פרק -1פונקציות טריגונומטריות 1.1הקדמה: בפיסיקה נהוג לעבוד ביחידות מידה של רדיאנים ולא של מעלות .הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל .R -כיוון שהיקף המעגל הוא (deg ree) בכדי לעבור ממעלות לרדיאנים נשתמש בקשר הבא: 180 2 R במעגל כולו יש 2 רדיאנים. (rad ) 1.2הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות: פונקציות טריגונומטריות הן פונקציות המתארות קשרים ויחסים בין זוויות .אלו פונקציות המאופיינות בכך שיש להן התנהגות מחזורית ולכן הן משמשות המון בתיאור תופעות שכאלו. פונקציה מחזורית -הגדרה :פונקציה ) f ( xהמוגדרת בתחום Dנקראת מחזורית אם קיים מספר בתחום . f ( x T ) f ( x ) D נדגים בעזרת הגרפים של הפונקציות sin x, cos xו. tan x - y sin x T 0 כך שלכל X y cos x נשים לב למספר דברים חשובים: .1מחזור הפונקציה sin xוcos x - הוא 2 , Tכלומר ,בכל התקדמות של 2 על ציר ה x-הפונקציות חוזרות על עצמן. .2הפונקציות חסומות בין 1 y 1ומוגדרת לכל .x נלמד מושג נוסף -זוגיות\אי זוגיות של פונקציה: פונקציה מוגדרת כפונקציה זוגית אם ) f ( x ) f ( xויש לה סימטריה מסביב לציר ,yלמשל. cos x - דוגמא :נוכל לראות בגרף ש) cos( ) - 2 2 פונקציה מוגדרת אי זוגית אם ) f ( x) f ( xוהיא סימטרית סביב ראשית הצירים ,למשל . sin x דוגמא :נוכל לראות בגרף ש) sin( ) - 2 2 . cos( . sin( נתבונן על הגרף של : tan x y tan x דגשים: .1הפונקציה לא מוגדרת ב x k -כאשר k 0,1, 2...מספר שלם .זאת כיוון שאלו הנקודות שבהן cos x 0 2 והרי . tan x sin x cos x .2מחזור הפונקציה בשונה מ sinx-ומ cosx-הוא T k . 1.3הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות: הקדמה: פונקציה חד-חד ערכית :פונקציה היא חד-חד ערכית אם לכל yקיים לכל היותר xאחד ,כך ש. y f ( x ) - כעת נוכל להגדיר מהי פונקציה הפוכה- אם ) y f ( xוהיא פונקציה ח.ח.ע -אז קיימת , g f 1הפונקציה ההפוכה של . fזוהי פונקציה המחזירה את x ו y -הוא המשתנה התלוי בה . x g ( y ) - אלו פונקציות סימטריות ביחס לישר ,כלומר ,אם נעמיד מראה על ציר y xנראה את הפונקציה ההפוכה .נדגים זאת על ידי הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות- y arcsin x ראשית נשים לב ש sinx-היא ח.ח.ע רק בתחום . 1 y 1 , x לכן תחום ההגדרה של 2 2 y , 1 x 1 2 2 arcsin x . בכדי לשרטט את הפונקציות ההפוכות נתאים כל נקודה ) ( x , yעל הגרף המקורי לנקודה ) ( y , xעל הגרף של הפונקציה ההפוכה. y arccos x גם לה תחום הגדרה מצומצם0 y - . 1 x 1 y arctan x , ת.הגדרה2 : y 2 . x , הוא הזהויות הטריגונומטריות1.4 .זהויות טריגונומטריות הם קשרים בין הפונקציות שבעזרתם אנו יכולים לפשט ביטויים רבים :זהויות שימושיות 1.sin 2 x cos 2 x 1 2.sin( x) sin x 3.cos( x) cos x 4.sin(2 x) 2sin x cos x 1 5.sin 2 x (1 cos 2 x) 2 sin x 6.tan x cos x cos x sin x 8.sin( x) sin x 7.cot x 9.cos( x) sin x 2 10.cos( x) cos x 11.cos(2 x) cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 1 1 12.cos 2 x (1 cos 2 x) 2
© Copyright 2024