Derivaattaluvut ja Dini derivaatat
LuK-tutkielma
Helmi Glumo
2434483
Matemaattisten tieteiden laitos
Oulun yliopisto
Syksy 2016
Sisältö
Johdanto
2
1
Taustaa
2
2
Määritelmät
4
3
Esimerkkejä ja lauseita
7
Lähdeluettelo
12
1
Johdanto
Derivaatta on yksi analyysin keskeisimpiä työkaluja, jolla on paljon sovelluksia funktion kulkuun liittyvissä teorioissa. Kuitenkaan, derivaattaa ei aina
ole olemassa. Joillain funktioilla derivaatta on olemassa vain tietyissä pisteissä, toisilla ei yhdessäkään. Tällaisiin tilanteisiin on kehitetty korvikkeita derivaatalle. Korvikkeiden avulla voidaan kuvata sellaistenkin funktioiden
kulku, joilla ei ole olemassa tavallista derivaattaa.
Tässä Luk-tutkielmassa käsittelen yhtä tällaista derivaatan korviketta,
Dini derivaattaa. Se on yksinkertainen ja kätevä derivaatan korvike. Dini
derivaatta on myös erittäin monikäyttöinen, sillä se on olemassa jokaisessa pisteessä jokaiselle avoimella välillä määritellylle funktiolle. Työn teorian
ja todistusten ymmärtämiseksi on hyvä tuntea analyysin tavallisimpia käsitteitä, kuten derivaatta, funktion jatkuvuus ja monotonisuus. Lähes kaikki
tutkielman ymmärtämiseksi tarvittavat määritelmät ja lauseet on kuitenkin
esitetty ensimmäisessä kappaleessa, joten pohjaksi ei välttämättä tarvitse
muuta kuin matemaattisen tekstin ja ajattelun ymmärtämistä.
Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa määrittelen myöhempiä todistuksia ja lauseita varten tarpeellisia käsitteitä. Toisessa kappaleessa olen määritellyt työn varsinaisen aiheen mukaiset käsitteet ja esittänyt niihin liittyviä
lemmoja. Viimeisessä kappaleessa on useita esimerkkejä funktioiden Dini derivaatoista ja kaksi lausetta todistuksineen. Lemman 2.8 todistuksen sekä
esimerkin 3.3 olen keksinyt itse.
Dini derivaatta on nimetty italialaisen matemaatikon Ulisse Dinin (18451918) mukaan. Hän tutki erityisesti funktioiden jatkuvuutta, derivaattoja,
derivaatan olemassaolon ehtoja, sarjoja ja äärellisiä integraaleja. Dini oli yksi
suurimpia mestareita teorioiden yleistämisessä ja vastaoletusten rakentamisessa. Hän todisti tarkasti lauseita, jotka oli siihen mennessä pystytty osoittamaan vain epätäsmällisin keinoin.
1
Taustaa
Tässä LuK-tutkielmassa keskitytään reaalilukujen analyysiin, joten määritelmien ja esimerkkien funktiot on määritelty
Määritelmä 1.1. Olkoon funktio
f
derivaatta pisteessä
x0
f
R → R.
määritelty välillä
on
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
2
I
ja
x0 ∈ I .
Funktion
mikäli tämä raja-arvo on olemassa tai saa arvon
derivaatta on äärellinen, funktio on
∞
derivoituva
tai
−∞. Mikäli funktion
x0 . Yleensä, kun
pisteessä
sanotaan, että derivaatta on olemassa, tarkoitetaan sen olevan äärellinen.
f
Vaikka funktio
ei olisi derivoituva pisteessä
x0 ,
voi erotusosamäärän
raja-arvo saada toispuoleisia arvoja.
Määritelmä 1.2. Olkoon funktio
f
f
määritelty välillä
oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä
f+0 (x0 ) = lim+
x→x0
x0
I
x0
x→x0
f
f
vasemmanpuo-
on
f−0 (x0 ) = lim−
Huomautus 1.3. Funktion
Funktion
f (x) − f (x0 )
,
x − x0
kun toispuoleinen raja-arvo on olemassa. Samoin funktion
leinen derivaatta pisteessä
x0 ∈ I .
ja
on
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
derivaatta pisteessä
x0
on olemassa jos ja vain
jos
f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ).
(1) Jos kaikille
f määritelty välillä I . Olkoon x1 ja x2
I , että x1 < x2 .
x1 ja x2 pätee f (x1 ) ≤ f (x2 ), funktio f on kasvava välillä
(2) Jos kaikille
x1
ja
x2
pätee
(3) Jos kaikille
x1
ja
x2
pätee
(4) Jos kaikille
x1 ja x2 pätee f (x1 ) > f (x2 ), funktio f
Määritelmä 1.4. Olkoon funktio
sellaiset pisteet väliltä
I.
välillä
f (x1 ) < f (x2 ), funktio f
on
aidosti kasvava
I.
f (x1 ) ≥ f (x2 ), funktio f
on
vähenevä välillä
I.
välillä
on
aidosti vähenevä
I.
Lause 1.5 (Bolzano-Weierstrassin lause). Jokaisella rajoitetulla lukujonolla,
on suppeneva osajono.
Todistus. Lauseen [1, Theorem 2.39] nojalla, jokaisella lukujonolla on mono-
toninen osajono. Tällainen osajono on siis sekä monotoninen, että rajoitettu
ja siten suppeneva.
3
2
Määritelmät
Esimerkki 2.1. Olkoon
vuutta pisteessä
x0 = 0 .
f (x) = |x| ∈ R. Tarkastellaan funktion f
derivoitu-
Erotusosamääräksi saadaan
f (x) − f (0)
|x|
=
=
x−0
x
Siten
f+0 (0) = lim+
x→x0
(
1,
x>0
−1, x < 0.
|x|
=1
x
ja
f−0 (0) = lim−
x→x0
f on siis erisuuret
x0 = 0, joten funktio f
|x|
= −1.
x
Funktiolla
oikean- ja vasemmanpuoleiset derivaatat pis-
teessä
ei ole derivoituva pisteessä
x0 = 0 .
Aina funktiolla ei kuitenkaan ole edes toispuoleisia derivaattoja.
Esimerkki 2.2. Tarkastellaan funktiota
(
f (x) =
Koska
| cos x−1 | ≤ 1
kaikilla
|x|| cos x−1 |, x 6= 0
0,
x = 0.
x 6= 0,
lim f (x) = 0 = f (0),
x→0
joten funktio
f
f
x = 0. Selvästi nähdään, että f on
x ∈ R, joten f on jatkuva funktio. Funktion
on jatkuva pisteessä
jatkuva kaikissa muissa pisteissä
heilahteleva käyttäytyminen johtaa siihen, että molemmilla jonoilla
{x : | cos x−1 | = 1} ja {x : | cos x−1 | = 0}
raja-arvo, kun
x
lähestyy nollaa, on nolla. Täten myös jonoilla
{x : f (x) = |x|} ja {x : f (x) = 0}
on raja-arvona nolla. Erotusosamäärän tarkastelu osoittaa, että
lim sup
x→x+
0
eli funktiolla
f
f (x) − f (0)
= 1,
x−0
kun taas
lim inf
+
x→x0
f (x) − f (0)
= 0,
x−0
ei ole olemassa oikeanpuoleista derivaattaa
Samoin voidaan osoittaa, ettei funktiolla
taa.
4
f
f+0 pisteessä x = 0.
ole vasemmanpuoleista derivaat-
Derivaatalla on tärkeä rooli analyysissä, minkä vuoksi on kehitetty korvikkeita tilanteisiin, joissa derivaattaa ei ole olemassa. Yksi yksinkertaisimmista
tällaisista derivaatan korvikkeista on Dini-derivaatta. Dini-derivaatta on olemassa jokaisessa pisteessä jokaiselle funktiolle, joka on määritelty avoimella
välillä. Määritellään aluksi funktion derivaattaluku.
α ∈ [−∞, +∞] on
lukujono hk → 0, että
Määritelmä 2.3. Luku
on olemassa sellainen
funktion
f
derivaattaluku, jos
f (x + hk ) − f (x)
= α.
k→∞
hk
lim
Huomautus 2.4. Jos
f
on derivoituva pisteessä
f 0 (x).
x,
niin sillä on tasan yksi
derivaattaluku, joka on sen derivaatta
Määritelmä 2.5. Luku
α ∈ [−∞, +∞]
f oikeanpuoleinen dehk → 0, missä hk > 0, että
on funktion
rivaattaluku, jos on olemassa sellainen lukujono
f (x + hk ) − f (x)
= α.
k→∞
hk
lim
Vastaavasti luku
α
on funktion
f
vasemmanpuoleinen derivaattaluku, jos on
olemassa samat ehdot täyttävä lukujono
hk < 0.
Dini derivaattoja kutsutaan myös äärimmäisiksi toispuoleisiksi derivaattaluvuiksi. Dini derivaattoja on olemassa neljä: ylempi ja alempi oikeanpuoleinen ja ylempi ja alempi vasemmanpuoleinen Dini derivaatta.
Määritelmä 2.6. Funktion
f
oikeanpuoleiset Dini derivaatat pisteessä
x
ovat
D+ f (x) = sup{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f oikeanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}
ja
D+ f (x) = inf{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f oikeanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}.
Vastaavasti määritellään funktion
pisteessä
f
vasemmanpuoleiset Dini derivaatat
x
D− f (x) = sup{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f vasemmanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}
5
ja
D− f (x) = inf{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f vasemmanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}.
A ⊂ [−∞, +∞] ei ole ylhäältä rajoitettu, niin sup A = +∞.
A ⊂ [−∞, +∞] ei ole alhaalta rajoitettu, niin inf A = −∞.
Sovitaan, että jos
Vastaavasti, jos
Osoitetaan seuraavaksi, että määritelmä (2.6) on hyvin asesettu.
f
Lemma 2.7. Funktiolla
on jokaisessa pisteessä
keanpuoleinen derivaattaluku. Vastaavasti funktiolla
sä
x∈R
x ∈ R ainakin yksi oif on jokaisessa pistees-
ainakin yksi vasemmanpuoleinen derivaattaluku.
Todistus. Valitaan sellainen mielivaltainen jono
xk > x ,
että
xk → x.
Tar-
kastellaan jonoa
αk =
Jos jono
(αk )k
f (xk ) − f (x)
.
xk − x
on rajoitettu, sillä on Bolzano-Weierstrassin lauseen nojalla
suppeneva osajono
(αkm )m .
Tällöin
f (xkm ) − f (x)
m→∞
x km − x
α = lim αkm = lim
m→∞
x. Jos (αk )k ei ole ylhäältä rajoitettu, sillä on sellainen osajono (αkm )m , että αkm → +∞, jolloin
+∞ on funktion f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x. Jos (αk ) ei
ole alhaalta rajoitettu, vastaavasti −∞ on funktion f oikeanpuolinen derivaattaluku pisteessä x.
on funktion
f
oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä
Vasemmanpuoleisen derivaattaluvun olemassaolon todistus on analoginen
oikeanpuoleiselle.
Lemma 2.8. Funktion
f
oikeanpuoleiset Dini derivaatat pisteessä
x = x0
f on oikeanpuoleinen derivaatta pisteesD+ f (x) = D+ f (x) = f+0 . Vastaava yhteys pätee vasemmanpuo-
ovat samat jos ja vain jos funktiolla
sä
x = x0
eli
leiselle derivaatalle.
Todistus. ⇐
Olkoon
α
funktion
f
oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä
Tällöin erotusosamäärän raja-arvo
lim+
x→x0
f (x) − f (x0 )
= α.
x − x0
6
x0 .
α on funktion oikeanpuoleinen derivaattaluku
Huomautuksen 2.4 nojalla luku
pisteessä
x0 .
Tällöin Dini-derivaatan määritelmän nojalla
D+ f (x) = sup{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f oikeanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}
=α
ja
D+ f (x) = inf{α ∈ [−∞, ∞] | α on
funktion f oikeanpuoleinen
derivaattaluku pisteessä x}
= α.
⇒ Olkoon
α funktion f ylempi ja alempi oikeanpuoleinen Dini derivaatTällöin α on Dini derivaatan määritelmän nojalla funktion
f oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä x0 . Oikeanpuoleinen derivaattaluku on nyt yksikäsitteinen, jolloin Huomautuksen 2.4 nojalla α on funktion
f oikeanpuoleinen derivaatta.
ta pisteessä
x0 .
Lemma 2.9. Lemman 2.8 mukaisesti pätee myös seuraava yhteys.
D+ f (x) = D+ f (x) = ∞
jos ja vain jos
lim+
y→x
f (y) − f (x)
= ∞.
y−x
Vastaavasti pätee myös, että
D− f (x) = D− f (x) = −∞
jos ja vain jos
lim−
y→x
3
f (y) − f (x)
= −∞.
y−x
Esimerkkejä ja lauseita
Esimerkki 3.1. Määritetään Dini-derivaatat funktiolle
x = 0.
Funktio f
teessä
on jatkuva kaikkialla
sin
∈ R.
Nyt
1
1
π
= 1 ⇔ = + k · 2π
x
x
2
ja
sin
1
1
= 0 ⇔ = k · π.
x
x
7
f (x) = x sin( x1 )
pis-
Tällöin on olemassa lukujonot
xk =
ja
π
2
1
→0
+ k · 2π
1 1
· → 0,
k π
f (xk ) = |xk | = xk ja f (yk ) = 0.
yk =
kun
k → ∞.
Tällöin
lim sup
x→0+
Täten
f (x) − f (0)
f (xk )
= 1.
≥ lim
k→∞ xk
x−0
limk→∞ xk = x
1
f (xk ) − f (0)
= sin
≤ 1.
xk − 0
xk
Toisaalta jokaiselle lukujonolle
Tästä seuraa, että
(xk ),
jolle
D+ (0) = D− (0) = 1.
Vastaavasti, koska
f (xk ) − f (0)
= sin
xk − 0
niin
1
xk
≥ −1,
D+ (0) = D− (0) = −1.
Kuva 1: Funktion
x sin(1/x)
8
pätee
kuvaaja
Esimerkki 3.2. Tarkastellaan funktiota
(
f (x) =
1, x ∈ Q
0, muulloin.
Määritetään funktion Dini derivaatat. Kaikilla rationaaliluvuilla
x
D+ f (x) = 0, D+ f (x) = −∞, D− f (x) = ∞ ja D− f (x) = 0.
Dini derivaatat kaikille irrationaalisille luvuille
x
ovat
D+ f (x) = ∞, D+ f (x) = 0, D− f (x) = 0 ja D− f (x) = −∞.
Kuva 2: Esimerkin 3.2 funktion
f (x)
kuvaaja.
Dini derivaattojen avulla on helppo selvittää, onko funktiolla derivaatta
pisteessä
x0 .
Derivaatta on olemassa jos ja vain jos kaikki neljä Dini deri-
vaattaa ovat samat pisteessä
x0 .
Tämä on seuraus Lemmasta 2.8.
√
f (x) = 3 x pisteessä
x > 0, niin
Esimerkki 3.3. Määritetään Dini derivaatat funktiolle
x = 0.
Kun lähestytään nollaa positiiviselta puolelta
√
3
f (x) − f (0)
x
f (x)
=
=
.
x−0
x
x
Joten
√
3
lim+
x→0
x
= ∞.
x
9
x < 0,
√
3
f (x) − f (0)
x
f (x)
=
=
.
x−0
x
x
Kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta
Joten
√
3
x
= ∞.
x→0
x
D+ f (0) = D+ f (0) = ∞
lim−
Täten lemman (2.9) nojalla
ja
D− f (0) = D− f (0) =
∞.
Kuva 3: Funktion
Lause 3.4. Olkoon funktio
pisteessä
x ∈ [a, b[,
niin
f
f
√
3
x
kuvaaja
[a, b]. Jos D+ f (x) > 0 jokaisessa
kasvava välillä [a, b].
jatkuva välillä
on aidosti
f on kasvava. Tämä osoitetaan vasf ei ole kasvava välillä [a, b], on olemassa pisteet c ja d, joilla
a ≤ c < d ≤ b ja f (c) > f (d).
Olkoon y mielivaltainen piste välillä ]f (d), f (c)[. Koska f on jatkuva välillä [a, b], sillä on väliarvo-ominaisuus. Lauseen [1, Theorem 5.52] nojalla on
olemassa sellainen piste t ∈]c, d[, että f (t) = y . Täten joukko {x : f (x) =
y} ∩ [c, d] on epätyhjä.
Olkoon x0 = sup{x : c ≤ x ≤ d ja f (x) = y}. Nyt f (d) < y ja f on
jatkuva, mistä seuraa, että x0 < d. Siten f (x) < y , kun x ∈]x0 , d]. Lisäksi,
koska f on jatkuva, joukko {x : f (x) = y} on suljettu, joten f (x0 ) = y .
Todistus. Osoitetaan aluksi, että funktio
taoletuksella. Jos
10
+
Tämä kuitenkin edellyttäisi, että D f (x0 ) ≤ 0. Tämä on ristiriidassa
+
oletuksen D f (x) > 0 kaikilla x ∈ [a, b[ kanssa. Tämä ristiriita osoittaa, että
f
on kasvava.
f ei ole aidosti
f on vakio. Jokaisessa pisteessä tällai0
sella välillä funktion f derivaatta olisi f (x) = 0. Tällöin ei olisi mahdollista,
+
että D f (x) > 0 näissä pisteissä. Funktio f on siis aidosti kasvava välillä
[a, b].
Nyt osoitetaan, että funktio
f
on aidosti kasvava. Jos
kasvava, on oltava jokin alaväli, jossa
f on aidosti kasvava, jos D f (x) > 0 kaikissa pisteissä x. Jos taas D+ f (x) < 0 kaikissa
pisteissä x tai jos D− f (x) < 0 kaikissa pisteissä x, niin funktio f on aidosti
Huomautus 3.5. Vastaavasti, lauseen 3.4 mukaisesti funktio
−
vähenevä.
Lause 3.6. Jos funktio
f
on jatkuva ja
sia derivaattalukuja pisteessä
x,
a
ja
on olemassa lukujonot
ja
b
f oikeanpuoleic ∈ [a, b] on funktion f
ovat funktion
niin jokainen luku
oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä
Todistus. Olkoon
a
x.
b ovat funktion derivaattalukuja pisteessä x. Tällöin
ak → x ja bk → x ja ak > x ja bk > x. Tällöin
f (ak ) − f (x)
=a
k→∞
ak − x
lim
ja
f (bk ) − f (x)
= b.
k→∞
bk − x
c, jolle pätee a < c < b, on voimassa
lim
Nyt jokaiselle luvulle
f (ak ) − f (x)
<c
k→∞
ak − x
(1) lim
ja
f (bk ) − f (x)
> c.
k→∞
bk − x
(2) lim
(x)
. Kohdista (1) ja (2) seuraa, että g(ak ) < c ja g(bk ) >
g(y) = f (y)−f
y−x
c. Koska g on jatkuva, on olemassa lukujono zk ∈ ]ak , bk [, jolle g(zk ) = c. Nyt
zk → x ja zk > x. Täten
f (zk ) − f (x)
= c,
zk − x
Olkoon
jolloin
f (zk ) − f (x)
= c.
k→∞
zk − x
lim
Joten
c
on funktion oikeanpuoleinen derivaattaluku pisteessä
11
x.
Lähdeluettelo
[1] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Elementary Real Analysis; Second edition, 2008.
[2] Kuva 1: http://i.stack.imgur.com/NLp4s.png
[3] Kuva 3: http://i.stack.imgur.com/dClDP.png
[4] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Dini.html
12