MATEMATIK
Hjälpmedel: inga
Chalmers tekniska högskola
Datum: 150320 kl. 14.00 - 18.00
Tentamen
Telefonvakt: Joakim Becker
0766-351106
MVE415 Matematisk analys, del 1 DAI1 EI1
Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade
papper. Fyll i omslaget ordentligt.
För godkänt på tentan krävs 23 poäng på tentamens första del (godkäntdelen). Bonuspoäng från duggor 2015
räknas med. För betyg 4 eller 5 krävs dessutom 33 resp. 43 poäng sammanlagt på tentamens två delar, varav
minst 4 resp. 6 poäng på del 2.
Lösningar läggs ut på kursens webbsida. Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället.
Del 1: Godkäntdelen
1. Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas. Detta blad
inlämnas tillsammans med övriga lösningar.
(16p)
x2
2. Funktionen f (x) =
är given. Konstruera grafen till f . Ange lokala max/min samt
3 − 2x
asymptoter.
(5p)
3. (a) Bestäm medelpunkt och radie för cirkeln x2 + 6x + y 2 − y = −3 .
(4p)
(b) Beräkna värdet av y 0 i den punkt i andra kvadranten där x = −5 .
4. Beräkna limx→0
5. Beräkna
y 0 (1)
√
x
1+x−1−
2.
x sin x
(3p)
−√
för funktionen y(x) = e
x
+1
x2
6. Ange de reella lösningarna till rotekvationen
√
(3p)
2x2 − 1 + 2x = −3.
(3p)
7. (a) Bestäm funktionen f så att följande villkor är uppfyllda.
f 0 (x) =
1
3
−
,
x + 1 3 − 2x
(4p)
f (1) = ln 2.
(b) Bestäm lokala max/min till f .
Var god vänd!
Del 2: Överbetygsdelen
Poäng på dessa uppgifter kan inte räknas in för att nå godkäntgränsen. Normalt krävs för poäng på uppgift att
man redovisat en fullständig lösningsgång, som i princip lett, eller åtminstone skulle kunnat leda, till målet.
8. Bestäm primitiva funktioner till följande funktioner.
(4p)
x
.
3−x
1
ii. f (x) = 2
2x + 2x + 1
i. f (x) = √
9. Bestäm den räta linje som tangerar både y = x2 och y = x2 − 2x.
(4p)
10. En låda med kvadratisk botten står på marken i ett koniskt tält som har höjden 2 m och
radien 1 m (vid marken). Bestäm lådans maximala volym.
Lycka till!
(4p)
Anonym kod
Sidnr
MVE415 Matematisk analys, del 1 DAI1 EI1
1. Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats
(endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas).
√
(a) Bestäm med hjälp av derivatans definition f 0 (x) då f (x) = 1 − x.
Lösning:
150320
1
(2p)
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Bestäm lokala max/min funktionen f (x) = (x2 − x)e2x .
Lösning:
(3p)
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Lös ekvationen 2x + | x − 4 | = 3.
Lösning:
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
(d) Ange den primitiva funktion till f (x) = 3 x − x + 2 som uppfyller F (4) = 16.
Lösning:
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Var god vänd!
(3p)
(2p)
Poäng
(e) Bestäm inversen φ(x) till funktionen y = 3 + ln
Lösning:
√
x + 2 . Ange också Vφ .
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
(f) Bestäm en linjär approximation till funktionen f (x) = (2x + 1)2 − √ nära punkten
x
x = 1.
Lösning:
Svar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3p)
(3p)