Funktio ja funktion kuvaaja
Käytännössä funktio tarkoittaa laskulauseketta
f(x) = 2x – 3
f(x) = 3x2 – 2x + 5 jne, joka
kertoo, miten funktion arvot lasketaan.
Funktiota voidaan havainnollistaa kuvaajalla:
x:n arvot tulevat x-akselille (vaaka-akseli)
funktion arvot f(x) tulevat y-akselille (pystyakseli)
f(x) = 2x - 3
y:n arvoja
x:n arvoja
Funktion arvot taulukoituna
x
x:n arvot
sisään
f(x) = 2x -3
-2
2•(-2) – 3 = -7
-1
2•(-1) – 3 = -5
0
2•0 – 3 = -3
1
2•1 – 3 = -1
2
2•2 – 3 = 1
laskulauseke
antaa funktion
arvot ulos.
Funktion arvot
ovat y:n arvoja
Funktion kuvaaja
Funktiota voidaan havainnollistaa kuvaajalla:
x:n arvot tulevat x-akselille (vaaka-akseli)
funktion arvot f(x) tulevat y-akselille (pystyakseli)
f(x) = 2x - 3
y:n arvoja
x
f(x) = 2x -3
-1
-5
0
-3
1
-1
2
1
x:n arvoja
Sitten lasketaan taulukko
Funktion kuvaaja
Funktiota voidaan havainnollistaa kuvaajalla:
x:n arvot tulevat x-akselille (vaaka-akseli)
funktion arvot f(x) tulevat y-akselille (pystyakseli)
f(x) = 2x - 3
5
4
3
y:n arvoja
x:n arvoja
2
1
Piirtämistä varten merkitään
0
-5
y = 2x - 3
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
Laitetaan (x,y) parit
koordinaatistoon
-4
-5
0
1
2
3
4
5
Funktion nollakohta
Funktion nollakohta tarkoittaa sitä x:n arvoa,
jossa funktion arvo on nolla.
Mikä on funktion f(x) = 2x – 3 nollakohta?
Merkitään funktion lauseke nollaksi
2x – 3 = 0
2x  3
3
x
2
3
1
Vastaus: Nollakohta on x =  1
2
2
Funktion nollakohta graafisesti
f(x) = 2x - 3
5
Nollakohta löytyy
x-akselin (vaaka)
leikkauskohdasta
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
3
4
5
x ≈ 1,5
Polynomifunktion kuvaaja
ensimmäinen aste  suora
Polynomifunktiota merkitään yleensä P(x), esim
P(x) = 2x – 3 on ensimmäisen asteen polynomi,
jonka kuvaaja on suora
5
y = 2x - 3
4
3
2
Lasketaan 2 pistettä
x
y
o
-3
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
2
1
-4
-5
0
1
2
3
4
5
Suoran kuvaaja
y = kx + b
kulmakerroin,
määrää suoran
suunnan ja jyrkkyyden
Vakiotermi,
määrää missä kohdassa
origon ylä/alapuolella
suora leikkaa y-akselin
k > 0 (positiivinen)  nouseva suora
k < 0 (negatiivinen)  laskeva suora
k=0
 vaakasuora
Jos y puuttuu, kyseessä on ”pystysuora”
Esimerkkejä
y = 3x - 5
•Nouseva
•Leikkaa origon alapuolella -5:ssa
y = -2x + 1
•Laskeva
•Leikkaa origon yläpuolella 1:ssä
y=3
•”Vaakasuora”
•Kulkee origon yläpuolelle
x = -5
•”Pystysuora”
•Kulkee origosta vasemmalla
(Jos y puuttuu, suora on ”pystysuora”)
Toisen asteen polynomifunktio
(kuvaaja paraabeli)
P(x) = 2x2 - 8
f ( x)  2 x  8
2
y = 2x2 - 8
Lasketaan useampia pisteitä origon ympäristössä.
Piirretään käsipelillä, ei viivottimella,
koska kyseessä on käyrä
Lasketaan esimerkiksi x:n arvoilla
-4, - 3 , -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4
Origon lähellä voidaan laskea
puolen yksikön välein, koska kuvaaja kaartuu voimakkaasti
Paraabelin f(x) = -x2 +2x kuvaaja
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y = -x2 +2x
-8
-3
0
1
0
-3
-8
-5
-4
-3
-2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
4
5
6
Paraabelin f(x) = 2x2 – 8 kuvaaja
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
7
2
y = 2x - 8
24
10
0
-6
-8
-6
0
10
24
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3