עקרון המקסימום למשוואת החום
עקרון המקסימום למשוואת החום מכללת אורט בראודה -המחלקה למתמטיקה משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה 11122 יעקב לוצקי ולביא קרפ דף תרגילים מספר 6 עקרון המקסימום למשוואת החום סימונים הגדרות ומשפט • רצועה סופית: ;R = f0 x L; 0 t T g T • רצועה אינסופית: ;R1 = f0 x L; 0 t < 1g • שפה פרבולית: t Tg 0 ;t = 0g [ fx = L n f0 x L; t = T g ;= fx = 0; 0 t T g [ f0 x L @R T = @R T p • שפת הרצועה האינסופית.@ R1 = @R1 : p • משפט עקרון המקסימום :נניח כי הפונקציה ) u 2 C 2 (R n @ R ) \ C (Rומקיימת את משוואת החום u u = 0ב . > 0 ,R n @ Rאז המקסימום והמינימום מתקבלים על השפה הפרבולית ,כלומר, T xx u(x; t): T min @R 2 )(x;t t = )u(x; t T T p p T min R T T 2 AND )(x;t )u(x; t T max @R 2 )(x;t = )u(x; t T max R 2 )(x;t תרגילים 2x + 2 + 2 t .1נתונה הפונקציה .f0 x 2; 0 t T g x2 = ) .u(x; tחשב את המקסימום והמינימום בתחום .2הראה את התכונות הבאות של בעיית שפה התחלה: : <t<1 0 ;)u u = P (x; t ;)u(x; 0) = f (x ;)u(0; t) = a(t); u(; t) = b(t ;< x < L 0xL 0t<1 0 xx t 8 > < > : )(1 א .יחידות :רמז :הנח כי u1ו u2פתרונות של ) (1וישם את עקרון המקסימום להפרש .w = u1 u2 c לוצקי וקרפ 1 עקרון המקסימום למשוואת החום ב .עקרון ההשוואה :נניח כי ) u1 ; u2 2 C 2 (R1 n @R1 ) \ C (R1מקיימות את המשוואה )P (x; t = xx u t uב R1 n @R1 וגם u1 u2על ,@R1אז u1 u2ב .R1 רמז :ישם את עקרון המקסימום להפרש u1 .w = u2 .3נניח כי ) u 2 C 2 (R1 n @R1 ) \ C (R1פתרון של : <t<1 ; < < x x 0t<1 0 ;u u =p0 ;)u(x; 0) = sin(x ;u(0; t) = 0; u(; t) = 0 0 xx 0 הראה ש u(x; t) 1 sin x t t 8 > < > : eעבור .(x; t) 2 R1 .4יהי ) u(x; tפתרון של בעיית התחלה שפה u u = 0ב ,f0 x 1; t > 0gועם תנאי שפה ,u(0; t) = u(1; t) = 0והתחלה )x xx א .הראה ש .0 u(x; t) 41 ב .הראה ש )x; t) = u(x; t t .u(x; 0) = x(1 .u(1 אנרגיה עבור פתרון uשל משוואת החום אינטגרל האנרגיה =0 uברצועה ,f0 < x < L; 0 < tgנגדיר את u xx u2 (x; t)dx: t ZL 0 1 2 = )E (t .5הראה ש ) E (t) E (0בתנאי השפה הבאים: א .תנאי דירכלה.u(0; t) = u(l; t) = 0 : ב .תנאי נוימן.u (0; t) = u (l; t) = 0 : ג .תנאי רובין ,u (L; t) + a u(L; t) = 0 ,u (0; t) a0 u(0; t) = 0 :כאשר מהו הפירוש הפיסיקלי של תנאים אלו? רמז :נגזור את האנרגיה לפי ,tנשתמש במשוואה ואינטגרציה בחלקים: x x x x L L (x; t)dx L Z Z d E (t) = u(x; t)u (x; t)dx = u(x; t)u dt t xx 0 L u2 (x; t)dx u(x; t)u (x; t) : 0 x 0 ZL x 0 L ) 0 u(x; t)u (x; t x = כעת ,על ידי הצבת תנאיי שפה נקבל ש . E (t) 0 d dt .6השתמש באנרגיה בכדי להראות יחידות ויציבות של בעיית שפה התחלה ).(1 c לוצקי וקרפ 0 2 > .a0 ; a L עקרון המקסימום למשוואת החום תשובות 1 מקסימום ) ,2(1 + Tמינימום .1 c לוצקי וקרפ 3
© Copyright 2024