A. Guillerand – BCPST 1 A Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour allez plus loin sur la compressibilité et la dilatation des phases condensées Notion de compressibilité : Deux paramètres fondamentaux sont utilisés en thermodynamique : la température et la pression . Il peut être intéressant d’étudier l’évolution du volume d’un échantillon de matière en fonction de ces deux paramètres. Définitions : Lorsqu’on étudie le volume d’un échantillon en fonction de la température uniquement, on étudie la dilatation du matériau. Lorsqu’on étudie le volume d’un échantillon en fonction de la pression uniquement, on étudie la compressibilité du matériau. D’autre part, le volume d’un échantillon est une fonction de la pression : on peut le noter . On appelle coefficient de compressibilité isotherme le coefficient défini par : Plus ces coefficients sont grands, plus l’effet de la température ou de la pression est grand sur le volume du matériau. Voici quelques exemples : fer solide ( Propriétés : Dans la plupart des cas lorsqu’on augmente la température d’un matériau, en maintenant constante sa pression, alors son volume augmente : un matériau est dilatable. Dans la plupart des cas lorsqu’on augmente la pression d’un matériau, en maintenant constante sa température, alors son volume diminue : un matériau est compressible. L’importance de ces variations peut se mesurer par des coefficients dont on trouve les valeurs dans les tables de données thermodynamiques. D’après ce qui précède, le volume d’un échantillon est donc une fonction de la température : on peut le noter . On appelle coefficient de dilatation isobare le coefficient défini par : coefficient de dilatation isobare matériau coefficient de compressibilité isotherme ) mercure liquide ( ) dioxygène gazeux ( ) eau liquide ( ) Remarque : Les deux coefficients sont reliés par l’expression suivante (qui peut se démontrer rigoureusement mathématiquement en utilisant la notion de dérivée partielle) : Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour aller plus loin 1 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Compressibilité des phases condensées : Remarque : Les phases condensées sont peu compressibles et peu dilatables aux vues des valeurs des coefficients par rapport aux phases gazeuses. Il existe donc plusieurs modèles de phases condensées selon les phénomènes que l’on étudie : S’il l’on souhaite avoir un ordre de grandeur très rapide de la variation de volume connaissant la variation de température ou de pression, on peut passer de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique directement : - Phases condensées indilatables et incompressibles : et Valable quand on ne cherche pas une grande précision sur le volume de la phase condensée : - Phases condensées peu dilatables et peu compressibles pour lesquelles les coefficients thermoélastiques ( et ) sont constants Modèle à utiliser quand on s’intéresse à la variation de volume du système (même toute petite). On doit donc utiliser thermoélastiques : les définitions microscopiques des Mais il faut cependant bien avoir conscience que ces expressions ne sont pas rigoureusement exactes. Mathématiquement pour passer des définitions, aux expressions que l’on vient d’écrire cela reviendrait à calculer les intégrales en considérant que le volume est constant : coefficients Ce qui est bien entendu faux mathématiquement. Ce calcul ne permet donc que d’avoir un ordre de grandeur. Pour calculer la variation macroscopique de volume connaissant la variation macroscopique de ou , on doit passer par une intégration après séparation des variables. Exemple d’une phase condensée dont la température initialement à Une fois l’intégrale calculée on peut avoir accès au volume . est portée à . connaissant le volume Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour aller plus loin 2 A. Guillerand – BCPST 1 A Document de cours Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Questions sur les documents présentés : 1. Analyser les définitions de et et, sachant que ces coefficients sont généralement positif, justifier qu’elles sont bien en accord avec les propriétés énoncées en page 1. 2. Justifier, en analysant des ordres de grandeurs déterminés à l’aide du tableau de la page 1, que les phases condensées sont bien moins compressibles et indilatables que les phases non condensées. 3. Du benzène liquide subit une compression à la température constante sous la pression atmosphérique . Quelle pression faut-il exercer sur ce liquide pour voir son volume diminuer de de sa valeur initiale ? Commenter le résultat. Données : coefficient de compressibilité isotherme du benzène 4. Un morceau de métal est pris à sous une pression de On souhaite que son volume reste constant. atm. 4.1. Si le métal est soumis à une variation de température élémentaire , que vaut la variation de pression élémentaire à exercer sur le système pour que son volume reste constant ? 4.2. Déterminer la pression qu’il faut exercer sur ce morceau de métal pour que son volume reste constant lorsque sa température passe à la valeur . Commenter le résultat obtenu. 4.3. Expliquer que sur les ponts il y ait des espaces vides régulièrement répartis, comme sur la photo ci-contre. Données : coefficient de dilatation isobare et coefficient de compressibilité isotherme Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour aller plus loin 3 A. Guillerand – BCPST 1 A Problème : utilisation de la dilatation du mercure pour construire un thermomètre 2.1.3. Le mercure contenu dans un thermomètre est un liquide dont on supposera que les coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme sont des constantes. (cf. tableau p1) 1. Analyse préliminaire 2.1.4. Un échantillon de mercure a un volume à la température sous la pression atmosphérique. La température du milieu subit une augmentation jusqu’à atteindre la température . Calculer le nouveau volume de l’échantillon de mercure, ainsi que sa variation relative de volume. Commenter le résultat à la lumière de l’utilisation du mercure pour construire des thermomètres. Données : L, K, K 2. Etude du thermomètre à mercure On étudie un thermomètre à mercure dont l’enveloppe de verre indilatable est constituée d’une réserve inférieure de volume intérieur et d’un fin tube cylindrique de longueur et de rayon intérieur . Pour les applications numériques on prendra , et . 2.1.5. Dans cette partie, la pression à l’intérieur du thermomètre est constante et prise à . 2.1.2. Lorsque le thermomètre est plongé dans de la glace fondante, à la température , on mesure une hauteur de mercure notée et dont la valeur numérique est . Donner l’expression de pour une valeur quelconque de en fonction de , , , , et (on supposera la température suffisante pour que le mercure n’entre pas totalement dans la réserve). Application numérique : calculer pour une température de . En faisant l’hypothèse qu’une variation de température constante conduit à une variation de longueur constante, déduire la longueur parcourue par l’extrémité du mercure pour voir la température s’élever de . Dessiner le thermomètre en plaçant quelques graduations. On a ainsi construit une échelle centésimale de température. Donner l’expression de , variation de longueur de l’extrémité du mercure pour une variation de température entre et . Calculer cette variation de longueur dans les deux cas suivants : et puis et . Dessiner l’allure des graduations du thermomètre sur le schéma de la question précédente et conclure quant à l’hypothèse utilisée à la question précédente. La correction envisagée précédemment est faible. En utilisant le développement limité au premier ordre : si , montrer la relation où est une constante à exprimer en fonction des données de l’énoncé. En déduire que pour une élévation de température constante , la variation de longueur ne dépend pas de la température. A quelle condition sur le quotient l’échelle linéaire de longueur est d’autant meilleure ? 2.2. Risque d’explosion du thermomètre L’enceinte contenant le mercure est fermée, et le verre peut résister à une pression intérieure maximale de . Au-delà, le verre casse, répandant le mercure, composé de grande toxicité. 2.2.1. 2.2.2. 2.1. Echelle de longueur et échelle de température 2.1.1. Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Document de cours Calculer à quelle température le mercure atteint le haut du thermomètre, caractérisé par une longueur , sous la pression ? Si la température continue de s’élever, quelle grandeur caractérisant le mercure reste constante ? En déduire l’expression de la température maximale que peut supporter le thermomètre avant d’exploser. Conclure. 2.3. Un thermomètre déréglé Un thermomètre à mercure est gradué linéairement, on considère donc que la hauteur de mercure est une fonction linéaire de la température. Quand il est plongé dans la glace fondante sous la pression atmosphérique, le mercure affleure à la division . Toujours sous la pression de , dans l’eau bouillante, le mercure atteint la division . 2.3.1. 2.3.2. Dans une solution donnée, le mercure affleure à la division . Déterminer la température du bain indiquée par ce thermomètre. De façon générale déterminer la correction à apporter à la lecture de la graduation sous la forme . En déduire la température pour laquelle indique directement la température du bain dans lequel est plongé le thermomètre. Thermodynamique – Chapitre 1 : Description des différents états de la matière – Pour aller plus loin 4