1. No category

JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
1(39)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005
3
Del I, 8 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
7
MaB VT 2005 LÖSNINGAR
Del I, 9 Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del I # 1 (4/0)
Lös ekvationen . . . . .
Del I # 2 (1/0)
Statistik, variationsbredd
Del I # 3 (2/0)
Bestäm vinkeln . . . . .
Del I # 4 (3/0)
Räta linjen . . . . . . .
Del I # 5 (2/0)
Linjärt ekvationssystem
Del I # 6 (2/0)
Lös olikhet . . . . . . .
Del I # 7 (0/2)
Två tärningar . . . . . .
Del I # 8 (0/1)
Ge ekvationen för en linje
Del II,
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Digitala verktyg
II # 9 (2/0)
II # 10 (2/1)
II # 11 (4/0)
II # 12 (0/2)
II # 13 (0/2)
II # 14 (3/2/⊗)
II # 15 (0/3/⊗)
II # 16 (0/2/⊗)
II # 17 (3/4/⊗)
c G Robertsson
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
är tillåtna
Förenkla . . . . . . . . . . . .
Sannolikhet . . . . . . . . . .
Linjärt ekvationssystem, godis
Likformighet . . . . . . . . .
Röstning och bortfall . . . . .
Grafer . . . . . . . . . . . . .
Bildformat . . . . . . . . . .
Geometriskt bevis . . . . . .
Tändstickor och formler . . .
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
17
20
21
22
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
26
28
30
31
33
35
36
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
2(39)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
1
2
Ma 1
Ma 2a
1
Ma 2bc 1 2
3
4
5
3
4 5
4 5
6 7 8 9
6 7
? ?
8 9
10 11
10
11
12
12
13
14 15
16
13
15
15
16
14
17
17
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
NpMaB vt 2005 Version 1
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i
4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den
10 juni 2005.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS B
VÅREN 2005
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
högst 60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II
kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 9
uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 17 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 47 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
14 poäng
Väl godkänd:
27 poäng varav minst 6 vg-poäng.
Mycket väl godkänd:
Utöver kraven för Väl godkänd ska du ha visat prov på
flertalet av de MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger möjlighet att visa. Du ska dessutom ha minst
12 vg-poäng.
Namn:
Komvux/gymnasieprogram:
Skola:
NpMaB vt 2005 Version 1
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
2.
Lös ekvationerna
a)
x 2 + 2x − 8 = 0
(2/0)
b)
40 x + 10 x 2 = 0
(2/0)
Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser.
Vilken arbetsplats har den största variationsbredden och hur stor är denna?
Endast svar fordras
(1/0)
NpMaB vt 2005 Version 1
3.
a)
Bestäm vinkeln x
(1/0)
b)
Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du
bestämde vinkeln x?
Endast svar fordras
(1/0)
A
Pythagoras sats
B
Vinkelsumman i en triangel är 180°
C
Summan av sidovinklar är 180°
D
Yttervinkelsatsen
E
Topptriangelsatsen
F
Randvinkelsatsen
4.
a)
5.
Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen.
(1/0)
c)
Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har
3
riktningskoefficienten k =
Endast svar fordras
4
2 y + 2 x = 16
Lös ekvationssystemet 
 y − 2 = 2x
(1/0)
(2/0)
NpMaB vt 2005 Version 1
6.
7.
a)
Lös olikheten 3 x + 13 < 7
(1/0)
b)
Vilket eller vilka av följande x-värden uppfyller olikheten 3 x + 13 < 7 ?
Endast svar fordras
A
−7
(1/0)
B
−6
C
−2
D
2
E
6
F
7
Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska
sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans.
Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor.
8.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att
vinna? Motivera varför.
(0/2)
Ge ekvationen för en rät linje som aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x
Endast svar fordras
(0/1)
NpMaB vt 2005 Version 1
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
10.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
a)
( x − 4) 2 − 16
Endast svar fordras
(1/0)
b)
x(2 x + 5) − 2(3 + x)
Endast svar fordras
(1/0)
Det svenska damlandslaget i fotboll gjorde succé i oktober 2003 genom att ta
silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från
Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar.
Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett
dopingtest.
a)
b)
11.
Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas
kom från Umeå IK?
Endast svar fordras
(1/0)
Hur stor var sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom
från Umeå IK?
(1/1)
Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon
vill ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för.
I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar
7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg.
Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor?
Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp
ekvationssystemet:
x + y = 5

4,90 x + 7,90 y = 30
a)
b)
c)
Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen
beskriver.
Endast svar fordras
(1/0)
Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.
(2/0)
NpMaB vt 2005 Version 1
12.
I alpina VM 2005 vann Anja Pärson tävlingen i Super-G i en bana som förenklat
kan beskrivas av figuren nedan. Banan startar på höjden 2335 meter över havet
(möh) och har en fallhöjd på 590 meter.
Figuren är ej skalenlig
Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdmätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid liftstationen står det att liften går 1132 meter upp till startområdet, se figuren.
Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus?
13.
(0/2)
I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU
samt att 45 % av de röstberättigade deltog i valet.
Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om
samtliga röstberättigade hade deltagit i valet.
(0/2)
NpMaB vt 2005 Version 1
14.
Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in på var sin graf i figuren.
I
För många varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris.
Momsens storlek är en funktion av varans pris.
II
Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel.
Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd.
III
Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet
bakterier med 20 %.
Antalet bakterier är en funktion av tiden.
a)
Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h.
Endast svar fordras
(2/0)
b)
Vilket y-värde ska stå vid punkten P?
Endast svar fordras
(1/0)
c)
Vilket x-värde ska stå vid punkten Q?
Endast svar fordras
(0/1)
d)
Ställ upp y som en funktion av x för situation II.
(0/1/¤)
NpMaB vt 2005 Version 1
15.
De två vanligaste bildformaten för en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen). För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden
av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur. En tum är ungefär 2,54 centimeter.
Exempel: Ett vanligt format på en tv är 28” (28 tum).
4
av höjden.
3
16
En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är
av höjden.
9
En tv i standardformat har en bildskärm där bredden är
Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den
andra i bredbildsformat.
Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean.
16.
(0/3/¤)
Figuren visar bokstaven M stående på ett horisontellt underlag.
De två lika långa ”stödbenen” är lodräta.
Visa att v = 2 x
(0/2/¤)
NpMaB vt 2005 Version 1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du använder det matematiska språket
• Hur generell din lösning är
17.
Den här uppgiften handlar om att bilda figurer med tändstickor. Det gäller att
koppla ihop några enkla regelbundna månghörningar efter varandra till en rad.
Exemplen nedan visar hur det går till för regelbundna trehörningar och fyrhörningar.
Av 3 tändstickor kan
man bilda 1 triangel.
Av 5 tändstickor kan man
bilda 2 trianglar.
Av 7 tändstickor kan man bilda 3
trianglar lagda på rad.
Det går att hitta ett samband mellan antal tändstickor och antalet ihopkopplade
trianglar om dessa kopplas ihop till en rad på det sätt som visas i bilderna.
I tabellen nedan är x antalet tändstickor och y antalet ihopkopplade trianglar.
x
3
5
7
..
y
1
2
3
..
• Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm
linjens ekvation på formen y = kx + m .
• Hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor om du kopplar ihop trianglarna som i bilderna ovan? Kommentera ditt svar och dra en slutsats om antalet
tändstickor som krävs för att bilda en rad av trianglar på detta sätt.
NpMaB vt 2005 Version 1
• Vad händer om du istället lägger en rad av fyrhörningar på samma sätt som i
bilderna nedan? Ange och beskriv ett samband mellan antalet tändstickor och
antalet ihopkopplade fyrhörningar.
En fyrhörning.
Två fyrhörningar.
Tre fyrhörningar lagda på rad.
• En månghörning kallas ibland för n-hörning, där n är ett positivt heltal som anger antalet hörn. Tänk dig nu att du lägger en rad av en viss sorts n-hörningar
som kopplas ihop på samma sätt som tidigare.
Försök finna sambandet mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade
n-hörningar. Beskriv detta samband med ord och en formel. Motivera att ditt
samband gäller för alla n-hörningar.
(3/4/¤)
NpMaB vt 2005 Version 1
JENSENvuxutbildning
NpMaB
Del I vt2005
13(39)
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillMaB
VT 2005 LÖSNINGAR
gång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del I # 1
(4/0)
Lös ekvationen
1(4)
Ma2
1.
Lös ekvationerna
Formler
till nationellt prov i matematik kurs 2
x + 2x − 8 = 0
a)
2
b)
40 x + 10 x 2 = 0
(2/0)
(2/0)
Algebra
a)
Lös ekvationen x2 + 2 x − 8 = 0. Använd FORMELSAMLINGEN
2.
Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser.
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
p
 p
±   −q
2
2
0 = x2 + |{z}
2 x |{z}
−8
Aritmetik
p=2
q=−8
Vi får
q
√
Prefix
x1 = −1 + 12 − (−8) = −1 + 9 = −1 + 3 = 2
q
√
2 − (−8) = −1 −
1
9 c= −1 m
− 3 = −4
x
=
−1
−
2
T
G
M
k
h
d
µ
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
n
p
nano
piko
Svar a) x1 = 2 och x2 = −4 TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfyller
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9 10-12
ekvationen.
b)
Lös ekvationen
0 = 40 x + 10 x2
Potenser
Denna
ekvation kan givetvis lösas med pq-formeln men den är lättare att lösa genom
faktorisering. Dela upp xi faktorer
1
x + y 10 · (4 + a
x) · axx − y
a− x = x
(a x ) y = a xy
a x a y 0= a=
| {z }y =|{z}
a denna?
a har
x=0
Vilken arbetsplats
den största variationsbredden och hur stor är
x=−4
Endast svar fordras
(1/0)
x
Svar b) x1 = −4 och
1
a x x2 =a 0
= 
a0 = 1
n =n a
x
a
a xb x = (ab) x
b
b
 
Logaritmer
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
y = 10 x ⇔ x = lg y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
2015-04-15
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
Lös ekvationerna
x 2 + 2x − 8 = 0
vuxutbildning
JENSENa)
b)
(2/0)
14(39)
NpMaB vt2005
40 x + 10 x 2 = 0
Del I # 2
(2/0)
(1/0)
Statistik, variationsbredd
Ma2
2.
Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser.
Vilken arbetsplats har den största variationsbredden och hur stor är denna?
Endast svar fordras
Företag
högsta
Hamburgerbar
35
IT-företag
50
Skola
58
lägsta
18
20
38
variationsbredd
17
30
20
(1/0)
⇐ störst
Svar IT-företaget har störst variationsbredd, 30 år.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del I # 3
(2/0)
NpMaB vt2005
15(39)
Bestäm vinkeln
NpMaB vt 2005 Version 1
Ma2
3.
a)
Bestäm vinkeln x
(1/0)
b)
Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du
bestämde vinkeln x?
Endast svar fordras
(1/0)
A
Pythagoras sats
B
Vinkelsumman i en triangel är 180°
C
Summan av sidovinklar är 180°
D
Yttervinkelsatsen
E
Topptriangelsatsen
F
Randvinkelsatsen
4.
a) 3. Bestäm vinkeln x.
NpMaB vt 2005 Version 1
a)
Bestäm
vinkeln x
1:a varianten:
yttervinkelsatsen
ger
(1/0)
b)
Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du
144◦ = 104◦ +bestämde
x
|{z}
vinkeln x?
Endast svar fordras
(1/0)
x=40◦
2:a varianten:Avinkelsumman
i en triangel är 180◦
Pythagoras sats
◦
◦
◦
180 = (180 − 144 ) + 104◦ + x
|
}
B {z Vinkelsumman
i en|{z}
triangel är 180°
summan av sidovinklar
x=40◦
a) CBestäm
ekvationen
för linjen är
som
är inritad i koordinatsystemet.
Summan
av sidovinklar
180°
Endast svar fordras
Svar a) Vinkeln
är 40◦
D
Yttervinkelsatsen
b)
om punkten (−4, 11) ligger på linjen.
EAvgörTopptriangelsatsen
c)
FRita ett
Randvinkelsatsen
koordinatsystem och rita in en linje som har
buggar ⇒
3 [email protected]
riktningskoefficienten k =
Endast svar fordras
4
c G Robertsson
(1/0)
(1/0)
2015-04-15
(1/0)
4.
5.
Lös ekvationssystemet
2 y + 2 x = 16
(2/0)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
16(39)
b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du bestämde
vinkeln x?
Svar b)
A Pythagoras sats
B Vinkelsumman i en triangel är 180◦
C Summan av sidovinklar är 180◦
D Yttervinkelsatsen
E Topptriangelsatsen
F Randvinkelsatsen
c G Robertsson
NEJ
JA tillsammans med C
JA tillsammans med B
JA ensam
NEJ
NEJ
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
A
Pythagoras sats
B
Vinkelsumman i en triangel är 180°
C
Summan av sidovinklar är 180°
D
Yttervinkelsatsen
vux
JENSEN
utbildning
E
Topptriangelsatsen NpMaB vt2005
F
Del I # 4
17(39)
Randvinkelsatsen
(3/0)
Räta linjen
Ma2
4.
a)
5.
Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen.
(1/0)
c)
Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har
3
riktningskoefficienten k =
Endast svar fordras
4
2 y + 2 x = 16
Lös ekvationssystemet 
 y − 2 = 2x
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(1/0)
(2/0)
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
a)
NpMaB vt2005
18(39)
Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet.
y
(0, 3)
x
(4, −5)
2(4)
Använd
FORMELSAMLINGEN ekvationen för rät linje.
Funktioner
Räta linjen
Andragradsfunktioner
k=
y = kx + m
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Då x = 0 är y = m. Enligt figuren gäller att när x = 0 är y = 3, alltså har vi y = k x + 3.
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Återstår
att bestämma k. Enligt FORMELSAMLINGEN
gäller
y2 − y1
x2 − x1
Med punkterna (0, 3) och (4, −5) får vi
−5 − 3
= −2
k =
4−0
Geometri
Svar
a) y = −2 x + 3
y = C ⋅ xka =
y = C ⋅ ax
a > 0 och a ≠ 1
Parallellogram
b)Triangel
Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen.
Stoppa in x = −4 i linjens ekvationen
x=−4
bhy = −2 x +3
A = |{z}
2
y=11
z}|{
Svar b)
h( a + b)
2
c G Robertsson
Cirkelsektor
b=
A = bh
Punkten (−4, 11) ligger på linjen.
Parallelltrapets
A=
det stämmer!
v
⋅ 2 πr
360
Cirkel
πd 2
4
O = 2πr = πd
A = πr 2 =
buggar ⇒ [email protected]
Prisma
V = Bh
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
19(39)
c) Det finns många linjer som har riktningskoefficienten 34 .
y
y
y = 34 x + 2
y = 34 x
∆y = 3
∆y = 3
∆x = 4
Svar c)
∆x = 4
x
x
Se någon av figurerna ovan
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
a)
b)
Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen.
(1/0)
c)
Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har
JENSENvuxutbildning
NpMaB
vt2005
3
riktningskoefficienten k =
Endast svar fordras
4
Del I # 5
(2/0)
20(39)
(1/0)
Linjärt ekvationssystem
Ma2
5.
2 y + 2 x = 16
Lös ekvationssystemet 
 y − 2 = 2x
Uppgiften är att lösa ekvationssytemet
2y +
2x =
16
y −
2 =
2x
(2/0)
1:a ekvationen
2:a ekvationen
De två ekvationerna är uppställda på ett rörigt sätt, x finns på både vänster och höger
sida om likhetstecknet. Börja med att städa upp. Samla okända, x och y, på vänster sida
och konstanta tal på höger sida om likhetstecknet.
2x +
2y =
16
1:a ekvationen
−2 x +
y =
2
2:a ekvationen
Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i
andra ekvationen. Addera 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då:
2x +
2y =
16
1:a ekvationen
−2 x+2 x + y+2 y = 2 + 16
ny 2:a ekvation innehåller bara y
2x
+
2y =
16
1:a ekvationen
3y =
18
Lös y som blir y=6
Ekvationssystemet är nu triangulärt. Lös ekvationerna nerifrån och upp, bakåtsubstitution.
2x
+
Svar x=2
2y =
3y =
16
18
Lös x, med y=6 blir x=2
y=6
y=6.
Kommentar Metoden som används ovan kallas triangulering och bakåtsubstitution och
är ett systematiskt sätt att hitta lösningar till system av linjära ekvationer. För ett
problem som detta med två obekanta behövs knappast någon systematisk metod. För
stora problem med 10-tals, 100-tals eller 1000-tals obekanta behövs dock en systematisk
metod. Redan problem med 3 obekanta kräver en systematisk metod. Stora problem kan
naturligtvis inte hanteras med räkning för hand utan kräver dator. Professionella
program för att lösa linjära ekvationssystem är Matlab (dyr licens) eller Octave (fritt)
som båda använder triangulering och bakåtsubstitution.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del I # 6
6.
a)
NpMaB vt2005
(2/0)
21(39)
Lös olikhet
NpMaB vt 2005 Version 1
Ma1
a)
Lös olikheten 3 x + 13 < 7
(1/0)
b)
Vilket eller vilka av följande x-värden uppfyller olikheten 3 x + 13 < 7 ?
Endast svar fordras
A
−7
(1/0)
B
−6
C
−2
D
2
E
6
F
7
För olikheter gäller att du kan
7.
Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel.
• addera eller subtrahera ett tal från bägge sidor i en olikhet
Spelet går till
så dividera
här, programledaren
kastar
tärningar
ser. Du ska
• multiplicera
eller
bägge sidor
i en två
olikhet
medsom
ett du
talinte
> 0.
sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans.
• vid multiplikation eller division med ett negativt tal vänds olikheten.
Alltså om a < b så är −a > −b.
3 x + 13
<
7
3 x + 13 −13 < 7 −13
3x
<
−6
x
<
−2
Svar a)
subtrahera 17 från bägge sidor
dividera bägge sidor med 3
x < −2.
Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor.
b)
Kontrollera alternativen A – F.
på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att
x Hur
3 xmånga
+ 13 prickar
< 7 ska du gissa
Falskt/Sant
vinna? Motivera varför.
A -7 −21 + 13 < 7 −8 < 7
SANT
B -6 −18 + 13 < 7 −5 < 7
SANT
C -2 −6 + 13 < 7
7<7
FALSKT
D 8. 2 Ge ekvationen
6 + 13 < 7för en
19rät
< linje
7 som
FALSKT
aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x
E 6
18 + 13 < 7 31 < 7
FALSKT
Endast svar fordras
F 7
21 + 13 < 7 34 < 7
FALSKT
Svar b)
(0/2)
(0/1)
Alternativen A och B är uppfyllda.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
B
−6
C
−2
D
2
E
6
JENSENvuxutbildning
F
7
Del I # 7
(0/2)
NpMaB vt2005
22(39)
Två tärningar
Ma1
7.
Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska
sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans.
Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att
vinna? Motivera varför.
Vilket är det sannolikaste utfallet vid
tärningskast med två sexsidiga
8.
GeAv
ekvationen
för en rät linje som aldrig skär
grafen till funktionen
y = x 2 − 4x
totalt
kombinationer
tärningar.
de två tabellerna
1
— Endast svar fordras
framgår att 7 är det sannolikaste
2
1+1
3
1+2
2+1
utfallet.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
⇒7
8
9
10
11
12
13
1+3
1+4
1+5
1+6
2+2
2+3
2+4
2+5
2+6
3+1
3+2
3+3
3+4
3+5
3+6
4+1
4+2
4+3
4+4
4+5
4+6
5+1
5+2
5+3
5+4
5+5
5+6
(0/2)
(0/1)
6+1
6+2
6+3
6+4
6+5
6+6
—
Svar 7 är det mest sannolika
utfallet.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor.
vuxmånga
JENSENHur
utbildning
prickar ska du gissa NpMaB
på för att vt2005
ha så stor sannolikhet som möjligt att
vinna? Motivera varför.
Del I # 8
8.
(0/1)
23(39)
(0/2)
Ge ekvationen för en linje
Ge ekvationen för en rät linje som aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x
Endast svar fordras
(0/1)
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
y = −5
-4
-6
Det finns naturligtvis många linjer som inte skär grafen till y = x2 − 4 x. En rät linje som
aldrig skär grafen är y = −5.
Svar Linjen y = −5 skär aldrig grafen.
Kommentar Villkoret för att linjen y = k x + m ska skära grafen till y = x2 − 4 x är att
ekvationen k x + m q
= x2 − 4 x har (reella) lösningar. Rötterna till x2 − (4 + k) x − m = 0
är x1,2 = (2 + k2 ) ± (2 + k2 )2 + m som saknar lösning då (2 + k2 )2 + m < 0.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
NpMaB vt 2005 Version 1
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
24(39)
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Del Observera
II # 9 att arbetet
(2/0) med DelFIIörenkla
kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1(4)
9.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
Endast svar fordras
a)
( x − 4) − 16
Formler
till nationellt prov i matematik
kurs 2
2
x(2 x + 5) − 2(3 + x)
b)
Endast svar fordras
(1/0)
(1/0)
Algebra
a)
FORMELSAMLINGEN,
därgjorde
finns succé
2:a kvadreringsregeln.
10. Använd
Det svenska
damlandslaget i fotboll
i oktober 2003 genom att ta
silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från
Regler Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar.
Andragradsekvationer
2
2
x 2 + px + q = 0plockas ut till ett
(a + b) 2Vid
= aett
+tillfälle
2ab + bunder
VM skulle två spelare slumpmässigt
= a 2 − 2ab + b 2
(a − b) 2dopingtest.
2
p
 p
2
2
x
=
−
±
  −q
(a + b)(a)
a − b)Hur
= a stor
− bvar sannolikheten att den första spelaren
som
2
 2 skulle dopingtestas
kom från Umeå IK?
Endast svar fordras
b)
Hur stor var
2:a kvadreringsregeln
ger sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom
från Umeå IK?
(x − 4)2 −16 = x2 − 8 x
Aritmetik
|
{z
(1/0)
(1/1)
}
x2 −8 x+16
2
Prefix
Svar
a)
x − 8 x alternativt (x − 8) · x.
11. Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon
vill
med
att
G ha 5 hg
M godiskoch skickar
h
d honom
c 30 kronor
m
n för. p
µ handla
b) T
2
2kilo
(3 två
+ hekto
x)
= 2priser
x + på
3 centi
xlösviktsgodis.
− 6 milli mikro
xgodisaffären
(2 x +
5) −finns
mega
deci
nano godiset
piko kostar
I giga
olika
Det dyrare
{z
} | {z
}
|
2 +5 x och
3billigare
kr/hg.10-2 10-3
x
1012 7,90
1029 xkr/hg
106 det
106+2
102 4,90
10-1
10-6
10-9 10-12
2
Svar b)
2x + 3x − 6
Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor?
tera
Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp
ekvationssystemet:
Potenser
ax
a xa y = a x+ y
a
y
x
= a x− y
 x + y =(a5x ) y = a xy

4,90 x + 7,90 y = 30
a− x =
1
ax
x
1
a
a
x Förklara vad =
a0 = 1


a)
x
och
y
betyder
i
ekvationssystemet.
n =n a
x
a
a b = (ab)
b
b
 
Endast svar fordras
x x
b)
Logaritmer
c)
c yG =Robertsson
10 x ⇔ x
Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen
beskriver.
Endast svar fordras
Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.
buggar ⇒ [email protected]
= lg y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
(1/0)
(1/0)
(2/0)
2015-04-15
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
a)
( x − 4) 2 − 16
JENSENvuxutbildning
b)
x(2 x + 5) − 2(3 + x)
Del II # 10
(2/1)
Endast svar fordras
NpMaB vt2005
Endast svar fordras
(1/0)
25(39)
(1/0)
Sannolikhet
Ma1
10.
Det svenska damlandslaget i fotboll gjorde succé i oktober 2003 genom att ta
silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från
Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar.
Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett
dopingtest.
a)
b)
a)
Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas
kom från Umeå IK?
Endast svar fordras
(1/0)
Hur stor var sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom
från Umeå IK?
(1/1)
Sannolikhet att första spelaren kommer från Umeå IK är
11. Patrik
handlafrån
lösviktsgodis
antalska
spelare
Umeå IKtill sin6 mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon
= 0,3
vill ha 5 hg godis och skickar med=honom
30 kronor att handla för.
totala antalet spelare
20
I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar
3
och det billigare
4,90 kr/hg.
Svar a) 7,90
0,3kr/hg
alternativt
alternativt
30%.
10
6 kronor?
Patrik frågar sig:
Är det möjligt
attkommer
handla precis
hg godis
. När första spelaren
b) Sannolikheten
att första
spelaren
från 5Umeå
IK för
är 30
20
är utplockad återstår 19 spelare varav 5 är från Umeå IK. Sannolikheten att andra
en stunds
kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp
spelaren Efter
kommer
från funderande
Umeå IK är
ekvationssystemet:
antal kvarvarande spelare från Umeå IK
5
=
=5
totala antalet kvarvarande
19
 x + y spelare

Sannolikheten båda spelarna kommer
x + 7Umeå
,90 y = IK
30 är
4,90från
6 5
·
= 0,0789 ≈ 8%
19
a)20 Förklara
vad x och y betyder i ekvationssystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
Svar b) 0,08 alternativt 8%.
b)
Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen
beskriver.
Endast svar fordras
(1/0)
c)
c G Robertsson
Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.
buggar ⇒ [email protected]
(2/0)
2015-04-15
Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett
dopingtest.
a)
Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas
kom från Umeå IK?
Endast svar fordras
vuxutbildning
JENSENb)
vt2005 som skulle dopingtestas kom
Hur stor var sannolikhetenNpMaB
att båda spelarna
från Umeå IK?
Del II # 11
11.
(4/0)
(1/0)
26(39)
(1/1)
Linjärt ekvationssystem, godis
Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon
vill ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för.
I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar
7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg.
Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor?
Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp
ekvationssystemet:
x + y = 5

4,90 x + 7,90 y = 30
a)
b)
c)
Svar a)
Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet.
Endast svar fordras
(1/0)
Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen
beskriver.
Endast svar fordras
(1/0)
Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan.
(2/0)
x betyder vikt av billigt godis och y betyder vikt av dyrt godis.
Svar b) Första ekvationen betyder att totala vikten av billigt och dyrt godis ska vara
5 hekto. Andra ekvationen betyder att priset av billigt och dyrt godis ska vara 30 kronor.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
c)
NpMaB vt2005
Ekvationerna som ska lösas är
x +
y =
4,90 x +
7,90 y =
5
30
27(39)
1:a ekvationen
2:a ekvationen
Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet)
framför x i andra ekvationen. Subtrahera 4,9 × 1:a ekvationen från 2:a
ekvationen. Vi får då:
x +
y =
5
1:a ekvationen
4,90 x−4,90 x + 7,90 y−4,90 y = 30 − 4,90·5
ny 2:a ekvation innehåller bara y
x
x
Svar c)
+
+
y =
3,00 y =
5
5,50
1:a ekvationen
2:a ekvationen ger y =
y =
3,00 y =
5
5,50
med y =
5,50
3
5,50
3
= 1,83 blir x=3,17
3,17 hekto billigt godis och 1,83 hekto dyrt godis.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del II # 12
12.
(0/2)
NpMaB vt2005
28(39)
Likformighet
NpMaB vt 2005 Version 1
I alpina VM 2005 vann Anja Pärson tävlingen i Super-G i en bana som förenklat
kan beskrivas av figuren nedan. Banan startar på höjden 2335 meter över havet
(möh) och har en fallhöjd på 590 meter.
Ma2
3(4)
Figuren är ej skalenlig
Kon
Klot
πr 2 h
3
A = πrs
(Mantelarea)
4πr 3
3
A = 4πr 2
V=
V=
Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdSkala
mätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid lift2
stationen
till startområdet,
se figuren.
Trianglarna
ABC står det att liften går 1132 meter upp
Areaskalan
= (Längdskalan)
och DEF är
Volymskalan = (Längdskalan)3
likformiga.
Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus?
(0/2)
Likformighet
a b c
= =
d e f
Använd FORMELSAMLINGEN där finns topptriangelsatsen och transversalsatsen.
13. I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU
samt attoch
45 % av de röstberättigade deltog i valet.
TopptriangelBisektrissatsen
transversalsatsen
Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om
Om DE är parallell
samtliga röstberättigade hade deltagit i valet. AD = AC
med AB gäller
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
(0/2)
CD CE
=
AD BE
Inför beteckningar (A, B, C, D och E) enligt figuren nedan.
Vinklar
u + v = 180°
Sidovinklar
w=v
Vertikalvinklar
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v=w
Likbelägna vinklar
u=w
Alternatvinklar
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
2335 m 590 m
C
2000 m 255 m
D
1745 m
A
0m
skalenlig figur
29(39)
CE =1132 m
BE = x m
E
B
Använd transversalsatsen
CD
CE
=
AD
BE
ger
590 − 255
1132
=
255
x
x = 1132 ·
255
= 861,67 ≈ 862
590 − 255
Svar 862 m.
Kommentar Det finns flera olika varianter på lösning som ger rätt svar.
Kommentar Indata är givna som hela meter. Då är det lämpligt att svara med hela
meter.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdmätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid liftstationen står det att liften går 1132 meter upp till startområdet, se figuren.
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus?
Del II # 13
13.
(0/2)
30(39)
(0/2)
Röstning och bortfall
I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU
samt att 45 % av de röstberättigade deltog i valet.
Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om
samtliga röstberättigade hade deltagit i valet.
(0/2)
45% av befolkningen har röstat. Av dessa 45% har 84% röstat JA. Totalt av befolkningen
har 0,45×0,84 = 0,387 röstat JA. Detta är det minsta antalet tänkbara JA-röster. Om
alla 55% som avstod att rösta valde JA blir andelen JA-röster 0,378+0,55=0,928.
Svar Antalet JA-röster kan vara från lägst 37,8% till högst 92,8%.
Kommentar Ett alternativt sätt att lösa problemet på är att konstatera att
100-84=16% av de röstande valt NEJ. Dessa utgör andelen 0,45×0,16= 0,072 av
befolkningen. Om hela övriga befolkningen röstar JA så blir andelen JA-röster
1,00−0,072=0,928.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del II # 14
14.
(3/2/⊗)
NpMaB vt2005
31(39)
Grafer
NpMaB vt 2005 Version 1
Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in på var sin graf i figuren.
I
För många varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris.
Momsens storlek är en funktion av varans pris.
II
Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel.
Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd.
III
Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet
bakterier med 20 %.
Antalet bakterier är en funktion av tiden.
a)
Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h.
Endast svar fordras
(2/0)
b)
Vilket y-värde ska stå vid punkten P?
Endast svar fordras
(1/0)
c)
Vilket x-värde ska stå vid punkten Q?
Endast svar fordras
(0/1)
d)
Ställ upp y som en funktion av x för situation II.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
(0/1/¤)
2015-04-15
Momsens storlek är en funktion av varans pris.
II
Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel.
Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd.
III Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
bakterier med 20 %.
Antalet bakterier är en funktion av tiden.
Svar a)
32(39)
Rätta kombinationer är
HUNDGÅRD
BAKTERIE
MOMS
a)
Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h.
Svar b) Det ska stå 50 vid punkten P då det från början fanns 50 bakterier i odlingen.
Endast svar fordras
(2/0)
Svar c)b) Det
ska y-värde
stå 20 vid
Q. P?
Vilket
ska punkten
stå vid punkten
Endast svar fordras
(1/0)
d) Den
hundgården
en sida
x metersvar
ochfordras
en sida som är(0/1)
z
c) rektangulära
Vilket x-värde
ska stå vid har
punkten
Q? som är Endast
meter. Hundgårdens omkrets är x + z + x + z = 40 meter. Detta ger 2 x + 2 z = 40 eller
förenklatd)z =Ställ
20 −upp
x. Arean
y funktion
= x · z =avxx(20
x). II.
y som en
för −
situation
(0/1/¤)
Svar d)
y = x (20 − x).
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del II # 15
15.
(0/3/⊗)
NpMaB vt2005
33(39)
Bildformat
NpMaB vt 2005 Version 1
De två vanligaste bildformaten för en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen). För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden
av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur. En tum är ungefär 2,54 centimeter.
Exempel: Ett vanligt format på en tv är 28” (28 tum).
4
av höjden.
3
16
En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är
av höjden.
9
En tv i standardformat har en bildskärm där bredden är
Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den
andra i bredbildsformat.
Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean.
(0/3/¤)
Enligt Pythagoras gäller
2
2
höjd2 +visar
bredd
= diagonal
16. Figuren
bokstaven
M stående på ett horisontellt underlag.
De två lika
långaatt
”stödbenen” är lodräta.
Enligt uppgiften
gäller
bredd
bildformat
Visa
att v = 2=x höjd
vilket ger
bredd = bildformat × höjd
(0/2/¤)
och med Pythagoras enligt ovan får vi
höjd2 + bildformat2 × höjd2 = diagonal2
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
höjd2 =
NpMaB vt2005
34(39)
diagonal2
.
1 + bildformat2
Bildens area är
area = bredd × höjd
area = bildformat × höjd × höjd
diagonal2
bildformat
2
area = bildformat ×
.
2 = diagonal ×
1 + bildformat
1 + bildformat2
I bråket förkommer bildformat linjärt i täljaren kvadratiskt i nämnaren. Detta betyder att
area minskar när bildformat ökar (bildformat>1). En bredare bild ger ett större värde på
bildformat och därmed en mindre bildyta, area, under förutsättning att diagonalen är
blir ytan 43% av
konstant. Med formatet 34 blir ytan 48% och med formatet 16
9
diagonalmåttet i kvadrat. Notera att uppgiften 28 tum inte påverkar resonemanget.
(Formatet 11 ger största bildytan men detta hör inte till uppgiften.)
Svar Standardformatet
c G Robertsson
4
3
ger största bildytan för ett givet mått på bildytans diagonal.
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är
9
av höjden.
Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den
Likformighet
Skala
andra i bredbildsformat.
vuxABC
JENSEN
utbildning
NpMaB vt2005
35(39)
Trianglarna
Areaskalan = (Längdskalan)2
Bestäm
vilket
format
som
ger
den
största
bildskärmsarean.
(0/3/¤)
och DEF är
Volymskalan = (Längdskalan)3
likformiga.
Del
a bII c# 16
d
=
=
(0/2/⊗)
Geometriskt bevis
e f
16. Figuren visar bokstaven M stående på ett horisontellt underlag.
De två lika långa ”stödbenen” är lodräta.
Visa att v = 2 x
Topptriangel- och
transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
(0/2/¤)
AD AC
=
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
CD CE
=
AD BE
Använd FORMELSAMLINGEN där finns hjälp med ord som sidovinklar, vertikalvinklar,
likbelägna vinklar och alternatvinklar.
Vinklar
u + v = 180°
Sidovinklar
w=v
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v=w
Likbelägna vinklar
u=w
Alternatvinklar
Drag en lodrät linje mitt emellan de de två “stödbenen”.
13-01-24
x
x x
x
Vi får två par av alternatvinklar. Av figuren framgår att v = 2 x.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
© Skolverket
Vilket skulle visas.
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
Del II # 17
NpMaB vt2005
36(39)
vt 2005 Version 1och formler
(3/4/⊗) NpMaB
Tändstickor
Ma1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du använder det matematiska språket
• Hur generell din lösning är
17.
Den här uppgiften handlar om att bilda figurer med tändstickor. Det gäller att
koppla ihop några enkla regelbundna månghörningar efter varandra till en rad.
Exemplen nedan visar hur det går till för regelbundna trehörningar och fyrhörningar.
Av 3 tändstickor kan
man bilda 1 triangel.
Av 5 tändstickor kan man
bilda 2 trianglar.
Av 7 tändstickor kan man bilda 3
trianglar lagda på rad.
Det går att hitta ett samband mellan antal tändstickor och antalet ihopkopplade
trianglar om dessa kopplas ihop till en rad på det sätt som visas i bilderna.
I tabellen nedan är x antalet tändstickor och y antalet ihopkopplade trianglar.
x
3
5
7
..
y
1
2
3
..
• Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm
linjens ekvation på formen y = kx + m .
• Hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor om du kopplar ihop trianglarna som i bilderna ovan? Kommentera ditt svar och dra en slutsats om antalet
tändstickor som krävs för att bilda en rad av trianglar på detta sätt.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
37(39)
NpMaB vt 2005 Version 1
• Vad händer om du istället lägger en rad av fyrhörningar på samma sätt som i
bilderna nedan? Ange och beskriv ett samband mellan antalet tändstickor och
antalet ihopkopplade fyrhörningar.
En fyrhörning.
Två fyrhörningar.
Tre fyrhörningar lagda på rad.
• En månghörning kallas ibland för n-hörning, där n är ett positivt heltal som anger antalet hörn. Tänk dig nu att du lägger en rad av en viss sorts n-hörningar
som kopplas ihop på samma sätt som tidigare.
Försök finna sambandet mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade
n-hörningar. Beskriv detta samband med ord och en formel. Motivera att ditt
samband gäller för alla n-hörningar.
(3/4/¤)
Uppgiften består av bakgrundsinformation och fyra deluppgifter.
2(4)
1:a
deluppgiften: rita in punkterna i ett koordinatsystem.
Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm linjens ekvation på formen y = k x + m.
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
Andragradsfunktioner
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
Potensfunktioner
Enligt
FORMELSAMLINGEN gäller
a≠0
Exponentialfunktioner
y2 − y1
a > 0 och a ≠ 1
y = C ⋅ ax
.
x2 − x1
Välj två punkter ur tabellen. Vi väljer de två första
2−1
1
k =
= .
5−3
2
Geometri
Vi har nu
1
y =
x + m.
2
Triangel
Parallellogram
y = C ⋅ kx a =
bh
c G Robertsson
A=
A = bh
buggar ⇒ [email protected]
2
Parallelltrapets
Cirkel
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
38(39)
Bestäm m. Välj en punkt i tabellen, exempelvis x = 5 och y = 2. Stoppa in x = 5 och
y = 2 i linjens ekvation
y=2
x=5
z}|{
z}|{
y
=
1
x + m
2
|{z}
m= −1
2
ut trillar m = − 21 . Linjens ekvation blir
1
1
y =
x− .
2
2
Rita punkterna och linjen i ett koordinatsystem.
y
3
2
1
3
Svar 1:a deluppgiften
5
7
x
Linjens ekvation blir y = 12 x − 21 .
2:a deluppgiften: hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor
Använd formeln y = 12 x − 12 med x = 20. Vi får då y = 9,5 men eftersom det inte finns
halva trianglar är svaret 9 trianglar. Du får absolut inte använda matematikens regler för
avrundning här.
Svar 2:a deluppgiften
9 hela trianglar.
3:e och 4:e deluppgiften
Varje gång vi utökar ett antal n-hörningar med ytterligare en n-hörning krävs n − 1
tänstickor eftersom vi utnyttjar en tändsticka av de tidigare lagda stickorna. En ökning
av antalet tändstickor x med n − 1 ska alltså ge en ökning av antalet n-hörningar y med 1
enhet. Vi kan då skriva upp formeln
x
+m
n−1
där m är okänd. För att bestäma m konstaterar vi att då x = n är y = 1 vilket ger
−1
m=
. Det sökta sambandet är
n−1
x
1
y =
−
.
n−1 n−1
y =
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2005
39(39)
Svar 3:e deluppgiften
För fyrhörningen gäller att n = 4 vilket ger y =
Svar 4:e deluppgiften
För n-hörningen gäller y =
x 1
−
3 3
x
1
−
n−1 n−1
3-hörning (triangel) utökas med 2 sidor
4-hörning utökas med 3 sidor,
gäller också icke symmetriska 4-hörningar
5-hörning utökas med 4 sidor,
gäller också icke symmetriska 5-hörningar
6-hörning utökas med 5 sidor,
gäller också icke symmetriska 6-hörningar
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-15