Introduction to Wavelet
‫מרחב התדר‬
‫דגימה ‪– sample‬‬
‫פונקציה מחזורית‬
‫‪y = sin x‬‬
‫משפט הדגימה ‪Nyquist‬‬
‫משפט הדגימה )‪ : (Nyquist‬כאשר דוגמים אות אנלוגי בתדר דגימה מסוים ‪f‬‬
‫האות הדגום ייצג נאמנה את האות הנדגם ויאפשר שחזור מדויק שלהם‪ ,‬עבור‬
‫תדרים שהם לכל היותר ‪f/2‬‬
‫‪ :.‬התופעות שנובעות מדגימה לא מספקת ‪Aliasing‬‬
‫משפט הדגימה‬
‫הדגימה‬
‫ייצוג פונקציות מחזוריות ‪ -‬פורייה‬
‫ניתן לקרב כל פונקציה המקיימת‬
‫מחזוריות באינטרוול מסוים ע"פ‪:‬‬
‫∞‬
‫)‪f ( x) = a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪Joseph Fourier‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪f ( x) sin(kx)dx‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪f ( x) cos(kx)dx, b k‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪f ( x)dx, ak‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫= ‪a0‬‬
‫ייצוג פונקציות מחזוריות‬
‫) ‪x[t ] = sin(2π ⋅ t ) + sin(5 ⋅ 2π ⋅ t ) + sin(10 ⋅ 2π ⋅ t‬‬
nonstationary signal
nonstationary signal
‫פיתרון אפשרי‬
STFT – Short Time Fourier Transform
•Dennis Gabor (1946) Used STFT To analyze only a
small section of the signal at a time -- a technique
called Windowing the Signal.
•The Segment of Signal is Assumed Stationary Unchanged Window - Dilemma of Resolution
Narrow window -> poor frequency resolution
Wide window -> poor time resolution
‫התמרת פורייה‬
‫•מאפשרת דחיסה יעלה וטובה של מידע‪.‬‬
‫•מאפשרת הורדת רכיבים שאינם רלוונטיים )תדירויות‬
‫שהעין\אוזן אינן מסוגלות להבחין(‪.‬‬
‫•משפחות פונקציות רבות שאינן מתאימות לצורת ניתוח‬
‫מחזורי‪.‬‬
‫•אינה מאפשרת למקם אזור באות\תמונה בו יש תדר‬
‫מרחבי גבוה‪.‬‬
‫•בעיתיות בפונקציות שאינן ‪.stationary‬‬
Wavelet – multi Resolution Analysis
Multi resolution analysis - ‫פתרון‬
Multi resolution analysis - ‫פתרון‬
‫‪Wavelet‬‬
‫∞‬
‫∫‬
‫‪Ψ (t ) d t = 0‬‬
‫גל קטן עם סכום ערכים ממוצע השווה ל – ‪.0‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫∞ < ‪| Ψ ( t ) |2 d t‬‬
‫אינטגרל ה ‪ wavelet‬הינו סופי‪.‬‬
‫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫מאפשר ניתוח במישור זמן ובמישור התדר במקביל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫חישוב מקדמי ‪wavelet‬‬
‫‪Detailed Coefficients‬‬
‫‪D1 4‬‬
‫‪D1 3‬‬
‫‪D1 2‬‬
‫‪D1 1‬‬
‫הבא‪",‬אם"‬
‫פונקצית‬
‫הנקראת‬
‫מסוימת‬
‫הזזתבפונקציה‬
‫בחירת‬
‫חישוב‬
‫החופף‬
‫"‪,‬לקטע‬
‫פונקצית ה"אם‬
‫‪mother‬‬
‫‪wavelet‬‬
‫הפונקציה‬
‫המתאםהמתאם‬
‫‪ .‬חישוב‬
‫האות‪.‬‬
‫על כל‬
‫הפונקציה‬
‫בין למעבר‬
‫ביניהם עד‬
‫לבין קטע אות חופף‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫חישוב מקדמי ‪wavelet‬‬
‫‪Detailed Coefficients‬‬
‫רמה ראשונה‬
‫רמה שנייה‬
‫‪D1 3‬‬
‫‪D1 4‬‬
‫‪D2 2‬‬
‫‪D1 1‬‬
‫‪D1 2‬‬
‫‪D2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מתיחת פונקצית ה"אם" וחזרה על תהליך חישוב‬
‫מתאם בין הפונקציה למקטעים חופפים באות‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫= ‪s2‬‬
wavelet ‫חישוב מקדמי‬
f (λ )
ψ=
ψ
D1 1
D1 2
D1 3
D2 1
D1 4
D2 2
D3 1
D i = s
s
17
−1/ 2
∑
2
k =1
ψ
s ,k
⋅ f ( 2 i − k −1)
1⋅ s
−1 ⋅ s
HAAR
D 1i
D 2i
D 3i
1 ⎡ 1⋅ ks ⎤
=
⎢ − 1 ⋅ k ⎥ ⋅ [ f i , f i +1 ]
s ⎣
s ⎦
‫חישוב פרוק לרכיבי ‪:wavelet‬‬
‫‪Wavelet‬‬
‫‪ .1‬בחירת ‪ mother wavelet‬והשוואתו לחלק מהאות )בנקודת ההתחלה(‪.‬‬
‫‪ .2‬חישוב המקדם ‪) C‬בעזרת קונבולוציה( המייצג עד כמה ‪ wavelet‬קורלטיבי‬
‫למקטע האות‪ .‬ככל ש ‪ C‬גבוה יותר‪ wavelet ,‬והאות קרובים אחד לשני‪.‬‬
‫‪ .3‬הזזת ‪ wavelet‬לצד ימין‪ .‬וחזרה על צעדים ‪ 1‬ו ‪ ,2‬עד מעבר על כל האות‪.‬‬
‫חישוב פרוק ל‪ Wavelet Transform -‬המשך‪:‬‬
‫‪ .4‬מתיחת ‪ wavelet‬וחזרה על צעדים ‪ 1‬עד ‪.3‬‬
‫‪ .5‬חזרה על צעדים ‪ 1‬עד ‪ 4‬עבור כל קני המידה‪.‬‬
‫‪Wavelet‬‬
‫פרוק האות לצורה מקורבת )גסה( ‪ -‬פונקצית אב‬
‫‪Wavelet‬‬
‫שמירה על מבנהו הבסיסי של האות‬
‫‪φ‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪f (t‬‬
‫‪j =1‬‬
‫‪j = 0‬‬
‫‪j = 3‬‬
‫‪j = 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫∞ = ‪j‬‬
‫העברת פילטר מעביר נמוכים‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫חישוב מקדמי‬wavelet
Dilation
Level
S=00
f01
D 11
f02
f03
D 12
f04
f05
f06
D 13
f07
f08
D 14
S=1
A11
A12
A13
A14
D 22
D 21
S=2
A21
A22
DSi = k[−1 1]*[Rλ1 Rλ2]
D 31
S=3
21
‫נגזרת‬
(‫)שיפוע‬
A31
ASi = k[−1 1]*[Rλ1 ⋅cos(θj ) Rλ2 ⋅cos(θj )]
‫מיצוע‬
Wavelet
‫‪Wavelet‬‬
‫שחזור האות על סמך מקדמים מפורטים ומקורבים‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫) ‪∑ ckφ ( t ) + ∑ ∑ dd j ,ψk ( t‬‬
‫‪j ,k‬‬
‫‪j ,k‬‬
‫פונקצית אם‬
‫מקדמים מפורטים‬
‫∞‪j =0 k =−‬‬
‫‪k 0,k‬‬
‫= ) ‪f (t‬‬
‫∞‪k =−‬‬
‫פונקצית אב‬
‫מקדמים מקורבים‬
‫בחישה מרחוק‪ wavelet‬שימוש במקדמי‬
morning
Original signature
noon
approximation
5th Scaling level
4th Scaling level
Common features at different resolution
levels
1st scaling level
-‫בלמ"ס‬-