1. No category

Matematikcentrum
Matematik NF
Provtentamen 2 i matematik och modeller 2015. Tillåtna hjälpmedel är analoga skrivdon,
grafritande miniräknare och kursens formelblad. Datorer eller andra enheter med internetanslutningsmöjligheter är inte tillåtna. Rekommenderad skrivtid är fem timmar. Efter
varje deluppgift anges motsvarande maximala delpoäng. Gränsen för godkänt är 50 %.
Gränsen för väl godkänt är 75 %.
1. Ange vilka av nedanstående funktioner som är potensfunktioner.
√
b) f (x) = xπ . (1p)
a) f (x) = x. (1p)
2
c) f (x) = ln ex . (1p)
d) f (x) = tan(x). (1p)
2.
a) Faktorisera polynomet
x2 − x − 2.
(2p)
b) Avgör för vilka x som
x2 − x − 2 ≥ 0.
(2p)
c) Bestäm den naturliga definitionsmängden av uttrycket
p
x2 − x − 2.
(2p)
3. Låt f (x) = x2 och g(x) = 1 + x2 .
a) Bestäm f (g(x)). (1p)
c) Bestäm f (f (x)). (1p)
b) Bestäm g(f (x)). (1p)
d) Bestäm g(g(x)). (1p)
4. Lös följande ekvationer.
a) sin x = − 21 . (2p)
b) cos(2x + π6 ) =
√
3
2 .
(2p)
5. Derivera följande funktioner.
a) f (x) = (x − 2)(x2 + 2x + 4). (1p)
√ . (1p)
c) f (x) = x+1
x
e) f (x) =
sin x
x .
(1p)
b) f (x) = (x + 5)2 . (1p)
d) f (x) = x2 cos x. (1p)
f ) f (x) = ln x2 . (1p)
1
6. Beräkna integralerna.
R1
a) −1 x3 dx. (2p)
b)
R π/2
0
sin x + cos xdx. (2p)
7. För att beräkna arean av en rektangel inskriven i en rätvinklig triangel används ett
koordinatsystem i enlighet med Figur 1.
y
5
x
12
b
Figur 1: Rätvinklig triangel med inskriven rektangel.
a) Bestäm ekvationen för den räta linje som beskriver triangelns hypotenusa. (2p)
b) Ange ett uttryck för rektangelns area som funktion av basen. (2p)
c) Bestäm den största möjliga arean hos rektangeln. (2p)
8. En funktion f (x) har en primitiv funktion F (x), vars graf återges i Figur 2. Bestäm
värdet av integralen
Z 3
f (x)dx.
−1
(4p)
y
3
2
1
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Figur 2: Grafen y = F (x).
2
x
9. Låt f (x) =
√
x.
a) Bestäm ekvationen för tangenten genom punkten (1, 1) till kurvan y = f (x). (2p)
b) Tangenten i föregående deluppgift avgränsar tillsammans med x-axeln och grafen
y = f (x) ett begränsat område. Bestäm områdets area. (2p)
10. En modell för att beskriva hur varm dryck i en termos svalnar är genom Newtons
avsvalningslag. Denna säger att temperaturen minskar med en hastighet som är
proportionell mot temperaturskillnaden mellan termosens utsida och insida.
a) En kall vinterdag är NN ute och åker skidor. Med sig har hen en termos varm
choklad. Temperaturen utomhus är -20 ◦ C. Låt y beteckna dryckens temperatur
angivet i ◦ C och definiera z = y + 20. Vilken storhet beskrivs av z? (2p)
b) Ange en differentialekvation för z. (2p)
c) När NN hällde chokladen i termosen hade den temperaturen 95 ◦ C. Vid första
fikarasten två timmar senare är temperaturen 72 ◦ C. Efter hur lång tid kommer
temperaturen att vara 55 ◦ C? (2p)
11. Vid slantsingling med N mynt kan antalet mynt som visar ’kung’ betraktas som
slumpmässigt. Om dessutom N är stort så kan
√ utfallet modelleras som normalfördelat
med väntevärde N2 och standardavvikelse 2N . Beräkna sannolikheten att antalet
’kungar’ avviker med mer än 1 % från väntevärdet, vid singling med
a) 1000 mynt. (2p)
b) 10000 mynt. (2p)
12. NN kör en motorcykel uppför en 8 meter hög ramp, med en vinkel v mot horisontalplanet. När NN kör över kanten på rampen har hen farten 45 m/s. Låt t ≥ 0
vara tiden efter det att NN kör över kanten, x(t) beteckna NNs avstånd (längs marken) från rampen, och y(t) beteckna NNs höjd över marken. Det går att visa att
under de beskrivna förutsättningarna så är x0 (t) = 45 cos v medan y 00 (t) = −9, 82,
y 0 (0) = 45 sin v och y(0) = 8. Ta reda på hur långt ifrån rampen NN slår i marken.
(4p)
3