Download Report

MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Karl Rökaeus
Tentamensskrivning i
Algebra, problemlösning, 7.5 hp
Matematik I
9 maj 2015, kl 9.00-14.00
Inga hjälpmedel tillåtna. 15 poäng (inklusive bonuspoäng) ger säkert godkänt.
Samtliga svar måste motiveras ordentligt!
Bonuspoäng från VT-15 adderas automatiskt till ditt resultat. Om du vill använda
bonuspoäng från HT-14 så måste du ange detta på skrivningsomslaget.
1. Finn alla rötter till polynomet p(z) = z 5 −32i. Du får svara på polär form, men ange speciellt
om det finns någon rot som är reell eller någon som är rent imaginär (alltså vars realdel är 0).
Markera även rötterna i det komplexa talplanet. Beräkna slutligen summan av alla rötter,
samt produkten av alla rötter.
5p
n
2. 1600-tals matematikern Fermat trodde att alla tal på formen 22 + 1 är primtal. Visa att
Fermat hade fel genom att bevisa att 232 + 1 är delbart med 641.
5p
3. Avgör vilka av följande påståenden som är sanna och vilka som är falska:
• ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x2 = y.
• ∃y ∈ R ∀x ∈ R : y = x2 .
• ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x = y 2 .
Nedan är M mängden av alla 2 × 2-matriser:
• ∀A ∈ M
∀B ∈ M : AB = BA.
• ∀A ∈ M
∃B ∈ M : AB = BA.
(Du måste som vanligt motivera dina svar, antingen med bevis eller motexempel.)
5p
4. Låt ABC
vara en liksidig triangel i planet med hörn A = (0, 0), B = (1, 0) och C =
√
(1/2, 3/2), där koordinaterna är angivna i ett Kartesiskt koordinatsystem med bas e =
(e1 , e2 ). Låt t1 = AB och t2 = AC. Visa att t = (t1 , t2 ) utgör en bas för vektorer i planet
samt avgör vilken orientering denna bas har. Bestäm sedan basbytesmatrisen från e till t.
Bestäm slutligen koordinaterna för (1, 1) = e1 + e2 i basen t samt bestäm koordinaterna för
BC i basen e.
5p
I uppgift 5-6 är samtliga koordinater angivna i en positivt orienterad ON-bas:
5. Bestäm den linje ` som går genom punkten P = (3, 2, 1) och är ortogonal mot planet
Π : (−1 − 2t + 3s, −2 + 3t, −3t − s),
s, t ∈ R.
Bestäm sedan skärningspunkten mellan ` och Π samt beräkna avståndet mellan P och Π. 5p
6. Definiera den linjära avbildningen F av rummet genom att sätta
F (v) = v + (v × a)
för alla vektorer v, där a = (1, 1, 1). Bestäm matrisen för F . Motivera också att det för varje
given vektor u finns en entydigt bestämd vektor v sådan att u = v + (v × a) samt bestäm
denna vektor v om u = (1, 2, 3).
5p
Tid och plats för skrivningsåterlämning meddelas via kurshemsidan. Preliminär tid är 14:00 onsdag
13 maj. Efter återlämningen kommer tentorna finnas att hämta hos studentexpeditionen, hus 6,
rum 204.