מכניקה אנליטית ־ תרגול 3
מכניקה אנליטית ־ תרגול 3 סכמה כללית לפתרון בעיות במכניקה אנליטית .1ספירת דרגות חופש ומציאת האילוצים .2חישוב מספר ד"ח בלתי תלויות .3מציאת קואורדינטות מוכללות וכתיבת משוואות הטרנספורמציה .4כתיבת האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית בקואורדינטות מוכללות ,וכתיבת הלגראנז'יאן L=T −V .5כתיבת משוואת תנועה ) ( Euler - Lagrangeלכל קואורדינטה מוכללת: d ∂L ∂L =0 − dt ∂ q̇i ∂qi חשוב לציין שהלגראנז'יאן אינו בעל משמעות פיסיקלית ברורה .בפרט ,לגראנז'יאנים רבים עשויים לתאר את אותה הדינמיקה. דוגמאות: מתנד הרמוני: מסה מחוברת לקפיץ בעל קבוע kואורך מנוחה ,lמונחת על מישור חסר חיכוך .כתוב את משוואות התנועה. פתרון :המסה נעה על קו ישר כך שיש דרגת חופש יחידה .נבחר כקואורדינטה מוכללת את המיקום ביחס לנקודת שיווי המשקל. T = 0.5mẋ2 U = 0.5kx2 L = 0.5mẋ2 − 0.5kx2 משוואת התנועה: mẍ + kx = 0 → ẍ = −ω 2 x כאשר ,ω 2 = k/mהמשוואה המוכרת של החוק השני של ניוטון. 1 נוסיף כבידה: כעת הקפיץ תלוי אנכית ,ויש כבידה.עדיין דרגת חופש יחידה ,ונבחר אותה להימדד מהנקודה בה הקפיץ לא מפעיל כח )מרחק lמהתלייה(. U = 0.5kx2 + mgx T = 0.5mẋ2 ע"י השלמה לריבוע: 2 )(mg mg 2 L = 0.5mẋ2 − 0.5k x + + 0.5 k k האיבר האחרון הינו קבוע ולא משפיע על הדינמיקה .משוואת התנועה: mg = 0 → ẍ = −ω 2 x − g mẍ + k x + k ע"י מעבר mg ל־ k x̃ = x +חוזרים למשוואה בדיוק כמו במקרה חסר התאוצה החיצונית. בדו מימד: נניח כעת שחרוז מושחל על מוט המחובר בקצהו לציר ,וכן קפיץ בעל קבוע kואורך מנוחה l מחבר את החרוז אל הציר .המוט חופשי להסתובב סביב הציר .הכל קורה על שולחן מישורי ללא חיכוך. בבעיה שתי דרגות חופש )אילוץ יחיד ־ התנועה היא על שולחן מישורי( .נעבוד בקואורדינטות פולריות )למרות שאפשר להשאר בקרטזיות ,אבל קצת פחות נוח(: 2 m 2 k k p 2 m 2 2 = ẋ + ẏ 2 ṙ + r2 θ̇2 =U )x + y 2 − l = (r − l = T 2 2 2 2 k m 2 2 )ṙ + r2 θ̇2 − (r − l 2 2 =L משוואת התנועה ל :r mr̈ − mθ̇2 r + k (r − l) = 0 → r̈ = θ̇2 − ω 2 r + ω 2 l משוואת התנועה ל־:θ d 2 mr θ̇ = 0 dt המשוואה השנייה אומרת לנו שהגודל ̇ L = r2 θהוא קבוע בזמן .נשים לב שמדובר בתנע הזוויתי ,אשר נשמר בתנועה בהשפעת כח מרכזי .ע"י שימוש בעובדה זו נוכל לפשט את המשוואה הרדיאלית: ! 2 L = ̈r − ω2 r + ω2 l r2 כעת יש לנו משוואה דיפפרציאלית עבור פונקציה בודדה של הזמן שעלינו לפתור .כדי להתקדם יש צורך בשימוש בעוד חוק שימור ־ שימור האנרגיה .נדבר על זה בקרוב בקורס. 2 גלגלת )המשך משעור שעבר(: נזכיר שבשעור שעבר הסתכלנו על גלגלת אידיאלית בעלת רדיוס Rעם שתי מסות תלויות עליה ,מחוברות בחוט בעל אורך .lעקב האילוצים של תנועה אנכית ואורך החוט נותרנו עם דרגת חופש ב"ת יחידה ,ובחרנו את ה־ yשל אחת המסות ) (m1כקואורדינטה מוכללת. האנרגיות היו: U = g(m1 − m2 )q + C 1 (m1 + m2 ) q̇ 2 2 = T הלגראנז'יאן: 1 (m1 + m2 ) q̇ 2 − g(m1 − m2 )q 2 =L כאן אנחנו מרשים לעצמנו להתעלם מהקבוע ,שלא משפיע על הדינמיקה כלל .משוואת התנועה: (m1 + m2 ) q̈ = − (m1 − m2 ) g נזכיר ,שבשעור ראיתם שמשוואות התנועה יכולות להיכתב כ־ ∂T d ∂T − = Qi dt ∂ q̇i ∂qi ∂U Qi = − ∂qהוא הכח המוכלל של הקואורדינטה ה־ .iאצלנו הכח המוכלל של כאשר i הקואורדינטה qהינו ,− (m1 − m2 ) gואנחנו רואים שמשוואת התנועה שקיבלנו היא בדיוק בצורה הזאת. פתרון הבעיה ע"י שימוש בתרשים כוחות לכל מסה וכתיבת החוק השני של ניוטון עבור כל אחת מהמסות היה מביא אותנו למשוואה זהה .נראה זאת: m1 ÿ1 = −m1 g + T m2 ÿ2 = −m2 g + T מכיוון שאורך החוט קבוע ,התאוצות חייבות להיות זהות בגודלן והפוכות בכיוונן .מחיסור המשוואות מתקבלת משוואת התנועה שכתבנו לעיל. 3
© Copyright 2024