1. No category

1
2Tb
1
PS 
2Tb
PolarNRZ
 A T    A T   A
2Tb
1
 s  t  dt  2T
2
2
2
b
b
2
:‫ההספק במקרה השני‬
b
0
 sin  fTb  
. P  f   Tb 
 :‫ ההספק הוא‬. PS  1  A  1 :‫ולכן‬
  fTb 
2
0.5
UniPolar NRZ
f
1 / Tb
:RZ-AMI ‫חישוב הספקטרום של‬
m  E  xl   0
:‫נקבל‬
3
R0    xl xl i Pi 
i 1
1
1
1
1
A  A     A     A    0  0  A2
4
4
2
2
bk , bk 1
00
01
10
11
xl xl 1
0
0
0
 A2
bk , bk  2
000
001
010
011
100
101
110
111
xl xl  2
0
0
0
0
0
 A2
0
A2
. R1  R1 :‫ כללי נסתכל תחילה על‬Rn ‫עבור חישוב‬
.‫ אפשרויות‬4 ‫ יש לנו‬bk bk 1 :‫בשידור של שני ביטים‬
4
1
. R1    xl xl 1 i Pi   A2 :‫מהמכפלות שבטבלה מקבלים‬
4
i 1
8
. R2    xl xl  2 i Pi :‫ לפי‬R2  R2 ‫כעת נמצא את‬
i 1
. R2    xl xl  2 i Pi 
i
1 2 1 2
A  A  0 :‫מהטבלה הסמוכה נקבל‬
8
8
.‫ מתאפסים‬Rn -‫לפי אותו העיקרון ניתן לראות כי לכל מרחק ה‬
:‫ נציב הכל ונקבל‬. TS  2Tb :‫ כעת‬G  f  
 t 
Tb  sin  fTb / 2  

 :‫ ולכן‬g  t   rect 
 :‫הפולס‬
2   fTb / 2 
 Tb / 2 
Tb  sin  fTb / 2   A2
Tb A2  sin  fTb / 2  
2
P f   
1  cos  2 nfTb   


 sin  fTb 
4   fTb / 2  2
4   fTb / 2 
2
1
2Tb
2
1
. A  2  PS 
2Tb
PolarNRZ
2Tb
 2 Tb  1 2
A
  A :A ‫נכייל את‬
2 4
b 
1
 s t  dt  2T
2
0
 sin  fTb / 2  
2
. P  f   Tb 
 sin  fTb  :‫נקבל‬
  fTb / 2 
2
0.5
UniPolar NRZ
RZ-AMI
1 / Tb
2 / Tb
f
.‫ לא מעבירים הספק ולכן זו השיטה הטובה ביותר לשידור‬DC ‫ניתן לראות כי עבור‬
10.5.12 :‫ תאריך‬.7 ‫עד כאן הרצאה‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית‬
| 22
‫אפנון אמפליטודה – ‪:AM‬‬
‫אות סינוסי מאופנן אמפליטודה ופאזה‪.   t   f  t  cos ct    t   :‬‬
‫כאשר‪ c :‬הוא תדר הגל הנושא‪ f  t  ,‬אפנון האמפליטודה ו‪   t  -‬הוא אפנון הפאזה‪.‬‬
‫נתייחס תחילה לאפנון אמפליטודה בלבד‪ .‬בה"כ נניח‪   t   0 :‬ואז‪.   t   f  t  cos ct :‬‬
‫‪1‬‬
‫נבצע התמרת פורייה‪ F   c   F   c   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . F   t      ‬כאשר‪F  f  t  :‬‬
‫ניתן לראות כי רוחב הסרט גדל במקרה של הכפלה ב‪.cos-‬‬
‫אפנון זה נקרא‪.Double Side Band Suppress Carrier : DSB-SC :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חילוץ ‪ f  t ‬במקרה ‪:DSB-SC‬‬
‫‪W‬‬
‫‪W‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מכפילים פעם נוספת בתדר הנושא ומקבלים‪f  t   f  t  cos  2ct  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מניחים שמדובר בגלאי סינכרוני (סינכרון בתדר ובפאזה)‪ .‬אחרת מקבלים‪:‬‬
‫‪. F  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫‪.   t  cos ct   f  t  cos 2 ct  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  t  cos    t  0   f  t  cos  2c    t  0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  t  cos c    t  0  ‬‬
‫הביטוי השני נופל במעבר דרך ‪ .LPF‬הביטוי הראשון מייצג עיוות של האות עקב תדר משתנה והנחתה של האמפליטודה‪.‬‬
‫כדי להתגבר על בעיה זו נפתח בתיאור אות ללא אנרגיה בתדרים נמוכים‪ .‬במקרה זה נגדיר‪.   t    A  f  t  cos ct  :‬‬
‫‪1‬‬
‫ואז מקבלים את הקשר‪. F   t   F   t   A    c      c   :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F ‬‬
‫נוכל להשים ‪ BPF‬סביב התדר הנושא ועוד ‪ BPF‬כללי לכל האות ונכפיל‪:‬‬
‫‪BPF ‬‬
‫‪   LPF  fˆ t ‬‬
‫‪r t    t   n t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪for c‬‬
‫‪BPF ‬‬
‫‪cos c  t 0 ‬‬
‫איפנון זה נקרא‪ – )Large Carrier( DSB-LC :‬המשמעות נובעת מהתוספת של ‪ A‬בעוד שב‪ DSB-SC-‬משדרים את האות ללא ‪.A‬‬
‫הבעיה המרכזית בשידור סביב גל נושא ‪ A‬כלשהו היא שמשדרים יותר הספק‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נצילות בשידור ‪:DSB-LC‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  t   dt  AM‬‬
‫ההספק הוא‪ t   A2 cos2 ct  f 2  t  cos2 ct  2 A  f t  cos2 ct :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T 0.5T‬‬
‫‪. Pt ‬‬
‫נניח מספר הנחות‪:‬‬
‫‪ ‬רוחב הסרט של הגל הרוכב קטן בהרבה מהתדר הנושא‪. c  W :‬‬
‫ניתן לראות זאת מהגרפים למעלה – רוחב הסרט ‪ 2W‬קטן בהרבה מ‪. c -‬‬
‫‪ ‬ממוצע האות המשודר הוא אפס‪. E  f  t   f  t   0 :‬‬
‫לפי זה וההנחה הקודמת נוכל לבטל את האיבר‪. f  t  cos2 ct  0 :‬‬
‫ניתן לראות כי התדר הנושא גדול בהרבה ולכן יש‬
‫הרבה מחזורים ביחס לתדר של הגל המקורי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Pt  AM‬‬
‫נקבל מההנחות את ההספק‪ t   A2 cos2 ct  f 2 t cos2 ct :‬‬
‫‪f 2  t cos 2 ct‬‬
‫‪f 2 t ‬‬
‫‪Ps‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר את היחס בין האות המשודר לאות המתקבל‪   s :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪Pt A2 cos 2 ct  f 2  t cos 2 ct A2  f 2  t ‬‬
‫‪Pt‬‬
‫‪. ‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתון‪ - m  1 ; f  t   mA cos mt :‬אות המשודר בעל טון בודד בתדר‪. m :‬‬
‫נוכל לכתוב‪.   t   A1  m cos mt  cos ct  :‬‬
‫‪1 2 1 2 1 2‬‬
‫ההספק המשודר‪A  m  A :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Pt  A2 cos 2 ct  f 2 t cos 2 ct ‬‬
‫‪1 2 1 2‬‬
‫‪m  A‬‬
‫‪Ps‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  ‬‬
‫ההספק של האות‪ P2  m2  A2 :‬ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pt 1 A2  1 m 2  1 A2 2  m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ככל ש‪ m -‬יותר גדול נוכל להגיע לנצילות מירבית של שזה די גרוע‪ .‬לכן שיטה זו לא טובה לעניין הנצילות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נחזור לשאלה המקורית – מה עושים כאשר יש צורך בחיסכון ברוחב סרט‪.‬‬
‫ראינו מקודם כי‪. F   t   F  f t  cos ct  :‬‬
‫מניחים כי האות המשודר הוא ממשי ולכן‪. F     F *   :‬‬
‫נסמן את שני חלקי האות בצבעים שונים ונראה כי ההכפלה ב‪ cos-‬מזיזה את האות‪.‬‬
‫אם נצליח לחתוך את האות במרכז לאחר האיפנון נוכל לשדר באותו רוחב הסרט‬
‫שני אותות‪ ,‬אחד לכל מחצית מרוחב הסרט (לא מצויר כאן)‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הדבר אפשרי כגון שקיים אות נוסף שגם ממנו חותכים את הספקטרום למחציות‬
‫ומשדרים את שניהם‪ ,‬אחת עם החצאים התחתונים שלנו והאחר עם החצאים העליונים‪.‬‬
‫כעת עלינו למצוא כיצד לחתוך בצורה זו‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪W‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪W‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪F1H‬‬
‫‪c‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F1L‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪ ‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪F e jmt‬‬
‫‪‬‬
‫נסתכל על אות אקספוננציאלי מרוכב עם תדר בודד‪. f  t   e jmt :‬‬
‫יהי הגל הנושא‪ e jct :‬ולכן‪:‬‬
‫‪j m c t‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F e jct‬‬
‫‪ . f  t  e jct  e‬החלק הממשי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Re f  t  e jct  cos  m  c  t   cos mt  cos ct   sin mt  sin ct ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לקיחת החלק הממשי גרמה להופעה שני פסי הצד העליון‪.‬‬
‫אם היינו מתחילים עם‪ f  t   e jmt :‬היינו מקבלים את פס הצד התחתון‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪F e jc m t‬‬
‫‪c + m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתרגם את האמור לנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪Re F e jc m t‬‬
‫‪c + m‬‬
‫‪  c +m ‬‬
‫‪SSB   t   cos mt  cos ct   sin mt  sin ct ‬‬
‫‪SSB   t   cos mt  cos ct   sin mt  sin ct ‬‬
‫תוצאות אלו נכונות למקרה הכללי‪( SSB  t   f  t  cos ct   fˆ  t  sin ct  :‬נוכיח זאת בהמשך)‪.‬‬
‫כאשר‪ fˆ  t  :‬הוא האות המתקבל ע"י הזזה של כל קומפוננטות התדר של ‪ f  t ‬ב‪. 90 -‬‬
‫מסקנה‪ :‬אות ממשי מוגבל סרט ניתן לייצוג באמצעות אות קומפלקסי בעל צפיפות ספקטרלית בפס צד אחד בלבד (אות אנליטי)‪.‬‬
‫האות האנליטי )‪ :)analytic signal pre-envelope‬אות קומפלקסי בעל פס צד אחד בלבד אשר חלקו הממשי הוא האות הממשי‪.‬‬
‫‪f  t  cos ct‬‬
‫שיטה לייצור ‪:SSB‬‬
‫‪SSB  t ‬‬
‫‪f t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos ct‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪fˆ  t  sin ct‬‬
‫‪90‬‬
‫‪sin ct‬‬
‫‪Hilbert‬‬
‫‪‬‬
‫נתון אות ממשי ‪ . f  t ‬ברצוננו לחשב את האות האנליטי‪ z A  t  :‬כאשר‪ z A  t   f  t   j  fˆ  t  :‬ו‪ fˆ  t  , f  t  -‬ממשיים‪.‬‬
‫התמרה‪ . Z    F    j  Fˆ   :‬כדי להיות אנליטי‪ Z   ,‬צריך לתפוס פס צד אחת בלבד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫לכן נדרוש‪ . Z A    0 ;   0 :‬זה יקרה אם‪ Fˆ    j  F   :‬עבור‪( .   0 :‬משוואה זו מסומנת ב‪ $-‬בהמשך)‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬עבור ‪   0‬נרשום‪. Fˆ     j  F    :‬‬
‫מכיוון ש‪ fˆ  t  -‬ממשי אז‪ Fˆ *    Fˆ    :‬או‪ Fˆ *    Fˆ    :‬או‪. Fˆ    Fˆ *    :‬‬
‫@‬
‫‪$‬‬
‫לכן קיבלנו כי עבור ‪. Fˆ    Fˆ *     j  F *     j  F   :   0‬‬
‫המעבר האחרון )@( הוא מכיוון שגם‪ f  t  -‬ממשי ולכן‪. F *     F   :‬‬
‫‪2 F     0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪- jF     0‬‬
‫‪ . Fˆ    ‬לכן‪. Z A    F    j  Fˆ     F     0 :‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫‪jF     0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ fˆ  t ‬היא התמרת הילברט של ‪ f  t ‬בה מרכיבי התדר מוסטים בשיעור של ‪. 90‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪. F      sinc ‬‬
‫ניקח לדוגמא מקרה‪ f  t   rect  t /   :‬אזי‪ :‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪jt‬‬
‫‪ fˆ  t  ‬זה די קשה כי ‪ sinc‬הוא אינסופי ולכן נעדיף לעבוד במישור הזמן כמתואר‪:‬‬
‫התמרת הילברט‪ Fˆ   e d :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆf  t   f  t  * 1  1 f   d  1 ln t  0.5‬‬
‫‪ t ‬‬
‫‪ t  ‬‬
‫‪ t  0.5‬‬
‫‪j‬‬
‫זה נכון כי נעזרנו ב‪ sign( )  -‬ולכן‪. Fˆ    sign   :‬‬
‫‪t‬‬
‫מהתיאור הגרפי ניתן לראות כי בקרבת נקודות אי הרציפות יש התבדרות‪.‬‬
‫המשמעות היא שנצטרך מעבד עם אורך מילה גדול יותר ויותר‪.‬‬
‫מכאן שאין "הנחות" בשימוש במתמר הילברט‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .8‬תאריך‪17.5.12 :‬‬
‫בהרצאה קודמת ציינו כי אנו עוסקים באותות צרי סרט שבהם תדר הגל הנושא גדול בהרבה מרוחב הסרט‪.‬‬
‫כגון שהתדר הנושא הוא ‪ c  5GHz‬ורוחב הסרט הוא למשל‪.   5kHz :‬‬
‫אותות צרי סרט (אותות דטרמיניסטיים צרי סרט המרוכזים סביב תדר גבוה)‪:‬‬
‫אות צר סרט מתקבל כאשר מאפננים גל נושא בתדר גבוה‪:‬‬
‫‪f  t   a  t  cos ct    t ‬‬
‫כאשר ‪ c‬גדול (בהרבה) מרוחב סרט האינפורמציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נרשום את ‪ f  t ‬באופן הבא‪. f  t   a  t  cos ct    t   Re f  t  e jct  Re  f p  t  Re f CE  t  e jct :‬‬
‫לאות‪ fCE  t   f  t  :‬קוראים המעטפת המרוכבת העוטפת את האות‪.Complex Envelope :‬‬
‫כל הביטוי ‪ f  t  e jct‬נקרא ‪.Prenvelope‬‬
‫‪j  t  t‬‬
‫‪j t‬‬
‫כאשר הגדרנו‪ f  t   a  t  e    x  t   j  y  t  :‬ואמנם‪. f  t  e jct  a  t  e  c   :‬‬
‫זה הוא אות מרוכב שהחלק הממשי שלנו הינו "העוטפת הקומפלקסית" של האות הממשי ‪. f  t ‬‬
‫האות ‪ f  t ‬הוא פונקציה מרוכבת של הזמן ולכן‪f  t   x 2  t   y 2  t  :‬‬
‫‪y t ‬‬
‫;‬
‫‪x t ‬‬
‫‪.   t   tan 1‬‬
‫נניח כי רוחב הסרט של ‪ f  t ‬הוא ‪ B‬ומקיים (לפחות)‪( 0.5B  f c :‬בציר התדר)‪.‬‬
‫הספקטרום של האות המאופנן ‪ f  t ‬הוא‪:‬‬
‫‪ a  t  j ct   a  t   j ct    1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j t‬‬
‫‪*  j t‬‬
‫*‬
‫‪F    F ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪  F fe c  f e c  F   c   F     c  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫להלן איור של ‪ F  ‬מבוטא באמצעות אות ‪ F  ‬כלשהו‪:‬‬
‫‪F  ‬‬
‫בגרף הראשון מופיעה התמרת פורייה של ‪ F  ‬ובגרף השני‬
‫מופיעה התמרת פורייה של ‪ F  ‬לפי החוקיות שראינו בסוף העמוד הקודם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5B‬‬
‫‪0.5B‬‬
‫‪F  ‬‬
‫נשים לב שמתקיים מהגרף השני‪. F     F *   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  c‬‬
‫‪2‬‬
‫אנו מקבלים במקלט את התיאור של הגרף השני וממנו רוצים למצוא‬
‫את האות האנליטי‪. Fp    F   c  :‬‬
‫ראינו בהרצאה הקודמת כי האות שווה לפעמיים ההתמרה המקורית עבור תדרים חיוביים ובדיוק להתמרה של האות המקורי באפס‪.‬‬
‫המסקנה‪ FCE    F    Fp   c  :‬וכמובן‪. f  t   f P  t  e jct :‬‬
‫‪c‬‬
‫ניתן לקבל את מעטפת האיפנון (העוטפת הקומפלקסית) ‪ f  t ‬ע"י חישוב האות האנליטי באופן הבא‪:‬‬
‫‪ -‬חישוב הספקטרום ‪ F  ‬של האות המאופנן‪.‬‬
‫‪2 F   ,   0‬‬
‫‪‬‬
‫ הפרדה וכיול של החלק הנמצא בתחום התדרים החיוביים כדי לקבל את ‪. Fp     F   ,   0 : FP  ‬‬‫‪0‬‬
‫‪, 0‬‬
‫‪‬‬
‫ הזזה בתדר בשיעור ‪ f C‬למטה (שמאלה) כדי לקבל את‪. F    Fp   c  :‬‬‫ חישוב ‪ f  t ‬מתוך ‪. F  ‬‬‫‪ -‬חישוב של ‪ a  t ‬ו‪   t  -‬מתוך האמפליטודה והפאזה של ‪. f  t ‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נחשב עוטפת קומפלקסית של אות מאונן אמפליטודה‪:‬‬
‫נניח שהגל הנושא הוא‪ cos ct :‬והוא מאופנן אמפליטודה ע"י‪ a  t   te u  t  :‬ו‪.   t   0 -‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ -‬נחשב התמרת פורייה ‪ A  ‬של האות המאופנן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ j  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. A     tet e jct dt ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫ האות המאופנן הוא בעל ספקטרום‪ A   c   A   c   :‬‬‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ f c‬מספיק גדול כך ש‪" A   c  -‬פרקטית" לא זולג לתחום התדרים השליליים‪.‬‬
‫‪. F   ‬‬
‫ נזיז את האות ‪ c‬והרי לנו ההתמרה המבוקשת של ‪. F  ‬‬‫‪ -‬נמצא את ‪ f  t ‬וממנו את האמפליטודה והפאזה‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ c‬‬
:‫תהליך צר סרט‬
:‫ (אות צר סרט) נניח כי תהליך אקראי הוא מהצורה‬f  t  ‫באנלוגיה למה שעשינו בהקשר לייצוג‬
n  t   a  t  cos ct    t 
. a  t  e j t  ‫צידי המכיל בתוכו את פונקצית הצה"ס של‬-‫ הוא רוחב הסרט הדו‬B :‫ כאן‬. 0.5B  f c :‫כאשר‬
. n  t   a  t  e j t   x  t   jy  t  :‫ ניתנת להגדרה באופן הבא‬n  t  ‫ העוטפת הקומפלקסית של‬. E  n  t    0 :‫נניח‬
. n  t  ‫ של האות‬Quadrature-‫ וה‬in Phase-‫ של העוטפת הקומפלקסית נקראים ה‬x  t  , y  t  ‫המרכיבים‬
.   t   tan 1
y t 
, a  t   x 2  t   y 2  t  :‫ ניתן לקבל את הערך המוחלט והפאזה של האיפנון עפ"י‬x  t  , y  t  ‫בהינתן‬
x t 
:‫נזכר כי העוטפת הקומפלקסית מקיימת‬
. n  t   n p  t  e jct 
.)‫ (מהרצאה קודמת‬n p  t   n  t   j  nˆ  t 

.‫ יש לנו קשר בין העוטפת לבין האות והתמרת הילברט שלו‬- n  t   n p  t  e jct  n  t   j  nˆ  t  e jct :‫נקבל‬
 x  t   n  t  cos ct  nˆ  t  sin ct

.
:‫נשווה חלקים ממשיים ומדומים‬
ˆ
y
t

n
t
cos

t

n
t
sin

t







c
c

. n  t  ‫ כדי שנוכל לאפיין את התהליך‬x  t  , y  t  ‫נרצה למצוא את הסטטיסטיקות של‬
: x  t  , y  t  ‫קורלציה של‬-‫ נתעניין בפונקציות האוטוקורלציה והקרוס‬.WSS ‫עלינו להראות תחילה כי מדובר בתהליכים‬
RX    E  x  t  x  t -    E  n  t  n  t -   cos ct  cos c  t -   E  n  t  nˆ  t -  cos ct  sin c  t -  
E  n  t    nˆ  t   cos c  t      sin ct  E  nˆ  t  nˆ  t    sin c  t     sin ct 








1
1
Rn   cos c  2t      cos ct  Rnnˆ   sin c  2t      sin ct 
2
2
1
1
 Rnn
c  2t      sin ct  Rnˆ   cos c  cos c  2t   
ˆ   sin 

2
2

:‫נצטט את התכונות הבאות‬
Rnnˆ     Rˆn   
Rˆ    Rˆ   
nn

n
Rnnˆ  0   Rˆnn
ˆ  0  0

Rnˆ    Rn  


1

. S ffˆ    F R ffˆ    F  * R f    :‫דוגמא לאופן ההוכחה של התכונה השנייה‬
 t

. RX    Rn   cos c  Rnˆ   sin c :‫ ונקבל‬RX   ‫נשתמש בתכונות הבאות בתוך הפיתוח של‬
. RX    RY   :‫באופן דומה ניתן להראות כי‬
. RYX     RXY   :‫ וגם‬RXY    Rn   cos c  Rˆn   cos c :‫קורלציה נקבל‬-‫כאשר נחשב את הקרוס‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית‬
| 22
‫מסקנות מיידיות‪:‬‬
‫א‪ .‬מתוך המשוואות ‪ RX    Rn   cos c  Rnˆ   sin c‬ו‪ RXY    Rn   cos c  Rˆn   cos c -‬נקבל‪:‬‬
‫‪Rn    RX   cos c  RXY   sin c‬‬
‫ב‪ .‬מתוך‪ RX    RY   :‬ברור כי אם ‪ n  t ‬סטציונארי כך גם ‪ x  t ‬ו‪. y  t  -‬‬
‫יותר מכך מתוך א' נובע כי התהליך ‪ n  t ‬הנבנה בעזרת תהליכים סטציונארים במשותף ‪ x  t ‬ו‪ y  t  -‬הוא גם כן ‪.WSS‬‬
‫ג‪ .‬מאחר ו‪ E  n  t    0 -‬כך גם לגבי ‪ y  t  , x  t ‬ו‪( . nˆ  t  -‬יש לנו סטטיסטיקה מסדר ראשון)‪.‬‬
‫ד‪ .‬המשוואה ‪ RX    RY  ‬מראה כי‪.  X2  RX  0   RY  0    Y2 :‬‬
‫מתוך א' נקבל‪.  n2  Rn  0  RX  0 cos c  0   RXY  0  sin c  0    X2   Y2 :‬‬
‫ה‪ .‬מאחר ו‪ y  t  , x  t  -‬ת"א ממשיים (לפי ההגדרה לעיל) אז מתקיים‪. RXY    RYX    :‬‬
‫וזאת יחד עם‪ RYX     RXY   :‬אשר נכתוב אותה‪ RYX      RXY    :‬נקבל‪. RXY      RXY   :‬‬
‫כלומר פונקצית הקרוס‪-‬קורלציה בין ‪ y  t  , x  t ‬היא אי"ז כפונקציה של ‪ ‬ולכן‪. RXY  0    RXY  0   0 :‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬הדגמים ‪ y  t  , x  t ‬חסרי קורלציה‪.‬‬
‫בד"כ נתעניין בתהליכים צרי סרט צה"ס סימטרית ביחס לתדר הגל הנושא‪. Sn c     Sn c    : 0    c :‬‬
‫עם האילוץ הנוסף ‪ . Sn    0 ;   2c‬במקרה זה נרצה להראות כי לא רק ‪ RXY  0   0‬אלא יותר מכך ‪RXY   -‬‬
‫היא זהותית אפס‪ .‬במילים אחרות ‪ y  t  , x  t ‬חסרי קורלציה לכל זמן‪.‬‬
‫נסתכל על‪. R    R   cos    Rˆ   cos   :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪XY‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ Sn  t ‬היא צה"ס המתאימה ל‪ Rn   -‬אזי הצה"ס המתאימה ל‪ Rˆ n   -‬היא‪. Sˆn  f    j  sign  f  Sn  f  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫נקבל‪. S XY  f    Sn  f  f c   S n  f  f c     sign  f  f c  S n  f  f c   sign  f  f c  S n  f  f c   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2j 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫**‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫***‬
‫****‬
‫‪‬‬
‫‪Sn  f ‬‬
‫המרכיבים הספקטרליים המסומנים ב‪ 1-‬מבטלים זה את זה וכנ"ל לגבי ‪.2‬‬
‫כתוצאה מכך מקבלים‪S XY    j  Sn  f  f c   Sn  f  f c  ; f  f c :‬‬
‫‪2 fc‬‬
‫‪fc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R    e d  S  f ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Rn   e j d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 fc‬‬
‫‪Sn   f  ‬‬
‫‪fc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2j‬‬
‫‪4‬‬
‫ופונקצית הצה"ס שלו זוגית‪ .‬בהסתמך על ההנחה כי‪Sn c     Sn c    :‬‬
‫מקבלים‪ S XY  f   0 :‬ולכן‪. RXY    0 :‬‬
‫*‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫נובע כי המרכיבים ‪ 3‬ו‪ 4-‬זהים‪ .‬כאשר פונקצית צה"ס סימטרית ביחס לתדר ‪c‬‬
‫‪2 fc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2j‬‬
‫מאחר ו‪ x  t  -‬ממשי מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ fc‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ fc‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 fc‬‬
‫‪‬‬
‫***‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 fc‬‬
‫**‬
‫‪fc‬‬
‫‪**** j‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ fc‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .9‬תאריך‪24.5.12 :‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪2 fc‬‬
‫חזרה מהירה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בפעם קודמת היה לנו תהליך צר סרט שסימנו‪ R n p  t   n  t  :‬כאשר‪. n p  t   n  t   jnˆ  t  :‬‬
‫הגדרנו‪ - n p  t   nC  t   jnS  t  e jC t :‬אות ה‪ .Prenvelope-‬סימנו‪ n  t   n p  t  e jct :‬או‪. n p  t   n  t  e jct :‬‬
‫הגדרנו אות צר סרט כאות ברוחב סרט ‪ B‬סביב תדר מרכזי ‪ c‬הגדול מאוד ביחס ל‪. B -‬‬
‫סימנו גם‪ nS  t   y  t  , nc  t   x  t  :‬וראינו כי הם חס"ק כתהליכים ולכן במקרה הגאוסי הם בת"ס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נתייחס ל‪ y  t  , x  t  -‬כאל היטלים במערכת צירים המסתובבת לפי ‪ c t‬כפי שניתן לראות מהביטויים‪:‬‬
‫‪y t‬‬
‫‪‬‬
‫‪x t‬‬
‫תכונות סטטיסטיות של תהליך גאוסי צר סרט‪:‬‬
‫נתעניין בתהליך גאוסי ‪ , n  t ‬סטציונארי במובן הרחב‪ ,‬בעל תוחלת אפס ווריאנס ‪.  n2‬‬
‫נניח שהתהליך צר סרט במובן‪( f c  0.5B :‬כאשר‪ .)  B   Hz :‬כפי ראינו‪ n  t  ,‬ניתן לייצוג באמצעות העוטפת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הקומפלקסית ‪ n  t ‬כאשר‪. n  t   Re n  t  e jct  x  t  cos ct   y  t  sin ct  :‬‬
‫נתרכז בתהליך הקומפלקסי‪ n  t   x  t   jy  t  :‬היות והוא מכיל את כל האינפורמציה המשודרת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  t   n  t  cos ct  nˆ  t  sin ct‬‬
‫‪ ‬וציינו כי אם‪ n  t  :‬גאוסי אז גם‪ y  t  , x  t  :‬גאוסים‪.‬‬
‫ראינו בשבוע שעבר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪y‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫עקב כך ‪ n  t ‬הוא תהליך גאוסי קומפלקסי (החלק הממשי והמדומה שלו הם גאוסים)‪.‬‬
‫ראינו גם‪  x2   y2   n2 :‬וכי ‪ y  t  , x  t ‬חס"ק ולכן בת"ס‪.‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫הצפיפות המשותפת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 n‬‬
‫‪. f XY  x, y   f X  x  fY  y  ‬‬
‫‪y t ‬‬
‫אנו מעוניינים לחשב את הסטטיסטיקה של המשתנים‪, 0    2 ; z  t   y 2  t   x 2  t   0 :‬‬
‫‪x t ‬‬
‫נקבל‪d d :‬‬
‫‪ 2  2‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 n2  2 2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2  y 2    P x 2  y 2   2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   t   tan 1‬‬
‫‪. P z    P‬‬
‫עברנו לקואורדינאטות פולריות‪.   z sin  ;   z cos  :‬‬
‫היעקוביאן‪ J  ,    1/ z :‬ולכן‪ . f Z   z,    z  f XY  z cos  , z sin   :‬נציב ונמצא את פונקצית הפילוג‪:‬‬
‫‪dz  Fz  ‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ n2‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪d dz ‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  z e‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪P  z       f Z   z,   d dz ‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2 e 2 n‬‬
‫‪. f Z      n‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫פונקצית הצפיפות מתקבלת ע"י גזירה של פונקצית הפילוג‪:‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫קיבלנו פילוג ריילי )‪ (Rayleigh‬עם פרמטר ‪.  n2‬‬
‫בפרט‪ n , E  z 2   2 n2 :‬‬
‫‪| 23‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. E  z ‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪z2‬‬
‫נחזור למשוואה‪d dz :‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  z e‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪ P  z    ‬ונמצא את הפילוג של ‪. ‬‬
‫‪1‬‬
‫מתוך המשוואה ניתן לראות כי‪ f Z  z   f    f Z  z  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f Z   z,   ‬‬
‫לקחנו שני מא"ג ‪ x, y‬בת"ס ובטרנספורמציה שלהם קיבלנו שני מ"א בת"ס שונים ‪ Z , ‬שאחד הוא גאוסי והשני הוא אחיד‪.‬‬
‫ראינו כי ‪ x, y‬בת"ס באותו הזמן ולכן גם ‪. Z , ‬‬
‫חישוב יחס אות לרעש באיפנונים ליניאריים‪:‬‬
‫א‪ .‬שידור בפס בסיס (נקודת ייחוס)‪:‬‬
‫נתון אות ‪ m  t ‬אליו מתווסף רעש ‪ n  t ‬עם צה"ס‪ N 0 :‬לכל הישר‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫האות הנקלט הוא‪. r  t   m  t   n  t  :‬‬
‫‪S n1 f‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪ n  t ‬הוא רעש לבן גאוסי בעל צה"ס ‪. N 0‬‬
‫לאחר מעבר דרך ‪ LPF‬אידיאלי ברוחב סרט ‪ W‬נקבל‪. r  t   m  t   n1  t  :‬‬
‫‪W‬‬
‫‪W‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ S  E  m  t  ‬‬
‫יחס אות לרעש בנקודת הייחוס עבור שידור בפס בסיס‪ T :‬‬
‫‪   ‬כאשר‪ PT :‬הוא ההספק המשודר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ N  E  n1  t   2WN 0‬‬
‫ב‪:DSB-SC .‬‬
‫‪1‬‬
‫במקרה זה‪ . r  t   m  t  cos ct     n  t  :‬ההספק בכניסה למקלט‪. Sin  E  m2  t  cos 2 ct     PT  m2  t  :‬‬
‫‪2‬‬
‫לאחר מעבר דרך ‪ LPF‬אידיאלי (שאינו פוגע ב‪ ) m  t  -‬נקבל במוצא רעש צר סרט‪.‬‬
‫נוכל לרשום‪ r  t   m  t  cos ct     nC  t  cos ct     nS  t  sin ct    :‬לפי הפיתוח לעיל‪.‬‬
‫אחרי דטקציה סינכרונית‪ ,‬דהיינו‪ ,‬הכפלה ב‪ cos ct    -‬וסינון ‪ LPF‬אידיאלי נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪LPF‬‬
‫‪r  t   m  t  cos ct     nC  t  cos ct     nS  t  sin ct    cos ct    ‬‬
‫‪ m t   nC t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הגלאי למעשה "זרק" את הרכיב המדומה והשאיר אותנו עם רעש ממשי אדטיבי‪.‬‬
‫‪0.25  m2  t ‬‬
‫‪2 PT‬‬
‫‪PT‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -  ‬זהה ליחס אות לרעש הייחוס‪.‬‬
‫יחס אות לרעש הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ N  DSB  SC 0.25  nC  t  2 N 0 2W 2 N 0W‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S‬‬
‫אם נגדיר בנוסף את הספק הרעש בכניסה‪ Nin  nC2  t   nS2  t   2  nC2  t   nC2  t  :‬נקבל‪ 2  in  :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ N  DSB  SC‬‬
‫‪ Nin ‬‬
‫‪ Sin  0.5m2  t ‬‬
‫‪PT‬‬
‫‪1 S ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ . ‬להלן תיאור דיאגרמת בלוקים של מעברי האות‪:‬‬
‫שהרי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 N 0 2W 2  N  DSB  SC‬‬
‫‪nC  t ‬‬
‫‪ Nin ‬‬
‫‪r t ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N  DSB  SC‬‬
‫‪| 23‬‬
‫גלאי סינכרוני‬
‫ו‪LPF-‬‬
‫‪r t ‬‬
‫‪BPF‬‬
‫‪r t ‬‬
‫ערוץ‬
‫‪ Sin ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N in ‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫ג‪:SSB-SC .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לפי הייצוג הכללי‪ˆ  t  sin ct  :‬‬
‫‪ .   t   m  t  cos ct   m‬לכן‪. Sin   2  t   m2  t   mˆ 2  t   PT :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מאחר ו‪ Mˆ   -‬רק מוזז בפאזה יחסית ל‪ M   -‬מתקיים‪. M    Mˆ   :‬‬
‫לפי פרסבל‪ . m2  t   mˆ 2  t  :‬לכן‪. Sin  m2  t   PT :‬‬
‫לאחר מעבר דרך ‪ BPF‬אידיאלי‪ˆ  t  sin ct   nC  t  cos ct   nS t  sin ct  :‬‬
‫‪. r  t   m  t  cos ct   m‬‬
‫כאשר‪ˆ  t  sin ct  :‬‬
‫‪ - m  t  cos ct   m‬אות ‪ SSB-SC‬ו‪ nC  t  cos ct   nS  t  sin ct  -‬רעש צר סרט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אות המוצא מהגלאי הסינכרוני (לאחר מעבר ב‪. r  t   m  t   nC  t  :)LPF-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫נחשב את הספק האות והרעש במוצא המקלט‪ nC  t   Nin ; Sout  m  t   Sin :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.25  m2  t ‬‬
‫‪PT‬‬
‫‪S‬‬
‫‪. ‬‬
‫נקבל יחס אות לרעש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N  SSB  SC 0.25  nC2  t  2 N 0W‬‬
‫מהגרף סמוך ניתן לראות כי‪. nC2  t   2 N0W :‬‬
‫‪. Nout‬‬
‫‪Wc  W‬‬
‫‪S  S‬‬
‫‪PT‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  in    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ ,  ‬כאשר‪:‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪ N  SSB  SC  N  DSB  SC  Nin   N relative‬‬
‫‪ N relative 2 N 0W‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Sn f‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪Wc‬‬
‫עבור מקרה שבו הספק הרעש יחסי לרוחב הסרט שלו אין כל שיפור כפי שראינו עד כה‪.‬‬
‫אבל אם הספק הרעש אינו יחסי לרוחב הסרט‪ ,‬כגון מקרה שבו הספק הרעש נמוך יותר ברוחב הסרט שחותכים ב‪SSB-‬‬
‫ולוקחים ב‪ ,DSB-‬אז יש לשקול את השימוש ב‪ DSB-‬אשר יכול לתת ‪ SNR‬טוב יותר במקרים מסוימים‪.‬‬
‫אחרת‪ ,‬באופן כללי אין עדיפות ל‪ DSB-‬לעומת ‪.SSB‬‬
‫אפנון פאזה‪:‬‬
‫קיימות שתי אפשרויות לאפנון מהצורה‪:   t   A cos ct    t   :‬‬
‫אפשרות ‪ :1‬הפאזה משתנה ליניארית עם האות המאפנן‪.   t   K p f  t   0 :‬‬
‫מאחר והפאזה מיוחסת ליניארית לאות המאפנן אפנון זה נקרא אפנון פאזה )‪.(PM‬‬
‫‪d‬‬
‫‪df‬‬
‫‪. i ‬‬
‫התדר הרגעי‪:‬‬
‫‪ c  c  K p‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫אפשרות ‪ :2‬בוחרים את התדר הרגעי ליניארי לאות המאפנן‪ .‬שיטה זו נקראת אפנון תדר )‪.(FM‬‬
‫אפנון תדר‪ . i  c  K f f  t  :‬התדר הרגעי הוא‪. ct    t    K f f   d  0  ct :‬‬
‫‪0‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .10‬תאריך‪31.5.12 :‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪-Wc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Wc +W‬‬
‫תיאור של ‪Upper Side Band‬‬
‫לחישוב הספק הרעש‪.‬‬
‫נשאלת השאלה האם ישנה עדיפות של ‪ DSB‬לעומת ה‪ SSB-‬מההיבט של הרעש?‬
‫‪t‬‬
‫‪N0‬‬
‫אפנון פאזה‪/‬תדר ‪:PM/FM‬‬
‫הצורה הכללית לתיאום ‪( PM‬או ‪ FM‬עם ההתאמות המתאימות)‪:‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫‪1 3 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  jK p f  t   2! K p f  t   j 3! K p f  t   ...‬‬
‫‪j c t 0 ‬‬
‫‪ Ae‬‬
‫‪jK p f  t ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪j c t 0 ‬‬
‫‪ Ae‬‬
‫‪j  t ‬‬
‫‪. PM  t   Ae‬‬
‫רואים כי בד"כ האפנון פאזה הוא לא ליניארי‪( .‬המשמעות היא שכאשר רוצים לעשות איזושהי אנליזה אז כל מקרה לגופו)‪.‬‬
‫לכן כל אנליזה מתבססת על האות הספציפי המאפנן‪.‬‬
‫אפנון ‪ FM‬צר סרט )‪:(NBFM‬‬
‫נניח‪( f  t   a cos mt  :‬טון בודד) ונדון במקרה בו תנאי הליניאריות מתקיים‪:‬‬
‫‪i  c  K f f  t   c  K f  a  cos mt   c    cos mt ‬‬
‫דיויאצית (סטיית) השיא‪aK f :‬‬
‫‪ . ‬נציין כי זה הוא אינו רוחב הסרט מכיוון שהתמרת פורייה תלויה גם במהירות השינוי‪.‬‬
‫הזווית הרגעית היא‪sin mt  ct   sin mt :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ FM  t   c t   K f f   d  ct ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪  ‬אינדקס המודולציה של אות ה‪ .FM-‬אות ה‪ FM-‬מתואר ע"י‪:‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ sin mt   ...‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪FM  t   Ae j  t   sin  t   Ae j t 1  j  sin mt ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫עבור‪   1 :‬רק הקבוע והאיבר הליניארי ב‪  -‬דומיננטיים‪ .‬לכן במקרה זה רוחב הסרט יהיה ‪. 2m‬‬
‫התנאי בו ‪   1‬ורק שני האיברים הראשונים רלוונטים הוא התנאי ל‪ FM-‬צר סרט‪.‬‬
‫‪2 m‬‬
‫ניתן לראות כי כאשר נכתוב את הסינוס עם אקספוננטים נוכל למצוא‬
‫כי רוחב הסרט הוא ‪. NBFM  t   Ae jct 1  j  sin mt  : 2m‬‬
‫‪c +m‬‬
‫זאת מכיוון שיש לנו הזזה ימינה ושמאלה ב‪ m -‬עקב הסינוס‪.‬‬
‫‪Kf‬‬
‫‪‬‬
‫‪aK f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c -m‬‬
‫‪( .  ‬פרמטר התיכנון הוא‪.) K f :‬‬
‫להמחשה‪ ,‬ניקח את המידות הבאות‪ . f m  1kHz , a  1 :‬נקבל‪:‬‬
‫‪2 1000‬‬
‫ה‪  -‬הוא זה שקובע את רוחב הסרט (צר סרט) כי רק אם מתקיים‪   1 :‬מדובר באפנון צר סרט‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫ראינו באפנון ‪ AM-DSBLC‬כי‪ AM  t   Ae jct 1  m cos mt  :‬הוא אפנון ליניארי במהותו‪ .‬נפתח ונקבל‪:‬‬
‫‪NBFM  t   Ae j t 1  0.5 e j t  0.5 e j t ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫‪AM  t   Ae j t 1  0.5me j t  0.5me j t ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c‬‬
‫באיור הסמוכים ניתן לראות‪:‬‬
‫איור ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ .2‬תיאור ווקטורי של שלושת הפאזות באפנון ‪ NBFM‬והווקטור השקול של האפנון‪.‬‬
‫‪ .3‬תיאור ווקטורי של האפנון השקול ב‪( .NBFM-‬הווקטור הכחול – אלכסון)‪.‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬תיאור ווקטורי של שלושת הפאזות באפנון ‪ AM‬והווקטור השקול של האפנון‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫איור ‪3‬‬
‫‪ t ‬‬
‫‪1‬‬
‫ההבדל הוא שב‪ AM-‬האפנון מתווסף בפאזה לגל הנושא וב‪ BNFM-‬האפנון מתווסף בניצב לגל הנושא‪.‬‬
‫המסקנה היא שב‪ AM-‬אין שינוי פאזה אולם יתכנו שינויי אמפליטודה גדולים‪.‬‬
‫ב‪ NBFM-‬יש שינויי פאזה וכמעט אין שינוי באמפליטודה‪.‬‬
‫‪  sin mt ‬‬
‫‪.   t   tan 1 ‬‬
‫מתוך הדיאגרמה (איור ‪ :)3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫התדר הרגעי לפי ההגדרה‪. i  c   cos mt  m cos mt :‬‬
‫‪m cos mt  1‬‬
‫‪d d‬‬
‫‪  sin mt ‬‬
‫‪ tan 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫מאידך התדר אמור להתקבל ע"י גזירה של הפאזה‪ m cos mt :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1   sin mt‬‬
‫האותות הממשיים‪:‬‬
‫‪  A cos  t   sin  t  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪j c t   sin m t ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪Re NBFM  t   Re Ae‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A cos c t   cos   sin mt    sin ct  sin   sin mt     A cos c t  sin ct    sin mt  ‬‬
‫‪Re  AM  t   ...  A cos ct  m cos ct   cos mt  ‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫עבור אפנון ‪ PM‬התנאי לליניאריות הוא‪ K p  1 :‬והמסקנות זהות‪ .‬לא נרחיב זאת כאן‪.‬‬
‫חישוב פונקצית צה"ס של אות מאופנן ‪ FM‬ע"י תהליך אקראי‪:‬‬
‫נתון ת"א ‪ m  t ‬סטציונארי באופן שהתהליכים ‪ m  t ‬וכן ‪ m  t  c ‬בעלי אותה סטטיסטיקה לכל ‪. c‬‬
‫את תהליך זה מאפנן ‪ FM‬בתדר מנוחה ‪ 0‬אם אינדקס אפנון ‪ ‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪x  t   cos 0t    t   0 ‬‬
‫‪t‬‬
‫כאשר‪ .   t    m   d :‬נניח כי ‪  0‬הוא מ"א מפולג אחיד שלא תלוי ב‪ m  t  -‬המקיים‪. E e2 j0   E e j0   0 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪j  m   d ‬‬
‫נגדיר את התהליכים הקומפלקסים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪j  t ‬‬
‫‪ - z  t   w  t  e j0t 0 ; w  t   e‬האות האנליטי‪.‬‬
‫אזי מתקיים‪ E z  t   E w  t  e j0t E e j0   0 :‬ללא קשר לתוחלת ‪. E w  t ‬‬
‫תוצאת עזר להמשך‪( :‬זו לא פונקצית אוטוקורלציה שכן לפי הגדרה‪:) E  z  t    z*  t  :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪j 0  2t      t      t ‬‬
‫‪  E e  E e‬‬
‫‪2 j0‬‬
‫‪‬‬
‫‪j0t 0 ‬‬
‫‪w t  e‬‬
‫‪j 0  t   0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  z  t    z  t   E w  t    e‬‬
‫‪‬‬
‫מאחר ומתקיים‪ x  t   Re  z  t  :‬אז‪. E  x  t   Re E z  t   0 :‬‬
‫זו היא הסטטיסטיקה מסדר ראשון של ‪. x  t ‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
: z  t  ‫ ושל האות האנליטי‬x  t  ‫נעבור לסטטיסטיקה מסדר שני של‬
RZZ  
e
j0

E  z  t    z *  t   E w  t    e
j 0  t   0 
w*  t  e
 j0t 0 
e
j0


j   t     t  
E e 


 t 
  m  m  j0 
 
 
E exp  j  m   d  

e E exp  j  m   d    e j0 E w  
t

 
 0
 




 t 

 





Rww    E w  t    w  t   E exp  j  m   d    E exp  j  m   d    E e j   :‫כעת‬




t


 0



j0
.   t  ‫ וזאת באמצעות הפונקציה האופיינית של‬Rzz    e E w   ‫ הראינו כי‬.   t  ‫זו הפונקציה העצמית של‬

*

:‫ נקבל‬.‫ אשר נכון תמיד‬2x  t   z  t   z*  t  :‫ נכתוב‬. Rxx   ‫אנו חותרים למציאת‬


4 Rxx    4 E  x  t    x  t   E  z  t     z *  t      z  t   z *   
E  z  t    z  t   E  z *  t    z  t   E  z  t    z *  t   E z *  t     z *    0  Rzz     Rzz    0
. 4E x  t    x  t   Rzz*    Rzz    2Re Rzz   :‫ נקבל‬Rzz     Rzz*   :‫על סמך הקשר הכללי‬
1
. E w    Rzz    Rxx   :‫ מסלול החישוב הוא‬. Rxx    E  x  t    x  t   Re Rzz   :‫קיבלנו‬
2
:)‫ בלבד (מכיוון שבהמשך נניח שהוא גאוסי‬  t  ‫נתרכז בחישוב המומנט הראשון והשני של התהליך‬

t
 t
E   t   E   m   d    E m   d  m  t
0
 0
t
t
 t t
E  2  t   E   m   d  m   d     Rm     d d
0
0
 00
t
   


t
.  -‫ אשר נסמנו ב‬   ‫ נתבונן בגרף בצד ונבחין כי פונקצית האוטוקורלציה מקבלת ערך קבוע לכל‬,‫לגבי האינטגרל‬
. Rm   -‫ מתקבל ערך קבוע השווה ל‬Rm    ‫ על פני פרוסה כמצוין‬. t    t :‫ הם‬ ‫התחומים עבור‬
   ;  t    t :‫ניתן לבצע את הסכימה ע"י המשתנים החדשים‬
.2 ‫ אנו סוכמים רק על פני חצי המלבן העליון ונכפיל פי‬.     t    0 -‫ ו‬0    t      0 :‫כאשר‬
:‫ נקבל‬. Rm    Rm    :‫זאת מכיוון שפונקצית האוטוקורלציה מקיימת‬
t t
t t 
0 0
0 0
E  2  t     Rm  -  d d  

0 t
Rm   d d  

 t 
*
t t 
Rm   d d  2

0 0
t
Rm   d d  2 Rm   t -  d
0
. Rm    Rm    :‫* החלפה לפי סימטריה‬
m  t  ‫ של‬ m "‫ ונגדיר את "משך הקורלציה‬Rm   ‫ הוא גאוסי בעל תוחלת אפס ופונקציה אוטוקורלציה‬m  t  ‫נניח כעת כי‬


1
0 ;    1
. Rm    
:‫ כך שמתקיים‬ 1 -‫ ו‬ 0 ‫ ונבחר שני קבועים‬ m   Rm   d ; 
0

 ;    0
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית‬
Rm  0  ‫ע"י‬
| 22
‫בגרף הסמוך ניתן לראות כי מהות ההגדרה היא "מִילְּבּון" של השטח שבין‬
‫פונקצית האוטוקורלציה עד ל‪  1 -‬לשטח מלבן במידות הירוקות‪.   m :‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rm ‬‬
‫‪‬‬
‫הקבוע ‪  0‬נקבע ע"י שגיאה מסוימת של ‪ ‬ביחס ל‪. Rm  0  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪0‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .11‬תאריך‪7.6.12 :‬‬
‫צפיפות הספק ספקטרלית של אות מאופנן ‪ FM‬ע"י תהליך אקראי‪:‬‬
‫יש לנו תהליך אקראי ‪ .SSS m  t ‬האות אפנון מוגדר ע"י‪cos 0t    t   0  :‬‬
‫המקדם‪  :‬הוא מקדם הפרופורציה‪ .‬העוטפת הקומפלקסית‪:‬‬
‫האות האנליטי‪:‬‬
‫‪j 0t 0 ‬‬
‫‪j  t ‬‬
‫‪. w t  e‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x  t   cos ct    m   d  0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪( z  t   w  t  e‬בלקיחת החלק הממשי מקבלים את האות המשודר)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו את הסטטיסטיקה של ‪ w  t ‬וחישבנו את‪ - Rw    E w    E e j t       :‬הפונקציה האופיינית של‬
‫‪1‬‬
‫‪j ‬‬
‫האות עם פרמטר ‪ . ‬בסוף ראינו‪ Rzz    e 0 E w   :‬וממנו הגענו ל‪Rzz    Rzz     -‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫קיבלנו את הסטטיסטיקות מסדר ראשון ושני וסיימנו שם‪.‬‬
‫‪. Rxx   ‬‬
‫נציין כי התנאים של תהליך אקראי ‪ WSS‬הם‪ E  x  const. in time :‬ו‪. Rxx  t1 , t2   Rxx  t1  t2   Rxx   -‬‬
‫כשנסתכל יותר טוב בספרים נבחין כי קיים תנאי נוסף לתהליך ‪ WSS‬והוא שהווריאנס יהיה סופי‪. var  x   :‬‬
‫לכן לא נעסוק בת"א‪ m  t  :‬גאוסי לבן כי אז‪ Rxx    0.5N0   :‬ואז‪ S x  f   const. :‬והווריאנס‪ ,‬שהוא האינטגרל‬
‫‪‬‬
‫הבא‪ S  f df   :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ , var  x  ‬אינסופי והתנאי הנ"ל לא מתקיים‪ .‬לכן לא נעסוק ברעש גאוסי לבן בתור התהליך שלנו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫זה הרציונל להגדרה‪Rm  0  :‬‬
‫‪Rm   d ; ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪  m ‬מהשיעור הקודם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ;    1‬‬
‫‪ . Rm    ‬אנו מגדירים אותם כדי לקבל הערכה עבור‬
‫נמשיך מההגדות של קבועים ‪  0‬ו‪  1 -‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ;    0‬‬
‫המצבים הקיצוניים של ‪ . ‬נתרכז בחישוב של ‪  2 t ‬לשני מקרים קיצוניים‪ t  1 :‬ו‪. t   0 -‬‬
‫‪Rm  ‬‬
‫נתחיל מהמקרה‪ . t   0 :‬יש לנו את האיור הסמוך ועלינו לחשב את ערך האינטגרל‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪E   t   2 Rm   t -  d  2    t -  d  t 2‬‬
‫‪2‬‬
‫היות ותחום האינטגרציה קטן מאוד נוכל לקרב את האוטוקורלציה לפי ההגדרה‪. Rm     :‬‬
‫הביטוי שנאשר בתוך האינטגרל הוא שטח של משולש ושווה ל‪ . 0.5t 2 -‬לכן מקבלים את התוצאה הסופית‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪t -‬‬
‫מאידך‪ ,‬בתחום‪ t   1 :‬נבצע את הקירוב בכך שלאורך כל התחום ‪ t   1‬מתקיים‪. t    t :‬‬
‫‪t -‬‬
‫ז"א הקו בתחום הנ"ל הוא קבוע‪ .‬בתחום הזה ניתן להתייחס לקו הישר ‪ t  ‬כמקביל לציר ‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t ‬‬
‫בתחום ‪ .  0, 1 ‬נקבל‪:‬‬
‫‪E  2  t   2 Rm   t -  d  2t  Rm   d  2  m t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Rm ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪;  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.  2t   ‬‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  m  ;    1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ j ‬‬
‫עבור מ"א גאוסי הפונקציה האופיינית היא‪:‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . M      e‬נניח‪. m  t   0    0 :‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪e 2‬‬
‫‪. Rw    E w    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e   m ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪;   0‬‬
‫נקבל כהמשך ישיר משיעור קודם‪:‬‬
‫‪;    1‬‬
‫‪2  m  2‬‬
‫נחשב התמרה‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪   2 m2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2 m ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪; F e‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪. F e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫נבחן כעת את שני המקרים‪:‬‬
‫מקרה ראשון ‪ FM(   1 -‬רחב סרט)‪:‬‬
‫נקבל‪  2 m   1 :‬עבור‪  :‬מספיק גדול‪ .‬ולכן‪ Rw    e   m   0 :‬כבר עבור‪.    0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2 ‬‬
‫‪ 1 2  2  2‬‬
‫‪. S ww    F e‬‬
‫לכן נצטרך להתמיר רק לפי החלק הראשון‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ניזכר כי המ"א המתקבל ע"י דגימה של התהליך האקראי הוא מא"ג עם תוחלת אפס ו‪  m  Rm  0    -‬לפי ההגדרה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f m   ‬‬
‫נרשום את פונקצית הצפיפות ברגע מסוים‪e 2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Sww   ‬‬
‫המסקנה מהצירוף של השניים היא‪f m  /   :‬‬
‫‪‬‬
‫תוצאה זו מתאימה (עקבית) עם משפט ‪:Woodward‬‬
‫אם ‪ m  t ‬תהליך אקראי רציף ופונקצית הצפיפות ‪ , f m  ‬עבור המ"א המתקבל ע"י דגימת ‪ m  t ‬בזמן כלשהו ‪ , t‬חסומה‪,‬‬
‫‪     0 ‬‬
‫‪   0  ‬‬
‫‪fm ‬‬
‫אזי עבור ‪ ‬גדול‪:‬‬
‫‪  fm  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2    ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. S xx   ‬‬
‫מקרה שני ‪ FM(   1 -‬צר סרט)‪:‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪2  m  2‬‬
‫‪e 2  1 ;    1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫נקבל‪  2 m   1 :‬ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪w‬‬
‫‪2 2 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪    m‬‬
‫‪e   m ‬‬
‫‪;    1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2 m ‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪. S w    F e‬‬
‫הוכחת המשפט ‪:Woodward‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪  0‬מספיק קטן‪.      m   d  m  0   ;    0 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫נקבל‪ * . Rww    E w    E e j m 0  E e j mt  :‬מדברים על ‪ t‬קטן ולכן הקירוב נכון‪.‬‬
‫*‬
‫כעת‪. Rzz    e j0 E w    m    e j0 :‬‬
‫מאידך אם‪   1 :‬אז‪  m     0 :‬עבור‪ .    0 :‬עפ"י התכונה כאשר‪. m     0     :‬‬
‫מסקנה‪ Rzz    e j0 E w    m    e j0 :‬הינה קירוב מספיק טוב עבור ‪ Rz  ‬למקרה ‪.   1‬‬
‫עפ"י ההגדרה‪d :‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪     e e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪. S zz   ‬‬
‫‪‬‬
‫בהסתמך על הקשר ההופכי‪d  :‬‬
‫‪ j ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   e‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪   0 ‬‬
‫‪fm ‬‬
‫נקבל‪ :‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪     e‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪( f m   ‬מצוטט מהספר)‪.‬‬
‫‪( . S zz   ‬לפי החלפת משתנים מקבלים את הדמיון)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ FM‬רחב סרט‪:‬‬
‫שני גורמים קובעים את רוחב הסרט של אות מאופנן ‪:FM‬‬
‫‪i‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬קצב השינוי של האות המאפנן – כלומר רוחב הסרט של המידע‪.‬‬
‫‪ .2‬הפרופורציה בין האמפליטודה של האות המאפנן והתדר הרגעי של אות ה‪.FM-‬‬
‫להשים לב‪ :‬תדר רגעי ורוחב סרט פורייה הם לא בהכרח זהים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪t‬‬
‫ראינו כי ב‪ FM-‬צר סרט האפקט השני זניח ביחס לראשון‪ .‬במקרה זה ‪.   m‬‬
‫כאשר‪ - m :‬תדר האוסילציות (נקבע ע"י ‪ - C , ) K f‬תדר הנשא (האות מאופנן סביבו)‪ -  ,‬המרחק בתדר בין התדר המרכזי‬
‫והתדר של ה‪"-‬פיק"‪ .‬נציין כי ‪ ‬הוא לא ‪ . m‬לכן במישור התדר נקבל (עבור אוסילציות צפופות יותר של הסינוס ביחס למשולש)‪:‬‬
‫‪F  ‬‬
‫‪   m1   m 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ C  m1   C  m 2   C‬‬
‫המקרה הסינוסי‪:‬‬
‫הניתוח של אפנון ‪ FM‬במקרה של אפנון טון בודד (בו ניתן להשתמש בכלים הפשוטים יחסית) יאפשר לנו‬
‫לקבל תחושה עבור המקרה הכללי‪.‬‬
‫‪i  C  aK f cos mt   C   cos mt‬‬
‫‪sin mt   C t   sin mt ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪j  t   sin  t  ‬‬
‫‪FM  t   Re Ae j t   Re Ae ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j  sin  t‬‬
‫האקספוננט ‪ e  m ‬הינו פונקציה מחזורית בתדר‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  t   C t ‬‬
‫‪ m ‬לכן נפתח לטור פורייה‪:‬‬
‫‪jnmt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Fe‬‬
‫‪n‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪n ‬‬
‫‪. e j sin mt  ‬‬
1
1
2
j  sin    n 
j  sin  t
. Fn 
e
d  J n    :‫ נקבל‬.   mt 
e  m e jnmt dt :‫כאשר‬
t :‫ נגדיר‬. Fn 


T 0.5T
T 0.5T
T
.‫ מהסוג הראשון‬n ‫ מסדר‬Bessel ‫קיבלנו פונקצית‬
0.5T
0.5T
:‫תכונות של פונקצית בסל מהסוג הראשון‬
‫תיאור מספר פונקציות בסל מהסוג הראשון‬
.‫ פונקציות ממשיות‬J n    .1
. J n     J  n    :‫ זוגי‬n ‫ עבור‬.2
. J n      J  n    :‫ אי"ז‬n ‫ עבור‬.3

.
 J     1 .4
n 
2
n
:‫לפי התכונות הנ"ל נוכל לכתוב‬
e
j  sin mt 


 Fe
n 

jnm t
n

 J  e
n 
FM  t   Re  Ae j t


C

 J  e
n 
jnmt
n
n
jnmt


  A  J n    cos C  nm  t 
n 

...‫המשך בהרצאה הבאה‬
14.6.12 :‫ תאריך‬.12 ‫עד כאן הרצאה‬
:‫ רחב סרט – אפנון טון בודד – המשך‬- FM
i  t   c  aK f cos mt   c   cos mt
  t    i   d  ct 

m
:‫חזרה על הנוסחאות שראינו עד כה‬
sin mt  c t   sin mt




 Re  Ae jct  J n    e jnmt   A  J n    cos c  nm  t 
n 
n 



2
e j  sin mt   Fn e jnmt ; m
T
n 
0.5T

‫ פונקציות בסל‬J n   
1
1
2
j  sin m t  jnm t
Fn 
e
e
dt

e j   sin   n  d   J n    ;   mt 
t


:‫ מהסוג הראשון‬n ‫מסדר‬
T 0.5T
2  
T
FM  t   Re  Ae j t e j  sin 
c
mt

:‫ נקבל את הקומבינציה הבאה של האיברים עם פונקציות בסל‬FM  t  ‫כאשר נפשט עוד את‬
 J 0    cos c t 





FM  t   A  J1    cos c  m  t  cos c  m  t  



 J 2    cos c  2m  t  cos c  2m  t   ...


‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית‬
| 22
‫המסקנה מהאנליזה‪:‬‬
‫אות ‪ FM‬מאופנן בטון בודד כאשר ‪ ,   1‬בניגוד ל‪ AM-‬מכיל מספר אינסופי של אונות‪.‬‬
‫ככל ש‪ n -‬עולה גודל האונות יורד ולכן פרקטית ניתן לדבר על רוחב סרט סופי‪.‬‬
‫ניתן לראות כי עבור ‪ ‬גדול (‪ FM‬רחב סרט) ניתן לקרב את רוחב הסרט ע"י התחשבות בכל האונות עד ‪. n  ‬‬
‫‪‬‬
‫במילים אחרות‪ J n    ,‬ניתן להזנחה עבור ‪ . n  ‬רוחב הסרט הוא‪m   :‬‬
‫‪( W  nm  m ‬הסתכלות על צד אחד)‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫להזכיר‪ ,‬ב‪ FM-‬צר סרט קיבלנו‪. W  m :‬‬
‫נוסחת הקירוב של קרסון‪:‬‬
‫נטפל במקרה ביניים שבו ‪ ‬אינו גדול מאוד ואינו קטן מאוד‪.‬‬
‫הנוסחה אומרת שניתן לקרב‪. W  2    m   2m 1    :‬‬
‫הספק ממוצע באפנון פאזה‪/‬תדר‪:‬‬
‫במקרה של טון בודד האפנון נתון לפי‪. FM  t   A cos ct   sin mt  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . FM‬כלומר בניגוד ל‪ AM-‬הספק השידור הוא קבוע‪.‬‬
‫ניתן לראות כי הממוצע שווה ל‪ t   0.5 A2 -‬‬
‫מסקנה זו נכונה לכל אות מאפנן מוגבל סרט‪.‬‬
‫חישוב יחס אות לרעש במקלט ‪:FM‬‬
‫מערכת קליטה המבוססת על דיסקרימינטור ‪( FM‬גוזר)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪sout  t   nout  t ‬‬
‫‪LPF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin t  n t‬‬
‫‪FM‬‬
‫‪limiter‬‬
‫‪IF‬‬
‫‪(Intermediate‬‬
‫) ‪Frequency‬‬
‫‪BPF‬‬
‫‪+‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בהנחה של מגבל אידיאלי‪ ,‬האות בכניסת הדיסקרימינטור ‪. sin  t   AFM  t   A cos  ct  K f  f   d ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫מוצא הדיסקרימינטור יחסי להפרש בין התדר הרגעי ‪ i‬ותדר הגל הנושא‪ c  K f f  t  :‬‬
‫‪. sout  t  ‬‬
‫‪dt‬‬
‫הספק האות במוצא הגלאי (ללא הרעש)‪. Sout  K 2f f 2  t  :‬‬
‫כדי לחשב את הספק הרעש במוצא המקלט נניח כי‪ i  c :‬ונחשב את הספק הרעש במוצא הדיסקרימינטור בנוכחות‬
‫רעש ‪ +‬גל נושא‪( .‬האפנון אינו ליניארי ולכן לא ניתן להפריד את השניים)‪.‬‬
‫אנו מניחים זאת מכיוון שקצב השתנות הרעש גדול מאוד ביחס לקצב התזוזה של ‪ i‬ולכן זה לא משנה היכן ממוקם ‪i‬‬
‫בתוך רוחב הסרט ברגע החישוב‪/‬מדידה‪.‬‬
‫‪| 23‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נרשום את האות שבכניסה לדיסקרימינטור‪:‬‬
‫‪A cos ct   n  t   A cos ct  nC cos ct  nS  t  sin ct  r  t   cos ct   t ‬‬
‫נרצה לרשום זאת בצורה של אמפליטודה ‪ +‬פאזה‪ .‬נעזר בהחלפה‪:‬‬
‫‪ A  nC  t   cos ct  r  t  cos ct   cos    t  ‬‬
‫‪nS  t  sin ct ‬‬
‫‪r  t  sin ct   sin   t  ‬‬
‫‪nS  t ‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל אמפליטודה ופאזה‪, r  t    A  nC  t   nS2  t  :‬‬
‫‪A  nC  t ‬‬
‫‪.   t   tan 1‬‬
‫נניח כעת כי ‪ . nC  t  , nS  t   A‬האמפליטודה יוצאת קבועה בקירוב טוב כך שהמגבל כמעט ואינו עושה דבר‪.‬‬
‫‪nS  t ‬‬
‫‪n  t  nS  t ‬‬
‫‪ tan 1 S‬‬
‫‪‬‬
‫הפאזה יוצאת‪:‬‬
‫‪A  nC  t ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪(   t   tan 1‬קירוב של זוויות קטנות)‪.‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪d 1 d‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ה‪ SNR-‬גבוה מקבלים‪nS  t  :‬‬
‫‪. nout  t  ‬‬
‫‪dt A dt‬‬
‫‪1‬‬
‫זה הוא תהליך אקראי גאוסי‪ .‬נקבל‪. Snout    2  2 SnS   :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪out‬‬
‫‪‬‬
‫‪fm‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 m‬‬
‫‪8 2  3‬‬
‫הספק הרעש‪f m :‬‬
‫‪. Nout  n  t   2   2 df ‬‬
‫‪A 0‬‬
‫‪3 A2‬‬
‫(אופן החישוב התבצע ע"י אינטגרל מאפס ועד לתדר המסוים‪ .‬לאחר מכן מכפילים פי ‪ 2‬כי האינטגרל סימטרי לכיוון החיובי והשלילי)‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪out‬‬
‫הספק הגל הנושא‪. Sout  0.5 A2 :‬‬
‫רואים כי הספק הרעש יחסי הפוך להספק הגל הנושא‪ .‬תופעה זו נקראת תופעת ההשתקה‪.Noise quieting :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sout‬‬
‫‪3 K f f  t   0.5 A2 ‬‬
‫‪3 K f 2  Sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f t  ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל יחס אות לרעש‪ :‬‬
‫‪N out 4 2‬‬
‫‪f m2   f m  4 2 f m2‬‬
‫‪  fm ‬‬
‫עבור ‪ FM‬רחב סרט (אשר שם רוחב הסרט יחסי ל‪ .) K f -‬רואים כי יחס האות לרעש בתפוקת המקלט המבוסס על הדיסקרימינטור‬
‫גדל לפי ריבוע יחסי הסרט‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫עבור ‪ f  t ‬סינוסי‪sin  2 f mt   :‬‬
‫‪. Sin  t   A cos ct ‬‬
‫‪fm‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪ K f f t    2f  cos mt   cos 2 f mt :‬ולכן‪ 2f   2 2f 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2  f   0.5 A2  3  f   Sin  3 2  Sin ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫יחס אות לרעש עבור טון בודד‪ :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f m2‬‬
‫‪  fm  2  fm    fm  2   fm ‬‬
‫‪. K 2f f 2  t  ‬‬
‫‪| 23‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪S ‬‬
‫‪.  out ‬‬
‫‪ N out  single ton‬‬
‫‪nS  t ‬‬
‫גם כאן יש לנו תופעת סף ולא ראינו אותה בגלל ההזנחה של ‪ nC  t ‬בביטוי‪:‬‬
‫‪A  nC  t ‬‬
‫באיור בצד ניתן לראות את הזווית שמשתנה בהתאם לאפנון‪.‬‬
‫כאשר לא נזניח את ‪ nC  t ‬נקבל כי ‪  i‬תשתנה עקב ריצוד הרעש בזמן‪.‬‬
‫נקודת הייחוס היא ‪ A‬וביחס אליה יזוזו האלמנטים של הרעש‪.‬‬
‫במצב זה יש לנו גם הספק מדומה ולכן כאשר ממשיכים בתהליך לא ניתן להתעלם מזה‪.‬‬
‫‪.   t   tan 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪nS t‬‬
‫‪‬‬
‫‪nC t‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫כאשר נקטין את ה‪ SNR-‬נקבל כי איברי הרעש גדלים והתוצאה של זה היא סיבוב שלם של ‪  i‬המתבטא ב‪"-‬קליק"‪.‬‬
‫לא ננתח בפירוט את תופעת הסף מעבר לכך‪.‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .13‬תאריך‪21.6.12 :‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬