ד״ר רבייב דניאל (מעודכן לתאריך 10/11/16)

‫חדו"א ‪1‬מ' )‪ (104018‬־ חורף תשע"ז‬
‫הרצאות‬
‫ד"ר רבייב דניאל‬
‫‪ 17‬בנובמבר ‪2016‬‬
‫קובץ ההרצאות הנ"ל מפורסם לשימוש הסטודנטים אך יש לציין כי חומר הקורס המלא הוא הנלמד בהרצאות בפועל‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ההרצאות נכתבות מידי שבוע ולפיכך ייתכנו טעויות דפוס‪ .‬אתם מוזמנים לעדכן אותי בכל טעות אפשרית‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.1‬‬
‫מטרת הקורס‪/‬נושאים מרכזיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.2‬‬
‫קבוצות‪ ,‬כמתים וסימונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.3‬‬
‫לוגיקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.4‬‬
‫קבוצות של מספרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1.5‬‬
‫הערך המוחלט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.6‬‬
‫אי־שיוויונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.7‬‬
‫אקסיומות‪/‬הגדרות‪/‬משפטים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1.8‬‬
‫שיטות הוכחה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9‬‬
‫פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הגדרות ותכונות בסיסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2.2‬‬
‫פעולות על פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2.3‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3‬‬
‫קבוצות חסומות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫גבולות של פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.1‬‬
‫הגדרת הגבול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪4.2‬‬
‫תכונות בסיסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪22‬‬
‫‪4.3‬‬
‫אריתמטיקה של גבולות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪4.4‬‬
‫גבולות מוכללים )גבול במובן הרחב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪4.5‬‬
‫אי־קיום הגבול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31‬‬
‫‪4.6‬‬
‫גבולות חד־צדדיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪33‬‬
‫סדרות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הגדרת הגבול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪6‬‬
‫‪5.2‬‬
‫תכונות בסיסיות ואריתמטיקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪41‬‬
‫‪5.3‬‬
‫סדרות מונוטוניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪44‬‬
‫‪5.4‬‬
‫תת־סדרות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪5.5‬‬
‫משפט היינה ־ הקשר בין סדרות לפונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪47‬‬
‫פונקציות רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪47‬‬
‫‪6.1‬‬
‫הגדרה ותכונות בסיסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪47‬‬
‫‪6.2‬‬
‫מיון נקודות אי־רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫מבוא‬
‫מטרת הקורס‪/‬נושאים מרכזיים‬
‫• מושג הגבול‪ :‬שימושים ראשונים במאה ה־‪ 17‬ע"י ניוטון אך רק קושי במאה ה־‪ 19‬ייסד את ההגדרה הפורמלית‬
‫של מושג הגבול‪ .‬הרעיון הוא שאפשר להיות "קרובים כרצוננו" לערך מסויים בהינתן קיום תנאי בסיס‪ .‬מושג‬
‫זה חשוב לצורך הגדרה פורמלית וחישובים‪ .‬מושג הגבול יופיע בכל נושא של הקורס‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נתבונן בסדרת המספרים הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, ...‬‬
‫‪1, 21 , 13 , ..., 100‬‬
‫האיבר הכללי הוא ‪ , n1‬כאשר ‪ .n ∈ N‬ברור כי ככל ש־‪ n‬גדל‪,‬‬
‫פעם לא "מגיעים" לאפס‪ .‬לתופעה זו קוראים שאיפה לאפס‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫מתקרב לאפס‪ .‬עם זאת‪ ,‬אברי הסדרה אף‬
‫‪ .2‬נסמן ‪ .f (x) = x‬כאשר ‪ x‬שואף לערך ממשי ‪ ,x0‬ברור כי ערכי הפונקציה שואפים ל־) ‪.f (x0‬‬
‫• מושג הרציפות‪ :‬רציפות או אי־רציפות קשור לקיום הגבול בערכים בתחום ההגדרה של הפונקציה ובתנאי‬
‫שערך הגבול שווה לערך בו הפונקציה מוגדרת‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬נסמן‪:‬‬
‫‪x 6= 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫כאשר איקס שואף לאפס‪ ,‬ערכי הפונקציה שואפים ל־‪ .f (0) = 0‬אך כאשר איקס שואף לאחד‪ ,‬ערכי הפונקציה‬
‫שואפים לאחד ולא ל־‪.f (1) = 7‬‬
‫• מושג הנגזרת‪ :‬נגזרת של פונקציה ממשית )‪ f (x‬בנקודה ‪ x0‬היא קצב השינוי בערכי הפונקציה בסביבת ‪,x0‬‬
‫כלומר‪ ,‬מחשבים את היחס הבא‪:‬‬
‫) ‪f (x)−f (x0‬‬
‫‪x−x0‬‬
‫עבור ערכי ‪ x‬אשר "שואפים" ל־ ‪.x0‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫מטרת הקורס‪/‬נושאים מרכזיים‬
‫‪) .1‬פיזיקה( חלקיק נע על קו ישר כאשר מהירותו אינה קבועה‪ .‬נסמן ב־)‪ s(t‬את מיקום החלקיק בזמן ‪.t > 0‬‬
‫נקבע נקודה ‪ a‬על הישר ונבחין כי )‪ s(t) − s(a‬הוא ההעתק ‪ 1‬והיחס‬
‫)‪s(t)−s(a‬‬
‫‪t−a‬‬
‫נותן את המהירות הממוצעת בפרק זמן זה‪ .‬כאשר "נשאיף" את ‪ t‬ל־‪ ,a‬המהירות הממוצעת "תשאף" למהירות‬
‫הרגעית בזמן ‪.a‬‬
‫אם נסמן ב־)‪ v(t‬את מהירות החלקיק בזמן ‪ t‬אז היחס‪:‬‬
‫)‪v(t)−v(a‬‬
‫‪t−a‬‬
‫מתאר את התאוצה הממוצעת של החלקיק בפרק הזמן בין ‪ a‬ל־‪ ,t‬ושוב‪ ,‬אם "נשאיף" את ‪ t‬ל־‪ a‬נקבל "תאוצה‬
‫רגעית"‪.‬‬
‫‪) .2‬כלכלה( נניח כי )‪ f (x‬מתארת את עלות היצור של ‪ x‬יחידות של מוצר מסויים‪ .‬אם נקח ‪ h > 0‬נקבל אי‬
‫)‪ f (a + h) − f (a‬מתאר את עלות היצור של ‪ h‬יחידות מוצר ‪ ,2‬היחס‪:‬‬
‫)‪f (a+h)−f (a‬‬
‫‪h‬‬
‫מתאר את העלת הממוצעת של מוצר יחיד כאשר מעלים את כמות היצור מ־‪ a‬יחידות ל־‪ a + h‬יחידות‪.‬‬
‫כאשר נשאיף את ‪ h‬לאפס‪ ,‬נקבל את העלות השולית‪ ,‬כלומר את העלות של יחידת מוצר כאשר נמצאים‬
‫ברמת יצור של ‪ a‬יחידות‪.‬‬
‫‪) .3‬חקירת פונקציה( אם )‪ f (x‬פונקציה אז בנקודה ‪ a‬היחס‪:‬‬
‫)‪f (a+h)−f (a‬‬
‫‪h‬‬
‫מתאר את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות המתאימת בגרף‪ .‬אם "משאיפים" את ‪ h‬לאפס אז מקבלים‬
‫את השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪ .a‬מכאן נקבל כי הנגזרת מסייעת לגלות תחומי עליה‪/‬ירידה‬
‫של הפונקציה‪ ,‬נקודות קיצון וכו'‪.‬‬
‫• האינטגרל‪ :‬נניח כי רוצים לחשב שטח מתחת לגרף של פונקציה אי־שלילית )‪ .f (x‬נקרב את השטח ע"י‬
‫מלבנים עם בסיס על ציר ‪ x‬אשר מגיעים בדיוק עד גרף הפונקציה‪ .‬אם נחשב את שטח המלבנים ונסכום‪,‬‬
‫נקבל קירוב של השטח הרצוי‪ .‬ברור שככל שנקטין את בסיס המלבנים נקבל קירוב טוב יותר לשטח הכלוא‪.‬‬
‫התהליך של "השאפת" אורך הבסיס של המלבנים לאפס הוא שוב תהליך גבולי‪.‬‬
‫‪1‬כלומר‪ ,‬המרחק שהחלקיק עבר בין זמן ‪ a‬לזמן ‪.t‬‬
‫‪2‬כאשר מעלים את היצור מ־‪ a‬יחידות ל־‪ a + h‬יחידות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫קבוצות‪ ,‬כמתים וסימונים‬
‫קבוצות‪ ,‬כמתים וסימונים‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬קבוצה היא אוסף של איברים‪ .‬נהוג לסמן את שם הקבוצה באותיות לטיניות גדולות ואת אברי הקבוצה‬
‫בין סוגריים מסולסלים‪ .‬ניתן גם לרשום קבוצה באופן הבא‪:‬‬
‫} תנאי שייכות לקבוצה | איבר כללי { = ‪A‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.A = {1, 2, 3} .1‬‬
‫‪.B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ...} .2‬‬
‫סימונים חשובים להמשך הקורס‪:‬‬
‫סימון‬
‫דוגמה‬
‫שייך‬
‫∈‬
‫}‪3 ∈ A = {1, 2, 3‬‬
‫לכל‬
‫∀‬
‫‪∀x ∈ A = {1, 2, 3} , x < 10‬‬
‫קיים‬
‫∃‬
‫‪∃x ∈ A = {1, 2, 3} , x < 2‬‬
‫שלילה‬
‫¬‬
‫‪¬∀ = ∃ , ¬∃ =6 ∃ = ∀,‬‬
‫הכלה‬
‫⊆‬
‫סכומים‬
‫‪P‬‬
‫)איבר כללי(‬
‫}‪{2, 4} ⊆ B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ...‬‬
‫}‪A = {1, 2, 3} * B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ...‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪1.3‬‬
‫לוגיקה‬
‫אם ‪ A‬ו־‪ B‬טענות כך שטענה ‪ A‬גוררת קיום של טענה ‪ B‬אז מסמנים‪:‬‬
‫‪A⇒B‬‬
‫אם טענה ‪ A‬גוררת טענה ‪ B‬וטענה ‪ B‬גוררת טענה ‪ A‬אז אומרים שהטענות שקולות ומסמנים‪:‬‬
‫‪A⇔B‬‬
‫שלילה לוגית‪:‬‬
‫‪A⇒B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪¬A ⇐ ¬B‬‬
‫דוגמה‪" :‬יורד גשם ⇐ יש עננים" שקול לוגית ל‪" :‬אין עננים ⇐ לא יורד גשם"‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫קבוצות של מספרים‬
‫קבוצות של מספרים‬
‫קבוצות המספרים הסטנדרטיות הן‪:‬‬
‫• המספרים הטבעיים‪:‬‬
‫}‪N = {1, 2, 3, ...‬‬
‫• המספרים השלמים‪:‬‬
‫}‪Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...‬‬
‫• המספרים הרציונליים‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪| m ∈ Z, n ∈ N‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪Q‬‬
‫• המספרים הממשיים מסומנים ב־‪ R‬והם מכילים את כל המספרים המוכרים‪.‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪N⊆Z⊆Q⊆R‬‬
‫קטעים‪:‬‬
‫}‪= {x ∈ R | a < x < b‬‬
‫)‪(a, b‬‬
‫}‪= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b‬‬
‫]‪[a, b‬‬
‫}‪= {x ∈ R | a ≤ x < b‬‬
‫)‪[a, b‬‬
‫}‪= {x ∈ R | a < x‬‬
‫)∞ ‪(a,‬‬
‫}‪= {x ∈ R | a ≤ x‬‬
‫)∞ ‪[a,‬‬
‫}‪(−∞, a) = {x ∈ R | a > x‬‬
‫}‪(−∞, a] = {x ∈ R | a ≥ x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪1.5‬‬
‫הערך המוחלט‬
‫קטע פתוח המכיל ערך ממשי ‪ ,a ∈ R‬נקרא סביבה של ‪ .a‬נקודה ‪ a‬בקטע ‪ I‬היא נקודה פנימית של ‪ I‬אם‬
‫קיימת ל־‪ a‬סביבה המוכלת ב־‪ .I‬נדגיש כי נקודת קצה של קטע היא בהכרח לא נקודה פנימית‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬הקטעים )‪ (a − 5, a + 22), (a − 1, a + 1‬הם סביבות של ‪ .a‬אם ]‪ I = [a − 10, a + 10‬אז ‪ a‬היא‬
‫נקודה פנימית של ‪ I‬אך ‪ a + 10‬לא נקודה פנימית‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫הערך המוחלט‬
‫נגדיר פונקציה‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−x‬‬
‫= |‪|x‬‬
‫המשמעות הגיאומטרית של |‪ |x‬היא המרחק של ‪ x‬מהראשית )באופן כללי‪ ,‬המרחק של ‪ a‬מ־‪ x‬הוא |‪.(|x − a‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫• ‪ |x| ≤ a‬אם ורק אם ‪.−a ≤ x ≤ a‬‬
‫• ‪ |x| ≥ a‬אם ורק אם ‪ x ≥ a‬או ‪.x ≤ −a‬‬
‫דוגמה‪) :‬סביבה של נקודה( יהא ‪ .δ > 0‬כל האיקסים אשר קרובים ל־‪ a‬עד כדי ‪ δ‬מקיימים ‪ .|x − a| < δ‬או‬
‫באופן שקול‪:‬‬
‫‪|x − a| < δ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪−δ < x − a < δ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪a−δ <x<δ+a‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪x ∈ (a − δ, a + δ‬‬
‫‪1.6‬‬
‫אי־שיוויונים‬
‫טענה ‪) 1.2‬כללים בסיסיים( יהיו ‪a, b, c, d ∈ R‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ a < b‬ו־ ‪ c > 0‬אז ‪.ac < bc‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a < b‬ו־ ‪ c < 0‬אז ‪.ac > bc‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ a ≤ b‬ו־ ‪ c ≤ d‬אז ‪.a + c ≤ b + d‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.7‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫אקסיומות‪/‬הגדרות‪/‬משפטים‬
‫‪ .4‬אי־שיוויון המשולש‪.||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| :‬‬
‫הוכחה‪) :‬אי־שיוויון המשולש( נוכיח את המקרה |‪ .|a + b| ≤ |a| + |b‬מההגדרה ברור כי‬
‫|‪−|a| ≤ a ≤ |a‬‬
‫|‪−|b| ≤ b ≤ |b‬‬
‫נחבר את אי־השיוויונים ונקבל‪:‬‬
‫|‪−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫יתר המקרים‪ ,‬משיקולים דומים‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.3‬חיסור אי־שיוויונים אסור‪ .‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪10 ≤ 30‬‬
‫‪2 ≤ 29‬‬
‫אבל‬
‫‪10 − 2 30 − 29‬‬
‫מה עושים? כופלים את אי־השיוויון המתאים ב־‪ −1‬ומחברים‪.‬‬
‫‪1.7‬‬
‫אקסיומות‪/‬הגדרות‪/‬משפטים‬
‫• אקסיומה‪ :‬חוק מתמטי שאנו מניחים את נכונותו ואין באפשרותינו להוכיח אותו‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬חילופיות חיבור של מספרים ממשיים‪.‬‬
‫• הגדרה‪ :‬מתן שם‪/‬סימון לאובייקט‪/‬תכונה מתמטית‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫– מספר טבעי הוא איבר בקבוצה ‪.N‬‬
‫– מספר זוגי הוא איבר ‪ n‬בקבוצה ‪ Z‬עבורו קיים ‪ m ∈ Z‬כך ש‪.n = 2m :‬‬
‫• משפט‪ :‬אמירה המצביעה על קשר )חשוב( בין עצמים‪ ,‬מושגים או תכונות מתמטיות‪ .‬משפט מתחיל בהנחות‪,‬‬
‫ומסתיים בתוצאות‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬יהיו ‪ ,a < b ∈ R‬אז קיים ‪ c ∈ R‬המקיים )‪.c ∈ (a, b‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪1.8‬‬
‫שיטות הוכחה‬
‫• משפט הפוך‪ :‬החלפה בין התוצאה להנחה‪ .‬המשפט ההפוך לא בהכרח נכון )גם כאשר המשפט הנתון נכון(‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בהינתן המשפט‪" :‬אם ‪ a, b‬מספרים שלמים אז ‪ a + b‬מספר שלם"‪ ,‬המשפט ההפוך הוא‪" :‬אם ‪a + b‬‬
‫מספר שלם אז ‪ a, b‬מספרים שלמים"‪.‬‬
‫• שקילות‪) :‬או אפיון( אם משפט והמשפט ההפוך נכונים אז אומרים שהטענות שקולות‪ .‬אם ‪ A‬ו־‪ B‬הן טענות‬
‫שקולות‪ ,‬אז נהוג לסמן ‪ A ⇐⇒ B‬או ‪ A‬אם ורק אם ‪.B‬‬
‫דוגמה‪ k :‬מספר שלם וזוגי אם ורק אם ‪ k2‬מספר שלם‪.‬‬
‫• משפט נגדי‪ :‬שלילה לוגית של משפט נתון‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בהינתן המשפט‪ ,"∀a > 0, |x| < a ⇒ x = 0 " :‬השלילה הלוגית היא‪.x 6= 0 ⇒ ∃a > 0, |x| > a" :‬‬
‫• טענה‪/‬למה‪ :‬בדומה למשפט רק בעל חשיבות פחות מרכזית‪ ,‬בד"כ כלי עזר להוכחת משפט‪.‬‬
‫• הוכחה‪ :‬מראים כי המסקנה הרצויה מתקיימת כאשר מתחילים בהנחות הנתונות ובהסתמך על אקסיומות‪,‬‬
‫הגדרות‪ ,‬טענות ומשפטים‪ .‬יש מספר שיטות הוכחה שנראה בקרוב‪.‬‬
‫‪1.8‬‬
‫שיטות הוכחה‬
‫• הוכחה ישירה‪ :‬שימוש ישיר בהנחות לצורך קבלת המסקנה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬יהא ‪ .n ∈ Z‬אם ‪ n‬זוגי אז ‪ n2‬זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הגדרה‪ ,‬קיים ‪ m ∈ Z‬כל שמתקיים ‪ .n = 2m‬כעת‪:‬‬
‫) ‪n2 = (2m)2 = 4m2 = 2(2m2‬‬
‫מסגירות לכפל נובע כי ‪ 2m2 ∈ Z‬ולכן‪ ,‬לפי הגדרה ) ‪ 2(2m2‬הוא מספר זוגי וסיימנו‪.‬‬
‫• הוכחה נגדית )שלילה לוגית(‪ :‬להוכיח בדרך ישירה את השלילה הלוגית של המשפט‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬יהא ‪ .n ∈ Z‬אם ‪ n2‬אי־זוגי אז ‪ n‬אי־זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬השלילה הלוגית של הטענה היא‪" :‬יהא ‪ .n ∈ Z‬אם ‪ n‬זוגי אז ‪ n2‬זוגי"‪ .‬את הטענה הזאת הוכחנו‬
‫בדוגמה הקודמת‪.‬‬
‫• הוכחה על דרך השלילה‪ :‬מניחים כי התוצאה לא נכונה ובעזרת ההנחות מגיעים לסתירה )כלומר מקבלים כי‬
‫אחת ההנחות לא מתקיימת או שעובדה מתמטת ידועה "לא נכונה"(‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫– אם לכל ‪ a > 0‬מתקיים ‪ |x| < a‬אז ‪.x = 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי לכל ‪ a > 0‬מתקיים ‪ |x| < a‬אבל ‪ .x 6= 0‬נבחר |‪ a = |x‬ונקבל כי‪:‬‬
‫|‪|x| < a = |x‬‬
‫וזאת סתירה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪1.8‬‬
‫שיטות הוכחה‬
‫√‬
‫∈‪. 2‬‬
‫– ‪/Q‬‬
‫הערה‪ :‬האם אכן קיים מספר כזה? כן‪ ,‬נפעיל את משפט פיתגורס על משולש ישר זווית עם ניצבים‬
‫√‬
‫באורך ‪ 1‬ואז אורך היתר הוא ‪. 2‬‬
‫√‬
‫√‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ , 2 ∈ Q‬אז מההגדרה קיימים ‪ m, n ∈ Z‬כך ש‪:‬‬
‫‪ . 2 = m‬נניח ללא הגבלת‬
‫‪n‬‬
‫הכלליות כי זהו שבר מצומצם‪ ,‬כלומר ‪ m, n‬מספרים זרים )להסביר את החשיבות(‪ .‬נעלה בריבוע‪:‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪n2‬‬
‫√‬
‫= ‪2 = ( 2)2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2n2 = m2‬‬
‫מכאן נסיק כי ‪ m2‬זוגי‪ ,‬מטענה קודמת‪ m ,‬זוגי‪ .‬לכן קיים ‪ k ∈ Z‬כל ש‪ .m = 2k :‬נציב‪:‬‬
‫‪2n2 = m2 = (2k)2 = 4k 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n2 = 2k 2‬‬
‫מכאן נסיק כי ‪ n2‬זוגי ולכן גם ‪ n‬זוגי‪ .‬קיבלנו עם כך כי ‪ 2‬הוא גורם משותף של ‪ m, n‬בסתירה לכך‬
‫שהנחנו שהם זרים‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬כאשר התוצאה של משפט‪/‬טענה היא קיום של איבר‪ ,‬קוראים להוכחה גם הוכחת קיום‪ .‬באופן כללי יש שני‬
‫סוגים של הוכחות קיום‪:‬‬
‫)א( הוכחה קונסטרוקטיבית‪ ,‬כלומר הוכחה מציעה אלגוריתם למציאת האיבר המבוקש‪.‬‬
‫)ב( הוכחה לא קונסטרוקטיבית‪ ,‬כלומר הוכחה משתמשת באקסיומות וטענות אחרות אבל לא ניתן לבנות‬
‫באופן מפורש את האיבר המבוקש‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬בין כל שני מספרים רציונליים יש מספר רציונלי ואי־רציונלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ a, b ∈ R‬ובה"כ נניח כי ‪ .a < b‬אז נבחר ‪ n ∈ N‬המקיים‪:‬‬
‫‪>0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫>‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪nb − na > 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬המרחק בין ‪ nb‬ל־‪ na‬הוא גדול מאחד ולכן קיים ‪ m ∈ Z‬המקיים‪:‬‬
‫‪na < m < nb‬‬
‫‪m‬‬
‫‪<b‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫<‪a‬‬
‫והוכחנו כי קיים מספר רציונלי בין ‪ a‬ל־‪.b‬‬
‫כעת‪ ,‬עבור אותם ‪ a, b‬נפעיל את הטיעון הקודם עבור‬
‫‪10‬‬
‫‪√a , √b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ונקבל קי קיים מספר רציונלי‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫בין‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪ , √a2 , √b2‬כלומר‪:‬‬
‫‪√b‬‬
‫‪2‬‬
‫<‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫<‬
‫‪√a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫√‬
‫‪a < kl 2 < b‬‬
‫√‬
‫∈ ‪ kl 2‬וסיימנו‪.‬‬
‫מסגירות לכפל של הרציונליים נובע כי ‪/ Q‬‬
‫‪ .2‬סגנון הוכחה חשוב נוסף הוא "הוכחה על־פי מקרים"‪ :‬יש לעבור על כל המקרים האפשריים ולוודא נכונותן‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬הוכיחו כי קיימים שני מספרים אי־רציונליים ‪ x, y‬המקימים ‪.xy ∈ Q‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ :‬נביט ב־‪ 2‬ונבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫• אם ‪∈ Q‬‬
‫∈‬
‫• אם ‪/ Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫√‬
‫אז נבחר ‪2‬‬
‫√‬
‫= ‪ x = y‬וסיימנו‪.‬‬
‫אז נבחין כי‪:‬‬
‫√‬
‫‪√ 2‬‬
‫√ ‪√ 2‬‬
‫‪( 2 ) 2= 2 =2∈Q‬‬
‫√‬
‫‪√ √2‬‬
‫נבחר ‪2 , y = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬ונסיים‪.‬‬
‫פונקציות‬
‫הגדרות ותכונות בסיסיות‬
‫‪2.1‬‬
‫פונקציה מקבוצה ‪ X‬לקבוצה ‪ Y‬היא חוק התאמה בין אברי הקבוצה ‪ X‬לאברי הקבוצה ‪.Y‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬תהיינה ‪ .X, Y ⊆ R‬פונקציה ‪ f‬מ־‪ X‬ל־ ‪ Y‬היא התאמה המתאימה לכל איבר ב־‪ X‬איבר יחיד ב־ ‪.Y‬‬
‫מסמנים‪:‬‬
‫‪f :X→Y‬‬
‫‪f (x) = y‬‬
‫)‪ f (x‬הוא כלל ההתאמה של ‪ f‬ובמקרים רבים נהוג לרשום את כלל ההתאמה במקום הכתיב המלא של הפונקציה‪.‬‬
‫התחום ‪ 3‬של ‪ f‬הוא ‪ X‬והטווח ‪ 4‬של ‪ f‬הוא ‪ . Y‬אם ‪ f (x) = y‬אז ‪ y‬הוא התמונה של ‪ x‬ו־‪ x‬הוא מקור ‪ 5‬של ‪.y‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪f :R→R‬‬
‫‪f (x) = x2‬‬
‫במקרה זה אפשר פשוט לרשום ‪ f (x) = x2‬ונקבל בדיוק את אותה הפונקציה‪ .‬נבחין כי התמונה של ‪1, −1‬‬
‫היא ‪ 1‬ולפיכך‪ ,‬ל־‪ 1‬יש שני מקורות‪.‬‬
‫‪3‬נעיר כי התחום גם נקרא תחום ההגדרה או תחום ההגדרה הטבעי ואם הוא לא נתון מפורשות אז הוא נבחר להיות המקסימלי‬
‫האפשרי עבור הפונקציה הנתונה‪.‬‬
‫‪4‬אם הטווח לא נתון מפורשות אז הוא ‪.R‬‬
‫‪5‬נציין כי מקור הוא לא בהכרח יחיד‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫הגדרות ותכונות בסיסיות‬
‫‪.2‬‬
‫‪f : [0, ∞) → R‬‬
‫‪f (x) = x2‬‬
‫במקרה זה יש להדגיש את התחום‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .3‬אם מגדירים ‪ f (x) = x‬אז מהגדרת השורש ברור כי התחום הוא )∞ ‪ [0,‬ולכן‪:‬‬
‫‪f : [0, ∞) → R‬‬
‫√‬
‫‪f (x) = x‬‬
‫איך מגדירים פונקציה?‬
‫‪ .1‬מפורשות ע"י נוסחה‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪f (x) = x + 1‬‬
‫‪ .2‬מפורשות אבל בחלוקה לתחומים‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−x‬‬
‫= |‪f (x) = |x‬‬
‫‪ .3‬ע"י מתן הסבר מילולי‪ ,‬לדוגמה‪ :‬אם נסמן }הערך השלם הגדול ביותר שאינו עולה על ‪ ,[x] =|x‬אז נוכל‬
‫להגדיר‪:‬‬
‫‪f :R→R‬‬
‫]‪f (x) = [x‬‬
‫הביטוי ]‪ [x‬נקרא הערך השלם של ‪ .x‬תכונה בסיסית וחשובה היא שלכל ‪ x ∈ R‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x − 1 < [x] ≤ x‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2‬הגרף של פונקציה )‪ f (x‬הוא אוסף הנקודות )‪ (x, y‬במישור המקיימות ‪.f (x) = y‬‬
‫‪12‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪2.1‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪f : [0, ∞) → R‬‬
‫√‬
‫‪f (x) = x‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪f :R→R‬‬
‫]‪f (x) = [x‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3‬התמונה של פונקציה ‪ f : X → Y‬היא הקבוצה‪:‬‬
‫}‪Im(f ) = {f (x) ∈ Y | x ∈ X} = {y ∈ Y | ∃x ∈ X, f (x) = y‬‬
‫אם התמונה שווה לטווח‪ ,‬כלומר } ‪ ,Y = Im{f‬אז אומרים כי הפונקציה היא על‪.‬‬
‫בדוגמאות שלנו‪:‬‬
‫√‬
‫)∞ ‪Im ( x) = [0,‬‬
‫‪Im ([x]) = Z‬‬
‫הגדרה ‪ 2.4‬אומרים כי פונקציה ‪ f : X → Y‬היא חד־חד־ערכית אם‪:‬‬
‫) ‪∀x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2‬‬
‫‪13‬‬
‫הגדרות ותכונות בסיסיות‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫בדוגמאות שלנו‪x :‬‬
‫√‬
‫‪2.2‬‬
‫פעולות על פונקציות‬
‫היא חח"ע ואילו ]‪ [x‬לא חח"ע‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.5‬נאמר כי פונקציה ‪ f : X → Y‬היא מונוטונית עולה אם‪:‬‬
‫) ‪∀x1 < x2 ∈ X, f (x1 ) ≤ f (x2‬‬
‫ונאמר כי הפונקציה מונוטונית עולה ממש אם‪:‬‬
‫) ‪∀x1 < x2 ∈ X, f (x1 ) < f (x2‬‬
‫באופן אנלוגי מגדירים מונוטונית יורדת ומונוטונית יורדת ממש‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.6‬קל לראות כי פונקציה מונוטונית ממש היא תמיד חח"ע‪.‬‬
‫√‬
‫בדוגמאות שלנו‪ x :‬היא מונוטונית עולה ממש ואילו ]‪ [x‬מונוטונית עולה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.7‬פונקציה ‪ f : X → Y‬נקראת חסומה מלמעלה )מלעיל( אם קיים ‪ M ∈ R‬עבורו‬
‫‪∀x ∈ X, f (x) ≤ M‬‬
‫‪ f‬נקראת חסומה מלמטה )מלרע( אם קיים ם ‪ N ∈ R‬עבורו‬
‫‪∀x ∈ X, f (x) ≥ N‬‬
‫‪ M, N‬נקראים חסמים מלעיל ומלרע בהתאמה‪.‬‬
‫נאמר כי ‪ f‬חסומה אם היא חסומה מלמעלה ומלמטה‪.‬‬
‫√‬
‫בדוגמאות שלנו‪ x :‬חסומה מלמטה ע"י אפס ואילו ]‪ [x‬לא חסומה מלמעלה ולא מלמטה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.8‬נאמר כי פונקציה )‪ f (x‬היא זוגית אם מתקיים לכל ‪ x‬בתחום )‪ .f (x) = f (−x‬נאמר כי פונקציה )‪f (x‬‬
‫היא אי־זוגית אם מתקיים לכל ‪ x‬בתחום )‪.f (x) = −f (−x‬‬
‫נבחין כי פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ‪ Y‬ואילו פונקציה אי־זוגות היא אנטי־סימטרית ביחס לציר ‪.Y‬‬
‫כמו־כן‪ ,‬קל לראות כי מכפלה‪/‬מנה של פונקציות זוגיות‪/‬אי־זוגיות היא גם פונקציה זוגית‪/‬אי־זוגית )ניתן להתייחס‬
‫לזוגיות כ־"‪ "+‬ואי־זוגיות כ־"־" לצורך קביעת זוגיות‪/‬אי־זוגיות של הפונקציה החדשה(‬
‫‪2.2‬‬
‫פעולות על פונקציות‬
‫חיבור‪/‬חיסור‪/‬כפל‪/‬חילוק‬
‫תהיינה ‪ f, g‬פונקציות בעלות תחום הגדרה זהה‪ .‬נגדיר פונקציה חדשה ‪ f + g‬באופן הבא‪:‬‬
‫)‪(f + g)(x) = f (x) + g(x‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2.2‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫פעולות על פונקציות‬
‫זהו חיבור נקודתי‪.‬באופן דומה מגדירים את יתר הפעולות‪:‬‬
‫)‪(f − g)(x) = f (x) − g(x‬‬
‫)‪(f g)(x) = f (x)g(x‬‬
‫)‪(f /g)(x) = f (x)/g(x‬‬
‫‪(g(x) 6= 0),‬‬
‫נבחין כי מחילופיות החיבור‪/‬חיסור‪/‬כפל של מספרים ממשיים נובע כי גם הפעולות המקבילות בפונקציות חילופיות‪.‬‬
‫הרכבה‬
‫תהיינה ‪ f : A → B, g : B → C‬פונקציות‪ .‬ההרכבה של ‪ g‬על ‪ f‬מוגדרת ומסומנת באופן הבא‪:‬‬
‫‪g◦f :A→C‬‬
‫))‪g ◦ f (x) = g(f (x‬‬
‫דוגמה‪ :‬אם ‪ ,f (x) = sin(x), g(x) = x2‬אז‪:‬‬
‫) ‪f ◦ g(x) = sin(x2‬‬
‫‪g ◦ f (x) = (sin(x))2‬‬
‫ברור כי השניים לא שווים ומכאן נסיק כי הרכבת פונקציות היא לא חילופית‪.‬‬
‫פונקציה הפוכה‬
‫אם ‪ f : A → B‬חח"ע ועל אז לכל ‪ ,b ∈ B‬קיים ‪ a ∈ A‬יחיד המקיים ‪ .f (a) = b‬פונקציה כנ"ל נקראת פונקציה‬
‫הפיכה‪ .‬הפונקציה ההפוכה של ‪ f‬מסומנת‪:‬‬
‫‪f −1 : B → A‬‬
‫‪f −1 (b) = a‬‬
‫אם ‪ f, f −1‬פונקציות הפוכות אז מתקיימות הזהויות‪:‬‬
‫‪∀a ∈ A, f −1 ◦ f (a) = a‬‬
‫‪∀b ∈ B, f ◦ f −1 (b) = b‬‬
‫מבחינה גיאומטרית‪ ,‬הגרף של ‪ f‬ו־ ‪ f −1‬זהים במישור )עם החלפת תפקידים בין הצירים(‪ .‬אם רוצים לצייר את‬
‫הגרף של פונקציה ‪ f‬ו־ ‪ f −1‬כפונקציות של אותו המשתנה אז נשרטט את הגרף של ‪ f‬והגרף של ‪ f −1‬יהיה שיקוף‬
‫הגרף של ‪ f‬בישר ‪:y = x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציה ‪ f (x) = x3‬היא חח"ע ועל ‪ ,R‬מכאן‪ ,‬היא הפיכה‪ .‬הפונקציה ההפוכה היא ‪x‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫= )‪.f −1 (x‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה ‪ f (x) = x2‬לא חח"ע ועל בתחום ההגדרה הטבעי שלה אבל אם נצמצם את ת"ה והטווח לקרן‬
‫)∞ ‪ ,[0,‬נקבל פונקציה הפיכה‪ .‬הפונקציה ההפוכה היא‪:‬‬
‫)∞ ‪f −1 : [0, ∞) → [0,‬‬
‫√‬
‫‪f −1 (x) = x‬‬
‫הערה‪ :‬אין לבלבל בין הסימון ‪ f −1‬לבין ‪. f1‬‬
‫‪2.3‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫פולינומים‬
‫פולינום ממעלה ‪ n ∈ N‬הוא ביטוי מהצורה‪:‬‬
‫‪ai x i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=0‬‬
‫= ‪p(x) = an xn + ... + a1 x + a0‬‬
‫‪an , ..., a1 , a0 ∈ R, an 6= 0‬‬
‫‪deg(p) = n‬‬
‫ת"ה של פולינום הוא ‪.R‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫• פולינום ממעלה אפס הוא פונקציה קבועה‪.‬‬
‫• פולינום ממעלה ‪ 1‬הוא פונקציה לינארית‪.‬‬
‫• פולינום ממעלה ‪ 2‬הוא פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪2.3‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫פונקציה רציונלית‬
‫פונקציה רציונלית היא מנה של פולינומים‪ .‬ת"ה הוא כל המספרים הממשים פרט לאילו המאפסים ‪ 6‬את המכנה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬הפונקציה ‪ ,f (x) = x1‬הידועה גם כהיפרבולה‪:‬‬
‫פונקציה מעריכית‬
‫עבור ‪ a > 0‬ושונה מ־‪ ,1‬נגדיר ‪ .f (x) = ax‬נביט בגרף‪:‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫• ‪.ax+y = ax ay‬‬
‫• ‪.(ax )y = axy‬‬
‫•‬
‫‪1‬‬
‫‪ax‬‬
‫= ‪.a−x‬‬
‫• אם ‪ a > 1‬אז ‪ ax‬מונוטונית עולה ממש ואם ‪ a < 1‬אז ‪ ax‬מונוטונית יורדת ממש‪.‬‬
‫ת"ה הוא תמיד ‪ R‬והתמונה היא )∞ ‪ .(0,‬הפונקציה המעריכית היא חח"ע ועל )∞ ‪.(0,‬‬
‫מקרה פרטי חשוב‪a = e = 2.71282... :‬‬
‫‪6‬כידוע‪ ,‬יש לכל היותר מאפסים כמעלת המכנה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫פונקציה לוגריתמית‬
‫הפונקציה המעריכית ‪ f (x) = ax‬היא חח"ע עם תמונה שהיא הקרן )∞ ‪ (0,‬ולכן אם נצמצם את הטווח לקרן‬
‫)∞ ‪ (0,‬נקבל פונקציה הפיכה‪:‬‬
‫‪f −1 : (0, ∞) → R‬‬
‫)‪f −1 (x) = loga (x‬‬
‫במקרה הפרטי בו ‪ a = e‬נהוג לסמן )‪:loge (x) = ln(x‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫• ‪.loga (xy) = loga x + loga y‬‬
‫• ‪.loga (xy ) = yloga x‬‬
‫• אם ‪ a > 1‬אז הפונקציה מונוטונית עולה ממש ואם ‪ a < 1‬אז היא מונוטונית יורדת ממש‪.‬‬
‫פונקציות טריגונומטריות‬
‫הגדרה ‪ 2.9‬זווית היא בת ‪ α‬רדיאנים אם אורך הקשת שהיא חוסמת במעגל ברדיוס ‪ 1‬הוא ‪ .α‬במעגל יש ‪2π‬‬
‫רדיאנים ולכן‬
‫‪2π‬‬
‫‪α‬‬
‫‪360 deg‬‬
‫= ‪αrad‬‬
‫פונקציית הסינוס )‪:sin (x‬‬
‫‪18‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪2.3‬‬
‫הפונקציות האלמנטריות‬
‫פונקציית הקוסינוס )‪:cos (x‬‬
‫כאשר ‪ x‬נתון ברדיאנים‪ .‬נוח להיעזר במעגל היחידה‪:‬‬
‫זהויות חשובות‪:‬‬
‫• ‪.sin2 (x) + cos2 (x) = 1‬‬
‫• )‪.sin(2x) = 2sin(x)cos(x‬‬
‫• )‪.cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x‬‬
‫)‪ tan (x) = sin(x‬בתחום ההגדרה המתאים‪.‬‬
‫מגדירים גם‬
‫)‪cos(x‬‬
‫בכדי לקבל פונקציות הפוכות לפונקציות הטריגונומטריות‪ ,‬חייבים להגביל את ת"ה והטווח של הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות‪ .‬למשל‪ ,‬עבור הסינוס‪:‬‬
‫דוגמה‪ :‬נראה כי‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ .arcsin(x) + arccos(x‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪19‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪⇒ α = arcsin(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪cos(α‬‬
‫)‪⇒ β = arccos(x‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪sin(β‬‬
‫מכך שסכום הזוויות החדות במשולש הוא ‪ , π2‬נקבל‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.α + β‬‬
‫קבוצות חסומות‬
‫הגדרה ‪ 3.1‬קבוצה ‪ A ⊂ R‬נקראת חסומה מלמעלה )מלעיל( אם קיים ‪ M ∈ R‬עבורו‪:‬‬
‫‪∀x ∈ A, x ≤ M‬‬
‫‪ M‬כזה נקרא חסם מלעיל‪.‬‬
‫קבוצה ‪ A ⊂ R‬נקראת חסומה מלמטה )מלרע( אם קיים ‪ m ∈ R‬עבורו‪:‬‬
‫‪∀x ∈ A, x ≥ m‬‬
‫‪ m‬כזה נקרא חסם מלרע‪.‬‬
‫קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה למעיל ומלרע‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬אם )∞ ‪ A = [0,‬אז ‪ 0, −1‬הם חסמים מלרע אבל ‪ A‬לא חסומה מלעיל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2‬החסם מלעיל הקטן ביותר של קבוצה ‪ A‬נקרא הסופרימום )חסם עליון( של ‪ A‬ומסמנים )‪ .sup(A‬אם‬
‫‪ sup(A) ∈ A‬אז הוא נקרא מקסימום ומסמנים )‪.sup(A) = max(A‬‬
‫החסם מלרע הגדול ביותר של קבוצה ‪ A‬נקרא האינםימום )חסם תחתון( של ‪ A‬ומסמנים )‪ .inf (A‬אם‬
‫‪ inf (A) ∈ A‬אז הוא נקרא מינימום ומסמנים )‪.inf (A) = min(A‬‬
‫הערה ‪ 3.3‬אקסיומת השלמות‪ :‬לכל קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים החסומה מלעיל‪/‬מלרע יש סופרימום‪/‬אינפימום‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬קבוצת המספרים הממשיים היא מערכת שלמה "ללא חורים"‪.‬‬
‫ניזכר כי ראינו כבר הגדרה עבור פונקציות חסומות וקבוצות חסומות מהוות הכללה של המושג‪ .‬כאשר מדברים‬
‫על חסם מלעיל או מלרע של פונקציה‪ ,‬בעצם מדברים על החסמים של התמונה‪:‬‬
‫})‪Im (f ) = {f (x) | x ∈ Domain (X‬‬
‫מכאן‪ ,‬אפשר גם להכליל לסופרימום ואינפימום של פונקציה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪A = [0, 1], B = (0, 1), C = [0, 1) .1‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות )‪ sin (x) , cos (x‬חסומות בין ‪ −1‬ל־‪ 1‬ומקבלות גם מקסימום‪.‬‬
‫‪ .3‬עבור‪:‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫התמונה היא )∞ ‪ .{−1} ∪ (0,‬נקבל כי ‪ f‬לא חסומה מלעיל אבל היא חסומה מלרע ע"י ‪ −1‬והיא גם מקבלת‬
‫שם מינימום‪.‬‬
‫‪ .4‬עבור‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫התמונה היא )∞ ‪ .(0,‬שוב נקבל כי ‪ f‬לא חסומה מלעיל אבל הפעם היא ‪ 0‬הוא האינפימום ואין לה מינימום‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫גבולות של פונקציות‬
‫הגדרת הגבול‬
‫הגדרה ‪ 4.1‬סביבה מנוקבת של ‪ a ∈ R‬היא סביבה של ‪ a‬שהוציאו ממנה את ‪.a‬‬
‫דוגמה‪ (a − 1, a) ∪ (a, a + 1) = (a − 1, a + 1) − {a} :‬היא סביבה מנוקבת של ‪.a‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2‬יהא ‪ ,ε > 0‬הקטע )‪ (a − ε, a + ε‬נקרא סביבת־‪ ε‬של ‪.a‬‬
‫נבחין כי ניתן לייצג סביבת־‪ ε‬של ‪ a‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪|x − a| < ε‬‬
‫)‪x ∈ (a − ε, a + ε‬‬
‫⇒⇐‬
‫סביבת־‪ ε‬מנוקבת של ‪ a‬היא‪:‬‬
‫‪0 < |x − a| < ε‬‬
‫⇒⇐‬
‫)‪x ∈ (a − ε, a) ∪ (a, a + ε‬‬
‫הרעיון של סביבת־‪ ε‬הוא סביבה "קטנה" של ‪ a‬כך שכל איקס בסביבה הוא "קרוב" ל־‪.a‬‬
‫‪21‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.2‬‬
‫תכונות בסיסיות‬
‫הגדרה ‪) 4.3‬גבול של פונקציה( תהא ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ .a‬נאמר כי הגבול של ‪ f‬בנקודה‬
‫‪ a‬קיים ושווה ל־‪ L‬אם‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| < ε‬‬
‫נסמן ‪.limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הערה‪ :‬חשוב לציין שיש לבחור דלתא ספציפי לכל אפסילון‪ ,‬בד"כ‪ ,‬דלתא הוא פונקציה של אפסילון‪ .‬בפרט‪ ,‬מותר‬
‫לחסום את דלתא מלמעלה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נוכיח לפי הגדרה כי ‪ .lim3x + 4 = 4‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪|3x + 4 − 4| = |3x| = 3|x − 0| < 3δ‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נבחר‬
‫‪ε‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ δ‬נקבל את הנדרש‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח לפי הגדרה כי )‪ .limsin(x) = sin(a‬אכן‪ ,‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ ≤ 2 x−a = |x − a| ≤ δ‬‬
‫‪cos x+a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪x−a‬‬
‫)∗(‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪|sin(x) − sin(a)| = 2sin‬‬
‫)∗( בבירור ‪ ,|cos (x)| ≤ 1‬בהמשך נוכיח באופן אלמנטרי כי לכל ‪ x‬מתקיים |‪.|sin(x)| ≤ |x‬‬
‫ולכן‪ ,‬אם נבחר ‪ δ = ε‬נקבל את הנדרש‪.‬‬
‫∈ ‪ .a‬אכן‪ ,‬לכל ‪ ε > 0‬נבחר‪:‬‬
‫‪ .3‬נוכיח כי ]‪ lim[x] = [a‬עבור ‪/ Z 7‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪δ = min {|a − [a]| , |a − ([a] + 1)|} > 0‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪∀x, 0 < |x − a| < δ, |[x] − [a]| = |[a] − [a]| = 0 < ε‬‬
‫כלומר‪ ,‬הגדרת הגבול מתקיימת‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫תכונות בסיסיות‬
‫נוכיח כעת מספר תכונות שימושיות‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.4‬אם ‪ limf (x) = L‬אז |‪.lim|f (x)| = |L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪7‬עבור ‪ a ∈ Z‬הגבול לא קיים‪ .‬נוכיח בהמשך בעזרת גבולות חד־צדדיים‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.2‬‬
‫תכונות בסיסיות‬
‫הוכחה‪ :‬מאי־שיוויון המשולש‪ ,‬נבחין כי‪:‬‬
‫|‪||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L‬‬
‫כעת‪ ,‬יהא ‪ .ε > 0‬מהנתון‪ ,‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|f (x) − L| < ε‬‬
‫ולכן‪ ,‬עבור אותו ה־‪ ,δ‬נקבל‪:‬‬
‫‪∀x, 0 < |x − a| < δ, ||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L| < ε‬‬
‫הערה‪ :‬הכיוון ההפוך לא נכון‪ ,‬למשל לפונקציה‪:‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫אין גבול באפס אבל ‪ |f (x)| = 1‬ולכן ‪ .lim|f (x)| = 1‬עם זאת‪ ,‬כאשר ‪ L = 0‬הטענה נכונה‪ .‬אכן‪ ,‬אם ‪L = 0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫אז מההגדרה‪:‬‬
‫‪∀x, 0 < |x − a| < δ, ||f (x)| − 0| < ε‬‬
‫אבל‬
‫||‪||f (x)| − 0|| = ||f (x)|| = |f (x) − 0‬‬
‫ולכן ‪.limf (x) = 0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫טענה ‪ 4.5‬נניח כי ‪ ,limf (x) = L‬אז‪:‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪ .1‬יש סביבה מנוקבת של ‪ a‬אשר בה ‪ f‬חסומה‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,K < L‬קיימת סביבה מנוקבת של ‪ a‬אשר בה ‪) f (x) > K‬באופן אנלוגי עבור ‪.(M > L‬‬
‫‪23‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.2‬‬
‫תכונות בסיסיות‬
‫הוכחה‪ .1 :‬מהגדרת הגבול‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| < ε‬‬
‫ומהגדרת הערך המוחלט‪:‬‬
‫‪|f (x) − L| < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪L − ε < f (x) < L + ε‬‬
‫כלומר‪ ,‬בסביבה‪ f ,0 < |x − a| < δ :‬חסומה מלעיל ומלרע‪.‬‬
‫‪.2‬יהא ‪ .K < L‬נבחר ‪ ε = L − K‬ומהסעיף הראשון נקבל שלכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|f (x) − L| < ε = L − K‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪K < f (x) < 2L‬‬
‫מסקנה ‪ 4.6‬אם ‪ limf (x) = L > 0‬אז קיימת סביבה של ‪ a‬אשר בה ‪ f‬חיובית‪.‬‬
‫‪x→a‬‬
‫טענה ‪) 4.7‬יחידות הגבול( אם קיים ‪ ,limf (x) = L‬אז הוא יחיד‪.‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי קיימים ‪) M 6= L‬בה"כ‪ (M > L ,‬כך ש ‪ limf (x) = L‬וגם ‪ .limf (x) = M‬עבור‬
‫‪x→a‬‬
‫‪M −L‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ,ε‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |f (x) − M | < ε‬‬
‫עבור } ‪ ,δ = min{δ1 , δ2‬נקבל שלכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪M −L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ |f (x) − L| < ε = 2‬‬
‫‪M −L‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪|f (x) − M | < ε‬‬
‫‪24‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.3‬‬
‫אריתמטיקה של גבולות‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪M +L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M −L‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪3M −L‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪M −3L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 2 < f (x) < L +‬‬
‫‪M −L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪< f (x) < L +‬‬
‫‪M +L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‬
‫‪M +L‬‬
‫‪2‬‬
‫< )‪< f (x‬‬
‫‪M +L‬‬
‫‪2‬‬
‫וזאת סתירה‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫אריתמטיקה של גבולות‬
‫עד כה‪ ,‬חישבנו גבול על־פי הגדרה‪.‬כעת‪ ,‬נפתח כלים אשר יסייעו לנו לחשב גבולות‪ ,‬בהסתמך על גבולות ידועים‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.8‬תהיינה ‪ f, g‬פונקציות פונקציות‪.‬‬
‫‪ .1‬אם הן המוגדרות בסביבה מנוקבת של ‪ a‬ומקיימות‪:‬‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪limg(x) = M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אז הגבולות הבאים קיימים‪:‬‬
‫)א( ‪.∀α ∈ R, limαf (x) = αL‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)ב( ‪.lim(f (x) ± g(x)) = L ± M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)ג( ‪.lim(f (x)g(x)) = LM‬‬
‫)ד( אם ‪ ,M 6= 0‬אז‪:‬‬
‫‪x→a‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.lim( g(x) ) = M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪) .2‬הרכבה( אם‪:‬‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪lim g(x) = a‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪lim f ◦ g(x) = L‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪25‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.3‬‬
‫אריתמטיקה של גבולות‬
‫הערה‪ :‬אריתמטיקה נכונה רק בכיוון הנתון במשפט‪ ,‬כלומר מכך ש‪ ,lim (f (x) + g (x)) = L + M :‬לא ניתן‬
‫‪x→a‬‬
‫להסיק כי‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪limg(x) = M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הוכחה‪) :‬א( יהא ‪ .ε > 0‬מהגדרת הגבול ‪ ,limf (x) = L‬עבור‬
‫‪x→a‬‬
‫‪ε‬‬
‫|‪|α‬‬
‫= ‪ε0‬‬
‫‪∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| < ε0‬‬
‫ועבור ‪:αf‬‬
‫‪∀x, 0 < |x − a| < δ, |αf (x) − αL| = α|f (x) − L| < αε0 = ε‬‬
‫)ב( יהא ‪ .ε > 0‬עבור‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ ,ε0‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L| < ε0‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |g(x) − M | < ε0‬‬
‫ולכן עבור } ‪ δ = min{δ1 , δ2‬נקבל כי לכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|f (x) + g(x) − L − M | ≤ |f (x) − L| + |g(x) − M | < ε0 + ε0 = 2ε0 = ε‬‬
‫)ג( יהא ‪ .ε > 0‬מטענה קודמת‪ ,‬נובע כי קיים ‪ T > 0‬אשר חוסם את ‪ f‬בסביבה של ‪.a‬‬
‫עבור )‪ ,ε1 = 2(|Mε|+1‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L| < ε1‬‬
‫כיוון שתמיד ניתן להקטין את ‪ ,δ1‬אפשר להניח כי ‪ T‬הוא חסם של ‪ f‬בסביבה ) ‪.(a − δ1 , a + δ1‬‬
‫עבור ‪ ,ε2 = 2Tε‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |g(x) − M | < ε2‬‬
‫ולכן עבור } ‪ ,δ = min{δ1 , δ2‬לכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬נקבל‪:‬‬
‫= | ‪|f (x)g(x) − LM‬‬
‫≤ | ‪|f (x)g(x) − LM + f (x)M − f (x)M‬‬
‫≤ |)‪|f (x)(g(x) − M ) + M (f (x) − L‬‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫≤ ‪|f (x)||g(x) − M | + |M ||f (x) − L| < T ε2 + |M |ε1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.3‬‬
‫אריתמטיקה של גבולות‬
‫)ד( יהא ‪ .ε > 0‬מטענה קודמת ומכך ש־‪ ,M 6= 0‬נובע כי קיימת סביבה של ‪ a‬בה מתקיים‪:‬‬
‫| ‪|M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒⇐‬
‫<‬
‫‪2‬‬
‫|)‪|g(x‬‬
‫| ‪|M‬‬
‫> |)‪|g(x‬‬
‫)∗(‬
‫עבור‬
‫| ‪ε|M‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ ,ε1‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L| < ε1‬‬
‫כיוון שתמיד ניתן להקטין את ‪ ,δ1‬אפשר להניח כי )∗( מתקיים בסביבה ) ‪.(a − δ1 , a + δ1‬‬
‫‪ε|M |2‬‬
‫)‪ ,ε2 = 4(|L|−1‬מהגדרת הגבול נקבל‪:‬‬
‫עבור‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |g(x) − M | < ε2‬‬
‫ולכן עבור } ‪ ,δ = min{δ1 , δ2‬לכל ‪ x‬המקיים ‪ 0 < |x − a| < δ‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪ f (x‬‬
‫‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫= ‪ g(x) M‬‬
‫‬
‫‬
‫ ))‪ M (f (x) − L) L(M − g(x‬‬
‫‬
‫≤‬
‫‪+‬‬
‫)‪ M g(x‬‬
‫ )‪M g(x‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ))‪ M (f (x) − L) L(M − g(x‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫≤ )‪ M g(x) M g(x‬‬
‫|)‪|f (x) − L| |L||M − g(x‬‬
‫‪+‬‬
‫≤‬
‫|)‪|g(x‬‬
‫|)‪|M ||g(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|L| 2‬‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪ε1 +‬‬
‫‪ε2 ≤ + = ε‬‬
‫| ‪|M‬‬
‫| ‪|M | |M‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ .2‬נוכיח בהמשך בקלות בעזרת סדרות‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.9‬אם ‪ f‬פונקציה אלמנטרית ו־‪ a‬בתחום ההגדרה של ‪ ,f‬אז‪:‬‬
‫)‪limf (x) = f (a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הערה‪ :‬ההוכחה נובעת מאריתמטיקה והוכחה לפי הגדרה של מקרים מיוחדים ‪.8‬‬
‫‬
‫‪8‬למשל‪ ,‬ברור כי ‪ x −→ a‬ומאריתמטיקה‪ ,‬לכל פולינום )‪ P (x‬מתקיים )‪lim x = P (a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪27‬‬
‫‬
‫‪.lim P (x) = P‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.4‬‬
‫‪4.4‬‬
‫גבולות מוכללים )גבול במובן הרחב(‬
‫גבולות מוכללים )גבול במובן הרחב(‬
‫הגדרה ‪) 4.10‬גבול סופי באינסוף( תהא ‪ f‬מוגדרת בקרן )∞ ‪ .(a,‬נאמר כי הגבול באינסוף קיים ושווה ל־‪ L‬אם‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃N > a, ∀x > N, |f (x) − L| < ε‬‬
‫מסמנים‬
‫‪lim f (x) = L‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫באופן אנלוגי עבור ∞‪.−‬‬
‫משפט ‪ 4.11‬כל כללי האריתמטיקה של גבולות נכונים גם לגבולות באינסוף‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נוכיח כי ‪ lim x1 = 0‬באופן ישיר‪:‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪=ε‬‬
‫< = ‪∀ε > 0, ∃N = , ∀x > N, − 0‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ lim x+41‬בעזרת אריתמטיקה של גבולות‪:‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי ‪= 1‬‬
‫‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪1 + 41‬‬
‫‪1+0‬‬
‫‪x + 41‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫→‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 x→∞ 1‬‬
‫הגדרה ‪) 4.12‬גבול אינסופי בנקודה( תהא ‪ f‬מוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ .a‬נאמר כי הגבול ב־‪ a‬קיים ושווה ל־∞‬
‫אם‪:‬‬
‫‪∀M > 0, ∃δ > 0, ∀x, |0 < |x − a| < δ, f (x) > M‬‬
‫מסמנים‪:‬‬
‫∞ = )‪limf (x‬‬
‫‪x→a‬‬
‫באופן אנלוגי עבור ∞‪.−‬‬
‫‪28‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.4‬‬
‫גבולות מוכללים )גבול במובן הרחב(‬
‫משפט ‪ 4.13‬כללי האריתמטיקה של גבולות נכונים גם לגבולות באינסוף ‪.9‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם יש מנה בה המונה שואף לקבוע שונה מאפס והמכנה שואף לאפס )מאותו הכיוון‪ ,‬כלומר המכנה בעל‬
‫‪1‬‬
‫כאשר ‪10‬‬
‫סימן קבוע(‪ ,‬אז המנה שואפת ל∞ או ∞‪ −‬בהתאמה‪ .‬בה"כ‪ ,‬אפשר להניח כי מדובר ב־‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪ .f (x) −→ 0+‬מהגדרת הגבול‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, f (x) − 0 = |f (x) − 0| < ε‬‬
‫לכן‪ ,‬לכל ‪ ,M > 0‬נבחר‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫< ‪ ε‬ונקבל‪:‬‬
‫= ‪∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, f (x) − 0 = |f (x) − 0| < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, f (x) > M‬‬
‫‪ .2‬קיימים ביטויים אשר עליהם לא חלים כללי האריתמטיקה‪:‬‬
‫∞‪· ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1‬‬
‫∞‬
‫‪,0‬‬
‫∞‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫∞ = ‪lim x12‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪1‬‬
‫|)‪lim |tan(x‬‬
‫∞=‬
‫‪x→0‬‬
‫‪ .2‬עבור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫= )‪ ,f (x) = g(x‬מתקיים‪:‬‬
‫∞ = )‪limf (x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫∞ = )‪limg(x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫ואם נחסר‪:‬‬
‫‪limf (x) − g(x) = lim0 = 0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪9‬פרט למקרים הרשומים בהערה‪.‬‬
‫‪10‬נסמן ב־ ‪ 0+‬שאיפה לאפס בסימן חיובי‪.‬‬
‫‪29‬‬
(‫גבולות מוכללים )גבול במובן הרחב‬
Dr. Rabayev Daniel
4.4
:‫ מתקיים‬,f (x) = x2 , g(x) = x :‫אבל עבור‬
lim f (x) = ∞
x→∞
lim g(x) = ∞
x→∞
:‫נחסר‬
lim f (x) − g(x) = lim x2 − x = ∞
x→∞
x→∞
:‫ מתקיים‬,f (x) = x1 , g(x) = x ‫ עבור‬.3
lim f (x) = 0
x→∞
lim g(x) = ∞
x→∞
:‫ואם נכפול‬
lim f (x)g(x) = lim 1 = 1
x→∞
x→∞
:‫ מתקיים‬,f (x) =
1
,
x2
g(x) = x ‫אבל עבור‬
lim f (x) = 0
x→∞
lim g(x) = ∞
x→∞
:‫ואם נכפול‬
lim f (x)g(x) = lim x1 = 0
x→∞
x→∞
:‫ תלוי במקדמים המובילים‬,‫ נבחין כי הגבול הבא‬.4
3x3 + x + 1
=
x→∞ 9x3 + x2 + 11x − 15
3 + x12 + x13
lim
=
x→∞ 9 + 1 + 112 − 153
x
x
x
3+0+0
=
9+0+0−0
lim
30
1
3
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.5‬‬
‫אי־קיום הגבול‬
‫הערה‪ :‬באופן דומה לשני המקרים הקודמים‪ ,‬מגדירים גבול אינסופי באינסוף באופן הבא‪ :‬תהא ‪ f‬מוגדרת בקרן‬
‫)∞ ‪ .(a,‬נאמר כי הגבול ב־∞ קיים ושווה ל־∞ אם‪:‬‬
‫‪∀M > 0, ∃N > 0, ∀x, x < N, f (x) > M‬‬
‫מסמנים‪:‬‬
‫∞ = )‪lim f (x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫באופן אנלוגי עבור ∞‪.−‬‬
‫אי־קיום הגבול‬
‫‪4.5‬‬
‫בכדי להוכיח כי הגבול של פונקציה לא קיים בנקודה ניתן להשתמש באחת מהשיטות הבאות‪:‬‬
‫• להוכיח את השלילה הלוגית של הגדרת הגבול‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| ≥ ε‬‬
‫• להניח כי הגבול קיים ולהגיע לסתירה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציית דיריכלה‪:‬‬
‫‪x∈Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫∈‪x‬‬
‫‪/Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪D(x‬‬
‫אין גבול באף נקודה‪.‬‬
‫‪ .2‬לפונקציה ) ‪ sin( x1‬אין גבול באפס‪.‬‬
‫‪4.6‬‬
‫גבולות חד־צדדיים‬
‫הגדרה ‪ 4.14‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע )‪ .(a, b‬נאמר כי ‪ L‬הוא הגבול משמאל ב־‪ b‬אם‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, b − δ < x < b, |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪31‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.6‬‬
‫גבולות חד־צדדיים‬
‫ומסמנים‬
‫‪lim f (x) = L‬‬
‫‪x→b−‬‬
‫באופן דומה מגדירים‬
‫‪lim f (x) = M‬‬
‫‪x→a+‬‬
‫√‬
‫דוגמה‪ :‬מתקיים ‪ , lim+ x = 0‬ואכן‪:‬‬
‫‪x→0‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪x< δ=ε‬‬
‫= |‪∀ε > 0, ∃δ = ε2 , ∀x, 0 < x < δ, |f (x) − 0‬‬
‫טענה ‪ 4.15‬תהא ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ .a‬אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim f (x) = L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x→a+‬‬
‫⇒⇐ ‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ lim f (x) = L‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬מסקנה ישירה היא‪ :‬ל־ ‪ f‬אין גבול ב־‪ a‬אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שונים או שאחד מהם לא קיים‪.‬‬
‫‪ .2‬מכלילים גבול חד־צדדי גם במובן הרחב‪.‬‬
‫‪ .3‬כל כללי האריתמטיקה של גבולות נכונים גם לגבולות חד־צדדיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇒ :‬אם הגבול קיים אז ברור שגם הגבולות החד־צדייים קיימים ושווים‪.‬‬
‫⇐‪ :‬ניקח ‪ ε > 0‬ןמהגדרת הגבול‪:‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, a < x < a + δ1 , |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, a − δ2 < x < a, |f (x) − L| < ε‬‬
‫נבחר } ‪ δ = min {δ1 , δ2‬ונקבל את הגדרת הגבול‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪32‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫‪ .1‬לכל ‪ a ∈ Z‬הגבול ]‪ lim[x‬לא קיים‪ .‬אכן‪ lim+ [x] = [a] ,‬ואילו ‪ . lim− [x] = [a] − 1‬כיוון שלכל מספר ממשי‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫]‪ [a] − 1 6= [a‬נקבל מהמשפט כי הגבול לא קיים‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר‪:‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x<0‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim f (x) = lim+ x = 0‬‬
‫‪x→0+‬‬
‫‪x→0‬‬
‫⇐ ‪limf (x) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ lim f (x) = lim sin(x) = 0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪.3‬‬
‫∞=‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→0+ x‬‬
‫∞‪= −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→0− x‬‬
‫ולכן הגבול באפס לא קיים‪.‬‬
‫‪ , lim− [x] = −1 , lim+ [x] = 0 .4‬לכן הגבול באפס לא קיים‪ .‬באופן דומה לכל ערך שלם‪.‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫טענה ‪ 4.16‬תהא ‪ f‬מוגדרת ואי־שלילית בסביבה מנוקבת של נקודה ‪ .a‬אם‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אז ‪.L ≥ 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ .L < 0‬מהגדרת הגבול‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ, |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪33‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫בפרט עבור ‪ ε = −L > 0‬נקבל כי קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ ,x‬אם ‪ 0 < |x − a| < δ‬אז‪:‬‬
‫‪|f (x) − L| < ε = −L‬‬
‫‪m‬‬
‫‪L < f (x) − L < −L‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2L < f (x) < 0‬‬
‫וזאת סתירה‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬באופן אנלוגי עבור פונקציה לא חיובית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם נדרוש ‪ f (x) > 0‬עדיין לא נוכל להבטיח ‪ .L > 0‬לדוגמה‪ ,‬עבור‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x=0‬‬
‫הגבול באפס הוא אפס‪.‬‬
‫מסקנה ‪4.17‬‬
‫‪ .1‬תהיינה ‪ f, g‬מוגדרות בסביבה מנוקבת של נקודה ‪ a‬המקיימות )‪ .f (x) ≥ g(x‬אם‪:‬‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪limg(x) = M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אז ‪.L ≥ M‬‬
‫‪ .2‬יחידות הגבול‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬מגדירים ‪ h = f − g‬ומפעילים את המשפט‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח כי ‪ limf (x) = L‬וגם ‪ .limf (x) = M‬בבירור )‪ f (x) ≤ f (x‬ולכן מהמסקנה הראשונה ‪,L ≤ M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫באופן סימטרי ‪ M ≤ L‬וסיימנו‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.18‬תהיינה ‪ f, g‬עבורן‪:‬‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪limg(x) = M‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אם ‪ L > M‬אז קיימת סביבה מנוקבת של ‪ a‬בה ‪.f > g‬‬
‫‪34‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫הוכחה‪ :‬נפעיל את הגדרת הגבול עבור‬
‫‪L−M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L−M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L−M‬‬
‫‪2‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫= ‪:ε‬‬
‫< |‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L‬‬
‫< | ‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |g(x) − M‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪3L−M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L+M‬‬
‫‪< 2‬‬
‫< )‪< f (x‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , L+M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , −L+M‬‬
‫)‪< g(x‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן‪ ,‬עבור } ‪:δ = min{δ1 , δ2‬‬
‫)‪< f (x‬‬
‫‪L+M‬‬
‫‪2‬‬
‫< )‪∀x, 0 < |x − a| < δ, g(x‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫משפט ‪) 4.19‬סנדוויץ( תהיינה ‪ f, g, h‬מוגדרות בסביבה מנוקבת של נקודה ‪ a‬ומקיימות שם )‪.f (x) ≤ g(x) ≤ h(x‬‬
‫אז‪ ,‬אם‪:‬‬
‫‪limf (x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪limh(x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪limg(x) = L‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הערה‪ :‬המשפט נכון גם עבור גבולות מוכללים ו‪/‬או חד־צדדיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהגדרת הגבול‪ ,‬לכל ‪:ε > 0‬‬
‫‪∃δ1 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ1 , |f (x) − L| < ε‬‬
‫‪∃δ2 > 0, ∀x, 0 < |x − a| < δ2 , |h(x) − L| < ε‬‬
‫נסמן } ‪ ,δ = min{δ1 , δ2‬ואז לכל ‪ x‬המקיים ‪:0 < |x − a| < δ‬‬
‫‪L − ε < h(x) < L + ε‬‬
‫‪L − ε < f (x) < L + ε‬‬
‫מההנחה ‪ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε‬ולכן ‪.|g(x) − L| < ε‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪35‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫‪ .1‬נראה כי‪:‬‬
‫‪lim sin(x) = 0‬‬
‫‪x→0+‬‬
‫נראה מייד כי לכל‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪ 0 < x‬מתקיים ‪ sin(x) < x‬ואז נקבל‪:‬‬
‫‪0 < sin(x) < x‬‬
‫ומכלל הסנדויץ בגרסה החד־צדדית‪ ,‬סיימנו‪.‬‬
‫טענת עזר‪ :‬לכל ‪ 0 < α < π2‬מתקיים )‪.sin(α) < α < tan(α‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן במעגל היחידה‪:‬‬
‫נבחין כי ‪ 0 < α < π2‬ונסמן ב־ ‪ SAOC , SBOC‬את שטח המשולשים ‪ BOC, AOC‬וב־‪ S‬את שטח הגיזרה‬
‫‪ .AOC‬בבירור‪:‬‬
‫‪SAOC < S < SBOC‬‬
‫כידוע‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin(α‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪tan(α‬‬
‫= · )‪SBOC = 1 · tan(α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π(1)2‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪S‬‬
‫=‪α‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2‬‬
‫· )‪SAOC = 1 · sin(α‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪sin(α) < α < tan(α‬‬
‫‪36‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫הערה‪ :‬באופן דומה מראים כי לכל ‪ − π2 < α < 0‬מתקיים )‪ .tan(α) < α < sin(α‬סה"כ מקבלים לכל‬
‫‪:|α| < π2‬‬
‫|)‪|sin(α)| ≤ |α| ≤ |tan(α‬‬
‫‪ .2‬נראה כי‪:‬‬
‫‪=1‬‬
‫)‪lim sin(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫ניקח‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪ 0 < x‬ונבחין כי‪:‬‬
‫)‪0 < sin(x) < x < tan(x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪tan(x‬‬
‫<‬
‫⇓‬
‫‪=1‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫<‬
‫)‪sin(x‬‬
‫‪x‬‬
‫<‬
‫)‪sin(x‬‬
‫)‪tan(x‬‬
‫ומכלל הסנדוויץ‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫)‪lim+ sin(x‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫באופן דומה נקבל‪:‬‬
‫)‪lim− sin(x‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫טענה ‪ 4.20‬יהיו ‪ f, g‬מוגדרות בסביבה מנוקבת של נקודה ‪ .a‬אם‪:‬‬
‫‪limf (x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫ו־‪ g‬חסומה בסביבת ‪ a‬אז‪:‬‬
‫‪limf (x) · g(x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪37‬‬
‫= )‪cos(x‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪4.7‬‬
‫המשך תכונות של גבולות‬
‫הוכחה‪ g :‬חסומה ולכן קיימת סביבה מנוקבת‪ ,I ,‬של ‪ ,a‬בה מתקיים‪:‬‬
‫‪∃M > 0, ∀x ∈ I, |g(x)| < M‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫|)‪∃M > 0, ∀x ∈ I, |g(x) · f (x)| < M · |f (x‬‬
‫נקבל כי בסביבה ‪ I‬מתקיים‪:‬‬
‫|)‪−M · |f (x)| < g(x) · f (x) < M · |f (x‬‬
‫מאריתמטיקה‪:‬‬
‫‪limf (x) = 0 ⇒ limM · f (x) = M · limf (x) = 0‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫ולכן‪ ,‬מכלל הסנדוויץ‪ ,‬סיימנו‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪lim sin(x‬‬
‫‪x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫בבירור‬
‫‪=0‬‬
‫‪lim 1‬‬
‫‪x→∞ x‬‬
‫‪∀x ∈ R, |sin(x)| ≤ 1‬‬
‫ומהטענה‪ ,‬סיימנו‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.21‬תהא ‪ f‬מונוטונית וחסומה בסביבה )מנוקבת( חד צדדית של נקודה ‪ ,a‬אז הגבול החד־צדדי ב־‪ a‬קיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בה"כ כי ‪ f‬עולה בסביבה ימנית של ‪ ,a‬אשר נסמנה ב־‪ .I‬נסמן‪:‬‬
‫}‪A = {f (x)| x ∈ I‬‬
‫לפי הנתון ‪ A‬חסומה מלרע ולכן יש ל־‪ A‬אינפימום‪ .‬נראה כי‪:‬‬
‫‪lim f (x) = inf (A) = m‬‬
‫‪x→a+‬‬
‫‪38‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫לכל ‪ ,ε > 0‬רוצים למצוא ‪ δ > 0‬כל שלכל ‪ a < x < a + δ‬מתקיים‪:‬‬
‫‪|f (x) − m| < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m − ε < f (x) < m + ε‬‬
‫נבחין כי ‪ m + ε‬גדול מהאינפימום ולכן לא חסם מלרע ⇐ קיים ‪ a < b ∈ I‬עבורו ‪ .f (b) < m + ε‬ממונוטוניות‪:‬‬
‫‪∀x ∈ (a, b), f (x) < f (b) < m + ε‬‬
‫אנחנו כבר יודעים כי לכל ‪ f (x) ≥ m > m − ε ,x ∈ I‬ונקבל‪:‬‬
‫‪∀x ∈ (a, b), m − ε < f (x) < m + ε‬‬
‫כלומר‪ δ = b − a > 0 ,‬וסיימנו‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ f‬מונוטונית ולא חסומה אז הגבול קיים במובן הרחב‪ .‬לפיכך‪ ,‬נסיק כי אם ‪ f‬מונוטונית בקטע ‪ I‬אז‬
‫הגבולות החד־צדדיים קיימים בכל נקודה פנימית ב־‪ I‬ובמובן הרחב בקצוות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫סדרות‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬סדרה היא אוסף אינסופי מסודר של מספרים ממשיים‪ .‬מסמנים‪:‬‬
‫∞} ‪{an | n ∈ N} = {an‬‬
‫‪n=1 = {an }n∈N‬‬
‫הערה‪ :‬סדרה היא למעשה פונקציה עם תחום הגדרה ‪ N‬וטווח ‪ ,R‬כאשר יש חשיבות לסדר של המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪f :N→R‬‬
‫√‬
‫‪f (n) = n‬‬
‫מגדירה סדרה‪:‬‬
‫∞ √‬
‫∞‬
‫∞})‪{f (n‬‬
‫‪n=1 = {an }n=1 = { n}n=1‬‬
‫אופן הגדרת סדרה‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הגדרת הגבול‬
‫‪ .1‬נוסחה מפורשת‪ .‬למשל‪:‬‬
‫∞} ‪⇔ { n1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪∀n ∈ N, an‬‬
‫∞})‪∀n ∈ N, bn = arctan(n) ⇔ {arctan(n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ .2‬כלל לפיו בוחרים את אברי הסדרה‪ .‬למשל‪:‬‬
‫)א( כלל מילולי‪ ,‬למשל‪} :‬האיבר ה־‪ n‬אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של ‪.an = {π‬‬
‫)ב( נוסחת נסיגה‪ ,‬למשל מספרי פיבונאצ'י‪:‬‬
‫‪a1 = a2 = 1‬‬
‫‪∀n ≥ 3, an = an−1 + an−2‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הגדרת הגבול‬
‫∞} ‪ {an‬מתכנסת )שואפת( לגבול ‪ a‬ונסמן ‪ lim an = a‬או ‪ , an → a‬אם‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2‬נאמר כי סדרה ‪n=1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |an − a| < ε‬‬
‫אם לסדרה לא קיים הגבול‪ ,‬נאמר כי הסדרה מתבדרת‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬נבחין כי שינוי של מספר סופי של אברי הסדרה‪ ,‬לא משפיע על ההתכנסות או על ערך הגבול‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר נרצה להוכיח לפי הגדרה‪ ,‬נשתמש לא מעט בערך השלם לבחירת ‪ .N‬חשוב לזכור את התכונה‪:‬‬
‫‪x ≤ [x] < x + 1‬‬
‫‪ .3‬לסדרה השואפת לאפס קוראים גם סדרה אפסה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הסדרה‬
‫∞ ‪ 1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n‬‬
‫שואפת לאפס‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪<ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫<‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪+ 1, ∀n > N, n1 − 0‬‬
‫‪40‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ε‬‬
‫= ‪∀ε > 0, ∃N‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪ .2‬הסדרה‬
‫∞ ‪ 9n−1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪5.2‬‬
‫תכונות בסיסיות ואריתמטיקה‬
‫שואפת לשלוש‪ .‬נתחיל בחישוב עזר‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪ 9n − 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫<‬
‫‪< ε‬‬
‫)‪ 3n − 3 = − 3n = 3n < n (i‬‬
‫)‪N (ii‬‬
‫)‪(i‬מניחיןם כי ‪.n > N‬‬
‫)‪(ii‬נבחר ‪ N‬כך שדרישה זו תתקיים‪.‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫‪< ε‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‬
‫‬
‫‪+ 1, ∀n > N, 9n−1‬‬
‫< ‪− 3‬‬
‫‪3n‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ε‬‬
‫= ‪∀ε > 0, ∃N‬‬
‫)‪(i‬חישוב עזר‪.‬‬
‫)‪(ii‬בחירת ‪.N‬‬
‫∞} ‪ {an‬מתכנסת )שואפת( לאינסוף ונסמן ∞ = ‪ lim an‬או ∞ → ‪ , an‬אם‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 5.3‬נאמר כי סדרה ‪n=1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪∀M ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n > N, an > M‬‬
‫ובאופן דומה עבור ∞‪ .−‬אומרים גם כי קיים הגבול במובן הרחב‪.‬‬
‫דוגמה‪ an = n :‬מתכנסת לאינסוף‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪∀M ∈ R, ∃N = [M ] + 1, ∀n > N, an = n > N > M‬‬
‫‪5.2‬‬
‫תכונות בסיסיות ואריתמטיקה‬
‫נתחיל בטענה שימושית אשר עוזרת באינטואיציה וכן בהוכחות‪.‬‬
‫∞} ‪ {an‬מתכנסת לגבול ‪ a‬אם ורק אם כל סביבה ‪ I‬של ‪ a‬מכילה את כל אברי הסדרה‪ ,‬פרט‬
‫טענה ‪ 5.4‬סדרה ‪n=1‬‬
‫אולי למספר סופי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אומרים כי תכונה מסויימת מתקיימת כמעט לכל ‪ n‬אם היא מתקיימת לכל ‪ an‬פרט אולי למספר סופי של‬
‫איברים‪ ,‬או באופן שקול‪ ,‬החל ממקום מסויים‪ .‬לפיכך‪ ,‬ניתן לומר כי כל סביבה של הגבול מכילה את כמעט כל‬
‫אברי הסדרה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בלי הגבלת הכלליות‪ ,‬ניתן להוכיח עבור סביבת־‪ ε‬של ‪.a‬‬
‫⇐ נניח כי ‪ lim an = a‬ויהא ‪ .ε > 0‬מהגדרת הגבול‪:‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |an − a| < ε‬‬
‫‪41‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫תכונות בסיסיות ואריתמטיקה‬
‫‪.{ai }N‬‬
‫לכן בסביבה )‪ (a − ε, a + ε‬נמצאים כל אברי הסדרה פרט אולי ל־ ‪i=1‬‬
‫‪ .{ai }N‬לכן‪:‬‬
‫⇒ יהא ‪ .ε > 0‬מההנחה‪ ,‬בסביבת־‪ ε‬של ‪ a‬נמצאים כל אברי הסדרה‪ ,‬פרט אולי ל־ ‪i=1‬‬
‫)‪∀n > N, an ∈ (a − ε, a + ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪∀n > N ⇒ |an − a| < ε‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫הטענות הבאות אנלוגיות לטענות בפונקציות ולכן לא נתעכב על ההוכחה‪ .‬אפשר כתרגול עצמי להוכיח את‬
‫התכונות‪.‬‬
‫∞} ‪ {an‬סדרה המתכנסת לגבול ‪.a‬‬
‫משפט ‪ 5.5‬תהא ‪n=1‬‬
‫‪ .1‬הגבול ‪ a‬הוא יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬הסדרה חסומה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בדומה לפונקציות‪ ,‬אפשר להוכיח ישירות מההגדרה עם זאת‪ ,‬ניתן בקלות להוכיח בעזרת טענה ‪.5.4‬‬
‫∞‬
‫∞}| ‪ {|an‬סדרה המתכנסת לגבול |‪.|a‬‬
‫משפט ‪ 5.6‬תהא ‪ {an }n=1‬סדרה המתכנסת לגבול ‪ ,a‬אז ‪n=1‬‬
‫הערה‪ :‬ההיפך לא נכון‪ ,‬למשל‪ .an = (−1)n :‬עם זאת‪ ,‬אם ‪ a = 0‬אז גם ההיפך נכון‪.‬‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {bn‬סדרות המתכנסות לגבולות ‪ b, a‬בהתאם‪ ,‬אז‬
‫משפט ‪) 5.7‬אריתמטיקה של גבולות‪ (.‬אם ‪ {an }n=1‬ו־ ‪n=1‬‬
‫הגבולות הבאים קיימים‪:‬‬
‫‪.∀α ∈ R, lim α · an = αa .1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪. lim (an ± bn ) = a ± b .2‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪. lim (an · bn ) = a · b .3‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ ,b 6= 0‬אז‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫= ) ‪. lim ( abnn‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ .5‬אם ∞ = ‪ a, b‬אז ∞ = ) ‪. lim (an + bn‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ .6‬אם ∞ = ‪ a‬אז ‪. lim ( a1n ) = 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞} ‪ {an‬חיובית כמעט לכל ‪ n‬אז ∞ = ) ‪. lim ( a1n‬‬
‫‪ .7‬אם ‪ a = 0‬וגם ‪n=1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬כמו בפונקציות‪ ,‬יש להשתמש באריתמטיקה בכיוון הנכון‪.‬‬
‫‪ .2‬בגבול במובן הרחב התכונות עבור ∞‪ −‬נכונות בהתאמה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫‪5.2‬‬
‫תכונות בסיסיות ואריתמטיקה‬
‫‪ .3‬קיימים ביטויים אשר עליהם לא חלים כללי האריתמטיקה‪:‬‬
‫∞‪· ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1‬‬
‫∞ ‪0‬‬
‫‪, ,0‬‬
‫∞ ‪0‬‬
‫דוגמה‪ :‬נחשב את הגבול הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+0−0‬‬
‫=‬
‫‪3−0‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1 + n1 − n12‬‬
‫‪n2 + n − 1‬‬
‫=‬
‫‪3n2 − 1‬‬
‫‪3 − n12‬‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {an‬סדרות המתכנסות לגבולות ‪ a, b‬בהתאמה‪ .‬אז‪:‬‬
‫טענה ‪ 5.8‬נניח כי ‪n=1 , {bn }n=1‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ a < b‬אז‪:‬‬
‫‪∃N ∈ N, ∀n > N, an < bb‬‬
‫‪ .2‬אם כמעט לכל ‪ n‬מתקיים ‪ an ≤ bn‬אז ‪.a ≤ b‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ב־‪ .1‬מניחים "רק" ‪ ,a ≤ b‬אז הטענה לא נכונה‪ .‬למשל‬
‫‪an = 0‬‬
‫‪(−1)n‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫‪ .2‬אם ב־‪ .2‬מניחים כי כמעט לכל ‪ n‬מתקיים ‪ an < bn‬אז עדיין מתקיים "רק" ‪ ,a ≤ b‬למשל‪:‬‬
‫‪an = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {an‬סדרות‪ .‬אם מתקיים‪:‬‬
‫משפט ‪) 5.9‬כלל הסנדווויץ( נניח כי ‪n=1 , {bn }n=1 , {cn }n=1‬‬
‫‪ .1‬מתקיים ‪ an ≤ bn ≤ cn‬כמעט לכל ‪.n‬‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {an‬מתכנסות לאותו הגבול ‪.L‬‬
‫‪n=1 , {cn }n=1 .2‬‬
‫אז גם } ‪ {bn‬מתכנסת לגבול ‪.L‬‬
‫‪43‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫סדרות מונוטוניות‬
‫∞} ‪ {an‬שואפת ל־∞ אז גם‬
‫הערה‪ :‬הכלל נכון גם במובן הרחב‪ ,‬כלומר אם ‪ an ≤ bn‬כמעט לכל ‪ n‬וידוע כי ‪n=1‬‬
‫∞} ‪ {bn‬שואפת ל־∞‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ .1‬נוכיח כי ‪ . lim n n = 1‬ברור כי לכל ‪ n > 1‬מתקיים ‪ n n > 1‬ולכן ניתן לרשום ‪ . n n = 1 + hn‬נבחין כי‬
‫∞→‪n‬‬
‫לכל ‪:n > 1‬‬
‫!‬
‫!‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n (n − 1) 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫= ) ‪n = (1 + hn‬‬
‫> ‪hn‬‬
‫= ‪h2n‬‬
‫‪hn‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪ (i‬נוסחת הבינום‪.‬‬
‫)‪ (ii‬ברור ‪ hn > 0‬לכל ‪.n‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 < hn < n−1‬כמעט לכל ‪ .n‬הואיל‬
‫מכאן נסיק כי‬
‫והסדרות ‪11‬‬
‫∞‪o‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪nq‬‬
‫∞} ‪ {hn‬שואפת לאפס ומאריתמטיקה נקבל כי ‪n = 1‬‬
‫מכלל הסנדוויץ נקבל כי ‪n=1‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי לכל ‪ a > 0‬מתקיים ‪a = 1‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫‪,‬‬
‫∞}‪{0‬‬
‫‪n=1‬‬
‫שואפות לאפס‪,‬‬
‫‪. lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪ . lim‬נפריד לשני מקרים‪:‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫)א( ‪ :a ≥ 1‬ממונוטוניות השורש‪ ,‬לכל ‪ n > a‬מתקיים‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1<na< nn‬‬
‫√‬
‫שני האגפים שואפים ל־‪ 1‬ולכן מכלל הסנדוויץ נובע כי ‪. lim n a = 1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪q‬‬
‫)ב( ‪ :0 < a < 1‬אז ‪ a1 > 1‬ולפי המקרה הקודם נקבל כי ‪ . lim n a1 = 1‬אך ברור כי‬
‫∞→‪n‬‬
‫ומאריתמטיקה נקבל את הנדרש‪.‬‬
‫‪5.3‬‬
‫סדרות מונוטוניות‬
‫∞} ‪ {an‬היא מונוטונית עולה אם‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 5.10‬נאמר כי סדרה ‪n=1‬‬
‫‪∀n ∈ N,an ≤ an+1‬‬
‫נאמר כי הסדרה מונוטונית עולה ממש אם‪:‬‬
‫‪∀n ∈ N,an < an+1‬‬
‫באופן אנלוגי‪ ,‬יורדת‪/‬יורדת ממש‪.‬‬
‫נצטט משפט חשוב אשר נוגע לסדרות מונוטוניות‪:‬‬
‫‪11‬יש לפרט‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫√ = ‪a‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫סדרות מונוטוניות‬
‫משפט ‪ 5.11‬סדרה מונוטונית תמיד מתכנסת במובן הרחב‪ ,‬בפרט‪:‬‬
‫‪ .1‬אם הסדרה חסומה אז היא מתכנסת לגבול סופי‪.‬‬
‫‪ .2‬אם הסדרה לא חסומה אז היא מתכנסת ל־∞ אם היא עולה ול־∞‪ −‬אם היא יורדת‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם הסדרה עולה אז היא מתכנסת לסופרימום שלה ואם היא יורדת לאינפימום‪.‬‬
‫‪ .2‬במקרים רבים נוכל להוכיח התכנסות של סדרה ע"י המשפט ללא יכולת לחשב את הגבול עצמו‪.‬‬
‫∞ ‪ n‬‬
‫‬
‫‪ .3‬ע"י חישוב ישיר )וארוך( מראים כי הסדרה‬
‫‪ 1 + n1‬מונוטונית עולה וחסומה‪ ,‬לפיכך‪ ,‬מהמשפט היא‬
‫‪n=1‬‬
‫∼‬
‫מתכנסת‪ .‬את גבול הסדרה מסמנים ב־‪ .e = 2.71‬מכללי האריתמטיקה והרכבה נובע כי לכל ‪ x ∈ R‬מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪lim 1 + nx = ex‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫∞ ‪Pn 1‬‬
‫‪ .‬קל לראות כי הסדרה עולה ממש‪ ,‬פחות קל לראות כי היא חסומה‪:‬‬
‫‪ .1‬נביט בסדרה ‪i=1 i2 n=1‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫≤‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 2‬‬
‫≤‪1‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪i2‬‬
‫)‪i (i − 1‬‬
‫)‪i − 1 i (i‬‬
‫)‪n (ii‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪ (i‬זהו "סכום טלסקופי"‪ ,‬כלומר‪ ,‬מרבית אברי הסכום מצטמצמים‪.‬‬
‫)‪(i‬הרי ‪ n‬טבעי ןבפרט חיובי‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬לפי המשפט הסדרה מתכנסת ‪.12‬‬
‫‪ .2‬נוכיח קיום ונחשב את הגבול של הסדרה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a =2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ∀n ∈ N, an+1 = √2an − 1‬‬
‫)א( מונוטוניות‪ :‬הסדרה יורדת‪ ,‬נוכיח באינדוקציה על ‪:n‬‬
‫‪ .i‬בסיס האינדוקציה‪ :‬עבור ‪ n = 1‬מתקיים‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪4 > 3 = 2 · 2 − 1 = 2a1 − 1 = a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬למעשה‪ ,‬גבול הסדרה הוא ‪. π6‬‬
‫‪45‬‬
‫= ‪a1 =2‬‬
‫‪5.4‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫תת־סדרות‬
‫‪ .ii‬שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל־‪ n‬ונוכיח עבור ‪:n + 1‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪= 2an+1 − 1 ≥ 2an − 1 = an+1‬‬
‫‪an+2‬‬
‫)∗(‬
‫)∗( הנחת האינדוקציה ומונוטוניות השורש‪.‬‬
‫)ב( חסימות‪ :‬הסדרה יורדת ולכן חסומה מלעיל ע"י ‪ .a1 = 2‬כמו כן‪ ,‬הסדרה בבירור חיובית ולכן חסומה‬
‫מלרע ע"י ‪.0‬‬
‫מהמשפט‪ ,‬הסדרה מתכנסת לגבול ‪ .L‬מהגדרת הסדרה‪ ,‬לכל ‪ n‬מתקיים ‪ ,a2n+1 = 2an − 1‬לפיכך‪ ,‬מיחידות‬
‫הגבול ואריתמטיקה נובע כי ‪ .L2 = 2L − 1‬הפתרון היחיד של המשוואה הוא ‪ L = 1‬וקיבלנו כי הסדרה‬
‫מתכנסת ל־‪.1‬‬
‫‪5.4‬‬
‫תת־סדרות‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {ank‬כאשר ‪ n1 < n2 < ...‬סדרה עןלה ממש‬
‫הגדרה ‪ 5.12‬תת־סדרה של סדרה נתונה ‪ {an }n=1‬היא סדרה ‪k=1‬‬
‫של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫∞‬
‫∞} ‪ {a2k‬ותת־הסדרה של‬
‫‪ .1‬לכל סדרה ‪ {an }n=1‬ניתן לקחת את תת־הסדרה של האינדקסים הזוגיים ‪k=1‬‬
‫∞} ‪.{a2k−1‬‬
‫האינדקסים האי־זוגיים ‪k=1‬‬
‫∞‬
‫‪2‬‬
‫∞}‪.{n‬‬
‫‪ .2‬הסדרה ‪ {n }n=1‬היא תת־סדרה של ‪n=1‬‬
‫הגדרה ‪ 5.13‬אם תת־סדרה של סדרה מתכנסת אז הגבול נקרא גבול חלקי של הסדרה‪.‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫∞}‪ {1‬ולכן‬
‫דוגמה‪ :‬תהא הסדקה ‪ .{(−1) }n=1‬אז תת־הסדרה עם האינדקסים הזוגיים היא הסדרה הקבועה ‪n=1‬‬
‫∞}‪ {−1‬ולכן מתכנסת ל־‪ .−1‬נסיק כי ‪1, −1‬‬
‫מתכנסת ל־‪ 1‬ואילו תת־הסדרה של האינדקסים האי־זוגיים היא ‪n=1‬‬
‫הם גבולות חלקיים של הסדרה‪.‬‬
‫ברור כי אם סדרה מתכנסת אז כל תת־סדרה שלה גם מתכנסת ולאותו הגבול‪ ,‬למעשה‪ ,‬יש כאן אפיון‪:‬‬
‫∞} ‪ {an‬מתכנסת לגבול ‪ L‬אם ורק אם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל־‪.L‬‬
‫טענה ‪ 5.14‬סדרה ‪n=1‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬המשפט נכון גם במובן הרחב‪.‬‬
‫‪ .2‬מסקנה חשובה היא שאם יש לפחות שתי תת־סדרות המתכנסות לגבולות שונים אז הסדרה לא מתכנסת‪.‬‬
‫√‬
‫√ ‬
‫∞‬
‫∞ √‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫דוגמה‪ :‬הואילו־ ‪ 5 5n n=1‬תת־סדרה של ‪ , { n n}n=1‬מהמשפט‪ ,‬מתקיים כי ‪. lim 5 5n = 1 13‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫תכונה שימושית נוספת היא העובדה שבכל סביבה של גבול חלקי יש אינסוף ‪ 14‬מאברי הסדרה‪ .‬אכן‪ ,‬אם תת־‬
‫הסדרה מתכנסת אז כל סביבה של הגבול מכילה את כמעט כל אברי תת־הסדרה אך כמעט כל אברי תת־הסדרה‬
‫הם אינסוף מאברי הסדרה‪.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬תכונה חשובה היא שלכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת‪:‬‬
‫√‬
‫‪13‬כזכור‪ ,‬ראינו כי ‪lim n n = 1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪14‬נא לא להתבלבל‪ ,‬יש הבדל גדול בין אינסוף מאברי הסדרה וכמעט כל אברי הסדרה‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪5.5‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫משפט היינה ־ הקשר בין סדרות לפונקציות‬
‫משפט ‪) 5.15‬בולצאנו ויירשטראס( לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת‪ .‬יתרה מזאת‪ ,‬לכל סדרה יש תת־‬
‫סדרה המתכנסת במובן הרחב‪.‬‬
‫‪5.5‬‬
‫משפט היינה ־ הקשר בין סדרות לפונקציות‬
‫נחזור לפונקציות‪ limf (x) = L ,‬אומר שאם ‪" x‬קרוב" ל־‪ a‬אז ערך הפונקציה ב־‪" x‬קרוב" ל־‪ .L‬בפרט‪ ,‬אם ניקח‬
‫‪x→a‬‬
‫סדרת ערכים של ‪ x‬אשר "מתקרבים" ל־‪ a‬נקבל סדרת ערכים של התמונה אשר "מתקרבים" ל־‪ .L‬בכיוון השני‪,‬‬
‫השאלה היא‪ :‬האם מכך שידוע כי לכל סדרת ערכים אשר "מתקרבים" ל־‪ a‬גם סדרת הערכים המתאימים בתמונה‬
‫"מתקרבים" ל־‪ L‬נובע ‪ ?limf (x) = L‬התשובה היא שכן‪:‬‬
‫‪x→a‬‬
‫∞} ‪{an‬‬
‫משפט ‪) 5.16‬היינה( תהא ‪ f‬מוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ ,a‬אז ‪ limf (x) = L‬אם ורק אם לכל סדרה ‪n=1‬‬
‫‪x→a‬‬
‫המתכנסת ל־‪ a‬ושאבריה שונים מ־‪ a‬מתקיים ‪.f (an ) −→ L‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬המשפט נכון גם עבור גבול במובן הרחב וגם עבור גבול חד־צדדי‪.‬‬
‫‪ .2‬המשפט נותן כלי נוח להוכיח דווקא אי־קיום גבול של פונקציה‪ ,‬כלומר‪ ,‬מספיק למצוא סדרה המתכנסת ל־‪a‬‬
‫ושסדרת התמונות שלה לא מתכנסת ל־‪ L‬או לא מתכנסת כלל‪ .‬גישה נוספת היא למצוא שתי סדרות שונות‬
‫המתכנסות ל־‪ a‬אך שסדרות התמונות מתכנסות לגבולות שונים‪.‬‬
‫‬
‫דוגמה‪ :‬נוכיח כי לפונקציה ‪ f (x) = sin x1‬אין גבול באפס‪ .‬נביט בסדרות‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪πn‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πn +‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫הסדרות בבירור אפסות ומתקיים‪:‬‬
‫‪f (an ) =sin (πn) = 0‬‬
‫‬
‫‪π‬‬
‫‪f (bn ) =sin 2πn +‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר סדרת התמונות בשני המקרים היא סדרה קבועה ולכן מתכנסת ל־‪ 0, 1‬בהתאמה‪ ,‬לכן‪ ,‬מהיינה‪ ,‬הגבול‬
‫‬
‫‪ limsin x1‬לא קיים‪.‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6.1‬‬
‫פונקציות רציפות‬
‫הגדרה ותכונות בסיסיות‬
‫תהא ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבת נקודה ‪ .a‬נאמר כי ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ a‬אם גבול הפונקציה בנקודה קיים ושווה‬
‫ל־)‪ .f (a‬באופן מפורש‪:‬‬
‫‪∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, |x − a| < δ, |f (x) − f (a)| < ε‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪47‬‬
‫‪6.1‬‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫הגדרה ותכונות בסיסיות‬
‫‪ .1‬אם הגבול קיים באופן חד־צדדי ושווה לערך הפונקציה נאמר כי הפונקציה רציפה מימין‪/‬שמאל‪.‬‬
‫‪ .2‬רציפות היא תכונה נקודתית ולכן נאמר כי ‪ f‬רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה ‪ 15‬בקטע‪.‬‬
‫∞} ‪ {an‬המתכנסת ל־‪ a‬מתקיים‬
‫‪ .3‬השקילות של היינה‪ f :‬רציפה בנקודה ‪ a‬אם ורק אם לכל סדרה ‪n=1‬‬
‫)‪.f (an ) −→ f (a‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .4‬ניתן להגדיר רציפות באופן שקול על־ידי ‪.limf (x) = f limx‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה לינארית היא רציפה‪ ,‬למעשה מייד נראה כי כל הפולינומים רציפים‪.‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה ]‪ [x‬רציפה בקטע )‪ [2, 3‬אך לא רציפה בנקודה ‪.3‬‬
‫נסכם תכונות בסיסיות במשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪6.1‬‬
‫‪) .1‬אריתמטיקה( סכום‪/‬מכפלה‪/‬מנה ‪ 16‬של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f‬רציפה ב־ ‪ x0‬ו־‪ g‬מקיימת ‪ limg (t) = x0‬אז ) ‪.limf ◦ g (t) = lim f (x) = f (x0‬‬
‫‪t→a‬‬
‫‪t→a‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪ .3‬כל הפונקציות האלמנטריות רציפות בתחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪ .4‬אם פונקציה ‪ f‬רציפה ומונוטונית ממש בקטע אז ‪ f‬הפיכה שם ו־ ‪ f −1‬גם כן רציפה ומונוטונית ממש‪.‬‬
‫‪ .5‬אם פונקציה רציפה וחיובית בנקודה אז קיימת סבנבה של הנקודה בה הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בהינתן ‪ f‬חיובית ו־‪ g‬נגדיר ))‪ .f (x)g(x) = eg(x)ln(f (x‬כמובן שהפונקציה המעריכית והלוגריתמית רציפות‬
‫בתחום הגדרתן וכמקרה פרטי חשוב של ההרכבה נקבל כי אם ‪ limf (x) = L > 0‬ו־ ‪ limg (x) = M‬אז‬
‫‪x→a‬‬
‫‪x→a‬‬
‫‪ .lim (f (x))g(x) = LM‬מכללי האריתמטיקה‪ ,‬אם בנוסף ‪ L 6= 1 17‬אז ‪ M‬יכול להיות לא סופי‪.‬‬
‫‪x→a‬‬
‫הוכחה‪ :‬רעיון ההוכחה הוא‪:‬‬
‫‪ .1‬נובע ישירות מאריתמטיקה של גבולות‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור פולינומים‪/‬פונקציות רציונליות‪/‬פונקציות טריגונומטריות האענה נובעת מאריתמטיקה ‪ +‬רציפות של‬
‫פונקציה לינארית ו־‪ sin/cos‬שכבר ראינו‪ .‬עבור הפונקציה המעריכית‪ ,‬הגדרנו את ‪ e‬באמצעות סדרות ולכן‬
‫הרציפות נובעת מאריתמטיקה של סדרות והאפיון של היינה‪.‬‬
‫‪ .3‬לאור העובדה שמונוטוניות גורר חח"ע‪ ,‬יש פונקציה הפוכה אחרי צמצום של התחום והטווח‪ .‬לא נוכיח את‬
‫הרציפות אך ניזכר כי באופן גיאומטרי‪ ,‬הגרף של ‪ f, f −1‬זהה ‪ .18‬המונוטוניות של הפונקציה ההפוכה ברורה ‪.19‬‬
‫‪ .4‬ישירות מהגדרת הרציפות ומסקנה ‪.4.6‬‬
‫‪15‬אם הקטע סגול אז בנקודות הקצה מדובר על רציפות מימין‪/‬שמאל‪.‬‬
‫‪16‬כאשר המכנה שונה מאפס‪.‬‬
‫‪17‬במקרה בו ‪ L = 1‬ו־ ‪ M‬אינסופי‪ ,‬לא ניתן להשתמש ישירות באריתמטיקה‪.‬‬
‫‪18‬כאשר חושבים על ‪ f −1‬כפונקציה מציר ‪ ,Y‬אחרת הגרף הוא שיקוף של הגרף של ‪ f‬בישר ‪.y = x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪19‬הרי אם ‪ f‬עולה ממש אז ‪ x < y‬אם ורק אם ‪ y1 = f (x1 ) < f (x2 ) = y2‬ולכן אם ‪ y1 < y2‬אז ‪.x1 = f (y1 ) < f (y2 ) = x2‬‬
‫‪48‬‬
‫‪6.2‬‬
‫מיון נקודות אי־רציפות‬
‫‪6.2‬‬
‫מיון נקודות אי־רציפות‬
‫‪Dr. Rabayev Daniel‬‬
‫נבדיל בין שלושה מצבים בהם פונקציה לא מקיימת את הגדרת הרציפות‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2‬תהא ‪ f‬מוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ a‬אז‪:‬‬
‫‪ .1‬נאמר כי יש לפונקציה אי־רציפות סליקה אם הגבול בנקודה קיים אך הפונקציה לא מוגדרת בנקודה או‬
‫שהגבול שונה מערך הפונקציה בנקודה‪.‬‬
‫‪ .2‬נאמר כי יש לפונקציה אי־רציפות קפיצה )סוג ראשון( אם הגבולות החד צדדיים קיימים אך שונים‪.‬‬
‫‪ .3‬נאמר כי יש לפונקציה אי־רציפות עיקרית )סוג שני( אם אחד הגבולות החד־צדדיים לא קיים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כמסקנה ישירה ממשפט‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪4.21‬‬
‫נקבל כי לפונקציה מונוטונית ייתכנו רק נקודות אי־רציפות מסוג קפיצה‪.‬‬
‫‪ .1‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫יש אי־רציפות סליקה באפס‪.‬‬
‫‪ .2‬לפונקציית הערך השלם יש אי־רציפות מסוג קפיצה בכל מספר שלם‪.‬‬
‫‬
‫‪ .3‬ראינו כי הגבול החד־צדדי באפס של פונקציות ‪ x1 , sin x1‬לא קיים ולכן יש לשתיהן אי־רציפות עיקרת‬
‫באפס‪.‬‬
‫‪49‬‬