‫ משוואות דיפרנציאליות‬-8 ‫פרק‬
:‫משוואות מסדר ראשון‬
‫נסו לפתור את המשוואות הדיפרנציאליות הבאות‬
x
1. y  e  y '  e
2. y  c  x, c  const
y '  c  y  y ' x
x
 y
:‫משוואות מסדר שני‬
‫נסו לפתור את המשוואות הבאות‬
1. y  Ae  Be
x
x
y '  Ae x  Be  x
y ''  Ae x  Be  x  y
2. y  A cos(2 x)  B sin(2 x)
y '  2 A sin(2 x)  2 B cos(2 x)
y ''  4 A cos(2 x)  4 B sin(2 x)  4 y
:‫הפרדת משתנים‬
,Y ‫ ייתכן ותקבלו פתרון בו לא ניתן\קשה לבודד את‬-‫ שימו לב‬.‫פתרו את המשוואות הבאות בשיטת הפרדת משתנים‬
.‫ אם נתון תנאי התחלה עליכם למצוא פתרון כללי ופרטי‬,‫ בנוסף‬.‫במקרה כזה השאירו את הפתרון כמשוואה סתומה‬
1.cot( x)  y '   y  3
dy
cot( x)    y  3
dx
1
dy
 dx 
cot( x)
y 3
dy
 tan( x)dx   y  3
 ln(cos x)   ln( y  3)  c
c  ln(a), a  const
1
a
)  ln(
)
cos x
y3
1
a

cos x y  3
y  a cos x  3
ln(
(2  e x )
2. y ' 
3 2y
y (0)  0
dy (2  e x )

dx 3  2 y
 (3  2 y)dy   (2  e )dx
x
3 y  y2  2x  ex  c
y (0)  0  c  1
x
3. y '  2
y 1
dy
x
 2
dx y  1
(y
2
 1)dy   xdx
y3
x2
 yc 
3
2
y
4.e  y '  2 x
 e dy   2 xdx
y
e y  c  x2
e y  x2  c
ln(e )  y
y
y  ln( x 2  c)
1
ln( y )  ln(a  ( x  1))
4
x2
5. y ' 
y
1
4
2
 ydy   x dx
y  a  ( x  1)
y2
x3
c 
2
3
3
2x
y2 
 d , d  const
3
3
2x
d
3
6. y '  xy  y
dy
 y ( x  1)
dx
dy
 y   ( x  1)dx
y
x2
x
2
c  e a , a  const
ln( y )  c 


x
2
y  ae 2
x
7.(1  x) y '  y 2
dy
(1  x)  y 2
dx
dy
dx
 y 2   (1  x)
1
  c   ln(1  x)
y
1
 ln(1  x)  c
y
1
y
d
ln(1  x)
8.( x  1) y '  4 y
y (2)  1
dy
dx
 4 y   x 1
ln(4 y )  ln( x  1)  c
c  ln(a), a  const
y  (a  ( x  1)) 4
y (2)  1  1  a 4 , a  1
y p  ( x  1) 4
9. y ' y 2 sin( x)  0
y ( )  1
dy
  y 2 sin( x)
dx
dy
 y 2   sin xdx
1
  cos x  c
y
1
y
c
cos x
y ( )  1  1  1  c, c  0
1
yp 
cos x
10.dy  2t ( y 2  4)dt
dy
 y 2  4   2tdt
1
y
arctg ( )  c  t 2
2
2
y
arctg ( )  2(t 2  c)
2
y
 tg (2(t 2  c))
2
y  2tg (2(t 2  c))