מבוא ותרגילי חזרה מכללת אורט בראודה -המחלקה למתמטיקה משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה 11122 יעקב לוצקי ולביא קרפ דף תרגילים מספר 0 מבוא ותרגילי חזרה .1לכל אחת מהמשוואות הבאות קבע האם הם לינאריות ,לא לינאריות ,הומוגניות ומהו סדר המשוואה. א ;uy uxx + 1 = 0 .ב ;ut uxx + tux = 0 .גuxxx + uux = 0 . ד ;utt uxx + x2 = 0 .ה;ux (1 + u2x ) 1=2 + uy (1 + u2y ) 1=2 = 0 . p ו ;uy + ey ux = 0 .ז.uy uxxxy + 1 + u = 0 . ;ut .2הראה שההפרש של שני פתרונות של משוואה לינארית Lu = gעם אותה פונקציה gהוא פתרון של המשוואה ההומוגנית .Lu = 0 .3הראה שהפונקציה )ct) + g (x + ct u(x; t) = f (xהיא פתרון של משוואת הגל ;c2 uxx = 0 utt כאשר f; g : R ! Rעם נגזרות מסדר שני רציפות. :R!R .4נתונה הפונקציה ) ,u(x; y ) = A(4x y ) + B (y xכאשר נגזרות מסדר שני רציפות .הראה כי uמקיימת את המשוואה A; Bפונקציות עם uxx + 5uxy + 4uyy = 0: .5נתונות הפונקציות u(x; y ) = ex cos yו .v (x; y ) = ln px21+y2 הראה כי u = uxx + uyy = v = vxx + vyy = 0: .6נתונה הפונקציה ) ,u(x; y ) = y(x2 y 2כאשר : R ! Rגזירה .הראה כי .7וודא שהפונקציה x2 4t y ,t > 0 ,u(x; t) = p41t eמקיימת את המשוואה uxx = 0 = . uxx + uyy .ut .8פתור את המשוואות הבאות ,כאשר ) ,u(x; yכאשר פונקציה של המשתנים xו .y א ;ux = x2 + y 2 .ב ;uxx = 12xy .ג;ux + u = y . ד ;y > 0 ,yuxy = x y .ה x > 0 ,x2 uxy + xuy = y .רמז :הצב z = uyושים לב ש .xzx + z = (xz )x c לוצקי וקרפ מבוא ותרגילי חזרה משוואות רגילות סדר שני .9מצא פתרון כללי למשוואות הדיפרנציאליות ההומוגניות: א ;y 00 + 5y 0 + 6y = 0 .ב;y 00 + 9y = 0 . ג ;y 00 + 4y 0 + 13y = 0 .ד.y 00 + 8y 0 + 16y = 0 . .10מצא פתרון כללי למשוואות הלא הומוגניות: א ;y 00 + 5y 0 + 6y = 12e 5x .ב;y 00 + 9y = sin(3x) . ג ;y 00 + 4y 0 + 13y = 2x 4 .ד.y 00 + 8y 0 + 16y = cos(2x) . c לוצקי וקרפ מבוא ותרגילי חזרה תשובות . ו. ה. ג. ב: הומוגניות. ו. ד. ב. א:לינאריות 1 8 : R ! R כאשר,u(x; y) = x3 + xy + f (y) ;f; g : R ! R כאשר,u(x; y ) = 2x y + xf (y ) + g (y ) ;f : R ! R כאשר,u(x; y ) = y + e x f (y ) .g : R ! R כאשר,u(x; y ) = x ln y xy + g (x) 2 .f; g : R ! R כאשר,u(x; y ) = y x x + f xy + g (x) ;f 2 3 3 2 2 1 2 2 ln 2 ( ) .א .ב .ג .ד .ה 9 ;y (x) = C1 cos 3x + C2 sin 2x .; בy (x) = C1 e 3x + C2 e 2x .א .y (x) = C1 e 4x + C2 xe 4x .; דy (x) = e 2x (C1 cos 3x + C2 sin 2x) .ג 10 ;y (x) = C1 cos 3x + C2 sin 2x x cos 3x .; בy (x) = C1 e 3x + C2 e 2x + 2e 5x .א 60 ;y (x) = e 2x (C1 cos 3x + C2 sin 2x) + 132 x (13) 2 .ג 1 6 .y (x) = C1 e 4x + C xe 2 4x + 1 132 ( 3 cos2x + 4 sin 2x) .ד c לוצקי וקרפ
© Copyright 2024