חוברת תרגולים בחשבון אינפיניטסימלי 230 ,3־88 - Math-Wiki
חוברת תרגולים בחשבון אינפיניטסימלי 230 ,3־88
אלעד עטייא
29בנובמבר 2015
1
נורמות ומכפלות פנימיות
הגדרה 1.1יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה ) Fשדה המרוכבים או שדה הממשיים( .פונקציה
h, i : V × V → Fנקראת מכפלה פנימית מעל המרחב ,Vאם היא מקיימת את התכונות
הבאות:
.1ליניאריות ברכיב הראשון hau + v, wi = a · hu, wi + hv, wi :לכל a ∈ Fולכל
.u, v, w ∈ V
.2הרמיטיות.hu, vi = hv, ui :
.3אי־שליליות:
)א( hv, vi ≥ 0לכל .v ∈ V
)ב( .hv, vi = 0 ⇐⇒ v = 0
מרחב שעליו מוגדרת מכפלה פנימית נקרא ,למרבה ההפתעה ,מרחב מכפלה פנימית.
לדוגמה:
.1המכפלות הפנימיות הסטנדרטיות:
)א( במרחב Rnנגדירui vi :
Pn
i=1
= .hu, vi
1
)ב( במרחב Cnנגדירui vi :
Pn
i=1
= .hu, vi
.2במרחב הסתברותי של משתנים מקריים )מבלי להיכנס לאפיון של מרחב כזה כמרחב
וקטורי( נגדיר hX, Y i = E (XY ) :כאשר Eמסמלת את התוחלת .מתכונות התוחלת
ניתן לראות שתכונות המכפלה הפנימית אכן מתקיימות .אפשר גם להגדיר:
) ,hX, Y i = COV (X, Yעם אפיון מעט שונה למרחב הוקטורי.
.3במרחב הפונקציות הרציפות בקטע ,C[I] ,Iנגדירf (x)g(x)dx :
´
I
= .hf, giמתכונות
האינטגרל ניתן לראות שזו אכן מכפלה פנימית.
.4במרחב מטריצות מסדר מסוים ,נגדיר .hA, Bi = tr B T A :מתכונות העקבה ניתן
לראות שזו אכן מכפלה פנימית.
הגדרה 1.2יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fפונקציה kk : V → Rנקראת נורמה ,אם
היא מקיימת את התכונות הבאות:
.1אי־שליליות:
)א( kuk ≥ 0לכל .u ∈ V
)ב( kuk = 0 ⇐⇒ u = 0לכל .u ∈ V
.2הומוגניות kλuk = |λ| · kuk :לכל λ ∈ Fולכל .u ∈ V
.3אי־שוויון המשולש ku + vk ≤ kuk + kvk :לכל .u, v ∈ V
מרחב שעליו מוגדרת נורמה נקרא מרחב נורמי.
הגדרה 1.3יהי Vמרחב מכפלה פנימית .הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית מוגדרת על
ידי:
hv, vi
p
= kvk
תכונות הנורמה נובעות ישירות מתכונותיה של המכפלה הפנימית במקרה זה.
אינטואיטיבית ,נורמה מגדירה גודל.
2
משפט 1.4יהי Vמרחב נורמי .הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא
מקיימת את שוויון המקבילית:
2
2
2
2
ku + vk + ku − vk = 2 kuk + kvk
לכל .u, v ∈ V
כלל המקבילית הוא משפט בגיאומטריה אוקלידית הקבוע כי סכום ריבועי ארבע צלעות
המקבילית שווה לסכום ריבועי אלכסוניה .זהו מקרה פרטי של שוויון המקבילית שלנו:
אם שתי הצלעות נתונות על ידי הוקטורים ,x, yהאלכסונים הם הוקטורים .x − y, x + y
תרגיל:
במרחב ] C[0, 1נגדיר:
|)kf kmax = max |f (x
]x∈[0,1
הראו שזו נורמה .האם הנורמה מושרית ממכפלה פנימית?
פתרון:
נראה שהפונקציה מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות מנורמה.
3
.1ערך מוחלט הוא אי־שלילי ולכן הפונקציה אי שלילית .כעת ,אם ,f = 0אכן מתקיים:
.kf kmax = maxx∈[0,1] |f (x)| = max {0} = 0מצד שני ,אם מתקיים
kf kmax = max |f (x)| = 0
]x∈[0,1
אז מהגדרת מקסימום |f (x)| ≤ 0לכל איבר בקטע ומהגדרת ערך מוחלט נקבל
שאכן .f (x) = 0
.2הומוגניות:
kλf kmax = max |λf (x)| = |λ| · max |f (x)| = |λ| · kf kmax
]x∈[0,1
]x∈[0,1
.
.3אי־שוויון המשולש:
}|)kf + gkmax = max |(f + g) (x)| = max |f (x) + g(x)| ≤ max {|f (x)| + |g(x
]x∈[0,1
]x∈[0,1
]x∈[0,1
מאי־שוויון המשולש של ערך מוחלט .כעת:
max {|f (x)| + |g(x)|} ≤ max |f (x)| + max |g(x)| = kf kmax + kgkmax
]x∈[0,1
]x∈[0,1
והוכחנו את הדרוש.
כעת ,נבדוק אם שוויון המקבילית מתקיים.
נתבונן בפונקציות.f (x) = x, g(x) = 1 − x :
מצד אחד ,מתקיים.kf kmax = kgkmax = 1 :
מצד שני,
kf + gkmax = kx + 1 − xkmax = k1kmax = 1
kf − gkmax = kx − (1 − x)kmax = k2x − 1kmax = 1
4
]x∈[0,1
ואם כך:
2
2
2
2
kf + gkmax + kf − gkmax = 2 6= 4 = 2 · (1 + 1) = 2 kf kmax + kgkmax
כלומר ,שוויון המקבילית לא מתקיים ,ולפי המשפט הנורמה אינה מושרית ממכפלה
פנימית.
דוגמאות נוספות לנורמות:
.1נורמת Lpמוגדרת ב־ Rnעל ידי:
! p1
p
| |ui
n
X
= kukp
i=1
כאשר p ≥ 1ממשי או ∞ = .p
נורמת L2היא הנורמה האוקלידית ,והיא מכונה גם הנורמה הסטנדרטית.
n
o
מעניין לראות איך נראה מעגל היחידה x ∈ R2 | kxkp = 1 ,עבור ערכים שונים של :p
כאשר ∞ = ,pאנו נשארים עם הגדולה מבין הקואורדינטות ,מכיוון שבשאיפה לאינסוף
רק החזק שורד.
.2בהינתן שני מרחבים נורמיים ,A, Bנורמת האופרטור על המרחב )Hom (A, B
5
מוגדרת על ידי:
kT (x)kB
= kT k
sup
x∈A,kxkA =1
כלומר ,סופרימום של הנורמות של התמונות של וקטורי היחידה ב .A−פשוט.
תרגיל:
האם ההשתנות הכללית )החסומה( של פונקציה היא נורמה במרחב ]?C[a, b
ההשתנות הכללית ) Vba (fמוגדרת על ידי ,Vba (f ) = supτ {v (f, τ )} :כאשר:
|) |f (xi ) − f (xi−1
n
X
= ) v (f, τ
i=1
היא ההשתנות של fלפי החלוקה .τ
הסופרימום הוא על כל החלוקות של הקטע ].[a, b
פתרון:
לא .ההשתנות של כל פונקציה קבועה היא 0אף על פי שהפונקציה עצמה אינה פונקציית
האפס.
לכן תכונות האי־שליליות אינה מתקיימת וזו אינה נורמה.
משפט 1.5אי־שוויון קושי־שוורץ
יהי Vמרחב מכפלה פנימית ,אזי לכל u, v ∈ Vמתקיים:
|hu, vi| ≤ kuk · kvk
כאשר הנורמה היא הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית.
תרגיל:
הראו שבמרחבים נורמיים בהם הנורמה מושרית ממכפלה פנימית ,אי־שוויון המשולש
נובע מאי־שוויון קושי־שוורץ.
פתרון:
6
.2 · |hu, vi| ≤ 2 (kuk · kvk) ולכן,|hu, vi| ≤ kuk · kvk
2
2
:ונקבלkuk + kvk נוסיף לשני האגפים
2
2
2
2
2
2 · |hu, vi| + kuk + kvk ≤ 2 (kuk · kvk) + kuk + kvk ≤ (kuk + kvk)
2
נשתמש בתכונות המכפלה.ku + vk = hu + v, u + vi : לפי הגדרת הנורמה,כעת
:הפנימית ובתכונות הצמוד כדי לקבל
2
ku + vk = hu + v, u + vi = hu, u + vi + hv, u + vi = hu + v, ui + hu + v, vi =
2
2
2
2
= hu, vi+hu, ui+hv, ui+hv, vi = kuk +kvk +hv, ui+hv, ui = kuk +kvk +2Re (hv, ui)
2
2
2
≤ kuk + kvk + 2 · |hu, vi| ≤ (kuk + kvk)
:ואם כך
2
2
ku + vk ≤ (kuk + kvk)
:נוציא שורש ונקבל
ku + vk ≤ kuk + kvk
.וקיבלנו את הדרוש
:תרגיל
:הוכיחו את אי־השיוויון
n
P
v
|xi | u
n
X
uXn
i=1
√
≤ t x2i ≤
|xi |
n
i=1
i=1
7
פתרון:
|xi |2
n
X
≥ | |xi ||xj
i=1
n
X
|xi |2 +
X
= | |xi ||xj
=
| |xi
i=1
i,j=1
i=1
1≤i,j≤n
i6=j
n
X
!2
n
X
ואם נוציא שורש נקבל את הדרוש .לאי־השיוויון השני ,נסמן:
) x = (|x1 |, ..., |xn |), y = (1, ..., 1ולפי א"ש קושי־שוורץ:
||| < x, y > | ≤ ||x|| · ||y
נקבל:
v
u
n
X
√ uXn
|xi | = | < x, y > | ≤ ||x|| · ||y|| = n · t x2i
i=1
ואם נחלק בn−
√
i=1
נקבל את הדרוש.
תרגילים נוספים
.1הוכיחו את "אי־שוויון המשולש השני" במרחב נורמי:
|kuk − kvk| ≤ ku ± vk
הסיקו שאם סדרת וקטורים } {unמקיימת kun − uk → 0 :אז .kun k → kuk
.2יהי Vממ"פ מעל Rותהי } {x1 , . . . , xnקבוצה אורתונורמלית .יהי x ∈ Vכלשהו.
הוכיחו שמתקיים:
2
2
|hxi , xi| ≤ kxk
n
X
i=1
8
.3יהיו X, Yמרחבים נורמיים .מי מהפונקציות הבאות היא נורמה על ?X × Yהסבירו.
החיבור והכפל מוגדרים איבר־איבר.
)א( .k(x, y)k1 = kxkX + kykY
)ב( .k(x, y)k2 = kxkX · kykY
)ג( } .k(x, y)k3 = max {kxkX , kykY
.4הוכיחו את הזהויות הבאות במרחב מכפלה פנימית ,כאשר הנורמה היא זו המושרית
מהמכפלה הפנימית:
)א( מעל :R
)ב( מעל :C
2
2
2
ku + vk − ku − vk
2
1
4
= .hu, vi
2
2
ku + vk − ku − vk + i ku + vik − i ku − vik
1
4
= .hu, vi
.5הוכיחו שאם מרחב נורמי ) (V, kkמעל Rמקיים את שוויון המקבילית ,אזי הפונקציה:
1
2
2
ku + vk − ku − vk
4
= hu, vi
היא המכפלה הפנימית מעל Vהמשרה את הנורמה.
הדרכה:
p
יש להוכיח את אקסיומות המכפלה הפנימית ושאכן .kvk = hv, vi
הדבר היחיד שאינו מיידי הוא הליניאריות ברכיב הראשון.
הוכיחו בשלבים ־ קודם אדיטיביות ואז מולטיפלטביות.
פתרונות
.1נוכיח .|kuk − kvk| ≤ ku − vk :אי־השוויון השני נובע ממנו:
|kuk − kvk| = |kuk − k−vk| ≤ ku − (−v)k = ku + vk
אם כן ,נשים לב לכך ש u = v + (u − v) :ולכן לפי אי־שוויון המשולש:
kuk ≤ kvk + ku − vk =⇒ kuk − kvk ≤ ku − vk
9
מאותה הסיבה ,kvk − kuk ≤ kv − uk ,אך ku − vk = kv − ukולכן:
|ku − vk ≥ max {kvk − kuk , kuk − kvk} = |kuk − kvk
והוכחנו את הדרוש .מאי־השוויון נקבל:
0 ≤ kun k − kuk ≤ kun − uk → 0
ולכן לפי כלל הסנדוויץ' kun k − kuk → 0 ,כלומר אכן:
kun k → kuk
.2נתבונן במרחב הוקטורי } .span {x1 . . . , xn , xנסמן את המימד של המרחב ב.k−
אם xתלוי ליניארית ב ,x1 , . . . , xn −המימד הוא nואם לא אז המימד גדל מעט ־
) n + 1קבוצה אורתונורמלית היא בת"ל( .בכל אופן ,k ≥ n ,ונעבור מ n−ל .k−לפי
גרם־שמידט נעבור לבסיס אורתונורמלי) {x1 , . . . , xk } :כל האיברים זהים לאיברים
הקודמים למעט אחד שאולי נוסף( .נציג את xכצירוף ליניארי של איברי הבסיס:
Pk
.x = i=1 ai xiכעת ,לפי הליניאריות:
*
+2
X
k
k X
k
k
X
X
2
2
||ai aj hxi , xj i
= aj xj
ai xi ,
|kxk = |hx, xi
i=1
i=1 j=1
j=1
מהאורתונורמליות,
i=j
1
i 6= j
0
= hxi , xj i
ולכן:
2
| |ai
k
X
2
= kxk
i=1
אך מי הם ?aiלפי ליניאריות:
+
= hxi , xi
aj xj
k
X
*
x,
j=1
10
= aj hxi , xj i
k
X
j=1
= ai
ולכן:
hxi , xi
n
X
= a2i
i=1
n
X
≥ a2i
k
X
i=1
i=1
2
≥ | |ai
k
X
2
= kxk
i=1
שהרי .k ≥ n
.3נבדוק האם התכונות מתקיימות.
)א( הפונקציה השנייה אינה נורמה ,מכיוון שאי־שליליות אינה מתקיימת; איבר האפס
במרחב X × Yהוא ) (0X , 0Yולכן איבר מהצורה ) (x, 0Yכאשר x 6= 0X
אינו איבר האפס ,אך מקיים:
k(x, 0Y )k2 = kxkX · k0Y kY = kxkX · 0 = 0
אפשר לדייק יותר; רק כאשר שני המרחבים הם טריוויאליים,X = Y = {0} ,
זוהי אכן נורמה.
)ב( הפונקציות הראשונה והשלישית הן אכן נורמות; נראה זאת.
.iאי־שליליות :מכיוון שלכל ,kxkX , kykY ≥ 0 ,(x, y) ∈ X × Yנקבל:
k(x, y)k1 = kxkX +kykY ≥ 0, k(x, y)k3 = max {kxkX , kykY } ≥ 0
כעת,
(x, y) = (0, 0) =⇒ kxkX , kykY = 0 =⇒ k(x, y)k3 , k(x, y)k1 = 0
לצד שני ,אם )(x, y) 6= (0, 0אז בה"כ x 6= 0ואז kxkX > 0ולכן גם:
k(x, y)k3 , k(x, y)k1 > 0
וסה"כ אי־שליליות מתקיימת עבור שתי הנורמות.
.iiהומוגניות:
kλ (x, y)k1 = k(λx, λy)k1 = kλxkX +kλykY = |λ|·kxkX +|λ|·kykY = |λ|·k(x, y)k1
כמו כן:
kλ (x, y)k3 = k(λx, λy)k3 = max {kλxkX , kλykY } = max {|λ| · kxkX , |λ| · kykY } = |λ|·k(x, y)k3
ולכן הומוגניות מתקיימת.
11
: א"ש המשולש.iii
k(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )k1 = k(x1 + x2 , y1 + y2 )k1 = kx1 + x2 kX +ky1 + y2 kY ≤
≤ kx1 kX + kx2 kX + ky1 kY + ky2 kY = k(x1 , y1 )k1 + k(x2 , y2 )k1
:וכן
k(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )k3 = k(x1 + x2 , y1 + y2 )k3 = max {kx1 + x2 kX , ky1 + y2 kY } ≤
≤ max {kx1 kX , ky1 kY }+max {kx2 kX , ky2 kY } = k(x1 , y1 )k3 +k(x2 , y2 )k3
:אי־השוויון נובע מכך ש
kx1 + x2 kX ≤ kx1 kX +kx2 kX ≤ max {kx1 kX , ky1 kY }+max {kx2 kX , ky2 kY }
:וגם
ky1 + y2 kY ≤ ky1 kY +ky2 kY ≤ max {kx1 kX , ky1 kY }+max {kx2 kX , ky2 kY }
.ואם כן הוכחנו את שלוש התכונות הנדרשות עבור כל אחת מהפונקציות
:R− נשתמש בתכונות המכפלה הפנימית ב.4
1
1
2
2
ku + vk − ku − vk = (hu + v, u + vi − hu − v, u − vi) =
4
4
=
=
=
1
(hu, u + vi + hv, u + vi − hu, u − vi − h−v, u − vi) =
4
1
(hu, u + vi + hv, u + vi + hu, v − ui + hv, u − vi) =
4
1
1
(hu, u + v + v − ui + hv, u + v + u − vi) = (hu, 2vi + hv, 2ui) =
4
4
12
1
1
(2 hu, vi + 2 hv, ui) = (2 hu, vi + 2 hu, vi) = hu, vi
4
4
=
ב ,C−כל השוויונות למעט האחרון עדיין תקפים ,ולכן:
1
1
1
2
2
= )ku + vk − ku − vk = (2 hu, vi + 2 hu, vi
2 hu, vi + 2hu, vi
4
4
4
כמו כן:
i
1
2
2
2
2
= i ku + ivk − i ku − ivk
= ku + ivk − ku − ivk
4
4
= hu, vi
1
i
i
= hu, ivi + hu, ivi
= −i hu, vi + ihu, vi
hu, vi − hu, vi
2
2
2
=
ולכן:
1
2
2
2
2
= ku + vk − ku − vk + i ku + vik − i ku − vik
4
1
1
2 hu, vi + 2hu, vi +
hu, vi − hu, vi = hu, vi
4
2
=
והוכחנו את הדרוש.
.5נבדוק שהמכפלה הפנימית משרה את הנורמה ,ושתכונות המכפלה הפנימית מתקיימות.
)א( מתקיים:
1
1
1
2
2
2
2
2
2
= ku + uk − ku − uk
= k2uk − k0k
4 kuk = kuk
4
4
4
ולכן הנורמה אכן מושרית מהמכפלה הפנימית )אם היא אכן כזו(.
2
)ב( לפי חוקי הנורמה hu, ui = kuk ≥ 0 ,וגם:
2
u = 0 ⇐⇒ kuk = 0 ⇐⇒ hu, ui = kuk = 0
ולכן אי־שליליות מתקיימת.
13
= hu, ui
:( היא טריוויאליתR )ג( סימטריות )אנחנו מעל
hu, vi =
1
1
2
2
2
2
ku + vk − ku − vk =
kv + uk − kv − uk = hv, ui
4
4
נכפיל הכל.hu + v, wi = hu, wi+hv, wi : כלומר,)ד( נראה שמתקיימת אדיטיביות
: ואנו צריכים להוכיח את השוויון השקול, כדי לא להתעסק עם שברים8−ב
8 hu + v, wi − 8 hu, wi − 8 hv, wi = 0
:מהגדרת הפונקציה
2
2
2
2
2
2
= 2 ku + v + wk −2 ku + v − wk −2 ku + wk +2 ku − wk −2 kv + wk +2 kv − wk =
:לפי שוויון המקבילית
2
2
2
2
2 ku ± wk + kv ± wk = ku + v ± 2wk + ku − vk
:ולכן הביטוי שלנו שווה ל
2
2
2
2
2
2
2 ku + v + wk −2 ku + v − wk +ku + v − 2wk +ku − vk −ku + v + 2wk −ku − vk =
2
2
2
2
= 2 ku + v + wk −2 ku + v − wk +ku + v − 2wk −ku + v + 2wk =
2
2
2
2
= ku + v − 2wk − 2 ku + v − wk − 2 ku + v + wk − ku + v + 2wk
: לפי שוויון המקבילית,שוב
2
2
2
2
2 ku + v ± wk + k±wk = ku + v ± 2wk + ku + vk
:וזה שקול ל
2
2
2
2
ku + v ± 2wk − 2 ku + v ± wk = 2 k±wk − ku + vk
14
ולכן הביטוי שלנו שווה ל:
2
2
− 2 k−wk − ku + vk = 0
2
2
2 kwk − ku + vk
ולכן אדיטיביות מתקיימת.
)ה( נוכיח מולטיפלטיביות ,כלומר .hau, vi = a hu, viנעשה זאת בשלבים.
.iראשית ,נוכיח באינדוקציה שהטענה נכונה לכל nטבעי .עבור ,n = 1
h1 · u, vi = hu, vi = 1 · hu, vi
ולכן הטענה נכונה עבור .n = 1נניח שהטענה נכונה עבור :a − 1
(a − 1) hu, vi = h(1 − a) u, vi
ונוכיח שהטענה נכונה עבור :a
= hau, vi = h(a − 1 + 1) u, vi = h(a − 1) u, vi + h1 · u, vi
ולפי הנחת האינדקוציה:
= (a − 1) hu, vi + hu, vi = a hu, vi
.iiעבור a = 0הטענה טריוויאלית:
1
1
2
2
2
2
= kv + 0k − kv − 0k
kvk − kvk = 0 = 0 hu, vi
4
4
= h0u, vi = h0, vi
.iiiעבור a ∈ Zשלילי ,מסעיף א' אנו יודעים:
h(−a) u, vi = (−a) hu, vi = −a hu, vi
בעזרת אדיטיביות וסעיף ב':
hau, vi + h(−a) u, vi = h(a + (−a)) u, vi = h0u, vi = 0
15
ולכן גם h(−a) u, vi = − hau, viומכאן:
h−au, vi = −a hu, vi
נכפיל את שני האגפים ב −1−וסיימנו.
.ivעבור ∈ Q
m
n
= ,aכאשר ,m ∈ Z, n ∈ Nמתקיים .m = naמהסעיפים
הקודמים:
n hau, vi = hnau, vi = hmu, vi = m hu, vi = na hu, vi
נצמצמם ב n−וסיימנו.
.vעבור a ∈ Rכללי ,ניקח סדרה {an } ⊂ Qששואפת ל .a−לפיכך:
an − a → 0ולכן:
k(an − a) uk = |a − an | · kuk → 0
כמו כן (an − a) u = (an u ± w) − (au ± w) ,ולכן גם:
kau ± wk − kan u ± wk → 0
לפי שאלה .1לכן:
1
(kau + wk − kan u + wk − kau − wk + kan u − wk) → 0
4
= hau, wi−han u, wi
כלומר .han u, wi → hau, wiברור ש .an hu, wi → a hu, wi :מהסעיף
הקודם ,ואם כן:
han u, wi = an hu, wi
ולכן לפי יחידות הגבול:
hau, wi = a hu, wi
והוכחנו שמולטיפלטיביות מתקיימת .בסך הכל הוכחנו את הדרוש.
16
2
מרחבים מטריים
הגדרה 2.1תהי Aקבוצה .פונקציה d : A×A → Rנקראת מטריקה על Aאם היא מקיימת
את התכונות הבאות:
.1אי־שליליות:
)א( d(x, y) ≥ 0לכל .x, y ∈ A
)ב( .d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
.2סימטריות:
) d(x, y) = d(y, xלכל .x, y ∈ A
.3אי־שוויון המשולש:
) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, zלכל .x, y, z ∈ A
אינטואיטיבית ,מטריקה מגדירה מרחק בקבוצה .קבוצה עליה מוגדרת מטריקה נקראת מרחב
מטרי ,ונסמן.(A, d) :
דוגמאות:
.1כל נורמה משרה מטריקה ,על ידי:
d (x, y) = kx − yk
אם לא מצוין במפורש אחרת ,כאשר נתייחס אל Rnכאל מרחב מטרי נתכוון
למטריקה הסטנדרטית ,המטריקה אותה משרה הנורמה הסטנדרטית )האוקלידית(.
.2מעל ,R+הפונקציה d(x, y) = ln xyהיא מטריקה.
.3מעל מרחב נורמי ,Vהפונקציה:
x 6= y
x=y
kxk + kyk
0
= )d(x, y
היא מטריקה .מטריקה זו מכונה "מטריקת המסילה הבריטית" או "מטריקת משרד
הדואר".
17
רכבת בריטית באיזור מנצ'סטר.
.4מעל קבוצה )לא ריקה (...כלשהי ,הפונקציה:
1 x 6= y
x=y
= )d(x, y
0
היא מטריקה .מטריקה זו נקראת המטריקה הדיסקרטית.
.5מעל מרחב המטריצות ) ,Mm×n (Rהפונקציה ) d(X, Y ) = rank (Y − Xהיא
מטריקה.
תרגיל:
יהי .a 6= 1 ,a ∈ Nנגדיר פונקציה da : Z × Z → Rע"י:
x=y
0
= )da (x, y
1
) k(x,y
x 6= y
a
כאשר .k(x, y) = max{i : ai |(x − y)} :הוכיחו שזו מטריקה.
פתרון:
קל לראות שתכונות החיוביות והסימטריות מתקיימות .נראה שאי־שוויון המשולש אכן
מתקיים.
18
יהיו x, y, z ∈ Zשאינם שווים זה לזה )אחרת זה ברור( .נסמן.m = min {k(x, y), k(y, z)} :
מתקיים:
)am |x − y, am |y − z −→ am |(x − y) − (y − z) −→ am |(x − z) −→ m ≤ k(x, z
ולכן:
)= max {d(x, y), d(y, z)} ≤ d(x, y)+d(y, z
1
1
,
)ak(x,y) ak(y,z
1
≤ m = max
a
1
)ak(x,z
= )d(x, z
לכן א"ש המשולש מתקיים ,וזו מטריקה.
תרגיל:
האם הפונקציות הבאות מטריקות על A × Aכאשר Aמרחב מטרי עם מטריקה ?d
?D1 ((x, y) , (x1 , y1 )) = min {d (x, x1 ) , d (y, y1 )} .1
לא!
D1 ((1, 3) , (1, 4)) = 0
אך:
)(1, 3) 6= (1, 4
לכן תכונת החיוביות לא מתקיימת וזו אינה מטריקה.
?D2 ((x, y) , (x1 , y1 )) = |x| + |y| + |x1 | + |y1 | .2
לא!
D2 ((1, 1) , (1, 1)) = 4 6= 0
לכן תכונת החיוביות לא מתקיימת ,וזו אינה מטריקה.
19
?D3 ((x, y) , (x1 , y1 )) = d (x, x1 ) + d (y, y1 ) .3
זו אכן מטריקה d .אי־שלילית ולכן גם D3אי־שלילית ובנוסף:
D3 ((x, y) , (x1 , y1 )) = 0 ⇐⇒ d (x, x1 ) + d (y, y1 ) = 0
) ⇐⇒ d (x, x1 ) , d (y, y1 ) = 0 ⇐⇒ x = x1 , y = y1 ⇐⇒ (x, y) = (x1 , y1
ולכן D3חיובית.
D3סימטרית כי dסימטרית .כעת ,נזכור ש d−מטריקה ולכן מקיימת את א"ש המשולש,
ולכן:
) D3 ((x, y) , (x2 , y2 )) = d (x, x2 )+d (y, y2 ) ≤ d (x, x1 )+d (x1 , x2 )+d (y, y1 )+d (y1 , y2
)) = D3 ((x, y) , (x1 , y1 )) + D3 ((x1 , y1 ) , (x2 , y2
הגדרה 2.2תהי Aקבוצה ותהי dמטריקה על .Aיהיו a ∈ Aו.r > 0−
.1הקבוצה } B (a, r) = {x ∈ A|d (x, a) < rנקראת כדור פתוח )עם מרכז aורדיוס
.(r
.2הקבוצה } B [a, r] = {x ∈ A|d (x, a) ≤ rנקראת כדור סגור.
תרגיל:
יהיו ) r1 , r2 > 0 ,x1 , x2 ∈ (X, dויהיו ) B (x1 , r1 ) , B (x2 , r2כך ש:
.B (x1 , r1 ) ∩ B (x2 , r2 ) 6= φתהי ) p ∈ B (x1 , r1 ) ∩ B (x2 , r2ונסמן:
}) r = min {r1 − d (p, x1 ) , r2 − d (p, x2
הוכיחו ש.B(p, r) ⊆ B (x1 , r1 ) ∩ B (x2 , r2 ) :
20
ֹֹפתרון:
נוכיח קודם טענת עזר :תהי ) p ∈ B (x, rכך ש 0 < r < R − d (x, p) :אזי:
).B (p, r) ⊆ B (x, R
יהי ) y ∈ B (p, rאזי ) .r > d (p, yכעת:
d (y, x) ≤ d (y, p) + d (p, x) < r + d (p, x) ≤ R
ולכן .y ∈ B (x, R) :לכן ).B (p, r) ⊆ B (x, R
כעת ,מכיוון ש p ∈ B (x1 , r1 ) −ומטענת העזר נקבל שמתקייםB (p, r) ⊆ B (x1 , r1 ) :
)כאשר .(x = x1 , r = r1 :באופן דומה B (p, r) ⊆ B (x2 , r2 ) :ולכן:
) B (p, r) ⊆ B (x1 , r1 ) ∩ B (x2 , r2
כלומר ,כאשר כדורים פתוחים נחתכים באופן לא ריק ,אפשר למצוא כדור פתוח המוכל
בחיתוך.
הגדרה 2.3תהי Aקבוצה ותהי dמטריקה עליה.
.1קבוצה U ⊆ Aנקראת פתוחה ,אם לכל x ∈ Uקיים r > 0כך ש.B (x, r) ⊆ U :
.2קבוצה S ⊆ Aנקראת סגורה ,אם הקבוצה S cפתוחה.
.3קבוצה שהיא גם סגורה וגם פתוחה מכונה )בהלחם־בסיסים נפלא( קבוצה סגוחה
).(clopen
דוגמאות בסיסיות:
.1בכל מרחב מטרי ) ,(A, dהקבוצות A, φהן קבוצות פתוחות וסגורות.
.2בכל מרחב מטרי ,כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה וכדור סגור הוא קבוצה סגורה )ללא
תלות במרכז וברדיוס(.
.3במטריקה הדיסקרטית ,כל קבוצה היא פתוחה ולכן גם כל קבוצה היא סגורה.
21
.4ב ,R−קטעים פתוחים הם קבוצות פתוחות ולא סגורות וקטעים סגורים הם קבוצות
סגורות ולא פתוחות.
.5ב ,R−קטעים חצי־פתוחים חצי־סגורים ,למשל ) ,[2, 5הם קבוצות לא פתוחות ולא
סגורות.
תרגיל:
האם הקבוצות הבאות פתוחות? סגורות?
Q .1בתוך .R
לא פתוחה ,כי בכל כדור פתוח עם מרכז רציונלי יש נקודות אי־רציונליות .באופן דומה
המשלים אינה פתוחה )בכל כדור פתוח עם מרכז אי־רציונלי יש נקודות רציונליות(
ולכן לא סגורה.
{x} .2בתוך Rעבור .x ∈ R
לא פתוחה ,לכל .B(x, r) * {x} ,r > 0לכל y ∈ {x}cמתקיים:
| B y, |x−yלכן המשלים פתוחה ולכן } {xסגורה.
⊆ {x}c
2
משפט 2.4יהי ) (A, dמרחב מטרי .אזי:
.1אם {Uα }α∈Iאוסף של קבוצות פתוחות ,אז גם Uα
α∈I
S
n
.2אם {Ui }i=1אוסף סופי של קבוצות פתוחות ,אז גם Ui
קבוצה פתוחה.
Tn
i=1
קבוצה פתוחה.
מסקנה 2.5בעזרת דה־מורגן נסיק:
.1אם {Sα }α∈Iאוסף של קבוצות סגורות ,אז גם Sα
n
α∈I
.2אם {Si }i=1אוסף סופי של קבוצות סגורות ,אז גם Si
T
קבוצה סגורה.
Sn
i=1
קבוצה סגורה.
הגדרה 2.6יהי ) (A, dמרחב מטרי ותהי x .x ∈ Aנקראת נקודת הצטברות של Aאם לכל
r > 0קיים y ∈ Aכך ש y ∈ B (x, r) −ו.y 6= x−
במקרה של מרחבים מטריים ,כל נקודת הצטברות היא גם נקודת גבול )בהמשך נגדיר
התכנסות במרחבים מטריים( .עם זאת ,באופן כללי המושגים לאו דווקא חופפים; תראו זאת
בקורס בטופולוגיה.
22
תרגיל:
מצאו את קבוצת נקודות ההצטברות של הקבוצות הבאות:
Q .1בתוך .R
לכל x ∈ Rולכל r > 0קיים q ∈ Qכך ש q ∈ B (x, r) :ולכן קבוצת נקודות ההצטברות
היא כל .R
.2הקטע ) (0, 1בתוך .R
לכל ] x ∈ [0, 1נסמןmin {|x| , |1 − x|} :
1
2
= rואז הכדור ) B(x, rמוכל כולו בקטע
∈ xאינו נקודת הצטברות ,ולכן סה"כ מדובר על ].[0, 1
) .(0, 1עם אותו rנקבל שכל ]/ [0, 1
משפט 2.7יהי ) (A, dמרחב מטרי ותהי .S ⊂ Aנסמן ב S 0 −את קבוצת נקודות ההצטברות
של .S
S .1סגורה אם ורק אם .S 0 ⊆ S
.2אם Sפתוחהּ .S ⊆ S 0 ,
לפיכך ,בבואנו לבדוק האם קבוצה היא סגורה או לא ,נוכל לבדוק האם היא מכילה את כל
נקודות ההצטברות שלה.
הגדרה 2.8יהי ) (A, dמרחב מטרי .נאמר שקבוצה B ⊆ Aהיא חסומה ,אם לכל נקודה
x0 ∈ Bקיים r > 0עבורו ).B ⊆ B (x0 , r
תנאי שקול לכך הוא שקיימת נקודה x0וקיים r > 0עבורם:
)B ⊆ B (x0 , r
מן הסתם ,בעזרת התנאי השקול נוח יותר להראות שקבוצה היא אכן חסומה ,בעוד
שבעזרת ההגדרה המקורית נוח להראות שקבוצה אינה חסומה.
תרגיל:
האם הקבוצות הבאות חסומות?
A = {(x, y) |y = 0, x ∈ (0, 1)} .1ב.R2 −
23
זהו הקטע )(0, 1על ציר ה x−במישור .הקבוצה חסומה; הכדור , 2
1
2, 0
Bמכיל
אותה.
B = {(x, y) |x = y} .2ב.R2 −
הקבוצה אינה חסומה ־ לכל ,r > 0הנקודה ) (3r, 3rנמצאת בקבוצה אך לא נמצאת
בכדור ).B ((0, 0) , r
C = {(x, y) |x > 0, y < 0, x + y > −1} .3ב.R2 −
הקבוצה אינה חסומה ,כי לכל ,r > 0הנקודה ) (1 + 10r, −1 − 10rנמצאת בקבוצה
אך לא נמצאת בכדור ).B ((1, −1) , r
משפט 2.9בולצאנו ויירשטראס:
תהי A ⊆ Rnקבוצה אינסופית וחסומה .אזי ,קיימת ל A−נקודת הצטברות.
הגדרה 2.10יהי Aמרחב מטרי ותהי B ⊆ Aקבוצה.
.1נאמר שאוסף של תת־קבוצות {Aα }α∈Iהוא כיסוי פתוח של ,Bאם כל Aα ⊆ A
היא פתוחה ,ומתקיים:
Aα
[
α∈I
24
⊆B
.2תת־כיסוי הוא תת־קבוצה של כיסוי.
.3קבוצה K ⊆ Aנקראת קומפקטית ,אם לכל כיסוי פתוח שלה קיים תת־כיסוי סופי.
כה אמרה ויקיפדיה:
"אינטואיטיבית ,ניתן להבין את מושג הקומפקטיות כיכולת למדוד קבוצה בעזרת קבוצות
פתוחות .על מנת שקבוצה תהיה ניתנת למדידה ,צריך לכסות אותה בעזרת מספר סופי של
בדידים בדיוק כמו שמודדים מרחק ע"י חישוב מספר הבדידים באורך מטר שנכנסים בתוך
הקטע הנמדד .לכל כיסוי יש אין סוף בדידים או קבוצות פתוחות ,על מנת להצליח למדוד את
הקבוצה עלינו לבחור מתוכם מספר סופי של בדידים ולכסות את הקבוצה .יכולת המדידה
נבחנת ביכולת לכסות את הקבוצה לכל אין סוף סוגים של בדידים נתונים במספר סופי של
בדידים".
משפט 2.11היינה־בורל:
תהי A .A ⊆ Rnקומפקטית ⇒⇐ Aסגורה וחסומה.
באופן כללי ,במרחב מטרי קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה .משפט היינה־בורל נותן
לנו את הכיוון השני ב.Rn −
במרחבים כלליים ,אין קשר הכרחי בין הדברים; תראו זאת בקורס בטופולוגיה.
תרגיל:
תהיינה {An }n∈Nקבוצות קומפקטיות במרחב .Rmהאם הקבוצות הבאות קומפקטיות?
.A1 ∪ A2 .1
.A1 ∩ A2 .2
.A1 \A2 .3
S
. n∈N An .4
פתרון
הקבוצות שלנו קומפקטיות ולכן כולן סגורות וחסומות.
.1כן .איחוד סופי של סגורות הוא קבוצה סגורה ,ואיחוד סופי של קבוצות חסומות הוא
קבוצה חסומה; אם B (0, r1 ) ⊇ A1 , B (0, r2 ) ⊇ A2אז ) .A1 ∪A2 ⊆ B (0, r1 + r2
25
.2כן .באופן דומה לאיחוד.
.3לא בהכרח .נתבונן למשל בקבוצות .A1 = [0, 2] , A2 = [0, 1] :הן סגורות וחסומות
ולכן ,לפי היינה־בורל ,קומפקטיות .עם זאת ,הקבוצה ) A1 \A2 = [0, 1אינה סגורה
ולכן אינה קומפקטית.
.4לא בהכרח .נתבונן למשל בקבוצות } .An = {nהן סגורות וחסומות ולכן )לפי היינה־
S
בורל( קומפקטיות ,אך n∈N An = Nלא חסומה ולכן לא קומפקטית.
משפט 2.12תהי Aקבוצה קומפקטית ותהי B ⊆ Aסגורה .אזי Bקומפקטית.
הגדרה 2.13יהי Xמרחב מטרי ותהי .A ⊆ X
.1הסגור של Aמוגדר על ידי:
S
\
= )cl (A
A⊆S
כאשר Sקבוצה סגורה.
.2הפנים של Aמוגדר על ידי:
V
[
= )int (A
A⊆V
כאשר Vקבוצה פתוחה.
הסגור הוא חיתוך של קבוצות סגורות ולכן הוא קבוצה סגורה .הסגור הוא הקבוצה הסגורה
המינימלית המכילה את הקבוצה .באופן דומה ,הפנים הוא איחוד של קבוצות פתוחות ולכן
הוא קבוצה פתוחה .הפנים הוא הקבוצה הפתוחה המקסימלית המוכלת בקבוצה.
אם כך ,מתקיים:
)cl (cl (A)) = cl (A) , int (int (A)) = int (A
לכל .A
26
משפט 2.14נסמן ב A0 −את אוסף נקודות ההצטברות של .Aאזי:
cl (A) = A ∪ A0
תרגיל:
c
יהי Xמרחב מטרי ותהי .A ⊆ Xאזי.cl (A) = (int (Ac )) ,
פתרון:
ממש מההגדרה,
c
c
)) S c = (int (Ac
[
\
S=
S c ⊆Ac
= )cl (A
A⊆S
במעבר השני השתמשנו בדה־מורגן .מכיוון ש S−סגורה S c ,פתוחה; מכיוון שA ⊆ S−
אז .S c ⊆ Ac
מסקנה 2.15מהתרגיל ,נקבל:
c
.(int (A)) = cl (Ac ) .1
c
.int (Ac ) = (cl (A)) .2
הגדרה 2.16יהי Xמרחב מטרי ותהי A ⊆ Xקבוצה .השפה של Aמוגדרת על ידי:
)∂A = cl (A) \int (A
אינטואיטיבית ,השפה היא כל הנקודות שנמצאות ב"קצוות" הקבוצה.
הגדרה 2.17יהי Xמרחב מטרי ,ותהי A ⊆ Xקבוצה .נאמר ש A−קשירה ,אם היא לא
מוכלת באיחוד U ∪ Vכאשר U, Vפתוחות וזרות עבורן.A ∩ V 6= ∅, B ∩ V 6= ∅ :
27
לדוגמה:
ב ,Rn −כדורים פתוחים ,כדורים סגורים וקוביות הם קבוצות קשירות.
אינטואיטיבית ,אי־אפשר לפרק את הקבוצה לשתי קבוצות פתוחות.
תרגיל:
יהי Xמרחב מטרי ותהיינה A, Bקשירות .האם הקבוצות הבאות קשירות?
.A ∪ B .1
.A ∩ B .2
.A\B .3
פתרון:
.1לא בהכרח .נתבונן בקבוצות ) A = (0, 2) , B = (3, 4ב .R−הקבוצות קשירות )אלו
כדורים פתוחים( אך האיחוד שלהן לא קבוצה קשירה; )הקבוצות A = U, B = Vמכסות
אותו(.
.2לא בהכרח .נתבונן בקבוצות:
}A = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 3} ∪ {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3
}B = {(x, y)|2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 3} ∪ {(x, y)|2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3
ב .R2 −כל אחת מהן קשירה ,אך החיתוך אינו קבוצה קשירה.
.3לא בהכרח .נתבונן בקבוצות ) A = (0, 3) , B = (1, 2ב .R−הקבוצות קשירות אך
ההפרש אינו קבוצה קשירה.
משפט 2.18יהי Xמרחב מטרי ותהיינה A, B ⊆ Xקשירות .נניח ש ,A ∩ B 6= ∅−אזי
A ∪ Bקשירה.
הגדרה 2.19יהי Xמרחב מטרי ותהי .A ⊆ Xנאמר שהקבוצה Aקשירה מסילתית ,אם
לכל a, b ∈ Aקיימת פונקציה רציפה γ : [0, 1] → Aעבורה .γ (0) = a, γ (1) = bפונקציה
כזו מכונה מסילה.
28
אינטואיטיבית ,קבוצה היא קשירה מסילתית אם אפשר בין כל שתי נקודות בקבוצה לצייר
קו )לאו דווקא ישר( שנמצא כולו בקבוצה.
משפט 2.20יהי Xמרחב מטרי ותהי .A ⊆ Xאם Aקשירה מסילתית אז Aקשירה.
ההיפך לא נכון!
דוגמה מפורסמת היא "עקומת הסינוס של הטופולוגים" )חפשו בגוגל( ,הקבוצה:
1
x, sin
)]: x > 0 ∪ ({0} × [−1, 1
x
כלומר הצד החיובי של גרף הפונקציה
1
x
sinוהחלק בין 1־ ו־ 1על ציר ה.y−
משפט 2.21יהי Xמרחב מטרי ותהי A ⊆ Xפתוחה .אזי A ,קשירה מסילתית אם"ם A
קשירה.
הגדרה 2.22יהי ) (X, dמרחב מטרי.
.1נאמר שסדרה {xn }n∈N ⊆ Xמתכנסת ל x−אם לכל ε > 0קיים n0כך שלכל
n0 < nמתקיים:
d (xn , x) < ε
29
כלומר x .xn ∈ B (x, ε) ,נקראת נקודת גבול .אכן ,כמו שהזכרנו ,במרחבים מטריים
נקודת גבול היא נקודת הצטברות ולהיפך.
.2נאמר שסדרה {xn }n∈N ⊆ Xהיא סדרת קושי אם לכל ε > 0קיים n0כך שלכל
,n, m > n0
d (xn , xm ) < ε
אינטואיטיבית ,האיברים מצטופפים יותר ויותר ככל שמתקדמים במעלה הסדרה.
תרגיל:
הוכיחו כי הסדרה ) an = ( 21n , 21nהיא סדרת קושי.
פתרון:
יהיו .m, nנחשב:
√
1
1
1
1
)− m) < 2 · ( n + m
n
2
2
2
2
(·2
√
= || ||an − am
יהי ,ε > 0צ"ל || .ε > ||an − amאנו רוצים למצוא את n0המתאים.
מספיק להבטיח שמתקיים:
1
1
+ m) < ε
n
2
2
ומספיק שיתקיים:
ε
2
(·2
√
√
√
< , 2 21n , 2 21mולכן נדרוש:
√
2 2
( m, n > log2
)
ε
√
ואם נבחר n0 = max{1, log2 ( 2 ε 2 )} :נקבל את הדרוש.
משפט 2.23כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי.
לדוגמה:
30
ההיפך לאו דווקא נכון.
אפשר לבחור סדרה שאנו יודעים שהיא "מתכנסת" ,ולכן גם סדרת קושי לפי המשפט,
אך "מתכנסת" לאיבר שאינו נמצא במרחב ־ ולכן כלל לא מתכנסת.
למשל n1 n∈N ,במרחב ] .(0, 1זוהי סדרת קושי )כי היא "מתכנסת" ל־ (0אך אבוי! היא
אינה מתכנסת במרחב שלנו.
הגדרה 2.24מרחב מטרי נקרא שלם אם כל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת.
מרחב נורמי נקרא מרחב בנך אם הוא שלם לפי המטריקה המושרית מהנורמה.
מרחב מכפלה פנימית נקרא מרחב הילברט אם הוא שלם לפי המטריקה המושרית
מהמכפלה הפנימית.
לדוגמה:
.1המרחבים Rkהם שלמים.
.2כל מרחב מטרי קומפקטי הוא שלם.
.3כל תת־קבוצה סגורה של מרחב שלם היא מרחב שלם.
סדרות קושי אמנם לא בהכרח מתכנסות ,אך הן "דומות" לסדרות מתכנסות ומקיימות מספר
תכונות נאות .בתרגיל הבא )ובתרגילים הנוספים( נוכיח כמה מהן.
תרגיל:
יהי ) (X, dמרחב מטרי ותהי {xn }n∈N ⊆ Xסדרת קושי .הראו שהיא חסומה.
פתרון:
מכיוון שזו סדרת קושי ,קיים n1עבורו לכל .d (xn , xm ) < 1 ,m, n > n1
נגדיר:
) d (xn , xm
max
1≤n,m≤n1 +1
r =1+
rאכן מוגדר מכיוון שהמקסימום הוא על קבוצה סופית.
מהגדרת rנקבל שלכל ,d (xn , xm ) < r ,n, mובפרט עבור mמסוים נקבל שלכל ,n
)d (xn , xm ) < r =⇒ xn ∈ B (xm , r
31
ולכן הסדרה חסומה.
תרגילים נוספים
.1הוכיחו שהפונקציות הבאות הן מטריקות על המרחבים הנתונים:
)א( ב.d(x, y) = ln xy ,R+ −
)ב( במרחב נורמי d(x, y) = kxk + kyk ,Vכאשר ,x 6= yו d(x, y) = 0−כאשר
.x = y
)ג( בקבוצה d(x, y) = 1 ,Xכאשר x 6= yו d(x, y) = 0−כאשר .x = y
)ד( במרחב מטריצות ).d (X, Y ) = rank (X − Y ) ,Mm×n (R
.2נסמן ב A0 −את אוסף נקודות ההצטברות של .Aיהי .X = Rתהי
1
n∈N
n
= .A
מהן ?A0 , A00
.3האם הקבוצות הבאות פתוחות? סגורות?
)א( }) A = {(x, y) |y = 0, x ∈ (0, 1ב.R2 −
)ב( } B = {(x, y) |x = yב.R2 −
)ג( } C = {(x, y) |x > 0, y < 0, x + y > −1ב.R2 −
.4האם הקבוצות הבאות פתוחות ב ?R2 −סגורות? מצאו את קבוצת נקודות הגבול.
)א( }).A = {(0, 1) , (0, 0
)ב( }).B = (x, y) |x2 + y 2 < 1 ∪ {(0, 1
)ג( }.C = {(x, y) |x > 0, y < 0
.5בכל אחד מהסעיפים הבאים ,תנו דוגמה למרחב מטרי וקבוצות מתאימות.
32
)א( איחוד של קבוצות סגורות שאינו קבוצה סגורה.
)ב( חיתוך של קבוצות פתוחות שאינו קבוצה פתוחה.
)ג( קבוצה סגורה וחסומה שאינה קומפקטית.
.6תהי {xn }n∈Nסדרה חסומה ב .Rn −נניח שהסדרה ) {d2 (xn , 0)}n∈Nהמטריקה
האוקלידית( עולה ממש .האם {xn }n∈Nמתכנסת?
.7תהי X ⊆ Rnקבוצה קומפקטית ,ויהי {Ai }i∈Iאוסף של קבוצות סגורות שאיחודן
Tm
m
הוא .Xנניח שלכל אוסף סופי {Aik }k=1מתקיים . k=1 Aik 6= ∅ :הוכיחו:
∅ =Ai 6
\
i∈I
.8יהי Xמרחב מטרי ,ותהיינה .A, B ⊆ Xהוכיחו או הפריכו:
)א( ).cl (A ∩ B) ⊆ cl (A) ∩ cl (B
)ב( ).cl (A ∩ B) ⊇ cl (A) ∩ cl (B
)ג( ).int (A ∪ B) ⊆ int (A) ∪ int (B
)ד( ).int (A ∪ B) ⊇ int (A) ∪ int (B
.9יהי Xמרחב מטרי .יהי a ∈ Xויהי .r > 0
)א( הוכיחו שאם Xמרחב נורמי ,אזי ].cl (B (a, r)) = B [a, r
)ב( מצאו דוגמה נגדית למקרה בו Xאינו מרחב נורמי.
.10יהי Xמרחב מטרי ותהי .A ⊆ Xהאם )?cl (int (A)) = cl (A
.11יהי Xמרחב מטרי .ותהיינה A, B ⊆ Xקבוצות קשירות.
)א( האם ) int (Aקשירה?
)ב( נניח ש .A ∩ B 6= ∅−האם ) int (A ∪ Bקשירה?
33
.12הוכיחו או הפריכו :אם A ⊆ R2בת מניה ,אז R2 \Aקשירה מסילתית.
.13תהיינה ,A, B ⊆ Rnונסמן את קבוצות נקודות הגבול שלהן בlim A, lim B−
בהתאמה .הוכיחו או הפריכו:
)א( ).lim A ∩ lim B = lim (A ∩ B
)ב( ).lim A ∪ lim B = lim (A ∪ B
)ג( ).lim A × lim B = lim (A × B
)ד( ).lim A\ lim B = lim (A\B
.14הוכיחו שהמרחבים הבאים הם שלמים:
)א( ] C [a, bעם הנורמה |).kf k = supx∈[a,b] |f (x
∞P
∞
)ב( ∞ < l2 = {xn }n=1 ∈ RN | n=1 x2nעם הנורמה x2n
∞pP
n=1
∞
= .k{xn }n=1 k
∞
.15תהי {xn }n=1סדרת קושי.
)א( הראו שאם לסדרה יש גבול חלקי )גבול של תת־סדרה( ,זהו הגבול של הסדרה.
)ב( הסיקו שמרחב מטרי קומפקטי הוא מרחב שלם.
.16יהי ) (X, dמרחב מטרי .נגדיר את הקוטר של תת־קבוצה A ⊆ Xעל ידי:
}δ (A) = sup {d (x, y) |x, y ∈ A
הוכיחו שמרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות
∞T
· · · ⊆ Fn+1 ⊆ Fn ⊆ · · · ⊆ Xהמקיימת δ (Fn ) −→ 0מתקיים ∅ =. n=1 Fn 6
∞→n
פתרונות
.1בכל אחד מהסעיפים נראה שתכונות המטריקה מתקיימות.
)א( .d (x, y) = ln xy
34
.iאי־שליליות :מכיוון שזהו ערך מוחלט .d (x, y) ≥ 0 ,כמו כן:
.d (x, y) = 0 ⇐⇒ ln xy = 0 ⇐⇒ xy = 1 ⇐⇒ x = y
.iiסימטריות :נשתמש בחוקי הלוגריתם:
y x −1
) = (−1) · ln x = ln x = d (y, x
.d (x, y) = ln x = ln y
y
y
.iiiאי־שוויון המשולש :שוב ,נשתמש בחוקי הלוגריתם:
z yz z
d (x, z) = ln x = ln x = ln y − ln xy = ln xy + ln yz
y
)ב(
בעזרת אי־שוויון המשולש של ערך מוחלט:
)+ ln yz ≤ ln yz + ln xy = d (x, y) + d (y, z
kxk + kyk x 6= y
= ).d(x, y
0
x=y
y
ln x
.iאי־שליליות :נובעת מאי־השליליות של הנורמה.
.iiסימטריות :נובעת מהחילופיות של החיבור.
.iiiאי־שוויון המשולש :נובע גם הוא מתכונות הנורמה:
)ג(
)d (x, z) = kxk + kzk ≤ kxk + 2 kyk + kzk = d (x, y) + d (y, z
1 x 6= y
= ).d(x, y
0 x=y
.iאי־שליליות :ישירות מהגדרת המטריקה.
.iiסימטריות :כנ"ל.
.iiiאי־שוויון המשולש :גם הוא מיידי.
)ד( ).d(X, Y ) = rank (Y − X
.iאי־שליליות :לכל מטריצה .rank (A) ≥ 0 ,Aכמו כן:
⇒⇐ d (X − Y ) = 0 ⇐⇒ rank (Y − X) = 0 ⇐⇒ Y − X = 0
.X = Y
שימו לב שמדובר על אפסים שונים ,פעם סקלר ממשי ופעם מטריצת האפס.
.iiסימטריות:
= ) d(X, Y ) = rank (Y − X) = rank ((−1) · (X − Y )) = rank (X − Y
35
).d (Y, X
מכיוון שכפל בסקלר שונה מאפס לא משנה את דרגתה של המטריצה.
.iiiאי־שוויון המשולש:
≤ ))d (X, Z) = rank (Z − X) = rank ((X − Y ) + (Y − Z
מטענה שראיתם בוודאי שאלגברה ליניארית:
)≤ rank (Y − X) + rank (Z − Y ) = d (X, Y ) + d (Y, Z
0 ∈ A0 .2כי .limn→∞ n1 = 0
מצד שני ,אם ניקח סדרה {xn }n∈N ⊆ Aאפשר לסדר אותה כתת סדרה של
1
n
ולכן נקודת הגבול היחידה היא 0וסה"כ }.A0 = {0
לכן.A00 = φ ,
אפשר כמובן להסתכל על נקודת ההצטברות לפי ההגדרה ,ולראות שלמעט 0את כל
הנקודות בקבוצה אפשר להקיף בכדור מספיק קטן שאין לו חיתוך עם הקבוצה )למעט
המרכז כמובן(.
.3נבדוק האם הקבוצות פתוחות או סגורות:
)א( הקבוצה אינה פתוחה ,מכיוון שעבור ∈ A
.B 12 , 0 , r * A
1
2, 0
,לכל r > 0מתקיים:
הקבוצה אינה סגורה ,כי המשלים אינו קבוצה פתוחה; לכל ,r > 0מתקיים
.B ((1, 0) , r) * Ac
)ב( הקבוצה אינה פתוחה ,כי עבור ,(1, 1) ∈ Bלכל r > 0מתקיים:
B
).B ((1, 1) , r
הקבוצה סגורה ,מכיוון שהמשלים פתוחה; לכל נקודה (x, y) ∈ B cנסמן את
c
.B (x, y) , D
מרחקה מהישר y = xב D−ואז 2 ⊆ B
)ג( הקבוצה פתוחה; לכל (x, y) ∈ Cנסמן את מרחקה מהישר x + y + 1 = 0
ב ,D−ונסמןmin {|x| , |y| , D} :
1
2
= rונקבל ש.B ((x, y) , r) ⊆ C :
הקבוצה לא סגורה ,כי המשלים אינה פתוחה; עבור ,(0, 0) ∈ C cלכל r > 0
Cc
) B ((0, 0) , rולכן אינה פתוחה.
36
.4נבדוק האם הקבוצות פתוחות או סגורות:
)א( הקבוצה לא פתוחה; לכל A ,r > 0
).B ((0, 0) , r
הקבוצה סגורה; כל נקודון הוא סגור ואיחוד סופי של סגורות הוא סגור.
האופציות היחידות לנקודות גבול הן ) (0, 0) , (0, 1כי Aסגורה ,אך B (0, 0) , 21 , B (0, 1) , 12
זרים ל) A−למעט מרכזיהם( ולכן אלו לא נקודות גבול.
לכן לקבוצה אין נקודות גבול.
)ב( הקבוצה לא פתוחה; לכל .B ((0, 1) , r) * B ,r > 0
הקבוצה לא סגורה ,מכיוון שמשלימתה אינה פתוחה; (1, 0) ∈ B cאך לכל
.B ((1, 0) , r) * B c ,r > 0
הקבוצה (x, y) |x2 + y 2 < 1היא כדור פתוח ,לכן פתוחה ולכן כל הנקודות
בה הן נקודות גבול.
גם נקודות הקבוצה (x, y) |x2 + y 2 = 1הן נקודות גבול ,כי לכל ∈ )(x, y
(x, y) |x2 + y 2 = 1ולכל r > 0אפשר לקחת } r0 = min {1, rואז:
)y ∈ B ∩ B ((x, y) , r
r0
x, 1 −
2
r0
1−
2
כל נקודה ) (x, yאחרת אינה נקודת גבול )נסמן את מרחקה מהמעגל (x, y) |x2 + y 2 = 1
B (x, y) , Dזר ל ,(B−ולכן קבוצת נקודות הגבול היא
ב D−ואז הכדור
2
(x, y) |x2 + y 2 ≤ 1
)ג( הקבוצה פתוחה; לכל (x, y) ∈ Cנסמןmin {|x| , |y|} :
1
2
= rואז:
,B ((x, y) , r) ⊆ Cכי אם ) (a, b) ∈ B ((x, y) , rאז:
p
1
||x − a| 2 + |y − b| 2 < r ≤ |x
2
ולכן:
1
|x| > 0
2
37
a > |x| −
< ||a − x
באופן דומה|y| ,
1
2
< | |b − yולכן:
1
1
b < y + y = − |y| + |y| < 0
2
2
וסה"כ.(a, b) ∈ C :
הקבוצה לא סגורה ,כי משלימתה אינה פתוחה; (0, 0) ∈ C cאך לכל ,r > 0
.B ((0, 0) , r) * C
הקבוצה פתוחה ,ולכן כל (x, y) ∈ Cהיא נקודת גבול.
יתר על כן ,גם הנקודות {(x, y) |x = 0, y ≤ 0} ∪ {(x, y) |y = 0, x ≥ 0} :הן
נקודות גבול ,כי לכל ) (x, yכזו ולכל ,r > 0
r
r
x + ,y −
∈ B ((x, y) , r) ∩ C
2
2
נקודות אחרות אינן נקודות גבול )קל לראות( ולכן בסה"כ נקודות הגבול הן
}.{(x, y) |x ≥ 0, y ≥ 0
.5ניתן דוגמה בכל אחד מהסעיפים כמבוקש.
)א( נתבונן באוסף הנקודונים ⊆ R
1
n
כאשר .n ∈ Nכמו שראינו ,כל נקודון
ב R−הוא קבוצה סגורה )כל נקודון הוא קבוצה סגורה בכל מרחב מטרי( ,אך
האיחוד n1 n∈N :אינו קבוצה סגורה ,מכיוון ש 0−הוא נקודת הצטברות של
הקבוצה אך לא שייך אליה.
)ב( נתבונן באוסף הקטעים הפתוחים ⊆ R
1
2n
+
1
2n , 1
, 1 −כאשר .n ∈ Nכל
קטע פתוח הוא קבוצה פתוחה ,אך החיתוך הוא:
S
1
1
n∈N 1 − 2nנקודון וכמו שראינו נקודון ב R−אינו קבוצה
, 1 + 2n
}= {1
פתוחה.
)ג( לפי היינה־בורל ,נחפש מרחב שאינו מהצורה .Rn
אם כך ,נבחר את הקבוצה Zעם המטריקה הדיסקרטית ,ונתבונן בקבוצה Z
כולה.
הקבוצה Zסגורה כי היא כל המרחב.
הקבוצה Zחסומה; מהגדרת המטריקה הדיסקרטית.Z ⊆ B (0, 2) ,
38
עם זאת ,הקבוצה Zאינה קומפקטית ,מכיוון שלכיסוי הפתוח }{{a} : a ∈ Zשלה
אין תת־כיסוי סופי .זהו אכן כיסוי פתוח ,מכיוון שבמטריקה הדיסקרטית כל
קבוצה )ובפרט הנקודונים( היא פתוחה.
.6לאו דווקא .נתבונן בסדרה ) xn = (−1)n (1 − n1ב 1 > |xn | .R−ולכן חסומה.
1
n
d2 (xn , 0) = |xn | = 1 −
עולה ממש ,אך הסדרה לא מתכנסת.
.7נניח בשלילה שהחיתוך אינו ריק .לכן:
!c
\
[
Ai
=
Aci
i∈I
לפי דה־מורגן ,ולכן Aci
i∈I
= Rn = ∅ c
i∈I
S
⊆ X .Xקומפקטי ,והקבוצות
Aci
פתוחות )כי
המשלימות שלהן סגורות( ולכן קיים תת־כיסוי סופי של :X
Acik
s
[
⊆X
k=1
מצד שניAik 6= ∅ ,
T
⊇ Xכי החיתוך סופי ,כלומר קיים Aik
T
∈ xאלא שאז
x ∈ Xולכן גם:
c
Ai k
\
= Acik
[
∈x
וסתירה! לכן החיתוך אינו ריק.
.8נשתמש בכך שסגור היא הסגורה המינימלית שמכילה והפנים היא הפתוחה המקסימלית
שמוכלת.
)א( נוכיח A ∩ B ⊆ A ⊆ cl (A) , A ∩ B ⊆ B ⊆ cl (B) .ולכן:
)A ∩ B ⊆ cl (A) ∩ cl (B
מכיוון שהקבוצות ) cl (A) , cl (Bסגורות ,גם ) cl (A) ∩ cl (Bסגורה ,ומכיוון
שהיא מכילה את A ∩ Bוהסגור היא הסגורה המינימלית שמכילה ,נקבל שאכן:
)cl (A ∩ B) ⊆ cl (A) ∩ cl (B
39
)ב( נפריך .נתבונן בקבוצות A = (0, 1) , B = (1, 3) :ב .R−מכיוון שהחיתוך ריק,
גם ∅ = ) .cl (A ∩ Bמאידך גיסא,
}cl (A) = [0, 1] , cl (B) = [1, 3] =⇒ cl (A) ∩ cl (B) = {1
ולכן ).cl (A) ∩ cl (B) * cl (A ∩ B
)ג( נפריך .נתבונן בקבוצות A = [0, 1] , B = [1, 3] :ב .R−מצד אחד,
}int (A) = (0, 1) , int (B) = (1, 3) =⇒ int (A) ∪ int (B) = (0, 3) \ {1
ומצד שני:
)A ∪ B = [0, 3] =⇒ int (A ∪ B) = (0, 3
ולכן ).int (A ∪ B) * int (A) ∪ int (B
)ד( נוכיח int (A) ⊆ A ⊆ A ∪ B, int (B) ⊆ B ⊆ A ∪ B .ולכן:
int (A) ∪ int (B) ⊆ A ∪ B
מכיוון שהקבוצות ) int (A) , int (Bפתוחות גם ) int (A) ∪ int (Bפתוחה
ומכיוון שהיא מוכלת ב A ∪ B−והפנים הוא הפתוחה המקסימלית שמוכלת,
נקבל:
)int (A ∪ B) ⊇ int (A) ∪ int (B
.9שוב ,נשתמש בכך שהסגור הוא הסגורה המינימלית שמוכלת.
)א( נשתמש בהכלה דו־כיוונית .מתקיים .B (a, r) ⊆ B [a, r] :הכדור הסגור הוא
קבוצה סגורה ומכיוון שסגור היא הסגורה המינימלית שמכילה,
]cl (B (a, r)) ⊆ B [a, r
40
הכיוון הזה נכון בכל מרחב מטרי.
תהי ] .x ∈ B [a, rנראה שהיא נקודת הצטברות של ) B (a, rואז לפי משפט
)).x ∈ cl (B (a, r
אם כן .kx − ak ≤ r ,נתבונן באיברים מהצורה:
a
n
x+
1
1−
n
לכל .n > 1 ,n ∈ Nמתקיים< r :
r
n
= xn
≤ kx − ak
1
n
= kxn − xkולכן
).xn ∈ B (0, 1
לכל r0קיים nעבורו ≤ r0
r
n
ולכן לכל r0קיים ) xn ∈ B (x, r0ולכן xנקודת
הצטברות של ).B (a, r
לכן )) x ∈ cl (B (a, rולכן ] cl (B (a, r)) ⊇ B [a, rובסך הכל הוכחנו את
הדרוש.
)ב( נבחר } X = {a, bקבוצה עם שני איברים שונים ועם המטריקה הדיסקרטית:
.d (a, b) = 1
מתקיים .B (a, 1) = {a} :זו קבוצה סגורה )כמו כל קבוצה במרחב דיסקרטי(
ולכן }.cl (B (a, 1)) = {a
מצד שני.B [a, 1] = X ,
.10לא .נתבונן בקבוצה Qב .R−מצד אחד ) cl (Q) = Rחשבו מהן נקודות ההצטברות
של (Qומצד שני:
∅ = )∅( cl (int (Q)) = cl
.11נתון ש A, B−קשירות.
)א( לא בהכרח .נתבונן בזוג הכדורים הסגורים ב:R2 −
]A = B [0, 1] , B = B [2, 1
41
ובאיחוד שלהם .A ∪ Bהחיתוך של הכדורים לא ריק ולכן )ממשפט( גם האיחוד
קשיר.
עם זאת ,הפנים של האיחוד הוא הקבוצה:
)int (A ∪ B) = B (0, 1) ∪ B (2, 1
וזו אינה קבוצה קשירה.
)ב( אותה דוגמה כמו בסעיף הקודם תעבוד גם כאן.
.12נוכיח זאת .יהיו x, y ∈ R2 \Aונראה שיש ביניהן מסילה ,פונקציה רציפה כנדרש.
אם ,x = yקיימת ביניהן מסילה ־ פונקציה קבועה.
אם ,x 6= yמכיוון שעוצמת כל הישרים העוברים דרך xהיא ,ℵקיים ישר lxשעובר
דרך xולא עובר באף נקודה מ) A−זכרו שכל ישר נקבע על ידי שתי נקודות בצורה
יחידה(.
באופן דומה ,קיים ישר lyהעובר דרך yולא עובר באף נקודה מ ,A−ובנוסף שיפועו
שונה משיפועו של .lx
לכן lx , ly ,נחתכים בנקודה שנסמנה ב .z−המסילה שלנו תהיה הקטע מ x−עד
לנקודת החיתוך והקטע מנקודת החיתוך עד ל.y−
1
מעט יותר פורמלית ,המסילה היא הפונקציה γהמעתיקה את הקטע 0, 2לקטע
שבין xלבין ,zואת הקטע 12 , 1לקטע שבין zלבין .y
.13נזכור ש x ∈ lim A−אם לכל r > 0קיים a ∈ Aשונה מ x−כך ש.a ∈ B (x, r) −
)א( נפריך:
1
1
= , 0 |n ∈ N , B
− , 0 |n ∈ N
n
n
=A
ואז }) lim A = lim B = {(0, 0ולכן }).lim (A) ∩ lim B = {(0, 0
מצד שני A ∩ B = ∅ ,ולכן ∅ = ).lim (A ∩ B
)ב( נוכיח.
יהי .x ∈ lim A ∪ lim Bבה"כ.x ∈ lim A ,
42
לכן ,לכל r > 0קיים a ∈ A ⊆ A ∪ Bשונה מ x−כך ש ,a ∈ B (x, r) −ולכן
).x ∈ lim (A ∪ B
∈ .x
לצד שני ,יהי ) .x ∈ lim (A ∪ Bנניח בשלילה ש/ lim A, lim B−
לכן ,קיימים 0 < rA , rBכך שלכל a ∈ Aולכל b ∈ Bשונים מ x−מתקיים:
∈a
∈ / B (x, rA ) , b
) / B (x, rB
נסמן } .r = min {rA , rBמכיוון ש ,x ∈ lim (A ∪ B) −קיים a ∈ A ∪ Bשונה
מ x−כך ש.c ∈ B (x, r) −
בה"כ c ∈ A ,ואז ) c ∈ B (x, r) ⊆ B (x, rAוסתירה! לכן .x ∈ lim A ∪ lim B
בעזרת הכלה דו־כיוונית הוכחנו את הדרוש.
)ג( נפריך:
1
]|n ∈ N , B = [0, 1
n
=A
ואז ] lim A × lim B = {0} × [0, 1אך ). lim (A × B) = ((A ∪ {0}) × B
)ד( נפריך:
B = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 6 , A = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 6
ואז lim (A\B) = A\Bאך ∅ = .lim A\ lim B
.14נראה שסדרת קושי היא סדרה מתכנסת.
∞
)א( תהי {fn }n=1סדרת קושי במרחב.
לכן ,לכל ε > 0קיים n0כך שלכל m, n > n0מתקיים:
sup |fn (x) − fm (x)| < ε
]x∈[a,b
לכן ,לכל ] x0 ∈ [a, bמתקיים .|fn (x0 ) − fm (x0 )| < ε :אי לכך ,הסדרה
∞
{fn (x0 )}n=1היא סדרת קושי ב R .R−מרחב שלם ולכן הסדרה מתכנסת.
נסמן את גבול הסדרה ב.f (x0 ) −
∞
סדרת הפונקציות {fn }n=1מתכנסת נקודתית ל .f −נראה שזו התכנסות
43
בנורמה.
לכל ε > 0קיים n0כך שלכל m, n > n0מתקיים < |)supx∈[a,b] |fn (x) − fm (x
εוגם קיים nx0 > n0עבורו .fnx0 (x0 ) − f (x0 ) < εבפרט:
|fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ fn (x0 ) − fnx0 (x0 ) + fnx0 (x0 ) − f (x0 ) < 2ε
ובפרט kfn − f k = supx∈[a,b] |fn (x) − f (x)| < 2εלכל n > n0ולכן
הסדרה אכן מתכנסת.
)ב( סדרה במרחב זה היא סדרה של סדרות ,ולכן יש לנו שני אינדקסים .נסמן אחד
למעלה ואחד למטה ,ולא נתבלבל עם מעריך של חזקה.
∞
∞
תהי {(xnm )m }n=1סדרת קושי .לכן ,לכל mקבוע הסדרה {xnm }n=1היא
סדרת קושי ב R .R−מרחב שלם ולכן הסדרה מתכנסת .נסמן את גבול הסדרה
ב־ .xm
נתבונן בסדרה
∞
.{xm }m=1
ואז:
2
2
∞ < |xnm | ≤ sup k{xnm }m k2 < M
X
2
|xm | = lim
X
∞→n−
עבור M > 0כלשהו ,מכיוון שסדרת קושי היא סדרה חסומה.
P
∞
2
ולכן .{xm }m=1 ∈ l2
מכאן|xm | < ∞ ,
לפי ההגדרה:
qX
∞
X
l
2
∞
2
|xlm | −
|xnm | < ε
= xm n=1 − {xnm }n=1
2
עבור n, lגדולים מספיק .נשאיף ∞ → l −ונקבל:
2
|xnm | ≤ ε
X
2
|xm | −
qX
∞
∞
∞
= k{xm }n=1 − {xnm }n=1 k2
∞
ולכן הסדרה {(xnm )m }n=1מתכנסת לסדרה .{xm }m=1לכן המרחב שלם.
∞
.15תהי {xn }n=1סדרת קושי.
∞
∞
)א( נניח שקיימת סדרת מספרים {nk }k=1סדרת מספרים ששואפת לאינסוף ו{xnk }k=1 −
מתכנסת ל.x−
44
לכל ε > 0קיים n0כך שלכל m, n > n0מתקיים.d (xn , xm ) < ε :
כמו כן ,קיים kעבורו nk > n0ו ,d (xnk , x) < ε−מהתכנסות תת־הסדרה.
לכן ,לכל :n > n0
d (xn , x) ≤ d (xn , xnk ) + d (xnk , x) < 2ε
∞
ולכן {xn }n=1מתכנסת ל.x−
)ב( במרחב קומפקטי ,לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת ובפרט לכל סדרת קושי
יש תת־סדרה מתכנסת .לפי הסעיף הקודם פירוש הדבר שכל סדרת קושי היא
בעצמה סדרה מתכנסת ,ולכן המרחב שלם.
∞
.16נניח שהמרחב לא שלם .לכן ,קיימת סדרת קושי לא מתכנסת .{xm }m=1 ,נגדיר:
∞
,Fn = {xm }m=nזנב הסדרה החל מהאיבר ה.n−
למה אלו קבוצות סגורות? אלו סדרות קושי לא מתכנסות .סדרה כזו היא קבוצה
סגורה ,מכיוון שאם הייתה לה נקודת הצטברות אז היא הייתה גבול חלקי של הסדרה
ולפי השאלה הקודמת זה היה הגבול של הסדרה עצמה והסדרה הייתה מתכנסת
וסתירה! לכן אין נקודות הצטברות והקבוצה סגורה )שהרי היא מכילה את כל נקודות
ההצטברות שלה(.
מכיוון שהסדרה היא סדרת קושי ,לכל ε > 0קיים n0כך שלכל n, m > n0מתקיים
.d (xn , xm ) < εכלומר ,כל שני איברים ב Fn0 −קרובים אחד לשני עד כדי εולכן
∞T
∞T
∞
.δ (Fn0 ) ≤ εבפרט ,δ (Fn0 ) −→ 0 ,אך ∅ = . n=1 Fn = n=1 {xm }m=n
∞
לצד השני ,אם המרחב שלם ,נבחר סדרה {xn }n=1כך ש .xn ∈ Fn −לכל ε > 0
קיים n0עבורו δ (Fn0 ) < εובפרט לכל m, n > n0מתקיים xn , xm ∈ Fn0ולכן:
d (xn , xm ) ≤ δ (Fn0 ) < ε
∞
{xn }n=1סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול ,xכי המרחב שלם .בנוסף ,לכל nמתקיים:
∞
{xm }m=n ⊆ Fnולכן הגבול xשייך ל.Fn −
∞T
∞T
לכן x ∈ n=1 Fn ,ואם כך ∅ =. n=1 Fn 6
45
3
רציפות במרחבים מטריים ,ובמיוחד ב.Rn −
הגדרה 3.1תהי f : X → Yפונקציה ותהיינה .A ⊆ X, B ⊆ Y
.1התמונה של Aמוגדרת על ידי.f (A) = {f (a) |a ∈ A} :
.2התמונה ההפוכה של Bמוגדרת על ידי.f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} :
התמונה היא קבוצת כל התמונות; התמונה ההפוכה היא קבוצת כל המקורות.
הגדרה 3.2נאמר שפונקציה ) f : (X, d1 ) → (Y, d2היא רציפה ,אם לכל V ⊆ Yפתוחה,
גם f −1 (B) ⊆ Xפתוחה.
כלומר ,תמונה הפוכה של פתוחה היא פתוחה .אפשר להכליל הגדרה זו למרחבים כלליים,
כפי שתראו בקורס בטופולוגיה.
באופן שקול ,פונקציה היא רציפה אם תמונה הפוכה של סגורה היא סגורה.
משפט 3.3כל פונקציות שהן רציפות ב R−רציפות גם ב .Rn −פולינומים ,פונקציות טריגונומטריות
וטריגונומטריות הפוכות ,פונקציות היפרבוליות ,פונקציות רציונליות ,פונקציות מעריכיות,
פונקציות לוגריתמיות וכן הלאה; כולן רציפות בכל מספר משתנים.
תרגיל:
הראו שכל מישור ב R3 −הוא קבוצה סגורה.
פתרון:
משוואת מישור היא .ax + by + cz + d = 0
נתבונן בפונקציה f : R3 → Rהמוגדרת ע"י.f (x, y, z) = ax + by + cz + d :
זו פונקציה רציפה )פולינום( ומתקיים:
}f −1 ({0}) = {(x, y, z) |ax + by + cz + d = 0
שזהו המישור שלנו {0} .סגורה f ,רציפה ולכן גם המישור הוא סגור.
46
הגדרה 3.4תהי ) .f : (X, d1 ) → (Y, d2נאמר שהגבול של fבנקודה aהוא Lונסמן
,limx→a f (x) = Lאם לכל ε > 0קיים δ > 0כך שאם d1 (x, a) < δאז < )d2 (f (x) , L
.ε
פונקציה היא רציפה בנקודה אם הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה .כלומר:
fרציפה בנקודה aאם לכל ε > 0קיים δ > 0כך שאם d1 (x, a) < δאז
.d2 (f (x) , f (a)) < ε
למקרה שהמילה "רציפות" עוררה בכם געגועים לאפסילון ודלתא ,הנה הם במלוא
תפארתם.
איך מחשבים גבול של פונקציה ממשית? במשתנה אחד ,בדקנו את שני הגבולות החד־צדדיים;
אם הם קיימים ושווים ,הגבול קיים .זאת ,מכיוון שלנקודה בישר הממשי אפשר לשאוף משני
כיוונים בלבד ־ ימין ושמאל .מה קורה במימדים יותר גבוהים? כבר במישור ,אפשר לשאוף
אל נקודה מאינסוף מסלולים שונים!
מצד אחד ,כדי להראות שאין גבול יש לבחור שני מסלולים שונים אל עבר הנקודה
שהגבול בהם שונה ,ומגוון המסלולים מקל עלינו את הבחירה .מצד שני ,כדי להראות שיש
גבול יש להראות שכל המסלולים מתכנסים לאותו הגבול.
כדי לעשות זאת ,אפשר להשתמש במשפט הסנדויץ' ,באריתמטיקה של גבולות ובהצבה
של כמה משתנים כמשתנה אחד )שאת הגבול שלו אנו יודעים לחשב( .לא ננסח את משפט
הסנדויץ' ואת המשפט על אריתמטיקה של גבולות מכיוון שהם הכללות ישירות של אותם
המשפטים ביחס לפונקציות של משתנה יחיד.
תרגיל:
חשבו את הגבולות הבאים:
.1
3x−2y
lim
(x,y)→(0,0) 2x−3y
.
3
2
במסלול y = 0נקבל
) x sin(x2 +y 2
lim
.2
x2 +y 2
ובמסלול x = 0נקבל
2
3
ולכן הגבול אינו קיים.
.
)(x,y)→(0,0
= 1 ,lim x = 0
.3
4x+y−z
) sin(x2 +y 2
x2 +y 2
lim
limולכן בסה"כ הגבול הוא .0
.
(x,y,z)→(0,0,0) 2x−5y+2z
במסלול x = y = 0נקבל − 12ובמסלול x = z = 0נקבל − 15ולכן הגבול אינו קיים.
47
|−|x−y
e x2 −2xy−y2 .4
lim
.
)(x,y)→(0,0
נסמן ,t = x − y :ואז:
=0
.5
|−|t
t2
|−|x−y
e x2 −2xy−y2 = lim e
t→0
lim
)(x,y)→(0,0
xyz
lim
4
4
2
(x,y,z)→(0,0,0) x +y +z
.
במסלול x = 0נקבל .0
במסלול x = y, z = x2נקבל
.6
1
3
ולכן הגבול אינו קיים.
x2
cos y12
||x|+|y
)(x,y)→(0,0
lim
.
לפי סנדוויץ':
x2
1 x2 x2
≤ 0
≤ cos 2
≤
= |x| → 0
||x| + |y
y
||x| + |y| |x
ולכן הגבול הוא .0
תרגיל:
האם הפונקציה
)(x, y) 6= (0, 0
x2 +x3 +y 3
x2 +y 2
)(x, y) = (0, 0
0
= )f (x, y
רציפה?
פתרון:
ברור שהפונקציה רציפה בכל נקודה שאינה ).(0, 0
בנקודה ) (0, 0הגבול לא קיים ,כי אם נתבונן במסלולים ,y = axנקבל:
x2 + x3 + a3 x3
1
=
x→0
x2 + a2 x2
1 + a2
lim f (x, ax) = lim
x→0
כלומר הגבול משתנה בהתאם ל a−ולכן הוא לא קיים ,ולכן fאינה רציפה בנקודה
).(0, 0
48
תרגיל:
2
האם ניתן להגדיר את
2
x +y
) sin(x2 +y 2
= ) f (x, yכרציפה ב?(0, 0)−
פתרון:
כן .נסמן t = x2 + y 2 :ואז:
t
x2 + y 2
= lim
=1
sin (x2 + y 2 ) t→0 sin t
lim f (x, y) = lim
)(x,y)→(0,0
ולכן כדי לקבל רציפות נגדיר.f (0, 0) = 1 :
תרגיל:
האם הפונקציות הבאות רציפות?
2
arctan 2 x +1 2
)(x, y) 6= (0, 1
)x +(y−1
= ).f (x, y
.1
π
)(x, y) = (0, 1
2
בכל נקודה שאינה ) (0, 1הפונקציה רציפה כהרכבת רציפות .בנקודה ) (0, 1נקבל:
π
2
= f (x, y) = lim arctan z
∞→z
lim
)(x,y)→(0,1
ולכן הפונקציה רציפה.
)(x, y) 6= (0, 0
x y
x2 y 2 +(x−y)2
)(x, y) = (0, 0
0
.2
2 2
= ).f (x, y
במסלול x = yנקבל lim f (x, x) = 1ולכן לא רציפה בנקודה ) .(0, 0בכל נקודה
x→0
אחרת הפונקציה רציפה.
x2 + y 2 6= 0
.3
2
2
x +y =0
x3 −xy 2
x2 +y 2
0
= ).f (x, y
לפי סנדוויץ':
3
x − xy 2 x3 xy 2 x3 xy 2
= |x| + |x| → 0
0≤ 2
≤
+
≤
+
x + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 y 2
49
ולכן הפונקציה רציפה בנקודה ).(0, 0
שימו לב x2 + y 2 6= 0 :זהה במשמעותו ל .(x, y) 6= (0, 0) −בכל נקודה אחרת הפונקציה
רציפה כמנת רציפות.
תרגיל:
א .האם הפונקציה:
f (x, y) = x ln x2 + 3y 2
רציפה ב?(0, 0) −
פתרון:
בוודאי שלא ,היא הרי לא מוגדרת בנקודה זו.
ב .האם ניתן להגדיר את הפונקציה כך שתהיה רציפה ב?(0, 0) −
פתרון:
נבדוק האם הגבול בנקודה קיים .נסמן ,t2 = x2 + 3y 2 :ואז x2 ≤ t2 :ולכן |.|x| ≤ |t
לפיכך:
0 ≤ x ln x2 + 3y 2 = |x| · ln x2 + 3y 2 ≤ t ln t2
וזהו גבול של משתנה אחד ,ניתן לחשב אותו בעזרת לופיטל:
=0
2
t
t→0 − 12
t
L
= lim
2 ln t
1
t
lim t ln t2 = lim
t→0
t→0
ולכן לפי כלל הסנדוויץ':
lim
f (x, y) = 0
)(x,y)→(0,0
ולכן ניתן להגדיר את הפונקציה כך שתהיה רציפה ב.f (0, 0) = 0 :(0, 0) −
תרגיל:
50
בעזרת רציפות ,הראו שהקבוצה D = (x, y) ∈ R2 |yx < 1פתוחה ב.R2 −
פתרון:
נגדיר f : R2 → Rע"י f .f (x, y) = xyרציפה במכפלת הטלות ,ואז:
})D = f −1 {(−∞, 1
הקרן ) (−∞, 1פתוחה ב R−ולכן גם Dפתוחה.
משפט 3.5יהיו ) (X, d) , (Y, ρמרחבים מטריים ,תהי x ∈ Xותהי .f : X → Yאזי,
התנאים הבאים שקולים:
f .1רציפה.
d
ρ
.2אם xn −→ xאז ).f (xn ) −→ f (x
בדומה להגדרת הרציפות לפי היינה ,שראינו לגבי פונקציות .f : R → R
תרגיל:
תהי f : R → Rרציפה ,ונסמן .G = (x, y) ∈ R2 |f (x) = y :זהו הגרף של
הפונקציה .הראו ש G−סגורה ב.R2 −
פתרון:
תהי סדרה {(xn , yn )}n∈N ⊆ Gהמתכנסת )לפי (dmaxלנקודה ) .(x, yצ"ל .(x, y) ∈ G
נזכור שההטלה p1רציפה .לכן:
xn = p1 (xn , yn ) → p (x, y) = x
באופן דומה ,ההטלה p2רציפה ולכן .yn → y
כעת ,מכיוון שהפונקציה רציפה yn = f (xn ) → f (x) ,ומיחידות הגבול נקבל:
) .y = f (xלכן (x, y) ∈ Gולכן הקבוצה Gסגורה.
תרגיל:
51
נתבונן במחרב ] ,C [0, 1מרחב כל הפונקציות הרציפות f : [0, 1] → Rעם מטריקת
המקסימום.
א .תהי ] .a ∈ [0, 1נגדיר פונקציה Fa : C [0, 1] → Rעל ידי .Fa (f ) = f (a) :הוכיחו
שזו פונקציה רציפה.
פתרון:
תהי ] {fn } ⊆ C [0, 1סדרת פונקציות המתכנסת ל.f ∈ C [0, 1] −
נראה ש Fa (fn ) −→ Fa (f ) −ונסיק מכך ש Fa −אכן רציפה.
) Fa (fn ) −→ Fa (fפירושו ) fn (a) −→ f (aלפי הגדרת .Faמתקיים:
) 0 ≤ |fn (a) − f (a)| ≤ max {fn (x) − f (x)} = d (fn , f
]x∈[0,1
ומכיוון ש d (fn , f ) −→ 0 ,fn −→ f −ולכן לפי סנדוויץ' fn (a) −→ f (a) ,ולכן Fa
רציפה.
ב .הוכיחו שהקבוצה < 19
1
3
f ∈ C [0, 1] : fפתוחה ב.C [0, 1] −
פתרון:
שימו לב שקצת קשה לתפוס אינטואיטיבית איך אמורה להיראות קבוצה פתוחה של
פונקציות ,אבל בעזרת הרציפות החיים קלים:
n
o
1
))< 19 = f ∈ C [0, 1] : F 31 (f ) < 19 = F 1−1 ((−∞, 19
3
3
f ∈ C [0, 1] : f
ומכיוון ש (−∞, 19) −פתוחה ב R−ו F 13 −רציפה ,גם הקבוצה שלנו פתוחה.
הגדרה 3.6יהיו ) (X, d) , (Y, ρמרחבים מטריים ,ותהי ) .f : (X, d1 ) → (Y, d2
נאמר ש f −רציפה במידה שווה ,אם לכל 0 < εקיים 0 < δכך שאם x1 , x2 ∈ Dמקיימים
d1 (x1 , x2 ) < δאז .d2 (f (x1 ) , f (x2 )) < ε
ניזכר קצת ברציפות במידה שווה של פונקציות .f : R → R
איך מראים שפונקציה אינה רציפה במ"ש? מוצאים סדרה או סדרות איברים שההפרשים
ביניהם שואפים לאפס ,אך ההפרש בין תמונותיהם לא שואף לאפס.
52
תרגיל:
האם הפונקציה f (x) = exרציפה במ"ש ב?R−
פתרון:
לא .יהי .ε < 1נתבונן בשתי הסדרות:
{xn } = ln (n + 1) , {yn } = ln n
מתקיים:
n + 1
−→ ln 1 = 0
|xn − yn | = |ln (n + 1) − ln n| = ln
n
כאשר ∞ →) n −כפלנו וחילקנו בצמוד( ,ולכן לכל δ > 0קיים nδכך שלכל n > nδ
מתקיים ,|xn − yn | < δ :אך:
|f (xn ) − f (yn )| = eln(n+1) − eln n = |n + 1 − n| = 1 > ε
ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.
משפט 3.7תהי fפונקציה רציפה בקטע הסגור ] ,[a, bאזי fרציפה במ"ש בקטע .משפט זה
נקרא משפט קנטור.
איך נכליל את המשפט למרחב מטרי כלשהו?
תהי fפונקציה רציפה בקבוצה קומפקטית ,Kאזי fרציפה במ"ש ב.K−
תרגיל:
האם הפונקציה f (x, y) = cos 1−x12 −y2רציפה במ"ש בתחומים הבאים:
א.A = (x, y) |x2 + y 2 < 1 .
פתרון:
לא .נתבונן בסדרות:
1
π(n+1) , 0
q
1
,
0
,
b
=
1−
n
πn
בתחום שלנו ומתקיים:
)an , bn → (1, 0
53
q
= .anהן נמצאות
1−
ולכן .kan − bn k → 0 :אלא שמתקיים:
)f (an ) = cosπn, f (bn ) = cosπ (n + 1
ולכן:
n
kf (an ) − f (bn )k = kcosπn − cosπ (n + 1)k = k(−1) 2k = 2
ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש בתחום .A
ב.B = (x, y) |3 < x2 + y 2 < 4 .
פתרון:
כן .נרחיב את התחום שלנו לתחום:
(x, y) |3 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
זו קבוצה סגורה וחסומה והפונקציה שלנו רציפה בתחום זה ולכן היא גם רציפה במ"ש
עליו; לכן היא גם רציפה בתחום Bהחלקי לו.
משפט 3.8תהי fפונקציה רציפה בקטע הסגור ] ,[a, bאזי fמקבלת מינימום ומקסימום
בקטע.
איך נכליל את המשפט למרחבים מטריים כלליים?
תהי fפונקציה רציפה בקבוצה קומפקטית ,Kאזי fמקבלת מינימום ומקסימום בקטע.
תרגיל:
תרגיל:
תהי K ⊆ R2קבוצה קומפקטית עבורה לכל . y 6= 0 ,(x, y) ∈ Kונגדיר f : K → R
ע"י:
x
f (x, y) = x2 + sin2 e y
54
הוכיחו כי קיים a ∈ Rחיובי כך שלכל (x, y) ∈ Kמתקיים.a ≤ f (x, y) :
פתרון:
מכיוון שהפונקציה fרציפה על קבוצה קומפקטית יש לה מינימום ומקסימום ב.K−
נסמן את ערך המינימום ב.a−
לכן ,קיימת (x0 , y0 ) ∈ Kכך ש f (x0 , y0 ) = a−ולכל (x, y) ∈ Kמתקיים:
).a ≤ f (x, y
יתר על כן ,ברור שמתקיים:
x
f (x, y) = x2 + sin2 e y ≥ 0
נניח בשלילה שקיימת (x, y) ∈ Kעבורה .f (x, y) = 0כלומר:
x
x2 = 0 ∧ sin2 e y = 0
0
מהשיוויון הראשון נקבל x = 0אך זה נותן sin2 e y = sin2 1 6= 0וסתירה!
לכן לא קיימת נקודה ) (x, yכזו ולכן f (x, y) > 0לכל נקודה ;(x, y) ∈ Kבפרט,
.f (x0 , y0 ) = a > 0
הגדרה 3.9יהיו ) (X, d) , (Y, ρמרחבים מטריים ,ותהי ) f : (X, d1 ) → (Y, d2רציפה.
.1אם K ⊆ Xקומפקטית ,גם f (K) ⊆ Yקומפקטית.
.2אם C ⊆ Xקשירה ,גם f (C) ⊆ Yקשירה.
תרגיל:
תהי f : D → Rפונקציה רציפה כאשר .D ⊆ Rnהוכיחו או הפריכו את הטענות
הבאות:
א .תהיינה γ1 , γ2 : [0, 1] → Dמסילות רציפות עבורן:
γ1 (0) = γ2 (1) = a, γ2 (0) = γ1 (1) = b
55
אזי ,קיים ) t ∈ (0, 1עבורו )).f (γ1 (t)) = f (γ2 (t
פתרון:
שימו לב לכך שהקטע פתוח ,כלומר אנו לא רוצים לקחת את הקצוות .לכן ,נפריך על ידי
מסילות ששוות בקצוות בלבד ופונקציה יחסית פשוטה ,למשל:
f (x, y) = y
)a = (1, 0) , b = (−1, 0
)γ1 (t) = (cos πt, sin πt) , γ2 (t) = −γ1 (t
אך לכל ) t ∈ (0, 1נקבל:
))f (γ1 (t)) = sin πt > 0 > − sin πt = f (γ2 (t
ולכן לא קיים tכנדרש.
ב .תהיינה γ1 , γ2 : [0, 1] → Dמסילות רציפות עבורן:
γ1 (0) = γ2 (1) = a, γ2 (0) = γ1 (1) = b
אזי ,קיים ] t ∈ [0, 1עבורו )).f (γ1 (t)) = f (γ2 (t
פתרון:
כאן הקטע סגור .נוכיח את הטענה.
ראשית ,אם ) f (a) = f (bהטענה נכונה ,מכיוון ש:
))f (γ1 (0)) = f (a) = f (b) = f (γ2 (0
56
אם כן ,נניח ש ,f (a) = f (b) −ובה"כ ).f (b) > f (a
נגדיר פונקציה g : [0, 1] → Rעל ידי:
))g (t) = f (γ1 (t)) − f (γ2 (t
מצד אחד g (0) = f (a) − f (b) < 0 ,ומצד שני g . g (1) = f (b) − f (a) > 0רציפה
כהרכבת רציפות ,ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים ] t ∈ [0, 1עבורו ,g (t) = 0 :כלומר:
))f (γ1 (t)) = f (γ2 (t
כנדרש.
הגדרה 3.10יהי Xמרחב מטרי .נאמר ש X−מקיים את תכונת ערך הביניים אם לכל
פונקציה רציפה , f : X → Rלכל a, b ∈ Xולכל tבין ) f (aלבין ) f (bקיים c ∈ X
עבורו.f (c) = t :
משפט 3.11יהי Xמרחב מטרי ותהי E ⊆ Xקשירה .אזי Eמקיימת את תכונת ערך
הביניים.
תרגילים נוספים
.1הוכיחו כי הנורמה האוקלידית הסטנדרטית kk2 : Rn → Rהיא פונקציה רציפה.
.2האם הפונקציות הבאות רציפות?
)א( העתקת ההטלה על הרכיב הראשון.p1 : (Rn , dmax ) → (R, ||) ,
)ב( f : R2 → Rהמוגדרת על ידי:
x2 + y 2 6= 0
x2 +x3 +y 3
x2 +y 2
x2 + y 2 = 0
0
57
= )f (x, y
)ג( f : R2 → Rהמוגדרת על ידי:
)(x, y) 6= (2, 1
)arcsin(xy−2
)arctan(3xy−6
)(x, y) = (2, 1
0
= )f (x, y
.3הוכיחו בעזרת רציפות:
)א( הקבוצה A = (x, y) ∈ R2 | sin x + xy ≤ 5סגורה ב.R2 −
)ב( קבוצת המטריצות ההפיכות ) GLn (R) ⊂ Mn (Rפתוחה ב.Mn (R) −
.4הוכיחו או הפריכו:
)א( תהיינה d1 , d2מטריקות מעל קבוצה Xותהיינה ρ1 , ρ2מטריקות מעל קבוצה
.Yתהי ) f : (X, d1 ) → (Y, ρ1רציפה .אזי גם ) f : (X, d2 ) → (Y, ρ2רציפה.
)ב( תהי ) f : (X, d) → (Y, ρפונקציה בין שני מרחבים מטריים .אזי fרציפה אם
ורק אם לכל כדור פתוח f −1 (O) ,O ⊆ Yפתוחה ב.X−
)ג( תהי ) f : (X, d) → (Y, ρפונקציה בין שני מרחבים מטריים .אזי fרציפה אם
ורק אם לכל כדור סגור f −1 (O) ,O ⊆ Yסגורה ב.X−
.5יהי ) (X, dמרחב מטרי ותהי .a ∈ X
)א( הוכיחו כי הפונקציה fa : X → Rהמוגדרת על ידי ) fa (x) = d (x, aהיא
רציפה.
)ב( הסיקו שלכל r > 0כדור סגור הוא קבוצה סגורה.
.6האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש?
)א( f (x) = sin x2ב.R−
)ב( f (x, y) = arcsin xyבתחום }.D = {(x, y) : |x| ≤ |y| , y 6= 0
58
.7תהי ) f (x, yפונקציה המוגדרת בתחום Dורציפה לפי המשתנה ,xכלומר אם מקבעים
את y = y0מקבלים פונקציה רציפה של משתנה אחד:
) lim f (x, y0 ) = f (x0 , y0
x→x0
)א( נניח ש f −רציפה גם לפי .yהאם fרציפה?
)ב( נניח ש f −רציפה במ"ש לפי .yהאם fרציפה?
)ג( נניח ש f −מקיימת את תנאי ליפשיץ לפי :yקיים Kעבורו:
| .|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| < K · |y1 − y2האם fרציפה?
פתרונות
.1הנורמה האוקלידית מוגדרת על ידי:
x21 + · · · + x2n
q
= kxk
והיא רציפה כהרכבת רציפות.
.2נבדוק את רציפות הפונקציות.
)א( הנורמה האוקלידית היא הרכבה של פונקציות רציפות ולכן רציפה.
צ"ל שלכל 0 < εקיים 0 < δכך שאם dmax (x, a) < δאזי ,|x − a1 | < ε
כאשר ) .x = (x1 , ..., xn ) , a = (a1 , ..., an
מתקיים:
)|x1 − a1 | < max {|xi − ai |} = dmax (x, a
1≤i≤n
יהי ,0 < εנבחר δ = εואז אם dmax (x, a) < δאזי .|x1 − a1 | < δ = ε
באופן כללי ,ההטלה על כל רכיב היא רציפה.
59
)ב( לכל ) (x, y) 6= (0, 0הפונקציה רציפה כמנת רציפות.
נבדוק האם הגבול ) lim(x,y)→(0,0) f (x, yשווה ל.0−
במסלול ,x = yנקבל:
1
2
=
1
+x
2
x2 + x3 + x3
lim f (x, x) = lim
= lim
x−→0
x−→0
x−→0
x2 + x2
לכן הגבול שונה מ) 0−אין אפילו צורך לבדוק אם הוא אכן קיים( ולכן הפונקציה
אינה רציפה.
)ג( בתחום הגדרתה )מהו תחום הגדרתה של הפונקציה?( ,הפונקציה רציפה כמנת
רציפות .היכן שהפונקציה אינה מוגדרת היא בוודאי אינה רציפה.
נבדוק האם הגבול ) lim(x,y)→(2,1) f (x, yשווה ל.0−
נציב t = xy − 2ונקבל את הגבול:
1
3
=
√ 1
1−t2
3
1+(3t)2
arcsin t
= lim
t−→0 arctan 3t
t−→0
lim
לפי כלל לופיטל .לכן ,הפונקציה אינה רציפה בנקודה ).(2, 1
.3נחפש קבוצות מתאימות ונשתמש בתמונה הפוכה.
)א( הפונקציה f : R2 → Rהמוגדרת על ידי f (x, y) = sin x + xyהיא רציפה.
לכן ,מכיוון ש A = f −1 ((−∞, 5]) −ו (−∞, 5] ⊆ R−סגורה ,גם Aסגורה.
)ב( נזכור שמטריצה היא הפיכה אם ורק אם דטרמיננטתה )למה לא( שונה מאפס.
הפונקציה det : Mn (R) → Rרציפה )היא הרי פולינום( .
לכן ,מכיוון שdet−1 (R\ {0}) = GLn (R) −ו R\ {0} ⊆ R−פתוחה ,גם
) GLn (Rפתוחה.
.4נשתמש בהגדרת רציפות באמצעות קבוצות פתוחות.
)א( הפרכה .ניקח ,X = Y = Rאת המטריקה d1להיות המטריקה הדיסקרטית
ואת שאר המטריקות d2 , ρ1 , ρ2להיות המטריקה הסטנדרטית.
נקבל שכל פונקציה ) f : (X, d1 ) → (Y, ρ1היא רציפה כי כל קבוצה ב(X, d1 ) −
60
היא פתוחה )זו המטריקה הדיסקרטית( ,אך בוודאי שניתן למצוא פונקציה
) f : (X, d2 ) → (Y, ρ2שאינה רציפה ,למשל:
x x>1
= )f (x
−7 x ≤ 1
)ב( הוכחה .אם fרציפה אז ) f −1 (Oפתוחה ב X−לכל Oפתוחה ב .Y −כל כדור
פתוח הוא קבוצה פתוחה ולכן לכל כדור פתוח f −1 (O) ,Oפתוחה.
לצד השני ,לכל כדור פתוח f −1 (O) ,O ⊆ Yפתוחה ב .X−תהי U ⊆ Y
פתוחה .לכל x ∈ Uקיים rx > 0עבורו .B (x, rx ) ⊆ U
S
לכן ,U = x∈U B (x, rx ) :ולכן:
!
[
[
f −1 (U ) = f −1
= ) B (x, rx
)) f −1 (B (x, rx
x∈U
x∈U
וזהו איחוד של קבוצות פתוחות ולכן קבוצה פתוחה .תמונה הפוכה של פתוחה
היא פתוחה ולכן הפונקציה רציפה.
*הראו שתמונה הפוכה של איחוד אכן שווה לאיחוד התמונות ההפוכות.
)ג( הפרכה .ניקח d ,X = Y = Rהמטריקה הסטנדרטית ו ρ−המטריקה הדיסקרטית.
תהי f = Idפונקציית הזהות .הפונקציה אינה רציפה ,שכן } {5פתוחה
ב (Y, ρ) −אך } f −1 ({5}) = {5לא פתוחה במטריקה הסטנדרטית.
מצד שני ,במטריקה הדיסקרטית כדור סגור ברדיוס 1הוא המרחב כולו וכדור
סגור עם רדיוס קטן מ 1−הוא נקודון מהצורה }.{x
כעת ,גם עבור המרחב כולו f −1 (R) = R :וגם עבור נקודון }f −1 ({x}) = {x
נקבל שהקבוצה אכן סגורה ב ,(X, d) −אך כמו שהסברנו הפונקציה אינה
רציפה.
.5נשתמש בהגדרת רציפות עם אפסילון ודלתא.
)א( יהי ,x ∈ Xויהי .ε > 0נבחר ,δ = εואז אם d (x, y) < δנקבל:
|fa (x) − fa (y)| = |d (x, a) − d (y, a)| ≤ d (x, y) < δ = ε
61
לפי אי שוויון המשולש ,ולכן הפונקציה רציפה.
)ב( מתקיים:
)]B [a, r] = {x ∈ X : 0 ≤ d (x, a) ≤ r} = {x ∈ X : 0 ≤ fa (x) ≤ r} = fa−1 ([0, r
הקטע [0, r] ⊆ Rקבוצה סגורה והפונקציה faרציפה ולכן גם ] B [0, rקבוצה
סגורה.
.6נראה שהפונקציות אינן רציפות במ"ש ,על ידי כך שנצביע על סדרות איברים שההפרשים
ביניהם שואפים לאפס אך ההפרשים בין התמונות שלהם לא שואפים לאפס.
)א( לכל ε < 1נתבונן בסדרות המספרים:
r
√
π
xn = πn + , yn = πn
2
מתקיים:
r
π
√ π
2
|xn − yn | = πn + − πn = p
−→ 0
√
2
πn + π2 + πn
כאשר ∞ →) n −כפלנו וחילקנו בצמוד( ,ולכן לכל δ > 0קיים nδכך שלכל
n > nδמתקיים ,|xn − yn | < δ :אך:
π
− sin (πn) = 1 > ε
|f (xn ) − f (yn )| = sin πn +
2
ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.
)ב( שוב ,נתבונן בסדרות:
1
1
,−
n n
= , yn
1 1
,
n n
= xn
מתקיים:
2
2
|xn − yn | = 0,
= −→ 0
n n
כאשר ∞ → ,n −אך:
2
(arcsin 1 − arcsin (−1)) = π
ולכן אין רציפות במ"ש.
62
q
= |) |f (xn ) − f (yn
.7נבדוק האם רציפות מתקיימת.
)א( לא בהכרח .נתבונן בפונקציה:
)(x, y) 6= (0, 0
)(x, y) = (0, 0
x+y
x−y
= )f (x, y
1
אם מקבעים את xאו את yהפונקציה אכן רציפה לפי המשתנה השני:
x
y
=1
= )lim f (x, 0) = = 1, lim f (0, y
y→0
x→0
x
−y
אבל לכל kנקבל במסלולים y = kxגבולות שונים ולכן הפונקציה אינה רציפה.
)ב( לא בהכרח .נתבונן בתחום D = [−1, 1] 2ובפונקציה:
y
)|y| ≤ |x| , (x, y) 6= (0, 0
x
x
= )f (x, y
||x| < |y
y
0
)(x, y) = (0, 0
הפונקציה שלנו רציפה לפי כל אחד מהמשתנים בנפרד )ומכיוון שזהו תחום סגור
וחסום ,היא גם רציפה במ"ש( .אלא שאם נשאף לנקודה ) (0, 0במסלול x = 0
נקבל:
lim f (0, y) = 0
y→0
ואם נשאף במסלול y = xנקבל:
lim f (x, x) = 1
x→0
כלומר הגבול לא קיים ,ולכן הפונקציה אינה רציפה בנקודה ).(0, 0
)ג( הוכחה .נראה שלכל (x0 , y0 ) ∈ Dהמקיימים ,|(x, y) − (x0 , y0 )| < δמתקיים
.|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < εובכן:
≤ |) |f (x, y) − f (x0 , y0 )| ≤ |f (x, y) − f (x, y0 )| + |f (x, y0 ) − f (x0 , y0
63
|) ≤ K |y − y0 | + |f (x, y0 ) − f (x0 , y0
fרציפה לפי xכלומר אם |x − x0 | < δ 0אז לכל |f (x, y) − f (x0 , y)| < ,y
.ε0נבחר
ε
2
= ε0ונבחר:
n ε
o
, δ0
2K
δ = min
ואם נחזור לאי־השוויון נקבל:
ε
ε
+ =ε
2K
2
· |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < K
ולכן הפונקציה רציפה.
4
נגזרות חלקיות ,דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
הנגזרת היא מלכת החדו"א .איך גוזרים פונקציות עם יותר ממשתנה אחד?
כרגע ,נתעסק רק בפונקציות ,f : Rn → Rובהמשך בפונקציות .f : Rn → Rm
הגדרה 4.1תהי .f : Rn → Rהנגזרת החלקית לפי המשתנה xiבנקודה aמוגדרת כך:
∂f
) f (a1 , a2 ..., ai + ∆xi , ai+1 , ..., an ) − f (a1 , ..., an
(a) = lim
∆xi −→0
∂xi
∆xi
נסמן גם.fxi , fx0 i :
הגרדיאנט הוא וקטור הנגזרות החלקיות:
∂f ∂f
∂f
,
,...,
∂x1 ∂x2
∂xn
= ∇f
באופן כללי ,כאשר נגזור jiפעמים לפי המשתנה ה־ ,iנסמן:
∂ j1 +...+jn f
∂ j1 x1 ....∂ jn xn
64
תרגיל:
חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה:
2
2
(x4 +y)2
)(x, y) 6= (0, 0
x +y
1
)(x, y) = (0, 0
= )f (x, y
פתרון:
בכל נקודה שאינה ) (0, 0נגזור כרגיל ,כלומר נתייחס אל המשתנה האחר כאל קבוע.
זו נגזרת של מנה ,ונקבל:
4xy y 2 − x4
(x4 + y 2 ) 2
2x6 − 2x2 y 2
(x4 + y 2 ) 2
= )fx (x, y
= )fy (x, y
בנקודה ) (0, 0נחשב לפי ההגדרה:
4
t
)f (t, 0) − f (0, 0
1−1
4 − 1
= lim t
= lim
=0
t−→0
t−→0
t−→0
t
t
t
fx (0, 0) = lim
2
t
)f (0, t) − f (0, 0
1−1
2 − 1
= lim t
= lim
=0
t−→0
t−→0
t−→0
t
t
t
fy (0, 0) = lim
לא מסובך.
נשאלת השאלה ־ האם ?fxy = fyxכלומר ,האם אפשר להחליף את סדר הגזירה?
משפט 4.2החלפת סדר הגזירה:
תהא fפונקציה רציפה בסביבה Dשל הנקודה x0ב.k ≥ 2 ,Rk −
נניח שעבור שני אינדקסים i, jהנגזרת
∂2f
∂xi ∂xj
קיימת ב D−ורציפה ב ,x0 −אזי:
∂2f
∂2f
= ) (x0
) (x0
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
65
כלומר ניתן להחליף את סדר הגזירה.
לדוגמה:
ניתן דוגמה לפונקציה שנגזרותיה אינן מתחלפות .נתבונן בפונקציה:
2
2
xy x2 −y2
x2 + y 2 6= 0
x +y
= )f (x, y
0
)(x, y) = (0, 0
נגזור לפי ההגדרה:
)(0, 0
∂f
∂y
(t, 0) −
∂f
∂y
t
(0, 0) = lim
t−→0
∂f
∂y
∂
∂x
וכעת:
∂f
)f (0, t) − f (0, 0
(0, 0) = lim
=0
t−→0
∂y
t
2
2
tr tt2 −r
∂f
)f (t, r) − f (t, 0
+r 2 − 0
(t, 0) = lim
= lim
=t
r−→0
r−→0
∂y
r
r
ולכן:
t−0
=1
t
(0, 0) = lim
t−→0
∂f
∂y
∂
∂x
מצד שני,
)(0, 0
∂f
∂x
(0, t) −
t
∂f
∂x
(0, 0) = lim
t−→0
∂f
∂x
שוב ,נחשב כל אחד מהביטויים במונה:
∂f
)f (t, 0) − f (0, 0
(0, 0) = lim
=0
r−→0
∂x
t
66
∂
∂y
∂f
)f (r, t) − f (0, t
(0, t) = lim
= −t
r−→0
∂x
r
ולכן:
−t − 0
= −1
t−→0
t
(0, 0) = lim
∂f
∂x
∂
∂y
ואכן אם נגזור לפי xואז לפי yנקבל תוצאה אחרת מאשר אם נגזור לפי yואז נגזור
לפי .xחשבו איזה תנאי לא מתקיים כאן.
הגדרה 4.3תהי f : Rn → Rפונקציה .נאמר שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה = x0
x01 , ..., x0nאם אפשר לכתוב:
n
X
f x01 + ∆x1 , ..., x0n + ∆xn = f x0 +
(Ai + αi (∆xi )) ∆xi
i=1
כאשר A1 , ..., Anקבועים ו α1 , ..., αn −הן פונקציות ששואפות ל־ 0כאשר ∆xשואף
ל־.0
כלומר ,בסביבת x0אפשר להציג את הפונקציה בקירוב טוב כפונקציה ליניארית.
אם פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה אז היא רציפה שם ,והקבועים Aiהם הנגזרות
החלקיות בנקודה:
∂f
x0
∂xk
= Ak
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות :הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות .תנאי זה לא הכרחי;
לאחר התרגיל נדגים זאת.
תנאי הכרחי לדיפרנציאביליות ־ הפונקציה רציפה והנגזרות החלקיות קיימות .תנאי זה
לא מספיק; לאחר התרגיל נדגים זאת.
67
איך בודקים האם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה מסוימת אם לאו?
נבדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה ).(0, 0
p
.f (x, y) = 3 x3 + y 3 .1
הפונקציה רציפה כהרכבת רציפות.
כדי ש f (x, y) −תהיה דיפרנציאבילית בנקודה ) (0, 0צריך להתקיים:
h22
+
h21
q
f (0 + h1 , 0 + h2 ) − f (0, 0) = fx (0, 0) h1 + fy (0, 0) h2 + o
החלפנו את ∆xiשבהגדרה ב .hi −כמו שאמרנו ,אם היא אכן דיפ' אז הקבועים הם
הנגזרות החלקיות בנקודה .ה־ oמסמל את הקירוב.
נחשב את הנגזרות החלקיות בנקודה:
√
3 3
t
)f (t, 0) − f (0, 0
= lim
=1
fx (0, 0) = lim
t−→0 t
t−→0
t
)f (0, t) − f (0, 0
=1
t
fy (0, 0) = lim
t−→0
ולכן יש לבדוק אם מתקיים:
q
2
2
= h1 + h2 + o
h1 + h2
h32
+
h31
q
3
כלומר ,האם:
h31 + h22 − h1 − h2
p
=0
h21 + h22
כמשמעו של .oאך אם ניקח את המסלול
√
3
2−2
√
6= 0
2
=
1
n
2
n
p
3
)(h1 ,h2 )−→(0,0
= ,h1 = h2נקבל:
−
2
n2
68
lim
2
n3
q
q
3
lim
∞→n−
ולכן הפונקציה אינה דיפרנציאבילית.
.2הפונקציה:
)(x, y) 6= (0, 0
2xy
x2 +y 2
)(x, y) = (0, 0
0
= )f (x, y
נבדוק האם הפונקציה רציפה בנקודה ).(0, 0
אם נתבונן במסלול x = yנקבל:
2x2
= 1 6= 0
x−→0 2x2
lim f (x, x) = lim
x−→0
ולכן פונקצייתנו )הפונקציה שלנו חביבי( כלל אינה רציפה בנקודה ) (0, 0ולכן בוודאי
שאינה דיפ'.
.3הפונקציה:
)(x, y, z) 6= (0, 0, 0
1
x2 +y 2 +z 2
√
)(x, y, z) = (0, 0, 0
−
1
x2 +y 2 +z 2 e
0
= )f (x, y, z
נבדוק את רציפות הפונקציה בנקודה ):(0, 0, 0
−√ 2 1 2 2
1
x +y +z
e
=
(x,y,z)−→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2
lim
p
נציב x2 + y 2 + z 2
= tונקבל:
1
)e− t = 0 = f (0, 0, 0
1
= lim
t−→0 t2
ולכן הפונקציה רציפה בנקודה ) ;(0, 0, 0את הגבול אפשר לחשב בעזרת לופיטל .נחשב
את הנגזרות החלקיות בנקודה:
)f (t, 0, 0) − f (0, 0, 0
1 − √1
= lim 3 e t2 = 0
t−→0
t−→0 t
t
fx (0, 0, 0) = lim
69
באופן דומה קל לראות ש.fy (0, 0, 0) = fz (0, 0, 0) = 0−
כעת ,על מנת שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית צריך להתקיים:
h23
+
h22
+
h21
q
f (h1 , h2 , h3 )−f (0, 0, 0) = fx (0, 0, 0) h1 +fy (0, 0, 0) h2 +fz (0, 0, 0) h3 +o
כלמור נבדוק האם:
=0
1
2
2
h2
1 +h2 +h3
√−
1
e
lim
3
(h21 + h22 + h23 ) 2
p
ואכן ,אם נציב h21 + h22 + h23
)(h1 ,h2 ,h3 )−→(0,0,0
= tנקבל:
1
e− t = 0
1
= lim
t−→0 t3
ולכן הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה ).(0, 0, 0
לדוגמה:
.1דוגמה לכך שרציפות הנגזרות החלקיות היא תנאי מספיק אך לא הכרחי לדיפרנציאביליות:
)(x, y) 6= (0, 0
x2 + y 2 sin 2 1 2
x +y
)(x, y) = (0, 0
0
= )f (x, y
לפי מה שלמדנו ,ניתן לבדוק שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה ).(0, 0
בקצרה ,הנגזרות החלקיות בנקודה ) (0, 0הן .0לכן ,כדי להוכיח דיפרנציאביליות בנקודה
יש להוכיח:
=0
1
h21 + h2 sin h2 +h
2
1
2
p
2
2
h1 + h2
2
וזה אכן מתקיים.
70
lim
)(h1 ,h2 )−→(0,0
אלא שהנגזרות בנקודה אינן רציפות; למשל אם נגזור לפי xנקבל במסלול y = 0
1
x2
2
fx (0, 0) = − cos
x
שכלל אינה חסומה כאשר x → 0ולכן לא רציפה.
.2מאידך גיסא ,דוגמה לכך שקיום הנגזרות החלקיות הוא לא תנאי מספיק לדיפרנציאביליות:
2xy 2
)(x, y) 6= (0, 0
x +y
= )f (x, y
0
)(x, y) = (0, 0
הפונקציה אינה רציפה ב)(0, 0) −אפשר להתבונן במסלולים מהצורה y = kxולקבל
גבולות שונים( ולכן בוודאי שאינה דיפרנציאבילית.
אף על פי כן ,הנגזרות החלקיות קיימות:
)f (t, 0) − f (0, 0
=0
t
fx (0, 0) = lim
t−→0
וכך גם ) .fy (0, 0אפשר גם להתבונן בפונקציה הראשונה מהתרגיל הקודם.
הגדרה 4.4משטח ב R3 −נתון ע"י משוואה f (x, y, z) = 0עבור פונקציה .f : R3 → R
תהי ) p0 = (x0 , y0 , z0נקודה שבסביבה Uשלה fגזירה ברציפות.
משוואת המישור המשיק למשטח זה בנקודה p0היא:
fx (p0 )(x − x0 ) + fy (p0 )(y − y0 ) + fz (p0 )(z − z0 ) = 0
זכרו שמשוואת מישור היא .ax + by + cz + d = 0:נורמל למישור במקרה זה הוא וקטור
המקדמים ,קרי.(a, b, c) :
במקרה של המישור המשיק ,נקבל שהנורמל הוא )) ,(fx (p0 ), fy (p0 ), fz (p0כלומר:
) .~n = ∇f (p0
המישור המשיק הוא המרחב הנפרש ע"י וקטורי הנגזרות הכיווניות ,אליהם נגיע בהמשך.
71
תרגיל:
מצאו את כל הנקודות p0במשטח x2 + y 2 − z 2 = 1כך שהמישור המשיק למשטח זה
בנקודה p0מקביל למישור.x + y + z = 1 :
פתרון:
תהי ) p0 = (x0 , y0 , z0נקודה במשטח .נגדיר פונקציה:
f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1
הנגזרות החלקיות הן:
fx = 2x
fy = 2y
fz = −2z
ולכן בנקודה שלנו הנורמל למישור המשיק יהיה ) .(2x0 , 2y0 , −2z0
כעת ,מישורים הם מקבילים אם הנורמלים שלהם תלויים ליניארית.
הנורמל למישור x + y + z = 1הוא ) .(1, 1, 1לכן ,נחפש את כל הנקודות p0במשטח
כך ש:
) a · (1, 1, 1) = (2x0 , 2y0 , −2z0
נקבל:
a
a
a
, y0 = , z0 = −
2
2
2
72
= x0
כעת ,הנקודה שלנו על המשטח ,ולכן צריך להתקיים:
x20 + y02 − z02 − 1 = 0
כלומר:
a2
a2
a2
+
−
=0
4
4
4
ולכן .a = ±2
ולכן שתי הנקודות שתקיימנה את הדרוש הן:
)(1, 1, −1) , (−1, −1, 1
הגדרה 4.5תהי f : Rn → Rפונקציה .נגדיר את הנגזרת הכיוונית של fבכיוון hבנקודה
aלהיות:
)f (a + th) − f (a
t
Dh f (a) = lim
t−→0
משפט 4.6תהי f : Rn → Rפונקציה דיפרנציאבילית ,ויהיו .a, h ∈ Rnאזי:
Dh f (a) = ∇f (a) · h
הנגזרת הכיוונית בכיוון הגרדיאנט )המנורמל( היא המקסימלית.
כלומר ,בכיוון זה הפונקציה עולה בקצב הגדול ביותר.
הערה 4.7נהוג לחשב את הנגזרת הכיוונית עם וקטור שאורכו ,1כלומר וקטור מנורמל.
73
תרגיל:
בנקודה ) ,a = (1, 1, 1באיזה כיוון הפונקציה
)f (x, y, z) = x arctan (yz
עולה בקצב הגדול ביותר? הגדירו וקטור זה ע"י וקטור שאורכו .1
כמו כן ,חשבו את הנגזרת של fבנקודה aבכיוון זה.
פתרון:
הנגזרות החלקיות של fהן:
)fx = arctan (yz
xz
1 + (yz) 2
= fy
yx
1 + (yz) 2
= fz
הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות בלכ נקודה ולכן fדיפרנציאבילית.
כעת ,כיוון העלייה המקסימלי הוא כיוון הגרדיאנט המנורמל .הגרדיאנט הוא:
π 1 1
= )∇f (1, 1, 1
, ,
4 2 2
ולכן וקטור הכיוון של העלייה המקסימלית מאורך 1יהיה:
)∇f (1, 1, 1
)= (0.743, 0.473, 0.473
k∇f (1, 1, 1)k
=h
ומכיוון שהפונקציה דיפרנציאבילית ,הנגזרת הכיוונית בכיוון זה תהיה:
Dh f (a) = ∇f (1, 1, 1) · h = 1.056
74
© Copyright 2024