‫נוסחאון מתמטיקה‬ ‫ יחידות לימוד‬4 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) − b ± b 2 − 4ac x1,2 = :‫השורשים‬ 2a :‫אלגברה‬ (a ≠ 0) ax 2 + bx + c = 0 ; ‫סדרה הנדסית‬ :‫משוואה ריבועית‬ :‫סדרות‬ ‫סדרה חשבונית‬ a1 = a  a n +1 = a n ⋅ q a1 = a  a n +1 = a n + d :‫כלל נסיגה‬ a n = a1 ⋅ q n −1 a n = a1 + (n − 1)d :‫י‬-n ‫איבר‬ n ⋅ (a1 + a n ) 2 :‫סכום‬ a1(q n − 1) Sn = q −1 a S= 1 1− q Sn = :‫סכום אינסופי‬ Sn = n ⋅ [2a 1 + (n − 1)d ] 2 (b ≠ 0 a ≠ 0) :‫חזקות‬ x x (a ⋅ b) = a ⋅ b x a x a x  ;   = x b b ; (a x )y = a x ⋅y ; ax = a x −y y a ; ax ⋅ ay = ax+y :‫גדילה ודעיכה‬ .q ‫ הוא‬t ‫שעור הגדילה )או הדעיכה( ליחידת זמן‬ log a (a b ) = b ; a log a b = b log a (b ⋅ c) = log a b + log a c ; log b c = log a c :( a, b, c > 0 ; a, b ≠ 1 ) :‫לוגריתמים‬ log a b b ; log a   = log a b − log a c c M t = M0 ⋅ q t ; log a (b t ) = t ⋅ log a b ‫‪y 2 − y1‬‬ ‫גאומטרייה אנליטית‪ :‬שיפוע‪ ,m ,‬של ישר העובר דרך הנקודות ) ‪: ( x 2 , y 2 ) ( x 1 , y1‬‬ ‫‪x 2 − x1‬‬ ‫משוואת ישר ‪ y = mx + b‬עם שיפוע ‪ ,m‬העובר בנקודה ) ‪: (x1 , y1‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫) ‪y − y1 = m(x − x1‬‬ ‫שיעורי נקודת האמצע ) ‪ M( x M , y M‬של קטע שקצותיו ) ‪ A(x1 , y1‬ו‪ B(x 2 ,y 2 ) -‬הם‪:‬‬ ‫‪y1 + y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪yM‬‬ ‫‪x1 + x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫= ‪xM‬‬ ‫‪d = (x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2‬‬ ‫המרחק ‪ d‬בין הנקודות ) ‪ A(x1 , y1‬ו‪: B(x 2 ,y 2 ) -‬‬ ‫‪m1 ⋅ m 2 = −1‬‬ ‫שני ישרים‪ ,‬בעלי שיפועים ‪ , m1‬ו‪ m 2 -‬מאונכים זה לזה אם ורק אם‬ ‫‪(x − a)2 + (y − b)2 = R 2‬‬ ‫משוואת מעגל שמרכזו )‪ , (a , b‬ורדיוסו ‪: R‬‬ ‫הסתברות‪:‬‬ ‫נוסחת ברנולי – ההסתברות ל‪ k-‬הצלחות מתוך ‪ n‬ניסיונות בהתפלגות בינומית כאשר ההסתברות‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Pn (k ) =  p k ⋅ (1 − p) n − k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫להצלחה היא ‪:p‬‬ ‫)‪P(A ∩ B‬‬ ‫הסתברות מותנית‪:‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ‪ ‬‬ ‫!) ‪ k  k!(n − k‬‬ ‫)‪P( B / A) ⋅ P( A‬‬ ‫; נוסחת בייס‪:‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫= )‪P(A / B‬‬ ‫= )‪P(A / B‬‬ ‫טריגונומטרייה‪:‬‬ ‫‪cos(α ± β) = cos α ⋅ cos β m sin α ⋅ sin β‬‬ ‫;‬ ‫‪sin(α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β‬‬ ‫‪cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫משפט הסינוסים‪= 2R :‬‬ ‫‪sin α sin β sin γ‬‬ ‫;‬ ‫‪sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α‬‬ ‫) ‪ – R‬רדיוס המעגל החוסם(‬ ‫משפט הקוסינוסים‪ γ ) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ :‬היא הזווית הכלואה בין ‪ a‬ל‪(b-‬‬ ‫אורך קשת של ‪ α‬רדיאנים‪l = αR :‬‬ ‫שטח משולש‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שטח גִ זרה של ‪ α‬רדיאנים‪S = αR 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ α‬היא הזווית הכלואה בין ‪ b‬ל‪(c-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫גופים במרחב‪:‬‬ ‫‪V = B⋅h‬‬ ‫) ‪ – B‬שטח הבסיס‪ – h ,‬גובה הגוף(‬ ‫שטח מעטפת‪:‬‬ ‫‪M = P⋅h‬‬ ‫) ‪ – P‬היקף הבסיס‪ – h ,‬גובה הגוף(‬ ‫פירמידה וחרוט‪:‬‬ ‫נפח‪:‬‬ ‫‪B⋅h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪V‬‬ ‫) ‪ – B‬שטח הבסיס‪ – h ,‬גובה הגוף(‬ ‫חרוט‪:‬‬ ‫שטח מעטפת‪:‬‬ ‫‪M = πRl‬‬ ‫מנסרה ישרה וגליל ישר‪ :‬נפח‪:‬‬ ‫)‪ – R‬רדיוס העיגול‪ – l ,‬הקו היוצר(‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪:‬‬ ‫נגזרות‪:‬‬ ‫‪(x t )′ = tx t −1‬‬ ‫)‪ t‬ממשי(‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos 2 x‬‬ ‫= ') ‪(tan x‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ⋅ ln a‬‬ ‫= ‪(log a x )′‬‬ ‫;‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪(cos x )' = − sin x‬‬ ‫‪⋅ ln a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(a ) ′= a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ') ‪( x‬‬ ‫;‬ ‫‪(sin x )' = cos x‬‬ ‫;‬ ‫‪(ln x )' = 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נגזרת של מכפלת פונקציות‪:‬‬ ‫)‪[f(x) ⋅ g(x)]' = f '(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x‬‬ ‫נגזרת של מנת פונקציות‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫) ‪ f ( x )  f ′( x )g ( x ) − f ( x )g ′( x‬‬ ‫= ‪ g(x ) ‬‬ ‫‪[g(x )]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נגזרת של פונקציה מורכבת‪:‬‬ ‫) ‪[f (u ( x))]' = f ' (u ) ⋅ u' ( x‬‬ ‫כאשר ) ‪ u ' ( x‬היא נגזרת של ‪ u‬לפי ‪) x‬נגזרת פנימית(‬ ‫ו‪ f'(u) -‬היא נגזרת של ‪ f‬לפי ‪) u‬נגזרת חיצונית(‪.‬‬ ‫אינטגרלים‪:‬‬ ‫‪x t +1‬‬ ‫= ‪ t ) ∫ x dx‬ממשי‪; ( t ≠ −1 ,‬‬ ‫‪+C‬‬ ‫‪t +1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫אם ) ‪ F( x‬היא פונקציה קדומה של הפונקציה ) ‪ f ( x‬אז‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ x dx = ln x + C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ f (mx + b)dx = m F(mx + b) + C‬‬ ‫‪3‬‬