‫מבוא ותרגילי חזרה‬
‫מכללת אורט בראודה ‪ -‬המחלקה למתמטיקה‬
‫משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה ‪11122‬‬
‫יעקב לוצקי ולביא קרפ‬
‫דף תרגילים מספר ‪0‬‬
‫מבוא ותרגילי חזרה‬
‫‪ .1‬לכל אחת מהמשוואות הבאות קבע האם הם לינאריות‪ ,‬לא לינאריות‪ ,‬הומוגניות ומהו‬
‫סדר המשוואה‪.‬‬
‫א‪ ;uy uxx + 1 = 0 .‬ב‪ ;ut uxx + tux = 0 .‬ג‪uxxx + uux = 0 .‬‬
‫ד‪ ;utt uxx + x2 = 0 .‬ה‪;ux (1 + u2x ) 1=2 + uy (1 + u2y ) 1=2 = 0 .‬‬
‫‪p‬‬
‫ו‪ ;uy + ey ux = 0 .‬ז‪.uy uxxxy + 1 + u = 0 .‬‬
‫‪;ut‬‬
‫‪ .2‬הראה שההפרש של שני פתרונות של משוואה לינארית ‪ Lu = g‬עם אותה פונקציה ‪ g‬הוא‬
‫פתרון של המשוואה ההומוגנית ‪.Lu = 0‬‬
‫‪ .3‬הראה שהפונקציה )‪ct) + g (x + ct‬‬
‫‪ u(x; t) = f (x‬היא פתרון של משוואת הגל‬
‫;‪c2 uxx = 0‬‬
‫‪utt‬‬
‫כאשר ‪ f; g : R ! R‬עם נגזרות מסדר שני רציפות‪.‬‬
‫‪:R!R‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה )‪ ,u(x; y ) = A(4x y ) + B (y x‬כאשר‬
‫נגזרות מסדר שני רציפות‪ .‬הראה כי ‪ u‬מקיימת את המשוואה‬
‫‪ A; B‬פונקציות עם‬
‫‪uxx + 5uxy + 4uyy = 0:‬‬
‫‪ .5‬נתונות הפונקציות ‪ u(x; y ) = ex cos y‬ו ‪.v (x; y ) = ln px21+y2‬‬
‫הראה כי‬
‫‪u = uxx + uyy = v = vxx + vyy = 0:‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה ) ‪ ,u(x; y ) = y(x2 y 2‬כאשר ‪ : R ! R‬גזירה‪ .‬הראה כי‬
‫‪ .7‬וודא שהפונקציה‬
‫‪x2‬‬
‫‪4t‬‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫‪ ,t > 0 ,u(x; t) = p41t e‬מקיימת את המשוואה ‪uxx = 0‬‬
‫=‬
‫‪. uxx + uyy‬‬
‫‪.ut‬‬
‫‪ .8‬פתור את המשוואות הבאות‪ ,‬כאשר ) ‪ ,u(x; y‬כאשר פונקציה של המשתנים ‪ x‬ו ‪.y‬‬
‫א‪ ;ux = x2 + y 2 .‬ב‪ ;uxx = 12xy .‬ג‪;ux + u = y .‬‬
‫ד‪ ;y > 0 ,yuxy = x y .‬ה‪ x > 0 ,x2 uxy + xuy = y .‬רמז‪ :‬הצב ‪ z = uy‬ושים לב ש‬
‫‪.xzx + z = (xz )x‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫מבוא ותרגילי חזרה‬
‫משוואות רגילות סדר שני‬
‫‪ .9‬מצא פתרון כללי למשוואות הדיפרנציאליות ההומוגניות‪:‬‬
‫א‪ ;y 00 + 5y 0 + 6y = 0 .‬ב‪;y 00 + 9y = 0 .‬‬
‫ג‪ ;y 00 + 4y 0 + 13y = 0 .‬ד‪.y 00 + 8y 0 + 16y = 0 .‬‬
‫‪ .10‬מצא פתרון כללי למשוואות הלא הומוגניות‪:‬‬
‫א‪ ;y 00 + 5y 0 + 6y = 12e 5x .‬ב‪;y 00 + 9y = sin(3x) .‬‬
‫ג‪ ;y 00 + 4y 0 + 13y = 2x 4 .‬ד‪.y 00 + 8y 0 + 16y = cos(2x) .‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫מבוא ותרגילי חזרה‬
‫תשובות‬
.‫ ו‬.‫ ה‬.‫ ג‬.‫ ב‬:‫ הומוגניות‬.‫ ו‬.‫ ד‬.‫ ב‬.‫ א‬:‫לינאריות‬
1
8
: R ! R ‫ כאשר‬,u(x; y) = x3 + xy + f (y)
;f; g : R ! R ‫ כאשר‬,u(x; y ) = 2x y + xf (y ) + g (y )
;f : R ! R ‫ כאשר‬,u(x; y ) = y + e x f (y )
.g : R ! R ‫ כאשר‬,u(x; y ) = x ln y xy + g (x)
2
.f; g : R ! R ‫ כאשר‬,u(x; y ) = y x x + f xy + g (x)
;f
2
3
3
2
2
1
2
2
ln
2
( )
.‫א‬
.‫ב‬
.‫ג‬
.‫ד‬
.‫ה‬
9
;y (x) = C1 cos 3x + C2 sin 2x .‫; ב‬y (x) = C1 e 3x + C2 e 2x .‫א‬
.y (x) = C1 e 4x + C2 xe 4x .‫; ד‬y (x) = e 2x (C1 cos 3x + C2 sin 2x) .‫ג‬
10
;y (x) = C1 cos 3x + C2 sin 2x
x cos 3x .‫; ב‬y (x) = C1 e 3x + C2 e 2x + 2e 5x .‫א‬
60
;y (x) = e 2x (C1 cos 3x + C2 sin 2x) + 132 x (13)
2 .‫ג‬
1
6
.y (x) = C1 e
4x
+ C xe
2
4x
+
1
132
( 3 cos2x + 4 sin 2x)
.‫ד‬
c
‫ לוצקי וקרפ‬