Introduction to Wavelet
Introduction to Wavelet מרחב התדר דגימה – sample פונקציה מחזורית y = sin x משפט הדגימה Nyquist משפט הדגימה ) : (Nyquistכאשר דוגמים אות אנלוגי בתדר דגימה מסוים f האות הדגום ייצג נאמנה את האות הנדגם ויאפשר שחזור מדויק שלהם ,עבור תדרים שהם לכל היותר f/2 :.התופעות שנובעות מדגימה לא מספקת Aliasing משפט הדגימה הדגימה ייצוג פונקציות מחזוריות -פורייה ניתן לקרב כל פונקציה המקיימת מחזוריות באינטרוול מסוים ע"פ: ∞ )f ( x) = a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx k =1 Joseph Fourier 2π f ( x) sin(kx)dx ∫ 0 1 π 2π = f ( x) cos(kx)dx, b k ∫ 0 1 π 2π = f ( x)dx, ak ∫ 0 = a0 ייצוג פונקציות מחזוריות ) x[t ] = sin(2π ⋅ t ) + sin(5 ⋅ 2π ⋅ t ) + sin(10 ⋅ 2π ⋅ t nonstationary signal nonstationary signal פיתרון אפשרי STFT – Short Time Fourier Transform •Dennis Gabor (1946) Used STFT To analyze only a small section of the signal at a time -- a technique called Windowing the Signal. •The Segment of Signal is Assumed Stationary Unchanged Window - Dilemma of Resolution Narrow window -> poor frequency resolution Wide window -> poor time resolution התמרת פורייה •מאפשרת דחיסה יעלה וטובה של מידע. •מאפשרת הורדת רכיבים שאינם רלוונטיים )תדירויות שהעין\אוזן אינן מסוגלות להבחין(. •משפחות פונקציות רבות שאינן מתאימות לצורת ניתוח מחזורי. •אינה מאפשרת למקם אזור באות\תמונה בו יש תדר מרחבי גבוה. •בעיתיות בפונקציות שאינן .stationary Wavelet – multi Resolution Analysis Multi resolution analysis - פתרון Multi resolution analysis - פתרון Wavelet ∞ ∫ Ψ (t ) d t = 0 גל קטן עם סכום ערכים ממוצע השווה ל – .0 ∞− ∞ ∞ < | Ψ ( t ) |2 d t אינטגרל ה waveletהינו סופי. ∫ ∞− מאפשר ניתוח במישור זמן ובמישור התדר במקביל. 1 1 0.5 0 0 -1 -0.5 -2 -1 3 2 1 0 -1 -2 3 2 1 0 -1 -2 -3 חישוב מקדמי wavelet Detailed Coefficients D1 4 D1 3 D1 2 D1 1 הבא",אם" פונקצית הנקראת מסוימת הזזתבפונקציה בחירת חישוב החופף ",לקטע פונקצית ה"אם mother wavelet הפונקציה המתאםהמתאם .חישוב האות. על כל הפונקציה בין למעבר ביניהם עד לבין קטע אות חופף. 15 חישוב מקדמי wavelet Detailed Coefficients רמה ראשונה רמה שנייה D1 3 D1 4 D2 2 D1 1 D1 2 D2 1 1 2 מתיחת פונקצית ה"אם" וחזרה על תהליך חישוב מתאם בין הפונקציה למקטעים חופפים באות. 16 = s2 wavelet חישוב מקדמי f (λ ) ψ= ψ D1 1 D1 2 D1 3 D2 1 D1 4 D2 2 D3 1 D i = s s 17 −1/ 2 ∑ 2 k =1 ψ s ,k ⋅ f ( 2 i − k −1) 1⋅ s −1 ⋅ s HAAR D 1i D 2i D 3i 1 ⎡ 1⋅ ks ⎤ = ⎢ − 1 ⋅ k ⎥ ⋅ [ f i , f i +1 ] s ⎣ s ⎦ חישוב פרוק לרכיבי :wavelet Wavelet .1בחירת mother waveletוהשוואתו לחלק מהאות )בנקודת ההתחלה(. .2חישוב המקדם ) Cבעזרת קונבולוציה( המייצג עד כמה waveletקורלטיבי למקטע האות .ככל ש Cגבוה יותר wavelet ,והאות קרובים אחד לשני. .3הזזת waveletלצד ימין .וחזרה על צעדים 1ו ,2עד מעבר על כל האות. חישוב פרוק ל Wavelet Transform -המשך: .4מתיחת waveletוחזרה על צעדים 1עד .3 .5חזרה על צעדים 1עד 4עבור כל קני המידה. Wavelet פרוק האות לצורה מקורבת )גסה( -פונקצית אב Wavelet שמירה על מבנהו הבסיסי של האות φ 1 ) f (t j =1 j = 0 j = 3 j = 2 1 0 ∞ = j העברת פילטר מעביר נמוכים. 20 חישוב מקדמיwavelet Dilation Level S=00 f01 D 11 f02 f03 D 12 f04 f05 f06 D 13 f07 f08 D 14 S=1 A11 A12 A13 A14 D 22 D 21 S=2 A21 A22 DSi = k[−1 1]*[Rλ1 Rλ2] D 31 S=3 21 נגזרת ()שיפוע A31 ASi = k[−1 1]*[Rλ1 ⋅cos(θj ) Rλ2 ⋅cos(θj )] מיצוע Wavelet Wavelet שחזור האות על סמך מקדמים מפורטים ומקורבים ∞ ∞ ∞ ) ∑ ckφ ( t ) + ∑ ∑ dd j ,ψk ( t j ,k j ,k פונקצית אם מקדמים מפורטים ∞j =0 k =− k 0,k = ) f (t ∞k =− פונקצית אב מקדמים מקורבים בחישה מרחוק waveletשימוש במקדמי morning Original signature noon approximation 5th Scaling level 4th Scaling level Common features at different resolution levels 1st scaling level -בלמ"ס-
© Copyright 2024