1. No category

2 Fourieranalyse
Innhold
INTRODUKSJON ..................................................................................................................................................... 1
Hvem hadde rett, Fourier eller Lagrange? ..................................................................................................... 3
Hvilke Fourieranalyser bruker vi? .................................................................................................................. 3
FOURIERSERIEANALYSE (FS) ................................................................................................................................ 4
FS med trigonometrisk representasjon ........................................................................................................... 4
FS med cosinus representasjon ....................................................................................................................... 6
FS med kompleks representasjon .................................................................................................................... 9
Diskret Fourier Transformasjon (DFT) ........................................................................................................ 15
FOURIERINTEGRAL (FI) ...................................................................................................................................... 16
Dirac deltapuls og Fourierintegral ............................................................................................................... 24
Noen egenskaper ved transformasjon med Fourierintegraler ...................................................................... 26
Diskret Tid Fourier Transform DTFT ........................................................................................................... 30
EKSEMPEL: ANALYSE AV EN KORT SINUSSEKVENS ............................................................................................. 31
jω
s-plan
σ
pol plassering
Analog krets M(ω)
Amp-spekter
θ (ω) Fase-spekter
Realisering
Modellering
f(t)
Nyquist
Diagram
F(s)
Laplace
transform
Konstruksjon
transient
analyse
AC-analyse
FS, FI
invers transform
F(jω)
F(nω)
Bodeplot
Amplitude
Fase
Introduksjon
En tone behøver ikke å være en ren sinus, men kan bestå av en grunntone og en rekke
overtoner. Spiller man en tone på et instrument, tar opp dette med en mikrofon og viser
resultatet på et oscilloskop, så vil man se en strek som krøller seg bortover og som likner svært
lite på en ren sinus svingning (Figur 2). Dette kommer av at overtoner, dvs. toner med høyere
frekvenser, blandes inn i grunntone. På oscilloskopet ser vi bare summen av grunntonen og
overtonene. Hvis vi ønsker å finne ut hvor mye som finnes av hver av overtonene, så kan vi
gjøre dette mekanisk eller elektrisk ved å benytte mange resonatorer eller resonanskretser som
er avstemt til å reagere på hver sin bestemte frekvens. Helmholz-kulene i Figur 1 er typiske
eksempler på mekaniske resonatorer. Ved å holde kulene mot øret og notere hvilken som
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
reagerte på et gitt lydsignal, kan man finne ut hvilke frekvenser denne lyden består av. Vi kan
gjøre det samme med et piano. Om man trykker ned klangpedalen og synger eller spiller en
tone, for eksempel på en saksofon, så vil bare de pianostrengene som har samme lengde som
frekvensene i tonen, begynne å vibrere. Fenomenet kalles resonans.
Figur 1Helmholz resonatorer for analyse av lydens frekvenskomponenter.
Vi kan også analysere en lyd, dvs. finne ut hvilke toner den består av matematisk. Det finnes
flere regnemetoder som kan benyttes, både til å dele opp en tone i sine enkelte bestanddeler
(finne frekvens komponentene) og til å sette dem sammen igjen. Den mest antakelig best
kjente metoden er Fourieranalysen. Vi har flere varianter av analysen avhengig av signalet
som skal analyseres. For analoge signaler har vi Fourierserier (FS) og Fourierintegraler (FI).
Den førstnevnte brukes på periodiske signaler mens den andre benyttes når vi skal behandle
enkelt pulser. De digitale variantene er hhv. Diskret Fourier Transformasjon (DFT) og Diskret
Tid Fourier Transformasjon (DTFT).
Fourieranalyse er et nyttig verktøy av flere grunner. Vi kan bruke analysen når vi vil finne ut
hvilke frekvenskomponenter et signal eller en kurveform består av, eller omvendt, når vi vil
generere et bestemt signal eller kurveform. Videre brukes fourieranalyse til å forenkle regne
operasjoner, og til å komprimere signalere og bilder. Bildekompresjonsformatet JPG er for
eksempel basert på at bildesignalet omgjøres til frekvenskomponenter med Fourieranalyse.
Fourieranalyse stammer fra Jean Baptiste Joseph Fourier (1769-1830). Fourier var en fransk
matematiker og fysiker med varmetransport som interessefelt. Fourieranalysen ble skrevet i
1807 for Institute de France og omhandlet den kontroversielle påstanden om at alle
kontinuerlige periodiske signaler kunne representeres med en sum av korrekt valgte sinus /
cosinus ledd.
2
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
v(t)
1
t
-1
T
Figur 2 Eksempel på et kontinuerlig periodisk signal med periodetid T.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) og Pierre Simon de Laplace (1749-1827) leste korrektur
på Fouriers artikkel. Laplace var positiv til artikkelen, mens Lagrange protesterte og hevdet at
det ikke var mulig å tilnærme et signal med skarpe knekkpunkt som firkant og sagtann
signaler ved hjelp av sinus og cosinus ledd. Institute de France bøyde seg for Lagrange inntil
han døde i 1813 og først 15 år etter Lagranges død fikk Fourier utgitt sin artikkel. For Fourier
betydde ikke ventetiden så mye. Han var aktiv med i politikken, var med Napoleon på
ekspedisjoner til Egypt og forsøkte ellers å holde hodet unna giljotinen.
Fouriers påstand var at et generelt periodisk signal v(t) som i Figur 2 kunne beskrives som en
sum av trigonometriske ledd hvis koeffisienten for hvert ledd ble valgt riktig. Tok man med
tilstrekkelig mange riktig valgte ledd kunne man også beskrive knekkpunkter.
Hvem hadde rett, Fourier eller Lagrange?
Begge hadde delvis rett. Det er riktig som Lagrange hevdet at man ikke kan beskrive
knekkpunkter med sinus og cosinus ledd, men på den annen side kan man komme meget nær.
Så nær at forskjellen mellom funksjonen og tilnærmingen har 0 energi. Ut fra en
energibetraktning hadde derfor Fourier rett selv om man på den tiden visste lite om hva energi
var.
Hvilke Fourieranalyser bruker vi?
1.
2.
3.
4.
FS
Fourierserie
FI
Fourierintegral
DFT Diskret Fourier Transformasjon
DTFT Diskret Tid Fourier Transformasjon
Fourierserier (FS) virker på kontinuerlige periodiske tidssignaler og resulterer i diskrete
frekvens og fasekomponenter i frekvensplanet. Vi skal se på tre former eller måter å behandle
slike Fourierserier på.
3
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
a) trigonometrisk representasjon,
b) cosinus representasjon
c) kompleks representasjon
Vi bruker disse ulike representasjonene fordi det
(a) er praktisk som utgangspunkt for å forstå hva som skjer,
(b) viser bedre hva som er amplitude og fase, mens
(c) ofte kan gjøre analysen enklere og mer kompakt.
Vi skal utlede (b) og (c) fra (a).
FI står for Fourierintegral og brukes til å analysere signaler som består av en enkelt puls. Ett
slikt signal kan betraktes som et periodisk signal hvor periodetiden går mot uendelig. Derved
kan vi fortsette å benytte en form for Fourieranalyse. FI virker på kontinuerlige tidsfunksjoner
og produserer kontinuerlige frekvensspekter i motsetning til FS som lager diskrete
frekvensspekter. I tillegg til å analysere pulser bruker vi også noe som likner på FI når vi skal
se på hvordan en elekronisk krets behandler ulike frekvenser. Se seksjonen senere i boka som
omhandler AC-analyse)
DFT står for Diskret Fourier Transformasjon. DFT er digitalverdenens svar på FS. Her er
både tidsfunksjonen og frekvensspekteret diskret. Dette er den eneste transformasjonen som
kan utføres av en datamaskin. DFT brukes til mange ulike oppgaver innen signal og bilde
analyse som f.eks. JPG kompresjon, signal filtrering og signal analyse. Forsvaret er for
eksempel interessert i å analysere frekvensspekteret til båter, ubåter og fly. Lyden fra disse har
ofte frekvensmønstre som kan brukes til å identifisere fartøyene.
DTFT står for Diskret Tid Fourier Transformasjon. DTFT motsvarer FI. Her er
tidsfunksjonen diskret mens frekvensspekteret er kontinuerlig. DTFT benyttes for å analysere
diskrete pulser analytisk og til å konstruere og analysere overføringsfunksjoner for diskrete
systemer.
Fourierserieanalyse (FS)
Fourierserie analyse virker på kontinuerlige periodiske tidssignaler og resulterer i diskrete
frekvens og fasekomponenter i frekvensplanet.
FS med trigonometrisk representasjon
Funksjoner som v(t) i Figur 2 kan tilnærmes med følgende sum
Eq. 1
v(t )  dc 

 an cos(n0t )  bn sin(n0t )
n 1
4
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Dc verdien er signalets likespenning eller middelverdispenning. Den finner vi ved å integrere
over en periode og så dele på periodetiden.
dc 
Eq. 2
1T
 v(t )dt
T0
Uttrykkene for an og bn over fremkommet ved å minimalisere den kvadratiske feilen mellom
Fourierserien og den opprinelige funksjonen vi ønsker å tilnærme med hensyn på an og bn.
T
   v(t )  f (t ) dt
2
0
Eq. 3
2




  dc   an cosn0 t   bn sin n0t   f (t ) dt
n 1


t 
Det fører for langt å gå igjennom selve utledningen av beregningene her og vi oppgir bare
resultatet.
T
2
an   v (t )  cos(n  0  t )dt
T 0
Eq. 4
T
2
bn   v (t )  sin(n  0  t )dt
T 0
Merk at an og bn er vektorer eller tabeller som kunne vært skrevet som a[1..N]=[a1, a2,
a3…N> hvor N ofte kan være uendelig. Det samme gjelder for b. Vi kan også plotte a og b i en
figur.
b
a
n
n
0
1
2
3
….osv
0
1
2
3
….osv
Figur 3. Plot av en bestem realisering av a og b. Om vi velger å la x-aksen vise n eller nω0 er
opp til oss, men siste notasjon viser tydeligst at vi nå er i frekvensplanet
5
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Forholdet mellom dc og a0 i en FS
Når vi kommer til FS uttrykt som en kompleks serier vil vi se at vi ikke lenger uttrykker dcverdien eksplisitt, men at den da inngår i summen som leddet gitt av n=0. For FS uttrykt med
trigonometriske funksjoner kunne vi også ha gjort dette men som vi skal se her så er det litt
enklere å holde dc verdien utenfor summasjonen og isteden la n løpe fra 1 som i Eq. 1.
La oss teste hva som skjer om vi tar bort dc-leddet og lar summen løpe fra 0.

 a n cos(n0 t )  bn sin(n0 t )
n 0

 a 0 cos(00 t )  bn sin(00 t )   a n cos(n0 t )  bn sin(n0 t )
n 1
Eq. 5

 a 0  1  bn  0   a n cos(n0 t )  bn sin(n0 t )
n 1

 a 0   a n cos(n0 t )  bn sin(n0 t )
n 1
Vi ser at vi får skilt ut a0 komponenten. og det gjenstår nå bare å regne ut hvor stor den er.
T
T
2
2
a0   v(t )  cos(0  0  t )dt   v(t )dt
T 0
T 0
men siden dc verdien er gitt som middelverdien av signalet over en periode
T
dc 
1
v (t )dt
T 0
dc 
a0
2
Så er det lett å se at a0 er dobbelt så stor som dc verdien. Vi kunne godt definert dc verdien til
å være a0/2, men det er kanskje like greit å beholde den utenfor.
FS med cosinus representasjon
Når vi uttrykker et signal på formen

v(t )  dc   a n cos(n 0 t )  bn sin( n 0 t )
n 1
6
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
ser vi ikke direkte hva som er amplitude og hva som er fase. Dette kan vi lettere se om vi
skriver Fourierserien på cosinusform som derfor kan være meget nyttig. FS på cosinus form
er gitt med følgende formel.
Eq. 6 v(t )  dc 

c
n 1
n
cos(n0 t   )
Utledningen starter med å se på cosinus til en sum av vinkler
cos( x  y)  cos( x)  cos( y)  sin( x) sin( y)
Vi lar x  n0t og y   , og utvider Eq. 6 over med cn Da får vi venstre siden lik
cn cos( x  y)  cn cos(n0t   )
Fokuserer vi så på høyre side
cn  cos( x)  cos( y)  cn  sin( x) sin( y)
og døper leddene
cn cos( y)  an
og
 cn sin( y)  bn
vil høyre side anta formen
an  cos( x)  bn  sin( x)  an  cos(n0t )  bn  sin(n0t )
som vi kjenner igjen som innmaten i den originale Fourierserien. Dette viser at vi kan skrive
cn cos(n0t   )  an  cos(n0t )  bn  sin(n0t )
med
an  cn cos( )
bn  cn sin( )
Vi mangler da bare å uttrykke c og θ klarere. For å finne cn kvadrerer vi og utnytter at
7
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
sin 2 ( )  cos 2 ( )  1 . Vi skriver:
a n  c n cos( )  a n2  c n2 cos 2 ( )
bn  c n sin  )  bn2  c n2 sin 2 ( )
som gir oss


an2  bn2  cn2 cos 2 ( )  cn2 sin 2 ( )  cn2 cos 2 ( )  sin 2 ( )  cn2
slik at vi finner cn
cn  an2  bn2
Cosinus og sinus er ortogonale funksjoner. Vi kan derfor tegne dem inn i et diagram med
normalstilte akser som i et vanlig xy-diagram eller som i et komplekst plan med real og
imaginære akse. Her har vi brukt et xy-diagram.
y
an
x
θ
|c|
-bn
Figur 4. Forhold mellom a, b, c , sin, cos og θ
Vi ser av Figur 4 at fasevinkelen θn er gitt ved lengden til an og bn. Vi kan benytte
tangenssetningen for å finne θn, men må huske at tangens er tvetydig ved at
tan(x)=tan(x+180o).
8
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
250
300
350
-5
-10
-15
-20
Figur 5. Tangens for vinkler fra 0 til 360 grader viser at vi har tan(x)=tan(x+180o).
Inverstangensfunksjonen er på samme måte symmetrisk slik at

 n   n  180  arctan  

bn
an

 .

Vi kan beregne  n med inverstangens, men vi må tegne inn an og bn for å avgjøre fasen
entydig.
Oppsummering for cosinus representasjon

v (t )  dc   cn cos(n0 t   )
n 1
cn  a  bn2
2
n
 bn 

 an 
 n  arctan  
FS med kompleks representasjon
Notasjon: For elektroniske systemer er det naturlig å la v og V stå for spenningssignaler eller
funksjoner mens i og I benyttes om strøm signaler. Det viktigste her er at vi benytter samme
bokstav for samme signal. Så langt mulig vil vi benytte stor bokstav når vi beskriver
frekvensplanet og liten bokstav når vi beskriver tids planet.
Vi bruker
 v(t) for å beskrive et spennings signal i tid.
9
Fourieranalyse


Lineær kretselektronikk
Vn for å beskrive et spenningssignal i frekvens når dette består av diskrete
frekvenskomponenter.
V(ω) for å beskrive et spenningssignal som består av et kontinuerlig frekvensspekter.
Tilsvarende vil i, I bli brukt om strøm, p, P om effekt osv.
Finn v(t) når vi kjenner Vn
Det er en nær forbindelse mellom trigonometriske funksjoner og eksponentialfunksjonen e j
vi har at
e j  cos   j sin 
Relasjonen kalles Eulers relasjon og fremkommer ved Taylor rekkeutvikling.
Ut fra denne kan vi utlede at
cos  


1 j
e  e  j
2
1 j
sin  
e  e  j
j2


Dette bruker vi for å utlede uttrykket for den komplekse Fourierserien. Vi starter med
uttrykket for den trigonometriske serien

v(t )  dc   an cos(n0t )  bn sin(n0t )
n 1
og setter inn eksponentialfunksjonsuttrykket for sinus og cosinus slik at vi får

b
a

v(t )  dc    n e j  e  j   n e j  e  j 
j2
n 1  2

Vi kan nå samle eksponentialledd med like fortegn
10
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse

a
b
b
a

v (t )  dc    n e j  n e  j  j n e j  j n e  j 
2
2
2

n 1  2

b
b
a
a

v (t )  dc     n e j  j n e j  j n e  j  n e  j 
2
2
2

n 1  2

1
1

v (t )  dc     a n  jbn e j  a n  jbn e  j 
2

n 1  2
som vi så deler opp i to serier


1
1
j 
v(t )    an  jbn e   dc   an  jbn e  j

n 1  2
n 1 2
Dette er allerede en kompleks eksponential representasjon, men vi kan gå enda lenger. Vi gjør
dette ved å snu fortegnet på n i den siste summasjonen. For å få til dette må vi først se på hva
som skjer med an og bn når vi setter –n inn i integralene for disse. For cosinus får vi ingen
forandring da dette er en like symmetrisk funksjon. cos(x) = cos(-x). For sinus får vi imidlertid
fortegnsskifte da sinus er en antisymmetrisk funksjon.
T
T
an 
2
2
v (t )  cos(n  0  t )dt    v (t )  cos( n  0  t )dt

T 0
T 0
bn 
2
2
v (t )  sin(n  0  t )dt    v (t )  sin( n  0  t )dt

T 0
T 0
T
T
an endrer ikke fortegn når vi skifter fortegn på n, men det gjør bn. Dette er gunstig for oss da
det fører til at faktorene før eksponentialleddene blir like. Vi kan således kalle leddet med an
og bn for Vn og skrive at
Vn 
1
an  jbn 
2
Vi ser at Vn er en kompleks størrelse fordi den inneholder både real og imaginær ledd. Når vi
setter inn at   n0 t skifter også eksponentialleddet fortegn når n er negativ slik at vi får



v(t )   Vn  e  jn0 t  dc 
n 1
1
V
n  
setter vi nå også at dc  V0  e
j0
n
 e  jn0 t
kan vi skrive alt under samme summe tegnet. Vi får
11
Fourieranalyse
Eq. 7 v(t ) 
Lineær kretselektronikk

V
n  
n
 e jn0t
som må kunne sies å være en kompakt form i forhold til den trigonometriske representasjonen
som var utgangspunktet. Uttrykket gir oss tidsfunksjonen v(t) når frekvenskomponentene Vn er
kjente.
Vi kan overbevise oss om dette er riktig ved å skrive ut leddene i summen for en avkortet
serie, og så gå baklengs til det punkt hvor vi begynte å trikse med summer og fortegn. Vi
starter med sluttsummen fra Eq. 7,

v (t ) 
V
n 
n
 e jn0t
hvor vi setter inn for Vn og korter ned summasjonen
1
 2 a
1
n  1
n
 jbn   e jn0t
1

1

  a n  jbn   e jn0t 
 dc   a1  jb1   e jn0t 
2
 n  1
2
 n  1
Så snur vi fortegnene i leddet hvor n er negativt og får
1

1

  an  jbn   e jn0t 
 dc   a1  jb1   e jn0t 
2
n1
2
n1
Vi setter så inn del summetegnene
1
1
an  jbn   e jn0t
2
n 1

 dc 
1
 2 an  jbn   e jn t
1
0
n 1
og er tilbake ved utgangspunktet før vi begynte å trikse med summetegn og fortegn, selv om vi
her bare går fra -1 til 1. Vi ser at vi har fått det samme. Vi summerer riktignok bare fra -1 til 1,
men ser likevel trenden og kan lett gjenta beregningene med så mange ledd vi måtte ønske.
12
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Finn Vn når vi kjenner v(t)
I forrige avsnitt så vi på hvordan vi kunne transformere en funksjon fra frekvensplanet til
tidsplanet. Det er like viktig å kunne transformere en tidsfunksjon til frekvensplanet. Dette
betyr i praksis å bestemme Vn når vi kjenner v(t).
Uttrykket for Vn finner vi ved å starte med integralene for an og bn og så sette inn
eksponentialformen for sinus og cosinus. Gjør vi dette finner vi uttrykket
Vn 
1
v(t )e  jn0t dt

TT
Fra Vn til amplitude og fasespekter
På samme måte som vi brukte cosinusrepresentasjon for å finne amplitude og fase for
trigonometrisk representasjon av Fourierserier må vi dekomponere den komplekse variabelen
Vn for å avsløre hva den sier om amplitude og fase. Med bakgrunn i Figur 6 kan vi skrive:
Vn  (a, jb)  a  jb  Vn cos( )  j Vn sin( )  Vn e j
hvor an er realdelen mens- jbn er imaginær delen til Vn. Vi kan utrykke dette også ved å skrive
at an=Re(Vn) mens bn=Im(Vn)
j
Vn*
|Vn|
an /2
x
θ
-bn/2
Vn
Figur 6. Den komplekse vektoren Vn med sin komplekskonjugerte Vn*.
Uansett hvordan vi velger å beskrive vektoren så har den en lengde og en vinkel. Lengden
representere signalets amplitude mens vinkelen forteller om fasen. Ser vi på Figur 6 så ser vi
13
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
at lengden som altså var amplituden må kunne finnes ved vanlige trekantberegninger som for
eksempel Pythagoras sats om kvadratet til sidene i en trekant
Amplitude  Vn 
1 2 2
an  bn
2
Hvis vinkelen er kjent kan vi finne amplituden ved å se på de trigonometriske forholdene. Vi
ser at lengden til Vn er den samme som hypotenusen i trekanten an, -bn, |Vn | slik at
motstående
0.5bn
 Amplitude  Vn 
hypotenus
sin( )
hosliggend e
0.5an
cos( ) 
 Amplitude  Vn 
hypotenus
cos( )
sin( ) 
Den vanligste måten å beregne amplituden på er imidlertid å se på produktet mellom Vn og
Vn*. Stjernen indikerer at vi har å gjøre med en Vn hvor den imaginære verdien bn har skiftet
fortegn. Vn* kalles da den komplekskonjugert til Vn.
Amplitude  Vn  Vn  Vn
*
1
an  jbn an  jbn 
2
1 2

an  jbn  jbn  j 2bn2
2
1 2

an  bn2
2

Som ble akkurat det samme som vi fikk ved å bruke at kvadratene til sidene i en trekant
tilsvarer kvadratet til hypotenusen. Vinkelen  som også tilsvarer fasen finner vi ved å se på en
kombinasjon av tangens og fortegnene til komponentene a og b
  0.5bn
Fase   n  arctan
 0.5an

 ImVn  
  arctan


 ReVn  
Grunnen til at vi også må vurdere fortegnene til an og bn er at tangens er totydig som vist i
Figur 5.
14
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Diskret Fourier Transformasjon (DFT)
Vi har sett på Fourierserie (FS) analyse som vi benyttet til å oversette signaler mellom tids og
frekvensdomenet. I tidsdomenet må signalet være kontinuerlig og periodisk mens det i
frekvens må værer diskret og aperiodisk.
Digitalverdenens svar på FS kalles Diskret Fourier Transformasjon (DFT). Denne
transformasjonen har også en serie som utgangspunkt, men virker på et diskret periodisk
signal i tid. I frekvensdomenet har DFT, på samme måte som FS, et diskret spekter, men til
forskjell fra det aperiodiske FS spekteret er DFT spekteret periodisk.
En forutsetning for å få FS til å fungere riktig er at både tid og frekvensdomenet er uendelig.
Dette får vi problemer med i en datamaskin. Vi er tvunget til å plukke ut en bit av signalet og
lagre det i en tabell som for eksempel
v [ 0 | 1 | 2 | ……. | K-1 ].
I tillegg trenger vi tabeller for å oppbevare sinus og cosinus koeffisientene.
a [ 0 | 1 | 2 | …….| N-1 ]
b [ 0 | 1 | 2 | …….| N-1 ]
Som vi ser av tabellen v[ ] kan denne bare inneholde K sampler (målinger) fra signalet vårt. Vi
sier at vi legger et sampelvindu på signalet og ser på signalet igjennom dette vinduet.
Hvordan vi legger på vinduet og hvor mange sampler vi tar i dette vinduet har betydning for
resultatet. Dette kommer vi litt nærmere innpå i kapittelet om digitalteknikk sener i boka.
v[i]
v(t)
t
Δt
v[0]
v[K-1]
Sampelvindu
Figur 7 Fra analogt til digital signal
For å komme fram til den digitale versjonen av fourierserieanalysen, som kalles Diskret
Fourier Transformasjon, så kan vi erstatte tiden t med iΔt samtidig som vi bytter ut
integrasjonstegn mot summasjonstegn. Formlene som da fremkommer kan brukes til å
transformere fram og tilbake mellom diskret tid og diskret frekvens.
15
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Diskret DFT
Analog FS
T
dc 
1
v (t )dt
T 0
an 
2
v (t ) cos(n0 t )dt
T 0
bn 
2
v (t ) sin(n0 t )dt
T 0
dc 
T
2 K 1
 vi 
Kt i 0
an  
2 K 1
 n i 
vi cos 0 

Kt i 0
 K 
2 K 1
 n i 
bn  
vi sin 0 

Kt i 0
 K 
T
Vi kan så gjenskape det diskrete tidssignalet v[i]
vi 
 n2i 
 n2i 
 dc   an cos
  bn sin

 K 
 K 
n 1
N 1
Fourierintegral (FI)
Vi har så langt sett på analyse av periodiske signaler. Vi skal nå utvide Fourieranalysen til å
gjelde aperiodiske signaler. Dette gjør vi ved å se på et firkantsignal hvor periodetiden T
vokser til uendelig. Resultatet blir et Fourierintegral istedenfor den opprinnelige serien. Når vi
regner om fra tid til frekvens for slike enkeltpulser eller aperiodiske signaler, får vi et
kontinuerlig frekvensspekter i motsetning til periodiske signaler som har diskrete
frekvensspekter.
v(t)
1
T
t
Figur 8 Vi lar periodetiden T vokse mot uendelig for å finne en funksjon som kan beskrive
frekvensspekteret av en enkel puls.
Finn V(ω) når v(t) er kjent
Notasjon
V(ω) kaller vi for Fouriertransformasjonen av v(t) Den kan noteres med en fritt valgt stor
bokstav og med ω eller jω som argument. Alternativt vil man ofte skrive at dette er den
16
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Fourier Transformerte til v(t) med notasjonen F[v(t)] som er det samme som om man skriver
V(ω). Ofte ser man at det benyttes en mer kunstnerisk stor F med krøller og svinger. Man kan
også ta med en j i argumentet V(jω) om man ønsker å påpeke at denne kan være kompleks.
Siden vi har benyttet v(t) for tidsfunksjonen er det naturlig at vi benytter stor V for
frekvensspekterfunksjonen eller ”spektral tetthetsfunksjonen” om man trenger et finere navn
for å forvirrer og eller imponerer en eventuell tilhører. Det er selvfølgelig fritt opp til den
enkelte å døpe tids/frekvens funksjonene til hva man måtte ønske, som f.eks. v(t), V(ω), s(t),
S(ω), g(t),G(ω), … osv.
1
v(t)
Vn
ω
t
T
ω1 ω2
v(t)
Vn
ω
t
ω1ω2
T
Figur 9. Vi ser her to like tidsfunksjoner med unntak av at periodetiden T har øket i den
nederste. Vi ser også at en økning i T fører til tetter avstand mellom frekvenskomponentene i
spekteret til høyre.
Årsaken til at spekteret blir tetter kommer av forholdet mellom T og ω. Vi har
  (n  1)0  n0  0 
2
T
Vi ser derfor at  blir uendelig liten når T   . Vi kan derfor substituere   d
Siden n går mot uendelig, så går produktet nω0 mot en kontinuerlig variabel
n0  
Spekteret for et periodisk signal var gitt ved
Vn 
1
v(t )e jn0t dt

TT
17
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Lar vi her T gå mot uendelig får vi at frekvensspekteret alltid blir 0 for alle v(t) på grunn av at
T står i nevner foran integralet. Et 0-spekter som svarer på alle eksamensoppgaver ville vært
fint, men ellers er ikke et slikt resultat særlig matnyttig. Vi flytter derfor T over til venstresiden
av likhetstegnet slik at vi får
lim Vn T T 
T 
2Vn
 2Vn 
 lim 

  v(t )e  j  t dt  V ( )

d
  T 
T  
V ( ) 
Eq. 8
T 
 v (t )e
 jt
dt
T  
Eq. 8 gir det kontinuerlige frekvensspekteret når vi kjenner tidsfunksjonen v(t) og kalles
Fourierintegral transformasjon. Vi trenger også å kunne gå den andre veien, dvs å kunne finne
tidsfunksjonen når frekvensspekteret er kjent. Dette kalles inversfouriertransformasjon og den
noteres ofte som F-1[ V ( ) ]=v(t). I mange sammenhenger ser man at det benyttes en mer
kunstnerisk stor F med krøller og svinger.
Inverstransformasjon. Finn v(t) når V(ω) er kjent.
vi hadde at
T 
2Vn
  v(t )e j  t dt  V ( )
d
T  
og kan derfor sette at
2Vn  V ( )d
Vn 
1
V ( )d
2
Videre har vi funksjonen for Fourierserien
v(t ) 

Vn  e jn0t
n  
Her setter inn uttrykket for Vn og ω når T, bytter summetegn mot integrasjonstegn, flytter
1/2 ut og bytter rekkefølgen på eksponentialfunksjon og dω. Da får vi den etterlengtede
transformasjonen fra frekvensdomenet til tidsdomenet.
18
Lineær kretselektronikk
v (t ) 
1
2

 V ( )  e
jt
Fourieranalyse
d

V(ω)
v(t)
T
ω
t
0
Figur 10. Vi ser her aperiodisk kontinuerlig signal med sitt kontinuerlige frekvensspekter.
Eksempel: Finn frekvensspekteret til en firkantet enkeltpuls symmetrisk om t=0
v(t)
A
- /2
t
/2
t=0
Figur 11. Firkantet enkeltpuls som er symmetrisk om t=0, med varighet = og amplitude A
NB! merk at  ikke er det samme som periode tiden T
Diskuter signalet
Fordi dette er en enkeltpuls bruker vi FI og ikke FS i analysen. Fordi pulsen bare bidrar til
integralet i perioden fra t=-/2 til t=/2 trenger vi ikke integrere over uendelig tid, men kan
nøye oss med å integrere fra tidsrommet [-/2 .. /2]. Fordi funksjonen er konstant lik A over
dette intervallet kan vi sette v(t)=A,
F v (t )  V ( ) 
T 
 jt
 v(t )e dt 
T  

T  / 2
 Ae
 |
dt
T  / 2
 A  j  t  A  j  /2
e

e
 e j  / 2
j
 / 2 j
 /2
 jt

For en som er uøvet i denne formen for analyse kan det være vanskelig å komme videre. Den
øvede vil se at vi er i nærheten av noe som likner Eulers identitet utrykt ved sinus og prøve
dette.
19
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
e j  e  j
sin( ) 
2j
Hvis vi utvider med 2 oppe og nede får vi en nevner på j2. Bytter vi om på rekkefølgen av eleddene og trekker – tegnet inn i parentesen ser vi at vi har fått sinus utrykt på eksponentiell
form. Vi kan da skrive
V ( ) 


A 2  j  / 2
2A
e
 e j   / 2 
sin(  / 2)
j 2

Igjen står vi ovenfor spørsmålet:-Hva nå? Den erfarne vil se at vi er i nærheten av en sin(x)/x
funksjon, og derved prøve å få det samme uttrykket i nevner som vi har i argumentet til sinus
funksjonen. Det kan vi få hvis vi utvider uttrykket med tau og setter 2-tallet ned i sub nevner.
V ( ) 
2A

sin(  / 2) 


Eq. 9
V ( )  A
sin(  / 2)
 / 2

A
sin( x)
x
Funksjonen er reel uten noen ”forstyrrende” imaginære j ledd og vi trenger derfor ikke finne
normen, lengden, eller magnituden (kjært barn har mange navn) for å plotte
amplitudespekteret her.
Med unntak av grensen x=0 som gir sin(x)/x=1 får vi 0-punkter der sinusfunksjonen er 0
sin( x)  0 når x  0 ,  , 2 , 3 .... osv
x   / 2
sin(  / 2)  0 når   2 /  , 0, 2 /  , 4 /  .... osv
For sin(x)/x får vi de samme nullpunktene med unntak av tilfellet hvor argumentet = 0.
båndbredde
|V(ω)|
Peak=A
-6/
-4/
-2/
0
2/
20
4/
ω
6/
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Figur 12. Firkantpulsen v(t) fra Figur 11 viste seg å ha dette V(ω) frekvensspekteret. Den
stiplede linjen viser funksjonsverdien mens den heltrukne funksjonslinjen vise funksjonens
absoluttverdi. Det er absoluttverdien vi ser på når vi studerer amplitudespekteret mens vi må
se på den virkelige verdien når vi skal avgjøre fasespørsmålet. (Merk at formen avviker noe
fra en ekte sinx/x da dette er en frihåndstegning)
Båndbredden til frekvensspekteret for en firkantpuls
Båndbredden til spekteret for en firkantpuls er tilnærmet gitt ved avstanden mellom 0 og det
første 0-punktet slik at båndbredden her blir
Eq. 10
båndbredde b 
2

rad/sec
Legg merke til at båndbredden b er omvendt proporsjonal med pulsbredden . Dette betyr at
det blir større og større avstand mellom de første 0-punktene når pulsen blir kortere og kortere.
Hva med frekvensspekteret når pulsen blir uendelig kort? Hva skjer med amplituden? Dette
ser vi på når vi senere behandler Dirac deltapulser.
Definisjonen av båndbredde i denne sammenhengen er ulik den man vanligvis tenker på når
man snakker om båndbredde for et elektronisk system, et filter, en sensor eller en giver som en
høyttaler. Da er båndbredde definert som frekvensområdet der følsomheten, eller signalstyrken
ligger over -3dB linjen relativt til det høyeste punktet på kurven.
Når vi snakker om båndbredde i forbindelse med frekvensspekteret til en puls så er dette et
mer ullent begrep og ikke en entydig definisjon. For firkantpulsen over kan avstanden mellom
origo og første 0 punkt se ut til å gi en grei definisjon, men det finnes mange typer pulser som
ikke gir en så enkel sammenheng. Vi har for eksempel pulser som har sitt første 0-punkt ved
ω=0. Man må da angi skjønnsmessig et frekvensintervall som dekker tilstrekkelig mange
frekvenser til at man, når man setter disse inn i inversfouriertransformasjonen, finner tilbake
til den opprinnelige tidsfunksjonen med en rimelig grad av tilnærming.
Ett eksempel hvor hovedloben fungerer som definisjon er ekkolodd som sender ut en puls med
varighet τ. Ekkoloddmottakeren er da som oftest satt opp til å kunne motta ekko med
frekvenskomponenter innenfor grensene til hovedloben.
I blant støter man på tegninger av båndbredde hvor det ser ut som den må være det dobbelte av
det som er oppgitt i Figur 12. Den dekker da både negative og positive frekvenser. Negative
frekvenser er noe som i praksis ikke eksisterer men så lenge man spesifisere hva man mener så
er det ikke så viktig om man velger den ene eller andre måten.
Som en digresjon kan vi peke på at produktet mellom firkantpulsens båndbredde i frekvens og
varighet i tid er tilnærmet konstant ~ 2. Dette kan sies å være en parallell til Heisenbergs
usikkerhetsrelasjon innen kvantemekanikken.
21
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
  b  2
Eq. 11
Fasen til frekvensspekteret for en firkantpuls
Vi ønsker også å se på fasespekteret. Fasen kan vi delvis finne ved å bruke inverstangens.
 im V ( )  
 0 
  atan
  atan0  k
 reV ( )  
 V ( ) 
  atan
Hvor k er et heltall som gjør at vinkelen θ kan ha verdier som -2π, -π, 0, π, 2π…osv.
Vi ser at siden vi bare har realdel i V(ω), så er fasen nødt til å ligge langs den reelle aksen. For
å avgjøre om fasevektoren peker mot venstre eller høyre langs den reelle aksen, så ser vi på
fortegnet til V(ω). Fortegnet er lett å se av amplitudespekteret i Figur 12.
I området -4/ til -2/ er V(ω) negativ. Det betyr at fasen må peke til venstre i Figur 13.
I områder -2/ til 2/ er V(ω) positiv. Det betyr at fasen må peke til høyre i Figur 13
I området 2/ til 4/ er V(ω) negativ. Det betyr at fasen må peke til venstre i Figur 13.
Om fasen dreier med klokka og blir – eller om den dreier mot klokka og blir + når V(ω) går
negativt kan vi ikke se ut ifra dette, men fasespekteret er alltid antisymmetrisk1 med hensyn
til ω. Det ser vi direkte ved å skrive opp definisjonen på FS eller FI,
V ( ) 
T 
 v (t )e
 jt
dt
T  
og lar ω skifte fortegn fra pluss til minus. Da får vi samme resultat som om vi lar j skifte
fortegn fra pluss til minus, som også betyr at fasen skifter fortegn. Husk at fasen alltid er en
faktor sammen med j når man skriver det komplekse uttrykket på polar form.
V ( )  V ( ) e
j  
( Polar form. Se også Figur 13 )
Situasjonen med denne symmetriske firkantpulsen er spesiell siden e+j og e-j peker samme
vei. Pga. den generelle antisymmetrien bør det komme fram i grafen, der vi faktisk kan velge
om vi vil la fasen gå positivt i venstre plan og negativt i høyre plan eller omvendt. Begge
1
f(x)=f(-x) er en symmetrisk funksjon speilet om y-aksen, mens f(x)=-f(-x) er en antisymmetrisk funksjon speilet
om diagonalen i et xy-koordinatsystem.
22
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
løsningene vil være riktige. I det følgende har vi valgt å la fasen gå negativt for negativ ω og
positiv for positiv ω
 
4 2
..
 
2 2
   ..
 
2 4

..
 
V ( )  0
    
V ( )  0
    0
V ( )  0
    
ImV
e+j=-1
ReV
e-j=-1
ej0=0
Figur 13. Faseforskyvning med tre mulige alternativer langs reell akse
23
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
θ(ω)

-4/
-2/
2/
4/
ω
-
0
Figur 14. Faseforskyvning for V(ω)
Dirac deltapuls og Fourierintegral
Paul Adrien Maurice Dirac Født: 8 aug 1902 i Bristol, Gloucestershire, England, Død: 20 okt
1984 i Tallahassee, Florida, USA. Utdannet ved Universitetet I Geneve. Diracs
doktorgradsavhandling Quantum mechanics gav ham Ph.D. graden i 1926. I 1930 publiserte
han The principles of Quantum Mechanics. For dette arbeidet fikk han Nobel prisen i fysikk i
1933. Les mer om ham på http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/Mathematicians/Dirac.html
Dirac definerte en uendelig kort, men uendelig høy puls (t) for å løse problemer innen
kvantemekanikken. Denne går ofte under betegnelsen Delta Dirac puls eller bare Impuls.
Impulsrespons
(t) har vist seg å være en nyttig definisjon også innen lineær kretselektronikk og
signalbehandling. Hvis vi sender en tilnærming av denne pulsen inn i et ukjent analogt eller
digitalt nettverk vil responsen som vi da kaller for ”impulsrespons” beskrive nettverkets
overføringsfunksjon. Ved å studere impulsresponsen kan vi finne nettets overføringsfunksjon
og derved lage et nett som virker på samme måte som det ukjente nettet.
Digitalisering (Sampling)
En annen nyttig bruk kommer av at deltapulsen kun eksisterer i tiden t=0 og at integralet av
pulsen eller høyde * lengde =1. Multipliserer vi (t-nΔt) med et analogt signal v(t) vil vi få
digitalisert v(t) fordi produktet bare er lik v(t) når t-nΔt=0.
Fra firkantpuls til deltapuls
24
Lineær kretselektronikk
Når  blir mindre blir spekteret
bredere og omfatter flere frekvenser
0
v(t)
Fourieranalyse
A
t
(t)
0
ω
Frekvensspekter
konstant lik 1, BW=,
Hvit støy
uendelig høy
uendelig tynn
areal lik 1
0
Figur 15. Fra kort puls til Dirac deltapuls () også kalt enhets puls.
ω
Vi starter med å la en firkantpuls bli smalere og smalere inntil den blir uendelig smal. For å
unngå at det hele faller sammen til ingenting må vi samtidig la pulsens høyde A bli uendelig.
For en deltapuls gjelder følgende.
0
Arealet    (t )dt  A    1
0
Amplitudespektret finner vi ved Fourieranalyse på samme måte som vi viste for en vanlig
firkantpuls i Eq. 9, men hvor vi ser på grensetilfellet når A blir uendelig og tau går mot 0.
Det ligger i definisjonen av deltapulsen at A går mot uendelig og tau går mot null på en slik
måte at produktet eller integralet hele tiden er konstant lik 1. Da også
 sin( x ) 
lim x 0 
 1
 x 
ser vi at
sin(  / 2) 

F  (t )  lim A V ( )   lim A  A
 1
 / 2 
 0
 0 
Konklusjonen er at vi får et amplitudespekter som er konstant =1 for alle frekvenser. Skal vi
gjenskape en deltapuls kan dette kun gjøres ved å ta med like mye av uendelig mange
frekvenser.
Hvit støy og synthesizere
Lyd beskrives ofte ved hjelp av farger av musikere og folk som arbeider med synthesizere. En
saksofon har en rød klang, mens sus og støy har farger som grå og hvit. Hvit støy har sin
parallell i hvitt lys som består av alle frekvenser. Frekvensspekteret til en deltapuls har like
25
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
mye av alle frekvenser og gir derfor et hvitt frekvensspekter. Hvite støygeneratorer er mye
brukt i synthesizere da de inneholder alt som trengs av frekvenser. Ved å koble inn ulike filtre
kan man skape en mengde forskjellige klanger og toner.
Hvit støy
generator
Filter 1
Filter 2
:
Filter n
Volum
kontroll
Syntetisk
lyd
Attack, Decay
Sustain, Release
Figur 16. Syntese av lyd basert på frekvensspekteret til en delta Dirac puls.
Hvert filter i Figur 16 kan plukke ut den tonen man ønsker å høre fra hver tangent på et
keyboard. Man kan også blande resultatet fra flere filtre og la disse varier styrke og frekvens i
løpet av hvert tone forløp for å konstruere interessante instrumentklanger.
Det er nyttig å kjenne til Fourier Transformasjonens egenskaper da disse kan hjelpe oss til å
forenkle utregningene. Egenskapene går igjen i andre grener som Laplacetransformasjon og
mange andre steder.
Noen egenskaper ved transformasjon med Fourierintegraler
Linearitet
Linearitetsprinsippet for en Fourier Transformasjon innebærer at transformasjonen til en sum
av to signaler tilsvarer summen av deres Fourier Transformer.
Hvis vi har c1v1 (t )  c2 v2 (t ) så kan vi skrive transformasjonen som c1V1 ( )  c2V2 ( )
Eller med annen notasjon:
F c1v1 (t )  c2 v2 (t )  F c1v1 (t )  F c2 v2 (t )  c1V1 ()  c2V2 ()
Dette er nyttig da det tillater oss å dele opp vanskelige funksjoner og så transformere dem hver
for seg. Husk at alle funksjoner kan deles opp i en sum av odde og like symmetriske
funksjoner og at dette kan forenkle Fourieranalysen fordi vi da får ut rent reelle eller rent
imaginære verdier.
Tidsforskyvning
26
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
v1(t)
τ/2
-τ/2
V1(ω)
t
v2(t-d)
d
V2(ω)= V1(ω)e-jωd
t
τ/2
v3(t- τ/2)
)
V3(ω)= V1(ω)e-j ωτ/2
t
τ
Figur 17. Forsinkelse i tid fører til faseendring i frekvens.
Hva betyr dette for frekvensspekteret og hvordan kan vi analysere tidsforsinkede signaler? Vi
skal først repetere analysen av v1(t). Denne er ikke forsinket. Det innebærer at den er
symmetrisk om tiden t=0. På grunn av symmetri vil vi forvente en reel funksjon i
frekvensspekteret.
V1 ( ) 
T 
 v (t )e
 jt
 /2
dt 
T  
 Ae

 jt
dt  
 /2
A  j  / 2
A sin   / 2
e
 e  j  / 2 
j
  / 2


Vi skal nå se på v2(t) som er forskjøvet i tid. Denne er verken rent symmetrisk eller
antisymmetrisk om tiden t=0 og vi må forvente et svar med både reelle og komplekse
elementer. Vi kan gjøre analysen på to måter. Enten behandler vi v(t) med tidsforskjøvet
grenser eller vi analyserer v(t-d).
Vi skal vise begge deler og starter med å tidsforskyve grensene. Underveis benytter vi at
e j  / 2d   e j  / 2  e jd
Vi har
V2 ( ) 
T 
 v (t )e
T  
 jt
 / 2 d
dt 
 v (t )e

 jt
|
( / 2d )
 / 2 d
Sette vi nå inn grensene får vi
A  j  / 2d 
V2 ( )  
e
 e  j  / 2d 
j

dt 
 / 2 d

27

A
j
e j  t
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk


A  j  / 2  j d
e
e
 e j  / 2e j d
j
A  j  / 2  j  / 2  j d

e
e
e
j
A2 1  j  / 2

e
 e  j  / 2  e  j d
 j2
A sin  / 2   j d

e
  / 2





Vi skiller e leddene
og trekker ut e j d
Så utvider vi med 2 for å kunne omskrive til
sinus med Eulers identitet.
Vi setter inn sinus og stokker om for å se at
dette er en sin(x)/x funksjon
 V1()e j d
Så ser vi at dette likner på V1(ω) med unntak
av faseleddet e j d
Eq. 12 Fouriertransformasjon av en forsinket firkantpuls
En alternativ måte å analysere v(t) på er ved å se på v(t-d) direkte. Da trenger vi et par triks.
1  e j 0  e j (d d )  e jd  e  jd
Dette er nyttig da vi alltid kan multiplisere med 1 der vi måtte ønske. Vi skal bruker trikset til
å skille ut forsinkelsen d
Vi definerer også t '  t  d
V2 ( ) 

 v (t  d )e
 jt
dt





 j  d  j dt  j  t
 v(t  d ) e e e dt
Først bruker vi triks 1: e j  d e j dt  1



 j d  jt
 j d
 v(t  d )e e dt  e
så flytter vi ut e  j d some r uavhengig av t



 j  t  d 
dt  e  j d
 v (t  d )  e
Deretter trekker vi sammen e  j  d e  j  t

 /2


 j  t'
 j d
 v(t ' )  e dt 'e
 / 2
 /2
|
 / 2

A  j  t'
e
dt
j
Og substituerer t-d=t’ og definerer grenser for
t’
Vi integrerer
28
Lineær kretselektronikk

Fourieranalyse

A  j  / 2  j  / 2  j d
e
e
e
j
A 2  j  / 2  j  / 2  j d

e
e
e
 2j
A sin  / 2   j d

e
  / 2



Og setter inn grensene
Så trekker vi inn fortegn og utvider med 2 for å
se at dette er en sinus
Setter så inn sinus og ordner utrykket så vi ser
at vi får en sin(x)/x funksjon
Til slutt ser vi også denne gangen at dette likner
V2  V1()e j d
på V1(ω) med unntak av faseleddet e j d
Eq. 13 Fouriertransformasjon av en forsinket firkantpuls, alternativ metode
Fase ved tidsforskyvning
Fra tidligere husker vi at fasen for V1(ω) pekte langs den reelle aksen fordi V1(ω) var reel. Vi
husker også at denne fasen vekslet mellom 0, π og –π avhengig av verdien til V1(ω) og
fortegnet til ω. Skriver vi V1(ω) og V2(ω) på polar form ser vi klarerer likheten i
amplitudespekteret og forskjellen i fasespekteret.
V1 ( )  V1 ( ) e j  
V2 ( )  V1 ( ) e j  e  jd  V1 ( ) e j   d 
Ved forsinkelse i tidsdomenet gir Fourier Transformasjonen ett ekstra faseledd i
frekvensdomenet som i tillegg til de konstante verdiene 0, π og –π vil variere med produktet
ωd.
Oppsummering om tidsforskyvning
Vi kunne finne frekvensspekteret til en tidsforskjøvet tidsfunksjon på to ulike måter, enten ved
å forskyve grensene eller ved å forskyve funksjonen selv.
Vi så at når en tidsfunksjon blir forskjøvet i tid førte dette til:


Amplitudespekteret ble ikke endret.
Fasen ble endret og fikk et tillegg som varierte med produktet mellom
vinkelfrekvensen og tidsforsinkelsen.
1.1.1.a Folding
Linearitet:
29
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Diskret Tid Fourier Transform DTFT
Vi tar også for ordens skyld med den samme transformasjonen for digitale systemer. Har vi en
analog puls som vi vil transformere med Fourierintegral analyse (FI) så kan punkter langs
denne kurven tallfestes og lagres i en tabell (array) v[k] som så kan transformeres med
formelen
F v(k )  V (e j  ) 

 v ( k )e
 j   k
k  
30
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Argumentet ejθ er som vanlig en enhetsvektor på enhetssirkelen hvor θ=t0ω. Vi kunne benyttet
en mindre kryptisk variabel, men det er vanlig å skrive dette slik. Grunnen er at man ønsker å
understreke at V her bare kan ha verdier langs en sirkel med radius 1. I stedet for en uendelig
lang rett ω akse har vi nå funksjonsverdier langs en sirkelbue. Det er selvfølgelig mulig å
tegne denne buen som en rett linje, men man må da ikke glemme at når ω har løpt fra - π til +
π så vil det hele gjenta seg identisk. Når vi utfører en DTFT av en diskret puls får vi et
kontinuerlig frekvensspekter, men i motsetning til spekteret fra et Fourierintegralet blir dette
spekteret nå periodisk.
Når vi senere skal behandle Laplacetransformasjoner vil vi se at det også her finnes en diskret
transformasjon. Denne kalles Z-transformasjon og er en utvidelse av DTFT fra løsninger på
enhetssirkelen til hele planet.
Men summasjonen i DTFT går jo mot uendelig? Kan vi få noe ut av dette i praksis når en
datamaskiner ikke kan håndtere uendelig mange tall?
Ja det viser seg i mange tilfeller at uttrykket over gir geometrisk rekker som konvergerer mot
et fast endelig uttrykk. Det eneste en datamaskin kan håndtere er Diskret Fourier Transform
(DFT). Vi kan imidlertid bruke DTFT i analyse og syntese (konstruksjon) av digitale
systemer.
Et eksempel på dette er syntese av filtre. Vi kan tegne det ønskede passbåndet i
frekvensdomenet, digitalisere dette og bruke invers DTFT for å finne en diskret tidsfunksjon
som vi så kan bruke til å filtrere digitale signaler med.
Eksempel: Analyse av en kort sinussekvens
Signalet i Figur 18 består av en kort sekvens av sinussvingninger.
v(t)=A sin(ω0t) for t =[-/2.. /2] og 0 ellers
t
-/2
/2
Figur 18. Puls bestående av fem sinus svingninger
Gitt et signal v(t )  A  sin 0t  med varighet
31
Fourieranalyse
  nT0 
Lineær kretselektronikk
n 2
hvor T0 er periodetiden til en enkelt av sinussvingningene.
0
hvor n beskriver antall perioder.
Diskuter signalet og oppgaven ut fra følgende momenter:
a) Hva kan man si om symmetri?
b) Hvilken analyse bør man benytte?
c) Vil vi forvente et kontinuerlig eller diskret frekvensspekter. Begrunn svaret.
d) Hvilke frekvenskomponenter forventer vi å finne?
e) Hva er det som genererer disse?
f) Finn amplitude- og fasespekteret.
Løsningsforslag for analyse av en kort sinussekvens
Diskuterer signalet
Er dette signalet periodisk? Ja det er periodisk, men bare for en kort stund. Ser vi på signalet
over tid er det klart at det ikke kommer flere sekvenser enn denne ene. Vi kan betrakte det som
produktet mellom utgangen på en sinus generator og en firkantpuls med amplitude lik 1 og
varighet lik  slik vi ser i Figur 19.

t
-/2
/2
Figur 19. Eksempel på kort sinus sekvens
Da vi har med en enkelt puls å gjøre, ser vi at vi ikke kan benytte Fourierserie analyse (FS),
men at vi må velge en analysetype som kan håndter enkeltpulser. Vi velger derfor å benytte
Fourierintegral analyse (FI). Laplacetransformasjon kan også finne frekvensspekter for slike
pulser og kunne vert valgt. Vi merker oss videre at siden tidssignalet er aperiodisk, så må vi
regne med å få et kontinuerlig frekvensspekter.
Symmetri:
Vi kan alltid skrive v(t)=-v(-t). Dette betyr at signalet må være antisymmetrisk både innenfor
det området hvor vi har sinus og ellers. Vi må derfor forvente at frekvensspekteret bare vil
inneholde imaginære komponenter.
32
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Vi starter løsningen ved å sette signalet inn i definisjonen for FI
V ( )   v(t )e  jt dt   A sin(0 t )e  jt dt


Legg merke til at vi her både får ω0 og ω i uttrykket og at vi både har to funksjoner, en
trigonometrisk og en eksponentiell i integralet. På grunn av de to funksjonene ville vi normalt
testet om vi kunne bruke delvis integrasjon på en slik måte at integralvariabelen t ble borte i en
av funksjonene. Det går ikke her. Vi må derfor forsøke å skrive om uttrykkene og forenkle
dem til noe som kan integreres. Metoden å gjøre det på er enten å skrive om
eksponentialleddet til et trigonometrisk ledd eller å skrive om det trigonometriske leddet til et
eksponentialledd. Vi velger her den siste metoden da eksponentialledd ofte er lettere å
håndtere.
Vi har sin(0t ) 


1  j0t
e
 e  j0t fra Eulers identitet
2j
Som vi setter inn for sinus slik at vi får
V ( )  


A  j0t
e
 e  j0t e  jt dt
2j
Neste skritt blir å trekke det eksponentialleddet som står utenfor, inn i uttrykket fra sinusleddet
V ( ) 



A
e  j0t e  jt  e  j0t e  jt dt

2j


A
e  j (0  )t  e  j (0  ) t dt

2j
Siden v(t)=0 for alle verdier utenfor området [-τ/2.. τ/2] så kan vi sette inn dette som grenser.
Vi kan også dele opp integralet i to enklere integraler. Vi får da
 /2
 /2

A
 j (0  ) t
V ( ) 
dt   e  j (0  )t dt 
 e
2 j  / 2
 / 2

Disse to utrykkene er enkle å integrere når vi kan reglene for integrasjon av eksponenter.
V ( ) 
 / 2  j (0  ) t
 / 2  j (0  ) t 
A
e
e

|
 |

2 j  / 2 j (0   )  / 2 j(0   ) 
33
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Setter vi nå inn grensene får vi
V ( ) 
A  e  j (0  ) / 2 e  j (0  ) / 2


2 j  j ( 0   )
j ( 0   )
  e  j (0  ) / 2 e  j (0  ) / 2
  

j ( 0   )
  j ( 0   )



For å lette skrivingen definerer vi x og y
x  (0   ) / 2
y  (0   ) / 2
Vi stokker vi litt om på leddene for å se om vi kan omskrive utrykket med Eulers identitet.
 e  jx  e  jx
A
1


j  ( 0   ) 
2j
V ( ) 

  e  jy  e  jy
1
 

2j
 ( 0   ) 



Og ser vi at vi kan bruke Eulers indentitet for sinus
Når vi gjør det og setter inn for x og y så ser ikke utrykket så galt ut.
V ( ) 
A
1
sinx 

j  ( 0   )

1

( 0   )
sin y 

Vi undersøker nå om vi kan bruke sinuscardinal. Det kan vi om vi utvider med τ/2
V ( ) 

A 1  /2
sin x 

j  ( 0   )  / 2
A  sinx 
j  2 x



1
 /2
sin y 
( 0   )  / 2

 sin  y 
2 y 
Vi setter inn sinuscardial og trekker ut det som er felles. I tillegg utvider vi med j for å få j
opp i teller.
jA
sinc( x)  sinc( y)
V ( )  
2
34
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Dette er et utrykk som består av to sin(x)/x funksjoner som er forskjøvet i hver sin retning. Vi
ser også at utrykket bare har imaginære komponenter ved at hele utrykket er multiplisert med
den komplekse enhetsvektoren j. Dette stemmer med det vi forventet innledningsvis under
symmetribetraktningene.
Hvis vi nå setter inn  
x  (0   )

2

n 2

så får vi en funksjon utrykt ved frekvens og antall perioder
0
(0   )
n
0
y  (0   )

2

(0   )
n
0
Som innsatt gir:
V ( )  
jAn   
n 
sinc (   ) 
 
 0   0
0

n
 sinc ( 0   )
0




Amplituden til V(ω)
Siden hele funksjonen bare har en imaginær del og ingen reelle komponenter så svinger
funksjonen langs j-aksen. Lengden til funksjonen blir da lik funksjonen selv:
V ( ) 
An  
n 
sinc (   ) 
 
0   0
0

n 

 sinc (0   )


0 

Vi får 0-punkter når sinc(x)=sinc(y), men overlater til leseren å jobbe videre med dette. Selv
har jeg satt funksjonen inn i et regneark og fått dette til å tegne amplitudefunksjonen for ulike
verdier av ω0, og n
Fasen til V(ω)
Fase betyr retningen eller vinkelen til V. Vi ser av utrykket for V at denne bare har imaginære
komponenter. Dvs. at V bare peker langs den komplekse j-aksen. Retningen opp eller ned vil
være avhengig fortegnene som dannes av sink funksjonene. Et plot av fasen vil se ut som et
digitalt signal hvor vi bare kan ha verdiene +1 og -1.
35
Fourieranalyse
Lineær kretselektronikk
Im
V(ω)=0+jb
Re
V(ω)=0-jb
Figur 20. Vi ser her hvordan V(ω) bare kan peke langs den imaginære aksen fordi vi ikke har
noen realdel i vektoren V(ω).
Amplitude
Fase
0.07
1.5
0.06
1
0.05
0.5
0.04
0
0.03
-1400.00
0.02
-900.00
-400.00
100.00
600.00
1100.00
600.00
1100.00
-0.5
0.01
-1
0
-1400.00
-900.00
-400.00
100.00
600.00
1100.00
-1.5
Amplitude
Fase
0.14
1.5
0.12
1
0.1
0.5
0.08
0
0.06
-1400.00
0.04
-900.00
-400.00
100.00
-0.5
0.02
-1
0
-1400.00
-900.00
-400.00
100.00
600.00
1100.00
-1.5
36
Lineær kretselektronikk
Fourieranalyse
Amplitude
Fase
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-1400.00
-900.00
-400.00
1.5
1
0.5
0
-1400.00
-900.00
-400.00
100.00
600.00
1100.00
-0.5
-1
100.00
600.00
1100.00
-1.5
Figur 21. Plot av amplitude og fase til frekvensspekteret V(ω) for n=1 øverst, n=2, midten og
n=3 nederst. ω0=50 rad/sec
37