‫פיסיקה ‪1‬מ )‪ – (114071‬חורף תשע"ג‬ ‫ווקטורים‬ ‫קינמנטיקה‬ ‫תנועה בתאוצה קבועה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x x0 v0t  at 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪vt v0 at xx0 (v0 vt )t /2 vt2 v02 2ax‬‬ ‫תנועה בליסטית‪:‬‬ ‫‪v0 2 sin ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫‪v 2 sin 2 ‬‬ ‫‪H 0‬‬ ‫‪2g‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪v02  2 gh‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 v0 cos ‬‬ ‫‪y ( x )  x tan  ‬‬ ‫‪v0 sin ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪t R  2t H v f  v0  tan  ‬‬ ‫‪tH ‬‬ ‫קינמטיקה בווקטורים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪d 2r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v  ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dr ‬‬ ‫‪v   r‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ vdt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r t  r0 ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v t  v 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   adt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪yˆ  zˆ  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r ' r  ut‬‬ ‫‪vx vx u‬‬ ‫‪a  a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫גודל ווקטור‪:‬‬ ‫‪r  r '  ut‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪vx  vx  u‬‬ ‫‪a x2  a y2  a z2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרדיאנט‪ f f f  :‬‬ ‫‪f   , , ‬‬ ‫‪ x y z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f 1 f‬‬ ‫בקואורדינטות פולריות‪1 f  :‬‬ ‫‪f   ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫תנועה בכיוון כלשהו ביחס לכדה"א בקו רוחב ‪:θ‬‬ ‫‪ (1‬תנועה מערבה‪ :‬גודל תאוצת קוריוליס יהיה‪:‬‬ ‫) ‪ acor  2v sin(‬והכיוון שלה יהיה‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪v v '  u  t ‬‬ ‫כוח חשמלי ומגנטי‬ ‫שמאלה )ציור( ‪ (2‬תנועה מזרחה‪:‬‬ ‫אותו גודל תאוצה בכיוון ימין‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q  ‬‬ ‫כוח חשמלי‪ FE  qE :‬כוח מגנטי‪FB  v  B :‬‬ ‫על גוף נופל ‪ -‬כוח קור' יהיה מזרחה‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫על גוף עולה‪ -‬כוח קור' יהיה מערבה‪.‬‬ ‫‪ -q‬מטען החלקיק עליו פועל הכוח‪.‬‬ ‫בכדה"א הצפוני‪ -‬רכיב אופקי של קור' ימינה‪.‬‬ ‫דוגמא למשוואת מרחק דיפרנציאלית‪ :‬שרשרת נופלת‬ ‫בכדה"א הדרומי‪ -‬רכיב אופקי של קור' שמאלה‪.‬‬ ‫תנועה לכיוון קו המשווה‪ :‬קוריוליס מערבה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫משולחן חלק‪ .‬אורך ‪ .l-‬תאוצה‪ a  l g :‬מציאת מרחק תנועה לכיוון הקוטב‪ :‬קוריוליס מזרחה‪.‬‬ ‫עבור גופים שנעים מזרחה‪/‬מערבה‪ -‬כוח קוריוליס‬ ‫קצה השרשרת מהשולחן ‪ y-‬כתלות בזמן‪ :‬גוזרים פעמיים‬ ‫שווה בכל קו רוחב )תמיד מאונך ל ‪ (-‬ומקביל לכוח‬ ‫‪2‬‬ ‫את ‪ y‬ומשווים לתאוצה‪ d 2y  g y :‬פיתרון‪ y  Aet :‬הצנטריפוגלי )פנימה‪/‬החוצה מהסיבוב(‬ ‫‪l‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫בקו המשווה‪:‬כוח קוריוליס פועל במקביל לכוח‬ ‫‪:‬‬ ‫ומקבלים‬ ‫למשוואה‬ ‫מציבים את הפיתרון‬ ‫‪v2‬‬ ‫הכובד‪ Fo  m  mg  2 m v  N  mw2 r .‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪   l     g‬ולכן ישנם שני פתרונות וגם הסכום‬ ‫‪l‬‬ ‫תאוצה מדומה כתלות בזווית‪:‬‬ ‫שלהם הוא פיתרון‪:‬‬ ‫את ‪ A‬ו ‪ B-‬צריך ת"ה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Be‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y t  Ae‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ˆ‪acor  2 v sin(90  )(  y‬‬ ‫‪ .‬כדי למצוא‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y t  0  y 0 , y t  0  0‬‬ ‫ומהם‬ ‫מקבלים‪:‬‬ ‫‪y0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪ ˆ  r‬‬ ‫‪v  r  rr‬‬ ‫תנועת ספירלה‪:‬‬ ‫‪ -‬פונה החוצה מציר הסיבוב‪.‬‬ ‫*את התאוצה יש לפרק לרכיבים אם המהירות לא מקבילה‬ ‫לציר ‪) !x‬כפל ‪.(sin/cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a  2 v0 t  v 0 t cos t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫תאוצה רדיאלית‪ar      r    2rrˆ :‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫תאוצה משיקית‪a    r   rˆ :‬‬ ‫מהירות זוויתית‪   :‬‬ ‫תאוצה זוויתית‪     :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   0   0t   t 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  0   t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫‪F  mar  m  m 2 r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫כוח לתנועה מעגלית‪:‬‬ ‫המהירות המשיקית על‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ v  r a  v   2 r‬דיסקה גדלה ככל שהרדיוס‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫קטן‪ ,‬ביחס ישר לרדיוס‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫זמן מחזור ותדירות‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫תנועה במעגל זקוף‪:‬‬ ‫תנועה מעגלית שלמה‪:‬‬ ‫ניתוק הגוף ברבע‪:‬‬ ‫בשדה מגנטי‪:‬‬ ‫‪R  mv‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 r‬‬ ‫‪T ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪5 gR‬‬ ‫‪, v0 ‬‬ ‫‪gR‬‬ ‫‪. vc ‬‬ ‫‪v0  2 gR‬‬ ‫‪qB‬‬ ‫‪qB‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪mar  qvB  ‬‬ ‫מערכות מסתובבות )קוריוליס(‬ ‫תאוצת קוריוליס‪:‬‬ ‫כוח קוריוליס‪:‬‬ ‫‪ac  2u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Fcor 2 m u‬‬ ‫)אם ‪ u=0‬הגוף‬ ‫לא נע ואין כוח קוריוליס(‬ ‫כוח צנטריפוגלי‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Fcent   m   rr‬‬ ‫‪‬‬ ‫תמיד‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fcent  m r‬‬ ‫תאוצה במערכת מסתובבת ובאינרציאלית‪:‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arot  aI    (  rrot )  2‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪centrifugal a acor‬‬ ‫רדיוס‪ 6.410 6 m :‬תדירות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r  v 0 t  xˆ cos t  yˆ sin t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v  v 0  cos  xˆ  sin  yˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פונה החוצה מהסיבוב וערכו‪:‬‬ ‫) ˆ‪acor  2 v sin  (  y‬‬ ‫‪Fcent  m r sin   ‬‬ ‫ומציבים במשוואה‪.‬‬ ‫)נכנס לדף(‬ ‫כשהזווית מסומנת הפוך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪r  rr‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫מהירות משיקית‪v    r v   rˆ :‬‬ ‫)למהירות יש רק חלק משיקי בתנועה מעגלית(‬ ‫אופרטורים ווקטוריים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FD   ma0‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫גזירת ווקטורי היחידה‪:‬‬ ‫מהירות ותאוצה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ˆ r‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪rˆ ‬‬ ‫תנועה מעגלית‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪aa ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ yˆ  sin  rˆ  cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  r cos‬‬ ‫‪r  x  y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ y  r sin ‬‬ ‫‪tan  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫היטל וקטור ‪ A‬על ‪:B‬‬ ‫כוח דלאמברט‪ :‬מערכת '‪ S‬מאיצה בתאוצה קבועה ‪-‬‬ ‫טרנספורמציה‪:‬‬ ‫ˆ‪xˆ  yˆ  z‬‬ ‫‪  B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪AB  ABˆ Bˆ   A   Bˆ  | A|cos  B‬‬ ‫‪ | B| ‬‬ ‫)מערכת '‪ S‬נעה במהירות קבועה(‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪a  a ' a 0‬‬ ‫ˆ‪zˆ  xˆ  y‬‬ ‫ˆ‪ xˆ  cos  rˆ  sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  ‬‬ ‫ˆ‪r  r r 2 rˆ  2 r  r ‬‬ ‫ˆ‪yˆ  xˆ   zˆ xˆ  zˆ   yˆ zˆ  yˆ   x‬‬ ‫טרנספורמציית גליליי ודלמברט‬ ‫ומרגישים כוח מדומה‪:‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪   sin  xˆ  cos  y‬‬ ‫מכפלות ציקליות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dV y‬‬ ‫‪dVx‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dVz‬‬ ‫‪ V ‬‬ ‫‪xˆ ‬‬ ‫‪yˆ ‬‬ ‫ˆ‪z‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫טרנפורמציה‪:‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ A B  | A|| B| sin   n‬כאשר ‪ a , b‬מאונכים‪ ,‬הוקטור‬ ‫ˆ‪ rˆ  cos  xˆ  sin  y‬‬ ‫החדש יהיה מאונך לשניהם ואפשר למצוא את כיוונו בעזרת‬ ‫כלל יד ימין‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ווקטורים מקבילים‪a  b  0  a  b :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫גזירת ווקטור‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מכפלה סקלרית‪a  b  ab cos   a x bx  a y b y  a z bz :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ווקטורים מאונכים‪a  b  0  a  b :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ווקטורים מקבילים‪a  b  ab  a  b :‬‬ ‫ˆ‪ˆj k‬‬ ‫ˆ‪i‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מכפלה ווקטורית‪A B  A1 A2 A3 :‬‬ ‫‪B1 B2 B3‬‬ ‫מערכת קוטבית )פולרית(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 7.27105‬‬ ‫‪243600‬‬ ‫דוגמא לסטייה של גוף נופל‪ :‬גוף נזרק בקו רוחב ‪.λ‬‬ ‫‪acor  2 v sin   2  v0  gt  sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪.( v v0  gt‬‬ ‫‪vcor  acor dt  2 v0t  gt 2 2 sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬זמן מחזור‪TE 86,400sec :‬‬ ‫כדה"א מסתובב לכיוון מזרח )נכנס לדף(‬ ‫כיוון כוח קוריוליס‪:‬‬ ‫‪ 2m v‬בכיוון הפוך ל ‪ v‬‬ ‫בציור‪ :‬תנועה לאורך קו‬ ‫המשווה‪.‬‬ ‫‪xcor  vcor dt  2 v0t 2 2  gt 3 6 sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫פיסיקה ‪1‬מ )‪ – (114071‬חורף תשע"ג‬ ‫עבודה ואנרגיה‬ ‫עבודה‪:‬‬ ‫פוטנציאל ושדה משמר‬ ‫‪f‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪W   F dr  F cos  dr   F vdt  mv 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪dW‬‬ ‫‪F dr‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪P ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F‬‬ ‫‪ Fv‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫הספק‪:‬‬ ‫עבודת כוח לאורך מסלול גורמת לשינוי באנרגיה‬ ‫הקינטית‪W AB Ek :‬‬ ‫חוק מורחב‪ W Ek  U Q :‬העבודה שווה לשינוי‬ ‫באנרגיה ועוד האנרגיה שאבדה לחום‪.‬‬ ‫חוק ‪ 1‬בתרמו'‪) E W Q :‬אנרגיה קינטית שנאבדת‪,‬‬ ‫תנועה הרמונית פשוטה‬ ‫כוח משמר‪ :‬כוח שעבודתו לא תלוייה במסלול‬ ‫ולאורך מסלול סגור‪  0 :‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫כוח משמר נגזר מפוטנציאל‪:‬‬ ‫אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪F   U‬‬ ‫)מחשבון על רדיאנים!(‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪EP U U ( B ) U ( A )   F dr‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חוק שימור אנרגיה מכנית‪:‬‬ ‫‪E tot  E p  E k‬‬ ‫למשל ע"י חיכוך‪ ,‬הופכת לחום‪ .‬ולכןקיים שימור אנרגיה( הימצאות גוף במרחב‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקודת שיווי משקל‪F  0 U  0 :‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫קשר בין תנע ואנרגיה‪:‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אנרגיה אלסטית‪:‬‬ ‫יציב‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪kx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אנרגיה כובדית‪:‬‬ ‫‪U ‬‬ ‫‪U  mgh‬‬ ‫כבידה‬ ‫‪2‬‬ ‫] ‪/ kg‬‬ ‫כוח‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[ Nm‬‬ ‫‪mM‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪F  G‬‬ ‫מהירות לוויין במסלול מעגלי‪:‬‬ ‫מהירות מילוט‪:‬‬ ‫‪V  2G‬‬ ‫זמן מחזור‪:‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪GM‬‬ ‫‪M‬‬ ‫)‬ ‫‪T2 ‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( T2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ - E‬בורח לאינסוף‪ , vr  0 :‬פרבולה‬ ‫‪ - E  0‬קשור‪ , r  const ,‬אליפסה‪/‬מעגל‬ ‫)מהירות קטנה ממהירות המילוט(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪ R2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ const   1‬‬ ‫‪ T2‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫פוטנציאל צנטריפוגלי‪:‬‬ ‫פוטנציאל אפקטיבי‪:‬‬ ‫‪E0‬‬ ‫‪rGmM‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪F ‬‬ ‫אדיש‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)אין כוחות במערכת(‪.‬‬ ‫‪J2‬‬ ‫‪2 mr 2‬‬ ‫מצב קשור‪ :‬תנועת חלקיק מוגבלת לאזור‬ ‫מסויים‪.‬‬ ‫מצב חופשי‪ :‬אנרגיית החלקיק מאפשרת לו‬ ‫להתרחק בלי הגבלה‪.‬‬ ‫אנרגיית קשר‪ :‬אנרגיה מינימאלית שיש‬ ‫להוסיף לחלקיק שיביאו ממצב קשור לחופשי‪.‬‬ ‫נוסחאות כלליות‬ ‫היקף עיגול‪2 R :‬‬ ‫שטח עיגול‪ R 2 :‬‬ ‫שטח מעטפת כדור‪ 4 r :‬נפח כדור‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪keff‬‬ ‫‪F   kx‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ r3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪IA‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F  mx kx  T  2‬‬ ‫‪ A  I A D  T  2‬‬ ‫דוגמא לסרגל בתנודות‪ :‬סרגל באורך ‪ L‬יכול‬ ‫להסתובב סביב ציר בקצה ‪ ,A‬ומטים אותו‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ A  mg sin   mg ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בזווית ‪:θ‬‬ ‫מרחק מ"מ מהציר(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שטיינר‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪. D  mg 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪mL  m  ‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זמן תנודות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mL2 12 mL2 4‬‬ ‫‪mgL 2‬‬ ‫)‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לפי‬ ‫‪I A  I cm  MR‬‬ ‫‪T  2‬‬ ‫‪U eff ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J 2 GMm‬‬ ‫‪E  mvr2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2 mr 2‬‬ ‫תנודות מאולצות‪ :‬אילוץ ע"י כוח חיצוני שמשנה‬ ‫כיוון עם הזמן‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪mx   kx  F0 cos  t‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ J 2 GMm ‬‬ ‫ˆ‪F  3  2  r‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪ mr‬‬ ‫שינוי רדיוס‪ :‬גוף משנה את רדיוס הסיבוב שלו‬ ‫בהשפעת כוח מרכזי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ki‬‬ ‫‪1‬‬ ‫במקביל‪:‬‬ ‫‪k eff   ki‬‬ ‫הקבלה‪ :‬תנועה קווית וסיבובית‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F0  1 ‬‬ ‫‪F ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  0  1  cos  t‬‬ ‫‪m   2  2 ‬‬ ‫‪m   2  2 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mv  kx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫קפיץ‪:‬‬ ‫‪Uc ‬‬ ‫‪J 2 GMm‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2 mr 2‬‬ ‫במהלך התנודה יש שימור אנרגיה‪:‬‬ ‫בטור‪:‬‬ ‫הרדיוס הממוצע של‬ ‫לווין סביב לכוכב‬ ‫כלשהו מכסה שטחים‬ ‫שווים בזמנים שווים‬ ‫הרעיון‪ :‬שימוש בשימור תנ"ז )‪ (J=const‬כדי‬ ‫לרשום ביטוי לאנרגיה שתלוי רק ב‪) r-‬מימד אחד(‪.‬‬ ‫כוח בכיוון רדיאלי‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2U‬‬ ‫‪ 2U‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫מטוטלת‪:‬‬ ‫‪amax   2 A vmax  A‬‬ ‫)משווים את האנרגיה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)נקודות מינימום מקומי‪ -‬כוח "מחזיר"(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪T  2‬‬ ‫כוח של קפיץ‪:‬‬ ‫‪ - E‬בורח לאינסוף‪ , vr  0 :‬היפרבולה‬ ‫חוק השטחים של קפלר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמא למציאה לפי ת"ה‪:‬‬ ‫מסה שוחררה במרחק ‪ x  0.1‬מ‪-‬ש"מ‪.‬‬ ‫‪ . x  t  0  0.1  A cos   0  ‬כדי ש‪ cos-‬יקבל‬ ‫ערך ‪ ,   0 :1‬ואז‪A 0.1 :‬‬ ‫‪VI  G‬‬ ‫הכללית ל‪(0-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2U‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫‪Etot  mvr 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫אנרגיה כוללת של לוויין‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪U G (r )  G‬‬ ‫‪a   2 x‬‬ ‫) ‪a   2 A cos( t  )   2 x ( t‬‬ ‫‪F ‬‬ ‫)נקודות מקסימום מקומי‪ -‬הכוח מפר את‬ ‫שיווי‪-‬המשקל(‬ ‫‪mM‬‬ ‫‪r‬‬ ‫אנרגיה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫רופף‪:‬‬ ‫‪G  6.67  10‬‬ ‫‪v   A2  x 2‬‬ ‫) ‪v ( t )   A sin( t  ‬‬ ‫בשדה משמר‪ :‬עבודה שווה להפרש הפוט'‪.‬‬ ‫‪ 2U‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תחילת מדידה ב‪: x 0 -‬‬ ‫‪Ek  ETOT  E p  0‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫משוואת התנועה‪:‬‬ ‫תחילת מדידה ב‪: x  A -‬‬ ‫תחילת מדידה ב‪: x   A -‬‬ ‫) ‪x ( t )  A cos( t ‬‬ ‫‪J 0  mr0 v0 J  mrv  J 0  v  v0‬‬ ‫למהירות‬ ‫‪A ‬‬ ‫אילוץ‪+‬ריסון‪  :‬‬ ‫‪mx   kx  bx  F0 cos  t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin  t ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫מקרה פרטי‪ -‬‬ ‫‪02  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F0‬‬ ‫‪sin t ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫תנודות מרוסנות‪ :‬כוח חיכוך פועל ביחס ישר‬ ‫משוואת תנועה‪:‬‬ ‫העתק‪ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪0    x ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪02 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪mx   kx  bx‬‬ ‫‪sin 1t ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪sin   1 0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪f  bx‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  Ae‬‬ ‫מתוך ת"ה‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x 0 ,v 0  0‬‬ ‫‪A  x00 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫פיסיקה ‪1‬מ )‪ – (114071‬חורף תשע"ג‬ ‫תנע ומרכז מסה‬ ‫תנע‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  mv‬‬ ‫תנע זוויתי‬ ‫)נשמר בהעדר כוחות חיצוניים(‪.‬‬ ‫שקילות‬ ‫‪ d  mv ‬‬ ‫כוח ‪ -‬תנע ליחידת זמן‪:‬‬ ‫‪  mv‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ mv‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫)פליטת מסה נותנת תנע לגוף הגדול בכיוון הפוך לפליטה(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתקף‪ :‬עצמת המכה )שינוי בתנע(‪F t  P   Fdt :‬‬ ‫גורם‬ ‫לתנועה‬ ‫מסה‬ ‫ומומנט‬ ‫אנרגיה‬ ‫קינטית‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מיקום מרכז המסה‪ mi ri :‬‬ ‫‪rcm ‬‬ ‫‪ mi‬‬ ‫‪‬‬ ‫מהירות מרכז המסה‪ v   mi vi :‬נשמרת בהעדר‬ ‫‪ cm  mi‬כוחות חיצוניים‬ ‫על המסות‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תנע של מערכת‪pcm  vcm  mi :‬‬ ‫תנע‬ ‫מערכת מרכז המסה‪:‬‬ ‫במערכת מרכז המסה‪ ,‬התנע שווה לאפס!‬ ‫וה ‪ Ek-‬מינימאלית מבין כל המערכות‪.‬‬ ‫מסה משתנה‪:‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪   m   (t )  m0‬‬ ‫כוח שחומר נופל מפעיל‪:‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪F‬‬ ‫בכיוון הנפילה‬ ‫)כלומר‪ ,‬כלפי מטה(‪.‬‬ ‫חומר זורם‪-A :‬שטח חתך‪-ρ ,‬צפיפות‪-v ,‬מהירות‬ ‫ספיקה‪:‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪ dm‬כוח‪2 :‬‬ ‫‪ Q   Av‬‬ ‫‪v   Av‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫תנועה קווית‬ ‫כוח‬ ‫מהירות סופית‪:‬‬ ‫צפיפות‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪F‬‬ ‫)מסה חלקי נפח(‪.‬‬ ‫התנגשות אלסטית‪ :‬שימור תנע ואנרגיה‪.‬‬ ‫התנגשות פלסטית‪ :‬רק שימור תנע‪.‬‬ ‫דוגמא לעגלה עם חול‪ :‬עגלה נגררת ע"י כוח קבוע‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ F  Fx‬ומשפך מזרים אליה חול בקצב קבוע ‪.α‬‬ ‫ואם החול‬ ‫מהירות העגלה‪Ft  mc 0 vc 0 :‬‬ ‫‪vc  t  ‬‬ ‫‪mc 0   t‬‬ ‫נשפך מהעגלה‪:‬‬ ‫‪F  mc 0 ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  mc 0   t ‬‬ ‫שינוי תנע‬ ‫שימור תנע‬ ‫חוק ‪ 2‬של‬ ‫ניוטון‬ ‫עבודה‬ ‫משפט‪ :‬מרכז המסה נע במהירות קווית‬ ‫קבועה‪ ,‬לא משנה איפה הכוח פועל!‬ ‫תנע זוויתי‪ J  r  mv :‬מוגדר ביחס לציר!‬ ‫‪ -r‬ווקטור מהמסה אל הציר )לא לשכוח ‪.(sin‬‬ ‫דרך נוספת‪ :‬הכפלת ‪ mv‬במרחק נקודה ‪ A‬מציר תאוצת גוף מתגלגל במורד‪:‬‬ ‫התנועה )קו המקביל לווקטור ‪.(v‬‬ ‫‪ MR 2 ‬‬ ‫‪a  g sin  ‬‬ ‫שימור תנ"ז‪ :‬סביב לציר נח‪/‬רגעי‪ ,‬או מרכז‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ MR  I ‬‬ ‫המסה )שיכול להיות מואץ(‪.‬‬ ‫אנרגיה קינטית‪ :‬מורכבת מסיבוב ותנועה‬ ‫מהירות הגוף בסיום התגלגלות במורד‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ליניארית‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪E  I  2  mv 2‬‬ ‫‪vc  t  ‬‬ ‫את המהירות מוצאים‬ ‫‪fs‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫כוח חיכוך סטטי שווה לכוח האופקי על הגוף‪,‬‬ ‫פרופורציוני לתאוצה‪ ,‬בכיוון הפוך לתאוצה‪.‬‬ ‫כוח חיכוך קינטי הוא קבוע ולא תלוי בכוח על הגוף‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תנועה קווית של מ"מ ותנועה סיבובית סביב מ"מ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אינרציה‪) I   mi ri :‬גודל אדטיבי!(‬ ‫‪MR 2‬‬ ‫‪cos 2  cos 2   sin 2 ‬‬ ‫‪ 1  2 sin 2   2 cos 2   1‬‬ ‫‪sin 2  2 sin  cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin   sin   2 sin‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪cos   cos   2 cos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪cos   cos   2 sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin(   )  sin  cos   sin  cos ‬‬ ‫‪cos(   )  cos  cos   sin  sin ‬‬ ‫‪ -R‬המרחק בין הצירים‪.‬‬ ‫תנע זוויתי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪J A  J cm  R  P‬‬ ‫)עבור גוף שלא נע‪ -‬תנ"ז שווה בכל הצירים(‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מומנט כוח‪ A   cm  R  F :‬‬ ‫משפט הציר האנכי‪ 2 :‬צירים ניצבים במישור‬ ‫הגוף‪ .‬מומנט דרך ציר ניצב לגוף העובר בנקודת‬ ‫מוט דק ביחס לאמצע‪ /‬גליל‬ ‫לאורך‬ ‫‪vcm  2 gh 1 ‬‬ ‫זהויות ומשוואות דיפ'‬ ‫משפט הצירים המקבילים‪:‬‬ ‫מומנט אינרציה‪I A  I cm  MR 2 :‬‬ ‫דוגמא לשרשרת נופלת‪ :‬לשרשרת יש מסה ‪ ρ‬ליח'‬ ‫אורך )‪ -ρ‬צפיפות אורכית( ו‪ ,s-‬אורך השרשרת‬ ‫שכבר נפלה‪ .‬המשטח מפעיל על השרשרת כוח הבנוי מומנטי אינרציה שימושיים‪:‬‬ ‫טבעת דקה או מעטפת גלילית‬ ‫מ‪ :‬א‪ .‬משקל השרשרת‪ F1   sg :‬ב‪ .‬הכוח הדרוש‬ ‫לעצירתה‪:‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫)‪ g ( MR 2 / I  1‬‬ ‫‪t full ‬‬ ‫במישור אופקי עם חיכוך ‪ :-‬בהתחלה‬ ‫המהירות גבוהה ואין תנועה סיבובית‪,‬‬ ‫החיכוך מאט לגלגול מלא(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I ‬‬ ‫חיכוך למניעת החלקה‪:‬‬ ‫‪ cm a  N ‬‬ ‫החיתוך שלהם‪I   I 1  I 2 :‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪  v  F2   v 2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v full  v0  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ MR  I ‬‬ ‫זמן לגלגול מלא‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫גלגול טהור )ללא החלקה(‪v   r :‬‬ ‫)נקודת המגע‪ -‬ציר נח רגעי(‬ ‫מהירות נקודה עליונה‪v  2 r :‬‬ ‫החלקה מלאה‪ :‬אין גלגול ‪  0‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫תנועה סיבובית‬ ‫מומנט‬ ‫דנימיקה של גופים צפידים‬ ‫‪sin   x    sin x ; cos   x    cos x‬‬ ‫‪sin  2  x   cos x ; cos  2  x   sin x‬‬ ‫‪; cos   x   cos x‬‬ ‫‪cot(90   )  tan ‬‬ ‫מוט דק ביחס לקצה‬ ‫משימור אנרגיה )נפילת מרחק ‪. v2 2 gs :(s‬‬ ‫דוגמא להאצה ע"י פגיעת כדורים‪ :‬מהירות רגעית‬ ‫של המסה‪ ,v-‬מהירות כדורים במעבדה‪ .u :‬שינוי‬ ‫מעטפת כדורית‬ ‫התנע ליחידת זמן )הכוח( הוא שינוי בתנע הכדורים‬ ‫מוכפל ב ‪ .α-‬מהירות כדורים יחסית למסה‪ .(u-v) :‬דיסקה מלאה או גליל מלא‬ ‫מוחזר במהירות‪ -(u-v) :‬וזו במעבדה‪ .(u-2v) :‬ולכן לוח מלבני‪ /‬תיבה‪-‬עם בסיס‪:‬‬ ‫משוואה‬ ‫‪sin   x    sin x‬‬ ‫‪tan(90   )  cot ‬‬ ‫פיתרון כללי‬ ‫כדור מלא‬ ‫השינוי בתנע‬ ‫‪ 2  u  v ‬‬ ‫‪ ,   u  2v    u‬וזה‬ ‫התנע שמקבלת המסה בכיוון ההפוך )בלי מינוס(‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור המסה‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  u  v ‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נגזרות‪sin  x  cos x  :‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ x  sin  x ‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫דוגמא ‪ -‬גליל כרוך בחבל‪ :‬הגליל משוחרר ממנוחה‪,‬‬ ‫ומתגלגל סביב נקודת המגע בחבל‪ -‬גלגול טהור‪.‬‬ ‫משוואת שימור אנרגיה לאחר ירידה מגובה ‪:h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫יש תאוצה קבועה‪.‬‬ ‫‪1 2 1 v‬‬ ‫‪Io  ‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mv ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mgh ‬‬ ‫מומנטים סביב נקודת מגע בחבל‪:‬‬ ‫מכאן אפשר לחלץ תאוצה‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪   mgR  I A  ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫מעברי יחידות‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪erg‬‬ ‫‪1J  10‬‬ ‫‪Kg  m2‬‬ ‫‪sec2‬‬ ‫‪gr cm2‬‬ ‫‪sec2‬‬ ‫‪ Nm ‬‬ ‫‪ dyne  cm ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫‪J‬‬ ‫‪erg‬‬ ‫פיסיקה ‪1‬מ )‪ – (114071‬חורף תשע"ג‬ ‫אורך וזמן‬ ‫תנא ואנרגיה יחסותיים‬ ‫אפקט דופלר‬ ‫תדירות פליטה וקליטה‪:‬‬ ‫זמן עצמי‪ :‬זמן בין מאורעות במערכת שבה הם‬ ‫התרחשו באותה נקודה‪ . t0 -‬הזמן הקצר ביותר‪ .‬פולסים הנעים במהירות האור‪.‬‬ ‫‪t0‬‬ ‫התארכות הזמן‪:‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫אורך עצמי‪ :‬מרחק בין שתי נקודות כפי שנמדד‬ ‫במערכת בה שתיהן נחות‪ .‬המרחק הארוך‬ ‫ביותר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫התקצרות האורך‪:‬‬ ‫טרנספורמציית לורנץ‬ ‫‪u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫פקטור לורנץ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x    x ut‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z  z‬‬ ‫נוסחה כללית‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫שמורת לורנץ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  c t     x ‬‬ ‫חישוב '‪:∆x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ux ' ‬‬ ‫‪t    t ' 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪y  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v x u‬‬ ‫‪vx u‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)מורידים מהמרחק לפי‬ ‫‪2‬‬ ‫‪vx  u‬‬ ‫‪v x u‬‬ ‫‪vx ‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪v y 1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪vy ‬‬ ‫‪vu‬‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתרחקים‪:‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫מתקרבים‪:‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪R  E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בעלי מסות‪:‬‬ ‫‪E A 10 mc 2‬‬ ‫‪vy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u y ‬‬ ‫ניתן לחשב את‬ ‫‪ 1‬במערכת מ"מ‪:‬‬ ‫‪vx ‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪v y 1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v u‬‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫שלו‪:‬‬ ‫‪ 4 mc‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Fz ‬‬ ‫‪Fy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שווה לאפס ולכן‬ ‫‪vy‬‬ ‫מרחק בין נקודות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ pi 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪vcm ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ Ei‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪E p c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪Ecm  E0  mc‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2  ptot‬‬ ‫‪2 c 2‬‬ ‫‪Etot‬‬ ‫‪ ptot‬‬ ‫‪c  Etot‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ek 1,cm  2 mc‬‬ ‫‪.‬‬ ‫התנע‬ ‫במערכת מ"מ התנע‬ ‫טרנספורמציה לתנע ואנרגיה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E    E   cpx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪px    px  E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E   E   cpx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪p x    px  E  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪p z  pz‬‬ ‫‪p y  p y‬‬ ‫ואז ניתן לחשב גם פוטון‪ :‬חלקיק ללא מסה‪ ,‬נע במהירות האור‪.‬‬ ‫אנרגית הפוטון‪E ph  pc  h :‬‬ ‫את האנרגיה במ"מ של חלקיק ‪ .2‬את התנע הכולל של‬ ‫המערכת מחלצים מהנוסחה‪E 2  E 2  p 2 c 2 :‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪ -ν‬תדר הפוטון‪.h=6.62610-34[Js] ,‬‬ ‫יחידות‪.1 MeV=106 eV .1 eV=1.610-19J :‬‬ ‫אנרגיית סף‪ :‬אנרגיה מינימאלית הדרושה‬ ‫לקיום ריאקציה‪.‬‬ ‫תנאי לאנרגיה מינימאלית‪ :‬במצב החדש‬ ‫החלקיקים במנוחה במערכת מרכז המסה‬ ‫)נעים באותה מהירות במעבדה(‪.‬‬ ‫דוגמא לפיתרון‪ :‬פוטון ‪ λ‬פוגע בחלקיק בעל מסה‬ ‫‪ m‬הנמצא במנוחה‪ .‬האנרגיה המינימאלית שצריכה‬ ‫להיות לפוטון כדי שייווצרו שני חלקיקים חדשים‬ ‫בעלי מסה ‪ m‬היא כך ששני החלקיקים החדשים‬ ‫יהיו במנוחה במרכז המסה‪ .‬אז משווים אנרגיית‬ ‫מרכז מסה לפני ואחרי‪:‬‬ ‫‪c 2  2 E mc 2  m 2 c 4‬‬ ‫ע"י טרנס' לורנץ‬ ‫‪  y2  y1   ‬‬ ‫‪E P c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪E 2  m 2c 4‬‬ ‫‪c‬‬ ‫מערכת חלקיקים‪:‬‬ ‫מהירות מרכז המסה‪:‬‬ ‫אנרגיה של חלקיק‬ ‫‪p1,cm  p2 ,cm  4 mc‬‬ ‫‪Fx  Fx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬נתון‪:‬‬ ‫‪p1,cm  E1,2cm  m1c 2‬‬ ‫קשר נסיבתי‪ :‬שני מאורעות יהיו קשורים‬ ‫נסיבתית אם פולס אור יכול להגיע מהמאורע‬ ‫הראשון למקום המאורע השני לפני שהוא קרה‪.‬‬ ‫אותו קשר נסיבתי יתקיים‬ ‫‪) x‬ללא קשר נסיבתי(‪.‬‬ ‫בכל המערכות הקשורות‬ ‫‪c‬‬ ‫חילוץ תנע‪:‬‬ ‫‪E 2  p 2c2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫עבור שתי מערכות כלשהן‪:‬‬ ‫‪E1,cm  2 mc 2  3mc 2  5 mc 2‬‬ ‫‪ - u‬מהירות התרחקות '‪.S‬‬ ‫‪t‬‬ ‫זווית בין‬ ‫חילוץ המסה‪:‬‬ ‫‪ m c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫*תנע כולל במערכת מ"מ שווה לאפס!‬ ‫‪Etot 10 mc  2 mc‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫אנרגיית מרכז המסה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫טרנספורמציה לכוח‪:‬‬ ‫‪Fy ‬‬ ‫‪f R  f E 1  2‬‬ ‫‪ .‬נוצרו בסוף חלקיקים‬ ‫‪m1 3 m , m2  5 m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E0  mc‬‬ ‫במקרה של גוף יחיד‪:‬‬ ‫*כאשר ‪ v‬באותו כיוון של ‪) u‬והם מקבילים(‪.‬‬ ‫מקרה פרטי‪ -‬מהירויות ניצבות‪:‬‬ ‫‪u x  u‬‬ ‫‪fR  fE‬‬ ‫)בד"כ נתון ב‪.(  -‬‬ ‫‪R  E‬‬ ‫אנרגיה של ‪:A‬‬ ‫'‪ s‬את המרחק שעברה '‪ s‬בזמן הזה(‪.‬‬ ‫טרנספורמציית מהירות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪   ct‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫קשר בין אנרגיה לתנע‪:‬‬ ‫‪ c t ‬‬ ‫‪ ct    x ‬‬ ‫' ‪x 'L '  vt‬‬ ‫‪f E   f R 1  cos ‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫אנרגיה קינטית‪Ek  E  E0 :‬‬ ‫מציאת תנע כולל במערכת‪:‬‬ ‫‪  x    y    z ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t R  t E‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אנרגיה‪:‬‬ ‫‪P ‬‬ ‫אנרגיית מנוחה‪:‬‬ ‫מהירות שתי המערכות‪.‬‬ ‫' ‪x   x '  ut‬‬ ‫‪ ux ‬‬ ‫‪t     t  2 ‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אורך גל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fR  fE‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪t R  t E‬‬ ‫כשהאור נע בניצב )דופלר רוחבי(‪:‬‬ ‫התמרת מקום וזמן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתקרבים‪:‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪fR  fE‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫פולסים שנעים במהירות ‪:v-‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪L  L 0 1 ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1  2‬‬ ‫מתרחקים‪:‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫‪c u‬‬ ‫תנע‪:‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪mc 2‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  E c‬‬ ‫‪  2 mc ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ecm‬‬ ‫‪,i  E  mc‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x2  x1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ecm‬‬ ‫‪,f‬‬