1. No category

‫מבוא למתמטיקה‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬
‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר הפרטיים‬
‫והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬
‫הלימודים של משרד החינוך‪ .‬הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות‬
‫יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם‬
‫רואים את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך‬
‫חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬
‫להצלחה‪.‬‬
‫יוחאי טוויג‬
‫תוכן העניינים‬
‫‪2‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪5 ................................................................... :‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪5.................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪6...................................................................................................... :‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪7....................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪7...................................................................................................... :‬‬
‫טכניקה אלגברית‪8 ................................................................................................. :‬‬
‫פירוק הטרינום‪8............................................................................................................. :‬‬
‫משוואות‪9...................................................................................................................... :‬‬
‫משוואה ממעלה ראשונה‪9.......................................................................................... :‬‬
‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‪11....................................................:‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪11.................................................................. :‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪11........................................................................................... :‬‬
‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‪-‬ריבועיות‪12..........................................................:‬‬
‫משוואות עם פרמטרים‪12........................................................................................... :‬‬
‫משוואות עם שורשים‪13............................................................................................. :‬‬
‫משוואות עם ערך מוחלט‪13........................................................................................ :‬‬
‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‪11............................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪11.................................................................................................... :‬‬
‫אי שוויוניים‪61 ............................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪16.................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪16....................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שלישית‪17.................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים עם מנה‪17............................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים כפולים ‪ -‬מערכת וגם‪17.............................................................................. :‬‬
‫שאלות מסכמות – אי‪-‬שוויונים‪11................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪11.................................................................................................... :‬‬
‫תחום הגדרה‪19....................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪19.................................................................................................... :‬‬
‫סדרות‪02 ............................................................................................................. :‬‬
‫סדרה חשבונית‪02 ........................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪21............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪23.................................................................................................... :‬‬
‫סדרה הנדסית‪02 ............................................................................................................. :‬‬
‫שאלות‪21............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪27.................................................................................................... :‬‬
‫סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪08 ................................................................................. :‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלות‪29............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪32.................................................................................................... :‬‬
‫סדרת נסיגה‪33 ............................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪33............................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪33.................................................................................................... :‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬תרגול מבגרויות‪63 .......................................................................... :‬‬
‫בעיות תנועה‪31 ............................................................................................................... :‬‬
‫בעיות הספק‪26 ............................................................................................................... :‬‬
‫גאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות‪44 ................................................................... :‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪22 ................................................................................................ :‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪28 ................................................................................ :‬‬
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪55 ............................................................................. :‬‬
‫רשימת משפטים בגאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות בלי הוכחה ‪59 ...............................‬‬
‫נספח ‪ – 0‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪36 ............................................................... :823‬‬
‫נספח ‪ – 6‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪38 ..................................................... :‬‬
‫‪1‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה‪:‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫שלבי עבודה‪:‬‬
‫‪ .6‬נפתור את המשוואה‪.‬‬
‫‪ .0‬נאתר את ערכי הפרמטר המאפסים את המכנה בכל שלבי הפתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬נבדוק לכל ערך כזה בנפרד כמה פתרונות יש למשוואה על ידי הצבתו במשוואה‬
‫המקורית‪.‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואה‪. kx  6k  2 x  3k 2 :‬‬
‫‪ )0‬פתור את המשוואה‪. a 2  x  1  3ax  4  x  a  :‬‬
‫‪2kx  5 y  2k 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )6‬פתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪2 x  y  10‬‬
‫‪ )4‬נתונה המשוואה‪ . m  mx  2   3  2  3x  :‬מצא אלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אף פתרון‪.‬‬
‫ג‪ .‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה המשוואה‪k 2  5  2 x   3 15  2kx  :‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬למשוואה‪:‬‬
‫‪ .6‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .0‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ k‬פתרון המשוואה‪:‬‬
‫‪ .6‬חיובי‪.‬‬
‫‪ .0‬מקיים את אי‪-‬השוויון‪2 x  3  x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪mx‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ )3‬נתונה המשוואה‪:‬‬
‫‪m  2 m  5 m  7m  10‬‬
‫‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אף פתרון‪.‬‬
‫ג‪ .‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪ 4  a  x  3  2a  1 y  3‬‬
‫‪ )6‬נתונה מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪ x  ay  1‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ .6‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .0‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬פתרון מערכת המשוואות מקיים את אי‪-‬השיוויון‪. 2 x  y  1 :‬‬
‫‪ x  3ay  a‬‬
‫‪ )8‬נתונה מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ax  3 y  4a  3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ .6‬פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪ .0‬אף פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכי ‪ a‬נקודת החיתוך בין הישרים‬
‫(המיוצגים על ידי המשוואות) נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪)0 x  3k )1‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪ )5‬א‪ k  3 .3 k  0 .0 k  0 , k  3 .6 .‬ב‪ 0  k .6 .‬או ‪ k  3‬וגם ‪k  3‬‬
‫‪ 0  k  15 .0‬וגם ‪. k  3‬‬
‫‪ )3‬א‪ m  3, m  2, m  5 .‬ב‪ m  3, m  2, m  5 .‬ג‪ .‬אף ‪. m‬‬
‫‪ )6‬א‪ a  1 .3 a  3 .0 a  3, a  1 .6 .‬ב‪ 3  a .‬או ‪ a  10‬וגם ‪. a  1‬‬
‫‪ )8‬א‪ a  1 .3 a  1 .0 a  1, a  1 .6 .‬ב‪. 1  a  0 .‬‬
‫‪ )4  k  5, 2k  )6 x ‬א‪ m  3 .‬ב‪ m  3 .‬ג‪. m  3 .‬‬
‫‪6‬‬
‫חקירת משוואות ממעלה שנייה‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬פתור את המשוואה‪. x2  mx  12m2  0 :‬‬
‫‪ )0‬פתור את המשוואה‪. 2 x 2  5m2  11m  1 x  5m :‬‬
‫‪ )6‬נתונה המשוואה‪ . x2  mx  9  0 :‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונה המשוואה‪ m  3 :‬‬
‫‪ .  3  m  x 2  4mx  2m  0‬מצא לאלו ערכי ‪ m‬למשוואה‪:‬‬
‫א‪ .‬שני פתרונות ממשיים שונים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתרון ממשי אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬אין פתרונות ממשיים כלל‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪. y  2mx2  mx  1 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה אינה חותכת את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪y   m 2  9  x 2   m  3 x  4‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‪ m  3 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬הפונקציה נמצאת מעל ציר ה‪ x -‬לכל ערך של ‪. x‬‬
‫‪ )6‬נתון אי השיוויון‪. mx 2   m  4  x  1  x 2 :‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ m‬אי השיוויון מתקיים לכל ערך של ‪. x‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪m 1‬‬
‫‪)0 x1  3m , x2  4m )1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )6‬א‪ 6  m .‬או ‪ m  6‬ב‪ m  6 .‬ג‪. 6  m  6 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ 0  m .‬או ‪ m  3‬וגם ‪ m  3‬ב‪ m  0, m  3 .‬ג‪. 3  m  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m  3 )3 8  m  0 )5‬או ‪. m  0 )6 m  3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. x1  5m , x2 ‬‬
‫‪7‬‬
:‫טכניקה אלגברית‬
:‫פירוק הטרינום‬
:‫פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום‬
2 x 2  7 x  15
)0
4 x2  8x  3
)1
6 x2  5x  1
)4
3x 2  11x  6
)6
x2  5x  4
)3
2 x2  x  6
)5
x 2  33x  62
)8
x 2  8 x  15
)6
:‫פרק את הביטויים הבאים‬
4 x2  8x  3
)5
6 x 2  5 x  1 )12
x 2  5 x  4 )11
:‫תשובות סופיות‬
 3x  2  x  3 )6  2 x  3 x  5 )0  2 x  1 2 x  3 )1
 x  1 x  4  )3  x  2  2 x  3 )5  3x  1 2 x  1 )4
 2 x  1 2 x  3 )5  x  2  x  31 )8
 x  3 x  5 )6
.  x  1 x  4  )11  3x  1 2 x  1 )12
1
:‫משוואות‬
:‫משוואה ממעלה ראשונה‬
2 x  x  24
7  2x  7
.‫ג‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬1
6 x  2  8 .‫א‬
.‫ב‬
7 x  5  2 x  4 x  13
.‫ה‬
2x  6  8  x
.‫ד‬
2  5 x  7  3x  8
.‫ז‬
6x  3  5  7 x  x  5x  7
.‫ו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬0
7 x  4 3  4x    x
.‫ב‬
3  x  1  4  2
.‫א‬
5 x   3x  7  4  21
.‫ד‬
6  4  x    6  x   3x
.‫ג‬
.‫ו‬
x  x  5  x 2  7 x  8
.‫ה‬
 7  x 1  x    x  3
2
0
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬6
4 x 3x

1
15 10
5 x  1 6 x  1 3x  1


1
6
5
4
x x
5    x  1
3 7
.‫ב‬
.‫ד‬
.‫ו‬
x x
  4 .‫א‬
3 9
2
4
7
.‫ג‬
x x  x
3
5
15
2
3
 x  3   4  x   x  2 .‫ה‬
5
15
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬4
1
x

 0 .‫ב‬
2 x 1
5
4
.‫ד‬

2 x  1 3x  2
9
1 2
  0 .‫א‬
4 x
3
1
.‫ג‬

x x2
x5 1 1
.‫ה‬


3x 2 6 x x
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬5
7
2
3


 0 .‫ב‬
2
x 1 x 1 2  2x
4 x 2  24 x  36
 12 .‫ד‬
x 3
x2  2
3x  1
.‫א‬

2
3x  5 x 9 x  15
3
5

 0 .‫ג‬
2
 2  x  12  3x 2
:‫מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬3
x  3y  5
.‫א‬

x  3y  3
5 x  2 y  14
.‫ב‬

5 x  3 y  23
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬6
5 x  2 y  2
.‫ג‬

x  4 y  4
3x  2 y  16
.‫ב‬

 x  5 y  14
y  x 3
.‫ה‬

 y  2x  4
3x  y  11
.‫א‬

y  5
2 x  3 y  5
.‫ד‬

5 x  7 y  11
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬8
 x  3 x  y y 1



16
4
.‫ב‬
 8
3  2 x  y   4 x  11  0

3 y  x  2  4 x  2  3 y
.‫א‬

2 x  3  y  5 y  4 x  3
3
 3x  1 2
 4  5  x  y   10  x  3
.‫ג‬

x

1
y

 1
 4
2
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬5
7

4 x  y  3

.‫ג‬

5 x  2  7

y
3 3
x  y  2

.‫ב‬

 9  4  7
 x y
11
3 1
x  y  4

.‫א‬

5  1  4
 x y
‫‪ )12‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪ x  y  2   y  xy  5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  y  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xy  20‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  3 x  4   20‬‬
‫‪5 x  4 xy  22‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 x  xy  20‬‬
‫משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון‪:‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪6  x  2   2 x  5  4 x .‬‬
‫ב‪5 x  3  x  4 x  2 x  3 .‬‬
‫‪x  2 y  1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 x  8 y  5‬‬
‫‪2  x  y   4 y  1  x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  7 y  x  3  x  y ‬‬
‫משוואה ממעלה שנייה‪:‬‬
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪x 2  3x  10  0 .‬‬
‫ב‪ x  10 x  16  0 .‬‬
‫ג‪25 x 2  20 x  4  0 .‬‬
‫ד‪2 x 2  6 x  5  0 .‬‬
‫‪ )16‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪4 x 2  5 x  7  4  x 2  3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ x  x  5  1  3x 1  x   4 .‬‬
‫ג‪2  x  5   2 x  3  10 x  21 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )14‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) b‬‬
‫ב‪32 x 2  18  0 .‬‬
‫א‪x 2  36  0 .‬‬
‫‪ )15‬פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת ‪:) c‬‬
‫א‪7 x 2  14 x  0 .‬‬
‫ב‪5 x 2  x  0 .‬‬
‫‪11‬‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬13
4x 1 x  2 2
.‫א‬


3
2
x
3
2x  5
4


 0 .‫ג‬
2
2 x  2 2  x  1 1  x 2
x 9
 x  x 2  18 .‫ב‬
x3
2
:‫ריבועיות‬-‫משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬16
x 4  3x 2  2  0 .‫ב‬
5 x 4  3x 2  8  0 .‫א‬
2 x3  5 x 2  2 x  5  0 .‫ד‬
2 x3  7 x 2  7 x  2  0 .‫ג‬
:‫משוואות עם פרמטרים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬18
mx  3m  5 x  1 .‫א‬
1
1
 a  3x    ax  3 .‫ב‬
3
a
 x  2a  x  2b   x2  2  a 2  b2  .‫ג‬
m 1 m 1
.‫ד‬

x 1 x 1
x
1
ax  x
2
.‫ה‬

 3
 3
2
a  a 2a 2a  4a  2a a  2a 2  a
2
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬15
ax  y  2
.‫ב‬

 x  ay  4
 x  my  1
.‫א‬

x  y  m
 m  1 x   2m  3 y  5
.‫ד‬

m

2
x

2
m

1
y

10
m





x
 ym
.‫ג‬
m
 x  m2 y  1

 2a  b  x   2a  b  y  8ab
.‫ה‬

2
2
 2a  b  x   2a  b  y  8a  2b
12
:‫) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות‬02
x 2  2 x  4a  a 2  3 .‫ב‬
x 2  2mx  m2  1  0 .‫א‬
1
1
1
 
 0 .‫ד‬
ax a ax
x 2  m  x  10   2m 2  5 x .‫ג‬
a 1 x
  b
x b a
m
.‫ו‬
2
 1 x 2  m2 x  1  0 .‫ה‬
x
1 a b a b


x a b a b
.‫ז‬
:‫משוואות עם שורשים‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬01
x2  x
.‫ב‬
4x  3  5
.‫א‬
2 x  16  3 x  1
.‫ד‬
3x  1  x  13
.‫ג‬
x 2  5 x  12  2 6  x
.‫ו‬
3x  5  x  17
.‫ה‬
2x 1  3  7 x  1
.‫ח‬
x  1  2 x  5  11  x 2
.‫ז‬
2x  3  3  x  2
.‫י‬
9 x  8  3 x  4  2
.‫ט‬
2 x  2  5 x  4  3x  2
.‫יב‬
x  3  x  2  4 x  1 .‫יא‬
3 x 1  2x  3  2 x  2
.‫יג‬
:‫משוואות עם ערך מוחלט‬
:‫) פתור את המשוואות הבאות‬00
2 x  11  7 .‫א‬
3x  24  x
.‫ב‬
2 x  8  x  10
.‫ד‬
12  x  3x
.‫ג‬
14  3x  2 x  5
.‫ו‬
4 x  5  2 x  13
.‫ה‬
x  2  6  2x  4
.‫ח‬
x  7  2x
.‫ז‬
10  3x  x  4  2 x  6
.‫י‬
x  2  2x  6  4x  8
.‫ט‬
13
:‫מערכת משוואות ממעלה שנייה‬
:‫) פתור את מערכות המשוואות הבאות‬06
2
2

2 x  y  36
 2

 x  3 y  10
.‫ב‬
 x 2  y 2  20

x  y  6
.‫א‬
 x 2  2 y 2  17

 xy  10
.‫ד‬
3 x 2  4 y 2  16
 2
2
5 x  3 y  17
.‫ג‬
2
2

 x  2 xy  8 y  8

2

3 xy  2 y  4
.‫ו‬
 x 2  xy  20 y 2  0

x  6 y  1
.‫ה‬
16 x 2  y 2  391

4 x  y  23
.‫ח‬
 x 2  y 2  33

 x  y  11
.‫ז‬
 x 3  y 3  91
 2
2
 x y  xy  30
.‫י‬
 x3  y 3  243

x  y  9
.‫ט‬
 xy  24

2
 y  x   7  y  x   10  0
.‫יב‬
 x
y 10



x 3
 y
 2
2
 x  y  9 xy  25
.‫יד‬
3 5
 x  y  21

.‫יא‬

 8  1  13
 x y
 x 2 y  xy 2  84
 2
2
 x  2 xy  y  5 x  5 y  24
.‫יג‬
:‫תשובות סופיות‬
.x
1
.‫ ז‬x  3 .‫ ו‬x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x  1 .‫) א‬1
2
1
1
. x  1 .‫ ו‬x  4 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  2 .‫ ג‬x  .‫ ב‬x  3 .‫) א‬0
4
2
. x  21 .‫ ו‬x  10 .‫ ה‬x  1 .‫ ד‬x  1 .‫ ג‬x  30 .‫ ב‬x  18 .‫) א‬6
. x  2 .‫ ה‬x  2 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  8 .‫) א‬4
.   ,9  .‫ ב‬ 4,  .‫) א‬3 . x  6 , x  3 .‫ ד‬x  7 .‫ ג‬x  7 .‫ ב‬x  6 .‫) א‬5
 5 
 3
.  7, 10  .‫ ה‬ 2,3 .‫ ד‬ 0,1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2,5  .‫) א‬6
4
1
. 1,1 .‫ ג‬ 3,1 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬5  7, 2  .‫ ג‬ 7,1 .‫ ב‬ 6,5 .‫) א‬8
11
 2, 4  .‫ ג‬ 2,10  .‫ ב‬ 1, 3 .‫) א‬12
‫ אין פתרון למערכת המשוואות‬.‫ג‬
‫ אינסוף פתרונות‬.‫ אין פתרון ב‬.‫) א‬11
.‫ אינסוף פתרונות‬.‫ד‬
2
.‫ ג‬x1  2 , x2  8 .‫ ב‬x1  2 , x2  5
5
1
. x1  1 , x2  10 .‫ ג‬x1  1 , x2  1 .‫ ב‬x1  0 , x2  1
4
1
3
x1  0 , x2  .‫ ב‬x1  0 , x2  2 .‫) א‬15 x   .‫ ב‬x  6
5
4
. x1  0 , x2  5 .‫ ג‬x  5 , x  3 .‫ ב‬x1  2 , x2  1.2
.‫ אין פתרון למשוואה‬.‫ ד‬x 
.‫ ד‬x1  1 , x2  2 , x3 
.‫) א‬10
.‫) א‬16
.‫) א‬14
.‫) א‬13
1
.‫ ג‬x  1 .‫ ב‬x  1,  2 .‫) א‬16
2
1
. x1  1 , x2  1 , x3  2
2
a2  9
3m  1
.‫ ב‬m  5, x 
.‫) א‬18
6a
m5
m 1 
 2a  4 4a  2 
, 2
 2m  1, m  2  .‫ ד‬ m2  m  1,
 .‫ ב‬ m  1, 1 .‫) א‬15
 .‫ ג‬ 2
m 
 a 1 a 1 

. x  a  1 .‫ ה‬x  m .‫ ד‬x  a  b .‫ ג‬x 
x  m  5, 2m .‫ ג‬x  a  1,3  a .‫ב‬
x  m  1, m 1 .‫) א‬02
 2a  b, 2a  b  .‫ה‬
a b a b
a
1
.‫ ז‬b  0, x  , ab .‫ ו‬x  1,  2 .‫ ה‬a  0, x  a 3 .‫ד‬
,
a b a b
m 1
b
x  5 .‫ ח‬x  3 .‫ ז‬x  4, 3 .‫ ו‬x  6 .‫ ה‬x  5 .‫ ד‬x  8 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬01
.x
8
9
. x  2 .‫ יג‬x  1 .‫ יב‬x  6 .‫ יא‬x  2, 2 .‫ י‬x  12 .‫ט‬
x  7 .‫ ז‬x  24,
4
1
.‫ ו‬x  9, 1 .‫ ה‬x  6 .‫ ד‬x  3 .‫ ג‬x  6,12 .‫ ב‬x  2,9 .‫) א‬00
5
3
1
. x  0 .‫ י‬x  0, 12 .‫ ט‬x  12, 1 .‫ח‬
3
.  5, 2  ,  5, 2  .‫ ד‬ 2, 1 .‫ ג‬ 4, 2  .‫ ב‬ 2, 4  ,  4, 2  .‫) א‬06
.  5, 3 .‫ ח‬ 7, 4  .‫ ז‬ 3,  ,  3,   ,  2,1 ,  2, 1 .‫ ו‬ 2,  ,  ,  .‫ה‬
2
2   11 11 
 2 

1
1
1
5 1
1 1
.  ,  .‫ יא‬ 6,5 ,  5, 6  .‫ י‬ 3, 6  ,  6,3 .‫ט‬
 2 3
.  4, 6  ,  6, 4  ,  3,8 ,  8, 3 .‫יב‬
.  7, 4  ,  4, 7   1.65, 6.35 ,  6.35,1.65 .‫יג‬
.  5, 45 ,  5, 45 ,  45,5 ,  45, 5 .‫יד‬
13
‫אי שוויוניים‪:‬‬
‫מה מותר?‬
‫‪ .6‬לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי‪.‬‬
‫‪ .0‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי‪.‬‬
‫מה אסור?‬
‫‪ .6‬לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים‬
‫את סימנו‪.‬‬
‫‪ .3‬לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי‬
‫תוך הפיכת סימן אי‪-‬השוויון‪.‬‬
‫‪ .0‬להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף‬
‫שלילי‪.‬‬
‫‪ .2‬להעלות בחזקה אי זוגית‪.‬‬
‫‪ .5‬להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי‬
‫אי‪-‬השוויון אינם שליליים‪.‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה ראשונה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪45 x  26  109 )1‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 x  4 9  x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x6 x4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2  x  5 ‬‬
‫אי‪-‬שוויונים ממעלה שנייה‪:‬‬
‫פתור את אי‪-‬השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪x 2  144‬‬
‫‪)0‬‬
‫‪6 x  2  3x  1‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪ 4   x  2   20‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪4  6 x  8  8  3x  4 ‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪7  x 3x  1 x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪)12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪x 2  12 x  32‬‬
‫‪ x  2  x  5  0 )11‬‬
‫‪ x  2  x  4   35 )10‬‬
‫‪ x 2  13x  30  0 )16‬‬
‫‪ x  3 x  7   8x  56 )14‬‬
‫‪ x  x  2   89 )15‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪3x 2  12 x  0‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪  x  1 x  6   x 2  3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 4  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x  6‬‬
‫‪)13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪x 2  10 x  25  0‬‬
‫‪)02‬‬
‫‪2 x 2  2 x  24  0‬‬
:‫שוויונים ממעלה שלישית‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
 x  1 x  2  x  3  0 )01
x  x 2  x  1  0 )00
)04
 2 x
 8 x  20   3x  5  0 )03
x
x3  25 x  0
x
2
x3  6 x 2  9 x  0
2
 3x  2   x  1  0
)06
2
 3x  5   x  2   0
)05
x
)08
2
 x  6   x  1  0
x
 x  2  x  4  x  1  0 )62
2
)06
 6   x  3  0 )05
:‫שוויונים עם מנה‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x 1
 0 )61
x2  9
x 1
 3 )60
3x  2
x 3
 0 )64
2 x  10 x  12
1
0
x  16
)66
1
0
3  x  1
2x 1
0
x 5
)65
2
2
)63
1
 0 )68
x  5x  6
x 1
 1 )66
x2
1
 0 )42
2
x  8 x  12
x2  7 x  6
 0 )65
 x 2  3x  7
2
:‫ מערכת וגם‬- ‫שוויונים כפולים‬-‫אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
0
0
6
3  x  1  5 )41
1
 2 )40
x4
8  3x
 4 )44
5  2x
2 x  10 7 x  20

)43
3
5
4 x  5 3x  8 9  x


 11 )48
15
5
3
17
1 
x 1
 1 )46
x 1
6 x  38  x  3  5 x  7
)45
2x  6 x  2

4
3
)46
1 
:‫שוויונים‬-‫שאלות מסכמות – אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
x  x  5  3x  15  2 x  1  x(4  x) )52
 x  5 3x  1  0 )50
 2  x  x  7 
x  x  3 2 x  5   0 )54
5  2x
 x  8
2
 0 )53
x2  4 x
 0 )58
x2  2 x  3
x7
 0 )32
2
x  x3
2x2
x
x


)30
2
x  6x  8 x  4 x  2
3
2
1
1
 0 

)34
x 1 x
x  3 1 x
x
3
 2  x  5  0  x  8 )45
4
 x  4  x  2   0 )51
x 1
 2 x  3 x  12   0 )56
 x  1 4  x 
 x  6   x  1  0 )55
2
x2
x 3
 0 )56
x2  2
x2  6 x  9
 0 )55
x3  x
x
1
1


)31
2
x 4 x2 x2
x2  3x  10  6  5x  x 2 )36
1
? g  x 
x 1
 2 )35
x4
x 1
x
‫ מעל הפונקציה‬f  x  
‫ נמצאת הפונקציה‬x ‫) לאלו ערכי‬33
x3
x 3
:‫תשובות סופיות‬
. x  13 )8 x  12 )6 x ‫) אף‬3 x  5 )5 x  2 )4 x ‫) אף‬6 x ‫) כל‬0 x  3 )1
. 9  x  3 )10 5  x  2 )11 x  4 , x  8 )12 12  x  12 )5
. 4  x  0 )13 4  x  8 )15 x  7 , x  11 )14 x  2 , x  15 )16
. x ‫) כל‬02 x  3 , x  5 )15 x  5 , x  5 )18 0  x  4 )16
1
)06 x  0 )00 1  x  2 ‫ או‬x  3
2
2
. x  3 )05 x  0 , x  3 )08 x  2 , 1  x  3 )06 x  1 )03 x  2
3
1
2
. x   , x   )60 3  x  1 , x  3 )61 x  1 , 2  x  4
3
2
1
. x  2 )66 x  1 )63  x  5 )65 2  x  3 , x  3 )64 x  4 , x  4
2
5  x  0 , x  5 )04 2  x  1 , x 
11
)01
)05
)62
)66
1
2
. x  0 )46 x  3 )40 2  x  4 )41 x  2 , x  6 )42 1  x  6 )65 2  x  3 )68
3
2
2
)45 .  )48 1  x  13 )46 x  10 )43 2.5  x  7 )45 x  2 , x  2 )44
5
3
4
1
x  7 ,   x  2 , 5  x )50 x  2 , 1  x  4 )51 x  4 )52
3
. x  1 , 2  x  6 , 6  x )55 x  3 , 0  x  2.5 )54 . 1  x  1.5 , 4  x  12 )56
2  x  
. x  3 , 0  x  1 , x  4 )58 3  x )56 2.5  x  8 , 8  x )53
. x  2 , 2  x  4 )31 7  x )32 1  x  0 , 1  x  3 , 3  x )55
. x  7 )35 x  1 )34 x ‫) אף‬36 x  0 , 1  x  2 , 4  x )30
. 3  x  
3
, 3  x )33
5
:‫תחום הגדרה‬
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬1
f  x  2 x  3
.‫ב‬
f  x  x
.‫א‬
5x
x4
x2
.‫ד‬
f  x   3x 1  2 x
.‫ג‬
.‫ו‬
f  x   x 2  3x  10
.‫ה‬
x 1
x 2 x
.‫ז‬
f  x 
f  x 
x3  9 x
f  x 
:‫) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‬0
f  x 
f  x 
1
x x6
.‫ב‬
x2  5x  6
x 1
.‫ד‬
f  x 
f  x 
x 2 3
.‫א‬
2 x2  x  3
x2  5x  9
.‫ג‬
:‫תשובות סופיות‬
x  5 , x  2 .‫ ה‬x  4 .‫ ד‬x 
1
.‫ ג‬x  3 .‫ ב‬x  0 .‫) א‬1
2
. x  2 , 2  x  1 , 1  x  2 .‫ ז‬3  x  0 , x  3 .‫ו‬
1
2
. x  3 , 2  x  1 .‫ ד‬x  1 , x  1 .‫ ג‬6  x  2 .‫ ב‬x  7 .‫) א‬0
19
‫סדרות‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‪:‬‬
‫‪ .6‬נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית המתחילה באיבר ‪ a1‬והפרשּה הוא ‪d‬‬
‫נתונה ע"י‪ , an  a1  d  n  1 :‬כאשר‪ n :‬הוא מיקום האיבר שערכו ‪ an‬בסדרה‪.‬‬
‫‪ .0‬כלל נסיגה של סדרה חשבונית‪:‬‬
‫כלל נסיגה של סדרה חשבונית ‪ an‬שהפרשּה הוא ‪ d‬ואיברּה הראשון הוא ‪a1‬‬
‫נתון ע"י‪. an1  an  d :‬‬
‫‪ .3‬נוסחת הסכום של סדרה חשבונית‪:‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של סדרה חשבונית ‪ an‬שהפרשּה הוא ‪ d‬ואיברּה‬
‫‪n  a1  an ‬‬
‫הראשון הוא ‪ a1‬נתון ע"י‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫בהצבת נוסחת האיבר הכללי מקבלים‪:‬‬
‫‪n  2a1  d  n  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 17,11, 5,  1,  7,... :‬‬
‫מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה ‪ 23‬איברים‪.‬‬
‫‪ )0‬בסדרה חשבונית האיבר השישי הוא ‪ 65‬והאיבר העשירי הוא ‪.36‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהו הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪ )6‬מצא כמה איברים יש בסדרה החשבונית‪:‬‬
‫‪. 2, 4 12 , 7, 9 12 ,12,14 12 , ..., 49 12‬‬
‫‪ )4‬בסדרה חשבונית סכום האיברים השני‪ ,‬החמישי והשמיני הוא ‪ 87‬וההפרש בין‬
‫האיבר השנים‪-‬עשר לאיבר השישי הוא ‪.02‬‬
‫מצא כמה איברים בסדרה אם ידוע שהאיבר האחרון בה הוא ‪.026‬‬
‫‪ )5‬תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגו של שימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 2‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ ‪ 3‬קפיצות יותר‬
‫מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה‬
‫האחרונה הוא קופץ ‪ 21‬קפיצות?‬
‫‪21‬‬
‫‪ )3‬כמה מספרים תלת ספרתיים שמתחלקים ב‪ 1-‬יש בין ‪ 026‬ל‪?552-‬‬
‫‪ )6‬כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה החשבונית‪. 91, 88, 85, 82, ... :‬‬
‫‪ )8‬מצא את ערכו של ‪ x‬אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה‬
‫חשבונית‪. x  3, 3x  4, x 2 1 :‬‬
‫‪an 1  an  3‬‬
‫‪ )5‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה‪-‬עשר שלה‪.‬‬
‫‪ )12‬בסדרה חשבונית ‪ a1 , a2 , a3 ... an‬ידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים‬
‫וסכום האיברים ה‪ 1-‬עד ה‪ 9-‬הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. a5  0 :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . a3  a11  24 :‬מצא את‪ a1 :‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪ .‬מגדירים סדרה חשבונית חדשה ‪ bn‬המקיימת‪. bn  2an  3 :‬‬
‫מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי‪.‬‬
‫‪ )11‬מצא את סכום ארבעה‪-‬עשר האיברים הראשונים בסדרה החשבונית‪. 3, 2, 7,12,... :‬‬
‫‪ )10‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 13,  7,  1, 5,.... :‬‬
‫כמה איברים יש לחבר בסדרה (החל מהראשון) כדי להגיע לסכום של ‪?987‬‬
‫‪ )16‬תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגה של מימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 66‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ ‪ 0‬קפיצות‬
‫יותר מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל‬
‫אחה"צ היא קפצה ‪ 261‬קפיצות?‬
‫‪ )14‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 71,  67,  63,... :‬‬
‫כמה איברים לכל הפחות יש לחבר בסדרה כדי שהסכום המתקבל יהיה חיובי?‬
‫‪ )15‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 4 , 13 , 22 , 31 ,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 31‬איברים‪ .‬חשב את סכום ארבעה‪-‬עשר האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 4, 9,14,19,...,599 :‬‬
‫מחקו כל איבר שלישי בסדרה‪ .‬מצא את סכום האיברים שנותרו‪.‬‬
‫‪ )16‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים בסדרה חשבונית בת ‪ 3n‬איברים גדול ב‪6202 -‬‬
‫מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים שבה‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את ‪ n‬באמצעות הפרש הסדרה‪. d ,‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי הפרש הסדרה הוא ‪ .8‬כמה איברים בסדרה?‬
‫‪21‬‬
‫‪ )18‬נתונה סדרה שבה ‪. Sn  2n2  4n‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכם של שלושת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה חשבונית ומצא את הפרשה‪.‬‬
‫‪ )15‬בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה‪ , 5-‬ה‪ 7-‬וה‪61 -‬‬
‫הוא אפס‪ .‬כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא ‪.630‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום ‪.062‬‬
‫‪150 , 144 , 138 , .....‬‬
‫‪ )02‬נתונים שני טורים חשבוניים‪:‬‬
‫‪90 , 93 , 96 , .....‬‬
‫‪.‬‬
‫לשני הטורים אותו מספר איברים‪ .‬ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים‬
‫(האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר אחרון מהטור השני) הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים שבכל טור‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחברים את ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם ‪ n‬האיברים‬
‫הראשונים מהטור השני‪ .‬ידוע כי חיבור הסכומים הוא ‪.3282‬‬
‫מצא את ‪ n‬אם ידוע שהוא קטן מ‪.02-‬‬
‫‪ )01‬נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות‪ an :‬שהפרשה הוא ‪ d1‬ו‪ bn -‬שהפרשה הוא ‪. d 2‬‬
‫ידוע כי‪. d1  2d 2 :‬‬
‫סכום ‪ 52‬האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה‪02-‬‬
‫בסדרה ‪ an‬גדול ב‪ 6-‬מהאיבר העומד במקום ה‪ 37-‬בסדרה ‪. bn‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרש הסדרה ‪. d1 - an‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי האיבר ‪ a10‬קטן ב‪ 6-‬מ‪ 5-‬פעמים האיבר ‪ . b50‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. b1‬‬
‫‪ )00‬נתונה הסדרה החשבונית‪. 21,  17,  13,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 68‬איברים‪ .‬חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫‪ )06‬בסדרה חשבונית שהפרשה ‪ d‬ובה ‪ 2n‬איברים סכום האיברים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים הוא ‪ 550‬וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא ‪.160‬‬
‫הוכח כי ‪. nd  60‬‬
‫‪ )04‬בסדרה חשבונית‪ ,‬שבה מספר אי‪-‬זוגי של איברים‪ ,‬גדול סכום כל איברי הסדרה‬
‫‪14‬‬
‫פי‬
‫‪15‬‬
‫‪ 1‬מסכום איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫כמה איברים יש בסדרה?‬
‫‪22‬‬
‫‪ )05‬לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית‪. 2 x  23 , x  16 , x  5 :‬‬
‫א‪ .6 .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪ .0‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי‪ . a12  0 :‬מצא את ‪. a1‬‬
‫ג‪ .‬האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  308 :‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫‪ )03‬בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים‬
‫העומדים במקומות ה‪ 2-‬וה‪ 5-‬שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה‪ .1-‬האיבר‬
‫הראשון אינו אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪. a1  4d .6‬‬
‫‪. S9  0 .0‬‬
‫ב‪ .‬האיבר העומד במקום ה‪ 1-‬גדול ב‪ 0-‬מהאיבר העומד במקום ה‪.5-‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים‬
‫במקומות הזוגיים הוא ‪.522‬‬
‫‪ )06‬בסדרה חשבונית שבה ‪ 2n‬איברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב‪11-‬‬
‫מפעמיים סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. dn  66‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הפרש הסדרה הוא ‪ .3‬הבע באמצעות ‪ a1‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪ .687‬מצא את האיבר החיובי הקטן‬
‫ביותר בסדרה ואת מיקומו הסידורי בסדרה‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ 02 )6 d  4 , a1  5 )0 a43  235 )1‬איברים ‪ 28 )4‬איברים ‪ 65 )5‬קפיצות‪.‬‬
‫‪ 58 )3‬מספרים ‪ 36 )6‬איברים חיוביים ‪. a19  59 )5 x  1 , x  4 )8‬‬
‫‪ )12‬ב‪ a1  12 , d  3 .‬ג‪ 06 )10 S14  413 )11 b5  3 .‬איברים‪ 61 )16 .‬דקות‪.‬‬
‫‪512‬‬
‫‪ 37 )14‬איברים‪ )16 03902 )13 3127 )15 .‬א‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ )18‬א‪ a1  6, a2  10, a3  14 .‬ב‪. d  4 .‬‬
‫‪ n ‬ב‪ 02 .‬איברים‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ a1  50 , d  6 .‬ב‪ a10  4 .‬ג‪ )02 n  6 .‬א‪ n  81 .‬ב‪. n  16 .‬‬
‫‪ )01‬א‪ d1  4 .‬ב‪ )00 a1  52 , b1  95 .‬זוגיים‪ S  135 :‬זוגיים‪. S  99 :‬‬
‫‪ 09 )04‬איברים‪ )05 .‬א‪ x  50 .0 d  11 .6 .‬ב‪ a1  121 .‬ג‪. S  2156 .‬‬
‫‪ )03‬ב‪ a1  8 , d  2 .‬ג‪ )06 n  36 .‬ב‪ S  22a1  693 .‬ג‪. a9  1 .‬‬
‫‪23‬‬
‫סדרה הנדסית‪:‬‬
‫‪ .6‬נוסחת האיבר הכללי‪:‬‬
‫נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית המתחילה באיבר ‪ a1‬ומנתּה היא ‪ q‬נתונה‬
‫ע"י הנוסחה‪ , an  a1q n1 :‬כאשר‪ n :‬הוא מיקום האיבר שערכו ‪ an‬בסדרה‪.‬‬
‫‪ .0‬כלל נסיגה של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫כלל נסיגה של סדרה הנדסית ‪ an‬שמנתּה היא ‪ q‬ואיברּה הראשון הוא ‪ a1‬נתון‬
‫ע"י הקשר הבא‪. an 1  an  q :‬‬
‫‪ .3‬נוסחת הסכום של סדרה הנדסית‪:‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של סדרה הנדסית ‪ an‬שמנתּה היא ‪ q‬ואיברּה‬
‫הראשון הוא ‪ a1‬נתון ע"י‪:‬‬
‫‪a1  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הסדרה ההנדסית‪. 1 , 1 , 1, 3,... :‬‬
‫‪9 3‬‬
‫מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה ‪ 9‬איברים‪.‬‬
‫‪ )0‬מצא כמה איברים יש בסדרה ההנדסית‪:‬‬
‫‪. 9 , 3 , 1 ,..., 64‬‬
‫‪81‬‬
‫‪64 16 4‬‬
‫‪ )6‬בסדרה הנדסית האיבר השישי הוא ‪ 8‬והאיבר העשירי הוא ‪.608‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )4‬בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השביעי לאיבר החמישי הוא ‪ 230‬וההפרש בין‬
‫האיבר החמישי לשלישי הוא ‪ .28‬מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )5‬בסדרה הנדסית עולה ההפרש בין האיבר השמיני לאיבר הרביעי הוא ‪3602‬‬
‫וסכום האיברים השני והרביעי הוא ‪.5.0‬‬
‫מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ )3‬תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגו של שימי הוא‬
‫לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 2‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי ‪ 3‬קפיצות מדקה‬
‫הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה האחרונה‬
‫הוא קופץ ‪ 302‬קפיצות?‬
‫‪ )6‬מצא את ערכו של ‪ x‬אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה‬
‫הנדסית‪ . x  6, x  4, 4 x  1 :‬מצא גם את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪an1  2an‬‬
‫‪ )8‬נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  3‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה‪.‬‬
‫‪ )5‬מצא את סכום תשעת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית‪. 5,10, 20, 40,.... :‬‬
‫‪ )12‬תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב‪ .‬מנהגה של מימי‬
‫הוא לקפוץ בדקה הראשונה ‪ 0‬קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי ‪ 5‬קפיצות‬
‫מדקה הקודמת‪ .‬כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל‬
‫אחה"צ היא קפצה ‪ 6510‬קפיצות?‬
‫‪ )11‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים בסדרה הנדסית בת ‪ 3n‬איברים שמנתה ‪ ,0‬גדול‬
‫פי ‪ 051‬מסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בה‪ .‬כמה איברים בסדרה?‬
‫‪ )10‬בסדרה הנדסית עולה שבה ‪ n‬איברים‪ ,‬סכום ‪ n  3‬האיברים האחרונים גדול‬
‫פי ‪ 8‬מסכום ‪ n  3‬האיברים הראשונים בה‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )16‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית הוא ‪ .050‬האיבר האחרון בסדרה גדול‬
‫ב‪ 602 -‬מהאיבר השני בה‪ .‬מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע שמנתה ‪.0‬‬
‫‪ )14‬המספרים‪ x  13 , x  9 , 2x  3 :‬הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה‬
‫הנדסית עולה שכל איבריה חיוביים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫ב‪ .6 .‬כתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו‪.‬‬
‫‪ .0‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.68752‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  511 :‬‬
‫מצא את סכום ‪ 7‬האיברים האחרונים בסדרה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ )15‬נתונה הסדרה הבאה‪ . 4 , 12 , 36 ,...., an :‬מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית‬
‫מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה ‪ bn‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  a2  3 , b3  a3  4 , ...... , bn  an  n1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫‪. b1  a1 ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ an‬ובין‬
‫‪2‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה ‪ bn‬שסכומם מהווה‬
‫‪9‬‬
‫מ‪. a8 -‬‬
‫‪ )13‬נתונה הסדרה ההנדסית‪. 7, 14, 28,... :‬‬
‫בסדרה יש ‪ 8‬איברים‪ .‬חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫‪ )16‬בסדרה הנדסית ובה ‪ 2n‬איברים סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי ‪2‬‬
‫מסכום האיברים במקומות האי‪-‬זוגיים‪ .‬חשב את מנת הסדרה‪.‬‬
‫‪ )18‬נתונה סדרה הנדסית שמנתה ‪ q‬ובה מספר זוגי של איברים‪.‬‬
‫בטא באמצעות ‪ q‬את היחס בין סכום איברי הסדרה כולה לסכום האיברים‬
‫הנמצאים במקומות הזוגיים שבה‪.‬‬
‫‪ )15‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n  1‬איברים‪ ,‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים קטן פי ‪9‬‬
‫מסכום ‪ n‬האיברים הבאים אחריהם‪ .‬האיבר האחרון בסדרה גדול ב‪ 32-‬מהאיבר‬
‫הראשון שבה‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪ )02‬א‪ .‬הראה כי בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n‬איברים היחס בין סכום האיברים‬
‫העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים‬
‫במקומות האי‪-‬זוגיים קטן פי ‪ 2‬מסכום כל איברי הסדרה‪ .‬האיבר הראשון בסדרה זו‬
‫קטן ב‪ 0-‬ממנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.302‬‬
‫‪ )01‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 60‬איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי ‪ 3‬מסכום האיברים‬
‫כאשר מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא ‪.8‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ )00‬באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה‪ .‬לכבוד יום הולדתו הכין‬
‫לו השר הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל ‪ 05‬משבצות ו‪ 0-‬חיילי משחק‪.‬‬
‫המלך‪ ,‬מרוב התלהבות ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה‬
‫ירצה בתמורה‪ .‬השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת‬
‫לשר מחצית מכל אוצרות הממלכה המונים כ‪ 22-‬מיליון אבנים יקרות‪ .‬לאחר‬
‫ששמע על כך השר‪ ,‬הוא החליט לאתגר את המלך והעלה את ההצעה הבאה‪:‬‬
‫תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות המשחק באופן הבא‪:‬‬
‫כנגד המשבצת הראשונה ‪ -‬אבן אחת‪,‬‬
‫כנגד השנייה ‪ -‬שתי אבנים‪,‬‬
‫כנגד השלישית ‪ -‬ארבע אבנים וכן הלאה‪...‬‬
‫המלך הסכים להצעה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק?‬
‫ב‪ .‬העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות‪-‬ערך‬
‫יותר מהחלטת המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר‪ ,‬הציעה בתו של המלך הצעה‬
‫נוספת והיא‪ :‬תן עבור כל משבצת זוגית ‪ 2n‬אבנים‪,‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר המשבצת‪ .‬האם כדאי למלך לקבל את הצעת בתו או‬
‫להישאר עם ההצעה המקורית של השר?‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪a9  729 )1‬‬
‫‪n  7 )0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, q  2 )6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a1  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. q  3, a1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 5 )3 q  5, a1 ‬דקות‪, x  11 q  3 )6 .‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5 )12 S9  2555 )5 a8  384 )8‬דקות‪. n  6 )16 q  2 )10 . n  12 )11 .‬‬
‫‪.x   q ‬‬
‫‪ )14‬א‪ x  14 .‬ב‪ .0 an  5n1 .6 .‬ג‪ a6 , a7 .‬ג‪. S7*  61, 034,375 .‬‬
‫‪ )15‬א‪ q  3 .‬ג‪ )13 b5 , b6 .‬אי‪-‬זוגיים‪ S  595 :‬זוגיים‪. q  4 )16 S  1190 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪ )02 a1  )15‬א‪.‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪8‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Sn ( o‬‬
‫‪S2 n‬‬
‫ב‪ an  3n1 .‬ג‪. a5 , a6 .‬‬
‫‪ )01‬א‪ q  2 .‬ב‪ a1  1 .‬ג‪. S6( p )  2730 .‬‬
‫‪ )00‬א‪ a25  16,777, 216 .‬ב‪ .‬לפי הצעת השר יהיו לו ‪ 33,554,431‬אבנים ולפי הצעת‬
‫המלך יהיו לו ‪ 02,222,222‬אבנים ג‪. Sn  22,369,620 , 4,16, 64,..., 224 .‬‬
‫‪27‬‬
‫סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫‪ .6‬הגדרה‪:‬‬
‫סדרה הנדסית ‪ an‬המקיימת‪  q  0  , q  1 :‬נקראת סדרה הנדסית אינסופית‬
‫מתכנסת‪.‬‬
‫‪ .0‬נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ‪ an‬ניתן לחישוב ע"י שימוש‬
‫בכלל‪q n  0 :‬‬
‫‪ lim‬והצבתו בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪a1‬‬
‫מתקבל הכלל הבא‪:‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪.S ‬‬
‫‪ .3‬סכום סופי של איברים בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‪:‬‬
‫‪ ‬כאשר מתבקשים לחשב סכום של ‪ n‬איברים ראשונים בסדרה הנדסית‬
‫אינסופית מתכנסת יש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה‪:‬‬
‫‪a1  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫‪ ‬כאשר מתבקשים לחשב סכום של ‪ n‬איברים בסדרה הנדסית אינסופית‬
‫מתכנסת המתחילים באיבר ‪ ak‬יש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪ak  q n  1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫‪21‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )1‬מצא את סכום כל איברי הסדרה ההנדסית הבאה‪. 12 , 4 , 1 , ... :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )0‬סכום כל איברי סדרה הנדסית אינסופית שמנתה‬
‫‪4‬‬
‫הוא ‪.30‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ .10.5‬ידוע כי האיבר השני‬
‫בסדרה הוא ‪ .62‬מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה (שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫‪ )4‬האיבר הראשון בסדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא ‪ .62‬סכום האיברים‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫במקומות הזוגיים הוא ‪ . 9‬מצא את סכום האיברים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬שתי השאלות הבאות מסכמות את סוגי הסכומים וייצוג סדרות שונות באמצעות סדרה‬
‫נתונה כפי שמקובל בנושא זה ואינן מייצגות אורך של שאלת בגרות‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ‪ an‬שמנתּה ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫מגדירים שלוש סדרות חדשות‪ cn , bn :‬ו‪ d n -‬באופן הבא‪:‬‬
‫הסדרה‪:‬‬
‫‪bn‬‬
‫הכלל‪:‬‬
‫‪cn‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪b1  a1‬‬
‫‪c1  a  a‬‬
‫‪d1  S a  a1‬‬
‫‪b2  a1  a2‬‬
‫‪c2  a32  a22‬‬
‫‪d 2  S a  a2‬‬
‫‪b3  a1  a2  a3‬‬
‫‪c3  a42  a32‬‬
‫‪d3  S a  a3‬‬
‫‪bn  a1  a2  a3  ..  an  S a n ‬‬
‫‪cn  an21  an2‬‬
‫‪d n  S a  an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הסכום ‪ S a‬הוא סכום הסדרה ‪ , an‬והסכום‪ Sa n  :‬הוא סכום ‪ n‬האיברים‬
‫הראשונים של הסדרה ‪. an‬‬
‫א‪ .‬קבע אלו מבין הסדרות ‪ cn , bn‬ו‪ d n -‬הן הנדסיות והבע את מנתן ע"י ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a1‬בלבד את סכום הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים את סכום ריבועי האיברים של הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף א'‬
‫ב‪ . S S  -‬הוכח כי לא קיים ערך של ‪ q‬עבורו סכום ריבועי האיברים ‪ , S S  ,‬שווה‬
‫לסכום הסדרה הנ"ל בריבוע‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪ )3‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪ an :‬שמנתה ‪. q‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  S2*  2 , b3  S3*  3 ,..., bn  Sn*  n ,..‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫כאשר‪ Sn* :‬מייצג את סכום הסדרה ‪ an‬החל מהאיבר ‪( an‬ועד אינסוף)‪.‬‬
‫‪. b1  S1* ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא גם הנדסית אינסופית יורדת וכתוב את נוסחת‬
‫האיבר הכללי שלה באמצעות ‪ a1‬ו‪. q -‬‬
‫ידוע כי סכום הסדרה ‪ bn‬הוא ‪ 601‬וכי סכום ‪ 8‬האיברים הראשונים‬
‫בסדרה ‪ an‬גדול פי ‪ 1512‬מהאיבר התשיעי בסדרה ‪ . bn‬מצא את ‪ a1‬ו‪. q -‬‬
‫היעזר בסעיף הקודם והוכח כי מתקיים‪. b2  b3  ...  bn  ...  42 :‬‬
‫חשב את סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫חשב את סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫כך שנוצרת הסדרה‪ . bn* :‬חשב את סכום הסדרה *‪. bn‬‬
‫מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה ‪. bn‬‬
‫כך שנוצרת הסדרה‪ . bn** :‬חשב את סכום הסדרה **‪. bn‬‬
‫מעלים בריבוע את כל איברי הסדרה ‪ . bn‬מסמנים את הסכום המתקבל ב‪S S  -‬‬
‫(מלשון‪ .)square :‬כמו כן‪ ,‬מסמנים את סכום הסדרה המקורית ‪ bn‬ב‪. Sb -‬‬
‫הראה כי‪. Sb2  S S  :‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכח כי היחס בין סכום איברי הסדרה ‪ an‬וסכום איברי הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫*הערה‪ :‬השאלות הבאות הינן שאלות מסכמות ברמת בגרות‪:‬‬
‫‪ )6‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ .02‬מאיברי הסדרה הנתונה‬
‫יצרו את סדרה חדשה באופן הבא‪. a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 , a4  a5 , ... :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא ‪.30‬‬
‫מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה המקורית‪.‬‬
‫‪ )8‬בסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ an‬ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫האי‪-‬זוגיים גדול פי ‪ 1‬מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה ‪. bn‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬גם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי סכום הסדרה ‪ bn‬שווה לסכום הסדרה ‪. an‬‬
‫ד‪ .‬סכום שתי הסדרות יחד הוא ‪ .6222‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ‪. an‬‬
‫‪31‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  0  q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a2  a5  a6  a9  a10 , ... , V  a3  a7  a11  ... :‬‬
‫נתון כי‪. T  6V :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה קטן ‪ V‬מסכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה?‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫האי‪-‬זוגיים הוא ‪. 1365‬‬
‫‪ )12‬נתונה הסדרה ההנדסית הבאה‪ a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :‬שמנתה היא ‪. q‬‬
‫בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא‪:‬‬
‫‪. a12 , a22 , a32 , ..... , a22n‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין‬
‫סכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה הנתונה תלוי רק‬
‫באיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ 122‬ידוע כי סכום ‪ 62‬האיברים‬
‫הראשונים כאשר מעלים אותם בריבוע גדול פי ‪ 302‬מסכום ‪ 62‬האיברים‬
‫הראשונים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר ‪ an‬כלשהו‪.‬‬
‫ידוע כי סכום זה קטן פי ‪ 61‬מסכום הסדרה המקורי‪.‬‬
‫מצא את האיבר ‪. an‬‬
‫‪ )11‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a3  a6  a8  a11  a13 , ... , V  a2  a7  a12  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. V  0.3T :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫ומתקבלת סדרה חדשה שסכומה הוא ‪.60‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע‪ .‬חשב את סכום הסדרה כעת‪.‬‬
‫‪31‬‬
:‫תשובות סופיות‬
S  18
2
)4
3
4
1
1
q  , a1  12 ‫ או‬q  , a1  50 )6
5
5
2
a1  24 )0 S  18 )1
: bn ‫ הסדרה‬.‫) א‬5
an 1  q n 1  1
an 1  q n 1  1
bn 1 Sn 1 Sn 1
q n 1  1
q 1





q

bn
Sn
Sn
qn 1
an  q n  1
an  q n  1
q 1
.‫ היא אינה הנדסית‬n -‫היות והיא תלויה ב‬
2 2
2
cn 1 an2 2  an21 an2 q 4  an2 q 2 an q  q  1
.
 2
 2 2
 2 2
 q 2 :‫ הנדסית‬cn :‫הסדרה‬
cn
an 1  an2
an q  an2
an  q  1
: d n ‫הסדרה‬
a1
a
a1 1  1  q  q n  q n  q n 1  1
bn 1 S  an 1 1  q n 1 a1  1  q  an 1




 n 1 n
n 1
a1
bn
S  an
a

1

q
a
q  q 1
a
1

1

q
q






1
n
1
 an
1 q
.‫ היא אינה הנדסית‬n -‫היות והיא תלויה ב‬
. S c  
n
2
2
c1
a 2  a 2 a1  q  1
 2 21 
 a12 .‫ב‬
2
1  qc 1  q
1 q
. q  0, 1 :‫ מקבלים כי פתרון המשוואה הוא‬S( s )  S 2 :‫ מההשוואה‬.‫ג‬
.‫ היא שבר‬an ‫כולם נפסלים מכיוון שמנת הסדרה הנתונה‬
‫ עבורו‬q ‫ הסדרות אינן מתכנסות ולכן לא קיים ערך של‬q  1 ‫עבור‬
.‫ מש"ל‬.‫השיוויון יתקיים‬
-13 .‫ ז‬13 .‫ ו‬92.5 .‫ ה‬36.5 .‫ ד‬a1  56 , q 
a
1
.‫ ב‬bn  1 q n1 .‫) א‬3
1 q
3
.  b1  b2  ...  bn  ..2 :‫ משמעו‬S 2 :‫ הסכום‬.‫ ט‬7938 .‫ח‬
.‫ ברור כי הביטויים אינם שווים‬. b12  b22  ...  bn2  .. :‫ משמעו‬S( s ) :‫הסכום‬
. a1  200 .‫ד‬
1
bn 1 a2 n 1  a2 n  2

 q 2 .‫ ב‬q  0.6 .‫) א‬8 . a1  16, q  .‫) ב‬6
3
bn
a2 n 1  a2 n
1
.‫) א‬5
2
1
. S  288 .‫ ג‬a1  16 .‫ ב‬q  .‫) א‬11
3
. a5  20 .‫ ג‬q  0.5 .‫) ב‬12 a1  1024 .‫ ג‬5 ‫ פי‬.‫ ב‬q 
32
‫סדרת נסיגה‪:‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪an 1  an  2n  11‬‬
‫‪ )1‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  6‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר השלישי בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי האיבר השלושה‪-‬עשר בסדרה הוא ‪ . 18‬מצא את ‪ a14‬ו‪. a12 -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון כי האיבר השלושים ואחת בסדרה הוא ‪ . k‬הבע באמצעות ‪ k‬את ‪ a32‬ו‪. a30 -‬‬
‫ד‪ .‬מצא את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא ‪.663‬‬
‫ה‪ .‬הסבר מדוע אין שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא ‪.10‬‬
‫‪an1  an  2n‬‬
‫‪ )0‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a1  0‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון כי ‪ . ak  72‬הבע באמצעות ‪ k‬את ‪. ak  2‬‬
‫‪an 1  2an  n 2  31‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪a7  t‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ t‬שבעבורו האיברים ‪ a7 , a8 , a9‬הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית‪.‬‬
‫‪ )4‬סדרה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ an‬מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  6n  2 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ bn‬באופן הבא‪. bn  an 1  an :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה ‪ bn‬היא סדרה חשבונית ומצא את הפרשה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪. b1‬‬
‫‪ )5‬סדרה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ an‬מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא‪. an1  3an  4 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא ‪ bn‬באופן הבא‪. bn  an  2 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . b5  162 :‬חשב את ‪. a1‬‬
‫‪ )3‬סדרה מוגדרת ע"י הכלל‪. a1  3 , an1  3an  10n  5 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. bn  an  5n :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את האיבר ‪. b5‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הסכום‪. b2  b4  b6  .....  b12 :‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ )6‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי ע"י הנוסחה‪. a1  k , an1  8n  an  3 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים וסדרת האיברים‬
‫העומדים במקומות הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום ‪ 02‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪ )8‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪4  7 an‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה לפי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. a1  2 , an 1 ‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית ומצא את הפרשּה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b2  b4  b6  .....  b22 :‬‬
‫‪ )5‬אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר‪.‬‬
‫ההצעה הראשונה‪:‬‬
‫לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 6222‬ובכל תשלום שאחריו סכום‬
‫הגדול ב‪ ₪ 522-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ההצעה השנייה‪:‬‬
‫לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 7022‬ובכל תשלום שאחריו סכום‬
‫הקטן ב‪ ₪ 252-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב‪ 2-‬ממספר התשלומים‬
‫שבהצעה הראשונה‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה מחיר הרכב?‬
‫‪ )12‬סדרה מקיימת את כלל הנסיגה‪. a1  1 , an1  3n  an  7 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪ 5‬האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. an2  an  3 :‬‬
‫ג‪ .‬כתוב נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. a1  a3  a5  .......  a17 :‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ )11‬סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  2  3n  2 :‬‬
‫א‪ .6 .‬הבע את ‪ an 2‬באמצעות ‪. an‬‬
‫‪ .0‬מצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב‪ 150-‬מהאיבר העומד‬
‫שני מקומות לפניו‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י‬
‫כלל הנסיגה הנ"ל היא‪. Sn  1.5  3n  n2  n  1.5 :‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a6  a7  a8  ....  a11 :‬‬
‫ג‪ .‬מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל?‬
‫‪2an‬‬
‫‪ )10‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪. a1  6 , an 1 ‬‬
‫‪an  3‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה ל‪ bn -‬באמצעות ‪ n‬בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הסכום הבא‪. b1  b2  b3  b4  .....  b10 :‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ a3  22 .‬ב‪ a12  5 , a14  33 .‬ג‪ a30  k  49 , a32  k  51 .‬ד‪. a62 , a63 .‬‬
‫‪ak 2  74  4k )0‬‬
‫‪ )4 t  33 )6‬א‪ . d  6 .‬ב‪ )5 b1  4 .‬א‪ . q  3 .‬ב‪. a1  0 .‬‬
‫‪ )3‬א‪ bn1  3bn .‬ב‪ b5  648 .‬ג‪. S  1594320 .‬‬
‫‪ )6‬א‪ a4  19  k , a3  k  8 , a2  11  k , a1  k .‬ב‪ 8 .‬ג‪.832 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )8‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )5 S11 p   267‬א‪ 60 .‬לפני הראשונה ו‪ 8-‬לפני השנייה ב‪.₪ 25,222 .‬‬
‫‪ )12‬א‪ a1  1 , a2  -5 , a3  4 , a4  -2 , a5  7 .‬ג‪ Sn (o )  1.5n2  0.5n .‬ד‪. S9( o )  117 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ a4 .0 an2  an  8  3n  4 .6 .‬ב‪ S611  265458 .‬ג‪. a1  5 .‬‬
‫‪ )12‬א‪ q  2.5 .‬ב‪ bn  1.5  2.5n1 .‬ג‪S10*  4086.74 .‬‬
‫‪33‬‬
‫‪.‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫בעיות תנועה‪:‬‬
‫‪ )1‬בשעה ‪ 8 : 00‬בבוקר יצא הולך רגל מקיבוץ לכיוון חיפה‪ .‬באותה שעה יצא רוכב‬
‫קטנוע מחיפה לאותו הקיבוץ‪ .‬שניהם נעו באותו כביש ומהירויותיהם לא השתנו‬
‫בזמן התנועה‪ .‬מהירות רוכב הקטנוע הייתה גדולה ב‪ 12 -‬קמ"ש מזו של הולך‬
‫הרגל‪ 50 .‬דקות לאחר השעה ‪ 8 : 00‬הולך הרגל ורוכב הקטנוע טרם נפגשו וידוע‬
‫כי המרחק ביניהם היה ‪ 16‬ק"מ‪ 30 .‬דקות לאחר פגישתם הגיע רוכב הקטנוע‬
‫לקיבוץ‪ .‬מצא את מהירות הולך הרגל ואת המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה‪.‬‬
‫‪ )0‬סירת מנוע נעה בין שתי נקודות ציון‪ .‬הסירה עוברת את המרחק שבין הנקודות‬
‫הלוך ושוב במשך ‪ 14‬שעות‪ .‬המרחק בין שתי נקודות הציון הוא ‪ 48‬ק"מ‪ .‬ידוע‬
‫כי באותו הזמן שעוברת הסירה מרחק של ‪ 4‬ק"מ עם הזרם היא עוברת רק ‪3‬‬
‫ק"מ נגד הזרם‪ .‬מהי מהירות זרם המים בנהר ומהי מהירות הסירה במים‬
‫עומדים?‬
‫‪ )6‬אוטובוס יוצר לדרך שאורכה ‪ 500‬ק"מ‪ ,‬ומהירותו קבועה‪ .‬אחרי נסיעה של‬
‫שעתיים‪ ,‬הקטין נהג האוטובוס את המהירות‪ ,‬ולכן איחר בשעה אחת בדיוק‪.‬‬
‫לו היה נוסע הנהג במהירות הנמוכה לאורך כל הדרך היה מאחר ליעדו בשעה‬
‫וארבעים דקות‪ .‬מצא את מהירותו הרגילה של האוטובוס‪.‬‬
‫‪ )4‬שני רוכבי אופניים יצאו בבת אחת זה לקראת זה ממקומות ‪ A‬ו‪ , B -‬האחד‬
‫מ‪ A -‬ל‪ B -‬והשני מ‪ B -‬ל‪ . A -‬הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך לנוע ליעד‬
‫בלי להתעכב‪ .‬רוכב האופניים מ ‪ A‬הגיע ל‪ 4 B -‬שעות לאחר הפגישה‪ ,‬ואילו‬
‫רוכב האופניים מ‪ B -‬הגיע ל‪ 9 A -‬שעות לאחר הפגישה‪ .‬מהירויות רוכבי‬
‫האופניים לא השתנו בשעות התנועה‪ .‬בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי‬
‫האופניים את המרחק בין המקומות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪ )5‬במגרש ספורט מדדו שני ספורטאים את אורכו של מסלול ריצה‪ .‬כשהם יוצאים‬
‫משני קצותיו‪ ,‬זה לקראת זה‪ .‬לאחר שצעדו כל אחד ‪ 50‬צעדים‪ ,‬נשאר ביניהם‬
‫מרחק של ‪ 17‬מטרים‪ .‬כל צעד של הספורטאי הראשון היה קצר ב‪ 10 -‬ס"מ‬
‫מצעדו של הספורטאי השני‪ .‬את המסלול כולו עובר הספורטאי הראשון ב‪24 -‬‬
‫מטרים יותר מאשר הספורטאי השני‪ .‬הצעדים של כל אחד מהספורטאים לא‬
‫השתנו באורכם במשך המדידה‪ .‬מהו אורך מסלול הריצה?‬
‫‪ )3‬המרחק מקיבוץ לחיפה הוא ‪ 40‬ק"מ‪ .‬בשעה ‪ 7‬בבוקר יצא טנדר ובו דברי דואר‬
‫מן הקיבוץ לחיפה‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות יצאה אחריו מכונית מן הקיבוץ במהירות‬
‫‪36‬‬
‫של ‪ 45‬קמ"ש כדי להוסיף את החבילה על דברי הדואר‪ .‬היא הדביקה את הטנדר‬
‫וחזרה מיד לקיבוץ‪ .‬ברגע שעברה את מחצית הדרך ממקום הפגישה עם הטנדר‬
‫לקיבוץ‪ ,‬הגיע הטנדר לחיפה‪ .‬מהירות הטנדר ומהירות המכונית לא השתנו בזמן‬
‫הנסיעה‪ .‬מצא את מהירות הטנדר‪.‬‬
‫‪ )6‬שני תיירים יצאו ביחד מ‪ A -‬ל‪ . B -‬התייר הראשון לא התעכב בדרכו והגיע ל‪B -‬‬
‫‪1‬‬
‫לאחר ‪ 2‬שעות‪ .‬התייר השני‪ ,‬לאחר שעבר‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫מהדרך‪ ,‬חזר ל‪ A -‬שהה שם‬
‫‪15‬‬
‫דקות ואחר‪-‬כך הלך ל‪ . B -‬שני התיירים הגיעו ל‪ B -‬באותו זמן‪ .‬התייר השני עבר‬
‫כל קילומטר ‪ 4‬דקות פחות מהתייר הראשון‪ .‬מהירות ההליכה של שני התיירים‬
‫לא השתנתה בעת ההליכה‪ .‬מצא את מהירותו (בקמ"ש) של כל אחד מהתיירים‪.‬‬
‫‪ )8‬על שפת הנהר נמצאות שלוש תחנות של ספינות דיג‪ B , A :‬ו‪ . C -‬התחנה ‪B‬‬
‫נמצאת בין ‪ A‬ל‪ , C -‬במרחק ‪ 12‬ק"מ מ‪ . C -‬כיוון זרם המים בנהר הוא מ‪A -‬‬
‫ל‪ . C -‬ספינת דיג שלה מנוע קטן עוברת את הדרך מ‪ A -‬ל‪ C -‬ב‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫ספינת הדיג שלה מנוע גדול‪ ,‬שמהירותה גדולה פי ‪ 3‬ממהירות הספינה עם המנוע‬
‫הקטן‪ ,‬עוברת את הדרך מ‪ B -‬ל‪ C -‬ב‪ 45 -‬דקות‪.‬‬
‫מצא את מהירות זרם המים בנהר‪.‬‬
‫‪ )5‬שלושה כלי רכב יצאו זה אחר זה בבוקר אחד מתל אביב לאילת‪ .‬אופנוע יצא‬
‫בשעה ‪ , 7 : 00‬מכונית משא ב‪ 8 : 00 -‬ומונית ב‪ 02( 8 : 24 -‬דקות אחרי השעה ‪.) 8 : 00‬‬
‫מהירויותיהם היו קבועות והן היו סדרה חשבונית‪ .‬המונית הדביקה את רוכב‬
‫האופנוע חצי שעה לאחר שהדביקה את מכונית המשא‪ ,‬ומכונית המשא הדביקה‬
‫את רוכב האופנוע במרחק ‪ 180‬ק"מ מתל אביב‪ .‬שלושת כלי הרכב נעו כולם באותו‬
‫מסלול‪ .‬מצא את מהירויות כלי הרכב‪.‬‬
‫‪ )12‬משאית יצאה מתל אביב למחנה צבאי בדרום‪ .‬אחריה יצא אוטובוס במהירות‬
‫הגדולה ב‪ 12 -‬קמ"ש ממהירותה‪ ,‬והוא הגיע למחנה באותו הזמן שהיא הגיעה‪.‬‬
‫שעתיים וחצי לפני שהגיעו למחנה‪ ,‬וכשהאוטובוס היה כבר בנסיעה‪ ,‬יצא‬
‫לקראתם מן המחנה רוכב אופנוע שמהירותו גדולה פי ‪ 2‬ממהירות המשאית‪.‬‬
‫הוא פגש את המשאית ‪ 10‬דקות לפני שפגש את האוטובוס‪ .‬כל כלי הרכב נסעו‬
‫באותו כביש‪ ,‬ומהירויותיהם לא השתנו בזמן הנסיעה‪ .‬מצא את מהירותה של‬
‫המשאית‪.‬‬
‫‪ )11‬המרחק בין עיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬הוא ‪ 300‬ק"מ‪ .‬משאית יצאה מעיר ‪ A‬ונסעה‬
‫במהירות קבוע של ‪ V‬קמ"ש לכיוון עיר ‪ . B‬בדרכה חזרה הגדילה המשאית את‬
‫מהירותה ב‪ U -‬קמ"ש‪ ,‬כלומר נסעה במהירות של ‪ U  V‬קמ"ש‪ .‬ידוע‬
‫שהמהירות הממוצעת של המשאית בכל דרכה (הלוך וחזור)‪ ,‬הייתה ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫אילו המשאית הייתה חוזרת מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬במהירות ‪ V  U‬קמ"ש‪ ,‬אזי‬
‫המהירות הממוצעת בכל הדרך (הלוך וחזור) הייתה רק‬
‫‪100‬‬
‫‪3‬‬
‫קמ"ש‪.‬‬
‫חשב את המהירויות ‪ V‬ו‪.U -‬‬
‫‪ )10‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא ‪ 64‬ק"מ‪ .‬רוכב אופניים יצא מנקודה ‪A‬‬
‫לכיוון נקודה ‪ B‬ונסע במהירות קבועה‪ 40 .‬דקות לאחר שיצא לדרכו‪ ,‬יצא‬
‫מנקודה ‪ A‬לכיוון נקודה ‪ B‬רוכב קטנוע שנסע במהירות קבועה של ‪ 36‬קמ"ש‪.‬‬
‫רוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה ‪ C‬ומיד הסתובב וחזר על‬
‫עקבותיו באותה מהירות לנקודה ‪ . A‬רוכב האופניים שהמשיך בנסיעתו בלי‬
‫עיכובים‪ ,‬הגיע לנקודה ‪ B‬ברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מ‪ C -‬ל‪. A -‬‬
‫מצא את מהירות רוכב האופניים‪.‬‬
‫‪ )16‬הזמן הדרוש לגוף ראשון לעבור ‪ 160‬ק"מ ארוך ב‪ 5 -‬שעות מן הזמן הדרוש לגוף‬
‫שני לעבור ‪ 90‬ק"מ‪ .‬מהירות הגוף הראשון גדולה ב‪ m -‬קמ"ש ממהירות הגוף‬
‫השני ( ‪.) m  0‬‬
‫א‪ .‬בטא באמצעות ‪ m‬את מהירות הגוף השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאלו ערכים של ‪ m‬יקבלו מהירויות הגופים ערכים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫‪ )14‬שני כלי רכב יצאו מנקודה ‪ A‬בו זמנית בשעה ‪ 27:22‬בבוקר ונסעו לנקודה ‪, B‬‬
‫לפגישה שתוכננה להתקיים בשעה ‪ 62:22‬בבוקר‪ .‬הרכב הראשון הגיע לפגישה‬
‫בזמן והרכב השני שנסע במהירות הקטנה ב‪ 61-‬קמ"ש ממהירות הרכב הראשון‬
‫הגיע לפגישה ‪ 28‬דקות מאוחר יותר‪ .‬מצא את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫וחשב את המהירות של כל אחד מכלי הרכב‪.‬‬
‫‪ )15‬המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬הוא ‪ 312‬ק"מ‪ .‬נהג משאית תכנן לעבור את כל הדרך מ‪A -‬‬
‫‪1‬‬
‫מהדרך הגביר הנהג את‬
‫ל‪ B -‬במהירות קבועה של ‪ x‬קמ"ש‪ .‬לאחר שעבר‬
‫‪4‬‬
‫מהירותו ל‪  x  15 -‬קמ"ש‪ ,‬ולכן הגיע לנקודה ‪ B‬שעה וחצי לפני המועד‬
‫המתוכנן‪ .‬חשב את ‪. x‬‬
‫‪ )13‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ל‪ B -‬בנהר הוא ‪ x‬ק"מ‪ .‬הנהר זורם מ‪ A -‬ל‪B -‬‬
‫במהירות של ‪ 1‬קמ"ש‪ .‬אדם שט מ‪ A -‬ל‪ B -‬וחוזר חזרה מ‪ B -‬ל‪ . A -‬סך כל הזמן‬
‫שארך השיט היה ‪ 8‬שעות‪ .‬אלו לא היה זרם בנהר‪ ,‬האדם היה שט את הדרך‬
‫הלוך ושוב בזמן של ‪ 1‬שעות‪ .‬מה המרחק בין שתי הנקודות ‪ A‬ו‪, B  x  ?  -‬‬
‫ומה הייתה מהירותו בלי מהירות זרם הנהר?‬
‫‪31‬‬
‫‪ )16‬המרחק בין שתי ערים הוא ‪ 252‬ק"מ‪ .‬משאית יצאה לדרכה מעיר אחת לשנייה‪.‬‬
‫לאחר שנסעה במהירות קבועה במשך שעתיים‪ ,‬נאלצה להתעכב במשך ‪ 22‬דקות‬
‫בגלל תקלה‪ .‬לאחר תיקון התקלה המשיכה המשאית מיד בדרכה‪ ,‬אך במהירות‬
‫קבועה הגדולה ב‪ 5-‬ק"מ לשעה ממהירותה הקודמת‪ .‬המשאית הגיעה לעיר‬
‫השנייה ‪ 05‬דקות לאחר הזמן שתוכנן מראש‪ .‬מה הייתה מהירות המשאית לפני‬
‫התקלה?‬
‫‪ )18‬רכבת משא נוסעת מידי יום במהירות קבועה מתחנה ‪ A‬לתחנה ‪ . B‬המרחק בין‬
‫‪1‬‬
‫‪ A‬ל‪ B -‬הוא ‪ 682‬ק"מ‪ .‬יום אחד‪ ,‬אחרי שעברה‬
‫‪3‬‬
‫מהדרך‪ ,‬עצרה הרכבת עצירה‬
‫לא מתוכננת מראש למשך ‪ 32‬דקות‪ .‬כדי שהרכבת תספיק להגיע ל‪ B -‬על פי לוח‬
‫הזמנים הרגיל‪ ,‬היה צריך להגביר את מהירותה לאחר העצירה ב‪ 02-‬קמ"ש‪.‬‬
‫מצא את המהירות הרגילה של הרכבת‪.‬‬
‫‪ )15‬בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬מובילות שתי דרכים‪ .‬הדרך הראשונה אורכה ‪ 12‬ק"מ‪,‬‬
‫והדרך השנייה ארוכה ממנה ב‪ .02%-‬רוכב קטנוע נסע מ‪ A -‬ל‪ B -‬בדרך הקצרה‬
‫במהירות קבועה‪ ,‬וחזר בדרך הארוכה במהירות קבועה‪ ,‬הגדולה ב‪ 1-‬קמ"ש‬
‫ממהירותו הראשונה‪ .‬זמן הנסיעה בחזרה (מ‪ B -‬ל‪ ) A -‬היה ארוך ב‪ 5-‬דקות‬
‫מזמן הנסיעה מ‪ A -‬ל‪ . B -‬מצא את המהירות שבה נסע רוכב הקטנוע בכל כיוון‬
‫ואת זמן הנסיעה (הלוך ושוב)‪.‬‬
‫‪ )02‬רוכב אופניים עובר בדרך כלל את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬במהירות קבועה במשך ‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫שעות ו‪ 02-‬דקות‪ .‬באחד הימים יצא רוכב האופניים מ‪ A -‬ועבר‬
‫‪4‬‬
‫של הדרך‬
‫במהירות הגדולה ב‪ 62-‬קמ"ש ממהירותו הרגילה‪ ,‬ולכך התעייף ואת שאר הדרך‬
‫עבר במהירות קטנה ב‪ 65-‬קמ"ש ממהירותו הרגילה‪ .‬ביום זה הוא הגיע ל‪B -‬‬
‫לאחר ‪ 5‬שעות ו‪ 22-‬דקות לאחר שיצא מ‪. A -‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירותו הרגילה של רוכב האופניים?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין ‪ A‬ל‪? B -‬‬
‫‪ )01‬המרחק בין שתי ערים א' ו‪-‬ב' הוא ‪ 601‬ק"מ‪ .‬שני רוכבי אופניים‪ ,‬שיצאו בו‬
‫זמנית‪ ,‬האחד מעיר א' והשני מעיר ב'‪ ,‬ונסעו זה לקראת זה במהירויות קבועות‪,‬‬
‫נפגשו אחרי שלוש שעות‪ .‬הרוכב שיצא מעיר א' עבר את כל הדרך עד לעיר ב'‬
‫בשעה ו‪ 25-‬דקות פחות מהרוכב שיצא מעיר ב' לעיר א'‪.‬‬
‫מצא את המהירות של כל אחד מרוכבים האופניים‪.‬‬
‫‪ )00‬מ‪ A -‬ל‪ C -‬יש שתי דרכים‪ .‬הדרך הראשונה היא הדרך המישורית ‪ , AC‬שאורכה‬
‫‪ 02‬ק"מ‪ .‬הדרך השנייה מתחילה בעלייה ‪ AB‬של ‪ 8‬ק"מ‪ ,‬ואח"כ ירידה ‪ BC‬של‬
‫‪ 68‬ק"מ‪ .‬מהירותו של רוכב אופניים במישור היא ‪ x‬קמ"ש‪ ,‬בעלייה מהירותו‬
‫‪39‬‬
‫‪  x  4 ‬קמ"ש‪ ,‬ובירידה מהירותו ‪  x  6 ‬קמ"ש‪ .‬ידוע שאם רוכב האופניים‬
‫יבחר לנסוע מ‪ A -‬ל‪ C -‬בדרך הראשונה או בדרך השנייה‪ ,‬זמן הנסיעה יהיה‬
‫זהה‪ .‬חשב את ‪( x‬כמה פתרונות לבעיה?)‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ )06‬מונית נסעה מעיר א' לעיר ב' בכביש ראשי במהירות קבועה‪ .‬בדרך חזרה נסעה‬
‫המונית בדרך עפר הקצרה ב‪ 22%-‬מהכביש‪ ,‬אך מהירותה פחתה ב‪.02%-‬‬
‫א‪ .‬בכמה אחוזים התקצר או התארך זמן הנסיעה בדרך חזרה (לעומת הנסיעה‬
‫בכיוון הראשון)?‬
‫ב‪ .‬מה הייתה מהירות המונית בכיוון השעון‪ ,‬אם ידוע שאורך הכביש היה ‪312‬‬
‫ק"מ‪ ,‬וזמן הנסיעה בחזרה התקצר בשעה?‬
‫בעיות הספק‪:‬‬
‫‪ )04‬כתב יד נמסר להדפסה לשתי כתבניות‪ .‬הכתבנית השנייה ניגשה לעבודה שעתיים‬
‫אחרי הראשונה‪ 6 .‬שעות לאחר שהכתבנית הראשונה ניגשה לעבודה סיימו‬
‫שתיהן יחד את ההדפסה של ‪ 60%‬מכתב היד‪ .‬הן המשיכו בהדפסה וסיימו‬
‫אותה יחד‪ .‬לאחר סיום העבודה התברר שהכתבנית הראשונה ביצעה‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫מן‬
‫העבודה‪ .‬קצב העבודה של הכתבניות לא השתנה במשך העבודה‪.‬‬
‫בכמה שעות הייתה כל אחת מהכתבניות יכולה לבצע את העבודה לבדה?‬
‫‪ )05‬בבריכה שני פתחים‪ :‬פתח אחד גדול ופתח שני קטן יותר‪ .‬אם מכניסים לבריכה‬
‫הריקה מים רק דרך הפתח הקטן במשך ‪ 6‬שעות‪ ,‬ולאחר מכן במשך שעה ו‪12 -‬‬
‫דקות מכניסים מים דרך שני הפתחים יחד‪ ,‬הבריכה מתמלאת כולה‪ .‬כמו כן‬
‫ידוע‪ ,‬שאם מכניסים לבריכה הריקה מים רק דרך הפתח הגדול במשך ‪ 3‬שעות‬
‫ולאחר מכן ממשיכים להכניס מים דרך פתח זה במשך ‪ 9‬שעות‪ ,‬אך בו בזמן‬
‫מוציאים מים דרך הפתח הקטן‪ ,‬הבריכה כולה מתמלאת במים‪.‬‬
‫מצא בכמה שעות תתמלא הבריכה‪ ,‬אם יכניסו מים רק דרך הפתח הקטן‪.‬‬
‫‪ )03‬שני פועלים קיבלו על עצמם לבצע עבודה מסוימת‪ .‬ביום הראשון התחיל הפועל‬
‫הראשון לעבוד לבדו‪ .‬הפועל הראשון עבד במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬
‫הפועל השני‪ .‬כעבור ‪ 6‬שעות נוספות של עבודה משותפת של שני הפועלים‪,‬‬
‫התברר שהם סיימו ‪ 55%‬מהעבודה‪ .‬ביום השני עבדו הפועלים יחדיו עד שסיימו‬
‫את כל העבודה‪ .‬לאחר סיום העבודה‪ ,‬התברר שכל אחד מהפועלים ביצע בדיוק‬
‫מחצית מהעבודה‪ .‬בכמה שעות היו שני הפועלים מסיימים את על העבודה אלו‬
‫עבדו כל הזמן ביחד?‬
‫‪ )06‬שני צינורות ממלאים מיכל כשהם פתוחים ביחד במשך ‪ 6‬שעות‪ .‬יום אחד‪,‬‬
‫כשהמיכל היה ריק‪ ,‬פתחו רק את הצינור הראשון למשך הזמן שלוקח לצינור‬
‫השני למלא מחצית מיכל‪ .‬סגרו את הצינור הראשון ופתחו רק את הצינור השני‬
‫למשך הזמן שלוקח לצינור הראשון למלא שליש מיכל‪ .‬כתוצאה מכך התמלאו‬
‫בסך הכול ‪ 5/1‬מיכל‪ .‬מצא בכמה שעות יכול כל אחד מהצינורות למלא לבד מיכל‬
‫‪11‬‬
‫ריק‪.‬‬
‫‪ )08‬על שתי קבוצות פועלים הוטל לסלול כביש בין הערים ‪ A‬ו‪ . B -‬במשך‬
‫הימים הראשונים עבדו הקבוצות בנפרד‪ .‬תחילה עבדה רק הקבוצה הראשונה‬
‫וסללה ‪ 6/2‬מהכביש‪ .‬לאחר מכן הפסיקה הקבוצה הראשונה את עבודתה‪ ,‬ורק‬
‫הקבוצה השנייה עבדה‪ .‬קבוצה זו סללה‪ ,‬עד לגמר היום ה‪ 6/3 , 36 -‬מהכביש‪.‬‬
‫ביום ה‪ 37 -‬החלו שתי הקבוצות לעבוד במשותף‪ ,‬וסיימו את סלילת הכביש תוך‬
‫‪ 12‬ימים‪ .‬הספק הקבוצות לא השתנה במשך כל ימי עבודתן‪ .‬בכמה ימים הייתה‬
‫יכולה כל קבוצה לסלול את הכביש לבדה? כמה פתרונות לבעיה?‬
‫‪36‬‬
‫‪ )05‬שתי קבוצות פועלים עבדו בסלילת כביש משני קצותיו‪ .‬הקבוצה השנייה סללה‬
‫בכל יום ‪ 5‬מטר יותר מאשר הקבוצה הראשונה‪ ,‬ועבדה בסך הכול ‪ 2‬ימים יותר‪.‬‬
‫ידוע שהקבוצה השנייה סללה בסך הכול רק ‪ 16a‬מטרים ( ‪ a‬פרמטר חיובי)‪.‬‬
‫קצב העבודה של שתי הקבוצות נשאר קבוע בכל זמן הסלילה‪.‬‬
‫סמן ב‪ x -‬את מספר המטרים שסללה הקבוצה הראשונה בכל יום‪ ,‬ומצא לאלו‬
‫ערכים של הפרמטר ‪ a‬יקבל ‪ x‬ערכים חיוביים בלבד‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬מהירות הולך הרגל היא ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה הוא‬
‫‪ )0‬מהירות הזרם היא ‪ 1‬קמ"ש‪ .‬מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 7‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 100 )6‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )4‬הרוכב הראשון ב‪ 10 -‬שעות והרוכב השני ב‪ 15 -‬שעות‪ 72 )5 .‬מטרים‪.‬‬
‫‪ 30 )3‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )6‬מהירות התייר הראשון‪ 5 :‬קמ"ש‪ ,‬מהירות התייר השני‪ 7.5 :‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 1 )8‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 45 )5‬קמ"ש‪ 60 ,‬קמ"ש‪ 75 ,‬קמ"ש‪ 36 )12 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 25 )11‬קמ"ש ‪ 50 ,U ‬קמ"ש ‪ 24 )10 .U ‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪14  m  m2  100m  196‬‬
‫‪ )16‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. 0  m  2 .‬‬
‫‪ 25 )15‬קמ"ש‪ 31 )13 .‬ק"מ‪ 60 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 008 )14‬ק"מ‪ 71 ,‬קמ"ש‪ 12 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 75 )16‬קמ"ש‪ )18 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ )15‬הלוך ‪ 92‬קמ"ש וחזור ‪ 91‬קמ"ש‪ .‬זמן כולל ‪ 85‬דקות‪.‬‬
‫או‪ :‬הלוך‪ 28 :‬קמ"ש וחזור ‪ 52‬קמ"ש‪ .‬זמן כולל ‪ 655‬דקות‪.‬‬
‫‪ )02‬א‪ 32 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 612 .‬ק"מ‪ 02 )01 .‬קמ"ש‪ 68 ,‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 02 )00‬או ‪ 60‬קמ"ש‪ )06 .‬א‪ .05% .‬ב‪ 92 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫ק"מ‪.‬‬
‫‪ )04‬הכתבנית הראשונה ב‪30 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 13 )03‬שעות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫שעות‪ ,‬הכתבנית השנייה ב‪ 10 -‬שעות‪)05 .‬‬
‫‪9‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫‪ )06‬הצינור הראשון ב‪ 15 -‬שעות והצינור השני ב‪ 10 -‬שעות או‬
‫הצינור הראשון ב‪ 12 -‬שעות והצינור השני ב‪ 12 -‬שעות‪.‬‬
‫‪ )08‬הקבוצה הראשונה‪ 48 :‬ימים והקבוצה השנייה‪ 72 :‬ימים‬
‫או הקבוצה הראשונה‪ 86.4 :‬והקבוצה השנייה‪ 43.2 :‬ימים‪.‬‬
‫‪. a  2.5 )29‬‬
‫‪13‬‬
‫גאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫שאלות ללא פרופורציה‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬מעבירים את שלושת הגבהים‪. AD , BE , CF :‬‬
‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. Q‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ACF  ABE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי מרובע ‪ QDCE‬הוא‬
‫מרובע בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. ADF  ADE :‬‬
‫‪ )0‬במשולש ‪ E , ABC‬אמצע ‪ F , AB‬על ‪ BC‬ו ‪ EF‬מקביל ל‪. AC -‬‬
‫‪ G‬על ‪ AC‬ו‪ EG -‬מקביל ל‪. BC -‬‬
‫בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח‪:‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ AEG‬והמשולש ‪ EBF‬חופפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬על פי הסעיף הקודם‪ ,‬הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש‬
‫ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ )6‬במשולש שווה שוקיים ‪, ( AB  AC ) ABC‬‬
‫‪ BD‬הוא תיכון לשוק ‪. CBD  30 , AC‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי משולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הורד אנכים ‪ AF‬ו‪ DE -‬לבסיס ‪BC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫והוכח כי‪) DE   AF   BD :‬‬
‫ב‪ .‬אם נתון כי אורך התיכון ‪ BD‬הוא ‪ a‬ס"מ‪,‬‬
‫חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )4‬במשולש ‪ ) C  90 ( ABC‬הנקודה ‪ E‬מונחת‬
‫על היתר ‪ . AB‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים אנך ליתר‪,‬‬
‫החותך את המשך הניצב ‪ BC‬בנקודה ‪ F‬ואת הניצב ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪. D‬‬
‫‪11‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DF‬‬
. AE  ‫ ס"מ‬8 , EB  ‫ ס"מ‬60 , AD  ‫ ס"מ‬62 :‫נתון כי‬
. ADE  DFC :‫הוכח כי‬
13
‫‪ )5‬מנקודה ‪ M‬הנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך ‪MPQ‬‬
‫‪M‬‬
‫ומשיק ‪ . MN‬מנקודה ‪ K‬הנמצאת בהמשך ‪ MPQ‬מעבירים‬
‫ישר מקביל למיתר ‪, QN‬החותך את המשך המשיק ‪MN‬‬
‫בנקודה ‪. L‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QNL  NPQ :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ KPNL‬הוא בר‪-‬חסימה‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬בונים ריבוע ‪ ABEF‬ועל‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הצלע ‪ AD‬ריבוע ‪ . ADKM‬הוכח כי‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ KCE‬הוא משולש שווה‬
‫‪B‬‬
‫שוקיים וישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬אם במשולש התיכון לצלע שווה‬
‫למחצית הצלע אותה הוא חוצה‪,‬‬
‫אזי המשולש הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בציור הנתון‪ RS :‬הוא קטע אמצעים‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪O‬‬
‫במשולש ‪ NO . MNP‬הוא חוצה זווית ‪. MNP‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכח כי‪. MON  90 :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )8‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א‪.‬‬
‫‪ )5‬בטרפז ‪. ( BC AD) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ :‬נקודה ‪ E‬נמצאת באמצע אלכסון ‪AC‬‬
‫ונקודה ‪ F‬נמצאת באמצע אלכסון ‪. BD‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ‪ABCD‬‬
‫עובר דרך הנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ . AD  4  EF :‬הוכח כי‪. AD  2  BC :‬‬
‫‪ )12‬נתון מלבן ‪ MNPQ‬שבו ‪. QN  2  NP‬‬
‫אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫האריכו את הקטע ‪ MQ‬כאורכו ) ‪. (MQ  QT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MO  OT :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. OT  PQ :‬‬
‫‪ )11‬במעגל שבציור נתון כי המיתר ‪ AC‬מאונך למיתר ‪. BD‬‬
‫שני המיתרים נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫דרך הנקודה ‪ F‬מורידים אנך למיתר ‪. AB‬‬
‫המשכו של האנך חותך את המיתר ‪ DC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח כי‪. DE  EC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )10‬הוכח את המשפט‪ :‬שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת‬
‫חיצונית‪ ,‬שווים באורכם‪ AB .‬ו‪ AC -‬הם שני משיקים למעגל‪.‬‬
‫‪ . AC  a‬נקודה ‪ M‬נמצאת על הקשת ‪. CB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ QP‬משיק למעגל בנקודה ‪. M‬‬
‫הוכח כי‪ :‬היקף המשולש ‪ APQ‬לא תלוי המקומה של‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודה ‪ M‬על הקשת ‪ CB‬והוא גודל קבוע השווה ל‪. 2a -‬‬
‫‪ )16‬טרפז ‪ ( AB DC ) ABCD‬חסום במעגל כך שמרכז המעגל ‪ O‬נמצא מחוץ‬
‫לטרפז‪.‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪ 21 AB ‬ס"מ ‪ , CD ‬גובה הטרפז הוא ‪ 8‬ס"מ‪B .‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪. R‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את המרחק ממרכז המעגל ‪: O‬‬
‫‪ .6‬לבסיס הקטן של הטרפז ‪. AB‬‬
‫‪ .0‬לבסיס הגדול של הטרפז ‪. CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודלו של רדיוס המעגל ‪. R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )14‬במשולש ישר זווית ‪ , ( ABC  90 ) ABC‬חוסמים מעגל כך שנקודות‬
‫ההשקה הן‪ P , M :‬ו‪. Q -‬‬
‫‪M‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נתון כי‪ AQ  2a :‬ו‪. QC  a -‬‬
‫הבע את היקף המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪. a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪17‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון‪:‬‬
‫‪ )15‬שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה ‪. M‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬
‫מעבירים משיק משותף לשני המעגלים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ MN‬הוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫המעגלים לבין המשיק המשותף שלהם‪.‬‬
‫‪2R  r‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪Rr‬‬
‫‪N‬‬
‫‪MN ‬‬
‫‪ )13‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת ‪ , 30‬הניצב שמול‬
‫הזווית שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בטרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬האלכסונים ניצבים לשוקיים‪.‬‬
‫הוכח כי‪ :‬אם הזווית החדה בטרפז שווה ל‪ , 60 -‬אזי נקודת מפגש‬
‫האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס ‪.1: 2‬‬
‫‪ KMN )16‬הוא משולש שווה שוקיים ) ‪ . ( KM  KN‬מנקודה‬
‫כלשהי ‪ P‬הנמצאת על הבסיס ‪ MN‬מורידים אנך לשוק ‪KM‬‬
‫‪K‬‬
‫ואנך לשוק ‪ KN‬החותכים אותן בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ KAPB‬הוא מרובע בר חסימה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הסבר מדוע הנקודה ‪ E‬הנמצאת באמצע הבסיס ‪, MN‬‬
‫נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע ‪. KAPB‬‬
‫‪ )18‬נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬
‫‪ MN‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ( AB CD) ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫נסמן‪. CD  b , AB  a :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח כי‪. EF   (a  b) :‬‬
‫‪ )15‬שני מעגלים שווים‪ O1 ,‬ו‪ , O2 -‬שמחוגיהם שווים ל‪ 10 -‬ס"מ‪,‬‬
‫נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬מהנקודה ‪ C‬שעל המשך המיתר‬
‫המשותף ‪ AB‬של שני המעגלים יוצא המשיק ‪ CD‬לאחד‬
‫מהמעגלים‪ .‬נתון כי‪ 9  5 :‬ס"מ ‪ CD ‬ו‪16 -‬ס"מ ‪. O1O2 ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪11‬‬
‫(היעזר בעובדה ש‪ AB -‬חוצה את הקטע ‪ O1O2‬ומאונך לו‪).‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ C , B , A )02‬ו‪ D -‬הן נקודות על המעגל‪ K .‬היא נקודה‬
‫על ‪ BC‬כך ש‪ . BK  CD -‬נתון‪. AB  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAK  DAC :‬‬
‫ב‪ .‬המשך הקטע ‪ AK‬חותך את המעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫הוכח‪. BN  CD :‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )01‬במשולש ‪ MNP‬הגבהים ‪ NQ‬ו‪ PR -‬נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון כי‪. OR  OQ :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. NO  OP‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬משולש ‪ MNP‬שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. MQ  MR :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ )00‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה‪,‬‬
‫כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר‪.‬‬
‫ב‪ .‬במעגל שרדיוסו ‪ , R‬הקוטר ‪ AB‬מאונך למיתר ‪. CD‬‬
‫הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה ‪ . E‬נתון כי ‪. AE : EB  1: 4‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ ADC‬באמצעות ‪. R‬‬
‫‪ )06‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במרובע חסום במעגל‪ ,‬סכום הזוויות הנגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫ב‪ .‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ AC .‬חוצה את הזווית ‪. DAB‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל‪ .‬המשכי הצלעות ‪ AB‬ו‪AD -‬‬
‫‪A‬‬
‫חותכים את המשיק בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .6‬הוכח כי‪. CDF  ABC :‬‬
‫‪ .0‬הוכח כי‪. ABC CDF :‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪ 9‬ס"מ ‪ 4 , AB ‬ס"מ ‪. DF ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )04‬מעגל ‪ O‬משיק לישר ‪ l‬בנקודה ‪ CD . E‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬
‫בנקודה ‪ C‬מעבירים משיק למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעבירים משיר למעגל החותך את הישר ‪ l‬בנקודה ‪. A‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪AOB  90 :‬‬
‫‪19‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. AOE OBE :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪13 , R ‬ס"מ ‪. EB  AE , AB ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ EB‬ו‪. AE -‬‬
‫‪ )05‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪ AD :‬הוא התיכון לצלע ‪. BC‬‬
‫‪ DE‬הוא חוצה הזווית ‪ DF , ADB‬הוא חוצה הזווית ‪ADC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪ .‬הוכח כי‪. EF BC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )03‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון כי‪ :‬אלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪ BE‬חוצה את הזווית ‪ DBA‬וחותך את‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪MN‬‬
‫‪DE‬‬
‫ואת היחס‬
‫א‪ .‬מצא את היחס‬
‫‪NA‬‬
‫‪EA‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולש‪ ENA :‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪. DE  2  MN :‬‬
‫‪ )06‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ 20‬ס"מ ‪ 24 , AC  BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫במשולש זה חסום מעגל‪ ,‬המשיק לשתי השוקיים‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪ EF :‬מקביל לבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )08‬במשולש ישר זווית ‪ ( PST  90) PST‬חסום חצי מעגל‬
‫שמרכזו ‪ O‬נמצא על יתר ‪. PT‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ OS‬חוצה את הזווית ‪. PST‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 18 :‬ס"מ ‪ PS ‬ו‪ 24 -‬ס"מ ‪. TS ‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים ‪ OP‬ו‪. OT -‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )05‬במשולש ‪ , ABC‬בו ‪, B  90‬‬
‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ ‪12 , FC ‬ס"מ ‪16 , BC ‬ס"מ ‪AB ‬‬
‫הקטע ‪ FM‬מאונך ליתר ‪ , AC‬והקטע ‪ MN‬מקביל ליתר ‪. AC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. MN‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )62‬משולש ‪ MPN‬חסום במעגל‪ .‬ישר ‪ NQ‬משיק למעגל זה בנקודה ‪. N‬‬
‫נתון כי‪( NP RQ :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪31‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. QRN MRQ :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪ MN ‬ו‪ 4 -‬ס"מ ‪. RN ‬‬
‫חשב את ‪. RQ‬‬
‫‪ )61‬בטרפז ‪. ( AB DC ) ABCD‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ ‪18 , DC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫דרך נקודת מפגש האלכסונים ‪ , E‬מעבירים ישר ‪MN‬‬
‫המקביל לבסיסי הטרפז‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫מצא את אורכו של ‪. MN‬‬
‫‪ )60‬א‪ .‬הוכח‪ :‬חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית‬
‫לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית‪.‬‬
‫ב‪ .‬המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬משיק בנקודה ‪ F‬לצלע ‪. CB‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 7 BF ‬ס"מ ‪, AD . CF ‬‬
‫חוצה הזווית ‪ A‬מחלק את הקטע ‪ CB‬לשני קטעים‬
‫המתייחסים זה לזה כמו ‪. 3 : 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D F‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AC‬ו‪. AB -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )66‬משולש שווה שוקיים ‪ ( AB  AC ) ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫דרך קדקוד ‪ B‬עובר משיק למעגל‪ .‬דרך קדקוד ‪ C‬עובר ישר‬
‫המקביל ל‪ , AB -‬וחותך את משיק בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪CBE‬‬
‫‪BAC‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ AC ‬ו‪12 -‬ס"מ ‪. CE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. BC‬‬
‫‪ )64‬בטרפז ‪ ( AB CD) ABCD‬נתון כי‪. AB  3  CD :‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬מעבירים מקביל ל‪ , BD -‬החותך‬
‫את המשך הצלע ‪ CD‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן את שטח המשולש ‪ DOC‬באמצעות ‪. S‬‬
‫הבע את שטח הטרפז ‪ ABCE‬באמצעות ‪. S‬‬
‫‪31‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ ABCD )65‬הוא טרפז שווה שוקיים )‪. ( AD  BC , AB CD‬‬
‫‪ O‬הוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו‪ E -‬היא נקודת ההשקה של‬
‫השוק ‪ BC‬עם המעגל ‪( O‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. OE 2  BE  EC :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא‬
‫הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )63‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( PQR  90) PQR‬נתון‪:‬‬
‫‪ h‬הוא הגובה ליתר‪ x ,‬ו‪ y -‬הם הניצבים‪,‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם היטלי הניצבים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של‬
‫היטלי הניצבים על היתר‪. h  a  b :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר‬
‫והיטל הניצב על היתר‪. y  b  (a  b) , x  a  (a  b) :‬‬
‫ג‪ .‬מקדקוד ‪ Q‬מעבירים חוצה זווית החותך את היתר ‪ PR‬בנקודה ‪. M‬‬
‫הוכח כי‪. PM : MR  a : b :‬‬
‫‪ )66‬במשולש ‪ ABC‬התיכון ‪ BE‬והקטע ‪ AL‬נחתכים בנקודה ‪. K‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל‪( AL -‬ראה ציור)‪ .‬נתון כי‪. LC  5  BL :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. LF  2.5  BL :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BK 2‬‬
‫הוכח כי‪ :‬‬
‫‪BE 7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ )68‬א‪ .‬הוכח את המשפט‪ :‬היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה‬
‫לריבוע יחס הדימיון‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬במקבילית ‪ ABCD‬נקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫הצלע ‪ , BC‬כך ש‪. BE : CE  2 : 3 -‬‬
‫המשך הקטע ‪ AE‬חותך את המשך הצלע ‪DC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון ‪18‬סמ"ר ‪. S CEG ‬‬
‫‪ .6‬חשב את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫‪ .0‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )65‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים‬
‫שווה ליחס הדמיון של המשולשים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪32‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬חסום חצי מעגל שרדיוסו ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫קוטר המעגל ‪ PQ‬מקביל לצלע ‪ CD . AB‬הוא גובה במשולש‬
‫‪ ABC‬וחותך את הקוטר ‪ PQ‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ ABCD )42‬הוא טרפז )‪ . ( BC AD‬הצלעות ‪ BC‬ו‪ CD -‬הן מיתרים במעגל‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABD DCB :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 5 :‬ס"מ ‪12.8 , BC ‬ס"מ ‪. AD ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪ )41‬מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו ‪ , R‬מעבירים חותך‬
‫וחותך ‪ , AOD‬שעובר דרך מרכז המעגל ‪, O‬‬
‫כך ש‪. CDB  BDA  BAD   -‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון גם‪. BC  n , AB  m :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח כי‪. DC 2  n2  m  n :‬‬
‫‪ )40‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל‬
‫יוצרים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו‬
‫מחוץ למעגל היא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נתון משולש ‪ . ABC‬מעגל העובר דרך הקדקודים ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫חותך הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC -‬בנקודות ‪ F‬ו‪ M -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .6‬הוכח כי‪. ACM BCF :‬‬
‫‪ .0‬נתון כי‪ 48 :‬ס"מ ‪ 40 , BC ‬ס"מ ‪, AC ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪16‬ס"מ ‪ . AF ‬מצא את אורך המיתר ‪. BM‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ )46‬בטרפז ‪ ABCD‬אורך הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ a‬ואורך הבסיס ‪ CD‬הוא ‪. b‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫‪F‬‬
‫דרך הנקודה ‪ O‬מעבירים מקביל לבסיסים החותך‬
‫את ‪ AD‬בנקודה ‪ E‬ואת ‪ BC‬בנקודה ‪. F‬‬
‫‪a b‬‬
‫הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪. EO  OF ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪31‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ )44‬מנקודה ‪ A‬מעבירים שני חותכים למעגל‪ ,‬חותך ‪ ABC‬וחותך ‪, ADE‬‬
‫כך שהנקודה ‪ B‬נמצאת באמצע הקשת ‪ , CD‬ו‪CED  2 CAD -‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ECB ACE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 4 :‬ס"מ ‪ 9 , CB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. CE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ MN )45‬הוא קטע במעגל שמרכזו ב‪. O -‬‬
‫‪ PK‬משיק למעגל בנקודה ‪ P‬ומאונך ל‪. NQ -‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על המשך המיתר ‪( MP‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP  KN  PK  PN :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. MP  PQ :‬‬
‫‪K‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )43‬בציור נתון כי‪. AB EF CD :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪EF AB CD‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )46‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הגובה ליתר במשולש ישר‪-‬זווית מחלק את המשולש‬
‫לשני משולשים‪ ,‬שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬מעויין ‪ ABCD‬חוסם מעגל שמרכזו ב‪. O -‬‬
‫נתון כי‪ :‬אורך הרדיוס המעגל ‪ OT‬הוא ‪ 24‬ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫ואורך צלע המעויין הוא ‪ 50‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את אורך האלכסון ‪. ( BD  AC ) BD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )48‬משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצה זווית ‪ BAC‬חותך‬
‫את המעגל בנקודה ‪ D‬ואת הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מנקודה ‪ D‬הורד אנך על הצלע ‪ CB‬החותך אותה‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון כי‪. AB : AC  5 : 3 :‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח כי‪. BC  8  EF :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )45‬נקודה ‪ D‬היא אמצע היתר ‪ AC‬המשולש ישר זווית ‪. ( B  90) ABC‬‬
‫בנקודה ‪ D‬מעלים אנך לצלע ‪ AC‬החותך את הניצב ‪ AB‬בנקודה ‪E‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי‪ 8 :‬ס"מ ‪. AB  m , AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫הבע את ‪ CE‬ו‪ BE -‬באמצעות ‪. m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪33‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )52‬במשולש ‪ ABC‬נתון כי‪15 :‬ס"מ ‪, AB  AC ‬‬
‫‪18‬ס"מ ‪ . CB ‬דרך מרכז המעגל ‪ O‬החסום במשולש‬
‫עובר הקטע ‪ EF‬המקביל לבסיס ‪ FN . BC‬ו‪EM -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הם אנכים לבסיס ‪. BC‬‬
‫‪B‬‬
‫חשב את שטח המלבן ‪. EFNM‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )51‬א‪ .‬הוכח כי‪ :‬הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת‪,‬‬
‫שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה ‪. A‬‬
‫‪F‬‬
‫דרך נקודה זו עוברים שני ישרים‪ ,‬החותכים‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫את המעגלים בנקודות ‪ M , E , F‬ו‪. N -‬‬
‫הוכח כי‪. AMN AFE :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )50‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪, ( GEF  90) EFG‬‬
‫‪ EP‬הוא הגובה ליתר ‪. GF‬‬
‫נתון כי‪ 24 :‬ס"מ ‪ 32 , EF ‬ס"מ ‪. GE ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫חשב את אורכי הקטעים‪ GP , PF , GF :‬ו‪. EP -‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ MQ )56‬הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים ‪. (MN  MP) MNP‬‬
‫‪ S‬היא נקודה על המשך הצלע ‪. MN‬‬
‫‪M‬‬
‫המשך התיכון ‪ MQ‬חותך את הקטע ‪ PS‬בנקודה ‪. E‬‬
‫הקטע ‪ EF‬מקביל ל‪( NP -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MP : MS  NF : FS :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪ 20 :‬ס"מ ‪ 4 , MP ‬ס"מ ‪. NF ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. FS‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫‪36‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ NP )54‬הוא קוטר במעגל ‪ , MT , MN . O‬ו‪ SP -‬הם‬
‫משיקים למעגל ‪ O‬בנקודות ‪ T , N‬ו‪ P -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. MOS  90 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל‪. MN  SP -‬‬
‫‪T‬‬
‫‪O‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ DE )55‬הוא קוטר במעגל‪ .‬בנקודה ‪ D‬מעבירים משיק למעגל‪.‬‬
‫מנקודה ‪ , A‬שעל המעגל‪ ,‬מעבירים ישר המקביל לקוטר ‪. DE‬‬
‫הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ‪( F‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. AD2  AF  DE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ 4‬ס"מ ‪ 9 , AF ‬ס"מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את שטח הטרפז ‪. AFDE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ )53‬א‪ .‬הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בציור שלפניך המיתרים ‪ EF‬ו‪ MN -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון כי‪ 3 :‬ס"מ ‪ 8 , EB ‬ס"מ ‪ 4 , BF ‬ס"מ ‪. MB ‬‬
‫‪ .6‬חשב את אורך הקטע ‪. NB‬‬
‫‪ .0‬מצא את המרחק המיתר ‪ EF‬ממרכז המעגל ‪. O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )56‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬חסום במשולש ישר‪-‬זווית )‪. ( C  90‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון כי‪ 30 :‬ס"מ ‪18 , AB ‬ס"מ ‪. AC ‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. ED‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )58‬במשולש ‪ PS MPQ‬חוצה את הזווית ‪. ST MP , MPQ‬‬
‫נתון כי‪ 27 :‬ס"מ ‪ 45 , MP ‬ס"מ ‪. QP ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. TP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪37‬‬
:‫תשובות סופיות‬
1
3
.  3  a 2 :‫ שטח המשולש‬,
. a  (3  17) )14 . R  ‫ ס"מ‬62.105 .‫ב‬
. BC  ‫ ס"מ‬1 .‫) ג‬06
2
 3  a :‫ אורך צלע המשולש‬.‫) ב‬6
3
R 2  10.52 .0
. SACD 
8
25
R 2  4.52 .6 .‫) א‬16
R 2 .‫) ב‬00 . CB  ‫ ס"מ‬65 )15
MN
2
DE

,
 2 .‫) א‬03 . AE  ‫ ס"מ‬9 , EB  ‫ ס"מ‬2 .‫) ג‬04
NA
2
EA
OT 
‫ס"מ‬
90
120
, OP  ‫ס"מ‬
.‫) ב‬08 . EF  ‫ ס"מ‬9.1 .‫) ב‬06
7
7
. MN  ‫ ס"מ‬60 )61
1
. RQ  ‫ ס"מ‬1 .‫) ב‬62 . MN  ‫ ס"מ‬3 )05
3
. AC  ‫ ס"מ‬9 , AB  ‫ ס"מ‬1 .‫) ב‬60
. S ABCE  28  S )64 . BC  ‫ ס"מ‬68 .‫) ב‬66
. CE  ‫ ס"מ‬9 .‫) ב‬65 . S ABC  ‫ סמ"ר‬02 .0 SABE  ‫ סמ"ר‬8 .6 .‫) ב‬68
. CE  ‫ ס"מ‬1 .‫) ב‬44 . BM  ‫ ס"מ‬08 .‫) ב‬40
. BD  ‫ ס"מ‬8 .‫) ב‬42
m 2  32
32
, CE 
. BE 
)45
m
m
. BD  ‫ ס"מ‬12 .‫) ב‬46
. SEFNM  ‫ סמ"ר‬52.105 )52
. EP  ‫ ס"מ‬69.0 , GP  ‫ ס"מ‬05.1 , PF  ‫ ס"מ‬62.2 , GF  ‫ ס"מ‬22 )50
. S AFDE  ‫ סמ"ר‬29.17 .‫) ב‬33
TP = ‫ ס"מ‬16.173 )35 .DE = ‫ ס"מ‬3 )35
31
.‫ ס"מ‬1 .2
. FS  ‫ ס"מ‬6 .‫) ב‬35
NB  ‫ ס"מ‬6 .1 .‫) ב‬35
‫נספח ‪ – 1‬משפטים בגאומטריה‪:‬‬
‫רשימת משפטים בגאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות בלי‬
‫הוכחה‪1‬‬
‫הערות כלליות‪:‬‬
‫‪ .6‬בשאלות בגאומטריה יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט‬
‫הגאומטרי המתאים‪ .‬משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם‪ .‬את כל‬
‫יתר המשפטים יש לנסח במדויק‪ .‬המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון‬
‫שמם הם‪:‬‬
‫משפט פיתגורס‪ ,‬משפט תאלס‪ ,‬המשפט ההפוך למשפט תאלס‪ ,‬משפט תאלס‬
‫המורחב‪ ,‬משפט חוצה הזווית‪ ,‬ארבעה משפטי החפיפה‪ :‬צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,.‬ז‪.‬צ‪.‬ז‪ ,.‬צ‪ .‬צ‪ .‬צ‪,.‬‬
‫צלע‪ ,‬צלע והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה)‪ ,‬משפטי הדמיון‪,‬‬
‫צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,.‬ז‪.‬ז‪ ,.‬צ‪ .‬צ‪ .‬צ‪ ,.‬זווית בין משיק ומיתר‪.‬‬
‫‪ .0‬סדר המשפטים המופיע ברשימה זו אינו לפי סדר הוכחתם‪.‬‬
‫‪ .3‬במהלך פתרון שאלה בבחינת הבגרות‪ ,‬אין צורך להוכיח את המשפטים‬
‫ברשימה‪ ,‬אלא אם יש בשאלה דרישה מפורשת לכך‪.‬‬
‫‪ .2‬אין לחפוף משולשים על ידי צ‪.‬ז‪.‬ז‪ .‬אלא להראות שוויון הזווית השלישית‬
‫ולהשתמש במשפט ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .5‬ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים‪:‬‬
‫א‪ .‬שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים‪.‬‬
‫ד‪ .‬שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים‪.‬‬
‫ה‪ .‬שטח עיגול שרדיוסו ‪ r‬שווה ל‪. r -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬אין צורך להוכיח את המשפטים בבחינה ‪ ,‬אלא אם יש דרישה מפורשת לכך בשאלה‪.‬‬
‫‪39‬‬
61
‫המשפטים‪:‬‬
‫‪ .6‬זוויות צמודות משלימות זו את זו ל‪.180 -‬‬
‫‪ .0‬זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .3‬במשולש‪ ,‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .5‬סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .1‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬חוצה זווית הראש‪ ,‬התיכון לבסיס והגובה לבסיס‬
‫מתלכדים‪.‬‬
‫‪ .7‬אם במשולש חוצה זווית הוא גובה‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .8‬אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .9‬אם במשולש גובה הוא תיכון‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .62‬במשולש (שאינו שווה צלעות)‪ ,‬מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .66‬במשולש (שאינו שווה זוויות)‪ ,‬מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .60‬סכום הזוויות של משולש הוא ‪. 180‬‬
‫‪ .63‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫‪ .62‬קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫‪ .65‬ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה‪ ,‬חוצה את הצלע השלישית‪.‬‬
‫‪ .61‬קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש‪ ,‬מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‬
‫הוא קטע אמצעים‪.‬‬
‫‪ .67‬משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .68‬משפט חפיפה ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .69‬משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .02‬משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים‪.‬‬
‫‪ .06‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש‪ ,‬חוצה את האלכסון השני‬
‫ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .00‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתאימות שוות‪ ,‬אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .03‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני‬
‫הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ .02‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם סכום זוג זוויות חד‪-‬צדדיות‬
‫הוא ‪ 180‬אז שני הישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .05‬אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז‪:‬‬
‫א‪ .‬כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום כל זוג זוויות חד‪-‬צדדיות הוא ‪.180‬‬
‫‪ .01‬במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .07‬במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .08‬במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה‪.‬‬
‫‪ .09‬מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .32‬מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .36‬מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .30‬מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .33‬במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪ .32‬מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .35‬במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .31‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪ .37‬אלכסוני המלבן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .38‬מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן‪.‬‬
‫‪ .39‬בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .22‬טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .26‬בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .20‬טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .23‬קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪ .22‬בטרפז ‪ ,‬ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים‪ ,‬חוצה את השוק השנייה‪.‬‬
‫‪ .25‬שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .21‬נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס ‪.2:1‬‬
‫(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי ‪ 0‬מהחלק האחר)‪.‬‬
‫‪ .27‬כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪ .28‬אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית אז היא נמצאת על‬
‫חוצה הזווית‪.‬‬
‫‪ .29‬שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל‬
‫החסום במשולש‪.‬‬
‫‪ .52‬בכל משולש אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .56‬כל נקודה‪ ,‬הנמצאת על האנך האמצעי של קטע‪ ,‬נמצאת במרחקים שווים‬
‫מקצות הקטע‪.‬‬
‫‪ .50‬כל נקודה ‪,‬הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע‪ ,‬נמצאת על האנך‬
‫האמצעי לקטע‪.‬‬
‫‪ .53‬כל משולש ניתן לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .52‬במשולש‪ ,‬שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אח שהיא מרכז‬
‫המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬
‫‪ .55‬שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫‪ .51‬ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל‪.180 -‬‬
‫‪ .57‬מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום‬
‫שתי הצלעות הנגדיות האחרות‪.‬‬
‫‪ .58‬כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל‪.‬‬
‫‪ .59‬בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל‪.‬‬
‫‪ .12‬דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד‪.‬‬
‫‪ .16‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות‬
‫המתאימות להן שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .10‬במעגל‪ ,‬שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים‬
‫המתאימים להן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .13‬במעגל‪ ,‬מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .12‬מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל‪.‬‬
‫‪ .15‬מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .11‬במעגל‪ ,‬אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר‬
‫אחר‪ ,‬אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪ .17‬האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר‪ ,‬חוצה את הזווית המרכזית‬
‫המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר‪.‬‬
‫‪ .18‬קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר‪.‬‬
‫‪ .19‬במעגל‪ ,‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬
‫‪ .72‬במעגל‪ ,‬לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים‪.‬‬
‫‪ .76‬במעגל‪ ,‬לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות‪.‬‬
‫‪ .70‬במעגל‪ ,‬כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ .73‬זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( ‪.) 90‬‬
‫‪ .72‬זווית היקפית בת ‪ 90‬נשענת על קוטר‪.‬‬
‫‪ .75‬במעגל‪ ,‬זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין‬
‫שוקי הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .71‬במעגל‪ ,‬זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין‬
‫שוקי הזווית ובין המשכיהן‪.‬‬
‫‪ .77‬המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪ .78‬ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל‪.‬‬
‫‪ .79‬זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני‪.‬‬
‫‪ .82‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .86‬קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל‪ ,‬חוצה‬
‫את הזווית שבין המשיקים‪.‬‬
‫‪ .80‬קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים‪ ,‬חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו‪.‬‬
‫‪ .83‬נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה‪ ,‬נמצאת על קטע המרכזים או‬
‫על המשכו‪.‬‬
‫‪ .82‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫‪ .85‬משפט פיתגורס ההפוך‪ :‬משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע‬
‫השלישית הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .81‬במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬
‫‪ .87‬משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .88‬אם במשולש ישר זוית ‪,‬זוית חדה של ‪ , 30‬אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית‬
‫היתר‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ .89‬אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר‪ ,‬אז מול ניצב זה זוית‬
‫שגודלה ‪. 30‬‬
‫‪ .92‬משפט תאלס‪ :‬שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית‪ ,‬מקצים‬
‫עליהם קטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .96‬משפט תאלס המורחב‪ :‬ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי‬
‫הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים‪.‬‬
‫‪ .90‬משפט הפוך למשפט תאלס‪ :‬שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים‬
‫פרופורציוניים הם ישרים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .93‬חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר‬
‫היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .92‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית‬
‫ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך‬
‫קדקודה הוא עובר‪.‬‬
‫‪ .95‬חוצה זווית חיצונית במשולש‪ ,‬שאינו מקביל לצלע המשולש‪ ,‬מחלק את הצלע‬
‫שמול הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את‬
‫הזווית הפנימית הצמודה לה‪.‬‬
‫‪ .91‬ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה‬
‫חיצונית כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית‬
‫שדרך קודקודה הוא עובר‪.‬‬
‫‪ .97‬משפט דמיון צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .98‬משפט דמיון ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪ .99‬משפט דמיון צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫‪ .622‬במשולשים דומים‪:‬‬
‫א‪ .‬יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ב‪ .‬יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ג‪ .‬יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ד‪ .‬יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ה‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ו‪ .‬יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫ז‪ .‬יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪ .626‬הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים‬
‫על היתר‪.‬‬
‫‪ .620‬סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא )‪.180(n  2‬‬
‫‪66‬‬
‫נספח ‪ – 0‬דף ההוראות הרשמי לשאלון ‪:823‬‬
‫‪67‬‬
‫נספח ‪ – 6‬עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות‪:‬‬
‫מטרת מסמך זה היא להביא לידיעת המורים את השגיאות השכיחות ואת אופן‬
‫הערכתן בבדיקת השאלות בבחינת הבגרות‪ .‬במסמך נרשום כמה אחוזים מורידים על‬
‫שגיאות רק במקרים כלליים שאינם תלויים בשאלה ספציפית‪ ,‬בשאר המקרים רק‬
‫נתאר את השגיאה‪.‬‬
‫עקרונות כלליים‬
‫‪ ‬שאלות בבחינה ייבדקו על פי סדר הופעתן בלבד‪ .‬נבחן חייב לציין איזה חלק‬
‫מהבחינה הוא טיוטה‪ .‬כל שאלה שנבחן התחיל לפתור ולא מחק‪ ,‬לא רשם‬
‫"טיוטה" או לא רשם "לא לבדוק"‪ ,‬תיבדק לפי סדר הופעתה ולא יתקבל ערעור‬
‫בעניין זה‪.‬‬
‫‪ ‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת‬
‫לבדוק את המשך השאלה‪ ,‬ברמת הקושי שנוצרה עקב השגיאה וכדומה‪ .‬בכל‬
‫מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה טעות גסה (ראה בהמשך דוגמאות)‪ ,‬יקבל נקודות רק‬
‫לסעיפים שאינם קשורים בטעות זו‪ .‬למשל‪ ,‬קבלת הסתברות גדולה מ‪ 6-‬ושימוש‬
‫בתוצאה זו גם בהמשך השאלה יגרום לפסילת כל השאלה‪ ,‬אך אם בהמשך הנבחן‬
‫אינו משתמש בתוצאה זו הרי שרק עבור הסעיף השגוי לא יינתנו נקודות‪.‬‬
‫‪ ‬ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים‬
‫אלא תלוי ברמת המורכבות של הסעיף‪ ,‬ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים‬
‫אחרים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שביצע פעולה לא חוקית במהלך הפתרון ייקנס גם אם קיבל תשובה נכונה‪.‬‬
‫למשל‪ :‬חילק ב‪ x -‬את המשוואה ‪ x 2 - x = 0‬ללא ציון ‪ , x  0‬ייקנס גם אם פתרון‬
‫הבעיה הוא ‪ x=1‬בלבד‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהעתיק בצורה שגויה מהשאלון ביטוי או נתון‪ ,‬ייקנס בצורה משמעותית‬
‫אם שינה את רמת הקושי של השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהניח הנחה שגויה‪ ,‬המפשטת את כל השאלה‪ ,‬לא יקבל נקודות לשאלה זו‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם ישירות תשובה‪ ,‬בלי לרשום את הדרך‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף גם‬
‫במקרים שהתשובה מתקבלת בחישוב פשוט‪ .‬ייתכן שהוא יוחשד בהעתקה (פרט‬
‫למקרים פשוטים של פתרון משוואה ריבועית)‪.‬‬
‫‪ ‬בכל מקרה רלוונטי על הנבחן לסמן יחידות מידה בתשובה‪ .‬למשל‪ ,‬בזוויות יש‬
‫לסמן מעלות ליד המספר‪ ,‬אחרת מדובר במידת הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫‪ ‬על טעות ברישום סדר האיברים בזוג סדור מורידים ‪.5%‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ ‬על טעות חשבונית מורידים בין ‪ 5%‬ל‪( 65% -‬תלוי באופי השגיאה)‪.‬‬
‫‪ ‬בשאלה מילולית מכל סוג תלמיד חייב להגדיר את המשתנים באופן ברור (מילולי)‬
‫ולרשום בסוף תשובה מילולית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן לא פסל תוצאות שיש לפסול‪ ,‬ייקנס בהתאם לאופי הטעות‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שפתר שאלה המנוסחת באופן כללי‪ ,‬עבור מקרה פרטי‪ ,‬לא יקבל ניקוד‬
‫לשאלה‪ .‬לדוגמה‪ :‬במקום פרמטר נבחן הציב מספר קבוע ופתר את השאלה‬
‫למקרה זה‪.‬‬
‫‪ ‬מותר להגיע לתשובה על ידי ניסוי וטעייה‪ ,‬בתנאי שהנבחן מראה את כל‬
‫הניסיונות‪ ,‬ובתנאי שלא צוין שעל הנבחן לפתור את השאלה על סמך סעיפים‬
‫קודמים‪ .‬אם נבחן לא מראה את כל הניסיונות הוא עשוי להיחשד בהעתקה‪.‬‬
‫‪ ‬בסעיפים בהם נרשם "נמק"‪ ,‬יש לנמק באמצעים מקובלים כגון באופן אלגברי‬
‫ו‪/‬או באופן מילולי‪ .‬ללא נימוק‪ ,‬הנבחן לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬שימוש בטכניקות או בידע שאינו חלק מתוכנית הלימודים חייב הסבר של הנבחן‪,‬‬
‫שיכלול את מהות הטכניקה ומדוע אפשר להשתמש בה במקום שבו השתמש‪ .‬לא‬
‫מספיק לרשום ביטוים כגון‪" :‬שיטת הקרוס"‪" ,‬מכפלה ווקטורית"‪" ,‬משפט גרין"‬
‫ועוד‪ .‬נבחן שלא ייתן הסבר משכנע‪ ,‬לא יקבל נקודות בסעיף זה‪.‬‬
‫עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים איננו פסול‬
‫ובתנאי שהנבחן יראה הבנה בתהליכים אלה‪.‬‬
‫‪ ‬הנחיות חשובות בנוגע לשעתוק‪:‬‬
‫ יש לשלוח למרב"ד שתי מחברות‪ :‬מחברת המקור והמחברת‬‫המשועתקת‪.‬‬
‫ המחברת המשועתקת חייבת להיות זהה למקור‪.‬‬‫ סדר השאלות ותוכנן חייב להיות זהה למקור‪.‬‬‫ אם אין התאמה מלאה בין מחברת המקור לבין המחברת המשועתקת‪,‬‬‫הנבחן ייחשד באי שמירה על טוהר הבחינות והבחינה תטופל בהליך‬
‫המקובל למחברות חשודות בהעתקה‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫דגשים בהתאם לנושאי הלימוד‬
‫‪ .1‬שאלות מילוליות‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר את הנעלמים ולרשום תשובה סופית ברורה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן טעה ביחידות מידה כגון ביחידות זמן‪ ,‬ביחידות מרחק וכד'‪ ,‬ההורדה‬
‫היא משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן תרגם מושגים כגון "גדול ב" או "קטן ב" בצורה שגויה‪ ,‬ההורדה היא‬
‫משמעותית‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שבנה טבלה מסודרת ומלאה ולא המשיך בתהליך הפתרון‪ ,‬יקבל ציון‬
‫חלקי בלבד‪.‬‬
‫‪ .0‬אינדוקציה מתמטית‬
‫‪ ‬אם נבחן לא רשם נכון את הנחת האינדוקציה או לא רשם נכון את מה שצריך‬
‫להוכיח‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בהנחת האינדוקציה "נניח לכל ‪ n‬טבעי"‪ ,‬נקנס ב‪.02% -‬‬
‫‪ ‬חובה לרשום משפט סיכום‪.‬‬
‫‪ .6‬אלגברה‬
‫‪ ‬בסדרות מותר לרשום את כל איברי הסדרה הרלוונטיים וכך להגיע לתשובה‪,‬‬
‫אך אם שגה בדרך פתרון זו בחישוב אחד האיברים או בסכומם לא יקבל‬
‫נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬בשאלת גידול ודעיכה אם נבחן פתר לפי גדילה במקום דעיכה או להפך לא‬
‫יקבל נקודות לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחוקי חזקות לא יקבל נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים‬
‫ממנו (למשל‪ ,‬רשם ‪.) 3  5x  15x , (53 )x =15x‬‬
‫‪ ‬אם נבחן השתמש בחוקי לוגריתמים באופן שגוי‪ ,‬לא יקבל נקודות על הסעיף‬
‫(למשל‪ ,‬רשם כי לוגריתם של מכפלה שווה למכפלת הלוגריתמים או כל טעות‬
‫דומה)‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ .4‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪ ‬אם נבחן מציב במקום פרמטר ערך מסוים קבוע‪ ,‬במקום שבו היה עליו להביע‬
‫פתרונות באמצעות הפרמטר‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בחישוב תחום ההגדרה ובעקבות שגיאה זו הפתרון השתנה בצורה‬
‫משמעותית‪ ,‬ייקנס לא רק בסעיף תחום ההגדרה אלא גם בסעיפים נוספים‬
‫בהם טעות זו הקלה על הפתרון‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם בשל טעות בתחום ההגדרה התקבלה פונקציה ללא אסימפטוטה‬
‫אנכית‪ ,‬וכתוצאה מכך השתנה גרף הפונקציה באופן משמעותי‪ ,‬הנבחן ייקנס‬
‫גם בסעיפים נוספים בהתאם לשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל תוצאות שאינן מתיישבות עם הנתון בשאלה‪ ,‬ייקנס בכל הסעיפים‬
‫המושפעים מתשובתו‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אם נתון בשאלה כי לפונקציה יש נקודת קיצון ובעקבות טעות בתחום‬
‫ההגדרה קיבל הנבחן כי לפונקציה אין נקודות קיצון‪ ,‬במקרה זה ייקנס הנבחן‬
‫על תחומי עליה וירידה וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שציין תחום הגדרה ולא התייחס לנקודות אי הגדרה‪ ,‬לא יקבל נקודות‬
‫על תחום ההגדרה וכן על הסעיפים הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שרשם בתחום ההגדרה אי שוויון חזק במקום אי שוויון חלש או להפך‪,‬‬
‫לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬בחקירה של פונקציה טריגונומטרית אין להשאיר את התשובה במעלות‪.‬‬
‫‪ ‬אם בגזירה של פונקציה מורכבת נבחן לא התייחס לפונקציה הפנימית‪,‬‬
‫במרבית המקרים מפסיקים לבדוק את הסעיף ולפעמים אפילו את השאלה‬
‫כולה (אם הפתרון בנוי על הגזירה)‪ .‬החלטה על מספר נקודות שמורידים על‬
‫הטעות תלויה באופי השגיאה‪ ,‬ביכולת לבדוק את המשך השאלה‪ ,‬ברמת‬
‫הקושי שנוצרה ועוד‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬אם נבחן טעה טעות גסה בנגזרת‪ ,‬יקבל‬
‫נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים לנגזרת‬
‫‪ ‬אם נבחן שרטט אסימפטוטות לא נכונות‪ ,‬או שרטט גרף מחוץ לתחום‬
‫ההגדרה‪ ,‬או שרטט גרף החותך את ציר ה‪ x -‬בצורה שגויה‪ ,‬או חותך‬
‫אסימפטוטה אנכית‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬טעות נפוצה בשרטוט גרפים עם אסימפטוטות‪:‬‬
‫‪ ‬אם בפונקציית מנה‪ ,‬נבחן כפל את הפונקציה במכנה‪ ,‬ו"קיבל" פונקציה ללא‬
‫מכנה (למשל‪ ,‬פולינום)‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה‪ ,‬נבחן חייב להסביר מדוע מספיק לגזור‬
‫את המונה בלבד‪ .‬אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום מסוים‪ ,‬על הנבחן לנמק את‬
‫העלייה‪/‬הירידה של הפונקציה בתחום זה‪.‬‬
‫‪ ‬בפונקציות בעלות תחום סגור יש להתייחס לקצות התחום בעת רישום נקודות‬
‫קיצון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה בפתרון של אי שוויון‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף זה ולסעיפים‬
‫הקשורים‪.‬‬
‫‪ ‬במציאת פונקציה קדומה‪:‬‬
‫ אם הטעות היא רק ברמה של מקדם קבוע‪ ,‬מורידים נקודות רק על‬‫הפונקציה הקדומה וממשיכים לבדוק על פי השגיאה‪.‬‬
‫ בכל מקרה אחר של טעות‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬‫ במקרה שנבחן טעה טעות גסה במציאת הפונקציה הקדומה‪ ,‬לא יקבל‬‫נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו‬
‫‪e x 1‬‬
‫(למשל רשם‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪.)  e x dx ‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא רשם בכתיבת האינטגרל ‪ , dx‬לא רשם סוגריים במקום הנכון‬
‫וכדומה‪ ,‬ייקנס ב‪.5% -‬‬
‫‪72‬‬
‫‪ ‬בעת חישוב האינטגרל חייבים לרשום את הצבת הגבולות בפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בזיהוי השטח הנדרש בשאלה וחישב שטח אחר מהמבוקש‪ ,‬יקבל‬
‫נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫‪ ‬בחשבון אינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות על הנבחן לעבוד ברדיאנים‪,‬‬
‫אחרת לא יקבל ניקוד עבור החישוב‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל שטח שלילי ורשם בשרשרת השוויונות ערך מוחלט רק על‬
‫התוצאה הסופית יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה‪.‬‬
‫אם השאיר את תוצאת השטח כמספר שלילי לא יקבל נקודות לסעיף זה‪.‬‬
‫‪ ‬אם במציאת נפח גוף סיבוב נבחן רשם ריבוע ההפרש של פונקציות במקום‬
‫הפרש הריבועים‪ ,‬מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שכח לרשום ‪ π‬במציאת נפח גוף סיבוב‪ ,‬מורידים ‪.62%‬‬
‫‪ .5‬בעיות ערך קיצון‬
‫‪ ‬בניית הפונקציה הנכונה מהווה כ‪ 52% -‬מהשאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם יש טעות חמורה בגזירה‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אי בדיקת מינימום‪/‬מקסימום גורמת להורדה של עד ‪.62%‬‬
‫‪ ‬נבחן ששגה משמעותית בבניית הפונקציה‪ ,‬לא יקבל נקודות לכל השאלה‪.‬‬
‫‪ .3‬טריגונומטריה במישור ובמרחב‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש בזהויות טריגונומטריות שגויות‪ ,‬לא יקבל ניקוד על הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שהשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס של מעגל שאיננו חוסם את‬
‫המשולש שעבורו השתמש במשפט‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬מפסיקים לבדוק תשובה שבה הפתרון מבוסס על הנחת יסוד שגויה‪ .‬למשל‪,‬‬
‫שימוש בשיקול גיאומטרי שגוי כגון‪ :‬תיכון הוא חוצה זווית‪....‬‬
‫‪ ‬אין להשאיר תשובה מהצורה )‪ sin(90-α‬או )‪ cos(π-α‬וכד'‪.‬‬
‫‪ ‬בטריגונומטריה במישור ובמרחב‪ ,‬נבחן חייב לרשום באיזה משולש הוא מבצע‬
‫תהליך‪ .‬אם לא רשם את המשולש ולא ברור לאיזה משולש הכוונה‪ ,‬הוא לא‬
‫יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שטעה בפונקציה טריגונומטרית או במשפט הסינוסים‪ ,‬או במשפט‬
‫הקוסינוסים‪ ,‬לא יקבל נקודות לסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן שגה בזיהוי של זווית במרחב מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫במקרים רבים בחירת הזווית נעשית על ידי גישה אינטואיטיבית ולא על פי‬
‫הגדרה ומכך נובעות מרבית הטעויות‪ ,‬בפרט אם יש צורך לזהות זווית במקרים‬
‫פחות סטנדרטיים‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מועד ב' מיוחד תשס"ז‬
‫טעות נפוצה בפתרון שאלה זו‪ ,‬היא זיהוי שגוי של הזווית המסומנת בשרטוט‬
‫ב‪.)*( -‬‬
‫‪ .6‬סטטיסטיקה והסתברות‬
‫‪ ‬נבחן שרשם עץ מלא ונכון ולא המשיך‪ ,‬יקבל נקודות עבור העץ‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שחישב מקרים אפשריים וחיבר ביניהם ושכח מקרה אחד יקבל‪ ,‬בדרך‬
‫כלל‪ ,‬חלק מנקודות הסעיף‪ .‬אם שכח יותר ממקרה אחד לא יקבל נקודות על‬
‫הסעיף‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שקיבל הסתברות גדולה מ‪ 6-‬או הסתברות שלילית לא יקבל נקודות על‬
‫הסעיף‪ .‬השתמש בכך גם בהמשך לא יקבל נקודות לשאלה כולה‪.‬‬
‫‪ ‬על הנבחן להגדיר בבירור את המאורעות ולפרט את כל תהליך הפתרון כולל‬
‫הצבות‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ ‬כדי לקבל נקודות לפתרון שאלה בהתפלגות נורמלית יש למלא במחברת את‬
‫הגרף בשלמות (המשתנה והאחוזים)‪ ,‬או לחילופין להסביר כל סעיף בנפרד‪.‬‬
‫תשובה סופית בלבד לא תזכה בנקודות‪.‬‬
‫‪ .8‬גיאומטרית המישור‬
‫‪ ‬יש לנמק כל שלב גיאומטרי על ידי ציטוט משפט מתאים‪.‬‬
‫כל נימוק חסר ייקנס ב‪.62%-‬‬
‫‪ ‬מותר להשתמש רק במשפטים הנמצאים ברשימת המשפטים שפורסמה באתר‬
‫המפמ"ר‪ .‬שימוש בטענה שאיננה נמצאת ברשימת המשפטים מחייבת הוכחה‪.‬‬
‫היעדר הוכחה במקרה כזה ייחשב כדילוג על שלבים בהוכחה‪.‬‬
‫‪ .5‬גיאומטריה אנליטית‬
‫‪ ‬לא יתקבל פתרון על פי שרטוט בלבד‪.‬‬
‫‪ .12‬וקטורים‬
‫‪ ‬אם נבחן צמצם וקטורים במכפלה סקלרית‪ ,‬מפסיקים לבדוק את השאלה‪.‬‬
‫‪ ‬אם נבחן חילק וקטור בווקטור‪ ,‬הנבחן ייקנס גם אם לטעות אין השפעה על‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫‪ ‬נבחן שלא סימן ווקטורים בצורה תקנית ייקנס‪.‬‬
‫‪ .11‬מספרים מרוכבים‬
‫‪ ‬טיפול שגוי של נבחן בערך המוחלט של מספר מרוכב‪ ,‬מביא להפסקת‬
‫הבדיקה‪.‬‬
‫אירמה ג'ן‬
‫מפמ"ר מתמטיקה‬
‫‪73‬‬