‫פרק ‪ -1‬פונקציות טריגונומטריות‬
‫‪ 1.1‬הקדמה‪:‬‬
‫בפיסיקה נהוג לעבוד ביחידות מידה של רדיאנים ולא של מעלות‪ .‬הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על‬
‫ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל‪ .R -‬כיוון שהיקף המעגל הוא‬
‫‪ (deg ree)  ‬‬
‫בכדי לעבור ממעלות לרדיאנים נשתמש בקשר הבא‪:‬‬
‫‪180‬‬
‫‪2 R‬‬
‫במעגל כולו יש‬
‫‪2‬‬
‫רדיאנים‪.‬‬
‫‪ (rad ) ‬‬
‫‪ 1.2‬הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות‪:‬‬
‫פונקציות טריגונומטריות הן פונקציות המתארות קשרים ויחסים בין זוויות‪ .‬אלו פונקציות המאופיינות בכך שיש להן‬
‫התנהגות מחזורית ולכן הן משמשות המון בתיאור תופעות שכאלו‪.‬‬
‫פונקציה מחזורית‪ -‬הגדרה‪ :‬פונקציה ) ‪ f ( x‬המוגדרת בתחום ‪ D‬נקראת מחזורית אם קיים מספר‬
‫בתחום ‪. f ( x  T )  f ( x ) D‬‬
‫נדגים בעזרת הגרפים של הפונקציות ‪ sin x, cos x‬ו‪. tan x -‬‬
‫‪y  sin x‬‬
‫‪T 0‬‬
‫כך שלכל ‪X‬‬
‫‪y  cos x‬‬
‫נשים לב למספר דברים חשובים‪:‬‬
‫‪ .1‬מחזור הפונקציה ‪ sin x‬ו‪cos x -‬‬
‫הוא‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ , T‬כלומר‪ ,‬בכל התקדמות של‬
‫‪2‬‬
‫על ציר ה‪ x-‬הפונקציות חוזרות‬
‫על עצמן‪.‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות חסומות בין ‪ 1  y  1‬ומוגדרת לכל ‪.x‬‬
‫נלמד מושג נוסף‪ -‬זוגיות\אי זוגיות של פונקציה‪:‬‬
‫פונקציה מוגדרת כפונקציה זוגית אם ) ‪ f (  x )  f ( x‬ויש לה סימטריה מסביב לציר ‪ ,y‬למשל‪. cos x -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‪ :‬נוכל לראות בגרף ש‪)  cos( ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫פונקציה מוגדרת אי זוגית אם )‪ f ( x)   f ( x‬והיא סימטרית סביב ראשית הצירים‪ ,‬למשל ‪. sin x‬‬
‫דוגמא‪ :‬נוכל לראות בגרף ש‪)   sin( ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. cos( ‬‬
‫‪. sin( ‬‬
‫נתבונן על הגרף של ‪: tan x‬‬
‫‪y  tan x‬‬
‫דגשים‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציה לא מוגדרת ב‪ x     k -‬כאשר ‪ k  0,1, 2...‬מספר שלם‪ .‬זאת כיוון שאלו הנקודות שבהן ‪cos x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫והרי ‪. tan x  sin x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ .2‬מחזור הפונקציה בשונה מ‪ sinx-‬ומ‪ cosx-‬הוא‬
‫‪T  k‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 1.3‬הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות‪:‬‬
‫הקדמה‪:‬‬
‫פונקציה חד‪-‬חד ערכית‪ :‬פונקציה היא חד‪-‬חד ערכית אם לכל ‪ y‬קיים לכל היותר ‪ x‬אחד‪ ,‬כך ש‪. y  f ( x ) -‬‬
‫כעת נוכל להגדיר מהי פונקציה הפוכה‪-‬‬
‫אם )‪ y  f ( x‬והיא פונקציה ח‪.‬ח‪.‬ע‪ -‬אז קיימת ‪ , g  f 1‬הפונקציה ההפוכה של ‪ . f‬זוהי פונקציה המחזירה את ‪x‬‬
‫ו‪ y -‬הוא המשתנה התלוי בה ‪. x  g ( y ) -‬‬
‫אלו פונקציות סימטריות ביחס לישר‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם נעמיד מראה על ציר ‪ y  x‬נראה את הפונקציה ההפוכה‪ .‬נדגים זאת‬
‫על ידי הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות‪-‬‬
‫‪y  arcsin x‬‬
‫ראשית נשים לב ש‪ sinx-‬היא ח‪.‬ח‪.‬ע רק בתחום ‪ . 1  y  1 ,    x  ‬לכן תחום ההגדרה של‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  , 1  x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪arcsin x‬‬
‫‪. ‬‬
‫בכדי לשרטט את הפונקציות ההפוכות נתאים כל נקודה ) ‪ ( x , y‬על‬
‫הגרף המקורי לנקודה ) ‪ ( y , x‬על הגרף של הפונקציה ההפוכה‪.‬‬
‫‪y  arccos x‬‬
‫גם לה תחום הגדרה מצומצם‪0  y   -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1  x  1‬‬
‫‪y  arctan x‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫ת‪.‬הגדרה‪2 :‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   x   ,‬‬
‫הוא‬
‫ הזהויות הטריגונומטריות‬1.4
.‫זהויות טריגונומטריות הם קשרים בין הפונקציות שבעזרתם אנו יכולים לפשט ביטויים רבים‬
:‫זהויות שימושיות‬
1.sin 2 x  cos 2 x  1
2.sin( x)   sin x
3.cos( x)  cos x
4.sin(2 x)  2sin x cos x
1
5.sin 2 x  (1  cos 2 x)
2
sin x
6.tan x 
cos x
cos x
sin x
8.sin(  x)  sin x
7.cot x 

9.cos(  x)  sin x
2
10.cos(  x)   cos x
11.cos(2 x)  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1
1
12.cos 2 x  (1  cos 2 x)
2