬‬
‫‪60‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ .  X  643.19‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪02%‬‬
‫‪60‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫לתוחלת משקל תינוק ביום היוולדו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪52‬‬
‫‪ .3‬שני סטטיסטיקאים בנו רווח בר‪-‬סמך לאותו פרמטר ‪ .‬לכל אחד מהסטטיסטיקאים‬
‫מדגם אחר‪ ,‬אך באותו גודל ‪ . 11‬שניהם קבעו אותה רמת סמך‪.‬‬
‫סטטיסטיקאי א ‪ :‬הניח ‪ = 51‬‬
‫סטטיסטיקאי ב ‪ :‬חישב לפי המדגם וקיבל ‪Sˆ  20‬‬
‫למי משני הסטטיסטיקאים יהיה רווח סמך ארוך יותר? ( בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪ .‬סטטיסטיקאי א‬
‫ב‪ .‬סטטיסטיקאי ב‬
‫ג‪ .‬אותו אורך רווח סמך לשני הסטטיסטיקאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬תלוי בתוצאות המדגם של כל סטטיסטיקאי‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון ש ‪N ( ,  2 ) :‬‬
‫‪ X‬ביצעו מדגם בגודל ‪ 13‬וקיבלו סטיית תקן מדגמית ‪ .11‬אורך רווח‬
‫הסמך שהתקבל הוא‪ . 7.832 :‬מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪53‬‬
‫טבלת ערכים קריטיים לפי התפלגות ‪t‬‬
‫ראה איור מטה‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪0.0005‬‬
‫‪0.001‬‬
‫‪0.005‬‬
‫‪0.01‬‬
‫‪0.025‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0.1‬‬
‫דרגות חופש‬
‫‪636.619‬‬
‫‪318.309‬‬
‫‪63.657‬‬
‫‪31.821‬‬
‫‪12.706‬‬
‫‪6.314‬‬
‫‪3.078‬‬
‫‪31.599‬‬
‫‪22.327‬‬
‫‪9.925‬‬
‫‪6.965‬‬
‫‪4.303‬‬
‫‪2.920‬‬
‫‪1.886‬‬
‫‪12.924‬‬
‫‪10.215‬‬
‫‪5.841‬‬
‫‪4.541‬‬
‫‪3.182‬‬
‫‪2.353‬‬
‫‪1.638‬‬
‫‪8.610‬‬
‫‪7.173‬‬
‫‪4.604‬‬
‫‪3.747‬‬
‫‪2.776‬‬
‫‪2.132‬‬
‫‪1.533‬‬
‫‪6.869‬‬
‫‪5.893‬‬
‫‪4.032‬‬
‫‪3.365‬‬
‫‪2.571‬‬
‫‪2.015‬‬
‫‪1.476‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5.959‬‬
‫‪5.408‬‬
‫‪5.208‬‬
‫‪4.785‬‬
‫‪3.707‬‬
‫‪3.499‬‬
‫‪3.143‬‬
‫‪2.998‬‬
‫‪2.447‬‬
‫‪2.365‬‬
‫‪1.943‬‬
‫‪1.895‬‬
‫‪1.440‬‬
‫‪1.415‬‬
‫‪5.041‬‬
‫‪4.501‬‬
‫‪3.355‬‬
‫‪2.896‬‬
‫‪2.306‬‬
‫‪1.860‬‬
‫‪1.397‬‬
‫‪4.781‬‬
‫‪4.297‬‬
‫‪3.250‬‬
‫‪2.821‬‬
‫‪2.262‬‬
‫‪1.833‬‬
‫‪1.383‬‬
‫‪4.587‬‬
‫‪4.144‬‬
‫‪3.169‬‬
‫‪2.764‬‬
‫‪2.228‬‬
‫‪1.812‬‬
‫‪1.372‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4.437‬‬
‫‪4.318‬‬
‫‪4.025‬‬
‫‪3.930‬‬
‫‪3.106‬‬
‫‪3.055‬‬
‫‪2.718‬‬
‫‪2.681‬‬
‫‪2.201‬‬
‫‪2.179‬‬
‫‪1.796‬‬
‫‪1.782‬‬
‫‪1.363‬‬
‫‪1.356‬‬
‫‪4.221‬‬
‫‪3.852‬‬
‫‪3.012‬‬
‫‪2.650‬‬
‫‪2.160‬‬
‫‪1.771‬‬
‫‪1.350‬‬
‫‪4.140‬‬
‫‪3.787‬‬
‫‪2.977‬‬
‫‪2.624‬‬
‫‪2.145‬‬
‫‪1.761‬‬
‫‪1.345‬‬
‫‪4.073‬‬
‫‪3.733‬‬
‫‪2.947‬‬
‫‪2.602‬‬
‫‪2.131‬‬
‫‪1.753‬‬
‫‪1.341‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4.015‬‬
‫‪3.965‬‬
‫‪3.686‬‬
‫‪3.646‬‬
‫‪2.921‬‬
‫‪2.898‬‬
‫‪2.583‬‬
‫‪2.567‬‬
‫‪2.120‬‬
‫‪2.110‬‬
‫‪1.746‬‬
‫‪1.740‬‬
‫‪1.337‬‬
‫‪1.333‬‬
‫‪3.922‬‬
‫‪3.610‬‬
‫‪2.878‬‬
‫‪2.552‬‬
‫‪2.101‬‬
‫‪1.734‬‬
‫‪1.330‬‬
‫‪3.883‬‬
‫‪3.579‬‬
‫‪2.861‬‬
‫‪2.539‬‬
‫‪2.093‬‬
‫‪1.729‬‬
‫‪1.328‬‬
‫‪3.850‬‬
‫‪3.552‬‬
‫‪2.845‬‬
‫‪2.528‬‬
‫‪2.086‬‬
‫‪1.725‬‬
‫‪1.325‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3.819‬‬
‫‪3.792‬‬
‫‪3.527‬‬
‫‪3.505‬‬
‫‪2.831‬‬
‫‪2.819‬‬
‫‪2.518‬‬
‫‪2.508‬‬
‫‪2.080‬‬
‫‪2.074‬‬
‫‪1.721‬‬
‫‪1.717‬‬
‫‪1.323‬‬
‫‪1.321‬‬
‫‪3.768‬‬
‫‪3.485‬‬
‫‪2.807‬‬
‫‪2.500‬‬
‫‪2.069‬‬
‫‪1.714‬‬
‫‪1.319‬‬
‫‪3.745‬‬
‫‪3.467‬‬
‫‪2.797‬‬
‫‪2.492‬‬
‫‪2.064‬‬
‫‪1.711‬‬
‫‪1.318‬‬
‫‪3.725‬‬
‫‪3.450‬‬
‫‪2.787‬‬
‫‪2.485‬‬
‫‪2.060‬‬
‫‪1.708‬‬
‫‪1.316‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪3.707‬‬
‫‪3.690‬‬
‫‪3.435‬‬
‫‪3.421‬‬
‫‪2.779‬‬
‫‪2.771‬‬
‫‪2.479‬‬
‫‪2.473‬‬
‫‪2.056‬‬
‫‪2.052‬‬
‫‪1.706‬‬
‫‪1.703‬‬
‫‪1.315‬‬
‫‪1.314‬‬
‫‪3.674‬‬
‫‪3.408‬‬
‫‪2.763‬‬
‫‪2.467‬‬
‫‪2.048‬‬
‫‪1.701‬‬
‫‪1.313‬‬
‫‪3.659‬‬
‫‪3.396‬‬
‫‪2.756‬‬
‫‪2.462‬‬
‫‪2.045‬‬
‫‪1.699‬‬
‫‪1.311‬‬
‫‪3.646‬‬
‫‪3.385‬‬
‫‪2.750‬‬
‫‪2.457‬‬
‫‪2.042‬‬
‫‪1.697‬‬
‫‪1.310‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪3.551‬‬
‫‪3.496‬‬
‫‪3.307‬‬
‫‪3.261‬‬
‫‪2.704‬‬
‫‪2.678‬‬
‫‪2.423‬‬
‫‪2.403‬‬
‫‪2.021‬‬
‫‪2.009‬‬
‫‪1.684‬‬
‫‪1.676‬‬
‫‪1.303‬‬
‫‪1.299‬‬
‫‪3.460‬‬
‫‪3.232‬‬
‫‪2.660‬‬
‫‪2.390‬‬
‫‪2.000‬‬
‫‪1.671‬‬
‫‪1.296‬‬
‫‪3.402‬‬
‫‪3.183‬‬
‫‪2.632‬‬
‫‪2.368‬‬
‫‪1.987‬‬
‫‪1.662‬‬
‫‪1.291‬‬
‫‪3.373‬‬
‫‪3.160‬‬
‫‪2.617‬‬
‫‪2.358‬‬
‫‪1.980‬‬
‫‪1.658‬‬
‫‪1.289‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪90‬‬
‫‪120‬‬
‫‪3.291‬‬
‫‪3.090‬‬
‫‪2.576‬‬
‫‪2.326‬‬
‫‪1.960‬‬
‫‪1.645‬‬
‫‪1.282‬‬
‫‪‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪54‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪80.77>  > 70.85 .‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪03.30>  >118.08 .‬‬
‫ב‪03.01>  >118.11 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪0.140>  >0.021‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪01%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪55‬‬
‫פרק ‪ - 3‬רווח סמך לפרופורציה‬
‫רקע‪:‬‬
‫מטרה‪ :‬לאמוד את ‪ – P‬פרופורציה באוכלוסייה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫האומד הנקודתי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ -Y ( pˆ ‬מספר ההצלחות שבמדגם )‬
‫) ˆ‪pˆ (1  p‬‬
‫רווח הסמך ל ‪:p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pˆ  Z‬‬
‫‪1‬‬
‫התנאי לבנות את רווח הסמך הינו מדגם של לפחות ‪ 01‬תצפיות( לעיתים נותנים תנאי של מספר‬
‫הצלחות ומספר כשלונות לפחות ‪ 2‬או לפחות ‪) 11‬‬
‫) ˆ‪pˆ (1  p‬‬
‫האומד לטעות התקן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪A B‬‬
‫מתקיים ש‪:‬‬
‫‪Pˆ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L  2‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫‪ .1‬במטרה לאמוד את אחוז המובטלים במשק נדגמו ‪ 511‬אזרחים‪ .‬מתוכם התקבל ש ‪ 54‬היו‬
‫מובטלים‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לאחוז המובטלים באוכלוסייה ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫ב‪ .‬מהו האומד לטעות התקן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪8.2%>p>13.2%‬‬
‫ב‪5.50% .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪56‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬נדגמו ‪ 511‬דירות בעיר חיפה‪ 47 .‬מתוכן נמצאו כבעלות ממ"ד‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לאחוז הדירות בחיפה עם ממ"ד‪.‬‬
‫ב‪ .‬על סמך סעיף א' מה ניתן לומר על שגיאת האמידה המקסימאלית?‬
‫ג‪ .‬בהנחה ובחיפה ‪ 71‬אלף דירות‪ ,‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02 %‬למספר הדירות בחיפה‬
‫עם ממ"ד‬
‫בפועל‪.‬‬
‫‪ .5‬במדגם של ‪ 011‬אנשי היי‪-‬טק התקבל ש‪ 171-‬מהם אקדמאים‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לפרופורציית אקדמאים ברמת סמך של ‪( 02%‬בקרב אנשי היי‪-‬טק)‪.‬‬
‫ב‪ .‬כיצד רווח הסמך של סעיף א היה משתנה אם היינו מקטינים את רמת הסמך?‬
‫ג‪ .‬כיצד רווח הסמך היה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם?‬
‫‪ .0‬במדגם של ‪ 411‬נהגים התקבל רווח סמך לפרופורציית הנהגים החדשים‪0.08  p  0.18 :‬‬
‫א‪ .‬כמה נהגים במדגם היו נהגים חדשים?‬
‫ב‪ .‬מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה?‬
‫‪ .4‬במסגרת מערכת הבחירות בארה"ב נשאלו ‪ 741‬אנשים עבור איזה מועמד יצביעו‪.‬‬
‫‪ 211‬אנשים ענו כי יצביעו בעד ברק אובמה‪ .‬בסקר פורסם שתתכן סטייה של ‪ 3%‬מתוצאות‬
‫האמת‪.‬‬
‫באיזו רמת ביטחון הסקר השתמש?‬
‫‪ .2‬במדגם של ‪ 011‬נשים בגילאי ‪ 02-41‬נמצא ש‪ 141-‬היו נשואות‪ 71 ,‬היו גרושות‪ 31 ,‬רווקות והיתר‬
‫אלמנות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו רווח סמך ברמה של ‪ 01%‬לאחוז הגרושות באוכלוסייה הנחקרת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו רווח סמך ברמה של ‪ 00%‬לסיכוי שבאוכלוסייה הנחקרת תמצא אישה לא נשואה?‬
‫‪ .3‬ביצעו מדגם באוכלוסייה‪ .‬שיעור ההצלחות במדגם היה ‪ 11%‬ורווח הסמך ניבנה ברמת סמך‬
‫של ‪ . 02%‬אורכו הינו ‪.7.0123%‬‬
‫מהו גודל המדגם שנלקח?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪57‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪25 .‬‬
‫ב‪1.008 .‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪55.2%>p>01.0% .‬‬
‫ב‪42.01%>p>31.85% .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪511‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪58‬‬
‫קביעת גודל מדגם באמידת פרופורציה‬
‫רקע‪:‬‬
‫בפרק זה נדון איך קובעים גודל מדגם שבאים לאמוד פרופורציה באוכלוסייה מסוימת‪:‬‬
‫החוקר קובע מראש את רמת הסמך הרצויה‪. 1   :‬‬
‫החוקר קובע מראש את הטעות הסטטיסטית המרבית שבה הוא מעוניין‪ (  :‬או את אורך רווח‬
‫הסמך)‪.‬‬
‫‪ - L  2‬אורך רווח הסמך‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -‬טעות אמידה מרבית ‪ :‬המרחק המקסימאלי (הסטייה) בין הפרמטר ( ‪ ) p‬לאומד ( ˆ‪.) p‬‬
‫) ˆ‪pˆ (1  p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.   z1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫ויתעניין לדעת מהו גודל המדגם הרצוי לשם כך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  Z   pˆ 1  pˆ  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫נקבל ש‪ :‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הבעיה שאין אנו יודעים את ˆ‪. p‬‬
‫נתבונן בביטוי ‪: pˆ 1  pˆ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫כיוון שאין לנו ידע מוקדם על ˆ‪ p‬נציב את המקרה השמרני ביותר שממקסם את הביטוי עבור‬
‫‪pˆ  0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  z  0.5  0.5 ‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪59‬‬
‫אך אם תהיה לנו אינפורמציה מוקדמת על הפרופורציה נציב את הערך הקרוב ביותר ל‪1.2-‬‬
‫האפשרי‪.‬‬
‫דוגמה‪ ( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫מעוניינים לאמוד את שיעור האבטלה במשק‪ .‬האמידה צריכה להתבצע ברמת סמך של ‪ 01%‬ועם‬
‫שגיאת אמידה שלא תעלה על ‪.4%‬‬
‫א‪ .‬מהו גודל המדגם המינימאלי שיש לקחת?‬
‫ב‪ .‬חזור לסעיף א' אם ידוע שהאבטלה לא אמורה לעלות על ‪.51%‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫א‪450 .‬‬
‫ב‪581 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪61‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬הממשלה אומדת מדי חודש את אחוז התמיכה בה‪ .‬מהו גודל המדגם אשר יש לקחת אם‬
‫דורשים שהאומדן לא יסטה מהאחוז האמתי באוכלוסייה ביותר מ‪ ,0%-‬וזאת בביטחון‬
‫של ‪?02%‬‬
‫‪ .5‬משרד התקשורת מעוניין לדעת מה שיעור בתי האב עם אינטרנט‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה בתי אב יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של ‪ 01%‬אורך רווח הסמך לא יעלה‬
‫על ‪?7%‬‬
‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א‪ .‬אם ידעו שלפני חמש שנים ל‪ 71%-‬מבתי האב היה אינטרנט וכיום יש‬
‫להניח שיש ליותר אינטרנט‪.‬‬
‫‪ .0‬ערוץ טלוויזיה מעוניין לאמוד את הרייטינג של הערוץ בפריים טיים‪ .‬המטרה שבביטחון‬
‫של ‪ 02%‬הסטייה המרבית בין האומד לרייטינג האמתי לא תעלה על ‪.4%‬‬
‫א‪ .‬כמה מכשירי ‪ PEOPLE METER‬יש להתקין לצורך האמידה?‬
‫ב‪ .‬לפי הערכה מוקדמת הרייטינג של הערוץ לא יכול לעלות על ‪ .51%‬בהנחה ומכשיר כזה‬
‫עולה ‪ ₪ 211‬ליחידה מה החיסכון הכספי מאינפורמציה זאת?‬
‫‪ .4‬השאלות הבאות מתייחסות לסעיף ‪: 4‬‬
‫א‪ .‬כמה אזרחים יש לדגום כדי לאמוד את אחוז התמיכה בממשלה עם אורך רווח הסמך‬
‫שלא עולה על ‪ 0%‬ברמת סמך של ‪?01%‬‬
‫ב‪ .‬בהנחה ובוצע מדגם שאת גודלו חישבתם בסעיף א והתקבל שאחוז התמיכה בממשלה‬
‫במדגם הנו ‪ .45%‬בנו רווח סמך לאחוז התמיכה בממשלה ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫ג‪ .‬על סמך סעיף ב'‪ .‬האם תקבל את הטענה שמיעוט האוכלוסייה תומך הממשלה?‬
‫‪ .2‬משרד הבריאות מתכנן לבצע מדגם שמטרתו לבדוק את הסיכוי לחלות בשפעת עם לקיחת‬
‫חיסון נגד שפעת‪ .‬הוא מעוניין שבסיכוי של ‪ 07%‬טעות האמידה לא תעלה על ‪.0%‬‬
‫א‪ .‬כמה מחוסנים יש לדגום ?‬
‫ב‪ .‬משרד הבריאות ביצע את המדגם שאת גודלו חישבת בסעיף הקודם וקיבל ש ‪ 12%‬מבין‬
‫אלה שקיבלו חיסון נגד שפעת בכל זאת חלו במשך החורף בשפעת‪ .‬בנו ברמת סמך של‬
‫‪ 07%‬את הסיכוי לחלות בחורף בשפעת עם לקיחת חיסון נגד שפעת‪.‬‬
‫ג‪ .‬בהמשך לסעיף הקודם‪ .‬מהי טעות האמידה המרבית בביטחון של ‪ ? 07%‬מדוע הוא קטן‬
‫מ‪? 0%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪61‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪1137‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪311 .‬‬
‫ב‪.₪ 117111 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪62‬‬
‫פרק ‪ - 8‬רווח סמך להפרש פרופורציות‬
‫רקע‪:‬‬
‫המטרה‪ :‬לאמוד את ‪ : p1  p2‬הפרש פרופורציות בין שתי אוכלוסיות שונות‪.‬‬
‫האומד הנקודתי‪pˆ1  pˆ 2 :‬‬
‫התנאי לבניית רווח הסמך‪ :‬כל מדגם מעל ‪ 01‬או לבדוק שמספר ההצלחות ומספר הכישלונות בכל‬
‫מדגם לפחות ‪ 2‬בכל מדגם (יש כאלה שבודקים לפחות ‪.)11‬‬
‫רווח סמך‪:‬‬
‫) ‪pˆ1 (1  pˆ1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( pˆ1  pˆ 2 )  Z‬‬
‫‪1‬‬
‫רק שאפס נופל בתחומי רווח הסמך להפרש הפרופורציה נאמר שלא ניתן לקבוע שקיים הבדל‬
‫מובהק בין הפרופורציות באוכלוסיות‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫במטרה להשוות בין שתי תרופות נדגמו ‪ 511‬איש שלקחו תרופה ‪ .x‬מתוכם ‪ 171‬טענו שהתרופה‬
‫עזרה להם‪ .‬כמו כן נלקחו ‪ 011‬איש שלקחו את תרופה ‪ .y‬מתוכם ‪ 121‬טענו שהתרופה עזרה להם‪.‬‬
‫בנו רווח סמך להפרש אחוזי ההצלחה של התרופות ברמת סמך של ‪ .02%‬מה ניתן לומר על סמך‬
‫רווח הסמך על ההבדלים בין התרופות?‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫(‪)00% ,48%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪63‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬מתוך ‪ 121‬נשים שנדגמו באקראי ‪ 01%‬תמכו בהצעת חוק מסוימת‪ .‬מתוך ‪ 511‬גברים‬
‫שנדגמו באקראי ‪ 52%‬תמכו בהצעת החוק‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לפער בין אחוזי התמיכה של הנשים לעומת הגברים ברמת סמך של‬
‫‪.03%‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לאחוז התמיכה בהצעת החוק ‪.‬‬
‫‪ .5‬במחקר רפואי השתתפו ‪ 511‬אנשים הסובלים מכאבים כרוניים‪ .‬הם חולקו באקראי ל‪5-‬‬
‫קבוצות שוות בגודלן‪.‬‬
‫קבוצה ‪ 1‬קיבלה את תרופה ‪ A‬וקבוצה שנייה קיבלה את תרופה ‪.B‬‬
‫בקרב לוקחי תרופה ‪ 01 A‬טענו שמצבם השתפר‪ .‬בקרב לוקחי תרופה ‪ 81 B‬טענו שמצבם‬
‫השתפר‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬להפרש בין שיעורי ההצלחה של שתי התרופות‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם על סמך סעיף א ניתן לקבוע שקיים הבדל בין התרופות מבחינת שיעורי‬
‫ההצלחה?‬
‫‪ .0‬נדגמו ‪ 511‬משפחות מגוש דן‪ .‬ל‪ 81%-‬מתוכן מכשיר ‪ DVD‬בבית‪.‬‬
‫נדגמו ‪ 011‬משפחות מאזור הצפון ל‪ 32% -‬מתוכן מכשיר ‪ DVD‬בבית‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 07%‬לפרופורציות המשפחות בגוש דן עם ‪ DVD‬בבית‪.‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬להפרש בין פרופורציות המשפחות בגוש דן עם‬
‫‪ DVD‬לבין פרופורציות המשפחות בצפון עם ‪.DVD‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪64‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪0.093  PA  PB  0.307 .‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪0.625  p  0.7754‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ - 7‬רווח סמך להפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים‬
‫כששונויות האוכלוסייה ידועות‬
‫רקע‪:‬‬
‫מטרה‪ :‬לאמוד את פער התוחלות‪ , 1  2 :‬כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי‬
‫האוכלוסיות‪.‬‬
‫האומד נקודתי‪x1  x2 :‬‬
‫התנאים לבניית רווח הסמך‪:‬‬
‫‪  21 , 2 2 1.‬ידועות‪.‬‬
‫‪ X1 , X 2 ~ N .5‬או ‪n1 , n1  30‬‬
‫‪ .0‬שני מדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫רווח סמך‪:‬‬
‫‪ 21  2 2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( x1  x2 )  Z‬‬
‫‪1‬‬
‫אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של ‪ 1  ‬לא קיים הבדל בין התוחלות‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫נדגמו ‪ 111‬תושבים מאזור ‪ a‬והמשכורת הממוצעת הייתה שם ‪.₪ 0511‬‬
‫כמו כן נדגמו ‪ 151‬תושבים מאזור ‪ b‬וממוצע המשכורות שהתקבל שם ‪.₪ 7811‬‬
‫לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של המשכורות באוכלוסיית שני האזורים היא ‪.₪ 1711‬‬
‫אמדו ברמת סמך של ‪ 01%‬את הפרש השכר הממוצע בין אזור ‪ a‬לאזור ‪. b‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪66‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬מעוניינים לבדוק האם קיים הבדל בין ממוצע ציוני הפסיכומטרי של חיילים לממוצע ציוני‬
‫הפסיכומטרי של תלמידי תיכון‪ .‬ידוע שציוני הפסיכומטרי מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן‬
‫‪ .111‬במדגם של ‪ 13‬נבחנים חיילים התקבל ממוצע ‪ .240‬במדגם של ‪ 51‬תלמידי תיכון התקבל‬
‫ממוצע ‪ .217‬בנו רווח סמך לפער תוחלות הציונים בין חיילים לתלמידי תיכון ברמת סמך של‬
‫‪ .01%‬מה ניתן להסיק מרווח סמך זה?‬
‫‪ .5‬ציוני ‪ I.Q.‬מתוכננים כך שיתפלגו נורמאלית עם סטיית תקן של ‪ .12‬במדגם של ‪ 51‬נבחנים‬
‫ישראלים התקבל ממוצע ציונים ‪ .114‬במדגם של ‪ 50‬נבחנים אמריקאיים התקבל ממוצע‬
‫ציונים ‪.00‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לפער בין ישראל לארה"ב בממוצע הציונים במבחן ה‪.IQ-‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים הבדל בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע הציונים?‬
‫‪ .0‬חברה להנדסת בניין מעוניינת להשוות ברמת הקשיות של שני סוגי ברגים‪ .‬ידוע שרמת הקשיות‬
‫של ברגים מתפלגת נורמלית עם סטיית תקן של ‪ 4‬יחידות‪ .‬במדגם של ‪ 12‬ברגים מסוג א'‬
‫התקבל רמת קשיות ממוצעת של ‪ 57‬יחידות ובמדגם של ‪ 15‬ברגים מסוג ב' התקבל רמת קשיות‬
‫ממוצעת של ‪ . 52‬עבור אילו רמות בטחון יקבע שאין הבדל בין שני סוגי הברגים מבחינת‬
‫ממוצע רמת הקשיות שלהם?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪67‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫(‪)-51,01‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫רמות בטחון הגבוהות מ‪1.0483 :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪68‬‬
‫כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות‬
‫רקע‪:‬‬
‫מטרה‪ :‬לאמוד את פער התוחלות‪ , 1  2 :‬כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי‬
‫האוכלוסיות‪.‬‬
‫האומד נקודתי‪x1  x2 :‬‬
‫התנאים לבניית רווח הסמך‪:‬‬
‫‪ 21   2 2 .1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪X 1 , X 2 ~ N .5‬‬
‫‪ .0‬מדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫השונות המשוקללת ‪ :‬כיוון שאנו מניחים שבין שתי האוכלוסיות השונויות שוות אנו אומדים את‬
‫השונות הזו על ידי שקלול שתי השונויות של שני המדגמים על ידי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪ n  1 Sˆ12   n2  1 Sˆ22‬‬
‫‪Sˆ p2  1‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫דרגות החופש ‪d . f  n1  n2  2 :‬‬
‫רווח סמך‪:‬‬
‫‪Sˆ 2p‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Sˆ 2p‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫‪( x1  x2 )  t‬‬
‫‪2‬‬
‫אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של ‪ 1  ‬לא קיים הבדל בין התוחלות‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫מחקר מעוניין לבדוק האם קיים הבדל בין תל אביב לבאר שבע מבחינת ההכנסה הממוצעת של‬
‫אקדמאים‪.‬להלן תוצאות המדגם שנעשה‪:‬‬
‫תל אביב‬
‫באר שבע‬
‫מספר האקדמאים‬
‫‪51‬‬
‫‪11‬‬
‫ממוצע הכנסות של אקדמאים‬
‫‪11,111‬‬
‫‪0211‬‬
‫סטיית התקן של הכנסות אקדמאים‬
‫‪511‬‬
‫‪521‬‬
‫בנו רווח סמך ברמת ביטחון של ‪ 01%‬להפרש תוחלות ההכנסה בשני האזורים‪.‬‬
‫הניחו שהשכר מתפלג נורמלית עם אותה שונות בכל אחד מהאזורים‪.‬‬
‫פתרון ‪)1028,1340( :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪69‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬נדגמו ‪ 12‬ישראלים ו‪ 12-‬אמריקאים‪.‬‬
‫כל הנדגמים נגשו למבחן ‪ .IQ‬להלן תוצאות המדגם‪:‬‬
‫המדינה‬
‫ישראל‬
‫ארה"ב‬
‫גודל המדגם‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫סכום הציונים‬
‫‪1231‬‬
‫‪1481‬‬
‫סכום ריבועי הציונים‬
‫‪132,001‬‬
‫‪148,231‬‬
‫מצאו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לסטייה בין ממוצע הציונים בישראל לממוצע הציונים‬
‫בארה"ב ‪ .‬רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל‪.‬‬
‫‪ .5‬להלן ‪ 4‬תצפיות על משתנה ‪ X‬שמתפלג ) ‪ N (  x ,  2‬ומשתנה ‪ Y‬שמתפלג ) ‪. N (  y ,  2‬‬
‫‪52‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫‪55‬‬
‫‪X‬‬
‫‪15‬‬
‫‪18‬‬
‫‪52‬‬
‫‪17‬‬
‫‪Y‬‬
‫חשבו רווח סמך ל‪  y   x -‬ברמת הסמך ‪ ,01%‬בהנחה ששני המדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ - 0‬רווח סמך לתוחלת ההפרש במדגם מזווג‬
‫רקע‪:‬‬
‫מדגם מזווג‪ :‬מדגם אחד שבו יש ‪ n‬צמדים‪.‬‬
‫כל תצפית במדגם תנפק זוג ערכים‪ X :‬ו‪.Y-‬‬
‫ניצור משתנה חדש‪:‬‬
‫‪D  x y‬‬
‫הפרמטר שנרצה לאמוד‪ D :‬‬
‫התנאים לבניית רווח הסמך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x, y ~ N‬‬
‫‪ ‬המדגם מזווג‬
‫נוסחת רווח הסמך‪:‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫כאשר דרגות החופש‪d . f  n  1 :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪D  t n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪71‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫מעוניינים לבדוק האם יש הבדל בין מהירות הריצות של שתי תוכנות מחשב‪.‬‬
‫לקחו ‪ 2‬קבצים אקראיים והריצו אותם בשתי התוכנות‪:‬‬
‫הקובץ‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫הזמן בתוכנה הראשונה‬
‫‪52‬‬
‫‪47‬‬
‫‪40‬‬
‫‪43‬‬
‫‪07‬‬
‫הזמן בתוכנה השנייה‬
‫‪58‬‬
‫‪43‬‬
‫‪45‬‬
‫‪41‬‬
‫‪47‬‬
‫הניחו כי זמני הריצות מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫ִמצאו רווח סמך של ‪ 02%‬להפרש תוחלת הזמן בין שתי התוכנות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪72‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬נדגמו ‪ 2‬סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'‪ .‬להלן הציונים בסמסטר א' ו‪ -‬ב'‪:‬‬
‫סמסטר א‬
‫סמסטר ב‬
‫‪84‬‬
‫‪71‬‬
‫‪37‬‬
‫‪74‬‬
‫‪01‬‬
‫‪78‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪75‬‬
‫‪111‬‬
‫נניח שהציונים מתפלגים נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם על סמך רווח הסמך קיים הבדל בין הסמסטרים מבחינת תוחלת הציונים?‬
‫ג‪ .‬מה צריך לשנות בנתונים כדי שהמדגמים יהיו בלתי תלויים?‬
‫‪ .5‬במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות בינ"ל‪.‬‬
‫נגדמו באקראי ‪ 8‬מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה‪ .‬להלן התוצאות‪:‬‬
‫המדינה‬
‫בזק‪X-‬‬
‫קווי זהב‪Y-‬‬
‫ארה"ב‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.4‬‬
‫קנדה‬
‫‪5.1‬‬
‫‪5‬‬
‫הולנד‬
‫‪5.5‬‬
‫‪1.0‬‬
‫פולין‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1‬‬
‫מצרים‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.0‬‬
‫סין‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫יפן‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית עבור כל חברה בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 01%‬לתוחלת‬
‫הפרש המחירים של שתי החברות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ - 11‬רווח סמך לשונות וסטיית תקן‬
‫רקע‪:‬‬
‫בפרק זה נדון על בניית רווח סמך לשונות האוכלוסייה‪.‬‬
‫התנאי לבניית רווח הסמך‪ :‬המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית ‪ ,‬למרות שנהוג לא לדרוש את התנאי‬
‫הזה אם המדגם מספיק גדול‪.‬‬
‫רווח הסמך יתבסס על התפלגות הנקראת חי בריבוע‪.‬‬
‫התפלגות זו היא התפלגות אסימטרית חיובית המתחילה מהערך אפס ותלויה בדרגות חופש‪.‬‬
‫דרגות החופש במקרה זה יהיו‪n-1 :‬‬
‫‪(n  1) Sˆ 2‬‬
‫רווח הסמך לשונות‪:‬‬
‫‪2, n 1‬‬
‫‪ nX 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ Xi  X ‬‬
‫‪(n 1)Sˆ 2‬‬
‫‪2 2, n1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ Sˆ 2 ‬אומד לשונות הלא‪-‬ידועה‪.‬‬
‫‪ i 1‬‬
‫כאשר‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫אם נרצה לבנות רווח סמך לסטיית תקן אז נוציא שורש לרווח סמך לשונות‪.‬‬
‫‪i 1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪74‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫זמן התגובה מתפלג נורמאלית‪ .‬במטרה לאמוד את שונות זמן התגובה נדגמו ‪ 4‬תצפיות‪ .‬להלן‬
‫התוצאות בשניות‪ .4.8,2.5,4.3,2.0 :‬בנו רווח סמך‪ ,‬ברמת סמך של ‪ 02%‬לשונות זמן התגובה‬
‫באוכלוסייה‪.‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫‪1.100>  >1.817‬‬
‫‪2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪75‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪ .1‬חמישה מטופלים קבלו תרופה מסוימת‪ .‬בדקו לכל מטופל את זמני התגובה שלו‪ .‬להלן הזמנים‬
‫שהתקבלו בדקות‪.17,18,51,53,57 :‬‬
‫בהנחה וזמני התגובה מתפלגים נורמאלית‪ ,‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02 %‬לשונות זמן‬
‫התגובה‪.‬‬
‫‪ .5‬נדגמו ‪ 51‬ימים אקראיים מחודשי יולי‪-‬אוגוסט ונמדדה בהם הטמפ' במעלות צלזיוס בת"א‪.‬‬
‫במדגם התקבל טמפ' ממוצעת ‪ 01.7‬וסטיית תקן מדגמית ‪ .1.1‬בהנחה והטמפ' מתפלגת‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך לתוחלת הטמפ' בחודשים אלה בת"א‬
‫נורמאלית‪:‬‬
‫ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫הטמפ' בחודשים אלה בת"א ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך לסטיית התקן של‬
‫‪ .0‬ציוני ‪ IQ‬בארה"ב מתפלגים נורמאלית עם ממוצע ‪ 111‬וסטיית תקן ‪ .2‬נבחנו ‪ 51‬נבחנים‬
‫ישראלים במבחן ה‪ .IQ-‬להלן התוצאות שהתקבלו ‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ X i  2080‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ X i 2 218, 220‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נניח שגם בישראל הציונים מתפלגים נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו אומדנים לממוצע הציונים בישראל ולשונות הציונים בישראל באמצעות אומדנים‬
‫חסרי הטיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אמדו ברמת ביטחון של ‪ 02%‬את תוחלת הציונים של נבחנים בישראל‪.‬‬
‫ג‪ .‬אמדו ברמת סמך של ‪ 01%‬את סטיית התקן של הציונים של נבחנים ישראלים‪.‬‬
‫ד‪ .‬על סמך הסעיפים הקודמים‪ ,‬האם בישראל ממוצע הציונים וסטיית התקן של הציונים שונה‬
‫מבארה"ב? הסבירו‪.‬‬
‫‪ .4‬באוכלוסייה מסוימת נדגמו ‪ 11‬תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ X i  750‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ ( X i  X )2  900‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נתון ש ) ‪X i N (  ,  2‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ל‪  -‬ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך ל‪  2 -‬ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪76‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪01.572>  >01.012.‬‬
‫ב‪1.708>  >1.318 .‬‬
‫תשובה ‪3‬‬
‫א‪ .‬לממוצע ‪ ,114‬לשונות ‪.111‬‬
‫ב‪99.32    108.68 .‬‬
‫ג‪7.94    13.7 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪77‬‬
‫טבלת חי בריבוע על סמך השטח מצד ימין‬
‫‪α‬‬
‫‪.005‬‬
‫‪.01‬‬
‫‪.025‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪.05‬‬
‫‪2.71 3.84‬‬
‫‪4.61 5.99‬‬
‫‪6.25 7.81‬‬
‫‪7.78 9.49‬‬
‫‪9.24 11.1‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪.50‬‬
‫‪.75‬‬
‫‪7.88‬‬
‫‪10.6‬‬
‫‪12.8‬‬
‫‪14.9‬‬
‫‪16.7‬‬
‫‪5.02 6.63‬‬
‫‪7.38 9.21‬‬
‫‪9.35 11.3‬‬
‫‪11.1 13.3‬‬
‫‪12.8 15.1‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪20.3‬‬
‫‪22.0‬‬
‫‪23.6‬‬
‫‪25.2‬‬
‫‪16.8‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪20.1‬‬
‫‪21.7‬‬
‫‪23.2‬‬
‫‪14.4‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪17.5‬‬
‫‪19.0‬‬
‫‪20.5‬‬
‫‪12.6‬‬
‫‪14.1‬‬
‫‪15.5‬‬
‫‪16.9‬‬
‫‪18.3‬‬
‫‪26.8‬‬
‫‪28.3‬‬
‫‪29.8‬‬
‫‪31.3‬‬
‫‪32.8‬‬
‫‪24.7‬‬
‫‪26.2‬‬
‫‪27.7‬‬
‫‪29.1‬‬
‫‪30.6‬‬
‫‪21.9‬‬
‫‪23.3‬‬
‫‪24.7‬‬
‫‪26.1‬‬
‫‪27.5‬‬
‫‪19.7‬‬
‫‪21.0‬‬
‫‪22.4‬‬
‫‪23.7‬‬
‫‪25.0‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪19.8‬‬
‫‪21.1‬‬
‫‪22.3‬‬
‫‪34.3‬‬
‫‪35.7‬‬
‫‪37.2‬‬
‫‪38.6‬‬
‫‪40.0‬‬
‫‪32.0‬‬
‫‪33.4‬‬
‫‪34.8‬‬
‫‪36.2‬‬
‫‪37.6‬‬
‫‪28.8‬‬
‫‪30.2‬‬
‫‪31.5‬‬
‫‪32.9‬‬
‫‪34.2‬‬
‫‪26.3‬‬
‫‪27.6‬‬
‫‪28.9‬‬
‫‪30.1‬‬
‫‪31.4‬‬
‫‪23.5‬‬
‫‪24.8‬‬
‫‪26.0‬‬
‫‪27.2‬‬
‫‪28.4‬‬
‫‪19.4‬‬
‫‪20.5‬‬
‫‪21.6‬‬
‫‪22.7‬‬
‫‪23.8‬‬
‫‪41.4‬‬
‫‪42.8‬‬
‫‪44.2‬‬
‫‪45.6‬‬
‫‪46.9‬‬
‫‪38.9‬‬
‫‪40.3‬‬
‫‪41.6‬‬
‫‪43.0‬‬
‫‪44.3‬‬
‫‪35.5‬‬
‫‪36.8‬‬
‫‪38.1‬‬
‫‪39.4‬‬
‫‪40.6‬‬
‫‪32.7‬‬
‫‪33.9‬‬
‫‪35.2‬‬
‫‪36.4‬‬
‫‪37.7‬‬
‫‪29.6‬‬
‫‪30.8‬‬
‫‪32.0‬‬
‫‪33.2‬‬
‫‪34.4‬‬
‫‪24.9‬‬
‫‪26.0‬‬
‫‪27.1‬‬
‫‪28.2‬‬
‫‪29.3‬‬
‫‪20.3‬‬
‫‪21.3‬‬
‫‪22.3‬‬
‫‪23.3‬‬
‫‪24.3‬‬
‫‪48.3‬‬
‫‪49.6‬‬
‫‪51.0‬‬
‫‪52.3‬‬
‫‪53.7‬‬
‫‪45.6‬‬
‫‪47.0‬‬
‫‪48.3‬‬
‫‪49.6‬‬
‫‪50.9‬‬
‫‪41.9‬‬
‫‪43.2‬‬
‫‪44.5‬‬
‫‪45.7‬‬
‫‪47.0‬‬
‫‪38.9‬‬
‫‪40.1‬‬
‫‪41.3‬‬
‫‪42.6‬‬
‫‪43.8‬‬
‫‪35.6‬‬
‫‪36.7‬‬
‫‪37.9‬‬
‫‪39.1‬‬
‫‪40.3‬‬
‫‪30.4‬‬
‫‪31.5‬‬
‫‪32.6‬‬
‫‪33.7‬‬
‫‪34.8‬‬
‫‪25.3‬‬
‫‪26.3‬‬
‫‪27.3‬‬
‫‪28.3‬‬
‫‪29.3‬‬
‫‪.95‬‬
‫‪.90‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.975‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.99‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.995‬‬
‫‪4‬‬
‫‪df‬‬
‫‪1.32‬‬
‫‪2.77‬‬
‫‪4.11‬‬
‫‪5.39‬‬
‫‪6.63‬‬
‫‪0.455‬‬
‫‪1.39‬‬
‫‪2.37‬‬
‫‪3.36‬‬
‫‪4.35‬‬
‫‪0.102‬‬
‫‪0.575‬‬
‫‪1.21‬‬
‫‪1.92‬‬
‫‪2.67‬‬
‫‪0.0158‬‬
‫‪0.211‬‬
‫‪0.584‬‬
‫‪1.06‬‬
‫‪1.61‬‬
‫‪0.0 393‬‬
‫‪0.103‬‬
‫‪0.352‬‬
‫‪0.711‬‬
‫‪1.15‬‬
‫‪0.0 982‬‬
‫‪0.0506‬‬
‫‪0.216‬‬
‫‪0.484‬‬
‫‪0.831‬‬
‫‪0.0 157‬‬
‫‪0.0201‬‬
‫‪0.115‬‬
‫‪0.297‬‬
‫‪0.554‬‬
‫‪0.0 393‬‬
‫‪0.0100‬‬
‫‪0.0717‬‬
‫‪0.207‬‬
‫‪0.412‬‬
‫‪10.6‬‬
‫‪12.0‬‬
‫‪13.4‬‬
‫‪14.7‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪7.84‬‬
‫‪9.04‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪11.4‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪5.35‬‬
‫‪6.35‬‬
‫‪7.34‬‬
‫‪8.34‬‬
‫‪9.34‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪4.25‬‬
‫‪5.07‬‬
‫‪5.90‬‬
‫‪6.74‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.83‬‬
‫‪3.49‬‬
‫‪4.17‬‬
‫‪4.87‬‬
‫‪1.64‬‬
‫‪2.17‬‬
‫‪2.73‬‬
‫‪3.33‬‬
‫‪3.94‬‬
‫‪1.24‬‬
‫‪1.69‬‬
‫‪2.18‬‬
‫‪2.70‬‬
‫‪3.25‬‬
‫‪0.872‬‬
‫‪1.24‬‬
‫‪1.65‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪2.56‬‬
‫‪0.676‬‬
‫‪0.989‬‬
‫‪1.34‬‬
‫‪1.73‬‬
‫‪2.16‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪13.7‬‬
‫‪14.8‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪17.1‬‬
‫‪18.2‬‬
‫‪10.3‬‬
‫‪11.3‬‬
‫‪12.3‬‬
‫‪13.3‬‬
‫‪14.3‬‬
‫‪7.58‬‬
‫‪8.44‬‬
‫‪9.30‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪11.0‬‬
‫‪5.58‬‬
‫‪6.30‬‬
‫‪7.04‬‬
‫‪7.79‬‬
‫‪8.55‬‬
‫‪4.57‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪5.89‬‬
‫‪6.57‬‬
‫‪7.26‬‬
‫‪3.82‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪5.01‬‬
‫‪5.63‬‬
‫‪6.26‬‬
‫‪3.05‬‬
‫‪3.57‬‬
‫‪4.11‬‬
‫‪4.66‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪3.07‬‬
‫‪3.57‬‬
‫‪4.07‬‬
‫‪4.60‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15.3‬‬
‫‪16.3‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.3‬‬
‫‪19.3‬‬
‫‪11.9‬‬
‫‪12.8‬‬
‫‪13.7‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪15.5‬‬
‫‪9.31‬‬
‫‪10.1‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪11.7‬‬
‫‪12.4‬‬
‫‪7.96‬‬
‫‪8.67‬‬
‫‪9.39‬‬
‫‪10.1‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪6.91‬‬
‫‪7.56‬‬
‫‪8.23‬‬
‫‪8.91‬‬
‫‪9.59‬‬
‫‪5.81‬‬
‫‪6.41‬‬
‫‪7.01‬‬
‫‪7.63‬‬
‫‪8.26‬‬
‫‪5.14‬‬
‫‪5.70‬‬
‫‪6.26‬‬
‫‪6.84‬‬
‫‪7.43‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪16.3‬‬
‫‪17.2‬‬
‫‪18.1‬‬
‫‪19.0‬‬
‫‪19.9‬‬
‫‪13.2‬‬
‫‪14.0‬‬
‫‪14.8‬‬
‫‪15.7‬‬
‫‪16.5‬‬
‫‪11.6‬‬
‫‪12.3‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪10.3‬‬
‫‪11.0‬‬
‫‪11.7‬‬
‫‪12.4‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪8.90‬‬
‫‪9.54‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪11.5‬‬
‫‪8.03‬‬
‫‪8.64‬‬
‫‪9.26‬‬
‫‪9.89‬‬
‫‪10.5‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20.8‬‬
‫‪21.7‬‬
‫‪22.7‬‬
‫‪23.6‬‬
‫‪24.5‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.1‬‬
‫‪18.9‬‬
‫‪19.8‬‬
‫‪20.6‬‬
‫‪15.4‬‬
‫‪16.2‬‬
‫‪16.9‬‬
‫‪17.7‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪15.3‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪16.8‬‬
‫‪12.2‬‬
‫‪12.9‬‬
‫‪13.6‬‬
‫‪14.3‬‬
‫‪15.0‬‬
‫‪11.2‬‬
‫‪11.8‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ - 11‬תרגול מסכם ברווחי סמך‬
‫‪ .1‬מהירות הגלישה באינטרנט במקום מסוים מתפלגת נורמאלית ‪ .‬בדקו את מהירות הגלישה ב‪-‬‬
‫‪ 01‬זמנים אקראיים‪ .‬מהירות הגלישה נמדדה ב‪ . Mbps-‬מהירות מתחת ל‪ 11 Mbps -‬מוגדרת‬
‫על ידי החברה כנמוכה‪.‬‬
‫התוצאות שהתקבלו במדגם ‪ :‬ממוצע היה ‪ 78‬עם סטיית תקן ‪ 18‬ו‪ 15-‬פעמים המהירות הייתה‬
‫בנו רווחי סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לפרמטרים הבאים‪:‬‬
‫נמוכה‪.‬‬
‫א‪ .‬תוחלת מהירות הגלישה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסיכוי שמהירות הגלישה תהיה נמוכה‪.‬‬
‫‪ 511 .5‬אנשים נשאלו כמה פעמים ביום הם שותים כוס קפה‪ .‬להלן התפלגות התשובות‪:‬‬
‫מספר פעמים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫מספר אנשים‬
‫‪73‬‬
‫‪04‬‬
‫‪57‬‬
‫‪55‬‬
‫‪51‬‬
‫‪11‬‬
‫א‪ .‬תנו רווח סמך לממוצע מספר כוסות הקפה שאנשים נוהגים לשתות ביום ‪  0.05 .‬‬
‫ב‪ .‬אדם השותה לפחות ‪ 4‬כוסות קפה ביום נקרא "מכור לקפה"‪ .‬בנו רווח סמך לאחוז‬
‫"המכורים לקפה" ‪  0.1‬‬
‫‪ .0‬חוקר בנה רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת בשנה‪ .‬רווח הסמך שהתקבל‬
‫הוא ‪ 81  p  91‬רווח הסמך הנ"ל התבסס על מדגם של ‪ 211‬איש‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה אנשים במדגם טענו שכלל לא התקררו השנה?‬
‫ב‪ .‬באיזו רמת סמך נבנה רווח הסמך?‬
‫ג‪ .‬בנו רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת השנה ברמת סמך של ‪ 02%‬על‬
‫סמך‬
‫תוצאות המדגם‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪79‬‬
‫‪ .4‬ציוני ‪ IQ‬בארה"ב מתפלגים נורמאלית עם תוחלת ‪ .111‬במדגם של ‪ 51‬ישראלים שנבחנו במבחן‬
‫‪ 2040‬‬
‫ה‪ IQ-‬התקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪ 210740‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬אמדו ברמת ביטחון של ‪ 01%‬את ממוצע ציוני בחינת ה‪ IQ -‬בישראל – מהי ההנחה‬
‫הדרושה‬
‫לפתרון?‬
‫ב‪ .‬על סמך רווח הסמך של סעיף א האם תקבלו את הטענה שבישראל ממוצע הציונים שונה‬
‫מארה"ב?‬
‫ג‪ .‬מה היה קורה לרווח הסמך אם הינו מגדילים את רמת הסמך שלו?‬
‫‪ .2‬להלן תוצאות מדגם שבדק עבור כל משפחה האם יש לה בבית מכשיר טאבלט‪.‬‬
‫אזור מגורים‬
‫גוש דן‬
‫שאר הארץ‬
‫גודל המדגם‬
‫‪511‬‬
‫‪541‬‬
‫מספר משפחות‬
‫בעלי טאבלט‬
‫‪131‬‬
‫‪137‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך להבדל בין אחוז המשפחות עם טאבלט בגוש דן ואחוז המשפחות בעלי‬
‫טאבלט בשאר‬
‫חלקי הארץ‪ .‬ברמת סמך של ‪.07%‬‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך לפרופורצית משפחות בעלות טאבלט בכלל הארץ ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫‪ .3‬הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית במדגם של ‪ 52‬מתגייסים התקבלו התוצאות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪x  176.2cm‬‬
‫‪ 2832cm2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ (x  x‬‬
‫‪i‬‬
‫א‪ .‬אמדו את הגובה הממוצע של המתגייסים ברמת סמך של ‪.07%‬‬
‫ב‪ .‬אמדו ברמת סמך של ‪ 01%‬את סטיית התקן של הגובה של מתגייסים של צה"ל‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪81‬‬
‫‪ .8‬בנק מתלבט האם לפתוח סניף באזור ‪ A‬או באזור ‪.B‬לצורך פתרון נניח שסטית התקן של‬
‫המשכורת באזור ‪ A‬היא ‪ 1511‬ובאזור ‪. 1211 B‬הבנק דגם ‪ 21‬אנשים מאזור ‪ ,A‬המשכורת‬
‫הממוצעת שהתקבלה במדגם היא ‪ .₪ 3,711‬כמו כן נדגמו ‪ 41‬אנשים מאזור ‪ ,B‬המשכורת‬
‫הממוצעת שהתקבלה במדגם היא ‪.₪ 3,311‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬להפרש הממוצעים של המשכורות בשני האזורים‪.‬‬
‫האם על סמך רווח הסמך ניתן להמליץ לבנק היכן לפתוח את הסניף‪ .‬אם כן‪ ,‬היכן?‬
‫ב‪ .‬בנו רווח סמך לתוחלת המשכורת באזור ‪ A‬ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫‪ .7‬להלן מדגם של שכר הדירה בש"ח של ‪ 2‬דירות שלושה חדרים בשכונת בבלי בתל אביב ‪:‬‬
‫שנת ‪5115‬‬
‫‪7111‬‬
‫‪8211‬‬
‫‪8111‬‬
‫‪3211‬‬
‫‪8211‬‬
‫שנת ‪5110‬‬
‫‪7111‬‬
‫‪7511‬‬
‫‪8711‬‬
‫‪3711‬‬
‫‪8811‬‬
‫בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לתוחלת עליית שכר הדירה משנת ‪ 5115‬לשנת ‪ 5110‬בשכונת‬
‫בבלי ‪ .‬ניתן להניח ששכר הדירה בשכונה מתפלג נורמלית‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪81‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪80.65    93.35 .‬‬
‫ב‪0.225  p  0.575 .‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪1.21    1.65 .‬‬
‫ב‪10.85%  p  19.15% .‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪81 .‬‬
‫ב‪00.77% .‬‬
‫ג‪83%  p  89% .‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪97.4    106.6 .‬‬
‫ב‪ .‬לא‬
‫ג‪ .‬יגדל‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪0.5%  p1  p2  19.5% .‬‬
‫ב‪0.704  p  0.768 .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫א‪170.8    181.6 .‬‬
‫ב‪8.8    14.3 .‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫א‪372   A  B  772 .‬‬
‫ב‪6467    7133 .‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫‪21  2013  2012  821‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪82‬‬
‫פרק ‪ - 15‬בדיקת השערות כללית‬
‫רקע‪:‬‬
‫תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה‪.‬‬
‫בתהליך זה ישנן שתי השערות שנבדקות ‪:‬‬
‫השערת האפס המסומנות ב‪H 0 -‬‬
‫והשערה אלטרנטיבית ( השערת המחקר ) המסומנת ב‪. H1 -‬‬
‫בדרך כלל השערת האפס מסמנת את אשר היה מקובל עד עכשיו ‪ ,‬את השגרה הנורמה ואילו‬
‫ההשערה האלטרנטיבית את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה‬
‫שהמחקר נעשה ‪.‬‬
‫למשל ‪,‬‬
‫ישנה תרופה קיימת למחלה ‪ A‬אשר גורמת ל – ‪ 11 %‬מהמשתמשים בה לתופעות לוואי ‪ .‬חברת‬
‫תרופות טוענת שפיתחה תרופה שיעילה באותה מידה ‪ ,‬אך מקטינה את הסיכוי לתופעות הלוואי‪.‬‬
‫לכן יש לבצע מחקר שעל סמך תוצאותיו ננסה להכריע איזה השערה נקבל‪:‬‬
‫‪ : H 0‬התרופה החדשה הנה קונבנציונאלית וגורמת ל‪ 11%-‬תופעות לוואי‪.‬‬
‫‪ : H1‬התרופה החדשה מקטינה את אחוז הסובלים מתופעות לוואי מתחת ל ‪.11%-‬‬
‫בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה ‪:‬‬
‫הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ( דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה)‬
‫ו אזור קבלה ( קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה)‪ .‬כלל ההכרעה מתבסס על‬
‫איזשהו סטטיסטי ‪.‬‬
‫בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך‬
‫להגיע למסקנה – המסקנה היא בע ירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות‬
‫המדגם‪ .‬נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכולים לקבל מסקנה אחרת ‪ .‬נבצע מדגם חדש אנחנו‬
‫עלולים לקבל תוצאה אחרת‪.‬‬
‫לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו‪:‬‬
‫הכרעה‬
‫‪H1‬‬
‫‪H0‬‬
‫טעות מסוג‬
‫‪1‬‬
‫אין טעות‬
‫‪H0‬‬
‫אין טעות‬
‫טעות מסוג‬
‫‪5‬‬
‫‪H1‬‬
‫מציאות‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪83‬‬
‫הגדרת הטעויות‪:‬‬
‫טעות מסוג ראשון‪ -‬להכריע לדחות את ‪ H 0‬למרות שבמציאות ‪ H 0‬נכונה‪.‬‬
‫טעות מסוג שני‪ -‬להכריע לקבל את ‪ H 0‬למרות שבמציאות ‪ H1‬נכונה‪.‬‬
‫מה הן הטעויות האפשריות במחקר של התרופות? ( בהקלטה )‬
‫נגדיר את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪ ( 1‬רמת מובהקות )‬
‫) לדחות ‪ H0(= 𝑃𝐻0 (H0‬נכונה | לדחות את ‪α=P)H0‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪:5‬‬
‫) לקבל ‪ H1(=𝑃𝐻1 (H0‬נכונה | לקבל את ‪β =P)H0‬‬
‫רמת בטחון‪:‬‬
‫) לקבל‪ H0(= 𝑃𝐻0 (H0‬נכונה | לקבל את ‪)1-α( =P)H0‬‬
‫עוצמה ‪:‬‬
‫) לדחות ‪ H1( =𝑃𝐻1 (H0‬נכונה | לדחות את ‪π=)1-β ( =P)H0‬‬
‫דוגמה‪ ( :‬פתרון בהקלטה )‬
‫בכד יש ‪ 11‬כדורים‪ .‬יתכן ש‪ 2 -‬מהם לבנים והיתר שחורים (כד א‪ -‬השערת האפס) או ש‪ 8 -‬מהם‬
‫לבנים והיתר שחורים (כד ב‪ -‬השערה אלטרנטיבית)‪.‬‬
‫כדי להחליט איזה מהכדים ברשותנו‪ ,‬הוחלט להוציא כדור ולהשתמש בכלל ההחלטה הבא‪ :‬אם‬
‫הכדור שהוצא הוא לבן שזהו כד ב' (‪.)H1‬‬
‫א‪ .‬חשבו את רמת המובהקות ואת רמת הביטחון של המבחן המוצע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הסיכוי לטעות מסוג שני והעוצמה של המבחן המוצע‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪84‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬אדם חשוד בביצוע פשע‪ .‬מהן הטעויות האפשריות בהכרעת הדין?‬
‫‪ .5‬ילד קנה שקית סוכריות אטומה שבה ציפה ל‪ 11-‬סוכריות תות ו‪ 2-‬לימון‪ .‬ישנה שקית‬
‫אחרת אותה הוא לא רצה בה ‪ 3‬סוכריות תות ו‪ 0 -‬לימון‪.‬הוא החליט להוציא באקראי‬
‫סוכרייה אם היא תהיה לימון הוא יחזיר את השקית לחנות‪ .‬מה הסיכויים לכל סוג של‬
‫טעות בהכרעתו?‬
‫‪ .0‬יהי ‪ X‬מספר שלם הנבחר באקראי מבין המספרים השלמים‪ .‬הסיכוי ש‪ X -‬יקבל ערך‬
‫‪1‬‬
‫כלשהו נתון על ידי הנוסחה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ p( X  k ) ‬עבור ‪k  1, 2,......, n‬‬
‫נתונות ההשערות הבאות לגבי התפלגות של ‪:X‬‬
‫‪H0 : n  4‬‬
‫‪H1 : n  6‬‬
‫כמו כן נתון כלל ההכרעה הבא‪ :‬נדחה את השערת האפס אם ‪.X>3‬‬
‫חשבו את הסיכוי לטעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני ואת העוצמה?‬
‫‪ .4‬איכות של מוצר מסווגת ל‪ 4-‬רמות איכות‪ :‬מצוין‪ ,‬טוב‪ ,‬בינוני וירוד‪ .‬להלן התפלגות טיב‬
‫המוצר בשני מפעלים‪:‬‬
‫מפעל‬
‫מצוין‬
‫טוב‬
‫ירוד‬
‫בינוני‬
‫"היוצר"‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫"שמשון"‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪1.4‬‬
‫בוחרים ממשלוח מוצר באקראי‪ ,‬אך לא יודעים מאיזה מפעל המשלוח הגיע‪ .‬על סמך‬
‫בדיקת האיכות מנסים להכריע האם מדובר במפעל "היוצר" (השערת האפס) או במפעל‬
‫"שמשון" (השערה אלטרנטיבית)‪.‬‬
‫א‪ .‬להלן כלל החלטה‪ :‬אם מדובר במוצר שטיבו "טוב" נכריע שהמוצר בא ממפעל‬
‫"שמשון"‪ ,‬מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים?‬
‫ב‪ .‬להלן כלל החלטה‪ :‬אם מדובר במוצר שטיבו "בנוני" או גרוע מכך נכריע שהמוצר בא‬
‫ממפעל "שמשון"‪ ,‬מה מהן ההסתברויות לסוגי הטעויות השונים?‬
‫ג‪ .‬איזה כלל החלטה עדיף? נמק!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪85‬‬
‫‪ .2‬במטרה לבדוק האם מטבע תקין הטילו אותו ‪ 7‬פעמים‪ .‬הוחלט שאם מספר העצים יהיה‬
‫בין ‪ 1‬ל ‪ 8‬כולל יוחלט שהמטבע תקין‪ ,‬אחרת נחליט שהמטבע מזויף‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לטעות מסוג ראשון?‬
‫ג‪ .‬מהי עצמת המבחן אם במציאות אכן המטבע אינו תקין כי הסיכוי לעץ בו הוא ‪.51%‬‬
‫‪ .3‬להלן השערות‪:‬‬
‫)‪( H 0 : X ~ t (5‬התפלגות ‪ t‬עם ‪ 2‬דרגות חופש)‬
‫‪( H : X ~ Z‬התפלגות נורמאלית סטנדרטית)‬
‫‪1‬‬
‫))סטנדארטית)‬
‫כלל החלטה‪ :‬נדחה את השערת האפס אם ‪ X‬גדול מ‪.5.112-‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות של כלל ההחלטה?‬
‫ב‪ .‬מהי העוצמה של כלל ההחלטה?‬
‫‪ .8‬במפעל מסוים נפלטים לאוויר חומרים רעילים‪ .‬במצב שיגרה העוצמה הממוצעת של‬
‫החומר הרעיל אמורה להיות ‪ 3,111‬יחידות עם סטיית תקן ‪ .011‬במצב חירום העוצמה‬
‫הממוצעת היא ‪ 8,111‬עם סטיית תקן ‪ .011‬במפעל מערכת התראה נתמכת על ידי ‪0‬‬
‫חיישנים‪ .‬אם ממוצע העוצמה של החומר הרעיל לפי תשעת החיישנים עולה על ‪3311‬‬
‫יחידות מופעלת מערכת ההתראה‪ .‬נתון שעוצמת הזיהום מתפלגת נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הסיכוי להתראת שווא? (באיזה סוג טעות מדובר)?‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי שבמצב חירום מערכת ההתראה לא תפעל? (באיזה סוג טעות מדובר)?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שאם המצב הוא מצב חירום מערכת ההתראה תפעל? (איך קוראים‬
‫להסתברות זו)?‬
‫ד‪ .‬בסעיפים הבאים נשנה בכל סעיף נתון מסוים‪ .‬כל סעיף עומד בפני עצמו‪ ,‬כיצד השינוי‬
‫ישנה את הסיכוי לטעות מסוג ראשון ושני?‬
‫‪ .1‬המפעל יקנה עוד ‪ 4‬חיישנים‪.‬‬
‫‪ .5‬מצב חרום מוגדר כעת בתוחלת של ‪ 8211‬יחידות‪.‬‬
‫‪ .0‬מערכת ההתראה תופעל אם ממוצע של תשעת החיישנים יהיה מעל ‪.3811‬‬
‫‪ .7‬במטרה לבדוק האם במקום עבודה מסוים פרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות‬
‫נדגמו באקראי ‪ 11‬עובדים‪ .‬הוחלט שאם מספר הבנים במדגם יהיה לכל היותר ‪ 5‬תתקבל‬
‫הטענה שפרופורציית הבנים נמוכה מפרופורציית הבנות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה רמת המובהקות של כלל ההכרעה הנ"ל ?‬
‫ב‪ .‬מהי העצמה בהנחה ובחברה ‪ 01%‬בנים?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪86‬‬
‫‪ .0‬זמן ההשפעה של משכך הכאבים "אופטלנוס" מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 41‬דקות‬
‫וסטיית תקן של ‪ 15‬דקות‪.‬‬
‫חברת התרופות המייצרת את התרופה מנסה לשפר את התרופה כך שתוחלת הזמן עד‬
‫להשפעה תתקצר‪ .‬לצורך כך‪ ,‬דגמו ‪ 52‬מטופלים שיקבלו את התרופה "אופטלנוס פורטה"‪,‬‬
‫ממוצע זמן התגובה של המטופלים היה ‪ 04.2‬דקות‪ .‬חברת התרופות החליטה מראש שאם‬
‫ממוצע הזמן עד להשפעה יהיה נמוך מ ‪ 02‬דקות‪ ,‬היא תמשיך בתהליך שיווק "אופטלנוס‬
‫פורטה"‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע?‬
‫ב‪ .‬על סמך תוצאות המדגם‪ .‬מהי המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה?‬
‫ג‪ .‬מהי עצמת המבחן המוצע אם במציאות התרופה "אופטלנוס פורטה" מפחיתה את‬
‫התוחלת לכדי ‪05‬דקות?‬
‫ד‪ .‬כיצד תשתנה התשובה לסעיף ג' אם החברה הייתה מחליטה שהיא תמשיך בתהליך‬
‫שיווק התרופה החדשה כאשר ממוצע המדגם יהיה נמוך מ‪ 03-‬דקות?‬
‫‪ .11‬ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן ‪.151‬‬
‫מכון טוען שלימודים אצלו מעלים את ממוצע הציונים ביותר מ‪ 01-‬נקודות‪ .‬נלקחו ‪ 51‬שלמדו‬
‫במכון ו‪ 51-‬שניגשו לבחינה בלמידה עצמית‪ .‬הוחלט במשרד פרסום לקבל את טענת המכון רק‬
‫אם במדגם ממוצע הציונים של אלה שלמדו במכון יהיה גבוהה בלפחות ‪ 21‬נקודות מאלה‬
‫שלא היו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות של המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי לעשות טעות מסוג שני ‪ II‬בהנחה שהמכון מעלה את ממוצע הציונים ב‪31-‬‬
‫נקודות ?‬
‫ג‪ .‬כיצד התשובות לסעיף א ו ב' היו משתנות אם מסתבר שסטיית התקן בציוני‬
‫הפסיכומטרי הינה ‪ .111‬הסבירו ללא חישוב‪.‬‬
‫‪ .11‬קו ייצור נחשב תקין אם יש בו לכל היותר ‪ 4%‬פגומים ‪ ,‬ונחשב שאינו תקין אחרת‪ .‬מנהל‬
‫האיכות דוגם בכל יום מקו הייצור ‪ 211‬מוצרים‪ .‬אם במדגם יהיה לפחות ‪ 01‬מוצרים‬
‫פגומים יפסיקו באותו היום את קו הייצור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להפסיק את קו הייצור כשהוא תקין‪ .‬איך קוראים להסתברות זאת?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להמשיך ביום מסוים את קו הייצור למרות שאינו תקין כי היו ‪7%‬‬
‫פגומים בקו הייצור‪ .‬איך קוראים להסתברות זאת?‬
‫‪ .15‬מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים‪ .‬הוחלט לדגום ‪ 511‬מתקבלים‬
‫ועל סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת‪.‬‬
‫חוקר א' קבע רמת מובהקות של ‪ 2%‬וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו‬
‫לפחות ‪ 151‬בנים‪ .‬למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪87‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪  0.5   0.25‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪  0.8   0.2 .‬‬
‫ב‪  0.3   0.2 .‬‬
‫ג‪ .‬כלל ב'‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫ב‪1.11871 .‬‬
‫ג‪1.1387 .‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫א‪1.12 .‬‬
‫ב‪1.155 .‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫א‪1.1557 .‬‬
‫ב‪1.1017 .‬‬
‫ג‪1.0175 .‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫א‪1.122 .‬‬
‫ב‪1.070 .‬‬
‫שאלה ‪10‬‬
‫א‪1.5071 .‬‬
‫ב‪1.0084 .‬‬
‫ג‪ .‬קטן‬
‫שאלה ‪11‬‬
‫א‪1.1110 .‬‬
‫ב‪1.1402 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪88‬‬
‫שאלה ‪12‬‬
‫חוקר א‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪89‬‬
‫פרק ‪ - 10‬בדיקת השערות על פרמטרים‬
‫הקדמה‬
‫רקע‪:‬‬
‫תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה‪.‬‬
‫בבדיקת השערות על פרמטרים נעבוד לפי השלבים הבאים‪:‬‬
‫שלב א‪ :‬נזהה את הפרמטר הנחקר‪.‬‬
‫שלב ב‪ :‬נרשום את השערות המחקר‪.‬‬
‫השערת האפס המסומנות ב‪H 0 -‬‬
‫בדרך כלל השערת האפס מסמלת את אשר היה מקובל עד עכשיו ‪ ,‬את השגרה הנורמה‪.‬‬
‫השערה אלטרנטיבית ( השערת המחקר ) המסומנת ב‪. H1 -‬‬
‫ההשערה האלטרנטיבית מסמלת את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה‬
‫שהמחקר נעשה היא שאלת המחקר‪.‬‬
‫שלב ג ‪ :‬נבדוק האם התנאים לביצוע התהליך מתקיימים ונניח הנחות במידת הצורך‪.‬‬
‫שלב ד‪ :‬נרשום את כלל ההכרעה ‪.‬‬
‫בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה ‪:‬‬
‫הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ( דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה)‬
‫ו אזור קבלה ( קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה)‪ .‬כלל ההכרעה מתבסס על‬
‫איזשהו סטטיסטי ‪.‬‬
‫אזור הדחיה מוכתב על ידי סיכון שלוקח החוקר מראש שנקרא רמת מובהקות ומסומן ב‪.α -‬‬
‫שלב ה‪:‬‬
‫בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולחשב את הסטטיסטי המתאים ולבדוק האם התוצאות‬
‫נופלות באזור הדחייה או הקבלה‪.‬‬
‫שלב ו ‪:‬‬
‫להסיק מסקנה בהתאם לתוצאות המדגם‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪91‬‬
‫דוגמה‪ ( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל ‪ 0011‬גר'‪ .‬משרד‬
‫הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך‬
‫מהממוצע‪ .‬במחקר השתתפו ‪ 51‬נשים מעשנות בהריון‪ .‬להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל‬
‫של התינוקות בעת הלידה‪:‬‬
‫‪n  20‬‬
‫‪X  3120‬‬
‫‪S  280‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪91‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו ‪ 85‬עם סטיית תקן ‪ 12‬נקודות‪ .‬מורה טוען‬
‫שפיתח שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים‪ .‬משרד החינוך החליט לתת‬
‫למורה ‪ 03‬תלמידים אקראיים‪ .‬ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו‬
‫בשיטתו היה ‪.82.2‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫‪ .5‬לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם‬
‫תוחלת ‪ 211‬סמ"ק וסטיית תקן ‪ 51‬סמ"ק ‪ .‬אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח‬
‫המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת‪ .‬במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח‬
‫ממוצע של ‪ 405‬סמ"ק במדגם בגודל ‪.52‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫‪ .0‬במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה למשפטים היה ‪ .52%‬השנה מתוך מדגם‬
‫של ‪ 151‬מועמדים התקבלו ‪ .55‬מחקר מעוניין לבדוק האם השנה מקשים על הקבלה לפקולטה‬
‫למשפטים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫‪ .4‬בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא ‪ 7%‬במדגם עכשווי התקבל שמתוך ‪511‬‬
‫אנשים ‪ 3.2%‬מובטלים‪ .‬רוצים לבדוק ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם כיום אחוז האבטלה הוא‬
‫כמו בתחילת השנה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪92‬‬
‫טעויות בבדיקת השערות‬
‫רקע‪:‬‬
‫בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כלל הכרעה ‪:‬‬
‫הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ( דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה)‬
‫ו אזור קבלה ( קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה)‪ .‬כלל ההכרעה מתבסס על‬
‫איזשהו סטטיסטי ‪.‬‬
‫בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך‬
‫להגיע למסקנה – המסקנה היא בעירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות‬
‫המדגם‪ .‬נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכול ים לקבל מסקנה אחרת ‪ .‬נבצע מדגם חדש אנחנו‬
‫עלולים לקבל תוצאה אחרת‪.‬‬
‫לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו‪:‬‬
‫הכרעה‬
‫‪H1‬‬
‫‪H0‬‬
‫טעות מסוג‬
‫‪1‬‬
‫אין טעות‬
‫‪H0‬‬
‫אין טעות‬
‫טעות מסוג‬
‫‪5‬‬
‫‪H1‬‬
‫מציאות‬
‫הגדרת הטעויות‪:‬‬
‫טעות מסוג ראשון‪ -‬להכריע לדחות את ‪ H 0‬למרות שבמציאות ‪ H 0‬נכונה‪.‬‬
‫טעות מסוג שני‪ -‬להכריע לקבל את ‪ H 0‬למרות שבמציאות ‪ H1‬נכונה‪.‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫אדם חשוד בביצוע עבירה ונתבע בבית המשפט‪ .‬אילו סוגי טעויות אפשריות בהכרעת הדין?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪93‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת‬
‫‪ 211‬סמ"ק וסטיית תקן ‪ 51‬סמ"ק ‪ .‬אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק‬
‫מהכמות המוצהרת‪ .‬במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של ‪ 405‬סמ"ק במדגם‬
‫בגודל ‪ .52‬בסופו של דבר הוחלט להכריע לטובת חברת המשקאות‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה מסקנת המחקר?‬
‫ג‪ .‬איזו סוג טעות יתכן וביצעו במחקר?‬
‫‪ .5‬במחקר על פרמטר מסוים הוחלט בסופו של דבר לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫א‪ .‬האם ניתן לדעת אם בוצע טעות במחקר?‬
‫ב‪ .‬מה סוג הטעות האפשרית?‬
‫‪ .0‬לפי נתוני משרד הפנים בשנת ‪ 1071‬למשפחה ממוצעת היה ‪ 5.0‬ילדים למשפחה עם סטיית תקן‬
‫‪ .1.4‬ישנה טענה שכיום ממוצע מספר הילדים במשפחה קטן יותר‪ .‬לצורך כך הוחלט לדגום ‪151‬‬
‫משפחות‪ .‬במדגם התקבל ממוצע ‪ 5.18‬ילדים למשפחה‪ .‬על סמך תוצאות המדגם נקבע שלא‬
‫ניתן לקבוע שבאופן מובהק תוחלת מספר הילדים למשפחה קטנה כיום‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי אוכלוסיית המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה המשתנה הנחקר?‬
‫ג‪ .‬מה הפרמטר הנחקר?‬
‫ד‪ .‬מה השערות המחקר?‬
‫ה‪ .‬מה מסקנת המחקר?‬
‫ו‪ .‬מהי סוג הטעות האפשרית במחקר?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪94‬‬
‫פרק ‪ - 14‬בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע)‬
‫כאשר שונות האוכלוסיה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבה‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪ ‬ידועה‬
‫‪N‬‬
‫‪ X‬או מדגם מספיק גדול‬
‫‪ Z x  Z1 ‬או‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z x  Z‬‬
‫‪Z x  Z1‬‬
‫‪Z x  Z1‬‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Z1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪Z1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪X  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ZX ‬‬
‫‪n‬‬
‫חלופה אחרת לכלל הכרעה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫נדחה ‪ H0‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪X   0  Z 1 / 2 ‬‬
‫או‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X   0  Z1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X   0  Z 1 / 2 ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪X   0  Z1 ‬‬
‫‪95‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫יבול העגבניות מתפלג נורמלית עם תוחלת של ‪ 11‬טון לדונם וסטיית תקן של ‪ 5.2‬טון לדונם‬
‫בעונה‪ .‬משערים ששיטת זיבול חדשה תעלה את תוחלת היבול לעונה מבלי לשנות את סטיית‬
‫התקן‪ .‬נדגמו ‪ 4‬חלקות שזובלו בשיטה החדשה‪ .‬היבול הממוצע שהתקבל היה ‪ 15.2‬טון לדונם‪.‬‬
‫בדוק את ההשערה ברמת מובהקות של ‪.1%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪96‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו ‪ 85‬עם סטיית תקן ‪ 12‬נקודות‪ .‬מורה טוען שפיתח‬
‫שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים‪ .‬משרד החינוך החליט לתת למורה ‪ 03‬תלמידים‬
‫אקראיים‪ .‬ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה ‪ .82.2‬בהנחה שגם‬
‫בשיטתו סטיית התקן תהייה ‪ 12‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.5‬‬
‫לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם‬
‫תוחלת ‪ 211‬סמ"ק וסטיית תקן ‪ 51‬סמ"ק ‪ .‬אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה‬
‫בבקבוק מהכמות המוצהרת‪ .‬במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של ‪405‬‬
‫סמ"ק במדגם בגודל ‪.52‬‬
‫א‪ .‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?5.2%‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה עבור רמת מובהקות הגבוהה מ‪?2%-‬‬
‫‪.0‬‬
‫מהנדס האיכות מעוניין לבדוק אם מכונה מכוילת (מאופסת)‪ .‬המכונה כוונה לחתוך מוטות באורך‬
‫‪ 21‬ס"מ‪ .‬לפי נתוני היצרן סטיית התקן בחיתוך המוטות היא ‪ 1.2‬ס"מ‪ .‬במדגם של ‪ 21‬מוטות‬
‫התקבל ממוצע אורך המוט ‪ 21.00‬ס"מ‪.‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.2‬‬
‫המשקל הממוצע של הספורטאים בתחום ספורט מסוים הוא ‪ 01‬ק"ג‪ ,‬עם סטיית תקן‬
‫‪ 7‬ק"ג‪ .‬לפי דעת מומחים בתחום יש צורך בהורדת המשקל ובשימוש בדיאטה מסוימת שצריכה‬
‫להביא להורדת המשקל‪ .‬לשם בדיקת יעילות הדיאטה נלקח מדגם מקרי של ‪ 21‬ספורטאים‬
‫ובתום שנה של שימוש בדיאטה התברר שהמשקל הממוצע במדגם זה היה ‪ 74‬ק"ג‪ .‬יש לבדוק‬
‫בר"מ של ‪ ,11%‬האם הדיאטה גורמת להורדת המשקל‪.‬‬
‫לפי מפרט נתון‪ ,‬על עובי בורג להיות ‪ 4‬מ"מ עם סטיית תקן של ‪ 1.5‬מ"מ‪ .‬במדגם של ‪ 52‬ברגים‬
‫העובי הממוצע היה ‪ 4.18‬מ"מ‪.‬‬
‫קבעו ברמת מובהקות ‪ ,1.12‬האם עובי הברגים מתאים למפרט‪ .‬הניחו כי עובי של בורג מתפלג‬
‫נורמלית וסטיית התקן של עובי בורג היא אכן ‪ 1.5‬מ"מ‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪97‬‬
‫‪ .3‬במחקר נמצא שתוצאה היא מובהקת ברמת מובהקות של ‪ 2%‬מה תמיד נכון? בחר בתשובה‬
‫הנכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬הגדלת רמת המובהקות לא תשתנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הגדלת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ג‪ .‬הקטנת רמת המובהקות לא תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬הקטנת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫‪ .8‬חוקר ערך מבחן דו צדדי ברמת מובהקות של ‪ ‬והחליט לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫אם החוקר היה עורך מבחן צדדי ברמת מובהקות של‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫אזי בהכרח‪( :‬בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪ .‬השערת האפס הייתה נדחית‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס הייתה לא נדחית‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו במקרה זה‪.‬‬
‫‪ .7‬שני סטטיסטיקאים בדקו השערות ‪ H0 :   0‬כנגד ‪ H1 :   0‬עבור שונות ידועה ובאותה רמת‬
‫מובהקות‪ .‬שני החוקרים קבלו אותו ממוצע במדגם אך לחוקר א' היה מדגם בגודל ‪ 111‬ולחוקר ב'‬
‫מדגם בגודל ‪.511‬‬
‫א‪ .‬אם חוקר א' החליט לדחות את ‪ , H 0‬מה יחליט חוקר ב'? נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם חוקר א' יחליט לא לדחות את ‪ , H 0‬מה יחליט חוקר ב'? נמקו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪98‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫א‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫ג‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫א‪ .‬אותה מסקנה‬
‫ב‪ .‬לא ניתן לדעת‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪99‬‬
‫סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫הכרעה‬
‫‪H1‬‬
‫‪H0‬‬
‫טעות מסוג ‪1‬‬
‫אין טעות‬
‫‪H0‬‬
‫אין טעות‬
‫טעות מסוג ‪5‬‬
‫‪H1‬‬
‫מציאות‬
‫נגדיר את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪ ( 1‬רמת מובהקות )‬
‫) לדחות ‪ H0(= 𝑃𝐻0 (H0‬נכונה | לדחות את ‪α=P)H0‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪:2‬‬
‫) לקבל ‪ H1(=𝑃𝐻1 (H0‬נכונה | לקבל את ‪β =P)H0‬‬
‫רמת בטחון‪:‬‬
‫) לקבל‪ H0(= 𝑃𝐻0 (H0‬נכונה | לקבל את ‪)1-α( =P)H0‬‬
‫עוצמה ‪:‬‬
‫) לדחות ‪ H1( =𝑃𝐻1 (H0‬נכונה | לדחות את ‪π=)1-β ( =P)H0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪111‬‬
‫התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבה‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪ ‬ידועה‬
‫‪.0‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ X‬או מדגם מספיק גדול‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X   0  Z 1 / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫או‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫חישוב ‪: β‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪X   0  Z1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X   0  Z1 ‬‬
‫‪X   0  Z 1 / 2 ‬‬
‫‪ X  0  Z‬‬
‫התפלגות ממוצע המדגם ‪) :‬‬
‫התקנון ‪:‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪PH ( 0  Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪) PH1 ( X  0  Z1 ‬‬
‫‪X ~ N ( ,‬‬
‫‪Z ‬‬
‫‪n‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪PH ( X  0  Z1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪111‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫בתחילת השנה חשבון הטלפון הסלולארי הממוצע לאדם היה ‪ ₪ 511‬עם סטיית תקן של ‪₪ 71‬‬
‫לחודש‪ .‬בעקבות כניסתן של חברות טלפון סלולארית חדשות מעוניינים לבדוק האם כיום ממוצע‬
‫חשבון הטלפון הסלולארי פחת‪ .‬לצורך בדיקה דגמו באקראי ‪ 03‬אנשים וחשבון הטלפון הסלולארי‬
‫שלהם היה ‪ ₪ 121‬בממוצע לחודש‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר ובנו כלל הכרעה במונחי חשבון ממוצע מדגמי ברמת מובהקות‬
‫של ‪.2%‬‬
‫ב‪ .‬מה מסקנתכם? איזה סוג טעות אפשרית במסקנה?‬
‫ג‪ .‬נניח שבמציאות כיום החשבון הממוצע הוא ‪ .₪ 131‬מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?‬
‫ד‪ .‬אם נקטין את רמת המובהקות מסעיף א'‪ ,‬כיצד הדבר ישפיע על התשובה מסעיף ג'?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪112‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫נתון ש )‪X N( , 2  1‬‬
‫להלן השערות של חוקר לגבי הפרמטר ‪: ‬‬
‫‪H0 :   5‬‬
‫‪H1 :   7‬‬
‫מעוניינים ליצור כלל הכרעה המתבסס על הסמך תצפית בודדת כך שרמת המובהקות תהיה‬
‫‪.2%‬‬
‫א‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ X‬שידגם נדחית השערת ‪? H 0‬‬
‫ב‪ .‬מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?‬
‫ג‪ .‬אם במדגם התקבל ש ‪ X  6.9‬מה תהיה המסקנה ומה הטעות האפשרית?‬
‫‪.5‬‬
‫לפי נתוני משרד הפנים בשנת ‪ 1071‬למשפחה ממוצעת היה ‪ 5.0‬ילדים למשפחה עם סטיית תקן‬
‫‪ .1.4‬מעוניינים לבדוק אם כיום ממוצע מספר הילדים למשפחה קטן יותר‪ .‬לצורך כך הוחלט‬
‫לדגום ‪ 151‬משפחות‪ .‬במדגם התקבל ממוצע ‪ 5.18‬ילדים למשפחה‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א מה תהיה המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה?‬
‫ג‪ .‬אם באמת ממוצע מספר הילדים במשפחה פחת לכדי ‪ 5.1‬מהי העצמה של הכלל‬
‫מסעיף א?‬
‫‪.0‬‬
‫להלן נתונים על תהליך של בדיקת השערות על תוחלת‪:‬‬
‫‪H 0 :   200‬‬
‫‪H1 :   200‬‬
‫‪  30‬‬
‫‪n  225‬‬
‫א‪ .‬רשום כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי וברמת מובהקות של ‪.11%‬‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א מהי העצמה אם התוחלת שווה ל‪?102 -‬‬
‫ג‪ .‬הסבר ללא חישוב איך העצמה תשתנה אם רמת המובהקות תהייה ‪?2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪113‬‬
‫‪.4‬‬
‫מפעל לייצור צינורות מייצר צינור שקוטרו מתפלג נורמלית עם תוחלת של ‪ 21‬מ"מ וסטית‬
‫תקן של ‪ 3‬מ"מ‪ .‬במחלקת ביקורת האיכות דוגמים בכל יום ‪ 71‬צינורות ומודדים את קוטרם‪,‬‬
‫בכדי לבדוק‪ ,‬בעזרת מבחן סטטיסטי‪ ,‬האם מכונת הייצור מכוילת כנדרש או שקוטר הצינורות‬
‫קטן מהדרוש‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום את ההשערות ואת כלל ההכרעה ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫ב‪ .‬אם ביום כלשהו מכונת הייצור התקלקלה והיא מייצרת את הצינורות בקוטר שתוחלתו ‪47‬‬
‫מ"מ בלבד (סטית התקן לא השתנתה)‪ ,‬מה ההסתברות שהתקלה לא תתגלה בביקורת‬
‫האיכות? כיצד נקראת הסתברות זו?‬
‫ג‪ .‬הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם רמת המובהקות תגדל‪.‬‬
‫ד‪ .‬הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם התוחלת האמיתית היא ‪ 48‬ולא ‪47‬‬
‫מ"מ‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫להלן השערות של מחקר‬
‫‪H 0 :   50‬‬
‫‪H1 :   58‬‬
‫מעוניינים לדגום ‪ 111‬תצפיות ‪ .‬ידוע שסטיית התקן של ההתפלגות הינה ‪.51‬‬
‫א‪ .‬בנו כלל הכרעה שהסיכוי לטעות מסוג שני בו הוא ‪ . 11%‬מהי רמת המובהקות?‬
‫ב‪ .‬כיצד הייתה משתנה רמת המובהקות אם (כל סעיף בפני עצמו) ?‬
‫‪ .1‬סטיית התקן הייתה יותר גדולה ‪.‬‬
‫‪ .5‬הסיכוי לטעות מסוג שני גדול יותר‪.‬‬
‫השאלות שלהלן הן שאלות רב בררתיות‪ .‬בחר בכל שאלה את התשובה הנכונה ביותר‪:‬‬
‫‪ .3‬אם חוקר החליט להגדיל את רמת המובהקות במחקר שלו אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬הסיכוי לטעות מסוג ראשון גדל‪.‬‬
‫ב‪ .‬העוצמה של המבחן גדלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסיכוי לטעות מסוג שני גדל‪.‬‬
‫ד‪ .‬תשובות א ו‪-‬ב נכונות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן‪:‬‬
‫א‪ .‬השערת האפס נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס נדחתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬השערת האפס לא נדחתה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪114‬‬
‫‪ .7‬מה המצב הרצוי לחוקר המבצע בדיקת השערה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.0‬‬
‫א‪ .‬גדולה‬
‫גדולה‬
‫ב‪ .‬גדולה‬
‫קטנה‬
‫ג‪ .‬קטנה‬
‫גדולה‬
‫ד‪ .‬קטנה‬
‫קטנה‬
‫נערך שינוי בכלל ההחלטה של בדיקת השערה מסוימת ובעקבותיו אזור דחיית‬
‫‪ H 0‬קטן‪ .‬כל שאר הגורמים נשארו ללא שינוי‪ .‬כתוצאה מכך‪:‬‬
‫א‪ .‬הן ‪ ,‬והן (‪ ,)1 - ‬יקטנו‪.‬‬
‫ב‪  .‬יישאר ללא שינוי ואילו (‪ )1 - ‬יגדל‪.‬‬
‫ג‪  .‬יגדל ואילו (‪ )1 - ‬יקטן‪.‬‬
‫ד‪ .‬הן ‪ ‬והן (‪ )1 - ‬יגדלו‪.‬‬
‫‪ .11‬ידוע כי לחץ דם תקין באוכלוסייה הוא ‪ . 151‬רופא מניח שלחץ הדם בקרב‬
‫עיתונאים גבוה יותר מהממוצע באוכלוסייה‪ .‬הוא לקח מדגם של ‪ 31‬עיתונאים‬
‫וקיבל ממוצע ‪.108‬‬
‫על סמך המדגם‪ ,‬הוא בודק טענתו ברמת מובהקות ‪ 1.15‬ומסיק שלחץ הדם בקרב‬
‫העיתונאים אינו גבוה יותר‪ .‬מה הטעות האפשרית שהרופא עושה ?‬
‫א‪ .‬טעות מסוג ראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬טעות מסוג שני‪.‬‬
‫ג‪ .‬טעות מסוג שלישי‪.‬‬
‫ד‪ .‬אין טעות במסקנתו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪115‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬מעל ‪3.342‬‬
‫ב‪1.0305 .‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪ H 0‬אם ‪X  2.24‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ג‪1 .‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪ H 0‬אם ‪ X  203.29‬או ‪X  196.71‬‬
‫ב‪1.7121 .‬‬
‫ג‪ .‬תקטן‪.‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪ H 0‬אם ‪X  48.9‬‬
‫ב‪1.1772 .‬‬
‫ג‪ .‬תקטן‪.‬‬
‫ד‪ .‬תקטן‪.‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫ד‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫ג‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫ג‬
‫שאלה ‪:9‬‬
‫א‬
‫שאלה ‪:10‬‬
‫ב‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪116‬‬
‫קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערות המחקר הן ‪:‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H1 :   1‬‬
‫סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה ‪ ‬ומעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על ‪α‬‬
‫והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על ‪.β‬‬
‫הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( Z  Z1  )   ‬‬
‫‪n   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫משרד החינוך מפעיל בגן חובה שיטת חינוך שפותחה בשנת ‪ .1002‬לפי שיטת חינוך זו תוחלת הציון‬
‫במבחן אוצר מילים לגיל הרך הוא ‪ .81‬אנשי חינוך החליטו לבדוק שיטת חינוך שפותחה בהולנד‬
‫הנותנת שם תוחלת ציון אוצר מילים של ‪.71‬‬
‫נניח שציוני מבחן זה מתפלגים נורמאלית עם ‪.   17‬‬
‫כדי לבדוק האם גם בישראל הפעלת שיטת החינוך ההולנדית תעבוד בגנים‪ ,‬רוצים לבנות מחקר‬
‫ברמת מובהקות של ‪ .2%‬כמו כן‪ ,‬מעוניינים שאם בהפעלת השיטה ההולנדית תוחלת הציונים‬
‫תעלה לכדי ‪ ,71‬המחקר יגלה זאת בסיכוי של ‪ .01%‬כמה ילדי גן חובה דרושים למחקר?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪117‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫במבחן אינטליגנציה הציונים מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן ‪ 7‬וממוצע ‪ .111‬פסיכולוג‬
‫מעוניין לבדוק את הטענה שבאוכלוסיות במצב סוציו אקונומי נמוך תוחלת הציונים היא ‪.02‬‬
‫אם מעוניינים לגלות את הטענה בהסתברות של לפחות ‪ 00%‬כשרמת המובהקות היא ‪ 2%‬מהו‬
‫גודל המדגם הדרוש?‬
‫‪.5‬‬
‫משרד התקשורת טוענים שאדם מדבר בממוצע ‪ 171‬דקות בחודש בטלפון הסלולרי‪ .‬חברות‬
‫הטלפון הסלולרי טוענות שאינפורמציה זו אינה נכונה ואדם מדבר בממוצע פחות ‪ :‬כ‪131-‬‬
‫דקות‪ .‬לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של זמן השיחה החודשי ידוע ושווה ל‪ 31-‬דקות‪ .‬כמה‬
‫אנשים יש לדגום כך שאם טענת משרד התקשורת נכונה נדחה אותה בסיכוי של ‪( 2%‬איך‬
‫קוראים להסתברות זאת?) כמו כן אם טענת חברות הטלפון הסלולרית נכונה המחקר יגלה‬
‫זאת בסיכוי של ‪( 01%‬איך קוראים להסתברות זאת?(‬
‫‪ .0‬השערות המחקר הן ‪:‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H1 :   1‬‬
‫כמו כן נתון שהמשתנה מתפלג נורמלית עם סטיית התקן ידועה ‪ ‬מעוניינים לבצע מחקר‬
‫שרמת המובהקות לא תעלה על ‪ α‬והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על ‪.β‬‬
‫הוכח שגוגל המדגם הרצוי לכך יהיה ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( Z  Z1  )   ‬‬
‫‪n   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪118‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪41‬‬
‫שאלה ‪: 2‬‬
‫‪87‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫הוכחה‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪119‬‬
‫מובהקות התוצאה ( ‪ ) p-value‬בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה‪ ,‬היא דרך חישוב מובהקות התוצאה‪:‬‬
‫באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב‪. pv -‬‬
‫את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת ‪,‬את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב‬
‫רק אחרי שיהיו לו את התוצאות‪.‬‬
‫המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא‪:‬‬
‫אם ‪ pv  ‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת‬
‫האפס‪.‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv = PH‬‬
‫‪0‬‬
‫אם ההשערה היא דו צדדית ‪:‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv =2 PH‬‬
‫‪0‬‬
‫מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבה‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪ ‬ידועה‬
‫‪N‬‬
‫‪ X‬או מדגם מספיק גדול‬
‫אם ‪2  PH0 ( X  x )  x  0‬‬
‫‪p-value‬‬
‫) ‪PH0 ( X  x‬‬
‫) ‪PH0 ( X  x‬‬
‫אם ‪2  PH0 ( X  x )  x  0‬‬
‫כאשר בהנחת השערת האפס ‪) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X ~ N ( 0 ,‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪111‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪Zx ‬‬
‫‪n‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫המשקל הממוצע של מתגייסים לצבא לפני ‪ 51‬שנה היה ‪ 32‬ק"ג‪ .‬מחקר מעוניין לבדוק האם כיום‬
‫המשקל הממוצע של מתגייסים גבוה יותר‪ .‬נניח שמשקל המתגייסים מתפלג נורמאלית עם סטיית‬
‫תקן של ‪ 15‬ק"ג‪ .‬במדגם של ‪ 13‬מתגייסים התקבל משקל ממוצע של ‪ 81‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה?‬
‫ב‪ .‬מה המסקנה אם רמת המובהקות היא ‪ 2%‬ואם רמת המובהקות היא ‪?1%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪111‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫לפניך השערות של מחקר ‪:‬‬
‫‪H 0 :   70‬‬
‫‪H1 :   70‬‬
‫‪.‬‬
‫המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית עם סטיית תקן ‪ .51‬במדגם מאותה אוכלוסייה התקבלו‬
‫התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪n  100‬‬
‫‪x  74‬‬
‫מהי מובהקות התוצאה?‬
‫‪.5‬‬
‫השכר הממוצע במשק בשנת ‪ 5115‬היה ‪ ₪ 7711‬עם סטיית תקן ‪ .5111‬במדגם שנעשה אתמול‬
‫על ‪ 111‬עובדים התקבל שכר ממוצע ‪ . ₪ 0211‬מטרת המחקר היא לבדוק האם כיום חלה עליה‬
‫בשכר‪ .‬עבור אילו רמות מובהקות שיבחר החוקר יוחלט שחלה עליה בשכר הממוצע במשק?‬
‫‪.0‬‬
‫אדם חושד שחברת ממתקים לא עומדת בהתחייבויותיה‪ ,‬ומשקלו של חטיף מסוים אותו הוא‬
‫קונה מדי בוקר נמוך מ – ‪ 111‬גרם‪ .‬חברת הממתקים טוענת מצידה שהיא אכן עומדת‬
‫בהתחייבויותיה‪ .‬ידוע כי סטית התקן של משקל החטיף היא ‪ 15‬גרם‪ .‬האדם מתכוון לשקול‬
‫‪ 111‬חפיסות חטיפים ולאחר מכן להגיע להחלטה‪ .‬לאחר הבדיקה הוא קיבל משקל הממוצע‬
‫של ‪ 07.2‬גרם‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה דוחים את השערת האפס?‬
‫ג‪ .‬מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה נקבל את השערת האפס?‬
‫ד‪ .‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2‬‬
‫‪.4‬‬
‫מכונה לחיתוך מוטות במפעל חותכת מוטות באורך שמתפלג נורמאלית עם תוחלת אליה‬
‫כוונה המכונה וסטיית תקן ‪ 5‬ס"מ‪ .‬ביום מסוים כוונה המכונה לחתוך מוטות באורך ‪ 71‬ס"מ‪.‬‬
‫אחראי האיכות מעוניין לבדוק האם המכונה מכוילת‪ .‬לצורך כך נדגמו מקו הייצור ‪ 13‬מוטות‬
‫שנחתכו אורכן הממוצע היה ‪ 71.8‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה נכריע שהמכונה לא מכוילת?‬
‫ב‪ .‬אם נוסיף עוד תצפית שערכה יהיה ‪ 75‬ס"מ ‪ ,‬כיצד הדבר ישפיע על התשובה של הסעיף‬
‫הקודם?‬
‫ג‪ .‬הכרע ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם המכונה מכוילת‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪112‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם מקבלים בחישובים אלפא מינימלית (‪ )P value‬קטנה מאוד‪ ,‬סביר להניח כי החוקר‬
‫ידחה את השערת האפס בקלות‪ .‬נכון ? לא נכון? נמק‪.‬‬
‫‪ .3‬בבדיקת השערות התקבל שה‪. p-value=0.02 -‬‬
‫מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות ‪ ?1%‬בחר בתשובה הנכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬יקבל את השערת האפס בכל מקרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידחה את השערת האפס מקרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידחה את השערת האפס רק אם המבחן הנו דו צדדי‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫מובהקות התוצאה (‪ )PV‬היא גם ‪ ( :‬בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫בבדיקת השערות מסוימת התקבל ‪ p value=0.0254‬לכן (בחר בתשובה‬
‫הנכונה)‪:‬‬
‫א‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬אך לא של ‪ 1.12‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫ב‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬ושל ‪ 1.12‬לא נדחה את ‪.H0‬‬
‫ג‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.12‬אך לא של ‪ 1.11‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫ד‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬ושל ‪ 1.12‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪113‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪1.1557‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫עבור כל רמת מובהקות סבירה‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫ב‪1.1123 .‬‬
‫ג‪1.1123 .‬‬
‫ד‪ .‬נכריע שיש עמידה בהתחייבות של החברה‪.‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪1.1113 .‬‬
‫ב‪ .‬יקטן‪.‬‬
‫ג‪ .‬נכריע שאין כיול‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נכון‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫תשובה ‪:‬א‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫תשובה‪ :‬א‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫תשובה‪ :‬ג‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪114‬‬
‫בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבה‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ X‬או מדגם מספיק גדול‬
‫או )‪t x  t ( n1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪t x  t ( n1‬‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪ ‬אינה ידועה‬
‫‪.8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪t x  t1(n1‬‬
‫)‪t x  t 1(n1‬‬
‫‪2‬‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 , n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‬
‫א‬
‫‪S‬‬
‫‪X  0  t n 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X  0  t n 1 ‬‬
‫נדחה ‪ H0‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 , n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫חלופה לכלל הכרעה ‪:‬‬
‫‪ t1 ,n1‬‬
‫‪t1 ,n 1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪X  0  t1n1 ‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ nX 2‬‬
‫‪tx ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Xi  X ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪S2 ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X  0  t1n1 ‬‬
‫‪115‬‬
‫התפלגות ‪:T‬‬
‫הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא ‪ .1‬ההתפלגות דומה להתפלגות ‪ Z‬רק שהיא‬
‫יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים‪ .‬התפלגות ‪ T‬תלויה במושג שנקרא דרגות חופש‪.‬‬
‫דרגות החופש הן ‪ .df=n-1‬ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה‪.‬‬
‫כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות ‪ T‬שואפת להיות כמו התפלגות ‪.Z‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫מפעל קיבל הזמנה לייצור משטחים בעובי של ‪ 1.1‬ס"מ‪.‬‬
‫כדי לבדוק האם המפעל עומד בדרישה נדגמו ‪ 11‬משטחים ונמצא שהעובי הממוצע הוא ‪ 1.114‬עם‬
‫אומדן לסטיית תקן ‪ 1.115‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהן השערות המחקר?‬
‫ב‪ .‬מה ההנחה הדרושה לצורך פתרון?‬
‫ג‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪116‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬משך זמן ההחלמה בלקיחת אנטיביוטיקה מסוימת הוא ‪ 151‬שעות בממוצע עם סטיית תקן לא‬
‫ידועה‪ .‬מעוניינים לבדוק האם אנטיביוטיקה אחרת מקטינה את משך זמן ההחלמה‪ .‬במדגם של‬
‫‪ 2‬חולים שלקחו את האנטיביוטיקה האחרת התקבלו זמני ההחלמה הבאים‪01,02,111,71,152 :‬‬
‫שעות‪ .‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪ .2%‬מהי ההנחה הדרושה לצורך הפתרון?‬
‫‪ .5‬משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל ‪ 0011‬גר'‪ .‬משרד‬
‫הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך‬
‫מהממוצע‪ .‬במחקר השתתפו ‪ 51‬נשים מעשנות בהריון‪ .‬להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל‬
‫של התינוקות בעת הלידה‪:‬‬
‫‪n  20‬‬
‫‪x  3120‬‬
‫‪S  280‬‬
‫מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪ 2%‬מה יש להניח לצורך פתרון?‬
‫‪ .0‬ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמלית‪ .‬בארה"ב ממוצע הציונים הוא ‪ .111‬במדגם שנעשה‬
‫על ‪ 50‬נבחנים ישראלים‪ ,‬התקבל ממוצע ציונים ‪ 114.2‬וסטיית התקן המדגמית ‪. 13‬האם‬
‫בישראל ממוצע הציונים שונה מבארה"ב? הסיקו ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪ .4‬באוכלוסייה מסוימת נדגמו ‪ 11‬תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ X i  750‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ ( X i  X )2  900‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נתון שההתפלגות היא נורמלית‪.‬‬
‫בדוק ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם התוחלת של ההתפלגות שונה מ‪. 71-‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪117‬‬
‫‪ .2‬ליאור ורוני העלו את אותן השערות על ממוצע האוכלוסייה‪ .‬כמו כן הם התבססו על אותן‬
‫תוצאות של מדגם‪.‬‬
‫ליאור השתמש בטבלה של התפלגות ‪. Z‬‬
‫רוני השתמשה בטבלה של התפלגות ‪. t‬‬
‫מה נוכל לומר בנוגע להחלטת המחקר שלהם? בחר בתשובה הנכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ליאור ידחה את השערת האפס אז גם בהכרח רוני‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם רוני תדחה את השערת האפס אז גם בהכרח ליאור‪.‬‬
‫ג‪ .‬שני החוקרים בהכרח יגיעו לאותה מסקנה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן לדעת על היחס בין דחיית השערת האפס של שני החוקרים‪.‬‬
‫‪ .3‬נתון ש ) ‪ X N( , 2‬כמו כן נתונות ההשערות הבאות ‪:‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל ‪ 11‬תצפיות‪  2 .‬לא הייתה ידועה לחוקר‪.‬‬
‫החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לאחר מכן כדי לחזק את‬
‫קביעתו הוא דגם עוד ‪ 2‬תצפיות ושקלל את תוצאות אלה גם למדגם כך שכלל עכשיו ‪12‬‬
‫תצפיות‪.‬‬
‫בחר בתשובה הנכונה‪:‬‬
‫א‪ .‬כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪118‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ב‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ג‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪119‬‬
‫מובהקות התוצאה ( ‪ ) p-value‬בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות אוכלוסייה‬
‫לא ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫נזכיר שהמסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא‪:‬‬
‫אם ‪ pv  ‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת‬
‫האפס‪.‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv = PH 0‬‬
‫אם ההשערה היא דו צדדית ‪:‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv =2 PH 0‬‬
‫מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫השערה אלטרנטיבה‪:‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪ ‬אינה ידועה‬
‫‪.0‬‬
‫‪N .11‬‬
‫‪ X‬או מדגם מספיק גדול‬
‫אם ‪2  PH0 ( X  x )  x  0‬‬
‫‪p-value‬‬
‫) ‪PH0 ( X  x‬‬
‫) ‪PH0 ( X  x‬‬
‫אם ‪2  PH0 ( X  x )  x  0‬‬
‫‪x  0‬‬
‫ˆ‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ nX 2‬‬
‫‪tx ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Xi  X ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪Sˆ 2 ‬‬
‫‪d. f  n  1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪121‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫ממוצע זמן הנסיעה של אדם לעבודה הינו ‪ 41‬דקות‪ .‬הוא מעוניין לבדוק דרך חלופית שאמורה‬
‫להיות יותר מהירה‪ .‬לצורך כך הוא דוגם ‪ 2‬ימים שבהם הוא נוסע בדרך החלופית‪ .‬זמני הנסיעה‬
‫שקיבל בדקות הם ‪ . 58,04,05,41,01 :‬הנח שזמן הנסיעה מתפלג נורמלית‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא חסמים למובהקות התוצאה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪? 2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪121‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫קו ייצור אריזות סוכר נארזות כך שהמשקל הממוצע של אריזות הסוכר צריך להיות אחד‬
‫קילוגרם‪ .‬בכל יום דוגמים מקו הייצור ‪ 2‬אריזות במטרה לבדוק האם קו הייצור תקין‪ .‬בבדיקה‬
‫דגמו ‪ 2‬אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים‪:‬‬
‫‪1117,1154,003,1112,008‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי מובהקות התוצאה? הצג חסמים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.5‬‬
‫חוקר בדק את הטענה כי פועלים העובדים במשמרת לילה איטיים יותר מפועלים העובדים ביום‪.‬‬
‫ידוע כי משך הזמן הממוצע הדרוש לייצר מוצר מסוים ביום הוא ‪ 3‬שעות‪ .‬במדגם מיקרי של ‪52‬‬
‫פועלים שעבדו במשמרת לילה נמצא כי הזמן הממוצע לייצר אותו מוצר הוא ‪ 8‬שעות עם סטית‬
‫תקן של ‪ 0‬שעות‪.‬‬
‫מהי ה‪  -‬המינימלית שלפיה ניתן להחליט שאכן העובדים במשמרת לילה איטיים יותר ?‬
‫‪.0‬‬
‫הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית ‪ .‬במדגם של ‪ 52‬מתגייסים מדדו את הגבהים שלהם‬
‫בס"מ והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪x  176.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( xi  x )  2832‬‬
‫מטרת המחקר היא לבדוק האם תוחלת הגבהים של המתגייסים גבוה מ‪ 184-‬ס"מ באופן‬
‫מובהק‪ .‬מהי בקרוב מובהקות התוצאה ועל פיה מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של ‪? 3%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪122‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪123‬‬
‫הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת‬
‫רקע‪:‬‬
‫ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות ‪ ‬על ‪:µ‬‬
‫‪H 0 :  0‬‬
‫‪H1 :    0‬‬
‫על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של ‪ 1  ‬ל ‪:µ‬‬
‫אם ‪ 0‬נופל ברווח ‪‬נקבל את ‪H 0‬‬
‫אם ‪ 0‬לא נופל ברווח ‪‬נדחה את ‪H 0‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת‪ .‬להלן השערותיו‪:‬‬
‫‪H 0 :   80‬‬
‫‪H 1 :   80‬‬
‫‪  5%‬‬
‫החוקר בנה רווח סמך ברמה של ‪ 01%‬וקיבל ‪. 79    84 :‬‬
‫האם אפשר לדעת מה מסקנתו‪ ,‬ואם כן מהי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪124‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫חוקר רצה לבדוק את ההשערות הבאות‪:‬‬
‫‪H 0 :   90‬‬
‫‪H1 :   90‬‬
‫החוקר בנה רווח סמך לתוחלת ברמת סמך של ‪ 02%‬וקיבל את רווח הסמך הבא‪. (87,97) :‬‬
‫אם החוקר מעוניין לבצע בדיקת השערות ברמת מובהקות של ‪ 1%‬האם ניתן להגיע‬
‫למסקנה ע"ס רווח הסמך? נמקו‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫חוקר מעוניין לבדוק השפעת דיאטה חדשה על רמת הסוכר בדם‪ .‬ידוע כי מספר מיליגרם‬
‫הסוכר בסמ"ק דם הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלית עם סטיית תקן ‪11.4‬מ"ג‪ .‬נלקח מדגם‬
‫של ‪ 31‬נבדקים שניזונו מדיאטה זו‪ .‬נמצא כי ממוצע מספר המיליגרם סוכר היה ‪ 112.2‬מ"ג‬
‫לסמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬בנה רווח סמך ברמת סמך ‪ 02%‬לתוחלת רמת הסוכר בדם אצל הניזונים מדיאטה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שתוחלת רמת הסוכר בדם באוכלוסיה היא ‪ 01‬מ"ג לסמ"ק‪ .‬האם לדעתך ניתן להסיק‬
‫על סמך תוצאת סעיף א שהדיאטה משפיעה על רמת הסוכר בדם? הסבר‪.‬‬
‫‪.0‬‬
‫יצרן אנטיביוטיקה רושם על גבי התרופות שכמות הפנצלין היא ‪ 511‬מ"ג לקפסולה‪.‬‬
‫משרד הבריאות ביצע מדגם של ‪ 7‬קפסולות אקראיות מקו הייצור ומצא שבממוצע יש ‪103‬‬
‫מ"ג פנצילין לקפסולה עם סטיית תקן מדגמית של של ‪ 2‬מ"ג‪ .‬בהנחה וכמות הפנצלין‬
‫בקפסולה מתפלגת נורמלית‪.‬‬
‫א‪ .‬בנה רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לממוצע כמות הפנצלין לקפסולה המיוצרת על ידי‬
‫יצרן האנטיביוטיקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם יש אמת באינפורמציה המסופקת על ידי היצרן‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪125‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪ .1‬נקבל השערת ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪112.87    118.13 .‬‬
‫ב‪ .‬נכריע שהדיאטה משפיעה על תוחלת רמת הסוכר בדם‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪191.8    200.2 .‬‬
‫ב‪ .‬נכריע שיש אמת בפרסום‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪126‬‬
‫פרק ‪ - 12‬בדיקת השערות על פרופורציה‬
‫התהליך‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫אזור הדחייה של ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 1 : p  p0‬‬
‫‪H1 : p  p0‬‬
‫‪H1 : p  p0‬‬
‫‪np0  5 & n(1  p0 )  5‬‬
‫‪ Z pˆ   Z‬או‬
‫‪1‬‬
‫‪Z pˆ  Z1‬‬
‫‪Z pˆ  Z1‬‬
‫‪Z pˆ  Z‬‬
‫‪ Z1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪Z1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪pˆ  p0‬‬
‫‪p0 1  p0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Z pˆ ‬‬
‫חלופה אחרת לכלל הכרעה‪:‬‬
‫כלל‬
‫ההכרעה‪:‬‬
‫אזור הדחייה‬
‫של ‪H 0‬‬
‫‪p0 1  p0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p0 1  p0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pˆ  p0  Z1 / 2 ‬‬
‫או‬
‫‪pˆ  p0  Z1 / 2 ‬‬
‫‪p0 1  p0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p0 1  p0  pˆ  p0  Z1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪pˆ  p0  Z1 ‬‬
‫‪127‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא ‪ 7%‬במדגם עכשווי התקבל שמתוך ‪511‬‬
‫אנשים ‪ 3.2%‬מובטלים‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם כיום אחוז האבטלה הוא כמו‬
‫בתחילת השנה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪128‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה ‪ .52%‬השנה מתוך מדגם של‬
‫‪ 151‬מועמדים התקבלו ‪ .55‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם השנה הקשו על תנאי הקבלה?‬
‫‪.5‬‬
‫במדגם של ‪ 011‬אזרחים ‪ 28%‬מתנגדים להצעת חוק מסוימת‪ .‬לאור נתונים אלה האם רוב‬
‫האזרחים מתנגדים להצעת החוק ? בדקו ברמת מובהקות של ‪.11%‬‬
‫‪.0‬‬
‫הטילו מטבע ‪ 21‬פעמים וקיבלו ‪ 57‬פעמים עץ‪ .‬האם המטבע הוגן ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.4‬‬
‫קפיטריה במכללה מסוימת מעריכה כי אחוז הסטודנטים שקונים קפה בקפיטריה הינו ‪.51%‬‬
‫נערך סקר אשר כלל ‪ 511‬סטודנטים‪ .‬התברר כי ‪ 00‬מהם רוכשים קפה בקפיטריה‪ .‬מטרת‬
‫הסקר הייתה לבדוק את אמיתות הערכה של הקפיטריה‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את ההשערות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את ההשערות ברמת מובהקות של ‪.11%‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה המסקנה אם נקטין את רמת המובהקות?‬
‫‪.2‬‬
‫חבר כנסת רוצה להעביר חוק‪ .‬לצורך כך הוא דוגם ‪ 411‬אזרחים במטרה לבדוק האם רוב‬
‫האזרחים תומכים בחוק‪ .‬במדגם התקבל ש‪ 583-‬אזרחים תומכים בחוק‪.‬‬
‫א‪ .‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה אם רמת המובהקות תהיה גדולה יותר? הסבירו‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫שני חוקרים בדקו את ההשערות הבאות‪:‬‬
‫‪H 0 :p  p0‬‬
‫‪H1 :p  p0‬‬
‫חוקר א השתמש ברמת מובהקות ‪ 1‬וחוקר ב ברמת מובהקות ‪  2‬החוקר הראשון דחה את‬
‫‪ H 0‬ואילו החוקר השני קיבל את ‪ . H 0‬שניהם התבססו על אותם תוצאות של מדגם‪.‬‬
‫בחר בתשובה הנכונה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1   2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1   2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1   2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫המצב המתואר לא אפשרי‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪129‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נקבל ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫ב‪ .‬נקבל ‪H 0‬‬
‫ג‪ .‬המסקנה לא תשתנה‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬המסקנה לא תשתנה‪.‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫התשובה היא ‪ :‬ג‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪131‬‬
‫סיכוי לטעויות ועוצמה‬
‫רקע‪:‬‬
‫הכרעה‬
‫‪H1‬‬
‫‪H0‬‬
‫טעות מסוג ‪1‬‬
‫אין טעות‬
‫‪H0‬‬
‫אין טעות‬
‫טעות מסוג ‪5‬‬
‫‪H1‬‬
‫מציאות‬
‫נגדיר את ההסתברויות הבאות‪:‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪ ( 1‬רמת מובהקות )‪:‬‬
‫=(‪ H0‬נכונה | לדחות את ‪α=P)H0‬‬
‫הסיכוי לבצע טעות מסוג ‪:2‬‬
‫=(‪ H1‬נכונה | לקבל את ‪β =P)H0‬‬
‫רמת בטחון‪:‬‬
‫=(‪ H0‬נכונה | לקבל את ‪)1-α( =P)H0‬‬
‫עוצמה ‪:‬‬
‫= (‪ H1‬נכונה | לדחות את ‪π=)1-β ( =P)H0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
131
:‫התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני‬
H 0 : p  p0
H 0 : p  p0
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
H1 : p  p0
H 1 : p  p0
: ‫השערת האפס‬
‫השערה‬
:‫אלטרנטיבית‬
np0  5 & n(1  p0 )  5
pˆ  p0  Z1 
p0 1  p0 
n
PH ( pˆ  p0  Z1 
1
pˆ  p0  Z1 
p0 1  p0 
)
n
PH ( pˆ  p0  Z1 
1
p0 1  p0 
n
p0 1  p0 
)
n
pˆ  p0  Z1 / 2 
‫או‬
pˆ  p0  Z1 / 2 
:‫תנאים‬
:‫כלל ההכרעה‬
‫אזור הדחייה של‬
p0 1  p0 
n
H0
p0 1  p0 
n
p 1  p0 
p 1  p0 
PH ( p0  Z   0
 pˆ  p0  Z   0
)
1
1
1
n
n
2
2
p(1  p)
Pˆ ~ N ( p ,
) : ‫כאשר‬
n
Z pˆ 
pˆ  p
p 1  p 
n
www.GooL.co.il -‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‬
© ‫ ברק קנדל‬- ‫כתב ופתר‬
:‫והתקנון‬
: β ‫חישוב‬
‫‪132‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫רופאי שיניים טוענים שיותר ממחצית האוכלוסייה הבוגרת בארץ אינם מבקרים אצל רופא‬
‫שיניים באופן קבוע‪ ,‬כנדרש‪ .‬כדי לבדוק טענה זו‪ ,‬נערך סקר בקרב ‪ 121‬אנשים בוגרים‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את ההשערות וכלל הכרעה ברמת מובהקות של ‪.11%‬‬
‫ב‪ .‬מהי עוצמת המבחן אם מסתבר ש ‪ 31%‬מהאוכלוסייה אינם מבקרים אצל רופא שיניים באופן‬
‫קבוע‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪133‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬משרד הבריאות פרסם ש ‪ 11%‬מתושבי המדינה סובלים ממחלת האסטמה‪ .‬מחקר דורש לבדוק‬
‫האם בחיפה‪ ,‬בגלל זיהום האוויר‪ ,‬שיעור הסובלים מאסטמה גבוה יותר‪ .‬לצורך המחקר נבדקו‬
‫‪ 531‬מתושבי חיפה‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר ‪ ,‬וצרו מבחן ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לבדיקתן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי עצמת המבחן של סעיף א' בהנחה ובחיפה ‪ 13%‬מהתושבים סובלים מאסטמה?‬
‫ג‪ .‬כיצד תשנה התשובה לסעיף ב' אם מסתבר שבחיפה ‪ 17%‬סובלים מאסטמה?‬
‫ד‪ .‬בהמשך לסעיף א' האם נכון לומר שבהסתברות של ‪ 2%‬ההשערה שבחיפה ‪ 11%‬מהתושבים‬
‫סובלים מאסטמה אינה נכונה?‬
‫‪ .5‬אחוז הסובלים מתופעות הלוואי מתרופה מסוימת הוא ‪ .12%‬חברת תרופות טוענת שפיתחה‬
‫תרופה שאמורה לצמצם את אחוז הסובלים מתופעות לוואי‪ .‬לצורך בדיקת הטענה הוחלט‬
‫לבצע מחקר שיכלול ‪ 151‬חולים שיקבלו את התרופה הנבדקת‪.‬‬
‫א‪ .‬נניח שהתרופה נבדקת אכן מורידה את פרופורציות הסובלים מתופעות הלוואי‬
‫ל‪ 11%-‬מהי עצמת המבחן עבור רמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .0‬בעיר מסוימת היו ‪ 51%‬אקדמאים‪ .‬בעקבות פתיחת מכללה בעיר לפני כמה שנים מעוניינים‬
‫לבדוק האם אחוז האקדמאים גדל‪ .‬מעוניינים שהמחקר יכלול ‪ 511‬אנשים והוא יהיה ברמת‬
‫מובהקות של ‪.2%‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הסיכוי לבצע טעות מסוג שני בהנחה והיום יש ‪ 57%‬אקדמאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כיצד התשובה לסעיף הקודם תשתנה אם נגדיל את רמת המובהקות?‬
‫‪ .4‬מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים‪ .‬הוחלט לדגום ‪ 511‬מתקבלים ועל‬
‫סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת‪.‬‬
‫חוקר א' קבע רמת מובהקות של ‪ 2%‬וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו לפחות‬
‫‪ 151‬בנים‪ .‬למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?‬
‫‪ .2‬חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן ( בחר בתשובה הנכונה )‬
‫א‪ .‬השערת האפס נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס נדחתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬השערת האפס לא נדחתה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח‪.‬‬
‫‪ .3‬קבע אם הטענה הבאה נכונה‪:‬‬
‫"בבדיקת השערות לא ניתן לבצע בו זמנית טעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני"‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪134‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫ב‪1.0112 .‬‬
‫ג‪ .‬תגדל‬
‫ד‪ .‬טענה לא נכונה‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪1.4414‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪1.1443 .‬‬
‫ב‪ .‬תקטן‪.‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫חוקר א‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫התשובה הנכונה היא ג‪.‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫נכונה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪135‬‬
‫קביעת גודל מדגם‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערות המחקר הן ‪:‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H1 : p  p1‬‬
‫מעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על ‪ α‬והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על ‪.β‬‬
‫הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p1q1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪p0 q0  Z1 ‬‬
‫‪n   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪p0  p1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫רוצים לבדוק האם אחוז האנשים השוהים בשמש ללא הגנה ירד בעקבות הפרסומת על נזקי השמש‪.‬‬
‫בעבר ‪ 31%‬מהאוכלוסייה שהתה בשמש ללא הגנה‪ .‬מה גודל המדגם המינימלי שיש לקחת כדי לבדוק‬
‫שהאחוז הנ"ל ירד ל‪ 47%‬אם מעוניינים שהסיכוי לטעות מסוג ראשון יהיה ‪ 2%‬והסיכוי לטעות מסוג‬
‫שני יהיה ‪?1%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪136‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬משרד התמ"ת פרסם שאחוז האבטלה במשק היום עומד על ‪ .7%‬לעומתו‪ ,‬משרד הפנים טוען‬
‫שחלה עלייה בשיעור האבטלה עד לכדי ‪.11%‬‬
‫כדי לבדוק מי מבניהם צודק‪ ,‬מה צריך להיות גודל המדגם שיענה על שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬אם משרד התמ"ת צודק‪ ,‬נדחה את טענתו בסיכוי של ‪.11%‬‬
‫‪ ‬אם משרד הפנים צודק‪ ,‬נדחה את טענתו בסיכוי של ‪.4%‬‬
‫‪ .5‬מפעיל קזינו מפרסם שהסיכוי לזכות במכונת מזל הינו ‪.1.45‬‬
‫אדם טוען שהסיכויים לזכות במשחק נמוכים יותר‪ .‬כמה פעמים יש לשחק את המשחק כדי‬
‫שאם טענת מפעיל הקזינו נכונה נקבל את טענת האדם בסיכוי של ‪ 1%‬ואם במציאות הסיכוי‬
‫לזכות במכונה הוא ‪ 1.0‬נקבל את מפעיל הקזינו בסיכוי של ‪.7%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪137‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪701‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪554‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪138‬‬
‫מובהקות התוצאה‬
‫רקע‪:‬‬
‫דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה‪ ,‬היא דרך חישוב מובהקות התוצאה‪:‬‬
‫באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב‪. pv -‬‬
‫את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת ‪,‬את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב‬
‫רק אחרי שיהיו לו את התוצאות‪.‬‬
‫המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא‪:‬‬
‫אם ‪ pv  ‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת‬
‫האפס‪.‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv = PH‬‬
‫‪0‬‬
‫אם ההשערה היא דו צדדית ‪:‬‬
‫)לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני( ‪pv =2 PH‬‬
‫‪0‬‬
‫מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 0 : p  p0‬‬
‫‪H 1 : p  p0‬‬
‫‪H1 : p  p0‬‬
‫‪H1 : p  p0‬‬
‫‪np0  5 & n(1  p0 )  5‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫אם ‪2  PH0 ( Pˆ  pˆ )  pˆ  p0‬‬
‫‪p-value‬‬
‫) ˆ‪PH0 ( Pˆ  p‬‬
‫) ˆ‪PH0 ( Pˆ  p‬‬
‫אם ‪2  PH0 ( Pˆ  pˆ )  pˆ  p0‬‬
‫) ‪p (1  p0‬‬
‫‪Pˆ ~ N ( p0 , 0‬‬
‫כאשר בהנחת השערת האפס ‪) :‬‬
‫‪n‬‬
‫והתקנון‪:‬‬
‫‪pˆ  p0‬‬
‫‪p0 1  p0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Z pˆ ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪139‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫ישנה טענה שיש הבדל בין אחוז הבנים ואחוז הבנות הפונים ללמוד להנדסאי מחשבים‪ .‬לשם כך‬
‫נלקח מדגם מקרי של ‪ 511‬תלמידים הלומדים מחשבים והתברר כי ‪ 115‬מהם בנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה?‬
‫ב‪ .‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪141‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה ‪ .52%‬השנה מתוך מדגם של‬
‫‪ 151‬מועמדים התקבלו ‪ .55‬רוצים לבדוק האם השנה הקשו על תנאי הקבלה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של ‪ 1%‬וברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .5‬נהוג לחשוב ש ‪ 31%‬מהילדים בגיל שלוש קמים מהמיטה במהלך הלילה לפחות פעם אחת‪.‬‬
‫ישנה טענה שללא שנת צהריים פחות מ‪ 31%‬מהילדים בגיל זה יקומו לפחות פעם אחת במהלך‬
‫הלילה‪ .‬נדגמו ‪ 71‬ילדים בגיל ‪ 0‬אשר אינם ישנים בצהריים מתוכם התקבל ש ‪ 41‬קמו במהלך‬
‫הלילה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה תתקבל הטענה במחקר?‬
‫ב‪ .‬מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה לא תתקבל טענת המחקר?‬
‫ג‪ .‬עבור אילו רמות מובהקות נקבל את טענת המחקר?‬
‫ד‪ .‬מה תהיה מסקנת המחקר ברמת מובהקות של ‪?3%‬‬
‫‪ .0‬במטרה לבדוק האם מטבע הוא הוגן מטילים אותו ‪ 71‬פעמים‪ .‬התקבל ש ‪ 31‬מההטלות הראו‬
‫עץ‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪ ,‬חשבו את מובהקות התוצאה והסיקו מסקנה ברמת‬
‫מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪ .4‬בבדיקת השערות על פרופורציה התקבל שה‪. p-value=0.02 -‬‬
‫מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות ‪ ( :2%‬בחר בתשובה הנכונה)‬
‫א‪ .‬יקבל את השערת האפס‬
‫ב‪ .‬ידחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים‪.‬‬
‫‪ .2‬קבע אם הטענה הבאה נכונה‪:‬‬
‫"במבחן לבדיקת השערות חד‪-‬צדדי התקבל ערך ‪ p-value‬של ‪ 0%‬לכן אם היינו מבצעים מבחן‬
‫דו‪-‬צדדי (כאשר יתר הנתונים ללא שינוי) היינו מקבלים ערך ‪ p-value‬של ‪"3%‬‬
‫‪ .3‬במפעל ‪ 11%‬מהעובדים נפגעים לפחות פעם אחת בשנה מתאונות עבודה‪ .‬לאור זאת‪ ,‬המפעל‬
‫החליט לצאת בתוכנית לצמצום שיעור הנפגעים‪ .‬תכנית זו נוסתה על ‪ 111‬עובדים‪ .‬מתוכם ‪15‬‬
‫נפגעו בתאונות עבודה במשך השנה‪ .‬מהי רמת המובהקות הקטנה ביותר עבורה יוחלט‬
‫שהתכנית יעילה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪141‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪1.1422 .‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪1.1247 .‬‬
‫ב‪1.1247.‬‬
‫ג‪ .‬מעל ‪1.1247‬‬
‫ד‪ .‬נכריע לטובת טענת המחקר‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫‪pv  0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫התשובה הנכונה‪ :‬ב‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫הטענה נכונה‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫‪1.8473‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪142‬‬
‫פרק ‪ - 13‬בדיקת השערות על הפרש פרופורציות‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪H 0 : p1  p2  0‬‬
‫‪H 0 : p1  p2  0‬‬
‫‪H 0 : p1  p2  0‬‬
‫‪H1 : p1  p2  0‬‬
‫‪H1 : p1  p2  0‬‬
‫‪H1 : p1  p2  0‬‬
‫‪ .5‬מדגמים גדולים‬
‫‪.1‬מדגמים בלתי תלויים‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫אזור הדחייה של ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2   Z1‬‬
‫‪ Z pˆ1  pˆ 2   Z‬או‬
‫‪1‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2  Z1‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2  Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Z1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪Z1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2‬‬
‫ˆˆ‬
‫ˆˆ‬
‫‪pq‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2 ‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪y1  y 2 n1pˆ1  n 2 pˆ 2‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר הפרופורציה המשוקללת‪:‬‬
‫‪n1  n 2‬‬
‫‪n1  n 2‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫חלופה אחרת לכלל הכרעה‪:‬‬
‫כלל‬
‫ההכרעה‪:‬‬
‫אזור הדחייה‬
‫של ‪H 0‬‬
‫ˆ‪pˆ qˆ pˆ q‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2  0  Z1 / 2 ‬‬
‫ˆˆ‬
‫‪pq‬‬
‫ˆ‪pˆ q‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫או‬
‫ˆ‪ˆ ˆ pˆ q‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2  0  Z1 ‬‬
‫ˆ‪ˆ ˆ pˆ q‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2  0  Z1 ‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2  0  Z1 / 2 ‬‬
‫התפלגות של ‪: pˆ1  pˆ 2 :‬‬
‫‪p1  q1 p2  q2‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪N ( p1  p2 ,‬‬
‫) ‪pˆ1  pˆ 2  ( p1  p2‬‬
‫‪pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫תקנון‪:‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2‬‬
‫ˆˆ‬
‫ˆˆ‬
‫‪pq‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪pˆ1  pˆ 2‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2 ‬‬
‫‪Z pˆ1  pˆ 2 ‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪143‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫נדגמו ‪ 71‬סטודנטים שנבחנו במיקרו‪-‬כלכלה‪ .‬מתוכם ‪ 31‬עברו את הבחינה‪ .‬נדגמו ‪ 111‬סטודנטים‬
‫שנבחנו בסטטיסטיקה א'‪ .‬מתוכם ‪ 75‬עברו את הבחינה‪ .‬האם שיעור העוברים את הבחינה‬
‫בסטטיסטיקה גבוה מאשר מהבחינה במיקרו כלכלה? בדקו ברמת מבוהקות של ‪.11%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪144‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬במדגם של ‪ 511‬גברים‪ 7% .‬מהם היו מובטלים‪ .‬המדגם של ‪ 171‬נשים ‪ 11%‬מהן היו מובטלות‬
‫האם קיים הבדל מובהק בין פרופורציית המובטלים לפרופורציית המובטלות‪ .‬בדוק ברמת‬
‫מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪ .5‬אחוז בעלי רישיון נהיגה בקרב האוכלוסייה הבוגרת הינו ‪ .31%‬במדגם של ‪ 011‬בוגרים מתל‬
‫אביב ‪ 514‬היו בעלי רישיון נהיגה‪ .‬במדגם של ‪ 551‬בוגרים מירושלים ‪ 111‬היו בעלי רישיון נהיגה‪.‬‬
‫א‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם תקבלו את הטענה שאחוז בעלי הרישיון בתל אביב גבוה‬
‫מהאחוז הארצי?‬
‫ב‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 11%‬האם תקבלו את הטענה שאחוז בעלי הרישיון נהיגה בתל אביב גבוה‬
‫מאחוז בעלי רישיון הנהיגה בירושלים?‬
‫‪ .0‬נדגמו ‪ 211‬בוגרים מתוכם ‪ 511‬גברים והיתר נשים‪ .‬במדגם התקבל ‪ :‬מתוך הגברים ל‪47%-‬‬
‫תעודת בגרות‪ .‬מתוך הנשים ל‪ 27%-‬תעודת בגרות‪ .‬מטרת המחקר היא לבדוק האם שיעור‬
‫הזכאיות לבגרות גבוה משיעור הזכאים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?7%‬‬
‫‪ .4‬במדגם שנערך על ‪ 111‬פרות מחוות בדרום הארץ התקבל כי ‪ 51‬פרות נושאות וירוס מסוים‪.‬‬
‫במדגם שנערך על ‪ 511‬פרות מחוות בצפון הארץ התקבל כי ‪ 11‬מתוכן נושאות וירוס גם כן‪.‬‬
‫א‪ .‬בנו מבחן ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לבדיקת הטענה כי הווירוס תקף את פרות הדרום באופן‬
‫משמעותי יותר מאשר את הפרות בצפון הארץ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי המסקנה לבדיקת הטענה של סעיף א ומהי הטעות האפשרית במסקנה?‬
‫ג‪ .‬מהי עוצמת המבחן אם שיעור הפרות בדרום עם הווירוס גבוה ב‪ 11%‬משיעור הפרות בצפון‬
‫עם‬
‫הווי רוס?‬
‫ד‪ .‬כיצד העוצמה תשתנה אם נגדיל את רמת המובהקות?‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪145‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫לא נדחה את ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪1.1100 .‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ג‪1.7507 .‬‬
‫ד‪ .‬תגדל‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪146‬‬
‫פרק ‪ - 18‬בדיקת השערות על הפרש תוחלות במדגמים בלתי תלויים‬
‫כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪ .1‬מדגמים בלתי תלויים‬
‫‪.5‬‬
‫‪  1 ,  2‬ידועות‬
‫‪.0‬‬
‫‪X1, X 2‬‬
‫‪N‬‬
‫או מדגמים מספיק גדולים‬
‫‪‬‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Z x  x  Z‬או‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z x1  x2  Z1‬‬
‫‪Z x1  x2  Z‬‬
‫‪Z x1  x2  Z1‬‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Z1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪Z1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪x1  x2  c‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z x1  x2 ‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪n1‬‬
‫חלופה אחרת לכלל הכרעה‪:‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2  c  Z1 / 2 ‬‬
‫‪ 22‬‬
‫או‬
‫נדחה ‪ H0‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2  c  Z1 ‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪x1  x2  c  Z1 / 2 ‬‬
‫התפלגות הפרש הממוצעים ‪:‬‬
‫)‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2 ~ N (1  2 ,‬‬
‫התקנון ‪:‬‬
‫) ‪x1  x2  ( 1  2‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪Z x1  x2 ‬‬
‫‪n1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2  c  Z1 ‬‬
‫‪147‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫בשנת ‪ 5114‬הפער בין השכר הממוצע של הגברים לנשים היה ‪ ₪ 0111‬לטובת הגברים‪.‬‬
‫מעוניינים לבדוק האם כיום הצטמצם הפער בין הגברים לנשים מבחינת השכר הממוצע‪.‬‬
‫נדגמו ‪ 111‬עובדים גברים‪ .‬שכרם הממוצע היה ‪ .₪ 0,185‬נדגמו ‪ 71‬עובדות‪ ,‬שכרן הממוצע היה‬
‫‪ .₪ 8710‬לצורך פתרון נניח שסטיות התקן של השכר ידועות ושוות ל‪ ₪ 5111-‬באוכלוסיית הנשים‬
‫ו‪ ₪ 0111-‬באוכלוסיית הגברים‪ .‬מה המסקנה ברמת מבוהקות של ‪?2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪148‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מחקר טוען שאנשים החיים במרכז הארץ צופים בממוצע בטלוויזיה יותר מאנשים שלא חיים‬
‫במרכז‪ .‬נדגמו ‪ 111‬אנשים מהמרכז ו‪ 118-‬אנשים לא מהמרכז‪ .‬אנשים אלו נשאלו כמה שעות ביום‬
‫הם נוהגים לצפות בטלוויזיה‪.‬‬
‫במדגם של מרכז הארץ התקבל ממוצע ‪ 5.8‬שעות‪.‬‬
‫במדגם של מחוץ למרכז הארץ התקבל ממוצע ‪ 1.7‬שעות‪.‬‬
‫לצורך פתרון הניחו שבכל אזור‪ ,‬סטיית התקן היא שעה ‪ 1‬ביום‪ .‬בדקו את טענת המחקר ברמת‬
‫מובהקות של ‪.1%‬‬
‫‪.5‬‬
‫ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן ‪ .111‬מכון ללימוד פסיכומטרי טוען‬
‫שהוא יכול לשפר את ממוצע הציונים ביותר מ‪ 01-‬נקודות‪ .‬במדגם של ‪ 51‬נבחנים שניגשו‬
‫למבחן ללא הכנה במכון התקבל ממוצע ‪ .217‬במדגם של ‪ 52‬נבחנים שעברו הכנה במכון‬
‫התקבל ממוצע ציונים ‪ .231‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪.0‬‬
‫במדגם אקראי של ‪ 51‬ימים נבדקה התפוקה של מפעל ביום‪ .‬התפוקה הממוצעת הייתה של ‪041‬‬
‫מוצרים ליום‪ .‬במדגם אקראי של ‪ 51‬ימים אחרים נבדקה התפוקה של המפעל בלילה והתפוקה‬
‫הממוצעת הייתה ‪ .502‬לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של התפוקה ביום היא ‪ 41‬מוצרים ובלילה‬
‫‪ 01‬מוצרים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה לבדיקה האם התפוקה הממוצעת היומית גבוהה מהתפוקה הממוצעת‬
‫הלילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?7%‬‬
‫‪.4‬‬
‫במחקר מקיף שנעשה באירופה נקבע שגברים גבוהים מנשים ב‪ 7-‬ס"מ בממוצע‪.‬‬
‫מחקר ישראלי מתעניין לבדוק האם בישראל הפער גדול יותר‪ .‬לצורך המחקר נדגמו ‪ 41‬גברים ו ‪41‬‬
‫נשים באקראי‪ .‬כמו כן‪ ,‬נניח שסטיות התקן של הגברים והנשים ידועות ושוות ל‪ 3-‬ס"מ אצל‬
‫הנשים‪ .‬ו‪ 15-‬ס"מ אצל הגברים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהן השערות המחקר ומהו כלל ההכרעה ברמת מובהקות של ‪?11%‬‬
‫ב‪ .‬אם בישראל הפער בין גברים לנשים מבחינת הגובה הממוצע הוא ‪ 11‬ס"מ‪ ,‬מה ההסתברות‬
‫שהמחקר לא יגלה זאת? איך קוראים להסתברות הזאת?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪149‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫לא נדחה את ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪1 .‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪ H 0‬אם במדגם הגברים יהיו גבוהים בממוצע מהנשים ביותר מ‪ 11.85-‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪1.3001 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪151‬‬
‫כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחים שהן שוות‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H 0 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪H1 1  2  c‬‬
‫‪ .4‬מדגמים בלתי תלויים‬
‫‪  1 ,  2‬לא ידועות אך שוות‬
‫‪.2‬‬
‫‪ .3‬המשתנים בכל אוכלוסייה‬
‫מתפלגים נורמלית‬
‫) ‪( n1  n2  2‬‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪t x1 x2  t1(n1 n2 2‬‬
‫)‪t x1  x2  t1(n1 n2 2‬‬
‫‪ t x1  x2  t‬או‬
‫‪1‬‬
‫)‪t x1  x2  t ( n1 n2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t1 ,n1  n2 2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 , n1  n2  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t1 ,n1 n2 2‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪1 , n1  n2  2‬‬
‫‪2‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪ x1  x2   c‬‬
‫‪S p2 S p2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪t x1  x2 ‬‬
‫השונות המשוקללת ‪:‬‬
‫‪ n1  1 S12   n2  1 S2 2‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫‪S p2 ‬‬
‫חלופה אחרת לכלל הכרעה‪:‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪x1  x2  c  t ( n1n2 2) ‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫נדחה ‪ H0‬אם‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2  c  t1(n1n2 2) ‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S 2p‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪x1  x2  c  t ( n1n2 2) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪x1  x2  c  t1(n1n2 2) ‬‬
‫‪151‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫חברה המייצרת מוצרי בנייה טוענת שפיתחה סגסוגת (תערובת מתכות) שטמפרטורת ההתכה שלה‬
‫גבוהה משמעותית מטמפרטורת ההתכה של הסגסוגת לבנייה שמשתמשים בה כיום לבניית‬
‫בניינים‪.‬‬
‫לצורך בדיקת טענת המחקר נדגמו ‪ 11‬יחידות של מתכות מהסוג הישן ו‪ 15-‬יחידות של מתכות‬
‫מהסוג החדש‪.‬‬
‫להלן תוצאות המדגם‪:‬‬
‫טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת הישנה ‪ 1181‬מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות‬
‫‪. S 2  200‬‬
‫טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת החדשה ‪ 1018‬מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות‬
‫‪. S 2  260‬‬
‫נניח לצורך פתרון שטמפרטורת ההתכה מתפלגת נורמאלית עם אותה שונות במתכות השונות‪.‬‬
‫בדקו ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪152‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬להלן נתונים של שטחי דירות מתוך דירות שנבנו בשנת ‪ 5115‬ובשנת ‪( 5110‬מטרים רבועים)‪:‬‬
‫‪2012‬‬
‫‪151‬‬
‫‪115‬‬
‫‪02‬‬
‫‪101‬‬
‫‪01‬‬
‫‪04‬‬
‫‪2013‬‬
‫‪111‬‬
‫‪75‬‬
‫‪01‬‬
‫‪112‬‬
‫‪84‬‬
‫‪30‬‬
‫‪151‬‬
‫בדקו שבשנת ‪ 5110‬הייתה ירידה משמעותית בשטחי הדירות לעומת שנת ‪ 5115‬עבור רמת מובהקות של‬
‫‪.2%‬הניחו ששטחי הדירות בכל שנה מתפלגים נורמלית עם אותה שונות‪.‬‬
‫כל‬
‫‪ .5‬נדגמו ‪ 12‬ישראלים ו‪ 12-‬אמריקאים‪.‬‬
‫הנדגמים נגשו למבחן ‪ .IQ‬להלן תוצאות המדגם‪:‬‬
‫המדינה‬
‫ישראל‬
‫ארה"ב‬
‫גודל המדגם‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫סכום הציונים‬
‫‪1231‬‬
‫‪1481‬‬
‫סכום ריבועי הציונים‬
‫‪132,001‬‬
‫‪148,231‬‬
‫בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם קיים הבדל של נקודה בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע‬
‫הציונים במבחן ה‪ IQ-‬לטובת ישראל‪ .‬רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל‪.‬‬
‫‪ .0‬להלן תוצאות מדגם הבדק אורך חיים של נורות מסוג ‪ W31‬ומסוג ‪.W111‬‬
‫אורך החיים נמדד בשעות‪.‬‬
‫הקבוצה ‪5-31W‬‬
‫‪1-111W‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1118‬‬
‫‪023‬‬
‫‪S‬‬
‫‪71‬‬
‫‪85‬‬
‫‪n‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫א‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם נורות מסוג ‪ W31‬דולקות בממוצע יותר מאשר נורות‬
‫מסוג ‪ .W111‬רשמו את כל ההנחות הדרושות לפתרון‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור איזו רמת מובהקות ניתן לקבוע שנורות מסוג ‪W 31‬דולקות בממוצע יותר מאשר‬
‫נורות מסוג ‪?W 111‬‬
‫ג‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם נורות מסוג ‪ W 31‬דולקות יותר מ ‪ 1111‬שעות‪ .‬רשמו‬
‫את כל ההנחות הדרושות‪.‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪153‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫רמות מובהקות של לפחות ‪2%‬‬
‫ג‪.‬‬
‫לא נדחה ‪H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪154‬‬
‫פרק ‪ - 17‬בדיקת השערות על תוחלת ההפרשים במדגמים מזווגים‬
‫(תלויים)‬
‫בדיקת השערות למדגמים מזווגים‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫‪H 0 : D  C‬‬
‫‪H 0 : D  C‬‬
‫‪H 0 : D  C‬‬
‫‪H1 :  D  C‬‬
‫‪H1 :  D  C‬‬
‫‪H1 :  D  C‬‬
‫‪  D .8‬אינה ידועה‬
‫תנאים‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ D‬או מדגם מספיק גדול‬
‫‪N‬‬
‫)‪tD  t ( n1‬‬
‫כלל ההכרעה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪tD  t1(n1‬‬
‫או )‪tD  t ( n1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪tD  t1(n1‬‬
‫אזור הדחייה של ‪: H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 , n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 , n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫חלופה לכלל הכרעה ‪:‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫א‬
‫נדחה ‪ H0‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫‪D  C  t n 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t1 ,n1‬‬
‫‪t1 ,n1‬‬
‫█ ‪ -‬דוחים את ‪H 0‬‬
‫‪D  C  t1n1 ‬‬
‫ו‬
‫‪D  C  t n 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪D  D‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ nD 2‬‬
‫‪tD ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪D‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  Di  D ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪SD 2 ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪SD‬‬
‫‪n‬‬
‫‪D  C  t1n1 ‬‬
‫‪155‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה(‬
‫חברה שיווקית מעוניינת לבדוק את טענת רשת השיווק "מגה בעיר" הטוענת שמחיריה נמוכים‬
‫מהמחירים מרשת השיווק "שופרסל"‪.‬‬
‫לצורך בדיקה נבחרו באקראי ‪ 4‬מוצרים שונים‪ .‬המחירים נבדקו בשתי הרשתות‪.‬‬
‫להלן המחירים‪:‬‬
‫המוצר‬
‫מגה בעיר‬
‫שופרסל‬
‫שמפו‬
‫‪18‬‬
‫‪17‬‬
‫ג'ל כביסה‬
‫‪47‬‬
‫‪28‬‬
‫עוגת גבינה‬
‫‪02‬‬
‫‪02‬‬
‫לחם‬
‫‪15‬‬
‫‪11‬‬
‫קפה נמס‬
‫‪40‬‬
‫‪48‬‬
‫בקבוק יין‬
‫‪110‬‬
‫‪145‬‬
‫גבינה‬
‫בולגרית‬
‫‪51‬‬
‫‪53‬‬
‫בהנחה והמחירים מתפלגים נורמאלית בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬את טענת רשת "מגה בעיר"‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪156‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין חברת ‪ X‬לחברת ‪ Y‬מבחינת המחירים לשיחות בינ"ל‪.‬‬
‫נגדמו באקראי ‪ 8‬מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה‪.‬‬
‫להלן התוצאות‪:‬‬
‫המדינה‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫ארה"ב‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.4‬‬
‫קנדה‬
‫‪5.1‬‬
‫‪5‬‬
‫הולנד‬
‫‪5.5‬‬
‫‪1.0‬‬
‫פולין‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1‬‬
‫מצרים‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫סין‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫יפן‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית בכל חברה‪ ,‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם‬
‫קיים הבדל בין החברות מבחינת המחירים בממוצע?‬
‫‪.5‬‬
‫מכון המכין לפסיכומטרי טוען שהוא מעלה את ממוצע הציונים ביותר מ‪ 01-‬נקודות‪ 7 .‬נבחנים‬
‫נבדקו לפני ואחרי שהם למדו במכון‪ .‬להלן התוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫לפני‬
‫‪213‬‬
‫‪481‬‬
‫‪451‬‬
‫‪341‬‬
‫‪381‬‬
‫‪001‬‬
‫‪211‬‬
‫‪201‬‬
‫אחרי‬
‫‪281‬‬
‫‪241‬‬
‫‪401‬‬
‫‪311‬‬
‫‪371‬‬
‫‪211‬‬
‫‪251‬‬
‫‪271‬‬
‫מה מסקנתכם ברמת מובהקות ‪ ?2%‬הניחו שציוני פסיכומטרי מתפלג נורמלית‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪157‬‬
‫‪.0‬‬
‫נדגמו ‪ 2‬סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'‪ .‬להלן הציונים שלהם בסמסטר א' ו‪-‬‬
‫ב'‪:‬‬
‫סטטיסטיקה א‬
‫סטטיסטיקה ב‬
‫‪84‬‬
‫‪71‬‬
‫‪37‬‬
‫‪74‬‬
‫‪01‬‬
‫‪78‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪75‬‬
‫‪111‬‬
‫פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב‪ 2-‬נקודות לעומת‬
‫סמסטר א' ‪ .‬הנח שהציונים מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שהשיפור הוא יותר מ ‪ 2‬נקודות?‬
‫ב‪ .‬על סמך הסעיף הקודם ‪ ,‬מהי רמת המובהקות המינימלית להכרעה שהשיפור הוא יותר מ‪2 -‬‬
‫נקודות?‬
‫ג‪ .‬לאור זאת‪ ,‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪? 11%‬‬
‫‪.4‬‬
‫לצורך בדיקת השפעת היפנוזה על לימוד אנגלית‪ ,‬נבחרו ‪ 11‬זוגות תאומים זהים‪.‬‬
‫אחד התאומים למד אנגלית בהשפעת היפנוזה‪ ,‬והשני ללא היפנוזה‪ .‬לאחר מכן נערך‬
‫לשניהם מבחן באנגלית‪ .‬נניח שציוני המבחן מתפלגים נורמאלית ללא ידיעת‬
‫השונות האמתית‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪158‬‬
‫‪.5‬‬
‫בתחנת טיפת חלב מסוימת יש שני מכשירי שקילה‪ .‬על מנת להשוות בין שני המשקלים נדגמו ‪4‬‬
‫תינוקות‪ .‬כל תינוק בן חודשיים נשקל בכל אחד מהמשקלים‪ .‬להלן תוצאות השקילה (בק"ג)‪:‬‬
‫‪2..‬‬
‫‪8..‬‬
‫‪3..‬‬
‫‪2..‬‬
‫משקל במכשיר ‪1‬‬
‫‪2..‬‬
‫‪7.1‬‬
‫‪3.0‬‬
‫‪2..‬‬
‫משקל במכשיר ‪5‬‬
‫נניח שהמשקלים מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫כדי להשוות בין שני אצים נדגמו ‪ 2‬תוצאות מריצת ‪ 111‬מטר של כל אצן‪ .‬זמני הריצה נרשמו‬
‫ויש להניח שמתפלגים נורמלית‪ .‬המטרה להשוות בין האצנים‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪159‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪0.25  pv  0.5 .‬‬
‫ב‪0.5 .‬‬
‫ג‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫התשובה היא ד‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫התשובה היא ד‪.‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫התשובה היא ג‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪161‬‬
‫פרק ‪ - 10‬הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על הפרש תוחלות‬
‫רקע‪:‬‬
‫ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות ‪ ‬על ‪: 1  2‬‬
‫‪H 0 : 1  2  C‬‬
‫‪H1 : 1  2  C‬‬
‫על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של ‪ 1  ‬ל ‪: 1  2‬‬
‫אם ‪ C‬נופל ברווח ‪‬נקבל את ‪H 0‬‬
‫אם ‪ C‬לא נופל ברווח ‪‬נדחה את ‪H 0‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת ההפרש במדגם מזווג‪ .‬להלן השערותיו‪:‬‬
‫‪H 0 : D  80‬‬
‫‪H 1 : D  80‬‬
‫‪  5%‬‬
‫החוקר בנה רווח סמך ברמה של ‪01%‬‬
‫‪78  D  83‬‬
‫האם אפשר לדעת מה מסקנתו‪ ,‬ואם כן מהי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪161‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬נדגמו ‪ 2‬סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'‪ .‬להלן ציוניהם בסמסטר א' ו‪ -‬ב'‪:‬‬
‫סטטיסטיקה א‬
‫סטטיסטיקה ב‬
‫‪84‬‬
‫‪71‬‬
‫‪37‬‬
‫‪74‬‬
‫‪01‬‬
‫‪78‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪75‬‬
‫‪111‬‬
‫א‪ .‬בנו רווח סמך ברמת סמך של ‪ 02%‬לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב‪.‬‬
‫ב‪ .‬פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב‪ 2-‬נק' לעומת‬
‫סמסטר א' האם יש אמת בפרסום?‬
‫‪ .5‬הוחלט להשוות הציונים אצל מרצה ‪ X‬ואצל מרצה ‪ .Y‬נבחרו באקראי ‪ 3‬סטודנטים‪ 0 ,‬סטודנטים‬
‫של מרצה ‪ X‬ו – ‪ 0‬סטודנטים של מרצה ‪ ,Y‬עבורם התקבלו הציונים הבאים‪:‬‬
‫מרצה ‪X‬‬
‫‪75‬‬
‫‪01‬‬
‫‪37‬‬
‫מרצה ‪Y‬‬
‫‪37‬‬
‫‪71‬‬
‫‪34‬‬
‫א‪ .‬חשבו רווח סמך ברמת סמך ‪ 01%‬להפרש בין התוחלות של הציונים אצל שני המרצים‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ברמת מובהקות של ‪ 11%‬נכריע שיש הבדל בין תוחלות הציונים אצל שני המרצים?‬
‫שאלות אמריקאיות‪:‬‬
‫‪ .0‬סטטיסטיקאי נתבקש לאמוד את הפרש הממוצעים של שני טיפולים לפי שני מדגמים‬
‫מקריים בלתי תלויים‪.‬‬
‫הוא חישב רווח סמך להפרש ברמת סמך ‪ ,1.07‬וקיבל את הרווח ‪. 2  1  2  4.5‬‬
‫אילו יתבקש החוקר לבדוק לפי אותם נתונים את ההשערות‪:‬‬
‫‪ , H1 : 1  2  0 ; H0 : 1  2  0‬ברמת מובהקות ‪ 1.12‬מסקנתו תהיה‪:‬‬
‫א‪ .‬לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬שלא ניתן לדעת את המסקנה עבור רמת מובהקות ‪. 1.12‬‬
‫ד‪ .‬שלא נתונות בשאלה סטיות התקן של האוכלוסיות‪ ,‬ולכן לא ניתן להסיק דבר‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪162‬‬
‫‪ .4‬במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות‬
‫בינ"ל‪ .‬נגדמו באקראי ‪ 8‬מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה‪ .‬בהנחה‬
‫והמחירים מתפלים נורמלית בנו רווח סמך לממוצע ההפרשים וקיבלו ‪:‬‬
‫‪ 0.0293  D  0.2145‬רווח הסמך הוא ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫לכן מסקנת המחקר היא ‪:‬‬
‫א‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לא נוכל לקבוע שקיים הבדל בין החברות‪.‬‬
‫ב‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬נקבע שקיים הבדל מובהק בין החברות‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא ניתן לדעת מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪ 2%‬כיוון שלא נאמר מה ההגדרה‬
‫של ‪.D‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪163‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪3.8  D  19 .‬‬
‫ב‪ .‬נכריע שיש אמת בפרסום‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪8.5   X  Y  26.5 .‬‬
‫ב‪ .‬נכריע שאין הבדל‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫התשובה היא ג‪.‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫התשובה היא א‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪164‬‬
‫פרק ‪ -51‬בדיקת השערות על שונויות‬
‫בדיקת השערות על שונות האוכלוסייה כאשר התוחלת לא ידועה‬
‫רקע‪:‬‬
‫‪H0 : σ2 = σ20‬‬
‫‪H1 : σ2 ≠ σ20‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים ‪:‬‬
‫‪H0 : σ2 = σ20‬‬
‫‪H1 : σ2 < σ20‬‬
‫‪H0 : σ2 = σ20‬‬
‫‪H1 : σ2 > σ20‬‬
‫‪X ~N‬‬
‫נדחה את השערת האפס אם‪:‬‬
‫)‪  2   2(n1‬או )‪ 2   2(n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ 2  12(n1‬‬
‫)‪2 (n 1‬‬
‫‪(n  1)Sˆ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪ 02‬‬
‫‪2‬‬
‫התפלגות חי בריבוע ‪:‬‬
‫‪(n  1)Sˆ 2‬‬
‫אם ) ‪ Xi N( , 2‬והפרמטר ‪ ‬אינו ידוע מתקיים ש‪ 2(n 1) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫התפלגות זו היא התפלגות אסימטרית חיובית המתחילה מהערך אפס וערכיה שואפים לאינסוף‪.‬‬
‫התפלגות זו תלויה בדרגות החופש‪ .‬אם ‪ ‬אינו ידוע אז‪:‬‬
‫‪d. f  n  1‬‬
‫דוגמה ‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫ציוני ‪ IQ‬לפי סטנדרטים אמריקאים מתפלגים נורמאלית עם ‪ .   15‬מעוניינים לבדוק האם‬
‫שונות הציונים של נבחנים ישראלים שונה מאמריקה‪ .‬במדגם של ‪ 51‬ישראלים התקבל ‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ ( xi  x)2  3420‬‬
‫‪.‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪i 1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪165‬‬
‫טבלת חי בריבוע על סמך השטח מצד ימין‬
‫‪α‬‬
‫_____________________________________________________________________________‬
‫‪df‬‬
‫‪0.995‬‬
‫‪.99‬‬
‫‪.975‬‬
‫‪.95‬‬
‫‪.90‬‬
‫‪.75‬‬
‫‪.50‬‬
‫‪.25‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪.05‬‬
‫‪.025 .01‬‬
‫‪.005‬‬
‫__________________________________________________________________________________________________________‬
‫‪1.32‬‬
‫‪2.77‬‬
‫‪4.11‬‬
‫‪5.39‬‬
‫‪6.63‬‬
‫‪0.455‬‬
‫‪1.39‬‬
‫‪2.37‬‬
‫‪3.36‬‬
‫‪4.35‬‬
‫‪0.102‬‬
‫‪0.575‬‬
‫‪1.21‬‬
‫‪1.92‬‬
‫‪2.67‬‬
‫‪0.0158‬‬
‫‪0.211‬‬
‫‪0.584‬‬
‫‪1.06‬‬
‫‪1.61‬‬
‫‪0.02393‬‬
‫‪0.103‬‬
‫‪0.352‬‬
‫‪0.711‬‬
‫‪1.15‬‬
‫‪0.03982‬‬
‫‪0.0506‬‬
‫‪0.216‬‬
‫‪0.484‬‬
‫‪0.831‬‬
‫‪0.03157‬‬
‫‪0.0201‬‬
‫‪0.115‬‬
‫‪0.297‬‬
‫‪0.554‬‬
‫‪0.04393‬‬
‫‪0.0100‬‬
‫‪0.0717‬‬
‫‪0.207‬‬
‫‪0.412‬‬
‫‪10.6‬‬
‫‪12.0‬‬
‫‪13.4‬‬
‫‪14.7‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪7.84‬‬
‫‪9.04‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪11.4‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪5.35‬‬
‫‪6.35‬‬
‫‪7.34‬‬
‫‪8.34‬‬
‫‪9.34‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪4.25‬‬
‫‪5.07‬‬
‫‪5.90‬‬
‫‪6.74‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.83‬‬
‫‪3.49‬‬
‫‪4.17‬‬
‫‪4.87‬‬
‫‪1.64‬‬
‫‪2.17‬‬
‫‪2.73‬‬
‫‪3.33‬‬
‫‪3.94‬‬
‫‪1.24‬‬
‫‪1.69‬‬
‫‪2.18‬‬
‫‪2.70‬‬
‫‪3.25‬‬
‫‪0.872‬‬
‫‪1.24‬‬
‫‪1.65‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪2.56‬‬
‫‪0.676‬‬
‫‪0.989‬‬
‫‪1.34‬‬
‫‪1.73‬‬
‫‪2.16‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪13.7‬‬
‫‪14.8‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪17.1‬‬
‫‪18.2‬‬
‫‪10.3‬‬
‫‪11.3‬‬
‫‪12.3‬‬
‫‪13.3‬‬
‫‪14.3‬‬
‫‪7.58‬‬
‫‪8.44‬‬
‫‪9.30‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪11.0‬‬
‫‪5.58‬‬
‫‪6.30‬‬
‫‪7.04‬‬
‫‪7.79‬‬
‫‪8.55‬‬
‫‪4.57‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪5.89‬‬
‫‪6.57‬‬
‫‪7.26‬‬
‫‪3.82‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪5.01‬‬
‫‪5.63‬‬
‫‪6.26‬‬
‫‪3.05‬‬
‫‪3.57‬‬
‫‪4.11‬‬
‫‪4.66‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪3.07‬‬
‫‪3.57‬‬
‫‪4.07‬‬
‫‪4.60‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15.3‬‬
‫‪16.3‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.3‬‬
‫‪19.3‬‬
‫‪11.9‬‬
‫‪12.8‬‬
‫‪13.7‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪15.5‬‬
‫‪9.31‬‬
‫‪10.1‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪11.7‬‬
‫‪12.4‬‬
‫‪7.96‬‬
‫‪8.67‬‬
‫‪9.39‬‬
‫‪10.1‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪6.91‬‬
‫‪7.56‬‬
‫‪8.23‬‬
‫‪8.91‬‬
‫‪9.59‬‬
‫‪5.81‬‬
‫‪6.41‬‬
‫‪7.01‬‬
‫‪7.63‬‬
‫‪8.26‬‬
‫‪5.14‬‬
‫‪5.70‬‬
‫‪6.26‬‬
‫‪6.84‬‬
‫‪7.43‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪16.3‬‬
‫‪17.2‬‬
‫‪18.1‬‬
‫‪19.0‬‬
‫‪19.9‬‬
‫‪13.2‬‬
‫‪14.0‬‬
‫‪14.8‬‬
‫‪15.7‬‬
‫‪16.5‬‬
‫‪11.6‬‬
‫‪12.3‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪10.3‬‬
‫‪11.0‬‬
‫‪11.7‬‬
‫‪12.4‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪8.90‬‬
‫‪9.54‬‬
‫‪10.2‬‬
‫‪10.9‬‬
‫‪11.5‬‬
‫‪8.03‬‬
‫‪8.64‬‬
‫‪9.26‬‬
‫‪9.89‬‬
‫‪10.5‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20.8‬‬
‫‪21.7‬‬
‫‪22.7‬‬
‫‪23.6‬‬
‫‪24.5‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.1‬‬
‫‪18.9‬‬
‫‪19.8‬‬
‫‪20.6‬‬
‫‪15.4‬‬
‫‪16.2‬‬
‫‪16.9‬‬
‫‪17.7‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪14.6‬‬
‫‪15.3‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪16.8‬‬
‫‪12.2‬‬
‫‪12.9‬‬
‫‪13.6‬‬
‫‪14.3‬‬
‫‪15.0‬‬
‫‪11.2‬‬
‫‪11.8‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪13.1‬‬
‫‪13.8‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2.71 3.84‬‬
‫‪4.61 5.99‬‬
‫‪6.25 7.81‬‬
‫‪7.78 9.49‬‬
‫‪9.24 11.1‬‬
‫‪7.88‬‬
‫‪10.6‬‬
‫‪12.8‬‬
‫‪14.9‬‬
‫‪16.7‬‬
‫‪5.02 6.63‬‬
‫‪7.38 9.21‬‬
‫‪9.35 11.3‬‬
‫‪11.1 13.3‬‬
‫‪12.8 15.1‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪20.3‬‬
‫‪22.0‬‬
‫‪23.6‬‬
‫‪25.2‬‬
‫‪16.8‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪20.1‬‬
‫‪21.7‬‬
‫‪23.2‬‬
‫‪14.4‬‬
‫‪16.0‬‬
‫‪17.5‬‬
‫‪19.0‬‬
‫‪20.5‬‬
‫‪12.6‬‬
‫‪14.1‬‬
‫‪15.5‬‬
‫‪16.9‬‬
‫‪18.3‬‬
‫‪26.8‬‬
‫‪28.3‬‬
‫‪29.8‬‬
‫‪31.3‬‬
‫‪32.8‬‬
‫‪24.7‬‬
‫‪26.2‬‬
‫‪27.7‬‬
‫‪29.1‬‬
‫‪30.6‬‬
‫‪21.9‬‬
‫‪23.3‬‬
‫‪24.7‬‬
‫‪26.1‬‬
‫‪27.5‬‬
‫‪19.7‬‬
‫‪21.0‬‬
‫‪22.4‬‬
‫‪23.7‬‬
‫‪25.0‬‬
‫‪17.3‬‬
‫‪18.5‬‬
‫‪19.8‬‬
‫‪21.1‬‬
‫‪22.3‬‬
‫‪34.3‬‬
‫‪35.7‬‬
‫‪37.2‬‬
‫‪38.6‬‬
‫‪40.0‬‬
‫‪32.0‬‬
‫‪33.4‬‬
‫‪34.8‬‬
‫‪36.2‬‬
‫‪37.6‬‬
‫‪28.8‬‬
‫‪30.2‬‬
‫‪31.5‬‬
‫‪32.9‬‬
‫‪34.2‬‬
‫‪26.3‬‬
‫‪27.6‬‬
‫‪28.9‬‬
‫‪30.1‬‬
‫‪31.4‬‬
‫‪23.5‬‬
‫‪24.8‬‬
‫‪26.0‬‬
‫‪27.2‬‬
‫‪28.4‬‬
‫‪19.4‬‬
‫‪20.5‬‬
‫‪21.6‬‬
‫‪22.7‬‬
‫‪23.8‬‬
‫‪41.4‬‬
‫‪42.8‬‬
‫‪44.2‬‬
‫‪45.6‬‬
‫‪46.9‬‬
‫‪38.9‬‬
‫‪40.3‬‬
‫‪41.6‬‬
‫‪43.0‬‬
‫‪44.3‬‬
‫‪35.5‬‬
‫‪36.8‬‬
‫‪38.1‬‬
‫‪39.4‬‬
‫‪40.6‬‬
‫‪32.7‬‬
‫‪33.9‬‬
‫‪35.2‬‬
‫‪36.4‬‬
‫‪37.7‬‬
‫‪29.6‬‬
‫‪30.8‬‬
‫‪32.0‬‬
‫‪33.2‬‬
‫‪34.4‬‬
‫‪24.9‬‬
‫‪26.0‬‬
‫‪27.1‬‬
‫‪28.2‬‬
‫‪29.3‬‬
‫‪20.3‬‬
‫‪21.3‬‬
‫‪22.3‬‬
‫‪23.3‬‬
‫‪24.3‬‬
‫‪48.3‬‬
‫‪49.6‬‬
‫‪51.0‬‬
‫‪52.3‬‬
‫‪53.7‬‬
‫‪45.6‬‬
‫‪47.0‬‬
‫‪48.3‬‬
‫‪49.6‬‬
‫‪50.9‬‬
‫‪41.9‬‬
‫‪43.2‬‬
‫‪44.5‬‬
‫‪45.7‬‬
‫‪47.0‬‬
‫‪38.9‬‬
‫‪40.1‬‬
‫‪41.3‬‬
‫‪42.6‬‬
‫‪43.8‬‬
‫‪35.6‬‬
‫‪36.7‬‬
‫‪37.9‬‬
‫‪39.1‬‬
‫‪40.3‬‬
‫‪30.4‬‬
‫‪31.5‬‬
‫‪32.6‬‬
‫‪33.7‬‬
‫‪34.8‬‬
‫‪25.3‬‬
‫‪26.3‬‬
‫‪27.3‬‬
‫‪28.3‬‬
‫‪29.3‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪166‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬חברה אורזת סוכר במשקל עם סטיית תקן ‪ 51‬גרם‪ .‬משקל הסוכר באריזה מתפלג‬
‫נורמאלית‪ .‬החברה החליפה את מכונות האריזה במטרה לדייק יותר במשקל הנארז‪.‬‬
‫(רוצים שסטיית התקן תהיה קטנה יותר)‪.‬‬
‫לצורך בדיקה דגמו ‪ 2‬אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים‪1117,1154,003,1112,008 :‬‬
‫מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .5‬זמן ההחלמה ממחלה מסוימת כאשר משתמשים בטיפול מסוים מתפלג נורמלית עם‬
‫סטיית תקן של ‪ 71‬שעות‪ .‬תרופה חדשה נוסתה על ‪ 2‬חולים‪ .‬זמני ההחלמה שלהם בשעות‬
‫היו‪. 07,85,01,111,21 :‬‬
‫א‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬בדקו האם סטיית התקן של זמן החלמה של התרופה החדשה‬
‫נמוכה מהתרופה המקורית‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נגדיל את רמת המובהקות ?‬
‫ג‪ .‬האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נקטין את רמת המובהקות?‬
‫ד‪ .‬האם ניתן לדעת מה תהיה התשובה לסעיף א אם נוסיף תצפית שערכה ‪? 81‬‬
‫‪ .0‬הגובה של אוכלוסייה מסוימת נחשב כמתפלג נורמלית עם ממוצע של ‪ 184‬ס"מ וסטיית‬
‫תקן ‪ .15‬במדגם של ‪ 51‬אנשים מהאוכלוסייה התקבל ממוצע ‪ 181‬וסטיית תקן מדגמית‬
‫‪.50‬‬
‫א‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם חל שינוי בשונות הגבהים באוכלוסייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם חל שינוי בתוחלת הגבהים באוכלוסייה בבחירת‬
‫המבחן המתאים הסתמך על המסקנה מסעיף א'‪.‬‬
‫‪ .4‬השערות המחקר הן ‪H o :   2 :‬‬
‫‪H1 :   2‬‬
‫במדגם של ‪ 51‬תצפיות התקבל סטיית תקן ‪ .1.140‬תן הערכה למובהקות התוצאה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪167‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫לא נדחה ‪H o‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H o‬‬
‫ב‪ .‬לא תשתנה‬
‫ג‪ .‬לא ניתן לדעת‬
‫ד‪ .‬לא תשתנה‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H o‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה ‪H o‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪0  Pv  0.005‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪168‬‬
‫בדיקת השערות על שתי שונויות‬
‫רקע‪:‬‬
‫השערת האפס ‪:‬‬
‫השערה אלטרנטיבית‪:‬‬
‫תנאים ‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H0 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H0 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H0 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H1 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H1 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H1 :‬‬
‫‪.1‬מדגמים בלתי תלויים‬
‫‪X 1 , X 2 ~ N .5‬‬
‫נדחה את השערת האפס אם‪:‬‬
‫)‪ F  f ( n1 1,n2 1‬או‬
‫‪1‬‬
‫)‪( n2 1, n1 1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( n2 1, n1 1‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪F  f( n11,n2 1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sˆ12‬‬
‫סטטיסטי המבחן ‪:‬‬
‫‪Sˆ2 2‬‬
‫‪F‬‬
‫התפלגות ‪:F‬‬
‫אם ) ‪N (1 ,  2‬‬
‫‪ X 1‬ו ‪N ( 2 ,  2 ) -‬‬
‫‪ X 2‬אזי ‪F (n1  1, n2  1) :‬‬
‫‪Sˆ12‬‬
‫‪Sˆ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫התפלגות ‪ F‬הינה התפלגות אסימטרית חיובית התלויה בדרגות חופש של המונה ושל המכנה‪.‬‬
‫כמו כן בהתפלגות ‪ F‬מתקיימת התכונה הבאה ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( n2 1,n1 1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F1 (n1  1, n2  1) ‬‬
‫‪df1  n1  1‬‬
‫‪df 2  n2  1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪169‬‬
‫דוגמה‪( :‬פתרון בהקלטה)‬
‫מעוניינים להשוות בין נשים וגברים מבחינת השונות בזמנים שלהם לבצע משימה מסוימת‪.‬‬
‫במדגם של ‪ 11‬גברים התקבלו התוצאות הבאות לגבי זמני ביצוע המשימה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( yi  y )  204‬‬
‫במדגם של ‪ 10‬נשים התקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( xi  x )  200‬‬
‫בדקו ברמת מובהקות של ‪ 5%‬האם קיים הבדל בין השונויות? מה יש להניח?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪171‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪171‬‬
‫טבלת ערכים קריטיים לפי התפלגות ‪F‬‬
‫‪‬‬
‫‪120‬‬
‫‪α= 0.01‬‬
‫ראה איור מטה‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪24‬‬
‫‪20‬‬
‫‪16‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6313.03‬‬
‫‪99.48‬‬
‫‪26.32‬‬
‫‪13.65‬‬
‫‪9.20‬‬
‫‪6234.63‬‬
‫‪99.46‬‬
‫‪26.60‬‬
‫‪13.93‬‬
‫‪9.47‬‬
‫‪6208.73‬‬
‫‪99.45‬‬
‫‪26.69‬‬
‫‪14.02‬‬
‫‪9.55‬‬
‫‪6170.10‬‬
‫‪99.44‬‬
‫‪26.83‬‬
‫‪14.15‬‬
‫‪9.68‬‬
‫‪6106.32‬‬
‫‪99.42‬‬
‫‪27.05‬‬
‫‪14.37‬‬
‫‪9.89‬‬
‫‪6055.85‬‬
‫‪99.40‬‬
‫‪27.23‬‬
‫‪14.55‬‬
‫‪10.05‬‬
‫‪6022.47‬‬
‫‪99.39‬‬
‫‪27.35‬‬
‫‪14.66‬‬
‫‪10.16‬‬
‫‪5981.07‬‬
‫‪99.37‬‬
‫‪27.49‬‬
‫‪14.80‬‬
‫‪10.29‬‬
‫‪5928.36‬‬
‫‪99.36‬‬
‫‪27.67‬‬
‫‪14.98‬‬
‫‪10.46‬‬
‫‪5858.99‬‬
‫‪99.33‬‬
‫‪27.91‬‬
‫‪15.21‬‬
‫‪10.67‬‬
‫‪5763.65‬‬
‫‪99.30‬‬
‫‪28.24‬‬
‫‪15.52‬‬
‫‪10.97‬‬
‫‪5624.58‬‬
‫‪99.25‬‬
‫‪28.71‬‬
‫‪15.98‬‬
‫‪11.39‬‬
‫‪5403.35‬‬
‫‪99.17‬‬
‫‪29.46‬‬
‫‪16.69‬‬
‫‪12.06‬‬
‫‪4999.50‬‬
‫‪99.00‬‬
‫‪30.82‬‬
‫‪18.00‬‬
‫‪13.27‬‬
‫‪4052.18‬‬
‫‪98.50‬‬
‫‪34.12‬‬
‫‪21.20‬‬
‫‪16.26‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6.88‬‬
‫‪5.65‬‬
‫‪4.86‬‬
‫‪4.31‬‬
‫‪3.91‬‬
‫‪6.97‬‬
‫‪5.74‬‬
‫‪4.95‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪4.00‬‬
‫‪7.06‬‬
‫‪5.82‬‬
‫‪5.03‬‬
‫‪4.48‬‬
‫‪4.08‬‬
‫‪7.31‬‬
‫‪6.07‬‬
‫‪5.28‬‬
‫‪4.73‬‬
‫‪4.33‬‬
‫‪7.40‬‬
‫‪6.16‬‬
‫‪5.36‬‬
‫‪4.81‬‬
‫‪4.41‬‬
‫‪7.52‬‬
‫‪6.28‬‬
‫‪5.48‬‬
‫‪4.92‬‬
‫‪4.52‬‬
‫‪7.72‬‬
‫‪6.47‬‬
‫‪5.67‬‬
‫‪5.11‬‬
‫‪4.71‬‬
‫‪7.87‬‬
‫‪6.62‬‬
‫‪5.81‬‬
‫‪5.26‬‬
‫‪4.85‬‬
‫‪7.98‬‬
‫‪6.72‬‬
‫‪5.91‬‬
‫‪5.35‬‬
‫‪4.94‬‬
‫‪8.10‬‬
‫‪6.84‬‬
‫‪6.03‬‬
‫‪5.47‬‬
‫‪5.06‬‬
‫‪8.26‬‬
‫‪6.99‬‬
‫‪6.18‬‬
‫‪5.61‬‬
‫‪5.20‬‬
‫‪8.47‬‬
‫‪7.19‬‬
‫‪6.37‬‬
‫‪5.80‬‬
‫‪5.39‬‬
‫‪8.75‬‬
‫‪7.46‬‬
‫‪6.63‬‬
‫‪6.06‬‬
‫‪5.64‬‬
‫‪9.15‬‬
‫‪7.85‬‬
‫‪7.01‬‬
‫‪6.42‬‬
‫‪5.99‬‬
‫‪9.78‬‬
‫‪8.45‬‬
‫‪7.59‬‬
‫‪6.99‬‬
‫‪6.55‬‬
‫‪10.92‬‬
‫‪9.55‬‬
‫‪8.65‬‬
‫‪8.02‬‬
‫‪7.56‬‬
‫‪13.75‬‬
‫‪12.25‬‬
‫‪11.26‬‬
‫‪10.56‬‬
‫‪10.04‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3.60‬‬
‫‪3.36‬‬
‫‪3.17‬‬
‫‪3.00‬‬
‫‪2.87‬‬
‫‪3.69‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪3.25‬‬
‫‪3.09‬‬
‫‪2.96‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪3.54‬‬
‫‪3.34‬‬
‫‪3.18‬‬
‫‪3.05‬‬
‫‪4.02‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪3.59‬‬
‫‪3.43‬‬
‫‪3.29‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪3.86‬‬
‫‪3.66‬‬
‫‪3.51‬‬
‫‪3.37‬‬
‫‪4.21‬‬
‫‪3.97‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪3.62‬‬
‫‪3.49‬‬
‫‪4.40‬‬
‫‪4.16‬‬
‫‪3.96‬‬
‫‪3.80‬‬
‫‪3.67‬‬
‫‪4.54‬‬
‫‪4.30‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪3.94‬‬
‫‪3.80‬‬
‫‪4.63‬‬
‫‪4.39‬‬
‫‪4.19‬‬
‫‪4.03‬‬
‫‪3.89‬‬
‫‪4.74‬‬
‫‪4.50‬‬
‫‪4.30‬‬
‫‪4.14‬‬
‫‪4.00‬‬
‫‪4.89‬‬
‫‪4.64‬‬
‫‪4.44‬‬
‫‪4.28‬‬
‫‪4.14‬‬
‫‪5.07‬‬
‫‪4.82‬‬
‫‪4.62‬‬
‫‪4.46‬‬
‫‪4.32‬‬
‫‪5.32‬‬
‫‪5.06‬‬
‫‪4.86‬‬
‫‪4.69‬‬
‫‪4.56‬‬
‫‪5.67‬‬
‫‪5.41‬‬
‫‪5.21‬‬
‫‪5.04‬‬
‫‪4.89‬‬
‫‪6.22‬‬
‫‪5.95‬‬
‫‪5.74‬‬
‫‪5.56‬‬
‫‪5.42‬‬
‫‪7.21‬‬
‫‪6.93‬‬
‫‪6.70‬‬
‫‪6.51‬‬
‫‪6.36‬‬
‫‪9.65‬‬
‫‪9.33‬‬
‫‪9.07‬‬
‫‪8.86‬‬
‫‪8.68‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.65‬‬
‫‪2.57‬‬
‫‪2.49‬‬
‫‪2.42‬‬
‫‪2.84‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪2.58‬‬
‫‪2.52‬‬
‫‪2.93‬‬
‫‪2.83‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.67‬‬
‫‪2.61‬‬
‫‪3.18‬‬
‫‪3.08‬‬
‫‪3.00‬‬
‫‪2.92‬‬
‫‪2.86‬‬
‫‪3.26‬‬
‫‪3.16‬‬
‫‪3.08‬‬
‫‪3.00‬‬
‫‪2.94‬‬
‫‪3.37‬‬
‫‪3.27‬‬
‫‪3.19‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.05‬‬
‫‪3.55‬‬
‫‪3.46‬‬
‫‪3.37‬‬
‫‪3.30‬‬
‫‪3.23‬‬
‫‪3.69‬‬
‫‪3.59‬‬
‫‪3.51‬‬
‫‪3.43‬‬
‫‪3.37‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪3.68‬‬
‫‪3.60‬‬
‫‪3.52‬‬
‫‪3.46‬‬
‫‪3.89‬‬
‫‪3.79‬‬
‫‪3.71‬‬
‫‪3.63‬‬
‫‪3.56‬‬
‫‪4.03‬‬
‫‪3.93‬‬
‫‪3.84‬‬
‫‪3.77‬‬
‫‪3.70‬‬
‫‪4.20‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪4.01‬‬
‫‪3.94‬‬
‫‪3.87‬‬
‫‪4.44‬‬
‫‪4.34‬‬
‫‪4.25‬‬
‫‪4.17‬‬
‫‪4.10‬‬
‫‪4.77‬‬
‫‪4.67‬‬
‫‪4.58‬‬
‫‪4.50‬‬
‫‪4.43‬‬
‫‪5.29‬‬
‫‪5.18‬‬
‫‪5.09‬‬
‫‪5.01‬‬
‫‪4.94‬‬
‫‪6.23‬‬
‫‪6.11‬‬
‫‪6.01‬‬
‫‪5.93‬‬
‫‪5.85‬‬
‫‪8.53‬‬
‫‪8.40‬‬
‫‪8.29‬‬
‫‪8.18‬‬
‫‪8.10‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2.36‬‬
‫‪2.31‬‬
‫‪2.26‬‬
‫‪2.21‬‬
‫‪2.17‬‬
‫‪2.46‬‬
‫‪2.40‬‬
‫‪2.35‬‬
‫‪2.31‬‬
‫‪2.27‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪2.50‬‬
‫‪2.45‬‬
‫‪2.40‬‬
‫‪2.36‬‬
‫‪2.80‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.70‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪2.62‬‬
‫‪2.88‬‬
‫‪2.83‬‬
‫‪2.78‬‬
‫‪2.74‬‬
‫‪2.70‬‬
‫‪2.99‬‬
‫‪2.94‬‬
‫‪2.89‬‬
‫‪2.85‬‬
‫‪2.81‬‬
‫‪3.17‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.07‬‬
‫‪3.03‬‬
‫‪2.99‬‬
‫‪3.31‬‬
‫‪3.26‬‬
‫‪3.21‬‬
‫‪3.17‬‬
‫‪3.13‬‬
‫‪3.40‬‬
‫‪3.35‬‬
‫‪3.30‬‬
‫‪3.26‬‬
‫‪3.22‬‬
‫‪3.51‬‬
‫‪3.45‬‬
‫‪3.41‬‬
‫‪3.36‬‬
‫‪3.32‬‬
‫‪3.64‬‬
‫‪3.59‬‬
‫‪3.54‬‬
‫‪3.50‬‬
‫‪3.46‬‬
‫‪3.81‬‬
‫‪3.76‬‬
‫‪3.71‬‬
‫‪3.67‬‬
‫‪3.63‬‬
‫‪4.04‬‬
‫‪3.99‬‬
‫‪3.94‬‬
‫‪3.90‬‬
‫‪3.85‬‬
‫‪4.37‬‬
‫‪4.31‬‬
‫‪4.26‬‬
‫‪4.22‬‬
‫‪4.18‬‬
‫‪4.87‬‬
‫‪4.82‬‬
‫‪4.76‬‬
‫‪4.72‬‬
‫‪4.68‬‬
‫‪5.78‬‬
‫‪5.72‬‬
‫‪5.66‬‬
‫‪5.61‬‬
‫‪5.57‬‬
‫‪8.02‬‬
‫‪7.95‬‬
‫‪7.88‬‬
‫‪7.82‬‬
‫‪7.77‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2.13‬‬
‫‪2.10‬‬
‫‪2.06‬‬
‫‪2.03‬‬
‫‪2.01‬‬
‫‪2.23‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.17‬‬
‫‪2.14‬‬
‫‪2.11‬‬
‫‪2.33‬‬
‫‪2.29‬‬
‫‪2.26‬‬
‫‪2.23‬‬
‫‪2.21‬‬
‫‪2.58‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪2.52‬‬
‫‪2.49‬‬
‫‪2.47‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪2.63‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪2.57‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪2.78‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.72‬‬
‫‪2.69‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪2.96‬‬
‫‪2.93‬‬
‫‪2.90‬‬
‫‪2.87‬‬
‫‪2.84‬‬
‫‪3.09‬‬
‫‪3.06‬‬
‫‪3.03‬‬
‫‪3.00‬‬
‫‪2.98‬‬
‫‪3.18‬‬
‫‪3.15‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.09‬‬
‫‪3.07‬‬
‫‪3.29‬‬
‫‪3.26‬‬
‫‪3.23‬‬
‫‪3.20‬‬
‫‪3.17‬‬
‫‪3.42‬‬
‫‪3.39‬‬
‫‪3.36‬‬
‫‪3.33‬‬
‫‪3.30‬‬
‫‪3.59‬‬
‫‪3.56‬‬
‫‪3.53‬‬
‫‪3.50‬‬
‫‪3.47‬‬
‫‪3.82‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪3.75‬‬
‫‪3.73‬‬
‫‪3.70‬‬
‫‪4.14‬‬
‫‪4.11‬‬
‫‪4.07‬‬
‫‪4.04‬‬
‫‪4.02‬‬
‫‪4.64‬‬
‫‪4.60‬‬
‫‪4.57‬‬
‫‪4.54‬‬
‫‪4.51‬‬
‫‪5.53‬‬
‫‪5.49‬‬
‫‪5.45‬‬
‫‪5.42‬‬
‫‪5.39‬‬
‫‪7.72‬‬
‫‪7.68‬‬
‫‪7.64‬‬
‫‪7.60‬‬
‫‪7.56‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1.80‬‬
‫‪1.68‬‬
‫‪1.60‬‬
‫‪1.46‬‬
‫‪1.38‬‬
‫‪1.92‬‬
‫‪1.80‬‬
‫‪1.73‬‬
‫‪1.60‬‬
‫‪1.53‬‬
‫‪2.02‬‬
‫‪1.91‬‬
‫‪1.84‬‬
‫‪1.72‬‬
‫‪1.66‬‬
‫‪2.29‬‬
‫‪2.18‬‬
‫‪2.12‬‬
‫‪2.00‬‬
‫‪1.95‬‬
‫‪2.37‬‬
‫‪2.27‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪2.03‬‬
‫‪2.48‬‬
‫‪2.38‬‬
‫‪2.31‬‬
‫‪2.21‬‬
‫‪2.15‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪2.56‬‬
‫‪2.50‬‬
‫‪2.39‬‬
‫‪2.34‬‬
‫‪2.80‬‬
‫‪2.70‬‬
‫‪2.63‬‬
‫‪2.52‬‬
‫‪2.47‬‬
‫‪2.89‬‬
‫‪2.78‬‬
‫‪2.72‬‬
‫‪2.61‬‬
‫‪2.56‬‬
‫‪2.99‬‬
‫‪2.89‬‬
‫‪2.82‬‬
‫‪2.72‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.02‬‬
‫‪2.95‬‬
‫‪2.84‬‬
‫‪2.79‬‬
‫‪3.29‬‬
‫‪3.19‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.01‬‬
‫‪2.96‬‬
‫‪3.51‬‬
‫‪3.41‬‬
‫‪3.34‬‬
‫‪3.23‬‬
‫‪3.17‬‬
‫‪3.83‬‬
‫‪3.72‬‬
‫‪3.65‬‬
‫‪3.53‬‬
‫‪3.48‬‬
‫‪4.31‬‬
‫‪4.20‬‬
‫‪4.13‬‬
‫‪4.01‬‬
‫‪3.95‬‬
‫‪5.18‬‬
‫‪5.06‬‬
‫‪4.98‬‬
‫‪4.85‬‬
‫‪4.79‬‬
‫‪7.31‬‬
‫‪7.17‬‬
‫‪7.08‬‬
‫‪6.93‬‬
‫‪6.85‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪90‬‬
‫‪120‬‬
‫‪1.00‬‬
‫‪1.32‬‬
‫‪1.47‬‬
‫‪1.79‬‬
‫‪1.88‬‬
‫‪2.00‬‬
‫‪2.18‬‬
‫‪2.32‬‬
‫‪2.41‬‬
‫‪2.51‬‬
‫‪2.64‬‬
‫‪2.80‬‬
‫‪3.02‬‬
‫‪3.32‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪4.61‬‬
‫‪6.63‬‬
‫‪‬‬
‫‪6339.39 6365.86‬‬
‫‪99.49‬‬
‫‪99.50‬‬
‫‪26.22‬‬
‫‪26.13‬‬
‫‪13.56‬‬
‫‪13.46‬‬
‫‪9.11‬‬
‫‪9.02‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫ד"ח מונה‪/‬ד"ח מכנה‬
‫‪172‬‬
‫תרגילים ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫להלן נתונים על שטחי דירות במ"ר עבור דירות חדשות שנבנו בשנת ‪ 5115‬ובשנת ‪:5110‬‬
‫‪5115‬‬
‫‪151‬‬
‫‪115‬‬
‫‪02‬‬
‫‪101‬‬
‫‪01‬‬
‫‪04‬‬
‫‪5110‬‬
‫‪111‬‬
‫‪75‬‬
‫‪01‬‬
‫‪112‬‬
‫‪84‬‬
‫‪30‬‬
‫‪151‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ 11%‬את ההשערה ששונויות שטחי הדירות החדשות בשנת ‪5115‬‬
‫ובשנת ‪ 5110‬שוות‪ .‬מה הן ההנחות הדרושות לביצוע הבדיקה?‬
‫ב‪ .‬האם וכיצד הייתה משתנה המסקנה מהסעיף הקודם אם מסתבר שחלה טעות ברישום ויש‬
‫להפחית ‪ 11‬מ"ר מכל הדירות שמופיעות במדגם?‬
‫‪.5‬‬
‫בתחום הבינוי משתמשים בשני סוגי מתכות‪ :‬מתכת ‪ A‬ומתכת ‪ .B‬מחקר מעוניין לבדוק האם קיים‬
‫הבדל בין שני סוגי המתכות מבחינת החוזק שלהן‪ .‬דגמו מספר יחידות מתכת מכל סוג והתקבלו‬
‫התוצאות הבאות‪:‬‬
‫סוג המתכת‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ Xi‬‬
‫‪13‬‬
‫‪01‬‬
‫‪ X i2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪107‬‬
‫יש להניח שרמת החוזק של המתכות מתפלגת נורמאלית‪.‬‬
‫א‪ .‬האם קיים הבדל בין שונויות החוזק של מתכות?‬
‫ב‪ .‬האם קיים הבדל בין תוחלות החוזק של מתכות ?‬
‫בכל סעיף רמת מובהקות של ‪. 11%‬‬
‫‪.0‬‬
‫מחקר סוציולוגי מעוניין לחקור את הרגלי הבילויים בקבוצות גיל שונות‪ .‬ידוע כי בקרב‬
‫האוכלוסייה הבוגרת (מעל ‪ )17‬ההוצאה החודשית על בילויים מתפלגת נורמאלית עם תוחלת של‬
‫‪ ₪ 211‬וסטיית תקן של ‪.₪ 011‬‬
‫במדגם שנעשה על סטודנטים בגילאי ‪ 51-53‬התקבל אומד חוסר הטיה לשונות ההוצאה החודשית‬
‫על בילויים ‪ .11,111‬כמות הסטודנטים שנדגמה ‪.13‬‬
‫במדגם שנעשה על ‪ 11‬מבוגרים בשנות השלושים התקבל אומד חסר הטיה לשונות ההוצאה‬
‫החודשית על בילויים ‪.401,111‬‬
‫א‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם שונות ההוצאה על בילויים בקרב סטודנטים בקבוצת‬
‫גילאי ‪ 51-53‬נמוכה מהשונות אצל כלל המבוגרים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 1%‬האם הפיזור של ההוצאה החודשית לבילויים גדולה יותר‬
‫בקבוצת גיל ה‪ 01-‬מאשר בקבוצת גיל ‪.51-53‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪173‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬מסקנה לא תשתנה‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪174‬‬
‫פרק ‪-51‬שאלות מסכמות בבדיקת השערות על פרמטרים‬
‫שאלות מסכמות בבדיקת השערות על פרמטרים‬
‫‪.1‬‬
‫שני חוקרים נתבקשו לבדוק את ההשערות הבאות‪:‬‬
‫‪H 0 :   520‬‬
‫‪H1 :   520‬‬
‫כל חוקר בדק מדגם של ‪ 552‬נחקרים ‪ .‬ידוע ש‪.   20 -‬‬
‫חוקר א' קבע את כלל ההכרעה לפי ‪.   0.05‬‬
‫חוקר ב' מחליט לדחות ‪ H 0‬אם ‪. X  522‬‬
‫א‪ .‬למי מהחוקרים הסתברות לטעות מסוג ראשון קטנה יותר?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות לטעות מסוג שני של חוקר ב' עבור ‪. 1  525‬‬
‫ג‪ .‬הסבר ללא חישוב נוסף ‪ ,‬האם ההסתברות לטעות מסוג שני עבור ‪ , 1  525‬של חוקר א'‬
‫שווה‪/‬קטנה‪/‬גדולה לזו של חוקר ב'‪.‬‬
‫ד‪.‬חוקר א' קיבל במדגם שלו ‪ . X  523‬מהי מסקנתו?‬
‫‪.5‬‬
‫ידוע כי תוחלת מספר ה"לייק"ים היומי של דנה היא ‪ 15‬עם סטיית תקן ‪.2‬‬
‫דני טוען שהוא יותר פופולארי מדנה בכך שהוא מקבל יותר "לייק"ים מדנה ביום‪ .‬על‪-‬מנת לבדוק זאת‬
‫ספר דני כמה "לייק"ים הוא קיבל בכל יום במהלך ‪ 8‬שבועות (כלומר‪ ,‬ב – ‪ 40‬ימים) וקיבל סך‪-‬הכול ‪308‬‬
‫"לייק"ים‪ .‬נניח כי סטיית התקן של מספר ה"לייק"ים שדני מקבל ביום זהה לסטיית התקן של דנה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות שכדאי לדני לדרוש‪ ,‬כדי שדנה תשתכנע בצדקת טענתו (שדני פופולארי יותר בכך‬
‫שהוא מקבל יותר "לייק"ים מדנה ביום)‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם דני משער שתוחלת מספר ה"לייק"ים שהוא מקבל ביום היא ‪ 14‬וקובע רמת מובהקות ‪ ,5.2%‬מהי‬
‫עוצמת המבחן של דני?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪175‬‬
‫‪.0‬‬
‫ברצוננו להשוות בין רשתות ‪ A‬לבין ‪ . B‬לשם כך בחרנו ‪ 4‬מוצרים‪ ,‬ובדקנו את מחיריהם בשתי הרשתות‪.‬‬
‫להלן התוצאות‪:‬‬
‫מוצר‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫הניחו כי המחירים מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫אם יש הנחות נוספות כדי לבצע את המבחן הפרמטרי רשמו אותן‪.‬‬
‫א‪ .‬בדקו האם קיים הבדל בין הרשתות מבחינת תוחלת המחירים‪ .‬רמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫ב‪ .‬חזרו על הסעיף הקודם בהנחה ונבחרו בכל רשת מוצרים באקראי ולא בהכרח אותם מוצרים‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫במדגם של ‪ 11‬ישראלים שנבחנו במבחן ה‪ IQ-‬נתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪n  10‬‬
‫‪ X i  1020‬‬
‫‪ X 2i  105120‬‬
‫במדגם של ‪ 14‬אמריקאים שנבחנו במבחן ה‪ IQ-‬נתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪n  14‬‬
‫‪ X i  1386‬‬
‫‪ X 2i  138644‬‬
‫נתון שציוני הבחינה מתפלגים נורמלית בכל מדינה‪.‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ 11%‬האם קיים שוויון שונויות בין אוכלוסיית אמריקה לאוכלוסיית‬
‫ישראל?‬
‫ב‪ .‬בדקו האם קיים הבדל בממוצע הציונים בבחינת ה‪ IQ-‬בין ישראל לארה"ב‪ .‬ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪176‬‬
‫‪.2‬‬
‫במטרה לבדוק האם סטודנטים הלומדים במכללות משקיעים יותר זמן ללימודים מאשר סטודנטים‬
‫באוניברסיטאות נדגמו ‪ 15‬סטודנטים ובדקו לכל סטודנט את הזמן שהוא משקיע ביום ללימודים‪.‬‬
‫הזמנים נמדדו בדקות‪:‬‬
‫סטודנטים באוניברסיטאות‬
‫‪183‬‬
‫‪123‬‬
‫‪170‬‬
‫‪181‬‬
‫‪141‬‬
‫‪171‬‬
‫סטודנטים במכללות‬
‫‪171‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫‪173‬‬
‫‪514‬‬
‫‪121‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות ובדוק אותן ברמת מובהקות של ‪ .2%‬רשום את כלל ההכרעה ואת ההנחות‬
‫הדרושות לביצוע המבחן הפרמטרי‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪. P-value‬‬
‫ג‪ .‬ישנה טענה שממוצע זמן ההשקעה בלימודים במכללות הוא ‪ 0.2‬שעות ביום‪ .‬בדוק את הטענה כאשר‬
‫רמת המובהקות הינה ‪.2%‬‬
‫‪.6‬‬
‫במדינת טרפפו המשכורות במשק מתפלגות נורמלית עם ממוצע של ‪ 1‬אלף דולר וסטיית תקן של ‪...‬‬
‫אלף דולר‪.‬‬
‫בוצע מדגם מקרי בו השתתפו ‪ 5‬נשים ו ‪ 5‬גברים במדינת שומקום שבה המשכורות מתפלגות נורמאלית‬
‫גם כן‪ .‬להלן משכורותיהם באלפי דולר‪:‬‬
‫גברים‬
‫‪5‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.1‬‬
‫נשים‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪1.7‬‬
‫‪1.5‬‬
‫א‪ .‬בדוק את הטענה שממוצע משכורותיהם של אזרחי שומקום גבוה מאשר ממוצע משכורותיהם של‬
‫אזרחי טרפפו ברמת מובהקות של ‪ .5%‬בהנחה שסטיית התקן זהה בשתי המדינות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזור על הסעיף הקודם ללא ההנחה הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬ישנה טענה שסטיית התקן במדינת שומקום גבוהה מזו של טרפפו‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪.5%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪177‬‬
‫‪.8‬‬
‫במטרה להשוות בין אחוזי הצפייה של גברים ונשים בתוכנית טלוויזיה מסוימת בוצע סקר ובו התקבלו‬
‫תוצאות הבאות‪:‬‬
‫צופים‬
‫לא צופים‬
‫נשים‬
‫‪051‬‬
‫‪45‬‬
‫גברים‬
‫‪85‬‬
‫‪151‬‬
‫א‪ .‬האם יש הבדל בין אחוזי הצפייה של גברים ונשים ברמת מובהקות של ‪?1%‬‬
‫ב‪ .‬עבור רמת מובהקות של ‪ 2%‬בדוק טענה שמבין הצופים בתוכנית הטלוויזיה אחוז הנשים גדול פי ‪5‬‬
‫מאחוז הגברים‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫בשנת ‪ 5111‬ל‪ 31%-‬היה מדיח כלים בבית‪ .‬מחקר רוצה לבדוק האם כיום פרופורציית המשפחות עם מדיח‬
‫כלים עלה‪ .‬הוחלט לבצע מדגם אקראי של ‪ 121‬משפחות‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה היא מסקנת המחקר ברמת מובהקות של ‪ 2%‬אם במדגם ל‪ 115-‬משפחות היה מדיח כלים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי הטעות האפשרית במסקנה מהסעיף הקודם‪ .‬האם ניתן לדעת את הסתברותה?‬
‫‪.0‬‬
‫נערך מחקר על הקשר בין עישון ויתר לחץ דם‪ .‬נבדק מדגם מקרי של ‪ 511‬מעשנים ונמצא כי ‪ 01‬סבלו‬
‫מיתר לחץ דם‪ .‬ידוע שבאוכלוסייה ‪ 17%‬סובלים מיתר לחץ דם‪.‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות ‪ 1.1‬את ההשערה כי אחוז הסובלים מיתר לחץ דם בקרב המעשנים גדול מאשר‬
‫כלל האוכלוסייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי רמת המובהקות המינימלית לקבלת הטענה שאחוז הסובלים מיתר לחץ דם בקרב המעשנים‬
‫גדול מאשר כלל האוכלוסייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי עצמת המבחן‪ ,‬אם אחוז הסובלים מיתר לחץ דם בקרב אוכלוסיית המעשנים היא בפועל ‪. 52%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪178‬‬
‫‪.11‬‬
‫להלן התפלגות מספר הנסיעות לחופשה השנתית במדגם של משפחות ישראליות‪:‬‬
‫מספר הנסיעות‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫מספר המשפחות‬
‫‪74‬‬
‫‪115‬‬
‫‪53‬‬
‫‪51‬‬
‫‪15‬‬
‫בדוק ברמת מובהקות של ‪: 2%‬‬
‫א‪ .‬באיטליה משפחות נוסעות בממוצע פעמיים בשנה לחופשה‪ .‬האם בישראל משפחות נוסעות פחות‬
‫מאשר באיטליה?‬
‫ב‪ .‬בהולנד ‪ 71%‬מהמשפחות נוסעות לפחות פעם אחת בשנה לחופשה‪ ,‬האם בישראל אחוז המשפחות‬
‫שנוסעות לפחות פעם אחת בשנה לחופשה נמוך מאשר בהולנד?‬
‫‪.11‬‬
‫נתון כי‪:‬‬
‫) ‪N ( ,  2  102‬‬
‫‪X‬‬
‫מעוניינים לבדוק את ההשערות‪:‬‬
‫‪H 0 :   40‬‬
‫‪H1 :   40‬‬
‫דגמו ‪ 52‬תצפיות מהאוכלוסייה והתקבל ‪. X  45‬‬
‫א‪ .‬חשבו את ‪( P-value‬מובהקות התוצאה)‪.‬‬
‫ב‪ .‬חזור על סעיף א אם ההשערה האלטרנטיבית הייתה‪:‬‬
‫‪H1 :   40‬‬
‫ג‪ .‬חזור על סעיף א אם ההשערה האלטרנטיבית הייתה‪:‬‬
‫‪H1 :   40‬‬
‫‪.15‬‬
‫ציוני בחינת הבגרות במתמטיקה מתפלגים נורמלית עם שונות ‪ .121‬במדגם של ‪ 13‬נבחנים מתל אביב‬
‫התקבלה שונות מדגמית‪ .101 -‬במדגם של ‪ 52‬ירושלמים התקבלה שונות מדגמית ‪.117‬‬
‫א‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2.5%‬האם שונות הציונים במתמטיקה בקרב נבחני תל אביב גבוהה‬
‫מהשונות בכלל הארץ‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם שונות ציונים במתמטיקה בקרב תלמידי תל אביב גבוהה מאשר‬
‫בקרב תלמידי ירושלים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪179‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬חוקר א‬
‫ב‪1.1155 .‬‬
‫ג‪ .‬גדלה‬
‫ד‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ .‬לפחות ‪1.1717‬‬
‫ב‪1.8002 .‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬בין ‪ 2%‬ל‪11% -‬‬
‫ג‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ג‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪181‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ג‪ .‬טעות מסוג ראשון בסיכוי של ‪1.12‬‬
‫שאלה ‪:9‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪1.7340 .‬‬
‫ג‪1.7840 .‬‬
‫שאלה ‪:10‬‬
‫א‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H 0‬‬
‫שאלה ‪:11‬‬
‫א‪1.1135 .‬‬
‫ב‪1.0007 .‬‬
‫ג‪1.1154 .‬‬
‫שאלה ‪:12‬‬
‫א‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה ‪H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪181‬‬
‫שאלות מסכמות בסגנון רב ברירה ( אמריקאיות) על בדיקת השערות‬
‫‪ .1‬בבדיקת השערה חד‪-‬צדדית ימנית ברמת מובהקות ‪ ,=0.01‬נדחתה השערת האפס‪ .‬מה הייתה‬
‫המסקנה לו נבדקה אותה ההשערה באמצעות אותם נתונים ברמת מובהקות ‪?=0.05‬‬
‫א‪ .‬השערת האפס הייתה נדחית‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס לא הייתה נדחית‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההשערה המחקרית הייתה נדחית‪.‬‬
‫ד‪ .‬בהעדר נתונים נוספים‪ ,‬לא ניתן לדעת‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫על מנת לבדוק האם ההסתברות ללידת בן הנה חצי ‪,‬נבחר מדגם מקרי של ‪ 511‬ילדים ‪,‬ונמצא‬
‫שישנם ‪ 151‬בנים‪.‬‬
‫מהן ההשערות האלטרנטיבית להשערת האפס?‬
‫א‪H1 : p  0.5 .‬‬
‫ב‪H1 :p  0.6 .‬‬
‫ג‪H1 : p  0.5 .‬‬
‫ד‪H1 : p  0.5 .‬‬
‫‪.0‬‬
‫לצורך בדיקת השפעת היפנוזה על לימוד אנגלית‪ ,‬נבחרו ‪ 11‬זוגות תאומים זהים‪ .‬אחד‬
‫התאומים למד אנגלית בהשפעת היפנוזה‪ ,‬והשני ללא היפנוזה‪ .‬לאחר מכן נערך לשניהם מבחן‬
‫באנגלית‪ .‬נניח שציוני המבחן מתפלגים נורמאלית ללא ידיעת השונות האמיתית‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪182‬‬
‫‪.4‬‬
‫כדי לבדוק את הטענה שגברים רווקים שוקלים פחות מגברים נשואים לקח חוקר מדגם מקרי‬
‫של ‪ 4‬גברים ומדד את משקלם לפני נישואיהם ולאחר נישואיהם‪ .‬הנה התוצאות‪:‬‬
‫לפני הנישואין‪30 X-‬‬
‫‪00‬‬
‫‪75‬‬
‫‪37‬‬
‫לאחר הנישואין‪71 Y-‬‬
‫‪77‬‬
‫‪74‬‬
‫‪81‬‬
‫מהן ההשערות הנבדקות?( ההפרש חושב ‪) X-Y‬‬
‫א‪H1 : d  0, H 0 : d  0 .‬‬
‫ב‪H1 :  X  Y  0, H 0 :  X  Y  0 .‬‬
‫ג‪H1 :  X  Y  0, H 0 :  X  Y  0 .‬‬
‫ד‪H1 : d  0, H 0 : d  0 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן‪:‬‬
‫א‪ .‬השערת האפס נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס נדחתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬השערת האפס לא נדחתה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫ידוע כי ילד בגיל שנתיים ישן בממוצע ‪ 0‬שעות בלילה‪ .‬במדגם של ‪ 51‬תינוקות בני שנתיים המתגוררים‬
‫בצפון נמצא‪ ,‬כי ממוצע שעות השינה בלילה הינו ‪ 11‬עם סטיית תקן של ‪ 1.1‬במדגם של ‪ 11‬תינוקות‬
‫בדרום נמצא‪ ,‬כי ממוצע שעות השינה בלילה הינו ‪ 8.0‬עם סטיית תקן של ‪ .1.1‬על מנת להשוות בין‬
‫ממוצע שעות השינה של ילדים מהצפון לבין זה של כלל הילדים יש לערוך ______‪ ,‬ועל מנת להשוות‬
‫בין ממוצע שעות השינה של ילדים מהדרום לזה של ילדים המתגוררים בצפון יש לערוך ______‪ .‬יש‬
‫להניח שההנחות הדרושות מתקיימות‪.‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד; מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד; מבחן ‪ T‬למדגמים תלויים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד; מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים; מבחן ‪ T‬לממוצע יחיד‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫מובהקות התוצאה (‪ )PV‬היא גם ‪:‬‬
‫א‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪183‬‬
‫‪.7‬‬
‫כדי לבדוק את הטענה שגברים רווקים שוקלים פחות מגברים נשואים לקח חוקר מדגם מקרי של ‪4‬‬
‫גברים ומדד את משקלם לפני נישואיהם ולאחר נישואיהם‪ .‬הנה התוצאות‪:‬‬
‫לפני הנישואין ‪30‬‬
‫‪00‬‬
‫‪75‬‬
‫‪37‬‬
‫לאחר הנישואין ‪71‬‬
‫‪77‬‬
‫‪74‬‬
‫‪81‬‬
‫באיזה התפלגות משתמשים לבדיקת ההשערות‪ ,‬ובכמה דרגות חופש‪:‬‬
‫א‪ .‬ההתפלגות ‪ Z‬ללא דרגות חופש‪.‬‬
‫ב‪ .‬ההתפלגות ‪ T‬ו‪ 0 -‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ג‪ .‬ההתפלגות ‪ T‬ו‪ 3 -‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ד‪ .‬ההתפלגות ‪  2‬ו‪ 0 -‬דרגות חופש‪.‬‬
‫‪.0‬‬
‫שני סטטיסטיקאים בודקים השערות ברמת מובהקות ‪ , = 1.12‬על סמך אותו מדגם‪.‬‬
‫סטטיסטיקאי א' בודק את ההשערה‪ Ho :  = 20 :‬כנגד האלטרנטיבה‬
‫‪ H1 :   20‬ומחליט לא לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫סטטיסטיקאי ב' בודק את ההשערה ‪ Ho :   20‬כנגד האלטרנטיבה ‪H1 :  > 20‬‬
‫מה יחליט סטטיסטיקאי ב'?‬
‫א‪ .‬לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬ללא נתונים נוספים אי אפשר לדעת מה יחליט‪.‬‬
‫‪.11‬‬
‫חוקר בדק השערה מסוימת והחליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות ‪ .2%‬מה נכון לומר?‬
‫א‪ .‬הוא בוודאות ידחה את השערת האפס ברמת מובהקות ‪ 0%‬ואילו ברמת מובהקות ‪ 5%‬יש לבדוק‬
‫מחדש‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוא בוודאות לא ידחה את השערת האפס ברמת מובהקות ‪ 0%‬ואילו ברמת מובהקות ‪ 5%‬יש לבדוק‬
‫מחדש‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוא בוודאות ידחה את השערת האפס ברמת מובהקות ‪ 0%‬וברמת מובהקות ‪. 5%‬‬
‫ד‪ .‬הוא בוודאות לא ידחה את השערת האפס ברמת מובהקות ‪ 0%‬ואילו ברמת מובהקות ‪ 5%‬יש לבדוק‬
‫מחדש‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪184‬‬
‫‪.11‬‬
‫רמת הכולסטרול בדמם של אנשים מתפלג נורמאלית עם תוחלת של ‪ 171‬מ"ג (ל ‪ 111‬סמ"ק דם)‪ .‬וסטיית‬
‫תקן של ‪ 11‬מ"ג‪ .‬מעוניינים לבדוק את הטענה שצמחונים הם בעלי רמת כולסטרול נמוכה יותר‪ .‬נניח‬
‫שסטיית התקן אצל צמחונים זהה לסטיית התקן של כלל האנשים‪ .‬במדגם של ‪ 51‬צמחונים התקבל ממוצע‬
‫רמת כולסטרול ‪ 184.2‬מ"ג‪.‬‬
‫אם הוחלט לקבל את הטענה שצמחונים הם בעלי רמת כולסטרול נמוכה יותר איזה סוג טעות אפשרית‬
‫במסקנה?‬
‫א‪ .‬טעות מסוג ראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬טעות מסוג שני‪.‬‬
‫ג‪ .‬טעות מסוג שלישי‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא נ יתן לדעת כיוון שאנו לא יודעים מה התוחלת האמיתית אצל הצמחוניים‪.‬‬
‫‪.15‬‬
‫בסקר שנערך התקבל ש ‪ 31%‬מתוך ‪ 551‬נשאלים מבקרים אצל השיננית לפחות פעם אחת בשנה‪ .‬עבור‬
‫אילו רמות מובהקות ניתן יהיה לקבוע שרוב האוכלוסייה מבקרת אצל השיננית לפחות פעם בשנה ?‬
‫א‪ .‬רמת מובהקות הגדולה מ‪.2%-‬‬
‫ב‪ .‬רמת מובהקות הקטנה מ‪.2%-‬‬
‫ג‪ .‬רמת מובהקות הגדלה מ‪.1.1112-‬‬
‫ד‪ .‬רמת מובהקות הקטנה מ‪.1.1112-‬‬
‫‪ .10‬שני חוקרים העוסקים בתחום מחקרי משותף החליטו להסתמך על נתונים של מדגם שפורסם על ידי‬
‫הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה‪ .‬חוקר א' ניסח השערה דו צדדית ואילו חוקר ב' ניסח השערה חד צדדית‪.‬‬
‫מסקנתו של איזה מבין המשפטים הבאים הוא הנכון בנוגע למסקנות החוקרים?‬
‫א‪ .‬אם חוקר א' ידחה את השערת האפס לא ניתן לדעת מה יחליט חוקר ב' באותה רמת מובהקות‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם חוקר א' יקבל את השערת האפס גם חוקר ב' יקבל את השערת האפס באותה רמת מובהקות‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם חוקר ב' ידחה את השערת האפס גם חוקר א' ידחה את השערת האפס באותה רמת מובהקות‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם חוקר א' ידחה את השערת האפס גם חוקר ב' ידחה את השערת האפס בתנאי שרמת המובהקות‬
‫כפולה בגודלה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪185‬‬
‫‪ .14‬ידוע מנתוני העבר כי תוחלת הציונים בבחינה בפסיכולוגיה היא ‪ .80‬הועלתה השערה כי תוחלת הציונים‬
‫בקרב העולים החדשים נמוכה יותר‪ .‬לצורך בדיקת הטענה נלקח מדגם מקרי של ‪ 48‬סטודנטים עולים‬
‫ונמצא ממוצע של ‪ .82‬מה משמעות הפרמטר בניסוח ההשערות?‬
‫א‪ .‬תוחלת ציוני העולים באוכלוסייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ממוצע ציוני העולים במדגם‪.‬‬
‫ג‪ .‬תוחלת ציוני האוכלוסייה מנתוני העבר‪.‬‬
‫ד‪ .‬ממוצע ציוני שאר האוכלוסייה במדגם‪.‬‬
‫‪ .12‬חוקר ביצע מחקר וידוע כי עשה טעות מסוג ‪ . 1‬מה מהבאים נכון?‬
‫א‪ .‬החוקר דחה את השערת ‪ H0‬כאשר היא הייתה נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬החוקר דחה את השערת ‪ H1‬כאשר היא הייתה נכונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬החוקר לא דחה את השערת ‪ H0‬כאשר היא הייתה לא נכונה‪.‬‬
‫ד‪ .‬המדגם של החוקר שייך בפועל להתפלגות הדגימה של ‪.H1‬‬
‫‪ .13‬חוקר ביקש לבחון האם תאומים זהים אשר הופרדו בילדותם שונים מתאומים זהים אשר גדלו יחדיו‬
‫מבחינת מידת הפער בין התאומים בלחץ הדם‪ .‬הוא דגם ‪ 51‬זוגות תאומים מכל אוכלוסייה ומדד את‬
‫הפרש בין לחץ הדם בכל זוג תאומים‪ .‬מהו המבחן הסטטיסטי המתאים?‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים עם ‪ 07‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ t‬למדגמים מזווגים‪ ,‬עם ‪ 00‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים עם ‪ 00‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ t‬למדגמים מזווגים עם ‪ 07‬דרגות חופש‪.‬‬
‫‪ .18‬בינואר השנה פורסם שהשכר הממוצע במשק הוא ‪ . ₪ 7,011‬במדגם שנעשה בחודש יוני על ‪ 31‬עובדים‬
‫נרשם עבור כל עובד במדגם האם השכר שלו נמוך או לא נמוך מהשכר הממוצע שפורסם בחודש ינואר‪.‬‬
‫מהו המבחן המתאים כדי לבדוק שרוב העובדים בחודש יוני קיבלו שכר הנמוך מהשכר הממוצע שפורסם‬
‫בחודש ינואר?‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬על פרופורציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ t‬על תוחלת אחת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ t‬על שתי תוחלות במדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ t‬על שתי תוחלות במדגמים תלויים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪186‬‬
‫‪.17‬‬
‫שלושה חוקרים רצו לבדוק את השפעתו של שידור פרסומות נגד תאונות דרכים על מהירות הנהיגה של‬
‫נהגים בישראל (השונות של מהירות הנהיגה בישראל אינה ידועה)‪.‬‬
‫עידו השווה את מהירות הנהיגה של קבוצת נהגים אחת‪ ,‬חודש לפני שידור הפרסומות וחודש לאחר‬
‫שידור הפרסומות‪.‬‬
‫רון השווה את מהירות הנהיגה של קבוצת נהגים‪ ,‬שראו את הפרסומות‪ ,‬למהירות הנהיגה של קבוצת‬
‫נהגים‪ ,‬שלא ראו את הפרסומות‪.‬‬
‫יואב השווה את מהירות הנהיגה של קבוצת נהגים בחודש בו שודרו הפרסומות‪ ,‬למהירות הנהיגה‬
‫הממוצעת בישראל על פי נתוני משרד התחבורה‪.‬‬
‫המבחנים בהם צריכים החוקרים להשתמש הם‪:‬‬
‫א‪ .‬שלושתם במבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ב‪ .‬עידו במבחן ‪ t‬למדגמים מזווגים‪ ,‬ורון ויואב במבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ג‪ .‬עידו במבחן ‪ t‬למדגמים מזווגים‪ ,‬רון במבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים ויואב במבחן ‪ t‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ד‪ .‬עידו במבחן ‪ t‬למדגמים מזווגים‪ ,‬רון ויואב במבחן ‪ t‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫‪ . 10‬במחקר נמצא שתוצאה היא מובהקת ברמת מובהקות של ‪ .2%‬מה תמיד נכון?‬
‫א‪ .‬הגדלת רמת המובהקות לא תשתנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הגדלת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ג‪ .‬הקטנת רמת המובהקות לא תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬הקטנת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר‪.‬‬
‫‪ .51‬חוקר ערך מבחן דו צדדי ברמת מובהקות של ‪ ‬והחליט לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם החוקר היה עורך מבחן חד צדדי ברמת מובהקות של‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬השערת האפס הייתה נדחית‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס הייתה לא נדחית‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו במקרה זה‪.‬‬
‫אזי בהכרח‪:‬‬
‫‪ .51‬ליאור ורוני העלו את אותן השערות על ממוצע האוכלוסייה‪ .‬כמו כן הם התבססו על אותן תוצאות של‬
‫מדגם‪.‬‬
‫ליאור השתמש בטבלה של התפלגות ‪. Z‬‬
‫רוני השתמשה בטבלה של התפלגות ‪. t‬‬
‫מה נוכל לומר בנוגע להחלטת המחקר שלהם?‬
‫א‪ .‬אם ליאור ידחה את השערת האפס אז גם בהכרח רוני‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם רוני תדחה את השערת האפס אז גם בהכרח ליאור‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪187‬‬
‫ג‪ .‬שני החוקרים בהכרח יגיעו לאותה מסקנה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן לדעת על היחס בין דחיית השערת האפס של שני החוקרים‪.‬‬
‫‪ .55‬נתון ש ) ‪ X N( , 2‬כמו כן נתונות ההשערות הבאות ‪:‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H1 :   0‬‬
‫חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל ‪ 11‬תצפיות‪  2 .‬לא הייתה ידועה לחוקר‪.‬‬
‫החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לאחר מכן כדי לחזק את‬
‫קביעתו הוא דגם עוד ‪ 2‬תצפיות ושקלל את תוצאות אלה גם למדגם כך שכלל עכשיו ‪12‬‬
‫תצפיות‪.‬‬
‫א‪ .‬כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו‪.‬‬
‫‪.50‬‬
‫אם חוקר החליט להגדיל את רמת המובהקות במחקר שלו אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬הסיכוי לטעות מסוג ראשון גדל‪.‬‬
‫ב‪ .‬העוצמה של המבחן גדלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסיכוי לטעות מסוג שני גדל‪.‬‬
‫ד‪ .‬תשובות א ו‪-‬ב נכונות‪.‬‬
‫‪.54‬‬
‫חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן‪:‬‬
‫א‪ .‬השערת האפס נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערת האפס נדחתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬השערת האפס לא נדחתה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח‪.‬‬
‫‪.52‬‬
‫מה המצב הרצוי לחוקר המבצע בדיקת השערה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ה‪ .‬גדולה‬
‫גדולה‬
‫ו‪ .‬גדולה‬
‫קטנה‬
‫ז‪ .‬קטנה‬
‫גדולה‬
‫ח‪ .‬קטנה‬
‫קטנה‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪188‬‬
‫‪ .53‬נערך שינוי בכלל ההחלטה של בדיקת השערה מסוימת ובעקבותיו אזור דחיית‬
‫‪ H 0‬קטן‪ .‬כל שאר הגורמים נשארו ללא שינוי‪ .‬כתוצאה מכך‪:‬‬
‫א‪ .‬הן ‪ ,‬והן (‪ ,)1 - ‬יקטנו‪.‬‬
‫ב‪  .‬יישאר ללא שינוי ואילו (‪ )1 - ‬יגדל‪.‬‬
‫ג‪  .‬יגדל ואילו (‪ )1 - ‬יקטן‪.‬‬
‫ד‪ .‬הן ‪ ‬והן (‪ )1 - ‬יגדלו‪.‬‬
‫‪ .58‬ידוע כי לחץ דם תקין באוכלוסייה הוא ‪ . 151‬רופא מניח שלחץ הדם בקרב‬
‫עיתונאים גבוה יותר מהממוצע באוכלוסייה‪ .‬הוא לקח מדגם של ‪ 31‬עיתונאים‬
‫וקיבל ממוצע ‪ .108‬על סמך המדגם‪ ,‬הוא בודק טענתו ברמת מובהקות ‪1.15‬‬
‫ומסיק שלחץ הדם בקרב העיתונאים אינו גבוה יותר‪ .‬מה הטעות האפשרית‬
‫שהרופא עושה ?‬
‫א‪ .‬טעות מסוג ראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬טעות מסוג שני‪.‬‬
‫ג‪ .‬טעות מסוג שלישי‪.‬‬
‫ד‪ .‬אין טעות במסקנתו‪.‬‬
‫‪ .57‬בבדיקת השערות התקבל שה‪. p-value=0.02 -‬‬
‫מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות ‪ ?1%‬בחר בתשובה הנכונה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫יקבל את השערת האפס בכל מקרה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ידחה את השערת האפס מקרה‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ידחה את השערת האפס רק אם המבחן הנו דו צדדי‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים‪.‬‬
‫‪ .50‬מובהקות התוצאה (‪ )PV‬היא גם ‪:‬‬
‫א‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס‪.‬‬
‫‪ .01‬בבדיקת השערות מסוימת התקבל ‪ p value=0.0254‬לכן ‪:‬‬
‫א‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬אך לא של ‪ 1.12‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫ב‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬ושל ‪ 1.12‬לא נדחה את ‪.H0‬‬
‫ג‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.12‬אך לא של ‪ 1.11‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫ד‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 1.11‬ושל ‪ 1.12‬נדחה את ‪.H0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪189‬‬
‫‪ .01‬רמת המובהקות במחקר הייתה ‪ 5%‬לכן‪.‬‬
‫א‪ .‬בסיכוי של ‪ 5%‬נדחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬בסיכוי של ‪ 5%‬לא נדחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ג ‪ .‬בסיכוי של ‪ 5%‬השערת האפס לא נכונה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף תשובה לא נכונה‪.‬‬
‫‪ .05‬נתון ש ) ‪ X N( , 2‬כמו כן נתונות ההשערות הבאות ‪:‬‬
‫‪H 0 :   0‬‬
‫‪H1 :   0‬‬
‫חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל ‪ 11‬תצפיות‪  2 .‬לא הייתה ידועה לחוקר‪.‬‬
‫החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של ‪. 2%‬אם הוא היה מגדיל את‬
‫רמת המובהקות ל‪ 11% -‬אזי‪:‬‬
‫א‪ .‬כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו‪.‬‬
‫‪ .00‬לצורך בדיקת השפעת היפנוזה על לימוד אנגלית‪ ,‬נבחרו ‪ 11‬זוגות תאומים זהים‪.‬‬
‫אחד התאומים למד אנגלית בהשפעת היפנוזה‪ ,‬והשני ללא היפנוזה‪ .‬לאחר מכן‬
‫נערך לשניהם מבחן באנגלית‪ .‬נניח שציוני המבחן מתפלגים נורמאלית ללא ידיעת‬
‫השונות האמתית‪.‬‬
‫מספר דרגות החופש במבחן הוא ‪:‬‬
‫א‪0 .‬‬
‫ב‪10 .‬‬
‫ג‪17 .‬‬
‫ד‪7 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪191‬‬
‫‪ ...‬בתחנת טיפת חלב מסוימת יש שני מכשירי שקילה‪ .‬על מנת להשוות בין שני המשקלים נדגמו‬
‫‪ 4‬תינוקות‪ .‬כל תינוק בן חודשיים נשקל בכל אחד מהמשקלים‪ .‬להלן תוצאות השקילה‬
‫(בק"ג)‪:‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪8.1‬‬
‫‪3.0‬‬
‫‪2.4‬‬
‫משקל במכשיר ‪1‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪7.1‬‬
‫‪3.0‬‬
‫‪2.0‬‬
‫משקל במכשיר ‪5‬‬
‫נניח שהמשקלים מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫‪ .02‬כדי להשוות בין שני אצים נדגמו ‪ 2‬תוצאות מריצת ‪ 111‬מטר של כל אצן‪ .‬זמני הריצה נרשמו‬
‫ויש להניח שמתפלגים נורמלית‪ .‬המטרה להשוות בין האצנים‪.‬‬
‫המבחן שיש לבצע כאן הוא‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ Z‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגם יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבחן ‪ T‬למדגמים מזווגים‪.‬‬
‫‪ .03‬סטטיסטיקאי ערך מבחן סטטיסטי‪ .‬הוא חישב את עוצמת המבחן וקיבל ‪ .1‬המשמעות של‬
‫תוצאה זו היא‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫לעולם לא לדחות את השערת האפס כאשר היא לא נכונה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תמיד לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫לעולם לא לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫תמיד לדחות את השערת האפס כאשר היא לא נכונה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪191‬‬
‫‪ .08‬סטטיסטיקאי נתבקש לאמוד את הפרש הממוצעים של שני טיפולים לפי שני מדגמים‬
‫מקריים בלתי תלויים‪.‬‬
‫הוא חישב רווח סמך להפרש ברמת סמך ‪ ,1.07‬וקיבל את הרווח ‪. 2  1  2  4.5‬‬
‫אילו יתבקש החוקר לבדוק לפי אותם נתונים את ההשערות‪:‬‬
‫‪ , H1 : 1  2  0 ; H0 : 1  2  0‬ברמת מובהקות ‪ 1.12‬מסקנתו תהיה‪:‬‬
‫ה‪ .‬לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ו‪ .‬לא לדחות את השערת האפס‪.‬‬
‫ז‪ .‬שלא ניתן לדעת את המסקנה עבור רמת מובהקות ‪. 1.12‬‬
‫ח‪ .‬שלא נתונות בשאלה סטיות התקן של האוכלוסיות‪ ,‬ולכן לא ניתן להסיק דבר‪.‬‬
‫‪ .07‬במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים‬
‫לשיחות בינ"ל‪ .‬נגדמו באקראי ‪ 8‬מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה‪.‬‬
‫בהנחה והמחירים מתפלים נורמלית בנו רווח סמך לממוצע ההפרשים וקיבלו ‪:‬‬
‫‪ 0.0293  D  0.2145‬רווח הסמך הוא ברמת סמך של ‪.02%‬‬
‫לכן מסקנת המחקר היא ‪:‬‬
‫ד‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬לא נוכל לקבוע שקיים הבדל בין החברות‪.‬‬
‫ה‪ .‬ברמת מובהקות של ‪ 2%‬נקבע שקיים הבדל מובהק בין החברות‪.‬‬
‫ו‪ .‬לא ניתן לדעת מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪ 2%‬כיוון שלא נאמר מה ההגדרה‬
‫של ‪.D‬‬
‫‪ .00‬אם רמת מובהקות של מבחן סטטיסטי הינה ‪ ,1‬הכוונה היא ‪:‬‬
‫א‪ .‬תמיד נדחה ‪ H0‬כאשר היא נכונה אך לא תמיד נדחה אותה כאשר היא לא נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא נדחה את ‪ H1‬אף פעם‪.‬‬
‫ג‪ .‬לא נדחה את ‪ H1‬כאשר היא נכונה אך יתכן ונדחה אותה כאשר היא לא נכונה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כל התשובות לא נכונות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪192‬‬
‫‪ .41‬חוקר ביצע ניסוי ‪ .‬הוא ניסח את ההשערות הבאות ‪:‬‬
‫‪H 0 :   10‬‬
‫‪H1 :   10‬‬
‫‪.‬לצורך בדיקה הוא לקח‬
‫מדגם מקרי בגודל ‪ 2‬מתוך אוכלוסייה המתפלגת נורמאלית עם שונות לא ידועה‪ .‬על סמך‬
‫תוצאות המדגם הוא חישב וקיבל ‪ . t x  2.63 :‬לכן המסקנה היא ‪:‬‬
‫א‪ .‬הוא ידחה ‪ H 0‬ברמת מובהקות ‪ 1.1‬אך לא כן ברמת מובהקות ‪.1.12‬‬
‫ב‪ .‬הוא ידחה ‪ H 0‬ברמת מובהקות ‪ 1.12‬אך לא כן ברמת מובהקות ‪.1.152‬‬
‫ג‪ .‬הוא ידחה ‪ H 0‬ברמת מובהקות ‪ 1.152‬אך לא כן ברמת מובהקות ‪1.11‬‬
‫ד‪ .‬הוא לא ידחה ‪ H 0‬ברמת מובהקות ‪. 1.1‬‬
‫‪ . 41‬האיגוד האמריקני לרפואת ילדים מפרסם הנחיות חדשות הקובעות כי יש ליטול תוספת יוד‬
‫במהלך תקופת ההיריון וההנקה‪ .‬מחסור במינרל זה עלול לגרום לפגיעה מוחית אצל העובר‬
‫והתינוק ‪.‬החלטה זו נקבעה על סמך מחקר בו השתתפו ‪ 1121‬נשים שנטלו יוד במהלך תקופת‬
‫ההיריון וההנקה‪ .‬מתוך הנשים שהשתתפו במחקר רק ל‪ 51 -‬נמצאו ילדים בעלי פגיעה מוחית‬
‫לעומת ‪ 0%‬באוכלוסייה הכללית‪ .‬בנוסף פורסם שהאיגוד האמריקאי מגיע למסקנותיו על סמך‬
‫רמת מובהקות של ‪.1.2%‬‬
‫מה הסיכוי לבצע טעות מסוג ראשון במחקר?‬
‫א‪1.112 .‬‬
‫ב‪1.10 .‬‬
‫ג‪1.1578 .‬‬
‫ד‪1.12 .‬‬
‫‪ .45‬חוקרת שיערה‪ ,‬כי משקלן של נשים כשנה לאחר החתונה גבוה ממשקלן בעת החתונה‪ .‬החוקרת‬
‫דגמה ‪ 12‬נשים‪ ,‬ובדקה את משקלן בשתי נקודות הזמן (בעת החתונה‪ ,‬ושנה לאחריה)‪ ,‬אך לא‬
‫מצאה הבדל מובהק ברמת מובהקות ‪ 1.11‬בהנחה‪ ,‬כי במציאות השערתה של החוקרת נכונה‪ ,‬סביר‬
‫כי אם היא תגדיל את גודל המדגם‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫יקטן הסיכוי לטעות מסוג שני (‪.)β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תגדל רמת הביטחון (‪.)1-α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אף תשובה לא נכונה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כל התשובות נכונות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪193‬‬
‫‪ .40‬איזה מהמשפטים הבאים נכון תמיד?‬
‫א‪POWER + β + α =1 .‬‬
‫ב‪β - POWER =.05 .‬‬
‫ג‪POWER + α =1 .‬‬
‫‪β + α =1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪ .‬הכול לא נכון‬
‫‪ .44‬מה נכון לומר לגבי הנחת שיוויון השונויות במבחן ‪ T‬למדגמים בלתי תלויים?‬
‫א‪ .‬היא אומרת שהשונויות המדגמיות שוות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בלעדיה אין שום דרך לבדוק השערה על הפרש בין תוחלות‪.‬‬
‫ג‪ .‬היא חשובה הן עבור מדגמים מזווגים והן עבור מדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף תשובה אינה נכונה‪.‬‬
‫‪ .42‬חוקר החליט לא לדחות השערה ברמת מובהקות של ‪ . ‬במידה וחוקר זה היה בודק השערה זו‬
‫ברמת מובהקות של ‪ 5‬על סמך אותם נתונים האם ההשערה תדחה?‬
‫ההשערה תדחה‪.‬‬
‫ההשערה לא תדחה‪.‬‬
‫התשובה תלויה בעוצמת המבחן‪.‬‬
‫לא ניתן לדעת בוודאות אם ההשערה תדחה או לא‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ .43‬חוקרת שיערה‪ ,‬כי בגילאי הגן בנות יותר תקשורתיות מבנים‪ .‬אם החוקרת תדגום אקראית ‪ 01‬בנים ו‪-‬‬
‫‪ 01‬בנות‪ ,‬ובמדגם יתקבל אותו ממוצע של ציון תקשורת ‪ .‬סטטיסטי המבחן יהיה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫אפס‬
‫ב‪.‬‬
‫חיובי‬
‫ג‪.‬‬
‫שלילי‬
‫ד‪.‬‬
‫לא ניתן לדעת‬
‫‪ .48‬עוצמה שווה ל‪ 1-‬פרושה‪:‬‬
‫א‪ .‬לעולם לא לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬תמיד לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לעולם לא לדחות את השערת האפס כאשר היא לא נכונה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪194‬‬
‫‪ .47‬מה מהבאים נכון לגבי מבחן ‪ t‬מדגמים מזווגים?‬
‫א‪ .‬כל התצפיות במחקר אינן תלויות זו בזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל התצפיות במחקר תלויות זו בזו‪.‬‬
‫ג‪ .‬כל הצמדים של תצפיות במחקר אינם תלויים זה בזה‪.‬‬
‫ד‪ .‬התצפיות בתוך כל צמד אינן תלויות זו בזו‪.‬‬
‫‪ .40‬לבדיקת ההשערה החד צדדית על התוחלת של התפלגות נורמלית‬
‫‪H 0 :   10‬‬
‫‪H 1 :   10‬‬
‫נלקח מדגם‬
‫והתקבלה רמת מובהקות מינימאלית לדחיית השערת האפס ‪ . 0.058‬לו רצינו לבדוק את ההשערה‬
‫הדו צדדית‬
‫‪H 0 :   10‬‬
‫‪H 1 :   10‬‬
‫‪ ,‬אז על סמך תוצאת אותו המדגם ברמת מובהקות ‪:1.12‬‬
‫א‪ .‬ניתן להכריע בין ההשערות רק אם שונות האוכלוסייה נתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מקבלים את השערת האפס‪.‬‬
‫ג‪ .‬דוחים את השערת האפס‪.‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן להכריע בין ההשערות שכן חסרים נתונים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪195‬‬
‫‪ .21‬לבדיקת ההשערה החד צדדית ימנית‬
‫‪H 0 :   55‬‬
‫‪H1 :   65‬‬
‫נלקח מדגם מקרי בגודל ‪n‬‬
‫מאוכלוסייה בעלת התפלגות נורמלית ושונות ‪ .  2‬רמת המובהקות היא ‪ .2%‬נמצא‬
‫שהעוצמה היא ‪ .1.0‬להלן ‪ 0‬טענות‪:‬‬
‫‪ )1‬עבור מדגם בגודל ‪ n‬וברמת מובהקות ‪ 2%‬לבדיקת ההשערות‪:‬‬
‫‪H 0 :   55‬‬
‫‪H1 :   60‬‬
‫העוצמה‬
‫תהיה גדולה מ‪.1.0 -‬‬
‫‪ )5‬עבור מדגם בגודל ‪ 2n‬ורמת מובהקות ‪ 2%‬לבדיקת ההשערות‪:‬‬
‫‪H 0 :   55‬‬
‫‪H1 :   65‬‬
‫העוצמה‬
‫תהיה גדולה מ‪.1.0 -‬‬
‫‪ )0‬עבור מדגם בגודל ‪ n‬ורמת מובהקות ‪ 11%‬לבדיקת ההשערות‪:‬‬
‫‪H 0 :   55‬‬
‫‪H1 :   65‬‬
‫תהיה קטנה מ‪.1.0 -‬‬
‫א‪ .‬שלושת הטענות אינן נכונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬טענות ‪ 5‬ו‪ 0-‬אינן נכונות וטענה ‪ 1‬נכונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬טענות ‪ 1‬ו‪ 5-‬נכונות וטענה ‪ 0‬אינה נכונה‪.‬‬
‫ד‪ .‬טענות ‪ 1‬ו‪ 0-‬אינן נכונות וטענה ‪ 5‬נכונה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫העוצמה‬
‫‪196‬‬
‫פתרונות ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‬
‫‪53‬‬
‫א‬
‫‪5‬‬
‫ד‬
‫‪58‬‬
‫ב‬
‫‪0‬‬
‫ד‬
‫‪57‬‬
‫א‬
‫‪4‬‬
‫א‬
‫‪50‬‬
‫א‬
‫‪2‬‬
‫ג‬
‫‪01‬‬
‫ג‬
‫‪3‬‬
‫ג‬
‫‪01‬‬
‫ד‬
‫‪8‬‬
‫א‬
‫‪32‬‬
‫א‬
‫‪7‬‬
‫ב‬
‫‪00‬‬
‫א‬
‫‪0‬‬
‫ג‬
‫‪04‬‬
‫ד‬
‫‪11‬‬
‫א‬
‫‪02‬‬
‫ג‬
‫‪11‬‬
‫א‬
‫‪03‬‬
‫א‬
‫‪15‬‬
‫ג‬
‫‪08‬‬
‫ג‬
‫‪10‬‬
‫א‬
‫‪07‬‬
‫א‬
‫‪14‬‬
‫א‬
‫‪00‬‬
‫ג‬
‫‪12‬‬
‫א‬
‫‪41‬‬
‫א‬
‫‪13‬‬
‫א‬
‫‪41‬‬
‫א‬
‫‪18‬‬
‫א‬
‫‪45‬‬
‫א‬
‫‪17‬‬
‫ג‬
‫‪40‬‬
‫ה‬
‫‪10‬‬
‫א‬
‫‪44‬‬
‫ד‬
‫‪51‬‬
‫ג‬
‫‪42‬‬
‫ד‬
‫‪51‬‬
‫ב‬
‫‪43‬‬
‫א‬
‫‪55‬‬
‫ג‬
‫‪48‬‬
‫ד‬
‫‪50‬‬
‫ד‬
‫‪47‬‬
‫ג‬
‫‪54‬‬
‫ג‬
‫‪40‬‬
‫ב‬
‫‪52‬‬
‫ג‬
‫‪21‬‬
‫ד‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪197‬‬
‫פרק ‪ -55‬מבחנים אפרמטריים‬
‫א‪ .‬מבחן טיב התאמה‬
‫‪ .1‬במטרה לבדוק האם קובייה הוגנת‪ ,‬מטילים אותה ‪ 151‬פעמים‪ .‬התקבל ‪ 18‬פעמים ‪50 ,1‬‬
‫פעמים ‪ 51 ,5‬פעמים ‪ 52 ,0‬פעמים ‪ 17 ,4‬פעמים ‪ 2‬ו‪ 18 -‬פעמים ‪ .3‬מה מסקנתכם ברמת‬
‫מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .5‬מפעל מייצר סוכריות בצבעים כחול‪ ,‬אדום‪ ,‬ירוק וכתום‪ .‬מעוניינים לבדוק שפרופורציית‬
‫הסוכריות הכחולות גדולה פי ‪ 5‬מכל צבע אחר‪ .‬לצורך כך נדגמו באקראי ‪ 511‬סוכריות‬
‫והתקבל‪ 81 :‬כחולות‪ 21 ,‬אדומות‪ 41 ,‬ירוקות והיתר כתומות‪ .‬מה מסקנתכם ברמת‬
‫מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .0‬משרד החינוך טוען שבקרב השכירים במשק היחס בין השכירים בעלי השכלה נמוכה‪,‬‬
‫תיכונית ואקדמאית הוא ‪ 1:5:1‬בהתאמה‪ .‬במדגם של ‪ 511‬שכירים התקבלו ‪ 23‬אנשים בעלי‬
‫השכלה נמוכה‪ 112 ,‬בעלי השכלה תיכונית והיתר בעלי השכלה גבוהה‪ .‬ע"ס תוצאות המדגם‬
‫האם התפלגות ההשכלה היא כמו שמשרד החינוך מפרסם? בדוק ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪ .4‬בפנס יש ‪ 4‬סוללות‪ .‬בבדיקה שנערכה ב‪ 411-‬פנסים נמצאו סוללות פגומות לפי השכיחויות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪ 0‬ומעלה‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪114‬‬
‫‪583‬‬
‫מספר הסוללות‬
‫הפגומות‬
‫שכיחות‬
‫מעוניינים לבדוק על סמך תוצאות מדגם אלה האם הסיכוי לסוללה פגומה הוא ‪ . 51%‬בדוק‬
‫ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪198‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבחן הבינום‬
‫‪ .1‬במטרה לבדוק האם מטבע הוא הוגן הטילו אותו ‪ 7‬פעמים‪ .‬הוחלט שאם מספר העצים‬
‫יהיה בין ‪ 1‬ל ‪ 8‬כולל יוחלט שהמטבע הוגן ‪ ,‬אחרת נחליט שהמטבע לא הוגן‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לטעות מסוג ראשון?‬
‫ג‪ .‬מהי עצמת המבחן אם במציאות אכן המטבע אינו הוגן כי הסיכוי לעץ בו הוא‬
‫‪?51%‬‬
‫‪ .5‬אחוז אוכלי הגלידות בחודשי החורף הנו ‪ , 01%‬קיים חשש כי השנה פחת אחוז אוכלי‬
‫הגלידות‪ .‬לשם כך נדגמו ‪ 12‬אנשים אשר מתוכם ‪ 0‬אכלו גלידה בחודשי החורף ‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום את השערות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה ההחלטה ברמת מובהקות של ‪? 11%‬‬
‫‪ .0‬הסיכוי לזכות במשחק מזל מסוים הינו ‪ 81%‬מעוניינים לבדוק האם שיטה מסוימת מעלה‬
‫את סיכויי ההצלחה לצורך כך מחליטים לשחק את המשחק ‪ 51‬פעמים‪ .‬מחליטים שאם‬
‫מספר הזכיות יהיה לפחות ‪ 17‬נקבל את הטענה שאכן השיטה עובדת והיא מעלה את‬
‫סיכויי ההצלחה להיות ‪ .01%‬מה הסיכוי לבצע טעות מסוג ראשון ומה הסיכוי לבצע‬
‫טעות מסוג שני?‬
‫‪ .4‬אחוז התומכים בהצעה מסוימת לפני כחמש שנים היה ‪ .41%‬מעוניינים לבדוק את הטענה‬
‫שאחוז התמיכה בהצעת החוק כיום אף ירד‪ .‬לצורך כך דגמו ‪ 11‬אנשים מתוכם אחד תמך‬
‫בהצעת החוק‪ .‬מהי מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪199‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מבחן הסימן‬
‫‪ .1‬רוצים לבדוק את הטענה שהציונים במבחן בסטטיסטיקה ב גבוהים מאשר‬
‫בסטטיסטיקה א‪ .‬נלקחו ‪ 11‬סטודנטים שסיימו את סטטיסטיקה ב‪ .‬עבור כל סטודנט‬
‫נבדק מה הציון בסטטיסטיקה א ומה הציון בסטטיסטיקה ב‪ .‬להלן התוצאות‬
‫שהתקבלו‪:‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫‪81 35‬‬
‫‪71 84‬‬
‫‪81 37‬‬
‫‪01 04‬‬
‫‪88 75‬‬
‫‪38 38‬‬
‫‪71 32‬‬
‫‪73 74‬‬
‫‪80 87‬‬
‫‪75 71‬‬
‫בידקו ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫‪ .5‬מעוניינים לבדוק האם סם מסוים משפיע על לחץ הדם‪ .‬נלקחו ‪ 54‬אנשים אשר נמדד להם‬
‫לחץ הדם לאחר מכן ניתן להם הסם ושוב מדדו להם את לחץ הדם‪ .‬לחמישה אנשים לחץ‬
‫הדם לא השתנה ל ‪ 12‬אנשים לחץ הדם עלה וליתר לחץ הדם ירד אחרי לקיחת הסם‪ .‬מה‬
‫מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .0‬מעוניינים לבדוק האם ההוצאות על "ג'אנק פוד" בקרב הסטודנטים רבות יותר בזמן‬
‫הלימודים לעומת ימי החופשה ‪.‬נדגמו ‪ 12‬סטודנטים מקריים‪ ,‬אצל ‪ 10‬ההוצאות בתקופת‬
‫הלימודים היו גבוהות יותר מימיי החופשה ואצל ‪ 5‬נמוכות יותר‪ .‬מה מסקנתך בר"מ של‬
‫‪? 1.12‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪211‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים‪:‬‬
‫שני קונדיטורים מתחרים על מקום עבודה‪ .‬נתנו לשניהם להכין ‪ 7‬מאפים שונים כאשר כל‬
‫אחד מהמאפים נאפה ע"י שניהם‪ .‬בסופו של דבר בעל הקונדיטוריה נתן ציון לכל אחד‬
‫מהאופים בעבור כל אחד מהמאפים‪.‬‬
‫להלן הציונים שהתקבלו‪:‬‬
‫אופה א אופה ב‬
‫‪11‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם אפשר לקבוע שאופה א' טוב יותר מאופה ב'?‬
‫‪ .5‬סטודנטים נתבקשו לתת חוות דעתם על רמת הקושי של הקורס (סקאלה של ‪ 1-2‬כאשר‬
‫‪=2‬קשה ביותר) ועל רמת הקושי של הבחינות באותה סקאלה‪ .‬מעוניינים לבדוק האם קיים‬
‫הבדל בין רמת הקושי הנתפסת בעיני הסטודנט על הקורס ועל המבחנים‪.‬‬
‫להלן תוצאות המדגם‪:‬‬
‫‪ -1‬קושי קורס‬
‫‪4 2 1 5 0 4 5 0 4‬‬
‫‪ - 5‬קושי בחינה ‪5 0 5 5 5 0 4 4 4‬‬
‫בדקו ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪211‬‬
‫מבחן ווילקוקסון למדגמים בלתי תלויים‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ .1‬מעוניינים להשוות בין ‪ 5‬קבוצות כדורסל‪ .‬נלקחו ‪ 2‬משחקים מקבוצה א ושישה משחקים‬
‫מקבוצה ב'‪ .‬נבדק בכל משחק ועבור כל קבוצה מה מספר הנקודות שצברה בסוף המשחק‪.‬‬
‫קבוצה ב‬
‫קבוצה א‬
‫‪75‬‬
‫‪37‬‬
‫‪84‬‬
‫‪75‬‬
‫‪75‬‬
‫‪87‬‬
‫‪34‬‬
‫‪04‬‬
‫‪38‬‬
‫‪78‬‬
‫‪32‬‬
‫בדקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬את הטענה שקבוצה ב קולעת פחות בממוצע מקבוצה א'‪.‬‬
‫‪ .5‬מעוניינים לבדוק האם קורס קיץ באנגלית משפר את יכולות האנגלית לתלמידי חטיבת‬
‫ביניים‪ .‬נלקחו ‪ 51‬ילדים בגיל חטיבת הביניים ברמת אנגלית דומה‪ 15 .‬מהם נשלחו‬
‫לקורס קיץ והיתר לא‪.‬בסוף הקיץ כולם נבחנו במבחן באנגלית הציון הגבוה ביותר‬
‫התקבל בקרב אחד שלא עשה את הקורס ושבעת הציונים הנמוכים ביותר היו גם בקרב‬
‫תלמידים שלא עשו את הקורס‪ .‬מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.0‬‬
‫במחקר לבדיקת יעילות ויטמין ‪ C‬נבחרו ‪ 12‬מתנדבים מבין עובדי המפעל ‪ .‬תשעה מהם‬
‫נבחרו מקרית וקיבלו טיפול שוטף בויטמין ‪ ,C‬ואילו שאר המתנדבים (קבוצת הביקורת)‬
‫קבלו גלולת סוכר‪ .‬במשך שלוש שנות המחקר היו מספר ימי ההיעדרות בגלל ההצטננות‪:‬‬
‫קבוצת הביקורת ‪10,8,57 ,10 ,50 , 15 :‬‬
‫קבוצת הטיפול ‪1 ,0 ,0 ,0 , 4 , 1 , 7 , 15,13 :‬‬
‫בידקו ברמת מובהקות של ‪ 2%‬שמספר ימי המחלה במשך שלוש שנים מצטמצם ביותר מ‪-‬‬
‫‪ 4‬ימים עם לקיחת ויטמין ‪.C‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪212‬‬
‫מבחן פישר‬
‫ו‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫מעוניינים לבדוק האם שיעורי עזר יעילים בשיפור ההישגים ‪ .‬נלקחו ‪ 5‬כיתות בנות ‪12‬‬
‫תלמידים כל אחת‪ .‬בכיתה אחת נתנו שיעורי עזר ובכיתה שנייה לא נתנו שיעורי עזר‪.‬‬
‫בכיתה שנתנו שיעורי עזר ‪ 1‬נכשל ובכיתה ללא שיעורי עזר ‪ 0‬נכשלו‪ .‬מה המסקנה ברמת‬
‫מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪.5‬‬
‫מעוניינים לבדוק האם תרופה אנטידכאונית מסוימת משפיעה על מצב הרוח‪ .‬נלקחו ‪57‬‬
‫אנשים שהתלוננו על דיכאון ברמה דומה הם חולקו באקראי לשתי קבוצות‪ ,‬כך ש‪13-‬‬
‫קיבלו התרופה והיתר היוו קבוצת ביקורת וקבלו פלסיבו‪ .‬כעבור ‪ 0‬חודשים נבדק מצבם‬
‫הנפשי‪ .‬בקרב לוקחי התרופה רק ‪ 5‬התלוננו על דיכאון ובקרב לוקחי הפלסיבו ‪ .3‬מה‬
‫המסקנה ברמת מובהקות של ‪?11%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪213‬‬
‫מבחן מקנמר‬
‫ז‪.‬‬
‫מתי משתמשים במבחן זה ?‬
‫‪ .1‬המדגם מזווג ‪.‬‬
‫‪ .5‬המשתנה הנחקר דיכוטומי (משתנה המקבל שני ערכים בלבד)‪.‬‬
‫‪ .0‬השערה דו צדדית‪.‬‬
‫‪ .4‬מספר התצפיות עם שינוי לפחות ‪.51‬‬
‫כלל ההכרעה‪ :‬מתבסס על התפלגות ‪  2‬ודרגת חופש ‪ df  1‬דחיה תמיד בצד ימין‬
‫הסטטיסטי‪:‬‬
‫‪( B  C )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬כאשר ‪ – C,B‬שכיחויות שבהן חל שינוי‪.‬‬
‫‪BC‬‬
‫במבחן מקנמר כמו במבחן הסימן מתעלמים מהתצפיות שלא חל בהן שינוי‬
‫אם תנאי ‪ 0‬או ‪ 4‬לא מתקיימים ניתן לבצע מבחן הסימן במקום‪.‬‬
‫שאלות ‪:‬‬
‫‪ .1‬פוליטיקאי הופיע אמש בטלוויזיה והוא מעוניין לבדוק האם התוכנית השפיעה על אמון‬
‫הציבור בו‪ .‬לצורך כך בוצע סקר שבו נשאל הצופה האם הוא תפס את הפוליטיקאי כאמין‬
‫לפני התוכנית והאם הוא תפס אותו אמין לאחר התוכנית‪.‬‬
‫להלן התוצאות שהתקבלו‪ ( :‬המספרים מייצגים מספר צופים)‬
‫לפני‬
‫אחרי‬
‫אמין‬
‫לא‬
‫אמין‬
‫אמין‬
‫‪15‬‬
‫‪51‬‬
‫לא אמין‬
‫‪8‬‬
‫‪18‬‬
‫מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫‪ .5‬חברת משקאות יצאה בקמפיין שנוי במחלוקת‪ .‬החברה מעוניינת לבדוק האם הקמפיין‬
‫השפיע על הרגלי הצריכה‪ .‬במחקר שבו השתתפו ‪ 21‬נשאלים ‪ 01‬טענו שלא שינוי את הרגלי‬
‫הצריכה‪ 12.‬טענו שהחלו לרכוש את המשקה בעקבות הקמפיין ו‪ 2-‬טענו שהפסיקו לרכוש את‬
‫המשקה בעקבות הקמפיין‪.‬‬
‫א‪ .‬מה מסקנתכם ברמת מובהקות של ‪?5.2%‬‬
‫ב‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ 2%‬שהקמפיין היטיב עם החברה מבחינת הרגלי הצריכה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪214‬‬
‫תשובות סופיות ‪ -‬מבחנים אפרמטריים‬
‫פרק א'‪ -‬מבחן טיב התאמה‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ב' ‪ -‬מבחן הבינום‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫ב‪1.1871 .‬‬
‫א‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1.1387‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫א‪1.1022 .‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪1.0501 .‬‬
‫פרק ג' ‪ -‬מבחן הסימן‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪215‬‬
‫פרק ד' ‪ -‬מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ה' ‪ -‬מבחן ווילקוקסון למדגמים בלתי תלויים‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ו' ‪ -‬מבחן פישר‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נקבל ‪H‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫פרק ח' ‪ -‬מבחן מקנמר‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נדחה ‪H‬‬
‫א‪ .‬נקבל ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ .‬נדחה ‪H‬‬
‫‪0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪216‬‬
‫פרק ‪ - 50‬מדדי קשר ‪ -‬מדד הקשר הלינארי (פירסון)‬
‫רקע‪:‬‬
‫המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה‪ ,‬מתאם) של קו ישר בין שני משתנים כמותיים‪.‬‬
‫מבחינת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומנה‪.‬‬
‫בדרך כלל‪ X ,‬הוא המשתנה המסביר (הבלתי תלוי) ו ‪ Y‬הוא המשתנה המוסבר (התלוי)‪.‬למשל‪,‬‬
‫נרצה להסביר כיצד השכלה של אדם הנמדדת בשנות לימוד –‪ X‬מסבירה את ההכנסה שלו ‪.Y‬‬
‫במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ( או הבלתי תלוי ) ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד‬
‫שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה ‪ ,‬ולכן רמת ההכנסה‬
‫זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה המסביר אותו‪.‬‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬נהוג לשרטט דיאגרמת פיזור‪ .‬זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב‬
‫הקשר בין שני המשתנים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בבניין של ‪ 2‬דירות בדקו את הנתונים הבאים‪ - X:‬מס' חדרים בדירה‪ -Y .‬מס' נפשות הגרות‬
‫בדירה‪ .‬להלן התוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫מס' דירה‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נשרטט מנתונים הללו דיאגרמת פיזור ‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪217‬‬
‫נתבונן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וננתח אותן ‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪218‬‬
‫בשלב השני‪ ,‬מחשבים את מקדם המתאם ( מדד הקשר ) שבודק עד כמה קיים קשר לינארי בין‬
‫שני המשתנים ‪ .‬המדד ( ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שניראה בשלב הראשון‬
‫רק בעין‪.‬‬
‫המדד בודק את כיוון הקשר ( חיובי או שלילי)‪.‬‬
‫ואת עוצמת הקשר ( חלש עד חזק)‪.‬‬
‫מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין ‪ -1‬ל ‪.1‬‬
‫מקדם מתאם‪ -1‬או ‪ 1‬אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי‬
‫הנוסחה ‪. y  bx  a :‬‬
‫מתאם חיובי מלא ( מקדם מתאם ‪ )1‬אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע ‪ b‬יהיה חיובי ואילו‬
‫מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע ‪ b‬שלילי ( מקדם מתאם ‪.)-1‬‬
‫מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת‬
‫נוסחה לינארית שמקשרת את ‪ X‬ל‪ Y -‬באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל‬
‫שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את ‪ X‬ל‪Y -‬‬
‫באופן מוחלט‪.‬‬
‫ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם‬
‫רחוק מהאפס נאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר‪.‬‬
‫מקדם המתאם יסומן באות –‪. r‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪219‬‬
‫כדי לחשב את מקדם המתאם ‪ ,‬יש לחשב את סטיות התקן של כל משתנה ואת השונות המשותפת‪.‬‬
‫שונות משותפת ‪:‬‬
‫‪ ( x  x )( y  y )   xy  x  y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫שונות של המשתנה ‪ x 2 :X‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫שונות המשתנה ‪ y 2 :Y‬‬
‫‪ yi2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪COV ( x, y) ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( xi  x )2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪sx2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( yi  y )2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪cov( x, y‬‬
‫מקדם המתאם הלינארי ‪:‬‬
‫‪sx  s y‬‬
‫‪SY2 ‬‬
‫‪rxy ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪211‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬להלן נתונים לגבי שישה תלמידים שנגשו למבחן ‪ .‬בדקו לגבי כל תלמיד את הציון שלו בסוף‬
‫הקורס וכמו כן את מספר החיסורים שלו מהקורס‪.‬‬
‫מספר חיסורים‬
‫ציון‬
‫‪5‬‬
‫‪71‬‬
‫‪1‬‬
‫‪01‬‬
‫‪1‬‬
‫‪01‬‬
‫‪5‬‬
‫‪81‬‬
‫‪0‬‬
‫‪81‬‬
‫‪4‬‬
‫‪21‬‬
‫א‪ .‬שרטט דיאגראמת פיזור לנתונים‪ .‬מה ניתן להסיק מהדיאגרמה על טיב הקשר ביו מספר‬
‫החיסורים של תלמיד לציונו? מיהו המשתנה הבלתי תלוי ומיהו המשתנה התלוי?‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את מדד הקשר של פירסון‪ .‬האם התוצאה מתיישבת עם תשובתך לסעיף א'?‬
‫ג‪.‬‬
‫הסבר ללא חישוב כיצד מקדם המתאם היה משתנה אם היה מתווסף תלמיד שהחסיר ‪4‬‬
‫פעמים וקיבל ציון ‪?71‬‬
‫‪ .5‬במחקר רפואי רצו לבדוק האם קיים קשר בין רמת ההורמון ‪ X‬בדם החולה לרמת ההורמון‬
‫‪ Y‬שלו‪ .‬לצורך כך מדדו את רמת ההורמונים ההלו עבור חמישה חולים‪.‬‬
‫להלן התוצאות שהתקבלו‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪11‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫א‪ .‬מה הממוצע של כל רמת הורמון?‬
‫ב‪ .‬מהו מקדם המתאם בין ההורמונים? ומה משמעות התוצאה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪211‬‬
‫‪ .0‬נסמן ב‪ X-‬את ההכנסה של משפחה באלפי ‪ .₪‬נסמן ב‪ Y-‬את ההוצאות של משפחה באלפי ‪.₪‬‬
‫נלקחו ‪ 51‬משפחות והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪ 240‬‬
‫‪ Y  200‬‬
‫‪X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ X )  76‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪( X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 76‬‬
‫‪i 1‬‬
‫) ‪ (Y  Y‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ X )(Y  Y )  60.8‬‬
‫‪( X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬חשב את מדד הקשר הלינארי בין ‪ X‬ל‪ .Y-‬מיהו המשתנה התלוי?‬
‫ב‪ .‬מה המשמעות של התוצאה שקיבלת בסעיף א?‬
‫‪ .4‬נסמן ב‪ X-‬את ההכנסה של משפחה באלפי ‪ .₪‬נסמן ב‪ Y-‬את ההוצאות של משפחה באלפי ‪.₪‬‬
‫נלקחו ‪ 51‬משפחות והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪ 240‬‬
‫‪X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ 2960‬‬
‫‪X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ Y  200‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ 2080‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ X Y  2464‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫חשב את מדד הקשר הלינארי בין ‪ X‬ל‪.Y-‬‬
‫‪ .2‬במוסד אקדמי ציון ההתאמה מחושב כך ‪ :‬מכפילים את הציון הממוצע בבגרות ב‪0 -‬‬
‫ומפחיתים ‪ 5‬נקודות‪ .‬ידוע שעבור ‪ 41‬מועמדים סטיית התקן של ממוצע הציון בבגרות הייתה‪.5‬‬
‫מה מקדם המתאם בין ציון ההתאמה לציון הממוצע בבגרות שלהם ?‬
‫‪ .3‬להלן רשימת טענות‪ ,‬לגבי כל טענה קבע נכון‪/‬לא נכון ונמק!‬
‫א‪ .‬מתווך דירות המיר מחירי דירות מדולר לשקל‪ .‬נניח שדולר אחד הוא ‪ .₪ 0.2‬אם מתווך‬
‫הדירות יחשב את מדד הקשר של פירסון בין מחיר הדירה בשקלים למחיר הדירה‬
‫בדולרים הוא יקבל ‪.1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לסדרה של נתונים התקבל ‪ S  S  1 X  Y  6‬לכן מדד הקשר של פירסון יהיה ‪.1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם השונות המשותפת של ‪ X‬ושל ‪ Y‬הינה ‪ 1‬אז בהכרח גם מקדם המתאם של פירסון‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫יהיה ‪.1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪212‬‬
‫שאלות אמריקאיות‪:‬‬
‫‪ .8‬נמצא שקיים מקדם מתאם שלילי בין הציון בעברית לציון בחשבון בבחינה לכן ‪:‬‬
‫א‪ .‬הדבר מעיד שהציונים בכתה היו שליליים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ככל שהציון של תלמיד יורד בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית‪.‬‬
‫ג‪ .‬ככל שהציון של תלמיד עולה בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית‪.‬‬
‫ד‪ .‬אף אחת מהתשובות לא נכונה‪.‬‬
‫‪ .7‬נלקחו ‪ 51‬מוצרים וניבדק ביום מסוים המחיר שלהם בדולרים והמחיר שלהם בש"ח ( באותו‬
‫היום ערך הדולר היה ‪ ) ₪ 4.5 -‬מהו מקדם המתאם בין המחיר בדולר למחיר בש"ח?‬
‫א‪1 .‬‬
‫ב‪1 .‬‬
‫ג‪4.5.‬‬
‫ד‪ .‬לא ניתן לדעת‪.‬‬
‫‪ .0‬להלן דיאגראמת פיזור ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫מה יהיה מקדם המתאם בין שני המשתנים?‬
‫א‪1 .‬‬
‫ב‪1.72 .‬‬
‫ג‪1.12 .‬‬
‫ד‪1 .‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪213‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬בהקלטה‬
‫ב‪-0.9325 .‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪y  16 .‬‬
‫‪x  15.4‬‬
‫ב‪rxy  0.96 .‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א ‪1.7 :‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫‪1.7‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫א‪ .‬נכון‬
‫ב‪ .‬לא נכון‬
‫ג‪ .‬נכון‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫התשובה‪ :‬ג‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫התשובה‪ :‬א‬
‫שאלה ‪:9‬‬
‫התשובה ‪ :‬ב‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪214‬‬
‫פרק ‪ - 54‬מדדי קשר ‪ -‬רגרסיה ליניארית‬
‫רקע‪:‬‬
‫במידה וקיים קשר חזק בין שני המשתנים הכמותיים נהוג לבצע ניבויי‪ .‬לבנות קו ניבויים הנקרא‬
‫גם קו רגרסיה המנבא משתנה אחד על סמך האחר‪.‬‬
‫מדובר בקו שמנבא את ‪ Y‬על סמך ‪ .X‬השיטה למציאת הקו הנ"ל נקראת שיטת הריבועים‬
‫הפחותים והקו המתקבל נקרא קו הרגרסיה או קו הניבויים או קו הריבועים הפחותים‪.‬‬
‫‪ - a‬בעצם נותן את ערך ‪ Y‬כאשר ‪ X‬הנו אפס על גבי קו הניבויים‪ .‬הוא ניקרא החותך של הקו‪.‬‬
‫‪ - b‬הוא שיפוע הקו נותן בכמה בעצם ‪ Y‬משתנה כאשר ‪ X‬גדל ביחידה אחת על גבי קו הניבויים‪.‬‬
‫להלן המשוואות למציאת הפרמטרים של קו הרגרסיה‪:‬‬
‫‪Y  bX  a‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪br‬‬
‫‪a  Y  bX‬‬
‫אם נרצה לבנות קו ניבויים לניבוי ‪ X‬על סמך ‪ Y‬נצטרך לעדכן את הנוסחאות בהתאם‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪215‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫נסמן ב‪ X-‬את ההכנסה של משפחה באלפי ‪ .₪‬נסמן ב‪ Y-‬את ההוצאות של משפחה באלפי ‪.₪‬‬
‫נלקחו ‪ 51‬משפחות והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪ 240‬‬
‫‪X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ X )  76‬‬
‫‪( X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ Y  200‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ (Y  Y )  76‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ X )(Y  Y )  60.8‬‬
‫‪( X‬‬
‫‪20‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬חשב את מדד הקשר הלינארי בין ‪ X‬ל‪ .Y-‬מיהו המשתנה התלוי?‬
‫ב‪ .‬מצא את קו הרגרסיה לניבוי ההוצאה של משפחה על סמך הכנסה שלה‪ .‬הסבר‬
‫את משמעות הפרמטרים של קו הרגרסיה‪.‬‬
‫ג‪ .‬משפחת כהן הכניסה ‪ ,₪ 12,111‬מה ההוצאה הצפויה שלה?‬
‫‪.5‬‬
‫נסמן ב‪ X-‬את ההשכלה של אדם בשנות למוד‪ .‬נסמן ב‪ Y-‬את הכנסתו באלפי ‪ .₪‬במחקר‬
‫התקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪S 2‬‬
‫‪S 5‬‬
‫‪X  14‬‬
‫‪Y 8‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪COV ( X , Y )  7.5‬‬
‫א‪ .‬חשב את מדד הקשר של פירסון בין ההשכלה להכנסה‪.‬‬
‫‪.0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה ההכנסה הצפויה לאדם שהשכלתו ‪ 15‬שנים?‬
‫ג‪.‬‬
‫מה ההשכלה הצפויה לאדם שהכנסתו ‪?₪ 11,111‬‬
‫חוקר רצה לחקור את הקשר הקווי שבין הציון המבחן בסטטיסטיקה לבין מספר שעות‬
‫ההכנה של הסטודנטים למבחן‪ .‬במדגם של ‪ 111‬סטודנטים שנבחנו בקורס נרשמו התוצאות‬
‫הבאות ‪ :‬הציון הממוצע של הסטודנטים היה ‪ 32‬עם סטיית תקן של ‪ .58‬מספר שעות ההכנה‬
‫הממוצע היה ‪ 01‬עם סטיית תקן של ‪ .17‬מקדם המתאם בין הציון לשעות ההכנה היה ‪.1.7‬‬
‫א‪ .‬על פי משוואת הרגרסיה שעת הכנה נוספת משפרת את ציון המבחן ב?‬
‫ב‪ .‬על פי משוואת הרגרסיה תלמיד שייגש למבחן ללא שעות הכנה כלל יקבל ציון ?‬
‫ג‪ .‬מהו קו הרגרסייה לניבוי הציון לפי שעות ההכנה?‬
‫‪.4‬‬
‫נתונים ‪ 5‬משתנים ‪ . Y,X‬כמו כן נתון ‪ X :‬ממוצע = ‪ ,1.2‬שונות ‪ = X‬שונות ‪,4 = Y‬וכן שקו‬
‫הרגסיה של ‪ Y‬על בסיס ‪ X‬הינו ‪ . Y= -0.2X + 0.5‬חשב מהו מקדם המתאם בין ‪ X‬ל –‪?Y‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪216‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫שאלה‪:1‬‬
‫א‪1.7 .‬‬
‫ב‪Y  0.8 X  0.4 .‬‬
‫ג‪15.4 .‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪1.82 .‬‬
‫ב‪ 4.52 .‬אלפי ש"ח‬
‫ג‪ 14.3 .‬שנים‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪1.5 .‬‬
‫ב‪50 .‬‬
‫ג‪y=1.2x+29 .‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪217‬‬
‫פרק ‪ - 52‬ניתוח שונות חד כיוונית‬
‫רקע תיאורטי‪:‬‬
‫ניתוח שונות (חד כיווני) הוא מבחן להשוואת תוחלות ( ‪ ) 1 ,......,  k‬של ‪ k‬אוכלוסיות שונות‪.‬‬
‫ולכן בניתוח שונות השערות המחקר הן‪:‬‬
‫(התוחלות של כל האוכלוסיות שוות)‬
‫(לפחות שתיים מהתוחלות שונות)‬
‫‪H0 : 1  2  . . .  k‬‬
‫אחרת‬
‫‪H1 :‬‬
‫ההנחות הדרושות לביצוע התהליך הן‪:‬‬
‫‪ .1‬בכל אוכלוסייה מתוך ‪ k‬האוכלוסיות ההתפלגות נורמלית‪.‬‬
‫‪ .5‬כל האוכלוסיות הן עם אותה שונות ‪.𝜎 2‬‬
‫‪ .0‬המדגמים בלתי תלויים זה בזה‪.‬‬
‫ישנו משתנה המבדיל בין הקבוצות השונות‪ ,‬הוא המשתנה הבלתי תלוי הנקרא גורם )‪(factor‬‬
‫משתנה זה הוא קטגוריאלי עם ‪ k‬רמות )‪. (levels‬‬
‫כדי לבצע את התהליך יש לבצע מדגם מכל אוכלוסייה‪:‬‬
‫נסמן ב‪ – 𝑛𝑖 -‬את גודל המדגם בקבוצה ‪.i‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ - n   ni‬מספר התצפיות סך הכול (בכל המדגמים)‬
‫‪1‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪ -‬ממוצע המדגם הראשון‪ - X k ,....... ,‬ממוצע המדגם ה‪-k-‬י‪.‬‬
‫‪ - X‬ממוצע כללי (של כל המדגמים)‪.‬‬
‫סכום ריבועים בין הקבוצות‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪SS B   ni X i  X‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום ריבועים בתוך הקבוצות ‪SSW   ni  1  Sˆi‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪nj‬‬
‫‪k‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫סכום ריבועים כללי ‪SST  [ X ij  X ]2 :‬‬
‫‪SST = SSB + SSW‬‬
‫יש למלא את טבלת ניתוח השונות הבאה‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪218‬‬
‫טבלת ניתוח שונות‬
‫ממוצע הריבועים‬
‫דרגות חופש‬
‫‪F‬‬
‫‪MS‬‬
‫‪df‬‬
‫𝐵𝑆𝑀‬
‫𝑊𝑆𝑀‬
‫𝐵𝑆𝑆‬
‫‪𝑘−1‬‬
‫𝑊𝑆𝑆‬
‫𝑘‪𝑛−‬‬
‫סכום‬
‫הריבועים‬
‫מקור השונות‬
‫‪SS‬‬
‫)‪SS B /( k  1‬‬
‫) ‪~ F (k  1, n  k‬‬
‫) ‪SSW /( n  k‬‬
‫‪k-1‬‬
‫‪SSB‬‬
‫‪-B‬בין הקבוצות‬
‫‪n-k‬‬
‫‪SSW‬‬
‫‪-W‬בתוך הקבוצות‬
‫‪n-1‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪-T‬סה"כ‬
‫‪F‬‬
‫איזור דחיית ‪F  F( k 1), nk ):1 : H 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪219‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫‪ .1‬מחקר מעוניין להשוות בין שלוש תרופות לשיכוך כאבים במטרה לבדוק האם קיים‬
‫הבדל בין התרופות מבחינת הזמן בדקות שלוקח עד שהתרופה משפיעה‪.‬‬
‫לצורך הבדיקה נלקחו ‪ 12‬אנשים שסובלים מכאבי ראש ‪.‬אנשים אלה חולקו באקראי‬
‫לשלוש ‪ :‬קבוצה ‪1‬קיבלה "אקמול" קבוצה ‪ 5‬קיבלה "אופטלגין" קבוצה ‪ 0‬קיבלה‬
‫"נורופן"‪.‬‬
‫כל אדם במחקר מסר את מספר הדקות עד שהתרופה השפיעה עליו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו המשתנה התלוי ומהו המשתנה הבלתי תלוי במחקר? מהו ה"גורם" וכמה רמות‬
‫יש לו?‬
‫ב‪ .‬מהו המבחן הסטטיסטי המתאים כאן? רשמו את ההשערות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הן ההנחות הדרושות כדי לבצע את המבחן הסטטיסטי שהצעת בסעיף הקודם?‬
‫‪ .5‬בעיר מסוימת שלושה בתי ספר תיכון‪ .‬ראש העיר התעניין לבדוק האם קיים הבדל‬
‫בהצלחה של בתי הספר במקצוע מתמטיקה‪ .‬לצורך כך הוא דגם מספר תלמידים שנבחנו‬
‫במבחן הבגרות במתמטיקה ברמה של ‪ 0‬יחידות בעירו ובדק עבור כל תלמיד מה ציון‬
‫הבגרות שלו במתמטיקה‪.‬‬
‫להלן הציונים שהתקבלו‪:‬‬
‫בית הספר‬
‫"המתמיד"‬
‫"רבין"‬
‫"הס"‬
‫‪87‬‬
‫‪07‬‬
‫‪72‬‬
‫‪32‬‬
‫‪35‬‬
‫‪70‬‬
‫‪81‬‬
‫‪22‬‬
‫‪84‬‬
‫‪01‬‬
‫‪71‬‬
‫‪72‬‬
‫‪82‬‬
‫‪23‬‬
‫א‪ .‬מהו המבחן הסטטיסטי המתאים? רשמו את ההשערות ואת ההנחות של המבחן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודל המדגם? מהו המשתנה הבלתי תלוי ( ‪ )FACTOR‬כמה רמות יש לו?‬
‫ג‪ .‬חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של הציונים בכל אחד מהמדגמים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מלאו את טבלת ‪.ANOVA‬‬
‫ה‪ .‬רשמו את כלל ההכרעה למבחן שהוצע בסעיף א ברמת מובהקות של ‪.2%‬‬
‫ו‪ .‬האם קיים הבדל בין בתי הספר בעיר מבחינת רמת הצלחת התלמידים במקצוע‬
‫המתמטיקה? ענה על סמך הסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪221‬‬
‫‪ .0‬מעוניינים לבדוק האם יש הבדל בהשפעה של שיטות טפול שונות על לחץ הדם הסיסטולי‬
‫(‪ )SBP‬באוכלוסייה של קשישים‪ .‬נבדקו ‪ 4‬שיטות שונות ‪ .‬בטבלה המצורפת מרוכזים‬
‫ממצאי המחקר‪.‬‬
‫השיטה‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫גודל המדגם‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪7‬‬
‫‪15‬‬
‫הממוצע‬
‫‪187‬‬
‫‪185‬‬
‫‪171‬‬
‫‪175‬‬
‫סטיית התקן‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ .‬רשמו את השערות המחקר וההנחות הדרושות כדי לבצע את המבחן המתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה מסקנת המחקר ברמת מובהקות של ‪?2%‬‬
‫ג‪ .‬האם יש צורך לבצע השוואות מרובות ?‬
‫‪ .4‬שלושה אופים נתבקשו להכין עוגת שוקולד‪ .‬לכל אופה בדקו את משך זמן ההכנה‬
‫בדקות‪.‬‬
‫כל אופה נדרש לאפות בכל יום ‪ 4‬עוגות‪.‬‬
‫האופה‬
‫ניר‬
‫מוזס‬
‫שלום‬
‫סכום הזמנים‬
‫‪206‬‬
‫‪212‬‬
‫‪182‬‬
‫סכום ריבועי‬
‫הזמנים‬
‫‪10644‬‬
‫‪11250‬‬
‫‪8982‬‬
‫האם קיים הבדל בין האופים מבחינת תוחלת זמני ההכנה של העוגות? בדקו ברמת‬
‫מובהקות של ‪.2%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪221‬‬
‫‪ .2‬להלן טבלת ניתוח שונות חד כיוונית‪ .‬במחקר בחנו ‪ 4‬סוגי סוללות‪ .‬רצו לבדוק האם לסוג‬
‫הסוללה השפעה על תוחלת אורך החיים שלה‪ .‬הפעילו את כל הסוללות על אותו מכשיר‬
‫ובדקו את אורך החיים של כל סוללה בשעות‪.‬‬
‫‪ANOVA‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.279‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1.361‬‬
‫‪Mean‬‬
‫‪Square‬‬
‫‪df‬‬
‫‪Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪3.439‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10.317‬‬
‫‪2.527‬‬
‫‪24‬‬
‫‪60.648‬‬
‫‪27‬‬
‫‪70.964‬‬
‫‪Between‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Within‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Total‬‬
‫מה המסקנה ברמת מובהקות של ‪ ?11%‬רשמו את ההשערות וההנחות הדרושות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪222‬‬
‫‪ .3‬להלן טבלת ‪ ANOVA‬בטבלה הושמטו חלקים‪ .‬השלם את החלקים בטבלה שהושמטו‬
‫ומסומנים באותיות‪.‬‬
‫‪ANOVA‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.000‬‬
‫‪Mean‬‬
‫‪Square‬‬
‫‪F‬‬
‫ה‬
‫‪Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪df‬‬
‫ג‬
‫ב‬
‫‪357.450‬‬
‫ד‬
‫‪17‬‬
‫א‬
‫‪19‬‬
‫‪522.950‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪Between‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Within‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪223‬‬
‫‪ .8‬חברת תרופות לקחה ‪ 12‬אנשים ברמת בריאות דומה‪ .‬החברה חילקה את האנשים ל‬
‫שלוש קבוצות שוות בגודלן‪ .‬לכל קבוצה ניתנה אותה תרופה במינון שונה ( ‪. )dosage‬‬
‫המינונים שניתנו הם‪ 11 :‬מ"ג ‪ 51 ,‬מ"ג ו‪ 01 -‬מ"ג‪ .‬לאחר שעה מזמן לקיחת התרופה‬
‫ניבדק קצב פעימות הלב של כל אדם (‪.)pulse‬‬
‫הנתונים הוזנו לתוכנה סטטיסטית והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪ANOVA‬‬
‫‪pulse‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.000‬‬
‫‪F‬‬
‫‪19.733‬‬
‫‪Mean‬‬
‫‪Square‬‬
‫‪df‬‬
‫‪Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪207.200‬‬
‫‪2‬‬
‫‪414.400‬‬
‫‪10.500‬‬
‫‪12‬‬
‫‪126.000‬‬
‫‪14‬‬
‫‪540.400‬‬
‫‪Between‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Within‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪Post Hoc Tests‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪224‬‬
‫‪Homogeneous Subsets‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ 2%‬האם קיים הבדל בין המינונים השונים מבחינת תוחלת‬
‫הדופק של האנשים? רשמו את ההשערות וההנחות הדרושות לצורך פתרון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבירו ללא חישוב כיצד הייתה משתנה התשובה לסעיף הקודם אם הינו מעלים את‬
‫הדופק של כל התצפיות במחקר ב‪.5 -‬‬
‫ג‪ .‬האם יש צורך במחקר בהשוואת מרובות‪ .‬נמק!‬
‫ד‪ .‬לטבלת ה ‪ ANOVA‬צורפו טבלאות של השוואות מרובות בשיטה הנקראת "טוקי"‪.‬‬
‫ברמת בטחון של ‪ 02%‬מה הם הממצאים לפי שיטה זו?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪225‬‬
‫‪ .7‬בעיר מסוימת רצו לבדוק האם קיים הבדל ברמה של התלמידים בין בתי הספר השונים‬
‫בעיר‪ .‬ביצעו מדגם מכל בית ספר ונתנו מבחן זהה לכל הנדגמים‪.‬‬
‫לאחר מכן ריכזו את הנתונים בתוכנה סטטיסטית והפעילו ניתוח שונות‪ .‬מצורפים‬
‫הפלטים שהתקבלו‪.‬‬
‫ענו על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬כמה בתי ספר יש בעיר?‬
‫ב‪ .‬כמה תלמידים השתתפו בסך הכול במחקר?‬
‫ג‪ .‬האם קיים הבדל בין בתי הספר בעיר מבחינה רמת הציונים? בדקו ברמת מובהקות‬
‫של ‪1%‬‬
‫ד‪ .‬בביטחון של ‪ 02%‬אילו בתי ספר שונים זה מזה ברמת התלמידים ? נמקו והסבירו‪.‬‬
‫‪Oneway‬‬
‫‪ANOVA‬‬
‫‪grade‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.000‬‬
‫‪F‬‬
‫‪13.586‬‬
‫‪Mean Square‬‬
‫‪Sum of Squares‬‬
‫‪df‬‬
‫‪1949.900‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7799.600‬‬
‫‪Between Groups‬‬
‫‪143.520‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2870.400‬‬
‫‪Within Groups‬‬
‫‪24‬‬
‫‪10670.000‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪Post Hoc Tests‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
226
Multiple Comparisons
grade
Scheffe
(I) school
(J) school
95% Confidence Interval
Mean Difference (I-J)
1.00
Std. Error
Sig.
Lower Bound
Upper Bound
2.00
5.40000
7.57681
.971
-20.2543
31.0543
3.00
36.80000
*
7.57681
.003
11.1457
62.4543
4.00
*
36.40000
7.57681
.003
10.7457
62.0543
5.00
-2.60000
7.57681
.998
-28.2543
23.0543
1.00
-5.40000
7.57681
.971
-31.0543
20.2543
3.00
31.40000*
7.57681
.011
5.7457
57.0543
4.00
31.00000*
7.57681
.013
5.3457
56.6543
5.00
-8.00000
7.57681
.888
-33.6543
17.6543
1.00
-36.80000*
7.57681
.003
-62.4543
-11.1457
2.00
*
-31.40000
7.57681
.011
-57.0543
-5.7457
4.00
-.40000
7.57681
1.000
-26.0543
25.2543
5.00
-39.40000*
7.57681
.001
-65.0543
-13.7457
1.00
-36.40000*
7.57681
.003
-62.0543
-10.7457
2.00
-31.00000*
7.57681
.013
-56.6543
-5.3457
3.00
.40000
7.57681
1.000
-25.2543
26.0543
5.00
-39.00000*
7.57681
.001
-64.6543
-13.3457
1.00
2.60000
7.57681
.998
-23.0543
28.2543
2.00
8.00000
7.57681
.888
-17.6543
33.6543
3.00
*
39.40000
7.57681
.001
13.7457
65.0543
4.00
39.00000*
7.57681
.001
13.3457
64.6543
dimension3
2.00
dimension3
3.00
dimension2
dimension3
4.00
dimension3
5.00
dimension3
*. The mean difference is significant at the 0.05 level.
www.GooL.co.il -‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‬
© ‫ ברק קנדל‬- ‫כתב ופתר‬
227
Homogeneous Subsets
grade
a
Scheffe
school
Subset for alpha = 0.05
N
d
i
m
1
2
3.00
5
45.0000
4.00
5
45.4000
2.00
5
76.4000
1.00
5
81.8000
5.00
5
84.4000
e
n
s
Sig.
1.000
.888
i
o
n
1
Means for groups in homogeneous subsets are displayed.
a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 5.000.
www.GooL.co.il -‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‬
© ‫ ברק קנדל‬- ‫כתב ופתר‬
‫‪228‬‬
‫פתרונות סופיים חלקיים ‪ -‬ניתוח שונות חד כיוונית‬
‫‪ .5‬אם חישבת נכון ה ‪ F‬הסטטיסטי יוצא ‪1.27:‬‬
‫‪ .0‬נדחה את השערת האפס‪.‬‬
‫‪.4‬להלן טבלת הניתוח השונות המתקבלת‪:‬‬
‫‪Mean‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.756‬‬
‫‪Sum of‬‬
‫‪df‬‬
‫‪Square‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪63.000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪126.000‬‬
‫‪83.333‬‬
‫‪9‬‬
‫‪750.000‬‬
‫‪11‬‬
‫‪876.000‬‬
‫‪Between‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪Within‬‬
‫‪Groups‬‬
‫‪.2‬נקבל את השערת האפס‪.‬‬
‫‪.3‬א‪ 132.2 .‬ב‪ 5 .‬ג‪ 187.852 .‬ד‪0.082 .‬‬
‫ה‪17.03 .‬‬
‫‪.8‬א‪ .‬נדחה את השערת האפס‪ .‬ב‪ .‬לא משתנה‪ .‬ג‪ .‬כן‬
‫‪.7‬א‪ 2 .‬ב‪ 52 .‬ג‪ .‬כן‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬ברק קנדל ©‬
‫‪Total‬‬