‫עקרון המקסימום למשוואת החום‬
‫מכללת אורט בראודה ‪ -‬המחלקה למתמטיקה‬
‫משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה ‪11122‬‬
‫יעקב לוצקי ולביא קרפ‬
‫דף תרגילים מספר ‪6‬‬
‫עקרון המקסימום למשוואת החום‬
‫סימונים הגדרות ומשפט‬
‫• רצועה סופית‪:‬‬
‫‪;R = f0 x L; 0 t T g‬‬
‫‪T‬‬
‫• רצועה אינסופית‪:‬‬
‫‪;R1 = f0 x L; 0 t < 1g‬‬
‫• שפה פרבולית‪:‬‬
‫‪ t Tg‬‬
‫‪0‬‬
‫;‪t = 0g [ fx = L‬‬
‫‪n f0 x L; t = T g‬‬
‫;‪= fx = 0; 0 t T g [ f0 x L‬‬
‫‪@R‬‬
‫‪T‬‬
‫=‬
‫‪@R‬‬
‫‪T‬‬
‫‪p‬‬
‫• שפת הרצועה האינסופית‪.@ R1 = @R1 :‬‬
‫‪p‬‬
‫• משפט עקרון המקסימום‪ :‬נניח כי הפונקציה ) ‪ u 2 C 2 (R n @ R ) \ C (R‬ומקיימת את‬
‫משוואת החום ‪ u u = 0‬ב ‪ . > 0 ,R n @ R‬אז המקסימום והמינימום מתקבלים‬
‫על השפה הפרבולית‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫‪T‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪u(x; t):‬‬
‫‪T‬‬
‫‪min‬‬
‫‪@R‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x;t‬‬
‫‪t‬‬
‫= )‪u(x; t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪T‬‬
‫‪min‬‬
‫‪R‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AND‬‬
‫)‪(x;t‬‬
‫)‪u(x; t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪max‬‬
‫‪@R‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x;t‬‬
‫= )‪u(x; t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪max‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x;t‬‬
‫תרגילים‬
‫‪2x + 2 + 2 t‬‬
‫‪ .1‬נתונה הפונקציה‬
‫‪.f0 x 2; 0 t T g‬‬
‫‪x2‬‬
‫=‬
‫)‪ .u(x; t‬חשב את המקסימום והמינימום בתחום‬
‫‪ .2‬הראה את התכונות הבאות של בעיית שפה התחלה‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪<t<1‬‬
‫‪0‬‬
‫;)‪u u = P (x; t‬‬
‫;)‪u(x; 0) = f (x‬‬
‫;)‪u(0; t) = a(t); u(; t) = b(t‬‬
‫;‪< x < L‬‬
‫‪0xL‬‬
‫‪0t<1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪t‬‬
‫‪8‬‬
‫>‬
‫<‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫א‪ .‬יחידות‪ :‬רמז‪ :‬הנח כי ‪ u1‬ו ‪ u2‬פתרונות של )‪ (1‬וישם את עקרון המקסימום להפרש‬
‫‪.w = u1 u2‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪1‬‬
‫עקרון המקסימום למשוואת החום‬
‫ב‪ .‬עקרון ההשוואה‪ :‬נניח כי ) ‪ u1 ; u2 2 C 2 (R1 n @R1 ) \ C (R1‬מקיימות את המשוואה‬
‫)‪P (x; t‬‬
‫=‬
‫‪xx‬‬
‫‪u‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ u‬ב ‪R1 n @R1‬‬
‫וגם ‪ u1 u2‬על ‪ ,@R1‬אז ‪ u1 u2‬ב ‪.R1‬‬
‫רמז‪ :‬ישם את עקרון המקסימום להפרש ‪u1‬‬
‫‪.w = u2‬‬
‫‪ .3‬נניח כי ) ‪ u 2 C 2 (R1 n @R1 ) \ C (R1‬פתרון של‬
‫‪:‬‬
‫‪<t<1‬‬
‫; < ‪< x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0t<1‬‬
‫‪0‬‬
‫;‪u u =p0‬‬
‫;)‪u(x; 0) = sin(x‬‬
‫;‪u(0; t) = 0; u(; t) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪0‬‬
‫הראה ש ‪ u(x; t) 1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪8‬‬
‫>‬
‫<‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪ e‬עבור ‪.(x; t) 2 R1‬‬
‫‪ .4‬יהי )‪ u(x; t‬פתרון של בעיית התחלה שפה ‪ u u = 0‬ב‬
‫‪ ,f0 x 1; t > 0g‬ועם תנאי שפה ‪ ,u(0; t) = u(1; t) = 0‬והתחלה )‪x‬‬
‫‪xx‬‬
‫א‪ .‬הראה ש ‪.0 u(x; t) 41‬‬
‫ב‪ .‬הראה ש )‪x; t) = u(x; t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪.u(x; 0) = x(1‬‬
‫‪.u(1‬‬
‫אנרגיה‬
‫עבור פתרון ‪ u‬של משוואת החום‬
‫אינטגרל האנרגיה‬
‫‪=0‬‬
‫‪ u‬ברצועה ‪ ,f0 < x < L; 0 < tg‬נגדיר את‬
‫‪u‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪u2 (x; t)dx:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ZL‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪E (t‬‬
‫‪ .5‬הראה ש )‪ E (t) E (0‬בתנאי השפה הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תנאי דירכלה‪.u(0; t) = u(l; t) = 0 :‬‬
‫ב‪ .‬תנאי נוימן‪.u (0; t) = u (l; t) = 0 :‬‬
‫ג‪ .‬תנאי רובין‪ ,u (L; t) + a u(L; t) = 0 ,u (0; t) a0 u(0; t) = 0 :‬כאשר‬
‫מהו הפירוש הפיסיקלי של תנאים אלו?‬
‫רמז‪ :‬נגזור את האנרגיה לפי ‪ ,t‬נשתמש במשוואה ואינטגרציה בחלקים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪(x; t)dx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪d‬‬
‫‪E (t) = u(x; t)u (x; t)dx = u(x; t)u‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪u2 (x; t)dx u(x; t)u (x; t) :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ZL‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪u(x; t)u (x; t‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫כעת‪ ,‬על ידי הצבת תנאיי שפה נקבל ש ‪. E (t) 0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ .6‬השתמש באנרגיה בכדי להראות יחידות ויציבות של בעיית שפה התחלה )‪.(1‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫> ‪.a0 ; a‬‬
‫‪L‬‬
‫עקרון המקסימום למשוואת החום‬
‫תשובות‬
‫‪1‬‬
‫מקסימום ) ‪ ,2(1 + T‬מינימום ‪.1‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪3‬‬