1. No category

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Jesper Thorén
Kurskod: TATA90
Exempeltentamen 1, TATA90 Flervariabelanalys och differentialekvationer
Inga hjälpmedel tillåtna. Skriv din anonyma kod på varje ark som lämnas in. Skriv bara
på ena sidan och bara en uppgift på varje ark. Varje lösning till varje uppgift bedöms som
godkänd eller ej godkänd. En godkänd lösning av en uppgift ger 2 eller 3 poäng. För betyget
3 och godkänd tentamen krävs sammanlagt 8 poäng med minst tre godkända uppgifter. Alla
lösningar ska vara fullständiga och välmotiverade. Svar ska anges tydligt och vara förenklade
så långt som möjligt.
1. (a) Beräkna dubbelintegralen
Z Z
D
dxdy
,
(x + y)2
där D = {(x, y); x + y ≤ 3, x ≥ 1, y ≥ 1}.
(b) Beräkna dubbelintegralen
Z Z
D
x3
dxdy,
1 + y5
där D = {(x, y); 0 ≤ 2x ≤ 4y ≤ 1}.
2. Bestäm en ekvation för tangentplanet till funktionsytan z = f (x, y) i punkten (1, 1, 0),
2
2
där f (x, y) = (x2 − y 2 )e−(x +y )/2 . Bestäm även en ekvation för tangentlinjen i
punkten (2, 1) till den nivåkurva som går genom punkten (2, 1).
3. Lös den partiella differentialekvationen fy0 + xfx0 = −f , med f (x, 0) = x, genom att
införa de nya koordinaterna u = xe−y , v = y.
4. Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner f (x, y) som uppfyller villkoren
fx0 = −x cos y + yx2 + 1,
fy0 =
x2
x3
sin y +
+ 2.
2
3
5. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 00 + 3y 0 + 2y = 2xe−x , som uppfyller
y(0) = 1 och y 0 (0) = 2.
6. Bestäm samtliga punkter på ytan z = x2 + 4y 2 , där tangentplanet innehåller linjen
(x, y, z) = (2, 0, 0) + t(1, 1, −4), t reell parameter.
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Jesper Thorén
Kurskod: TATA90
Exempeltentamen 2, TATA90 Flervariabelanalys och differentialekvationer
Inga hjälpmedel tillåtna. Skriv din anonyma kod på varje ark som lämnas in. Skriv bara på
ena sidan och bara en uppgift på varje ark. Varje lösning till varje uppgift bedöms som
godkänd eller ej godkänd. En godkänd lösning av en uppgift ger 2 eller 3 poäng. För betyget
3 och godkänd tentamen krävs sammanlagt 8 poäng med minst tre godkända uppgifter.
Alla lösningar ska vara fullständiga och välmotiverade. Svar ska anges tydligt och vara
förenklade så långt som möjligt.
1. Bestäm den lösning till differentialekvationen (1 − x2 )y 0 + 2xy = x, |x| < 1, som
uppfyller att y(0) = 3.
2. (a) Låt D = {(x, y); x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ |x|}, och beräkna dubbelintegralen
Z Z p
x2 + y 2 dxdy.
D
(b) Låt nu D vara det begränsade området i planet som begränsas av kurvorna
y = −x + 2 och y = x2 , och beräkna dubbelintegralen
Z Z
2ydxdy.
D
3. Bestäm en ekvation för tangentplanet till funktionsytan z = f (x, y) i punkten (1, π, 1),
där f (x, y) = x2 − 3x sin y. Bestäm även en ekvation för tangentlinjen i punkten (1, π)
till nivåkurvan f (x, y) = 1. Bestäm till slut riktningsderivatan av f i punkten (1, π) i
riktningen (3, 4).
4. Bestäm alla lösningar till den partiella differentialekvationen
2
00
00
fxy
− fyy
= 2xex ,
x > 0,
genom att göra variabelbytet u = x2 , v = x + y.
5. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 00 − 2y 0 − 3y = 6xex , som uppfyller
y(0) = 1 och y 0 (0) = 1.
6. Bestäm alla lösningar f (x, y, z) till systemet
fx0 = 2xyez ,
fy0 = (x2 − 6y 2 )ez ,
fz0 = (x2 y + z − 2y 3 )ez .
Svar till Exempeltentamen 1, TATA90
1
3
1. (a) − + ln .
3
2
4 1025
(b) ln
.
5 1024
e
2. Planets ekvation blir x − y − z = 0, och tangentlinjen har ekvation 2x + 5y = 9.
2
3. Efter variabelbytet blir differentialekvationen fv0 = −f , vilken löses med integrerande
faktor. Med användning av begynnelsevärdet får vi till slut att f (x, y) = xe−2y .
4. f (x, y) = −
x2
x3 y
cos y +
+ x + 2y + d, d konstant.
2
3
5. y = −5e−2x + (x2 − 2x + 6)e−x .
6. Bestäm tangentplanets ekvation i en punkt (a, b, c) i planet, så att linjens startpunkt
också ligger i planet. Observera även att tangentplanets normalvektor är ortogonal
mot linjens riktningsvektor. Detta ger tillräckliga samband för att bestämma
punkterna till (2, −1, 8) och (2/5, −3/5, 8/5).
Svar till Exempeltentamen 2, TATA90
1. y(x) = 3 −
5x2
.
2
2. (a) Efter att ha gått över till polära koordinater beräknas dubbelintegralen till 4π/3.
(b) Kurvorna skär varandra i punkterna (−2, 4) och (1, 1) (rita bild) och
dubbelintegralens värde över området blir 72/5.
3. Planet har ekvationen 2x + 3y − z = 1 + 3π, linjen 2x + 3y = 2 + 3π, och
riktningsderivatan blir 18/5.
00 = eu , och allmänna lösningen blir sedan
4. Variabelbytet ger ekvationen fuv
2
x
f (x, y) = (x + y)e + G(x + y) + H(x2 ), där G och H är godtyckliga C 2 -funktioner av
en variabel.
1
7
3x x
5. y = e−x + e3x −
e
8
8
2
6. f (x, y, z) = (x2 y − 2y 3 + z − 1)ez + C, där C är en godtycklig konstant.